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Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação
O Ensino das Funções Exponencial e Logarítmica por Atividades
Belém – PA
2014
2
Silvio Tadeu Teles da Silva
O Ensino das Funções Exponencial e Logarítmica por
Atividades
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação no Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade do Estado do Pará. Linha: Formação de Professores
Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Belém 2014
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Silvio Tadeu Teles da Silva
O Ensino das Funções Exponencial e Logarítmica por
Atividades
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Educação no Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade do Estado do Pará. Linha: Formação de Professores
Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Data de aprovação: 20/12/2013
Banca Examinadora
_______________________________ - Orientador Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará
_______________________________ - Membro Externo Claudianny Amorim Noronha Doutora em Educação Universidade Federal do Rio Grande do Norte
_______________________________ - Membro Interno Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia
4
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, ao Criador, por me propiciar a vida, e saúde para poder
realizar este trabalho.
À minha família, que sempre me apoiou em especial meus pais Silvio
Tadeu e Maria Darcy, e meu irmão Sidney Tadeu. À minha namorada Mayara
que contribuiu como minha auxiliar de pesquisa, e com a revisão de alguns
textos.
A coordenação e aos professores do Programa de Pós-graduação em
Educação da Universidade do Estado do Pará, por me proporcionar todas as
condições cientificas para realizar este trabalho.
A Universidade do Estado do Pará (UEPA) e ao Centro de Ciências
Sociais e Educação da UEPA pela oportunidade, e para o Conselho
Nacional de Pesquisa (CNPQ) por proporcionar subsídios financeiros para
que eu pudesse realizar essa pesquisa.
Agradeço a meu orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, por
proporcionar ânimo nos momentos difíceis demonstrando assim não ser
apenas um orientador, mas também um amigo. À Profª Dra. Maria de Lourdes
Santos Melo, Profª Dra. Albêne Lis Monteiro e Profª Dra. Ana Kely Martins
da Silva que tanto me apoiaram e me ofereceram subsídios para me tornar um
pesquisador.
Agradeço à professora Dra. Claudianny Amorim Noronha e ao
Professor Dr. Fábio Alves pelas contribuições e pela avaliação realizada nesta
pesquisa.
Aos funcionários Jorge Farias Figueiredo, Francisco Pinheiro
Pereira, Elizete Veras, Mauro Roberto Ribeira Reis, Flávio Amado Paiva,
Nilda Mari Santos de Oliveira, Astrid Beatriz Batista Age, Carlos Alberto
dos Santos Campelo e Marcelo Souza Martins pelos auxílios administrativos.
A todos os meus amigos, em especial ao Sidney Hermesson, que
estiveram sempre por perto, em especial aos que a UEPA me proporcionou.
Companheiros numa jornada que perdurou dois anos. A todos os alunos e
professores que participaram desta pesquisa.
E por fim, agradeço a todos que contribuíram de forma direta ou indireta
para realização deste trabalho.
5
RESUMO
SILVA, Silvio Tadeu Teles da. 2013. 219f. O Ensino das Funções
Exponencial e Logarítmica por atividade. Dissertação (Mestrado em
Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2013.
Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo
avaliar a potencialidade do ensino das funções exponencial e logarítmica por
meio de atividades. A metodologia de pesquisa foi a engenharia didática. A
partir das informações obtidas das análises preliminares, foi elaborada uma
sequência didática com quinze atividades, jogos e testes diagnósticos que
foram analisados a priori, aplicados a 21 alunos do 1º ano de uma escola
pública estadual da cidade de Belém do Pará, sendo desenvolvidos em dez
sessões. As análises a posteriori evidenciaram que é possível os alunos
descobrirem modelos matemáticos associados às Funções Exponencial e
Logarítmica sem que o professor os apresente e que o desempenho dos
alunos na realização das leituras e construções gráficas foi mais eficiente que o
desempenho quando ensinado da maneira clássica. A comparação entre os
resultados dos pré e pós-testes indicou que ocorreu aumento significativo do
percentual de acerto. O mesmo ocorreu da comparação entre os resultados do
teste aplicado aos alunos egressos do 1º ano que recebeu ensino pautado na
exposição oral seguida de exemplos e exercícios. Tais resultados permitiram
concluir que a sequência didática proposta favoreceu o aprendizado e
contribuiu para que habilidades úteis ao desenvolvimento dos alunos fossem
despertadas e/ou aprimoradas, implicando, no melhor desempenho dos alunos
participantes da pesquisa.
Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Matemática por atividade.
Ensino da Função Exponencial. Ensino de Função Logarítmica.
6
ABSTRACT
SILVA, Silvio Tadeu Teles da. 2013. 219f. O Ensino da Função Exponencial
e Logarítmica por atividade. Dissertação (Mestrado em Educação) –
Universidade do Estado do Pará, Belém, 2013.
This work presents the results of a study that he/she had as objective evaluates
the potentiality of the teaching of the exponential and logarithmic functions
through activities. We adopted as methodology, the didactic engineering, being
to the sections of this study organized according to the stages of that
methodology. Like this, starting from the information obtained with the group of
studies and researches contained in the preliminary analyses, we elaborated a
didactic sequence composed of fifteen activities and a tests diagnoses that
were analyzed a priori and applied to 21 students of the 1st year of a state
public school of the city of Belém of Pará, being developed in ten teaching
sessions. The analyses the posteriori evidenced that it is perfectly possible that
the students develop and enunciate mathematical models of the Exponential
and Logarithmic Function without the teacher has them to present e,também,
that the the 1st year-old students' acting in the accomplishment of the readings
and graphic constructions, when worked didaticamente through activities and
games was more efficient than the acting when taught through the oral
exhibition following by examples and exercises. In the comparison between the
results of the after test and general powder-test, containing the same subjects
and applied to the subject of the research, we observed considerable increase
in the percentile of successes. The same happened in the comparison among
the results of the applied test to the the 1st year-old students exits that, in
his/her majority, it received ruled teaching in the oral exhibition following by
examples and exercises and the mentioned powder-test, tends these the same
subjects. Such results we allowed to conclude that the teaching sequence
favored the learning and it contributed so that useful abilities to the students'
development were wakened up and/or perfect, implicating, in the participant
students' of the research best acting.
Word-key: Education. Mathematical education. Mathematics for Activity.
Teaching of the Exponential Function. Teaching of Logarithmic Function.
7
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Início do Jogo de cartas 158
Figura 2 - Descarte das cartas 159
Figura 3 - Aluno vencendo o jogo de cartas 159
Figura 4 - Jogo da memória: Partida iniciada 176
8
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Faixa etári Faixa etária dos professores de matemática 57
Gráfico 2 - Gênero dos professores 59
Gráfico 3 - Tempo de serviço dos professores 60
Gráfico 4 - Percentual dos professores em relação a sua formação acadêmica.
61
Gráfico 5 - Percentual dos professores em relação ao tempo de serviço. 63
Gráfico 6 - Percentual dos alunos divididos em faixas etárias 69
Gráfico 7 - Percentual dos alunos divididos em gênero 69
Gráfico 8 - Percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável.
70
Gráfico 9 - Percentual da escolaridade do responsável, em função ao gênero
71
Gráfico 10 - Atividade remunerada do responsável, divididos por gênero 71
Gráfico 11 - Percentual dos alunos em relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico
72
Gráfico 12 - Percentual os alunos que exercem atividade remunerada 73
Gráfico 13 - Percentual dos alunos que participam de algum curso externo 73
Gráfico 14 - Percentual dos alunos em relação a sua afinidade com a disciplina
74
Gráfico 15 - Percentual dos alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina
75
Gráfico 16 - Percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
75
Gráfico 17 - Comparação em percentual da distração dos alunos durante as aulas de matemática.
77
Gráfico 18 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função Exponencial.
78
Gráfico 19 - Percentual do modo como os alunos fixaram o assunto: Função Exponencial.
79
Gráfico 20 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função Logarítmica
80
Gráfico 21 - Percentual do modo como os alunos fixaram o assunto: Função Logarítmica.
81
Gráfico 22 - Alunos egressos: Teste geral, Função Exponencial 87
Gráfico 23 - Alunos egressos: Teste geral, Função Logarítmica 87
Gráfico 24- Percentual da idade dos alunos do 1° ano 124
Gráfico 25 - Percentual dos alunos do 1° ano divididos por gênero 125
Gráfico 26 - Percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
127
Gráfico 27 - Percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
128
Gráfico 28 - Percentual dos responsáveis que exercem atividade remunerada
128
9
Gráfico 29 - Percentual dos alunos em relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico.
128
Gráfico 30 - Percentual os alunos que exercem atividade remunerada 129
Gráfico 31 - Percentual dos alunos do 1° ano que participam de algum curso externo
130
Gráfico 32 - Percentual dos alunos em relação a sua afinidade com a disciplina.
131
Gráfico 33 - Percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
132
Gráfico 34 - Percentual dos alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina
132
Gráfico 35 - Percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
133
Gráfico 36 - Percentual dos alunos que recebe ajuda com as tarefas extra classe
134
Gráfico 37 - 1° ano no pré-teste, nas situações envolvendo Função Exponencial
181
Gráfico 38 - 1° ano no pré-teste, nas situações envolvendo Função Logarítmica
182
Gráfico 39 - Acertos, erros e alternativas em branco para cada questão, no pré-teste.
183
Gráfico 40 - Função Exponencial: pós-teste 185
Gráfico 41 - Função Logarítmica: pós-teste 186
Gráfico 42 - Resultado pós-teste 188
10
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Faixa etária Faixa etária dos professores de matemática 57
Quadro 2 - Gênero dos professores 59
Quadro 3 - Tempo de serviço dos professores 59
Quadro 4 - Percentual dos professores em relação a sua formação acadêmica.
61
Quadro 5 - Percentual dos professores em relação ao tempo de serviço. 62
Quadro 6 - Percentual dos alunos divididos em faixas etárias 68
Quadro 7 - Percentual dos alunos divididos em gênero 69
Quadro 8 - Percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável.
70
Quadro 9 - Percentual da escolaridade do responsável, em função ao gênero
70
Quadro 10 - Atividade remunerada do responsável, divididos por gênero 71
Quadro 11 - Percentual dos alunos em relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico
72
Quadro 12 - Percentual os alunos que exercem atividade remunerada 72
Quadro 13 - Percentual dos alunos que participam de algum curso externo 73
Quadro 14 - Percentual dos alunos em relação a sua afinidade com a disciplina
74
Quadro 15 - Percentual dos alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina
74
Quadro 16 - Percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
75
Quadro 17 - Comparação em percentual da distração dos alunos durante as aulas de matemática.
76
Quadro 18 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função Exponencial.
77
Quadro 19 - Percentual do modo como os alunos fixaram o assunto: Função Exponencial.
79
Quadro 20 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função Logarítmica
80
Quadro 21 - Percentual do modo como os alunos fixaram o assunto: Função Logarítmica.
80
Quadro 22 - Percentual da idade dos alunos do 1° ano 124
Quadro 23 - Percentual dos alunos do 1° ano divididos por gênero 125
Quadro 24 - Percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
125
Quadro 25 - Percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
126
Quadro 26 - Percentual dos responsáveis que exercem atividade remunerada
127
Quadro 27 - Percentual dos alunos em relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico.
128
Quadro 28 - Percentual os alunos que exercem atividade remunerada 129
11
Quadro 29 - Percentual dos alunos do 1° ano que participam de algum curso externo
130
Quadro 30 - Percentual dos alunos em relação a sua afinidade com a disciplina
131
Quadro 31 - Percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
132
Quadro 32 - Percentual dos alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina
132
Quadro 33 - Percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
133
Quadro 34 - Percentual dos alunos que recebe ajuda com as tarefas extra classe
133
12
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Estudo sobre o ensino das funções exponenciais e logarítmicas
26
Tabela 2 - Tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem envolvendo função exponencial e logarítmica, segundo professores de matemática
38
Tabela 3 - Como os professores de matemática iniciam o ensino função exponencial
39
Tabela 4 - Como os professores de matemática iniciam o ensino função logarítmica
40
Tabela 5 - Como os professores de matemática fixam o ensino de função exponencial
40
Tabela 6 - Como os professores de matemática fixam o ensino função exponencial
41
Tabela 7 - Resultado dos alunos egressos no teste geral 59
Tabela 8 - Cronograma dos encontros de experimentação 93
Tabela 9 - Resultado dos alunos pré-teste 116
Tabela 10 - Resultado dos alunos pós-teste 137
Tabela 11 - Relação entre a frequência dos alunos do1° ano no experimento e desempenho no pós-teste
140
13
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO................................................................................................................. 13
1. AS ANÁLISES PRÉVIAS..................................................................................... 19
1.1. DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS..............................................................................................................
19
1.2. ESTUDOS SOBRE O ENSINO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS: PANORAMA E PERSPECTIVA.........................................................
25
1.2.1. ESTUDOS DIAGNÓSTICOS................................................................................ 27
1.2.2. ESTUDOS EXPERIMENTAIS.............................................................................. 29
1.2.3. ESTUDOS TEÓRICOS........................................................................................ 32
1.3. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS SEGUNDO PROFESSORES DE MATEMÁTICA..............................
33
1.4. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS SEGUNDO OS ALUNOS....................................................................
42
1.5. SÍNTESE DAS ANÁLISES PRÉVIAS................................................................... 60
2. A CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI.............................................................. 62
2.1. ATIVIDADES PARA O ENSINO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL............................. 62
2.1.1 ATIVIDADE 1......................................................................................................... 64
2.1.2 ATIVIDADE 2......................................................................................................... 65
2.1.3 ATIVIDADE 3......................................................................................................... 67
2.1.4 ATIVIDADE 4......................................................................................................... 68
2.1.5 ATIVIDADE 5......................................................................................................... 72
2.1.6 ATIVIDADE 6......................................................................................................... 73
2.2. ATIVIDADES PARA O ENSINO DA FUNÇÃO LOGARITMICA............................... 81
2.2.1.ATIVIDADE 7......................................................................................................... 81
2.2.2ATIVIDADE 8.......................................................................................................... 83
2.2.3.ATIVIDADE 9......................................................................................................... 84
2.2.4. ATIVIDADE 10..................................................................................................... 85
2.2.5. ATIVIDADE 11.................................................................................................... 86
14
2.2.6. ATIVIDADE 12..................................................................................................... 87
2.2.7. ATIVIDADE 13..................................................................................................... 88
2.2.8. ATIVIDADE 14..................................................................................................... 90
2.2.9. ATIVIDADE 15..................................................................................................... 91
3. A EXPERIMENTAÇÃO......................................................................................... 92
3.1. PRIMEIRA SESSÃO................................................................................................ 93
3.2. SEGUNDA SESSÃO................................................................................................ 105
3.3. TERCEIRA SESSÃO............................................................................................... 107
3.4. QUARTA SESSÃO.................................................................................................. 107
3.5. QUINTA SESSÂO.................................................................................................... 108
3.6. SEXTA SESSÃO...................................................................................................... 108
3.7. SÉTIMA SESSÃO.................................................................................................... 112
3.8. OITAVA SESSÃO.................................................................................................... 112
3.9. NONA SESSÃO....................................................................................................... 113
3.10. DECIMA SESSÃO................................................................................................ 114
4. A ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO...................................................... 115
CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................ 142
REFERÊNCIAS............................................................................................................... 145
APÊNDICE A................................................................................................................... 147
APÊNDICE B................................................................................................................... 150
APÊNDICE C................................................................................................................... 152
ANEXO A......................................................................................................................... 156
ANEXO B......................................................................................................................... 157
ANEXO C......................................................................................................................... 158
15
INTRODUÇÃO
Este trabalho partiu da tentativa de compreender como se deu a
formação da Matemática na perspectiva da disciplina escolar. Haja vista que
Ciro Braga aponta em sua pesquisa que um dos primeiros princípios desta
como disciplina escolar foi o “pensamento funcional”, que possui relação com a
análise de dependência entre variáveis. Dessa forma nossa pesquisa tem
como núcleo vital a Função Exponencial e Logarítmica, pois vemos a
importância de partir deste aspecto. O que nos excita para pesquisa é uma
preocupação em buscar uma alternativa metodológica de interação que tente
contemplar a maioria dos aspectos exigidos nos documentos oficiais que serão
discutidos ao longo do texto, sem deixar de lado a importância do conteúdo
específico de Função. Para isso realizamos algumas leituras que nortearão a
temática.
Ciro Braga (2006) nos apresenta em sua obra, intitulada “Função: A
alma do ensino da Matemática”, uma investigação em educação matemática
numa perspectiva histórica, o que nos possibilita avaliar a importância da
temática da pesquisa. Importância esta reforçada por Braga (2006, p. 14), ao
comentar que “Talvez não haja nenhum outro conteúdo tão intimamente ligado
aos movimentos inovadores do ensino da matemática quanto esse [...]”, o que
nos remete a contribuição deste conteúdo para a evolução da Matemática.
Entendemos que seja necessário realizarmos um breve comentário a
respeito da construção histórica da Matemática para assim fundamentarmos
teoricamente a pesquisa. Inicialmente, voltamos ao ano de 1929 quando se
concretizou no ensino brasileiro uma nova disciplina escolar chamada
Matemática, resultante da unificação de três outras disciplinas da época: a
aritmética, a álgebra e a geometria. Em 1931, a transformação estrutural desta
matemática escolar foi seguida por uma reforma mais ampla, chamada
Reforma Francisco Campos, que consistia, basicamente, no ensino de um
modo gradativo com o aluno, ao longo de todo o curso secundário, o princípio
do pensamento Funcional. Princípio este que o pesquisador Braga destaca
como:
Esse principio, propõe em outros aspectos, desenvolver no educando as capacidades de reconhecer a variação e a dependência entre
16
grandezas. De interpretar as diferentes variações de Função, e por elas, quando possível, transitar. (BRAGA, 2006 p. 21)
Percebemos assim as habilidades que deveriam ser desenvolvidas pelos
alunos a partir deste princípio, tomando como relevante o próprio conceito de
Função. Atualmente, no âmbito escolar temos novas perspectivas sobre o
ensino de Funções. Destacamos as habilidades retratadas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN).
O ensino isolado desse tema [Função] não permite a exploração do caráter integrador que ele possui. Devemos observar que uma parte importante da Trigonometria diz respeito às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente. Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática. (BRASIL, 1997 p. 41)
Percebemos que existe uma valorização do tema, Função, desde a
década de 30, ou seja, da Reforma Francisco Campos até os dias atuais. Esta
valorização se mantém de maneira independente ao contexto histórico social,
como atenta Braga (2006, p.21) “Apesar de estarmos em contextos diferentes,
é de se acreditar que essa revalorização desperte e aguce o interesse de
professores e pesquisadores [...]”. Atribuímos este fato a alguns motivos,
dentre os quais: o motivo do conteúdo de funções ter variadas possibilidades
de aplicação em situações cotidianas e, portanto, ser pertinente ao trabalho
com situações-problema contextualizadas em sala de aula. Dentre as várias
possibilidades percebemos a importância de analisarmos alguns documentos
oficiais.
Iniciamos as análises de documentos oficiais buscando referências
sobre a temática de nossa pesquisa, especificando a busca por citações
referentes às Funções Exponencial e Logarítmica, que são o objeto de estudo
17
desta pesquisa. Por conseguinte, destacamos trechos do Edital n° 7 de 18 de
Maio de 2011, do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais
Anísio Teixeira – INEP, reflete ao Exame Nacional do Ensino Médio.
Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial; Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial; Resolver problema que envolva função exponencial; (BRASIL, 2008 p. 79) Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. Competência de área 6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. (BRASIL, 2011 p.29)
Percebemos que as habilidades dispostas no documento se relacionam
com o principio funcional descrito por Ciro Braga, pois os mesmos buscam o
tratamento das variáveis e o reconhecimento de sua dependência e
independência, porém tendo contextos e especificidades diferentes. Além
destas habilidades complementarem os argumentos dispostos nos Parâmetros
Curriculares Nacionais quando tratam o tema Função de maneira relacional a
outras temáticas inerentes ao cotidiano.
De posse dessas informações, no que competem aos documentos
oficiais assim como aos fatos históricos apresentados por Ciro Braga (2006),
percebemos a necessidade de nossa pesquisa. Então, buscamos um ensino
que tentou contemplar alguns dos aspectos dispostos nos documentos oficiais,
além de valorizar a ação docente, um ensino que partiu do concreto para o
abstrato transformando o aluno, de um mero espectador a um criador ativo.
Nesse sentido, apontamos o ensino por atividades como método capaz de
18
capturar a imaginação do aluno e assim promover práticas em sala de aula que
resultem em uma aprendizagem mais significativa.
Como comentamos anteriormente nosso objeto de estudo é o ensino
da Função Exponencial e Logarítmica. E nossa questão norteadora é: “Qual a
potencialidade do ensino da Função Exponencial e Logarítmica por atividade?”.
Com objetivo de avaliar a potencialidade do ensino das funções exponencial e
Logarítmica por atividade. Para isso, usamos como referência de atividades
estruturadas a definição presente no Art. 2º, item II da Resolução CNE/CES nº
3, de 2 de julho de 2007, que apresenta atividades facilitadoras na construção
de conhecimento, com autonomia, a partir do trabalho discente. Nossa
pesquisa tem como metodologia a Engenharia Didática. Que segundo
Almouloud et al (2008):
A Engenharia Didática pode ser utilizada em pesquisas que estudam os processos de ensino e aprendizagem de um dado conceito e, em particular, a elaboração de gêneses artificiais para um dado conceito. Esse tipo de pesquisa difere daquelas que são transversais aos conteúdos, mesmo que seu suporte seja o ensino de certo objeto matemático (um saber ou um saber-fazer). (ALMOULOUD et al, 2008 p. 66)
A Engenharia Didática, de acordo com a sua composição em Artigue
(1988), apresenta quatro fases ou etapas metodológicas: análises prévias;
concepção e análise a priori das situações didáticas da engenharia;
experimentação e análise a posteriori e validação. Utilizamos estas fazes em
nossa pesquisa, que serviu de base para a constituição deste trabalho.
A fase ou etapa metodológica das análises prévias consiste na coleta
de dados que serão estudados e analisados, buscando um referencial teórico
que fundamente as categorias, de modo a propor a identificação dos problemas
do ensino e aprendizagem do conteúdo estudado, e o delineamento
fundamentado das questões e das escolhas da sequência didática a serem
desenvolvidas na investigação.
O objetivo de uma análise a priori é determinar como as escolhas efetuadas (as variáveis que queremos assumir como pertinentes) permitem controlar os comportamentos dos alunos e explicar seu sentido. (ALMOULOUD et al, 2008 p. 67)
Esta fase pode incluir algumas dimensões epistemológicas: a dos
conteúdos visados, do ensino habitual e de seus efeitos, das concepções dos
alunos, das dificuldades e obstáculos que marcam o seu progresso, do campo
19
de constrangimentos no qual decorrerá a realização didática e dos objetivos da
investigação. Pode ser retomada ao longo da investigação, dependendo do
objetivo da pesquisa ou das necessidades emergentes durante o processo.
Com a finalidade de analisar previamente o ensino e aprendizagem das
Funções Exponenciais e Logarítmicas realizamos: um levantamento de estudos
sobre o ensino-aprendizagem dessas Funções no Ensino Médio – a partir de
pesquisas nos bancos de dados de universidades do Brasil em busca de
pesquisas realizadas no campo do Ensino das Funções Exponenciais e/ou
Logarítmicas; uma pesquisa de campo, com a utilização de questionários
objetivos sobre o processo de ensino aprendizagem das Funções Exponenciais
e Logarítmicas, realizada no grupo de professores de matemática e alunos do
2º ano do Ensino Médio de uma escola pública estadual da região
metropolitana de Belém.
A segunda fase metodológica é a concepção e análise a priori,
período onde se constrói a sequência didática para o conteúdo em questão e
se formula as hipóteses com base nos resultados obtidos nas análises prévias.
A sequência didática, por sua vez, baseia-se em uma sequência de atividades
desenvolvidas e analisadas, para em seguida transformar-se em proposta de
trabalho pedagógico a ser realizado em sala de aula. Sua construção objetiva a
produção e seleção do material, que será utilizado durante a sua aplicação. A
sequência didática aplicada contém 15 (quinze) atividades, divididas
igualmente em 02 (dois) grupos: atividades para o ensino da Função
Exponencial e atividades para o ensino da Função Logarítmica. As atividades
de Função Logarítmica já foram concebidas em uma pesquisa anterior
realizada por Castro (2007). A autora aplicou seu trabalho e alcançou muitos
resultados positivos, por isso decidimos utilizar este método em nossa
pesquisa. Os aspectos da sequência didática serão apresentados mais
detalhadamente na segunda seção Concepção e Análise a priori.
A sequência didática de nossa pesquisa foi desenvolvida partindo da
premissa de que o professor possui um papel de orientador mediador, para
favorecer, da melhor forma possível, o desenvolvimento da sequência didática,
promovendo a formalização dos conceitos adquiridos com base no que foi
proposto durante o desenvolvimento da sequência, baseada em um conjunto
de atividades estruturadas. De maneira formal existem algumas variáveis a
20
serem estabelecidas para o desenvolvimento da pesquisa, que para Artigue
(1988) são: as variáveis macro didáticas ou globais, e as micro didáticas ou
locais.
As variáveis macro didáticas ou globais são as que articulam sobre a
organização global, de forma a englobar todas as etapas ou fases. E a variável
micro didática ou local corresponde à organização local da Engenharia, ou
seja, a organização de uma fase ou etapa. As variáveis podem ser tanto de
ordem geral ou dependente do conteúdo matemático pesquisado.
A análise dessas etapas compreende três dimensões: a dimensão
epistemológica, cognitiva e didática. A dimensão epistemológica compreende
as características do saber, a dimensão cognitiva corresponde às
características cognitivas dos discentes em questão e a dimensão didática está
associada às características do sistema de ensino ao qual o discente está
imerso.
Em nosso trabalho, vinculado ao ensino por atividade, optamos pela
variável de ordem geral e a dimensão de análise didática. Verificamos, com a
utilização dos questionários, a partir da amostra de professores participantes,
que o conteúdo Função Exponencial e Logarítmica, maioria das vezes, é
apresentado de forma expositiva e sistemática. Com pouco ou nenhum vínculo
à realidade prática.
O objetivo da análise a priori é o de determinar como as escolhas
tomadas, no sentido das variáveis assumidas para a pesquisa, podem atinar o
comportamento dos discentes e tentar explicá-lo, o sentido de sua ocorrência.
Portanto, esta fase pode ser tida como uma fase de controle. A análise a priori
é composta por dois lances: a descritiva e a preditiva. Na parte descritiva, são
apresentados todos os instrumentos ou recursos, que estão previstos a ser
utilizados na experimentação. Além das escolhas das variáveis locais e as
características das situações adidáticas (não didáticas) envolvidas. Sobre estas
situações:
Quando o aluno torna-se capaz de colocar em funcionamento e utilizar por ele mesmo o conhecimento que está construindo, em situação não prevista de qualquer contexto de ensino e também na ausência de qualquer professor, está ocorrendo então o que pode ser chamado de situação adidática. (Brousseau, 1986, p. 49)
21
Entendemos a importância dessas situações para o discente, e em
particular, a razão das possibilidades de ações e escolhas para a construção
da estratégia, tomada de decisão e controle e validação, que este discente
possa ter durante a aplicação da nossa pesquisa, tomando como relevante
ainda, os estudos teóricos ou experiências registradas em outras pesquisas.
A parte preditiva, por sua vez, consiste em tentar prever
comportamentos possíveis e tentar mostrar como a análise feita permite atinar
seu sentido, assegurando que os comportamentos esperados, se e quando
eles intervêm, resultam do desenvolvimento do conhecimento visado pela
aprendizagem. As fases referentes a nossa pesquisa são apresentadas na
sessão Analise a priori. As atividades são divididas em dois grupos, referentes
à Função Exponencial e Logarítmica, sendo que adaptamos do trabalho de
Castro (2010) as atividades sobre Função Logarítmica.
Por conseguinte a fase metodológica da Engenharia Didática é a
Experimentação, que é o momento no qual é posto em funcionamento o
dispositivo construído, ou seja, as atividades que compõem a sequência
didática que foi analisada a priori. Pode ser corrigida, se necessário, quando as
análises locais do desenvolvimento experimental identificam essa necessidade,
o que implica em um retorno a análise a priori.
é o momento de se colocar em funcionamento todo o dispositivo construído, corrigindo-o se necessário, quando as análises locais do desenvolvimento experimental identificam essa necessidade, o que implica em um retorno à _ Detalharemos mais adiante as especificidades de uma análise a priori e de uma análise a posteriori análise a priori, em um processo de complementação. (ALMOULOUD et al, 2008 p. 69)
Esta fase ocorre em sala de aula, iniciada a partir da aplicação da
primeira atividade, mesmo que seja uma atividade diagnóstica, e terminada
quando o pesquisador realiza a última atividade com a turma, ou seja, a última
sessão. Cada encontro ocorrido no lócus da pesquisa é intitulado de sessão.
Nesta fase, se é exigido muito do pesquisador. Ele deve aplicar a sequência
além de realizar o registro, sem desvincular o planejado a priori da aplicação. A
fase de experimentação compreende a especificação dos objetivos e condições
para a realização da pesquisa sobre os discentes que participarão desta fase,
estabelecendo um contrato didático, a aplicação dos instrumentos da pesquisa,
e o registro das observações ocorridas durante sessão.
22
Essa aplicação se estabelece nas sessões, tendo em vista o seu caráter
específico para a pesquisa, ou seja, não são aulas comuns no sentido da rotina
de sala de aula. Assim, a sequência didática desenvolvida durante a segunda
fase da engenharia didática de nosso estudo foi aplicada a 21 alunos do 1º ano
do Ensino Médio de uma escola pública estadual da região metropolitana de
Belém do Pará.
A respeito dos registros realizados durante a fase de experimentação,
devem ser coerentes as variáveis priorizadas na análise a priori. Outra
preocupação, de alguns autores como: Almouloud et al (2008) e Gomes (2008),
é a de que o pesquisador ou grupo de pesquisadores não deve perder de vista
os objetivos da pesquisa. Portanto, os registros devem respeitar as variáveis
escolhidas na análise a priori e os objetivos destacados pela pesquisa, assim
como as atividades devem ser aplicadas e registradas de acordo com o
planejado a priori.
A última fase é a análise a posteriori e a validação, que implica em
confrontar as informações coletadas na experimentação com o que foi previsto
na análise a priori.
A análise a posteriori de uma sessão é o conjunto de resultados que se pode tirar da exploração dos dados recolhidos e que contribuem para melhoria dos conhecimentos didáticos que se têm sobre as condições da transmissão do saber em jogo. (ALMOULOUD et al, 2008 p. 69)
Há casos em que algumas informações adicionais são coletadas com o
uso de metodologias externas como, por exemplo, questionários, entrevista
individuais ou em grupo realizadas em diversos momentos da aplicação da
sequência. Em nossa pesquisa, utilizamos uma entrevista com a orientadora
pedagógica. A intenção de se confrontar as informações obtidas na sequência
de atividades e no relatório de registro da experimentação com os dados
analisados e previstos na análise a priori é de gerar argumentos que
justifiquem e tentem explicar o desenvolvimento do experimento, em uma
posição favorável ou desfavorável ao ocorrido. Assim o relatório da fase de
experimentação torna-se um recurso de suma importância durante a fase de
análise, por isto deve obter o máximo de detalhes.
Em suma, a análise a posteriori de uma sessão é um conjunto de
resultados que se possa tirar da exploração dos dados recolhidos, dados que
23
contribuem para a melhoria do conhecimento didático que se têm sobre a
transmissão do conhecimento em questão. A análise a posteriori tem como
objetivo relacionar o que foi observado, com auxilio dos relatórios ou outros
métodos externos durante a fase de experimentação, com os objetivos
desenvolvidos na análise a priori e registrar a regularidade dos fenômenos
didáticos que foram identificados. Portanto, esta fase depende das ferramentas
teóricas ou técnicas utilizadas durante a coleta dos dados na fase da
experimentação.
A fase de validação é realizada durante todo o processo de elaboração e
aplicação da pesquisa, no confrontamento dos dados obtidos nas análises a
priori e a posteriori, podendo ser verificado a confirmação das hipóteses que
foram levantadas inicialmente na pesquisa. Essa fase do nosso projeto se
apoiou sobre todos os dados colhidos durante a experimentação constante das
observações realizadas em cada sessão de ensino, bem como das produções
dos alunos em classe. Finalmente, foi da confrontação das análises a priori e a
posteriori que validamos as hipóteses levantadas no inicio da engenharia.
Consideramos que a Engenharia Didática é uma metodologia de pesquisa que
proporciona um constante retorno aos objetivos e a validação das conjecturas,
atendendo assim a intenção desta pesquisa. E ainda, podemos afirmar que
esta metodologia de pesquisa pode ser utilizada por outras disciplinas, não se
restringindo apenas a Educação Matemática.
As seções de nosso estudo tomam como base as etapas da Engenharia
Didática, descritas anteriormente, por este motivo a primeira seção apresenta
as análises prévias; a segunda seção a concepção e a análise a priori; a
terceira seção descreve a experimentação; a quarta seção apresenta a análise
a posteriori e validação, e finalmente a quinta seção em que constam as
considerações finais.
24
1. AS ANÁLISES PRÉVIAS
Esta seção apresenta os resultados das análises prévias que
consistiram das informações produzidas que foram estudadas e analisadas. A
partir da qual construímos um referencial teórico, que fundamentou as
categorias proporcionando a identificação dos problemas no ensino em relação
ao nosso objeto de estudo, e delineamos as questões e as escolhas da
sequência didática desenvolvida na investigação.
A seguir será apresentado um levantamento de estudos sobre o ensino
da Função Exponencial e Logarítmica, e uma pesquisa de campo sobre o
processo de ensino aprendizagem da Função Exponencial e Logarítmica, tanto
para professores de matemática, quanto para os discentes do 1º ano do Ensino
Médio.
1.1. DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DAS FUNÇÕES
EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Realizamos um levantamento histórico sobre o desenvolvimento das
funções, em especial as Funções Exponenciais e Logarítmicas, elencando a
maior quantidade de informações sobre o tema, para que após análise, possam
auxiliar tanto na produção como na aplicação das atividades. Além, de
promover uma melhor compreensão sobre o objeto de estudo.
A ideia de funcionalidade não é um tema recente, pois partindo de sua
necessidade o ser humano passou a relacionar uma pedra para cada animal
podendo assim associar esta situação a uma relação funcional.
Iniciamos a retrospectiva histórica a partir da concepção das Funções.
Sobre isso, Sá et al (2003, p.124) “podemos citar os babilônicos que
construíram tabelas de argila, e para cada valor da primeira coluna existia um
número na segunda [...]”. Iniciamos o Estudo sobre a história das Funções
com a sua representação tabular, que data de quatro mil anos, quando os
Babilônios estabeleceram tabelas sexagesimais de quadrados e raízes
quadradas, de cubos e raízes cúbicas, e assim por diante. E ainda, os egípcios,
25
de maneira semelhante aos Babilônios, construíram também tabelas, que
segundo Boyer (apud Sá, 2003 p. 124) “apresentavam resultados de
investigação empírica, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram
resultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais
complicados.” O uso da idéia de dependência entre variáveis, ainda que de
maneira empírica, estava relacionado às necessidades diárias de cada povo.
Outro exemplo, citado por Sá et al (2003, p. 124) é o do povo árabe, em seu
método de formação dos intervalos musicais, que era baseado na relação
algébrica do comprimento da corda no som fundamental, para então as
músicas serem representadas sob a forma de Funções Explícitas ou Implícitas.
Babilônios, Egípcios e Árabes já possuíam seus registros sobre a
dependência de variáveis cotidianas. Dentre os gregos, Mendes (1994, p.12)
cita Ptolomeu mostrando que “Ele utilizou tabelas envolvendo a função da
corda do arco x, ou crd x, mas sem fazer referência a palavra função.” Ainda
entre as ideias funcionais gregas temos a ideia dos symptons, que eram a
condição necessária para que um ponto pertencesse a uma curva, Apolônio e
Arquimedes chegaram a utilizá-la. O primórdio da representação gráfica das
Funções surgiu em meados de 1360, com Nicole Oresme (1323-1382) com um
trabalho intitulado de “Tractatus de Latitudinibus Formarum”, utilizando as
latitudes das formas (de latitudinibus formarum) desenvolvidas no “Merton
College” em Oxford. Sobre esse trabalho, Sá et al (2003) afirma que:
Tractatus de Latitudinibus Formarum, feito por um discípulo ou até por ele mesmo, seria o resumo de uma obra maior do próprio Oresme, Tractatus de Potentiarum et os problemas utilizando métodos mais gerais. (SÁ et al, 2003, p. 124)
A pesquisa de Oresme foi retomada por Galileu Galilei (1564 – 1642),
porém adquiriu o formato gráfico pelas mãos de Pierre de Fermat (1601 –
1665) e René Descartes (1596 – 1650). A representação algébrica das
Funções possui seu desenvolvimento vinculado a Fermat e Descartes a partir
dos novos processos algébricos e recursos simbólicos, ocasionados pelo
desenvolvimento da álgebra, o que possibilitou a René Descartes apresentar
um conceito de Função, com uso destes novos recursos. Mais tarde surgia a
primeira notação algébrica com François Viète (1540-1603), aproximadamente
em 1564, que iniciou um processo de evolução da matemática através dos
estudos baseados em parâmetros e variáveis.
26
Uma vogal, para representar uma quantidade suposta desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados (BOYER, 1974, p.13).
Ciro Braga (2006, p.18) afirma que: “num lapso de cinqüenta anos
emerge a Geometria Analítica e em mais outros cinqüenta o Cálculo
Infinitesimal”. Este Cálculo foi fundado por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –
1716), filosofo alemão, que introduziu o termo “Função”, em 1694, nos seus
textos. Assim o conceito de Função foi sendo desenvolvido por diversos outros
matemáticos. Leibniz contribuiu ao introduzir o termo matemático “Função”
com significado puramente geométrico, como a inclinação da curva ou um
ponto especifico da mesma, relacionadas a uma curva. No século XVII para
descrever uma função foi utilizado por Leonhard Euler (1707 – 1783) uma
expressão que descrevia vários argumentos, ou seja, y = F(x).
A história das Funções Exponenciais inicia pelos Babilônios, em função
de deterem uma primeira forma de registro em tabletas de argila.
“[...] podemos citar os babilônicos que construíram tabelas em argila, e para cada valor na primeira coluna existia um número na segunda, que era o resultado da multiplicação do número da primeira por uma constante. (SÁ, 2003 p. 3).
Os babilônios utilizavam um sistema sexagesimal, de base 60, com a
origem incerta. Existem tabelas de argila que constam potências sucessivas de
um dado número, estas se aproximavam muito em semelhança da nossa atual
tabela logarítmica, ao se referir a este assunto Boyer (2003) confirma que
foram encontradas tabelas exponenciais em que se pode observar as dez
primeiras potências para diferentes bases. Continha vários problemas
descritos, sendo que um deles perguntava: a que potência se deve elevar certo
número dado para que se obtenha um determinado número como base. Este
método, conhecido como interpolação linear, pode ser percebido num problema
prático encontrado em uma tableta, que pergunta quanto tempo levaria certa
quantia em dinheiro para dobrar, a vinte por cento ao ano.
A resposta dada é 3;47,13,20. Parece inteiramente claro que o escriba usou interpolação linear entre os valores para (1,12)3 e (1,12)4, usando a fórmula para juros compostos a = P.(1+ r)n , onde r é 20 por cento ou 12/60, e tirando valores de uma tabela exponencial com potências de 1;12.(BOYER,1974, p.21)
27
Assim, apesar dos Babilônios não terem constituído, oficialmente, os
logaritmos e as equações exponenciais percebemos que possuíam grande
domínio nas operações, em seu sistema sexagesimal.
Na obra Psammites, podemos perceber a contribuição de Arquimedes
para os logaritmos e exponenciais. Nela Arquimedes trabalhava com números
extensos, e afirmava poder escrever números superiores aos grãos de areia
para encher o Universo, daí a tradução do título de sua obra ser “contador de
areia”. O mais interessante é sua citação nessa obra, segundo Boyer.
[...] Arquimedes mencionou, muito incidentalmente, o princípio que mais tarde levou à invenção dos logaritmos – a adição das “ordens” dos números (o equivalente de seus expoentes quando a base é 100.000.000) corresponde a achar o produto dos números. (BOYER, 1974, p.86)
Com isso percebemos que por causa do seu trabalho que objetivava
escrever números imensos, Arquimedes formou o princípio de Logaritmo.
Da França, surge uma obra intitulada Triparty em la science des
nombres, em pleno período da Renascença, escrita por Nicolau Chuquet (1445
– 1500) que utilizou notações exponenciais de grande importância, desde
expoentes iguais a zero e expoentes negativos. Essas representações, ainda
não estabelecidas como conhecemos hoje, auxiliaram em resolver alguns
problemas com divisão, e ainda a elaborar tabelas em potência de dois, que se
assemelham com as tabelas de logaritmos atuais.
[...] potência das quantidades desconhecidas eram representadas por um expoente associado aos coeficientes dos termos. Assim, a.x
b, por
exemplo, era representado por.ab. Além disso, ele trabalhava com
expoentes iguais a zero e também negativos de forma que, um número da forma ax
-b era representado como .a
bm. Esta notação revelou-se útil
na medida em que desvelava as regras entre coeficientes e expoentes. Ele foi capaz de efetuar a divisão de 72x por 8x
3, fornecendo como
resultado 9x-2
[...] (SANTOS, 2008 p. 15) Sua observação sobre relações entre as potências do número dois se relacionam com essas leis, os índices dessas potências sendo colocados numa tabela de 0 a 20, em que as somas dos índices correspondem aos produtos das potências. Exceto por serem grandes as lacunas entre as colunas isso seria uma tabela de logaritmos em miniatura. Durante o século seguinte observações semelhantes às de Chuquet seriam repetidas várias vezes, e certamente tiveram um papel na invenção dos logaritmos. (BOYER, 1974, p.190)
Então, na estrutura da matemática, com o passar do tempo, foram se
firmando conceitos que se tornariam relevantes para a invenção dos
Logaritmos. Assim a mente criativa dos homens do século XVI seria
28
influenciada por ideais provenientes dos Babilônios até o período da
Renascença.
De acordo com Santos (2008):
Inicialmente é importante destacar que o conceito que está associado aos logaritmos está intimamente ligado ás potências e, em particular, às seqüências geométricas. Assim, consideramos relevante tomar “invenção” dos logaritmos como um marco na história da matemática. (SANTOS, 2008 p. 15)
O matemático suíço Leonhard Euller (1707-1783) com seus os estudos
sobre o cálculo infinitesimal publicou duas obras: “Introductio in Analysin
Infinitorum” e “Institutiones Calculo Differentiales”, respectivamente em 1748 e
1755. Sobre essas obras:
É na primeira dessa obra que se encontram a famosa fórmula de Euler para a exponencial de um imaginário puro, que tem como caso particular famosa identidade de Euler que relaciona os dois números irracionais mais conhecidos, o pi e o número de Euler, com o número imaginário puro e o número real -1 (esta identidade tem sido considerada uma das mais belas expressões matemáticas de todos os tempos). (FIOLHAIS, s/d p.6)
Euler apresenta a exponencial de um imaginário puro, promovendo o
desenvolvimento e consolidação das Funções Exponenciais. Assumindo uma
importância que perdura até os dias atuais. Assim se estabeleceu a Função
Exponencial como ferramenta de cálculo e modelo interpretativo de situações
cotidianas. Contudo durante nossas pesquisas, mais especificamente no
trabalho de Castro (2010), tomamos conhecimento de uma origem fictícia da
Função Exponencial.
“Um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo passatempo, um jogo, que pudesse lhe entreter. O melhor passatempo teria direito a realizar qualquer desejo. Assim um dos súditos forneceu-lhe o jogo de Xadrez. O rei ficou maravilhado, portanto cumpriu sua promessa. O súdito, autor do jogo, fez seu pedido: “Cada uma das 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez devem ser preenchidas com moedas de ouro, seguindo as seguintes condições: na primeira casa será colocada uma moeda, e nas casas seguintes o dobro da casa anterior”. E assim se fez. Porém, para surpresa do rei quando o tesoureiro do reino lhe apresentou a conta final, pois apenas na última casa o total de moedas era 2
63, correspondente a aproximadamente
9.223.372.000.000.000.000. Sem esquecer que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. Retratando assim a Função Exponencial, y = 2
x.”
Sobre a Função Logarítmica temos que, no inicio do século XVI e XVII,
em meio ao desenvolvimento náutico, os cálculos da Astronomia e Navegações
eram atribulados, detinham de grande trabalho e tempo.
29
A evolução do comércio, as descobertas de terras desconhecidas e o financiamento das grandes expedições marítimas necessitavam cada vez de mais matemática e de uma matemática melhor. O conceito de função e os algoritmos aritméticos satisfaziam em parte esta demanda, mas não eram suficientes. (SCHREINER, 2009, p.1)
Para que houvesse uma simplificação nos cálculos surgiram às
primeiras tábuas de logaritmos, criadas por Jost Bürgi (1552 – 1632) e Jhon
Napier (1550 – 1617). Onde, Mendes & Soares (2008, p.53) explicam que: “Os
quadrinhos de Napier eram tábuas de multiplicação montadas sobre barras de
secções quadradas”. Tornando assim cálculos um pouco mais rápidos.
Essa maravilhosa invenção de Napier foi entusiasticamente adotada por toda a Europa, revolucionando cálculos úteis à navegação e a astronomia (MENDES & SOARES, 2008 p. 55)
Assim, percebemos a importância das tábuas de logaritmos. De acordo
com Mendes & Soares (2008), os logaritmos de Napier surgiram da seguinte
maneira:
Imaginemos os pontos C e F percorrendo respectivamente o segmento AB e a semi-reta DX, partindo ao mesmo tempo do ponto A e do ponto D, com a mesma velocidade inicial, admitamos ainda que, numericamente, a velocidade de C seja dada sempre pela medida de CB e que a velocidade de F seja constante; Nessas condições Napier definiu como Logaritmo de X=CB o número y=DF. Assim, explicitamente, nesse conceito não intervém a idéia de base. Mas
pode-se provar que y=107log1/e
𝑥
10 . A potência 10
7 surgi aí porque N
apier considerava AB = 107” (MENDES & SOARES, 2008, p.65)
Como os logaritmos de Napier não tinham bases foram necessários
quase vinte anos para que se pudessem explorar os princípios do seu trabalho
em termos geométricos, resultando numa publicação intitulada “Mirifici
logaritmorum canonis descriptio” em 1614, traduzida como “Descrição da
maravilhosa lei dos logaritmos”. Em seguida, aperfeiçoada por Henry Briggs
(1561 – 1631) que apresentou os logaritmos decimais e alterou o logaritmo de
1 para 0 e o logaritmo de 10 para uma potência conveniente de 10, criando
assim os logaritmos Brigssianos, ou seja, os logaritmos de base 10.
Em 1615, Briggs visitou Napier na Escócia, para discutir sobre os
logaritmos. Briggs apresentou a proposta de utilização da potência de 10, e
Napier propôs a construção de uma tabela, onde log1=0 e log10=1, afim de
que pudessem evitar frações. Porém, em 1617 Napier faleceu, restando assim
a Briggs a construção da primeira tabela de logaritmos comuns, ou Logaritmos
30
Briggsianos. Para a construção da tabela Briggs valeu-se da idéia de Napier,
vinda da relação entre P.A. e P.G., logo:
1 2 10 Progressão Aritmética
100 10
n 10
1 Progressão Geométrica
Fonte: Mendes & Soares (2008, p. 68)
De acordo com a tabela 100 < n < 101, então 0 < log2 < 1. Assim, Briggs
passou a trabalhar com média geométrica entre os extremos.
A fundamental contribuição dos Logaritmos na facilitação dos cálculos foi
a de transformar as multiplicações em adições e divisões em subtrações. Com
uso das suas propriedades operatórias:
loga (x.y) = loga x + loga y
loga 𝑥
𝑦 = loga x – loga y
Tais descobertas aumentaram a capacidade dos Cálculos no campo da
Astronomia e da Navegação. Portanto:
Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos „duplicou‟ a visão dos astrônomos, alusão ao fato de que o trabalho dos cálculos diminuiu tanto com a introdução dos logaritmos que os astrônomos poderiam produzir o equivalente ao que poderiam produzir antes, se pudessem viver duas vidas. (LIMA 1991 apud, DANTE 2008 p. 134).
Então os logaritmos foram criados com a intenção de simplificar as
trabalhosas operações aritméticas, no século XVII. Tais aplicações perduraram
até serem vastamente superadas pelas calculadoras eletrônicas. A função
Exponencial juntamente com sua inversa a função logarítmica, permanecem
como umas das mais importantes ferramentas matemáticas. Se antes, no
século XVII, os matemáticos as achavam importantes pela rapidez e eficiência
nos cálculos, hoje os matemáticos acham que as funções exponenciais e
logarítmicas ocupam a posição central na Análise Matemática.
A partir do levantamento histórico e com base em nossa metodologia de
pesquisa, necessitamos construir informações acerca do ensino e da pesquisa
das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para isto desenvolvemos a sessão
a seguir.
31
1.2. ESTUDOS SOBRE O ENSINO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E
LOGARÍTMICAS: PANORAMA E PERSPECTIVA
Durante a fase ou etapa metodológica das Análises Prévias,
examinamos pesquisas relacionadas ao objeto de estudo, o ensino das
Funções Exponenciais e Logarítmicas. Os trabalhos a seguir foram coletados
em bancos de dados online, de suas respectivas Instituições, além de alguns
pertencerem ao acervo da Biblioteca “Paulo Freire” da Universidade do Estado
do Pará, localizada na cidade de Belém. Pesquisas são apresentadas no
quadro abaixo:
Tabela 1 – Estudo sobre o ensino das funções exponenciais e logarítmicas
NATUREZA DO
TRABALHO
AUTOR (ES) TEMA Evento/Instituição/ Periódico
Minicurso Schreiner (2009)
“Função Logaritmo: Uma abordagem a partir da história da Matemática”
X EGEM
Minicurso Cardoso (2012) “Construindo as Funções Logarítmicas e Exponenciais por meio do GeoGebra”
Actos de la Conferencia
Latinoamericana de GeoGebra – Uruguay
Artigo Breunig & Gabbi (2011)
“Ensino da Função Exponencial e o jogo de xadrez” II CNEM e IX EREM
Artigo Pinheiro & Santana (2011)
“Contextualização Histórica e aplicação de Logaritmos e exponenciais”
III EREM
Artigo Santos & Bianchini (2012)
“Analise das estratégias utilizadas pelos estudantes no estudo das Funções Exponenciais e
Logarítmicas”
VIDYA
Artigo Fonseca (2013) “Estudo epistemológico do conceito de Função: uma retrospectiva.”
XI ENEM
Artigo Freitas & Almouloud (2013)
“Representação sobre Função Exponencial” XI ENEM
Artigo Santos (2013) “Funções Exponenciais e Logarítmicas: um estudo por meio de uma sequência didática”
XI ENEM
Artigo Silva & Andrade (2013)
“Compreensão de ideias essenciais ao ensino-aprendizagem de Funções via resolução, preposição e exploração de problemas”
XI ENEM
Artigo Queiroz (2013) “Os logaritmos nos livros didáticos de matemática: análise da abordagem na perspectiva da Educação
Matemática.”
XI ENEM
Artigo Pereira & Oliveira (2013)
“Das origens dos logaritmos ao uso da régua de cálculo no ensino da matemática.”
XI ENEM
Especialização Sá (2005) “Um mapeamento do ensino de funções exponenciais e Logarítmicas no ensino básico”
UFF
Especialização Santos (2008) “Uma proposta alternativa para o ensino das funções exponenciais e logarítmicas no ensino
médio”
UFF
Especialização Castro (2010) “O ensino da Função Exponencial por meio de atividades”
UEPA
Dissertação Araújo (2005) “A concepção de um software de matemática para auxiliar na aprendizagem dos alunos da primeira
serie do ensino médio no estudo das funções
PUC – SP
32
exponenciais e logarítmicas”
Dissertação Dominoni (2005) “Utilização de diferentes Registros de representação: Um estudo envolvendo Funções
Exponenciais”
UEL
Dissertação Ferreira (2006) “Uma seqüência de Ensino para o estudo de logaritmos usando a Engenharia Didática”
Centro Universitário Franciscano – Santa
Catarina – RS
Dissertação Braz (2007) “Uma proposta de utilização de material manipulativo no aprendizado da Função
Exponencial”
UFRPE
Dissertação Angiolin (2009) “Trajetórias Hipotéticas de aprendizagem sobre Funções Exponenciais”
PUC – SP
Dissertação Pereira (2010) “Abordagem das Funções exponenciais e logarítmicas numa perspectiva conceitual e gráfica
no Ensino Médio”
PUC–MG
Dissertação Brucki (2011) “O uso da modelagem no ensino da Função Exponencial”
PUC – SP
Dissertação Santos (2011) “O Ensino da Função Logarítmica por meio de uma sequência didática ao explorar suas
representações com uso do software geogebra”
PUC – SP
FONTE: Pesquisa Bibliográfica (Agosto/2011)
Encontramos em nossa análise trabalhos disponibilizados via Online. Os
trabalhos foram analisados e estudados, tendo em vista: objetivos,
metodologia e questões de pesquisa. A seguir oferecemos um resumo dos
trabalhos analisados.
Entendemos que a divisão por categorias facilita a compreensão do
cenário das pesquisas realizadas acerca do Ensino das Funções Exponenciais
e Logarítmicas. As categorias definidas são: estudos diagnósticos, que são
os trabalhos que identificaram e analisaram as dificuldades percebidas nos
alunos durante o processo ensino-aprendizagem da Função Exponencial e
Logarítmica; estudos experimentais, compostos por trabalhos que propõe e
realizam atividades para o Ensino da Função Exponencial e/ou Logarítmica; e
estudos teóricos categoria composta por trabalhos que propõem alguns
conceitos e idéias “novas” sobre o Ensino da Função Exponencial e/ou
Logarítmica.
1.2.1. ESTUDOS DIAGNÓSTICOS
Os estudos diagnósticos são os estudos que analisaram e identificaram
algumas das dificuldades dos alunos durante o processo ensino-aprendizagem
da Função Exponencial e Logarítmica.
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O trabalho de Sá (2005) possui a seguinte questão motivadora: “Será
que o estudo da variabilidade das funções reais é desenvolvido no ensino
básico de matemática?”, com objetivo de mapear como o estudo das funções
exponenciais e logarítmicas é desenvolvido no ensino básico de matemática, o
autor procurou observar de que modo o estudo da variabilidade dessas funções
é realizado, e para isso utilizou o mapeamento de livros didáticos. Para Sá
(2005) a escolha do livro didático como fonte para a produção dos mapas foi
feita porque o “livro didático constitui a principal fonte de apoio para a ação.”
A metodologia utilizada pelo autor sofre influências do sociólogo
Boaventura Santos, que utilizou o mapeamento no terreno da epistemologia,
partindo deste mapeamento dos livros didáticos para analisar como é abordado
o ensino de função exponencial e logarítmica no ensino básico de matemática.
O autor acredita na busca da compreensão de fenômenos naturais para a
evolução da ciência. E acrescenta sobre os livros mapeados:
O mapeamento dos livros didáticos que fizemos nos revela, em primeiro lugar, a ausência quase completa do estudo da variabilidade das funções exponencial e logarítmica. Abordam o assunto com a predominância de um viés algébrico, sendo as definições dessas funções introduzidas normalmente através de suas formulas algébricas. Cabe ressaltar, entretanto, que em alguns mapas podemos perceber que há, mesmo que sucintamente, idéias que analisam “timidamente” o comportamento variacional destas funções. (SÁ, 2005, p. 47)
Acusando assim o excesso do uso de álgebra com pouca preocupação
na compreensão cotidiana de fluência e interdependência das grandezas, o
autor preza pela resolução de equações ou inequações, problemas e
construção de gráficos e levanta a seguintes indagações: “qual deveria ser
então o papel da resolução de problemas no ensino de funções? Que tipo de
problema ajudaria a desenvolver o estudo da variabilidade de funções reais?”
Onde obteve a seguinte resposta:
Temos experiência que, no nosso dia-a-dia, os problemas que surgem não vêm com formulas ou gráficos que facilitem sua resolução, e sim, com “quantidades variáveis” como tempo, lucro, temperatura, peso, população, preço, ou qualquer outra grandeza que possa ser quantificada numericamente. Como podemos “enxergar” a função no emaranhado de informações fornecidas no enunciado do problema? A resposta parece simples: só “enxergaremos” a tal função se possuirmos instrumentos para identificar como uma grandeza varia em relação à outra. (SÁ, 2007 p.52)
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O autor, portanto, concluiu que as funções exponenciais e logarítmicas
não estão sendo abordadas de maneira que o homem possa utilizá-las para
compreender os problemas de seu mundo, sugerindo, por isso, uma
abordagem sobre o estudo das Funções exponenciais e logarítmicas voltada
para sequências numéricas.
Outro trabalho relevante é o de Dominoni (2005), que possui as
seguintes questões motivadoras: “Existem fatores que podem contribuir para
a aprendizagem? Como identificá-los?”, tendo como objetivo investigar a
utilização dos diferentes registros de representação para a aprendizagem da
Função Exponencial. O autor apresentou a Engenharia Didática como
metodologia de pesquisa escolhida por ser “mais adequada ao estudo
qualitativo dos aspectos dos processos de ensino e aprendizagem referentes à
construção do conceito de Função exponencial, desenvolvida por meio de uma
seqüência didática”.
Dominoni (2005) ainda utilizou como sujeitos de sua pesquisa: 27
alunos, na faixa etária de 13 a 15 anos, do ensino médio de uma escola
particular da cidade de Arapongas, escolhida pelo fato de a professora
pesquisadora estar atuando na instituição. Os alunos foram distribuídos em
duplas, totalizando doze e um trio, mas foram consideradas apenas oito duplas
na pesquisa. Ao final da Seqüência Didática era esperado pela autora que os
alunos fossem capazes de: reconhecer a Função Exponencial nos registros de
linguagem natural, algébrica, tabular e gráfica; compreender os procedimentos
de tratamento nos diferentes registros; realizar o procedimento de conversão
entre os diferentes registros; compreender o conceito de Função Exponencial,
e suas diferentes propriedades e identificar situações problemas que pudessem
ser descritas por uma Função Exponencial. Uma análise global indicou que a
maior dificuldade percebida foi no contexto da conversão do registro algébrico
para o registro gráfico.
O que se pode observar em atividades dos alunos é que algumas vezes, o registro gráfico não corresponde ao registro algébrico em virtude do uso inadequado das escalas para as variáveis dependentes e independentes. (DOMINONI, 2005 p. 104)
O autor percebeu que por muitas vezes o livro didático é o único recurso
do disponível por ele. Apesar do professor, apresentar para os alunos, os
diferentes registros de representação da Função Exponencial, mas enfatizam
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somente a identificação da função nos diferentes registros e o tratamento, e
não enfatizam com a mesma intensidade a conversão e a coordenação entre
eles. E ainda observou que apenas as conversões e coordenações entre
registros, para o aluno, não ocorrem de maneira espontânea. E após analisar o
desenvolvimento de seu trabalho, oferta uma sugestão para próximas
pesquisas no campo do ensino de função, que utilizem a sua sequência a partir
de novas perspectivas dentro do conceito da função exponencial.
Então podemos perceber que estes estudos apontam para uma
dificuldade que os discentes possuem na leitura gráfica, podemos inferir uma
possível dificuldade na leitura e construção dos registros das funções.
O trabalho de Santos & Biachini (2012), intitulado: “Análise das
estratégias utilizadas pelos estudantes no estudo de Funções Exponenciais e
Logarítmicas”, na categoria de artigo, apresentou o seguinte objetivo:
apresentar alguns resultados da pesquisa realizada com estudantes do 3º ano
do Ensino Médio que visa o ensino das Funções Logarítmicas utilizando o
software GeoGebra, e tais resultados foram obtidos através da aplicação de
uma sequência de atividades com base no software GeoGebra.
O trabalho apresentou as dificuldades dos alunos, em meio a aplicação
das atividades. Dentre as dificuldades observadas as autoras destacam:
De modo geral, podemos dizer que as principais dificuldades que surgiram foram no tratamento numérico e algébrico, principalmente no momento em que foi solicitado para que completassem as tabelas, pois eram necessários conhecimentos prévios sobre as propriedades das potências. Esse fato já havíamos constatado em outras pesquisas realizadas sobre esta temática. (SANTOS & BIANCHINI, 2012 p. 47)
Percebemos, que os alunos que participaram da experimentação nas
pesquisas, da qual as autoras relatam em seu artigo, apresentam dificuldade
correspondente ao uso e formação da tabela, e ainda no caráter numérico e
algébrico. A partir das dificuldades relatadas, as autoras comentam sobre a
importância do professor utilizando novas tecnologias em sala de aula, e ainda,
da importância à formação continuada.
Assim, podemos concluir que nosso objetivo foi alcançado, pois gostaríamos de mostrar que a função logarítmica é a inversa da exponencial e todas as duplas demonstraram ter abstraído essa noção, entretanto, sabemos que o conceito de função inversa é um conteúdo complexo e deve ser mais explorado ao longo do Ensino Médio, priorizando a conversão entre os registros de representação. (SANTOS & BIACHNI, 2012 p. 46)
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O resultado relatado foi promovido por uma nova postura no ensino da
Função Logarítmica, e assim as dificuldades iniciais dos alunos foram
superadas.
Queiroz (2013) apresenta um artigo de sua pesquisa sobre a
abordagem dos logaritmos nos livros didáticos de Matemática do Ensino Médio,
utilizada pelas escolas publicas da Bahia. O resultado apresentado no artigo,
de acordo com o autor, é parcial. O autor apresenta alguns fatos históricos
sobre o desenvolvimento dos Logaritmos, como por exemplo: “No século XVIII,
este estudo deu suporte ao inglês Leonard Euler, que apresentou a
demonstração no número irracional e constatou que diversos fenômenos
naturais apresentavam logaritmos cuja base é este número”. Em seguida, o
autor apresenta sua perspectiva, com base nas leituras de Machado (2007),
sobre os livros didáticos que são indicadores das atividades desenvolvidas em
sala de aula.
Sobre os livros didáticos utilizados, o autor desta:
Para a realização deste estudo, destaco os livros didáticos do ensino médio: volume 1 da coleção Matemática Contexto & Aplicações, de autoria de Luiz R. Dante, editado pela Ática em 2006, e o volume 1 da coleção Matemática Ciência e Aplicação, de autoria de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze Almeida, editado pela Atual em 2008. Estes livros estão entre os que foram amplamente adotados pelas escolas públicas da Bahia, na primeira década do século XXI. (QUEIROZ, 2013 p.2)
Para analisar os livros o autor, analisa os tópicos de logaritmo a partir da
reflexão sobre a resolução de problemas, de acordo com os Parâmetros
Curriculares Nacionais.
O autor comenta sobre o desenvolvimento histórico do Logaritmo,
partindo da necessidade de simplificação dos cálculos, valendo-se das teorias
de John Napier (1550-1617), Henry Brigss (1651 -1630) e Leonard Euller
(1707-1783). E sobre a perspectiva história em sala de aula, Queiroz (2013)
afirma que:
Grande parte da matemática escolar tem sua origem em problemas que surgiram num determinado contexto histórico. Assim, sua apresentação no meio escolar deve considerar também estes aspectos, até para mostrar que a matemática foi desenvolvida a partir de necessidades para facilitar a vida das pessoas e favorecer o avanço das ciências na sociedade e, não apenas apresentar aos alunos o produto formalizado. (QUEIROZ, 2013 p.5)
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Queiroz (2013) apresenta, na sua perspectiva, o objetivo do livro didático.
Portanto, cabe aos livros didáticos de matemática apresentar os logaritmos e desenvolver conceitos, propriedades e gráficos por meio da resolução de problemas a partir de aplicações práticas e relacionadas com outras ciências como a física, a química, a biologia e outras. Isto poderá influenciar os professores a seguirem uma nova forma de abordar tal conteúdo. Assim, a qualidade do texto matemático que é dada pelo o livro didático irá interferir diretamente na apresentação que é dada pelos professores na sala de aula para os alunos. (QUEIROZ, 2013 p. 6)
Sobre os logaritmos nos livros didáticos analisados, Queiroz (2013) defende que:
Os livros são do ensino médio, o volume 1, Matemática Contexto & Aplicações, livro A, e o volume 1, Matemática Ciência e Aplicação, livro B. Podemos verificar que na apresentação do tópico de logaritmo do livro A, ocupam 33 páginas no capítulo 8. Consta uma discussão considerando aspectos históricos do surgimento dos logaritmos e indicando situações problemas em que estes são aplicados. Em seguida, para definir os logaritmos é apresentado um problema de crescimento populacional da América Latina, que pode ser interpretado a partir de ciências como a economia, a geografia e outras, o que mostra um aspecto interdisciplinar do conteúdo. No problema citado, o autor apresenta uma construção de como resolver e chega a uma equação exponencial com as bases distintas, cuja solução só é possível mediante aplicação dos conceitos e propriedades dos logaritmos. A seguir, o conteúdo é definido e apresentado numa perspectiva lógico-dedutiva sendo apresentado em termos algébricos formais, incluindo exemplos resolvidos para os alunos. Após a apresentação das propriedades, obedecendo à mesma lógica abordagem, alguns problemas enfocando biologia e química e o da apresentação do assunto, são resolvidos, como exemplos para uma série de exercícios problemas para o aluno. A função é apresentada mediante a construção de gráficos, mas não faz nenhuma relação dos gráficos com algum problema. (QUEIROZ, 2013 p. 10) No livro B, o tópico de logaritmos é apresentado em 30 páginas, também no capítulo 8. O autor introduz o conteúdo a partir de um problema envolvendo a desvalorização do valor em relação ao tempo de um caminhão e apresenta uma construção da resolução semelhante à do livro A, chegando também à uma equação exponencial com bases distintas. A seguir o autor define o logaritmo e suas propriedades a partir de uma perspectiva lógico dedutiva. Ao apresentar as propriedades, apenas um problema enfocando a química é resolvido. Na função o autor utiliza um problema de um rendimento mensal numa caderneta de poupança, embora não apresente o gráfico. A função é apresentada como uma relação de pares ordenados e gráficos sem nenhuma relação com problemas. No tópico de equação, um problema enfocando a escala Richter é discutido para apresentar as equações exponenciais de bases diferentes. As equações e as inequações logarítmicas são resolvidas do ponto de vista lógico matemática, não envolvendo nenhuma situação problema. É apresentada uma nota histórica, onde consta uma abordagem que favoreça a compreensão dos logaritmos a partir de um elemento gerador, como por exemplo, uma progressão aritmética e outra geométrica, que a comparação entre as duas gera o conceito de
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logaritmo. Também é incluída uma análise sucinta dos logaritmos de Briggs, dos decimais e dos neperianos. (QUEIROZ, 2013 p. 11)
Assim o autor indica que os livros didáticos necessitam de uns ajustes
nas abordagens dos logaritmos no que se refere a articulação de conceito e
propriedades com a resolução de problemas.
[...] é importante que os autores destes livros e os docentes, percebam que a apresentação dos conteúdos matemáticos relacionados a problemas, quando bem articulados e apresentados, levam o estudante a adquirir entusiasmo e admiração pela matemática, a ponto de se interessar por questões também teóricas, que exibem ideias ou fatos interessantes em si mesmo, independente de aplicações práticas. (QUEIROZ, 2013 p. 13)
O autor considera, portanto, que o livro didático é um recurso de
influência na formação dos professores desta ciência.
Salientamos que estes estudos contribuíram com nossa pesquisa no
sentido de revelar a necessidade do desenvolvimento de estratégias e
utilização de outros recursos teóricos e metodológicos para o ensino da Função
Exponencial e Logarítmica, reforçando a ideia de se trabalhar o tratamento
numérico e algébrico com o intuito de promover descobertas nos alunos, assim
como utilizar as atividades e jogos como recursos pedagógicos no ensino das
Funções Exponenciais e Logarítmicas. Estas informações foram importantes
para a construção e adaptação de nossas sequência didática, a partir das
dificuldades dos alunos, percebidas e destacadas nesses estudos. Em seguida,
analisamos os estudos da categoria estudos experimentais, com o objetivo de
compreender as atividades voltadas para o Ensino da Função Logarítmica e
Exponencial.
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1.2.2. ESTUDOS EXPERIMENTAIS
Categoria composta por trabalhos que propõe e realizam atividades
voltadas para o Ensino da Função Exponencial, objetivando superar uma
dificuldade e/ou aumentar a eficácia do processo ensino aprendizagem.
Araujo (2005) apresentou em sua pesquisa a seguinte questão
motivadora: “Em que medida a utilização de um software como ferramenta
didática no estudo de conteúdos matemático relacionados com as Funções
Exponenciais e Logarítmicas contribui na aprendizagem do aluno?”, e teve
como objetivo conceber um software que auxiliasse a aprendizagem de
funções logarítmicas e exponenciais. A pesquisa consistiu-se em entrevistas
com professores de Ensino Fundamental e Médio da rede pública e privada da
cidade de São Paulo, com aplicação de atividades elaboradas a partir das
necessidades apresentadas pelos professores. Araujo (2005) fundamentou-se
nas propostas de Papert (1960) e Ganier et al (1996) sobre o construcionismo
(conjunto de ideias ou de uma teoria que estuda o desenvolvimento e o uso da
tecnologia, em especial o computador, na criação de ambientes
computacionais), pois defende a utilização do software pelo dinamismo
promovido. O autor aplicou um questionário a vinte e sete professores do
ensino Fundamental e Médio da rede pública e privada de São Paulo. Justificou
a pesquisa englobando professores do nível fundamental, afirmando que nas
series iniciais o aluno já apresenta dificuldade em operações como a
potencialização.
Araujo (2005) percebeu que o uso do software trouxe mudanças na
postura dos alunos frente às atividades, durante a aplicação de cada atividade
o autor notou a troca constante de ideias entre as duplas formadas, além das
atividades resolvidas sem pedido de auxílio, que se tornaram motivo de orgulho
entre os alunos.
O trabalho de Ferreira (2006) também utilizou uma sequência de ensino
para as funções logarítmicas. A sua pesquisa possuiu a seguintes questões
motivadoras: “Existem fatores que podem contribuir para a aprendizagem?
Como identificá-los?”. Com objetivo de investigar a utilização dos diferentes
registros de representação para a aprendizagem da Função Exponencial. A
metodologia de pesquisa utilizada foi a Engenharia Didática, fundamentada na
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Didática da Matemática. As atividades da sequência didática foram elaboradas
visando à participação de alunos, da então, 1° série do Ensino Médio do
Colégio Militar de Santa Maria, no Rio Grande do Sul. O autor observou que as
aulas realizadas no laboratório de informática com o uso do software Winplot,
de construção gráfica, permitiram o desenvolvimento da competência para
interpretação gráfica, e ainda a compreensão da Função Logarítmica como
inversa da Exponencial. Assim, a pesquisadora concluiu que as sequências
tornaram a aprendizagem do conceito de logaritmo mais significativa.
A pesquisa de Braz (2007) utilizou materiais manipulativos, como: EVA e
Torre de Hanói, no ensino da função exponencial através de uma seqüência de
atividades. Possuiu como questão motivadora “O uso de uma seqüência com
material manipulativo, contendo uma variável que cresça ou decresça
exponencialmente, usado como recurso didático, pode favorecer ao aluno na
compreensão da modelagem e do comportamento de uma função
exponencial?”. Com objetivo de investigar o uso do material manipulativo no
aprendizado da Função Exponencial. A técnica utilizada na seqüência de
atividades é a de dobra de papel de origem oriental. A sequência de atividades
consistiu em três roteiros. No primeiro, Braz (2007) utilizou EVA com 2mm de
espessura e a medida que o cortava e empilhava as partes, media e anotava
em tabela. No segundo, aplicou a Torre de Hanói, e no terceiro uma atividade
com três problemas impressos relacionando crescimento e decrescimento.
O autor concluiu que há uma necessidade de trabalhar em sala de aula
com questões contextualizadas utilizando os materiais manipulativos e,
considerou pertinente apresentar uma proposta de construção e gestão de um
banco de sequência de atividades interdisciplinares sobre o tema. Braz (2007)
ainda sugeriu que devem ser produzidos trabalhos que se apropriem de uma
situação problema com auxilio do material manipulativo.
Santos (2008) apresenta uma pesquisa voltada para uma proposta de
Ensino das Funções Exponenciais e Logarítmicas, intitulada: “Uma proposta
alternativa para o Ensino de Função Exponencial e Logarítmica no Ensino
Médio”, que possui a seguinte questão motivadora: “Que tipo de problemas
ajudariam a desenvolver o estudo da variabilidade de funções reais e, em
particular, das funções exponenciais e logarítmicas?”, entrelaçada ao objetivo
de “propor uma abordagem diferenciada para o ensino das funções
41
exponenciais e logarítmicas no contexto do ensino médio, preocupando-se com
as idéias de variabilidade e fluência.” O trabalho de Santos (2008) apresenta
duas etapas, a primeira etapa, que se subdivide em três níveis: numérico - com
o auxílio das planilhas, gráfico - auxiliado pelo Geogebra, e o algébrico. A
segunda etapa, que apresenta um conjunto de atividades do tipo modelagem
matemática, onde os alunos devem definir o modelo que melhor representa as
situações.
No primeiro capítulo, Santos (2008) apresenta as considerações
históricas e matemáticas a respeito das Funções Exponenciais e Logarítmicas,
o capítulo é subdividido em quatro sessões, tomando como relevância o
período histórico. Iniciando com os Babilônios até Fermat, e as definições
formais das Funções em questão. No segundo capítulo, busca um referencial
teórico com base em documentos oficiais, como Paramétros Curriculares
Nacionais, além de levar em consideração os obstáculos epistemológicos e os
aspectos acadêmicos. No capítulo três, Santos (2008) apresenta a proposta
didática, com as suas atividades, organizadas em ordem cronológica. No
Capítulo final, são apresentadas as suas conclusões e resultados alcançados,
percebidos a partir da análise das atividades.
Em sua conclusão, Santos (2008) afirmou que:
[...] é essencial o estudo do comportamento variacional das funções reais na educação básica, visto que o conceito de função é um dos elos de ligação entre diferentes assuntos dentro da própria matemática, além de desempenhar um papel central em outras áreas do conhecimento como ferramenta para a compreensão de certos fenômenos e representação das variações dos mesmos. Além disso, a dificuldade recorrente no ensino médio e superior volta a ser o de se explicitar a função associada a um problema, o que também justifica nossa preocupação com este trabalho. (SANTOS, 2008 p. 55)
Percebemos no comentário do autor a dificuldade que os alunos sentem
em explicitar a lei da função com base em um problema, modelando uma
relação algébrica entre as variáveis que interpretam matematicamente a
situação apresentada.
Castro (2010) apresentou um trabalho com as seguintes questões
motivadoras: “Qual a viabilidade do ensino da Função Exponencial por meio
de atividades?”, com o objetivo de avaliar a viabilidade do ensino da função
exponencial por meio de atividades e uma metodologia baseada na Técnica
da Redescoberta. As atividades foram aplicadas em uma escola municipal de
42
Ananindeua-PA, em cinco encontros com alunos de uma turma de 8ª série, que
ainda não haviam estudado Função Exponencial. Usou um Pré-teste,
Atividades e Pós-teste para analisar os resultados.
A autora afirma, em suas conclusões que:
[...] a metodologia utilizada nessa pesquisa é válida para essa turma estudada, pois promove a interação do aluno com o professor e com o conhecimento, contribuindo, assim, para a formação do conhecimento de Função Exponencial (CASTRO, 2010, p. 32)
Percebemos com isso, que Castro (2010) conseguiu responder sua
questão motivadora, com uma nova proposta para o Ensino da Função
Exponencial.
Pereira (2010) apresentou uma pesquisa sobre Função Exponencial e
Logarítmica, que teve como finalidade estudar uma abordagem numa
perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio, com a seguinte questão
motivadora: “Como uma seqüência didática pode facilitar o entendimento do
conceito e a interpretação gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas?”
e com o objetivo de estudar o comportamento gráfico e o conceito das funções
exponenciais e logarítmicas.
Foram elaboradas atividades em sequência didática. As atividades
referentes à sequência didática contemplaram problemas envolvendo as
Ciências Biológicas e a Matemática Financeira. Pereira (2010), em suma,
concluiu que:
A metodologia usada na elaboração e desenvolvimento das atividades, nas quais se tem variadas perguntas, levou o estudante a questionamentos para orientação de seu estudo de forma atuante e participativa, como agente de sua aprendizagem. (PEREIRA, 2010, p. 101)
Para o autor ao aplicar as atividades, o mesmo conseguiu avaliar um
bom desempenho dos estudantes quanto à compreensão do conceito de
Função exponencial e logarítmicas. E ainda sugeriu que as futuras pesquisas
reutilizem seu material a partir das modificações presentes no caderno de
atividades em anexo na pesquisa.
Brucki (2011) traz uma pesquisa inserida no campo da Modelagem
Matemática, intitulada: “O uso da Modelagem no ensino de Função
exponencial”. Que propõe uma atividade de modelagem para o Ensino da
Função Exponencial, e a relação entre o modelo algébrico, da Função, com o
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Termo Geral da Progressão Aritmética. O objetivo foi “analisar o efeito da
modelagem no ensino”. No primeiro capítulo, Brucki (2011) comentou sobre o
surgimento, a concepção inicial e a aplicação da Modelagem Matemática na
sala de aula, apresentou os cuidados que deviam ser tomadas pelo professor
ao optar por tal metodologia. No segundo Capítulo, apresentou os fundamentos
teóricos e epistemológicos utilizados na pesquisa, debruçado na Teoria da
Aprendizagem Significativa, além de descrever todos os passos na execução
das atividades, inicialmente de forma empírica, e explorar a Engenharia
Didática como metodologia de pesquisa. No capítulo três, apresentou as
atividades utilizadas, e algumas adaptadas, oferecidas nos livros didáticos, e
no material da Secretária de Educação de São Paulo - Caderno do Aluno 2011.
Os sujeitos da pesquisa foram alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma
escola publica estadual de São Paulo.
Brucki (2011) realizou as análises a priori, conforme as análises das
atividades e dos resultados obtidos. Os resultados apresentados em sua
pesquisa são:
[...] a utilização da modelagem no ensino pode ser realizada em qualquer escola desde que o professor se disponha a isso, mas não é uma tarefa simples. Isso porque são exigidas do professor e do aluno um comprometimento com a produção do conhecimento. (BRUCKI, 2011 p. 118)
Nas considerações finais, Bucki (2011) concluiu que a modelagem
possibilita, além de uma aprendizagem reflexiva, uma conexão crítica entre o
conteúdo matemático e os problemas vinculados a situações reais.
Santos, A. T. C (2011) apresenta em sua pesquisa intitulada “O Ensino
da Função Logarítmica por meio de uma sequência didática ao explorar suas
representações com o software GeoGebra”, com o objetivo de “elaborar,
aplicar e analisar uma sequência didática que envolveu o tema função
logarítmica utilizando o software GeoGebra como estratégia pedagógica”. No
primeiro capítulo, são apresentados: a delimitação do problema, o objetivo, a
justificativa e a motivação para a execução da pesquisa; em seguida, os
sujeitos da pesquisa que foram estudantes do ultimo ano do Ensino Médio da
cidade de São Paulo, constituindo o capítulo dois.
O trabalho utiliza como referencial metodológico, o pressuposto da Engenharia
Didática segundo Artigue, além da Representação Semiótica para aos
44
diferentes registros algébricos, numéricos, gráficos, em língua materna e os
Processos de Pensamento Matemático Avançado. No capítulo três, os estudos
preliminares apresentaram a análise dos documentos oficiais, pesquisas
referentes ao Ensino das Funções Logarítmicas e o desenvolvimento histórico
das mesmas. No capítulo cinco, são apresentados os procedimentos
metodológicos em que consta entrevista com os professores dos alunos
envolvidos na pesquisa, e ainda a análise a posteriori das quatro sessões de
experimentação. Depois de analisar a produção dos alunos, a pesquisadora
percebeu que eles detinham dificuldade na transição dos registros da Função
Logarítmica. E a partir do relato dos participantes, o uso do software, e a
descoberta por meio da investigação, promoveram uma melhora. Concluindo
que o ensino com auxilio computacional promove resultados positivos. A
pesquisadora conclui comentando sobre a necessidade percebida durante seu
experimento:
É necessário que o professor escolha situações-problema que contemplem situações que possibilitem ao aluno a oportunidade para investigar, elaborar e testar hipóteses, conjecturas e assim tornar possível a generalização e abstração de um conceito matemático. (SANTOS, A. T. C. 2011 p. 194)
Percebemos que esse método possibilita ao aluno, ser ativo do processo
ensino aprendizagem, criticar e analisar as situações aplicadas.
Schreiner (2009) apresenta um minicurso intitulado “Função
Logarítmica: Uma abordagem a partir da História da Matemática”, com o
objetivo de criar tabelas a partir da seguinte premissa:
Quer-se encontrar uma função, expressa numa tabela, que transforme multiplicação em soma e que transforme um número positivo diferente de 1, digamos 4, em 1”. Inicialmente investigarão em que valores serão transformados os números 16, 64, 256, os números 1, 2, 8, 32 e os números 0,5 e 0,25. Procura-se, então, estimar em que valor será transformado o número 3 e o número 5 e verifica-se, se estas estimativas são coerentes com as propriedades da função, a qual deve transformar produto em soma. Com auxílio de uma calculadora científica procura-se estimar esses valores até três ou quatro casas decimais. Uma vez compreendido o processo de estimar esses valores, completar-se-á a tabela para qualquer número desejado.( SCHREINER, 2009 p. 5)
A partir da criação destas tabelas, os participantes deveriam comparar
com as tabelas de logaritmos, com bases diferentes. A atividade promoveria
uma nova abordagem, que o autor afirma alcançar mais eficácia que a
tradicional apresentada nos livros didáticos.
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No trabalho, de acordo com Breunig & Gabbi (2011), intitulado “Ensino
da Função Exponencial e o jogo de Xadrez”, que possuía o objetivo de
“desenvolver no aluno a interpretação de uma situação-problema, estimular a
investigação, reconhecer sequências numéricas e a partir destas, desencadear
situações de generalização. Além disso, estabelecer a lei que expressa uma
função exponencial a partir da observação de uma tabela, relacionar os blocos
de conteúdos de geometria (progressão geométrica) e álgebra”. Foi motivado
por um bloco de matéria voltado ao segundo ano do Ensino Médio, elaborado e
desenvolvido no componente curricular Prática de Ensino V: Matemática no
Ensino Médio, do curso de Matemática da UNIJUÍ. Dentro do bloco foi
contemplado o tema: Função Exponencial, por meio de uma atividade que
utilizou o jogo de Xadrez, com auxilio de outros recursos didáticos como:
Questionário, calculadora cientifica, cartolina, régua e grãos (esses últimos
para confecção dos tabuleiros de Xadrez.
A apresentação do problema foi realizada a partir de um breve teatro,
seguida de um questionário sobre a temática:
Para desenvolver a atividade de ensino, busca-se seguir a ordem do questionário supracitado, sendo este, composto por quatorze questões, a seguir propostas e analisadas, considerando as possibilidades de solução. (BREUNIG & GABII, 2011 p. 8)
Durante a aplicação os autores relataram ter a necessidade de se
introduzir uma nova questão para despertar os alunos.
Para despertar a curiosidade, propomos a questão quatorze, na qual, o aluno é incentivado a pesquisar na Internet sobre o assunto e compartilhar em sala de aula. Podemos identificar a escrita do número por extenso da seguinte forma: Dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões e seiscentos mil grãos de trigo. (BREUNIG & GABII, 2011 p. 8)
Na conclusão, os pesquisadores declararam que:
Pode-se perceber a importância da utilização de diferentes recursos e metodologias de ensino, com enfoque à investigação Matemática e manipulação de materiais. Ao realizar tais atividades, o professor possibilita ao aluno um maior envolvimento e compreensão significativa dos conceitos matemáticos. (BREUNIG & GABII, 2011 p. 8)
Percebemos assim a necessidade dos professores em utilizar o material
manipulativo, buscando novas alternativas de ensino para auxiliar na
compreensão dos conceitos Matemáticos.
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Cardoso (2012) ministrou um minicurso, na Conferência
Latinoamericana de GeoGebras, sobre a construção das Funções logarítmicas
e exponenciais com o uso do software GoGebra. Seu objetivo era introduzir
através software: o logaritmo natural de um número real positivo, o número de
Nepper “e”, e a função exponencial. Castro (2007) decidiu ministrar um curso
que permitisse uma nova postura para introduzir as definições de Função
Logarítmica e Exponencial, pois a autora questionou a forma como é
apresentada a definição de Função logarítmica e exponencial, onde Castro
(2007) afirma que:
No Brasil a função Logarítmica, no Ensino Médio, em geral, é definida como segue: “Se chamarmos de base um número a tal que L(a) = 1, a função L: IR+ → IR, tal queL(x) = y se, e somente se, ay = x, é chamada de Função Logarítmica”. Essa maneira deconceituar a função Logarítmica tem uma série de inconvenientes (CASTRO, 2012 p. 2)
Santos (2013) apresentou os resultados obtidos em sua pesquisa no XI
ENEM – Encontro Nacional de Educação Matemática, que tinha como objetivo
apresentar resultados de uma pesquisa realizada junto a seis alunos do 3º ano
do Ensino Médio. O trabalho é produto de uma pesquisa de nível acadêmico de
mestrado a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, e com o
objeto de estudo Função Exponencial e Logarítmica.
A pesquisa foi realizada com alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma
escola pública do Estado de São Paulo, para ensinar funções exponenciais e
logarítmicas Santos (2013) utilizou o software GeoGebra. A sequência levou
em considerações as orientações curriculares que apontam dois sentidos,
como é descrito por Santos (2013) quando diz “matemática como ferramenta
para entender a tecnologia e a tecnologia como ferramenta para entender a
matemática”.
O autor utiliza Dreyfus (1991, apud SANTOS, 2013) para comentar
sobre o Pensamento matemático Avançado, explicitando a importância de
como o tópico é abordado.
O Pensamento Matemático Avançado consiste em uma listagem de processos tais como a representação, visualização, indução, análise, observação, classificação e síntese são processos componentes em interação. É importante que o professor de matemática esteja consciente desses processos para que compreenda algumas das dificuldades que os estudantes possam vir a enfrentar. (SANTOS, 2013 p. 3)
47
O autor comentou sobre a metodologia utilizada, detalhando as etapas
metodológicas da Engenharia Didática. Apresentando todas as fases
correspondentes metodologia de pesquisa e vinculando as ações realizadas
em cada fase.
O autor tratou detalhadamente sobre a análise dos resultados obtidos
em sua pesquisa demonstrando o que foi realizado em cada sessão de
aplicação.
As análises de cada sessão foram realizadas com base nos registros de
uma dupla, denominada pelo autor como D1. A dupla a partir de uma
Sequência Numérica, conteúdo estudado no 1º ano do Ensino Médio, notou
que as diversas multiplicações pelo fator três estavam relacionadas ao
expoente e não a base.
Santos (2013) destaca um fato ocorrido durante a aplicação:
Não previmos em nossa análise a priori que alguma dupla utilizasse como estratégia para resolução da atividade os conteúdos de Sequência Numérica e Progressão Geométrica que eles estudaram no 1º ano do Ensino Médio para solucionar a situação-problema. (SANTOS, 2013 p. 6)
O autor demonstrou que apesar do planejamento existiram fatos não
programados. Mas, apesar disso o objetivo foi parcialmente atingido durante a
realização da atividade com a dupla.
Nas considerações finais, o autor declara que:
Entendemos que o professor de Matemática, ao propor atividades aos seus alunos necessita ter conhecimentos de quais processos cognitivos podem favorecer a aprendizagem, e como apresentar aos estudantes conteúdos matemáticos que possibilitem o desenvolvimento desses processos e contribuam com a aprendizagem. Procuramos propor atividades que possibilitassem o desenvolvimento dos Processos do Pensamento Matemático Avançado à luz de Dreyfus (1991) e foi norteada pelos pressupostos da Engenharia Didática.(SANTOS, 2013 p. 14)
Santos (2013) percebeu a dupla evoluiu e alcançou eficientemente os
resultados pleiteados pelo pesquisador.
O autor apresentou a dificuldade de conceber uma sequência didática, e
acrescentar novos recursos didáticos como a calculadora. Para tanto, Santos
(2013) concluiu que a formação continuada do professor é importante, pois
contribui para o nosso crescimento profissional e consequentemente refletirá
na aprendizagem dos nossos alunos.
48
Silva & Andrade (2013) apresentaram um trabalho oriundo de uma
pesquisa de nível acadêmico de mestrado, que traz como pergunta
norteadora: "Que compreensões podemos evidenciar de ideias essenciais de
funções por alunos, desenvolvidas na aplicação de um conjunto de atividades
em situações-problemas? Quais as contribuições da metodologia de ensino-
aprendizagem de Matemática via resolução, proposição e exploração de
problemas, aliada ao uso de representações múltiplas, no estudo de funções?"
Os autores comentaram sobre os quatro modos de representação
essenciais à compreensão do ensino-aprendizagem de funções, debruçados
em Friedlander e Tabach (2001, apud Silva & Andrade 2013), onde:
1. Representação verbal é geralmente usada para apresentar um problema. Mas, o uso da linguagem verbal pode gerar dificuldades inerentes à língua materna. 2. Representação numérica frequentemente precede qualquer outra representação. Entretanto, sua falta de generalidade pode ser uma desvantagem. 3. Representação gráfica é eficaz em proporcionar uma imagem clara de uma função de variável real. Mas, as representações gráficas podem não ter a precisão necessária dependendo da escala adotada. 4. Representação algébrica é concisa, geral e efetiva. Contudo, um uso exclusivo de símbolos algébricos pode causar obstáculos à aprendizagem significativa em Matemática. Cada uma dessas representações possuem vantagens e desvantagens na sua utilização. (SILVA e ANRADE, 2013 p. 3)
Os autores comentaram sobre o pensamento funcional, inerente ao
estudo das Funções no Ensino Médio, empregando assim a ideia de
covariação entre grandezas. Os alunos precisam desenvolver esta habilidade.
A metodologia de pesquisa adotada é a pesquisa qualitativa, foi
realizada em uma Escola Pública Estadual de Pernambuco na cidade de Recife
com uma turma de primeiro ano do Ensino Médio. A amostra continha um total
de 27 encontros, totalizando 41 horas de todos estes os autores selecionaram
dois encontros, e suas analises são apresentadas neste trabalho.
Os autores apresentaram os problemas que foram utilizados nos dois
encontros:
Atividade 1: A secretária de uma escola de Ensino Médio precisa comprar dois tipos diferentes de produtos de escritório para a sala da diretoria. O primeiro produto tem preço unitário de R$ 5,00 e o segundo produto tem preço unitário de R$ 10,00. A secretária tem R$ 100,00 disponíveis para usá-lo na compra desses dois tipos diferentes de produto. Pede-se: A) Montem uma tabela mostrando a relação entre todas as quantidades possíveis na realização de uma compra incluindo esses dois tipos diferentes de produtos; B) Façam um esboço gráfico dessa relação entre essas duas quantidades;
49
C) Descrevam a equação que expressa quantidade de produtos de R$ 10,00 relacionados à quantidade de produtos de R$ 5,00; D) Determinem para quais valores numéricos está definida a quantidade possível na compra de produtos de R$ 5,00 nessa relação; E) Encontrem a variação dos valores para a quantidade possível na compra de produtos de R$ 10,00 nessa relação. (SILVA e ANRADE, 2013 p. 10) Atividade 2: Criem e resolvam um problema envolvendo o raciocínio exponencial. (SILVA e ANRADE, 2013 p. 10)
A duas atividades foram aplicada em sala. Na segunda atividade foi o
último encontro dos autores com os alunos participantes da amostra em
situação de pesquisa.
Nesta atividade, surgiu um dado novo que foi a exploração da criatividade na elaboração dos alunos dos seus próprios enunciados como propositores de problemas e não somente da criatividade deles na busca de estratégias de resoluções diferentes para o mesmo problema. Pedimos, após o término do trabalho de elaboração e resolução dos problemas, que os alunos nos entregassem suas produções a fim de que pudéssemos selecionar alguns trabalhos das duplas para participar de plenárias. Fazendo as defesas dos problemas por meio das suas enunciações para o grande grupo e expondo suas resoluções na lousa, tendo cada dupla selecionada, o direito de escolher um aluno da sua equipe para representá-los diante da turma. (SILVA e ANRADE, 2013 p. 10)
Os autores comentam sobre as suas intervenções, como pesquisadores,
e de maneira mais detalhada a intervenção sobre a estruturação da forma
algébrica da Função Exponencial. A mobilização dos alunos para a proposição
das três maneiras de representação da Função: verbal, numérica e algébrica.
Acentuando, que não ocorreu representação gráfica, que de acordo com os
autores iria exigir um domínio de um sistema de representação muito
complexo.
Nas considerações finais:
Dentre as cinco ideias essenciais de funções, podemos destacar as representações múltiplas de funções como ferramenta poderosa por excelência que perpassam por todas as formas de se fazer matemática via resolução, proposição e exploração de problemas. Portanto, no trabalho de resolver, elaborar e explorar problemas, os alunos, durante o desenvolvimento desta pesquisa, mobilizaram representações múltiplas de funções, garantindo assim um aprendizado mais significativo e enriquecedor. (SILVA e ANRADE, 2013 p. 15)
Apresentando as perspectiva das Múltiplas Representações como uma
ferramenta viável e eficaz para o ensino das Funções.
Pereira & Oliveira (2013) apresentaram os resultados da aplicação
experimental realizada por eles com a Régua de Cálculo, artefato histórico
50
originário da criação e uso dos logaritmos. Trabalho oriundo de algumas
pesquisas realizadas, e que a partir dos resultados gerados sentiu-se a
necessidade do uso do material manipulativo, no caso a Régua de Cálculo.
[...] atividades apresentadas por Mendes; Santos Filho e Pires (2011) as quais são destinadas ao trabalho com alunos do ensino fundamental. Com isso estamos delineando um bloco de atividades que traga em seu corpo uma abordagem histórica do desenvolvimento matemático que proporcionou a criação da régua de cálculo. (PEREIRA e OLIVEIRA, 2013 p. 2)
Os autores comentaram sobre a origem histórica dos logaritmos. tal
iniciada pelos estudos de John Napier (1550 – 1617), as implementações de
Briggs (1561 – 1631). Em seguida, os autores comentam sobre a origem
histórica da Régua de Cálculo.
Briggs como um dos professores, passa a utilizar as tábuas logarítmicas em suas aulas, porém apenas como um recurso para auxílio, e com este uso ele percebe que poderia automatizar a soma dos logaritmos de dois valores, onde estes seriam marcados em um pedaço de tábua e com um compasso de bicos para juntar os dois valores. (PEREIRA e OLIVEIRA, 2013 p. 5)
Tempos depois o matemático e clérigo inglês William Oughtred (1574 – 1660) que trabalha para aperfeiçoar a Linha de Números de Günter, passando a denominá-la régua de cálculo, visando auxiliar seus alunos nos estudos que utilizam cálculos aritméticos, desencadeando suas práticas de utilização e contribuindo para a criação de projetos como das máquinas a vapor, em virtude de facilitar e aumentar a precisão dos cálculos utilizados. O funcionamento da régua de cálculo de Oughtred ocorre da seguinte forma: eram demarcadas duas escalas logarítmicas em dois pedaços de tábua, onde cada pedaço continha uma escala, uma deslizava ao lado da outra, com suas escalas frente a frente, facilitando a operacionalização dos cálculos, evitando assim a necessidade do compasso de bicos. (PEREIRA e OLIVEIRA, 2013 p. 6)
Após as orientações históricas, os autores iniciam a discussão e
apresentam dois modelos de atividades, propostos por Mendes, Santos Filho e
Pires (2011, apud Pereira & Oliveira 2013) e é voltada para o ensino
fundamental.
Atividade 1: Construção da régua de cálculo Esta atividade é para ser desenvolvida por alunos do ensino fundamental, pois trata-se da elaboração do mecanismo que deu origem a régua de cálculo, no entanto esta construção está relacionada as operações básicas. Veremos a seguir o material necessário e passo a passo da atividade. Atividade 2: Construção da tabela logarítmica Esta segunda atividade deve ser desenvolvida com alunos do ensino médio, em especial os alunos da 1ª série do ensino médio, pois é neste nível de ensino que os alunos são apresentados aos logaritmos. O objetivo é a construção de uma tabela logarítmica a qual é representada em uma escala, partindo dela construiremos uma régua de cálculo,
51
capaz de efetuar cálculos simples, um primeiro esboço de como ficaria esta régua é mostrado na figura 10.
Pereira & Oliveira (2013) consideraram bastante válido a concretização
da experiência didática significativa das práticas históricas sobre a régua de
cálculo de Napier, buscando as experiências e os resultados apresentados nos
trabalhos de Napier (1550-1617), Burgi (1552-1632), Briggs (1561-1630) e
Oughtred (1574-1660). A proposta dos autores é de aplicar estas atividades na
Escola Estadual Governador Walfredo Gurgel, localizada em Candelária S/nº,
Natal-RN, em turmas de ensino fundamental II e médio.
Os estudos de Araujo (2005) e Santos, A. T. (2011) apresentaram o uso
do software, relatando a ocorrência de uma mudanças na postura dos alunos
frente às atividades. Braz (2007) trabalhou em sala de aula com questões
contextualizadas com uso de materiais manipulativos, e Santos (2008) em sua
pesquisa apresentou a dificultando que os alunos detém de explicitar a Função
com base em um problema. Os resultados de Deisiane (2010) com uso de
atividades para o ensino da Função Exponencial são positivos. Os estudos
apresentam em comum a constatação da eficiência e necessidade da
metodologia diferenciada para a facilitação da formação das ideias e conceitos.
Esta constatação reforçou nossa perspectiva de desenvolver uma metodologia
que vise à utilização de atividades estruturadas aliada ao uso de jogos. Estas
informações foram importantes para a construção e adaptação de nossas
sequência didática. Em seguida, analisamos os estudos da categoria estudo
teóricos, com o objetivo de analisar os aspectos conceituais acerca do Ensino
de Função Exponencial e/ou Logarítmica.
1.2.3. ESTUDOS TEÓRICOS
Esta categoria é composta por trabalhos que apresentaram aspectos
conceituais acerca do Ensino de Função Exponencial e/ou Logarítmica.
O trabalho de Angiolin (2009) apresentou como questões motivadoras:
“Que atuação pode ter um professor de Matemática, no que se refere às
atividades de planejamento do ensino do tema de funções exponenciais, de
forma compatível com a perspectiva construtivista de aprendizagem?”, “Como
52
compatibilizar a perspectiva Construtivista de aprendizagem referente a
funções exponenciais, com a planificação do ensino?” e “Como a pesquisa na
área de Educação Matemática, que trazem resultados importantes sobre
aprendizagem, podem contribuir para a organização de um ensino que
potencialize boas situações de aprendizagem dos alunos, no caso das funções
exponenciais?”, e com o objetivo de investigar como compatibilizar
perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação de ensino, no
caso particular de funções exponenciais.
A pesquisa foi realizada em uma escola pública de São Paulo, com dois
professores de Matemática envolvendo 77 alunos do primeiro ano do Ensino
Médio. A pesquisa possui o titulo de “Construção de trajetórias hipotéticas de
aprendizagem e implementação de inovações curriculares em Matemática no
Ensino Médio”, e que estava inserida na linha de pesquisa “Matemática
Estrutura Curricular e Formação de Professores” do Programa de Estudos Pós-
Graduados em Educação. E foi desenvolvida a partir de entrevistas e
discussões com professores no ambiente de trabalho, e desenvolvimento da
Teorias Hipotéticas de Aprendizagem (THA) em sala de aula.
Nas considerações finais, a autora, afirmou que o professor não poderá
ser um mero aplicador de atividades, das quais não conhece os objetivos nem
os fundamentos didáticos que as sustentam. Percebeu também que a turma na
qual o professor constantemente proporcionou um espaço maior de
comunicação em sala de aula criou-se um ambiente em que os alunos
puderam interagir mais com o professor e, consequentemente, com as
atividades, mostrando assim o caráter reflexivo do professor em relação o
aprendizagem do aluno.
Angiolin (2009) ao fim de seu trabalho ofertou para futuras pesquisas na
área indagações provenientes dos resultados obtidos:
Que conexões devem ser feitas com os conhecimentos que os alunos já têm? O que seria necessário trabalhar antes para que eles pudessem compreender o que estamos querendo comunicar? Como potencializar o uso de software nas atividades de investigação? (ANGIOLIN 2009, p. 129)
No trabalho de Pinheiro e Santana (2011) foram abordadas as origens
históricas das Funções Logarítmicas e Exponenciais, utilizando a história da
53
matemática e os matemáticos envolvidos como personagens para buscar
razões auxiliando a construção teórica desses conteúdos.
Os autores apresentam a origem dos Exponenciais e logarítmicos, e em
seguida a origem do número “e”. Por conseguinte, apresentam a aplicação à
utilização do Carbono 14. Na conclusão:
Foi mostrada neste trabalho a evolução histórica da teoria de logaritmos e exponenciais que desempenha um papel muito importante na Matemática e ciências aplicadas. A criação dessa teoria trouxe muito progresso e muitas aplicações foram descobertas com a utilização das funções logarítmicas e exponenciais. Também foi abordada a origem do número e e mostrada a aplicação das funções logarítmicas e exponenciais na cronologia pelo carbono 14. (PINHEIRO e SANTANA, 2011 p. 5)
Então o tratamento histórico das Funções Exponenciais e Logarítmicas,
foi medido por dificuldades operacionais impostas a partir das necessidades
sociais da época, por exemplo, as grandes navegações.
Fonseca (2013) apresenta um texto intitulado “Estudos epistemológicos
do conceito de Função: uma retrospectiva” que foi apresentado no XI ENEM
(Encontro Nacional de Educação Matemática) com o objetivo oferecer um
material didático, com o intuito de ajudar o professor a entender o contexto
epistemológico desse objeto matemático e suas contribuições para o ensino-
aprendizagem da matemática, desenvolvendo um modelo teórico-prático.
O texto é subdividido em três grandes eras: Antiguidade, Idade Média e
Período Moderno, onde são destacadas as contribuições de diversos
matemáticos para a construção do conceito de Função. O texto, inicialmente
apresenta quatros perspectivas sobre a noção de Função:
A noção de função para descrever situações de dependência entre duas
grandezas, a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e
graficamente.
Funções de uma, duas ou n variáveis, n ϵ IN, estudando suas
propriedades, e aplicações na resolução de problemas
interdisciplinares.
Na resolução de equações em que as incógnitas são variáveis de
funções;
Nos estudos da lógica matemática onde aparecem funções na forma
recursiva.
54
Sobre o livro didático Fonseca, et al (2013, p. 2) afirmam que “o conceito
de função nos livros de matemática do Ensino Médio é apresentado sob a
forma de uma sentença que relaciona grandezas”. O que nos remete a
indagação “quais foram as construções teóricas desenvolvidas ao longo da
humanidade que contribuíram para a formulação do pensamento moderno a
respeito de função?” Que se torna a questão motivadora da pesquisa, que
deu origem ao texto analisado.
Na Antiguidade, os autores apresentam os conceitos primitivos de
Função, partindo da noção dos Babilônios, destacando seus registros e sua
contribuição sobre a correspondência funcional. Apresentando também os
Egípcios que desenvolveram as noções iniciais partindo de suas necessidades
cotidianas, como: o preço do pão e da cerveja, a alimentação do gado, a
quantidade de grãos de trigo armazenados, entre outros. Assim o que
denominaram valor falso e valor verdadeiro.
Na Idade Média, apresenta as contribuições, na perspectiva gráfica, do
Bispo Nicolau de Oresme (1323-1382), que em suma, Oresme representou por
um ponto, cada instante de tempo (ou longitude) numa reta.
No Período Moderno, os autores destacam a significância do conceito de
Função relacionada ao Cálculo Algébrico. Partindo da contribuição de François
Viète (1540-1603), considerado o maior Matemático Francês do Século XVI.
Em seguida, o destaque é dado para René Descartes (1596-1650) filósofo e
matemático francês que propôs a utilização de um sistema de eixos para
localizar pontos e representar graficamente as equações. E apresenta as
consequentemente ao estudo de funções foi Newton (1642-1727). E por fim, os
autores mostram que foi Leibniz (1646-1716) no trabalho intitulado "O método
inverso das tangentes, ou em funções" (“Methodus tangentium inversa, de seu
de fonctionibus”), quem primeiro usou o termo "função" em 1673. E encerram
apresentando as contribuições de outros autores modernos para o conceito de
Função.
Nas considerações finais, os autores avaliaram que, dentre os
conteúdos da matemática do Ensino Médio, a formação de conceitos do campo
de Funções desempenha um papel fundamental na formação básica do
cidadão brasileiro.
55
Partindo das dificuldades apresentadas por muitos alunos na
formalização e entendimento do conceito de função e, nos desafios do professor em conseguir com que esses alunos compreendam tal conceito e saibam aplicá-lo na resolução de problemas, representações e análise gráfica, esse estudo, ainda em fase de construção, pretende contribuir para a construção significativa deste conceito; tendo como objetivo, auxiliar o professor de matemática a desenvolver um trabalho dinâmico, buscando alcançar o aprendizado dos alunos. (FONSECA, et al, 2013 p. 13)
O uso da história como metodologia de ensino pode aumentar a
eficiência do processo ensino-aprendizagem. O que nos leva a uma reflexão
sobre essa análise histórica como elemento facilitador para a compreensão do
conceito de Função.
Sobre o texto de Freitas & Almouloud (2013), que foi produto de uma
pesquisa empírica realizada pelos autores com estudantes de Licenciatura em
Matemática de uma universidade pública na Bahia. O principal objetivo da
pesquisa foi levantar dados, questionamentos e reflexões sobre o desempenho
dos estudantes a partir de uma sequência de atividades.
Os autores investigaram o desempenho de cinco estudantes de
licenciatura em Matemática de uma universidade estadual da Bahia, cursando
o 6° semestre da graduação. Os autores construíram uma sequência de
atividades, nas quais abordavam diferentes conceitos matemáticos
relacionados à função exponencial, onde as análises das produções dos
educandos foram realizadas a partir da Teoria dos Campos Conceituais
(Gerard Vergnaud) e dos Registros de Representação Semiótica (Raymond
Duval).
Os autores apresentam os conceitos e perspectivas referentes à Teoria
dos Campos Conceituais e os Registros de Representação Semiótica. Quanto
à sequência didática utilizada pelos autores era composta por três problemas
que foram adaptados de dois livros didáticos do Ensino Médio, aprovados pelo
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), 2012. As atividades foram
aplicadas, sem nenhuma consulta de material, apenas com o conhecimento
prévio de cada estudante.
As considerações finais, intituladas pelos autores de Resultados e
reflexões, apresentam:
Foi possível perceber que a respeito do conceito de função exponencial, os estudantes apresentam dificuldades para resolver os problemas que
56
exigem as conversões de registro de representação: figural para algébrico, algébrico para gráfico, além disso, confundem problemas de crescimento exponencial com linear. Outro aspecto importante obsevado, foi a dificuldade apresentada por eles em relatar, explicar, em linguagem natural as estratégias de resolução e as antecipações para agir em cada situação. Este fato também dificultou a análise dos esquemas mobilizados por eles. (FREITAS E ALMOULOUD, 2013 p. 16)
A pesquisa ainda está em andamento, fato destacado no texto, mas
percebemos que os resultados parciais são significativos para pesquisas na
mesma área, por apresentarem dificuldades dos alunos universitários, e que
pode ter origem em uma formação inicial debilitada.
Nessa perspectiva percebemos a necessidade de desenvolver em nossa pesquisa de mestrado situações de aprendizagem nas quais os estudantes possam resignificar os conceitos, reestruturar os esquemas, na construção de campos conceituais que dêem conta da função exponencial. FREITAS E ALMOULOUD, 2013 p. 16)
Portanto, percebemos a importância de se desenvolver novas
alternativas e métodos de ensino para a temática abordada.
A revisão desses estudos reforçou nossas observações enquanto
docentes a respeito das dificuldades que os alunos apresentam para aquisição
e domínio dos conceitos que envolvem a Função Exponencial e Logarítmica, e
apontaram para a possibilidade de sucesso do uso da sequência de atividades
e jogos para o ensino. Todavia, para melhor fundamentar nossas ideias e,
consequentemente, nossa pesquisa consideramos importante trazer para
compor nosso quadro teórico algumas reflexões mais específicas sobre o
ensino da Função Exponencial e Logarítmica em sala de aula. Então,
investigamos as dificuldades que os discentes e docentes sentem à respeito do
processo ensino aprendizagem da Função Exponencial e Logarítmica. Os
resultados destas investigações estarão dispostos a seguir.
1.3. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E
LOGARÍTMICAS SEGUNDO PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Realizamos a revisão de alguns estudos desenvolvidos nos últimos anos
referentes ao ensino e aprendizagem da Função Exponencial e Logarítmica, e
buscamos a opinião dos professores de matemática sobre o ensino da Função
Exponencial e Logarítmica.
57
Realizamos uma consulta aos professores de matemática que
lecionaram, ou lecionam o conteúdo de Função Exponencial e Logarítmica. A
produção das informações foi realizada por meio de um questionário (cf.
apêndice A) contendo questões referentes a formação inicial e continuada,
práticas docentes no ensino das funções exponenciais e logarítmicas, e as
dificuldades percebidas em relação aos discentes quanto ao aprendizado do
conteúdo.
O instrumento de pesquisa foi aplicado a 100 professores de
Matemática, da rede pública do Estado do Pará, atuantes em escolas na região
metropolitana de Belém durante os meses de Março a Junho de 2012. O
instrumento utilizado é objetivo com caráter quantitativo.
Nos estudos organizacionais, a pesquisa quantitativa permite a mensuração de opiniões, reações, hábitos e atitudes em um universo, por meio de uma amostra que o represente estatisticamente. Suas características principais são: - obedece a um plano pré-estabelecido, com o intuito de enumerar ou medir eventos; - utiliza a teoria para desenvolver as hipóteses e as variáveis da pesquisa; - examina as relações entre as variáveis por métodos experimentais ou semi-experimentais, controlados com rigor; - emprega, geralmente, para a análise dos dados, instrumental estatístico; - confirma as hipóteses da pesquisa ou descobertas por dedução, ou seja, realiza predições específicas de princípios, observações ou experiências; - utiliza dados que representam uma população específica (amostra), a partir da qual os resultados são generalizados, e - usa, como instrumento para coleta de dados, questionários estruturados, elaborados com questões fechadas, testes e checklists, aplicados a partir de entrevistas individuais, apoiadas por um questionário convencional (impresso) ou eletrônico.(TERENCE & FILHO, 2006 p. 3)
A opção por um instrumento quantitativo foi tomada a partir das
características apresentadas e, também, levando em consideração a amostra
estipulada de 100 professores, pois de forma qualitativa as análises dos dados
iriam tomar um tempo significativo.
O instrumento era disponibilizado de forma material, impresso em uma
folha de papel A4. Para aplicá-los fomos às escolas, das quais os professores
lecionavam e em Instituições de Ensino Superior onde os professores
realizavam sua formação continuada. O questionário (cf. apêndice A) era
composto por dois momentos. No primeiro momento, possuía cinco questões:
sendo sexo, idade, questões acerca de sua formação inicial e continuada, e
58
ainda, sobre sua carreira profissional: tempo de serviço e escola que
trabalhava se pública: estadual, municipal e/ou federal, ou privada. No segundo
momento, as questões perpassavam pelo processo ensino aprendizagem das
Funções Exponenciais e Logarítmicas, como: “você ensina Função
Exponencial do modo como aprendeu?”. Sempre trazendo as questões
semelhantes tanto a Função Exponencial, quanto a Função Logarítmica. A
seguir serão apresentados os resultados as informações produzidas, após o
tratamento estatístico.
Com relação à faixa etária dos professores, temos:
Quadro 1 – faixa etária dos professores de matemática
Faixa etária %
21-21 12
26-30 10
31-35 24
36-40 16
41-45 16
46-50 10
51-55 8
56-60 4
FONTE: Pesquisa de campo (Junho/2012)
Gráfico 1 – faixa etária dos professores de matemática.
FONTE: Pesquisa de campo (Junho/2012)
Na amostra, 24%, têm entre 31 e 35 anos, enquanto 4% que possuem
entre 56 e 60 anos. Sobre o intervalo dessa faixa etária temos que:
[...] na faixa etária entre 30 e 45 anos a importância relativa desta ocupação é constante, revelando apenas uma ligeira tendência à queda. Este resultado mostra que grande parte dos professores exerce esta ocupação por um período significativo do seu ciclo de vida profissional, caracterizando a profissão muito mais como uma opção de vida que como uma fase transitória para atingir outras ocupações, ou como uma ocupação a ser atingida depois de vários passos ocupacionais. (BARROS et al, S/d p. 4)
12% 10%24%
16% 16% 10% 8% 4%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
21-21 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 46-60
Faixa etária dos professores
59
Os critérios adotados para a escolha dos sujeitos foi que fossem professores graduados em matemática e que lecionassem ou já tivessem lecionando no 7º ano do ensino fundamental. [...] A maior parte deles, 67%, estava na faixa etária entre 21 e 40 anos e apenas 33% tinham mais de 40 anos, o que revelou um quadro relativamente jovem de professores atuando em algumas escolas de Belém. (SALGADO, 2011 p.73)
Não possuímos dados suficientes, e nem é o objetivo da pesquisa, mas
entendemos que a faixa etária dos professores nos níveis fundamentais é
menor do que no ensino médio. Assim, podemos inferir como hipótese que nas
amostras apresentadas em nossa pesquisa e na pesquisa de Salgado (2011)
que o ensino fundamental está funcionando como porta de entrada para o
mercado de trabalho. Enquanto que Paula (2011), que em sua pesquisa
realizada no ensino fundamental, também aplicou questionários a uma amostra
de 100 professores que lecionam no ensino fundamental, nos oferece outra
perspectiva sobre a faixa etária dos professores participantes de sua amostra.
Neste momento, verificamos a maior participação de professores com idades entre 21 a 30 anos, correspondendo a 40% dos professores consultados, nos fazendo perceber que está havendo uma mudança no quadro de professores, onde cada vez pessoas mais jovens estão optando pela carreira docente. (PAULA, 2011 p. 67)
Então, percebemos, a partir da citação de Paula (2011), em sua
perspectiva a idade relativamente jovem é ocasionada por novos acadêmicos
nos cursos de licenciatura, em especifico em Matemática. Mesmo assim, torna-
se coerente com nossa conjectura sobre o ensino fundamental ser uma porta
de entrada ao mercado de trabalho destes novos professores. As pesquisas de
Salgado (2011) e Paula (2011) apresentam para a produção das informações
um questionário objetivo contendo perguntas relacionadas as respectivas
temáticas de suas pesquisas.
Quanto ao gênero:
Quadro 2 – gênero dos professores
Gênero %
Feminino 32
Masculino 68
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 2 - gênero dos professores.
60
.
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Dos professores pesquisados em nossa amostra podemos observar que
existe um predomínio do sexo masculino, 68% do sexo masculino em contra
posição à 32% do sexo feminino. O que retrata o público que ingressa no curso
de licenciatura em Matemática.
Quanto ao tempo de serviço.
Quadro 3 – Tempo de serviço dos professores
Tempo de serviço %
1-5 20
6-10 22
11-15 22
16-20 14
21-25 14
26-30 8
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 3 – Tempo de serviço dos professores
. FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
32%
68%
Feminino Masculino
20% 22% 22%14% 14%
8%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30
Tempo de serviço como professor
61
Sobre o tempo de serviço, nossa amostra apresentou 20% entre 1 e 5
anos, 22%, tem entre 6 e 10 anos de docência, e a mesma porcentagem, 22%,
possuem entre 11 e 15 anos de exercício da docência, 14% tem entre 16 e 20
anos, e o mesmo percentual, 14% possui entre 21 e 25 anos, e a minoria, 8%
possui entre 26 e 30 anos de profissão. Portanto, podemos observar que a
maioria dos participantes da pesquisa possui uma considerável vivência em
sala de aula.
O trabalho de Salgado (2011) para professores que já lecionaram ou
lecionam no ensino fundamental apresentou:
Em relação ao tempo de serviço, foi verificado que 33% dos consultados tinham entre 1 e 5 anos de serviço e 12% tinham menos de 1 ano, revelando um número considerável de professores com pouca vivência docente. No entanto, a maioria (40%), tinha de 6 a 20 anos de serviço em sala de aula, o que significa que tinham experiência suficiente para avaliar as dificuldades dos alunos em relação a aprendizagem dos números inteiros em sala de aula. (SALGADO, 2011 p. 73)
Então, podemos inferir que o tempo de serviço de 33% dos professores,
no ensino fundamental que participaram da pesquisa de Salgado (2011), está
no intervalo de 1 à 5 anos. Em contra partida ao professores, no ensino médio,
que participaram de nossa amostra, apenas 22% tem esse tempo de serviço.
Então uma maior taxa de professores, segundo as amostras, possui pouco
tempo no ensino fundamental o que pode indicar uma inserção recente no
mercado de trabalho, e no ensino médio, de acordo com a amostra de
professores participantes, poucos apresentam o mesmo período, que
compreende de 1 à 5 anos, denotando que uma pequena parcela poder possuir
uma inserção recente no mercado de trabalho. E na pesquisa de Paula (2011),
sobre o tempo serviço temos:
Quando perguntados a respeito de seu tempo de serviço como professor de matemática, podemos analisar de acordo com a tabela acima que mais da metade dos professores possuem no máximo 5 anos de serviço na carreira docente, representando 67% da opinião dos professores consultados. (PAULA, 2011 p. 69)
Assim, as pesquisas de Salgado (2011) e Paula (2011) reforçam nossa
conjectura de que o ensino fundamental funciona como porta de entrada ao
mercado de trabalho.
Com relação à formação acadêmica:
Quadro 4 – percentual dos professores em relação a formação acadêmica.
Formação Acadêmica %
62
Graduação 32
Especialização 40
Mestrado 26
Doutorado 2
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 4 - percentual dos professores em relação a sua formação acadêmica.
. FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Assim, os dados revelam que 32% dos professores pesquisados
possuem apenas a graduação na área, 40% possuem especialização e 26%
com mestrado e 2% doutorado. Durante a aplicação de alguns questionários
fomos direcionados à encontrar os professores em seus cursos de pós-
graduação, ofertado pela Universidade Federal. O PROFMAT é um programa
de Pós-graduação stricto sensu para aprimoramento da formação profissional
de professores da educação básica, semipresencial, para professores em
exercício na rede pública. De acordo com o regimento do Programa, temos:
O PROFMAT é um curso semipresencial com oferta nacional, conduzindo ao título de Mestre em Matemática, coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e integrado por Instituições de Ensino Superior, associadas em uma Rede Nacional no âmbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB). O PROFMAT é um curso semipresencial com oferta nacional, conduzindo ao título de Mestre em Matemática, coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e integrado por Instituições de Ensino Superior, associadas em uma Rede Nacional no âmbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB). (PROFMAT)
Talvez, a grande procura ao programa PROFMAT seja ocasionada por
ser semipresencial, direcionado a estudo de conteúdos que os professores
lecionam, e terem apoio das escolas das quais são funcionários. Sobre a
formação continuada dos professores no ensino fundamental, com base nas
informações apresentadas por Salgado (2011), temos:
Todos os professores consultados possuíam graduação em licenciatura em Matemática, sendo que 56% foram graduados entre 2001 e 2010;
32%40%
26%
2%0%
20%
40%
60%
80%
100%
Apenas Graduação
Especialização Mestrado Doutorado
Formação acadêmica
63
58% estudaram em universidades públicas; 83% cursaram ou estavam cursando especialização em Educação Matemática; apenas 3% tinham mestrado e 1% doutorado, o que pode ser explicado pela dificuldade de acesso a um programa stricto sensu oferecido pelas instituições públicas de nossa cidade. (SALGADO, 2011 p. 73) Dando ênfase a escolaridade dos professores consultados, chamou nossa atenção, de forma positiva, que 77% dos professores possuem nível superior, o que nos remete dizer, que os professores atuantes na educação básica, em especial na disciplina de matemática, estão cumprindo a exigência da legalidade, necessária para atuar na carreira docente. Levando em consideração os níveis de pós-graduação, essa qualificação começa a decair primeiramente em se tratando de especializações onde apenas 21% destes professores possuem essa forma de formação continuada e menos ainda representado apenas 2% possuem mestrado, nos fazendo perceber a ausência desses professores da educação básica em cursos de pós-graduação sctrito sensu, acreditamos que seja pala disponibilidade de poucas vagas, o que reflete na alta concorrência para o ingresso nestes cursos. (PAULA, 2011 p. 68)
As percentagens de professores, do ensino médio participantes de
nossa pesquisa, que possuem formação continuada são superiores ao
percentual de professores, do ensino fundamental que participaram da
pesquisa de Salgado (2011) e de Paula (2011).
Quanto às instituições nas quais os professores trabalham:
Quadro 5 – instituições nas quais os professores trabalham
Instituições Professores
Somente em escolas públicas estaduais
61
Trabalham em escolas públicas estaduais e municipais
10
Trabalham em escolas públicas estaduais e federais
8
Trabalham em escolas públicas estaduais e privadas
21
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
64
Gráfico 5 - instituições nas quais os professores trabalham
. FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Então identificamos que 61% exercem atividade somente nas escolas
públicas da esfera estadual, 10%, além das estaduais, também nas municipais,
8% trabalham em escolas estaduais e federais, e 21% exercem atividade nas
escolas estaduais e privadas. A leitura das informações, durante a tabulação
dos dados, demonstrou que a maioria, 61%, dos professores apenas 47%
possuem pós-graduação.
A tabela a seguir mostra, partindo da opinião dos professores
pesquisados, quais os tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem na
perspectiva dos professores, nesta os professores de matemática podiam citar
mais de uma opção.
Tabela 2 - dificuldade de aprendizagem, segundo professores de matemática
Conteúdo Você costuma
ministrar?
Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
SIM Não Muito Fácil
Fácil Regular Difícil Muito Difícil
Definição da Função Exponencial 100% 30% 60% 10%
Estudo do Gráfico da Função Exponencial
100% 20% 70% 10%
Domínio e Imagem de uma Função Exponencial
100% 60% 20% 10%
Equação do tipo: 2x= 64 100% 10% 50% 30% 10%
Equação do tipo: 2x
+ 2x-1
+ 2x-2
+ 2x-
3= 128
100% 20% 10% 60% 10%
Equação do tipo: 42x
+ 5.4x + 6 = 0 90% 10% 10% 40% 30% 20%
61%
10% 8%
21%
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Somente em escolas públicas
estaduais
Trabalham em escolas públicas
estaduais e municipais
Trabalham em escolas públicas
estaduais e federais
Trabalham em escolas públicas
estaduais e privadas
Instituições nas quais os professores trabalham
65
Inequação exponencial 80% 20% 10% 40% 30% 30%
Condições de existência de um Logaritmo
90% 10% 20% 70% 10%
Logaritmo de um produto 100% 20% 80% Logaritmo de um quociente 100% 50% 40% 10% Logaritmo de uma potência 100% 10% 70% 20% Equação do tipo: 2
x= 5 90% 10% 10% 30% 50% 10%
Mudança de base 80% 20% 10% 50% 10% 30% Cologaritmo 18% 82% 10% 18% 72% Definição da Função Logarítmica 70% 30% 20% 20% 60% Estudo do Gráfico da Função Logarítmica
80% 20% 20% 50% 10% 30%
Relação Gráfica entre Função Logarítmica e Exponencial
100% 10% 60% 30%
Domínio e Imagem de uma Função Logarítmica
100% 10% 50% 30% 10%
Equação do tipo: Log3 x = 5 80% 20% 10% 20% 10% 60% Equação do tipo: Log2(x+1) + Log2(x-1) = 1
90% 10% 10% 40% 60%
Equação do tipo: Log x-1 3 = 2 90% 10% 60% 30% 10% Equação do tipo: 2Log x = Log 2x – log 3
90% 10% 10% 60% 40%
Sistema de Equações Logarítmicas 90% 10% 10% 60% 10% 20% Inequação Logarítmica 20% 80% 30% 70% Situações-problema envolvendo função exponencial em que é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
30% 70% 30% 40% 30%
Situações-problema envolvendo função exponencial em que não é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
80% 20% 20% 10% 20% 70%
Situações-problema envolvendo a necessidade de interpretação do gráfico da função exponencial.
40% 60% 20% 20% 60%
Situações-problema envolvendo função logaritmo em que é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
90% 10% 10% 20% 70%
Situações-problema envolvendo função logaritmo em que não é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
80% 20% 10% 20% 70%
Situações-problema envolvendo a necessidade de interpretação do gráfico da função logaritmo.
80% 20% 10% 20% 70%
FONTE: Pesquisa de Campo (Junho, 2012).
A partir da Tabela 2, podemos perceber que os tópicos que envolvem
situações-problema, equações do tipo: Log3 X = 5, cologaritmo e inequação
logarítmicas aparecem como mais difíceis dos alunos aprenderem, segundo os
professores participantes da pesquisa. Sobre isso Pereira (2010), confirma que
as dificuldades apresentadas pelos alunos são quanto à abordagem
metodológica do estudo, quanto ao tratamento conceitual através de situações-
66
problema e comportamento gráfico. Pesquisamos, também, como os
professores iniciam o ensino de função exponencial e logarítmica, e os dados
constam a seguir.
Tabela 3 - Como os professores de matemática iniciam o ensino função exponencial.
Alternativa escolhida Percentual
a) pela definição seguida de exemplos e exercícios;
45%
b) com uma situação problema para depois introduzir o assunto;
47%
c) com um experimento para chegar ao conceito;
4%
d) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo;
2%
e) com jogos para depois sistematizar os conceitos.
2%
Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2012).
Na tabela anterior, verificamos que a maioria dos professores, 47%,
ensina o conteúdo de função exponencial, iniciando com uma situação
problema para depois introduzir o assunto. O perfil destes professores que
ensinam o conteúdo, iniciando com uma situação problema para depois
introduzir o assunto, segundo os dados da pesquisa, têm de 31 a 35 anos,
estudou alguma disciplina sobre o ensino de funções, e trabalha em escolas
publica estadual e privada.
Tabela 4 - Como os professores de matemática iniciam o ensino função logarítmica.
Alternativa Escolhida Percentual
a) pela definição seguida de exemplos e exercícios;
74%
b) com uma situação problema para depois introduzir o assunto;
4%
c) com um experimento para chegar ao conceito;
15%
d) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo;
4%
e) com jogos para depois sistematizar os conceitos.
3%
Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2012).
Na tabela anterior, verificamos que a maioria dos professores, 74%,
ensina o conteúdo de função logarítmica, iniciando pela definição seguida de
67
exemplos e exercícios. O perfil destes professores não pode ser delineado de
maneira específica, por conta de que a alternativa foi escolhida independente
de faixa etária, de graduação acadêmica, e da instituição que atua. Denotando
assim, que o ensino de função logarítmica que não seja pela definição seguida
de exemplos e exercícios, se torna uma dificuldade comum entre o grupo de
professores pesquisados. Nos itens b) com uma situação problema para depois
introduzir o assunto e c) com um experimento para chegar ao conceito tem
uma diferença significativa nos percentuais apresentados nas Tabela 3 e 4.
Pesquisamos também como os professores fazem para fixar o conteúdo para
os alunos, com os dados dispostos na tabela a seguir.
Tabela 5 - Como os professores de matemática fixam o ensino de função exponencial.
Alternativa Escolhida Percentual
a) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos;
51%
b) apresentar jogos envolvendo o assunto;
47%
c) solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático;
-
d) não propõem questões de fixação;
-
e) solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver.
2%
Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2012). Tabela 6 - Como os professores de matemática fixam o ensino função exponencial.
Alternativa Escolhida Percentual
a) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos;
80%
b) apresentar jogos envolvendo o assunto;
3%
c) solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático;
14%
d) não propõem questões de fixação;
-
e) solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver.
3%
Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2012).
68
Com base nas informações produzidas pela nossa amostra de
professores de matemática que lecionam em sua disciplina Funções
Exponenciais e Logarítmicas, constatamos que a maioria dos professores no
processo de fixação das duas funções, apresenta uma lista de exercícios para
serem resolvidos. E o processo utilizado para iniciar o ensino da função
logarítmica é pela definição seguida de exemplos e exercícios, apesar de iniciar
o ensino da função exponencial a partir do uso de situação-problema.
De certa forma, os dados apresentados se tornam coerentes, pois como
percebemos a partir da revisão de estudos anteriores, os alunos que possuem
certa habilidade de leitura gráfica e domínio da definição das funções, tem uma
maior facilidade na resolução de situações-problema.
Observamos que os professores possuem dificuldades distintas em
apresentar e fixar os conteúdos que envolvem as funções exponenciais e
logarítmicas. Diante disto, a concepção da sequência deve condizer com a
superação de tais dificuldades. Em contra posição necessitamos de
perspectiva dos discentes sobre o ensino-aprendizagem do conteúdo. Para isto
se torna mais coerente, neste momento, para nossa pesquisa direcionar os
questionários para alunos egressos do 2º ano do ensino médio, pelo fato dos
mesmos já terem estudado o tema.
1.4. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E
LOGARÍTMICAS SEGUNDO OS ALUNOS
Com o intuito de identificar dificuldades dos alunos em relação a
aprendizagem das funções exponenciais e logarítmicas, realizamos uma
consulta por meio de questionários, contendo perguntas referentes a
informações sócio-culturais, e dez situações-problema envolvendo a temática
de função exponencial e logarítmica.
O instrumento da pesquisa foi aplicado a 100 alunos da segunda série
do Ensino Médio de uma escola pública estadual, mesma instituição que a
sequência será aplicada, da região metropolitana de Belém, pelo turno da
manhã. Com os alunos egressos do 1º ano do Ensino Médio, ou seja, que já
69
estudaram o conteúdo em questão. O termo “egresso” sempre será designado
no texto àqueles sujeitos que já estudaram o assunto, e que atualmente fazem
segundo ano do ensino médio.
O questionário (cf. apêndice B) quantitativo foi dividido em dois
momentos, de modo similar ao questionário aplicado com professor. No
primeiro momento, apresenta perguntas de caráter sociocultural, tais como:
“Quem é seu responsável?”, “Você se distrai nas aulas de matemática?”, “Você
costuma estudar matemática fora da escola?”. E em seguida, no segundo
momento, perguntas com o mesmo direcionamento do instrumento aplicado
aos professores (cf. apêndice A), como: “Quando você estudou Função
Exponencial, a maioria das aulas começa:”, “Para fixar o conteúdo o seu
professor costumava:”, este direcionamento foi proposital para que após a
análise das alternativas selecionadas pudessem ser comparadas as
alternativas selecionadas pelos professores participantes da amostra.
Anexo ao questionário está um teste com 10 situações-problema, das
quais 9 são objetivas e 1 dissertativa, para que os alunos egressos resolvam, o
objetivo do texto é verificar quais os aspectos que os alunos, que já estudaram
a matéria, sentem mais dificuldades, resultados dispostos a seguir. Essas
informações serviram de base para a produção da sequência didática.
Com relação à faixa etária dos alunos:
Quadro 6 – percentual dos alunos divididos em faixas etárias
Faixa etária %
14 anos 2
15 anos 19
16 anos 35
17 anos 31
18 anos 7
19 anos 3
20 anos 3
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 6 - percentual dos alunos divididos em faixas etárias
70
. FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Podemos observar que: 2% tinham 14 anos, 19%, 15 anos, 35% 16
anos, 31% 17 anos, 7% 18 anos, 3% 19 anos e 3% 20 anos. Onde a média
esperada era de 16 anos.
Com relação ao gênero dos alunos:
Quadro 7 – percentual dos alunos divididos em gênero
Gênero Alunos
Feminino 53
Masculino 47
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 7 - percentual dos alunos divididos em gênero.
, FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
A maioria dos alunos participantes desta etapa da pesquisa, era do sexo
feminino, 53%. A respeito dos responsáveis, como descrito no gráfico a seguir:
Quadro 8 - percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
2%
19%
35%31%
7%3% 3%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
14 anos 15 anos 16 anos 17anos 18anos 19anos 20 anos
53%
47% Feminino
Masculino
71
Grau familiar do responsável
%
Mãe 50
Pai 42
Avó 4
Tio 1
Avô 1
Prima 1
Esposo 1
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 8 - percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável.
.
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Podemos perceber que a maioria assinalou a mãe com 50%, em
seguida o pai com 42%, após a avó com 4%, depois tio, avô, prima e esposo
todos com 1% cada.
Da escolaridade dos responsáveis. Se possui ou não o ensino médio
completo. Utilizamos esse referencial em razão ao nosso objeto de pesquisa
ser referente a um conteúdo deste nível de ensino.
Quadro 9 - percentual da escolaridade do responsável, em função ao gênero.
Gênero Ensino Médio Completo (%)
Feminino 29
Masculino 38
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 9 - percentual da escolaridade do responsável, em função ao gênero.
50%
42%
4%1% 1% 1% 1%
0%5%
10%15%20%25%30%35%40%45%50%55%60%65%70%75%80%85%90%95%
100%
mãe pai avó tio avô prima esposo
72
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Dos responsáveis masculinos, 29% com Ensino Médio Completo. Dos
responsáveis femininos, 38% com Ensino Médio completo.
Quanto aos responsáveis que exercem atividade remunerada:
Quadro 10 – Atividade remunerada do responsável, divididos por gênero.
Gênero Atividade remunerada
(%)
Feminino 65
Masculino 97
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 10 – Atividade remunerada do responsável
, FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Os dados revelaram que 97% dos responsáveis masculinos exercem
atividade remunerada, e nas responsáveis femininas 65% exerce atividade
remunerada. O que pode influenciar na escolaridade deste responsável, pois,
29%38%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Masculino Feminino
97%
65%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Masculino Feminino
73
se houve uma necessidade de custear as necessidades da família este
responsável masculino não teve oportunidade para continuar seus estudos.
Porém, tal afirmação não passa de uma conjectura.
Quanto ensino básico dos alunos, temos:
Quadro 11 - Percentual dos alunos em relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico
Escola %
Escola Estadual 78
Escola Municipal 12
Escola Federal -
Escola Privada 10
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 11 - Percentual dos alunos em relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico
FONTE: Pesquisa de campo (Junho/2012).
A maioria dos alunos, 78% estudaram seu Ensino Fundamental em
Escolas Públicas Estaduais, e nenhum dos alunos que participaram da
pesquisa estudaram em escolas publicas federais.
Quanto a exerce atividade remunera:
Quadro 12 - percentual dos alunos que exercem atividade remunerada
Exerce atividade remunerada?
%
Sim 79
Não 11
As vezes 10
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 12 - percentual dos alunos que exercem atividade remunerada
78%
12% 10%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Escola Publica Estadual
Escola Publica Municipal
Escola Publica Federal
Escola Privada
74
FONTE: Pesquisa de campo (Junho/2012).
A maioria dos alunos não exerce atividade remunerada, 79%, 11% exercem
atividade remunerada e 10% às vezes exerce atividade remunerada.
Em relação aos alunos que realizam algum curso externo a escola, temos que:
Quadro 13 - percentual dos alunos que participam de algum curso externo.
Participam de algum curso externo? %
Sim 55
Não 45
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 13 - percentual dos alunos que participam de algum curso externo.
, FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Quanto aos cursos, 55% dos alunos fazem curso fora da escola, destes
54% fazem curso de Informática, 36% outros cursos e 10% de língua
estrangeira.
79%
11% 10%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Não Sim As vezes
55%45%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Sim Não
75
Relação a afinidade dos alunos à disciplina, temos:
Quadro 14 - percentual dos alunos em relação a sua afinidade com a disciplina
Afinidade com a disciplina? %
Muito 6
Pouco 70
Nenhum pouco 24
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 14 - percentual dos alunos em relação a sua afinidade com a disciplina
. FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Os dados revelaram que 70%, a maioria, dos alunos pesquisados gosta
“pouco” de Matemática. Dentre os 100 alunos pesquisados apenas 3%
estavam cursando pela segunda vez o segundo ano do Ensino Médio. Na
pesquisa de Salgado (2011) realizada com alunos do ensino fundamental, em
especifico 7° ano, sobre a afinidade com a disciplina que:
No que se refere aos sentimentos dos alunos pela matemática, constatamos que 60% dos alunos gostavam desta disciplina um pouco (47% dos alunos) ou muito (13% dos alunos); enquanto 35% não gostavam nenhum pouco (18% dos alunos) ou bem pouco (17% dos alunos), o restante (5%) não emitiu opinião. (SALGADO, 2011 p.82)
Quadro 15 - percentual dos alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina
Dificuldade na disciplina? %
Não 9
Um pouco 30
Muito 61
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
6%
70%
24%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Muito Pouco Nenhum Pouco
76
Gráfico 15 - percentual dos alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina
, FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Quanto ao período que estuda a disciplina fora da escola: Quadro 16 - percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola
Qual o período que estudo a disciplina fora de sala?
%
Só no períodos de provas 42
Só na véspera de provas 22
Só nos fins de semana 4
Todo dia -
Alguns dias da semana 32
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 16 - percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola
, FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Quanto à dificuldade do aluno em aprender matemática, a maioria dos
alunos, 61%, declaram ter “muita” dificuldade em aprender Matemática, destes,
52% estudam “alguns dias da semana”, sem ajuda de ninguém, 31% estudam
apenas em período de provas, 9% só na “véspera da prova”. Enquanto que
9%
30%
61%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Não Um Pouco Muito
42%
22%
4%0%
32%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Só no periodo de Provas
Só na véspera da Prova
Só nos fins de semana
Todo dia Alguns dias da semana
77
50% dos alunos têm “um pouco” de dificuldade em aprender matemática,
desses, 44% estudam apenas “no período de provas” com ajuda de parentes
ou amigos. Apenas 9% afirmam “não” ter esta dificuldade, destes, 55%
estudam “alguns dias da semana” fora da escola, sem ajuda de ninguém. A
falta de ajuda para estudar fora da escola pode estar relacionada com a
escolaridade do responsável e com influência das atividades remuneradas
exercidas por alguns alunos.
No trabalho de Paula (2011) quanto à dificuldade e o período de estudo
da disciplina fora da escola:
[...] costumam estudar matemática fora da escola, e obtivemos os seguintes resultados: 29% estudam só no período de prova, 23% na véspera de prova, 13% nos fins de semana, 3% todo dia, 32% alguns dias, com maior frequência 3 dias na semana. (PAULA, 2011 p.82)
O trabalho de Salgado (2011) apresenta os seguintes resultados: Quando perguntamos aos alunos sobre a frequência com que costumavam estudar fora da escola verificamos que poucos alunos costumavam dedicar tempo ao estudo desta disciplina, já que 71% dos estudantes declararam que só costumam estudar, fora da escola, no período de provas (53% destes) ou mesmo, na véspera da prova (18% deles); enquanto apenas 3% declararam estudar todos os dias; os demais dizem estudar dois dias (8 alunos), três dias (7 alunos), quatro dias (2 alunos) e ainda, 8% disseram não estudar fora da escola nem na véspera da prova. (SALGADO, 2011 p.81)
O trabalho de Graça (2012) constatou que:
Os dados revelaram que a maioria dos alunos, 63%, gosta “um pouco” de matemática. 43% informaram possuir “muitas dificuldades em matemática” e ainda 36% dos alunos “só estudam matemática na semana da prova”. (GRAÇA, 2011 p. 48)
Assim percebemos que os estudantes do ensino fundamental
participantes das pesquisas de Paula (2011) e Salgado (2011), em sua maioria,
têm a mesma frequência, estudam apenas no período de prova, de estudos
dos alunos participantes de nossa amostra.
Em relação à distração durante as aulas de matemática:
Quadro 17 - Comparação em percentual da distração dos alunos durante as aulas de matemática
Você se distrai durante as aulas? %
Não, eu sempre presto atenção 21
Sim, eu não consigo prestar atenção 27
Ás vezes, quando a aula está chata; 52
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
78
Gráfico 17 - Comparação em percentual da distração dos alunos durante as aulas de matemática
. FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Os dados indicam que a maioria dos alunos, 52%, de vez em quando
não presta a atenção durante a aula de matemática, e apenas 27% consegue
prestar atenção na aula. Para tentarmos entender qual a razão da desatenção
momentânea desses alunos, vamos analisar os dados referentes a forma com
que esses alunos estudaram a função exponencial e logarítmica.
Sobre a forma em que os alunos estudaram inicialmente a função
exponencial, temos:
Quadro 18 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função
Exponencial
Como os professores iniciam as aulas? %
Iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios 60
Iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto
19
Iniciaram com um experimento para depois chegar a um conceito 5
Iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
9
Iniciaram com a História do assunto; 7
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
21%27%
52%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Não, eu sempre presto atenção
Sim, eu não consigo prestar atenção
Ás vezes, quando a aula está chata;
79
Gráfico 18 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função
Exponencial
. FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012)
Sendo 100% alunos declaram que estudaram o conteúdo, ou seja, não
houve nenhum aluno que nunca estudou o conteúdo. A maioria, 53%, dos
alunos afirmam que os professores “iniciaram pela definição seguida de
exemplos e exercícios”, coerentes com as informações dadas pelos
professores. E destes, 60% afirmam que “ás vezes se distrai, quando a aula
está chata”. O que possivelmente é conseqüência da postura didática utilizada.
Sobre a metodologia usada pelos professores Paula (2011) apresenta
que:
[...] 58%, os professores ainda utilizaram uma metodologia tradicional iniciando suas com uma definição seguida de exemplos e exercícios deixando a mercê algumas abordagens metodológicas usuais em educação matemática, como os jogos e a resolução de problemas, representando jambas 13% da opinião dos alunos, estimulando a participação passiva dos alunos no decorrer das atividades escolares, e desperdiçando as possibilidades de avanço na aprendizagem dos alunos. (PAULA, 2011 p. 82)
Seguindo a mesma indagação a pesquisa de Salgado constatou que:
[...] 68% dos alunos declararam que seus professores no 7º ano costumavam desenvolver o conteúdo por meio de aulas expositivas, começando com a apresentação da definição, seguida de exemplos e exercícios; 10% disseram que as aulas eram desenvolvidas começando com um experimento para chegar ao conceito; 11% disseram que os professores começavam com uma situação problema para depois introduzir o assunto; 6% informaram que as aulas começavam com um jogos para depois sistematizar os conceitos e 5% não responderam. (SALGADO, 2011 p. 82)
60%
19%
5% 9% 7%
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Iniciaram pela definição seguida
de exemplos e exercícios
Iniciaram com uma situação
problema para depois introduzir
o assunto
Iniciaram com um experimento
para depois chegar a um
conceito
Iniciaram com um modelo para
situação e em seguida
analisando o modelo
Iniciaram com a História do
assunto;
80
Para fixar o conteúdo de Função Exponencial os alunos declararam que
sobre seu professor:
Quadro 19 - Percentual do modo como os alunos fixaram o assunto: Função
Exponencial
Como os professores fixam o assunto? %
Apresentar uma lista de exercício para serem resolvidos 64
Apresentar jogos envolvendo o assunto 7
Solicita que os alunos resolvessem questões do livro didático 18
Não propor questões de fixação 5
Solicita que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver
6
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012)
Gráfico 19 – Fixação da Função Exponencial
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012)
Os dados nos revelam que a maioria 64%, apara fixar o assunto,
resolveu uma lista de exercícios, e 18% resolveram questões propostas no livro
didático.
De todos os alunos, 37% não estudaram a Função Logarítmica.
Enquanto que dos 63% que estudaram. E sobre a forma em que os alunos
estudaram inicialmente a Função Logarítmica, temos:
64%
7%
18%
5% 6%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Apresentar uma lista de exercício
para serem resolvidos
Apresentar jogos envolvendo o
assunto
Solicita que os alunos
resolvessem questões do livro
didático
Não propor questões de
fixação
Solicita que os alunos
procurassem questões sobre o
assunto para resolver
81
Quadro 20 - Iniciaram o assunto: Função Logarítmica
Como os professores iniciam as aulas? %
Iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios
58
Iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto
27
Iniciaram com um experimento para depois chegar a um conceito
6
Iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
4
Iniciaram com a História do assunto; 5
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 20 – Iniciaram o assunto: Função Logarítmica
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
A maioria, 58%, afirmam que os professores “iniciaram pela definição
seguida de exemplos e exercícios”, sendo destes 45% afirmam que “ás vezes
se distrai, quando a aula está chata”, 32% dizem que “sim, eu não consigo
prestar atenção”, e só 23% conseguem “prestar atenção.”
Para fixar o conteúdo de Função Exponencial os alunos declararam que
sobre seu professor:
Quadro 21 - Fixaram o assunto: Função Logarítmica.
Como os professores fixam o assunto? %
Apresentar uma lista de exercício para serem resolvidos
60
Apresentar jogos envolvendo o assunto 8
58%
27%
6% 4% 5%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Iniciaram pela definição seguida
de exemplos e exercícios
Iniciaram com uma situação
problema para depois introduzir
o assunto
Iniciaram com um experimento para depois chegar a
um conceito
Iniciaram com um modelo para
situação e em seguida
analisando o modelo
Iniciaram com a História do
assunto;
82
Solicita que os alunos resolvessem questões do livro didático
19
Não propor questões de fixação 6
Solicita que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver;
7
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012)
Gráfico 21 - Fixaram o assunto: Função Logarítmica.
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012)
Os dados nos revelam que a maioria 60%, apara fixar o assunto,
resolveu uma lista de exercícios, e 19% resolveram questões propostas no livro
didático. Portanto conseguimos perceber que o predomínio das aulas
tradicionais, ou seja, onde o professor apresenta o conteúdo de forma
expositiva, iniciando pela definição seguida de exercícios.
Outro fator que deve ser referendado é a influência do período de greve
dos docentes nas atividades escolares. O objetivo era tentar detectar alguma
dificuldade apresentada pelos alunos durante a aplicação prática do conteúdo
estudado. Os alunos não foram avisados previamente, portanto não houve
nenhuma revisão ou estudo sobre a temática visando a resolução das
situações-problema apresentadas. Este foi um dos questionamentos dos
alunos quando chegamos neste momento do questionário. Mas, todos os
alunos tentaram realizar o que lhes foi exigido. Concernente a resolução dos
problemas propostos aos alunos, apresentamos os resultados a seguir.
60%
8%
19%
6% 7%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Apresentar uma lista de exercício
para serem resolvidos
Apresentar jogos envolvendo o
assunto
Solicita que os alunos
resolvessem questões do livro
didático
Não propor questões de
fixação
Solicita que os alunos
procurassem questões sobre o
assunto para resolver;
83
Do total de alunos, 19% acertaram. Porém, não apresentaram qualquer
tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução. Que foi explicitado
durante a leitura realizada previamente. Em função do tempo, não realizamos
nenhuma outra exploração sobre uma possível dificuldade de calcular.
Informando assim apenas a alternativa escolhida.
Dos 100 alunos, 15% acertaram a questão Porém, não apresentaram
qualquer tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução. Informando
assim apenas a alternativa escolhida.
ENUNCIADO: Questão 1
A Obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir a idade. O gráfico ao lado mostra como varia a espessura da camada hidratada em microns (1 micron = 1 milésimo de milímetro) em função da idade da obsidiana.
Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana
a) é diretamente proporcional a sua idade; b) dobra a cada 10.000 anos; c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais
jovem; d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais
velha; e) a partir de 100.000 anos não aumenta mais;
ENUNCIADO: Questão 2
A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000. (0,9)
x. O número de unidades produzidas no
segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90
84
Dos alunos que participaram 9% acertaram a questão. Mas, não
apresentaram qualquer tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução.
Informando assim apenas a alternativa escolhida.
Do mesmo número de alunos, apenas 10% acertaram. Porém, não
apresentaram qualquer tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução.
Informando assim apenas a alternativa escolhida.
ENUNCIADO: Questão 3
Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:
. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
ENUNCIADO: Questão 4
Compare as duas tabelas abaixo veiculadas pelo Jornal do Brasil em 1999 e em 2005. Volte sua atenção para os preços dos anúncios de 4,6 cm de largura por 3 cm de altura.
Qual será, aproximadamente, o preços do anúncio de 4,6cm por 3 cm no ano de 2011, considerando que a taxa de aumento anual seja constante. a) 508,43 b) 548,00 c) 600,43 d) 648,00 e) 700,43
85
Dos 100 alunos, apenas 10% acertaram. Porém, não apresentaram
qualquer tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução. Informando
assim apenas a alternativa escolhida.
Do grupo de alunos, apenas 16% acertaram. Porém, não apresentaram
qualquer tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução. Informando
assim apenas a alternativa escolhida.
Dos alunos, apenas 14% acertaram. Porém, não apresentaram qualquer
tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução. Informando assim
apenas a alternativa escolhida.
ENUNCIADO: Questão 5
Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0.2
(-0,1)t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t
meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início? a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
ENUNCIADO: Questão 6
Seja a Função Exponencial F(x) = a
x é correto afirmar que:
a) Ela é crescente se x>0. b) Ela é crescente se a>0 c) Ela é crescente se a>1 d) Ela é crescente se a ≠ 1 e) Ela é crescente se 0 < x < 1
ENUNCIADO: Questão 7
Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a.
86
Apenas 3% dos alunos acertaram. Porém, não apresentaram qualquer
tipo de registro de estratégia utilizada para a resolução. Informando assim
apenas a alternativa escolhida.
Apenas 8% do total acertaram. Porém, não apresentaram qualquer tipo
de registro de estratégia utilizada para a resolução. Informando assim apenas a
lternativa escolhida.
ENUNCIADO: Questão 8
Segundo a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de um corpo é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre este objeto e o meio ambiente. Sendo assim, a temperatura de um objeto pré-aquecido, após colocado por t minutos em um ambiente a 20ºC, é dada por T(t)=20 +K
ect. Considerando que o
objeto foi aquecido a uma temperatura de 200ºC e em 10 minutos estava a 110ºC, as constantes K e c devem ser: a) k = 180 e c = (-ln 2)/10 b) k = 180 e c = 90 ln 2 c) k = 10 e c = (-ln 2)/10 d) k = 10 e c = (ln 9)/10 e) k = 180 e c = (ln 2)/10
ENUNCIADO: Questão 9
A indústria de computação cada vez mais utiliza a denominação 1K como substituto para o número mil (por exemplo Y2K , como ano 2000). Há um erro de aproximação neste uso, já que o valor técnico com que se trabalha, 1K = 2
10, não é 1000. Assim rigorosamente falando, uma notícia como “o índice Dow-Jones pode atingir 3K”,
significaria que o índice pode atingir: a) 3000 b) 2960 c) 3012 d) 2948 e) 3072
ENUNCIADO: Questão 10
Em quantos anos 500g de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 3% ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.е
-rt , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
87
Do total de alunos que participaram da pesquisa não houve nenhum
acerto. 4% esboçaram uma tentativa de resolução, enquanto que 96% não
apresentaram nenhum registro, ou seja, deixaram em branco.
Analisando as questões e os resultados obtidos pelos alunos durante
sua aplicação. Concernente ao ultimo problema oferecido aos alunos,
identificamos que a quantidade de alunos que deixou em branco foi muito alta,
em relação aos alunos que tentaram resolve-la. Mas, supomos que talvez isto
possa ter ocorrido pela falta de seriedade, por parte dos alunos, na resolução
do instrumento.
Sobre a quantidade de acertos, erros e questões em branco em relação
à quantidade de alunos, temos:
Tabela 7 – Alunos Egressos: Teste geral, Função Exponencial
Fonte: pesquisa de campo (Abril/2012)
Situações-problema envolvendo Função Exponencial
Número da
Questão
Número de
acertos
Numero de
Erros
Alternativas
em Branco
Total
2 15 85 - 100
4 10 90 - 100
5 10 90 - 100
6 16 84 - 100
9 8 92 - 100
88
Gráfico 22 - Alunos Egressos: Teste geral, Função Exponencial
Fonte: pesquisa de campo (Abril, 2012)
Tabela 8 – Alunos egressos: teste geral, Função Logarítmica
Situações-problema envolvendo Função Logarítmica
Número da
Questão
Número de
acertos
Numero de
Erros
Alternativas
em Branco
Total
1 19 81 - 100
3 9 91 - 100
7 14 86 - 100
8 3 97 - 100
10 - 4 96 100
Fonte: pesquisa de campo (Abril, 2012)
Gráfico 23 – Alunos egressos: teste geral, Função Logarítmica
Fonte: pesquisa de campo (Abril, 2012)
1510 10
16
8
8590 90
84
92100 100 100 100 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Questão 2 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 9
Número de acertos
Número de erros
TOTAL
199 14
3
81 91 86 97
4
96100 100 100 100 100
0
20
40
60
80
100
Número de acertos
Número de erros
Alternativas em branco
Total
89
Podemos perceber, a partir das tabelas anteriores, que nenhum aluno
atingiu a totalidade de acertos, tão pouco a metade. E que a maioria dos alunos
não apresentou registro de estratégia utilizada para a resolução das questões
propostas, fato que foi ocasionado pela escolha de questões objetivas
permitindo assim que o aluno apenas marcasse qualquer alternativa.
Consideramos assim uma falha em nosso teste.
Os dados analisados acusam que os alunos que obtiveram quatro
acertos foram os que informaram gostar de matemática pelo menos um pouco,
e que declararam não ter dificuldades na disciplina. Entendemos que mesmo
os alunos, egressos do 1° ano do ensino médio, não apresentaram registros
que demonstrassem domínio das técnicas algébricas ou na definição de função
exponencial e logarítmica, possivelmente estudadas por alguns no ano anterior.
No decorrer desta sessão realizamos uma análise prévia sobre o ensino
e aprendizagem envolvendo o objeto de pesquisa função exponencial e
logarítmica, bem como algumas constatações que foram adquiridas e que
foram utilizadas na construção das atividades propostas para o ensino das
funções exponenciais e logarítmicas. Em seguida, apresentamos uma sínese
das constatações resultantes dessa análise prévia.
1.5. SÍNTESE DAS ANÁLISES PRÉVIAS
Na educação é necessário vincular a pedagogia adotada pelos docentes
à experiência de vida dos alunos. Nessa perspectiva, e discutindo o ensino em
sala de aula, em específico o ensino de Matemática, temos que:
Para que o ensino da Matemática alcance seus objetivos, dando ao estudante habilidades e conhecimentos úteis e que o preparem, como homem comum, para resolver os problemas diários, é necessário a utilização de uma metodologia que valorize a ação docente do professor, através de um ensino partindo do concreto para o abstrato. (SÁ, 2009 p.14)
Diante disto, percebemos uma preocupação em como buscar uma
prática pedagógica de interação, que tente contemplar a maioria dos aspectos
exigidos, na perspectiva adotada pelos documentos oficiais, como foi descrito
na página 16, e com base em estudos sobre pesquisas já finalizadas. Partindo
do professor propondo situações que acarretem na descoberta do
90
conhecimento do aluno através da exploração dos problemas, optamos pelo
ensino de Matemática por meio de atividades.
O ensino de Matemática por meio de atividades pressupõe muita colaboração entre professores e alunos durante o ato de construção de saber, pois característica essencial desse tipo de abordagem metodológica de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos serão descobertos pelo próprio aluno durante o processo de busca, que é conduzido pelo professor até que seja incorporado à estrutura cognitiva do aprendiz. (SÁ 2009, p.19)
O ensino por atividades é um método de interação entre professor e
aluno, o professor durante a aplicação das atividades exerce a função de
mestre ou guia do aluno, esta postura do professor permite que o aluno
desenvolva seu pensar crítico.
A metodologia do ensino por atividade pode promover um maior
dinamismo nas experiências em sala de aula, com um ensino participativo e
construtivo. Em nossa pesquisa, sobre o ensino das funções exponenciais e
logarítmicas por atividades, realizamos análises prévias que fundamentassem
a utilização do uso da sequência de atividades.
Dentre a produção de informação utilizamos questionários aplicados aos
docentes e discentes, com o objetivo de analisar as informações. Percebemos
que segundo professores que lecionam o conteúdo em questão, as situações-
problema envolvendo a necessidade de interpretação do gráfico, tanto da
função logarítmica, quanto da função exponencial aparecem como um dos
tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem. Um dos possíveis fatores para
esse não sucesso pode ser atribuído à postura didática adotada pela maioria
dos professores que indicaram não trabalhar o conteúdo por meio de qualquer
experimento. Instigando, e reforçando nossa curiosidade pela aplicação do
método.
Estamos interessados em estimular os alunos, de maneira a valorizar
seus acertos, e fazer do erro uma oportunidade de se aprender. Instigando o
estudo da matemática não apenas como compromisso escolar, mas como um
recurso que auxilie sua visão crítica de mundo. E destas perspectivas temos
por hipótese que o ensino da função exponencial e logarítmica torna-se mais
eficaz quando realizado por meio de atividades estruturadas, pelo método de
interação, uso de situações problemas e abordagem não trivial do conteúdo.
Entendemos que as atividades devem evidenciar a construção e leitura gráfica
91
das funções, com base na indicação dos professores que participaram da
pesquisa.
Com as informações dos questionários, percebemos que os alunos, em
geral, aplicam o gráfico a partir de coordenadas em uma tabela, uma visão, de
certa forma limitada e que não proporciona o diálogo do conteúdo com
situações cotidianas. Que foi ressaltado por Sá (2005) quando em sua
pesquisa evidenciou um mapeamento do ensino de funções exponenciais e
Logarítmicas. Denotando uma necessidade de ensinar a dependência e
influência das variáveis, das grandezas e a transcrição das diferentes formas
de registro poderá gerar um melhor desempenho de acertos em situações-
problema que envolva função exponencial e logarítmica.
Aplicamos questionário à alunos que estudaram o conteúdo, se torna
mais coerente para podermos analisar de que forma essas alunos estudaram e
analisar como se constituí este conteúdo após os estudos realizado no ano
anterior, para tentar analisar a perspectiva dos alunos apresentamos um total
de dez situações-problema que relacionam a temática, e solicitamos que
tentassem resolver. Para nossa surpresa a maioria dos alunos não apresentou
nenhum registro de resolução. Apresentando grande dificuldade de interpretar
os diferentes registros de representação, bem como uma carência na definição
da função exponencial e logarítmica. Ambos aspectos foram pesquisados por
Pereira (2010) onde abordou as Funções Exponenciais e Logarítmicas numa
perspectiva conceitual e gráfica no Ensino Médio, e Pelho (2003) que introduziu
o conceito de Função, através da importância da compreensão das variáveis.
Percebendo a dificuldade dos alunos egressos, e as indicações dos
professores que fazem parte da amostra da pesquisa. Além, das leituras e
estudos realizados na área em questão. Pretendemos responder a seguinte
indagação: o ensino por atividades da Função Exponencial e Logarítmica é
viável? E para isso decidimos construir uma sequência de atividades com base
na metodologia da Engenharia Didática, e aplicar para alunos do primeiro ano
do Ensino Médio, da mesma instituição de Ensino dos alunos egressos que
participaram da fase inicial da pesquisa. A seguir apresentamos um conjunto
de atividades propostas para o ensino de função exponencial e logarítmica,
construídas a partir dos aspectos apresentados nessa sessão.
92
2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI
Nesta seção, nosso objetivo é apresentar a sequência didática referente
ao ensino e aprendizagem das operações com números inteiros, construída a
partir das análises preliminares apresentadas na seção anterior, e a respectiva
análise a priori sobre ela. Na turma, assumimos o papel de mediador e
orientador das atividades. O tempo estimado para cada atividade e para os
testes (pré-teste e pós-teste) foi de uma hora e meia, ou seja, duas aulas. Haja
vista que as aulas nas escolas públicas do Estado do Pará possuem em torno
de 45 minutos.
A sequência didática contém atividades que foram divididas em sessões
de aplicação, e em dois grupos. No primeiro grupo temos a função exponencial
e no segundo grupo a função logarítmica. Cada atividade foi organizada com
base nas dificuldades referendadas, tanto por professores e pelos alunos, e
nos estudos em outras pesquisas realizados na análise a priori. A configuração
dos roteiros de atividades é: “Titulo”; “Objetivo”, qual a razão a execução
daquela a atividade, parâmetros que foram concebidos com base nos
conteúdos específicos referentes ao tópico de função exponencial e logarítmica
e nas dificuldades apresentadas pelos professores e alunos; “Material”,
recursos físicos a serem utilizados e “Procedimentos” etapas seqüenciais para
a orientação dos alunos, descritos para gerar um maior conforto ao aluno
durante as execuções das atividades. Todas as atividades foram desenvolvidas
e adaptadas, com a estruturação apresentada. E ainda, com auxílio das
informações produzidas na análise a priori. As atividades estão dispostas a
seguir e apresentam-se divididas em Atividades para o Ensino da Função
Exponencial e Atividade para o Ensino da Função Logarítmica.
2.1. ATIVIDADES PARA O ENSINO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
As atividades a seguir, atividade 1 à 6, condizem ao primeiro grupo de
atividades para o ensino da Função Exponencial. Cada atividade foi
desenvolvida visando as dificuldades apresentadas pelos professores e alunos,
além de aspectos que foram destacados em pesquisas relacionadas com a
93
temática. As atividades apresentam a perspectiva básica da dependência de
variáveis, além do estudo algébrico e gráfico que englobam leitura, construção
e interpretação.
2.1.1 ATIVIDADE 1
TITULO: O reflorestamento
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre variáveis.
MATERIAL: Roteiro de atividade, lápis ou caneta.
PROCEDIMENTOS:
Leia os textos com atenção;
Resolva os itens a seguir;
Reflorestamento
Para conter o avanço do aquecimento global, diversos organismos internacionais propõem o reflorestamento, porém esta medida é apenas parcialmente aceita pelos ecologistas, por acreditarem que a recuperação da área desmatada não pode apenas levar em conta a eliminação do gás carbônico, mas também a biodiversidade da região. O reflorestamento é, no melhor dos casos, um conjunto de árvores situadas segundo uma separação definidas artificialmente, entre as quais surge uma vegetação herbácea ou arbustiva que não costuma parecer na floresta natural. Além de que, em alguns casos, a área reflorestada demora muito tempo para que compreenda a dimensão da vegetação original. (Texto adaptado de: http://oquepodemosmelhorar.blogspot.com.br/ )
Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante certo período de
sua vida e supondo que sua altura inicial é de 1 cm, então:
a) Qual o valor da altura no instante inicial?
b) Identifique as variáveis dependentes e independentes da situação
c) Construa uma tabela que represente essa situação durante 5 meses.
d) Quanto medirá a árvore após t meses?
e) Qual é a expressão que relaciona o tamanho da árvore em função do
tempo?
f) Quanto medirá a árvore após o 10º mês?
g)Quanto medirá a árvore após o 12º mês?
h) Em que mês a altura da árvore será de 128 cm?
i) Em que em mês a altura árvore será de 512 cm?
94
Análise a priori: Após a leitura esperamos que os alunos se questionassem
sobre os cuidados do reflorestamento e com a resolução das questões eles
percebam a relação entre o crescimento, em cm, e o tempo. Talvez, até de
maneira empírica, os alunos possam criar tabelas de crescimento ao decorrer
do tempo. Não descartamos a hipótese de que alguns alunos tenham
dificuldades em estimar a altura da árvore em um determinado período.
Pretendemos que esta dificuldade seja superada com a construção,
preenchimento e leitura da tabela. A idaia central é que o aluno perceba a
relação exponencial entre crescimento das da árvore e o tempo.
2.1.2 ATIVIDADE 2
TITULO: Vc q tc?
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre variáveis
MATERIAL: Roteiro de atividade, lápis ou caneta.
PROCEDIMENTOS:
Leia os textos com atenção;
Resolva os itens a seguir; O plano de Celular
Um estudo realizado no ano passado por um professor universitário na Austrália revelou que os jovens, têm facilidade para escrever mensagens de maneira abreviada, podem não ter tanta habilidade assim para lê-las. Quase metade dos 55 estudantes envolvidos no estudo demorou duas vezes mais para ler do que para escrever mensagens do tipo “Vc q tc?”. Por que a linguagem simplificada virou praxe entre quem usa a internet e costuma mandar mensagens de texto pelo telefone celular? (Texto retirado de: http://veja.abril.com.br/idade/exclusivo/perguntas_respostas/linguagem-internet-celular/idioma-escrita-abreviada-jovens-adolescentes.shtml ) Neste fato, dos jovens utilizarem tanto o serviço de mensagens, uma
empresa decidiu criar a seguinte promoção: A primeira mensagem custa 20
centavos, e as seguintes, sendo estas no mesmo dia, a metade do preço da
anterior. Sendo assim:
a) Qual o valor na primeira mensagem no instante inicial?
b) Identifique as variáveis dependentes e independentes da situação
c) Construa uma tabela que represente essa situação durante 5 mensagens.
d) Quanto será o custo da mensagem após n envios?
95
e) Qual é a expressão que relaciona o valor da mensagem em função dos
envios?
f) Quanto custará aproximadamente mensagem após o 3° envio?
g) Quanto custará aproximadamente a mensagem após o 5º envio?
h) Em qual mensagem o valor será de aproximadamente 0,02 centavos?
Análise a priori: Ao lerem o texto, esperamos que os alunos percebam a
relação de decrescimento entre a quantidade de mensagens enviadas e o valor
gasto. Com a experiência adquirida na atividade anterior, supomos que os
alunos possam criar tabelas de decrescimento. Aguardamos dificuldades nos
cálculos, por se tratar da “metade” do valor inteiro, utilizando em algum
momento valores aproximados. Pretendemos superar essa dificuldade com
auxílio do registro de valores na tabela, além da orientação individual para a
aproximação desses valores encontrados, que será construída e preenchida
pelos alunos.
2.1.3 ATIVIDADE 3
TITULO: O que é Dengue?
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre variáveis
MATERIAL: Roteiro de atividade, lápis ou caneta.
PROCEDIMENTOS:
Leia os textos com atenção;
Resolva os itens a seguir;
O que é Dengue?
O dengue é uma doença infecciosa causada por um arbovírus (existem quatro tipos diferentes de vírus do dengue: DEN-1, DEN-2, DEN-3 e DEN-4), A infecção pelo vírus, se dá por meio da picada do mosquito Aedes aegypti. As epidemias geralmente ocorrem no verão, durante ou imediatamente após os períodos chuvosos. Não há transmissão pelo contato de um doente ou suas secreções com uma pessoa sadia, nem fontes de água ou alimento. O dengue clássico se inicia de maneira súbita e podem ocorrer febre alta, dor de cabeça, dor atrás dos olhos, dores nas costas. Às vezes aparecem manchas vermelhas no corpo. A febre dura cerca de cinco dias com melhora progressiva dos sintomas em 10 dias. Em alguns poucos pacientes podem ocorrer hemorragias discretas na boca, na urina ou no nariz. (Texto adaptado de: www.dengue.org.br/dengue.html)
96
Supondo que o mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue,
contamine uma pessoa, e que a partir daí, duplique a cada hora o número de
contaminados.
a) Qual o valor dos contaminados na hora inicial?
b) Identifique as variáveis dependentes e independentes da situação
c) Construa uma tabela que represente essa situação durante as 10 primeiras
horas.
d) Quanto contaminará após t horas?
e) Qual é a expressão que relaciona o número de contaminados em função do
tempo?
f) Quanto o mosquito contaminará após 12 horas?
g) Quanto Benjamin rejuvenescerá após 24 horas?
h) Em quanto tempo contaminará, aproximadamente, 1000 pessoas?
i) Em quanto tempo contaminará, aproximadamente, 2000 pessoas?
Análise a priori: Após a leitura, esperamos que alunos se questionem sobre
os cuidados preventivos contra a Dengue e percebam a relação entre o
crescimento, do número de contaminados e o tempo. Com referência ao que
foram realizados anteriormente, os alunos possam criar tabelas de crescimento
de contaminados ao decorrer do tempo. E que associem, o termo “duplicar”
com o termo “dobro”, visto na atividade anterior. Ainda assim, alguns alunos
tenham dificuldade para construir a expressão matemática (lei de formação)
que relaciona o número de contaminados em função do tempo. Pretendemos
superar esta dificuldade com o auxílio da tabela, que será construída pelo
aluno, buscando a relação entre as variáveis através dos registros. Além, de
orientações individuais, caso necessário. A ideia central é que o aluno perceba
a relação exponencial de crescimento das grandezas de quantidade de
contaminados em relação ao tempo. Reforçando a idéia já apresentada na
primeira atividade, denotando a necessidade de participar de maneira contínua
das atividades apresentadas.
97
2.1.4 ATIVIDADE 4
TITULO: O Curioso caso de Benjamin Button
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre variáveis
MATERIAL: Roteiro de atividade, lápis ou caneta.
PROCEDIMENTOS:
Leia os textos com atenção;
Resolva os itens a seguir;
O Curioso caso de Benjamin Button
É a história de um homem, Benjamin, que em 1918 nasce com a aparência envelhecida e por isso, pensando que ele é um monstro, seu pai o abandona. Benjamin é criado num lar assistencial de idosos e, enquanto pequeno, todos pensavam que ele iria acabar por morrer rapidamente. Durante a sua infância conhece Daisy, o grande amor da sua vida. Apesar de ninguém acreditar na sua sobrevivência, ele vai ficando mais novo ao longo dos anos, vendo os outros ao seu redor envelhecerem (Texto adaptado de: http://ista.edu.br/beta/7arte/)
Se Benjamin ficar 20% mais novo a cada ano que se passa, e supondo que sua idade inicial é de 0 anos, então: a) Qual o valor da sua idade no ano inicial? b) Identifique as variáveis dependentes e independentes da situação c) Construa uma tabela que represente essa situação durante os 10 primeiros anos. d) Quanto rejuvenescerá após t anos? e) Qual é a expressão que relaciona o quanto rejuvenesce em função do tempo? f) Quanto Benjamin rejuvenescerá após o 12º anos? g) Quanto Benjamin rejuvenescerá após o 18º anos? h) Em que ano Benjamin rejuvenescerá, aproximadamente, à metade da sua idade inicial? As funções construídas por vocês são denominadas por Função
Exponencial e possuem a definição abaixo:
DEFINIÇÃO: Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função
exponencial de base a a uma função f de IR em IR*+ definida por f(x) = ax ou y
= ax.
98
Análise a priori: Ao lerem o texto os alunos irão perceber a relação de
decrescimento entre a idade (anos de vida) e o tempo. Os alunos a partir das
tabelas, procedimento usual pela experiência nas atividades anteriores,
possam perceber que a relação é de decrescimento, o que implica na
associação com a segunda atividade. Acreditarmos que os alunos irão
apresentar dificuldade na utilização da porcentagem. Pretendemos superar
esta dificuldade, com o uso de valores como: 12 e 18, tornando a operação
algébrica, em relação a 20%, menos dificultosa por conta de esses serem
múltiplos de dois. Além, do auxílio individual e a resolução, no quadro, de
exemplos vinculados a operação algébrica apresentada. Fazendo com que os
alunos percebam a regularidade algébrica desta operação, e generalizem em
próximas questões que envolvam porcentagem. A ideia central é que o aluno
perceba a relação de decrescimento exponencial das grandezas, que será
formalizada com a leitura da definição da função exponencial. Esta atividade foi
construída para reforçar a ideia de decrescimento estudada durante a segunda
atividade.
99
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO 1
Objetivo Aprimorar as habilidades sobre o crescimento e descrescimento das
variavéis dos alunos para o reconhecimento do modelo matemático (forma
algébrica) da Função Exponencial e fortalecer o processo de assimilação das
mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem deste conceito.
Material: Roteiro de atividades, lápis ou caneta.
Procedimentos:
- Resolva os itens a seguir:
1. Verifique quais os modelos abaixo correspondem à lei de formação de uma
função Exponencial:
a) F(x) = 9x
b) F(x) = (0,666...)x
c) F(x) = (-4)x
d) F(x) = 2x
e) F(x) = x²
f) F(x) = 0x
g) F(x) = 1x
h) F(x) = (1/5)x
2. Encontre a forma algébrica (modelo matemático) da Função Exponencial
que interpreta cada caso.
a) No início de suas observações, um biólogo mediu uma planta aquática e
obteve 1 cm de diâmetro. Sabendo que essa espécie triplica seu diâmetro
trimestralmente, qual o modelo que interpreta a situação?
b) Qual o modelo matemático que interpreta a sequência: 10, 100, 1000, ...
c) A cada década a dívida de um município cai pela metade em relação a
década anterior. No momento, a dívida é de 1 milhão de dólares, com base
nessas informações qual a função que pode ser construída relacionando tempo
e divida?
d) Um elemento químico possui meia vida que corresponde a quantidade de
tempo característica de um decaimento exponencial. Se a quantidade que
decai possui um valor no início do processo, na meia vida a quantidade terá a
metade deste valor. Sabendo que um elemento possui 30g, qual o modelo
matemático que interpreta a situação?
100
2.1.5 ATIVIDADE 5
TITULO: Gráfico da função exponencial
OBJETIVO: Construir gráficos que representem a relação entre grandezas.
MATERIAL: Roteiro de atividade, lápis ou caneta.
PROCEDIMENTO:
Para cada função atribua 5 valores inteiros próximos de zero para x;
Determine o valor função correspondente a cada x;
Construa par ordenado correspondente;
Ligue os pontos marcados por uma curva suave.
a) y = 2x
X Y (x,y)
y
x
101
b) y = 1
2 𝑥
c) y = 3x
X Y (x,y)
X Y (x,y)
y
x
y
x
102
d) y = 1
3 𝑥
e) y = 4x
X Y (x,y)
X Y (x,y)
y
x
x
y
103
f) y = 4x
g) y = 1
4 𝑥
X Y (x,y)
X Y (x,y)
y
x
y
x
104
Análise a priori: Ao visualizar as tabelas e em seguida preenche-las
(situações abordada em atividades anteriores) os alunos deverão traçar o
gráfico em todos os casos propostos. Caso os alunos tenham dificuldade por
se tratarem de funções exponenciais, a qual pretendemos superar com auxílio
do procedimento apresentado no início da atividade, onde destacamos: “Ligue
os pontos marcados por uma curva suave”. A ideia central é que o aluno
compreenda a construção do gráfico da função exponencial. Neste momento,
ainda como um método mecânico, auxiliado pela tabela. A relação entre as
funções e seu comportamento gráfico partindo da perspectiva algébrica, será
apresentada nas atividades a seguir. Esta atividade foi construída para
funcionar como uma introdução à construção do registro gráfico.
105
2.1.6 ATIVIDADE 6
TITULO: Crescimento ou decrescimento da função exponencial
OBJETIVO: Descobrir uma condição para o crescimento ou decrescimento de
uma função exponencial
Material: Quadro de gráficos de função exponencial, roteiro de atividades, lápis
ou caneta.
PROCEDIMENTO:
Observe cada gráfico do quadro anexo;
Com base nas informações disponibilizadas;
Responda as questões propostas a seguir de cada gráfico;
Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir.
Informações:
Dada uma função, definida por, y= f(x), dizemos que ela é crescente se para o
aumento do valor da variável independente sempre implica no aumento do
valor da variável dependente, ou seja, se aumentarmos o valor atribuído a x, o
valor de y também aumenta. E a redução do valor da variável independente
sempre implica na redução do valor da variável dependente, ou seja, se
diminuirmos o valor atribuído a x, o valor de y também diminui.
Dada uma função, definida por, y= f(x), dizemos que ela é decrescente se
para o aumento do valor da variável independente sempre implica na
diminuição do valor da variável dependente, ou seja, se aumentarmos o valor
atribuído a x, o valor de y diminui. E a redução do valor da variável
independente sempre implica no aumento do valor da variável dependente, ou
seja, se diminuirmos o valor atribuído a x, o valor de y aumenta.
106
Função Base A função é ?
Crescente Decrescente
y = 2x
y = 1
2 𝑥
y = 3x
y = 1
3 𝑥
y = 4x
y = 1
4 𝑥
y = 5x
y = 1
5 𝑥
y = 6x
y = 1
6 𝑥
y = 7x
y = 1
7 𝑥
y = 8x
y = 1
8 𝑥
Observação:
Conclusão:
107
Análise a priori: Com a tabela, o aluno irá preencher destacando na lei de
formação (representação algébrica) a base, e assim marcar a característica da
função (crescente ou decrescente). Relacionado visualmente que existe uma
característica entre a base e o crescimento ou decrescimento na representação
gráfica. A dificuldade que será apresentada pelo aluno é como seria a
representação gráfica de cada função, superamos a dificuldade com a inserção
do anexo para análise. Outra dificuldade pertinente, talvez seja, a própria
leitura gráfica das funções no anexo. Tentaremos superar a idéia gerando um
exemplo no quadro, onde destacaremos pontos na função e de maneira
participativa os alunos expressem a opinião sobre o comportamento da
mesma. A idéia central é que o aluno perceba a relação da base, como valor
inteiro e fracionário, para crescimento e decrescimento exponencial em seu
registro gráfico.
108
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO 2
Objetivo Reconhecer os gráficos referentes a Função Exponencial, fortalecendo o
processo de assimilação das mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem
deste conceito.
Material: Roteiro de atividades, lápis ou caneta.
Procedimentos:
- Resolva os itens a seguir:
1. Identifique as seguintes funções como crescentes ou decrescentes:
a) F(x) = 4x
b) F(x) = (0,01)x
c) F(x) = πx
d) F(x) = (1/5)x
2. A seguir temos os gráficos das funções exponenciais definidas por f(x) = rx e
g(x) = sx.
Com nos gráficos responda:
a) f é crescente ou decrescente?
b) g é crescente ou decrescente?
c) r > 1 ou 0 < r < 1?
d) s > 1 ou 0 < s < 1?
3. f, g e h são funções de IR em IR dadas por: f(x) = 2.3x, g(x) = 5x -2 e h (x) =
5x-2. Determine:
a) f(2)
b) g(2)
c) h(2)
d) f(-1)
e) g(0)
f) h(0)
g) x tal que g(x) = 3
109
2.2. ATIVIDADES PARA O ENSINO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA As atividades que se seguem, atividade 7 à 15, fazem parte do segundo
grupo de atividades. Relacionadas ao Ensino da Função Logarítmica, estas
atividades foram concebidas e utilizadas na pesquisa de Castro (2007), que
realizou um experimento com o uso das atividades para o Ensino de Função
Logarítmico.
2.2.1. ATIVIDADE 7
TITULO:O Logaritmo
OBJETIVO: Definir logaritmo.
Material: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PROCEDIMENTO:
- Responda as questões:
1 - A que expoente devemos elevar 2 para obtermos 8?
2 - A que expoente devemos elevar 4 para obtermos 16?
3 - A que expoente devemos elevar 2 para obtermos 32?
4 - A que expoente devemos elevar 3 para obtermos 27?
5 - A que expoente devemos elevar 9 para obtermos 81?
6 - A que expoente devemos elevar 5 para obtermos 125?
7 - A que expoente devemos elevar 2 para obtermos 16?
8 - A que expoente devemos elevar 3 para obtermos 81?
9 - A que expoente devemos elevar 6 para obtermos 216?
10 - A que expoente devemos elevar 5 para obtermos 25?
Em Matemática, a pergunta “A que expoente devemos elevar 2 para obtermos
8?” é equivalente a pergunta: “Qual o logaritmo de 8 na base 2?”
- Responda as questões:
1 - Qual é o logaritmo de 64 na base 2?
2 - Qual é o logaritmo de 343 na base 7?
3 - Qual é o logaritmo de 121 na base 11?
4 - Qual é o logaritmo de 625 na base 5?
5 - Qual é o logaritmo de 225 na base 15?
6 - Qual é o logaritmo de 243 na base 3?
7 - Qual é o logaritmo de 1296 na base 6?
8 - Qual é o logaritmo de 64 na base 4?
9 - Qual é o logaritmo de 729 na base 9?
10 - Qual é o logaritmo de 4 na base 2?
110
Simbolicamente, a pergunta: “Qual é o logaritmo de 8 na base 2?” é
representado por: log2 8.
- Calcule
a) log1010
b) log5 25
c) log3 9
d) log2 16
e) log4 64
f) log7 49
g) log2 8
h) log12144
i) log5 125
j) log6 36
k) log2 4
- O que é um logaritmo de um número em uma dada base?
Análise a priori: Os alunos pela associação da idéia de potência irão tentar
perceber como se desenvolve o conceito de logaritmo. Possivelmente terão
dificuldades em executar algebricamente, em função de próprias dificuldades
provenientes do entendimento de potência. Surgindo dificuldades como: O que
é expoente? Como proceder ao elevar o número à um determinado expoente?
Essas dificuldades devem ser analisadas, e interviremos grupo à grupo, ou
coletivamente dependendo do desenvolver da atividade. A idéia central é que o
aluno perceba a definição de logaritmo com uso da idéia de potencia.
111
2.2.2. ATIVIDADE 8
TITULO: Logaritmo de um
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre os logaritmos cujo logaritmando é 1.
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PROCEDIMENTO:
- Calcule:
a) log3 1
b) log4 1
c) log5 1
d) log6 1
e) log7 1
f) log8 1
g) log9 1
h) log2 1
i) log11 1
j) log13 1
- O que você observou?
Conclusão
Análise a priori: Os alunos a partir da idéia de logaritmo introduzida na
atividade anterior, irão aplicar a um logaritmo, este quando apresenta o
logaritmando é 1. Pela simplicidade algébrica ocasionada pelo logaritmando
igual a 1 os alunos apresentem certo conforto nas operações, mas se qualquer
dúvida for apresentada iremos orientar individualmente o grupo, e se
necessário utilizaremos o quadro para uma orientação coletiva. A ideia central
é que o aluno perceba a relação entre os logaritmos cujo logaritmando é 1.
112
2.2.3.ATIVIDADE 9
TITULO: Logaritmo da Base
OBJETIVO: Descobrir a relação entre os logaritmos, em que o logaritmando e
a base são iguais.
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PROCEDIMENTO:
- Calcule:
a) log3 3
b) log4 4
c) log5 5
d) log6 6
e) log7 7
f) log8 8
g) log9 9
h) log2 2
i) log11 11
j) log13 13
- O que podemos concluir?
Análise a priori: Os alunos irão aplicar a ideia de logaritmo concebida nas
atividades anteriores a um logaritmo em que o logaritmando e a base são
iguais, temos por hipótese que os alunos não terão muitas dificuldades em
aplicar a ideia, tendo em vista a execução das atividades anteriores. A idéia
central é que o aluno perceba a relação entre os logaritmos o logaritmando e a
base são iguais.
113
2.1.1. ATIVIDADE 10
TITULO: Potência do Logaritmo
OBJETIVO: Descobrir a relação entre as potências cujos expoentes são
logaritmos a base com igual a da potência.
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PROCEDIMENTO:
- Calcule as potências abaixo:
a) 2log2 8
b) 5log5 25
c) 2log2 4
d) 7log7 343
e) 4log4 64
f) 2log2 16
g) 9log9 81
h) 5log5 25
a) 11log11
121
j) 3log3 9
- O que podemos concluir?
Análise a priori: Os alunos deverão aplicar a ideia de logaritmo, construída
nas atividades anteriores, e aplicá-la a um logaritmo como um expoente. Os
alunos poderão ter dificuldades em aplicar a idéia, por conta de estarem
aplicando o logaritmo como um expoente. No caso de dúvidas sobre a leitura
das alternativas, ou seja, sobre o logaritmo como expoente, explicaremos
detalhadamente, com base em um exemplo. A idéia central é que o aluno
perceba uma relação entre as potencias cujos expoentes são logaritmos com a
base igual da potência.
114
2.1.2. ATIVIDADE 11
TITULO: Logaritmo do produto
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre logaritmo do produto.
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PROCEDIMENTO:
- Preencha a tabela abaixo:
Valores Numéricos logab Loga c loga b.c logab + Loga c
a = 2; b = 4; c = 8
a = 3; b = 27; c = 81
a = 2; b = 1/16; c = 1/32
a = 1/4; b = 1/64; c = 32
a = 3; b = 9; c = 243
a = 5; b = 25; c = 125
a = 1/7; b = 49; c = 2081
a = 6; b = 36; c = 1/36
a = 11; b = 121; c = 1331
a = 8; b = 64; c = 1/64
- O que podemos concluir?
Análise a priori: Os alunos terão que preencher a tabela, de modo a perceber
a relação entre logaritmo do produto. Os alunos irão ter dificuldades com o
logaritmo na forma genérica, ou seja, sem seus valores numéricos. Esperamos
duvidas com os valores numéricos fracionados, para amenizar tal dificuldade
foram inclusas as colunas ao lado da coluna: valor numérico, pois, irão
substituir as variáveis pelo valor numérico, visualizando o logaritmo de maneira
usual.
115
2.1.3. ATIVIDADE 12
TITULO: Logaritmo do quociente
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre logaritmo do quociente.
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora científica (opcional).
PARTICIPANTES: 4
PROCEDIMENTO:
- Preencha a tabela abaixo:
Valores Numéricos logab Loga c loga (b/c) logab - Loga c
a = 2; b = 4; c = 8
a = 3; b = 27; c = 81
a = 2; b = 1/16; c = 1/32
a = 1/4; b = 1/64; c = 32
a = 3; b = 9; c = 243
a = 5; b = 25; c = 125
a = 1/7; b = 49; c = 2081
a = 6; b = 36; c = 1/36
a = 11; b = 121; c = 1331
a = 8; b = 64; c = 1/64
- O que podemos concluir?
Análise a priori: Os alunos terão que preencher a tabela, assim tentando
perceber a relação entre logaritmo do quociente. Talvez os alunos
demonstrem, apesar da atividade anterior, dificuldades ainda com o logaritmo
na forma genérica, ou seja, sem seus valores numéricos. Esperamos duvidas
com os valores numéricos fracionados, para amenizar tal dificuldade utilizamos
a mesma estratégia da atividade anterior, foram inclusas as colunas ao lado da
coluna valor numérico, pois, irão substituir as variáveis pelo valor numérico,
visualizando o logaritmo de maneira usual. A idéia central é que o aluno
perceba o logaritmo do quociente.
116
2.1.4. ATIVIDADE 13
TITULO: Cologaritmo
OBJETIVO: Descobrir uma relação do cologaritmo com o logaritmo.
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PARTICIPANTES: 4
PROCEDIMENTO:
- Calcule os logaritmos abaixo, colocando os logaritmandos em forma de
potência:
a) Log2 (1/6)
b) Log6 (1/36)
c) Log11 (1/1331)
d) Log5 (1/625)
e) Log3 (1/243)
f) Log3 (1/729)
g) Log2 (1/8)
h) Log3 (1/9)
i) Log5 (1/125)
j) Log13 (1/169)
Em Matemática, a expressão “log2 (1/16)” significa o cologaritmo de 16 na base
2.
- Responda:
1. Qual o cologaritmo de 196 na base 14?
2. Qual o cologaritmo de 1024 na base 2?
3. Qual o cologaritmo de 225 na base 15?
4. Qual o cologaritmo de 2187 na base 3?
5. Qual o cologaritmo de 121 na base 11?
6. Qual o cologaritmo de 25 na base 5?
7. Qual o cologaritmo de 64 na base 4?
8. Qual o cologaritmo de 16 na base 24?
9. Qual o cologaritmo de 1024 na base 4?
10. Qual o cologaritmo de 6561 na base 9?
Simbolicamente, a pergunta “qual o cologaritmo de 16 na base 2?” pode ser
representado por colog2 16.
117
- Calcule:
a) colog3 27
a) colog5 25
a) colog4 64
a) colog7 49
a) colog11 1331
a) colog8 64
a) colog13 169
a) colog5 625
a) colog7 2401
a) colog4 4096
- O que é um cologaritmo de um número numa certa base?
Análise a priori: Os alunos terão que resolver os logaritmos, assim tentando
perceber relação do cologaritmo com o logaritmo. Talvez os alunos
demonstrem dificuldades ainda com o cologaritmo por este ser um elemento
novo. E para amenizar essa dificuldade utilizamos alguns comentáros. A idéia
central é que o aluno perceba uma relação do cologaritmo com o logaritmo.
118
2.1.5. ATIVIDADE 14
TITULO: Mudança de Base
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre a mudança de base de logaritmo.
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PARTICIPANTES: 4
PROCEDIMENTO:
- Preencha a tabela abaixo:
Valores Numéricos Logcb Logc a loga b Logcb/Logc a
a = 4; b = 64; c = 2
a = 9; b = 81; c = 3
a = 25; b = 625; c = 5
a = 8; b = 512; c = 2
a = 9; b = 729; c = 3
a = 4; b = 8; c = 2
a = 8; b = 64; c = 4
a = 81; b = 6561; c = 9
a = 4; b = 1024; c = 2
a = 49; b = 2401; c = 7
- O que podemos concluir?
Análise a priori: Os alunos terão que preencher a tabela, assim tentando
perceber a relação entre a mudança de base de logaritmo. Talvez alunos não
tenham tantas dificuldades. A idéia central é que o aluno perceba a relação
entre mudança de base de logaritmo.
119
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO 3
Objetivo Aprimorar as habilidades dos alunos para o Logaritmo e fortalecer o
processo de assimilação das mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem
deste conceito.
Material: Roteiro de atividades, lápis ou caneta.
Procedimentos:
- Resolva os itens a seguir:
1. Determine o valor de x nas igualdades:
a) 1 = log3 x
b) 0 = log2 x
c) log2x = log 6
d) log2 x = log2 5
2. Pela definição de Cologaritmo caçula.
a) Colog2 8
b) Colog3 9
b) Colog10 0,001
c) Colog3 (1/81)
3. Escreva usando logaritmo de base 10:
a) log2 5
b) logx 2
c) log2 (x-1)
d) log(x+1) (x-3)
4. Dados log 2 = 0,30; log 3 = 0,48; log 5 – 070 e log e = 0,43. Calcule:
a) 2x = 5
b) ex = 3
c) 5x= e
d) 3x = 10
f) ex = 15
g) ex – 6 = 0
5. Uma pessoa deposita uma quantia em cardeneta de poupança à tava de 2%
ao mês. Em quantos meses a quantia depositada triplica?
120
2.1.6. ATIVIDADE 15
TITULO: A Função Logarítmica
OBJETIVO: Definir a função logarítmica
MATERIAL: Roteiro, lápis ou caneta, calculadora cientifica (opcional).
PARTICIPANTES: 4
PROCEDIMENTO:
- Responda as questões abaixo:
O álcool no sangue de um motorista alcançou nível de 2 gramas por litro logo
depois de ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que
esse nível decresce de acordo com a fórmula N(t) = 2(0,5)t, onde t é o tempo
medido em horas a partir do momento em que o nível foi constatado.
1. Quanto tempo o motorista deverá esperar antes de dirigir seu veículo, se o
limite permitido de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0,8 g/l?
2. Elabore uma tabela tempo x quantidade de álcool no sangue.
3. Estabeleça uma maneira operacional que expresse a situação em logaritmo.
4. Com os dados obtidos, construa o gráfico tempo x quantidade de álcool no
sangue.
5. O que podemos observar no gráfico.
Análise a priori: Os alunos tentarão responder interpretando
matematicamente à situação, tentando definir de maneira prática a função
logarítmica. Talvez os alunos tenham dificuldades em perceber a aplicação do
logaritmo, e para amenizar a dificuldade utilizamos os questionamentos sobre o
uso de uma maneira operacional que expresse a situação em logaritmo. A idéia
central é que o aluno perceba de maneira prática a definição da função
logarítmica.
121
ATIVIDADE DE FIXAÇÃO 4
Objetivo Praticar a interpretação de situações que envolvam as Funções
Logarítmias.
Material: Roteiro de atividades, lápis ou caneta.
Procedimentos:
- Resolva os itens a seguir:
1. A altura média do tronco de uma espécie de árvore, que se destina à
produção de madeira, evolui, desde que é plantada, seguindo o modelo
matemático: h(t) = 1,5 + log3 (t+1).
Se uma dessas arvores foi cortado quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o
tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte foi de?
2. Ao se estudar o crescimento das Mangueiras na cidade de Belém,
constatou-se que a função que descreve esse crescimento, em metros após t
anos é: f(t) = 3log2(2t-1)
Quantos anos são necessários para que uma determinada Mangueira atinja 27
metros de altura?
122
3. EXPERIMENTAÇÃO Nesta seção temos como objetivo apresentar os resultados obtidos da
experimentação, que se trata de um conjunto de dados provenientes das
observações realizadas durante as sessões de ensino e das produções dos
alunos em sala de aula. As atividades e testes descritos na seção anterior
foram desenvolvidos em uma escola estadual de ensino médio, na região
metropolitana de Belém, durante o segundo semestre letivo de 2012 pelo turno
da manhã, no bairro do Benguí. O referido bairro é considerado “linha
vermelha” quando o assunto é violência. A amostra participante dos alunos
estava cursando o primeiro ano e, por isso, não tinham estudado Função
Exponencial e Logarítmica, ou seja, nossa sequência de atividades foi o
primeiro contato dos alunos com a temática.
A escolha da escola se deu por meio de um aluno da graduação em
Licenciatura em Matemática, da Universidade do Estado do Pará. Pelo fato
deste já ter estudado na escola, o que facilitou nosso acesso à mesma.
O primeiro contato com o corpo administrativo ocorreu durante a fase da
Análise Prévia, onde distribuímos 100 questionários aos alunos do segundo
ano do ensino médio acerca da sua opinião sobre o ensino-aprendizagem da
Função Exponencial e Logarítmica. O segundo contato, conhecemos a equipe
técnica do turno da manhã, a diretora e a coordenadora pedagógica mostraram
grande proximidade com objetivo da pesquisa. Em seguida, fomos
encaminhados ao professor de matemática do primeiro ano do ensino médio,
que demonstrou grande fascínio pela pesquisa. Comentou que teríamos total
liberdade para aplicarmos a pesquisa, porém explicou, que em função da greve
ocorrida anteriormente, ele estava com um atraso no conteúdo referente ao
processo seletivo das Universidades. Ao acertar o horário, um fato inusitado
ocorreu durante a organização do cronograma de atividades da pesquisa, o
professor de sociologia havia ingressado no processo eletivo para um cargo
político na eleição que ocorrera no semestre que visitamos a escola, então a
coordenadora e a diretora cederam os horários destinados a disciplina de
Sociologia. Após a manhã de conversa, e dos horários selecionados fomos a
turma, juntamente com a coordenadora pedagógica, e nos apresentamos à
turma.
123
Explicamos para os alunos do 1° ano do Ensino Médio participantes da
amostra o objetivo da pesquisa e a coordenadora dedicou algumas palavras de
apoio em nome da escola para facilitar nosso contato com os alunos.
Desenvolvemos os testes e as atividades como parte do conteúdo do
ano letivo de 2012, haja vista que Função Exponencial e Logarítmica fazem
parte dos conteúdos matemáticos do 1º ano, conforme proposto pelos
documentos oficiais da educação brasileira e usado pela Secretaria de
Educação do Estado do Pará (SEDUC-PA). Quanto ao planejamento de
aplicações das atividades e dos testes, o período previsto de 20 (vinte) aulas
foi confirmado, isso foi possível pelo empenho dos alunos, em realizar cada
atividade e teste solicitados. Para auxiliar no registro dos fatos ocorridos
durante as atividades fizemos uso de um caderno de anotações, denominado
“diário de atividades”, e da assistência de uma auxiliar de pesquisa, o que
possibilitou um registro mais eficiente e detalhado. Todas as atividades foram
desenvolvidas em sala de aula. Os encontros foram denominados de
“encontros de experimentação”. A seguir nos apresentamos a tabela 8, onde
listamos em ordem as ações desenvolvidas na sala de aula. A tabela contém:
encontros de experimentação, o que foi abordado e a data que foi realizado.
124
Tabela 9 – cronograma dos encontros de experimentação.
DATA ATIVIDADE DO DIA
19/09 PRÉ-TESTE GERAL E DIAGNÓSTICO DO PERFIL DOS
ALUNOS
19/09 ATIVIDADE 1: O REFLORESTAMENTO
03/10 ATIVIDADES 2: O PLANO DE CELULAR
10/10 ATIVIDADE 3: O QUE É DENGUE?
17/10 ATIVIDADE 4: O CURIOSO CASO DE BENJAMIN BUTTON
25/10 ATIVIDADE DE FIXAÇÃO SOBRE FUNÇÃO EXPONENCIAL
25/10 ATIVIDADE 5: O GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
30/10 ATIVIDADE 6: CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO DA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
30/10 ATIVIDADE DE FIXAÇÃO SOBRE GRÁFICO DA FUNÇÃO
EXPONENCIAL
01/11 ATIVIDADE 7: O LOGARITMO
01/11 ATIVIDADE 8: LOGARITMO DE UM
01/11 ATIVIDADE 9: LOGARITMO DA BASE
01/11 ATIVIDADE 10: POTÊNCIA DO LOGARITMO
05/11 ATIVIDADE 11: LOGARITMO DO PRODUTO
05/11 ATIVIDADE 12: LOGARITMO DO QUOCIENTE
05/11 ATIVIDADE 13: COLOGARITMO
05/11 ATIVIDADE 14: MUDANÇA DE BASE
14/11 ATIVIDADE DE FIXAÇÃO LOGARÍTMO
14/11 ATIVIDADE 15: A FUNÇÃO LOGARITÍMICA
14/11 ATIVIDADE DE FIXAÇÃO SOBRE FUNÇÃO LOGARÍTMICA
21/11 APLICAÇÃO DO PÓS TESTE
FONTE: Pesquisa de campo.
125
DIAGNÓSTICO DO PERFIL DOS ALUNOS
Sobre o perfil dos alunos que participaram da pesquisa constatamos por
meio do questionário aplicado no primeiro encontro do experimento que:
Com relação à faixa etária dos alunos:
Quadro 22 - Percentual da idade dos alunos do 1° ano
Quadro 22 – Idade dos alunos do 1° ano
Faixa etária Alunos %
14 anos 1 5
15 anos 4 20
16 anos 9 45
17 anos 3 15
18 anos 2 10
19 anos - 0
20 anos - 0
21 anos 1 5
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Gráfico 24 - Percentual da idade dos alunos do 1° ano
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Percebemos que a maioria dos 45% possui 16 anos, sendo que a idade
recomendada pelo MEC para que o adolescente ingresse no 1° ano é de 15
anos. Enquanto que 5% possuem 14 anos, 20% com 15 anos, 15% com 17
anos, 10% com 18 anos e 5% com 21 anos. Em Salgado (2011), em relação a
idade dos alunos do 6° ano:
Em relação às idades, verificamos que era uma turma com alunos de idades variadas, sendo que a maioria deles se encontrava na faixa etária recomendada pelo MEC para que a criança ingresse no 7º ano, que é de 12 anos. (SALGADO, 2011 p. 144)
5 %
20%
45%
15%10%
0% 0%5%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
14 anos 15 anos 16 anos 17 anos 18 anos 19 anos 20 anos 21 anos
126
Quanto ao gênero
Quadro 23 – alunos do 1° ano divididos em gênero
Gênero Alunos %
Feminino 11 55
Masculino 9 45
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
Gráfico 25 – Percentual dos alunos do 1° ano divididos por gênero
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Percebemos que a maioria, 55%, dos alunos é do sexo masculino e 45%
do sexo feminino. O que se manteve com os alunos do 2° ano que participaram
da fase das Análises Préviaso o público feminino também era maioria. Na
pesquisa de Salgado (2011) a pesquisadora obteve sobre o perfil dos alunos
do 6° ano de sua amostra que 53,13% (17alunos) eram meninas e 46,87% (15
alunos) eram meninos. Sobre o gênero dos alunos do 9° ano participantes na
amostra da pesquisa de Paula (2011) percebemos que a maioria dos alunos é
do sexo feminino, representado 54%, com idades entre 14 e 18 anos, sendo
que os alunos com idades de 17 e 18 anos se concentram na turma B, sendo
essa uma característica desta turma.
A respeito dos responsáveis, como descrito no gráfico a seguir:
Quadro 24 - alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
Grau familiar do responsável
Alunos %
Mãe 2 10
Pai 15 75
45%
55%
Masculino
Feminino
127
Avó 1 5
Tia 1 5
Avô 1 5
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Gráfico 26 - percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
, FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Podemos perceber que a maioria assinalou a mãe com 75%, o pai com
10%, após a avó, avô e tia todos com 5% cada. Realizando um breve
comparativo com Salgado (2011), pois a mesma percorreu o mesmo caminho
metodológico, a respeito dos responsáveis de sua amostra de alunos do 6°
ano:
87,50% tinham como responsáveis o pai e a mãe, os quais, em sua maioria, possuíam como escolaridade máxima o nível médio. Verificamos também que 90,62% dos pais e 65,63% das mães possuíam emprego fixo, indicando que estes estudantes tinham pelo menos o mínimo de estrutura necessária para se desenvolver enquanto cidadãos que tem seus direitos essenciais garantidos. (SALGADO, 2011 p. 142)
Da escolaridade dos responsáveis. Possui-se ou não o ensino médio
completo. Utilizamos esse referencial em razão ao nosso objeto de pesquisa
ser referente a um conteúdo deste nível de ensino.
Quadro 25 - alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
Gênero Ensino Médio Completo
%
Feminino 1 5
Masculino 6 30
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
10%
75%
5% 5% 5%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Pai Mãe Avô Avó Tia
128
Gráfico 27 - percentual dos alunos em relação ao grau familiar do seu responsável
.
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Dos responsáveis masculinos, 5% com Ensino Médio Completo. Dos
responsáveis femininos, 30% com Ensino Médio completo. Sobre os
responsáveis dos alunos do 9° ano da pesquisa de Paula (2011), autor que
utilizou o mesmos procedimentos metodológicos, temos:
Quando indagados sobre a escolaridade de seus pais, observamos que a maioria dos pais possui apenas o ensino fundamental incompleto representando 20% já as mães representando 26% possuem o ensino médio completo e apenas 2% possuem o ensino superior (pais dos alunos da turma A), 74% dos genitores possuem algum tipo de trabalho, com mais frequência na resposta dos alunos foi o trabalho do tipo autônomo, entre as mães 54% declararam que suas genitoras possuem uma atividade empregatícia, obtendo com mais frequência a profissão de doméstica e a atividade autônoma. (PAULA, 2011 p. 112)
Quanto aos responsáveis que exercem atividade remunerada:
Quadro 26 - responsáveis que exercem atividade remunerada
Gênero Atividade remunerada
%
Feminino 2 40
Masculino 8 10
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012).
5%
30%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Masculino Feminino
129
Gráfico 28 - percentual dos responsáveis que exercem atividade remunerada
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Os dados revelaram que 10% dos responsáveis masculinos exercem
atividade remunerada, e nas responsáveis femininas 40% exercem atividade
remunerada. O que pode influenciar na escolaridade deste responsável, pois,
se houve uma obrigação de custear as necessidades da família este
responsável pode não ter tido oportunidade para continuar seus estudos.
Porém, tal afirmação não passa de uma conjectura.
Quadro 27 - relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico. Escola Alunos %
Escola Estadual 16 80
Escola Municipal 4 20
Escola Federal - -
Escola Privada - -
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Gráfico 29 - Percentual dos alunos em relação a esfera escolar que realizaram seu ensino básico.
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
10%
40%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Masculino Feinino
80%
20%
0%20%40%60%80%
100%
Escola Publica
Estadual
Escola Publica
Municipal
Escola Publica Federal
Escola Privada
Feminino
130
A maioria dos alunos, 80% estudaram seu Ensino Fundamental em
escolas pública estadual e nenhum em escolas públicas federal, ou privada.
Quanto a exercer atividade remunerada:
Quadro 28 - alunos atividade remunerada
Exerce atividade remunerada?
Alunos %
Sim 4 20
Não 12 60
As vezes 4 20
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Gráfico 30 - alunos com atividade remunerada
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
E a maioria dos alunos não exerce atividade remunerada, 60%, 20%
exercem atividade remunerada e 20% às vezes exerce atividade remunerada.
Na pesquisa de Salgado (2011) sobre o exercício da atividade remunerada a
pesquisadora detectou que:
[...] a maior parte dos alunos (6° ano) apenas estudava e que 28,13% dos estudantes além de estudar, também trabalhavam de forma remunerada sempre ou de vez em quando, o que poderia interferir de forma negativa em seus desempenhos na escola. (SALGADO, 2011 p.144)
Sobre as práticas remuneradas e o auxílio dos pais em atividades
escolares Paula (2011) discorre, com base em seus dados, que:
[...] a maioria dos alunos a escola fica localizada no mesmo bairro onde residem, representando um percentual de 72% e que 60% não praticam
20%
60%
20%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Sim Não Às vezes
131
nenhuma atividade de forma remunerada, 28% declaram ter ou praticam algumas vezes esse tipo de atividade para suprir, segundo eles em conversa informal, necessidades próprias e para ajudar a família. Com a relação a ajuda ou suporte para as despesas com seus estudos, perguntamos se esses alunos recebem algum tipo de auxilio para esse fim, e percebemos que 58% declararam não receber auxilio e 28% responderam que recebem auxilio e que este é oriundo em sua grande maioria de programas do governo federal e de parentes. (PAULA, 2011 p. 112)
O resultado obtido em nossa pesquisa é condizente com os resultados
conseguidos pela amostra da pesquisa de Salgado (2011) e Paula (2011) que
indicam que tanto os alunos do ensino fundamental participantes das
pesquisas, quanto os do ensino médio que fizeram parte da nossa amostra, em
sua maioria, não exercem nenhuma atividade remunerada.
Em relação aos alunos que realizam algum curso externo a escola
Quadro 29 - alunos do 1° ano curso externo
Participam de algum curso externo? Alunos %
Sim 11 55
Não 9 45
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Gráfico 31 - alunos do 1° ano curso externo
. FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Quanto aos cursos, 55% dos alunos fazem curso fora da escola, destes
46% fazem curso de Informática, 36% outros cursos e 18% de língua
estrangeira. Quanto a participação dos alunos em cursos extra-escolares dos
alunos 9° ano que participaram da pesquisa de Paula (2011)
[...] participação dos alunos em alguns cursos 64% disseram fazer esse tipo de atividade, sendo que 24% declaram fazer informática, 10% língua estrangeira e 34% disseram fazer outros cursos como o pré-vestibular e militar. (PAULA, 2011 p. 113)
A maioria dos alunos possui uma atividade externa, resultado este que
foi condizente com o resultado obtido na pesquisa de Paula (2011), e ainda,
55%45%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Sim Não
132
também participam de curso de informática. Podemos então destacar a
introdução dos alunos no universo digital.
Relação a afinidade dos alunos à disciplina, temos:
Quadro 30 - alunos em relação a sua afinidade com a disciplina Afinidade com a disciplina? Alunos %
Muito 1 5
Pouco 14 70
Nenhum pouco 5 25
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Gráfico 32 - alunos em relação a sua afinidade com a disciplina
, FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Os dados revelaram que 70%, a maioria, dos alunos pesquisados gosta
“pouco” de Matemática. Dentre os 20 alunos pesquisados apenas 10%
estavam cursando pela segunda vez o segundo ano do Ensino Médio. Na
amostra de alunos do 6° ano participantes da pesquisa de Salgado (2011),
têm-se que:
[...] a maioria dos alunos gostavam ao menos um pouco de matemática e que apenas 15,62% (correspondente a 05 alunos) não tinha pela disciplina, nenhum sentimento positivo. (SALGADO, 2011 p. 146)
Assim, entendemos que os alunos que participaram da amostra de
Salgado (2011) concordam em sua maioria, com os alunos participantes de
nossa amostra por ter pouca afinidade pela disciplina.
5%
70%
25%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Nenhum pouco Pouco Muito
133
Em relação ao período que estudam a disciplina fora da escola:
Quadro 31 - alunos em relação a atenção em sala de aula
Você consegue prestar atenção nas aulas? Alunos %
Sempre presto atenção 5 25
Não consigo prestar atenção; 3 15
Ás vezes perco aenção, quando a aula está chata
12 60
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012). Gráfico 33 - alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
. FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Os dados indicam que a maioria dos alunos, 60%, de vez em quando
não presta a atenção durante a aula de matemática, e apenas 25% consegue
prestar atenção na aula.
Quadro 33 - alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina.
Dificuldade na disciplina? Alunos %
Não 5 25
Um pouco 11 55
Muito 4 20
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Gráfico 34 - percentual dos alunos em relação a sua dificuldade com a disciplina.
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
25%15%
60%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Sempre presto atenção
Não consigo prestar atenção;
Ás vezes perco atenção, quando a
aula está chata
Atenção em sala de aula
Alunos
25%
55%
20%
0%
50%
100%
Não Um pouco Muito
134
Quanto ao período que estuda a disciplina fora da escola: Quadro 33 - alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
Qual o período que estudo a disciplina fora de sala?
Alunos %
Só no períodos de provas 11 55
Só na véspera de provas 2 10
Só nos fins de semana 1 5
Todo dia 5 25
Alguns dias da semana 1 5
FONTE: pesquisa de campo (Junho/2012). Gráfico 35 - percentual dos alunos em relação período que estuda a disciplina fora da escola.
, FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Quanto ao auxilio nas tarefas extraclasse, temos: Quadro 34 - alunos ajuda com as tarefas extra classe
Recebe ajuda extra-classe Alunos %
Professor particular 1 5
Pai - -
Mãe - -
Irmão 3 15
Amigo (a) - -
Ninguém 14 80
Outros - -
FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
55%
10%5%
25%
5%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Só no períodos de provas
Só na véspera de provas
Só nos fins de semana
Todo dia Alguns dias da semana
Estuda a discilina fora da escola
135
Gráfico 36 – alunos ajuda com as tarefas extra classe
. FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2012).
Quanto à dificuldade do aluno em aprender matemática, a maioria, 20%,
declara ter “um pouco” de dificuldade em aprender Matemática, enquanto, 55%
estudam “alguns dias da semana”, sem ajuda de ninguém, 25% estudam
apenas em período de provas e 5% só na “véspera da prova”. Enquanto que
50% dos alunos tem “muita” de dificuldade em aprender matemática, 5%
estudam apenas “no período de provas” com ajuda de parentes ou amigos.
Apenas 25% afirmam “não” ter esta dificuldade, 55% estudam “alguns dias da
semana” fora da escola, sem ajuda de ninguém. A falta de ajuda para estudar
fora da escola pode estar relacionada com a escolaridade do responsável, e
com influência das atividades remuneradas exercidas por alguns alunos. Ainda,
podemos perceber que o gráfico 34 demonstra que nenhum responsável
auxilia nas tarefas extraclasse dos alunos, isto sendo influenciado pela
escolaridade do responsável.
Salgado (2011), com a amostra dos alunos do 6° ano que participaram
de sua pesquisa obteve os seguintes resultados após o cruzamento das
informações produzidas, sobre o perfil da turma, em sua pesquisa:
[...] a maioria dos alunos reconheceu ter um pouco ou muitas dificuldades para aprender matemática, enquanto apenas 9,38% (correspondente a 03 alunos) declararam não ter dificuldades. (SALGADO, 2011 p. 145) No cruzamento dos dados observamos que os alunos que disseram não ter dificuldades para aprender matemática também não costumavam distrair-se durante as aulas. Os que declararam ter muita dificuldade de
5%0 0
15%
0
80%
00%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Professor particular
Pai Mãe Irmão Amigo (a) Ninguém Outros
Quem auxilia nas tarefas extra classe
136
aprendizado, em sua maioria, eram sujeitos que sempre se distrair nas aulas. Já entre os que disseram ter um pouco de dificuldade observamos que foi estabelecido equilíbrio entre os que não costumavam se distrair e os que se distraiam às vezes, alegando que isso ocorria quando a aula não estava interessante, quando não entendiam o assunto, quando estava muito barulho na sala ou quando estavam com algum problema particular. Evidenciando que os motivos mais freqüentes para distração estavam diretamente relacionados aos aspectos didáticos. (SALGADO, 2011 p. 148)
Sobre o interesse e participação dos alunos do 9° ano da pesquisa de
Paula (2011)
[...] podemos observar que a relação dos alunos com a disciplina de matemática está mudando, uma vez que, 78% dos alunos declararam gostar desta disciplina, mas que ao mesmo tempo sentem dificuldades com alguns conteúdos estudados representando 92% da opinião dos alunos. Estas dificuldades podem ou não estar relacionadas com os momentos de distração em sala de aula, que representaram da opinião dos alunos um percentual de 70% que declararam se distrai nas aulas de matemática. (PAULA, 2011 p. 113)
Tendo em vista esta distração em sala de aula e outros fatores que acabam por dificultar o aprendizado desta disciplina em sala de aula, procuramos saber junto aos alunos se estes costumam estudar matemática fora da escola, e obtemos como resultado que 30% dos alunos estudam matemática alguns dias da semana, com mais frequência 3 dias ou todos os dias e que em mesma percentagem estudam apenas no período de prova ou nos fins de semana e que esses alunos, representando 16% recebem auxilio para as tarefas de matemática de seus amigos e em grande maioria com um percentual de 42% não recebem ajuda de ninguém nas tarefas de matemática. (PAULA, 2011 p. 113)
As pesquisas apresentadas denotam que os alunos sentem muitas
dificuldades com a disciplina, e que poucos recebem amparo para as tarefas de
matemática. Sendo comum que esse auxílio vinha por parte de um amigo. Os
fatores didáticos como barulho, não compreensão do tópico ou quando o aluno
estava passando por algum problemas particular são os motivos apresentados
para a distração dos alunos, sendo também a afinidade um fator que corrobora
para o interesse pela disciplina.
Quanto ao resultado do pré-teste, que será descrito detalhadamente na
Tabela 9 (sessão Análise a posteriori e validação). Podemos destacar, neste
momento que:
- Apenas um aluno tentou resolver todas as questões, apresentando o registro
de resolução. Seu total de acerto foi de 4 (quatro) questões;
- A maioria, 9 (nove) alunos, deixaram todas as questões em branco. Não
apresentando qualquer registro de tentativa de resolução.
137
O que denota que os alunos, em sua maioria, não conseguiram
estabelecer alguma relação com os conhecimentos prévios. Apresentando ao
menos um registro de tentativa. Ou que lhes faltou seriedade durante a análise
e resolução das situações-problema. Sendo que os alunos participantes da
amostra, ainda não estudaram o conteúdo de Função Exponencial e
Logarítmica.
3.1. PRIMEIRA SESSÃO
A primeira sessão ocorreu no dia 18 de setembro de 2012, com o
objetivo de descobrir uma relação entre variáveis, com o uso da atividade.
Chegamos à escola 30 minutos antes do horário da sessão, entramos na sala
da direção para conversarmos com a diretora e a coordenadora pedagógica
sobre o que seria realizado nessa primeira sessão.
Ao entrarmos na sala apresentamos aos alunos a intenção de nossa
pesquisa, que nosso trabalho se tratava de uma pesquisa cientifica de nível
acadêmico de mestrado, mas que o assunto abordado na pesquisa era
referente ao conteúdo programático do 1° ano do Ensino Médio. Explicitamos
aos alunos deveriam se empenhar, pois durante as atividades seria realizada
uma avaliação de sua produção. Explicamos que estávamos ali para auxiliar
eles, e que todos que estavam presentes tinham condições de alcançar, ou até
superar, o nível esperado. Em seguida, destacamos que os alunos iriam fazer
testes e exercícios de fixação ao longo do experimento, isto para validar a
sequência.
Aplicamos um questionário de caráter sócio-econômico com um pré-
teste anexo. Os alunos apresentavam certo desconforto com o teste, e
alegaram que deveriam ter tempo prévio para estudar. Durante a aplicação do
pré-teste percebemos, para a nossa surpresa, de um total de 20 alunos na sala
havia uma aluna que necessitava de uma atenção especial, por ter deficiência
auditiva, o que dificultou nossa aproximação neste primeiro momento.
Todos os alunos estavam sentados em suas respectivas carteira, que
eram novas, em um ambiente bem iluminado e arejado, pelas janelas e
ventiladores que eram seis funcionando, de um total de oito. Os alunos levaram
138
vinte e cinco minutos para responder o questionário e as 10 questões
propostas.
Solicitamos que os alunos se dividissem em duplas, e percebemos que a
aluna com a dificuldade auditiva não tinha uma boa socialização, pelo fato de
não ter nenhum aluno para a formação da sua dupla. Conversamos com outra
aluna, que também estava sozinha, e ela declarou estar só por não saber se
comunicar com a aluna que possuía dificuldades auditivas. Naquele momento,
sentimos a necessidade de apresentar a LIBRAS (Linguagem Brasileira de
Sinais) para a turma.
Às onze e vinte os alunos receberam a atividade 1, que possuía o
objetivo de descobrir uma relação entre as variáveis, apresentando um texto
adaptado sobre o reflorestamento, seguido por nove indagações sobre o
mesmo. A atividade foi que foi lida em voz alta, onde cada procedimento foi
explicado. Em seguida aguardamos o pronunciamento dos alunos quanto a
interpretação e entendimento sobre as ações que foram requeridas.
Simultaneamente, nossa auxiliar de pesquisa realizava o registro das ações em
sala de aula, no “Diário de Experimentação”.
No decorrer da atividade tiramos algumas dúvidas, percebemos que o
item “d) Quanto medirá a árvore após t meses?” apresentou problema no
entendimento do que seria o “t meses”, mas os alunos perceberam que o “t
meses” era apenas uma generalização do tempo. Para auxiliar no
entendimento do termo “t meses”, utilizamos a seguinte situação: “Pensemos
um conjunto, uma coleção de objetos. Agora, imaginemos que estes objetos
são infinitos, sem fim. Mas, em algum momento tenhamos vontade de
mensurá-los, limitá-los. Como na frase: Ela deve ter „tantos‟ anos. Não disse
qual era a idade, nem quantos anos ela tinha, apenas generalizei”. O que nos
surpreendeu foi a vontade demonstrada pelos alunos e assim, realizamos
pequenas intervenções como: o desenvolvimento do termo “dobrar”, na
montagem da tabela, além de auxiliar em alguns cálculo envolvendo produto e
suas propriedades, que aparentemente foram esquecidas por uma parte dos
alunos.
A construção da tabela foi iniciada no quadro, onde montamos a tabela,
partindo das variáveis identificadas pelos alunos (tempo x altura). Construímos
a tabela no quadro, evitamos registrar através de imagens por acreditarmos
139
que os alunos seriam inibidos pelo fato, e, com ajuda dos alunos, preenchemos
as três primeiras linhas. Em seguida, transferimos a tarefas para as duplas.
Sobre os resultados na primeira atividade, temos:
Observando os resultados percebemos que o item “e) Qual a expressão
que relaciona o tamanho da árvore em função do tempo?”, nenhuma dupla
obteve a resposta esperada. A seguir apresentamos algumas das respostas
produzidas pelos alunos participantes:
Sobre tal interpretação:
Para que um aluno possa reconhecer a Função Exponencial num registro de linguagem natural, ele precisa ler e interpretar o texto, identificar as variáveis e características da função, assim como o tipo de variação que está ocorrendo, possibilitando não somente representar matematicamente esta situação, como se fosse um sistema de códigos, mas encontrar o significado do conceito Função Exponencial, numa situação problema a resolver. (DOMINONI 2005, p. 38)
Podemos concluir que a partir da resposta dos alunos, apesar de
compreenderem as variáveis relacionadas e a interdependência existente entre
elas, não conseguiram explicitar um modelo matemático que representasse a
situação. Onde esperávamos algo do tipo: Altura = 2tempo, ou h = 2t, haja vista
que por experiência adquirida na disciplina de física eles poderiam relacionar
altura com a variável “h”. Assim, decidimos intervir com o auxílio do quadro, a
partir dos resultados obtidos, tentamos apresentar de maneira construtiva
140
perceber que a única relação algébrica que descreve a situação séria um
modelo que utilizasse a potência (ou seja, uma modelo com relação
exponencial) como operação, ao invés da divisão.
Assim, após a intervenção percebemos que os alunos iniciaram a
compreensão sobre a relação exponencial, tal pensamento é reforçado pelas
novas respostas obtidas na primeira atividade.
.
O que denota a dificuldade sentida pelos alunos nesse primeiro
momento, principalmente no aspecto interpretativo. Tal fato, fez com que
refletíssemos sobre a aplicação da segunda atividade. Mas, com respeito ao
nosso cronograma continuamos com as aplicações, até para verificarmos se os
alunos aplicariam a mesma idéia para a próxima atividade.
Em suma, o desempenho da turma não foi o esperado. Pois, dos nove
itens apenas em quatro o número de acertos superou o número de erros, e o
item “e) Qual a expressão que relaciona o tamanho da árvore em função do
tempo?” onde nenhuma dupla obteve a resposta esperada, esperávamos um
modelo como h = 2t. Onde víamos respostas como: “1x2 = 2” ou “depende por
que a árvore precisa do tempo para crescer...” O que remete ao possível
desinteresse, ou ausência de seriedade na atividade. Então, decidimos intervir,
auxiliados pela tabela disposta no quadro, iniciamos a produção do modelo
matemática que satisfizesse a situação. Assim auxiliando os alunos á
conclusão esperada, mas apenas após a intervenção.
3.2. SEGUNDA SESSÃO
Na segunda sessão, realizada no dia 3 de outubro de 2012 teve início às
10 horas e 45 minutos. Com o mesmo objetivo da atividade anterior, descobrir
a relação entre as variáveis. Perguntamos a diretora sobre a aluna com
dificuldades auditivas, a diretora declarou ser difícil de trabalhar com ela.
Apresentou que os professores não receberam treinamento em LIBRAS, e isso
141
era muito ruim. E ainda, que os órgãos competentes ainda não haviam
encaminhado um interprete que a escola havia solicitado.
Solicitamos que os alunos organizassem em duplas, dando preferência a
dupla formada na sessão anterior. Neste momento, percebemos que 3 alunos
haviam faltado e 5 novos alunos estavam presentes. Portanto, houve uma
reorganização para a aplicação da atividade. E então, iniciamos a aplicação da
atividade 2 que se baseia em um texto sobre a as mensagens de celular, e
possuía como objetivo descobrir uma relação entre as variáveis, composta por
oito indagações sobre o mesmo. Após as atividades entregues, nós resolvemos
realizar a leitura em voz alta a fim de retirar alguma dúvida. Ás 11 horas e 10
minutos iniciou a segunda atividade. A primeira dúvida que surgiu já esperada
em nossa análise a priori, era sobre a operação de números decimais. De
forma mais especifica os alunos confundiam a parte decimal com inteiro e vice-
versa. Ocasionando em erros algébricos. Então, resolvemos ir ao quadro e
realizar pequenos exemplos. Os exemplos relacionavam valores monetários da
vivência dos alunos, perguntamos: “Quanto é um lanche?” ou “Qual o preço da
última roupa que você comprou?”, e a partir das repostas realizamos algumas
operações tentando sanar as dúvidas.
Sobre a segunda atividade temos que:
Aplicamos a segunda atividade e durante a aplicação, percebemos outra
dificuldade, alguns alunos que se confundiam em operar com números
decimais, o que nos remeteu á uma intervenção dupla a dupla, e até mesmo ao
quadro. Dificuldade que refletiu ao observarmos a quantidade de acertos e
erros em relação aos itens propostos na segunda atividade.
Notamos, no primeiro item “a) Qual o valor da primeira mensagem no
instante inicial?”, todas as duplas acertaram superando assim uma dificuldade
existente na primeira atividade. Como existe a dificuldade operacional com os
números decimais podemos inferir que a construção da tabela, item c, teve um
menor rendimento. Entendemos que está dificuldade é ocasionada por uma
desigualdade educacional. Após a coleta da atividade, e a leitura e análise dos
registros de resolução podemos perceber de forma explicita o grau de
dificuldade apresentada. Então, percebemos que está dificuldade parti da
representação decimal. Os alunos possuem grande dificuldade em representar
valores como vinte centavos, ao invés de “0,20” apresentam “20 c” que
142
acarreta no equivoco durante as operações algébricas com o conjunto dos
números decimais, como segue nos exemplos:
Percebemos que alguns alunos possuem dificuldade na representação
dos números decimais. Que apesar das orientações e exemplos no quadro,
talvez não tenha sido superado. Considerando que prevíamos apenas um erro
operacional, e não de caráter representativo e consequentemente operacional.
Então, decidimos apresentar ao quadro alguns exemplos operacionais para
tentar contornar a dificuldade apresentada. A operação de multiplicação é
operada por dois fatores que resulta em um produto. Como em: 1,2 x 2 = 1,4,
pois existe uma casa decimal em um dos fatores. A multiplicação entre
143
números decimais não é diferente, o que difere é quando formos colocar a
vírgula no produto devemos contar as casas decimais dos dois fatores.
Portanto, 9,3 x 1,2 = 11,16, então, como somando as casas decimais dos dois
fatores (9,3 e 1,2), teremos 2 casas decimais, assim andaremos 2 casas
decimais da direita para a esquerda para colocarmos a vírgula. Para divisão,
ainda é importante a atenção para as casas decimais, então 0,12 ÷ 2 = 0,06
pois existem duas casas decimais em 0,12. É fato que algumas duplas detêm
dificuldades em operar com os números decimais, fator este que aumento o
índice de erro da atividade. Haja vista, que alguns outros itens eram auxiliados
pelo uso da tabela, ou seja, se a tabela não fornece dados corretos os alunos
erram outros itens. Mas, após a intervenção observamos duplas de alunos que
conseguiram operar como:
Porém, apesar do sucesso de algumas duplas, outras se equivocaram
com enunciada das questões. Onde o item, “d) Quanto será o custo da
mensagem após n envios?”, foi entendido como nenhum envio, ou seja, o
termo de generalização “n” foi interpretado, por uma dupla, como advérbio de
negação “não”. O que acarreta na seguinte interpretação: „Quanto será o custo
da mensagem após não (nenhum) envio, o que remete a resposta 0 (zero). O
aspecto interessante é o que está escrita provém da Internet, sendo fruto de
conversar on-line entre os alunos. Como podemos observar a seguir.
Então, nossa intervenção neste caso foi de apenas evitar a dualidade do
termo, deixando claro que nesse aspecto a equipe estava coerente com a sua
interpretação. E explicamos que o “n” envios era uma representação de
qualquer enviou, ou seja, uma tentativa de generalização que seria
proporcionada pela regularidade do fenômeno. Onde esta regularidade poderia
ser percebida com auxílio da tabela.
144
Uma dupla tendo como base a atividade anterior tentou apenas
converter a resolução para esta atividade.
Nossa intervenção neste caso foi na tentativa de explanar que a
concepção deveria seguir as peculiaridades da situação apresentada, que
nesse caso seria o envio de mensagens. Mas, que a relação matemática
exponencial estaria presente. Porém, o que eles apresentaram não se tornava
coerente com os parâmetros do fenômeno. Nossa intervenção foi,
aparentemente bem aceita pela dupla. Fato que foi comprovado na segunda
tentativa de resolução da atividade.
Percebemos, infelizmente, que alguns alunos não encararam a atividade
com seriedade. Tal fato foi explícito durante a análise da atividade resolvida por
eles. Isto pode ter influenciado no contingente de alunos que realizou o pós-
teste, que será discutido e analisado mais adiante. O que nos fez ter mais
atenção com este grupo especifico, a fim de tentar motivá-los para dar
prosseguimento nas atividades.
Observamos que os registros não possuem a fundamentação desejada,
e tão pouco segue o procedimento explicito no roteiro de atividades.
Observamos que o item “c) Construa uma tabela que represente essa situação
durante 5 mensagens.” Não possui nenhum registro, o que representa que não
145
há tabela que representa a situação durante o envio de 5 (cinco) mensagem
para o auxílio na resposta dos próximos itens. Talvez a atividade possa ter tido
pequenos equívocos em sua construção como, por exemplo, o valor inicial R$
0,20. E ainda, a quantidade de envios para a construção da tabela, ou seja, 5
envios ou mensagens.
Na segunda atividade os alunos não tiveram dificuldades em responder
qual o valor inicial, instante inicial ou primeira mensagem, e a identificação das
variáveis dependentes e independentes. Porém, para a construção da tabela
os alunos sentiram muita dificuldade, não por conta da tabela em si, mas pelo
uso de valores em decimal. Os alunos possuíam muita dificuldade em
operacionalizar com os números decimais, isto influenciou no resultado da
atividade. Apesar de termos realizado alguns exemplos no quadro, e de
pequenas orientações grupo a grupo.
Outro problema identificado foi que 9 duplas, de um total de 12, não
conseguiram criar um modelo matemático que representasse a situação,
destas 2 duplas responderam o item “d) Quanto será o custo a mensagem
após n envios?” como: Valor = 0, ou seja, as duas duplas interpretaram o “n”
como uma abreviação do advérbio de negação “não”, influenciadas talvez pela
linguagem escrita da Internet, sendo então para nenhum envio não será gasto
nenhum centavo. Percebemos assim que alguns alunos, possivelmente,
tinham certa afinidade com as redes sociais. Enquanto que 2 duplas obtiveram
o seguinte modelo: n/2 que é um modelo aceitável para a situação.
Nos demais itens, os alunos obtiveram dificuldade em virtude do uso de
números decimais e no item, “h) Em qual mensagem o valor será de
aproximadamente 0,02 centavos?”. Do total de 12 duplas, 5 duplas
encontraram a resposta esperada, enquanto que o restante, 6 duplas, não
obtiveram o resultado esperado. Destes, 2 duplas não conseguiram encontrar
nenhuma mensagem que tivesse um valor aproximado de 0,02 centavos e
como resposta colocaram “não” ou “nenhuma”. Além da dificuldade com os
números decimais, estas duplas possivelmente tiveram dificuldade com a o
termo “aproximadamente”, ou uma má execução nas operações algébricas que
envolvem os números decimais.
Na análise dos registros dos alunos, percebemos que existia sim uma
dificuldade com o termo “aproximado”, pois os registros dos cálculos das
146
duplas apresentavam a resposta esperada. Porém, tiveram dificuldade de
selecioná-la como a resposta final do item. Em suma, percebemos que o
desempenho não foi o esperado. Então, intervimos novamente com o auxilio do
quadro, onde construímos sempre com a participação dos alunos a tabela,
deixando bem claro, que a tabela era umas das ferramentas que facilitariam a
modelagem da situação. Quanto aos números decimais, utilizamos a fração
geratriz para auxiliar nos cálculos. Mas, percebemos que as dificuldades se
mantinham com as frações, o que nos remeteu a ideia de utilizar os valores em
base de dez. Este momento facilitou o cálculo dos alunos assim alcançando o
objetivo esperado, após intervenção. Esta sessão fez com que repesássemos
as atividades, e até levantamos a hipótese de reaplicá-la. Os resultados obtidos
foram influenciados de forma direta por nossas atitudes em sala de aula, onde
não fornecemos subsídios o suficiente para os alunos ou até uma precipitação
na escolha de uma situação problema com uso dos decimais.
3.3. TERCEIRA SESSÃO
Na terceira sessão, realizada no dia 10 de Outubro de 2012. Com o
objetivo mantido de descobrir a relação entre as variáveis, através da atividade
apresentada. Entramos na sala às 10 horas e 55 minutos, pois havíamos
aguardado a saída do professor de história que estava entregando a prova.
Brincamos com a turma sobre eles serem historiadores e destacamos que a
matemática tinha uma área específica para as pesquisas históricas. A
brincadeira foi bem aceita e percebemos que os alunos desconheciam outras
áreas de pesquisa da Matemática. Os alunos acreditavam que a matemática
era só o “estudo de números”, um aluno brincou dizendo que a matemática era
um “jeito de transformar as pessoas em calculadoras”.
Resolvemos comentar um pouco sobre a grande diversidade em
pesquisas: História da Matemática, Educação Matemática, Etnomatemática,
etc. Comentamos que eles dariam bons pesquisadores, pois eles detinham
perguntas e buscavam as respostas. Em seguida, solicitamos que os alunos
formassem as duplas, com base na formação anterior. E em função do ocorrida
na ultima sessão, decidimos realizar uma frequência a partir dos nomes
147
presentes nas atividades anteriores. Durante esta sessão fomos obrigados a
formar um trio, pois dentre as duplas formadas houve a ausência de uma aluna
nos obrigando a adaptação na formação. Este ocorrido não havia sido previsto
em nossa Análise a priori, o que gerou certa insegurança de nossa parte.
Entregamos o roteiro de atividades, em seguida, realizamos a leitura
como de costume. Ressaltamos a importância do esforço dos alunos para o
desenvolvimento da atividade e agradecemos a participação deles. Nesta
sessão, percebemos os alunos mais agitados. A atividade 3 possuía como
objetivo descobrir uma relação entre as variáveis, composta por um texto
sobre a Dengue e seguida de nove indagações. Os alunos mostraram
facilidade nesta terceira atividade, concebida pela experiência adquirida das
atividades anteriores, que foi finalizada pela primeira dupla às 11horas e 30
minutos, e pela última às 11 horas e 45 minutos.
Notamos que nenhum item obteve 100% de acerto ou erro, como as
atividades anteriores e também que influenciamos no resultado por termos
optado por valores razoavelmente elevados, como por exemplo: 210. O item
com maior índice de erro foi o “d) Quanto contaminará após t horas?”, alguns
alunos chegaram bem próximo do resultado esperado. O erro pode ter sido
ocasionado em função a prática de generalização de ideias para as “t” horas.
Como podemos ver a seguir:
E ainda, houve alunos que tentaram, se aproximaram da resposta,
porém acabaram se confundindo com o modelo.
Neste momento, havíamos percebido uma evolução nos alunos.
Inclusive o aumento de sua seriedade para com as atividades. Mais maduros,
a partir das experiências adquiridas nessas três atividades iniciais, no que
148
competem a busca de modelos matemáticos que representassem as situações
propostas. O que facilitou o andamento das próximas atividades.
Houve muitas dificuldades quanto à construção de um modelo
matemático que se adequasse a situação proposta, o que já havia acontecido
anteriormente. O desempenho da turma no geral, não foi o esperado e assim
necessitamos intervir. Recorremos ao uso do quadro para auxiliar na
construção da tabela, facilitando a visualização da relação matemática
existente entre as variáveis. Em seguida percebemos que para a concepção de
um modelo matemático condizente com a situação não foi tão dificultoso como
na primeira tentativa, em seguida a dificuldade sofrida pelos alunos foi no item
“d) Quanto contaminará em t horas?”, assim apresentamos a ideia de
generalização que é uma estratégia de raciocínio e não uma realidade
comprovada, um recurso que pode ser recursivamente aplicadas a um número
arbitrário. Ou seja, qualquer valor para o tempo, condizente com a situação,
seria válido no modelo construído.
3.4. QUARTA SESSÃO
A quarta sessão, realizada no dia 17 de Outubro de 2012, tinha com
objetivo descobrir a relação entre as variáveis e também formalizar o conceito
de Função Exponencial.
Como o de praxe, entramos na sala às 10 horas e 40 minutos,
inicialmente perguntando como os alunos estavam. E percebemos que todas já
nos aguardavam organizados em duplas. Entregamos a cada aluno uma cópia
do roteiro da atividade com o texto sobre o “Curioso caso de Benjamin Button”,
baseado em um filme que a maioria dos alunos já havia assistido. O objetivo
desta atividade 4, comum a todas as quatro atividades iniciais, era de
descobrir uma relação entre as variáveis, com oito indagações sobre o texto
vinculadas à Função Exponencial, e por conseguinte apresentando a definição
de função exponencial para auxiliar a formalização do conhecimento
construído.
Os alunos estavam mais calmos, pois percebem que a ideia desta
atividade é bem próxima de atividades que já tinham realizado, porém alguns
alunos apresentaram dificuldades em construir um modelo matemático que se
149
adequasse à situação. E ainda, tinham uma dificuldade, já esperada, em operar
com porcentagem, por isso realizamos pequenas orientações dupla a dupla
para operar com porcentagem, conversão em decimal, além de realizarmos
exemplos no quadro.
A quarta atividade nos levantou uma breve insegurança, haja vista que
iríamos exigir uma aptidão com os números em porcentagem, e até o momento
havíamos enfrentado problemas operacionais com os números decimais.
Entretanto, resolvemos aplicá-la para seguir com o cronograma inicialmente
estabelecido. Talvez nossa insegurança juntamente com a ideia da atividade,
onde apresentou um texto não tão claro, trouxe resultados negativos.
Assumimos assim, que esta atividade deve ser alterada para uma melhor
execução de seu objetivo.
Para tentar contornar a dificuldade sentida pelos alunos quanto à
porcentagem resolvemos intervir, inicialmente comentando que todos os dias
nós deparamos com situações que envolvem porcentagem como: pagamentos
antecipados de prestações, descontos em compras a vista, rendimentos de
poupança e assim por diante. Mas, o que seria porcentagem? Explicamos que
a porcentagem seria uma parte de um todo de cem partes, ou seja, uma fração
de denominador 100. Então, destacamos a seguinte suposição: a cada 100
crianças 46 são meninos, onde podemos representar como 46/100, que seria
46% das crianças são meninos.
Consideramos então que a porcentagem é uma forma de escrever uma
fração com denominador 100, e toda a fração pode ser escrita como um
número decimal, por sua vez a porcentagem também pode assim: 46/100 =
0,46. E ainda, por demérito de fornecer que de modo geral, os fenômenos
naturais que envolvem a característica exponencial não se apresentam na
forma ax, mas sim modificado por constantes características do fenômeno
como em: f(x) = C.ax. Porém, mesmo com os problemas encontradas alguns
alunos trouxeram resultados interessantes que foram aproveitados em nossas
intervenções para a formalização da ideia de Função Exponencial e
Logarítmica. A partir da resolução gerada pelos alunos, fomos à busca da
formalização que estava descrita na atividade como no item “d) Quanto
rejuvenescida após t anos?”, como:
150
Que nos proporcionaram a percepção de que os alunos estavam
tentando relacionar às variáveis em um modelo, que de acordo com a
perspectiva deles, era adequado a situação. Porém, decidimos intervir de
maneira mais direta discutindo sobre os resultados encontrados. Apresentamos
novamente a situação, apontando as características para o desenvolvimento do
modelo, que revelou problemas em sua construção. Reconhecemos que a
atividade não foi condizente com o objetivo proposto, assim encaramos que tal
insucesso foi ocasionado por um problema em sua concepção, assumimos
que os resultados negativos foram de responsabilidade dos pesquisadores.
Finalizamos o primeiro bloco com a definição de uma função exponencial.
3.5. QUINTA SESSÂO
Na quinta sessão, realizada no dia 25 de Outubro de 2012, com objetivo
de Aprimorar as habilidades dos alunos para o reconhecimento do modelo
matemático (forma algébrica) da Função Exponencial e fortalecer o processo
de assimilação das mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem deste
conceito. Com a questão da aluna com dificuldades auditivas a diretora
comentou sobra a dificuldade que ela sentia pela ausência do intérprete, e
ainda que não entendia a razão de tanta demora, comentou que se existe a
necessidade do interprete, e poucos funcionários disponíveis que Secretária de
Educação deveria abrir concursos ou convocar temporários para suprir essas
vagas. Este ponto fez com que nos questionássemos sobre a nossa própria
formação quanto professor, percebi que naquele momento me faltava uma
preparação mais adequada para aquela situação. O básico de LIBRAS
auxiliava, mas não o suficiente.
151
Apresentamos aos alunos, após a organização em duplas, a primeira
atividade de fixação 1 que correspondia ao reconhecimento e construção de
um modelo algébrico da Função Exponencial, com o objetivo aprimorar as
habilidades dos alunos para o reconhecimento do modelo matemático (forma
algébrica) da Função Exponencial e fortalecer o processo de assimilação das
mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem deste conceito. Assim,
realizamos a leitura da atividade, durante este momento percebemos que
algumas duplas já iniciavam a resolução das situações propostas. Os alunos
estavam mais seguros, confiantes para a resolução, levando entre 5 (cinco) á 7
(sete) minutos para resolver cada situação proposta.
Atividade de fixação, onde era exigido o reconhecimento de um modelo
matemático, ou forma algébrica, que condizia com uma função exponencial. E
outra questão, com cinco situações problemas, referentes à função
exponencial, onde se era exigido o modelo matemático.
Neste momento, intervimos a fim de auxiliar os alunos na modelagem
das formas algébricas. Nossa intervenção foi concebida através de
questionamentos realizados em duplas a dupla, sobre as variáveis
dependentes e independentes. E quanto a qual operação algébrica seria
escolhida, para que o modelo se tornasse mais coerente com a situação. Além,
da necessidade de construção de uma tabela, para que auxilie na construção
do modelo. Obtendo alguns resultados como:
152
Quando os alunos começaram a relacionar nas situações-problema as
variáveis dependentes e independentes com a relação algébrica exponencial,
começaram a entender a construção dos modelos matemáticos solicitados, o
que nos remete a questão das dificuldades iniciais estarem relacionadas com o
conjunto numérico em questão, tanto no caráter representativo quando ao que
compete a operacionalização algébrica. Os resultados apresentados confirmam
nossa suspeita. Onde percebemos que o item “b) Qual o modelo matemático
que interpreta a sequência: 10, 100, 1000, ...” Os alunos conseguiram construir
um modelo matemático coerente com a situação. O que tentamos estabelecer
neste grupo era a construção do modelo matemático, representação algébrica,
da Função Exponencial a partir de uma situação problema, a fim de
estabelecer sentido e significado a definição formal apresentada na ultima
atividade. Como destacou Ferreira (2006) quando apontou em sua pesquisa a
dificuldade sentida pelos alunos na definição algébrica, que é atribuído a
memorização da definição.
O que nos surpreendeu foi que a atividade de fixação foi concluída antes
do esperado no cronograma, até pelas dificuldades encontradas nas atividades
anteriores com o modelo algébrico da Função Exponencial, os alunos
declararam entender que as situações representavam relações exponenciais e
que os modelos deveriam condizer da mesma maneira. E como já havia
ocorrido anteriormente, os alunos pediram que lhes fosse entregue mais uma
atividade. Então, por este motivo, apresentamos a atividade 5 que tinha como
objetivo praticar a construção de gráfico da Função Exponencial. Onde
apresentava seis modelos de Função Exponencial junto a um quadro, para
simular valores o que auxiliaria na construção do gráfico e um sistema
cartesiano em uma área quadriculada para a construção gráfica.
Ao primeiro contato, os alunos demonstraram certo desconforto com o
sistema cartesiano ortogonal pelo fato de não conhecerem a estrutura
153
cartesiana e tão pouco manipular nesta. Dessa forma entendemos que era
necessária comentar um pouco sobre o sistema, a fim de superar a dificuldade
percebida. Atentamos aos alunos para a utilização das tabelas, como auxílio,
para traçar curvas suaves que se aproximariam da proposta.
A dúvida mais comum durante está atividade foi: “Qual o ponto que
começa o gráfico?”, os alunos sentiam dificuldade em determinar o ponto inicial
do gráfico, tal indagação provocou uma breve discussão. Então, os alunos
foram para as tentativas na tabela, com base nas intervenções realizadas nas
atividades anteriores. Aconselhamos a utilização de números como: -2, -1, 0,
1, 2, etc. Para facilitar as operações algébricas, pois neste momento nosso
objetivo era conduzir os alunos a construção da representação gráfica da
Função Exponencial. Após um tempo os alunos perceberam que para cada
ponto haveria um prolongamento do gráfico.
Um problema que surgiu, durante a construção de gráficos de funções
exponenciais decrescente, foi ocasionado pela dificuldade que os alunos
detinham em operar com números fracionários, o era esperado pelas
dificuldades anteriores com decimais e porcentagem. Mais uma vez, reforçando
que as dificuldades encontradas até o momento eram baseadas com
problemas em operações algébricas.
Na quinta atividade, nosso objetivo era praticar, mesmo que de modo
empírico, a construção de um gráfico da função exponencial. Nos
procedimentos explicitamos que os gráficos deveriam respeitar uma “curva
suave”, e que para auxiliar nesta construção os alunos deveriam se apropriar
dos resultados gerados com auxilio da tabela. Enfatizamos durante a leitura
que a tabela serviria para a orientação dos pontos nos gráficos. Os alunos
apresentaram desconforto com o sistema cartesiano, e o entendimento das
coordenadas para um ponto. O que foi comentado para a turma com o auxílio
do quadro, e com a resolução de um exemplo, gerando os seguintes
resultados:
154
Observamos que a atividade apresentou resultados positivos quanto ao
a construção gráfica. Apresentado a disposição coerente das coordenadas,
bem como a curva suave característica da Função Exponencial. Durante a
aplicação percebeu-se veemência dos alunos durante a construção dos
gráficos, denotando um empenho e motivação na atividade.
155
A dificuldade encontrada pelos alunos faz referência com a
operacionalização algébrica com as frações. Uma dificuldade apresentada em
atividades anteriores com os decimais e porcentagem. Além, da dificuldade
para reconhecer a posição da coordenada (fracionária) no eixo do sistema
cartesiano. Esta dificuldade proveniente das experiências durante aos anos
iniciais, tentou ser superada por meio da intervenção, com o auxílio de
exemplos e revisão, tentamos sobrepujar tal dificuldade. Os registros dos
alunos permitem o entendimento da frustração ocasionada pela dificuldade,
alguns alunos preferiam evitar o calculo com as frações, e tentar gerar os
gráficos sem as coordenada especifica. Outros alunos apresentam em seus
registros uma superação na dificuldade, tanto na operacionalização com
frações, quanto na localização das coordenadas fracionárias nos eixos. Foi
necessário um comentário a cerca da continuidade da Função Exponencial. E
através dos registros, observamos que a atividade apresenta resultados
positivos, como pode ser observado abaixo.
156
Algumas dificuldades percebidas foram ocasionadas pela dificuldade de
operar com números fracionários. Ocasionando assim um problema na
construção gráfica, ocorrendo um equivoco de execução que exigiu nossa
intervenção.
O desempenho da turma foi muito bom, os gráficos alcançaram o
resultado esperado (vide a Análise a posteriori e Validação). Denotando assim
um sucesso da atividade.
3.6. SEXTA SESSÃO
Na sexta sessão, realizada no dia 30 de Outubro de 2012. Com o
objetivo de descobrir uma condição para o crescimento ou decrescimento de
uma Função Exponencial, com uso da atividade seis, sobre crescimento de
decrescimento da Função Exponencial, tinha o objetivo de descobrir uma
condição para o crescimento e decrescimento da Função Exponencial. O
roteiro da atividade era composto por informações à respeito da definição de
crescimento e decrescimento, logo após os procedimentos, e um quadro
composto por 14 funções exponenciais, sendo destas 7 (sete) funções
157
exponenciais crescentes e 7 (sete) funções exponenciais decrescentes, que se
encontravam na primeira coluna do quadro. E ainda, outras colunas contendo
uma lacuna para preenchimento da: base, A função é: Crescente, A Função é:
Decrescente. A atividade possuía um anexo com a representação gráfica de
cada Função Exponencial contida no quadro, assim permitia aos alunos o
exercício da análise e leitura gráfica.
Durante a leitura chamamos a atenção para o anexo, que continha a
representação gráfica de cada Função Exponencial e que auxiliaria no
preenchimento do quadro. Os alunos realizaram registros em língua materna
sobre o que foi observado durante a execução da atividade. Como os alunos
tinham a idéia sobre o comportamento gráfico da função exponencial, foi
fornecidas informações acerca as funções crescentes e decrescentes. E ainda,
um anexo com as representações gráficas de cada função contida na tabela. O
que trouxe uma maior segurança para os alunos durante o registro em língua
materna. Entre as observações e conclusões, destacamos:
158
Percebemos então, que os alunos compreendiam que a forma algébrica
base logarítmica está relacionada com o crescimento ou decrescimento do
gráfico, apesar de alguns alunos apresentarem dificuldade para expressar. É
possível percebemos a relação estabelecida por alguns alunos, quanto às
bases logarítmicas inteiras ou fracionárias. Sem os gráficos, uma dupla
comentou que “faria a conta” que podemos assim interpretar como a dupla
percebe a relação de dependência das variáveis, que pode promover
crescimento ou decrescimento exponencial.A atividade apresenta resultados
positivos e cumprimento do objetivo estabelecido.
Finalizamos o bloco sobre gráfico da função exponencial, tentando sanar
a dificuldade que foi apontada na pesquisa de Oliveira (2006) quando
identificou que os alunos do primeiro ano de graduação, que detinham uma
dificuldade de traçar e interpretar modelos gráficos. A atividade 6 também
marca o término do conjunto de atividades referentes a Função Exponencial.
Portanto, foi apresentado aos alunos uma revisão sobre as concepções
apresentadas nas seis atividades iniciais: algébrica e gráfica, e da importância
dos uso das tabelas.
Algumas duplas terminaram logo, e aguardaram as outras, aos poucos
todos foram terminando. Então iniciamos a distribuição da atividade de
fixação 2 sobre gráfico da Função Exponencial, que exigiam a interpretação
gráfica da Função Exponencial. Com o objetivo de Aprimorar as habilidades
dos alunos para o reconhecimento do gráfico da Função Exponencial e
fortalecer o processo de assimilação das mesmas, auxiliando deste modo, na
aprendizagem deste conceito.
Percebemos que alguns alunos mostravam grande facilidade para o
manuseio das atividades, então decidimos convidá-los a se tornar “monitores”.
Explicamos que, após o término de suas atividades, eles auxiliariam, junto
conosco, na execução da mesma atividade das outras duplas. Mas, deixamos
claro que eles não eram obrigados a isso, e permitimos que pensassem e nos
respondessem na próxima sessão.
Quanto à atividade de fixação, foi muito bem aceita e concluída
imediatamente pelos alunos. E por fim, dialogamos sobre as atividades
aplicadas até este ponto, efetuando uma breve revisão sobre o conteúdo
abordado nas perspectivas de: modelo algébrico, gráfico e tabelas.
159
Percebemos que os alunos estavam se sentindo mais ativos no processo
ensino-aprendizagem, mais motivados, o que influenciou no desempenho das
atividades propostas.
Ainda detínhamos de tempo, então decidimos introduzir o jogo de
baralho das Funções Exponenciais, que também teve o objetivo da
Atividade de Fixação. Solicitamos que os alunos se organizassem em grupos
com 4 (quatro) jogadores. Distribuímos os baralhos, e apresentamos todas as
cartas. Fornecemos o roteiro que continha as regras do jogo e os alunos
iniciaram a partida. Entendemos que o exercício de análise das propriedades
utilizadas nas atividades seria reconhecido pelos alunos durante o jogo, assim
também funcionando como uma atividade de fixação. Este objetivo foi
alcançado, pois os alunos apresentaram um bom desempenho na condução do
jogo.
Na imagem, uma das alunas percebe que estava bem próxima de
conseguir um conjunto de cartas referentes a mesma função, ou seja, próxima
de ganhar o jogo. Enquanto que a outra aluna (à direita) verifica em suas
anotações as características da Função Exponencial, por conta das suas
cartas.
Figura 1 – Inicio do jogo de cartas FOTO: Silvio Tadeu Teles da Silva
FONTE: pesquisa de campo (Outubro/2012).
Os alunos iniciam os descartes e em seguida a compra de novas cartas.
Neste momento ficam inseguros sobre qual carta descartar.
160
Figura 2 – Descartes das cartas FOTO: Silvio Tadeu Teles da Silva
FONTE: pesquisa de campo (Outubro/2012).
Momento em que um aluno consegue completar uma quadra de cartas,
todos começaram a analisar para verificar se a representação algébrica
condizia com o gráfico, com a característica (crescente e decrescente) e ainda
com um ponto selecionado.
Figura 3 – Aluno vencendo o jogo de cartas FOTO: Silvio Tadeu Teles da Silva FONTE: pesquisa de campo (Outubro/2012).
Em nossa primeira atividade envolvendo jogo, os alunos demonstraram
motivação e animação. Algumas brincadeiras foram notadas, como: “Vamos
161
apostar!”, onde assumimos que o jogo detinha apenas o aspecto educacional.
A empolgação dos alunos foi tanta, que acabamos por extrapolar o horário de
término da aula. Então, achamos necessário permitir que os alunos levassem
para suas casas o jogo de baralho. Os alunos que residissem próximo
poderiam se reunir para jogar novamente, fixando assim os conhecimentos
adquiridos durante as seis atividades iniciais.
3.7. SÉTIMA SESSÃO
Na sétima sessão, ocorrida no dia 1 de Novembro de 2012, com o
objetivo de definir o logaritmo. Organizamos a turma, e iniciamos com a
apresentação da atividade sete, que já fazia parte do conjunto de atividades
adaptadas da pesquisa de Castro (2007) composta por alguns
questionamentos que partia do conhecimento prévio de expoente objetivando a
definição do Logaritmo, que tinha como objetivo definir o Logaritmo.
Explicamos que a atividade possui um novo assunto: o logaritmo, e que
diferente da Função Exponencial, que demonstrava uma relação mais próxima
com a experiência de potências, era algo novo, porém também relacionado de
alguma forma. E por este motivo, nos agruparíamos as duplas em quartetos.
Neste dia, havia na sala apenas os alunos que participam frequentemente, fato
percebido pela frequência, eles estavam mais concentrados nesta aplicação. A
primeira dupla terminou em 10 minutos criando assim, entre os alunos
participantes, uma pequena competição sobre qual grupo faria mais atividades.
Neste momento, nós intervimos explicando que as atividades deveriam ser
realizadas com calma e concentração.
A sétima atividade iniciava o estudo de logaritmos, com o objetivo
definir o logarítmo onde os alunos praticavam a resolução de logaritmos a partir
de questionamentos que envolvem a ideia de expoente, tentando denotar na
relação que seria estabelecida entre Função Exponencial e Logarítmica. Após,
os alunos deveriam tentar responder a seguinte indagação: “- O que é um
logaritmo de um número em uma dada base?” das respostas obtidas,
destacamos:
162
Portanto, percebemos que os alunos compreenderam a ideia da
definição do logaritmo como uma relação entre variáveis e expoentes, e
podemos observar de maneira bem clara no último exemplo quando: “Um
resultado de uma certa base elevado a um certo expoente”, onde percebemos
também um caráter generalista. Mas, ainda sentem dificuldade para escrever
O Desempenho da turma foi além do que esperávamos, mas
percebemos dificuldades nas conclusões. Encontramos conclusões sobre o
que é um logaritmo de um número em uma dada base, como: “É uma base que
dependem do expoente para obter o resultado” ou “É o resultado de certa base
elevado a um certo expoente”. Então, com o auxílio do quadro, transcrevemos
todas as conclusões desenvolvidas pelos grupos, para partir delas desenvolver
a formalização do logaritmo que seria: “Dados dois números reais a e b, com a
≠ 1, se b = ac então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a”. O que
nos surpreendeu foi que os alunos finalizavam atividade visando à aplicação da
próxima, por conta da nossa experiência em outras pesquisas, carregávamos
outras atividades.
163
Durante esta disputa poucas dúvidas apareceram, relacionadas com o
manuseio algébrico. Inclusive, o fato que nos maravilhou é que alguns alunos
pediram para realizar as atividades no horário do intervalo, nossas aulas
compreendiam uma antes e uma após o intervalo.
Nesta aula pós-intervalo os alunos retornaram mais motivados, talvez
influenciados pelos que não saíram, e conseguiram resolver o maior número de
atividades em uma única sessão até o momento da pesquisa. Alguns alunos se
apresentaram com vontade de se tornarem monitores, proposta sugerida na
sessão anterior, e assim aplicamos e concluímos as atividades: 8 (oito) com o
objetivo de descobrir uma relação entre os logaritmos cujo logaritmando é 1.
Composta por uma sequência de Logaritmos com o logaritmando igual a 1, e
ao fim dois questionamentos: “O que você observou?” e “conclusão.
Nessa atividade os alunos apresentaram um rendimento superior em
comparação a atividade anterior, podemos destacar como respostas de
observação: “Toda a base elevadas ao expoente 0 o resultado é 1”, e sobre a
conclusão: “Toda a base elevada ao expoente 1 é igual a zero”. Para formalizar
a conclusão, recorremos a mesma metodologia aplicada na atividade anterior.
Transcrevemos as conclusões e discutimos, trazendo elementos pertinentes as
conclusões para chegar em: “Pela conseqüência da definição de logaritmo,
entendemos que loga1 = 0, pois a0 = 1, qualquer que seja a > 0 e a ≠ 1”.
Então, começamos a notar que os alunos começavam, mesmo
empiricamente, a buscar regularidades na execução das atividades. Em um
momento da aplicação os alunos divergiram em suas conclusões, o que foi
apresentado ao quadro a fim de intervimos através de um pequeno debate.
Notamos que tal postura gerou várias indagações que foram respondidas entre
os alunos, promovendo uma maior consolidação teórica acerca dos logaritmos.
E suas respostas foram melhorando, o que foi percebido durante a oitava
atividade. A oitava atividade era baseada na busca de regularidades através do
cálculo de logaritmo, conhecimento adquirido na atividade anterior.
164
A partir desta atividade, iniciou-se as discussões sobre a generalização
dos resultados percebidos, quando os alunos notavam que o resultado do
logaritmo era igual para qualquer base, conjecturas foram formadas sobre
quais outros casos teriam o mesmo comportamento. Mas, existiram duas
duplas de alunos que requereram nossa intervenção, por apresentarem um
equivoco nos procedimentos de resolução de um logaritmo. Além de uma
dificuldade na multiplicação. Onde:
165
A intervenção priorizou apenas a dupla, onde resgatamos a reatividade
anterior, da mesma dupla, e comparamos os registros contidos na atividade
atual, a dupla percebeu que a execução do procedimento estava equivocada e
iniciou a atividade. Atentando ao procedimento para resolução do logaritmo e
nas operações algébricas envolvidas, potência e multiplicação, percebemos
que a dupla superou suas dificuldades, que talvez tenha sido ocasionada por
uma falta de atenção ou até mesmo um cansaço por conta da quantidade de
atividades realizadas. Haja vista que esta não seria a única atividade realizada
na sessão. Apresentamos a seguir, o registro da mesma dupla, a partir da
intervenção realizada.
166
Tais dificuldades surgiram pela dificuldade com as propriedades
exponenciais, ou por alguma conclusão equivoca. Haja vista que nos dois
casos, as alunas integrantes das duplas, até este momento, estiveram
presentes em todas as atividades. Assim, podemos concluir que a atividade
resultou em aspectos positivos.
A atividade 9 (nove) com o objetivo de descobrir a relação entre os
logaritmos, em que o logaritmando e a base são iguais, que possuía estrutura
similar à atividade anterior, com uma sequência de logaritmos onde a base e o
logaritmando são iguais e com um questionamento final: “O que podemos
concluir?”. Novamente, o desempenho da turma foi bom, porém comparada a
atividade 8 foi inferior no quesito tempo, os alunos não apresentaram
dificuldades na execução da atividade. As dificuldades percebidas foram
referentes a construção da conclusão, mas dessa vez, em função da
experiência adquirida nas atividades anteriores, a evolução dos alunos na
construção das conclusões foi significativo, onde podemos destacar a seguinte
conclusão construída por um grupo: “podemos concluir que todo número
167
elevado a 1 o resultado é o próprio número por isso log3 3 = 1”. Mas, apesar
das construções bem próximas do resultado esperado formalizamos no quadro:
“Por conseqüência da definição de logaritmo, temos que loga a = 1, pois a1 =
apara todo a > 0 e a ≠ 1”.
Durante a aplicação, que algumas duplas de alunos resolviam até um
determinado item, assim percebiam a regularidade e em seguida, apenas
generalizavam para os próximos itens. O que foi percebido em outras
atividades, que nos motivou a realizar um pequeno programa de monitoria com
esses alunos para os outros grupos. E outras duplas, antes mesmo de terminar
de resolver os itens já respondiam a indagação final “- O que podemos
concluir?”.
É perceptível que algumas duplas sentem a dificuldade em realizar o
registro na língua materna, mas existe a apropriação da idéia e a relação
realizada com a propriedade exponencial, o que logo seria exigido na décima
atividade.
168
Algumas duplas tentam sistematizar, com base nas operações
realizadas, mais ainda a não conseguiram alcançar a conclusão esperada. O
que foi percebido durante a aplicação da atividade, para a superação desta
conclusão equivocada, resolveu mais uma vez promover uma intervenção
individual através de algumas indagações para a dupla. A fim de que esta
conclusão não acarrete em equívocos nas próximas atividades.
A atividade 10 (dez), com objetivo de descobrir uma relação entre as
potências cujos expoentes são logaritmos de base igual a da potência. Mais
uma vez, com a composição similar a das anteriores, Logaritmos com os
expoentes iguais a base da potência. O desempenho da turma foi bom, mas
inferior no quesito tempo em comparação com as anteriores.
Os alunos apresentaram muitas queixas sobre a “complexidade” de
resolução dos itens. Então, resolvemos, com auxilio do quadro, questioná-los
sobre a resolução dos logaritmos nos expoentes do item a (log2 8). Os alunos
apresentaram a resposta, no caso 3, e assim resultando em (23), que por sua
vez seria igual a 8. Assim, os alunos iniciaram a resolução, possivelmente sua
preocupação com as etapas de resolução impediu a percepção da regularidade
que estava ocorrendo. Por fim a indagação: “O que podemos concluir?”, onde
obtemos em sua maioria conclusões como: “Todo log elevado a um mesmo
número da base „dá‟ o resultado de uma raiz quadrada” ou “O valor final
elevado ao log do número da base, fica quadrado no final”.
Porém, uma intervenção foi necessária de maneira mais direta na
atividade 10 que trazia a ideia do logaritmo como expoente, como por exemplo:
a resolução de algum item como exemplo. Esta situação foi necessário em
função de a atividade exigir muitas operações algébricas, e ainda sobre o
questionamento inicial dos alunos sobre: “porque colocar o log no expoente?”.
Assim, realizamos alguns exemplos, porém durante a análise dos registros da
atividade percebemos que algumas dificuldades foram detectadas, como:
169
A atividade 10 (dez) gerou em alguns grupos certa frustração em função
dos resultados obtidos não apresentarem coerência com o que havia sido
estudado anteriormente. E percebemos que o casaco poderia refletir no
desempenho e resultado das atividades, podemos assim inferir em um ponto
negativo o tempo destinado para as atividades o que pode ser percebido nas
próximas atividades de forma clara pelos registros dos alunos.
Por sua vez, empregamos o uso do quadro para, a partir das
conclusões, buscar a formalização do conceito que seria: “ alogaN = N, com N >
0, a > 0 e a ≠ 1. Por justificativa de que loga N = x → ax = N. Portanto
substituindo x, em ax = N, por logaN, temos: alogaN = N”. Devemos ressaltar que
a atividade dez foi recebida com certa estranheza, haja vista, que é sobre a
potência do logaritmo, que os alunos iniciaram alguns questionamentos sobre a
razão de transformar o logaritmo em expoente. Terminamos esta sessão com
quatro atividades concluídas, talvez até em função da nova quantidade de
alunos envolvidos em cada grupo, ou seja, ao invés de duplas, termos
quartetos.
170
3.8. OITAVA SESSÃO
Na oitava sessão, realizada no dia 5 de Novembro de 2012, tinha o
objetivo de descobrir uma relação entre logaritmo do produto. Foi-nos
informado também que a aluna que detinha dificuldade auditiva, e que por
razão dos problemas de horário deixamos de observar com maior atenção,
estava mais alegre e mais receptiva ao corpo técnico da escola. Entramos na
sala, e observamos que os alunos estavam preocupados e comentando sobre
o período de avaliação. Oferecemo-nos a ajudar, caso necessitassem. Oferta
que foi recebida com brincadeiras como: “Faça a prova pra gente!”, “Dê ponto
pelas atividades!”, etc. Então, pedimos aos alunos que se organizassem, nos
quartetos formados na sessão anterior, e distribuímos a atividade 11 (onze),
com objetivo de descobrir ma relação entre logaritmo do produto, com base
em uma tabela, formada por cinco colunas, contendo Valores Numéricos,
Logab, logac, logab.c e logab+logac, seguido da indagação “O que podemos
concluir?”. O desempenho dos alunos foi bom, apesar das dificuldades.
A décima primeira trata sobre logaritmo do produto, décima segunda
sobre logaritmo do quociente e a décima quarta mudança de base, são
atividades que se apropriam do preenchimento e análise de uma tabela afim de
que a regularidade seja percebida para a generalização promover a conclusão
do conhecimento adquirido. Porém, sua execução não foi como esperávamos,
pois os alunos participantes encararam as atividades como difíceis e fatídicas
em função do preenchimento dos quadros, que pode ser percebido nos
registros a seguir.
171
O respectivo espaço das colunas para a resposta deveria ter sido um
pouco maior, pois como alguns alunos não queriam colocar apenas o
resultado, o espaço pequeno provocou certa irritabilidade no desenvolvimento
da atividade. Apesar deste problema, os alunos perceberam a relação e
concluíram a atividade.
A partir de uma pequena disputa, pedimos para cada grupo escolher um
representante para ir ao quadro, e caso necessário poderia ser auxiliado pelos
outros membros da equipe. Assim, cada grupo deveria resolver uma linha
completa da atividade, dividindo o trabalho total para turma. Trabalhando os
aspectos de cooperação, e tentando sanar as dificuldades sentidas na
atividade, foram percebidas, principalmente em potência e decimais (como já
ocorrido em atividades anteriores) e para tentar sanar tais dificuldades
realizamos pequenas intervenções individuais, grupo a grupo.
As conclusões se mostraram bem próximas uma das outras e os alunos
perceberam que as duas ultimas colunas detinham o mesmo resultado, como
mostra o registro a seguir: “Podemos concluir que a coluna 3 sempre vai ter o
mesmo resultado da quarta”. E assim, podemos formalizar com: “Numa mesma
base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual a soma dos
logaritmos de cada um desses números”, segundo os alunos está foi uma
atividade mais cansativa. O que fez com que atentássemos à todos os
aspectos que envolveram a produção da atividade. Talvez, tivéssemos um
melhor aproveitamento se realizássemos uma pequena atividade envolvendo
as propriedades da potência, e se dividíssemos essa atividade em duas partes.
172
Apesar da dificuldade e do cansaço, alegaram que queriam fazer mais uma
atividade, pois não acreditavam que “fossem perder para o papel”.
A atividade 12 possuía o objetivo de descobrir uma relação entre o
logaritmo e o quociente e tinha mesma composição da atividade anterior.
Consistia em uma tabela composta por 5 (cinco) colunas onde: valores
numéricos, logab, logac, loga (b/c) e logab-logac deveriam ser preenchida, e ao
fim os alunos deveriam responder a indagação: “O que podemos concluir?”.
Percebemos que os alunos, na última coluna, dividiam o logaritmando e
não o resultado dos logaritmos anteriores e por esse motivo intervirmos e
resolvemos uma linha de exemplo no quadro. Após, sanar a dúvida, os alunos
concluíram a atividade.
A conclusão dos grupos, como na atividade anterior, eram bem
próximas. Os alunos perceberam a equivalência entre os resultados obtidos da
coluna loga (b/c) com a coluna loga b – loga c. Destacamos o seguinte registro:
“concluímos que a terceira coluna sempre vai ter o resultado igual da quarta”,
que por sua vez foi formalizado como: “Numa mesma base, o logaritmo do
quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos
desse número”. Declaramos que essa seria a última atividade do dia, até
porque os alunos aparentavam cansaço. Porém, houve um pequeno protesto
dos alunos quanto a não entrega de atividades. Alegavam ainda ter tempo hábil
para a resolução das atividades e que gostariam de tentar resolver. Então
achamos melhor entregar a atividade 13, com o objetivo de descobri a
relação entre cologaritmo e logaritmo, e composta por 10 (dez) logaritmos na
forma Loga (b/c), seguida por comentários e mais 10 (dez) a serem calculados,
e por fim a indagação “O que é um cologaritmo de um número numa certa
base?”
A décima terceira atividade, sobre cologaritmo, foi totalmente satisfatória
de maneira dinâmica os alunos desenvolveram a idéia.
173
Percebemos, pelos registros, que os alunos intuitivamente associaram a
ideia do cologaritmo de um número, equivalente com o logaritmo fracionário. O
Cologaritmo foi tipo como um dos tópicos de Função Logarítmica menos
estudado nas escolas publicas de acordo com a amostra de professores
participantes durante a fases iniciais da pesquisa, Análise Prévia.
O desempenho da turma foi bom, sendo assim a atividade 13 foi
totalmente satisfatória. Sobre o cologaritmo os alunos registraram que: “É um
resultado negativo que encontramos a partir da base”, e “O cologaritmo vem
como fração e o resultado sempre é negativo”. Os grupos, em suas
conclusões, se dividiram nesses dois aspectos apresentados, no resultado
negativo ou na base fracionária. Assim podemos elencar a formalização,
partindo do registro dos alunos, como: “Cologaritmo de um número N, onde N >
0, numa base a, sendo a > 0 e a ≠ 1, o oposto do logaritmo do número N na
base a ou o logaritmo inverso de N na base a”.
Os alunos sentiram mais facilidade ao preenchimento do quadro que
retratava a mudança de base. Após a finalização da atividade 13, o fato curioso
e que um aluno (aluno 16, vide tabela 11) adentrou a sala, e o mesmo nunca
havia participado de nenhuma atividade. Alegou que estava doente, e que
gostava de Matemática e queria participar da atividade. Assim, foi integrado à
um grupo, e iniciou sua participação pela atividade 14.
A atividade 14, com o objetivo de descobrir uma relação entre a
mudança de base do logaritmo, que se constituía em uma tabela composta por
cinco colunas, sendo: valor numérico, logcb, logca, logab e logcb/logca. Seguida
da indagação “O que podemos concluir?” O desempenho dos alunos foi ótimo,
até por conta da experiência adquirida nas atividades anteriores, alguns alunos
já compreendiam que o resultado das duas últimas colunas seriam
equivalentes, denotando a construção de mais uma propriedade. A
174
identificação dessa regularidade, que será descrita detalhadamente mais a
frente, se tornou explicita nas conclusões. Dentre as quais destacamos:
“Concluímos que a divisão do resultado das duas primeiras colunas, é igual a
terceira coluna”.Então formalizamos o conceito da propriedade com: “Para
escrever logb N usando logaritmos na base a, realizamos a mudança de base:
logb N = (loga N)/(loga b)”. Assim, continuamos atividade no próximo encontro
de experimentação. Voltamos para a direção e fomos informados que o
próximo dia de aplicação seria em 14 de Novembro.
3.9. NONA SESSÃO
No nono encontro, realizado no dia 14 de Novembro de 2012, com o
objetivo de definir a Função Logarítmica. Conversamos com a diretora que
estava preocupada com a questão da participação dos alunos nas atividades,
explicamos a ela que detínhamos de uma pequena lista onde realizávamos a
cada sessão a frequência, até por motivo de análise de eficácia da própria
atividade. Também, comentamos que ao fim do experimento a direção
receberia: lista de frequência e os resultados do pós-teste, todos em 3 vias.
Perguntei a diretora sobre a viabilidade do professor de matemática titular da
turma atribuir uma pontuação simbólica para as atividades realizadas com os
alunos. A diretora nos respondeu que tal tema fugiria de sua responsabilidade,
e que seria mais prático pergunta ao professor. Assim resolvemos procurar e
perguntar ao professor sobre esta possibilidade, deste modo, informados pela
coordenadora pedagógica que o mesmo estava em um funeral de um amigo,
que também era professor e que havia falecido. Esse falecimento havia sido
divulgado anteriormente na mídia local. O que me fez questionar “sobre qual o
papel do professor no contexto atual?”, em toda a minha experiência
acadêmica nunca havia realizado um experimento com uma turma durante um
período tão prolongado, que trouxe à tona a responsabilidades que detinha
naquele momento.
Adentramos às 10 horas e 45 minutos a sala, pedimos por mais de uma
vez, que os alunos se organizassem conforme a atividade anterior. Assim,
aplicamos a atividade de fixação 3 com o objetivo de aprimorar as
175
habilidades dos alunos para o Logaritmo e fortalecer o processo de assimilação
das mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem deste conceito, que foi
bem aceita e resolvida com eficiência. Seguimos o cronograma e aplicamos a
atividade 15 com objetivo de definir a Função Logarítmica, que foi entregue
para os grupos e lida em voz alta. Atentando ao grupo do qual a aluna com
necessidades auditivas fazia parte, percebi que a mesma estava se
comunicando com as integrantes por um aplicativo de mensagens instantâneas
do celular e que a sequência de atividades pode ter contribuído para a
socialização da aluna. E naquele momento percebi que além do aspecto do
conhecimento cientifico, nossa atividade detinha cumprido um objetivo não
avaliado em sua concepção o da inclusão da aluna. Partindo do mesmo
material, e não de um roteiro de atividades adaptado, diferente ao dos alunos
regulares. Isso trouxe uma satisfação a todos nós. Denotando que o trabalho
estava valendo todos os meses de esforço, independente do resultado
estabelecido.
Quanto à atividade 15 (quinze), notamos que os alunos tiveram
dificuldade com o item: “3. Estabeleça uma maneira operacional que expresse
a situação em logaritmo”. Dificuldade esta, que tomou grande parte do tempo
de aplicação. E que remetia as dificuldades anteriores sobre a construção de
um modelo matemático que represente uma situação-problema. Porém, após
algumas tentativas resolvemos estabelecer uma breve competição.
Solicitamos que cada grupo selecionasse um representante que fosse
ao quadro explicar o seu ponto de vista apresentando um modelo. Pensamos
em registrar este momento através de fotografia, porém decidimos que tal
atitude poderia intimidar os alunos. Então cada aluno foi à frente defender seu
ponto de vista, tal situação gerou uma discussão. O aluno que conseguiu
estabelecer a expressão fazia parte do grupo que havíamos convidado para a
monitoria.
Percebemos que a intervenção por meio do debate com a turma
constituía de uma eficiência significativa. Pedimos que os alunos terminassem
a atividade 15 (quinze), realizamos uma breve revisão de todos os aspectos
apresentados, formalizamos a definição de Função Logarítmica e ainda,
discutimos sobre a relação: Função Exponencial e Logarítmica. Possibilitando
176
com que na décima quinta atividade iniciássemos o tratamento de situações-
problema envolvendo a função logarítmica.
Notamos que o item com maior índice de erro, 40%, foi o “c) Estabeleça
uma maneira operacional que expresse a situação em logaritmo”. Assim,
constatamos que os alunos sentem dificuldade em relacionar, algebricamente,
as funções exponenciais e logarítmicas, o segundo índice que chama atenção
é dos itens em branco. Estes são inter-relacionados com a construção e leitura
gráfica, o grupo em questão não construiu o gráfico alegando que não
entendiam como dispor os pontos da tabela, valores decimais, no sistema
cartesiano ortogonal. Então, decidimos intervir apresentando a reta numérica
fazendo alusão à uma régua comum trabalhando com a compreensão do
significado das medidas de comprimento que são submúltiplos do metro
(decímetro, centímetro e milímetro). Assim, apresentamos que o decímetro é a
décima parte do metro, ou seja, 1decímetro (dm) é igual a 0,1 metro (m).
Demonstrando as relações entre o metro e seus submúltiplos, de maneira
análoga à reta numérica.
Notamos que o índice de acertos no item “e) O que podemos observar
do gráfico.” Em relação ao inicio das atividades teve uma aumento significativo.
Apresentamos a nossa atividade de fixação 4, com objetivo aprimorar
as habilidades dos alunos para a Função Logarítmica e fortalecer o processo
de assimilação das mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem deste
conceito baseada em duas questões contextualizadas envolvendo a temática.
Porém, naquele momento, em função das dificuldades da turma e do cansaço
que eles apresentavam, optamos por aplicar o jogo da memória que envolve a
relação entre propriedades logarítmicas e exponenciais.
Quando comentamos sobre o jogo, foi percebido uma motivação nos
alunos, de maneira a se organizarem para receber o conjunto de cartas que
compunham o jogo da memória. As cartas foram apresentadas bem como as
regras, cada grupo ficou com um conjunto de cartas, e um roteiro que detinha
todas as regras. Os grupos realizaram a leitura das regras e iniciaram o jogo. O
fato curioso é que fomos convidados a participar do jogo em alguns grupos, e
assim fizemos. Participamos por uma rodada em cada grupo. Após a
organização das cartas, dispostas na mesa. Um dos alunos escolhe e retira
uma das cartas. Após, esse movimento deve ser repetido. Em seguida, o aluno
177
deve comparar as cartas e destacar uma relação pertinente entre elas. Caso
haja, ele formou o primeiro par. Caso não haja, as cartas são devolvidas na
mesma ordem e lugar.
Figura 4 – Jogo da Memória partida iniciada FOTO: Silvio Tadeu FONTE: pesquisa de campo (Novembro/2012).
Portanto, o jogo motivou os alunos e contribuiu para que tentassem
sanar a dificuldade demonstrada no item 3 (três) da atividade 15 (quinze).
Acabamos, em função do jogo, à extrapolar o horário da aula, fato ocorrido na
sessão anterior que também continha um jogo. Conversamos com os alunos
sobre o pós-teste que seria realizado no dia 21, e sobre o orgulho que
sentíamos ao ver o esforço que cada um estava realizando. Cada grupo
ganhou uma unidade do jogo da memória. E na saída fomos indagados à
respeito do tipo de comida que gostávamos. Indagação que pareceu estranha,
mas que foi respondida.
3.10. DÉCIMA SESSÃO
Na décima e última sessão, realizada em 21 de Novembro de 2012.
Conversamos com a coordenadora pedagógica e sugerimos se seria possível a
sua participação em uma entrevista, apresentamos o roteiro da entrevista
(Anexo B) e o termo de consentimento livre esclarecido (Anexo A). Explicamos
178
que pelo planejamento inicial faríamos uma entrevista também com a diretora.
Porém, em função do ocorrido apenas faríamos com a coordenadora
pedagógica. Iniciamos a entrevista às 9 horas e 40 minutos, com perguntas
que privilegiavam a opinião em torno da pesquisa, com ênfase no experimento.
A coordenadora pedagógica declarou nunca ter visto algo parecido, alegando
que as maiorias das pesquisas que ela presenciou buscavam detectar as
dificuldades e não fornecer meios para superá-las. Além, de que ela esperava,
por parte dos alunos, uma resistência em função do baixo rendimento escolar
nas disciplinas que envolvem cálculo, e pelas dificuldades naturais à
Matemática. Alegou também que foi surpreendente pelo envolvimento dos
alunos no projeto, e que talvez a única desvantagem tenha sido a falta de
agendamento. Até por conta de que o Ensino Médio possuía ausência de aulas
vagas.
Havíamos decidido na reunião de planejamento da última sessão que
levaríamos algumas caixas de bombons, tanto ao corpo técnico, como aos
alunos como uma forma de agradecimento pela acolhida e pelo auxilio na
pesquisa. Agradecemos à coordenadora pedagógica, por todo o empenho e
dedicação que ela apresentou à nossa pesquisa desde o primeiro encontro na
turma até na busca de horários vagos, após o retorno do professor de
Sociologia. Ela retribuiu o agradecimento, afirmando que a escola estava de
portas abertas a futuras pesquisas.
Em seguida fomos avisados que os alunos estavam com uma surpresa
para nós. Assim seguimos para a sala, a fim de aplicar o pós-teste e encerrar o
experimento. Entramos na sala, e percebemos que os alunos já haviam se
organizado em duplas. Então explicamos que o pós-teste seria individual, até
para facilitar a análise do que eles haviam aprendido.
O pós-teste detinha 10 (dez) situações-problema envolvendo as
Funções Exponenciais e Logarítmicas, e que eram as mesmas questões que
estavam no pré-teste. Alguns alunos mostraram preocupação, em função da
maioria não ter feito nenhuma questão no pré-teste. Tentamos acalmá-los
afirmando que eles detinham hoje de um conhecimento acerca das Funções
Exponenciais e Logarítmicas, e que no período de pré-teste ainda não tinham
realizado nenhum tipo de estudo a respeito da temática.
179
Durante a frequência, percebemos que um aluno faltou. Então, foi
aplicado o pós-teste, percebemos que os alunos se envolveram bastante e
estavam se esforçando muito para desenvolver as questões. Com início às 10
horas e 45 minutos, os alunos, incluso a aluna detentora de dificuldade auditiva
(aluna 17, vide tabela 11) e o aluno que iniciou sua participação durante a
atividade 14 (aluno 16, vide tabela 11), estavam bem concentrados com lápis,
borracha e caneta. Liam e re-liam as situações-problema, tentavam lembrar as
atividades realizadas. Os alunos utilizavam a parte posterior, atrás, da lauda de
questões como rascunho. Então, entregamos a quem precisasse uma folha de
papel A4 para auxiliar nos rascunhos. Alguns alunos tinham dúvida em como
organizar os registros de resolução, e sobre a terceira situação-problema. O
pós-teste foi concluído às 11 horas e 50 minutos.
Após o término da prova, os alunos nos pediram para apresentar as
alternativas corretas, e a resolução da ultima situação problema que possuía
caráter dissertativo. Verificamos que a maioria dos alunos participantes do pós-
teste, 7 (sete) obtiveram 8 (oito) acertos, um aluno teve 8 (oito) erros e apenas
2 (dois) acertos e um aluno deixou uma situação em branco. Percebemos que
o aluno (aluno 3, vide tabela 11) que teve um elevado número de erros havia
participado das atividades, exceto da atividade 15. E em todas as atividades
sempre alternava seus pares, ou seja, não realizava a atividade com a mesma
dupla, ou grupo. O que infelizmente, pelo tempo, não pode ser investigado.
Em seguida, distribuímos na sala para os alunos as caixas de bombons
como um agradecimento a eles. Afirmamos que estávamos muito felizes com o
resultado, e que todos detinham de aptidão para o conhecimento cientifico. Um
dos alunos (aluno 9, vide tabela 11), que fazia parte do monitores, declarou que
queria ser professor de Matemática. Neste momento encontrei uma das
respostas para a indagação “Qual o papel do professor nesse contexto?”.
Após isto alunos declaram ter uma surpresa para nós e pediram que nos
encaminhássemos para o auditório da escola. Quando nos deparamos, o
auditório estava ornamentado, com uma mesa no centro repleta de doces,
salgados e alguns refrigerantes. Percebemos que os alunos fizeram um esforço
hercúleo para organizar uma festa de despedida. O que mais uma vez me
pareceu como um reforço positivo ao desenvolvimento da pesquisa. Sem
dúvida o período de experimentação da sequência de atividades foi até hoje a
180
experiência mais rica e significativa da nossa jornada acadêmica, fazer parte
da vida escolar de uma turma que apesar das dificuldades: sociais, cognitivas e
físicas, tenta a todo instante a superação, e objetiva alcançar o melhor
resultado. Grande parte do resultado que será apresentado é mérito destes 21
(vinte e um) alunos do Ensino Médio, que nos ensinaram e que aprenderam. A
seguir apresentamos os resultados das análises a posteriori e da validação da
pesquisa.
181
4. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Nesta seção temos como objetivo apresentar os resultados obtidos da
análise a posteriori e validação da sequência didática. Assim, analisamos os
resultados de cada atividade e dos testes realizados no experimento. O nosso
objetivo é o de avaliar a potencialidade do ensino das funções exponenciais e
logarítmicas por meio de uma sequência didática de atividades estruturadas.
Conforme é indicado em Brasil (1997), as necessidades cotidianas
fazem com que os alunos desenvolvam uma prática que permita reconhecer
problemas, buscar, selecionar informações e tomar decisões. Portanto,
desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática.
Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem pode
apresentar melhor resultado.
Partindo desta perspectiva encetamos a aplicação de nossa sequência
de atividade. Após os alunos disponíveis á experimentação, iniciamos pela
aplicação do pré-teste geral. O pré-teste foi realizado com o objetivo de
verificar como os alunos resolveram problemas envolvendo a função
exponencial e logarítmica, antes da aplicação da sequência didática. Os alunos
tentaram resolver as questões com base no conhecimento prévio de funções,
estudadas anteriormente.
Por meio das análises prévias percebemos a importância do aluno ter
conhecimento da definição da Função Exponencial e Logarítmica, bem como a
leitura e construção dos gráficos. Sobre a Matemática, os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) enfatizam que “O Ensino Médio precisa
desenvolver o saber matemático científico e tecnológico como condição de
cidadania e não como prerrogativa de especialistas”. (BRASIL, 1999, p. 210).
Durante a nossa análise prévia percebemos que os alunos têm
dificuldade no entendimento da definição e da interpretação gráfica das
Funções Exponenciais e Logarítmicas. Então, entendemos a necessidade de o
aluno desenvolver tais habilidades permitindo assim interpretar situações
problema e fenômenos físicos. De acordo com Pereira (2010), “Traçar gráficos
de funções é uma atividade fundamental no ensino médio e no aprendizado de
matemática”, que reforça nossa compreensão inicial. Então, produzimos a
182
nossa sequência didática, que foi desenvolvida ao longo de 10 sessões,
totalizando 20 aulas.
Partindo das atividades respondidas, tabulamos o resultado montando
tabelas sobre a média de acertos no pré teste e outra sobre a média de
acertos no pós teste, em seguida cruzamos as informações e percebemos, de
maneira clara, a possível evolução dos alunos, levando em consideração a
variável: frequência no desenvolvimento das atividades.
Tabela 9 –1° ano no pré-teste, nas situações envolvendo Função Exponencial
Fonte: pesquisa de campo (Setembro, 2012)
Gráfico 37 - 1° ano no pré-teste, nas situações envolvendo Função Exponencial
Fonte: pesquisa de campo (Setembro, 2012)
5%
15%10%
5%
60%
35%
55%50%
40%45%
50%45%
40%
55%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Questão 2 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 9
Número de acertos
Número de erros
Alternativas em branco
Questões envolvendo Função Exponencial
Número da
Questão
Acerto
(%)
Erro
(%)
Em Branco
(%)
Total (%)
2 5 60 45 100
4 15 35 50 100
5 - 55 45 100
6 10 50 40 100
9 5 40 55 100
183
Tabela 10 - 1° ano no pré-teste, nas situações envolvendo Função Logarítmica
Questões envolvendo Função Logarítmica
Número da
Questão
Acerto
(%)
Erro
(%)
Em Branco
(%)
Total
(%)
1 35 20 45 100
3 - 55 45 100
7 5 45 50 100
8 5 40 55 100
10 - - 100 100
Fonte: pesquisa de campo (Setembro, 2012)
Gráfico 38 - 1° ano no pré-teste, nas situações envolvendo Função Logarítmica
Fonte: pesquisa de campo (Setembro, 2012)
Percebemos, que o comportamento dos alunos que ainda iriam estudar
as Funções Exponenciais e Logarítmicas foi diferente do comportamento dos
alunos que estudaram, pois como visto na Tabela 7 os alunos egressos (que
haviam estudado) em sua maioria erraram as questões. Enquanto que a
maioria dos alunos (que ainda não estudaram), neste caso, 9 alunos, deixaram
35%
5% 5%
20%
55%
45%40%
45% 45%50%
55%
100%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Questão 1 Questão 3 Questão 7 Questão 8 Questão 10
Número de acertos
Número de erros
Alternativas em branco
184
todas as questões em branco. Destes, 7 gostam um pouco de matemática, tem
pouca dificuldade em aprender e estudam matemática alguns dias ou só no
período de provas; 1 aluno afirma que não gosta nenhum pouco de
matemática, possui um pouco de dificuldades para aprender e estuda só no
período de provas; e 1 aluno afirma gosta muito de matemática, não sente
dificuldades na disciplina e estuda alguns dias da semana fora da escola. A
seguir verificamos a análise da porcentagem de acertos e erros em cada
questões no pré-teste:
Gráfico 39 - Acertos, erros e alternativas em branco para cada questão, no pré-teste.
FONTE: Pesquisa de campo (Setembro/2012)
Um fato a salientar é que 21 alunos não explicitaram qualquer esboço de
resolução no último problema, que possuía o seguinte enunciado:
Problema: Em quantos anos 500g de uma substância radioativa que se
desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100g? Use Q = Q0.e-rt, em
que a massa da substância r é a taxa e t é o tempo em anos.
Este comportamento já era esperado, haja vista o último problema, além
de possuir caráter discursivo, necessita de uma habilidade algébrica ainda não
desenvolvida pelos alunos e conjuga o conhecimento de logaritmo neperiano.
Remete-nos à pesquisa de Ferreira (2006), que comenta sobre esta dificuldade
presente em alunos que concluem o ensino médio. Acerca do conceito de
logaritmo afirma Ferreira (2006, p. 14) “devem-se ao fato de que, do ponto de
vista da aquisição do conhecimento, este não pode ser gerado a partir da
35%
5%
15%10%
5% 5% 5%
20%
60%55%
35%
55%50%
45%40% 40%
45% 45% 45%50%
45%40%
50%55% 55%
100%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Número de acertos
Número de erros
Alternativas em branco
185
definição algébrica, definição esta que às vezes é apenas memorizada”. Então,
devemos relacionar o conceito de logaritmo partindo de situações reais e
aplicação em diferentes áreas do conhecimento.
A maioria, 52%, não obteve nenhuma resposta correta. Assumindo
correto, com base na única alternativa certa dentre as fornecidas nos
problemas. Percebemos, durante uma breve conversa após a aplicação do pré-
teste, que as questões onde se era exigido uma interpretação gráfica foram
tidas como as mais difíceis de resolver pelos alunos. Dificuldade percebida por
Oliveira (2006) quando aplicou uma pesquisa com alunos do primeiro ano de
graduação, e percebeu que detinham uma dificuldade de traçar e interpretar
modelos gráficos.
Neste sentido, utilizamos o princípio destacado por Pereira (2010) onde
diz que “O interesse pelo conteúdo, por parte dos alunos, aumenta a partir do
momento em que esses compreendem as ligações do conteúdo a ser estudado
num contexto relacionado às suas vivências”.
Observamos durante a primeira atividade, intitulada “O
Reflorestamento”, que as duplas de alunos participantes detinham uma
dificuldade em interpretar e analisar as situações problemas o que ficou
explicito nos resultados obtidos e que foi sanado nas atividades seguintes. Os
itens que requeriam que o aluno oferecesse resultados numéricos, como por
exemplo: “a) Qual o valor da altura da árvore no instante inicial?”, eram
resolvidas sem nenhum problema. Mas, quando requeria uma resposta
algébrica, como: “e) Qual a expressão que relaciona o tamanho da árvore em
função do tempo?”, percebemos uma dificuldade na resolução, a maioria dos
alunos escreveu, por extenso, as variáveis relacionadas, porém, não explicitou
uma equação que representasse a situação.
No pós-teste, tivemos alguns alunos que faltaram totalizando assim 15
alunos participantes do pós-teste (vide Tabela 13). Destes obtivemos o
seguinte resultado, com relação a produção de cada aluno divididos em
Função Exponencial e Função logarítmica:
186
Tabela 11 – Função Exponencial: Pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (Novembro, 2012).
Gráfico 40 – Função Exponencial: pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (Novembro, 2012).
100%
80% 80%
87%
73%
20% 20%
13%
27%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Questão 2 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 9
Número de erros
Número de acertos
Alternativas em branco
Situações-problema envolvendo Função Exponencial
Número da
Questão
Acerto
(%)
Erro
(%)
Em Branco
(%)
Total (%)
2 100 - - 100
4 80 20 - 100
5 80 20 - 100
6 87 13 - 100
9 73 27 - 100
187
Tabela 12 – Função Logarítmica: Pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (Novembro, 2012).
Gráfico 41 – Função Logarítmica: pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (Novembro, 2012).
Os alunos obtiveram um aumento significativo no sucesso na resolução
das questões, tal fato influenciado pela sequência de atividades e seriedade
encarada no Pós-teste. Evidenciamos que os alunos obtiveram um erro em
comum, relacionado com a terceira questão, referente a Função Logarítmica
sendo descrita como:
“Em uma calculadora cientifíca de 12 dígitos quando se aperta a tecla log,
aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a
operação não for possível, aparecera no visor a palavra ERRO.
100%
27%
80%
93%
67%63%
20%
7%
23%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Questão 1 Questão 3 Questão 7 Questão 8 Questão 10
Número de acertos
Número de erros
Alternativas em branco
Situações-problema envolvendo Função Logarítmica
Número da
Questão
Acerto
(%)
Erro
(%)
Em Branco
(%)
Total (%)
1 100 - - 100
3 27 63 - 100
7 80 20 - 100
8 93 7 - 100
10 67 23 - 100
188
Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log
para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6”
Está questão foi retirada da UERJ, que possui a seguinte resolução
detalhada:
Seja An o número que aparece no visor da calculadora no n-ésimo toque
na tecla LOG, ou seja, no toque de ordem i da tecla LOG. Por exemplo, no
primeiro toque, A1, no segundo toque, A2, no terceiro toque, A3 e assim
sucessivamente.Considerando que o número introduzido na calculadora para o
cálculo do log seja
A0 = 48 bilhões = 48 000 000 000 = 4,8.1010.
Teremos então:
A0 = 48 000 000 000 = 4,8.1010
A1 = log A0 = log (4,8.1010) = log4,8 + log1010 = 10 + log4,8
Então: A2 = log A1 = log 10 + log4,8
Como 10° < 4,8 < 10¹, podemos concluir que log 4,8 será uma número
entre 0 e 1 e, portanto, da forma 0,m (um número decimal entre 0 e 1).
Então, A1 = 10 + log4,8 = 10 + 0, m = 10,m , que é um número entre 10 = 10¹
e 100 = 10².
Nestas condições, teremos:
A2 = log A1 = log (10,m) Como 101 < 10,m < 102 , que l < log(10,m) <
2, ou seja, log (10,m) será um número entre 1 e 2 e portanto da forma 1,n (um
número decimal entre 1 e 2), ou seja log A2 = 1,n.
Portanto, A3 = log A2= log (1,n). Como 1,n é um número decimal entre 1
= 100 e 10 = 101, podemos afirmar que log (1,n) será um número decimal
entre 0 e 1, ou seja, da forma 0,p .
Assim, A3 = 0,p e A4 = log A3 = log (0,p)
Então, como 0,p é um número decimal entre 0 e 1 ou seja 0 < 0,p < 1, já
sabemos que o resultado será um número negativo pois o logaritmo decimal de
N, para N entre 0 e 1 é negativo. Portanto, A4 é menor do que zero, ou seja, um
189
número negativo. Logo, A5 = log A4 e como A4 é negativo e não existe
logaritmo decimal de número negativo, a calculadora vai apresentar mensagem
de ERRO. Portanto, na quinta vez - o que corresponde a A5, ao teclar LOG vai
dar ERRO no visor da calculadora, o que remete alternativa D.
Como em nossa sequência de atividades não privilegiamos uma
situação próxima da apresentada anteriormente tal fato contribuiu para o
insucesso desta questão. Talvez, a não apresentação da calculadora cientifica
para os alunos possa ter gerado um pequeno desconforto em sua leitura.
Então, assumimos que a questão tenha sido prejudicada por falta de uma
abordagem especifica em nossa sequência de atividades. A seguir
apresentaremos o percentual de erros e acertos em cada questão, disposta no
gráfico 42.
Quanto, a porcentagem de erros e acertos em cada questão.
Gráfico 42 - Resultado pós-teste
FONTE: Pesquisa de campo (Novembro/2012)
Podemos perceber, de maneira nítida que o acerto em quase todas as
questões é positivo, bem acima dos resultados do pré-teste, confirmando assim
nossa hipótese de que os alunos construíram um conhecimento matemático
acerca das funções exponenciais e logarítmicas. Apenas, a terceira questão
teve o índice de erro maior que o índice de acerto. Tal comportamento existiu,
pois, a questão envolve o funcionamento de calculadoras cientificas, além de
100% 100%
27%
80% 80%87%
80%
93%
73%67%
63%
20% 20%13%
20%
7%
27%23%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Número de acertos
Número de erros
Alternativas em branco
190
utilizar um valor relativamente elevado, “42 bilhões”. Portanto, entendemos que
para maior significância seria necessário que durante as atividades de
logaritmo, talvez a décima quinta atividade, fizesse parte algum item que
relacionasse o funcionamento de uma calculadora cientifica durante o cálculo
do logaritmo.
Apresentamos os resultados obtidos no pré-teste e no pós-teste.
Tabela 12 – comparativo pré e pós teste
Número da
Questão
Número de
acertos
Numero de
Erros
Alternativas
em Branco
Pré Pós Pré Pós Pré Pós
Questão 1 35% 100% 20% - 45% -
Questão 2 5% 100% 60% - 45% -
Questão 3 - 27% 55% 63% 45% -
Questão 4 15% 80% 35% 20% 50% -
Questão 5 - 80% 55% 20% 45% -
Questão 6 10% 87% 50% 13% 40% -
Questão 7 5% 80% 45% 20% 50% -
Questão 8 5% 93% 40% 7% 55% -
Questão 9 5% 73% 40% 27% 55% -
Questão 10 - 67% - 23% 100% -
A tabela 12 apresenta os resultados do pré-teste e os resultados do pós-
teste. Notamos que os acertos no pós-teste é maior, mesmo tendo menos
alunos participantes, que os acertos no pré-teste, inclusive a ultima questão, os
acerto no pré-teste não existiram e foram sobrepostos pelo índice de alunos
que deixaram em branco, mas no pós-teste não existiu a ocorrência deste fato,
existindo um valor significativo de acertos, 67%. Porém, como havíamos
comentado anteriormente, a terceira questão, não possui uma boa abordagem
como havíamos planejado nas análises a priori, por esse motivo manteve um
alto índice de erro. Talvez, se tivéssemos apresentado durante as atividades de
fixação uma situação próxima, ou mesmo a calculadora cientifica, o resultado
poderia ser revertido.
191
Percebemos que nas questões envolvendo a Função exponencial,
questões 3, 4, 5, 6 e 9, os alunos obtiveram maior sucesso. Apesar do
problema encontrado em nossa sequência referente à atividade 4. No pós-teste
os erros ainda ficaram no aspecto interpretativo das questões, os alunos ainda
sentiram dificuldade na análise de variáveis que envolviam as situações
problema, para o desenvolvimento de um modelo matemático referente.
Outro aspecto a salientar é que os professores participantes da nossa
amostra pesquisada, totalizando 100, registraram em sua maioria, 72%,
necessitam aproximadamente de cinco aulas duplas (dois horários seguidos)
para Função Exponencial e sete aulas duplas para Função Logarítmica.
Totalizando 12 aulas, com dois horários seguidos cada uma. Enquanto que
nossa sequência de atividades foi desenvolvida em 10 sessões, equivalente a
10 aulas duplas.
Na tabela 13 podemos observar a frequência dos alunos em relação a
porcentagem de acerto no pós-teste.
Tabela 13 – Relação entre a frequência dos alunos do 1° ano no experimento e desempenho no pós-teste.
Frequência nas Atividades
Aluno A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 Acerto no pós-teste
(%)
Aluno 1 P P P P P P P P P P P P P P P 90%
Aluno 2 P P P P P P F F F F F F F F P 80%
Aluno 3 P P P P P P P P P P P P P P F 20%
Aluno 4 P P P P P P P P P P P P P P F 60%
Aluno 5 P P P P P P P P P P P P P P P 80%
Aluno 6 P P F P F F F F F F F F F F F -
Aluno 7 P F F F F P P P P P F F F F F -
Aluno 8 P F F F P F F F F F F F F F F -
Aluno 9 P P F P P P P P P P P P P P P 90%
Aluno 10 P P P P P P P P P P P P P P P 80%
Aluno 11 F P F F F P F F F F F F F F F -
Aluno 12 P P P F P P P P P P P P P P P 70%
Aluno 13 P P F P P F F F F F F F F F F -
192
Fonte: pesquisa de campo (Novembro, 2012).
Observamos então que a maioria dos alunos que participou das
atividades alcançou um índice igual ou superior a 60%, porém o aluno 3
mesmo participando de todas as atividades teve um resultado de 20%, o que
nos fez reanalisar as suas atividades e perceber que sua dupla no inicio das
atividades era o aluno 13 e na ausência dele o aluno 3 oscilava entre duplas,
talvez este fato tenha influenciado no resultado do pós-teste.
Os outros alunos, que participaram pouco alteraram a formação inicial
de suas duplas. Existe também, um comportamento singular com o aluno 16,
que participou em apenas duas atividades e conseguiu um resultado de 60%
no pós-teste. Em uma conversa, o aluno comentou que gosta de matemática e
que estuda em um curso preparatório para os processos seletivos
universitários, este aluno por estar ausente na primeira sessão não participou
do preenchimento do questionário sócio-cultural, não fazendo parte assim das
estatísticas iniciais.
Aluno 14 F P F F F P F F F F P P P P F -
Aluno 15 P P P P P P P P P P P P P P P 80%
Aluno 16 F F F F F F F F F F F F F P P 60%
Aluno 17 P P P P P P P P P P P P P P P 70%
Aluno 18 P P P P P P P P P P P P P P P 90%
Aluno 19 P P P P P P P P P P P P P P P 80%
Aluno 20 P P P P P P P P P P P P P P P 80%
Aluno 21 F F P P P P P P P P P P P P P 80%
193
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No desenvolvimento de nossa pesquisa tivemos como objetivo avaliar
a potencialidade do ensino das funções exponenciais e logarítmicas por meio
de uma sequência didática de atividades estruturadas para alunos do 1° ano do
ensino médio. Uma vez que os resultados da pesquisa realizada com os alunos
egressos deste ano de ensino e as análises dos trabalhos já realizados sobre o
ensino da Função Exponencial e Logarítmica, apresentados nas análises
prévias, indicavam que o ensino por meio da exposição oral seguida de
exemplos e exercícios não estava favorecendo um desempenho satisfatório
dos alunos.
Levantamos, então, as hipóteses de que o uso da sequência de
atividades para o ensino da Função Exponencial e Logarítmica permitiria ao
aluno descobrir e enunciar os conceitos inerentes à temática, sem que o
docente as tivesse que apresentar, e ainda, que o desempenho dos alunos,
quando trabalhado didaticamente por meio de atividades, seria superior ao
desempenho quando ensinado por meio da exposição oral seguida de
exemplos e exercícios, sem perder de vista que tínhamos como finalidade
transformar o aluno em um agente ativo no processo de construção do
conhecimento.
Neste contexto, realizamos o trabalho experimental focalizando o
processo ensino e aprendizagem e tendo como aporte teórico a Engenharia
Didática, alvitrada por Artigue (1996), que nos ajudou na organização e
direcionamento da sequência didática a partir da observação das regularidades
dos resultados encontrados.
No decorrer da realização do experimento pudemos verificar que
estávamos conseguindo atribuir aos alunos a corresponsabilidade da situação
de aprendizagem, uma vez que os alunos estavam sendo capazes de produzir
conhecimentos sobre as regras a partir de suas observações, da interação que
estabeleciam uns com os outros, com os pesquisadores e com o meio, num
processo de investigação que os levava a refletir, discutir e formular
conclusões. Observamos que essas produções melhoravam à medida que os
alunos se adaptavam ao meio criado pela situação e pela experiência adquirida
nas atividades anteriores.
194
Nossa avaliação é de que a dinâmica usada para a socialização das
conclusões foi de extrema importância para que pudéssemos conduzir o
momento de institucionalização dos conceitos, colaborando para que os
estudantes adquirissem confiança e autonomia em relação as suas ideias e
constatações.
Na realização da sequência de ensino percebemos o entusiasmo e a
curiosidade dos estudantes quanto aos recursos utilizados, despertando o
interesse destes em relação a proposta de ensino que estávamos lhes
apresentando. No que tange ao uso das atividades no processo ensino e
aprendizagem da Função Exponencial e Logarítmica, constatamos que sua
utilização foi favorável no sentido de possibilitar que os alunos pudessem
perceber regularidades que os levassem a descoberta e enunciação dos
conceitos. Desta forma, podemos considerar que nossa hipótese sobre a
viabilidade do uso das atividades para o ensino da Função Exponencial e
Logarítmica, foi confirmada. Quanto aos jogos, constatamos que
proporcionaram momentos ricos de interação, cooperação, produção de
estratégias e descontração, além de contribuírem para que a maioria dos
alunos assimilassem as regras construídas, além de desenvolverem
habilidades inerentes à Função Exponencial e Logarítmica.
Ao analisarmos as avaliações enviadas (on-line) pelos alunos, pudemos
constatar a aprovação destes em relação a metodologia adotada,
reconhecendo que ela os estava ajudando a adquirir conhecimentos novos de
maneira prazerosa e significativa. Tais como: pequenos depoimentos, via on
line, que comprovam esta afirmação, dentre alguns destacamos: “Foi muito
bom o trabalho que você fez aqui na minha turma, agora estamos usando o
que aprendemos na quarta avaliação.” “O projeto que o professor Silvio fez, foi
muito bom para o nosso aprendizado com 15 exercícios e 1 prova. A turma
aprovou e ajudou a todos nas provas finais da escola.” “Foi muito, muito legal
aprendi várias coisas tipo: que qualquer número elevado a zero dá um, nunca
tinha participado de um projeto desse e gostei muito se tivesse outra
oportunidade participaria com certeza..” Além do que foi expresso
positivamente pela coordenadora pedagógica mediante entrevista (vide
ANEXO B).
195
Essas avaliações e as situações vivenciadas em sala de aula,
proporcionadas pelo desenvolvimento da sequência didática elaborada,
reforçaram em nós o desejo de estar sempre buscando alternativas didático-
pedagógicas que nos permitam favorecer a construção do conhecimento pelo
aluno, pois observamos que assim estaremos contribuindo para que eles se
sintam, verdadeiramente, parte integrante do processo ensino e aprendizagem.
Os resultados dos pós-teste realizado após o experimento revelaram
que a maioria dos alunos conseguiu apreender os conhecimentos sobre a
Função Exponencial e Logarítmica (ficou explícito no gráfico 40, 41 e 42 nas
páginas 1885, 186 e 188 respectivamente), apresentando desempenhos
melhores que os alunos egressos, que receberam ensino pautado na
exposição oral, seguida de exemplos e exercícios. Esses dados serviram para
confirmar nossa segunda hipótese sobre a superioridade no desempenho dos
alunos em relação ao ensino da Função Exponencial e Logarítmica quando
trabalhado por meio de atividades.
Compreendemos que os resultados poderiam ter sido melhores não
fossem duas limitações observadas em nosso experimento: o equívoco de
selecionar questões objetivas para os testes, que permitiu aos alunos
resolverem sem explicitar registros; e o fato de não termos desenvolvido
nenhuma situação próxima à terceira questão da atividade, que gerou uma
baixa no número de acertos.
No que tange a viabilidade da sequência didática, pudemos verificar
que o tempo gasto nas atividades e descoberta das regras sempre reduziam a
medida que os estudantes desenvolviam, socializavam e institucionalizavam
seus saberes.
No decorrer do desenvolvimento das atividades, pudemos responder o
questionamento inicial: “Qual a potencialidade do ensino das funções
exponencial e logarítmica por meio de atividades?”. Afirmamos que essa
potencialidade existe e se concretizou durante o experimento. Outros
questionamentos que surgiram após a finalização do experimento e que
possam servir para futuras investigações foram: “Qual a importância da
sequência didática para a socialização dos alunos? Se as situações problemas
fossem construídas a partir do contexto prático dos alunos em questão, esse
avanço seria mais significativo?”.
196
Neste sentido, esperamos que esse estudo contribua para a prática de
professores de matemática que costumam trabalhar com o 1º ano do ensino
médio e também que possa servir como referência para outras atividades de
investigação, que possam ser pensadas para o ensino deste e de outros
conteúdos matemáticos. Assim, concluímos que a sequência de ensino
aplicada favoreceu o aprendizado, melhorando o desempenho dos alunos
participantes da pesquisa, o que nos permitiu afirmar que o objetivo de nossa
pesquisa foi alcançado.
197
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198
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TERENCE, A. C. F e FILHO, E. E. Abordagem quantitativa, qualitativa e a utilização da pesquisa-ação nos estudos organizacionais. XXVI ENEGEP – Fortaleza. CE. Brasil. 2006
201
APÊNDICE A – questionário dos professores
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO
Caro(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir na superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo a este questionário é de grande importância para o êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!
1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) Data:___/___/___ 2- Faixa Etária ( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos 3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações) Ensino Superior.____________________Instituição:_______________________ Ano de Conclusão_______ Especialização. ____________________Instituição:_______________________ Ano de Conclusão_______ Mestrado._________________________Instituição:_______________________ Ano de Conclusão_______ Doutorado.________________________Instituição:_______________________ Ano de Conclusão_______ 4 - Tempo de serviço como professor de matemática? ( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos ( )11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( )Mais de 35 anos 5 - Tipo de escola que trabalha atualmente:( )Pública Estadual ( )Pública Municipal( )Publica Federal( )Privada( ) Outra. Qual?________________________ 5- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de Função Exponencial? ( ) Não ( ) Sim, qual? 6- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de Função Logarítmica? ( ) Não ( ) Sim, qual? 7- Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o ensino de Função Exponencial?( ) Não ( ) Sim, qual? ________________________ 8 - Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o ensino de Função Logarítmica? ( ) Não ( ) Sim, qual? ________________________ 9- Voce ensina função exponencial do modo como aprendeu? ( ) Não ( ) Sim 10- Voce ensina função logaritmo do modo como aprendeu? ( ) Não ( ) Sim 11 - Quando você ensina Função Exponencial, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos 12- Quando você ensina Função Logarítmica, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos 13- Para fixar o conteúdo de Função Exponencial você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático ( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 14 - Para fixar o conteúdo de Função Logarítmica você costuma:
202
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático ( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 15 - Você já realizou o ensino Função Exponencial por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim 16 - Você já realizou o ensino Função Logarítmica por meio de experimentos ( ) Não ( ) Sim 17 – Sobre Função Exponencial e Logarítmica e seus conteúdos
Conteúdo
Você costuma
ministrar?
Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
SIM Não Muito
Fácil
Fácil Regular
Difícil Muito Difícil
Definição da Função Exponencial
Estudo do Gráfico da Função Exponencial
Domínio e Imagem de uma Função Exponencial
Equação do tipo: 2x= 64
Equação do tipo: 2x
+ 2x-1
+ 2x-2
+ 2x-
3= 128
Equação do tipo: 42x
+ 5.4x + 6 = 0
Inequação exponencial
Condições de existência de um Logaritmo
Logaritmo de um produto
Logaritmo de um quociente
Logaritmo de uma potência
Equação do tipo: 2x= 5
Mudança de base
Cologaritmo
Definição da Função Logarítmica
Estudo do Gráfico da Função Logarítmica
Relação Gráfica entre Função Logarítmica e Exponencial
Domínio e Imagem de uma Função Logarítmica
Equação do tipo: Log3 x = 5
Equação do tipo: Log2(x+1) + Log2(x-1) = 1
Equação do tipo: Log x-1 3 = 2
Equação do tipo: 2Log x = Log 2x – log 3
Sistema de Equações Logarítmicas
Inequação Logarítmica
Situações-problema envolvendo função exponencial em que é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
Situações-problema envolvendo função exponencial em que não é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
Situações-problema envolvendo a
203
necessidade de interpretação do gráfico da função exponencial.
Situações-problema envolvendo função logaritmo em que é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
Situações-problema envolvendo função logaritmo em que não é fornecida a Função e é solicitada a imagem de um determinado valor.
Situações-problema envolvendo a necessidade de interpretação do gráfico da função logaritmo.
18 – Quantas aulas o tempo você gasta aproximadamente para ministrar o conteúdo sobre: Função Exponencial: ____aulas. Função Logarítmica: ____aulas
204
APÊNDICE B – questionário dos alunos egressos
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO
Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do
processo de ensino-aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em sigilo.
Muito obrigado!
1-Idade: ____ anos. Data:___/___/___ 2- Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino 3- Quem é o seu responsável? ( )Pai ( )Mãe ( )Avô ( )Avó ( )Tia ( )Tio ( )Irmão ( )Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro. Quem?____________ 4- Até que série estudou o seu responsável? ____________ 5- Seu responsável trabalha? ( ) Sim ( ) Não 6- Você estudou o Ensino Fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?___________ 7- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes 8- Você faz algum curso? ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro 9- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito 10- Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim 11-Você têm dificuldade para aprender matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito 12- Você se distrai nas aulas de matemática? ( ) Não, eu sempre presto atenção ( ) Sim, eu não consigo prestar atenção ( )Às vezes, quando a aula está chata 13- Você costuma estudar matemática fora da escola. ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( )Todo dia ( ) Alguns dias da semana. 14- Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros. Quem? ________ 15- Quando você estudou Função Exponencial, a maioria das aulas ( ) iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) iniciaram com um experimento para chegar ao conceito ( ) iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) iniciaram com a História do assunto 16- Quando você estudou Função Logarítmica, a maioria das aulas começa: ( ) iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) iniciaram com um experimento para chegar ao conceito ( ) iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) iniciaram com a História do assunto 17- Para fixar o conteúdo de Função Exponencial seu professor costumava: ( ) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático ( ) não propor questões de fixação ( ) solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver 18 - Para fixar o conteúdo de Função Logarítmica seu professor costumava: ( ) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
205
( ) apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático ( ) não propor questões de fixação ( ) solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver 19 – A respeito de Função Exponencial e Logarítmica e seus conhecimentos, preencha o quadro abaixo.
Conteúdo
Você estudou?
Grau de dificuldade
SIM Não Muito
Fácil
Fácil
Regular
Difícil
Muito
Difícil
Definição da Função Exponencial
Gráfico da Função Exponencial
Domínio e Imagem de uma Função Exponencial
Equação do tipo: 2x= 64
Equação do tipo: 2x + 2x-1 + 2x-2 + 2x-3= 128
Equação do tipo: 42x + 5.4x + 6 = 0
Inequação exponencial
Condições de existência de um Logaritmo
Logaritmo de um produto
Logaritmo de um quociente
Logaritmo de uma potência
Mudança de base
Cologaritmo
Logaritmo de um produto
Definição da Função Logarítmica
Gráfico da Função Logarítmica
Relação Gráfica entre Função Logarítmica e Exponencial
Domínio e Imagem de uma Função Logarítmica
Equação do tipo: Log3 x = 5
Equação do tipo: Log2(x+1) + Log2(x-1) = 1
Equação do tipo: Log x-1 3 = 2
Equação do tipo: 2Log x = Log 2x – log 3
Sistema de Equações Logarítmicas
Inequação Logarítmica
Situações-problema em que é fornecida a Função, e lhe é pedido o registro gráfico.
Situações-problema em que é fornecido o gráfico, e lhe é pedido o registro algébrico.
Situação em que são fornecidos variáveis para que seja construído os registros algébrico e gráfico.
206
APÊNDICE C – baralho de função exponencial
Função Exponencial
F(x) = 2x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
CRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(3) = 8
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) =
(1/2)x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 1/4
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) =
(1/3)x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) = 3x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
CRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(3) = 27
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 1/9
PPGED- UEPA
207
Função Exponencial
F(x) = 4x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
CRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 16
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) =
(1/5)x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(1) = 1/5
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) = (¼)x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 1/16
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) = 5x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
CRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(3) = 125
PPGED- UEPA
208
Função Exponencial
F(x) = 6x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
CRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(3) = 216
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) =
(1/6)x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(3) = 1/216
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) = 7x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
CRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 49
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) =
(1/7)x
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 1/49
PPGED- UEPA
209
Função Exponencial
F(x) =8x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(4) = 4096
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) =
(1/8)x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
DECRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 1/4096
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(x) = (9)x
PPGED- UEPA
Função Exponencial
PPGED- UEPA
x
y
Função Exponencial
FUNÇÃO
CRESCENTE
PPGED- UEPA
Função Exponencial
F(2) = 1/81
PPGED- UEPA
210
APÊNDICE D – ANEXO DA ATIVIDADE 6
Gráfico das funções
F(x) = 2x
F(x) = (1/2)x
x
y
x
y
211
F(x) =3x
F(x) = (1/3)x
x
y
x
y
212
F(x) = 4x
F(x) = (1/4)x
x
y
x
y
213
F(x) = 5x
F(x) = (1/5)x
x
y
x
y
214
F(x) = 6x
F(x) = (1/6)x
F(x) = 7x
x
y
x
y
215
F(x) = (1/7)x
x
y
x
y
216
F(x) = 8x
F(x) = (1/8)x
x
y
x
y
217
ANEXO A – termo de consentimento livre esclarecido
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Sr(a) foi selecionado(a) e está sendo convidado(a) para participar da pesquisa
intitulada: Ensino da Função Exponencial e Logarítmica por Atividades, que tem
como objetivos: avaliar a potencialidade do ensino das funções exponenciais e
logarítmicas por meio de uma sequência didática de atividades estruturadas.
Este é um estudo que utiliza como método a Engenharia didática.
Suas respostas serão tratadas de forma anônima e confidencial, isto é, em
nenhum momento será divulgado o seu nome em qualquer fase do estudo. Quando for
necessário exemplificar determinada situação, sua privacidade será assegurada uma
vez que seu nome será substituído de forma aleatória. Os dados coletados serão
utilizados apenas NESTA pesquisa e os resultados divulgados em eventos e/ou
revistas científicas.
Sua participação é voluntária, isto é, a qualquer momento você pode recusar-
se a responder qualquer pergunta ou desistir de participar e retirar seu
consentimento. Sua recusa não trará nenhum prejuízo em sua relação com o
pesquisador ou com a instituição que forneceu os seus dados, como também na que
trabalha. Sua participação nesta pesquisa consistirá em responder as perguntas a
serem realizadas sob a forma de entrevista. A entrevista será guardada por cinco (05)
anos e incinerada após esse período.
Sr(a) não terá nenhum custo ou quaisquer compensações financeiras. Não
haverá riscos de qualquer natureza relacionada à sua participação. O benefício
relacionado à sua participação será de aumentar o conhecimento científico para a área
de educação. Sr(a) receberá uma cópia deste termo. Desde já agradecemos!
_____________________________ ________________________
Pedro Franco de Sá Silvio Tadeu Teles da Silva Doutor em Educação PPGED/UEPA Mestrando PPGED/UEPA
Belém, ____ de _______________ de 2012.
Declaro estar ciente do inteiro teor deste TERMO DE CONSENTIMENTO e estou de acordo em participar do estudo proposto, sabendo que dele poderei desistir a qualquer momento, sem sofrer qualquer punição ou constrangimento. Sujeito da Pesquisa: ______________________________________________
218
ANEXO B – entrevista com a orientadora pedagógica
( ) Diretora (X) Orientadora Pedagógica ( ) Outros:___________________ O que você achou do projeto quando ele foi apresentado? (viabilidade na escola) Comentário: Inicialmente acreditamos que os alunos iriam sentir muita dificuldade por tratar-se de um conteúdo novo e além da quase natural resistência à matemática. Já tinha visto outro similar? Comentário: Não, pois geralmente os trabalhos buscam detectar o que os alunos já sabem e este projeto buscou mostra-se ir além de perceber as dificuldades e forneceu o processo de ensino aprendizagem, trabalhando a inserção do conteúdo novos no repertório dos alunos. Como você esperava, sobre o comportamento dos alunos? (expectativas do projeto) Comentário: Resistentes, pois é comum na escola o baixo rendimento nas disciplinas que envolvem cálculo. Na sua opinião, o que foi mais atrativo? Comentário: Para os alunos, o uso de novos instrumentos e novas metodologias, além do fato de terem criado uma boa relação com os que executaram o projeto. Quais os pontos negativos e positivos na sua visão? Comentário: Como principal ponto positivo vimos o interesse dos alunos e a forma como estes foram envolvidos e sensibilizados a sentir-se parte do projeto. Talvez negativamente tenha pesado a falta de agendamento prévio das atividades, que devido a ausência de aulas vagas no Ensino Médio, foram realizadas durante as aulas de um professor que estava de licença, ou seja, uma feliz coincidência. Você recomendaria esse tipo de trabalho para outros gestores e professores? Por que? Comentário: Sim, pois segundo os próprios alunos favoreceu seus rendimentos em Matemática e outras disciplinas, como Física.
219
ANEXO C – jogo da memória
11² = 121
16² = 256
36 = 729
7³ = 343
Log11 121
Log16 256
Log 3 729
Log 7 343
Log3 27
Log2 8
Log3 81
Log5 125
3³ = 27
2³ = 8
34 = 81
5³ = 125
220
- 9
Log2 1
6.1
32
Log3 1
0
221
Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo
66113-200 Belém-PA www.uepa.br/mestradoeducaca