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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
COLEGIADO DE ENGENHARIA CIVIL
Fellipe Peixoto Santos
APLICAÇÃO DE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS PARA PREDIÇÃO
DA TENSÃO DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL EM PERFIS
FORMADOS A FRIO
FEIRA DE SANTANA-BA
2010
FELLIPE PEIXOTO SANTOS
APLICAÇÃO DE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS PARA PREDIÇÃO
DA TENSÃO DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL EM PERFIS
FORMADOS A FRIO
Orientadores: Prof. Koji de Jesus Nagahama, D.Sc
Prof. Anderson de S. Matos Gadéa, D.Sc
FEIRA DE SANTANA-BA
2010
Monografia submetida ao
Colegiado do curso de Engenharia
Civil da Universidade Estadual de
Feira de Santana como parte dos
requisitos necessários para a
obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Fellipe Peixoto Santos
APLICAÇÃO DE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS PARA PREDIÇÃO DA
TENSÃO DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL EM PERFIS FORMADOS A FRIO
Monografia apresentada à Universidade Estadual de Feira de Santana, como requisito
para obtenção da graduação em Engenharia Civil.
Feira de Santana-BA, Dezembro de 2010.
Aprovado por:
_______________________________________________
Koji de Jesus Nagahama, D. Sc.
Universidade Estadual de Feira de Santana – UEFS
(ORIENTADOR)
_______________________________________________
Anderson de S. Matos Gadéa, D. Sc.
Universidade Estadual de Feira de Santana – UEFS
(ORIENTADOR)
_______________________________________________
Adriana Trocoli Abdon Dantas, Eng.ª Civil
_______________________________________________
Marcelo Pedreira da Silva, Eng.º Civil
Aos meus pais, irmãos e familiares, pelo incentivo e
apoio em todas as etapas deste trabalho.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por realizar um sonho e me dar forças ao longo destes anos.
Aos meus pais, pelo apoio, carinho, atenção e ajuda em todos os anos de minha vida,
principalmente nestes últimos cinco anos, e em especial à minha mãe Vilma.
Aos meus grandes irmãos e amigos Kleber e Júnior, que me “suportam” desde sempre e me
deram suporte para que este sonho seja realizado.
Aos meus tios Paulo e Ceça, que são mais que tios, são meus segundos pais.
Às minhas primas Andréa e Lívia, que sempre foram mais que primas, foram irmãs, e que,
com o convívio desde pequeno, alegraram-me e me ajudaram sempre.
Ao Prof. D. Sc. Koji de Jesus Nagahama não só pela orientação e pelos valiosos ensinamentos
durante a realização deste trabalho, mas também pela amizade prestada ao longo deste
período.
Igualmente ao Prof. D. Sc. Anderson de S. Matos Gadéa, que sempre me apoiou e me ensinou
na construção deste árduo trabalho.
Aos grandes amigos não só da universidade, mas também os de fora dela, pelo apoio e pelas
alegrias.
Aos professores desta universidade (UEFS), pelos ensinamentos, pelo incentivo à vida
acadêmica e por sempre acreditar que nós podemos ser melhores do que achamos que somos.
E finalmente a minha namorada Camila Rios, pelo amor, carinho e compreensão em todos
esses anos que estamos juntos.
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Laminador de tiras (chapas finas) a frio………………………………………...18
Figura 2.2 – Alguns tipos de perfis…………………………………………………………...19
Figura 2.3 – Flambagem por distorção da seção transversal. [NBR 14762/2001]…………...21
Figura 2.4 – Modos de Flambagem: (a) e (b) Modo local de placas; (c) e (d) Modo
distorcional. (SOUZA, 2006)…………………………………………………………………21
Figura 2.5 – Notação para perfis do tipo U enrijecido……………………………...………...22
Figura 2.6 – Modelo simplificado proposto por Hancock e Lau (SILVA, 2008)…………….24
Figura 2.7 – Seção tipo U enrijecido com enrijecedores de borda adicionais e o caso particular
de seção do tipo rack (NBR 14762/2001)…………………………………………………….26
Figura 2.8 – Seção do tipo U enrijecido (NBR 14762/2001)…………………………………27
Figura 2.9 – Neurônio de McCulloch e Pitts. (Braga, 2000)…………………………………29
Figura 2.10 - Modelo não-linear de um neurônio. (Haykin, 2001)…………………………...30
Figura 2.11 – Função Linear………………………………………………………………….31
Figura 2.12 – Função Degrau…………………………………………………………………32
Figura 2.13 – Função Tangente Hiperbólica………………………...………………………..32
Figura 2.14 – Função Rampa…………………………………………………………………33
Figura 2.15 – Função Sigmoidal……………………………………………………………...33
Figura 2.16 – Nodo Adaline de Windrow e Hoff. (ARRUDA, 2007)………………………..37
Figura 2.17 – Exemplo de MLP com duas camadas intermediárias………………………….39
Figura 3.1 – Curva tensão de flambagem x comprimento considerado apenas o primeiro
harmônico……………………………………………………………………………………..41
Figura 3.2 – (a) modo local de placa, (b) do modo distorcional e (c) modo acoplado……….42
Figura 3.3 – Ajuste obtido pela rede escolhida……………………………………………….44
Figura 3.4 – Ilustração da rede utilizada……………………………………………………...45
Figura 4.1 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Altura da Seção para
D/t=5,0………………………………………………………………………………………..51
Figura 4.2 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Altura da Seção para
D/t=10………………………………………………………………………………………...51
Figura 4.3 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Flange para
bw/t=67………………………………………………………………………………………..52
Figura 4.4 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Flange para
bw/t=40…………………………………………………………………………………….….53
Figura 4.5 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Enrijecedor par
bw/t=100……………………………………………………………………………………....54
Figura 4.6 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Enrijecedor para
bw/t=60…………………………………………………………………………………….….54
Figura 4.7 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Enrijecedor para
bw/t=43………………………………………………………………………………………..55
Figura 4.8 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Espessura para
D/bw=0,1………………...............................................................................................56
Figura 4.9 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Espessura para
D/bw=0,2……………………………………………………………………………………...56
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Influência das relações geométricas das seções do tipo U enrijecidas no modo
crítico………………………………………………………………...……………..………...23
Tabela 3.1 – Limites utilizados para a geração das seções……………………………...……42
Tabela 3.2 – Coeficientes de correlações obtidos para os melhores ajustes………………….44
Tabela 3.3 – Distribuição dos erros na estimativa das tensões para os perfis simulados…….46
Tabela 3.4 – Comparação entre os dados gerados e ajustados………………………………..46
LISTA DE SÍMBOLOS
A área bruta da seção transversal da barra;
Ad área bruta da mesa comprimida e do respectivo enrijecedor de borda;
Cw constante de empenamento da seção;
D largura nominal do enrijecedor de borda;
E módulo de elasticidade do aço;
Ix;Iy momentos de inércia da seção bruta em relação aos eixos principais x e
y, respectivamente;
Ixy produto de inércia da seção em relação ao sistema de coordenadas xy;
It momento de inércia à torção uniforme;
Ld comprimento de meia onda longitudinal associada à tensão
convencional de flambagem elástica por distorção;
Ndist força axial de flambagem distorcional elástica;
Nc,Rdist valor característico da força axial de compressão resistente, associado à
flambagem distorcional;
bf largura nominal da mesa ou do conjunto mesa-enrijecedor de borda;
bw largura nominal da alma;
fy resistência ao escoamento do aço;
hx;hy coordenadas x e y, respectivamente, do apoio da seção constituída pela
mesa e enrijecedor de borda em relação ao seu centróide;
kɸ constante de rigidez à rotação empregada no cálculo da tensão
convencional de flambagem elástica por distorção;
t espessura da chapa ou do elemento;
yo coordenada do centro de torção, na direção do eixo y, em relação ao
centróide;
α1; α2; α3 parâmetros empregados no cálculo da tensão convencional de
flambagem elástica por distorção;
β1 a β4 parâmetros empregados no cálculo da tensão convencional de
flambagem elástica por distorção;
η parâmetro empregado no cálculo da tensão convencional de flambagem
elástica por distorção;
λdist índice de esbeltez reduzido referente à flambagem por distorção;
σdist tensão convencional de flambagem elástica por distorção;
RESUMO
Os perfis formados a frio possuem uma grande amplitude de aplicações na engenharia.
Quando usados estruturalmente, requerem conhecimentos das possíveis instabilidades que
podem ocorrer devido ao tipo de vínculo, seção geométrica e carregamento. Diante disso, este
trabalho apresenta uma formulação teórico-computacional para o problema da instabilidade
por distorção (modo distorcional – MD) através de uma técnica de inteligência artificial
denominada de Rede Neural Artificial (RNA). Para perfis de chapas dobradas a frio com
seções tipo U enrijecidos, a norma brasileira NBR 14672 indica como utilizar razões
geométricas para evitar a instabilidade por distorção, ou que o cálculo seja realizado através
de várias formulações. Neste trabalho, a tensão crítica distorcional (σdist) para perfis
submetidos à compressão uniforme, bi-apoiados e com livre empenamento, é inferida através
de uma equação. O objetivo principal deste trabalho é, a partir da RNA, formular uma
equação para a predição das tensões de flambagem distorcional. Os resultados aqui obtidos
são comparados com outros obtidos da literatura e preditos através de outras formulações tais
como método das faixas finitas (MFF).
Palavras Chave: Perfis formados a frio, Instabilidade Distorcional, Rede Neural Artificial.
ABSTRACT
The cold formed steel members have a wide range of applications in engineering. Its
structural use requires a knowledge of the possible instabilities that may occur due to its link
type, geometric section and uploading. Given that, this work presents a theoretical and
computational formulation for the problem of distortion instability (distortional mode – MD)
through an artificial intelligence technique called Artificial Neural Network (NNs). For cold-
formed steel profiles with sections type stiffened U, the Brazilian Standard NBR 14762
indicates how to use geometrical relations to avoid the distortional instability, or how to
calculate with various formulations. In this work, the distortional buckling stress (σdist) for
sections subjected to uniform compression, bi-supported and free warping, is obtained
through an equation. The main objective of this work is, with the NNs, formulate an equation
for the prediction of buckling stresses. The results obtained here are compared with others
obtained from literature and predicted trough other formulations like the Finite Strip Method
(FSM).
Keywords: Cold formed Steel Members, Distortional instability, Artificial Neural Network.
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 15
1.1 JUSTIFICATIVA ........................................................................................... 16
1.2 OBJETIVOS ................................................................................................... 16
1.2.1 Objetivo Geral ........................................................................................... 16
1.2.2 Objetivo Específico ................................................................................... 16
1.3 ESTRUTURA DA MONOGRAFIA .............................................................. 17
2 REVISÕES DE LITERATURA ...................................................................... 18
2.1 PERFIS FORMADOS A FRIO (PFF) ............................................................ 18
2.1.1 Tipos de Perfis ........................................................................................... 19
2.1.2 Instabilidades nos perfis ............................................................................ 20
2.2 MÉTODO DE CÁLCULO ............................................................................. 24
2.2.1 Norma Brasileira NBR 14762/2001 .......................................................... 24
2.2.2 Norma Brasileira NBR 14762/2010 .......................................................... 27
2.3 REDES NEURAIS ARTIFICIAIS (RNA) ..................................................... 28
2.3.1 Conceito de Redes Neurais Artificiais ....................................................... 28
2.3.2 Modelos de Redes Neurais Artificiais ....................................................... 29
2.3.3 Tipos de Função de Ativação .................................................................... 31
2.3.4 Arquitetura ................................................................................................. 33
2.3.5 Aprendizado ............................................................................................... 34
2.3.6 Modelos de RNAs ...................................................................................... 36
2.3.7 Perceptron de Múltiplas Camadas (MLP) ................................................. 38
3 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ....................................................................... 40
3.1 Identificação dos parâmetros de treinamento da rede ..................................... 40
3.2 Geração de dados e treinamento da rede......................................................... 41
3.3 Definição e averiguação da equação obtida .................................................... 43
4 ESTUDO DE SENSIBILIDADE DIANTE DOS PARÂMETROS
GEOMÉTRICOS DOS PERFIS ....................................................................................... 50
4.1 Correlação entre a Tensão Distorcional e Altura da Seção............................. 50
4.2 Correlação entre a Tensão Distorcional e a Largura do Flange ...................... 52
4.3 Correlação entre a Tensão Distorcional e A Largura do Enrijecedor ............. 53
4.4 Correlação entre a Tensão Distorcional e a Espessura ................................... 55
5 CONCLUSÃO .................................................................................................. 57
6 REFERÊNCIAS ............................................................................................... 58
15
1 INTRODUÇÃO
A engenharia vem se modificando ao longo do tempo, com isso é indispensável o
surgimento de novas tecnologias e materiais para acompanhar seu progresso. Na área de
estruturas, muitos materiais são desenvolvidos para suprir essas necessidades, levando em
consideração sempre a eficiência, segurança e custo. Um exemplo são os perfis metálicos
formados a frio que são cada vez mais utilizados. Além de serem leves, possuem grande
resistência mecânica e conseqüentemente uma maior esbeltez. Contudo, com o uso desse
material, novos fenômenos que antes não eram observados passam a ter ocorrência. Neste
caso específico, além das instabilidades global e local de placa, pode haver incidência de
instabilidade distorcional, os dois primeiros classicamente conhecidos e o último é objeto
desse estudo.
Existem muitos métodos para a predição da tensão crítica de flambagem distorcional
como, por exemplo, o método das faixas finitas (Nagahama, 2003), método dos elementos
finitos (Schafer e Pekoz, 1998, 1999), a teoria generalizada de vigas (Silvestre e Camotim,
2004a, b) e modelos aproximados como os apresentados por Davies e Jiang (1996); Schafer e
Pekoz (1998, 1999). A ferramenta utilizada neste trabalho será a Rede Neural Artificial
(RNA), que se caracteriza por uma modelagem não-paramétrica que utiliza apenas
amostragem de valores de entrada e de saída do sistema sem grandes limitações no número de
variáveis, apresentando-se assim como uma alternativa de menor complexidade para a
construção de modelos de predição. Nesse estudo, as RNA são aplicadas para, a partir da sua
topologia e funções de transferência, formular uma equação para a predição das tensões de
flambagem no modo distorcional.
Este trabalho mostra a ocorrência da flambagem distorcional, cujo o estudo foi
primeiramente proposta por HANCOCK na norma australiana AS/NZS e que também é
citado na norma brasileira NBR 14762/2010.
Além de obter a formulação para a predição da tensão crítica de flambagem, este
trabalho também propõe mostrar os efeitos dos principais parâmetros geométricos na tensão
de flambagem distorcional.
16
1.1 JUSTIFICATIVA
A escolha do tema deve-se à crescente utilização dos perfis formados a frio, e à falta
de estudos que comprovem a ocorrência da flambagem distorcional, pois a norma brasileira
NBR 14762/2010 prevê o cálculo da tensão distorcional apenas para alguns tipos de seção,
deixando assim, um vasto campo de perfis sem a análise de tal fenômeno que pode
comprometer toda uma estrutura.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Geral
O objetivo geral desse trabalho é obter uma equação por intermédio da criação de uma
rede neural artificial para identificar a tensão de flambagem distorcional em perfis formados a
frio. E também demonstrar o efeito dos principais parâmetros geométricos na tensão de
flambagem distorcional.
1.2.2 Objetivo Específico
O objetivo específico é prever a tensão de flambagem distorcional, porém para que
isso seja feito é necessária a execução das seguintes etapas:
Definir o problema;
Identificar os parâmetros de treinamento da rede;
Gerar o banco de dados e executar o treinamento da rede;
Avaliar a equação obtida;
Analisar a sensibilidade diante dos parâmetros geométricos dos perfis;
17
1.3 ESTRUTURA DA MONOGRAFIA
CAPÍTULO 1 – apresenta as razões na escolha do tema, os objetivos e o escopo
deste trabalho.
CAPÍTULO 2 – faz uma revisão bibliográfica sobre as características dos perfis
analisados, dos fenômenos ocorrentes e das ferramentas utilizadas para a obtenção dos
resultados.
CAPÍTULO 3 – apresenta a definição do problema, assim como a identificação dos
parâmetros da rede neural. Geram-se os dados e, com esses dados, o treinamento da rede.
Neste mesmo capítulo faz-se a definição e a averiguação da equação obtida.
CAPÍTULO 4 – mostra o estudo de sensibilidade dos perfis perante os parâmetros
geométricos dos mesmos, mostrando, para cada item, a relação deste com o valor da tensão
distorcional.
CAPÍTULO 5 – analisa os resultados obtidos em todas as etapas do trabalho,
elaborando uma conclusão final.
18
2 REVISÕES DE LITERATURA
2.1 PERFIS FORMADOS A FRIO (PFF)
Os perfis formados a frio são aqueles obtidos através do processo de dobramento a frio
de chapas de aço, apresentando um dos seguintes processos de fabricação: contínuo e
descontínuo. O processo contínuo é utilizado por fabricantes especializados em perfis
formados a frio, já o descontínuo é geralmente utilizado por fabricantes de estruturas
metálicas. Apesar de existirem muitas seções padronizadas, é possível a produção pelos
fabricantes de acordo com dimensões solicitadas, respeitando-se limitações de normas e de
equipamentos. O perfil formado ou dobrado a frio é obtido por conformação a frio de
produtos planos, como chapas e tiras, que podem ser dobradas ou formadas por dobradeiras
ou perfiladeiras como mostra a figura 2.1.
Figura 2.1 – Laminador de tiras (chapas finas) a frio.
Os PFF encontram-se em fase de rápido crescimento no Brasil (RODRIGUES, 2006).
Isso se deve ao fato de sua diversidade de aplicações apresentadas pelo produto final, que é
obtido a partir da conformação de chapas finas, podendo obter concepções estruturais esbeltas
e eficientes para uso nas edificações.
19
Segundo RODRIGUES (2006), o processo de conformação a frio de chapas finas
altera as propriedades mecânicas do aço, provoca uma elevação da resistência ao escoamento
(fy) e da resistência à ruptura (fu) e reduz a ductilidade do material, concentrando esses efeitos
nas regiões vizinhas aos cantos dobrados ou distribuídos ao longo dos elementos que
constituem a seção transversal do perfil, dependendo do tipo de processo de conformação
utilizado.
A redução da ductilidade significa que o material possui uma menor capacidade de se
deformar. Por esse motivo, a chapa deve ser conformada com raio de dobramento adequado
ao material e a sua espessura, com o intuito de se evitar o aparecimento de fissuras. (SILVA,
2008)
Outro efeito causado pela dobragem a frio é o aparecimento de tensões residuais nos
elementos do perfil, cuja distribuição e intensidade também dependem do processo de
conformação a frio.
2.1.1 Tipos de Perfis
Uma particularidade dos PFF é a maior leveza e economicidade. Para que isto ocorra,
procura-se aumentar a relação largura-espessura de seus elementos, tornando-os cada vez
mais esbeltos. A figura 2.2 mostra alguns tipos de perfis utilizados.
Figura 2.2 – Alguns tipos de perfis
20
2.1.2 Instabilidades nos perfis
As barras constituintes de uma estrutura treliçada ou aporticada, quando submetidas à
compressão, devem ser analisadas considerando-se a teoria de viga-coluna. Se os perfis
constituintes dessas barras são formados a frio, há, em relação aos perfis tradicionais, uma
modificação em seu comportamento estrutural. (RODRIGUES, 2006).
Segundo RODRIGUES (2006), uma vez que elementos individuais de perfis formados
a frio têm espessuras pequenas em relação à largura, estes elementos esbeltos podem flambar
em níveis de tensões menores que aqueles correspondentes à resistência ao escoamento do
material, quando submetidos à compressão, à flexão ou a uma interação entre ambos.
Sabe-se que o elemento esbelto não entrará em colapso necessariamente quando sua
tensão de flambagem for alcançada e ele pode continuar suportando cargas adicionais além
daquela correspondente ao surgimento da flambagem, ou seja, eles apresentam um
comportamento pós-crítico estável antes do colapso, indicando uma reserva de resistência.
Assim esses elementos possuem cargas últimas superiores às cargas críticas de flambagem.
O tratamento matemático deste fenômeno é muito trabalhoso, devido à complexidade
do problema. Pode-se obter uma previsão teórica do comportamento pós-crítico a partir do
critério das larguras efetivas, em vez de se utilizar as soluções obtidas por métodos
numéricos, tais como o Método das Faixas Finitas (MFF) e o Método dos Elementos Finitos
(MEF).
2.1.2.1 Instabilidade por Distorção
Quando submetidos à compressão e à flexão, três modos de flambagem podem
ocorrer: flambagem local, distorcional e global (flambagem por flexão e por flexo-torção).
Além dos fenômenos já conhecidos como flambagem global (do elemento como um todo) ou
local (flambagem da chapa), existe a possibilidade de ocorrência de outro modo de
instabilidade, que está associada à distorção da seção transversal como mostra a figura 2.3,
que ocorre especialmente em perfis com enrijecedores de borda, sendo mais observado no
caso de aço com elevada resistência mecânica, como nos casos dos perfis apresentados na
21
figura 2.3. Para CHODRAUI (2007) alguns perfis laminados relativamente esbeltos também
podem estar propensos a apresentar o fenômeno da flambagem por distorção.
Figura 2.3 – Flambagem por distorção da seção transversal. [NBR 14762/2001]
Por definição, a flambagem distorcional, caracteriza-se pela rotação e possível
translação do conjunto formado pela mesa comprimida e seu enrijecedor de borda, alterando a
forma inicial da seção (Figura 2.3), ao contrário da flambagem local (Figura 2.4), onde por
definição admite-se a conservação da posição inicial das bordas dobradas da seção – os quais
permanecem retos ao longo do perfil – assim como o ângulo formado entre os elementos
vizinhos. (CHODRAUI, 2007).
Figura 2.4 – Modos de Flambagem: (a) e (b) Modo local de placas; (c) e (d) Modo
distorcional. (SOUZA, 2006)
As duas primeiras configurações consistem na rotação do conjunto formado pelo
enrijecedor de borda/mesa comprimida em relação à junção mesa/alma. As outras duas
22
configurações também consistem na rotação do conjunto formado pelo enrijecedor de
borda/mesa comprimida em relação à junção mesa/alma, mas também neste caso ocorre o
deslocamento lateral da junção mesa/alma, o qual próximo ao estado limite último.
Segundo CHODRAUI (2007), para a análise de qualquer tipo de perfil de seção
arbitrária pode-se identificar os modos e as tensões de flambagem associadas, sendo o modo
crítico detectado em função do comprimento da barra, a qual pode estar sujeita a diversos
tipos de carregamentos: compressão centrada, flexão simples ou flexão composta.
Perfis que não possuem enrijecedores de bordas não apresentam o modo distorcional
como crítico, tendo na flambagem local o modo crítico, uma vez que o elemento (mesa
comprimida) possui apenas uma borda apoiada.
Para BATISTA (2000), as relações bf/bw e D/bw, têm influência direta sobre o modo
distorcional, assim como a relação largura/espessura, bw/t. As relações mencionadas são
identificadas na Figura 2.5.
Figura 2.5 – Notação para perfis do tipo U enrijecido.
onde:
bw – Altura da seção;
bf – Largura do flange;
D – Comprimento do enrijecedor;
23
T – Espessura da seção;
Como já citado, as relações geométricas das seções transversais influenciam o modo
crítico, como apresentado na tabela 2.1. Quanto maior o tamanho da mesa da seção,
representada por bf, maior será a possibilidade de se obter o modo distorcional (MD) como
crítico. Porém quanto menor a relação bf/bw, maior será a possibilidade de ocorrência do
modo local (ML) como crítico. Para seções com elevadas relações bw/t, maior a possibilidade
de o modo local ser crítico.
Tabela 2.1 – Influência das relações geométricas das seções do tipo U enrijecidas e
rack no modo crítico. Adaptada de (CHODRAUI, 2007)
Quanto menor Relação geométrica Quanto maior
ML bf/bw MD
MD D/bw ML
MD bw/t ML
A NBR 14762:2001 utiliza o método simplificado que foi inicialmente proposto por
Hancock, para calcular a força crítica de flambagem distorcional dos perfis formados a frio.
Esse modelo simplificado dispensa a solução numérica que demandaria programas de
computador. (SILVA, 2008)
Hancock idealizou um modelo de viga composto apenas pela mesa do perfil e do seu
enrijecedor, submetido à compressão. A ligação entre a mesa e a alma é representada por dois
apoios de molas, onde um restringe a rotação e outro restringe o deslocamento horizontal,
conforme mostra a figura 2.6. Esse modelo considera de forma aproximada a influência da
alma sobre a mesa comprimida, por meio de coeficientes de mola kϕ e kx, respectivamente, à
rotação e translação. Nota-se que quanto mais esbelta for a alma (maior bw/t), menores serão
os valores de kϕ e kx. A partir desse modelo, com algumas simplificações, é possível
determinar a tensão crítica de distorção do perfil e, conseqüentemente, a força normal e o
24
momento fletor críticos, que por sua vez, são coniderados conforme os itens 7.7.3 e 7.8.1.3 da
NBR 14762/2001.
Figura 2.6 – Modelo simplificado proposto por Hancock e Lau (SILVA, 2008)
2.2 MÉTODO DE CÁLCULO
Alguns métodos de cálculos serão apresentados neste capítulo para o cálculo da tensão
de flambagem distorcional (σdist) na compressão centrada.
2.2.1 Norma Brasileira NBR 14762/2001
Para as barras com seção transversal aberta e sujeitas à flambagem por distorção, o
valor da tensão σdist pode ser calculado pelas expressões seguintes.
1- Seções do tipo U enrijecidos com enrijecedores de borda adicionais (seções do tipo
rack, por exemplo), submetidas à compressão centrada. As expressões seguintes
25
são aplicáveis às seções transversais com relação bf/bw compreendida entre 0,6 e
1,3:
(A.1)
Onde:
(A.2)
(A.3)
(A.4)
(A.5)
(A.6)
(A.7)
(A.8)
(A.9)
(A.10)
] (A.11)
Onde σdist deve ser calculada, em primeira aproximação, pela expressão (A.1) com
As propriedades geométricas Ad; Ix; Iy; Ixy; Cw; hx; hy; xo e yo devem ser calculadas para
as seções transversais constituídas apenas pela mesa e pelos enrijecedores (figura 2.7).
26
Figura 2.7 – Seção tipo U enrijecido com enrijecedores de borda adicionais e o caso
particular de seção do tipo rack (NBR 14762/2001)
2- Seções do tipo U enrijecido, submetidas à compressão uniforme. As expressões
seguintes são aplicáveis às seções transversais com relação bf/bw compreendida
entre 0,4 e 2,0, podem ser aplicadas as expressões estabelecidas em A.1,
substituindo as expressões (A.6), (A.7) e (A.8) pelas expressões (A.12), (A.13) e
(A.14), respectivamente.
(A.12)
(A.13)
(A.14)
As propriedades geométricas Ad; Ix; Iy; Ixy; It; hx e hy devem ser calculadas para a seção
transversal constituída apenas pela mesa e pelo enrijecedor de borda (figura 2.8), cujas
expressões são apresentadas a seguir:
(A.15)
(A.16)
(A.17)
(A.18)
(A.19)
27
(A.20)
(A.21)
Onde:
bf; bw; D; t são indicados na figura 2.8.
Figura 2.8 – Seção do tipo U enrijecido (NBR 14762/2001)
O resultado desta formulação é feita de forma interativa, se tornando um método
complicado e cansativo, sendo um método pouco aplicado. Esta norma foi reformulada anos
depois.
2.2.2 Norma Brasileira NBR 14762/2010
Esta norma apresenta um método direto para o dimensionamento de barras submetidas
á compressão centrada, aqui denominado método da resistência direta (MRD). Esse método
substitui o método da largura efetiva e o método da seção efetiva. Para a obtenção dos valores
críticos (valores mínimos) das forças axiais de flambagem elástica distorcional (Ndist), é
necessário o uso de recursos de análise com base na teoria da estabilidade elástica ou de
28
métodos computacionais que o façam, como o método computacional analisado neste
trabalho.
1- Barras submetidas à compressão centrada – Flambagem Distorcional
, para
, para
Onde:
2.3 REDES NEURAIS ARTIFICIAIS (RNA)
2.3.1 Conceito de Redes Neurais Artificiais
Uma Rede Neural Artificial (RNA) é um sistema de processamento de informação que
se assemelha a algumas características de uma rede neural biológica. As redes neurais
artificiais consistem em um método de solucionar problemas, construindo um sistema com
circuitos interligados que simulem o cérebro humano, ou seja, aprendendo, errando e se
ajustando de forma a solucionar problemas.
Segundo Haykin (2001): “Uma rede neural é um processador maciçamente
paralelamente distribuído constituído de unidades de processamento simples, que têm a
propensão natural para armazenar conhecimento experimental e torná-lo disponível para o
uso. Ela se assemelha ao cérebro em dois aspectos:
1. O conhecimento é adquirido pela rede a partir de seu ambiente através de um
processo de aprendizagem.
2. Forças de conexão entre neurônios, conhecidas como pesos sinápticos, são
utilizadas para armazenar o conhecimento adquirido.”
29
2.3.2 Modelos de Redes Neurais Artificiais
O primeiro modelo de redes neurais foi proposto por McCullock e Pitts (MCP) e
resultou em um modelo com n terminais ou sinais de entrada x1, x2,..., xm ,os quais
representam os dentritos, e apenas um terminal de saída y , o qual representa o axônio (Figura
2.9). Para simular o comportamento de sinapses, os terminais de entrada do neurônio têm
pesos acoplados w1, w2,..., wn, cujos valores podem ser positivos ou negativos, dependendo se
as sinapses são inibitórias ou excitatórias. (Braga, 2000)
Segundo Braga (2000), no modelo MCP, o neurônio recebe a soma dos valores xiwi e
decide se o neurônio deve ou não disparar, saída igual a 1 ou 0, comparando a soma ao
limiar(θ).
Figura 2.9 – Neurônio de McCulloch e Pitts. (BRAGA, 2000)
As redes do tipo MCP apresentam algumas limitações, dentre elas:
1. Redes MCP com apenas uma camada só conseguem programar funções
linearmente separáveis;
2. Pesos negativos são mais adequados para representar disparos inibidores;
3. O modelo foi proposto com pesos fixos, não-ajustáveis;
Para Haykin (2001), um neurônio é uma unidade de processamento de informação que
é fundamental para a operação de uma rede neural. A figura 2.10 mostra um modelo de um
30
neurônio, o qual é utilizado para o projeto de redes neurais (artificiais). Sendo identificados
três elementos básicos do modelo neural:
Figura 2.10 - Modelo não-linear de um neurônio. (HAYKIN, 2001).
1. Um conjunto de elos de conexão, conhecido como sinapses, onde cada uma é
caracterizada por um peso. Especificamente, um sinal de entrada xj na entrada
da sinapse j interligada ao neurônio k é multiplicado pelo peso sináptico wkj. É
necessário notar como são escritos os índices do peso sináptico wkj. Sendo o
primeiro referente ao neurônio em questão e o segundo ao terminal de entrada
da sinapse a qual o peso se refere. Os pesos sinápticos de um neurônio artificial
podem estar num intervalo que inclui valores tanto positivos como negativos.
2. Um somador para somar os sinais de entrada, ponderados pelas sinapses do
neurônio, sendo que esta característica representa um combinador linear.
3. Uma função de ativação para restringir a amplitude da saída de um neurônio.
Essa mesma função é chamada de função restritiva, pois limita o intervalo
permissível de amplitude de sinal de saída a um valor finito.
O modelo neural da Fig. 2.10 inclui também um bias aplicado externamente,
representado por bk.. Este bias tem a função de diminuir ou aumentar a entrada da função de
ativação, isso se ele é negativo ou positivo respectivamente. (HAYKIN, 2001)
Simplificando, pode–se descrever um neurônio k com o seguinte par de equações:
31
(B.1)
e
(B.2)
onde x1, x2, ..., xm são os sinais de entrada; wk1, wk2, ..., wkm são os pesos sinápticos do
neurônio k; uk é a saída do combinador linear devido aos sinais de entrada; bk é o bias; φ(.) é a
função de ativação; e o yk é o sinal de saída do neurônio.
2.3.3 Tipos de Função de Ativação
Existem alguns modelos de função de ativação representada por φ(.), os quais definem
a saída de um neurônio, não necessariamente zero ou um. As funções existentes são as
seguintes:
Função Linear: y = , onde é um número real que define a saída linear para
valores de entrada, y é a saída e x é a entrada (Figura 2.11);
Figura 2.11 – Função Linear (ARRUDA, 2007).
32
Função Degrau:
(Figura 2.12);
Figura 2.12 – Função Degrau (ARRUDA, 2007).
Função Tangente Hiperbólica: Assume valores entre 1 e -1, sendo representada
por
. (Figura 2.13);
Figura 2.13 – Função Tangente Hiperbólica (ARRUDA, 2007).
33
Rampa:
, onde os valores máximos e mínimos da saída
são +y e –y, respectivamente (Figura 2.14);
Figura 2.14 – Função Rampa (ARRUDA, 2007).
Função Sigmoidal: é uma função semilinear, limitada e monotônica. É possível
definir várias funções segmoidais. Uma das funções sigmoidais mais
importantes é
(Figura 2.15);
Figura 2.15 – Função Sigmoidal (ARRUDA, 2007).
2.3.4 Arquitetura
Para Braga (2000), a definição da arquitetura de uma RNA é um parâmetro importante
na sua concepção, uma vez que restringe o tipo de problema que pode ser tratado pela rede.
Redes com apenas uma camada de neurônio MCP, por exemplo, só resolve problemas
34
linearmente separáveis. Já redes recorrentes, resolvem problemas que envolvem
processamento temporal. Os seguintes parâmetros fazem parte da definição da arquitetura:
número de camadas, número de nodos por camada e tipo de conexão entre nodos.
Para Cybenko, apud Arruda (2007), o número de camadas intermediárias necessárias
para uma RNA é:
Uma camada intermediária: é suficiente para aproximar qualquer função
contínua;
Duas camadas intermediárias: são suficientes para aproximar qualquer função
matemática;
Segundo Braga (2000), o número mais apropriado de neurônios na camada
intermediária não se relaciona simples e diretamente como o número de camadas
intermediárias, e depende de alguns fatores, como:
Número de exemplos de treinamento;
Quantidade de ruído presente nos exemplos;
Complexidade da função a ser aprendida;
Distribuição estatística dos dados de treinamento;
De acordo com Braga (2000), os neurônios podem ter conexões de dois tipos:
1. Feedforward: a saída de um neurônio da camada jn não pode ser usada como
entrada de neurônios em camadas de índice menor ou igual a n.
2. Backforward: a saída d um neurônio da camada jn pode ser usada como entrada
de neurônios em qualquer camada.
2.3.5 Aprendizado
Redes neurais artificiais possuem a capacidade de aprender por exemplos e fazer
interpolações e extrapolações do que aprenderam. A utilização de uma RNA na solução de
uma tarefa começa por uma fase de aprendizagem, quando a rede extrai informações
relevantes de padrões de informação apresentados para ela, criando assim uma representação
própria para soluções do problema. Esta etapa de aprendizagem consiste em um processo
35
iterativo de ajustes de parâmetros da rede, os pesos das conexões entre as unidades de
processamento, que guardam, no final, o conhecimento adquirido do ambiente ao qual está
operando. Segundo Haykin (2001, p. 75):
“Aprendizagem é um processo pelo qual os parâmetros livres de uma rede neural são
adaptados através de um processo de estimulação pelo ambiente no qual a rede está inserida.
O tipo de aprendizagem é determinado pela maneira pela qual a modificação dos parâmetros
ocorre.”
O procedimento utilizado para realizar o processo de aprendizagem é chamado de
treinamento e possui a função de modificar os pesos sinápticos da rede de uma forma
ordenada para alcançar o objetivo desejado.
2.3.5.1 Aprendizado supervisionado
Para Braga (2000), este tipo de aprendizado é o mais comumente utilizado no
treinamento das RNAs, tanto de neurônios com pesos como de neurônios sem pesos. Assim é
chamado, pois a entrada e a saída desejadas para a rede são fornecidas por um supervisor
externo, com o objetivo de ajustar os parâmetros da rede, de forma a encontrar uma ligação
entre os pares de entrada e de saída fornecidos.
O aprendizado supervisionado pode ser implementado de duas formas: on-line e off-
line. No treinamento on-line a rede está em processo de adaptação contínuo conforme muda o
conjunto de treinamento. No aprendizado off-line o conjunto de treinamento não muda, e caso
seja alterado, um novo treinamento deve ser feito com todos os dados. (Braga, 2000)
2.3.5.2 Aprendizado não – supervisionado
Neste aprendizado, como o próprio nome já diz, não há um supervisor para
acompanhar o processo de aprendizagem. Existe uma semelhança do aprendizado
supervisionado com o aprendizado humano, porém muitos dos sistemas biológicos ocorrem
através de aprendizado não-supervisionado, como por exemplo, os estágios iniciais de visão e
36
audição. Para estes algoritmos, somente padrões de entrada estão disponíveis para a rede. A
partir do momento em que a rede estabelece então uma harmonia estatística entre os dados de
entrada, desenvolvendo a habilidade de formar representações internas para codificar
características particulares das entradas e grupos automaticamente. Este tipo de aprendizado
só é possível se houver redundância nos dados de entrada possibilitando o reconhecimento de
padrões.
2.3.6 Modelos de RNAs
2.3.6.1 Perceptron
Para Haykin (2001), o perceptron é a forma mais simples de uma rede neural usada
para a classificação de padrões ditos linearmente separáveis. Basicamente, ele consiste de um
único neurônio com pesos sinápticos ajustáveis e bias.
No aprendizado deseja-se obter o valor do incremento Δѡ a ser aplicado ao vetor ѡ de
forma que ѡ ѡ ѡ esteja mais próximo da solução. (Haykin, 2001)
No caso de nodo arbitrário da camada de saída (resposta) e seus vetores x’(entrada) e
pesos w’(peso), sua ativação é dada por , onde w’ . x’ é o produto escalar
entre w’ e x’. Deste modo, a condição crítica do nodo é w’.x’ = θ, o que é equivalente a se
adicionar um peso –θ associado com uma entrada xi = 1. A nova condição crítica passa a ser
w . x = 0, onde w = {-θ, w1, w2, ..., wn}T e x = {1, x1, x2, ..., xn}
T. (Haykin, 2001)
Considere agora {x,d} o par de treinamento, onde x é o vetor de entrada e d a saída
desejada. A saída atual é y, sendo o erro e = y – d. Para o caso do perceptron tem-se sempre
que y Є {0,1} e d Є {0,1}. (Haykin, 2001)
37
2.3.6.2 Adaline
O modelo do algoritmo de treinamento adaline, também denominado regra delta, é de
extrema importância na área de RNAs, uma vez que deu origem ao algoritmo back-
propagation que é um dos algoritmos mais utilizados para o perceptron de múltiplas camadas.
O modelo adaline possui saídas binárias bipolares (y Є [-1,+1]), e tem seus pesos adaptados
em função da sua saída linear (y = Σ wi.xi), antes da aplicação da função de ativação, como
mostra a figura abaixo.
Figura 2.16 – Nodo Adaline de Windrow e Hoff. (ARRUDA, 2007).
A atualização dos pesos pelo método do gradiente é semelhante ao perceptron, o
treinamento do nodo Adaline tenta minimizar o erro das saídas em ralação aos valores
desejados di pertencente ao conjunto
. A função a ser minimizada é a soma dos
erros quadráticos descrita na equação abaixo:
Para qualquer condição inicial w(0) = wi deseja-se obter o ajuste a ser aplicado nos
vetores de pesos de forma a direcionar a solução ótima. O ajuste no tempo t para a equação
citada acima pode ser obtida pelo gradiente da função de custo no ponto w(0). Sendo que o
ajuste deve ser obrigatoriamente feito em direção oposta ao vetor gradiente nesse ponto, ou
seja, . Logo os componentes do vetor gradiente podem ser definidos como:
38
Logo, para que se tenha o vetor de pesos ajustados em direção oposta ao vetor
gradiente, chega-se em:
onde é uma constante de proporcionalidade que define a rapidez com que o vetor de pesos é
modificado, conhecida também por taxa de aprendizado da rede.
Portanto, para que o ajuste dos pesos de um nodo do modelo Adaline, conhecido como
regra delta, é obtido por:
Vale salientar que as regras de aprendizado para o perceptron e para o nodo Adaline
são idênticas, porém foram obtidas para estruturas diferentes e para condições diferentes de
ajuste. A equação de ajuste do perceptron foi obtida para a saída do nodo logo após a
aplicação da função de ativação, já a equação de ajuste do Adaline foi obtida para a saída
linear do nodo.
2.3.7 Perceptron de Múltiplas Camadas (MLP)
Como já foi explicado anteriormente, as redes que possuem apenas uma camada
intermediária resolvem somente problemas linearmente separáveis. Para problemas não
linearmente separáveis só é possível através de redes com mais de uma camada intermediária.
Segundo Cybenko, apud Braga (2000), uma rede com uma camada intermediária pode
implementar qualquer função contínua. A utilização de duas camadas intermediárias
possibilita a aproximação de qualquer função. (Figura 2.17)
39
Figura 2.17 – Exemplo de MLP com duas camadas intermediárias.
Os perceptrons de múltiplas camadas têm sido aplicados com sucesso para resolver
inúmeros problemas difíceis, através do seu treinamento de forma supervisionada com o
algoritmo mais utilizado que é o algoritmo back-propagation. Esse algoritmo baseia-se na
regra de aprendizagem e erro.
Os algoritmos de treinamento podem ser classificados em:
Estáticos: não alteram a estrutura da rede, apenas variam os pesos, ou seja, as
saídas dependem somente das entradas;
Dinâmicos: podem tanto reduzir quanto aumentar o tamanho da rede, ou seja,
as saídas dependem das entradas e do valor assumido em algum instante;
A aprendizagem do algoritmo back-propagation ocorre em dois passos através das
diferentes camadas da rede: seria um passo para frente, a propagação, e um passo para trás, a
retropropagação. No primeiro passo, um padrão de atividade, vetor de entrada, é aplicado aos
nós sensoriais da rede e seu efeito se propaga camada por camada. Logo após, um conjunto de
saídas é produzido como resposta real da rede. No segundo passo, entretanto, os pesos
sinápticos são todos ajustados de acordo com a regra de correção de erro. Os ajustes dos pesos
são realizados utilizando-se o método do gradiente.
O algoritmo back-propagation é baseado na regra delta, descrita abaixo:
40
onde E representa a medida do erro total, p é o número de padrões, k é o número de
unidades de saída, di é a i-ésima saída desejada e yi é a i-ésima saída gerada pela rede.
3 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Neste trabalho optou-se por utilizar seções do tipo U enrijecido, tal qual ilustrado na
Figura 2.5. A opção pela adoção desse perfil foi motivada: (i) pelo mesmo apresentar o
fenômeno da flambagem distorcional; (ii) por ser um dos perfis de chapa dobrada a frio mais
utilizados e (iii) por ser um dos mais citados pelos autores que estudam a flambagem
distorcional, servindo para a aferição dos resultados obtidos.
Para este estudo, consideraram-se os perfis simplesmente apoiados nas extremidades e
com empenamento livre, que é a condição mais desfavorável em termos de tensão crítica de
flambagem e também um gradiente uniforme de tensões de compressão representando uma
compressão uniforme.
3.1 IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DE TREINAMENTO DA REDE
Para a identificação dos parâmetros necessários para a montagem da rede deve-se
buscar o menor número possível de variáveis que consigam representar bem o problema
estudado. Assim, como primeira abordagem, buscou-se trabalhar com relações entre os
parâmetros que exprimem a geometria da seção; isto é: bf /t, bw/t, D/bf. Em tese, essas 3
variáveis representariam plenamente o problema. Porém, a medida que um estudo preliminar
foi executado, descobriu-se que apenas estas variáveis não seriam suficientes. Assim, optou-
se por trabalhar com todas as quatro variáveis disponíveis; isto é, bw, bf, D e t. Cabe salientar
que uma menor quantidade de variáveis implica em uma equação mais compacta, não
mudando significativamente a qualidade dos valore obtidos.
41
3.2 GERAÇÃO DE DADOS E TREINAMENTO DA REDE
Os dados necessários ao treinamento da rede foram gerados utilizando-se o programa
Inslod (NAGAHAMA, 2003). Cabe salientar que apenas uma solução computacional permite
uma avaliação plena da estabilidade de um perfil de chapa dobrada, permitindo a correta
identificação dos distintos modos e as faixas de comprimentos onde há predominância dos
modos locais de placa, distorcional e modos globais (flexão e flexo-torção). Na Figura 3.1
pode ser observado um gráfico com um resultado típico de saída do programa Inslod. Como
mostra a figura, o MD ocorre para comprimentos intermediários, na transição entre o MLP e
MG.
Figura 3.1 – Curva tensão de flambagem x comprimento considerado apenas o
primeiro harmônico.
Os limites estabelecidos para as seções encontram-se na tabela 3.1.
42
Tabela 3.1 – Limites utilizados para a geração das seções.
Valor mínimo Valor máximo Incremento
bw 100 300 50
bf 50 150 10
D 10 30 5
t 1 5 1
A varredura para identificação dos modos de flambagem foi feita variando-se o
comprimento do perfil de 50 mm a 2000 mm com incrementos de 50 mm, com o módulo de
elasticidade igual a 200 GPa. Ao todo, foram geradas 1375 seções, as quais foram simuladas
através do Inslod para a obtenção dos valores das tensões críticas. No conjunto dos dados
analisados, verificaram-se perfis que, ao longo dos comprimentos analisados, apresentam
variação nos modos de flambagem em função das relações entre os entes geométricos que
definem as seções, como pode ser visto na Figura 3.2.
Figura 3.2 – (a) modo local de placa, (b) do modo distorcional e (c) modo
acoplado.(Nagahama, 2003)
43
De modo geral, segundo Nagahama (2003), em perfis do tipo U enrijecido, verifica-se
a tendência ao aparecimento do modo distorcional para os flanges maiores e menores
rigidezes rotacionais na junção alma/flange. Já para os enrijecedores maiores, têm-se uma
tendência de surgimento do modo local de placa. Como esta pesquisa ainda se encontra em
fase preliminar, foram retirados aqueles perfis que não apresentavam modos distorcionais ou
nos quais o modo distorcional aparecia acoplado ao modo local de placa. Desta forma, o
conjunto dos dados válidos apresentou um total de 116 seções.
A natureza do problema a ser resolvido normalmente define restrições em relação aos
tipos de RNA e algoritmos de aprendizagem possíveis. Neste trabalho, a rede neural é gerada
no programa MATLAB e treinada com o algoritmo de aprendizagem Levenberg-Marquardt
(Hagan e Menhaj, 1994). Em seu treinamento foi utilizada a totalidade dos dados simulados.
Em tempo, este trabalho intenciona apenas o ajuste das tensões das seções simuladas,
explorando a possibilidade de utilização das RNA na modelagem deste tipo de problema. A
quantidade de camadas e o número de neurônios por camadas foram definidos através de
tentativa e erro.
Para cada uma das topologias de rede testadas, foram avaliadas as funções sigmóide e
tangente hiperbólica para representação das energias de ativação dos neurônios. De maneira
geral, observou-se que a tangente hiperbólica permite melhores ajustes para a rede.
3.3 DEFINIÇÃO E AVERIGUAÇÃO DA EQUAÇÃO OBTIDA
O objetivo é a obtenção da equação mais simples possível; isto é, menor número de
camadas e de neurônio por camadas. Dentre os casos testados, não foi possível a obtenção de
um ajuste viável com um único neurônio, nem para dois neurônios na camada intermediária.
As correlações encontradas para os ajustes realizados com três e quatro neurônios são
apresentados na Tabela 3.2.
44
Tabela 3.2 – Coeficientes de correlações obtidos para os melhores ajustes.
Neurônios na camada
intermediária R²
3 0,958
4 0,960
Neste contexto, a melhor solução foi a rede com três neurônios na primeira camada
cujo ajuste é mostrado na figura 3.3.
Figura 3.3 – Ajuste obtido pela rede escolhida.
A rede ideal tem uma camada intermediária com três neurônios, e foi escolhida pelo
simples motivo de que com três neurônios na camada oculta a equação obtida ficaria mais
simples que a rede feita com quatro neurônios intermediários e uma vez que seus coeficientes
de correlação não diferem um valor significante.
A camada de entrada possui quatro neurônios que representam as variáveis do
problema (bw, bf, D e t), enquanto a camada de saída possui apenas um neurônio
correspondente à tensão crítica de flambagem do modo distorcional (Figura 3.4).
45
Figura 3.4 – Ilustração da rede utilizada.
Após a realização dos ajustes, tornou-se possível a obtenção dos pesos e biases de
cada neurônio. Assim a equação representativa do problema pôde ser montada:
(C.1)
onde:
Na tabela 3.3, apresenta-se a distribuição dos erros obtidos com a equação de ajuste.
Nota-se que apesar do ajuste com bom índice de correlação, existem 7 estimativas com erros
entre 20% e 30%. A maior parte dos erros, no entanto, foi inferior a 5%.
46
Tabela 3.3 – Distribuição dos erros na estimativa das tensões para os perfis simulados.
Faixa de Erro
(%)
Número de Amostras Amostras (%)
0 - 5 54 46,55
5 - 10 29 25,00
10 - 15 16 13,79
15 - 20 10 8,62
20 - 25 6 5,17
25 - 30 1 0,86
-Total- 116 100,00
Os resultados sugerem que há necessidade de se buscar um ajuste ainda mais preciso.
Talvez seja necessária a inclusão de novos parâmetros de entrada para o treinamento da rede e
a averiguação de novas topologias. Estudos preliminares sugerem que equações simplificadas
não serão capazes de representar o problema com erros inferiores aos obtidos neste trabalho.
Deve-se destacar ainda que o conjunto de dados utilizados neste trabalho não levou em
consideração o acoplamento dos modos distorcional e local de placa, restringindo-se a uma
faixa de seções. A rede treinada por PALA (2006) para a predição das tensões de flambagem
distorcional obteve índice de correlação melhor que o alcançado neste trabalho, entretanto o
erro máximo foi de 43%. Posteriormente, PALA (2008) apresentou uma nova formulação
baseada na Programação Genética na qual obteve erro máximo de 38%. Deve-se destacar que
o valor inferior para o erro máximo alcançado neste trabalho se deve ao fato da rede não ter
caráter preditivo, mas sim de ajuste, porque todos os dados foram utilizados no treinamento
da mesma.
Na Tabela 3.4 é possível a comparação entre todos os resultados simulados e os
obtidos a partir da equação ajustada.
Tabela 3.4 – Comparação entre os dados gerados e ajustados.
bw (mm) bf (mm) l(mm) t (mm) Inslod(MPa) Ajustado(Mpa) Erro(%)
100 80 10 1 88,993 99,07 11,32
100 80 10 2 202,103 191,23 5,38
100 80 10 4 508,805 510,37 0,31
100 90 10 2 166,239 150,93 9,21
100 100 10 1 61,180 72,70 18,83
100 100 10 2 138,601 130,06 6,16
100 100 15 2 613,015 613,30 0,05
100 100 15 3 825,784 824,82 0,12
47
Tabela 3.4 – continuação da página anterior.
bw (mm) bf (mm) l(mm) t (mm) Inslod(MPa) Ajustado(Mpa) Erro(%)
100 110 10 1 51,667 64,88 25,57
150 80 10 1 68,766 80,74 17,42
150 80 10 2 160,826 163,16 1,45
150 80 10 3 278,802 276,58 0,80
150 90 10 1 59,127 66,27 12,08
150 90 10 2 137,575 130,58 5,09
150 100 10 1 50,731 58,87 16,04
150 100 10 2 117,625 110,58 5,99
150 110 10 1 43,666 52,13 19,37
150 110 10 2 101,012 100,50 0,51
150 110 15 1 64,968 71,72 10,39
150 110 15 2 142,055 144,49 1,71
150 110 15 3 236,043 235,71 0,14
150 120 10 1 37,793 45,96 21,61
150 120 10 2 87,302 90,93 4,15
150 120 15 1 56,754 60,99 7,46
150 120 15 2 123,915 123,12 0,64
150 120 15 3 202,114 189,63 6,18
150 130 10 1 32,921 40,34 22,55
150 130 15 1 49,837 54,04 8,43
150 130 15 2 108,699 103,40 4,87
150 130 15 3 177,163 177,76 0,34
150 140 10 1 28,863 35,25 22,14
150 140 15 1 44,003 47,71 8,41
150 140 15 2 95,905 93,67 2,33
150 140 15 3 156,248 156,90 0,42
150 140 20 1 61,600 64,76 5,14
150 150 10 1 25,467 30,66 20,38
150 150 15 1 39,066 41,93 7,33
150 150 15 2 85,103 84,48 0,73
150 150 20 1 52,433 56,02 6,84
150 150 20 2 111,312 115,79 4,02
150 150 20 3 176,941 181,32 2,48
200 90 10 1 44,531 53,31 19,72
200 90 10 2 106,820 107,50 0,64
200 100 10 1 40,329 46,99 16,51
48
Tabela 3.4 – continuação da página anterior.
bw (mm) bf (mm) l(mm) t (mm) Inslod(MPa) Ajustado(Mpa) Erro(%) 200 100 10 2 96,051 92,55 3,64
200 100 10 3 168,563 164,93 2,15
200 110 10 1 36,031 41,28 14,57
200 110 10 2 85,371 83,42 2,29
200 110 15 1 53,707 57,60 7,25
200 120 10 1 32,014 36,10 12,76
200 120 10 2 75,563 74,86 0,93
200 120 15 1 47,842 48,79 1,99
200 120 15 2 105,956 104,80 1,09
200 120 15 3 174,939 168,60 3,63
200 120 15 4 255,356 234,67 8,10
200 130 10 1 28,415 31,42 10,58
200 130 10 2 66,891 66,89 0,01
200 130 15 1 42,78 42,89 0,27
200 130 15 2 94,541 86,04 9,00
200 130 15 3 155,823 156,87 0,67
200 140 10 1 25,262 27,21 7,71
200 140 10 2 59,352 59,50 0,26
200 140 15 1 38,289 37,56 1,9
200 140 15 2 84,478 77,30 8,49
200 140 15 3 139,062 136,22 2,04
200 150 10 1 22,523 23,43 4,03
200 150 10 2 52,853 52,71 0,27
200 150 15 1 34,349 32,74 4,68
200 150 15 2 75,685 69,16 8,62
200 150 15 3 124,471 125,22 0,60
200 150 20 2 98,502 98,13 0,38
200 150 20 3 157,739 160,35 1,66
200 150 20 4 224,004 226,87 1,28
250 110 10 1 28,020 32,20 14,91
250 110 10 2 68,250 68,23 0,04
250 120 10 1 25,986 27,91 7,40
250 120 10 2 62,872 60,74 3,39
250 120 15 1 38,804 38,47 0,86
250 120 15 2 87,327 87,94 0,70
250 120 15 3 146,175 147,78 1,10
49
Tabela 3.4 – continuação da página anterior.
bw (mm) bf (mm) l(mm) t (mm) Inslod(MPa) Ajustado(Mpa) Erro(%) 250 120 15 4 219,238 215,23 1,83
250 130 10 1 23,807 24,06 1,05
250 130 10 2 57,309 53,85 6,04
250 130 15 1 35,741 33,54 6,15
250 130 15 2 80,151 70,53 12,00
250 130 15 3 133,766 136,49 2,04
250 130 15 4 197,086 203,45 3,23
250 140 10 1 21,669 20,61 4,88
250 140 10 2 51,960 47,53 8,52
250 140 15 1 32,711 29,12 10,99
250 140 15 2 73,153 62,87 14,06
250 140 15 3 121,806 116,37 4,46
250 140 15 4 179,106 192,19 7,31
250 150 10 1 19,668 17,54 10,84
250 150 10 2 47,022 41,77 11,16
250 150 15 1 29,850 25,14 15,77
250 150 15 2 66,598 55,80 16,21
250 150 15 3 110,691 106,05 4,19
250 150 15 4 162,542 171,40 5,45
250 150 20 2 86,315 82,30 4,65
250 150 20 3 139,329 139,81 0,35
250 150 20 4 202,376 207,08 2,32
300 120 15 2 68,198 67,90 0,43
300 130 15 2 65,095 56,99 12,45
300 130 15 3 110,178 117,20 6,37
300 130 15 4 164,324 182,77 11,23
300 140 10 1 17,897 15,25 14,79
300 140 15 2 61,258 50,41 17,72
300 140 15 3 103,313 97,86 5,27
300 140 15 4 153,604 171,30 11,52
300 150 10 2 40,729 32,61 19,94
300 150 15 2 57,124 44,39 22,29
300 150 15 3 96,062 88,43 7,94
300 150 15 4 142,474 150,48 5,62
300 150 20 1 33,866 26,95 20,43
300 150 20 2 74,297 68,43 7,90
50
4 ESTUDO DE SENSIBILIDADE DIANTE DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS
DOS PERFIS
Nesta parte do trabalho o objetivo é propor os efeitos dos principais parâmetros
geométricos sobre a tensão de flambagem distorcional. Da mesma forma que foi utilizada na
obtenção da formulação, os dados utilizados neste estudo, foram obtidos através do programa
Inslod (NAGAHAMA, 2003). Porém desta vez, os resultados são apresentados de forma
gráfica, mostrando a influência de cada parâmetro geométrico (como mostra a figura 2.5): bw;
bf; D e t, no valor da tensão distorcional, entretanto os parâmetros geométricos utilizados são
mostrados em forma de relações geométricas como: bf/bw; D/bw; bw/t; bf/D; e D/t, desta
forma os valores obtidos podem ser generalizado para perfis que possuem as mesmas
relações.
Os resultados aqui obtidos mostrados possuem a relação Tensão de Flambagem
Distorcional (σdist) x Parâmetro Geométrico.
4.1 CORRELAÇÃO ENTRE A TENSÃO DISTORCIONAL E ALTURA DA SEÇÃO
Os valores da tensão distorcional com relação à altura da seção são mostrados nas
figuras 4.1 e 4.2. Pode-se notar que com o aumento da altura da seção (bw), há uma redução
no valor da tensão. Nota-se também que o valor máximo da tensão distorcional é quando o
valor da altura da seção é mínimo.
É possível perceber em ambas as figuras (4.1 e 42) que, a partir de uma altura da seção
com valor aproximadamente de 150 mm, todas as curvas começam a convergir para um valor
constante.
Existe uma diferença de valores obtidos para todas as curvas, isto é devido a que, a
partir deste ponto, não foi possível a obtenção dos valores da tensão distorcional, ou seja, o
Inslod nos mostrou que, a partir deste ponto, esses perfis analisados não sofrem com a
flambagem distorcional somente, e sim com a flambagem local, flambagem global e a
interação entre eles.
51
Analisando as relações de ambos os gráficos, percebe-se que quanto menor for a
relação D/t, maiores serão os valores da tensão distorcional.
Figura 4.1 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Altura da Seção para D/t=5,0
Figura 4.2 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Altura da Seção para D/t=10.
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
2.000
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
Ten
são
Dit
orc
ion
al (
MP
a)
Altura da Seção (mm)
D/t = 5,0
bf/D=4,7
bf/D=4,0
bf/D=3,3
bf/D=2,7
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Altura da Seção (mm)
D/t = 10
bf/D=4,7
bf/D=4,0
bf/D=3,3
bf/D=2,7
52
4.2 CORRELAÇÃO ENTRE A TENSÃO DISTORCIONAL E A LARGURA DO
FLANGE
Esta relação nos mostra que, se o valor da largura do flange é grande, o valor da tensão
é baixa, ou seja, quanto menor o valor da largura do flange maior será o valor da tensão
distorcional. Esta relação é mostrada nas figuras 4.3 e 4.4.
É possível também notar que, para todas as quatro curvas do gráfico, o valor da tensão
diminui de forma proporcional para todas. Assim como quanto maior o valor da relação bw/t,
menor será o valor da tensão distorcional, e, de forma oposta, quanto maior o valor da relação
D/bw, maior será o valor da tensão distorcional.
Figura 4.3 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Flange
para bw/t = 67.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
40 60 80 100 120 140 160 180 200
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Largura do Flange (mm)
bw/t = 67
D/bw=0,20
D/bw=0,15
D/bw=0,10
D/bw=0,05
53
Figura 4.4 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Flange
para bw/t = 40.
4.3 CORRELAÇÃO ENTRE A TENSÃO DISTORCIONAL E A LARGURA DO
ENRIJECEDOR
As figuras 4.5-4.7 mostram uma tendência de aumento da tensão distorcional à medida
que se aumenta o valor da largura do enrijecedor. Porém os gráficos das figuras nos mostram
também que, a partir de um determinado valor da largura do enrijecedor, existe uma tendência
à redução do valor da tensão, entre 30 a 35 mm. Isso quer dizer que, quando o enrijecedor
estiver nesse intervalo, será obtido o valor máximo da tensão.
Para as relações mostradas nos gráficos tem-se que, quanto menor o valor da relação
bf/bw , maior serão os valores da tensão, porém menor será o valor máximo da tensão, uma
vez que ele atinge esse valor antes das demais curvas. Já para a relação bw/t , é notório que
quanto maior essa relação, menores serão os valores da tensão de flambagem distorcional.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
40 60 80 100 120 140 160 180 200
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Largura do Flange (mm)
bw/t = 40
D/bw=0,20
D/bw=0,15
D/bw=0,10
D/bw=0,05
54
Figura 4.5 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do
Enrijecedor para bw/t = 100.
Figura 4.6 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Enrijecedor para
bw/t = 60.
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Enrijecedor (mm)
bw/t = 100
bf/bw=0,47
bf/bw=0,40
bf/bw=0,33
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Enrijecedor (mm)
bw/t = 60
bf/bw=0,47
bf/bw=0,40
bf/bw=0,33
55
Figura 4.7 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Largura do Enrijecedor para
bw/t = 43.
4.4 CORRELAÇÃO ENTRE A TENSÃO DISTORCIONAL E A ESPESSURA
A correlação entre a tensão distorcional e a espessura é analisada nas figuras 4.8 e 4.9.
A tensão aumenta quando se aumenta o valor da espessura.
Em comparação com as relações geométricas, percebe-se que quanto maior a relação
bf/bw, menores serão os valores da tensão distorcional, sendo que todas as curvas possuem as
mesmas proporções de acréscimo de tensão. Isso de dá ao fato de que quanto maior a
espessura, menos esbelto será o perfil, sendo assim será necessária uma maior força para que
a tensão de flambagem distorcional seja atingida.
Já o efeito da relação D/bw nos diz que quanto maior esse valor, maiores serão os
valores da tensão distorcional.
200
300
400
500
600
700
800
0 10 20 30 40 50
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Comprimento do Enrijecedor (mm)
bw/t = 43
bf/bw=0,47
bf/bw=0,40
bf/bw=0,33
56
Figura 4.8 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Espessura para D/bw=0,1.
Figura 4.9 – Relação entre Tensão de Flambagem Distorcional e Espessura para D/bw=0,2.
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
2.000
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Espessura (mm)
D/bw=0,1
bf/bw = 0,40
bf/bw = 0,50
bf/bw = 0,60
bf/bw = 0,70
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
2.000
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Ten
são
Dis
torc
ion
al (
MP
a)
Espessura (mm)
D/bw=0,2
bf/bw=0,40
bf/bw=0,50
bf/bw=0,60
bf/bw=0,70
57
5 CONCLUSÃO
Este trabalho apresentou uma metodologia para a obtenção de uma equação ajustada
com o intuito à predição da tensão crítica de flambagem do modo distorcional de perfis U
enrijecidos submetidos à compressão uniforme com condições de apoio que simulam
articulações e empenamento livre.
Através das RNA, é possível a obtenção de uma expressão para predição das cargas
críticas de flambagem distorcional, tornando mais ágil o processo de dimensionamento de
perfis de chapas dobradas de paredes finas. Com base nos resultados apresentados, pode-se
afirmar que, qualitativamente, a rede obteve um bom desempenho, pois o objetivo principal
não é encontrar uma rede ajustada à predição de cargas críticas, mas formular uma equação
viável à predição. Isso implica em redes muito simples e com poucos neurônios. Nesse
sentido, há que se melhorar a modelagem do problema para a obtenção de resultados que
tenham ampla utilização, porém já é provado que, com RNA, é possível a obtenção dos
valores da tensão de flambagem distorcional. Percebe-se que a equação encontrada é
satisfatória para representar o conjunto dos dados testados, diante da complexidade do
problema.
O estudo dos efeitos paramétricos dos perfis U enrijecidos é feito por intermédio do
programa Inslod. Este estudo demonstra como cada fator geométrico - altura da seção, largura
do flange, largura do enrijecedor e espessura - influencia no valor da tensão de flambagem
distorcional, sendo este método também uma forma de predizer os valores das tensões em
determinados perfis.
Os resultados validam a RNA, provando que esta é uma ferramenta promissora para a
análise deste fenômeno em perfis de chapa dobrada a frio.
58
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