UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARABA

CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

KLEBER WASHINGTON CABRAL DE VASCONCELOS

Logaritmos e suas Aplicaes

Campina Grande/PB

Dezembro/2011

Trabalho de Concluso do Curso de

Licenciatura Plena em Matemtica da

Universidade Estadual da Paraba.

Em cumprimento s exigncias para

obteno do ttulo de Licenciado em

Matemtica.

Orientador: Prof. Ms. Fernando Luiz Tavares da Silva

Campina Grande

Dezembro de 2011

FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UEPB

V441l Vasconcelos, Kleber Washington Cabral de. Logaritmos e suas aplicaes [manuscrito] / Kleber

Washington Cabral de Vasconcelos. 2011. 41 f. : il. color.

Digitado.

Trabalho de Concluso de Curso (Graduao em

Matemtica) Universidade Estadual da Paraba, Centro de

Cincias Tecnolgicas, 2011.

Orientao: Prof. Me. Fernando Luiz Tavares da Silva, Departamento de Matemtica e Estatstica.

1. Ensino de Matemtica. 2. Aprendizagem. 3. Logaritmo. I.

Ttulo.

21. ed. CDD 510.7

DEDICATRIA

Dedico este trabalho a Deus por proporcionar mais esta graa em minha vida, dando-

me a certeza de um bom caminho em busca do aprendizado.

A meus pais, tios, tias, primos, colegas e professores que esteve comigo neste processo

de busca pelo conhecimento, em especial a minha Av Laura Cabral de Vasconcelos.

AGRADECIMENTOS

A Deus

Ao senhor meu Deus por tudo que tenho e sou, pois foi de tua inteira vontade que este

momento acontecesse na minha vida, me dando permisso para os primeiros

suspiros, a este filho que tanto te adora propiciando paz, amor, sade e sabedoria,

como prova do teu amor por ns.

Aos meus pais:

Cleodon Cabral de Vasconcelos e Leide Cleide de Vasconcelos Cabral

Por ter me dado graa da vida e ajudado em todos os momentos de dificuldades,

visando uma grata vitria do seu amado filho, tanto na esfera profissional quanto na

vida como cidado digno e respeitado.

Aos meus Avs:

Laura Cabral de Vasconcelos e Severino Cabral de Vasconcelos (In Memria)

Por ter orientado meus pais e com isso contribuir diretamente em minha educao,

dando-me conselhos e transmitindo conhecimento de vida, favorecendo para que eu

possa obter xito e ser leal com o meu prximo.

Toda minha famlia

Que com muito esforo deram sua grande contribuio atravs de conselhos dando-me

incentivo para a vida.

Ao professor Fernando Luiz Tavares da Silva

Pela orientao, conhecimento repassado, pacincia e principalmente estimulo minha

atividade profissional.

Aos verdadeiros colegas que de alguma forma contriburam para que essa conquista se

realizasse em minha vida.

A UEPB

A universidade por ter me dado conhecimento tcnico, poltico e intelectual em

especial nas pessoas dos professores que contriburam para minha formao

diretamente.

RESUMO

Durante anos de estudos observei a dificuldade que os alunos tinham para compreender o

estudo dos logaritmos, pois no era feita uma ponte de ligao entre o contedo e suas

aplicaes, desenvolvendo assim uma viso crtica sobre o contedo de forma a ter um estudo

mais agradvel e coeso.

A abordagem do tema logaritmo, neste trabalho acadmico, tem por objetivo desenvolver uma

metodologia diferente da utilizada atualmente, melhorando com essa nova proposta o

processo de ensino - aprendizagem.

Pretendemos fazer uma abordagem diferenciada do contedo, atravs da contextualizao,

evidenciando as aplicaes para que o aluno sinta motivao ao estudo logaritmo.

Palavra chave: Logaritmo; Ensino; Aprendizage

Summary

During years of studies I observed the difficulty that the students had to understand the study

of the logarithms, because it was not made a connection bridge between the content and its

applications, developing like this a critical vision on the form content to have a more pleasant

and united study.

The approach of the theme logarithm, in this academic work, has for objective to develop a

different methodology at the used now days, getting better with this new proposal the

teaching-learning process.

We intended to do a differentiated approach of the content, through the contextualization,

evidencing the applications for the student to feel motivation when studying logarithm.

Key word: logarithm; Teaching; Learning

SUMRIO

INTRODUO................................................................................................................... 09

CAPTULO 1

Historia da matemtica e os logaritmos.................................................................... 10

Nomes que fizeram histria....................................................................................... 12

Surgimento dos logaritmos ....................................................................................... 14

CAPTULO 2

Introduo................................................................................................................... 16

Definio dos logaritmos............................................................................................ 16

Antilogaritmo ............................................................................................................ 17

Conseqncias da definio....................................................................................... 17

Base e ........................................................................................................................ 18

Propriedades dos logaritmos de mesma base ............................................................ 18

Cologaritmo................................................................................................................ 20

Mudana de Base ...................................................................................................... 21

Funo logartmicas .................................................................................................. 23

Equaes logartmicas................................................................................................ 27

Inequaes logartmicas.............................................................................................. 29

Logaritmos Decimais.................................................................................................. 32

Mantissas e caractersticas.......................................................................................... 32

Aplicaes dos logaritmos.......................................................................................... 35

Concluso................................................................................................................ 40

Referncia Bibliogrficas................................................................................... 41

10

INTRODUO

Acreditamos que o estudo dos logaritmos no deve ser um fim em si mesmo, mas sim estar

intimamente relacionado a um domnio de suas aplicaes e que esses dois aspectos podem

caminhar juntos, atravs de uma anlise histrica e aplicativa. com esse intuito que esse

conceito formado e por situaes problemas; O que motivou essa pesquisa: Abranger

explicitamente a histria da inveno, o processo histrico e atual das propriedades dos

logaritmos ou da funo logartmica e suas aplicaes em diversas reas do conhecimento

como na acstica, nos elementos radioativos, terremotos, na msica, nos fractais e na

astronomia, dentre outras.

Esse trabalho est subdividido em trs tpicos: O primeiro estuda a histria dos logaritmos e

os motivos que levaram a sua criao, atravs de anlise e abordagem de diferentes

matemticos na busca das resolues de problemas da poca; O segundo estuda os logaritmos

como um conceito formado explicitando suas formulas e propriedades, esclarecendo atravs

das demonstraes de cada propriedade inserida no contexto e o terceiro retrata a aplicao

dos logaritmos nas reas do conhecimento aqui mencionadas.

A proposta central possibilitar uma interao entre teoria e prtica.

11

CAPTULO 1

1.1 HISTRIA DA MATEMTICA E OS LOGARITMO

As primeiras referncias matemtica avanadas e organizadas datam do terceiro milnio

a.C, na Babilnia e no Egito. Esta matemtica estava dominada pela aritmtica.

Os primeiros livros egpcios, escritos no ano 1800 a.C, mostram um sistema de numerao

decimal com diferentes smbolos para as sucessivas potncias de 10 (1, 10, 100, ...),

semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria, foram obtidas as regras

corretas para calcular a rea de tringulos, retngulos e trapzios, e o volume de figuras como

ortoedros, cilindros e pirmides.

Os grego usaram elementos da matemtica dos babilnios e dos egpcios. A inovao mais

importante foi a inveno da matemtica abstrata, com base numa estrutura lgica de

definies, axiomas e demonstraes. Este avano comeou no sculo VI a.C, com Tales de

Mileto e Pitgoras. Alguns de seus discpulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria

numrica e a geometria, que so atribudas ao prprio Pitgoras.

No final do sculo IV a.C, Euclides escreveu Elementos obra que contm a maior parte do

conhecimento matemtico da poca. O sculo posterior a Euclides esteve marcado por um

grande desenvolvimento da matemtica, como se pode comprovar nos trabalhos de

Arquimedes e Apolnio.

Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cnicas e estabeleceu seus nomes:

elipse, parbola e hiprbole.

Os avanos dos matemticos rabes com as tradues dos gregos clssicos foram os

principais responsveis pelo crescimento da matemtica durante a idade Mdia. Entre outros

avanos, os matemticos rabes ampliaram o sistema indiano de posies decimais na

aritmtica de nmeros inteiros, estendendo-o s fraes decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu

a lgebra dos polinmios. Os gemetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as

investigaes de Arquimedes sobre reas e volumes.

Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma frmula

algbrica para a resoluo das equaes de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os

matemticos a se interessarem pelos nmeros complexos e estimulou a busca de solues

semelhantes para equaes de quinto grau ou mais. Tambm no sculo XVI, comearam a ser

utilizados os modernos smbolos matemticos e algbricos.

O sculo XVII comeou com a descoberta dos logaritmos pelo matemtico John Napier. Na

geometria pura, Descartes publicou em seu discurso do mtodo ( 1637) sua viso da

geometria analtica , que mostrava como utilizar a lgebra para investigar a geometria das

curvas. Outro avano importante na matemtica do sculo XVII foi o surgimento da teoria da

probabilidade.

12

No entanto, o acontecimento mais importante do sculo na matemtica foi o estudo dos

clculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o

alemo Leibniz tambm descobriu o calculo e foi o primeiro a divulg-lo, em 1684 e 1686. O

sistema de notao de Leibniz usado hoje no clculo. O grande matemtico do sculo XVIII

foi o suo Euler, que contribuiu com idias fundamentais sobre clculo e outros ramos da

matemtica e suas aplicaes.

Em 1821, o matemtico Francs Cauchy conseguiu um enfoque lgico e apropriado do

clculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Alm de fortalecer os

fundamentais da anlise, nome dado a partir de ento s tcnicas do clculo, os matemticos

do sculo XIX realizaram importantes avanos nesta parte. No incio do sculo, Gauss deu

uma explicao adequada sobre o conceito de nmero complexo.

Outra descoberta do sculo XIX, que na poca foi considerada abstrata e intil, foi a

geometria no- euclidiana. Os fundamentais da matemtica foram completamente

transformados no sculo XIX, principalmente pelo ingls George Boole, em seu livro

Investigaes das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemticas da

lgica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos.

O computador revolucionou a matemtica e converteu-se num elemento primordial. Este

avano deu grande impulso a certos ramos da matemtica, como a anlise numrica e a

matemtica finita, e gerou novas reas de investigao, como o estudo dos algoritmos.

Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos to diversos quanto a teoria

numrica, as equaes diferencias e a lgebra abstrata.

13

1.2 NOMES QUE FIZERAM HISTRIA

JOHN NAPIER (1550-1617)

John Napier matemtico escocs , que posteriormente recebeu o ttulo de Baro de

Merchiston, nasceu em 1550 no castelo de Merchiston, nas proximidades de Edinburgh,

Esccia. Filho de Archibald Napier e Janet Bothwell. Seu tio era Adam Bothwell, Bispo de

Orkney, que se celebrizou por haver coroado o Rei Jaime VI e feito o casamento da Rainha

Maria de Lorena com Jaime V, Rei da Esccia. Seu pai era um homem muito importante do

sculo XVI, tendo sido designado chefe da casa da moeda em 1582. Sua famlia adquiriu uma

grande propriedade em Merchiston, alm de j ter outras em Lennox, Menteith e Gartness.

Napier foi educado na Esccia, no St. Andrews University, e em 1563 matriculou-se no

Triumphant College of St. Salvator, onde lhe despertou um grande interesse pela Teologia e

pela aritmtica. Porm, acaba abandonando a universidade para estudar na Europa, onde

adquiriu conhecimento em literatura clssica e matemtica.

Durante o tempo em que ficou na Europa, estudou os princpios que fundamentam a notao

dos nmeros e a histria da notao arbica, descobrindo suas razes na ndia. Foi ele quem

fez as primeiras tentativas com respeito ao desenvolvimento da base dois para a contagem.

Em 1571, Napier voltou Esccia para assistir ao segundo matrimnio do seu pai. Neste

mesmo ano ele engaja-se com ardor na polmica em torno da reforma protestante.

Por volta de 1590, Napier j havia conseguido um completo conhecimento da

correspondncia entre as progresses aritmticas e geomtricas, o que acabou servindo de

base para que ele desenvolvesse o conceito de logaritmo.

Para Napier, o estudo da matemtica era s um passatempo e ele chegou a ganhar fama de

inventor, pois imaginou verdadeiros engenhos, alguns de guerra destinados a conter a invaso

de Filipe II, porm nunca construdos. Entre as suas imaginaes tambm estavam vrios

14

artifcios para o ensino de aritmtica, um dos quais, conhecido por Napiers bones, ou

Ossos de Napier, que sobrevivem at hoje e so utilizados para dividir e multiplicar de forma

mecnica. Napier tambm achou expresses exponenciais para funes trigonomtricas e

introduziu a notao decimal para fraes , alm de algumas outras contribuies para a

matemtica, como a trigonometria esfrica.

Mas a sua contribuio mais importante foi a criao dos logaritmos, publicada em um tratado

de 1614, onde abrange a descrio deste mtodo junto com um conjunto de tabelas e regras.

Napier tinha a inteno de que, por meio dos seus logaritmos, desse uma grande ajuda aos

astrnomos, livrando-os dos erros de clculos com grandes nmeros. Escreveu, tambm,

tabelas de logaritmos de funes trigonomtricas, incluindo tabelas de senos e seus

logaritmos, calculados de minuto a minuto.

Embora estivesse implcito no trabalho de Napier em seu desenvolvimento dos logaritmos, o

nmero e, do logaritmo natural, somente foi estudado de maneira mais profunda cerca de

um sculo depois, com Leonhard Euler , quem, inclusive, utilizou a letra e para represent-

lo e batizou o logaritmo que tem este nmero como base, de neperiano em homenagem ao

descobridor dos logaritmos.

John Napier faleceu em 4 de abril de 1617.

A palavra Logaritmo foi inventada por Napier a partir das palavras gregas Logos

(razo) e Aritmos (nmero), o que mais tarde acabou tendo uma interpretao no latim

como nmeros que evoluem.

15

1.3 SURGIMENTO DOS LOGARITMOS

Os logaritmos, como instrumento de clculo, surgiram para realizar simplificaes, uma vez

que transformam multiplicaes e divises nas operaes mais simples de soma e subtrao.

Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do inicio do

sculo XVII. Ele considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemticos

da poca tambm tenham trabalhado com ele.

J antes dos logaritmos, a simplificao das operaes era realizada atravs das conhecidas

relaes trigonomtricas, que relacionam produtos com somas ou subtraes.

O mtodo de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progresso

geomtrica

b , , , , ,..., ,...

os termos da progresso aritmtica

1,2,3,4,5,...,n,...

Ento ao produto de dois termos da primeira progresso, . , est associada a soma m+p

dos termos correspondentes na segunda progresso.

Considerando, por exemplo,

PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

PG 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16394

Para efetuar, por exemplo, 256 . 32, basta observar que:

256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;

32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda-feira.

Assim, 256 . 32 = 8192 resultado esse que foi encontrado atravs de uma simples operao de

adio.

16

Enquanto Napier trabalhava com uma progresso geomtrica , ao que parece, de forma

independente, Burgi tambm lidava com o problema dos logaritmos. Juntos elaboraram

tbuas de logaritmos mais teis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10

fosse uma potncia conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou

comuns,ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola mdia ou no incio dos cursos

superiores de matemtica; tambm por muitos anos a rgua de clculo logartmica foi o

smbolo do estudante de engenharia do campus universitrio.

Hoje, porm, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rpidas calculadoras,

ningum mais usa uma tbua de logaritmos ou uma rgua de clculo para fins

computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de clculo, est

desaparecendo das escolas, os famosos construtores de rguas de clculo de preciso esto

desativando sua produo e clebres manuais de tbuas matemticas estudam a possibilidade

de abandonar as tbuas de logaritmos. Os produtos da grande inveno de Napier tornaram-se

peas de museu.

A funo logartmica, porm, nunca morrer. A principal dessas razes de natureza terica.

Embora eles tenham sido inventados como acessrio para facilitar operaes aritmticas, o

desenvolvimento da matemtica e das cincias em geral veio mostrar que diversas leis

matemticas e vrios fenmenos naturais e mesmo sociais so estreitamente relacionados

com os logaritmos. Assim sendo, os logaritmos, que no princpio eram importantes apenas por

causa das tbuas, mostraram ter aprecivel valor intrnseco.

17

CAPTULO 2 LOGARITMOS

2.1 Introduo

Neste captulo, vamos definir os logaritmos, demonstrar suas propriedades. Mostrar a

representao grfica da funo logartmica, comparando-a com a funo exponencial.

Vamos estudar as equaes e inequaes logartmicas, e mostrar algumas aplicaes dos

logaritmos.

2.2 Definio

Sendo a e b nmeros reais positivos, com b 1, chamamos de logaritmos de a na base b o

expoente real x ao qual se eleva b para obter a:

= x = a, com a >0 , b >0 e b 1

Onde:

a = logaritmando

b = base

x= logaritmo

Exemplos:

=3 , pois =8

=2, pois =100

Observao: Quando a base 10, por conveno, omitimos a base, ou seja o logaritmo dito

decimal.

= .

Para que = x tenha significado, para todo x real, precisamos impor b >0 , b1 e a >0.

A essas restries chamamos condies de existncia dos logaritmos:

1 b>0 => > 0 => a > 0

Assim , no existem, por exemplo:

, pois no existe x tal que = -8

, pois no existe x tal que = 3

18

2.3 Antilogaritmo

Sejam a e b dois nmeros reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de

b na base a igual a x, ento b o antilogaritmo de x na base a. Em smbolos:

Exemplos:

2.4 Consequncias da definio

1) O logaritmo da unidade, em qualquer base, nulo, ou seja:

=0 pois = 1

2) O logaritmo de um valor, na mesma base, sempre igual a 1, ou seja:

=1 pois = b

3) O logaritmo de uma potncia, cuja base seja igual base do logaritmo, ser igual ao

expoente da potncia

=k pois =

4) Se = ento podemos concluir que M=N.

Demonstrao:

= = M k = M

Esta propriedade muito utilizada na soluo de exerccios envolvendo equaes onde

aparecem logaritmos ( equaes logartmicas).

5 ) b elevado ao logaritmo de M na base b igual a M

= M

19

2.5 Base e:

O nmero e, conhecido como constante de Euler, irracional e vale

aproximadamente 2,718...

Quando um logaritmo possui base e, ele chamado de logaritmo neperiano, e

representado por ln. Deste modo:

= ln 2

= ln

= ln

2.6 Propriedades dos Logaritmos

2.6.1 Logaritmo do produto

Sendo a, b e c nmeros reais positivos, a1,ento:

= +

Demonstrao:

Sejam x, y e z nmeros reais tais que:

= x = b (1) = y = c (2) = z = bc (3)

Substituindo (1) e (2) e (3) , temos:

= . = z = x+y = +

Exemplos:

= + = 4+2 =6

+ = = = = 2

+ = = = = 1

20

2.6.2 Logaritmo do quociente

Sendo a, b e c nmeros reais positivos, a1, obtemos:

= -

Demonstrar:

Sejam x, y e z nmeros reais tais que:

= x = b (1) = y = c (2) = z = (3)

Substituindo (1) e (2) em (3), temos:

= = : = z = x-y = -

Exemplos:

= - = 3- 4 = -1

- = = = 1

2.6.3 Logaritmo da Potncia

Em qualquer base a (0 < a 1), o logaritmo de uma potncia de base real positiva e

expoente real igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potncia.

Em smbolos

Se 0 < a 1, b > 0 e IR, ento

= .

Demonstrao:

Fazendo = x e = y, provemos que y = . x

De fato:

= x = b

= y =

= ( ) = y = . X

Observaes:

21

1) Como corolrio desta propriedade , decorre:

Em qualquer base a (0 < a 1), o lagaritmo da raz ensima de um nmero real

positivo igual ao produto do inverso do ndice da raiz pelo logaritmo do radicando.

Em smbolos:

, ento

= =

2) Se b > 0, ento > 0 para todo real e vale a identidade

= .

mas, se soubermos apenas que > 0 , ento temos:

= . .

Exemplos:

= 5.

= =

= 4. se, e somente se, x-1 > 0 , isto , x > 1

Se x 0, ento = 2. .

2.7 Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de um nmero b ( b IR e b > 0 ), numa base a ( a IR e 0 < a

1), ao logaritmo do inverso de b na base a.

Em smbolos:

co = , se 0 < a 1 e b > 0.

Como = - , ento co = -

Exemplos:

22

1) co = - = - = = 4

2) = - = + co

3) - = + co onde x > 1.

2.8 Mudana de base

H ocasies em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma

nica base conveniente.

Na aplicao das propriedades operatrias, os logaritmos devem estar todos numa mesma

base.

Propriedade:

Se a, b e c so nmeros reais positivos e a e c diferentes de 1, ento tem-se:

=

Demonstrao:

Consideremos = x , = y e = z e notemos que z 0, pois a 1.

Provemos que x = .

De fato:

Exemplos:

23

1) convertido para a base 2 fica:

=

2) convertido para a base 10 fica:

=

3) convertido para a base 10 fica:

= = =

Observao

A propriedade da mudana de base pode tambm ser assim apresentada:

Se a, b e c so nmeros reais e positivos e a e c diferentes de 1, ento tem-se:

= .

Demonstrao:

A demonstrao bastante simples, basta que passemos o para a base a:

. = . =

Conseqncias

1) Se a e b so reais positivos e diferentes de 1, ento tem-se:

=

Demonstrao

Convertendo para a base b, temos: = = .

2) Se a e b so reais positivos com a diferente de 1 e um real no nulo, ento tem-se:

=

24

Demonstrao:

Devemos considerar dois casos:

1 caso:

Se b = 1, temos:

= 0

=

= 0

2 caso:

Se b 1, temos:

= = = .

Exemplos

1) = =

2) = = -

3) = = -

2.9 A FUNO LOGARTIMICA

Considere a funo y = ax , denominada funo exponencial, onde a base a um nmero

positivo com a 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condies, ax um nmero positivo, para todo x R, onde R o

conjunto dos nmeros reais.Denotando o conjunto dos nmeros reais positivos por R+* ,

poderemos escrever a funo exponencial como segue:

f: R R+* ; y = a

x , 0 < a 1

Esta funo bijetora, pois:

a) injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.

b) sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomnio.

Assim sendo, a funo exponencial BIJETORA e, portanto, uma funo inversvel, OU

SEJA, admite uma funo inversa.

http://www.paulomarques.com.br/arq1-6.htm

25

Vamos determinar a funo inversa da funo y = ax , onde 0 < a < 1.

Permutando x por y, vem:

x = ay \ y = loga x. Portanto, a funo logartmica ento:

f: R+* R ; y = loga x , 0 < a 1. Mostramos a seguir, os grficos das funes exponencial ( y

= ax ) e logartmica

( y = loga x ), para os casos a > 1 e 0 < a < 1. Observe que, sendo as funes, inversas, os seus

grficos so curvas simtricas em relao bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou

seja, simtricos em relao reta y = x.

Da simples observao dos grficos acima, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funes exponencial e logartmica so CRESCENTES.

2 - para 0 < a < 1, elas so DECRESCENTES.

3 - o domnio da funo y = logax o conjunto R+*

.

4 - o conjunto imagem da funo y = logax o conjunto R dos nmeros reais.

5 - o domnio da funo y = ax o conjunto R dos nmeros reais.

6 - o conjunto imagem da funo y = ax o conjunto R+

* .

7 - observe que o domnio da funo exponencial igual ao conjunto imagem da funo

http://www.paulomarques.com.br/arq1-6.htm

26

logartmica e que o domnio da funo logartmica igual ao conjunto imagem da funo

exponencial. Isto ocorre porque as funes so inversas entre si.

Exemplos:

1) Construir o grfico cartesiano da funo f(x) = ( x > 0) .

Soluo:

Vamos construir a tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos x.

y y = x

-2 = -2 4

-1 = -1 2

0 =0 1

1 =1

2 =2

27

2) Construir o grfico cartesiano da funo f(x) = (x > 0)

Soluo:

Vamos construir a tabela dando valores dando valores inicialmente a y e depois calculamos x.

y y = x

-2 = -2

-1 = -1

0 =0 1

1 =1 2

2 =2 4

27

3.0 Equaes Logartmicas

As equaes logartmicas podem ser classificados em trs tipos:

1 tipo: =

a equao que apresenta, ou redutvel a, uma igualmente entre dois logaritmo de mesma

base a (0 < a 1).

A resoluo de uma equao deste tipo baseia-se na quarta conseqncia da definio.

importante que no devemos esquecer-nos das condies de existncia dos logaritmos.

temos:

Se 0 < a 1, ento:

=

Exemplos:

1) Resolva a equao = .

Soluo: = = 7

Resolvendo = 7 = 4

soluo da equao

Logo, S = {4}

2) Resolva a equao = = > 0

= -2 = -1.

Fazendo = 1 em encontramos, 4.1-5 = -1 < 0, logo = 1 no soluo. Chegamos a

mesma concluso se fizermos = 1 em = -1 < 0.

Logo, S = .

3) Resolva a equao = .

28

Soluo: = =

= 0

Resolvendo = 0 = 4 ou = -3.

Para = 4 temos que = -6 < 0, logo = 4 no soluo .

Para = -3 temos que = 8 > 0, logo = -3 satisfaz a equao.

Portanto, S = { -3}

2 tipo: = .

a equao que apresenta, ou redutvel , uma igualdade entre um logaritmo e um nmero

real.

A soluo de uma equao deste tipo simples: basta aplicarmos a definio de logaritmo.

Em equao deste tipo no necessrio preocupar-se com a condio de existncia.

Se 0 < a 1 e IR, ento

= = .

Exemplos:

4) Resolvendo a equao = 0

Soluo: = 0 = = 1 = 2 =

Ento S =

5) Resolva a equao = 0.

Soluo: = 0 = = 1

= 0.

Resolvendo a equao = 0 obtemos: e = -2. Logo, e

So solues da equao.

Ento, S = .

3 Tipo: Incgnita auxiliar

So as equaes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudana de incgnita.

29

Resolvendo a equao - = 2.

Soluo: A equao proposta equivalente equao

- - 2 = 0

Fazendo = y , temos: -y -2 = 0 y= 2 ou y = -1.

Mas y = , ento :

= 2 = = 4

= -1 = =

Ento, S = { 4, }

3.1 Inequaes logartmicas

Da forma que classificamos as equaes logartmicas, tambm vamos classificar as

inequaes logartmicas.

1 Tipo:

a inequao redutvel a uma desigualdade entre dois logartmicos de mesma base a ( 0< a

1) .

1 Caso

Se a base maior que 1, a relao de desigualdade que existe entre os logaritmandos de

mesmo sentido que a dos logaritmos.

Se a > 1, f(x) e g(x) > 0 ento:

f(x) > g(x).

Exemplo: Resolvendo a inequao, <

Soluo: como a base maior que 1, logo a desigualdade entre os logaritmandos tem o

mesmo sentido que a dos logaritmos.

30

< 0 < 5x - 2< 4 2 < 5x < 6 < x < .

S = {x IR / < x < }

2 Caso

Se a base positivas e menores que 1, a relao de desigualdade existente entre os

logaritmos de sentido contrario dos logaritmos.

Se 0 < a < 1 , f(x) e g(x) > 0 , ento:

0 < f(x) < g(x).

Exemplo: Resolva a inequao , < .

Soluo: como a base maior que zero e menor que 1, logo a desigualdade entre os

logaritmos tem sentido contrrio dos logaritmos. Ento, temos:

< 4x 3 > 5 4x >8 x > 2.

S = { x IR / x > 2}

2 Tipo:

A inequao logaritmo redutvel a uma desigualdade entre um logaritmo e um nmero real.

Temos dois casos a considerar:

1 Caso

Tm-se > K, e usando em ambos os membros resulta, ,

onde e K > 0 , 0 < a 1.

Se

Exemplos:

1) Resolva a inequao

31

Soluo : Como a > 1, ento > K.

(3x+5) > 3x+5 > 8 3x > 3 x > 1.

S = { x IR/ x > 1}

2) Resolva a inequao < 1.

Soluo: Temos que 0 < a < 1, logo 0 < f(x) < .

< 1 - 6x +3 > - 12x +6 > 1 - 12x +6 > 0. Onde

= 64 , = e =

S = { x IR / < x < }

2 Caso:

Se < K, e usando em ambos os membros obtemos, < , onde

) e K > 0 , 0 < a 1.

Se < k

Exemplo: Resolva a inequao > 0, para 0 < a < 1.

Soluo: Temos que 0 < a < 1, logo 0 < < k.

> 0 ) < < 1. Ento,

0 < < 1 < < 2.

S= { IR / < < 2}

32

3 Tipo: Incgnita auxiliar.

So as inequaes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudana de incgnita.

Exemplo:

Resolvendo a seguinte inequao, - 4 > 0.

Soluo: Fazendo = y obtemos: > 0. Resolvendo temos:

= 25 , = 4 e = -1 com x > 0.

= 4 = = 16

= -1 = =

S = { IR / < ou > 16}

3.2 Logaritmos Decimais

Com a propriedade operatria dos logaritmos, podemos transformar uma multiplicao em

uma soma, uma diviso em subtrao e uma potncia em uma multiplicao, isto ,com o

emprego da teoria dos logaritmos podemos transformar uma operao em outra mais simples

de ser realizada.

3.3 Caracterstica da Mantissa

Para algum nmero real positivo x que consideremos, este nmero ter que estar

necessariamente compreendido entre duas potncias de 10 com expoente inteiro consecutivos.

Exemplos:

1) x = 0,04

2) x = 0,351

33

3) x = 53,2

4) x = 810

sendo assim, para x > 0 , existe C Z tal que;

x agora usando log em ambos os membros obtemos;

log x C log x C +1

Ento podemos afirmar que:

log x = C + m em , que C Z e o 0 m 1 isto o logaritmo decimal de x a soma de um

nmero inteiro C com um nmero decimal m (0 m 1).

O nmero inteiro C por definio a caracterstica do logaritmo de x e o nmero decimal m

por definio a mantissa do logaritmo decimal de x.

Podemos afirmar que:

Para determinar a caracterstica do logaritmo decimal de um nmero x positivo ser ela

calculadora por uma das duas seguintes regras:

Regra I ( x > 1).

Para o logaritmo decimal de um nmero x > 1, sua caracterstica calculada da seguinte

forma: A caracterstica igual ao nmero de algarismo da parte inteira, menos 1, do logaritmo

decimal de x.

Justificao:

Como o nmero real x tem que est compreendido entre duas potncias de 10 com expoentes

inteiros e consecutivos ento;

Seja x > 1 e x tem ( n +1) algarismos na sua parte inteira, ento temos:

n , isto , a

caracterstica de log x n.

Exemplos:

Logaritmo Caracterstica

C = 0

34

C = 2

C = 3

Regra II ( 0

A caracterstica do logaritmo decimal de um nmero 0 , o oposto da quantidade de

zeros que precedem ao primeiro algarismo significativo.

Justificao:

Seja 0 e tem n algarismos zeros precedendo o primeiro algarismo significativo,

no nulo, temos ento:

-n , isto a

caracterstica de n.

Exemplos:

Logaritmo Caracterstica

C = -1

C = -2

C = -3

A mantissa obtida nas tbuas ( tabelas ), em anexo, de logaritmos.

Em geral, a mantissa um nmero irracional e por esse motivo as tbuas de logaritmos so

tabelas que fornecem os valores aproximados dos logaritmos dos nmeros inteiros,

geralmente de 1 a 10.000.

Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar a seguinte

propriedade: A mantissa do logaritmo decimal de x, no se altera se multiplicarmos x por uma

potncia de 10 com expoente inteiro.

Uma conseqncia importante :

Os logaritmos de dois nmeros cujas representaes decimais diferem apenas pela vrgula

tm mantissas iguais.

Por exemplo, os logaritmos decimais dos nmeros 2, 200 , 0,2 , 0,002, tm todos a mesma

mantissa 0,3010.

35

3.4 APLICAES DOS LOGARITMOS

3.4.1 Acstica

A cincia nas suas varias ramificaes, foi beneficiada pelo advento do logaritmo. Ao estudar ondas sonoras, percebe-se que o som apresenta caractersticas: altura, intensidade e

timbre. No caso da intensidade ( I ) , que representa a potncia de uma onda sonora por

unidade de rea( ), encontram-se interessantes detalhes.

Para perceber a onda sonora, o tmpano humano necessita que ela tenha, no mnimo uma

intensidade

I0 = 10 - 12 )

Chamada de limiar de audibilidade e no mximo, de ), chamada de limiar da dor.

O nvel sonoro(N) representa a comparao entre a intensidade sonora ( I ) e o limiar da

audibilidade ( I0). A sua unidade mais prtica o decibel (dB).

A grandeza nvel sonoro ( N ) obedece a uma escala logartmica, sendo definida por

N = 10.

Pode relacionar esses conceitos com algumas situaes do cotidiano. O ouvido humano

apresenta leses irrecuperveis sempre que exposto, por um determinado tempo, a nveis

sonoros(N) superiores a 80(dB). As unidades bol( B ) e decibel(dB) representam desse modo

tabela de Briggs que pode ser reescrito como na tabela 4.1

36

Tabela 4.1: Tabela de Briggs

x Log x

... ...

101 2,004321

102 2,008600

103 2,012837

104 2,017033

105 2,041189

... ...

3.4.2 Terremotos

Figura 1:Mapa-Mundi com as divises das placas tectnicas.

Com o lento movimento das placas litosfricas, da ordem de alguns centmetros por

ano,tenses vo se acumulando em vrios pontos, principalmente perto de suas bordas. As

tenses acumuladas podem ser compressivas ou distensivas, dependendo da direo de

movimentao relativa entre as placas. Quando essas tenses atingem o limite de resistncia

das rochas, ocorre uma ruptura, como podemos ver na figura 2, o movimento repentino entre

os blocos de cada lado da ruptura geram vibraes que se propagam em todas as direes.

37

O plano de ruptura forma o que se chama de falha geolgica. Os terremotos podem ocorrer

no contato entre duas placas litosfricas ( caso mais freqente) ou no interior de uma delas,

como indicado no exemplo da figura 2, sem que a ruptura atinja a superfcie. O ponto onde se

inicia a ruptura e a liberao das tenses acumuladas chamado de hipocentro ou foco.

Sua projeo na superfcie o epicentro, e a distncia do foco superfcie a profundidade

focal.

Figura 2: o ponto inicial da ruptura chamado hipocentro ou foco do tremor, e sua projeo na superfcie o

epicentro.

Embora a palavra terremoto seja utilizada mais para os grandes eventos destrutivos, enquanto

os menores geralmente so chamados de abalos ou tremores de terra, todos so resultado do

mesmo processo geolgico de acmulo lento e liberao rpida de tenses.

A diferena principal entre os grandes terremotos e os pequenos tremores o tamanho da rea

de ruptura, o que determina a intensidade das vibraes emitidas.

H trs causas diferentes pelas quais podem ocorrer os terremotos: vulcanismo, acomodaes

geolgicas das camadas internas da crosta e as causas tectnicas.

Essas movimentaes das placas tectnicas do origem a vrios fenmenos, como a formao

de cadeias de montanhas, erupo de vulces, terremotos e maremotos.

38

natural coincidir os abalos ssmicos com os locais que apresentam atividade vulcnica e

grandes altitudes.

As erupes vulcnicas servem de previses de terremotos, antecedendo-os.

3.4.3 Ondas Ssmicas

Uma onda ssmica uma onda que se propaga atravs da terra, geralmente como

conseqncia de um sismo, ou devido a uma exploso. Estas ondas so estudadas pelos

sismlogos e medidas por sismgrafos.

3.4.3 Tsunamis

So ondas de grande energia geradas por abalos ssmicos que se propagam no oceano.

Foi no oceano Pacfico que ocorreram maioria das Tsunamis, por ser uma rea

cercada por atividades vulcnicas e freqentes abalos ssmicos.

As tsunamis ao se propagarem no oceano, possuem comprimento de ordem de 150 a

200 Km de extenso e raramente superior a 1 metro de altura. Portanto, em alto mar eles so

quase imperceptveis. Entretanto, ao se aproximar das zonas costeiras mais rasas, h uma

reduo da velocidade, devido ao atrito com o fundo do mar, porm a energia continua a

mesma. Consequentemente, a altura da onda aumenta bastante em pouco tempo. Neste ponto,

ela pode atingir 10, 20 e at 30 metros de altura, em funo de sua energia e da distncia do

epicentro da tsunami.

Como se forma a onda mortal:

Vejamos a figura:

Figura 3: Formao de um Tsunami. Fonte: http://www.cientic.com/tema_geologicos.html

1. A ruptura causada pelo tremor no leito do mar empurra a gua para cima, dando incio

onda.

39

2. A onda gigante se move nas profundezas do oceano em velocidade altssima.

3. Ao se aproximar da terra, a onda perde velocidade, mas fica mais alta.

4. Ela ento avana por terra, destruindo tudo em seu caminho.

40

CONCLUSO

A inveno dos logaritmos foi de grande importncia para o avano da tecnologia, dando mais

rapidez aos clculos utilizados a partir do sculo XVI. Suas aplicaes tomaram rumos

diversos, expandindo dessa forma suas reas de atuao.

Com o avano da tecnologia, alguns recursos como: a tbua de logaritmos ou mesmo a rgua

de clculo, foram sendo desativados por falta de uso, logicamente com o advento dos

computadores no seria vivel continuar utilizando os recursos do sculo XVI.

Os logaritmos podem ser explorados de uma melhor maneira por parte dos professores do

ensino mdio, bastando para isso, se adaptar aos novos mtodos de ensino.

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BIBLIOGRAFIA

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Paulo- Editora Moderna- 1979.

VILA, Geraldo Severo de SOUZA. Clculo 1: Funes de uma varivel/Geraldo vila. -4.

Ed.- Rio de Janeiro: LTC livros tcnicos e cientficos Editora S.A.,1982.

BAUGART, John K. Histria da lgebra, traduo hygino h. Domingues So Paulo: Atual,

1992.

Boyer, Carl B. Histria da Matemtica, traduo Elza F. Gomide 2 edio So Paulo;

Editora Edgard Biucher,1996.

DANTE, Luiz Roberto. Matemtica do ensino Mdio, volume nico: livro do professor/

Luiz Roberto Dante.- - 1 Ed.- - So Paulo: tica,2005.

EVES, Gelson. Fundamentos de matemtica Elementar, 2: logaritmos: exerccios

resolvidos, exerccios propostos com resposta, testes de vestibulares com resposta. Gelson

Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami- 8 edio. So Paulo- Atual, 1993.

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http://www.perdiamateria.eng.br/nomes/Napier.htm

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