universidade estadual de campinas aculfdade de...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Química

DANIEL DE ALMEIDA TRIFONI

Alocação de trocadores em processos químicos

CAMPINAS

2016

DANIEL DE ALMEIDA TRIFONI

ALOCAÇÃO DE TROCADORES EM PROCESSOSQUÍMICOS

Dissertação de mestrado apresentada à Facul-

dade de Engenharia Química da Universidade

Estadual de Campinas como parte dos requisitos

para a obtenção do título de Mestre em

Engenharia Química.

Orientador: Prof. Dr. ROGER JOSEF ZEMP

Este exemplar corresponde a dissertação de

defesa do aluno Daniel de Almeida Trifoni e

orientado pelo prof. Dr. Roger Josef Zemp.

CAMPINAS

2016

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 131232/2014-2

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaLuciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Trifoni, Daniel de Almeida, 1989- T733p TriAlocação de trocadores em processos químicos / Daniel de Almeida Trifoni.

– Campinas, SP : [s.n.], 2016.

TriOrientador: Roger Josef Zemp. TriDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Química.

Tri1. Otimização matemática. 2. Integração energética. 3. Trocadores de calor.

4. Instalações industriais - Layout. I. Zemp, Roger Josef,1962-. II. UniversidadeEstadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Química. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Heat exchanger positioning in chemical plantsPalavras-chave em inglês:OptimizationHeat integrationHeat exchangersPlant layoutÁrea de concentração: Sistemas de Processos Químicos e InformáticaTitulação: Mestre em Engenharia QuímicaBanca examinadora:Roger Josef Zemp [Orientador]Marcelo Modesto da SilvaJosé Flávio Benevides FerreiraData de defesa: 25-07-2016Programa de Pós-Graduação: Engenharia Química

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta dissertação:

Campinas, 25 de julho de 2016.

Prof. Dr. Roger Josef Zemp - Orientador

Prof. Dr. Marcelo Modesto da Silva

Dr. José Flávio Benevides Ferreira

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros da banca encontra-

se no processo de vida acadêmica do aluno

Dedico este trabalho à minha família e aos meus amigos

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao meu orientador Prof. Dr. Roger Josef Zemp pela atenção,

paciência, ótimas correções e sugestões. Seu vasto conhecimento me impulsionou e me

inspirou durante o desenvolvimento deste trabalho.

Aos meus amigos que tornaram todo o trabalho mais descontraído, divertido e

interessante.

Especialmente para os meus pais que me apoiaram durante todo este trabalho

e incentivaram a sempre continuar em frente.

Por �nal, agradecer ao apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento

Cientí�co e Tecnológico (CNPQ) que forneceu a bolsa de mestrado indispensável para

o desenvolvimento deste trabalho.

�Quanto mais aumenta nosso conhecimento,

mais evidente �ca nossa ignorância."

John F. Kennedy

Resumo

Durante estudos visando maior e�ciência energética de processos químicos o engenheiro

projetista lida com a adição de trocadores de calor novos para aumentar a recuperação

de energia da planta. O posicionamento destes trocadores de calor exige importantes

decisões envolvendo investimentos em materiais de construção, bombeamento, controle

e segurança. Apesar de que o custo de tubulação e bombeamento representam uma fatia

signi�cativa no custo de projetos existem poucos trabalhos que abordam este assunto e

os consideram em retro�ts. Além disso, o custo de tubulação e de bombeamento é dire-

tamente proporcional ao layout da planta química e consequentemente ao comprimento

da tubulação empregado, mostrando ser uma variável importante para estimativas

de viabilidade de projeto. Desse modo, é proposto um modelo de programação

misto-inteira não-linear que posiciona vários trocadores de calor simultaneamente

minimizando o comprimento de tubulação necessário para ligar os trocadores de calor

com suas respectivas correntes de processo, já presentes na planta. O modelo proposto

reconhece os locais disponíveis na planta para posicionar trocadores de calor, restrições

de layout para o pipe rack, permitindo a escolha da sustentação da tubulação em seu

roteamento, e o posicionamento relativo dos trocadores que estão sendo posicionados,

alinhando-os horizontalmente com um espaçamento seguro, ou empilhando-os em pares.

O modelo foi estudado utilizando um método proposto para o cálculo do comprimento

de tubulação com o simulated annealing e pelo software GAMS para vários cenários

distintos, variando o número de integrações simultâneas e de locais disponíveis em

uma planta de produção de dimetiléter. Os dois métodos mostraram-se efetivos para o

posicionamento de um pequeno número de trocadores de calor em diferentes cenários

com diferente número de locais disponíveis, por outro lado, em cenários com um

maior número de trocadores de calor o simulated annealing se sobressai com menores

comprimentos de tubulação. Para um caso estudado de quatro integrações simultâneas

o simulated annealing apresentou um comprimento 31% menor, quando o modelo foi

resolvido pelo GAMS©, sem um ponto inicial, e 12% menor considerando um ponto

inicial.

Abstract

During heat integration studies its a common practice of the project engineer to add

new heat exchangers aiming to improve the heat recovery in chemical plants. The

positioning of these heat exchangers demands important decisions in view of investment

in construction materials, pumping, control and security of a retro�t project. Although

the piping and pumping costs are keys variables to calculate the cost of the project, there

are not many studies that consider them in the heat exchanger network investment.

Furthermore, the piping and pumping cost varies according to the plant layout and

consequently to the piping length, thus emphasizing its importance on a project cost

feasibility. The present study proposes a mixed-integer-non-linear programing model

that positions several heat exchangers simultaneously in a chemical plant minimizing

the piping length. The model considers the existing pipe in the plant, the available

areas to positionate heat exchangers, pipe rack constraints in the pipe routing and

the relative positioning of heat exchangers allowing to choose between stacking and

horizontal spacing of heat exchangers pairs. The model is applied to several scenarios

using a dimetyl éther plant as process layout. It is solved by GAMS© and the simulated

annealing method and their results are compared. Both solving methods achieved

comparable results when a small number of heat exchangers and available sites are

considered, however the simulated annealing method presented better results when the

number of heat exchangers is increased. For a case study considering four heat exchagers

and no initial point for the GAMS's solvers, the simulated annealing piping length was

31% lower than the GAMS©. When a initial point is considered the piping length

di�erence decreases to 12%.

Lista de Figuras

2.1 Processo de produção de dimetil éter (Turton et al., 1998) . . . . . . . 23

2.2 Integração potencial de identi�cada adaptada de (Turton et al., 1998) . 25

2.3 Layout de uma planta de dimetiléter adaptado de Turton et al. (1998) . 26

2.4 Informações necessárias para a integração . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Limitação de locais disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Modelagem da Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7 Comprimento de tubulação por dois cálculos . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8 Possibilidades de interligação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9 Aplicação da seleção de trecho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 Aplicação da seleção de trecho e de área. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11 Representação das tubulações e posicionamentos da integração . . . . . 36

2.12 Planta do exemplo de aplicação 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.13 Resultado do exemplo 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Alterações no roteamento de tubulações . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Comprimento de tubulação para cada eixo . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Trocador de calor e corrente em lados opostos do piperack . . . . . . . 44

3.4 Integração entre um trocador de calor e corrente distantes . . . . . . . 45

3.5 Estimativa diferentes para mesma corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Representação do exercício 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7 Planta do exercício 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8 Representação do exercício 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Duas integrações simultâneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Espaçamento horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Espaçamento vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Método de espaçamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Perspectiva do layout do exemplo 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Planta do exemplo 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7 Layout possíveis de espaçamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.8 Layout possíveis de empilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.9 Representação do resultado do exemplo 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1 Fluxograma do simulated annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Método para cálculo do comprimento de tubulação. . . . . . . . . . . . 82

5.3 Método de aplicação de espaçamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4 Método de empilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5 Método de espaçamento sem empilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6 Método de espaçamento com empilhamento . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.7 Alocação ótima para exemplo 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.8 Histórico do exemplo 2.6 pelo método simulated annealing . . . . . . . 91





5.13 Duas integrações e quatro locais disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.14 Alocação ótima para vários locais disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . 99


5.16 Exemplo com quatro integrações simultâneas . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.17 Planta exemplo 5 resolvido pelo simulated annealing . . . . . . . . . . . 104


A.1 Posicionamentos Disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

B.1 Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver COUENNE c/ ponto inicial 122

B.2 Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver COUENNE s/ ponto inicial 122

B.3 Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver DICOPT c/ ponto inicial . . 123

B.4 Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver DICOPT s/ ponto inicial . . 123

Lista de Tabelas

2.1 Coordenadas Iniciais e Finais Para exemplo 2.6 . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Delimitação de Locais Disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Posições pré-de�nidas dos trocadores de calor . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Pontos de desvios pré-de�nidos das correntes . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Comprimento de tubulação para interligar cada trocador a cada um dos

trechos das correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Comprimento mínimo para cada local disponível . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Comprimento de Tubulação para cada combinação de Trocador de calor

e Trechos de Correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Comprimento Mínimo para cada local disponível . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Comparação dos resultados c/ e s/ pipe rack . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Posições pré-de�nidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Pontos de desvios pré-de�nidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Comprimento de tubulação de espaçamentos . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Comprimento de tubulação cada empilhamento . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Posição dos Trocadores de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Desvio das correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3 Estimativas de Comprimento de Tubulação do exemplo 5 para diferentes

solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4 Desvio das correntes - Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5 Posicionamentos dos Trocadores de Calor - Simulated Annealing . . . . 105

5.6 Estimativas de Comprimento de Tubulação do exemplo 5 para diferentes

solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A.1 Delimitação de Locais Disponíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.2 Coordenadas Iniciais e Finais das Correntes de Processo . . . . . . . . 116

B.1 Posicionamento dos trocadores de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

B.2 Desvio das Correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

B.3 Comprimentos de Tubulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

B.4 Desvio das Correntes para exemplo 5.3.2 utilizando DICOPT S/ ponto

inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B.5 Posicionamento dos trocadores para exemplo 5.3.2 utilizando DICOPT

S/ ponto inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B.6 Desvios das correntes para exemplo 5.3.2 utilizando DICOPT c/ Ponto

Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B.7 Posicionamentos dos Trocadores de calor para exemplo 5.3.2 utilizando

DICOPT c/ Ponto Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B.8 Desvios das correntes para exemplo 5.3.2 COUENNE s/ Ponto Inicial . 121


COUENNE s/ Ponto Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

B.10 Desvios das correntes para exemplo 5.3.2 COUENNE c/ Ponto Inicial . 121


COUENNE c/ Ponto Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Sumário

1 Introdução 17

1.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Objetivos Especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Estrutura da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Posicionamento de trocadores de calor 23

2.1 Modelagem da posição do trocador de calor . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Modelagem da tubulação de correntes do processo . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Modelagem do comprimento de tubulação . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Função objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Variáveis de seleção de trechos α . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Variáveis de seleção de locais (β) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Modelo de posicionamento de trocador de calor . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Exemplo de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Alterações na presença do pipe rack 41

3.1 Modelagem do roteamento com pipe rack . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Correção condicional do comprimento de tubulação . . . . . . . . . . . 46


4 Integrações simultâneas 53

4.1 Comprimento de tubulação para integrações simultâneas . . . . . . . . 53

4.2 Restrições Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1 Espaçamento de trocadores de calor . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.2 Empilhamento de trocadores de calor . . . . . . . . . . . . . . . 58


5 Métodos de otimização 70

5.1 Método determinístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Simulated annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.1 Variáveis do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.2 Ordenamento das variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.3 Função Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.4 Interpretação do vetor de entrada (X) . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.5 Cálculo do comprimento de tubulação . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.6 Número máximo de Trocadores de calor . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.7 Método de espaçamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.8 Validação do conjunto E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.9 Aplicar empilhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.10 Aplicar espaçamento horizontal de segurança . . . . . . . . . . . 85

5.2.11 Estimar comprimento de tubulação . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.1 Resolução de exemplos anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.2 Exemplos mais complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Conclusão 108

6.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A Planta de Dimetil Eter 116

B Resultados 119

17

Capítulo 1

Introdução

Integrações de processos é uma prática que já se mostrou muito e�ciente para

economia de recursos em industrias, sendo que começou com a integração térmica, onde

se destaca a metodologia pinch de meados dos anos 70 e depois se expandiu para várias

áreas: como a integração de energias, química e de equipamentos.

Hohmann (1971) inicialmente contribuiu, para a análise térmica de processos

industriais, desenvolvendo o método grá�co que utiliza as composite curves para

determinar o gasto mínimo com utilidades. Além disso, também propôs a determinação

do número mínimo de trocadores de calor para um processo industrial com o teorema

de Euler da teoria de grafos. Umeda et al. (1978) e Linnho� & Flower (1978a,b)

identi�caram o ponto de estrangulamento energético de sistemas térmicos, chamado de

pinch, para posteriormente toda a metodologia pinch ser formalizada por Linnho� &

Hindmarsh (1983).

A metodologia Pinch se destacou porque de�ne uma máxima recuperação

energética somente com uma diferença de temperatura e o balanço energético do

processo químico podendo ser muito útil para análise do quanto seu processo químico

está próximo da recuperação máxima e até para propor alterações no processo. Por

outro lado, para construir uma rede de trocadores de calor que recupere o máximo

de energia previsto na metodologia é, em vários casos, inviável �nanceiramente, pois

demanda grande investimento com os trocadores de calor.

Dessa maneira, foram de�nidas metas levando-se em conta outros fatores, além

da recuperação de energia, para gerar redes de trocadores de calor apresentando uma

visão de viabilidade econômica como por exemplo o supertargeting(Ahmad & Linnho�,

1989), que avalia como varia o custo total da rede de trocadores de calor em função da

18

diferença de temperatura mínima.

Os métodos de geração de redes de trocadores de calor pelo cálculo sucessivo

de metas não garantem que as redes resultantes sejam ótimas porque estes métodos não

consideram os trade o�s de design.

Para tentar superar esta limitação começaram a ser desenvolvidos em paralelo

representações numéricas de rede de trocadores de calor por superestruturas que

minimizavam a energia e os gastos com trocadores de calor. Entretanto estes métodos

matemáticos geravam redes de trocadores inviáveis do ponto de vista prático, com

muitos trocadores de calor e divisões de corrente(Briones & Kokossis, 1999).

Não obstante, metodologias que utilizam as duas vertentes para geração de

redes de trocadores de calor começaram a ser desenvolvidas para remediar seus pontos

fracos. Um exemplo destas metodologias híbridas é o hypertargeting de Briones

& Kokossis (1999). Ele utiliza as metas de área juntamente com a modelagem

de superestruturas para gerar redes de trocadores de calor mais fáceis de serem

implementadas na prática.

Outro fator importante que foi implementado nas duas vertentes de geração de

trocadores de calor foi a perda de carga. Como exemplo podemos citar os trabalhos

Polley et al. (1990); Polley & Shahi (1991) em que a perda de carga foi implementada por

intermédio da relação entre perda de carga, coe�ciente de película e a área do trocador

de calor. Outro exemplo é o trabalho de ? que criou um modelo de programação não

linear inteira mista(MINLP) considerando a perda de carga nas linhas de processo em

sua função objetivo.

Nenhum destes trabalhos citados consideram o custo de tubulação diretamente,

mesmo que ele possa representar até 80% do FOB e até 25% do capital �xo de

investimento (Peters & Timmerhaus, 1991) em um projeto.

O custo de tubulação foi usualmente considerado indiretamente por intermédio

da penalização da função objetivo (Yee & Grossmann, 1987, 1991; Athier & Floquet,

1998; Ponce-Ortega et al., 2008; Liu et al., 2014) quando é prevista uma integração

de correntes muito distantes ou para evitar a adição de trocadores de calor novos. A

penalização basicamente cria um ranking de integrações prioritárias, que nem sempre

é facilmente estimável, além de que não é possível determinar a qualidade desta

estimativa, levando a topologias que não representam ótimo reais.

O custo de tubulação é uma grandeza normalmente apresentada em função

do seu comprimento e do seu diâmetro, desprezando custos com soldagem, pintura,

19

isolamento e acessórios. Seu diâmetro é obtido através de regras heurísticas de

velocidade econômica ou equações de mínimo gasto com bombeamento facilmente

encontradas em manuais de engenharia como Peters & Timmerhaus (1991). Já o seu

comprimento é uma grandeza de difícil estimativa, pois depende do posicionamento

dos equipamentos que vária de acordo com o processo ou indústria, mesmo que existam

heurísticas de Layouts de construção, como são por exemplo detalhadas em Bausbacher

& Hunt (1993) e Baasel (1977).

Em busca de um maior precisão do custo da rede de trocadores de calor, Nielsen

et al. (1997) e Suaysompol & Wood (1993) consideram o custo de área de trocadores

de calor casco tubo função do custo de tubulação, do número de cascos e da área

do trocador de calor no design de redes de trocadores de calor. O primeiro trabalho

considera a distância entre as correntes de processo, sem explicitar como foi calculada,

o diâmetro é pré-de�nido para cada corrente e o modelo é aplicado a um exemplo de

retro�t1. O segundo considera um comprimento de tubulação padrão de industrias

petrolíferas, o diâmetro ótimo de cada corrente de processo é calculado e o modelo é

aplicado a dois casos grassroots2. Incluir o custo de tubulação no design de rede de

trocadores de calor alterou a topologia das redes de trocadores de calor em relação aos

modelos que não o consideram, mostrando que ele é signi�cativo, podendo representar

layouts mais práticos.

Seguindo a mesma abordagem, de comprimento de tubulação padrão, Akbarnia

et al. (2009) estimaram detalhadamente o custo da tubulação de um trocador de calor

para uma corrente, utilizando vários diâmetros, e inseriram no método de targeting.

O custo de tubulação total é calculado pela multiplicação do número de trocadores de

calor com o custo de tubulação por corrente para um trocador de calor. O método

de targeting com o custo de tubulação foi aplicado a um exemplo e que comparado ao

método sem o custo de tubulação não apresentou diferença signi�cativa.

Em vista disso, considerar um comprimento de tubulação padrão facilita a

resolução do modelo matemático, porém assume que todas as indústrias são construídas

em cima de padrões exatos podendo resultar em integrações não práticas e estimativas

que não representam a realidade, como podemos notar pela divergência entre conclusões

de Akbarnia et al. (2009) e Suaysompol & Wood (1993).

É importante ressaltar que nenhum dos trabalhos citados até o momento apre-

1Retro�t é um termo muito utilizado na área de integração energética e tem como signi�cado amodi�cação em redes de trocadores de calor ja existentes

2Grassroot é um termo muito utilizado para projetos de construção de plantas químicas novas.

20

sentam uma metodologia para estimar o comprimento entre equipamentos detalhando

o layout variável de plantas químicas. Estimar este comprimento pode ser signi�cativo

no trade o� de recuperação de energia e custo de equipamentos gerando layout de redes

de trocadores de calor viáveis de caráter prático.

A abordagem de Pouransari & Maréchal (2014) otimiza a rede de trocadores

de calor em nível total site considerando o custo de tubulação indiretamente. A função

objetivo é penalizada com pesos que são estimados com base na distância entre as

correntes de processo que serão integradas. Para estimar o custo de tubulação o

diâmetro ótimo da tubulação é calculado e os comprimentos de tubulação são obtidos

inserindo a planta em um plano cartesiano e calculando as distâncias de Manhattan ou

Euclidiana entre as correntes de processo. Com esta metodologia eles agregaram mais

detalhamento ao modelo, gerando estimativas de custo mais realistas e a possibilidade

de gerar topologias mais próximas da realidade.

A ultima abordagem encontrada foi desenvolvida por Souza et al. (2016). Eles

propuseram um modelo de programação não linear inteira mista(MINLP) para design

de rede de trocadores de calor levando em conta não só o custo de tubulação total, como

também o custo de bombeamento diretamente na função objetivo que minimiza o custo

total anual. O custo de tubulação é estimado da mesma maneira que o trabalho de

Pouransari & Maréchal (2014) e a perda de carga por intermédio das equações clássicas

de perda de carga de �uidos incompressíveis. Eles comparam seus resultados com os de

outros trabalhos e mostram alterações signi�cativas na topologia da rede de trocadores

de calor, sendo que a perda de carga possui grande peso nestas alterações.

Concordante com o cenário apresentado, o custo de tubulação em uma rede de

trocadores de calor é um fator importante economicamente, além de que essencial para

cálculo do custo de bombeamento. Entretanto não há muitos trabalhos, até o momento,

que realizam o cálculo do custo de tubulação para rede de trocadores de calor baseados

no layout da planta. Os dois últimos trabalhos citados são os que apresentam maior

detalhamento e mostraram grande avanço no assunto, mas desprezam que as tubulações

em uma integração podem ser desviadas de tubulações já presentes na plantas até o

trocador de calor e que este trocador de calor deve ser posicionado em locais que estão

disponíveis e que não necessariamente são próximos das correntes de processo a serem

integradas.

Portanto, o presente trabalho irá contribuir com um modelo MINLP para o

posicionamento de trocadores de calor em retro�ts de plantas químicas com maior

detalhamento do layout. Ele estima o comprimento de tubulação de forma mais

21

detalhada levando-se em conta a tubulação já existente na planta química, que pode ser

aproveitada, e desviada para uma o trocador de calor que será posicionado nos locais

que estão disponíveis na planta.

1.1 Objetivos Gerais

Propor um procedimento para avaliação inicial da viabilidade econômica do

posicionamento de trocadores de calor novos adicionados em indústrias químicas. Este

procedimento posiciona múltiplos trocadores de calor em um layout de planta química

considerando os locais disponíveis para o posicionamento de trocadores de calor, as

correntes que serão integradas já existentes na planta, a possibilidade de empilhamento

ou espaçamento horizontal dos trocadores de calor e as restrições de layout aplicadas

para o pipe rack 3, mediante a minimização da estimativa do comprimento de tubulação

necessário para interligar o trocador de calor novo, posicionado em um local disponíveis,

às suas respectivas correntes quente e fria.

1.2 Objetivos Especí�cos

� Posicionamento de um trocador de calor escolhendo dentre os locais que estão

disponíveis na planta e determinando em que ponto as correntes serão desviadas.

� Considerar restrições de layout no roteamento das tubulações aplicadas para o

Pipe Rack.

� Expansão do modelo para o posicionamento de vários trocadores de calor

simultaneamente permitindo o empilhamento ou espaçamento dos trocadores de

calor posicionados em mesmo local disponível.

1.3 Estrutura da tese

A tese não foi estruturada de forma clássica visando maior didática na

explicação da modelagem matemática. O capítulo 2 delimita o problema que será

resolvido, introduz a modelagem matemática necessária para o posicionamento unitário

3Pipe Rack é um equipamento muito utilizado em plantas químicas para suporte de tubulações epode ser traduzido para esteiras de tubulações

22

de trocadores de calor desconsiderando todos os equipamentos em volta da tubulação

e do trocador de calor que será posicionado e apresenta um estudo de caso que ilustra

o funcionamento do modelo proposto.

O capítulo 3 discute as alterações no roteamento da tubulação quando

equipamentos presentes em volta das correntes a serem integradas e do trocador de

calor novo, são consideradas, aplica a modelagem para restrições de layout do pipe rack

e apresenta o mesmo estudo de caso do capítulo 2 só que considerando a presença do

pipe rack no layout para comparação dos resultados.

O capítulo 4 �naliza o modelo matemático proposto para o presente trabalho

expandindo-o para o posicionamento simultâneo de vários trocadores de calor. Ele

discute o espaçamento horizontal e o empilhamento de trocadores de calor, apresenta

uma modelagem matemática para considerar estas possibilidades de layout e apresenta

um estudo de caso que ilustra a aplicação destas duas possibilidades de layout.

O capítulo 5 de�ne que o modelo será minimizado com métodos determinísticos

e um estocástico(Simulated annealing), apresenta uma revisão bibliográ�ca dos métodos

destacando suas vantagens e desvantagens, propõe um procedimento de cálculo do

comprimento de tubulação para o método simulated annealing e aplica os dois métodos

propostos para resolver os casos estudados nos capítulos anteriores e para dois novos

casos mais complexos, discutindo os resultados obtidos.

O capítulo 6 sumariza os resultados obtidos, apresenta as conclusões do estudo

e sugestões para trabalhos futuros.

23

Capítulo 2

Posicionamento de trocadores de calor

Considerando integrações novas que serão implementadas em uma planta

química, os trocadores de calor são os equipamentos que irão realizar a troca de energia

entre as correntes quentes e as correntes frias do processo. Desse modo, os trocadores de

calor devem ser posicionados em locais que estejam disponíveis e as corrente envolvidas

nas integrações devem ser desviadas até o trocador de calor e depois retornarem até as

linhas de processo.

A processo de produção de dimetil éter, disponível em Turton et al. (1998)

(�gura2.1), será utilizada como exemplo de layout para o presente trabalho, sendo base

para todos os exemplos e discussões.

Figura 2.1: Processo de produção de dimetil éter (Turton et al., 1998)

24

O processo de produção de dimetil éter começa com uma corrente de metanol e

água que são misturados com o re�uxo da torre de destilação T-202 e seguem para a o

vaso estabilizador V-201. A mistura é então bombeada pelas bombas P-201, evaporada

no trocador de calor E-201, superaquecida no trocador E-202, que utiliza energia da

saída do reator como fonte quente, e segue até o reator R-201. A temperatura da

corrente de processo na saída do reator é muito alta exigindo que ela seja resfriada

antes da destilação. Desse modo esta corrente de processo superaquece a da entrada

do reator no trocador de calor E-202 e é resfriada com utilidade no trocador de calor

E-203 até a temperatura de entrada da torre de destilação T-201. Como o dimetil éter é

mais volátil ele sai no topo da torre T-201, passa pelo condensador E-205, é estabilizado

no vaso V-202 e bombeado pelas bombas P-202 para os tanques de armazenamento de

produto e para o re�uxo da torre T-201. Já a corrente de fundo, parte é evaporada pelo

refervedor E-204 e retorna para a torre de destilação T-201 e parte segue para a segunda

etapa de destilação na torre T-202. A corrente de topo da segunda torre de destilação

(T-202) é condensada pelo trocador de calor E-207, passa pelo vaso estabilizador V-203

e então é dividida, sendo que parte dela é reaproveitada e bombeada pelas bombas P-

203 até a corrente de matéria-prima e a outra parte é re�uxada para a Torre-202. Uma

fração da corrente de fundo da segunda torre de destilação é evaporada pelo trocador

de calor E-206 e retorna até a torre T-202 e a outra parte consiste na água de rejeito

que segue para a estação de tratamento.

Supondo que um estudo de integração energética identi�cou o potencial da

troca de calor entre a corrente fria que sai do vaso V-201 e vai até o trocador de calor

E-201 com a corrente quente de água de rejeito, propõe-se a adição de um trocador de

calor como está representado na �gura 2.2.

25

Figura 2.2: Integração potencial de identi�cada adaptada de (Turton et al., 1998)

Adicionar este trocador de calor na planta química consiste em responder pelo

menos três perguntas: onde o trocador de calor novo será posicionado? Qual ponto as

correntes quente e fria serão desviadas até o trocador de calor? Por onde as tubulações

que ligam o trocador de calor às correntes de processo serão roteadas?

Assim, é imprescindível ter o conhecimento do layout da planta química em

estudo, sabendo que para o presente trabalho o layout da planta de dimetiléter que

será utilizado foi adaptado de �guras de Turton et al. (1998) e está representado na

�gura 2.3.

26

Figura 2.3: Layout de uma planta de dimetiléter adaptado de Turton et al. (1998)

Nesta representação é possível observar os posicionamentos dos equipamentos,

roteamento das tubulações e seus padrões, como os trocadores de calor posicionados

lado a lado, próximos ao pipe rack, as tubulações sustentadas pelo pipe rack e pode-

se de�nir locais que estão disponíveis para se posicionar trocadores novos. Estes

posicionamentos de equipamentos e os roteamentos das tubulações são baseados em

normas que, usualmente em projetos industriais, não recebem a atenção que merecem

levando a layouts inseguros, como a�rma Papageorgiou (2009). Além disso, para

rotear tubulações de um equipamento novo é imprescindível determinar as limitações

físicas/mecânicas, garantir alocação segura, estudar o custo e a praticidade, que quando

são modelados matematicamente resultam em modelos altamente combinatórios e

rígidos(Papageorgiou, 2009).

27

Deste modo, posicionar trocadores de calor envolve um estudo multiobjetivo,

levando em conta custo de material utilizado, custo de bombeamento, custo de

utilidades. No presente trabalho ele será limitado somente ao layout da planta química

levando-se em conta o comprimento de tubulação para interligar o trocador de calor,

posicionado em locais disponíveis, a desvios das correntes quente e fria.

Para posicionar um trocador de calor em projetos de retro�ts são necessárias

inicialmente duas informações:

� O layout das tubulações já existentes na planta química.

� Locais disponíveis para posicionamento de trocadores de calor.

Estas duas informações iniciais serão inseridas em um plano cartesiano de três

coordenadas e, em uma primeira abordagem, todos os equipamentos a sua volta serão

ignorados, como mostra a a �gura 2.4.

Figura 2.4: Informações necessárias para a integração

O posicionamento do trocador de calor será feito dentro dos limites dos locais

disponíveis para sua alocação na planta química de acordo com a modelagem que será

apresentada na secção 2.1, ele irá se ligar a um ponto em que a corrente foi desviada,

posteriormente modelada na secção 2.2 e o comprimento de tubulação gasto para ligar

estes dois pontos será estimado de acordo com a modelagem que será apresentada na

secção 2.3.

2.1 Modelagem da posição do trocador de calor

Neste trabalho, o trocador de calor será aproximado para um ponto A de

coordenadas (x,y,z). Devido ao impedimento de equipamentos, normas de segurança,

28

limitações de área construída, entre outras especi�cações de projeto, deve-se determinar

vários locais disponíveis na planta química para posicionar o trocador de calor. É

importante ressaltar que na prática é de suma importância levar em conta normas de

segurança, limitações físicas, entre outros fatores técnicos, para delimitar estes locais

disponíveis, já que, ignorar algumas destas normas, pode gerar plantas não seguras e

impraticáveis, o que é comum em modelos matemáticos de layout (Papageorgiou, 2009).

A limitação dos locais disponíveis (m) é feita determinando coordenadas limites

superiores (As) e inferiores (Ai) para cada posicionamento de A nos três eixos do

cartesiano, representado na equação 2.1.

Ai,m ≤ Am ≤ As,m (2.1)

A �gura 2.5 ilustra um exemplo de local disponível para alocação de trocadores

de calor m que é limitado pelas suas coordenadas superiores e inferiores (Ai e As), para

cada um dos eixos, e que possui um trocador arbitrariamente posicionado A.

Figura 2.5: Limitação de locais disponíveis

Uma vez que o trocador de calor modelado para um ponto no espaço e

pertencente aos locais disponíveis as correntes em que ele irá se ligar serão modeladas

na secção 2.2 para determinar em que ponto elas serão desviadas até o trocador de

calor.

29

2.2 Modelagem da tubulação de correntes do processo

As correntes de processo utilizadas na integração serão consideradas somente

como segmentos paralelos aos eixos do cartesiano. Estes segmentos são nomeados de

trechos, serão representados pelo índice k e cada um deles possuem pontos de desvio ao

trocador de calor (C) que são limitados pelos pontos inicial e �nal nomeados de Ci e

Cs para cada trecho como é descrito pela equação 2.2.

Ci,k ≤ Ck ≤ Cs,k (2.2)

A �gura 2.6 ilustra um exemplo de local disponível para se alocar trocadores de

calor, nomeado dem, e uma corrente seccionada em quatro trechos que será desviada ao

trocador de calor. No local disponível (m) um trocador de calor (A) foi arbitrariamente

posicionado e na corrente um ponto de desvio (C) no trecho 3 foi escolhido, limitado

pelos valores inicial e �nal Ci,3 e Cs,3.

Figura 2.6: Modelagem da Corrente

É importante ressaltar, que para esta modelagem existirão pontos coincidentes

entre os vários trechos da corrente, já que, como mostra a �gura 2.6, o ponto �nal do

trecho 2 coincide com o ponto inicial do trecho 3.

Determinado os pontos de desvio da corrente e do trocador de calor a

modelagem para o comprimento de tubulação necessário para ligá-los será apresentada

na secção 2.3.

30

2.3 Modelagem do comprimento de tubulação

Estimar o comprimento de tubulação para um trocador de calor pontual e um

ponto de desvio da corrente é matematicamente calcular a distância entre estes dois

pontos.

Como proposto por Pouransari & Maréchal (2014) a distância de Manhattan

e a distância Euclidiana podem representar o comprimento de tubulação gasto para

interligar estes dois pontos, de modo que a distância Euclidiana corresponde à menor

distância possível entre dois pontos dentro de um plano cartesiano e a distância de

Manhattan é a soma das projeções de cada eixo, como ilustra a �gura 2.7.

Figura 2.7: Comprimento de tubulação por dois cálculos

Comparando as representações das duas maneiras de estimar o comprimento de

tubulação é razoável a�rmar que a distância de Manhattan representa uma tubulação

que utiliza de materiais padrões, como cotovelos 90º e tês 90º, que são facilmente

encontrados no mercado e consequentemente com menor custo. Desta forma, este

trabalho utilizará a distância de Manhattan para estimar o comprimento de tubulação.

A distância de Manhattan, também conhecida como métrica do táxi, faz alusão

aos quarteirões da ilha de Manhattan e �cou famosa devido a utilização do cálculo de

distância em cidades devido ao formato dos quarteirões. Ela é calculada pela soma das

diferenças modulares das coordenadas dos dois pontos no espaço cartesiano, sendo que

no presente trabalho, a distância é a estimativa do comprimento de tubulação (L) e os

dois pontos são o de desvio da corrente (C) do trecho (k) e o trocador de calor (A)

posicionado no local disponível (m), de acordo com a equação 2.3.

Lm,k = |Ax,m − Cx,k|+ |Ay,m − Cy,k|+ |Az,m − Cz,k| (2.3)

31

O objetivo deste trabalho é encontrar o posicionamento que resulta no menor

comprimento de tubulação e com base nesta prerrogativa a função objetivo será de�nida

na secção 2.4.

2.4 Função objetivo

A função objetivo desenvolvida até agora visa o layout da planta e o

comprimento de tubulação total estimado (LT) e é dado pela soma do menor

comprimento de tubulação da correntes quente (Lq) com o menor comprimento de

tubulação da e fria (Lf) formalmente multiplicados por dois, uma vez que a tubulação

deve ser desviada da corrente até o trocador de calor e depois retornar até a corrente,

descrito na equação 2.4.

LT = 2(Lq + Lf ) (2.4)

O menor comprimento de tubulação para a corrente quente e para a corrente

fria corresponde à escolha de uma combinação de trechos k, para a corrente quente, j

para a corrente fria e do local disponível m, dentre os vários possíveis e das coordenadas

de desvio C e do posicionamento A. Como por exemplo, considerando dois locais

disponíveis (m=1 e m=2), uma corrente que possui dois trechos (k=1 e k=2), um

trocador de calor pode ser posicionado em cada uma dos dois locais (A1 e A2) e em

cada local ele pode se ligar a cada um dos dois trechos (k=1 e k=2), em pontos diferentes

resultando em quatro comprimentos de tubulação possíveis (L1,1 ; L1,2 ; L2,1 e L2,2),

como mostra a �gura 2.8.

Figura 2.8: Possibilidades de interligação

O trocador de calor deve ser alocado no ponto em que o comprimento de

32

tubulação seja menor, exigindo a escolha do trecho em que o trocador de calor irá se ligar

e do local que ele irá ser posicionado para atingir o menor comprimento de tubulação.

Para representar matematicamente esta escolha será utilizado variáveis binárias que

terão valor unitário quando a melhor combinação de trecho/local disponível (k,m ou

j,m) for escolhida e quando o local (m) for escolhido para posicionar o trocador de

calor.

Deste modo, o cálculo do menor comprimento de tubulação, considerando a

seleção de trechos e a seleção de locais disponíveis de alocação, é feita de acordo com

a equação 2.5, de modo que a seleção dos trechos e do local disponível, resultando no

menor comprimento de tubulação, será modelada por meio das variáveis binárias α,

para a seleção de trechos, e β, para a seleção do local, que serão discutidas nas secções

posteriores 2.4.1 e 2.4.2 respectivamente.

L =m∑ k∑(

βm αm,k Lm,k

)(2.5)

2.4.1 Variáveis de seleção de trechos α

A matriz de variáveis binárias de seleção de trechos é composta de um número

de variáveis binárias igual a multiplicação do número de locais disponíveis (m) pelo

número de trechos da corrente (k). Cada uma destas variáveis somente assumirá valor

unitário se os pares de áreas e trechos forem combinados para o cálculo do comprimento

de tubulação.

Considerando a representação da �gura 2.8, o menor comprimento de tubulação

para a possibilidade de posicionamento no local disponível m=1 é a tubulação que se

liga ao trecho k=2, de comprimento L1,2, e para a possibilidade de posicionamento

no local disponível m=2 é a tubulação que se liga ao trecho k=2 de comprimento L2,2

resultando na matriz de seleção de trechos α da equação 2.6 e representado na �gura 2.9.

αm,k =

[0 1

0 1

](2.6)

33

Figura 2.9: Aplicação da seleção de trecho.

Somente um trecho da corrente poderá se ligar ao trocador de calor para cada

um dos locais disponíveis, exigindo a restrição das variáveis de seleção de trechos de

modo que somente uma variável binária por local disponível possa assumir o valor

unitário. A equação 2.7 descreve esta restrição e ela se repete para cada local disponível

m.

k∑αm,k = 1 para cada valor de m (2.7)

Portanto, tendo escolhido o trecho que demanda menor comprimento de

tubulação para cada um dos locais disponível, devemos escolher dentre estes locais

o que exige menor comprimento de tubulação. Esta escolha será feita por variáveis

binárias β, discutidas na secção 2.4.2.

2.4.2 Variáveis de seleção de locais (β)

O vetor de seleção de locais é composto de um número de variáveis binárias

iguais ao número de locais disponíveis e a variável que assumir o valor unitário é o local

disponível que foi escolhido para o trocador ser posicionado.

Considerando o exemplo da �gura 2.9, o menor comprimento de tubulação é a

ligação do trocador alocado no local disponível 1 de comprimento L1,2, assim, o vetor

de seleção de locais disponíveis resulta no vetor da equação 2.8 e está representado na

�gura 2.10.

βm = [1 0] (2.8)

34

Figura 2.10: Aplicação da seleção de trecho e de área.

Como somente um local deve ser escolhido dentre os disponíveis, a variável de

seleção de locais β seja restringida para que somente um valor dela possa ser unitário,

como descreve a equação 2.9.

m∑βm = 1 (2.9)

Uma vez que a modelagem para o posicionamento de um trocador de calor,

desconsiderando todos os equipamento em volta, foi discutida o modelo completo será

apresentado na secção 2.5

2.5 Modelo de posicionamento de trocador de calor

O modelo proposto permite lidar com o posicionamento contínuo das coor-

denadas do trocador de calor, pertencentes aos vários locais disponíveis, dos pontos

de desvios contidos no trechos das correntes e por meio de variáveis binárias escolher

o melhor local disponível para o trocador ser posicionado e a melhor combinação de

trecho quente e frio para ser desviada até o trocador de calor.

Considerando todas as equações descrita até agora e o índice k para trechos

quentes, o índice j para trechos frios, o índice m para os locais disponíveis de

posicionamento de trocadores de calor, o índice "q" para a corrente quente e "f" para

35

a corrente fria o modelo completo é descrito abaixo:

min(LT) = min

[2

m∑ k∑(βq,m αq,m,k Lq,m,k

)+ 2

m∑ j∑(βf,m αf,m,k

Lf,m,j

)]Sujeito a:

Lq,m,k = |Ax,m − Cq,x,k|+ |Ay,m − Cq,y,k|+ |Az,m − Cq,z,k|

Lf,m,j= |Ax,m − Cf,x,j|+ |Ay,m − Cf,y,j|+ |Az,m − Cf,z,j|

Ai,m ≤ Am ≤ As,m

Cq,i,k ≤ Cq,k ≤ Cq,s,k

Cf,i,j ≤ Cf,j ≤ Cf,s,jk∑αq,m,k = 1 para todo m

j∑αf,m,j

= 1 para todo m

m∑βm = 1

2.6 Exemplo de aplicação

O layout da planta de dimetil éter citada anteriormente (Figura 2.3 da

página 26) será utilizada como exemplo. Deseja-se integrar termicamente a corrente

fria da primeira bomba até o trocador E-201, com a corrente quente de resíduos, da

Junção posterior a ultima torre de destilação até o trocador E-208, como está destacado

na perspectiva da �gura 2.11:

36

Figura 2.11: Representação das tubulações e posicionamentos da integração

O mapeamento de toda planta de dimetil éter da �gura 2.3 foi realizado e

todas as coordenadas iniciais e �nais de cada um dos trechos utilizados neste trabalho

estão descritos na tabela A.2, foram delimitados quatro locais disponíveis para alocação

de trocadores de calor, seus limites estão descritos na tabela A.1 e representados na

�gura A.1. Para este exemplo as correntes que serão utilizadas estão destacadas na

tabela 2.1 e serão considerados somente os locais 1 e 4, destacados na tabela 2.2.

as correntes para este exemplo destacadas na tabela A.1.

Tabela 2.1: Coordenadas Iniciais e Finais Para exemplo 2.6

CorrenteInicio Final

x y z x y z

Bombeamento -> E-201

01.00 01.54 11.00 01.00 02.00 11.0001.00 02.00 11.00 04.45 02.00 11.0004.45 02.00 11.00 04.45 02.00 12.0004.45 02.00 12.00 05.95 02.00 12.0005.95 02.00 12.00 05.95 01.25 12.00

Junção -> E-208-5.05 2.25 9.0 -5.05 2.25 6.5-5.05 2.25 6.5 -5.05 1.0 6.5

37

Tabela 2.2: Delimitação de Locais Disponíveis

Local disponível(m)Inferior Superior

x y z x y z

1 05.70 0.50 00.00 07.70 00.50 06.004 -10.30 0.50 00.00 -08.30 00.50 04.50

A minimização somente será discutida no capítulo 5; assim, nesta etapa iremos

aplicar o modelo mostrando os binários resultantes e a estimativa do comprimento de

tubulação mínimo para um cenário pré-determinado de posicionamentos do trocador

de calor e dos pontos de desvio.

As possibilidades de posicionamento do trocador de calor para cada um dos

locais disponíveis foi arbitrário com as coordenadas da tabela 2.3 e os pontos de

desvio das correntes foram escolhidos como o centro de cada um dos trechos, como

está sumarizado na tabela 2.4 e representados na planta da �gura 2.12.

Tabela 2.3: Posições pré-de�nidas dos trocadores de calor

x y z

A1 6,0 0,5 3,0A4 −9,0 0,5 2,0

Tabela 2.4: Pontos de desvios pré-de�nidos das correntes

k ou j x y z

Cq,k1 −5,05 2,25 7,752 −5,05 1,63 6,5

Cf,j

1 1,00 1,77 11,002 2,73 2,00 11,003 4,45 2,00 11,504 5,20 2,00 12,005 5,95 1,63 12,00

38

Figura 2.12: Planta do exemplo de aplicação 2.6

O comprimento de tubulação para a combinação de cada trecho com cada local

disponível foi calculado pela equação 2.3 e estão listados na tabela 2.5.

Tabela 2.5: Comprimento de tubulação para interligar cada trocador a cada um dos trechosdas correntes

Comprimento de Tubulação (m)

Local Disponível Trecho quente Trecho Frio

1

17,6 14,315,7 12,8- 11,6- 11,3- 10,2

4

11,5 20,39,6 22,2- 24,5- 25,7- 26,1

Para obter o comprimento mínimo para cada um dos locais disponíveis iremos

selecionar o trecho quente 2 e o trecho frio 5 para o local disponível 1 e o trecho quente

2 e o trecho frio 1 para o local disponível 2, que estão destacados em negrito, resultando

nas matrizes binárias das equações 2.10 e 2.11, sendo k o índice de trechos quentes e o

39

Figura 2.13: Resultado do exemplo 2.6

j o índice de trechos frios.

αq,m,k =

[0 1

0 1

](2.10)

αf,m,j=

[0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

](2.11)

Tendo selecionado os trechos que serão desviados para os trocadores de

calor o comprimento de tubulação para cada local disponível pode ser estimado pela

equação 2.5 e resulta nos comprimento de tubulação da tabela 2.6

Tabela 2.6: Comprimento mínimo para cada local disponível

Loca Disponível Comprimento de Tubulação(m)

1 25,94 29,9

O menor comprimento de tubulação é encontrando no posicionamento 1, assim,

o vetor binário de Posicionamento (βm) é escrito de acordo com a equação 2.12 e o

resultado representado de na planta da �gura 2.13, que destaca com linha contínua

o menor comprimento de tubulação dentre as duas possibilidades de posicionamentos

pré-determinados.

βm = [1 0] (2.12)

40

Portanto, conhecendo-se os pontos de desvios das correntes e o posicionamento

dos trocadores de calor é possível escolher a combinação de trechos e locais disponíveis

que serão interligados para prover o menor comprimento de tubulação. Para o exemplo

apresentado, o comprimento total mínimo é estimado pelo o resultado da tabela 2.6

multiplicado por dois, 51,8 metros, e representa a interligação da posição de�nida

inicialmente do local disponível 1, ligado ao trecho 2 da corrente quente e ao trecho

5 da corrente fria pelos pontos de desvio previamente de�nidos.

As restrições físicas no roteamento das tubulações, principalmente quando o

layout da planta é muito complexo, é um fator muito importante para se obter melhores

estimativas do comprimento de tubulação. Deste modo, o capítulo 3 realiza a discussão

de como as restrições físicas exigidas pelo pipe rack in�uenciam na estimativa do

comprimento de tubulação, desenvolve matematicamente as restrições que precisam

ser incluídas no modelo e o aplica ao mesmo exemplo deste capítulo para comparar os

resultados.

41

Capítulo 3

Alterações na presença do pipe rack

Indústrias químicas geralmente produzem vários produtos e subprodutos dentro

de uma mesma planta química e para interligar estes processos são necessário tubulações

longas, que exigem medidores, controle, entre outros dispositivos de segurança.

O pipe rack é o equipamento utilizado para sustentar as tubulações, cabos

de energia e controle, dispondo-os de maneira prática e segura para os processos,

necessitando assim, ser o primeiro equipamento a ser construído em um projeto de

planta química nova, exigindo alto investimento e uma equipe multidisciplinar para

projetá-lo (Bausbacher & Hunt, 1993).

A presença do pipe rack in�uencia no roteamento das tubulações para alocação

do trocador de calor em um retro�t e consequentemente no comprimento de tubulação

necessário. Pode-se citar como exemplo, uma integração em que o pipe rack estiver entre

o trocador de calor alocado e a corrente em que ele irá se ligar, tornando obrigatório

que a tubulação passe por cima do pipe rack. Além disso, vários outros motivos técnicos

podem exigir que a tubulação seja sustentada pelo pipe rack como: trocador de calor

e correntes distantes, facilitar disposição da tubulação, organização de tubulações na

planta, etc.

Duas situações estão representadas na �gura 3.1 destacando as estimativas das

tubulações considerando ou não a necessidade de sustentação pelo pipe rack devido aos

posicionamentos do trocador de calor e das correntes em relação ao pipe rack.

42

Figura 3.1: Alterações no roteamento de tubulações

No primeiro caso a tubulação estimada para a integração entre o trocador de

calor Am e a Corrente 1, desenvolvida no capítulo 2, não considera o pipe rack e roteia a

tubulação através dele(linha pontilhada), o que não é permitido e, além disso, subestima

a estimativa da tubulação necessária, pois, para este caso, exige-se um comprimento de

tubulação adicional no eixo y para que a tubulação seja sustentada pelo pipe rack(linha

contínua).

No segundo caso, exige-se que a tubulação necessita ser sustentada pelo pipe

rack, mesmo que ela não necessariamente atravesse o pipe rack. Este caso também está

representado na �gura 3.1, com a integração entre o trocador de calor Am e a Corrente

2. Nota-se, que a tubulação também foi subestimada pelo modelo do capítulo 2(linha

pontilhada), de modo que a presença do pipe rack exige comprimento de tubulação

adicionais nos eixos x e y(linha contínua).

Deste modo, a presença do pipe rack in�uencia na estimativa do comprimento

de tubulação gasto, necessitando assim, de correções nos comprimentos de tubulação

de cada eixo do plano cartesiano da equação desenvolvida no capítulo 2 que serão

discutidas na secção 3.1.

3.1 Modelagem do roteamento com pipe rack

Considerar o posicionamento do pipe rack no roteamento de tubulações novas

implica em realizar correções nas diferenças modulares de cada eixo de acordo com o

43

posicionamento relativo da corrente, do local disponível e do pipe rack.

Para facilitar o equacionamento matemático, pode-se dividir a distância de

Manhattan (equação 2.3, página 30) em três diferenças modulares, sendo cada uma

relativa a cada um dos eixos do cartesiano, ∆x, ∆y e ∆z. A �gura 3.2 destaca como é

calculada cada uma das diferenças modulares de cada um dos eixos para uma integração

qualquer entre o trocador de calor Am e o desvio da corrente Ck e estão representadas

pelas equações 3.1, 3.2 e 3.3. O comprimento de tubulação é dado pela soma destas

diferenças modulares, como mostra a equação 3.4.

∆xm,k = |Ax,m − Ck,x| (3.1)

∆ym,k = |Ay,m − Ck,y| (3.2)

∆zm,k = |Az,m − Ck,z| (3.3)

Lm,k = ∆xm,k + ∆ym,k + ∆zm,k (3.4)

Figura 3.2: Comprimento de tubulação para cada eixo

Quando considerarmos as restrições do pipe rack o cálculo das diferenças

dos módulos será modi�cado, resultando em um comprimento de tubulação diferente

(Lp,m,k) e para representar esta mudança será adicionado o índice "p" a cada um dos

módulos como mostra a equação 3.5 .

Lp,m,k = ∆xp,m,k + ∆yp,m,k + ∆zp,m,k (3.5)

44

A �gura 3.3 isola o caso da �gura 3.1 em que ocorre a integração entre um

trocador de calor A e uma Corrente 1 que estão posicionados em lados opostos em

relação ao pipe rack. Este caso exige que o comprimento de tubulação do eixo y seja

calculado em relação a altura do pipe rack Yp, de modo que a tubulação sai do trocador

de calor Am e sobe até a altura do pipe rack Yp, exigindo um comprimento de tubulação

de |Yp − Ay,m|. Ela se aproxima da corrente ao longo do eixo x com comprimento de

tubulação |Am,x − Ck,x| e depois se une ao desvio da corrente Cy, necessitando de um

comprimento de tubulação |Yp − Cy|. Não é necessário comprimento de tubulação em

z.

Figura 3.3: Trocador de calor e corrente em lados opostos do piperack

Ou seja, somente o comprimento de tubulação do eixo y sofre alteração no

cálculo para este caso, de modo que o comprimento de tubulação, considerando as

restrições do pipe rack, possa ser calculado pela equação 3.5, sendo cada uma das

diferenças modulares representada pelas equações 3.6, 3.7 e 3.8.

∆xp,m,k = ∆xm,k (3.6)

∆ypm,k = |Yp − Ay,m|+ |Yp − Ck,y| (3.7)

∆zp,m,k = ∆zm,k (3.8)

Já o segundo caso, em que a tubulação necessita ser sustentada pelo pipe rack,

mesmo que o trocador de calor e as correntes estejam no mesmo lado em relação pipe

rack, como ilustra a �gura 3.4. A tubulação deve sair do trocador de calor e se elevar até

a altura do pipe rack, necessitando de um comprimento de tubulação de |Yp−Am|, comofoi aplicado no caso anterior. Posicionado na altura do pipe rack ela deve se deslocar até

uma posição do pipe rack em que ela será sustentada escolhida pelo projetista e chamada

de Xp, pois neste caso o pipe rack é paralelo ao x, com comprimento de tubulação

de |Xp − Ax,m|. Estando no posicionamento de sustentação Xp ela irá se deslocar

até a coordenada z da corrente de processo Cz, necessitando de uma comprimento de

45

tubulação de |Az,m−Cz| e agora deve seguir até ao ponto de desvio que ela irá se ligarse deslocando no eixo x em relação ao ponto de sustentação Xp com um comprimento

de tubulação de |Xp − Cx| e um comprimento de tubulação em y de |Yp − Cy|.

Figura 3.4: Integração entre um trocador de calor e corrente distantes

Assim, para este caso o cálculo das diferenças modulares dos eixos x e y se

alteram de acordo com as equações 3.9, 3.10 e 3.11.

∆xp,m,k = |Xp − Ay,m|+ |Xp − Ck,y| (3.9)

∆ypm,k = |Yp − Ay,m|+ |Yp − Ck,y| (3.10)

∆zp,m,k = ∆zm,k (3.11)

Considerando os exemplos citados nota-se que o pipe rack in�uencia no

roteamento da tubulação em eixos especí�cos de acordo com os posicionamentos

relativos entre o trocador de calor, cada trecho da corrente e do pipe rack. O

comprimento de tubulação necessário para estes casos é calculado de acordo com pontos

padrões de referência do pipe rack escolhidos pelo projetista (Xp, Yp e Zp).

Até agora foram apresentados exemplos de casos especí�cos que a posição

do pipe rack in�uencia no roteamento da tubulação e como realizar o cálculo do

comprimento de tubulação nestas situações. A aplicação do cálculo modi�cado para

cada uma das diferenças modulares é condicional de acordo com o posicionamento

relativo do pipe rack, do trocador de calor, das correntes e por exigência técnica de

sustentação do pipe rack. Desse modo a modelagem da restrição do pipe rack condicional

46

será apresentada na secção 3.2 a seguir.

3.2 Correção condicional do comprimento de tubula-

ção

A correção de cada um dos eixos varia de acordo com o posicionamento relativo

do trocador de calor, do pipe rack e do trecho da corrente em que ela irá se ligar, como

ilustra a �gura 3.5. Nela existem duas possibilidades de integração entre um trocador

de calor Am e a Corrente 1 por meio de dois trechos diferentes, 2 e 6, de modo que a

integração com o trecho 2 exige um comprimento de tubulação adicional vertical (y)

devido ao pipe rack e para a integração com o trecho 6 não exige nenhum comprimento

adicional.

Figura 3.5: Estimativa diferentes para mesma corrente

Assim, a correção ou não da estimativa do comprimento de tubulação varia

para cada combinação de locais disponíveis m e trechos k e podem ser representados

matematicamente em valores binários, de forma que o valor unitário implica na correção

para o eixo especí�co e o valor nulo o cálculo desenvolvido no capítulo 2.

Serão criadas matrizes de constantes binárias, determinadas pelo projetista,

para cada eixo (P para o eixo x, R para o eixo y eW para o eixo z) representando quais

combinações de trechos k e locais m serão calculados de maneira modi�cada. Como

por exemplo a matriz da equação 3.12, aplicada ao eixo x, que explicita a necessidade

de correção para tubulações que interligarem trocadores de calor posicionados no local

47

disponível 1 aos trechos 1 e 2 da corrente e trocadores de calor posicionados no local

disponível 2 que se ligarem com o trecho 2.

Pq,m,k =

[1 1 0

0 1 0

](3.12)

Inserindo as matrizes binárias P , R e W no cálculo do comprimento de

tubulação Lp,m,k da equação 3.5, de forma que se o valor da matriz binária for igual a

1 ela aplicará a modi�cação no cálculo do comprimento de tubulação, e simpli�cando,

chega-se à equação 3.13. O comprimento de tubulação sem correção é representado por

Lm,k , ∆xm,k,∆ym,k e ∆zm,k são as diferenças modulares sem as restrições do pipe rack

e ∆xp,m,k, ∆yp,m,k e ∆zp,m,k o cálculo modi�cado com as restrições do pipe rack.

Lp,m,k = Lm,k + Pm,k(∆xp,m,k −∆xm,k) +Rm,k(∆yp,m,k −∆ym,k)+

+Wm,k(∆zp,m,k −∆zm,k) (3.13)

Deste modo, a equação 3.13 mostra que se o módulo da diferença de

coordenadas considerando o pipe rack ∆xp,m,k for maior que o módulo da diferença

dos pontos A e C ∆xm,k, rotear a tubulação passando pelo pipe rack irá penalizar a

função objetivo e vice versa.

Adicionando os índices "q" para a corrente quente, "f" para a corrente fria, o

índice k para os trechos quentes e o índice j para os trechos frios o modelo englobando

todas as equações desenvolvidas até o momento está sumarizado abaixo:

48

min(LT) = min

[2

m∑ k∑(βm αm,k Lq,p,m,k

)+ 2

m∑ j∑(βm αm,k Lf,p,m,j

)]Sujeito a:

Lq,p,m,k = Lq,m,k + Pq,m,k(∆xq,p,m,k −∆xq,m,k) + . . .

Rq,m,k(∆yq,p,m,k −∆yq,m,k) +Wq,m,k(∆zq,p,m,k −∆zq,m,k)

Lf,p,m,k= Lf,m,k

+ Pf,m,k(∆xf,p,m,k

−∆xf,m,k) + . . .

Rf,m,k(∆yf,p,m,k

−∆yf,m,k) +Wf,m,k

(∆zf,p,m,k−∆zf,m,k

)

Ai,m ≤ Am ≤ As,m

Cq,i,k ≤ Cq,k ≤ Cq,s,k

Cf,i,j ≤ Cf,j ≤ Cf,s,jk∑αq,m,k = 1 para cada valor de m

j∑αf,m,j

= 1 para cada valor de m

m∑βm = 1

(3.14)

Na secção 3.3 a seguir o modelo completo, que considera as restrições do pipe

rack, será aplicado no mesmo exemplo da secção 2.6 e seus resultados serão comparados.


Utilizando dos mesmos dados disponíveis no exemplo 2.6, as mesmas pos-

sibilidades de alocação e os mesmo desvios das tubulações das tabelas 2.3 e 2.4

respectivamente, com a consideração adicional do Pipe Rack, de 4 metros de altura

(Yp) e ponto de referência (Xp) de -1 metro, como está representado em perspectiva na

�gura 3.6 e na planta da �gura 3.7. Iremos aplicar a mesma abordagem do exemplo 2.6

e comparar os resultados.

49

Figura 3.6: Representação do exercício 3.3

Figura 3.7: Planta do exercício 3.3

Considerando que para interligar trocadores de calor alocados no local dispo-

nível 1 com a corrente quente, posicionada em lado oposto ao do pipe rack, necessita

de correção somente no eixo vertical(y) para todos os trechos. Para a corrente fria,

que está do mesmo lado que o trocador de calor em relação ao pipe rack, considera-se

que a tubulação necessita ser sustentada pelo pipe rack, exigindo correção nos eixos

horizontal(x) e vertical(y).

Já para trocadores de calor posicionados no local disponível 4, que se ligam à

corrente fria posicionada em lado oposto ao pipe rack, é necessária a correção no eixo

y e em relação a corrente quente considera-se que não é necessária correção devido à

proximidade entre o local disponível e a corrente que estão no mesmo lado em relação

ao pipe rack.

Assim, as matrizes de constantes binárias destas correções condicionais, P

50

e R, já que somente os eixos x e y serão corrigidos, são escritas de acordo com as

equações 3.16, 3.15 e 3.17,.

Rq,m,k =

[1 1

0 0

](3.15)

Pf,m,k=

[1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

](3.16)

Rf,m,k=

[1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

](3.17)

Como há a presença de Pipe Rack o comprimento de tubulação necessário

deve ser calculado pela equação 3.13 e os comprimento de tubulação resultantes estão

sumarizado na tabela 3.1

Tabela 3.1: Comprimento de Tubulação para cada combinação de Trocador de calor eTrechos de Correntes

Comprimento de Tubulação (m)

Posicionamento Trecho quente Trecho Frio

1

21,05 22,7320,42 24,23

- 26,45- 27,70- 28.82

4

11,45 24,739,58 26,23- 28,45- 29,70- 30,82

É interessante notar que o binário de escolha de trechos αm,k, para o trecho

frio do local disponível 2, será diferente em relação do exemplo 2.6. Isto ocorre porque,

para integrar qualquer uma das duas possibilidades de posicionamento com a corrente

fria é requerido a sustentação pelo pipe rack, mas para integrar com a corrente quente,

somente o local disponível 1 exige correção e, para este caso, sustentar a tubulação no

pipe rack funciona como uma penalização que é grande o bastante para tornar o local

disponível 1 menos viável que o local 4.

51

Portanto se o trocador de calor for posicionado no local 1 ele irá se ligar à

corrente quente 2 e à corrente fria 1 e se ele for posicionado no local 4 ele irá se

ligar à corrente quente 2 e à corrente fria 1 como está representado as matrizes das

equações 3.18, 3.19. 3.20 e 3.21.

α1,q,k = [0 1] (3.18)

α1,f,j = [1 0 0 0 0] (3.19)

α4,q,k = [0 1] (3.20)

α4,f,j = [1 0 0 0 0] (3.21)

Efetuando o cálculo utilizando as escolhas dos trechos, descrita pela equação

equação 2.7, obtemos a tabela 3.2:

Tabela 3.2: Comprimento Mínimo para cada local disponível

Local Disponível Comprimento de Tubulação(m)

1 43,154 34,31

O local disponível em que o trocador de calor irá ser posicionado também será

alterado em relação ao exemplo 2.6, já que o comprimento de tubulação requerido para

posicioná-lo no local 4 é menor que se ele for alocado no local 1, resultando no binário

de seleção βm da equação 3.22. Os pontos de alocação dos trocadores de calor A,

os pontos de desvios C e os comprimentos de tubulação para as duas possibilidades de

alocação estão representados na planta da �gura 3.8, sendo o comprimento de tubulação

escolhido em linha contínua.

βm = [0 1] (3.22)

52

Figura 3.8: Representação do exercício 3.3

Ademais, os dois comprimentos calculados para cada um dos locais disponí-

veis(tabela 3.3) também aumentaram, de modo que o aumento para a melhor posição foi

de 16,8 metros, ou seja considerar a restrições do pipe rack resultou em um comprimento

de tubulação pelo menos 32,5% maior.

Tabela 3.3: Comparação dos resultados c/ e s/ pipe rack

Exemplo Local Disponível Comprimento de Tubulação Total(m)

2.6 1 51,83.3 4 68,62

Portanto, considerar as restrições do pipe rack pode in�uenciar na escolha do

trecho da corrente e do local em que o trocador de calor será alocado, além de fornecer

estimativas de comprimento de tubulação mais acuradas que são fatores importantes

para análises de investimento em projetos.

É importante ressaltar que nenhuma otimização foi realizada até o momento e

que os exemplos somente calculam o comprimentos de tubulação para cada combinação

entre trecho e trocador de calor para um cenário preestabelecido e identi�ca-se o menor

comprimento de tubulação apresentando as matrizes binárias resultantes.

A modelagem apresentada no capítulos 2 e no capítulo 3 descreve o posiciona-

mento de somente um trocador de calor e já no capítulo 4 o modelo será expandido para

abranger vários trocadores de calor simultâneos apresentando possibilidades de layouts

mais complexas.

53

Capítulo 4

Integrações simultâneas

O modelo desenvolvido até o momento posiciona somente um trocador de

calor de uma integração, ou seja se o projeto de retro�t envolver a alocação de vários

trocadores de calor simultaneamente o modelo teria de ser resolvido uma vez para cada

uma das combinações de posicionamentos de cada uma das integrações tornando-se um

processo oneroso. Desse modo, o presente trabalho irá propor a expansão do modelo

para que ele aloque vários trocadores de calor simultaneamente.

Para alocar trocadores de calor de forma prática o modelo tem de reconhecer os

posicionamentos dos trocadores de calor que irão ser alocados e posicioná-los seguindo

as normas de segurança e heurísticas de alocação exigidas.

Assim, o modelo apresentado no capítulos 3 será repetido para várias inte-

grações que possuem correntes quente e fria diferentes, como modelado na secção 4.1.

Ademais, novas restrições devem ser encorporadas no modelo para que eles sigam as

normas de alocação que serão modeladas na secção 4.2.

4.1 Comprimento de tubulação para integrações si-

multâneas

Alocar vários trocadores simultâneos consiste basicamente em aplicar o modelo

desenvolvido até o momento e expandi-lo para o número de integrações. Entretanto,

deve-se manter os locais disponíveis comuns porque os trocadores de calor podem ser

posicionados em um mesmo local disponível.

A expansão do modelo aumenta uma dimensão para os fatores referentes à

54

integração (h) (posicionamento dos trocadores A, pontos de desvios C, constantes de

correção do pipe rack R,P ,W , as variáveis de escolha de trecho α e de escolha de local

β), transformando as matrizes de variáveis em matrizes tridimensionais e vetores em

matrizes, como esta exempli�cado para os pontos de desvio quente Cq da equação 4.1.

(4.1)

(4.2)

Porém, os locais disponíveis são comuns a todas integrações, ou seja as limi-

tações superiores e inferiores(As,m e Ai,m) dos locais disponíveis não serão expandidas

em uma dimensão porque os trocadores de calor podem ser alocados no mesmo local,

mostrado na equação 4.3.

Ai,m ≤ Am,h ≤ As,m (4.3)

Desta maneira, o cálculo do comprimento de tubulação deve ser repetido

para todas as integrações, sendo os módulos das diferenças das coordenadas para as

combinações de trechos k e locais disponíveism de acordo com as equações 4.4, 4.5 e 4.6,

os módulos das diferenças das coordenadas corrigidas pelo pipe rack nas equações 4.7,

4.8 e 4.9, o comprimento de tubulação sem correção do pipe rack na equação 4.10 e o

55

comprimento de tubulação sem correção do pipe rack como mostra a equação 4.11.

∆xh,m,k = |Ax,m − Cx,k,h| (4.4)

∆yh,m,k = |Ay,m − Cy,k,h| (4.5)

∆zh,m,k = |Az,m − Cz,k,h| (4.6)

∆xp,h,m,k = |Xp − Ax,m,h|+ |Xp − Cx,k,h| (4.7)

∆yp,h,m,k = |Yp − Ay,m,h|+ |Yp − Cy,k,h| (4.8)

∆zp,h,m,k = |Zp − Az,m,h|+ |Zp − Cz,k,h| (4.9)

Lh,m,k = ∆xh,m,k + ∆yh,m,k + ∆zh,m,k (4.10)

Lp,h,m,k = Lh,m,k + Ph,m,k(∆xp,h,m,k −∆xh,m,k) +Rh,m,k(∆yp,h,m,k −∆yh,m,k)+

Wh,m,k(∆zp,h,m,k −∆zh,m,k) (4.11)

Como exemplo, a �gura 4.1 ilustra duas integrações diferentes, sendo que a

integração 1 é a interligação do trocador, arbitrariamente posicionado, Am,1 no local

disponível m com a corrente 1, que possui k trechos, e a integração 2, também está

posicionada no mesmo local disponível m, de posicionamento Am,2 e que irá se ligar à

corrente 2 que possui j trechos.

Figura 4.1: Duas integrações simultâneas

O cálculo do comprimento de tubulação para cada uma das integrações

exempli�cadas pode ser feita separadamente, considerando que a integração 1 (h=1)

exige a sustentação da tubulação pelo pipe rack e pode ser calculado de acordo com

a equação 4.12 e a integação 2 (h=2) não será sustentado pelo pipe rack e pode ser

56

calculado de acordo com a equação 4.12.

Lp,1,m,j =L1,m,j + P1,m,j(∆xp,1,m,j −∆x1,m,j)+

R1,m,j(∆yp,1,m,j −∆y1,m,j) +W1,m,j(∆zp,1,m,j −∆z1,m,j) (4.12)

L2,m,k =|Ax,m,2 − Cx,k,2|+ |Ay,m,2 − Cy,k,2|+ |Az,m,2 − Cz,k,2| (4.13)

Portanto a função objetivo é a soma dos comprimentos de tubulação gastos para

todas as integrações, sendo o índice "k" para correntes quentes e "j" para corrente frias

como mostra a equação 4.14.

min(LT) = min

[2

h∑ m∑ k∑(βm,h αm,k,h Lq,p,m,k,h

)+ 2

h∑ m∑ j∑(βm,h αm,j,h Lf,p,m,j,h

)](4.14)

As restrições adicionais, consequência da alocação de mais de um trocador de

calor em um local, serão discutidas na secção 4.2.

4.2 Restrições Adicionais

Trocadores de calor alocados no mesmo local disponível sofrem impedimento

físico entre sí demandando mais equações de restrição para evitar sobreposição de

coordenadas. Neste trabalho serão consideradas duas possibilidades de alocação

especí�cas para os layout dos trocadores de calor alocados em um mesmo local

disponível:

� Posicioná-los lado a lado

� Empilhar os trocadores de calor

Cada um dos tipos de alocações exigirão restrições adicionais para modelar

os espaçamentos necessários, sendo que o posicionamento lado a lado é realizado com

base em heurísticas e normas de segurança, como por exemplo pode ser encontrado em

Turton et al. (1998) e Bausbacher & Hunt (1993).

Já o empilhamento de trocadores de calor é uma prática em plantas químicas

para evitar com que a área construída aumente, entretanto ela exige maior investimento

inicial com a estrutura de sustentação dos trocadores de calor e na manutenção do

equipamentos, como por exemplo pode ser encontrado em Bausbacher & Hunt (1993).

57

O modelamento destes espaçamentos será discutido nas secções 4.2.1 e 4.2.2,

sendo o espaçamento horizontal na primeira e o empilhamento de trocadores de calor

na segunda respectivamente.

4.2.1 Espaçamento de trocadores de calor

Quando os trocadores de calor forem alocados no mesmo local e não forem

empilhados eles devem respeitar uma distância segura entre eles em um dos eixos

horizontais do cartesiano.

A �gura 4.2 ilustra o exemplo de dois trocadores de calor de diferentes

integrações, (Am,1 e Am,2) posicionados no mesmo local disponível m e que devem

ser separados no eixo z, sendo a distância entre eles calculada por |Az,m,2 − Az,m,1|.

Figura 4.2: Espaçamento horizontal

Desta maneira a distância entre os dois trocadores de calor pode ser calculada

por |Ai,m,2−Ai,m,1|, sendo i o índice do eixo do espaçamento, e deve ser maior que umadistância segura S, de acordo com a equação 4.15, que será repetida para todos os pares

de trocadores de calor(h e n) que estiverem posicionados no mesmo local disponível.

|Ai,m,h − Ai,m,n| ≥ S para todo m sendo h 6= n (4.15)

58

4.2.2 Empilhamento de trocadores de calor

Quando trocadores de calor forem empilhados é construído uma estrutura que

suporta o trocador de calor, sendo a altura (φ) desta estrutura o espaçamento �xado

no eixo vertical.

A �gura 4.3 ilustra duas integrações distintas, com os trocadores de calor,

arbitrariamente posicionados, Am,1 e Am,2, empilhados e separados por uma altura

|Ay,m,1 − Ay,m,2|.

Figura 4.3: Espaçamento vertical

O empilhamento de vários trocadores de calor di�culta e encarece sua

manutenção e por este motivo, no presente trabalho, o empilhamento somente será

efetuado em pares de trocadores de calor.

O modelo deve tomar a decisão de empilhar ou não os pares de trocadores

de calor, de modo que se for empilhado o espaçamento horizontal não existirá e o

espaçamento vertical será aplicado e se não empilhar vice e versa, de acordo com o

�uxograma da �gura 4.4.

59

Par de trocadores decalor será empilhado?

Aplica Altura deEmpilhamento

Aplica espaçamentoHorizontal

SIM NÃO

Figura 4.4: Método de espaçamento

Para representar esta tomada de decisão será utilizada variáveis binárias que

apresentarão valor unitário quando o empilhamento for realizado e nulo se não for

empilhado. Assim, uma matriz de variáveis binárias E que descreve as combinações de

pares de trocadores de calor n, h como está exempli�cado na matriz da equação 4.16,

considerando 3 integrações possíveis, sendo que os trocadores de calor das integrações

1 e 3 serão empilhados.

Eh,h =

0 0 1

0 0 0

0 0 0

(4.16)

Esta matriz cobre todas as possibilidades de integração inclusive algumas que

são impossíveis, como empilhar trocadores de calor da mesma integração, representados

pela diagonal da matriz. Deste modo, os valores da diagonal da matriz binária devem

ser igual a 0. Westerlund & Papageorgiou (2002) estudaram a in�uencia da simetria

em problemas de layout e concluiu que ela diminui a performance do algorítimo de

resolução. Desse modo, como os valores acima da diagonal são redundantes em relação

aos abaixo da diagonal porque descrevem o mesmo par de trocadores de calor assume-se

que as variáveis abaixo da diagonal serão iguais a zero de acordo com a restrição da

equação 4.17.

Em,n,h = 0 para todo h ≥ n (4.17)

Por �nal, a mesma integração não pode realizar mais de um empilhamento,

ou seja, traduzindo isto para linguagem matemática, somente pode existir um valor

unitário na matriz E para cada linha e coluna de uma integração, como descrito pela

60

equação4.18.

n∑(Em,h,n + Em,n,h) ≤ 1 para cada m e para toda combinatoria de m 6= h (4.18)

Após ter tomado a decisão do empilhamento ou não pela matriz de binários E

é necessário especi�car as restrições espaciais para cada uma das ações, já que a decisão

de uma anula a outra.

Desta forma, quando decide-se empilhar os trocadores de calor eles não deverão

ter um distanciamento seguro horizontal e a equação 4.15 deve ser alterada, adicionando

a matriz de decisão de empilhamento E de modo a anular a distância no eixo horizontal

quando E para o par de m e n for 1, de acordo com a equação 4.19.

|Am,z,n − Am,z,h| ≥ S(1− Em,n,h) para cada m e para combinatória de h 6= n (4.19)

Entretanto, os trocadores de calor empilhados não terão espaçamento horizon-

tal, mas necessitam de espaçamento vertical devido ao empilhamento.

O espaçamento vertical é de�nido de acordo com a altura da estrutura do

suporte φ, como mostra a equação 4.20, porém a coordenada de posicionamento

do trocador de calor no eixo vertical Ay,m,h já foi limitada anteriormente pela

equação 2.1(página 28), assim, os limites superiores das coordenadas verticais dos

trocadores de calor empilhados deve ser expandidos quando houver o empilhamento

de acordo com a equação 4.21.

|Am,y,n − Am,y,h| ≥ φEm,n,h para todo h ≥ n (4.20)

Am,y,h ≤ As,m,y + φ

n∑(Em,h,n + Em,n,h) para todo h ≥ n (4.21)

Quando um par de trocadores de calor estiver empilhado o espaçamento deve

ser aplicado no eixo vertical e as coordenadas dos outros dois eixos devem ser iguais,

para garantir que os trocadores não �quem deslocados um do outro. A equação 4.22

satisfaz estas condições igualando as coordenadas dos trocadores de calor quando E for

unitário e permitindo que elas sejam diferentes (η é um valor grande) quando E for

nulo.

|Am,i,n − Am,i,h| ≤ η(1− Em,n,h) para todo h ≥ n (4.22)

61

Como as restrições de empilhamento e espaçamento somente são aplicadas

quando trocadores de calor estão alocados nos mesmo locais é necessária uma restrição

que descreva esta situação matematicamente como a da equação 4.23. Ela garante

a premissa porque se a variável E apresentar valor unitário as variáveis β para os

trocadores de calor n e h necessariamente serão unitárias para o local disponível m

comum.

βm,n + βm,h − 2Em,n,h ≥ 0 para todo h ≥ n e para cada m (4.23)

Adicionando estas restrições às equações expandidas do capítulo 3 o modelo

completo de minimização está descrito abaixo, sendo o índica "q" referente à corrente

quente, o índice "f" ao trecho frio, i o eixo de espaçamento e índices n e h representando

62

as integrações.

min(LT) = min

[2

h∑ m∑ k∑(βm,h αm,k,h Lq,p,m,k,h

)+ 2

h∑ m∑ j∑(βm,h αm,j,h Lf,p,m,j,h

)]Sujeito a:

Lq,p,h,m,k = Lq,h,m,k + Pq,h,m,k(∆xq,p,h,m,k −∆xq,h,m,k)+

Rq,h,m,k(∆yq,p,h,m,k −∆yq,h,m,k) +Wq,h,m,k(∆zq,p,h,m,k −∆zq,h,m,k)

Lf,p,h,m,j= Lf,h,m,j

+ Pf,h,m,j(∆xf,p,h,m,j

−∆xf,h,m,j)+

Rf,h,m,j(∆yf,p,h,m,j −∆yf,h,m,j) +Wf,h,m,j(∆zf,p,h,m,j −∆zf,h,m,j)

Ai,ω,m ≤ Aω,h,m ≤ As,ω,m para cada m e para combinatória de ω 6= y

Ai,y,m ≤ Ay,h,m ≤ As,y,m + φn∑

(Em,h,n + Em,n,h) para cada m e cada h

|Ay,m,n − Ay,m,h| ≥ φEm,n,h para cada m e para combinatória de h ≥ n

S(1− Em,n,h) ≤ |Am,i,n − Am,i,h| ≤ γ(1− Em,n,h) para cada m, todo h ≥ n

Cq,i,k,h ≤ Cq,k,h ≤ Cq,s,k,h

Cf,i,j,h ≤ Cf,j,h ≤ Cf,s,j,h

Em,n,h = 0 para cada m e para todo h ≥ n

− 2Em,n,h + βm,n + βm,h ≥ 0 para todo m e para toda combinatória de h ≥ n

k∑βq,m,k,h = 1 para todo m e todo h

j∑βf,m,j,h

= 1 para todo m e todo h

k∑αq,m,k,h = 1 para todo m e todo h

j∑αf,m,j,h

= 1 para todo m e todo h

m∑βm,h = 1 para todo h


Considerando os dados no exemplo 3.3, adiciona-se uma nova integração h=2

que é a interligação da mesma corrente fria da integração h=1, do bombeamento P-

201A/B até o trocador de calor E-201, com a corrente quente, do trocador de calor

63

E-202 até o E-203. Porém, considera-se a disponibilidade somente do local m=1 para

alocação de trocadores de calor, como ilustra a �gura 4.5.

Figura 4.5: Perspectiva do layout do exemplo 4.3

Aplicaremos o modelo descrito neste capítulo para decidir se é melhor empilhar

os dois trocadores de calor ou não para um determinado cenário.

A altura do pipe rack Yp é de 4 metros, o ponto de referência de roteamento

da tubulação no pipe rack Xp será -1, o espaçamento seguro de trocadores de calor S

será de 1,5 metros e a altura do empilhamento φ será de 3 metros. As correções em

relação ao pipe rack foram de�nidas de acordo com o posicionamento relativo do local

disponível, das correntes e do pipe rack, resultando nas matrizes das equações 4.24,

64

4.25, 4.26, 4.27 4.28, 4.29 e 4.30.

Pf,m,j,1=[1 1 1 1 1

](4.24)

Rf,m,j,1=[1 1 1 1 1

](4.25)

Rq,m,k,1 =[1 1

](4.26)

Pf,m,j,2=[1 1 1 1 1

](4.27)

Rf,m,j,2=[1 1 1 1 1

](4.28)

Pq,m,k,2 =[1 1 0 0 0

](4.29)

Rq,m,k,2 =[1 1 0 0 1

](4.30)

As possibilidades de posicionamento dos trocadores para cada um dos locais

disponíveis foram arbitrariamente posicionados de acordo com a tabela 4.1. Os pontos

de desvio das correntes da integração 1 serão os mesmos do exemplo 4.3 e para a

integração 2 foram arbitrariamente posicionados de acordo com a tabela 4.2.

Tabela 4.1: Posições pré-de�nidas

x y z

A1,1 6,0 0,5 3,0A1,2 6,0 0,5 3,0

65

Tabela 4.2: Pontos de desvios pré-de�nidos

k ou j x y z

Cq,k,11 −5,05 2,25 9,002 −5,05 2,25 6,50

Cq,k,2

1 4,70 2,50 14,002 3,00 4,00 14,003 −1,30 4,00 16,004 −2,55 4,00 18,005 −3,8 2,63 18,00

Cf,j,1

1 1,00 1,54 11,002 1,00 2,00 11,003 4,45 2,00 11,004 4, 45 2,00 12,005 5,95 2,00 12,00

Cf,j,2

1 1,00 1,77 11,002 2, 73 2,00 11,003 4,45 2,00 11,504 5, 20 2,00 12,005 5,95 1,63 12,00

A �gura 4.6 ilustra a planta deste exemplo destacando o posicionamento do

pipe rack, o local disponível 1, os pontos de alocação A1 e A2 para as duas integrações

e os pontos de desvio das correntes Cs de acordo com o cenário escolhido.

66

Figura 4.6: Planta do exemplo 4.3

Primeiramente iremos calcular o comprimento de tubulação gasto para ligar

os dois trocadores de calor às corrente sem o empilhamento(E1,2 = 0) e isto implica

que a restrição de distanciamento seguro, equação 4.19, seja atendida. Como os pontos

de alocação A1,1 e A1,2, arbitrariamente selecionados, não atendem às condições da

restrição 4.19 criam-se quatro possibilidades: o trocador da integração h=1 será alocado

no valor previamente descrito e o trocador h=2 será deslocado para a distância de

segurança ou vice-versa como ilustra a �gura 4.7.

67

Figura 4.7: Layout possíveis de espaçamento

O comprimento de tubulação é calculado de acordo com o procedimento do

exercício 3.3 para cada uma das situações descritas na �gura 4.7 e o resultado está

sumarizado na tabela 4.3.

Tabela 4.3: Comprimento de tubulação de espaçamentos

Trocador Centralh=1 h=2

Situação +1,5 -1,5 +1,5 -1,5

Comprimento de tubulação (m) 85,83 91,83 86,29 91,83

Assim, a melhor situação é posicionar o trocador da integração h=2 na

coordenada inicial e deslocar o trocador de calor da integração h=1 somando o

espaçamento de segurança S. Além disso, percebe-se que existem dois comprimentos

de tubulações iguais, mostrando a existência de resultados mínimo iguais o que pode

di�cultar que algorítimos de resolução encontrem um mínimo global.

Agora considerando o empilhamento dos trocadores de calor E1,2 = 1, as

coordenadas dos trocadores devem estar de acordo com a equação 4.20 o que cria duas

possibilidades para o layout ilustrados na �gura 4.8.

68

Figura 4.8: Layout possíveis de empilhamento

O comprimento de tubulação é calculado de acordo com o procedimento do

exercício 3.3 para cada uma das duas possibilidades e o resultado está sumarizado na

tabela 4.4.

Tabela 4.4: Comprimento de tubulação cada empilhamento

Empilhamento de 2 Empilhamento de 1

82,83 82,83

Para este cenário, as duas possibilidades necessitam de comprimentos de

tubulação iguais, rea�rmando a possibilidades de mínimos iguais, além de que empilhar

os trocadores, para este cenário, resulta no menor comprimento de tubulação, de 82,83

metros, um total de 165,7 metros e com a matriz de binários na equação 4.31. O

layout deste resultado está ilustrado na �gura 4.9 com as duas tubulação para cada

local disponível de modo que a linha pontilhada representa a integração h=2 e a linha

contínua a integração h=1.

Eh,h =

[0 1

0 0

](4.31)

69

Figura 4.9: Representação do resultado do exemplo 4.3

Portanto o modelo proposto para alocação de trocadores de calor em retro�ts

de plantas químicas está completo e ele possui um grande número de variáveis binárias.

Por exemplo para um problema com 4 locais disponíveis e 4 integrações simultâneas,

sendo que cada uma das integrações possuem correntes frias e quentes com 3 trechos

cada, serão necessárias 128 variáveis inteiras binárias e 84 variáveis contínuas. Este

número alto de variáveis inteiras binárias pode in�uenciar no tempo de resolução e

na qualidade da resposta obtida pelos métodos de otimização que serão discutidos no

capítulo 5.

70

Capítulo 5

Métodos de otimização

O modelo desenvolvido para posicionamento de trocadores de calor em retro�ts

de plantas químicas foi resolvido até agora atendo a cenários de possibilidades de

posicionamento de trocadores de calor e pontos de desvios das correntes de processo pré-

estabelecidos. O menor comprimento de tubulação foi determinado somente escolhendo

dentre os trecho das correntes e os locais disponíveis. Neste capítulo será aplicado

métodos de otimização para encontrar também os pontos de desvio das correntes e o

posicionamentos dos trocadores de calor que levam ao menor comprimento de tubulação.

O modelo desenvolvido nos capítulos anteriores não é linear, devido aos

comprimentos de tubulação serem estimados pela distância de Manhattan. Além disso,

o modelo também apresenta variáveis inteiras de tomada de decisão que escolhem quais

os trechos das correntes de processo serão desviadas e quais dos locais disponíveis os

trocadores de calor irão ser alocados.

Deste modo, o modelo é de programação misto-inteira não-linear (MINLP)

e existem vários métodos que tentam atingir o mínimo da função objetivo, já que o

mínimo global somente é garantido em alguns casos muito especí�cos. Existem três

abordagens para uma otimização durante o procedimento de encontrar o mínimo:

� Determinístico

� Estocástico

� Misto

Os métodos determinísticos são algoritmos detalhadamente documentados que

tratam de maneira sistêmica o modelo a ser resolvido, de modo que, se o ponto de

71

início do algorítimo não for alterado de uma resolução para outra o resultado será

necessariamente igual.

Já os métodos estocásticos tratam todas ou algumas das variáveis do modelo

de maneira aleatória, podendo resultar em valores �nais diferentes a cada resolução.

Os métodos mistos são a junção dos dois tipos e estão sendo bastante utilizados

na área de integração energética de Retro�t, como por exemplo no trabalho de Smith

et al. (2010).

O presente trabalho irá ser resolvido por dois tipos de métodos: um método

determinístico e um estocástico. Como método determinístico será utilizado o software

de otimização GAMS© que possui um grande número de solvers com algorítimos

baseados no clássico método Branch and Bound e vários outros recursos. O método

estocástico escolhido foi o Simulated Annealing que ja foi implementado no Scilab

possuindo várias funções especí�cas.

O modelo será resolvido pelos dois métodos citados para os cenários dos exem-

plos anteriores, utilizando as informações da planta ilustrada na �gura 2.3(página 26),

além disso serão propostos dois exemplo mais complexos e seus resultados comparados

e analisados. O detalhamento para cada um dos métodos é feito nas secções 5.1 e 5.2.

5.1 Método determinístico

Os métodos determinísticos são algorítimos que determinam uma alteração

sistemática das variáveis a cada iteração e em sua maioria são baseados no método

de Newton que utiliza derivadas para determinar como as variáveis do modelo serão

alteradas a cada passo em direção ao mínimo, exigindo que a função objetivo seja

contínua no intervalo estudado.

O fato dos modelos serem baseados em derivadas faz com que estes métodos

desloquem somente para a direção em que a variação da função objetivo seja favorável

não "subindo montanhas"1 e não necessariamente encontrando o mínimo global da

função objetivo. Além disso, enfatiza a importância de que para obter resultados

bons, de modelos muito complexos, muitas vezes é preciso ter profundo conhecimento

do problema e do espaço de busca que está lidando, porque o ponto inicial escolhido

in�uencia diretamente na qualidade do resultado.

1termo conhecido como uphill em otimização indicando regiões da função objetivo que leva avariações desfavoráveis.

72

Quando é preciso realizar escolhas dentro de um problema matemático o

artifício empregado são as variáveis binárias. As variáveis binárias são amplamente

utilizadas em modelos matemáticos de integração energética e em todas engenharias,

já que é de suma importância para os engenheiros escolherem dentre várias opções

a que melhor se adapta para o problema estudado, como por exemplo: melhor

tecnologia, matéria-prima, processo de produção, condições para determinado produto,

composição mais barata, equipamento, como é amplamente exempli�cado e detalhado

em Himmelblau et al. (2001) e Biegler et al. (1997).

Os algorítimos de resolução de modelos MINLP são divididos em três tipos:

� Aproximação Linear

� Branch and Bound

� Algorítimos Híbridos

O primeiro algorítimo da lista resolve problemasMINLPs aproximando-os para

programação linear inteira mista (MILP). Este método já foi amplamente pesquisado

em sua implementação e compreensão e obtêm-se bons resultados para modelos de

programação não linear inteira mista que são fracamente não lineares, entretanto

modelos que necessitam de várias interações para convergência exigem demasiado

esforço computacional.

O principal algorítimo para resolver modelos MILP é o branch and bound. Em

resumo este método cria árvores de combinações entre as variáveis binárias do modelo

e por força bruta varre cada um dos ramos da árvore em busca da melhor condição.

Mesmo tendo grande sucesso na resolução de modelos MILP o método branch

and bound não apresenta a mesma taxa de sucesso para modelos de MINLP. Isto ocorre

por vários motivos como: não ser possível determinar bons pontos iniciais de varredura

automaticamente, exigir um grande esforço computacional a cada um dos nós que ele

busca, a impossibilidade de atestar inviabilidade para todos os subproblemas, garantir

globalidade do resultado somente para situações muito especí�cas, etc.

Vários métodos derivam do branch and bound como o branch and cut e o

branch and price que cria condições de descarte de ramos da árvore de binários tentando

diminuir o tempo computacional de resolução, que é um dos principais problemas para

este algorítimo.

Os algorítimos híbridos neste contexto descrevem a utilização de aproximações

73

lineares juntamente com métodos branch and bounds em busca de agilizar a conver-

gência, obter melhores resultados e de remediar os pontos fracos de cada uma das

abordagens.

Os algorítimos, como implementá-los, algumas aplicações e maiores detalhes

podem ser encontradas em várias fontes como Himmelblau et al. (2001), Biegler et al.

(1997), Lin et al. (2012), Alexandre et al. (2012), Press et al. (1992).

A maioria dos modelos de otimização de layout são conhecidos por serem

problemas computacionais difíceis, altamente combinatórios e a maioria das literaturas

o resolvem com o método de branch and bound (Castillo et al. (2005), Castillo & Wes-

terlund (2005), Sherali et al. (2003)), entretanto este algorítimo somente encontra bons

resultados para plantas de poucos equipamentos, como a�rma Papageorgiou (2009),

o branch and bound somente é e�ciente no posicionamento de até 12 equipamentos

simultâneos.

Uma grande limitação de modelos de programação mista-inteira é o aumento

exponencial do tempo de resolução de acordo com número de binários presentes que

é chamado de explosão combinatória. Isto ocorre porque o número de combinatórias

aumenta na proporção de 2s, sendo s o número de binários do modelo, tornando oneroso

a busca do melhor valor em árvores mesmo com um número pequeno de variáveis

binárias.

Algumas das limitações dos métodos determinísticos são superadas pelos

métodos estocásticos, sendo que neste trabalho será utilizado o simulated annealing,

melhor detalhado na secção 5.2.

5.2 Simulated annealing

Simulated annealing é um método matemático heurístico estocástico análogo

ao processo resfriamento de metais. O método não garante a globalidade do resultado,

entretanto consegue encontrar mínimos próximos do global e�cientemente como foi

constatado por Floquet et al. (1994). Desenvolvido por Kirkpatrick em 1984 ele foi

classicamente utilizado para resolver o modelo do caixeiro viajante, provando sua

efetividade em lidar com modelos altamente combinatórios. Desde sua criação ele foi

bastante melhorado sendo os mais novos algorítimos propostos por Ingber (1996).

No simulated annealing todas ou algumas variáveis do modelo a ser otimizado

sofrem alterações aleatórias. Considerando um novo cenário gerado de forma aleatória a

74

função objetivo é calculada e se o valor da função objetivo for melhor que a da anterior

ele aceita este novo cenário de variáveis, porém, diferentemente de outros métodos,

mesmo se a função objetivo para o novo estado for desfavorável em relação a anterior,

existe uma probabilidade de aceitar esta nova posição. Esta é a principal diferença em

relação a outros métodos e é uma vantagem crucial que faz com que ele desloque dentre

vários mínimos da função objetivo "subindo montanha", diferentemente dos métodos

determinísticos.

A probabilidade de aceitar um ponto mesmo que não seja melhor que o anterior

deve ser maior no inicio da otimização, para poder varrer os vários mínimos da função

objetivo, e menor no �nal da otimização para evitar que desloquemos para um mínimo

local desfavorável. Assim, para modelar esta frequência de aceite da função objetivo é

usado a distribuição de probabilidade de Boltzmann descrita na equação 5.1.

P = e−F

γk (5.1)

A distribuição probabilística de Boltzmann utilizada no simulated annealing

depende de uma constante análoga à Boltzmann k, da função objetivo F e de uma

variável simbólica γ, que controla a frequência de aceite, e que vai diminuindo de acordo

com as iterações com o objetivo de diminuir a frequência de aceitação de situações

desfavoráveis encontrando um mínimo.

Para encorporar esta probabilidade no aceite da função objetivo do simulated

annealing compara-se o valor da probabilidade para a função objetivo no cenário inicial

1 e no estado aleatório sorteado 2 de acordo com a equação 5.2. Este método com chance

de aceitar pontos subindo a montanha �cou conhecido como algorítimo de Metrópolis.

∆P = e−F2 − F1

γk (5.2)

Se a função no estado 2 for menor que a função no estado 1 o valor da

probabilidade de aceite será maior que 1, mas se o valor da função objetivo no estado 2

for maior que no estado 1 a probabilidade fornecerá um valor entre 0 e 1 correspondendo

a possibilidade de aceitar a condição mesmo que ela não seja favorável.

Assim, algorítimo completo do simulated annealing está representado no

�uxograma da �gura 5.1 e ele possui dois laços. O laço interno realiza uma varredura

para um mesmo valor de γ e o laço externo efetua a redução do valor γ, diminuindo

75

o aceite de valores da função objetivo desfavoráveis, até que uma condição de parada

seja atingida e um resultado obtido.

Variáveis de Entrada,Valor Inicial de γ

Perturbaçãonas Variáveis

Cálculo Função Objetivo

Aceitaestas

variáveis?

Terminoua

varredura?

Reduz γ

AtingiuCondiçãode parada?

Resultado

SalvaVariáveis

SIM

NÃO

SIM

SIM

NÃO

NÃO

Figura 5.1: Fluxograma do simulated annealing

Tendo em vista o algorítimo do simulated annealing apresentado existem 5

funções a serem declaradas:

� Função de perturbação das variáveis

� Função objetivo

� Função de aceitação

� Função de redução do γ

� Função de parada

No presente trabalho foi utilizado a função optim_sa do Scilab que possui as

funções de perturbação das variáveis, de aceitação e de diminuição de γ já programadas e

76

para os exemplos que serão resolvidos foram utilizadas as funções do very fast simulated

annealing, desenvolvido por Ingber (1996), porque ele possui um cronograma de redução

de γ mais lento podendo fornecer melhor resultado para este problema. A condição de

parada �ca a critério do projetista e neste trabalho foi escolhido um γ inicial que ao

�nal das iterações externas seja próximo de zero.

As grandes vantagens do simulated annealing são: a possibilidade dele

deslocar dentre vários mínimos da função objetivo conseguindo resultados melhores

que encontrados por métodos determinísticos, resolver problemas complexos em tempo

polinomial e o fato dele conseguir lidar com modelos maiores e altamente combinatórios.

Mais detalhes sobre este método são facilmente encontradas em várias lite-

raturas como por exemplo: Biegler et al. (1997), Ingber (1996), Press et al. (1992),

Himmelblau et al. (2001).

As variáveis de entrada para a função optim_sa são feitas em forma de um

vetor, deste modo é preciso ordená-las de forma lógica para que a função objetivo a

interprete e calcule o resultado. As variáveis serão discutidas na secção 5.2.1 e sua

ordenação na secção 5.2.2.

5.2.1 Variáveis do Modelo

O simulated annealing perturba as variáveis dentro de uma faixa limitada pelos

valores superior e inferior. Assim as variáveis sorteadas são contínuas como as variáveis

de posicionamentos e de desvios (A e C), já as variáveis inteiras, devem passar por uma

função que aproxime ela para um valor inteiro como é o caso das funções ceil ou floor

do Scilab.

As variáveis de posicionamento são contínuas e serão limitadas pelos valores

superiores As e Cs e pelos valores inferiores Ai e Ci de cada um dos locais disponíveis,

dos trechos quentes e frios e de cada integração. Já as variáveis binárias não são

facilmente descritas nesta forma, pois elas variam entre valores 0 e 1 além de atender

às restrições impostas a elas. Deste modo será sorteado diretamente o local disponível

a ser alocado m para cada integração h, o trecho a ser interligado de cada corrente

quente e fria k e j para cada uma das integrações e os pares de trocadores de calor que

irão ser empilhados h e n. A variável de escolha de local disponível deve variar entre

0 e o número máximo de locais disponíveis M , a variável de escolha do trecho a ser

utilizado k, para quente e j para fria entre 0 e o número total de trechos de cada uma

das integrações Kh para quente e Jh para a fria e os pares a serem integrados h e n

77

devem variar entre 0 e o número total de Integrações H.

Escolher o local disponível que os trocadores de calor serão posicionados, os

trechos que eles irão se ligar e os pares que serão empilhados transforma as variáveis

binárias em conjuntos de número inteiros.

Como por exemplo 2 integração possuem 2 trechos quentes, 2 trechos frios cada

e 3 locais disponíveis na planta, possuirá uma variável de escolha de trecho quente k

que poderá variar entre 0 e 2, uma variável de escolha de trecho frio j que poderá variar

entre 0 e 2 e uma variável de escolha de local m que poderá variar entre 0 e 3 para cada

integração.

Assim, teremos o conjunto de locais de trocadores alocadosm que possui o local

que o trocador da integração 1 foi alocada m1 e o local que o trocador da integração 1

foi alocada m2 o conjunto dos trechos quente que foram ligados k que possui o trecho

quente que a integração 1 se ligou k1 e que a integração 2 se ligou k2, análogo para

corrente fria j1 e j2 lembrando que todos devem ser transformados em inteiros como

esta representado nas equações 5.3, 5.4 e 5.5.

m = {ceil(m1), ceil(m2)} (5.3)

k = {ceil(k1), ceil(k2)} (5.4)

j = {ceil(j1), ceil(j2)} (5.5)

Já o conjunto de pares de empilhamento E será sorteado de acordo com o

número máximo de empilhamentos calculado pela equação 5.6, sendo H total o número

de integrações.

e = �oor(H

2

)(5.6)

Por exemplo vamos supor que serão posicionados 5 integrações simultâneas

(H), o número máximo de empilhamento será 2, assim existirão 2 linhas com pares

de variáveis referentes as integrações, h e n que poderão variar entre 0 e 5. Estas

variáveis também utilizarão a aproximação inteira ceil formando uma matriz de pares

de empilhamento E, ilustrada na equação 5.7.

E =

[ceil(h1) ceil(n1)

ceil(h2) ceil(n2)

](5.7)

78

A entrada da função do simulated annealing, optim_sa exige a escolha das

funções do simulated annealing (função de alteração de variáveis, função objetivo,

função de aceitação, função de diminuição de γ e da função de parada), previamente

programadas no software, a declaração de um ponto inicial de busca e os limites de cada

variável. Assim, é necessário ordenar de forma lógica estas variáveis para que elas sejam

sorteadas e depois interpretadas para o cálculo da função objetivo. O ordenamento das

variáveis será discutido na secção 5.2.2.

5.2.2 Ordenamento das variáveis

As variáveis devem ser escritas em forma de um vetor para a entrada na função

optim_sa do Scilab. Deste modo iremos criar um vetor X que possui as correntes

quentes k e frias j, o local disponível em que irão se ligar m, os pontos a serem

interligados (A e C), para cada integração h, para cada local disponível, para cada

trecho e o par de integrações que irão ser empilhados de acordo com h e n que se

repetem para o número possível de empilhamento e nesta ordem especí�ca de acordo

com a equação 5.8.

X =

m1 . . .mH

k1 . . . kH

j1 . . . jH

A1,1 . . . AM,H

Cq,1,1 . . . Cq,H,K

Cf,1,1 . . . Cf,H,K

h1 n1 . . . he ne

(5.8)

Como exemplo podemos criar o vetor de variáveis que representem duas

integrações, um local disponível, a corrente quente possui dois trechos para a integração

1, dois trechos para a integração 2 e a corrente fria é a mesma para as duas integrações,

possuindo dois trecho como mostra a equação 5.9. Este vetor será limitado pelos valores

superiores XS e valores inferiores Xi de acordo com a secção 5.2.1 e exempli�cado nas

equações 5.10 e 5.11

X = [k1 k2 j1 j2 m1 m2 A1,1 A2,1 Cq,1 Cq,2 Cf,1 Cf,2 h1 n1] (5.9)

Xs = [2 2 2 2 1 1 As,1,1 As,2,1 Cq,s,1 Cq,s,2 Cf,s,1 Cf,s,2 2 2] (5.10)

Xi = [0 0 0 0 0 0 Ai,1,1 Ai,2,1 Cq,i,1 Cq,i,2 Cf,i,1 Cf,i,2 0 0] (5.11)

79

O vetor X possui todas as informações necessárias para calcular o comprimento

de tubulação e realizar os posicionamentos. Assim, é necessário decodi�car este

ordenamento e realizar um método de posicionamento que preveja o empilhamento

e espaçamentos dos trocadores. Isto será feito na função objetivo que será discutida na

secção 5.2.3.

5.2.3 Função Objetivo

A função objetivo será dividida em duas fases: a interpretação do vetor de

entrada X, descrito na secção 5.2.4 e o cálculo do comprimento de tubulação da

secção 5.2.5.

5.2.4 Interpretação do vetor de entrada (X)

Conhecendo o número de integrações totais H, o número de trechos quentes

totais Kh para cada integração h, o número de trechos frios Jh para cada integração

h, o número total de locais disponível M e o número de empilhamentos possíveis e, é

possível separar as variáveis que foram transformadas em vetor X para cada uma das

integrações h.

Sendo os trechos quentes k que serão desviados, os trechos frios j que serão

desviados e os locais disponíveis que os trocadores de calor serão posicionados m os

primeiros valores da sequencia do vetor X, os índices de X referentes a eles somente

são função do número de integrações h e do número de integração total H como mostra

as equações 5.12, 5.13 e 5.14.

kh = ceil(X(h)) (5.12)

jh = ceil(X(H + h)) (5.13)

mh = ceil(X(2H + h)) (5.14)

As próximas variáveis a serem selecionadas serão as coordenadas dos trocadores

de calor do local disponível já escolhido por mh. Como existem três variáveis inteiras de

escolha (m,k,j) para cada integração no início do vetor X, o conjunto de coordenadas

A, para todas as integrações, começa do valor 3H. Sabendo-se que existem três

coordenadas para cada um dos locais disponíveis 3M , a seleção da integração a ser

extraída é feita por 3M(h − 1). Por �nal, existe um valor de A para cada eixo do

80

cartesiano, para cada uma das integrações e para cada uma dos locais disponíveis, assim

cada coordenada pode ser extraída utilizando 3mh − 2 para a coordenada x, 3mh − 1

para a coordenada y e 3mh para a coordenada z, de acordo com a equação 5.15.

Ah =

X(3H + 3(h− 1)M + 3mh − 2)

X(3H + 3(h− 1)M + 3mh − 1)

X(3H + 3(h− 1)M + 3mh)

(5.15)

Seguindo o mesmo raciocínio para a seleção das coordenadas de desvios da

corrente quente Cq, como já foram selecionadas três variáveis para cada integração e

existem três coordenadas para cada local disponível e para cada integração o início dos

das coordenadas de desvio quente ocorre no índice da soma 3H + 3MH. O número

de trechos por integração é variável de acordo com o vetor Kh, desta maneira para

selecionar a corrente para a integração h necessita do somatório 3∑h−1

minKh até o valor

logo antes da integração requerida (h− 1) e para escolher o eixo é feito como descrito

na coordenada de posicionamento de trocadores de calor resultando na equação 5.16.

Cqh =

X(3H + 3MH + 3

∑h−1Kh + 3kh − 2)

X(3H + 3MH + 3∑h−1Kh + 3kh − 1)

X(3H + 3MH + 3∑h−1Kh + 3kh)

(5.16)

A seleção da coordenada de desvio frio Cf segue o mesmo raciocínio do ponto

de desvio quente, só que o ponto inicial são as três coordenadas binárias iniciais para

cada integração 3H somados de três coordenadas para cada local disponível e para

cada integração (3MH) e das três coordenadas para o número total de trechos quentes

3∑H

K Kh. Como os valores de trechos frios para cada integração podem ser diferentes

localizar o trecho da corrente que foi selecionada pode ser feito por 3∑h−1 Jh , como

mostra a equação 5.17

Cfh =

X(3H + 3MH + 3

∑H Kh + 3∑h−1 Jh + 3jh − 3)

X(3H + 3MH + 3∑H Kh + 3

∑h−1 Jh + 3jh − 2)

X(3H + 3MH + 3∑H Kh + 3

∑h−1 Jh + 3jh)

(5.17)

As ultimas informações a serem extraídas do vetor X são as integrações que

serão empilhadas h e n. Cada uma delas se repetem uma vez para cada um dos

possíveis empilhamentos e, desse modo ela está posicionada tendo todas as variáveis

somadas anteriormente 3H + 3M + 3∑H Kh + 3

∑H Jh somada a 2e− 1 quando for a

81

primeira integração h e a 2e quando for a segunda integração n como está descrito nas

equações 5.18 e 5.18.

he = ceil[X(3H + 3M + 3

H∑Kh + 3

H∑Jh + 2e− 1)

](5.18)

ne = ceil[X(3H + 3M + 3

H∑Kh + 3

H∑Jh + 2e)

](5.19)

Tendo as informações dos pontos das correntes que irão ser desviados até o

trocadores de calor, dos posicionamentos dos trocadores de calor e os empilhamentos

que serão realizados a secção 5.2.5 propõe um método para o cálculo do comprimento

de tubulação.

5.2.5 Cálculo do comprimento de tubulação

O cálculo do comprimento de tubulação não é trivial porque o simulated

annealing gera cenários aleatórios que não necessariamente respeitam as restrições

de espaçamentos horizontal e empilhamento. Desse modo o método deve inserir

estas restrições nas coordenadas extraídas do vetor X para posteriormente calcular

o comprimento de tubulação.

O primeiro fator importante é garantir que o número de trocadores de calor

alocados em um local disponível não ultrapasse o número máximo de alocação deste

local, para posteriormente adequar os posicionamentos dos trocadores de calor de acordo

com os espaçamentos e empilhamentos previstos para, por �nal calcular o comprimento

de tubulação necessário. O método proposto está representado no �uxograma da

�gura 5.2.

82

Variáveis Decodi�cadas

Há mais trocadoresque o máximo?

Separa em conjuntos Nde trocadores de calorem mesmo local, N=1

Aplica espaçamentospara conjunto N

Aplicou paratodos conjuntos?

Cálculo do comprimento

N = N + 1

Penalização SIM

NÃO

NÃO

SIM

Figura 5.2: Método para cálculo do comprimento de tubulação.

As próximas secções irão explicar e discutir cada um dos passos deste

�uxograma apresentando os cálculos necessários.

5.2.6 Número máximo de Trocadores de calor

Um cenário de variáveis aleatórias que não pode ser aceito é quando ele sugere

um número de trocadores de calor maior que o máximo de um determinado local

disponível. Este número máximo de trocadores de calor para um local disponível

(Nmax,m) existe porque é exigido um espaçamento entre os trocadores que não

estão empilhados. Desse modo, ele pode ser calculado pelo comprimento do local

disponível(As,i − Ai,i) para o eixo de espaçamento i dividido pelo espaçamento S,

somado ao número de trocadores empilhados naquele local (NE,m), pois trocadores

empilhados não exigem espaçamento horizontal, aproximado ao número inteiro inferior

83

como mostra a equação 5.20 para o local disponível m.

Nmax,m = �oor(As,m,i − Ai,m,i

S

)+NE,m

(5.20)

Caso as variáveis aleatórias forneçam a condição de que o número de trocadores

para um local seja maior que o número máximo ela será penalizada com um

comprimento de tubulação muito grande mostrando que aquela condição não é viável.

5.2.7 Método de espaçamento

Tendo satisfeito a condição de número de trocadores máximos o algoritmo

seleciona e separa em conjuntos N os trocadores que estão no mesmo local disponível

de acordo com a repetição dos locais disponíveis no vetor conjunto m.

Para cada um dos conjuntos que foram selecionados existem duas possibilidades

de espaçamentos: o vertical devido ao empilhamento e o horizontal para espaçamento

de segurança. Assim, ele deve satisfazer os dois, sendo que o empilhamento somente

será efetuado se ele estiver previsto no conjunto Ee e estiver contido no conjunto

de trocadores N e o espaçamento horizontal somente será aplicado quando mais de

um trocador de calor no local disponível e um deles não estiver empilhado ou existir

mais de um empilhamento. A �gura 5.3 ilustra o método utilizado de adequação dos

posicionamentos para o cálculo do comprimento de tubulação.

Conjunto de trocadores N ,Vetor de empilhamento E

Valida E

Aplica espaçamento em φ

Aplica espaçamentos em S

Figura 5.3: Método de aplicação de espaçamentos.

Cada um dos passos deste �uxograma serão discutido separadamente nas

84

secções a seguir.

5.2.8 Validação do conjunto E

Os empilhamentos são extraídos do vetor X e o vetor Ee é criado do modo que

em cada linha existirão pares de trocadores de calor(h e n) que serão empilhados como

estão representado na equação 5.21.

Ee =

h1 n1

......

hE nE

(5.21)

Como já foi dito o simulated annealing gera cenários impraticáveis de número de

trocadores de calor para locais disponíveis e também gera empilhamentos impossíveis.

Considerando a matriz E há quatro condições que não existem na prática:

� Empilhamento das mesmas integrações(Ex: Ee =

[2 2

])

� Integrações iguais:(Ex: Ee =

[1 2

2 1

])

� Integração Nula(Ex: Ee =

[0 0

]ou Ee =

[1 0

])

� Empilhamento duplo de uma integração(Ex: Ee

[1 2

3 1

])

Deste modo, anterior ao teste se há empilhamento no conjunto de trocadores

de calor selecionados, é realizada a busca destas quatro condições dentro do vetor E e

se encontradas as linhas serão retiradas.

5.2.9 Aplicar empilhamento

O espaçamento vertical de empilhamento somente será aplicado se o vetor E

prever este empilhamento, ou seja se uma linha e do vetor E estiver contido no conjunto

de trocadores analisados N .

Detectado o empilhamento de um par trocadores de calor para o conjunto

N implica em aplicar as restrições das equações 4.20, 4.21 e 4.22(página 60) nas

85

coordenadas deste par.

Desse modo os módulos dos eixos horizontais devem ser idênticos e o eixo

de altura deve respeitar a altura de estrutura de empilhamento φ. O �uxograma da

�gura 5.4 ilustra todo o processo de empilhamento descrito anteriormente considerando

y como eixo vertical.

Linha e de E

e ⊂ N?

Ay,h = Ay,n + φAx,h = Ax,n

Az,h = Az,n

e = e + 1

Terminou as linhas de E?

Espaçamento Horizontal

NÃO

NÃO

SIM

SIM

Figura 5.4: Método de empilhamento

Após o empilhamento de pares de trocadores é necessário espaçar os trocadores

restantes. A secção 5.2.10 descreverá este procedimento.

5.2.10 Aplicar espaçamento horizontal de segurança

Mesmo após o empilhamento podem existir trocadores de calor no local disponí-

vel que não estão empilhados e necessitam de espaçamento em relação ao par empilhado.

Assim, existem duas condições que necessitam ser satisfeitas simultaneamente para que

o espaçamento horizontal necessite ser aplicado:

86

� Existir mais de um trocador de calor no local disponível

� Um destes trocadores não estarem empilhados

Satisfeito estas condições é necessário que a restrição de espaçamento da

equação 4.19(página 60) seja respeitada. Isto é feito no presente trabalho organizando

de forma decrescente as coordenadas das integrações e ir somando o padrão de

espaçamento seguro S para o eixo i partindo do menor valor(Ai,h=min(Ay)

)até o maior

somente se a atual distância entre eles for menor que a espaçamento de segurança S de

acordo com a equação 5.22.

Ai,h+1 = Ai,h + S de Ai,h=min(Ay)até Ai,h=max(Ay) (5.22)

Assim, após a aplicação da equação 5.22 para todas as integrações, o maior

valor não pode ferir a restrição superior (As,i) e para garantir que isto não ocorra

aplica-se a função min em relação ao local com valor máximo Ai,h=max(Ay) e o valor

superior para aquele eixo i, As,i de acordo com a equação 5.23.

Ai,h=max(Ay) = min(Ai,h=max(Ay), As,i) (5.23)

Estando a coordenada com maior valor de acordo com o limite superior imposto

pelo local disponível realiza o retorno dos espaçamentos do maior valor até o menor valor

subtraindo o espeçamento seguro S se o espaçamentos entre os pontos ferir a restrição

de espaçamento, como mostra a equação 5.24.

Ai,h−1 = Ai,h − S de Ai,h=max(Ay) até Ai,h=min(Ay)− 1 (5.24)

Todo o método de espaçamento horizontal descrito está representado no

�uxograma da �gura 5.5 e como o número de trocadores de calor já respeita o número

máximo de trocadores de calor por local disponível �ca garantido que os limites do local

disponível serão respeitados.

87

Ordena N porAz decrescente

de i=2 até TN

|Az,i−1 − Az,i| < S

Az,i = Az,i−1 + S

min(Az,T , AS,z)

de i=1 até TN − 1

|Az,T−i − Az,T−i+1| < S

Az,T−i = Az,T−i+1 − S

Cálculo do comprimentode tubulação

NÃO

SIM

NÃO

SIM

Figura 5.5: Método de espaçamento sem empilhamento

Este cálculo é válido somente quando não há empilhamentos porque quando

os trocadores de calor forem empilhados os valores das coordenadas deles somente irão

diferir em sua coordenada vertical, sendo que pelo método descrito eles seriam espaçados

da mesma maneira.

Assim, utilizando o conjunto de pares de trocadores empilhados E, que é

formado por integrações de caráter [h n], podemos retirar uma destas integrações do

conjunto de trocadores de calor que estão sendo espaçados e posteriormente igualar sua

coordenadas de espaçamento indexados pelo par de trocadores empilhados.

N =[1 2 5

](5.25)

E =[1 2

](5.26)

Por exemplo sabendo que o conjunto N sugere as integrações 1, 2 e 5 de acordo

com a equação 5.25, e o vetor já corrigido E sugere o empilhamento das integrações 1 e 2,

com mostra a equação 5.26. Retira-se a integração 2 do vetor N , aplica o procedimento

de espaçamento do �uxograma 5.5 e após a �nalização iguala as coordenadas Az e

Ax da integração 2 à da 1 de acordo com o vetor de empilhamento E. Sendo T o

número de trocadores de calor que foram posicionados no conjunto N o procedimento

de espaçamento horizontal ilustrado na �gura 5.6.

88

N − E(n)

Ordena N porAz decrescente

de i=2 até TN

|Az,i−1 − Az,i| < S

Az,i = Az,i−1 + S

min(Az,T , AS,z)

de i=1 até TN − 1

|Az,T−i − Az,T−i+1| < S

Az,T−i = Az,T−i+1 − S

Az,E(n) = AE(h)

NÃO

SIM

NÃO

SIM

Figura 5.6: Método de espaçamento com empilhamento

Aplicado todos os espaçamentos as coordenadas dos trocadores de calor estão

prontas para o cálculo do comprimento de tubulação que será discutido na secção 5.2.11.

5.2.11 Estimar comprimento de tubulação

As variáveis necessárias para o cálculo do comprimento de tubulação pela

distância de Manhattan já foram extraídas do vetor X e os espaçamentos foram

aplicados aos posicionamentos A de cada uma das integrações.

Deste modo, o comprimento de tubulação pode ser calculado utilizando

qualquer uma das distâncias já apresentadas. Exempli�cando o cálculo pela equa-

ção 3.5(página 43), sabendo que neste trabalho o pipe rack foi considerado, então

existem matrizes de correções (R, P e W ). Considerando que o local disponível

foi escolhido pelo conjunto m, e o trecho pelo conjunto, k e j extraídos do vetor

X, as diferenças modulares das coordenadas podem ser calculadas de acordo com a

89

equação 5.27, 5.28 e 5.29.

∆xp = |Ax − Cx|(1− Pm,k) + |Xp − Cx|Pm,k + |Xp − Ax|Pm,k (5.27)

∆yp = |Ay − Cy|(1−Rm,k) + |Yp − Cy|Rm,k + |Yp − Ay|Rm,k (5.28)

∆zp = |Az − Cz|(1−Wm,k) + |Zp − Cy|Wm,k + |Zp − Ay|Wm,k (5.29)

Como a função objetivo é o comprimento de tubulação ele será calculado para

as correntes quentes e para as correntes frias e somados de acordo com a equação 2.4.

Por �nal, na secção 5.3 o modelo será aplicado para resolver exemplos de cenários dos

capítulos anteriores, para dois casos mais complexos e seus resultados comparados e

analisados.

5.3 Exemplos de aplicação

Nesta secção iremos aplicar os métodos de resolução para os exemplos de

aplicação citados nos capítulos anteriores e comparar seus resultados. Ademais,

será proposto outros dois cenários mais complexos que também serão resolvidos pelo

GAMS© e pelo simulated annealing e terão seus resultados comparados.

5.3.1 Resolução de exemplos anteriores

O exemplo 2.6 é o posicionamento de um trocador de calor para uma

integração considerando dois locais disponíveis para alocação como esta representado

na �gura 2.12(página 38).

Os dois métodos propostos foram utilizados para otimizar o modelo e o

comprimento de tubulação obtido foi igual de 37,5 metros, com o trocador de calor

alocado no local 1, com coordenadas de acordo com a tabela B.1 e pontos de desvios

de acordo com a tabela B.2, como ilustra a �gura 5.7.

90

Figura 5.7: Alocação ótima para exemplo 2.6

O solver utilizado pelo GAMS© foi o BARON e para o simulated annealing

foram efetuadas 100 iterações internas e 200 externas com um γ igual a 6.

Os comprimentos de tubulação e o tempo de cada uma das convergências estão

listados na tabela B.3 do apêndice B e nota-se que o GAMS encontra o resultado

quase instantaneamente enquanto o simulated annealing leva um minuto. É importante

mostrar que o simulated annealing encontra o resultado �nal em torno da vigésima

iteração, como mostra o grá�co da �gura 5.8(a), entretanto ele tem que garantir que ele

atingiu um mínimo de acordo a variância da função objetivo que só mínima em torno

de 140 iterações como mostra a �gura 5.8(b).

91

(a) Função objetivo média

(b) Variância da Função Objetivo

Figura 5.8: Histórico do exemplo 2.6 pelo método simulated annealing

O modelo deste exemplo encontra o menor comprimento de tubulação para

interligar o trocador de calor pontual às correntes de processo desconsiderando as

restrições do pipe rack.

Já o exemplo 3.3 é o mesmo cenário do exemplo 2.6, mas considerando o

impedimento do pipe rack, como está representado na planta da �gura 3.7(página 49).

Para este caso os dois métodos também encontraram o mesmo ponto mínimo,

exigindo 54,1 metros de tubulação para alocar o trocador de calor no local 4 com

coordenadas de acordo com a tabela B.1 e pontos de desvios de acordo com a tabela B.2,

que está representado na �gura 5.9

92


O GAMS utilizou o solver BARON e atingiu o valor mínimo em menos de

1 segundo e o simulated annealing com 200 iterações externas, 100 internas e um γ

de 5 apresenta o resultado em 57 segundos. Entretanto, em torno de 30 iterações

simulated annealing ja havia encontrado o ponto mínimo, de acordo com o grá�co da

�gura 5.10(a), mas ele deve garantir que o resultado é um mínimo com uma pequena

variância da função objetivo que só foi encontrado em torno de 170 iteração como

mostra a �gura 5.10(b).

93




É notável o quanto a estimativa do comprimento de tubulação sem considerar o

pipe rack está subestimada chegando, para este exemplo, a um aumento no comprimento

de 44%.

Ademais, o trocador deslocou para outro local disponível quando o pipe rack

foi considerado e isto ocorre porque exigir que a tubulação seja sustentada funciona

como uma penalização da função objetivo neste caso. Como a altura do trocador de

calor (Ay) é constante o fator |Yp−Ay| da equação 3.13(pagina 47) também é constante

e maior que qualquer outra dimensão para este caso desfavorecendo o posicionamento

no local 1.

Desse modo, o pipe rack é um fator importante na determinação do posi-

cionamento ótimo do trocador de calor, já que para sustentar a tubulação no pipe

rack envolve um aumento signi�cativo no comprimento vertical da tubulação podendo

alterar o posicionamento ótimo do trocador de calor, além de que fornece estimativa do

comprimento de tubulação mais acurada.

No exemplo 4.3 é estudado o posicionamento de dois trocadores de calor em

94

um mesmo local disponível como está representado na �gura 4.6(página 66).

Para este exemplo é considerando a possibilidade de espaçar os trocadores

de calor alocados lado a lado ou o empilhá-los e os dois métodos resultaram em um

comprimento de tubulação de 134,2 metros empilhando os dois trocadores no local

disponível, com coordenadas de acordo com a tabela B.1 e pontos de desvios de acordo

com a tabela B.2, ilustrado na �gura 5.11


O solver BARON foi utilizado pelo GAMS©, chegando ao resultado em menos

de 1 segundo e o simulated annealing necessitou de 300 iterações externas, 100 internas,

um γ inicial de 10 e 284 segundos, de modo que como nos outros exemplos ele atinge o

mínimo em pouca iterações, em torno de 30(�gura 5.12(a)) e gasta muito tempo para

garantir este mínimo de acordo com a variância(�gura 5.12(b)).

95




O modelo com a alocação simultânea de trocadores de calor elimina a

necessidade de resolver o mesmo modelo várias vezes para cada combinatória de

integração, sendo capaz de garantir posicionamentos relativos quando trocadores de

calor são alocados no mesmo local disponível e também de tomar a decisão de

empilhamento destes. Além disso, o empilhamento de trocadores de calor gera uma

alteração no cenário de escolha porque provê a possibilidade de alteração na coordenada

de altura (Ay) dos trocadores de calor tornando variável o fator |Yp−Ay| e abrindo umleque de novas possibilidades de layout.

Outrossim, os dois métodos utilizados obtiveram resultados iguais e ,como era

esperado, o simulated annealing leva maior tempo para garantir o mínimo porque ele

varre todo o espaço aleatoriamente.

Portanto, sabendo que o modelo consegue descrever todas as restrições de

layout discutidas, serão propostos dois outros cenários mais complexos na secção 5.3.2

para testar o modelo e a qualidade dos resultados utilizando cada um dos métodos de

otimização.

96

5.3.2 Exemplos mais complexos

Tendo resolvido os exemplos anteriores vamos considerar um cenário com

maior possibilidades de layout determinando mais três locais disponíveis para as duas

integrações do exemplo 4.3. Os locais disponíveis são limitados de acordo com os valores

da tabela A.1, estão representados em perspectiva na �gura A.1 e a planta em escala

na �gura 5.13.

Figura 5.13: Duas integrações e quatro locais disponíveis

Os pontos padrões do pipe rack também são os mesmo de Xp = −1 e Yp =

4, o espaçamento de segurança horizontal será de 1,5 metros no eixo z, e a altura

de empilhamento φ será de 3 metros. As constantes de correção em relação ao pipe

97

rack consideradas estão descritas nas equações 5.30, 5.31, 5.32 e 5.32, para a primeira

integração e nas equações 5.34, 5.35, 5.36 e 5.36, para a segunda integração sendo que

foi considerado que pares de locais e trechos que estão próximos não necessitam de

correção.

98

Pq,m,1,k =

0 0

0 0

1 1

0 0

(5.30)

Rq,m,1,k =

1 1

1 1

1 1

0 0

(5.31)

Pf,m,1,j=

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(5.32)

Rf,m,1,j=

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

(5.33)

Pq,m,2,k =

1 1 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

(5.34)

Rq,m,2,k =

1 1 0 0 1

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

1 1 1 1 1

(5.35)

Pf,m,2,j=

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

(5.36)

Rf,m,2,j=

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

(5.37)

99

Os dois métodos resultaram em alocar o trocador de calor da primeira

integração no local 4 e da segunda integração no local 2, coordenadas e desvios de acordo

com as tabelas 5.1 e 5.2 respectivamente, ilustrado na �gura 5.14 com comprimento de

tubulação total de 111,5 metros.

Figura 5.14: Alocação ótima para vários locais disponíveis

Tabela 5.1: Posição dos Trocadores de calor

Integração LocalCoordenadasx y z

1 4 -8,30 0,50 4,502 2 5,70 0,50 19,00

100

Tabela 5.2: Desvio das correntes

Integração trecho CorrenteCoordenadasx y z

12 Quente -5,05 1,00 6,501 Fria 1,00 2,00 11,00

21 Quente 4,70 1,25 14,001 Fria 1,00 2,00 11,00

Este caso foi resolvido no software GAMS utilizando o solver BARON, levando

16 minutos para chegar ao valor mínimo e no simulated annealing com 300 integrações

internas, 800 Interações externas, um γ de 500 e levou 21 minutos, sendo que ele atinge

o resultado �nal em torno da 450ª iteração com mostra a �gura 5.15(a) e se estabiliza

próximo da 600ª iteração como mostra o grá�co da �gura 5.15(b). É importante

ressaltar que o γ inicial utilizado no simulated annealing para este caso necessita ser

alto para que ele consiga varrer várias possibilidades inteiras antes de estabilizar em

um mínimo.




101

Um fato importante a destacar é que os trocadores de calor foram alocados em

combinações de locais disponíveis e ligados a trechos de correntes que não necessitam

ser sustentada pelo pipe rack. Isto ocorre porque quando a tubulação é sustentada

pelo pipe rack o cálculo em y é feito por |Yp − Ay| + |Yp − Cy| e o fator |Yp − Ay|geralmente é maior que qualquer outra distância. Sabe-se que este fator somente varia

se houver o empilhamento, que diminui seu módulo em φ metros, que para este caso

não foi o su�ciente para justi�car seu empilhamento. Desse modo, pode-se considerar

a prerrogativa de que trocadores de calor são preferencialmente alocados em locais que

a combinação de trecho/local disponível não necessite ser sustentada pelo pipe rack

levando a um resultado próximo do ótimo.

Considerando uma situação mais complexa, envolvendo a alocação de quatro

trocadores de calor simultâneos, sendo as duas integrações já utilizadas somadas a

integração das correntes de saída do trocador de calor E-204 até a torre I que irá pré-

aquecer as correntes dos dois refervedores das torres, ressaltando que neste trabalho

somente estamos analisando o layout da planta e não a questão energética. As

coordenadas de cada uma das correntes estão descritas na tabela A.2, suas constantes

de correção do pipe rack nas equações 5.38, 5.39, 5.40, 5.41, 5.42, 5.43, 5.44, 5.45 e a

planta deste problema na �gura 5.16.

102

Figura 5.16: Exemplo com quatro integrações simultâneas

103

Pq,m,3,k =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

(5.38)

Rq,m,3,k =

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

(5.39)

Pf,m,3,j=

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

(5.40)

Rf,m,3,j=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

(5.41)

Pq,m,4,k =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

(5.42)

Rq,m,4,k =

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

(5.43)

Pf,m,4,j=

0 0

0 0

1 1

1 1

(5.44)

Rf,m,4,j=

1 1

1 1

1 1

1 1

(5.45)

104

O aumento no número de variáveis binárias complica a solução determinística

sendo que o solver BARON �ca seriamente afetado pela explosão combinatória e não

converge mesmo após dias de resolução. Os solvers COUENNE e DICOPT encontram

uma solução viável diferente uma da outra, sendo a do COUENNE 28,8% menor que a

do DICOPT e o simulated annealing encontra o menor comprimento de tubulação de

203,4 metros como está sumarizado representado na �gura 5.17.

Figura 5.17: Planta exemplo 5 resolvido pelo simulated annealing

Os resultados de todos os solvers estão sumarizados na tabela 5.3, as

coordenadas nas tabelas 5.4, 5.5, B.4, B.5, B.8, B.9 representados nas �guras 5.17,

B.4 e B.2.

Tabela 5.3: Estimativas de Comprimento de Tubulação do exemplo 5 para diferentessolvers

Solver Comprimento de tubulação(m)

BARON -DICOPT 412,9COUENNE 293,9

Simulated Annealing 203,4

105

Tabela 5.4: Desvio das correntes - Simulated Annealing

Integração Corrente TrechoCoordenadasx y z

1Quente 2 -5,05 1,00 6,50Fria 1 1,00 2,00 11,00

2Quente 1 4,70 1,00 14,00Fria 1 1,00 2,00 11,00

3Quente 2 -7,30 0,50 20,25Fria 1 -5,80 4,00 16,75

4Quente 2 -7,30 3,50 20,25Fria 1 -5,05 2,25 9,00

Tabela 5.5: Posicionamentos dos Trocadores de Calor - Simulated Annealing


1 4 -8,3 0,5 4,52 2 5,70 0,50 19,003 3 -8,3 0,5 20,084 3 -8,3 3,5 20,08

É importante ressaltar que para obter o resultado simulated annealing é

necessário utilizar um γ bastante alto, para que ele permita o deslocamento dos inteiros,

além de que foi utilizado número de interações internas na faixa de 300-800 e iterações

externas na faixa de 1000-1700. O resultado do simulated annealing foi o menor entre

eles correspondendo a 69,1% do menor valor determinístico, e isto re�ete a presença de

vários mínimos locais na função objetivo e o alto número de binários do problema, de

modo que se o ponto inicial para os modelos determinísticos não for próximo do mínimo

global ele irá encontrar o mínimo local mais próximo ou ele irá parar sua resolução em

um valor viável devido ao enorme esforço computacional necessário para varrer todas

as combinações binárias.

A prerrogativa de que os trocadores de calor são alocados em locais que as

tubulações não necessitam ser sustentadas pelo pipe rack está de acordo com o resultado

obtido pelo simulated annealing, mostrando ter potencial para um ponto inicial de busca

para plantas e localizações similares a este exemplo.

Deste modo, foram determinados binários de seleção de locais disponíveis

iniciais, considerando os locais para cada integração em que a tubulação não precisa ser

sustentada pelo pipe rack, de acordo com a equação 5.46 e os modelos foram resolvidos

106

levando em conta esta con�guração inicial.

βm,h =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

(5.46)

O modelo foi resolvido pelos solvers COUENNE, BARON e DICOPT tomando

o ponto inicial escolhido para as variáveis βm da equação 5.46 e nota-se melhoras

signi�cativas nos resultados como está listado na tabela 5.6. As coordenadas de

posicionamento e de desvio das correntes estão detalhadas nas tabelas B.6, B.7, B.10,

B.11 e representados nas �guras B.3 e B.1.

Tabela 5.6: Estimativas de Comprimento de Tubulação do exemplo 5 para diferentessolvers

Solver Ponto Inicial Comprimento de tubulação(m) Duração(s)

DICOPT s/ 412,9 3COUENNE s/ 293,9 1000DICOPT c/ 232,1 1,5COUENNE c/ 252,8 1000

Simulated Annealing - 203,4 7870

A explosão combinatória afeta a resolução do Baron não convergindo após

vários dias mesmo com um ponto inicial determinado. Já o COUENNE e o DICOPT

resultaram em valores 43,8% e 14% menores que os anteriores respectivamente e o

do DICOPT é 14,1% maior que o encontrado pelo simulated annealing em um tempo

muito menor. Isto indica que de�nir um ponto inicial, de acordo com a prerrogativa da

correção do pipe rack, pode ser útil para estimativas grosseiras.

O número de binários para este caso já é considerável e o simulated annealing

demanda em torno de 1300 iterações para encontrar o resultado �nal, como mostra o

grá�co da �gura 5.18(a), e é interessante que a variância da função objetivo(5.18(b))

apresenta comportamento parecido com o da média, mostrando que existem vários

mínimos próximos.

107




Portanto o modelo proposto é e�ciente para alocar trocadores de calor em

plantas químicas decidindo em que ponto das correntes ele irá se ligar, a possibilidade de

empilhamento dos trocadores de calor, considerando vários locais disponíveis, inúmeras

integrações e restrições do pipe rack. Ademais para cenários com poucas integrações

simultâneas é recomendado utilizar solvers determinísticos que encontram o valor

mínimo rapidamente e para cenários com maior número de possibilidades de layout

recomenda-se a utilização do simulated annealing ou o DICOPT para uma rápida

estimativa, assumindo como ponto inicial locais disponíveis que não precisam ser

sustentados pelo pipe rack.

108

Capítulo 6

Conclusão

Os métodos de integração térmica determinam quais as correntes serão

integradas e consequentemente a adição de trocadores de calor novos para atingir melhor

recuperação energética. Para posicionar estes trocadores de calor novos deve-se ter

conhecimento detalhado do layout da planta em estudo determinando os locais que o

trocador de calor podem ser posicionados e os posicionamentos das correntes de processo

que serão integradas.

Assim, o presente trabalho propôs um modelo de programação misto-inteira

não-linear(MINLP) para posicionar vários trocadores de calor novos simultaneamente

em retro�ts de plantas químicas, considerando os locais que estão disponíveis nas

plantas químicas para posicionar os trocadores de calor novos e os pontos de desvios

das correntes de processo a serem integradas.

O modelo abrange restrições de layout aplicadas para o roteamento da

tubulação pelo pipe rack e a escolha entre o espaçamento ou o empilhamento de

trocadores de calor que são posicionados no mesmo local disponível.

Cinco casos diferentes para um layout de planta de produção de dimetiléter

foram resolvidos pelos métodos de otimização determinísticos (BARON, COUENNE

e DICOPT) e pelo algorítimo estocástico simulated annealing e seus resultados

comparados.

O primeiro exemplo foi o de alocação de um trocador de calor desconsiderando

o impedimento do pipe rack no roteamento da tubulação. O resultado obtido nos dois

algorítimos de resolução posicionou o trocador de calor no local disponível de número 1,

interligado com o trecho 2 da corrente quente e 5 da corrente fria exigindo 37,5 metros

de tubulação.

109

O segundo exemplo repete o cenário do primeiro, entretanto ele considera as

restrições do pipe rack no roteamento da tubulação. Os dois algorítimos posicionam

o trocador de calor no local disponível 4 ligando ele ao trecho 2 da corrente quente e

ao trecho 1 da corrente fria resultando em 54,1 metros de tubulação. Estes resultados

mostram que as restrições do pipe rack in�uenciam no roteamento da tubulação, sendo

que, para este cenário, in�uenciou no aumento de 44,3% no comprimento de tubulação,

além de deslocar o trocador de calor para o local disponível 4.

O terceiro exemplo expande o modelo para várias integrações simultâneas

criando a possibilidade de empilhar trocadores de calor ou alocá-los lado a lado. Estas

duas possibilidade incluídas acrescentam restrições nos posicionamentos de trocadores

de calor que são alocados no mesmo local disponível respeitando uma distância

horizontal de segurança, que é aplicada a trocadores alocados lado a lado ou uma altura

de estrutura de sustentação quando trocadores de calor são empilhados. O exemplo

para mostrar o funcionamento do modelo é o posicionamento de 2 trocadores de calor de

integrações diferentes em um local disponível e mostra que o modelo consegue distinguir

e adequar os trocadores de calor aos espaçamentos necessários, já que as respostas dos

dois algorítimos de resolução sugerem o empilhamento dos trocadores de calor que estão

separados por uma altura de empilhamento de 3 metros e necessitam de um total de

134,23 metros de tubulação.

O quarto exemplo aumenta o número de possibilidades de layout adicionando

mais 3 locais disponíveis para as integrações do terceiro exemplo. Os dois algorítimos

de resolução optam por não empilhar os trocadores de calor alocando a integração 1

no local 4 e a integração 2 no local 2 resultando em 111,5 metros de tubulação. Alocar

trocadores de calor empilhados, além de evitar o aumento na área construída pode

bene�ciar neste modelo, aproximando o trocador de calor do pipe rack, resultando em

um comprimento de tubulação menor, entretanto, este exemplo mostra que nem sempre

o ganho de comprimento de tubulação é o su�ciente para diminuir o comprimento de

tubulação total, já que ele é a soma dos comprimento que ligam às correntes fria e

quente.

O último exemplo adiciona mais duas integrações no cenário do quarto

exemplo. Este cenário foi resolvido por vários solvers determinísticos (DICOPT,

BARON, COUENNE) e pelo simulated annealing chegando a resultados diferentes.

O solver BARON não convergiu mesmo após vários dias. O COUENNE encontrou

um comprimento de tubulação de 293,9 metros, o DICOPT 412,9 metros e o simulated

annealing encontrou o menor comprimento de tubulação de 203 metros.

110

Observando os resultados obtidos nos exemplos mais complexos notou-se que

os trocadores de calor são preferivelmente alocados em locais em que sua tubulação não

necessita ser sustentada pelo pipe rack, pois em vários casos a correção do pipe rack

age como penalização da função objetivo. Desta maneira, considerando a alocação de

trocadores de calor em locais que não exigem a sustentação das tubulações no pipe rack

como ponto inicial o solver BARON continuou não convergindo, entretanto os solvers

DICOPT e COUENNE encontraram melhores posicionamentos exigindo 232,1 e 252,8

metros de tubulação respectivamente que são 43,8% e 14% menores que os valores

anteriores.

A prerrogativa que gerou um ponto inicial para o GAMS se mostrou e�ciente

reduzindo o menor comprimento obtido, sem considerar um ponto inicial, de 44,8%

para 14,1% em relação ao resultado do simulated annealing, sabendo que o tempo de

resolução do modelo determinístico é muito menor que o do simulated annealing.

Por �nal, o modelo efetivamente posiciona trocadores de calor novos em retro�ts

com o objetivo de encontrar o menor comprimento de tubulação necessário. Para

cenários com poucas integrações e poucos locais disponíveis é recomendado resolver o

modelo com métodos determinísticos devido a sua rápida convergência com resultados

promissores e para cenários com grande número de locais disponíveis e integrações a

utilização de métodos determinísticos deve ser feita com cautela, sabendo que mesmo

com a prerrogativa apresentada neste trabalho para determinar um ponto inicial ele

não garante o melhor posicionamento dos trocadores de calor que pode se obtido pelo

método proposto método proposto para o simulated annealing.

6.1 Trabalhos Futuros

� No presente trabalho o custo do posicionamento dos trocadores é descrito pelo

comprimento de tubulação necessário para o arranjo de trocadores de calor. Na

prática o custo deveria levar em conta o comprimento e o diâmetro da tubulação

como custo material, a vibração e �exibilidade dos tubos no roteamento da

tubulação e a queda de pressão adicional como custo operacional. O modelo

pode ser expandido para considerar esses fatores.

� Estudar a viabilidade e as modi�cações necessárias para uni�car o modelo

desenvolvido neste trabalho, de otimização de layout, com modelos de integração

térmica.

111

� Veri�car a possibilidade do desenvolvimento de uma interface para utilizar dados

de layout das tubulações do processo em estudo de softwares de desenvolvimento

e implementação de processos (um exemplo típico MPDS4) para o procedimento

proposto no presente trabalho, para representar os resultados obtidos e para

delimitação rápida dos locais disponíveis na planta.

112

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116

Apêndice A

Planta de Dimetil Eter

Tabela A.1: Delimitação de Locais Disponíveis

Local disponívelInferior Superior

x y z x y z

1 05.70 0.50 00.00 07.70 00.50 06.002 05.70 0.50 19.00 07.70 00.50 24.003 -09.05 0.50 20.00 -08.30 00.50 24.004 -10.30 0.50 00.00 -08.30 00.50 04.50

Tabela A.2: Coordenadas Iniciais e Finais das Correntes de Processo

CorrenteInicio Final

x y z x y z

Bombeamento -> E-201

01.00 01.54 11.00 01.00 02.00 11.00

01.00 02.00 11.00 04.45 02.00 11.00

04.45 02.00 11.00 04.45 02.00 12.00

04.45 02.00 12.00 05.95 02.00 12.00

05.95 02.00 12.00 05.95 01.25 12.00

E-202 -> E-203

04.70 01.00 14.00 04.70 04.00 14.00

04.70 04.00 14.00 -01.30 04.00 14.00

-01.30 04.00 14.00 -01.30 04.00 18.00

-01.30 04.00 18.00 -03.80 04.00 18.00

-03.80 04.00 18.00 -03.80 01.25 18.00

117

Tabela A.2: Continuação

Corrente xi yi zi xf yf zf

Inicio Final

E-203 -> Torre I

-07.30 00.00 18.00 -07.30 00.00 20.25

-07.30 00.00 20.25 -07.30 11.00 20.25

-07.30 11.00 20.25 -05.80 11.00 20.25

-05.80 11.00 20.25 -05.80 11.00 17.25

Fundo Torre I -> Evaporador

-5.8 4.0 16.75 -5.8 4.0 14.5

-5.8 4.0 14.5 -4.3 4.0 14.5

-4.3 4.0 14.5 -4.3 1.0 14.5

Junção pós Torre II -> E-208-5.05 2.25 9.0 -5.05 2.25 6.5

-5.05 2.25 6.5 -5.05 1.0 6.5

Junção pós Torre II -> Refervedor -5.05 2.25 9.0 -5.05 1.0 9.0

118

FiguraA.1:Posicionam

entosDisponíveis

119

Apêndice B

Resultados

Tabela B.1: Posicionamento dos trocadores de calor

Exemplo - Integração LocalCoordenadasx y z

2.6 - 1 1 5,7 0,5 6,03.3 - 1 4 −8,3 0,5 4,54.3 - 1 1 5,7 3,5 6,04.3 - 2 1 5,7 0,5 6,0

Tabela B.2: Desvio das Correntes

Exemplo - integração Corrente TrechoCoordenadasx y z

2.6 - 1 Quente 2 −5,05 1,00 6,52.6 - 1 Fria 5 5,95 1,25 12,03.3 - 1 Quente 2 −5,05 1,00 6,53.3 - 1 Fria 1 1,00 1,54 11,04.3 - 1 Quente 1 −5,05 2,25 6,54.3 - 1 Fria 2 1,00 2,00 11,04.3 - 2 Quente 2 5,70 0,50 6,04.3 - 2 Fria 2 −1,02 4,00 14,0

Tabela B.3: Comprimentos de Tubulações

Exemplo Comprimento de Tubulação (m) Duração Scilab (s) Duração GAMS (s)

2.6 37,5 60 23.3 54,1 61 <14.3 134,2 284 <1

120

Tabela B.4: Desvio das Correntes para exemplo 5.3.2 utilizando DICOPT S/ ponto inicial


1Quente 1 -5,05 2,25 9,00Fria 2 1,00 2,00 11,00

2Quente 5 -3,80 1,25 18,00Fria 2 1,00 2,00 11,00

3Quente 1 -7,30 0,00 18,00Fria 2 -4,30 4,00 14,50

4Quente 1 -7,30 0,00 18,00Fria 1 -5,05 2,25 9,00

Tabela B.5: Posicionamento dos trocadores para exemplo 5.3.2 utilizando DICOPT S/ponto inicial


1 3 -8,30 3,50 23,002 3 -8,30 0,50 23,003 1 5,70 0,50 4,504 1 5,70 0,50 1,50

Tabela B.6: Desvios das correntes para exemplo 5.3.2 utilizando DICOPT c/ Ponto Inicial


1Quente 1 -5,05 2.25 6,50Fria 2 1,00 2,00 11,00

2Quente 5 -3,80 3,50 18,00Fria 1 1,00 2,00 11,00

3Quente 2 -7,30 0,50 20,25Fria 1 -5,80 4,00 16,75

4Quente 2 -7,30 0,50 20,25Fria 1 -5,80 4,00 16,75

Tabela B.7: Posicionamentos dos Trocadores de calor para exemplo 5.3.2 utilizandoDICOPT c/ Ponto Inicial


1 4 -8,3 0,5 4,52 3 -8,3 3,5 233 3 -8,3 0,5 234 3 8,3 0,5 20

121

Tabela B.8: Desvios das correntes para exemplo 5.3.2 COUENNE s/ Ponto Inicial

Integração Corrente TrechoCoordenadas

x y z

1Quente 1 -5,05 2,25 9,00Fria 1 1,00 2,00 11,00

2Quente 2 -1,30 4,00 14,00Fria 1 1,00 2,00 11,00

3Quente 1 -7,30 0,00 20,00Fria 2 -4,30 4,00 14,50

4Quente 4 -5,80 11,00 20,25Fria 1 -5,05 2,25 9,00

Tabela B.9: Posicionamentos dos Trocadores de calor para exemplo 5.3.2 utilizandoCOUENNE s/ Ponto Inicial


1 2 5,70 0,50 19,002 3 -8,30 3.5 20,003 3 -8,30 0,30 20,004 3 -8,30 0,50 21,50

Tabela B.10: Desvios das correntes para exemplo 5.3.2 COUENNE c/ Ponto Inicial


1Quente 2 -5,05 1,00 6,50Fria 1 1,00 2,00 11,00

2Quente 3 -1,30 4,00 18,00Fria 2 1,00 2,00 11,00

3Quente 1 -7,30 0,00 20,00Fria 3 -4,30 4,00 15,00

4Quente 2 -7,30 4,00 20,25Fria 1 -5,05 2,25 9,00

Tabela B.11: Posicionamentos dos Trocadores de calor para exemplo 5.3.2 utilizandoCOUENNE c/ Ponto Inicial


1 4 -8,3 0,5 4,52 3 -8,3 3,5 203 3 -8,3 0,5 204 4 -8,3 3,5 4,5

122

Figura B.1: Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver COUENNE c/ ponto inicial

Figura B.2: Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver COUENNE s/ ponto inicial

123

Figura B.3: Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver DICOPT c/ ponto inicial

Figura B.4: Planta exemplo 5.3.2 resolvido pelo solver DICOPT s/ ponto inicial

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