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Universidade do Vale do Paraıba
Instituto de Pesquisa e Desenvolvimento
IRAPUAN RODRIGUES DE OLIVEIRA FILHO
FISICA EXPERIMENTAL II
Sao Jose dos Campos, SP
2012
APRESENTACAO
O laboratorio fornece ao estudante uma oportunidade unica de validar as teorias
fısicas de uma maneira quantitativa num experimento real. A experiencia no laboratorio
ensina ao estudante as limitacoes inerentes a aplicacao das teorias fısicas a situacoes fısicas
reais e introduz varias maneiras de minimizar esta incerteza experimental. O proposito dos
laboratorios de Fısica e tanto o de demonstrar algum princıpio fısico geral, quanto permitir
ao estudante aprender e apreciar a realizacao de uma medida experimental cuidadosa.
Esta apostila visa proporcionar formacao de nıvel basico sobre Mecanica On-
dulatoria, Ondas, Optica, Acustica, Termologia e Calorimetria. Contempla um estudo
introdutorio a teoria de erros com vistas ao tratamento de dados obtidos no Laboratorio e
a construcao de graficos lineares, alem da descricao detalhada de experimentos nas areas
acima, possibilitando ao estudante vivenciar a relacao entre teoria e pratica.
1) Experimentos sobre Ondas: (7 aulas)
Movimento harmonico simples
Equacao de onda, graficos
Sistema massa mola
Cordas vibrantes
Ondas estacionarias
2) Experimentos sobre acustica: (3 aulas)
Tubos sonoros
3) Experimentos sobre Acustica: (4 aulas)
luz, reflexao, refracao, Prisma, Dispersao da luz, lentes
4) Experimentos sobre Termometria e calorimetria: (4 aulas)
Dilatacao
Transmissao do calor
SUMARIO
Pag.
CAPITULO 1 Nocoes gerais sobre as atividades experimentais . . . . . 5
1.1 Como elaborar um relatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Como formatar graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Regras praticas para construcao de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Estudo de erros em medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Propagacao de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 O metodo dos mınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Exemplo de determinacao dos coeficientes Angular e Linear . . . . . . . . . 13
1.6 Linearizacao de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
CAPITULO 2 Mecanica oscilatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Oscilacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Movimento harmonico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Pendulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Ressonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CAPITULO 3 Experimento 1: Verificacao da relacao entre o perıodo e
o comprimento de um pendulo simples . . . . . . . . . . . 25
3.1 Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
CAPITULO 4 Experimento 2: Perıodo de oscilacao de um corpo sus-
penso por uma mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
CAPITULO 5 Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1 Classificacao das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1.1 Quanto a natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2 Quanto a direcao de propagacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.3 Quanto a direcao de vibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Velocidade de propagacao de uma onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Reflexao de um pulso em uma corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Refracao de um pulso em uma corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5 Ondas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.6 Funcao de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.7 Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.8 Frentes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.9 Princıpo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.10 Leis da reflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.11 Leis da refracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.12 Princıpio da Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.13 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.13.1 Ondas estacionarias em uma corda com extremidades fixas . . . . . . . . . . 46
5.13.2 Ondas estacionarias em tubos abertos ou fechados . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.14 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
CAPITULO 6 Experimento 3: Ondas estacionarias em cordas vibrantes 56
CAPITULO 7 Experimento 4: Tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . 58
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
CAPITULO 1
Nocoes gerais sobre as atividades experimentais
1.1 Como elaborar um relatorio
Um bom relatorio depende de uma boa tomada de dados. Procure organizar-se
de maneira a anotar durante a pratica todas as informacoes relevantes de uma forma
posteriormente inteligıvel. Use um caderno apropriado para essas anotacoes, ao inves
de usar folhas avulsas. O seu relatorio deve descrever, nas suas palavras, a experiencia
efetuada, justificar o procedimento escolhido, apresentar e discutir os dados medidos e
finalmente tirar conclusoes. O relatorio pode ser dividido em varias partes. Por exemplo:
Introducao: Resumo teorico para situar a experiencia. Exposicao dos conceitos teoricos
que vai usar. Referencias a literatura pertinente (Livros texto, livros de referen-
cia, internet, etc...).
Objetivos: Descricao concisa do que se pretende obter da experiencia.
Equipamento e Procedimento Experimental: Descricao do equipamento e/ou dia-
grama do arranjo experimental. Descricao do procedimento seguido em aula.
Descreva o que voce fez, nao necessariamente o procedimento proposto, justifi-
cando e discutindo a escolha. Avaliacao ou estimativa dos erros nos dados devido
aos aparelhos e procedimentos usados.
Dados Experimentais e Analise: Apresentacao dos dados coletados, atraves de
tabelas, graficos etc. Tratamento dos dados brutos (usando algum modelo
teorico), chegando a valores finais, junto com a avaliacao final do erro. Nao e
necessario e nem deve ser indicada cada conta efetuada, mas deve ficar claro
como chegou ao resultado.
Conclusoes: Discussao dos resultados obtidos. Sempre que possıvel, comparar os resul-
tados com os conhecidos ou esperados teoricamente, discutindo as diferencas e
as possıveis fontes de erro. Se usou varios metodos, comparar os metodos.
Para experiencias simples, os itens Introducao e Objetivos podem muito bem
ser tratados em uma unica secao. Em todos os itens, deve-se fazer referencia aos livros-
texto, apostilas, sites na internet, etc.
Mais alguns detalhes que devem ser levados em conta durante a confeccao do
relatorio:
5
• Unidades para cada grandeza.
• Avaliacao de erros nas suas medidas (e, se for o caso, propagar os erros nos
resultados finais).
• Legendas das figuras.
• Numerar as figuras e graficos e se referir neles no texto.
• Mencionar a data da realizacao da experiencia.
• Se usar textos ou figuras de outras fontes (esta apostila, internet, livros, arti-
gos, relatorios de colegas...), deixe isto claro, colocando entre “aspas”, e de a
referencia!
1.2 Como formatar graficos
Nas atividades experimentais, muitas vezes, precisamos estudar como uma pro-
priedade ou quantidade depende ou varia com relacao a outra. Por exemplo, para medir o
poder de aceleracao de um carro, medimos como a sua velocidade se modifica em funcao
do tempo. Dados desse tipo sao apresentados na Tabela 1.1.
t (s) v (km/h)0 42± 75 67± 710 101± 715 134± 720 161± 725 183± 730 196± 735 200± 7
Tabela 1.1 - Velocidade (v) medida em funcao do tempo (t), para um automovel acelerando.
O grafico desses dados (Figura 1.1) permite visualizar imediatamente o compor-
tamento da velocidade em relacao ao tempo. Uma imagem vale mil palavras, e um grafico
e uma maneira muito eficiente de resumir e apresentar os seus dados. E importante que
o grafico se conforme a certas convencoes ou regras que todo mundo conhece. Assim
outras pessoas podem interpretar os seus resultados imediatamente. Em seguida vamos
apresentar as regras para produzir graficos em um formato profissional.
1.2.1 Regras praticas para construcao de graficos
Conforme o exemplo da Figura 1.1, um grafico contem os seguintes elementos:
6
Figura 1.1 - Velocidade de um automovel acelerando.
1) Eixos com nome da variavel representada, escala e unidade.
2) Os dados e, se apropriado, as barras de erro.
3) Legenda e tıtulo.
Os eixos
Cada um dos eixos deve conter o nome (ou sımbolo) da variavel representada, a
escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma escala conveniente para a qual
o grafico represente bem o intervalo medido para cada variavel. A regra pratica para esta
definicao e dividir a faixa de variacao de cada variavel pelo numero de divisoes principais
disponıveis. Toma-se entao um arredondamento a valor superior e de facil leitura. Estes
valores de facil leitura sao: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer multiplo ou submultiplo de
10 delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a faixa de variacao dos dados for de
35 unidades e o numero de cm disponıveis for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5
unidades para cada divisao do grafico.
No caso da Figura 1.1, a variavel tempo varia 35s e temos mais ou menos 10 divi-
soes principais, o que daria 3,5s por divisao, o que nao e conveniente. Portanto escolhemos
7
5s por divisao. Da mesma maneira foi escolhido 20km/h por divisao no eixo y. As escalas
dos eixos nao precisam comecar na origem (zero, zero). Elas devem abranger a faixa de
variacao que voce quer representar. E conveniente que os limites da escala correspondam
a um numero inteiro de divisoes principais. Indique os valores correspondentes as divisoes
principais abaixo do eixo–x e a esquerda do eixo–y usando numeros grandes.
As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o numero de dıgitos
nos valores que indicam o valor da divisao principal. Uma regra pratica e tentar usar
no maximo tres dıgitos nestes valores, fazendo uso de potencias de 10 na expressao das
unidades para completar a informacao. Ao tracar os eixos no papel milimetrado, nao use
a escala marcada no papel pelo fabricante. E voce que define a sua escala, baseando-se
nos seus dados. Tambem nao use os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus proprios,
porque voce precisara de espaco para a identificacao das variaveis e para a legenda (item
3). Por fim, abaixo ou a esquerda dos numeros da escala, conforme o caso, escreva o nome
(ou sımbolo) da variavel correspondente e a unidade para leitura entre parenteses (km,
105N/cm2, etc.).
Os dados
Assinale no grafico a posicao dos pontos experimentais: use marcas bem visıveis
(em geral cırculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo.
Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros sao menores que o tamanho
dos pontos, indique isso na legenda. As vezes ajuda a visualizacao tracar a melhor curva
media dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento
medio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva media deve ser tracada de maneira
a minimizar os deslocamentos da curva em relacao aos pontos experimentais ao longo do
tracado. Use o seu juızo. Nao e correto simplesmente ligar os pontos experimentais.
A legenda e o tıtulo
Todo grafico deve ter um tıtulo, pelo qual e referido no texto (Figura 1.1, no
nosso exemplo). Geralmente, o tıtulo do grafico e colocado na legenda, abaixo do grafico.
A legenda deve conter tambem uma descricao sucsinta do que e apresentado no grafico.
Note que uma legenda tipo “velocidade vs. tempo” e redundante pois esta informacao ja
esta contida nos rotulos dos eixos.
Na Figura 1.2, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na cons-
trucao de graficos
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Figura 1.2 - Ilustracao dos erros mais comuns que devem ser evitados na construcao de graficos.
1.3 Estudo de erros em medidas
A medida de uma grandeza e obtida, em geral, atraves de um experimento, na
qual o grau de complexidade do processo de medir esta relacionado com a grandeza em
questao e tambem com o processo de medicao.
A determinacao do erro de medida nao e simples, pois na maioria dos casos ha
uma combinacao de inumeros fatores que influenciam, de forma decisiva, no resultado da
medicao. Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida e sempre impossıvel de conhecer,
sendo possıvel apenas uma estimativa do erro maximo aceitavel.
Existem diversas classificacoes de erros na literatura especializada, entretanto, ha
tres principais que sao:
1) Erro de escala: e o erro associado ao limite de resolucao da escala do instrumento
de medida;
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2) Erro sistematico: e o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em
todo o processo de medicao. No momento da descoberta da sua origem, o erro e
possıvel de ser sanado;
3) Erro aleatorio: e o erro que decorre de perturbacoes estatısticas impossıveis de
serem previstas, sendo assim, difıcil de evita-los.
O erro aleatorio pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que por
motivo de brevidade nao sera citado aqui. Entretanto, os estudantes interessados neste
assunto podem consultar o livro Piacentini et al. (2001).
O valor mais provavel de uma grandeza e a media aritmetica das diversas medidas
da grandeza, sendo representado por x:
x =x1 + x2 + x3 + · · ·+ xN
N=
1
N
N∑i=1
xi
onde N e o numero de medidas e os xi(i = 1, 2, 3, . . . , N) representam os valores das
medidas. Devido a natureza estatıstica do erro aleatorio, e possıvel estimar apenas seu
valor provavel, dado pelo calculo do desvio padrao:
σx =
√(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + . . . (xN − x)2
N − 1
Fonte do material desta Secao: Bolzan (2005).
1.4 Propagacao de erros
Nesta Secao estudaremos a propagacao de erros associados a cada medida em
particular. Este assunto e de grande relevancia em todas as areas de atividade onde sao
realizadas medidas experimentais.
Seja uma grandeza y que depende de outras grandezas x1, x2, x3, . . . . Entao, a
grandeza y e funcao das grandezas x1, x2, x3, . . . e pode ser escrita da seguinte forma:
y = f(x1, x2, x3, . . . )
A variacao infinitesimal de qualquer uma das variaveis xi provoca tambem uma
variacao infinitesimal em y. Podemos expressar essa variacao atraves da diferencial exata
abaixo:
dy =
(∂f
∂x1
)dx1 +
(∂f
∂x2
)dx2 + . . .
Realizando uma analogia entre variacoes infinitesimais e os desvios (erros) das
10
variaveis, uma vez que ambos representam variacoes, temos:
∆y =
(∂f
∂x1
)∆x1 +
(∂f
∂x2
)∆x2 + . . .
Com a equacao acima, considera-se a situacao na qual os erros, atuando no mesmo
sentido, somam-se. Isto e possıvel tomando-se o modulo das derivadas parciais da equacao
acima.
Exemplo, calcularemos o volume de um cilindro de comprimento L = (2, 0 ±0, 1)mm e diametro D = (4, 0± 0, 2)mm.
O volume do cilindro e V =πD2L
4=π4, 022, 0
4= 25, 13274 . . .mm3 = 25, 1mm3.
Agora iremos utilizar os erros das medidas com comprimento e diametro do ci-
lindro:
V = f(D,L)⇒ ∆V =
∣∣∣∣ ∂V∆D
∣∣∣∣∆D +
∣∣∣∣ ∂V∆L
∣∣∣∣∆L∆V =
∣∣∣∣πDL2
∣∣∣∣∆D +
∣∣∣∣πD2
4
∣∣∣∣∆L =
∣∣∣∣π × 4× 2
2
∣∣∣∣ 0, 2 +
∣∣∣∣π × 42
4
∣∣∣∣ 0, 1∆V = 2, 8274 . . .mm3 = 2, 8mm3
O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira:
V = (25, 1± 2, 8)mm3
Erro Propagado nas Operacoes Basicas:
Abaixo estao listadas as equacoes do erro propagado para as operacoes mais utilizadas.
• Adicao: (x+ ∆x) + (y + ∆y) = (x+ y)± (∆x+ ∆y)
• Subtracao: (x+ ∆x)− (y + ∆y) = (x− y)± (∆x+ ∆y)
• Multiplicacao: (x+ ∆x)× (y + ∆y) = (x× y)± (x∆y + y∆x)
• Divisao:(x+ ∆x)
(y + ∆y)=
(x
y
)± (x∆y + y∆x)
y2
• Potenciacao: (x+ ∆x)n = xn ± n.xn−1.∆x
Fonte do material desta Secao: Bolzan (2005) e Piacentini et al. (2001)
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1.5 O metodo dos mınimos quadrados
O Metodo dos Mınimos Quadrados e uma tecnica de otimizacao matematica que
procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a
soma dos quadrados das diferencas entre a curva ajustada e os dados. Essas diferencas
sao chamadas resıduos.
Imagine que em um certo experimento obtivemos uma sucessao de pontos que,
representados em um grafico, apresentam comportamento linear, isto e, parecem mais ou
menos bem alinhados sobre uma reta. E facil desenhar uma reta que passe pelo meio
dos pontos e que, visualmente parece descrever o comportamento dos dados experimen-
tais. Contudo, diferentes experimentadores poderao tracar diferentes retas, encontrando
diferentes valores para os coeficientes linear e/ou angular. O metodo dos mınimos qua-
drados oferece uma forma estatisticamente correta de determinar valores otimizados dos
parametros de uma reta que passa pelos dados graficados.
O metodo funciona assim: como os dados experimentais sugerem que a relacao
funcional de y com x e uma linha reta, escrevemos:
y = ax+ b
Podemos determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da reta, atraves
das seguintes equacoes:
a =
NN∑i=1
(xi.yi)−N∑i=1
xi
N∑i=1
yi
NN∑i=1
x2i −
(N∑i=1
xi
)2
b =
N∑i=1
yi
N∑i=1
x2i −N∑i=1
xi
N∑i=1
(xi.yi)
NN∑i=1
x2i −
(N∑i=1
xi
)2
onde N e o numero de pontos experimentais. Aqui usamos a notacao de somatorio:
N∑i=1
xi = x1 + x2 + x3 + ...+ xN .
Caso o conjunto de pontos obtidos no experimento nao corresponda a uma relacao
linear, ou seja, nao estejam alinhados mais ou menos em linha reta, deve-se primeiro
lineariza-los antes de utilizar as relacoes acima.
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1.5.1 Exemplo de determinacao dos coeficientes Angular e Linear
Considere uma medida de movimento retilıneo uniforme efetuado por um carrinho
no laboratorio. Foram medidos tanto sua posicao x (em metros) quanto o tempo t (em
segundos) e os resultados estao conforme a Tabela 1.2. Construa o grafico que representa
o movimento e determine a velocidade e a posicao inicial do carrinho usando o metodo
dos mınimos quadrados.
Tempo (s) Posicao (m)0, 100 0, 510, 200 0, 590, 300 0, 720, 400 0, 800, 500 0, 92
Tabela 1.2 - Variacao da posicao com o tempo para um carrinho.
Para usarmos o metodo dos mınimos quadrados, sugere-se a construcao de uma
tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que aqui o eixo–x corresponde ao tempo t e
o eixo–y, a posicao x (ver Tabela 1.3)
x (s) y (m) xy x2
0, 100 0, 51 0, 051 0, 01000, 200 0, 59 0, 12 0, 04000, 300 0, 72 0, 22 0, 09000, 400 0, 80 0, 32 0, 1600, 500 0, 92 0, 46 0, 250∑x = 1, 500
∑y = 3, 54
∑xy = 1, 17
∑x2 = 0, 550
Tabela 1.3 - Dados parciais para regressao linear por mınimos quadrados.
Com esses resultados, basta substituir os valores na formulas para a e b e lembrar
que neste caso temos N=5 medidas:
a =5× 1, 17− 1, 500× 3, 54
5× 0, 550− (1, 500)2=
0, 54
0, 50= 1, 080 m/s
b =0, 550× 3, 54− 1, 17× 1, 500
5× 0, 550− (1, 500)2=
0, 192
0, 50= 0, 384 m
Assim:
13
y = 1, 080x+ 0, 384
ou trocando x por t e y por x para voltarmos a trabalhar com as variaveis do problema:
x = 1, 080t+ 0, 384
Figura 1.3 - Variacao da posicao em funcao do tempo de um carrinho em movimento. Os pontospretos foram os valores medidos no experimento. Os pontos usados para desenhara reta estao marcados com ×.
Para construir a curva basta, atribuir pelo menos dois valores para t e encontrar
os valores correspondentes de x. Por exemplo, em t = 0s temos x = 0, 384m e em t = 0, 45s
temos x = 0, 870m. Na Figura 1.3 e mostrado o grafico obtido dessa forma.
Exemplo extraıdo de Muniz (???).
1.6 Linearizacao de dados
IRAPA: ESCREVER ISTO COM UM EXEMPLO.
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CAPITULO 2
Mecanica oscilatoria
Os movimentos harmonicos simples estao presentes em varios aspectos de nossas vidas,
como nos movimentos do pendulo de um relogio, de uma corda de violao ou de uma
mola. Esses mecanismos realizam movimentos de “vai–e–vem” em torno de uma posicao
de equilıbrio, sendo caracterizados por um perıodo e por uma frequencia.
Um movimento e dito oscilatorio ou vibratorio quando o movel se desloca periodi-
camente sobre uma mesma trajetoria, indo e vindo para um lado e para outro em relacao
a uma posicao media de equilıbrio. Essa posicao e o ponto sobre a trajetoria, para o qual
a resultante das forcas que agem sobre o movel, quando aı passa, e nula. Desse tipo sao o
movimento de um pendulo, o movimento de uma lamina vibrante e o movimento de um
corpo preso a extremidade de uma mola.
Para fixar a ideia, analisemos o movimento realizado por uma regua plastica presa
a extremidade de uma mesa e posta a oscilar por acao de uma forca externa.
Figura 2.1 - Regua vibrando entre as posicoes A e B, passando pelo ponto de equilıbrio O.
Na Figura 2.1 temos o ponto 0 como sendo a posicao de equilıbrio. Na medida
em que tiramos a regua dessa posicao e a aproximamos do ponto A, aparece uma forca na
regua, de carater elastico tendendo a conduzı-la de volta a posicao de equilıbrio; quanto
mais nos aproximamos de A essa forca - a que chamamos forca restauradora - cresce. Se
largarmos a regua em A, por acao da forca restauradora, ela comeca a retornar ao ponto
0. Na medida em que esse retorno ocorre, a velocidade da regua cresce e ao chegar no
equilıbrio, em funcao da inercia, ela nao para, movimentando-se, entao, em direcao a B.
Entretanto, no momento em que passar de 0 novamente surge a forca restauradora que
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fara a sua velocidade decrescer ate se anular no ponto B, onde a forca sera maxima. A
partir desse ponto a regua retorna a 0 com velocidade crescente. Aı chegando novamente
nao para, pela inercia. E assim a regua continuara oscilando ate cessar o movimento em
funcao do atrito.
2.1 Oscilacoes
Para compreendermos o conceito de oscilacao, observemos o movimento de um
pendulo na Figura 2.2
Figura 2.2 - Analise da oscilacao de um pendulo: (a) Na posicao O a forca resultante sobre ocorpo e nula: o corpo esta em equilıbrio; (b) Retira-se o pendulo da posicao deequilıbrio; (c) Abandonando-se o sistema, o pendulo entra em oscilacao movendo-seem torno da posicao de equilıbrio.
2.2 Movimento harmonico simples
O movimento de oscilacao mais elementar e o movimento harmonico simples
(MHS) Um exemplo de MHS e a oscilacao de um corpo preso a uma mola quando o atrito
no sistema e desprezıvel (ver Figura 2.4). Num MHS, a abscissa x que determina a posicao
do corpo oscilante, medida a partir do ponto de equilıbrio, denomina-se elongacao. O
valor maximo da elongacao recebe o nome de amplitude (A).
O MHS e um movimento periodico. Sendo f a frequencia e T o perıodo, temos:
f =1
Te w = 2πf =
2π
T
onde a grandeza w denomina-se pulsacao. A aceleracao no movimento harmonico simples
e dada por:
a = −w2x
16
ou usando a definicao de w vista acima:
a = −(
2π
T
)2
x
Funcao horaria do MHS
A posicao x de um corpo em MHS varia em funcao do tempo de acordo com a
funcao:
x = A cos(wt+ ψ0)
A constante ψ0 denomina-se fase inicial e descreve a situacao do sistema no
instante zero.
No Sistema Internacional de unidades (S.I.), a fase inicial e medida em radia-nos (rad) e a pulsacao, em radianos por segundo (rad/s).
2.3 Pendulo simples
Um sistema oscilatorio de grande importancia e o pendulo simples. Para osci-
lacoes de pequena amplitude ele executa um MHS. Observe a Figura 2.3 onde se ve que
em qualquer situacao, ha duas forcas que atuam sobre a massa: o seu peso ~P = mg e a
tracao do fio ~Q.
Figura 2.3 - Analise das forcas que atuam sobre um pendulo.
A tracao no fio e uma forca (portanto, um vetor) que aponta sempre na direcao
do fio. Podemos decompor o vetor ~Q em duas componentes, uma na direcao do eixo–x, Qx
17
e outra na direcao do eixo–y, Qy. Fazendo a somatoria das forcas que atuam na direcao y
teremos:
Fy = Qy + P
No referencial escolhido, que se move junto com a massa do pendulo, nao ha aceleracao
na direcao y, e portanto a forca resultante e zero:
Fy = 0 ⇒ Qy + P = 0 (2.1)
Usando a relacao de Pitagoras para um triangulo retangulo, e facil perceber que:
Qy = Q cos(θ)
e entao, substituindo na Equacao 2.1:
Q cos(θ) +mg = 0 (2.2)
A forca de tracao pode ser escrita como:
Q = m.a (2.3)
onde a e a aceleracao centrıpeta. Vimos na Secao 2.2 que a = −(2πT
)2l, onde l e o com-
primento do pendulo e T e o seu perıodo de oscilacao. Substituindo a Equacao 2.3 Equa-
cao 2.2, e introduzindo a expressao para a, ficamos com:
m.a. cos(θ) +m.g = 0 ⇒ −m(2πT
)2l. cos(θ) +m.g = 0
Assim,
/m(2πT
)2l. cos(θ) = /m.g
e isolando o perıodo T teremos:
T = 2π
√l cos(θ)
g
Se realizarmos pequenas oscilacoes com o pendulo, mantendo pequeno o angulo
θ, entao o cos(θ) sera aproximadamente 1, e a equacao acima podera ser escrita na sua
forma mais conhecida:
T = 2π
√l
g(2.4)
E importante ressaltar que essa equacao so e valida para pequenas oscilacoes.
18
A propriedade mais importante do pendulo simples que voce deve memorizar, e
que seu perıodo de oscilacao e funcao somente do seu comprimento e da aceleracao da
gravidade. Veremos mais detalhes no Experimento descrito no Capıtulo 3.
2.4 Massa-mola
O sistema massa-mola, mostrado na Figura 2.4, e outro exemplo de sistema osci-
latorio simples. Aqui, como veremos, o perıodo de oscilacao depende da massa do objeto
suspenso, diferentemente do caso do pendulo visto na Secao 2.3.
O oscilador massa-mola e constituıdo por um corpo de massa m ligado a uma
mola de constante elastica k, presa a uma parede. Cada mola tem a sua constante elastica,
que depende do material de que e feita e da sua geometria. O corpo executa MHS sobre
uma superfıcie horizontal sem atrito. Veja a Figura 2.4. Quando a mola e comprimida
(ou esticada) e liberada, o corpo passa a executar um movimento unidimensional de vai-
e-vem. O movimento e regido pela Lei de Hooke, que relaciona forca restauradora com o
deslocamento da massa:
F = −kx
onde F e a forca elastica em Newtons, x e o deslocamento em metros e k e a constante
elastica da mola.
Figura 2.4 - Sistema massa-mola em movimento harmonico simples. Sao mostradas 3 fases domovimento: em (a) e (c) as maximas elongacoes, e em (b) o ponto de equilıbio.
Na Secao 2.2 vimos que a aceleracao no MHS e dada por:
19
a = −(
2π
T
)2
x
Pelo princıpio fundamental da dinamica, a forca elastica F = −kx deve ser igual
a:
F = ma
Assim:
ma = −kx ⇒ −m(
2π
T
)2
x = −kx
Eliminando x em ambos os lados e isolando T , ficamos com:
T = 2π
√m
k
Portanto, em um sistema massa-mola, o perıodo depende da massa presa a mola
e da constante elastica da mola k.
No Experimento descrito no Capıtulo 4 essa relacao sera verificada empiricamente.
2.5 Ressonancia
Os sistemas oscilantes, como o sistema massa-mola ou o pendulo simples, tem uma
frequencia natural de oscilacao. E claro que eles nao oscilam so com essa frequencia.
Podemos forca-los a oscilarem com uma frequencia qualquer, desde que apliquemos uma
forca externa conveniente. Por exemplo, podemos forcar um pendulo que apresenta um
perıodo natural de 1s, a oscilar com perıodo de 0,5s, bastando segura-lo com a mao e
move-lo neste novo perıodo.
Um efeito muito importante e obtido quando aplicamos uma forca externa com
a frequencia natural de oscilacao do sistema. No caso do pendulo citado acima, deve-se
balanca-lo com perıodo de 1s. Com isso observamos que a energia mecanica do sistema
vai crescer muito rapidamente, crescendo tambem a amplitude de oscilacao.
Num sistema teorico a energia mecanica vai crescer indefinidamente, tendendo ao
infinito. Esse fenomeno recebe o nome de ressonancia. Isso e o que fazemos, por exemplo,
quando empurramos ritmadamente uma crianca que anda de balanco. Na pratica, porem,
a energia mecanica nao cresce indefinidamente, pois o sistema encontra alguma limitacao
fısica (a mola pode se quebrar, o pendulo pode entrar em movimento circular, etc...).
Dizemos que um sistema oscilante entra em ressonancia quando recebe umaforca externa que tenha a mesma frequencia que sua propria frequencia natural.
20
2.6 Exercıcios
1) Um corpo executa MHS com perıodo de 0.8s, amplitude 0,1m e fase inicial zero.
Escreva a funcao horaria do movimento e construa um grafico representando a
posicao em funcao do tempo entre t = 0 e t = 0, 8s.
Solucao:
Sao dados A = 0, 1m, T = 0, 8s e ψ0 = 0.
Para escrevermos a funcao horaria precisamos da pulsacao w:
f =1
T=
1
0, 8⇒ f = 1, 25 Hz
w = 2πf = 2π.1, 25⇒ w = 2, 5π rad/s
Funcao horaria:
x = A cos(ψ0 + wt)
x = 0, 1 cos(0 + 2, 5π.t)
Para construir o grafico vamos calcular o valor de x para alguns instantes:
t = 0s ⇒ x = 0, 1 cos(0)⇒ x = 0, 1 m
t = 0, 2s ⇒ x = 0, 1 cos(π2
)⇒ x = 0 m
t = 0, 4s ⇒ x = 0, 1 cos(π)⇒ x = −0, 1 m
t = 0, 6s ⇒ x = 0, 1 cos(3π2
)⇒ x = 0 m
t = 0, 8s ⇒ x = 0, 1 cos(2π)⇒ x = 0, 1 m
O grafico e mostrado na Figura 2.5.
Figura 2.5 - Exercıcio 1: Variacao da posicao em funcao do tempo
2) Qual o perıodo de oscilacao de um pendulo simples de comprimento 1,0m, num
local onde a aceleracao da gravidade e de 9,8m/s2?
21
Solucao:
T = 2π√
lg
= 2π√
1,09,8⇒ T = 2, 0 s
3) A posicao de um ponto material que se move sobre o eixo dos x e dada em funcao
do tempo pela expressao: x = 5 cos(2π.t+ π/2)
a) Determine a posicao do ponto nos instantes 0; 0,25s; 0,5s; 0,75s e 1s.
b) Desenhe um grafico posicao × tempo e marque os pontos calculados em a).
c) Qual e o perıodo do movimento?
d) Determine a pulsacao e a fase inicial desse movimento.
Figura 2.6 - Exercıcio 4: Variacao da posicao em funcao do tempo
4) O grafico da Figura 2.6 fornece a posicao do ponto material em funcao do tempo.
Determine:
a) a amplitude da oscilacao;
b) o perıodo e a frequencia
5) Qual a frequencia de oscilacao de um pendulo simples de 25cm de comprimento?
(g = 10m/s2)
6) Num dia muito quente, um relogio de pendulo deve atrasar ou adiantar? Por
que?
7) Um relojoeiro novato, pretendendo atrasar um relogio, aumentou a massa do seu
pendulo. O que aconteceu? Como ele deveria proceder?
8) (FCMSCSP) A proposicao: “E o numero de oscilacoes por unidade de tempo” e
relativa, num pendulo, a definicao de:
(a) movimento periodico.
(b) amplitude.
(c) fase.
22
(d) frequencia.
(e) perıodo.
9) (UFRGS) Um oscilador harmonico simples oscila sobre uma reta, entre duas po-
sicoes extremas A e A’, com uma frequencia de 2Hz. O tempo que esse oscilador
leva para percorrer uma vez o segmento AA’ e, em segundos:
(a) 1/4
(b) 1/2
(c) 1
(d) 2
(e) 4
10) (UnB) Tem-se um movimento harmonico simples dado pela equacao:
x = 8. cos(π4.t+ π
6
).
Determine o perıodo em segundos. A constante π/4 tem unidades s−1.
Figura 2.7 - Exercıcio 11
11) (UFSC) Observando os quatro pendulos da Figura 2.7, pode-se afirmar que:
(a) o pendulo A oscila mais devagar que o pendulo B.
(b) o pendulo A oscila mais devagar que o pendulo C.
(c) o pendulo B e o pendulo D possuem a mesma frequencia de oscilacao.
(d) o pendulo B oscila mais devagar que o pendulo D.
(e) o pendulo C e o pendulo D possuem a mesma frequencia de oscilacao.
12) Dois pendulos simples tem comprimentos respectivamente iguais a l e 4l. Quan-
tas oscilacoes (de pequena amplitude) dara o pendulo menor enquanto o maior
completa 24 das suas?
(a) 6
(b) 12
(c) 24
23
(d) 48
(e) 96
Figura 2.8 - Exercıcio 13
13) (FCMSCSP) Na Figura 2.8 esta representado um pendulo simples, de compri-
mento l e perıodo igual a T . Colocando-se um prego (P) na posicao indicada,
o pendulo, na maxima elongacao para a esquerda, fica com a configuracao indi-
cada pela linha pontilhada, voltando depois a sua configuracao inicial. Qual e o
perıodo de oscilacao desse sistema?
(a) 4T/3
(b) 3T/2
(c) 3T/4
(d) 2T/3
(e) 2T
Este Capıtulo foi baseado parcialmente em Chiquetto (1993).
24
CAPITULO 3
Experimento 1: Verificacao da relacao entre o perıodo e o comprimento de
um pendulo simples
Teoria: Vimos na Secao 2.3 que, para pequenas oscilacoes, o perıodo T e o comprimento
l de um pendulo simples estao relacionados por:
T = 2π
√l
g
Portanto, a relacao entre T e l nao e linear. Podemos eliminar a raiz quadrada
elevando ao quadrado ambos os lados da relacao, para obtermos:
T 2 =(2π)2
gl
Agora vemos que a relacao entre T 2 e l e linear, o que quer dizer que se fizermos um
grafico de T 2 vs. l, deveremos obter uma linha reta. A equacao acima pode ser comparada
com a equacao de uma reta y = ax + b, em que l corresponde a x, T 2 corresponde a y e(2π)2
gcorresponde ao coeficiente angular a, da reta. O coeficiente linear b e zero (nao
aparece na relacao).
O experimento aqui proposto tem duas partes: na Parte I vamos construir um
grafico que descreve a relacao funcional entre o comprimento e perıodo de um pendulo
simples, e usar esse grafico para calcular a constante de proporcionalidade na relacao
entre o comprimento de um pendulo e o quadrado do seu perıodo. Na Parte II medire-
mos o perıodo de um pendulo mais complexo, o mesmo do Exercıcio 13 da Secao 2.6 e
compararemos com o perıodo calculado teoricamente.
3.1 Parte I
Vamos medir a variacao do perıodo de um pendulo simples em funcao do seu
comprimento.
Procedimento:
1) Monte um pendulo com 20 cm de comprimento. Lembre-se de que o comprimento
do pendulo deve ser medido desde o inıcio do fio ate o centro da bolinha (centro
de massa do sistema). Anote o comprimento na primeira coluna de Tabela 3.1.
Use um angulo inicial pequeno (< 20◦), pois a equacao acima so funciona para
pequenas oscilacoes. Meca com um cronometro o tempo para que se comple-
tem 10 oscilacoes desse pendulo. Divida esse tempo por 10 para obter o valor
25
Comprimento Perıodo T (s) Media Desvio padrao T2
Erro em T2
l (m) T1 T2 T3 T σT (s) (s2) σT 2
0,200,300,400,500,600,700,800,901,00
Tabela 3.1 - Tabela de dados para o Experimento 1.
do perıodo, e escreva o resultado na segunda coluna da tabela. Faca o mesmo
procedimento mais duas vezes, anotando os valores obtidos nas colunas 3 e 4.
Em resumo: voce devera medir o perıodo do pendulo em 3 series de 10 oscilacoes.
2) Aumente o comprimento do pendulo para 30 cm e repita o passo acima. Va
aumentando o comprimento de 10 em 10 cm e repetindo o experimento, ate
preencher as colunas 2, 3 e 4 da tabela.
3) Para cada um dos comprimentos, calcule o perıodo medio T . Anote esses valores
na coluna 5 da tabela Tabela 3.1.
4) Para cada um dos comprimentos, calcule o desvio padrao dos perıodos medidos:
σT =√
(T1−T )2+(T2−T )2+(T3−T )23−1 , e escreva-os na coluna 6.
5) Calcule os quadrados dos perıodos (T2, coluna 7 da Tabela 3.1) e faca a propa-
gacao de erros para obter σT 2 , anotando seu valor na coluna 8.
6) Faca um grafico em papel milimetrado colocando l no eixo–x e T2
no eixo–y.
Marque os pontos obtidos no experimento.
7) Usando o metodo dos mınimos quadrados (ver Capıtulo 1, Secao 1.5), deter-
mine a equacao da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos do grafico.
DICA: Nos calculos de a e b, cuidado ao arredonde os valores, especialmente do
coeficiente angular (a), que e muito sensıvel. Use pelo menos 3 casas decimais.
8) Desenhe no grafico a reta obtida no passo anterior. Use tinta azul.
9) Usando a relacao teorica entre o quadrado do perıodo e o comprimento do pen-
dulo: T 2 = (2π)2
gl, desenhe em vermelho, no mesmo grafico, a reta que a repre-
senta. Assim voce podera comparar diretamente a relacao teorica com o resultado
do experimento.
26
3.2 Parte II
Agora vamos medir o perıodo de um pendulo composto e comparar esse valor
com o valor calculado teoricamente no Exercıcio 13 da Secao 2.6.
Figura 3.1 - Pendulo composto.
Procedimento:
1) Monte um pendulo simples com 40 cm de comprimento. Usando uma amplitude
de oscilacao pequena (θ < 20◦), meca com um cronometro o tempo para que se
completem 10 oscilacoes. Divida esse tempo por 10 para obter o valor do perıodo
e anote o resultado. Faca o mesmo procedimento mais duas vezes, anotando os
valores obtidos.
2) Calcule a media e o desvio padrao das 3 medidas.
3) Modifique o pendulo para que fique como na Figura 3.1, usando a haste que
lhe foi fornecida. A haste deve ficar 30cm abaixo do ponto de fixacao do fio do
pendulo.
4) Usando um angulo pequeno (< 20◦), meca com um cronometro o perıodo do
pendulo em 3 series de 10 oscilacoes.
5) Calcule a media e o desvio padrao do perıodo do novo pendulo.
6) Reveja a solucao do Exercıcio 13 da Secao 2.6. e verifique se o resultado do
experimento e compatıvel, dentro dos erros experimentais, com o resultado cal-
culado teoricamente. Comente esse resultado e diga o que poderia ser feito para
melhora-lo.
27
CAPITULO 4
Experimento 2: Perıodo de oscilacao de um corpo suspenso por uma mola.
No experimento anterior (Capıtulo 3) verificamos experimentalmente que o perıodo de
oscilacao de um pendulo simples e determinado pelo seu comprimento. Aqui verificaremos
que em um sistema massa-mola, o perıodo de oscilacao depende da massa do corpo
suspenso.
Na Secao 2.4 vimos que o perıodo de um sistema massa-mola e dado por:
T = 2π
√m
k
onde m e a massa do corpo preso a mola e k e a constante elastica da mola.
Trabalharemos com um sistema massa-mola na vertical, como o que esta mostrado
na Figura 4.1. A figura mostra tres momentos durante o movimento oscilatorio. Em todos
esses momentos ha sempre 2 forcas atuando sobre a massa: a forca peso (P = mg) e a
forca restauradora F . Vamos analisar brevemente o que acontece na fase (b): se o sistema
nao estivesse oscilando, seria essa a sua posicao de repouso. Em oscilacao, esse e o ponto
medio em torno do qual o movimento acontece. Nesta posicao, ha um equilıbrio entre
F e P , que significa que a forca resultante tem que ser zero: FR = P + F = 0. Em (a)
teremos F > P , ou seja, a forca elastica ganha da forca peso: a forca resultante FR aponta
para cima. Em (c) a situacao e oposta: P > F , a forca peso ganha da forca elastica, e a
resultante aponta para baixo.
Figura 4.1 - Sistema massa-mola em movimento harmonico simples. A figura mostra 3 fases domovimento: em (a) e (c) sao mostradas as maximas elongacoes, e em (b) o pontode equilıbio.
28
O experimento:
O objetivo do experimento aqui proposto e verificar a relacao entre o perıodo de
oscilacao e a massa do corpo, obtendo uma relacao simples entre estas duas grandezas.
Procedimento:
1) Monte o sistema com o material fornecido, colocando inicialmente uma ficha de 5
gramas no suporte para massas preso a mola. Anote a massa na primeira coluna
de Tabela 4.1. Meca com um cronometro o tempo para que se completem 10
oscilacoes. Divida esse tempo por 10 para obter o valor do perıodo, e escreva o
resultado na segunda coluna da tabela. Faca o mesmo procedimento mais duas
vezes, anotando os valores obtidos nas colunas 3 e 4. Em resumo: voce devera
medir o perıodo do pendulo em 3 series de 10 oscilacoes.
2) Adicione mais uma ficha de 5g ao suporte e repita o passo acima. Va aumentando
a massa de 5 em 5 gramas e repetindo o experimento, ate preencher as colunas
1–4 da tabela. Cuidado para nao colocar carga em excesso, isso pode danificar
a mola e invalidar o experimento.
3) Para cada valor de massa, calcule o perıodo medio T . Anote esses valores na
coluna 5 da Tabela 4.1.
4) Para cada valor de massa da tabela, calcule o desvio padrao dos perıodos medi-
dos: σT =√
(T1−T )2+(T2−T )2+(T3−T )23−1 , e escreva-os na coluna 6.
5) Calcule os quadrados dos perıodos (T2, coluna 7 da Tabela 4.1) e faca a propa-
gacao de erros para obter σT 2 , anotando seu valor na coluna 8.
Massa Perıodo T (s) Media Desvio padrao T2
Erro em T2
m (g) T1 T2 T3 T σT (s) (s2) σT 2
51015202530354045
Tabela 4.1 - Tabela de dados para o Experimento 2.
29
6) Faca um grafico em papel milimetrado colocando m no eixo x e T2
no eixo y.
Marque os pontos obtidos no experimento.
7) Determine a equacao da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos do
grafico, atraves do metodo dos mınimos quadrados (ver Capıtulo 1, Secao 1.5).
DICA: Nos calculos de a e b, cuidado ao arredondar os valores, especialmente
do coeficiente angular (a). Use pelo menos 3 casas decimais.
8) Desenhe no grafico a reta obtida no passo anterior. Use tinta azul.
9) Com base no experimento, o que podemos dizer sobre a relacao entre a massa e
o perıodo do sistema massa-mola?
30
CAPITULO 5
Ondas
As ondas sao uma parte comum e essencial do ambiente humano. Alguns exemplos fami-
liares incluem: pequenas ondulacoes nas aguas de um lago; o solo que oscila durante um
terremoto; a corda de uma guitarra em vibracao; a luz e as cores do arco-iris.
Elas estao por toda parte e podemos controla-las para conduzir informacoes ou
transportar energia de um local para outro. Apesar da grande diversidade de tipos e de
fontes de ondas, uma teoria geral e elegante e capaz de descrever todas elas.
Imagine duas pessoas segurando as extremidades de uma corda. Se uma delas
fizer um movimento brusco, para cima e depois para baixo, causara uma perturbacao na
corda, originando uma sinuosidade que se deslocara ao longo da corda (ver Figura 5.1.
Nesse exemplo a perturbacao e chamada de pulso, o movimento do pulso chama-se onda,
a mao da pessoa que gerou o pulso e a fonte e a corda e o meio em que a onda se propaga.
Figura 5.1 - Um pulso que se propaga ao longo de uma corda.
Se provocarmos varios pulsos sucessivos na corda, teremos varias ondas
propagando-se uma atras da outra, constituindo um trem de ondas (Figura 5.2).
Figura 5.2 - Um trem de ondas em uma corda.
Uma pedra atirada em um lago de aguas tranquilas (Figura 5.3) originara uma
onda que se propagara pela superfıcie do lago na forma de cırculos concentricos que se
afastam do ponto de impacto.
31
Denomina-se onda ao movimento causado por uma perturbacao que se propagaatraves de um meio.
Figura 5.3 - Onda que se propaga na superfıcie de um lago.
Colocando-se um pedaco de cortica na agua, proximo ao local do lancamento da
pedra, verifica-se que a onda, ao atingir a cortica, faz com que ela apenas oscile, subindo
e descendo, sem variar a direcao. Como a rolha nao e arrastada pela onda, concluımos
que a onda nao transporta materia. Porem, como ela se movimenta, implica que recebeu
energia da onda.
Figura 5.4 - Onda que se propaga na superfıcie de um lago.
Uma onda transmite energia ao se propagar, mas sem transportar materia.
5.1 Classificacao das ondas
As ondas podem ser classificadas de tres maneiras: quanto a sua natureza, quanto
a direcao de propagacao e quanto a direcao de vibracao.
32
5.1.1 Quanto a natureza
1) Ondas mecanicas: sao aquelas que necessitam de um meio material para se pro-
pagarem. Exemplos: ondas em cordas e ondas sonoras. As ondas mecanicas nao
se propagam no vacuo.
2) Ondas eletromagneticas: sao geradas por cargas eletricas oscilantes e nao neces-
sitam de um meio fısico para se propagarem, podendo se propagar no vacuo.
Exemplos: luz, ondas de radio, microondas.
5.1.2 Quanto a direcao de propagacao
1) Unidimensionais: sao aquelas que se propagam numa so direcao. Exemplo: ondas
em cordas.
2) Bidimensionais: sao aquelas que se propagam em um plano. Exemplos: ondas na
superfıcie de um lago, ondas no couro de um tambor.
3) Tridimensionais: sao aquelas que se propagam em todas as direcoes. Exemplos:
ondas sonoras no ar.
5.1.3 Quanto a direcao de vibracao
1) Transversais: sao aquelas cujas vibracoes sao perpendiculares a direcao de pro-
pagacao. Exemplo: ondas em cordas (Figura 5.5).
Figura 5.5 - Onda transversal em uma corda.
2) Longitudinais: sao aquelas cuja direcao das vibracoes coincide com a direcao
de propagacao. Exemplos: ondas sonoras, ondas longitudinais em molas (Fi-
gura 5.6).
Observe que as ondas em uma mola helicoidal podem ser transversais ou longi-
tudinais, dependendo da perturbacao inicial provocada na mola.
33
Figura 5.6 - Onda longitudinal em uma mola.
Figura 5.7 - Duas formas de propagacao de ondas em molas. Acima: onda transversal. Abaixo:onda longitudinal.
5.2 Velocidade de propagacao de uma onda unidimensional
Seja uma onda transversal numa corda de massa m e comprimento l, sob a acao
de uma forca de tracao Tc, como mostrado na Figura 5.8.
Figura 5.8 - Corda de comprimento l, esticada sob tracao Tc. Sobre ela viaja um pulso comvelocidade v.
A velocidade de propagacao de uma onda em um meio unidimensional, por exem-
plo, uma corda, depende da forca de tracao Tc a qual esta submetido o meio unidimensional
e da sua densidade µ:
v =
√Tcµ
(5.1)
onde Tc e a forca de tracao na corda e µ = ml
e a densidade linear da corda.
34
Observe que:
• Quanto maior a tracao na corda Tc, maior sera a velocidade v.
• Quanto maior a densidade linear µ, menor sera a velocidade v.
5.3 Reflexao de um pulso em uma corda
Quando um pulso, propagando-se numa corda, atinge sua extremidade, ele retorna
para o meio em que estava se propagando. A reflexao pode ocorrer de duas formas (ver
Figura 5.9):
• Se a extremidade da corda e fixa, o pulso se inverte: sofre reflexao com inversao
de fase.
• Se a extremidade da corda e livre, o pulso refletido nao se inverte: a reflexao
ocorre sem inversao de fase.
Figura 5.9 - A esquerda: Reflexao de um pulso em uma corda cuja extremidade e fixa em uma
parede. A reflexao se da com inversao de fase. A direita: Reflexao de um pulso emuma corda cuja extremidade e livre para realizar movimentos verticais, pois e presaem uma argola. A reflexao se da sem inversao de fase.
5.4 Refracao de um pulso em uma corda
Quando uma onda que se propaga em um meio encontra um meio diferente, ela
sofre um fenomeno chamado de refracao. Considere um sistema formado por duas cordas
35
de densidades diferentes, como na Figura 5.10.
Com o sistema montado, produz-se um pulso na extremidade da corda de menor
densidade linear em direcao a corda de maior densidade (Figura 5.10 a esquerda). O que
ocorre e que para a corda de menor densidade, a corda de maior densidade funcionara
como uma extremidade fixa, no entanto esta sofrera uma refracao de pulso onde parte do
pulso da corda de menor densidade passa para a corda de maior densidade. Assim o pulso
refratado sai na mesma fase em que foi recebido, ou seja, se o pulso estiver para cima, o
pulso refratado tambem estara para cima e vice-versa, com isso o pulso refletido sofrera
uma inversao de fase e o pulso refratado nao sofrera.
Figura 5.10 - Refracao de um pulso que cruza a interface entre duas cordas de densidades dife-
rentes. A esquerda: o pulso viaja da corda menos densa para a de maior densidade.A direita: o pulso vai da corda mais densa para menos densa.
Se invertermos o sistema e gerarmos um pulso na corda de maior densidade (Fi-
gura 5.10 a direita), a corda de menor densidade funcionara como uma extremidade livre:
assim que o pulso atingı-la, sera refratado e, como ja havia sido dito, o pulso refratado
nao sofre inversao de fase. O pulso refletido tambem nao sofrera uma inversao de fase,
devido a corda de menor densidade funcionar como uma extremidade livre.
5.5 Ondas periodicas
Considere uma pessoa executando um movimento vertical contınuo de sobe-e-
desce na extremidade livre da corda indicada na Figura 5.11, em intervalos de tempo
iguais.
Esses impulsos causarao pulsos que se propagarao ao longo da corda em espacos
iguais, pois os impulsos sao periodicos. A parte elevada denomina-se crista da onda e
a cavidade entre duas cristas chama-se vale. Denomina-se perıodo T o tempo necessario
para que duas cristas consecutivas passem pelo mesmo ponto. Chama-se frequencia f o
numero de cristas consecutivas que passam por um mesmo ponto, em cada unidade de
tempo.
36
Figura 5.11 - Onda periodica propagando-se em uma corda.
Entre T e f vale a relacao:
f =1
T
A distancia entre duas cristas ou dois vales consecutivos e denominada compri-
mento de onda, representado pela letra grega λ (lambda). A e a amplitude da onda.
Como um pulso se propaga com velocidade constante, vale a expressao v =x
t.
Fazendo x = λ e t = T , temos:
v =x
t→ v =
λ
T→ v = λ.f
Essa igualdade e valida para todas as ondas periodicas, como o som, as ondas na
agua e a luz.
Unidades: no Sistema Internacional (SI) temos que:
• λ e dado em metros (m)
• T em segundos (s)
• f em Hertz (Hz)
5.6 Funcao de onda
Considere uma onda se propagando em uma corda com velocidade v, como mos-
trado na Figura 5.12
Cada ponto da corda, ao ser atingido pela onda, executa um movimento harmo-
nico simples. Para o ponto P vale a funcao do MHS:
y = A.cos(wt)
onde y e a elongacao (deslocamento do ponto P em relacao a posicao de equilıbrio) e A e
a amplitude do movimento (elongacao maxima).
37
Figura 5.12 - Onda em uma corda.
Em um outro ponto P ′ a elongacao pode ser calculada por:
y = A.cos[w(t− t′)]
Mas:
x = vt′ → t′ =x
v, w =
2π
Te λ = vT
Assim:
y = A.cos[2π
T(t− x
v)]→ y = A.cos[2π(
t
T− x
vT)]
E finalmente:
y = A.cos[2π(t
T− x
λ)]
Observacao:
A funcao de onda permite o calculo da elongacao y de um ponto qualquer do meio de
propagacao, conhecendo-se o instante t e a posicao x de um ponto em relacao a um
referencial. O angulo 2π(t
T− x
λ) e chamado de fase da onda, e o valor (
t
T− x
λ) e um
numero que representa a quantidade de oscilacoes realizadas por um ponto qualquer depois
de decorrido um tempo t.
5.7 Fase
Dois pontos do meio onde uma onda se propaga, estao em fase quando a distancia
entre eles e um multiplo do comprimento de onda. A fase pode ser quantificada como foi
explicado no final da Secao 5.6. Para esses pontos, a diferenca de fase e um multiplo de
2π. Na Figura 5.13 os pontos:
• A e B estao em fase, a distancia entre eles e λ e sua diferenca de fase e 2π.
• C e D estao em fase, a distancia entre eles e 2λ e sua diferenca de fase e 4π.
38
Figura 5.13 - Analise de fase de certos pontos em uma onda.
• E e F estao em fase, a distancia entre eles e 3λ e sua diferenca de fase e 6π.
Dizemos que dois pontos estao em oposicao de fase, quando as suas posicoes sao
simetricas e os sentidos dos respectivos movimentos sao opostos. Novamente na Figura 5.13
os pontos:
• A e E estao em oposicao de fase.
• D e G estao em oposicao de fase.
• A e F estao em oposicao de fase.
• E e B estao em oposicao de fase.
5.8 Frentes de onda
Suponha que voce tirasse uma foto das ondas circulares que se propagam em uma
piscina. Se voce marcasse na foto as cristas das ondas, voce teria cırculos concentricos. As
linhas que localizam as cristas sao chamadas de frentes de onda, e estao espacadas entre
si precisamente em um comprimento de onda. A trajetoria dos pontos da frente de onda
chama-se raio de onda. O raio de onda fornece a direcao de propagacao de uma onda.
Veja alguns exemplos nas figuras Figura 5.14, Figura 5.15 e Figura 5.16:
5.9 Princıpo de Huygens
Christian Huygens (1629-1695), no final do seculo XVII, propos um metodo de
representacao de frentes de onda, onde cada ponto de uma frente de onda se comporta
como uma nova fonte de ondas elementares, que se propagam para alem da regiao ja
atingida pela onda original e com a mesma frequencia que ela. Esta ideia e conhecida
como Princıpio de Huygens. Veja Figura 5.17.
Para um dado instante, cada ponto da frente de onda comporta-se como fonte
das ondas elementares de Huygens.
39
Figura 5.14 - A esquerda: A onda circular criada por gotejamento de agua em uma piscina. Adireita: Onda tridimensional esferica que pode representar, por exemplo, as ondasprovocadas por uma fonte sonora, ou a luz de uma lampada.
Figura 5.15 - A esquerda: Ondas retas provocadas pelo batimento de uma regua na superfıcie de
um aquario. A direita: Onda tridimensional plana provocada por uma membranavibrante.
Figura 5.16 - Ondas unidimensionais em uma corda.
A partir deste princıpio, e possıvel concluir que, em um meio homogeneo e com as
mesmas caracterısticas fısicas em toda sua extensao, a frente de onda se desloca mantendo
sua forma, desde que nao haja obstaculos (Figura 5.18).
40
Figura 5.17 - Ilustracao do Princıpio de Huygens.
Figura 5.18 - Princıpio de Huygens para ondas circulares e para ondas retas.
5.10 Leis da reflexao
Quando ondas esfericas provenientes de uma fonte A encontram um obstaculo
plano, produz-se reflexao de ondas porque cada ponto do obstaculo torna-se fonte de uma
onda secundaria. As ondas refletidas se comportam como se emanassem de uma fonte A’,
simetrica de A em relacao ao obstaculo refletor, como esquematizado na Figura 5.19.
Figura 5.19 - Reflexao de onda esferica em um obstaculo plano.
41
Figura 5.20 - Reflexao de onda plana em um obstaculo plano.
A Figura 5.20 representa a reflexao de ondas planas por um obstaculo plano, a
partir da qual podemos definir que:.
AI = raio de onda incidente
IB = raio de onda refletido
NI = normal ao ponto de incidencia
i = angulo de incidencia
r = angulo de reflexao
As leis da Reflexao sao:
• 1a. lei: o raio incidente, o raio refletido e a normal sao coplanares.
• 2a. lei: o angulo de incidencia i e igual ao angulo de reflexao r.
Propriedades
• 1a. propriedade: na reflexao, a frequencia, a velocidade e o comprimento de onda
nao variam.
• 2a. propriedade: na reflexao, a fase pode variar ou nao.
5.11 Leis da refracao
Considere, por exemplo, um tanque contendo agua com duas regioes de propaga-
cao distintas, uma mais rasa, ¬, e outra mais profunda, , como mostrado na Figura 5.21.
Suponha que uma onda reta esteja se propagando no meio ¬ e incidindo na superfıcie de
separacao entre os meios ¬ e . Seja AI o raio incidente da onda que se propaga no meio
¬ com velocidade v1. Incidindo na superfıcie de separacao, ela sofre refracao e passa a se
propagar no meio com velocidade v2.
42
Veja que na regiao (mais profunda) a velocidade de propagacao e maior que
na regiao ¬ (mais rasa), ou seja, v2 > v1.
Figura 5.21 - Tanque de agua com 2 profundidades diferentes: na parte ¬ e mais raso, na parte e mais profundo.
Sendo:
S = superfıcie de separacao
AI = raio de onda incidente
IB = raio de onda refratado
NI = normal
i = angulo de incidencia
r = angulo de refracao
As leis da Refracao sao:
• 1a. lei: os raios de onda incidente e refratado e a normal sao coplanares.
• 2a. lei: lei de Snell–Descartes:
sen(i)
sen(r)=n2
n1
=λ1λ2
=v1v2
Onde n1 e n2 sao os ındices de refracao dos meios ¬ e . Define-se o ındice de
refracao de um meio como n =c
v, onde c e a velocidade da luz no vacuo e v e a
velocidade da luz no meio em questao.
Aplicando a lei de Snell, temos:
Se n2 > n1 =⇒ λ2 < λ1 =⇒ v2 < v1 =⇒ r < i
Se n2 < n1 =⇒ λ2 > λ1 =⇒ v2 > v1 =⇒ r > i
Propriedades
43
• 1a. propriedade: na refracao, a frequencia e a fase nao variam.
• 2a. propriedade: na refracao, a velocidade de propagacao e o comprimento de
onda variam na mesma proporcao.
5.12 Princıpio da Superposicao
Quando duas ou mais ondas se propagam, simultaneamente, num mesmo meio,
diz-se que ha uma superposicao de ondas. Considere, por exemplo, dois pulsos propagando-
se em uma corda, conforme indica a Figura 5.22: um se propaga da esquerda para a direita
e o outro que vai da direita para a esquerda.
Figura 5.22 - Sobreposicao de pulsos em uma corda: interferencia construtiva el P.
Supondo que ambos pulsos atinjam o ponto P no mesmo instante: eles causarao
nesse ponto uma perturbacao que e igual a soma das perturbacoes que cada pulso causaria
se o tivesse atingido individualmente, ou seja, a onda resultante e igual a soma algebrica
das ondas que cada pulso produziria individualmente no ponto P, no instante considerado.
Na Figura 5.22 e mostrado o caso da interferencia construtiva. Apos a sobreposicao, as
ondas continuam a se propagar com as mesmas caracterısticas que tinham antes.
• Quando ocorre o encontro de duas cristas, ambas levantam o meio naquele ponto;
por isso ele sobe muito mais.
• Quando dois vales se encontram eles tendem a baixar o meio naquele ponto.
• Quando ocorre o encontro entre um vale e uma crista, um deles quer puxar o
ponto para baixo e o outro quer puxa-lo para cima. Se a amplitude das duas
ondas for a mesma, nao ocorrera deslocamento, pois eles se cancelam (amplitude
zero) e o meio nao sobe e nem desce naquele ponto.
44
Figura 5.23 - Sobreposicao de pulsos invertidos em uma corda.
Figura 5.24 - Sobreposicao de ondas. A esquerda: Duas ondas em fase se somam: interferencia
construtiva. A direita: Duas ondas com fases invertidas (diferenca de fase iguala π ou 180◦), se anulam: interferencia destrutiva.
No caso de dois pulsos com deslocamentos invertidos (um para cima e um para
baixo), os efeitos sao subtraıdos (soma algebrica), podendo anularem-se. Chama-se esse
fenomeno de interferencia destrutiva (ver Figura 5.23).
O efeito de superposicao de duas ou mais ondas e denominado interferencia (ver
Figura 5.24)
5.13 Ondas estacionarias
Sao ondas resultantes da sobreposicao de duas ondas de mesma frequencia, mesma
amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direcao e sentidos opostos. E um caso
especial de sobreposicao de ondas.
Pode-se obter uma onda estacionaria em uma corda fixa numa das extremidades.
Com uma fonte, faz-se a outra extremidade vibrar com movimentos verticais periodicos,
produzindo-se perturbacoes regulares que se propagam pela corda.
Ao atingirem a extremidade fixa, as ondas se refletem, retornando com sentido de
45
Figura 5.25 - Ondas estacionarias.
deslocamento contrario ao anterior. Dessa forma, as perturbacoes se sobrepoem as outras
que estao chegando a parede, originando o fenomeno das ondas estacionarias.
Uma onda estacionaria se caracteriza pela amplitude variavel de ponto para ponto,
isto e, ha pontos da corda que nao se movimentam (amplitude nula), chamados nos (ou
nodos), e pontos que vibram com amplitude maxima, chamados ventres. Na Figura 5.25:
N sao os nos ou nodos e V sao os ventres.
E evidente que, entre os nodos, os pontos da corda vibram com a mesma frequen-
cia, mas com amplitudes diferentes.
Observacoes importantes:
• Como os nodos estao em repouso, nao pode haver passagem de energia por eles,
nao havendo, entao, em uma corda estacionaria o transporte de energia.
• A distancia entre dois nodos consecutivos vale λ2
.
• A distancia entre dois ventres consecutivos vale λ2
.
• A distancia entre um nodo e um ventre consecutivo vale λ4
.
5.13.1 Ondas estacionarias em uma corda com extremidades fixas
Para cada corda, existem frequencias em que a sobreposicao de ondas conduz
a uma configuracao de vibracao estacionaria. Se fixarmos as duas extremidades de uma
corda, e a excitarmos, num determinado ponto, com um movimento harmonico simples
de pequena amplitude e transversal a corda, verificamos que a onda gerada percorre o
comprimento da corda ate atingir uma das suas extremidades fixas. A onda e refletida e
retorna novamente a outra extremidade onde e novamente reflectida, e assim sucessiva-
46
mente. Dessa forma, as perturbacoes sobrepoem-se, originando ondas estacionarias (ver
Figura 5.26).
Figura 5.26 - Ondas estacionarias numa corda fixa nas duas extremidades. Sao mostrados trescasos: m=1, m=2 e m=3
Podemos caracterizar a onda estacionaria pelo numero de ventres que aparecem.
Quando m = 1 teremos apenas um ventre, o comprimento de onda sera 2l e dizemos que
esse e o 1o harmonico. Quando m = 2 ha dois ventres, o comprimento de onda sera l e
dizemos que esse e o 2o harmonico. E assim por diante.
Os comprimentos de onda para os quais se observam ondas estacionarias serao
dado por:
λm =2l
m(m = 1, 2, 3, . . . )
onde m e o numero de ventres e l e o comprimento da corda.
As frequencias para as quais se observam ondas estacionarias sao chamadas de
frequencias de ressonancia. As frequencias de ressonancia numa corda sao dadas por:
fm =v
λm=⇒ fm =
v.m
2l=⇒ fm =
m
2l
√Tcµ
(m = 1, 2, 3, . . . )
onde m e o numero de ventres; Tc e a tensao na corda; l e o comprimento da
corda; µ e a densidade linear (massa por unidade de comprimento) da corda.
47
5.13.2 Ondas estacionarias em tubos abertos ou fechados
Colunas de ar que emitem som sao abertas em uma ou nas duas extremidades.
Muitos instrumentos musicais sao feitos desta forma (flautas e instrumentos de sopro em
geral, orgaos, etc). O ar contido no tubo entra em vibracao emitindo um som.
Quando uma onda sonora se propaga em um tubo e atinge uma extremidade
aberta, parte da energia e transmitida para fora do tubo na forma de um som, e parte da
onda e refletida de volta para o tubo. Essa onda refletida internamente e responsavel pelo
estabelecimento da onda estacionaria dentro do tubo.
Tubos com ambas extremidades abertas:
Se o tubo e aberto em ambos os lados, o ar vibra com sua maxima amplitude
nos extremos. Nos extremos, portanto, se estabelecem anti-nodos ou ventres de ondas
estacionarias. Na Figura 5.27, sao representados os tres primeiros modos de vibracao.
Figura 5.27 - Ondas estacionarias em um tubo com extremidades abertas. Sao mostrados trescasos: m=1, m=2 e m=3
Como a distancia entre dois nodos ou entre dois ventres e de meio comprimento
de onda, se o comprimento do tubo e l, temos que:
λ = 2l1 , λ = l2 , λ =2 l33
, ...
Em geral λm =2 lmm
, (m = 1, 2, 3...)
Considerando que λ = vs/f (velocidade do som dividido pela frequencia), as
frequencias dos distintos modos de vibracao (m=1, m=2, m=3, ...) sao dadas pela formula:
48
fm =m
2
vslm
(m = 1, 2, 3, ...)
Tubos com uma extremidade aberta e outra fechada:
Se o tubo tem uma extremidade aberta e outra fechada, teremos a seguinte si-
tuacao: na extremidade aberta, por onde entra o ar, e originado um ventre; no extremo
fechado se forma um nodo. Como a distancia entre um ventre e um nodo consecutivo e
λ/4, O comprimento l do tubo representado na Figura 5.28 sera:
λ = 4 l0 , λ =4 l13
, λ =4 l25...
Em geral λ =4 lm
(2m+ 1)(m = 0, 1, 2, 3, ...)
Nesse caso, as frequencias dos distintos modos de vibracao sao dadas pela equacao:
fm =2m+ 1
4
vslm
(m = 0, 1, 2, 3, ...)
Figura 5.28 - Ondas estacionarias em um tubo com uma extremidade fechada. Sao mostradostres casos: m=0, m=1 e m=2
5.14 Problemas
1) Uma corda de comprimento 3 m e massa 60 g e mantida tensa sob acao de uma
forca de intensidade 800 N. Determine a velocidade de propagacao de um pulso
nessa corda.
Solucao:
Dados: m = 60g; l = 3m; Tc = 800N
49
Sabemos que µ = ml
= 0,063
= 0.02kg/m
v =√
Tcµ
=√
8000.02→ v = 200m/s
Resposta: v = 200m/s
2) Determine a velocidade de propagacao de uma onda transversal numa corda de
1 metro de comprimento e 0,1kg de massa sob tracao de 200N
3) Um fio de aco de comprimento l e massa 40g e esticado com tracao de 400N.
Sabendo que a velocidade de propagacao de uma onda transversal nesse fio e de
50√
2m/s, determine l.
4) Uma corda de massa 240g e de comprimento 1,2m vibra com frequencia de
150Hz, conforme indica a Figura 5.29.
Figura 5.29 - Onda em uma corda.
a) Qual a velocidade de propagacao da onda na corda?
b) Qual a intensidade da forca tensora na corda?
Solucao:
(a) Vemos na Figura 5.29 que entre as duas extremidades da corda ha um e meio
comprimentos de onda: 3λ
2= 1, 2m → λ = 0, 8m
v = λ.f → v = 0, 8× 150 → v = 120m/s
(b) v =
√Tcµ
→ v =
√Tcm/l
→ 120 =
√Tc
0, 240/1, 2→ Tc = 2880N
5) Determine o comprimento de onda de um som de 400Hz que se propaga com
velocidade de 340m/s.
6) Considere a onda representada na Figura 5.30 abaixo. Sendo o perıodo dessa
onda igual a 6s, determine:
a) a sua frequencia; b) a sua velocidade.
7) Determine o comprimento de onda sonora de 200Hz que se propaga na agua com
velocidade de 1450m/s.
50
Figura 5.30 -
8) Calcule o perıodo de oscilacao de uma partıcula de ar, sabendo que o compri-
mento de onda correspendente e de 2 metros e a velocidade de propagacao do
movimento vibratorio e de 340m/s
9) Uma radiacao de frequencia 8 × 108Hz se propaga no vacuo. Determine o seu
comprimento de onda.
10) Um conjunto de ondas periodicas transversais, de frequencia 20Hz, propaga-se
em uma corda. A distancia entre uma crista e um vale adjacente e de 2 metros.
Determine:
a) O comprimento de onda;
b) a velocidade da onda.
11) Uma estacao de radio emite ondas de frequencia 3MHZ. Se a velocidade de
propagacao dessas ondas e de 300.000km/s, determine o seu comprimento de
onda.
12) A funcao de uma onda transversal e y = 5.cos[2π(t
0, 1− x
20)]. Todas as unidades
sao as do S.I. Determine:
a) a amplitude;
b) o perıodo;
c) a velocidade de propagacao;
13) Ondas senoidais, observadas em um certo referencial de coordenadas cartesianas,
propagam-se ao longo de uma corda obedecendo a funcao: y = 4[cos(2x − 4t)].
Determine:
a) a frequencia e o comprimento de onda;
b) a velocidade de propagacao.
14) Um trem de ondas senoidais de frequencia 440Hz propaga-se ao longo de uma
corda tensa. Verifica-se que a menor distancia que separa dois pontos que estao
em oposicao de fase e 40cm. Determine a velocidade de propagacao das ondas
nessa corda.
51
15) Ondas circulares propagam-se na superfıcie da agua em um grande tanque. Elas
sao produzidas por uma haste, cuja extremidade P, sempre encostada na agua,
executa movimento harmonico simples vertical com frequencia f = 0, 5Hz.
a) Quanto tempo gasta a extremidade P para uma oscilacao completa?
b) Se as cristas de duas ondas adjacentes distam entre si 2cm, qual a velo-
cidade de propagacao dessas ondas?
16) Um pulso reto P propaga-se na superfıcie da agua em direcao a um obstaculo
M rıgido, onde se reflete. O pulso e o obstaculo estao representados na figura. A
seta indica o sentido de propagacao de P.
Assinale a alternativa contendo a figura que melhor representa P depois de sua
reflexao em M.
(a) (b) (c) (d)
17) Uma fonte sonora em repouso no ponto A da figura emite, num gas, ondas
esfericas de frequencia 50Hz e comprimento de onda 6,0m, que se refletem em
uma parede rıgida. Considere o ponto B da figura e as ondas que se propagam
entre A e B diretamente (sem reflexao) e refletindo-se na parede.
Pede-se:
a) a velocidade de propagacao dessas ondas;
b) a diferenca entre os tempos de propagacao das duas ondas entre A e B;
c) esboce as ondas refletidas.
52
18) As frentes de ondas sucessivas emitidas por uma fonte F, possuem velocidade de
10m/s, incidem no anteparo A da figura, onde esta representado o raio de onda
incidente, e sao refletidas.
a) Determine o comprimento de onda das ondas refletidas.
b) Qual e a frequencia das ondas refletidas?
c) Represente numa figura, o raio de onda refletido, os angulos de incidencia
e de reflexao e as frentes de ondas refletidas.
19) Uma onda estacionaria de frequencia 8 Hz se estabelece numa linha fixada entre
dois pontos distantes 60 cm. Incluindo os extremos, contam-se 7 nodos. Calcule
a velocidade da onda progressiva que deu origem a onda estacionaria.
Solucao:
A partir do enunciado podemos fazer o desenho a seguir:
De onde poderemos facilmente concluir que:
53
6.λ
2= AB → 6.
λ
2= 60cm → λ = 20cm
Logo:
v = λ.f → v = 20× 8 → v = 160cm/s
Resposta: v = 1, 6m/s
20) A figura mostra uma onda transversal periodica, que se propaga com velocidade
V1 = 12m/s, numa corda AB de comprimento 1,5m, cuja densidade linear e µ1.
Essa corda esta ligada a uma outra, BC, cuja densidade linear e µ2, sendo a
velocidade de propagacao da onda V2 = 8m/s.
Calcule:
a) O comprimento da onda quando se propaga na corda BC.
b) A frequencia da onda.
21) A figura representa uma onda periodica I que atinge a superfıcie de separacao S
entre dois meios. Representa tambem outros dois trens de ondas, X e Y, a serem
identificados, e a linha pontilhada representa a normal a superfıcie de separacao
S.
Os dois trens de ondas X e Y correspondem, respectivamente, a ondas:
(a) refletida e refratada
(b) refletida e difratada
(c) refratada e refletida
(d) difratada e refratada
(e) refletida e polarizada
54
22) Um feixe estreito de luz monocromatica, propagando-se inicialmente no ar, pe-
netra em um meio transparente, formando angulos de 60◦ e 30◦ com a normal,
como ilustrado na figura a seguir.
Calcule o comprimento de onda da luz no novo meio.
Dados:
Indice de refracao do ar = 1,00
Velocidade da luz no vacuo e no ar = 3× 108m/s
Comprimento de onda da luz no ar = 633 nm
Referencias deste capıtulo: Knight (2009), Halliday et al. (2003), Bonjorno et al.
(1985).
http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm
http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/
55
CAPITULO 6
Experimento 3: Ondas estacionarias em cordas vibrantes
Vimos na Subsecao 5.13.2 que podemos produzir ondas estacionarias em cordas vibrantes.
Voce devera reler essa Secao, onde sao feitas as consideracoes teoricas que servirao de base
para este experimento.
Neste experimento produziremos ondas progressivas em um fio, usando um diapa-
sao eletrico preso a uma das suas extremidades. O diapasao, vibrando em uma frequencia
f , troca energia com o fio e provoca oscilacoes forcadas. A situacao mais favoravel para
troca de energia entre dois sistemas vibrantes que interagem, ocorre quando o sistema ex-
citado (neste caso, o fio) vibra com a mesma frequencia do sistema excitador (o diapasao).
Esta situacao e conhecida como ressonancia entre os dois sistemas.
Quando se estabelece uma onda estacionaria, ocorre ressonancia entre o fio traci-
onado e o diapasao. Nessa situacao ocorre a sobreposicao das ondas incidentes e refletidas
que tem a mesma frequencia f do diapasao.
Na Subsecao 5.13.1 vimos que uma corda de comprimento l, presa em suas extre-
midades, apresenta modos estacionarios de vibracao para um conjunto bem definido de
frequencias que podem ser calculadas por:
fm =m
2l
√Tcµ
(m = 1, 2, 3, . . . )
onde m e o numero de ventres; Tc e a tensao no fio; l e o comprimento do fio; µ e a sua
densidade linear (massa por unidade de comprimento).
Usaremos um diapasao que vibra em uma frequencia fixa, a qual queremos de-
terminar. Como esta frequencia e fixa vamos ajustar o comprimento l e a tensao TC para
que uma de suas frequencias de ressonancia coincida com a frequencia do diapasao.
No presente experimento, fixaremos inicialmente o comprimento l do fio e faremos
variar a tensao TC para calcularmos a frequencia de vibracao do diapasao.
Objetivo do experimento:
Determinar a frequencia de oscilacao do diapasao.
Procedimento:
1) Determinar a densidade linear µ do fio. Para isso, utilize uma amostra identica
a do fio a ser usado no experimento e meca o seu comprimento e a sua massa
56
usando uma balanca de precisao. Anote o valor na Tabela 6.1
2) O aparato experimental devera estar montado como na Figura 6.1.
Figura 6.1 - Montagem experimental.
3) Ligue o diapasao eletrico, fazendo-o vibrar. Va modificando a massa suspensa ate
conseguir uma configuracao de onda estacionaria. Quando isso ocorrer calcule a
forca peso que essa massa exerce na forma de tracao no fio (Tc = P = m.g) e
anote na tabela.
4) Conte o numero m de meios comprimentos de onda e anote na tabela.
5) Meca o comprimento l do fio entre as suas extremidades fixas.
6) Calcule a frequencia do diapasao.
7) Repita todo o procedimento para mais dois valores de m. Para isto voce devera
modificar a massa e provavelmente o comprimento do fio.
Densidade Massa Numero de Forca de Velocidade Comprimento Frequencialinear meias ondas tracao da onda do fio do diapasaoµ m n Tc v l f
(kg/m) (kg) (N) (m/s) (m) (Hz)
123
Tabela 6.1 - Tabela de dados para o Experimento 3.
57
CAPITULO 7
Experimento 4: Tubos sonoros
Na Subsecao 5.13.2 vimos que se pode produzir ondas sonoras estacionarias em tubos.
Voce devera reler essa Secao, onde sao feitas as consideracoes teoricas que servirao de
base para este experimento.
No presente experimento produziremos ondas sonoras estacionarias em um tubo
de vidro cilındrico, aberto em uma das suas extremidades e fechado na outra. O tubo faz
parte de um sistema de vasos comunicantes, em que a altura da coluna de ar e controlada
por uma coluna de agua de altura variavel. O aparato experimental esta mostrado na
Figura 7.1.
Figura 7.1 - Esquema da montagem experimental.
Veja que a altura da coluna de agua no tubo pode ser alterada, bastando que se
altere a altura do reservatorio que esta conectado ao tubo por uma mangueira.
Um diapasao colocado proximo da extremidade do tubo permite propagar ondas
sonoras no ar dentro do tubo. A frequencia do diapasao e conhecida: no laboratorio voce
tera diapasoes com diferentes frequencias ao seu dispor. A velocidade do som no ar sera
determinada atraves do estabelecimento de ondas sonoras estacionarias no ar do tubo.
O diapasao vibrando na extremidade aberta do tubo provoca nas partıculas do
ar, vibracoes longitudinais de mesma frequencia, que se propagam dentro do tubo e sao
refletidas pela superfıcie da aguana extremidade fechada. As ondas incidentes e refletidas
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interagem dentro do tubo dando origem ao fenomeno da interferencia. Sob certas condi-
coes, o resultado dessa interferencia pode ser a formacao de ondas estacionarias. Nesas
condicoes o diapasao e a coluna de ar vibram de uma maneira caracterıstica, conhecida
por ressonancia, onde ocorre o reforco da intensidade sonora do diapasao.
Objetivo do experimento:
Determinacao da velocidade de propagacao do som no ar.
Procedimento:
1) Com o aparato montado como na Figura 7.1, escolha o diapasao a ser utilizado
e faca o nıvel da agua ficar o mais alto possıvel no tubo.
2) Ponha o diapasao a vibrar, batendo nele com o martelinho de borracha que lhe
foi fornecido e lentamente mova o reservatorio de agua para fazer o nıvel da agua
descer, buscando a primeira condicao de ressonancia.
3) Quando essa condicao for satisfeita, coloque uma marca no tubo de ar, movendo
um dos aneis de PVC, marcando o nıvel da agua onde a ressonancia ocorreu.
4) Continue descendo o nıvel da agua ate encontrar a segunda condicao de resso-
nancia, colocando aı uma segunda marcacao no nıvel de agua correspondente.
5) Meca os comprimentos do tubo de ar no primeiro harmonico (l1) e no segundo
harmonico (l2). Melhor nao usar o Fundamental, pois essa medida em geral
carrega grandes erros.
6) Calcule o comprimento de onda λ pela expressao:
λ = 2(l2 − l1)
7) Releia a Subsecao 5.13.2 e tente deduzir a expressao para λ dada acima.
8) Calcule a velocidade de propagacao do som v = λ.f
9) A velocidade do som no ar e uma funcao da temperatura (para temperaturas
proximas da temperatura ambiente) que e dada por:
v = (331, 45 + 0, 61.θ)m/s
onde θ e a temperatura em ◦C. Meca a temperatura ambiente durante o expe-
rimento e calcule a velocidade do som pela formula acima. Compare esse valor
com o valor obtido no experimento e comente sobre a qualidade do resultado
obtido. O que poderia ser feito para melhorar a precisao do experimento?
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Figura 7.2 - O experimento montado.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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