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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

LUIS FILIPE DO VALE LIMA

Resposta Dinâmica de Placas Interagindo

com Solo e Estaca

CAMPINAS

2017

LUIS FILIPE DO VALE LIMA


Com Solo e Estaca

Orientador: Prof. Dr. Euclides de Mesquita Neto

CAMPINAS

2017

Dissertação de Mestrado apresentada à

Faculdade de Engenharia Mecânica da

Universidade Estadual de Campinas como parte dos

requisitos exigidos para obtenção do título de

Mestre em Engenharia Mecânica, na Área de

Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico.

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO

FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO

ALUNO LUIS FILIPE DO VALE LIMA, E

ORIENTADA PELO PROF. DR EUCLIDES DE

MESQUITA NETO.

......................................................................

ASSINATURA DO(A) ORIENTADOR(A)

.......................................................................

ASSINATURA DO(A)

ORIENTADOR(A)

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 132719/2015-0

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaLuciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Lima, Luis Filipe do Vale, 1991- L628r LimResposta dinâmica de placas interagindo com solo e estaca / Luis Filipe do

Vale Lima. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

LimOrientador: Euclides de Mesquita de Neto. LimDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Mecânica.

Lim1. Interação solo-estrutura. 2. Dinâmica do solo. 3. Fundações

(Engenharia). 4. Estaca (Engenharia civil). I. Mesquita Neto, Euclides de,1956-.II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica.III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Dynamic response of plates interacting with soil and stakePalavras-chave em inglês:Soil-structure interactionSoil dynamicsFoundations (Engineering)Stake (Civil Engineering)Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto MecânicoTitulação: Mestre em Engenharia MecânicaBanca examinadora:Euclides de Mesquita NetoPablo Siqueira MeirellesDavid de CarvalhoData de defesa: 23-02-2017Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO


com Solo e Estaca

Autor: Luis Filipe do Vale Lima

Orientador: Euclides de Mesquita Neto

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

________________________________

Prof. Dr. Euclides de Mesquita Neto, Presidente

DMC/FEM/UNICAMP

________________________________

Prof. Dr. Pablo Siqueira Meirelles

DMC/FEM/UNICAMP

________________________________

Prof. Dr. David de Carvalho

FEAGRI/UNICAMP

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo

de vida acadêmica do aluno.

Campinas, 23 de fevereiro de 2017.

Dedicatória

Dedico esse trabalho aos meus pais, pelo suporte incondicional que sempre me

ofereceram. E a todos que contribuíram para minha formação pessoal e acadêmica.

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a Deus pelo dom da vida, pelas oportunidades e por tudo que

tenho na minha vida.

A minha família, especialmente a minha mãe e ao pai (in memoriam), pelo amor e apoio

incondicional que recebi em todos os momentos da minha vida e por abrir mão de várias coisas

para investir na minha formação.

Aos professores, funcionários e companheiros de jornada na pós-graduação de

Engenharia Mecânica da Unicamp. Em especial ao professor Euclides de Mesquita Neto pela

oportunidade, orientação e dedicação dada a mim ao longo de toda essa jornada.

Aos companheiros de laboratório, em especial ao Josue Labaki e Daniela Damasceno pelo

suporte e colaboração.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio

financeiro.

Finalmente, a todos aqueles que contribuíram, de forma direta ou indireta, para a

realização desse trabalho.

“A verdadeira motivação vem de realização, desenvolvimento

pessoal, satisfação no trabalho e reconhecimento. ”

Frederick Herzberg

Resumo

Esse trabalho investiga a resposta vertical estacionária e transiente de uma fundação

circular rígida interagindo com a superfície do solo e também suportado por uma estaca inserida

em um solo tridimensional e transversalmente isotrópico. A fundação interage com o solo

através de dois mecanismos. No primeiro caso, a fundação superficial é suportada pelo solo

através da interface solo-fundação. No segundo caso, um bloco está apoiado em uma estaca

flexível, sendo que nesse caso não há tensão na interface solo-bloco. Esse trabalho estuda a

mudança na resposta dinâmica de blocos rígidos quando o mecanismo de suporte passa da

fundação superficial para o bloco suportado pela estaca. O estudo é baseado em dois problemas

resolvidos previamente; a interação de uma fundação superficial rígida com um solo

transversalmente isotrópico (Labaki, Mesquita e Rajapakse, 2014) e a resposta de uma estaca

flexível inserida em um solo transversalmente isotrópico (Labaki, Mesquita e Rajapakse, 2015).

Os dois problemas são complexos e as suas soluções são obtidas numericamente. A fonte de

excitação atuando sobre as estruturas sendo analisadas, pode ser uma excitação externa ou uma

onda incidente. O trabalho também apresenta a resposta dinâmica do bloco no regime

transiente, obtida através da resposta estacionaria e do algoritmo da transformada inversa de

Fourier (IFFT). Os resultados numéricos apresentados nesse trabalho investigam o papel da

massa do bloco, da massa e geometria da estaca bem como da rigidez relativa entre a estaca e

o solo. Os resultados numéricos são expressos em termo do deslocamento vertical do bloco em

função dos diversos parâmetros estudados.

Palavras-chave: Interação Dinâmica Solo-Estrutura, Dinâmica de Fundações, Dinâmica de

Estacas, Dinâmica de Solos, Funções de Green.

Abstract

This work investigates the vertical stationary and transient response of a rigid circular

foundation interacting with the soil surface and also supported by a pile inserted in a three-

dimensional and transversely isotropic soil. The foundation interacts with the soil through two

mechanisms. In the first case, the surface foundation is supported by the soil through the soil-

foundation interface. In the second case, a block is supported by a flexible pile, in which case

there are no stresses at the soil-block interface. This work studies the change in the dynamic

response of rigid blocks when the support mechanism passes from the surface foundation to the

block supported by the pile. The study is based on two previously solved problems; interaction

of a rigid foundation with a transversely isotropic soil (Labaki, Mesquita and Rajapakse, 2014)

and the response of a flexible pile embedded in the transversely isotropic soil (Labaki, Mesquita

and Rajapakse, 2015). The two problems are complex and their solutions are obtained

numerically. The source of excitation acting on the structures being analyzed may be an external

excitation or an incident wave. The work also presents the dynamic response of the block in the

transient regime, obtained through the stationary response and the Fourier transform algorithm

(IFFT). The numerical results presented in this paper investigate the role of block mass, mass

and geometry of the pile as well as relative stiffness between pile and soil. The numerical results

are expressed in term of the vertical displacement of the block in function of the studied

parameters.

Keywords: Dynamic Soil-structure Interaction, Foundations Dynamics, Pile Dynamics, Soil

Dynamics, Green’s Function.

Lista de figuras

Figura 1.1.a) Área de dissipação do bloco submetido a uma força externa para as configurações

em estudo. b) Área de contato do bloco submetido a uma onda incidente para as configurações

em estudo.. ............................................................................................................................... 27

Figura 2.1 (a) Bloco interagindo com o solo e a estaca e (b) equilíbrio de forças.. ................ 30

Figura 2.2. (a)Bloco interagindo com o solo e (b) forças de equilíbrio.. ................................ 32

Figura 2.3. Resposta de um bloco rígido interagindo com o solo ........................................... 33

Figura 2.4. (a) Bloco interagindo com a estaca e (b) forças de equilíbrio............................... 35

Figura 2.5. Resposta de uma estaca submetida a uma força externa ....................................... 36

Figura 2.6. Deslocamento do bloco para B=0, suportado somente pelo solo. ........................ 40

Figura 2.7. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pelo solo.. ..................... 41

Figura 2.8. Deslocamento do bloco para B=0 (E’=10 e 50), suportado somente pela estaca. 42

Figura 2.9. Deslocamento do bloco para B=0 (E’=100 e 150), suportado somente pela estaca.

................................................................................................................................................. 43

Figura 2.10. Comparação do deslocamento do bloco para B=0 e B=50 (E’=10 e 50), suportado

somente pela estaca.. ............................................................................................................... 44


................................................................................................................................................. 45

Figura 2.12. Parte real, imaginária e absoluta do deslocamento do bloco (E´=10 e 50) para B=0

................................................................................................................................................. 47

Figura 2.13. Parte real, imaginária e absoluta do deslocamento do bloco (E´=100 e 150) para

B=0 .......................................................................................................................................... 48


................................................................................................................................................. 49

Figura 2.15. Parte real, imaginária e absoluta do deslocamento do bloco (E´=100 e 150) para

B=50 ........................................................................................................................................ 50

Figura 2.16. Influência da razão do modulo de elasticidade E’ no deslocamento do bloco .... 51

Figura 2.17. Influência da razão do módulo de elasticidade na frequência de ressonância do

sistema .................................................................................................................................. 52

Figura 3.1 (a) Bloco interagindo com o solo (b) bloco interagindo com a estaca. .................. 54

Figura 3.2. Campo incidente atingindo uma superfície livre .................................................. 55

Figura 3.3. (a) Bloco interagindo com o solo e (b) forças de equilíbrio.. ............................... 56

Figura 3.4. (a) Bloco interagindo com a estaca e (b) forças de equilíbrio............................... 58

Figura 3.5. Campo incidente atingindo uma superfície livre .................................................. 59

Figura 3.6. Deslocamento do bloco para B=0, suportado somente pelo solo ......................... 61

Figura 3.7. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pelo solo ....................... 62

Figura 3.8. Comparação das respostas do bloco submetido a uma onda incidente e a uma força

externa, suportado somente pelo solo ...................................................................................... 63

Figura 3.9. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pela estaca (E’=10) ...... 64

Figura 3.10. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pela estaca (E’=50) .... 65

Figura 3.11. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pela estaca (E’=100) .. 66

Figura 3.12. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pela estaca (E’=150) .. 67

Figura 3.13. Comparação das respostas do bloco submetido a uma onde incidente e a uma força

externa ..................................................................................................................................... 68

Figura 3.14. Comparação da resposta do bloco para diferentes E’ ......................................... 69

Figura 4.1. Sistema massa-mola-amortecedor com 1 grau de liberdade ................................. 72

Figura 4.2 (a) Resposta em escala linear (b) resposta em escala semilogarítmica.. ................ 74

Figura 4.3 (a) Erro relativo em escala linear (b) erro percentual em escala semilogarítmica.74

Figura 4.4 (a) Erro percentual absoluto para n=10 (b) Erro percentual absoluto para n=20 ... 75

Figura 4.5 (a) Erro percentual absoluto para n=30 (b) Erro percentual absoluto para n=40. .. 76

Figura 4.6 (a) Erro percentual absoluto para n=50 (b) Erro percentual absoluto para n=100. 76

Figura 4.7. Comparação entre os erros absoluto percentual para os diferentes “n” ................ 77

Figura 4.8. Exemplificação da estratégia utilizada .................................................................. 78

Figura 4.9 (a) Suavização da curva até o valor 0 (b) curva final com adição dos zeros ......... 79

Figura 4.10(a) Comparação das respostas obtidas (b) Zoom da figura 5.10a ......................... 79

Figura 4.11 Erro relativo ......................................................................................................... 80

Figura 4.12 (a) Deslocamento da fundação interagindo com o solo ....................................... 81

Figura 4.13 (a) Deslocamento da fundação interagindo com a estaca (E’=10) ...................... 81

Figura 4.14 (a) Deslocamento da fundação interagindo com a estaca (E’=50) ...................... 82

Figura 4.15 (a) Deslocamento da fundação interagindo com a estaca (E’=100) .................... 82

Figura 4.16 (a) Deslocamento da fundação interagindo com a estaca (E’=150) .................... 83

Figura 4.17 Comparação do deslocamento da fundação submetida a uma força externa ....... 83

Figura 4.18 (a) Deslocamento da fundação interagindo com o solo e a estaca (E’=10) ........ 84

Figura 4.19 (a) Deslocamento da fundação interagindo com o solo e a estaca (E’=50) ........ 84

Figura 4.20 (a) Deslocamento da fundação interagindo com o solo e a estaca (E’=100) ...... 85

Figura 4.21 (a) Deslocamento da fundação interagindo com o solo e a estaca (E’=150) ...... 85

Figura 4.22 (a) Deslocamento da fundação interagindo com o solo ou com a estaca ............. 86

Figura A.1- Comparação da resposta do bloco suportado somente pelo solo ou pela estaca

submetido a uma excitação externa, a estaca tem as mesmas propriedades do solo ............... 95

Figura A.2- Comparação da resposta do bloco suportado somente pelo solo ou pela estaca

submetido a uma onda incidente, a estaca tem as mesmas propriedades do solo ................... 96

Figura B.1- Comparação da resposta do bloco suportado somente pela estaca submetido a uma

excitação externa, sendo que a estaca tem diferentes relações entre a altura e o raio da estaca

(H/a) ........................................................................................................................................ 97

Figura C.1 - Resposta do bloco suportado pela estaca submetido a uma excitação externa, com

densidade da estaca variável e E’=10 ...................................................................................... 98


densidade da estaca variável e E’=50 .................................................................................. .....99


densidade da estaca variável e E’=100 ................................................................................ .....99

Figura D.1 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetido a uma excitação

externa, com B=0.. ............................................................................................................... ...101

Figura D.2 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetido a uma excitação

externa, com B=50.. ............................................................................................................. ...102

Figura E.1 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetido a uma excitação externa,

com diferentes suavizações. ................................................................................................ ...103

Figura E.2 – Zoom da figura E.1 ......................................................................................... ...104

Figura E.3 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetida a uma excitação externa,

com diferentes suavizações, no domínio transiente............................................................. ...104

Figura E.4- Resposta do bloco suportado somente pela estaca submetida a uma excitação

externa, com diferentes suavizações. ................................................................................... ...105

Figura E.5 – Zoom da figura E.4 ......................................................................................... ...106

Figura E.6 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetida a uma excitação externa,

com diferentes suavizações, no domínio transiente............................................................. ...106

Figura F.1 Deslocamento da fundação para respostas calculadas com diferentes a0 .......... ...108

Figura F.2 Zoom da figura F.1 ............................................................................................ ...109

Lista de tabelas

Tabela 4.1- Propiedades do Sistema .............................................................................. 73



Lista de abreviaturas e siglas

Abreviações

FEM – Método dos Elementos Finitos

FFT- Transformada Rápida de Fourier

IFFT – Transformada Rápida de Fourier Inversa

FFT- Transformada Rápida de Fourier

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Subscritos

f – Fundação

hs – Solo

p – Estaca

s - Scatter

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Letras Latinas

a0 – Frequência adimensional

B – Razão de massa

c – Amortecimento [kg/s]

cf – Fator de correção

E’- Relação do módulo de elasticidade

Ehs – Módulo de Elasticidade do Solo [Pa]

Ep – Módulo de Elasticidade da Estaca [Pa]

Fext – Força externa [N]

Fhs – Força do solo [N]

Fi – Força incidente [N]

Fp – Força da estaca [N]

Frea – Força de reação [N]

k – Rigidez [N/m]

m – Massa [kg]

mf – Massa da fundação [kg]

mhs – Massa do solo [kg]

Szzhs – Matriz de Flexibilidade do solo

Szzp – Matriz de Flexibilidade da estaca

t – tempo [s]

Uf – Deslocamento da fundação [m]

Uhs – Deslocamento do solo [m]

Ui – Campo de onda incidente

Up – Deslocamento da estaca [m]

Us – Campo de espalhamento

Ut – Deslocamento total [m]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Letras Gregas

α – Fator adimensional α

ζ – Fator de amortecimento

ρhs – Densidade do solo [kg/m³]

ρp – Densidade da estaca [kg/m³]

ηhs – Coeficiente de amortecimento do solo

νhs – Coeficiente de Poisson do solo

ω – Frequência [rad/s]

ωd – Frequência natural amortecida [rad/s]

ωf – Frequência final [rad/s]

ωi – Frequência inicial [rad/s]

ωn – Frequência natural [rad/s]

Δω – Passo de frequência [rad/s]

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

SUMÁRIO

Resumo ........................................................................................................................... vii

Abstract ....................................................................................................................... xix

Lista de figuras .......................................................................................................... xix

Lista de tabelas .......................................................................................................... xix

Lista de abreviaturas e siglas ................................................................................ xix

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 20

1.1 Revisão Bibliográfica ............................................................................................ 22

1.2 Objetivos do trabalho ............................................................................................ 26

1.3 Organização do trabalho ....................................................................................... 27

2 BLOCO CIRCULAR RÍGIDO PARCIALMENTE SUPORTADO PELO SOLO

E PELA ESTACA SUBMETIDO A UMA EXCITAÇÃO EXTERNA ............................. 29

2.2 Formulação ............................................................................................................ 31

2.2.1 Interação Solo-Bloco ...................................................................................... 32

2.2.2 Interação bloco-estaca .................................................................................... 34

2.2.3 Interação solo-estaca-bloco ............................................................................ 37

2.3 Resultados numéricos ........................................................................................... 38

2.3.1 Interação solo-bloco (α=0): validação............................................................ 39

2.3.2 Interação estaca-bloco (α=1): validação ........................................................ 42

2.3.3 Interação estaca-bloco (α=1): resultados........................................................ 44

2.3.4 Interação solo-estaca-bloco: resultados.......................................................... 46

3 BLOCO CIRCULAR RÍGIDO PARCIALMENTE SUPORTADO PELO SOLO

E PELA ESTACA SUBMETIDO A UMA ONDA INCIDENTE VERTICAL ................ 53

3.1 Apresentação do problema .................................................................................... 53

3.2 Formulação ............................................................................................................ 55

3.2.1 Interação Solo-Bloco ...................................................................................... 55

3.2.2 Interação estaca-bloco .................................................................................... 58

3.3 Resultados numéricos ........................................................................................... 60

3.3.1Bloco interagindo somente com o solo ........................................................... 61

3.3.2 Bloco interagindo somente com a estaca ....................................................... 63

4 ANÁLISE TRANSIENTE ......................................................................................... 70

4.1 Validação do algoritmo desenvolvido ................................................................... 72

4.2 Resposta transiente do bloco submetido a uma força externa............................... 80

4.3 Resposta transiente do bloco submetido a uma onda incidente vertical ............... 86

5 CONCLUSÃO E SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS ....................... 88

5.1 Sugestões para trabalhos futuros ........................................................................... 89

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .......................................................................... 90

APÊNDICE A – Estaca com propriedades iguais a do solo ....................................... 94

A.1 – Bloco submetido a uma excitação externa ........................................................ 94

A.2 – Bloco submetido a uma onda incidente vertical................................................ 95

APÊNDICE B – Influência da relação entre a altura e o raio da estaca (H/a) na resposta

vibratória do bloco ................................................................................................................ 97

APÊNDICE C – Influência da densidade na resposta vibratória da estaca ................ 98

APÊNDICE D – Influência do fator de amortecimento do solo na resposta vibratória

do bloco .............................................................................................................................. 101

APÊNDICE E – Influência da spline na resposta transiente do bloco ...................... 103

APÊNDICE F – Comparação da resposta transiente para diferentes valores de a0 .. 108

20

1 INTRODUÇÃO

A Dinâmica dos Solos é um dos ramos da Mecânica dos Solos que estuda o

comportamento de solos sujeitos a cargas dinâmicas. O surgimento dessa matéria de estudo se

deve pela necessidade de compreensão e diminuição de vibrações em fundações ou estruturas

devidos a diferentes fatores, tal como o funcionamento de máquinas pesadas.

A interação dinâmica entre solo e estruturas, sejam elas flexíveis ou rígidas, tem obtido

uma grande atenção de estudiosos nas últimas décadas. Segundo Barros (2007), o interesse dos

pesquisadores se deve a dois fatores principais: as crescentes exigências dos níveis máximos de

perturbação permitidas para as estruturas de máquinas industriais que causem esforços

dinâmicos e também a evolução dos computadores, que possibilitou o desenvolvimento de

soluções numéricas de problemas complexos, que antigamente não podiam ser solucionados.

Com o avanço tecnológico dos computadores, diversos métodos numéricos foram

desenvolvidos para resolver problemas físicos e/ou matemáticos com soluções analíticas

complexas. Entre os métodos desenvolvidos, os que mais são utilizados, atualmente, são o

Método dos Elementos Finitos (MEF), Método de Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos

Elementos de Contorno (MEC).

Quando a interação dinâmica entre o solo e a estrutura é estudado, o solo, por apresentar

um domínio ilimitado é melhor modelado pelo MEC, por causa que esse método leva em

consideração o amortecimento geométrico associado ao domínio ilimitado. Além disso, se

compararmos o MEC ao MEF, a grande vantagem do MEC é que ele reduz o sistema algébrico

a ser resolvido, uma vez que se tratando de um método de fronteira, apenas a região do contorno

precisa ser discretizada. O grupo de pesquisa, do qual o autor do trabalho faz parte, possui

grande experiência no estudo da interação dinâmica solo-estrutura utilizando do método dos

elementos de contorno.

De acordo com Di Laora (2009), quando ações externas, como, por exemplo, terremotos,

agem sobre sistemas, nem os deslocamentos estruturais nem os deslocamentos do solo são

independentes uns dos outros. O processo no qual a resposta do solo influencia o

comportamento da estrutura e o comportamento da estrutura influencia a resposta do solo é

denominado como interação solo-estrutura (SSI).

21

Uma das preocupações quando se estuda a interação solo-estrutura é o controle de

vibrações da estrutura. As vibrações em estruturas acontecem devido à força externa aplicada

na estrutura ou devido a ondas que se propagam no solo e atingem a fundação. A origem dessas

ondas incidentes podem ser terremotos, atividades industriais, obras de construção, entre outros.

No último século, diferentes modelos de solo foram apresentados. Entre eles podem ser

mencionados, os modelos que consideram o solo como semi-espaço, o espaço completo e o

solo estratificado.

A resposta de uma estaca a uma onda vertical incidente tem sido estudada por diversos

pesquisadores. Segundo Gazetas (1984), apesar do relevante progresso no entendimento do

comportamento de uma estaca, várias questões possuem respostas de complexo entendimento,

principalmente no que se refere à avaliação prática da influência da estaca na excitação sísmica

de uma estrutura. Por exemplo, foi sugerido que, uma vez que estacas flexíveis seguem o

movimento do solo, não há necessidade de modificar a excitação de entrada.

De acordo com Kavvadas e Gazetas (1994), as estacas devem ser projetadas para suportar

as seguintes condições de carga: a força de inércia da estrutura transmitida para a cabeça da

estaca e as deformações do solo decorrentes da passagem das ondas sísmicas que geram uma

tensão lateral sobre as estacas ao longo de todo o seu comprimento.

Conforme Rajapakse e Shah (1989), a análise da resposta dinâmica de um bloco

sustentado por estacas tem três grandes dificuldades, que são: a necessidade de levar em

consideração fatores de como a estaca vai ser fixa no solo, a flexibilidade da estaca e no caso

em que existem um grupo de estaca, os efeitos de interação entre as estacas.

A estaca é utilizada para transferir cargas da estrutura para um solo mais profundo, que

possui uma melhor capacidade de carga. As estacas são mais comumente submetidas a cargas

verticais, mas também podem ser submetidos a outros tipos de cargas, tais como cargas

horizontais e também a momento.

A introdução de uma ou de um grupo de estaca em um solo, torna o sistema do solo mais

rígido. Por conta disso, tanto a frequência natural, quanto a amplitude de vibração do bloco são

afetados. Em todos os problemas relacionados com a vibração, a ressonância precisa ser evitada.

Por conta disso, a frequência natural do sistema solo-estaca-bloco deve ser estudada em análise

e projeto.

22

O solo representa um elemento muito importante no estudo das estruturas, pois todas as

forças atuantes na estrutura vão ser transferidas para ele. Por conta disso, comportamento da

estaca depende do tipo e características do solo na qual ela está inserida.

O entendimento da interação solo-estaca-bloco nos projetos é um dos grandes desafios da

engenharia de fundações; pois estas devem ter garantia de funcionalidade e estabilidade durante

toda sua vida útil.

1.1 Revisão Bibliográfica

Este trabalho faz parte de um grupo de pesquisa do Departamento de Mecânica

Computacional (DMC), da Faculdade de Engenharia Mecânica (FEM) da Unicamp. Entre as

pesquisas desenvolvidas por esse grupo estão o desenvolvimento de estado auxiliares através

de métodos numéricos e analíticos onde se utiliza de alguma transformação analítica,

normalmente utiliza-se das transformada de Hankel e Fourier, sendo que a sua transformada

inversa é feita numericamente.

Outra linha de pesquisa do grupo, no qual este trabalho está incluído, se dedica a aplicar

estes estados auxiliares para a solução de problemas da física e/ou matemática.

Problemas de interação entre o solo e a estrutura são problemas de sistemas acoplados,

onde o estado de deformação e de tensão da estrutura depende das pressões e dos movimentos

do solo, e ao mesmo tempo, as pressões no solo também dependem do carregamento e das

deformações da estrutura. Por conta disso, tais análises necessitam de uma modelagem

simultânea da estrutura e do solo, utilizando técnicas precisas computacionalmente (Jahromi,

2009).

O solo é modelado em diversos estudos como um meio elástico, viscoelástico ou plástico.

Outros modelos de como o solo é modelado podem ser encontrados em Gazetas, (1983). Na

modelagem do solo, considera-se que o solo possui inércia, rigidez e amortecimento, e é

23

possível que ele se deforme ou se desloque. Considerando que há uma interação solo-estrutura,

a estrutura também irá se deformar ou deslocar.

O grupo de pesquisa, no qual o autor desse trabalho está incluído, tem feito um grande

esforço para modelar diferentes perfis de solo, sejam eles bidimensioal ou tridimensional, tanto

no domínio da frequência quanto no domínio do tempo. O primeiro trabalho desenvolvido por

esse grupo de pesquisa foi desenvolvido por Mesquita (1989) e o propósito do trabalho era

elaborar um estado auxiliar não singular para semi-espaços bi e tridimensionais, sendo que os

carregamentos eram de intensidades constantes e eram aplicados na superfície do semi-espaço.

Outros trabalhos também foram desenvolvidos por esse grupo de pesquisa, sendo que

alguns deles vão ser citados a seguir. Pontes (1992), comparou os resultados do Método de

Superposição com o Método dos Elementos de Contorno de problemas dinâmicos da interação

solo-estrutura no domínio da frequência, enquanto que Sousa (1992) comparou os resultados

entre os Métodos dos Elementos Finitos e o Métodos do Elementos de Contorno para problemas

dinâmicos da interação solo-estrutura no domínio da frequência.

Romanini (1995) desenvolveu uma metodologia para a síntese de funções de influência e

Green para solos viscoelásticos lineares que tem estratificações horizontais. O objetivo do

trabalho foi a viabilização da análise da interação dinâmica solo-estrutura para estruturas na

superfície e no interior dos solos, sendo que os problemas foram formulados no domínio da

frequência para o estado plano de deformação.

Carvalho (1995) utilizou a versão direta do Método de Elementos de Contorno (MEC),

que é baseada na solução fundamental dos operadores de Cauchy/Navier e de Laplace, para a

modelagem de problemas tanto da interação dinâmica de fluido-estrutura e solo-fluido-

estrutura.

Daros (1995) estudou a solução numérica da equação da onda escalar em duas dimensões,

utilizando a representação integral de Volterra. O Método dos Elementos de Contorno (MEC)

foi utilizado na obtenção da solução no estado transiente, onde as condições iniciais de

deslocamento e velocidade no domínio são incluídas.

Barros (1997) apresentou a dedução das funções de Green e da influência das cargas

dinâmicas harmônicas no tempo, para o estado plano de deformação, aplicadas em meios

elásticos homogêneos transversalmente isotrópicos. Soluções para os casos de cargas aplicadas,

tanto na superfície quanto no interior de meio elástico semi-infinito, em uma camada elástica

24

apoiada em uma base rígida e para cargas aplicadas no interior do espaço infinito foram

analisadas.

Carrion (2002) apresentou uma formulação, baseada no Método dos Elementos de

Contorno (MEC), para o estudo de problemas viscoelásticos estacionários tridimensionais em

domínios abertos e fechados. Dois artifícios foram utilizados na formulação: a regularização da

integral singular, que torna possível o tratamento da singularidade em problemas dinâmicos, e

os chamados "enclosing elements", que torna possível o tratamento da singularidade para

domínios abertos.

Adolph (2002) desenvolveu uma metodologia para obtenção de Funções de Green e

Influência para os problemas visco-elastodinâmicos no estado transiente.

Thomazzo (2004) apresentou uma metodologia para a realização de análises dinâmicas,

tanto estacionarias quanto transientes, em domínios visco-elásticos limitados ou ilimitados,

utilizando-se o Método dos Elementos de Contorno (MEC). Sendo que os estados auxiliares

utilizados foram soluções não-singulares de problemas do semi-espaço e do espaço completo

para meios visco-elásticos.

Labaki (2012) apresentou modelos para descrever o comportamento harmônico de placas

rígidas e flexíveis incrustadas em meios estratificados.

Damasceno (2013) desenvolveu uma metodologia para análise transiente de sistemas

dinâmicos que apresentam acoplamento solo-estrutura, sendo que a metodologia desenvolvida

é baseada em um método de acoplamento iterativo entre subsistemas, podendo os subsistemas

ter domínio limitado ou ilimitado.

Nos últimos anos, vários estudos têm abordado o problema da resposta estacionária

dinâmica de placas circulares sob o solo usando diferentes tipos de métodos numéricos. Alguns

desses estudos foram motivados por aplicações práticas, tais como controle de vibração em

usinas nucleares e em nano-instalações. O caso de uma placa apoiada na superfície de um solo

transversalmente isotrópico é de especial interesse para a análise de fundações sensíveis a

vibrações, tais como fontes de luz sincrotron (Labaki, Mesquita e Rajapakse, 2014).

Pesquisadores também tem se dedicado ao estudo de diferentes modelos para a

deformação de placas. Segundo Van de Heijden (1976), o modelo de placa de Kirchhoff é

amplamente utilizado, e ele se baseia em três hipóteses básicas, que são: existe uma superfície

no centro da placa que não sofre deformação; as linhas que são normais a superfície media da

25

placa, permanecem normais a superfície dobrada e o estado normal de tensão na superfície não

pode ser desconsiderada. Outro método que é utilizado para modelar placas é o princípio do

trabalho virtual.

Outro ramo de pesquisa utiliza da teoria das placas e dos modelos do meio elásticos para

analisar o comportamento de placas na superfície ou no interior dos solos. Sendo que as placas

podem ser modeladas de diferentes maneiras: elas podem ser rígidas ou flexíveis; podem ser

circulares, retangulares ou possuir um formato aleatório; podem ter massa ou não; entre outros.

Já foram apresentadas soluções para a vibração, utilizando diferentes métodos, de placas

rígidas e flexíveis, apoiada na superfície do solo ou no seu interior para diferentes tipos de

cargas (vertical, horizontal, torsional, entre outros).

Outro ramo de pesquisa estuda o comportamento das estacas. Rajapakse e Shah (1987)

apresentam uma formulação para o estudo do comportamento dinâmico para uma estaca contida

no solo e fazem uma breve apresentação dos modelos que foram desenvolvidos para o estudo

desse problema. Barros (2003), também apresenta uma formulação para a resposta dinâmica

para uma estaca em um solo transversalmente isotrópico.

Se a capacidade de suporte do solo é inadequada para a carga estrutural da fundação, a

introdução de uma estaca ou de um grupo de estacas pode aumentar a capacidade de suporte do

solo. A ideia de usar estacas para apoiar fundações e outra estruturas no solo é a de transferir a

carga para o solo com uma capacidade maior de suporte (Nazir e Azzam, 2010). Uma questão

a ser investigada é, se esse aumento na capacidade de suporte, devido a utilização de estacas,

vai acarretar em uma diminuição no nível de vibração da fundação. Sabe-se que a introdução

de estacas no solo, faz com que este fique mais rígido e, consequentemente, a resposta de

vibração do solo vai ser afetada (Rangwala et al., 2012).

Segundo Kaynia e Kausel (1991), já se tem formulações para a análise dinâmica de uma

estaca ou de um grupo de estaca, para cargas verticais, horizontais ou torcionais. Também é

possível se controlar vários parâmetros da estaca, tais como, a sua altura, a sua densidade, o seu

modulo de elasticidade e o diâmetro da estaca.

Segundo Peiris (2014), fundações em estacas são parte de um sistema estrutural que é

utilizado para transportar e transferir as cargas da estrutura para um solo mais profundo com

uma maior capacidade de suporte.

26

O projeto de fundações apoiadas em estacas é de alta complexidade, especialmente pela

falta de compreensão de seu comportamento sob excitações sísmicas.

De acordo com Peiris (2014), a análise da interação solo-estrutura vem se tornando, ao

longo dos últimos anos, uma importante área de estudo da engenharia; uma vez que alguns

terremotos vêm causando danos em edifícios e em outras infraestruturas. Por conta disso, o

interesse na resposta de fundações apoiadas em estaca sujeitas a cargas dinâmicas vem

aumentando.

1.2 Objetivos do trabalho

O objetivo deste trabalho é introduzir um método de estudo da resposta acoplada de um

bloco na superfície do solo, parcialmente suportado pelo solo e parcialmente suportado por uma

estaca; investigar como a mudança contínua de um mecanismo de suporte para outro influencia

a resposta dinâmica do bloco.

Também é de interesse fazer uma comparação entre a resposta da fundação para as

diferentes excitações (externa ou onda incidente) e analisar a resposta da fundação no estado

estacionário e transiente.

Outro objetivo deste trabalho é fazer uma comparação dos resultados da vibração do bloco

quando submetida a uma excitação externa e quando submetida a uma onda incidente,

suportado somente pelo solo ou suportado apenas pela estaca. Sendo que quando o bloco for

suportado somente pelo solo submetido a uma excitação externa, a área de dissipação vai ser

bem menor do que se comparado com a área de dissipação do bloco suportado pela estaca.

Entretanto, quando a excitação for uma onda incidente a área de contato entre a excitação e

bloco suportado pela estaca vai ser bem maior do que a área do bloco apoiado no solo, como

pode ser visto na figura 1.1. A figura 1.1 também ilustra o caso intermediário quando o bloco é

suportado tanto pela estaca quanto pelo solo.

27

Figura 1.1.a) Área de dissipação do bloco submetido a uma força externa para as configurações em

estudo. b) Área de contato do bloco submetido a uma onda incidente para as configurações em estudo.

1.3 Organização do trabalho

O capítulo 2 apresenta a formulação e os resultados numéricos da resposta do bloco

interagindo apenas com o solo, apenas com a estaca e com o solo e com a estaca ao mesmo

tempo. Nesse capítulo, o bloco está submetido a uma excitação externa.

O capítulo 3 apresenta a formulação e os resultados numéricos da resposta do bloco

interagindo apenas com o solo e apenas com a estaca. É feita uma comparação entre as respostas

do bloco submetido a uma excitação externa e a uma onda incidente. Nesse capítulo, o bloco

está submetido a uma onda incidente.

28

O capítulo 4 apresenta os resultados da resposta do bloco submetido a uma onda incidente

ou a uma excitação externa no estado transiente, sendo que o bloco pode estar suportado apenas

pelo solo, apenas pela estaca ou pelo solo e pela estaca.

No capítulo 5 apresentam-se as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

O trabalho também apresenta alguns anexos que mostram a influência de alguns

parâmetros no deslocamento do bloco.

29

2 BLOCO CIRCULAR RÍGIDO PARCIALMENTE

SUPORTADO PELO SOLO E PELA ESTACA

SUBMETIDO A UMA EXCITAÇÃO EXTERNA

O presente capítulo apresenta um método para estudar a resposta acoplada de um bloco

na superfície do solo, parcialmente suportado por uma estaca e parcialmente suportado pelo

solo. O método de acoplamento requer a determinação dos deslocamentos e das forças que

atuam na interface bloco-solo-estaca devido a uma excitação externa. Os deslocamentos e as

forças da estaca e do solo são determinadas e devem satisfazer os critérios de compatibilidade

cinemática e o equilibro de forças na interface. Este capítulo investiga a resposta do bloco

suportado apenas pelo solo, bem como a resposta do bloco suportado somente pela estaca. Para

estudar casos intermediários, onde o bloco é parcialmente suportado pelo solo e parcialmente

suportado pela estaca, introduz-se uma estratégia que torna essa análise possível. A seção de

resultados numéricos considera diferentes inércias do bloco, diferentes propriedades

constitutivas do solo e diferentes geometrias e rigidez da estaca.

2.1 Apresentação do problema

Considere o problema da interação estacionária dinâmica solo-bloco-estaca submetida a

uma carga vertical Fext, que é mostrado na figura 2.1. O índice “hs” está relacionado ao solo,

modelado aqui como semi-espaço homogêneo, transversalmente isotrópico, com módulo de

elasticidade Ehs, coeficiente de Poisson νhs, densidade de massa ρhs e coeficiente de

amortecimento ηhs. O índice “p” está relacionado com a estaca, com modulo de elasticidade Ep,

densidade de massa ρp, raio ap e altura hp. O índice “f” está relacionado com o bloco com raio

af, altura hf e densidade de massa ρf. O sistema de coordenadas é adotado de tal modo que o

30

plano x-y está alinhado com a superfície do solo, e a estaca está alinhada ao longo do eixo “z”.

O centro do bloco coincide com a origem do sistema de coordenadas (figura 2.1a).

(a) (b)

Figura 2.1 (a) Bloco interagindo com o solo e a estaca e (b) equilíbrio de forças.

O bloco interage com o solo e com a estaca e o estudo só é realizado na vertical (direção

“z”). Em outras palavras, trata-se de um problema unidimensional.

Em um caso particular, considera-se que o bloco está perfeitamente ligado a superfície

do solo. Em outro caso, o bloco só é suportado pela estaca. No segundo caso, toda a

transferência do carregamento da força externa para o solo ocorre através da estaca. Este

capítulo investiga como a mudança contínua de um suporte de mecanismo para o outro

mecanismo de suporte influencia a resposta dinâmica do bloco. Em cada configuração,

diferentes quantidades da força externa são diretamente transmitidas para o solo, através da

interface solo-bloco, ou do bloco para o solo através da estaca.

A figura 2.1b mostra as forças atuando no bloco. A força de reação (Frea), como mostrada

na equação 2.1, é parcialmente causada devido à resistência da estaca e parcialmente gerado

pelas forças que atuam na interface solo-bloco.

(2.1) rea hs pF F F

31

A força de reação é uma composição que varia continuamente da força do solo Fhs para a

forca da estaca Fp.

Como o deslocamento do solo Uhs e o deslocamento da estaca Up tem que ser iguais, é

possível variar a força do solo Fhs e a força da estaca Fp.

A força de reação Frea, devido à reação do solo e da estaca, atuando no bloco, é dada pela

equação 2.2:

(2.2)

Sendo que, como mostrado na equação 2.3, o valor de α é:

(2.3)

Quando α=0, então a força que atua sobre o bloco é unicamente devido à reação do solo,

Fhs. Isto corresponde ao caso em que o bloco é completamente suportado pelo solo. Quando

α=1, a força externa é balanceada unicamente pela reação da estaca, Fp. Isso corresponde ao

caso em que o bloco é completamente suportado pela estaca.

2.2 Formulação

O modelo de interação solo-bloco neste trabalho exige a derivação das funções de Green

correspondentes a cargas verticais aplicadas na superfície ou dentro do semi-espaço.

Considera-se o solo como elástico, transversalmente isotrópico e tridimensional. O

problema é governado pelas equações diferenciais de Cauchy-Navier, que são descritas em

termos dos componentes de deslocamentos ui=ui (r, , z, ) (i= r, , z). Rajapakse e Wang

(1993), propuseram uma solução para esse problema acoplado em termos de transformações

integrais de Hankel e expansão em série. A solução é escrita em termos de funções arbitrarias,

cujos valores são determinados a partir das condições de contorno e de continuidade de um

determinado problema.

rea p hsF F 1 F

0 1

32

2.2.1 Interação Solo-Bloco

Esta seção investiga a interação solo-bloco, no qual o bloco é completamente suportado

pelo solo, como é mostrado na figura 2.2a.

(a) (b)

Figura 2.2. (a)Bloco interagindo com o solo e (b) forças de equilíbrio.

As condições de contorno e continuidade correspondentes ao caso de uma placa circular

rígida apoiada na supefície do semi-espaço foi apresentado por Labaki, Mesquita e Rajapakse

(2014). Naquele trabalho, o modelo da placa rígida é obtida através da discretização da placa

em um número de elementos de disco concêntricos e anulares. É então imposto que todos os

elementos de discos são deslocados verticalmente pela mesma quantidade. As trações de

contato na interface placa-solo são determinadas através da solução da equação de flexibilidade

resultante da restrição cinemática citada acima. No presente trabalho, o deslocamento vertical

do bloco circular rígido apoiado sobre a superfície do semi-espaço, devido a uma carga unitária,

é a matriz de flexibilidade dinâmica Szzhs.

33

A figura 2.3 mostra um exemplo de uma resposta de uma placa rígida obtida em Labaki,

Mesquita e Rajapakse (2014). Este caso considera uma placa com af=1m, ρf =10kg/m³ e

hf=0.01m, e um semi-espaço com Ehs=2.5Pa, hs=0.25, ρhs=1kg/m³e ηhs=0.01. A placa está

submetida a uma força distribuída unitária. A frequência normalizada a0 é definida pela equação

2.4.

a0=af(hs/Ghs)1/2 (2.4)

Figura 2.3. Resposta de um bloco rígido interagindo com o solo

A figura 2.3 mostra uma resposta padrão de uma placa apoiada na superfície de um semi-

espaço. Como pode-se ver nesta figura, a resposta desse tipo de problema é uma resposta

complexa.

A figura 2.2b mostra as forças que atuam na estrutura. A equação de equilíbrio da

estrutura, como mostrado na equação 2.5, é:

(2.5)

A resposta do solo a excitações externas é determinada através da matriz de flexibilidade,

Szzhs, como mostrado na equação 2.6:

(2.6)

Ainda analisando a figura 2.2b, percebe-se que a única força atuando na superfície do

solo é Frea, neste caso, como mostra a equação 2.7:

F⃗ rea = F⃗ hs (2.7)

1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

Frequency a0

Vert

ical C

om

plian

ce S

zz

hs (

m)

Real part

-Imaginary part

2ext hs f fF F = M U

hshs zzhsU S F

34

A única força que atua na superfície do solo é Fhs. Então, ela é responsável pelo

deslocamento do solo Uhs.

Substituindo a equação 2.5 na equação 2.6, é possível encontrar uma equação que

relaciona o deslocamento do solo e do bloco, como é mostrado na equação 2.8:

(2.8)

Em ordem de satisfazer o critério de compatibilidade cinemática, o deslocamento do solo

tem que ser igual ao deslocamento do bloco rígido, como mostrado na equação 2.9:

(2.9)

Aplicando a equação 2.9 na equação 2.8 e isolando Uf, a seguinte equação é encontrada:

(2.10)

A equação 2.10 fornece o deslocamento do bloco rígido que está perfeitamente ligado ao

solo e que está submetido a uma força externa Fext.

2.2.2 Interação bloco-estaca

Esta seção considera o caso da interação bloco-estaca. Neste caso, a força externa é

transferida para o solo através da estaca. Como pode ser visto na figura 2.4a, o bloco não está

em contato com o solo.

zzhs zzhs

2exths f fU = M U S S F

hs fU = U

extzzhsf 2

zzhs f

S FU =

1 S M

35

(a) (b)

Figura 2.4. (a) Bloco interagindo com a estaca e (b) forças de equilíbrio

As condições de contorno para a modelagem do problema da estaca são definidas a seguir.

Considera-se um semi-espaço contendo uma carga vertical de intensidade unitária. A carga é

uniformemente distribuída em uma casca cilíndrica finita dentro do semi-espaço. A solução

para o problema da estaca foi apresentada por Labaki, Mesquita, Rajapakse (2015), no qual o

deslocamento da estaca é descrito em termos de funções arbitrárias em termos de coordenadas

generalizadas. As forças de corpo no semi-espaço correspondente a cada termo da função

arbitrária são obtidas numericamente resolvendo uma equação de flexibilidade baseada nas

funções de Green correspondentes as forças descritas acima. As coordenadas generalizadas na

função arbitrária são obtidas a partir das equações de movimento de Lagrange para a estaca.

Neste trabalho, o deslocamento da extremidade superior da estaca é a impedância dinâmica

Szzp.

A figura 2.5 mostra um exemplo da resposta de uma estaca obtida por Labaki, Mesquita

e Rajapakse (2015). Este caso considera-se um semi-espaço com Ehs=2.5Pa, hs=0.25,

ρhs=1kg/m³ e ηhs=0.01, e a estaca com Ep/Ehs=10, ρp/ρhs=1 e hp/ap=5 submetida a uma força

unitária.

36

Figura 2.5. Resposta de uma estaca submetida a uma força externa

A figura 2.5 mostra uma resposta padrão de uma estaca que está contida no semi-espaço.

Como pode-se ver nesta figura, a resposta desse tipo de problema é uma resposta complexa.

Percebe-se também, que assim como a figura 2.3, a parte real da resposta vai decrescendo,

enquanto que a parte imaginária da resposta possui o início crescente.

A figura 2.4b mostra as forças atuando na estrutura. A equação de equilíbrio da estrutura,

como mostrada na equação 2.11, é:

(2.11)

A resposta da estaca a excitações externas é determinada através da matriz de

flexibilidade Szzp, como mostrada na equação 2.12, é:

(2.12)



F⃗ rea = F⃗ p (2.13)

A única força que atua na estaca é Fp. Então, ela é responsável pelo deslocamento do solo

Up.

Substituindo a equação 2.11 na equação 2.12, é possível encontrar uma equação que

relaciona o deslocamento da estaca e do bloco, como mostrado na equação 2.14:

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Frequency a0

Vert

ical C

om

plian

ce S

zz

p (

m)

Real part

-Imaginary Part

2ext p f fF F = M U

pp zzpU = S F

37

(2.14)

Em ordem de satisfazer o critério de compatibilidade cinemática, o deslocamento da

estaca tem que ser igual ao deslocamento do bloco rígido, como mostrado na equação 2.15:

(2.15)

Aplicando a equação 2.15 na equação 2.14 e isolando Uf, a seguinte equação é encontrada:

(2.16)

A equação 2.16 fornece o deslocamento de um bloco rígido que é completamente

suportado por uma estaca.

Nota-se que a equação 2.16 é similar a equação 2.10, sendo que em uma equação a matriz

de flexibilidade corresponde ao solo, e na outra corresponde à estaca interagindo com o solo.

2.2.3 Interação solo-estaca-bloco

Nesta seção, a interação solo-estaca-bloco é investigada. Neste caso, o bloco interage, ao

mesmo tempo, com o solo e com a estaca, como mostrado na figura 2.1a.

A figura 2.1b mostra as forças que estão atuando na estrutura. A equação de equilíbrio da


(2.17)

A força de reação Frea é a soma da força do solo Fhs e da força da estaca Fp, como mostrado

na equação 2.2.

Substituindo a equação 2.2 na equação 2.17, encontra-se uma equação que relaciona o

deslocamento do bloco com as forças da estaca e do solo, como mostrado na equação 2.18:

2f extp f zzp zzpU = M U S S F

p fU = U

extzzpf 2

zzp f

S FU =

1 S M

2ext rea f fF F = M U

38

2ext p hsf fF M U F 1 F (2.18)

Substituindo as equações 2.6 e 2.12 na equação 2.17, é possível encontrar uma equação

que relaciona os deslocamentos do bloco, do solo e da estaca, como mostrado na equação 2.19:

(2.19)

O sistema deve satisfazer o critério de compatibilidade cinemática, que afirma que o

deslocamento do bloco tem que ser igual ao deslocamento da estaca e igual ao deslocamento

do solo, como mostrado na equação 2.20:

(2.20)

Aplicando a equação 2.20 na equação 2.21, e isolando Uf, encontramos a seguinte

equação:

(2.21)

A equação 2.21 fornece a resposta do bloco rígido que está parcialmente suportado pela

estaca e pelo solo.

2.3 Resultados numéricos

Esta seção apresenta os resultados numéricos para analisar o deslocamento do bloco

rígido, mostrada na figura 2.1a e estudar a influência do α (equação 2.21). Para a apresentação

dos resultados numéricos, duas variáveis vão ser definidas, como mostram as equações 2.22 e

2.23.

E’=Ep/Ehs (2.22)

B=mf/mhs (2.23)

2 1 1ext f f p zzp hs zzhsF M U U S 1 U S

f p hsU U U

extf 1 1 2

zzp zzhs f

FU =

S 1 S M

39

A equação 2.22 mostra a relação entre os módulos de elasticidade da estaca Ep e do solo

Ehs, enquanto que a equação 2.23 mostra a razão de massa entre a massa do bloco mf e a massa

do solo mhs; sendo que a massa do solo mhs é definida como a massa composta por um volume

formado pela área da interface solo-bloco que possui uma altura unitária.

O sistema solo-estaca-bloco é submetido a uma força axial Fext=1N. Nesta seção, os

seguintes parâmetros são considerados: para o semi-espaço, Ehs=2.5Pa, ηhs=0.01, υhs=0.25,

ρhs=1kg/m³; para o bloco, af=1m e para a estaca: hp/ap=35, ρp=1kg/m³. A formulação proposta,

na qual o bloco interage somente com o solo (figura 2.2a), e o caso em que o bloco interage

somente com a estaca (figura 2.3a), foram comparados com a solução proposta por Labaki,

Mesquita e Rajapakse (2014) e Labaki, Mesquita e Rajapakse (2015), respectivamente.

2.3.1 Interação solo-bloco (α=0): validação

Na figura 2.6, a parte real, imaginária e absoluta do deslocamento do bloco Uf (equação

2.10) são mostrados para B=0 (bloco sem massa). A figura 2.7 mostra os resultados

correspondentes para o caso com B=50. Ambos os casos são comparados com a solução

proposta por Labaki, Mesquita e Rajapakse (2014).

40

Figura 2.6. Deslocamento do bloco para B=0, suportado somente pelo solo.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.17

0.175

0.18

0.185

B=0

Frequency a0

Real[

Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

B=0

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.181

0.182

0.183

0.184

0.185

0.186

0.187

0.188

0.189

B=0

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

Labaki

Present

41

Figura 2.7. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pelo solo.

Analisando as figuras 2.6 e 2.7, percebe-se que os resultados apresentados nesse trabalho

estão de acordo com os resultados que foram comparados. Percebe-se também, que para B=50

ocorre a presença de uma ressonância, fenômeno que não está presente quando B é igual a zero.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

B=50

Frequency a0

Real[

Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

B=50

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

B=50

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

Labaki

Present

42

2.3.2 Interação estaca-bloco (α=1): validação

As figuras 2.8 e 2.9 mostram a parte real, imaginária e o valor absoluto do deslocamento

do bloco Uf (equação 2.16) para B=0 e diferentes valores de E’ (equação 2.22). Os resultados

apresentados são comparados com a solução proposta por Labaki, Mesquita e Rajapakse (2015).


0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

E'=10

Frequency a0

Re

al[

Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.025

0.03

0.035

0.04

E'=50

Frequency a0

Re

al[

Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

E'=10

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2

4

6

8

10

12

14x 10

-3 E'=50

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.06

0.065

0.07

0.075

E'=10

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.026

0.028

0.03

0.032

0.034

0.036

0.038

0.04

E'=50

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

Labaki

Present

43


Analisando as figuras 2.8 e 2.9, percebe-se que os resultados apresentados nesse trabalho

estão de acordo com os resultados que foram comparados. Percebe-se também, que a medida

que relação do módulo de elasticidade E’ vai aumentando, tem uma diminuição do valor

estático do deslocamento do bloco em valor absoluto.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.015

0.02

0.025

0.03

E'=100

Frequency a0

Real[

Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

E'=150

Frequency a0

Real[

Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 10-3 E'=100

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

x 10-3 E'=150

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

E'=100

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

Labaki

Present

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

E'=150

Frequency a0

Real[

Uf](

m)

Labaki

Present

44

2.3.3 Interação estaca-bloco (α=1): resultados

Nesta seção faz-se um estudo da influência da razão de massa B, no deslocamento do

bloco Uf (equação 2.16) suportado somente pela estaca.

As figuras 2.10 e 2.11 mostram uma comparação do deslocamento do bloco Uf para B=0

e B=50 da parte real, imaginária e o valor absoluto para diferentes valores de E’.

Figura 2.10. Comparação do deslocamento do bloco para B=0 e B=50 (E’=10 e 50), suportado somente

pela estaca.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

E'=10

Frequency a0

Re

al[

Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

E'=50

Frequency a0

Re

al[

Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

E'=10

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

E'=50

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

E'=10

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

E'=50

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

B=0

B=50

45


As figuras 2.10 e 2.11 mostram que a presença de um bloco com massa (B>0) no topo da

estaca afeta a vibração da estaca significativamente. Fato que faz com a massa do bloco se torne

um parâmetro importante do estudo.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

E'=100

Frequency a0

Real[

Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

E'=150

Frequency a0

Real[

Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

E'=100

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.005

0.01

0.015

0.02

E'=150

Frequency a0

-Im

ag

[Uf](

m)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

E'=100

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

B=0

B=50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

E'=150

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

B=0

B=50

46

2.3.4 Interação solo-estaca-bloco: resultados

Analisando as figuras 2.6 a 2.11, percebe-se que o valor estático do deslocamento do

bloco interagindo somente com o solo é diferente do valor estático do deslocamento do bloco

interagindo somente com a estaca.

Para modelar o acoplamento do bloco com estaca e com o solo será utilizado o fator de

amplificação para cada um dos casos estudados. Dessa maneira, a resposta do solo e a resposta

da estaca que vão ser utilizados para gerar os próximos gráficos, como mostrado na equação

2.24, é a seguinte:

zzhs zzhs zzhs

zzp zzp zzp

S =S ( ) / S ( 0)

S =S ( ) / S ( 0)

(2.24)

Essa é uma alternativa que se utiliza para se fazer uma análise do fator de amplificação

do deslocamento do bloco quando suportado pelo solo ou pela estaca.

As figuras 2.12 e 2.13 mostram o deslocamento do bloco Uf (equação 2.21) para o caso

de um bloco sem massa (B=0). Diferentes valores de E’ são considerados.

Quando α=0, isso significa que a força externa é transferida pelo bloco diretamente para

o solo (figura 2.2a). De maneira análoga, quando α=1, a força externa é transferida do bloco

para o solo através da estaca, ou seja, não há carregamento transferido do bloco para o solo

(figura 2.4a).

47


0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=10

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=50

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=10

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=50

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=10

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=50

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

48


Uma análise das figuras 2.12 e 2.13 mostram que quando =0, o deslocamento do bloco

é sempre o mesmo. Isso é fisicamente consistente porque quando =0, a estaca não está presente

no sistema acoplado e as propriedades do solo não são alteradas. É observado que o incremento

de corresponde a uma diminuição do deslocamento do bloco. Isto também é fisicamente

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=100

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=150

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=100

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=150

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=100

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=150

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

49

consistente, uma vez que a presença da estaca no sistema, aumenta a capacidade de carga do

solo. (Rangwala et al., 2012).

As figuras 2.14 e 2.15 mostram os resultados correspondentes para o caso em que B=50.


0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=10

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a

0

E'=50

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

14

16

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=10

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

14

16

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=50

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

2

4

6

8

10

12

14

16

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=10

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

2

4

6

8

10

12

14

16

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=50

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

50


Uma comparação desses resultados (B=50) com os resultados anteriores (B=0) nas

figuras 2.12 e 2.13, mostram que quando B=50 existe uma região de ressonância bem definida,

o que não ocorre quando B=0. As figuras 2.14 e 2.15 mostram que tanto e o módulo de

elasticidade da estaca tem uma influência no deslocamento do sistema acoplado. Observa-se

que um aumento do módulo de elasticidade da estaca resulta em uma diminuição do

deslocamento do sistema solo-estaca-bloco.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=100

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Re[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=150

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

14

16

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=100

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

14

16

-Im

ag

[Uf(

)/U

f( =

0)]

Frequency a0

E'=150

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

2

4

6

8

10

12

14

16

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=100

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

2

4

6

8

10

12

14

16

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

E'=150

=0

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8

=1

51

Nos resultados anteriores, as razões do módulo de elasticidade foram fixadas e alterava-

se o valor do parâmetro α. Agora faz-se o contrário, o valor de α é fixado e varia-se as razões

do módulo de elasticidade, como pode ser visto na figura 2.16.

Figura 2.16. Influência da razão do modulo de elasticidade E’ no deslocamento do bloco

Percebe-se que a medida que aumenta-se o módulo de elasticidade da estaca, na regiao

da ressonância,o deslocamento do bloco diminui. Nota-se também que a medida que o módulo

de elasticidade da estaca aumenta, ocorre um ligeiro incremento na frequência de ressonância

do sistema, como pode ser visto melhor na figura 2.17.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

1

2

3

4

5

6

Ab

s[U

f( )/

Uf(

=0)]

Frequency a0

=0.5

E'=10

E'=50

E'=100

E'=150

52

Figura 2.17. Influência da razão do módulo de elasticidade na frequência de ressonância do sistema

Esse capítulo apresentou a formulação e os resultados do deslocamento de um bloco

rígido, suportado somente pelo solo, suportado somente pela estaca ou interagindo com o solo

e o com a estaca submetido a uma força externa. O próximo capítulo apresenta a formulação e

os resultados do bloco suportado somente pelo solo ou somente pela estaca submetida a uma

onda incidente.

0 50 100 1500.184

0.186

0.188

0.19

0.192

0.194

0.196

0.198

0.2

0.202

n(r

ad

/s)

E'

53

3 BLOCO CIRCULAR RÍGIDO PARCIALMENTE

SUPORTADO PELO SOLO E PELA ESTACA

SUBMETIDO A UMA ONDA INCIDENTE VERTICAL

A interação dinâmica solo-estrutura é uma consideração importante no projeto de

estruturas sujeitas a cargas dinâmicas, tais como terremotos, ventos e vibrações de máquinas.

O presente capítulo apresenta um método para estudar a resposta acoplada de um bloco

na superfície do solo, suportado por uma estaca ou suportado pelo solo. O método de

acoplamento requer a determinação dos deslocamentos e das forças que atuam na interface

bloco-solo-estaca devido a uma onda incidente. Os deslocamentos e as forças da estaca e do

solo são determinadas e devem satisfazer os critérios de compatibilidade cinemática e o

equilibro de forças na interface. Este capítulo investiga a resposta do bloco suportado apenas

pelo solo, bem como a resposta do bloco suportado somente pela estaca. A seção de resultados

numéricos considera diferentes inércias do bloco, diferentes propriedades constitutivas do solo

e diferentes geometrias e rigidez da estaca.

3.1 Apresentação do problema

Considere o problema da interação estacionária dinâmica solo-bloco e estaca-bloco

submetida a uma onda incidente vertical Ui, que é mostrado na figura 3.1. O índice “hs” está

relacionado ao solo, modelado aqui como semi-espaço homogêneo, transversalmente

isotrópico, com módulo de elasticidade Ehs, coeficiente de Poisson νhs, densidade de massa ρhs

e coeficiente de amortecimento ηhs. O índice “p” está relacionado com a estaca, com modulo

de elasticidade Ep, densidade de massa ρp, raio ap e altura hp. O índice “f” está relacionado com

o bloco com raio af, altura hf, coeficiente de Poisson νf, e densidade de massa ρf. O sistema de

54

coordenadas é adotado de tal modo que o plano x-y está alinhado com a superfície do solo, e a

estaca está alinhada ao longo do eixo “z”. O centro do bloco coincide com a origem do sistema

de coordenadas (figura 3.1).

(a) (b)

Figura 3.1 (a) Bloco interagindo com o solo (b) bloco interagindo com a estaca.

O bloco interage com o solo ou com a estaca e o estudo só é realizado na vertical (direção

“z”). Em outras palavras, trata-se de um problema unidimensional. Considera-se que a massa

do bloco está concentrada no centro da interface bloco-solo ou estaca-bloco e que o bloco está

submetido a uma onda incidente.

Em um caso particular, considera-se que o bloco está perfeitamente conectado à superfície

do solo. Em outro caso, o bloco só é suportado pela estaca. No segundo caso, toda a

transferência da onda incidente para o bloco ocorre através da estaca.

Quando um campo incidente Ui, atinge uma superfície livre, como mostrado na figura

3.2, a força na superfície livre é nula. Em outras palavras, Fi é igual a zero.

55

Figura 3.2. Campo incidente atingindo uma superfície livre

3.2 Formulação

Considera-se o solo como elástico, transversalmente isotrópico e tridimensional. O

problema é governado pelas equações diferenciais de Cauchy-Navier, que são descritas em

termos dos componentes de deslocamentos ui=ui (r, , z, ) (i= r, , z). Rajapakse e Wang

(1993), propuseram uma solução para esse problema acoplado em termos de transformações

integrais de Hankel e expansão em série. A solução é escrita em termos de funções arbitrarias,

cujos valores são determinados a partir das condições de contorno e de continuidade de um

determinado problema.

3.2.1 Interação Solo-Bloco

Esta seção investiga a interação solo-bloco, no qual o bloco é completamente suportado

pelo solo, como é mostrado na figura 3.3a.

56

(a) (b)

Figura 3.3. (a) Bloco interagindo com o solo e (b) forças de equilíbrio.



2hsF

f fM U (3.1)



F⃗ rea = F⃗ hs (3.2)

O campo de deslocamento total Ut é a soma dos campos incidentes Ui e do campo

espalhado (scattered) Us, como pode ser visto na equação 3.3:

t i sU U U (3.3)

Como foi mostrado na figura 3.2, quando um campo incidente atinge uma superfície livre,

a força nessa superfície, na direção vertical, é nula. Logo, a força total agindo na superfície do

solo vai ser igual a força da scatter, como mostrado na equação 3.4:

t sF F (3.4)

Observando a figura 3.3a, pode-se ver que a única força atuando na interface solo-bloco

é a força designada por Fhs, mas que segundo a equação 3.4 também é força total atuando na

superfície do solo, logo ela vai ser igual a força de scatter, como pode ser visto na equação 3.5:

57

t s hsF F F (3.5)

A resposta do solo é determinada através de uma matriz de flexibilidade do solo Szzhs.

Como Fi é igual a zero devido a ocorrência de um campo incidente Ui em uma superfície livre,

então toda a força que atua na superfície irá causar o campo de espalhamento (scatter) Us, como

pode ser visto na equação 3.6:

ss zzhs

U S F (3.6)

Substituindo a equação 3.6 e a equação 3.3 na equação 3.1, é possível encontrar uma

equação que relaciona o deslocamento do bloco com o deslocamento total do sistema, como


2f ft i zzhs

U U S M U (3.7)

Em ordem de satisfazer o critério de compatibilidade cinemática, o deslocamento total do

sistema tem que ser igual ao deslocamento do bloco, como mostrado na equação 3.8:

t fU U (3.8)

Aplicando a equação 3.8 na equação 3.7 e isolando Uf a seguinte equação é encontrada:

2

1

1f izzhs f

U US M

(3.9)


suportado pelo solo submetida a uma onda incidente.

58

3.2.2 Interação estaca-bloco

Esta seção investiga a interação estaca-bloco, no qual o bloco é completamente suportado

pela estaca, como é mostrado na figura 3.4a.

(a) (b)

Figura 3.4. (a) Bloco interagindo com a estaca e (b) forças de equilíbrio.



2pF

f fM U (3.10)

Ainda analisando a figura 3.4b, percebe-se que a única força atuando na cabeça da estaca

é Frea, neste caso, como mostra a equação 3.11:

F⃗ rea = F⃗ p (3.11)

O campo de deslocamento total Ut é a soma dos campos incidentes Ui e do campo

espalhado (scattered) Us, como pode ser visto na equação 3.12:

t i sU U U (3.12)

Porém, quando um campo incidente Ui, atinge uma superfície livre, como mostrado na

figura 3.5, a força na superfície livre é nula. Em outras palavras, Fi é igual a zero.

59

Figura 3.5. Campo incidente atingindo uma superfície livre

Como foi mostrado na figura 3.5, quando um campo incidente atinge uma superfície livre,

a força nessa superfície, na direção vertical, é nula. Logo, a força total agindo na extremidade

livre da estaca vai ser igual a força da scatter, como mostrado na equação 3.13:

t sF F (3.13)

Observando a figura 3.4b, pode-se ver que a única força atuando na extremidade livre da

estaca é a força designada por Fp, mas que segundo a equação 3.14 também é a força total

atuando na extremidade livre da estaca. Logo, ela vai ser igual a força de scatter, como pode

ser visto na equação 3.14:

t s pF F F (3.14)

A resposta da estaca é determinada através de uma matriz de flexibilidade da estaca Szzp.

Como Fi é igual a zero devido à ocorrência de um campo incidente Ui em uma superfície livre,

então toda a força que atua na superfície irá causar o campo de espalhamento (scatter) Us, como


ss zzp

U S F (3.15)

Substituindo a equação 3.15 e a equação 3.12 na equação 3.10, é possível encontrar uma

equação que relaciona o deslocamento do bloco com o deslocamento total do sistema, como ser

visto na equação 3.16:

60

2f ft i zzp

U U S M U (3.16)

Em ordem de satisfazer o critério de compatibilidade cinemática, o deslocamento total do

sistema tem que ser igual ao deslocamento do bloco, como mostrado na equação 3.17:

t fU U (3.17)

Aplicando a equação 3.17 na equação 3.16 e isolando Uf a seguinte equação é encontrada:

2

1

1f izzp f

U US M

(3.18)


suportado pela estaca submetida a uma onda incidente.

Nota-se que a equação 3.18 é similar a equação 3.9, sendo que em uma equação a matriz

de flexibilidade corresponde ao solo, e na outra corresponde à estaca.

3.3 Resultados numéricos

Esta seção apresenta os resultados numéricos para analisar o deslocamento do bloco

rígido submetido a um campo de ondas incidentes, suportado somente pelo solo (como

mostrada na figura 3.3a) e suportado somente pela estaca (como mostrada na figura 3.4a).

Para a apresentação dos resultados numéricos, duas variáveis vão ser definidas, como

mostram as equações 3.19 e 3.20.

E’=Ep/Ehs (3.19)

B=mf/mhs (3.20)

A equação 3.19 mostra a relação entre os módulos de elasticidade da estaca Ep e do solo

Ehs, enquanto que a equação 3.20 mostra a razão de massa entre a massa do bloco mf e a massa

61

do solo mhs; sendo que a massa do solo mhs é definida como a massa composta por um volume

formado pela área da interface solo-bloco que possui uma altura unitária.

O sistema solo-estaca-bloco é submetido a um campo de onda incidente unitária. Nesta

seção, os seguintes parâmetros são considerados: para o semi-espaço, Ehs=2.5Pa, ηhs=0.01,

υhs=0.25, ρhs=1kg/m³; para o bloco, af=1m e para a estaca: hp/ap=35, ρp=1kg/m³.

3.3.1Bloco interagindo somente com o solo

Na figura 3.6, a parte real, imaginária e o valor absoluto do deslocamento do bloco,

submetido a uma onda incidente vertical unitária, são mostrados para B=0 (bloco sem massa).

Figura 3.6. Deslocamento do bloco para B=0, suportado somente pelo solo

Analisando a figura 3.6, percebe-se que o valor do deslocamento do bloco é o mesmo

valor da onda incidente vertical unitária. Se analisarmos a equação 3.9 (que fornece o

62

deslocamento do bloco suportado somente pelo solo), quando a massa do bloco é zero, como o

exemplo analisado, o deslocamento do bloco é igual ao valor da onda incidente vertical.

Na figura 3.7, a parte real, imaginária e o valor absoluto do deslocamento do bloco,

submetido a uma onda incidente vertical unitária, são mostrados para B=50.

Figura 3.7. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pelo solo

Analisando a figura 3.7, percebe-se que ocorre a presença de uma ressonância para B=50.

Nota-se ainda, que o valor estático do deslocamento da vibração é igual ao valor da onda

incidente vertical, o que está coerente.

A figura 3.8, mostra uma comparação entre a resposta do bloco submetido a uma força

externa e a um campo de onda incidente vertical. Para uma comparação melhor das respostas

adotou-se aqui, que o valor da onda incidente é igual ao valor estático da resposta da interação

solo-bloco submetido a uma força unitária.

63

Figura 3.8. Comparação das respostas do bloco submetido a uma onda incidente e a uma força externa,

suportado somente pelo solo

Analisando a figura 3.8, percebe-se que o deslocamento do bloco suportado somente pelo

solo (que é mostrado na figura do valor absoluto) é igual, independente da excitação que o bloco

está submetido, uma onda incidente vertical ou uma força externa.

3.3.2 Bloco interagindo somente com a estaca

Nesta seção irá ser estudado o comportamento do deslocamento do bloco suportado

somente pela estaca.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Real[

Uf](

m)

Frequency a0

E'=10

Scatter

Externa

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-Im

ag

[Uf](

m)

Frequency a0

E'=10

Scatter

Externa

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Ab

s[U

f](m

)

Frequency a0

E'=10

Scatter

Externa

64

Na figura 3.9, 3.10, 3.11 e 3.12 a parte real e imaginária do deslocamento do bloco,

submetido a uma onda incidente vertical unitária, são mostrados para B=50, considerando-se

diferentes valores de E’. Não são apresentados os valores para B=0 (bloco sem massa), porque

as respostas são iguais à resposta apresentada na figura 3.6.

Figura 3.9. Deslocamento do bloco para B=50, suportado somente pela estaca (E’=10)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real[

Uf](

m)

Frequency a0

E'=10

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-Im

ag

[Uf](

m)

Frequency a0

E'=10

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ab

s[U

f](m

)

Frequency a0

E'=10

65


0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-0.5

0

0.5

1

1.5R

eal[

Uf](

m)

Frequency a0

E'=50

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-Im

ag

[Uf](

m)

Frequency a0

E'=50

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

Ab

s[U

f](m

)

Frequency a0

E'=50

66


0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real[

Uf](

m)

Frequency a0

E'=100

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

-Im

ag

[Uf](

m)

Frequency a0

E'=100

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Ab

s[U

f](m

)

Frequency a0

E'=100

67


Observa-se que a medida que a rigidez da estaca aumenta, ou seja, a medida que

aumentamos o valor de E’, ocorre uma diminuição da amplitude de vibração, na área da

ressonância, do bloco.

A figura 3.13, mostra uma comparação entre a resposta do bloco submetido a uma força

externa e a um campo de ondas incidentes interagindo com a estaca (E’=10). Para uma

comparação melhor das respostas adotou-se aqui, que o valor da onda incidente é igual ao valor

estático da resposta da interação solo-bloco submetida a uma força unitária.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Real[

Uf](

m)

Frequency a0

E'=150

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-Im

ag

[Uf](

m)

Frequency a0

E'=150

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Ab

s[U

f](m

)

Frequency a0

E'=150

68

Figura 3.13. Comparação das respostas do bloco submetido a uma onde incidente e a uma força externa

Analisando a figura 3.13, percebe-se que o comportamento do deslocamento do bloco

suportado somente pela estaca é semelhante ao comportamento do deslocamento do bloco

suportado somente pelo solo. Em outras palavras, o deslocamento do bloco suportado somente

pela estaca (que é mostrado na figura do valor absoluto) é igual, independente da excitação que

o bloco está submetida, uma onda incidente vertical ou uma força externa.

A figura 3.14, mostra uma comparação da resposta do bloco (valor absoluto) suportado

somente pela estaca, para os diferentes valores de E’, e também quando o bloco é suportado

somente pelo solo. A excitação é uma onda incidente vertical unitária.

69

Figura 3.14. Comparação da resposta do bloco para diferentes E’

Analisando a figura 3.14 percebe-se que o deslocamento do bloco submetido a uma onda

incidente, apresenta menor nível de vibração, na região da ressonância, quando o bloco está

suportado somente pela estaca. E à medida que a razão do módulo de elasticidade E’ vai

aumentando, o deslocamento do bloco vai diminuindo.

Esse capítulo apresentou a formulação e os resultados do deslocamento estacionário de

um bloco rígido, suportado somente pelo solo ou suportado somente pela estaca submetido a

uma onda incidente. O próximo capítulo apresenta os resultados do bloco suportado somente

pelo solo ou somente pela estaca no domínio do tempo.

70

4 ANÁLISE TRANSIENTE

Uma formulação dos métodos dos elementos de contorno (MEC), na qual apenas os

limites do domínio sob consideração têm que ser discretizada, requer um estado auxiliar

conhecido com mesma característica, ou seja, o mesmo operador diferencial do domínio a ser

resolvido. Esses estados auxiliares são conhecidos como funções de Green (ADOLPH,

MESQUITA e ROMANINI, 2001).

Existem muitos esforços para se formular, numericamente ou analiticamente, estados

eletrodinâmicos auxiliares para o contínuo anisotrópico dinâmico estacionário (Rajapakse &

Sentjuntichai, 1993) e para outros meios.

Dessa maneira, a análise transitória de um problema viscoelástico pelo Método dos

Elementos de Contorno (MEC), necessita de uma função de Green viscoelástica transitória

(ADOLPH, MESQUITA e ROMANINI, 2001). Porém, não existe uma função transiente geral

de uma função de Green (Beskos, 1987, Beskos, 1997).

Alguns resultados da análise transiente elastodinâmica podem ser encontrados em Codas

e Venturine (1996) e Codas e Venturine (1999).

As funções de Green foram incorporadas nas versões diretas e indiretas dos Métodos dos

Elementos de Contorno (MEC) para analisar a resposta estacionária dinâmica de uma fundação

rígida na superfície ou enterrada em diferentes perfis de solo (Romanini, 1995, Barros, 1997 e

Barros & Mesquita, 1999).

Matrizes de conformidade dinâmica estacionária para blocos rígidos interagindo com o

solo têm sido obtidas numericamente com precisão para altas frequências (ADOLPH,

MESQUITA e ROMANINI, 2001). Dessa maneira, é possível utilizar as respostas no domínio

da frequência, e através dela utilizar a transformada rápida de Fourier (FFT) para se obter a

resposta transiente para estruturas rígidas interagindo com o solo.

Quando se deseja passar do domínio do tempo para o domínio da frequência, utiliza-se a

transformada rápida de Fourier (FFT). Entretanto, quando se deseja passar do domínio da

frequência para o domínio do tempo utiliza-se da transformada rápida inversa de Fourier

(IFFT).

71

Quando se utiliza a transformada discreta de Fourier é importante se atentar a relação

entre o passo de frequência e o tempo máximo utilizado na análise transiente. Segundo Adolph

(2002), essa relação é mostrada na equação 4.1:

2 /max

t (4.1)

De uma maneira análoga, também existe uma relação entre a frequência máxima e o passo

de tempo utilizado na análise transiente. Essa relação, de acordo com Adolph (2002), é

mostrada na equação 4.2:

2 /max

t (4.2)

Analisando as equações 4.1 e 4.2, percebe-se que quanto maior for a frequência máxima

adota no domínio estacionário, menor vai ser o passo de tempo no domínio transiente. De

maneira análoga, percebe-se que quanto menor o passo de frequência, maior vai ser o tempo

máximo no domínio transiente.

A resposta numérica precisa da interação solo-bloco é computacionalmente cara.

Entretanto, segundo Gazetas (1983) os problemas de interação dinâmica solo-estrutura ocorrem

entre o intervalo 0<a0<10.

Segundo Adolph, Mesquita e Romanini (2001), o valor absoluto da resposta dinâmica da

interação solo-estrutura é uma função decrescente em função da frequência a0, como é possível

ver na figura 2.6.

Como o problema da interação solo-estaca-bloco não possui resposta analítica no domínio

do tempo, irá se adotar o problema de um sistema mecânico de 1 grau de liberdade massa-mola-

amortecedor para se validar o algoritmo desenvolvido; uma vez que o sistema mecânico de 1

grau de liberdade possui resposta analítica, tanto no domínio da frequência, quanto no domínio

do tempo.

72

4.1 Validação do algoritmo desenvolvido

Para que o código desenvolvido possa ser validado, é necessário ter uma solução analítica

para analisar a precisão da implementação utilizada. A equação de movimento para o sistema

massa-mola-amortecedor com 1 grau de liberdade, como mostrado na figura 4.1, é dada pela

equação 4.3:

Figura 4.1. Sistema massa-mola-amortecedor com 1 grau de liberdade

( )mu cu ku F t (4.3)

Sendo que os parâmetros “m”, “c” e “k” representam respectivamente, a massa, o

amortecimento e a rigidez do sistema.

Se a excitação externa aplicada na equação 4.3 for o impulso (delta de Dirac),

ˆ( ) ( )F t F t , de acordo com Inman (2000), a resposta analítica desse problema é dada pela

equação 4.4:

ˆ

ˆ( ) ( , ( ) ( ))tn

d

d

Feu t u t F t F t sen t

m

(4.4)

73

Na equação 4.4, F̂ é a amplitude do impulso unitário, ζ é o fator de amortecimento, ωd

é a frequência de vibração amortecida e ωn é a frequência natural. O fator de amortecimento, a

frequência natural e a frequência de vibração amortecida são representadas, respectivamente,

pelas equações 4.5, 4.6 e 4.7:

2

c

km

(4.5)

kn m

(4.6)

21d n

(4.7)

Já para o domínio da frequência, a resposta analítica de um sistema massa-mola-

amortecedor com 1 grau de liberdade, submetida a um impulso (delta de Dirac), tem como

resposta analítica a fórmula mostrada na equação 4.8:

2

( )FU

k m i c

(4.8)

Como as respostas do deslocamento do bloco se encontram no regime estacionário,

vamos utilizar a equação 4.8 e fazer a transformação inversa de Fourier (IFFT), para se obter a

mesma resposta no regime transiente. A resposta obtida através da transformação inversa de

Fourier é comparada com a resposta analítica no tempo, equação 4.4. Os dados utilizados nesse

exemplo, são mostrados na tabela 4.1.

Tabela 4.1- Propiedades do Sistema

Massa 1 kg

Rigidez 100 N/m

Amortecimento 1 kg/s

Frequência inicial 0 rad/s

Frequência final 100 rad/s

Incremento na frequência 0.01 rad/s

74

A figura 4.2 mostra a comparação entre os resultados obtidos através da solução analítica

e através do código da transformada inversa de Fourier, sendo que a figura 4.2a mostra o gráfico

em escala linear e a figura 4.2b mostra o gráfico em escala semilogarítmica.

(a) (b)

Figura 4.2 (a) Resposta em escala linear (b) resposta em escala semilogarítmica.

A figura 4.3 mostra o erro percentual que é encontrado entre a solução analítica e a

transformada inversa de Fourier, sendo que na figura 4.3a mostra o gráfico em escala linear e a

figura 4.3b mostra o gráfico em escala semilogarítmica.

(a) (b)

Figura 4.3 (a) Erro relativo em escala linear (b) erro percentual em escala semilogarítmica.

O segundo teste que irá ser feito é em relação ao passo de frequência Δω. Os dados desse

estudo são mostrados na tabela 4.2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

tempo(s)

deslo

cam

en

to(m

)

analitico

FFT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-4

10-3

10-2

10-1

tempo(s)

deslo

cam

en

to(m

)

analitico

FFT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Err

o r

ela

tivo

Tempo0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Err

o r

ela

tivo

Tempo

75


Massa 1 kg

Rigidez 100 N/m

Amortecimento 1 kg/s

Frequência inicial 0 rad/s

Sendo que o ωfinal adotado vai ser (2*π*ωn) e o Δω vai ser igual a (ωn/n), sendo que o “n”

varia para as diferentes analises. Como o Δω irá variar para as diferentes analises,

consequentemente, o tempo final também vai ser diferente para as diferentes analises, como

mostra a equação 4.1. Os “n” adotados para essa análise são: 10, 20, 30, 40, 50 e 100.

As figuras 4.4, 4.5 e 4.6 mostram o erro absoluto relativo em escala semilogarítmica,

entre a resposta analítica e transformada inversa de Fourier, para as diferentes analises.

Figura 4.4 (a) Erro percentual absoluto para n=10 (b) Erro percentual absoluto para n=20.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

-4

10-3

10-2

Tempo(s)

Err

o A

bso

luto

Perc

en

tua

l

0 1 2 3 4 5 6 710

-5

10-4

10-3

10-2

Tempo(s)

Err

o A

bso

luto

Perc

en

tua

l

76



A figura 4.7 mostra um comparativo entre os erros absolutos percentuais para os

diferentes “n”, ou seja, com diferentes passos de frequência.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-5

10-4

10-3

10-2

Tempo(s)

Err

o A

bso

luto

Perc

en

tua

l

0 2 4 6 8 10 12 1410

-5

10-4

10-3

10-2

Tempo(s)

Err

o A

bso

luto

Perc

en

tua

l

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Tempo(s)

Err

o A

bso

luto

Perc

en

tua

l

0 5 10 15 20 25 30 3510

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Tempo(s)

Err

o A

bso

luto

Perc

en

tua

l

77

Figura 4.7. Comparação entre os erros absoluto percentual para os diferentes “n”

Analisando a figura 4.7, percebe-se que, quanto mais discretizado é o sistema, ou seja,

quanto menor é o passo de frequência, menores são os erros apresentados. Isso é coerente.

Como pode ser visto nas figuras 4.2 a 4.7, o algoritmo desenvolvido está apresentando

bons resultados.

Entretanto, o cálculo da resposta da interação solo-estaca-bloco em altas frequências é de

alta complexidade e de elevado custo computacional. A determinação da resposta de interação

solo-estrutura em altas frequências, do ponto de vista dinâmico, não é necessária. Entretanto,

para se realizar a transformada inversa de Fourier de uma maneira precisa, a resposta da

interação solo-estrutura a altas frequências é necessária.

Como já foi mencionado no texto, e pode-se perceber em algumas figuras do texto, o

valor absoluto do deslocamento do bloco, para valores de frequência acima da ressonância, é

uma função decrescente da frequência; levando isso em consideração e sabendo da dificuldade

e do alto custo computacional para se calcular a interação solo-estaca-bloco em altas

frequências, a seguinte estratégia será utilizada.

0 5 10 15 20 25 30 3510

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Tempo(s)

Err

o A

bso

luto

Perc

en

tua

l

n/10

n/20

n/30

n/40

n/50

n/100

78

A resposta da interação solo-estaca-bloco irá ser calculado até a frequência de 0.510a0,

com o passo de frequência de 0.001. Depois disso, será feito uma suavização da curva, através

de uma extrapolação por splines cúbicas, até que ela atinja o valor zero. Depois disso, serão

adicionados zeros até a frequência desejada, podendo assim se conseguir um passo de tempo

pequeno. O processo descrito é mostrado na figura 4.8.

Figura 4.8. Exemplificação da estratégia utilizada

Os dados utilizados nesse estudo, são mostrados na tabela 4.3. Será utilizado um sistema

massa-mola-amortecedor para validar o algoritmo desenvolvido.


Massa 157.0796 kg (B=50)

Rigidez 5.2770 N/m

Amortecimento 2.1 kg/s

Frequência inicial 0.001 rad/s

Frequência final 0.510 rad/s

Incremento na frequência 0.001 rad/s

Para determinar o valor do deslocamento da massa em 0 rad/s irá se utilizar de uma spline

cúbica. Depois da frequência final de 0.510 rad/s irá ser feito a suavização da curva através de

uma extrapolação até que o deslocamento da massa seja de 0. Após disso, será feito uma adição

de zeros até a frequência de 100 rad/s.

79

Os valores utilizados nesse estudo foram escolhidos, por serem bem próximos dos dados

que se obtém da interação solo-estaca-bloco.

Será comparada a resposta obtida através da transformada inversa de Fourier com a

resposta analítica no tempo de um sistema massa-mola-amortecedor com 1 grau de liberdade.

A figura 4.9 mostra como fica o gráfico após a suavização feita e com a adição dos zeros

até a frequência desejada de 100 rad/s.

(a) (b)

Figura 4.9 (a) Suavização da curva até o valor 0 (b) curva final com adição dos zeros

A figura 4.10 mostra os resultados obtidos entre a resposta analítica e a transformada

inversa de Fourier.

(a) (b)

Figura 4.10(a) Comparação das respostas obtidas (b) Zoom da figura 5.10a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

frequencia(rad/s)

deslo

cam

ento

(m)

Suavizando a curva ate o valor zero

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

frequencia(rad/s)

deslo

cam

ento

(m)

Adicionando-se zeros na curva

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Tempo(s)

Deslo

cam

ento

(m)

fft

analitico

0 100 200 300 400 500 600 700 800

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Tempo(s)

Deslo

cam

ento

(m)

fft

analitico

80

Como pode ser visto na figura 4.10, o algoritmo desenvolvido apresenta boa precisão. A

precisão do algoritmo fica mais evidente na figura 4.11, que mostra o erro percentual entre a

resposta analítica e a transformada inversa de Fourier.

Figura 4.11 Erro relativo

Como pode ser observado na figura 4.10 e 4.11, a estratégia utilizada foi satisfatória.

Agora, serão apresentados os resultados obtidos na interação solo-estaca- bloco no estado

transiente, utilizando os mesmos procedimentos do estudo anterior, que são: obtenção da

resposta na frequência 0 através de uma spline cúbica; suavização da curva até o deslocamento

do bloco ser igual a zero e adição de zeros até a frequência desejada (100a0).

4.2 Resposta transiente do bloco submetido a uma força externa

Nesta seção será apresentada a resposta transiente do bloco submetido a uma força

externa, suportado somente pelo solo, suportado somente pela estaca e interagindo com o solo

e com a estaca.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

-8

10-6

10-4

10-2

100

Tempo(s)

Err

o r

ela

tivo

81

As figuras 4.12, 4.13, 4.14, 4.15 e 4.16 mostram o deslocamento da interação solo-estaca-

bloco no estado transiente, para o bloco interagindo somente com o solo e somente com a estaca

(com diferentes módulos de elasticidade) submetidas a uma excitação externa unitária. Nesta

seção, os seguintes parâmetros são considerados: para o semi-espaço, Ehs=2.5Pa, ηhs=0.01,

υhs=0.25, ρhs=1kg/m³; para o bloco, af=1m e para a estaca: hp/ap=35, ρp=1kg/m³.

Figura 4.12 Deslocamento do bloco interagindo com o solo

Figura 4.13 Deslocamento do bloco interagindo com a estaca (E’=10)

82


(a) (b)


83


Analisando os gráficos tempo x deslocamento (figuras 4.12 a 4.16), percebe-se que o

deslocamento do bloco, submetido a uma excitação externa, interagindo somente com o solo é

maior do que os deslocamentos do bloco interagindo somente com a estaca. E à medida que a

estaca vai ficando mais rígida, o deslocamento vai diminuindo. Esse resultado é mais fácil de

ser visualizado na figura 4.17, que mostra no mesmo gráfico o deslocamento do bloco suportado

somente pelo solo e somete pela estaca, com diferentes módulos de elasticidade, submetido a

uma força externa.

Figura 4.17 Comparação do deslocamento do bloco submetido a uma força externa

84

Os gráficos acima mostram os resultados do bloco interagindo apenas com um

mecanismo de suporte, ou o solo ou a estaca. As figuras 4.18, 4.19, 4.20 e 4.21 mostram os

resultados do bloco interagindo ao mesmo tempo com o solo e com a estaca.

Figura 4.18 Deslocamento do bloco interagindo com o solo e a estaca (E’=10)


85



Analisando as figuras 4.18 a 4.21, percebe-se que quando o α é igual a zero os resultados

são os mesmos. Isto é coerente, uma vez que quando α é igual a zero, o bloco está em contato

apenas com o solo, que contém as mesmas propriedades.

À medida que α vai aumentando, a amplitude do deslocamento do bloco vai diminuindo;

a amplitude do deslocamento do bloco também diminui quando a estaca vai se tornando mais

rígida, como pode ser visto nas figuras 4.18 a 4.21.

86

4.3 Resposta transiente do bloco submetido a uma onda incidente vertical

Nesta seção será apresentada a resposta transiente do bloco submetido a uma onda

incidente vertical, suportado somente pelo solo ou suportado somente pela estaca.

Os resultados anteriores são para quando o bloco está submetido a uma excitação externa.

A figura 4.22 mostra o resultado, no estado transiente, no caso em que o bloco está submetido

a uma onda incidente vertical unitária. As propriedades do semi-espaco, da estaca e do bloco

são os mesmos para o caso em que o bloco está submetido a uma excitação externa. A figura

mostra um comparativo para quando o bloco está suportado apenas por um mecanismo, o solo

ou a estaca (com diferentes módulos de elasticidade).

(a) (b)

Figura 4.22 Deslocamento do bloco interagindo com o solo ou com a estaca

Analisando a figura 4.22, percebe-se que quando o bloco está submetido a uma onda

incidente vertical, o deslocamento do bloco é menor quando ela está suportado pela estaca.

Percebe-se também que a medida que o módulo de elasticidade da estaca vai aumentando, ou

seja, a medida que aumentamos o valor de E’, também ocorre um decréscimo no valor de

deslocamento do bloco.

Esse capítulo apresentou a estratégia utilizada para se obter os resultados do deslocamento

do bloco no domínio do tempo. Além disso foram apresentados os resultados transiente do

87

deslocamento do bloco submetido a uma onda incidente vertical ou a uma força externa, sendo

que o bloco pode estar sendo suportado pelo solo ou pela estaca. O próximo capítulo apresenta

as conclusões desse trabalho e as sugestões para trabalhos futuros.

88

5 CONCLUSÃO E SUGESTÃO PARA TRABALHOS

FUTUROS

O trabalho apresentou uma formulação para análise da resposta estacionária dinâmica de

um bloco circular rígido interagindo com o solo e com uma estaca. Um parâmetro adimensional

α foi introduzido, que permite a investigação do acoplamento entre os dois casos extremos: o

caso em que o bloco é totalmente suportado pelo solo e o caso em que o bloco é totalmente

suportado pela estaca.

O estudo mostrou que a resposta do sistema acoplado depende significativamente da

quantidade de carga que é transferida do bloco para a estaca e para o solo. Esse é um resultado

importante e que não se foi encontrado na literatura.

A introdução da estaca resulta em uma diminuição da amplitude de vibração do sistema,

independentemente do tipo de excitação a que o bloco está submetido. O caso no qual o bloco

possui menor amplitude de vibração corresponde ao caso em que o sistema é suportado somente

pela estaca.

Para os casos estudados, independentemente da composição do sistema, um aumento da

rigidez da estaca provoca um ligeiro incremento na frequência de ressonância do sistema.

Percebeu-se também que à medida que a estaca fica mais rígida, ocorre um pequeno incremento

na frequência natural do sistema.

O algoritmo desenvolvido para se obter a resposta do bloco no estado transitório foi

satisfatório, uma vez que ele apresentou bons resultados quando aplicado na resposta analítica

de um sistema massa-mola-amortecedor de 1 grau de liberdade.

89

5.1 Sugestões para trabalhos futuros

Para trabalhos futuros, sugere-se fazer um estudo da resposta do bloco parcialmente

suportado pelo solo e pela estaca submetido a uma onda incidente e que a onda incidente interaja

com a estaca ao longo de seu comprimento, e não somente em um ponto da estaca. Assim será

possível estudar a influência do corpo da estaca quando o bloco está submetido a uma onda

incidente vertical.

Sugere-se também a formulação da resposta do bloco quando ele está interagindo com o

solo e a estaca (formulação com o parâmetro alfa).

Sugere-se também a formulação da resposta do bloco com a inclusão de uma camada de

material mais amortecido entre o bloco e a estaca.

Sugere-se ainda a tentativa de comparação dos resultados numéricos apresentados com

resultados experimentais do LNLS.

90

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94

APÊNDICE A – Estaca com propriedades iguais a do solo

Em todas as análises apresentadas nesse trabalho, até agora, a estaca em estudo possui a

mesma densidade do solo, porém o módulo de elasticidade da estaca e do solo possuem valores

distintos.

Nesta seção apresenta-se o resultado para o caso em que a densidade e o módulo de

elasticidade da estaca são iguais às do solo, que são, respectivamente, 1kg/m³ e 2.5 Pa.

A.1 – Bloco submetido a uma excitação externa

No resultado que vai ser mostrado a seguir, na figura A.1, considerou-se que o bloco é

suportado somente pelo solo ou somente pela estaca, está submetida a uma excitação externa

unitária, que a relação de massa B é igual a 50 e a relação entre a altura e o raio da estaca (H/a)

é de 35.

95

Figura A.1- Comparação da resposta do bloco suportado somente pelo solo ou pela estaca submetido a

uma excitação externa, a estaca tem as mesmas propriedades do solo

Como pode ser visto na figura A.1, percebe-se que, mesmo com a modelagem diferente

entre a interação solo-bloco e estaca-solo, quando a estaca possui as mesmas propriedades do

solo, a resposta do bloco interagindo somente com o solo ou com a estaca é igual, o que está

coerente.

A.2 – Bloco submetido a uma onda incidente vertical

A figura A.2 mostra o resultado do bloco interagindo somente com o solo ou com a estaca,

quando o bloco está submetido a uma onda incidente vertical. As propriedades desse exemplo

são os mesmo do exemplo A.1.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2A

bs[U

f] (m

)

Frequency a0

Solo

Estaca

96

Figura A.2- Comparação da resposta do bloco suportado somente pelo solo ou pela estaca submetido a

uma onda incidente, a estaca tem as mesmas propriedades do solo

Como pode-se ser visto na figura A.2, quando submetido a uma onda incidente, se as

propriedades da estaca forem iguais a do solo, a resposta vibratória do bloco suportado somente

pelo solo ou somente pela estaca, são iguais.

Independentemente da excitação do bloco, se as propriedades da estaca forem iguais ao

do solo, a resposta vibratória do bloco suportado somente pela estaca ou somente pelo solo, vão

ser iguais, como pode-se ser observado nas figuras A.1 e A.2.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

1

2

3

4

5

6A

bs[U

f] (m

)

Frequency a0

Solo

Estaca

97

APÊNDICE B – Influência da relação entre a altura e o raio da estaca (H/a) na resposta

vibratória do bloco

Em todas as análises apresentadas nesse trabalho, até agora, a estaca em estudo sempre

possui a mesma relação entre a altura e o raio da estaca (H/a).

Nesta seção apresenta-se o resultado, na figura B.1, para o caso em que a densidade e o

módulo de elasticidade do solo são, respectivamente, 1kg/m³ e 2.5 Pa. A relação entre o módulo

de elasticidade da estaca e o modulo de elasticidade do solo E’ é igual a 100 e a relação de

massa B é igual a 50. A excitação do sistema é uma força externa unitária e o bloco está

suportado somente pela estaca com diferentes razões de altura e raio de estaca (H/a).

Figura B.1- Comparação da resposta do bloco suportado somente pela estaca submetido a uma

excitação externa, sendo que a estaca tem diferentes relações entre a altura e o raio da estaca (H/a)

Como pode-se observar na figura B.1, percebe-se que para estaca com diferentes relações

de altura e raio de estaca (H/a), a resposta vibratória do bloco possui diferente valores estáticos

para cada relação H/a.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Ab

s[U

f] (m

)

Frequency a0

H/a=15

H/a=20

H/a=25

98

APÊNDICE C – Influência da densidade na resposta vibratória da estaca

Em todas as análises apresentadas nesse trabalho, até agora, a estaca em estudo sempre

possui a mesma densidade, que é de 1kg/m³.

Nesta seção apresenta-se o resultado para o caso em que a razão de altura e raio de estaca

(H/a) é 35. Vão ser adotados diferentes valores da relação entre o módulo de elasticidade da

estaca e o modulo de elasticidade do solo E’, a relação de massa B é igual a 0, para que se possa

ter uma melhor visualização da influência da densidade da estaca. A excitação do sistema é uma

força externa unitária e o bloco está suportado pela estaca.

A figura C.1 mostra o resultado para a razão E’ igual a 10.


densidade da estaca variável e E’=10


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

0.085

ab

s[U

f] (m

)

a0

E'=10

=1

=5

=10

99






0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

ab

s[U

f] (m

)

a0

E'=50

=1

=5

=10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Re

al[

Uf]

(m)

a0

E'=100

=1

=5

=10

100

Observando as figuras C.1, C.2 e C.3, percebe-se que estacas com diferentes valores da

razão E’ e mesmo valores de densidade possuem as mesmas respostas estáticas. Percebe-se

também que em estacas mais flexíveis (menores valores de E’) a ressonância é mais bem

definida do que em estacas mais rígidas (maiores valores de E’).

101

APÊNDICE D – Influência do fator de amortecimento do solo na resposta vibratória do

bloco

Em todas as análises apresentadas nesse trabalho, até agora, o fator de amortecimento do

solo em estudo sempre era o mesmo, que era de ηhs=0.01.

Nesta seção apresenta-se o resultado para o caso em que o fator de amortecimento do solo

irá apresentar diferentes valores. No primeiro estudo a relação de massa B vai ser a igual a 0,

enquanto que no segundo estudo a relação de massa B vai ser igual a 50. A densidade e o

módulo de elasticidade do solo são, respectivamente, 1kg/m³ e 2.5 Pa. A excitação do sistema

é uma força externa unitária e o bloco está suportado somente pelo solo.

A figura D.1 mostra o resultado para o bloco com razão de massa B igual a zero.

Figura D.1 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetido a uma excitação externa, com

B=0.

A figura D.2 mostra o resultado para o bloco com razão de massa B igual a 50.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.182

0.183

0.184

0.185

0.186

0.187

0.188

0.189

0.19

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

=0.01

=0.03

=0.05

102

Figura D.2 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetido a uma excitação externa, com

B=50.

Observando as figuras D.1e D.2 percebe-se que a diferença na resposta vibratória do

bloco para perfis de solo com amortecimentos diferentes é que quanto maior o amortecimento

do solo, menor será a amplitude de vibração do bloco. Esse comportamento também acontece

com a adição de estaca no solo. Porém, quando a estaca está presente no sistema ocorre um

pequeno incremento da frequência natural do bloco, como foi mostrado no capítulo 2, fenômeno

que não acontece para perfis de solo iguais, mas com fator de amortecimento diferentes.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Frequency a0

Ab

s[U

f](m

)

=0.01

=0.03

=0.05

103

APÊNDICE E – Influência da spline na resposta transiente do bloco

Todos as respostas mostradas nesse trabalho, foram calculadas até a frequência

adimensional a0 de 0.510. Isso se deve pelo fato do cálculo da resposta da interação solo-bloco

ou solo-estaca ser muito caro computacionalmente. Porém, para se conseguir uma resposta bem

discretizada no domínio transiente, através da IFFT, é necessário que frequência máxima seja

alta. Por conta disso, como foi mostrado no capítulo 4, fez-se uma extrapolação, através de

spline cúbica, para se conseguir a resposta dinâmica do bloco em frequências maiores.

Aqui será mostrado a influência na suavização da curva, para o bloco interagindo somente

com o solo ou somente com a estaca submetido a uma força externa com relação de massa B=0.

As propriedades do solo são os mesmos do apêndice anterior.

A figura E.1 mostra a resposta, no domínio da frequência com diferentes suavizações.

Enquanto que a figura E.2 é apenas o zoom da figura E.1. Nesse estudo o bloco está suportado

somente pelo solo.

Figura E.1 - Resposta do bloco suportado somente pelo solo submetido a uma excitação externa, com

diferentes suavizações.

104

Figura E.2 – Zoom da figura E.1

A figura E.3 mostra a resposta no domínio transiente, obtido através da transformada

inversa de Fourier.


diferentes suavizações, no domínio transiente.

105

Como pode-se ver na figura E.3, a resposta quase não sofreu alteração para diferentes

suavizações.

A figura E.4 mostra a resposta, no domínio da frequência com diferentes suavizações.

Enquanto que a figura E.5 é apenas o zoom da figura E.4. Nesse estudo o bloco está suportado

somente pela estaca.

Figura E.4- Resposta do bloco suportado somente pela estaca submetido a uma excitação externa, com

diferentes suavizações.

106

Figura E.5 – Zoom da figura E.4

A figura E.6 mostra a resposta no domínio transiente, obtido através da transformada

inversa de Fourier.


diferentes suavizações, no domínio transiente.

107

Como pode-se ver na figura E.6, a resposta quase não sofreu alteração para diferentes

suavizações.

108

APÊNDICE F – Comparação da resposta transiente para diferentes valores de a0

Nesta seção mostra-se uma comparação da resposta transiente do bloco suportado

somente pelo solo e submetido a uma força externa unitária.

A figura F.1 mostra os resultados do deslocamento do bloco para uma resposta calculada

até a0=20 e para o deslocamento do bloco para uma resposta calculada até a0=0.510, onde se

foram adicionados zeros até a frequência de a0=20.

Figura F.1 Deslocamento do bloco para respostas calculadas com diferentes a0

A figura F.2 mostra um zoom da figura F.1.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

tempo(s)

Ab

s[U

f](m

)

a0=20

a0=0.51

109

Figura F.2 Zoom da figura F.1

Como se pode observar pela figura F.1 e F.2, as respostas obtidas para valores de a0=20

e para resposta de a0=0.510, onde se foram adicionados zeros até a frequência de a0=20, são

quase as mesmas.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

tempo(s)

Ab

s[U

f](m

)

a0=20

a0=0.51

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