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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
KAROLINE LEHRER
OS POLIEDROS E MATERIAIS CONCRETOS: UMA INVESTIGAÇÃO NA
EDUCAÇÃO BÁSICA COM BALAS DE GOMAS E PALITOS DE DENTES
JOINVILLE - SC 2017
KAROLINE LEHRER
OS POLIEDROS E MATERIAIS CONCRETOS: UMA INVESTIGAÇÃO NA
EDUCAÇÃO BÁSICA COM BALAS DE GOMAS E PALITOS DE DENTES
Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estado de Santa Catarina, como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientador: Prof. Dra. Silvia Teresinha Frizzarini
JOINVILLE-SC 2017
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente aos meus pais, Janete Caron Lehrer e Rui Cesar
Lehrer, e à minha irmã Gabriela Lehrer, por todo carinho, amor, pelos ensinamentos
e pelo apoio durante toda a minha vida. Vocês me deram todo o suporte e fizeram
com que eu me sentisse segura mesmo a muitos quilômetros de distância.
Agradeço ao meu namorado, Guilherme Sampaio Ferroni, que dividiu comigo
essa fase acadêmica, me acalmando e incentivando em diversas situações, por todo
amor e companheirismo em todos os momentos.
Agradeço a todos os professores que contribuíram com a minha formação
acadêmica, em especial a professora Silvia Teresinha Frizzarini, por ter aceitado o
convite e eu ter sido a sua primeira orientanda, pela orientação neste trabalho e pela
confiança. Também ao professor Adriano Luiz dos Santos Né, pela co-orientação,
pela atenção, pelos retornos e correções que muito acrescentaram neste trabalho.
Agradeço a todos os meus amigos e colegas da universidade, que durante
esse tempo sofreram e comemoraram junto.
Agradeço a todos os meus amigos e familiares, que de perto ou de longe
sempre torceram por mim, me apoiando nas minhas escolhas e decisões.
Agradeço a Deus, por atender as minhas orações, sempre me proteger, me
iluminar e por ter permitido que eu chegasse até aqui.
A todos que de alguma maneira fizeram parte da minha formação e que
acreditaram que eu estava indo atrás de um sonho, muito obrigada!
”O que é que se encontra no início? O jardim ou o jardineiro? É o jardineiro. Havendo um jardineiro, mais cedo ou mais tarde um jardim aparecerá. Mas, havendo um jardim sem jardineiro, mais cedo ou mais tarde ele desaparecerá. O que é um jardineiro? Uma pessoa cujo pensamento está cheio de jardins. O que faz um jardim são os sonhos do jardineiro.
Rubem Alves
RESUMO
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais o ensino de Geometria deve visar desenvolver o pensamento geométrico, com procedimentos de observação, representações e construções de figuras que levem o aluno a estabelecer relações entre as figuras espaciais e as suas representações planas, e interpretar as suas representações. Em vista disso e com o objetivo de inserir um material concreto no ensino de geometria para auxiliar os alunos na visualização dos elementos geométricos, especialmente os tridimensionais, a proposta apresentada é de uma aula de Matemática diferenciada com a utilização de balas de goma e palitos de dentes para a construção de poliedros, de modo que as balas de goma representem os vértices e os palitos as arestas. Esta pesquisa está fundamentada de acordo com o autor Luiz Carlos Pais, tendo como base seu trabalho sobre “Intuição, experiência e teoria geométrica”, que traz as relações existentes entre os três aspectos do conhecimento geométrico (teoria, experiência e intuição) e os quatro elementos que são fundamentais no ensino e na aprendizagem de geometria (conceito, objeto, desenho e imagem mental) que são o eixo central da aprendizagem geométrica. Foram realizados estudos sobre o uso de materiais manipuláveis e, a aplicação de um pré-teste e um pós-teste de modo que os resultados pudessem ser comparados e avaliado se foi significativo, ou não, para os alunos no processo de ensino e de aprendizagem de geometria. Verificou-se que com o uso de objetos materiais como recursos didáticos no processo de construção dos conceitos geométricos, os alunos conseguem fazer uma leitura geométrica abrangente das representações envolvidas, tanto a bidimensional quanto a tridimensional. Também, que as competências de abstração e generalização foram bem trabalhadas, processos esses que dentro da geometria envolvem uma transposição entre o concreto e o abstrato, entre o particular e o geral, e são um dos maiores obstáculos enfrentados pelos alunos durante sua aprendizagem. Palavras-chave: Educação Matemática. Geometria Espacial. Materiais Manipuláveis. Poliedros. Conhecimento Geométrico.
ABSTRACT
According to the Parâmetros Curriculares Nacionais, the Geometry teaching should aim developing the geometrical thought, with procedures of observation, representation and construction of figures which lead the student to establish relations between the space figures and the plan representations, and comprehend the forms they are presented. Therefore, and aiming inserting a concrete material in the teaching of Geometry to help students see the geometrical elements, especially the tridimensional ones, the proposal presented is of a different Math class, using jellybeans and toothpicks for building polyhedrons, in a way that the jellybeans would represent the vertices and the toothpicks the edges. This research has as its roots in the work of Luiz Carlos Pais about “Intuição, experiência e teoria geométrica” (Intuition, experience and geometrical theory), which brings the relations between the three aspects of the geometrical knowledge (theory, experience and intuition) and the four elements that are fundamental in the process of teaching/learning of geometry (concept, object, drawing, and mental image) which are the central axis of the geometrical learning. The studies happened through the use of manipulable materials and the application of a pre-test and a post-test in order that the results could be compared and evaluated as being significant or not to the students in this process of teaching/learning. It was verified that with the use of concrete material as a didactic resource in the process of building geometrical concepts, the students can a have a wider reading of the geometrical representations involved, both two-dimensional and tridimensional. Also, the abstracting and generalizing abilities were well worked on, such processes that, inside Geometry, involve a transposition between the concrete and the abstract, the particular and the generic, and are some of the biggest obstacles faced by the students during their learning.
Key words: Math Teaching; Spatial Geometry; Manipulable Materials; Polyhedrons; Geometric Knowledge.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Objetos que nos cercam e figuras geométricas ....................................... 24
Figura 2 – Exercício sobre sólidos geométricos ........................................................ 25
Figura 3 – Mosaico e figuras geométricas ................................................................. 25
Figura 4 – Exercício sobre polígonos ........................................................................ 26
Figura 5 – Embalagens com forma de poliedros ....................................................... 26
Figura 6 – Elementos dos prismas e pirâmides ......................................................... 27
Figura 7 – Poliedros e suas características ............................................................... 27
Figura 8 – Poliedros e o Teorema de Euler ............................................................... 30
Figura 9 – Poliedro que não vale o Teorema de Euler .............................................. 30
Figura 10 – Poliedro não convexo ............................................................................. 32
Figura 11 – Poliedro não convexo em que vale a Relação de Euler ......................... 33
Figura 12 – Poliedros de Platão ................................................................................ 34
Figura 13 – Figura Poliédrica (tetraedro regular) feita com canudos de plástico e
barbante .................................................................................................................... 40
Figura 14 – Figura Poliédrica (pirâmide regular de base quadrada) feita de balas de
gomas e palitos de dente .......................................................................................... 41
Figura 15 – Octaedro Regular ................................................................................... 42
Figura 16 – Aspectos e elementos do conhecimento ................................................ 47
Figura 17 – Triângulo equilátero ................................................................................ 52
Figura 18 – Triângulo com palitos espetados ............................................................ 52
Figura 19 – Tetraedro Regular .................................................................................. 53
Figura 20 - Quadrado ................................................................................................ 53
Figura 21 – Quadrado com palitos espetados ........................................................... 54
Figura 22 – Hexaedro regular (cubo) ........................................................................ 54
Figura 23 – Pirâmide regular de base quadrada ....................................................... 55
Figura 24 – Pirâmide de cabeça para baixo com palitos espetados ......................... 55
Figura 25 – Octaedro regular .................................................................................... 56
Figura 26 – Triângulo com palitos espetados ............................................................ 56
Figura 27 – Prisma regular de base triangular .......................................................... 57
Figura 28 - Construção dos poliedros em sala de aula, 9º ano ................................. 59
Figura 29 – Poliedros construídos, 9º ano ................................................................. 60
Figura 30 – Dodecaedro construído, 9º ano .............................................................. 61
Figura 31 – Icosaedro sendo construído, 9º ano ....................................................... 61
Figura 32 - Construção dos poliedros em sala de aula, 8º ano ................................. 62
Figura 33 – Poliedros construídos, 8º ano ................................................................. 63
Figura 34 – Dodecaero e icosaedro construídos, 8º ano........................................... 64
Figura 35 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno A do 8º ano .............................. 65
Figura 36 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno B do 8º ano .............................. 66
Figura 37 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno C do 8º ano .............................. 67
Figura 38 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno D do 8º ano .............................. 68
Figura 39 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno E do 8º ano .............................. 68
Figura 40 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno F do 8º ano .............................. 69
Figura 41 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno G do 8º ano .............................. 70
Figura 42 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno H do 8º ano .............................. 70
Figura 43 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno A do 9º ano .............................. 72
Figura 44 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno B do 9º ano .............................. 73
Figura 45 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno C do 9º ano .............................. 74
Figura 46 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno D do 9º ano .............................. 75
Figura 47 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno E do 9º ano .............................. 75
Figura 48 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno F do 9º ano .............................. 76
Figura 49 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno G do 9º ano .............................. 76
Figura 50 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno H do 9º ano .............................. 77
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Informações e tabela de dados ............................................................. 50
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
FURJ Fundação Educacional da Região de Joinville
PPP Projeto Político Pedagógico
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada
12
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 13
2 DIRECIONAMENTO DA PESQUISA ............................................................ 16
2.1 RELEVÂNCIA DO TEMA .............................................................................. 16
2.2 DESCRIÇÃO DA ESCOLA ............................................................................ 18
2.2.1 A Disciplina de Matemática ........................................................................ 20
2.2.2 Alunos Participantes da Pesquisa e o Ensino de Poliedros ................... 22
3 OS POLIEDROS E OS MATERIAIS CONCRETOS ..................................... 29
3.1 A RELAÇÃO DE EULER E OS POLIEDROS ................................................ 29
3.1.1 Poliedros Convexos .................................................................................... 31
3.1.2 Poliedros de Platão ..................................................................................... 33
3.2 USO DE MATERIAIS CONCRETOS NO ENSINO DA GEOMETRIA ........... 35
4 O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO ............................................................ 39
4.1 REPRESENTAÇÃO BIDIMENSIONAL DOS CONCEITOS GEOMÉTRICOS
ESPACIAIS ............................................................................................................... 39
4.2 APRENDIZAGEM GEOMÉTRICA E AS IMAGENS MENTAIS ..................... 42
4.3 GENERALIZAÇÃO E ABSTRAÇÃO DO CONHECIMENTO GEOMÉTRICO 45
5 REFERENCIAL METODOLÓGICO .............................................................. 49
5.1 DESCRIÇÃO DO PRÉ-TESTE ...................................................................... 50
5.2 DESCRIÇÃO DO PÓS-TESTE ..................................................................... 51
6 APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES .............................................. 58
6.1 REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES E COLETA DE DADOS ........................... 58
6.2 COMPARAÇÃO DO PRÉ E PÓS TESTE ..................................................... 64
6.2.1 Análise das Tabelas Preenchidas pelos Alunos do 8º ano...................... 65
6.2.2 Análise das Tabelas Preenchidas pelos Alunos do 9º ano...................... 72
CONCLUSÕES ......................................................................................................... 79
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 84
APÊNDICES ............................................................................................................. 87
APÊNDICE A – Autorização para realização de atividade ........................................ 88
APÊNDICE B – Informações e tabelas de dados com respostas .............................. 89
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1 INTRODUÇÃO
Quando cursava o Ensino Médio percebi que o meu interesse e gosto pela
Matemática eram muito maiores do que qualquer outra disciplina, em especial, a
área da Geometria e dos sólidos geométricos sempre despertou a minha atenção.
Lembro-me de gostar muito de resolver os exercícios relacionados a esse conteúdo,
lembro também da dificuldade que meus colegas tinham com a visualização
espacial, que para mim era algo muito natural.
Ao iniciar o curso de Licenciatura em Matemática, na Universidade do Estado
de Santa Catarina, Udesc - Joinville, logo no primeiro semestre cursei a disciplina de
Geometria Plana e Espacial e, por estar com um bom desempenho e pela afinidade
que já possuía com este assunto, entrei em contato com o professor e no semestre
seguinte me tornei a monitora da disciplina. Durante o período que estive na
monitoria pude perceber novamente a dificuldade que os alunos tinham com a
visualização espacial e tridimensional.
Na sequência do curso, ao realizar a disciplina de Laboratório de Ensino de
Matemática IV, nós alunos teríamos que dar duas aulas para a nossa própria turma,
uma aula tradicional e uma aula diferenciada. Dentre os conteúdos disponibilizados
para a escolha, não tive dúvida ao ver que a Geometria estava disponível.
A primeira aula utilizava apenas quadro e giz como uma aula tradicional. O
conteúdo abordado na aula foi sobre pirâmides e, para minha surpresa, percebi a
dificuldade dos alunos com a visualização destes sólidos ao desenhá-los na lousa. E
foi então, na minha aula diferenciada, que resolvi aplicar uma atividade em que a
construção de sólidos geométricos era obtida com a utilização de balas de goma e
palitos de dente, em que o objetivo foi auxiliar na visualização e identificação dos
elementos geométricos em três dimensões. Percebi que a dificuldade dos alunos
com a visualização, identificação dos elementos geométricos e generalização foi
superada após a aplicação dessa atividade, segundo relatos dos meus colegas,
além de ter sido uma atividade prazerosa e simples de se desenvolver.
No semestre seguinte, cursando a disciplina de Prática de Ensino de
Matemática, deveríamos aplicar um projeto de ensino em uma escola da cidade de
Joinville. Juntamente com a minha colega Lorena Silva de Andrade Dias,
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resolvemos aplicar a mesma atividade com as balas de goma e palitos de dente, em
duas turmas onde com a aplicação percebemos que a mesma dificuldade existia.
Diante de todas essas situações e da constante dificuldade dos alunos,
percebi que deveria levar esse trabalho adiante e aprofundá-lo um pouco mais. A
escolha deste tema foi então realizada devido a essa dificuldade, por parte dos
alunos, de distinguir as representações dos sólidos geométricos, quanto à
visualização e identificação de elementos em três dimensões.
Sabendo que a Geometria Espacial é um conteúdo que faz parte do currículo
escolar, este trabalho torna-se relevante não só no contexto escolar, mas também
para minha formação acadêmica e na interpretação do mundo que nos cerca. Desta
forma, realizando um estudo sobre o uso de materiais manipuláveis para o ensino de
Geometria Espacial, buscou-se identificar elementos relevantes do saber
matemático relacionado à Geometria Espacial; a apresentação de uma proposta de
uma aula diferenciada com a utilização de balas de goma e palitos de dente assim
como sua aplicação; e, a análise dos resultados obtidos verificando a significância
para os alunos ao realizarem a atividade.
A escolha desta atividade se deu em função de, além do fácil acesso aos
materiais e execução, ter como hipótese uma aula significante para o aprendizado
dos alunos no sentido de ampliar a visão espacial, melhorar a identificação dos
elementos geométricos espaciais e permitir a generalização e abstração das
relações entre as representações bidimensionais e tridimensionais com o
envolvimento da transposição entre o concreto e o abstrato e, além disso, não seja
uma aula monótona.
Este trabalho está dividido da seguinte forma: no Capítulo 2, é apresentado o
direcionamento da pesquisa, com a relevância e importância do tema, os objetivos
que a direcionam, a descrição da escola em que a atividade foi realizada, bem como
alguns pontos importantes sobre a disciplina de matemática dessa escola, o seu
ensino de poliedros e os alunos participantes da pesquisa.
No Capítulo 3, é apresentada a revisão bibliográfica, que trata um pouco
sobre os aspectos históricos referentes ao ensino de matemática e a geometria,
além de um pequeno estudo sobre a Relação de Euler e os poliedros que fazem
parte das atividades e, por fim, a importância do uso de materiais concretos no
ensino da geometria.
15
No Capítulo 4, é apresentada a fundamentação teórica, proposta por Luiz
Carlos Pais (PAIS, 1996), em que foi feito o embasamento deste trabalho com a
teoria sobre intuição, experiência e teoria geométrica, ao relacionar principalmente a
utilização de materiais concretos para minimizar os obstáculos existentes nos
processos de ensino e aprendizagem de geometria.
No Capítulo 5, é apresentada a metodologia utilizada para alcançar os
objetivos apresentados, composta por uma proposta de atividade em que se utilizam
balas de goma, palitos de dente e uma tabela, para a construção poliedros e
generalização da relação de Euller.
No Capítulo 6 serão apresentados de forma detalhada a descrição, o
desenvolvimento, a coleta de dados das atividades que foram aplicadas com uma
turma do 8º e 9º ano de uma escola de Joinville e as análises dos resultados obtidos
com esta aplicação e, por fim, as conclusões deste trabalho e sugestões para
trabalhos futuros.
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2 DIRECIONAMENTO DA PESQUISA
2.1 RELEVÂNCIA DO TEMA
Atualmente a geometria ensinada desde os primeiros anos de escolaridade
baseia-se pouco em situações de natureza exploratória e investigativa, em que as
situações da realidade são trazidas para a sala de aula e relacionadas com
conteúdos matemáticos, e estes não são apenas apresentados aos alunos de
maneira teórica e fechada. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) é possível
conceber tarefas adequadas a diferentes níveis de desenvolvimento e que requerem
um número reduzido de pré-requisitos. No entanto, a sua exploração pode contribuir
para uma compreensão de fatos e relações geométricas que vai muito além da
simples memorização e utilização de técnicas para resolver exercícios.
A exploração de diferentes tipos de investigação geométrica pode também contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução da Matemática. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 71).
Uma das maneiras de ensinar Geometria, aproximando o abstrato do real, é
com a utilização de materiais manipuláveis. O ensino “tradicional” muitas vezes
mostra-se deficiente ao direcionar o aluno para chegar ao pensamento abstrato por
meio de um pensamento concreto em relação aos conteúdos matemáticos de
geometria plana e espacial. “Um dos problemas que se observa diz respeito ao
estudo de Geometria, pois se constata que os alunos possuem pouco conhecimento
dos conceitos básicos da mesma, os quais são ensinados no Ensino Fundamental”
(VERSA; SOUZA, 2009, p. 2).
O aprendizado fica dificultado não apenas pelo pouco conhecimento dos
conceitos básicos, mas também pela dificuldade de um entendimento concreto por
meio da visualização de objetos geométricos. Ao visualizar objetos geométricos, o
indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações básicas mentais
exigidas no trato da geometria, e é de suma importância que o aluno consiga
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reconhecer o que é uma visualização espacial de um objeto (VERSA; SOUZA, 2009
p. 2 apud KALEFF, 2003, p. 16).
Dessa forma, importa que o professor em sua prática docente desenvolva
métodos que impulsionem um aprendizado de qualidade e facilitem o entendimento
do aluno. Visando impulsionar o aprendizado e facilitar o entendimento do aluno, a
utilização de materiais manipuláveis pode ser feita, uma vez que são atualmente
reconhecidos cientificamente no contexto educativo como um recurso importante
para os professores de Matemática e para sua formação. (FRIZZARINI; CARGNIN,
2015, p. 87).
Devido a essa dificuldade de fazer a interpretação das três dimensões nos
sólidos geométricos, onde o desenho com lápis e papel num espaço bidimensional
não permite muitas vezes identificar cada um dos elementos desse sólido (número
de vértices, faces e arestas), este trabalho tem como objetivo geral utilizar um
material manipulável no ensino de Geometria a fim de auxiliar os alunos na
visualização dos elementos geométricos, especialmente os tridimensionais.
Com uma estreita relação das particularidades relativas à temática
trabalhada, este trabalho tem como objetivos específicos realizar um estudo sobre o
uso de materiais manipuláveis para o ensino de Geometria Espacial, em específico
sobre os poliedros e a Relação de Euler; como esta relação é trabalhada com os
alunos, e investigar se as competências de abstração e generalização foram muito
ou pouco trabalhadas.
Para as análises das atividades desenvolvidas, a pesquisa está
fundamentada pelo autor Luiz Carlos Pais, com seu trabalho (PAIS, 1996) sobre
“Intuição, experiência e teoria geométrica” e, assim responder a questão do
problema se com o uso de objetos materiais, como recursos didáticos no processo
de construção dos conceitos geométricos, os alunos conseguem minimizar os
obstáculos existentes nos processos de ensino e aprendizagem de geometria.
Para responder esta questão e atingir os objetivos, o Colégio escolhido foi o
Colégio Univille, com a aplicação da atividade em duas turmas do 8º e 9º ano do
Ensino Fundamental, durante duas aulas de 50 minutos, no mês de junho do ano de
2017, conforme descrito na sequência.
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2.2 DESCRIÇÃO DA ESCOLA
A escolha do Colégio Univille, em que foi aplicada a atividade proposta para
os alunos, se deve a alguns fatores que influenciaram ao optar por essa instituição.
Pela proximidade com a Universidade do Estado de Santa Catarina – Udesc, decidi
realizar o Estágio Curricular Supervisionado I na instituição, no primeiro semestre de
2016, matéria da grade curricular do curso de Licenciatura em matemática da
Udesc, e nos semestres seguintes também realizei os Estágios II, III e IV também lá,
respectivamente no segundo semestre de 2016, no primeiro e segundo semestre de
2017. Por já ter um contato com a escola, com a coordenação e com os professores
de Matemática, trabalhei também com duas turmas aplicando o projeto de ensino,
anteriormente citado, referente à disciplina de Prática de Ensino que cursei na
Udesc.
Além desses motivos, a escolha dessa instituição se deu por apresentar
processos pedagógicos diferenciados, pelo corpo docente especializado, pelo
projeto de ensino e pelo material utilizado, como descritos a seguir.
O Colégio Univille foi idealizado por um grupo de educadores que tiveram o
propósito de inovar a educação e iniciou suas atividades em 1978, ocupando o
espaço físico da FURJ (Fundação Educacional da Região de Joinville), tendo
reconhecimento legal em 30 de maio do ano seguinte.
Na década de 90, a FURJ passou a ser reconhecida como Universidade da
Região de Joinville - UNIVILLE. O Colégio de Aplicação da FURJ tornou-se assim
órgão complementar subordinado à Pró-Reitoria de Ensino da UNIVILLE. Desta
forma, precisou se reestruturar. Em 2001, após estudos realizados e, procurando
criar uma identificação mais forte ao nome da Universidade em que está inserido, o
Colégio de Aplicação passou a denominar-se Colégio Univille. Ao final deste mesmo
ano, o Colégio passou a funcionar em sede própria, anexo ao Campus Universitário.
O Colégio Univille tem sua filosofia voltada para o desenvolvimento integral do
indivíduo, numa visão de educação que parte do senso comum à consciência
científica, comprometendo-se com o processo de construção do conhecimento,
respeitando o ser humano com suas diferenças, limitações, possibilidades
individuais e sociais. O professor passa a ser um estimulador, investindo no
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crescimento intelectual se seus alunos, dando-lhes ajudar diferenciadas, de modo
que passem a fazer sozinhos àquilo que antes só faziam com o auxílio do docente.
Em conformidade com a proposta desta pesquisa, o Colégio Univille
fundamenta-se no ensino e na pesquisa, incentivando o aluno a buscar
conhecimentos múltiplos, necessários para o seu desenvolvimento integral, sendo
capaz de evoluir no seu modo de pensar, sentir, agir e interagir na sociedade como
homem crítico, ético, criativo, aberto a mudanças e capaz de modificar sua própria
história. Graças à organização do Colégio Univille, com sua prática pedagógica e
sua filosofia, foi possível realizar esta pesquisa nesta instituição de ensino.
O corpo técnico administrativo do colégio é composto pela Diretora Margaret
Schmockel de Ramos, pela Coordenadora de Estágios e Supervisora Graziela
Terezinha Kiatkoski Unger, a qual foi a primeira pessoa que entrei em contato para
realizar essa pesquisa. O corpo docente de matemática é formado pelos professores
Lucio Vasconcelos dos Santos, quem me cedeu suas aulas para aplicar a atividade
desta pesquisa, Aruana do Amaral e Simone Aparecida Colusso.
O Colégio Univille fica situado na Rua Paulo Malschitz, nº 10, bairro Bom
Retiro, na cidade de Joinville – SC, ao lado da Universidade do Estado de Santa
Catarina, UDESC, outro motivo na escolha do campo de pesquisa pelo acesso
facilitado, além da usa ótima estrutura apresentada a seguir.
Funciona em um prédio próprio e a sala de aula em que foi realizada a
pesquisa, assim como todas as salas de aula possuem quadro, Datashow com
acesso à internet, ventilador e ar condicionado. Além disso, os professores podem
fazer uso de 5 aparelhos de som, 2 televisões, 2 aparelhos de DVD, 65
computadores e 3 impressoras. A estrutura oferecida aos alunos é muito boa, com
boa preservação do patrimônio, sem muitas depredações, e salas de aula
devidamente equipadas e estruturadas. Assim como a Universidade Univille, o
Colégio Univille dá uma grande importância ao ensino dos alunos e às técnicas para
este ensino, permitindo ampliar meus conhecimentos com as novas experiências
adquiridas durante esta pesquisa.
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2.2.1 A Disciplina de Matemática
Além da identificação da escola já descrita, o Projeto Político Pedagógico
(PPP) do Colégio Univille apresenta os projetos setoriais em que a disciplina de
Matemática está inserida. Nestes projetos setoriais são encontrados os diagnósticos,
objetivos gerais e abordagem curricular, para a educação infantil, Ensino
Fundamental e Ensino Médio.
O material didático e o Plano de Ensino de Matemática serão detalhados a
seguir, como forma de referência às aulas que são propostas aos alunos e que são
realizadas na disciplina de Matemática e, com isso, estabelecer uma ligação com o
conteúdo sobre Poliedros que os alunos estudaram antes da aplicação das
atividades desta pesquisa.
Em relação ao material didático, o Colégio Univille utiliza o material da Editora
Positivo, o qual é disponibilizado aos alunos na forma de apostilas individuais,
assim, cada aluno possui o seu próprio material e este é levado para casa. Essas
apostilas são divididas em quatro cadernos anuais, com os conteúdos para cada
disciplina que devem ser adaptados aos três trimestres escolares e, outro caderno
de atividades anual, que possui atividades complementares para todo o ano letivo.
Além das apostilas, todos os alunos e professores possuem um cadastro que dá
acesso ao portal Positivo On, o qual possui conteúdo e atividades virtuais para
serem utilizadas de maneira complementar ao material já citado.
Outro recurso disponível em que os alunos já encontram e trabalham com
outra metodologia são alguns artefatos utilizados em um projeto, Matemática Ativa,
no qual uma das professoras confecciona juntamente com alunos de algumas
turmas, materiais que são utilizados para o ensino de Matemática de uma maneira
lúdica e diferente da aula “tradicional” e como um auxílio às aulas, utilizando assim
materiais concretos para facilitar o ensino e a aprendizagem de conteúdos
matemáticos, em conformidade com esta pesquisa.
Ao que diz respeito ao Plano de Ensino de Matemática, o Colégio Univille não
exige dos professores um plano de aula específico, visto que as próprias apostilas já
possuem a divisão e seleção dos conteúdos tanto anual quanto trimestralmente,
além da quantidade de aulas indicadas para cada conteúdo e os objetivos
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propostos. De acordo com Campagnaro (2011), autor das apostilas, propõe-se um
ensino da Matemática voltado à resolução de problemas, à investigação e à troca de
experiências, privilegiando a descoberta e ação do aluno.
Ainda segundo Campagnaro (2011), de acordo com a concepção de ensino e
fundamentando-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais (6º ao 9º ano – regime de
9 anos), os objetivos do ensino de Matemática no segundo ciclo do Ensino
Fundamental, ciclo que faz parte desta turma pesquisada, são:
Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e
transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual,
característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade
para resolver problemas;
Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da
realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento
matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico,
combinatório, probabilístico);
Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e
avaliá-las criticamente;
Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados,
desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução,
dedução, analogia, estimativa, utilizando conceitos e procedimentos
matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar
resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso
da linguagem oral, estabelecendo relações e diferentes representações
matemáticas;
Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre
esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;
Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos
matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de
soluções;
Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na
busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos
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consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de
pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Dentre os conteúdos trabalhados nesta pesquisa, na apostila estão as figuras
geométricas espaciais, polígonos, poliedros e a Relação de Euler. Com os assuntos
abordados nesses conteúdos, busca-se identificar propriedades comuns e
diferenças entre figuras geométricas espaciais, identificar e/ou nomear polígonos
pelo número de lados, estabelecer relação entre as figuras geométricas espaciais de
acordo com suas propriedades, associar polígonos às faces de um poliedro e
analisar as figuras geométricas espaciais conforme suas propriedades.
O conteúdo sobre geometria, foco desta pesquisa, na programação anual do
conteúdo das apostilas se dá da seguinte maneira: no primeiro trimestre do 6º ano
os alunos estudam sobre formas geométricas planas e espaciais, poliedros e corpos
redondos; no terceiro trimestre do 6º ano estudam sobre o conceito de polígono,
polígonos regulares e nomenclatura dos polígonos; no terceiro trimestre do 7º ano
aprendem sobre poliedros, os poliedros de Platão e a Relação de Euler. O conteúdo
foi passado integralmente para os alunos, a divisão dos conteúdos faz com que cada
apostila tenha um pouco de Geometria, não acumulando tudo para o final do ano
letivo e permitindo assim, fazer um bom estudo do assunto referido.
Analisando e comparando com os Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), os programas de Matemática do Colégio
Univille estão adequados, cumprido com o que é proposto. Portanto, os alunos
participantes desta pesquisa, que faziam parte do 8º e 9º ano do Ensino
Fundamental, que em seguida serão descritos, já haviam visto o conteúdo sobre
poliedros no 6º e 7º ano de escolaridade.
2.2.2 Alunos Participantes da Pesquisa e o Ensino de Poliedros
Nesta seção apresentarei algumas informações sobre os alunos que
participaram desta pesquisa, além de delinear a organização que as apostilas fazem
23
do conteúdo matemático para que os alunos alcancem os conceitos referentes aos
poliedros.
Atualmente, o Colégio Univille atende 525 alunos, nos níveis de escolaridade
de Educação Infantil, Ensino Fundamental e Médio, dos quais 53 fizeram parte desta
pesquisa, 30 que frequentavam o 9º ano e 23 que frequentavam o 8º ano do ensino
Fundamental. A escolha dessas turmas se deu pelo fato de que era necessário já ter
visto alguns conteúdos de geometria para a aplicação do projeto, principalmente os
poliedros e seus elementos, Poliedros de Platão e a Relação de Euler, pois os
alunos precisariam reconhecer os Poliedros de Platão para construir seus
esqueletos utilizando as balas de goma e os palitos de dente, identificar o número
de vértices, faces e arestas para então desenvolver a Relação de Euler nesses
poliedros de maneira diferenciada.
Como a abordagem de todos esses conteúdos é feita durante o 6º e 7º ano,
sendo que apenas no terceiro trimestre letivo do 7º ano eles aprendem sobre
poliedros, os poliedros de Platão e a Relação de Euler e, também como a aplicação
da atividade aqui proposta foi realizada no segundo trimestre letivo, não foi possível
realizar esta atividade com a turma do 7º ano. Então optou-se pela realização da
atividade com as turmas do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental, que já teriam visto
os principais conteúdos acima citados, ao contrário da turma de 7º ano que não teria
visto ainda.
Esses principais conteúdos de pesquisa, como dito antes, na programação
anual do conteúdo das apostilas se dá da seguinte maneira: no primeiro trimestre do
6º ano, no terceiro trimestre do 6º ano e no terceiro trimestre do 7º ano, conforme
apresentados a seguir, de maneira um pouco mais detalhada para cada ano de
ensino.
No 6º ano do Ensino Fundamental, durante o primeiro trimestre letivo, no
tópico da apostila nomeado “Do Espaço Para o Plano”, são abordados os conteúdos
de formas geométricas planas e espaciais, poliedros e corpos redondos e
planificação de sólidos geométricos. A abordagem do conteúdo é feita inicialmente
com a semelhança de objetos que nos cercam a figuras geométricas, os quais se
distinguem um dos outros pela forma, como na figura a seguir.
24
Figura 1 – Objetos que nos cercam e figuras geométricas
Fonte: CAMPAGNARO, 2011.
Após a identificação dos objetos na figura e a relação com as figuras
geométricas feitas, a nomeação dessas figuras é feita. Na sequência, uma atividade
com uma caixa (creme dental ou sabonete) vazia é realizada, na qual os alunos
devem apoiar a caixa em uma folha e contornar o fundo, representando assim a
forma geométrica plana e diferenciando da forma geométrica espacial.
A apostila conclui que as formas geométricas espaciais podem ser chamadas
de sólidos geométricos e estes podem ser classificados em poliedros e corpos
redondos, que é o conteúdo abordado na sequência. Novamente a explicação do
conteúdo é feita com a utilização de embalagens vazias (creme dental, sabonete,
leite em pó, base do rolo de papel, chapéu de aniversário, bolas), para que através
da troca de ideias os alunos percebam que os objetos que não rolam possuem
apenas superfícies planas, os objetos que rolam, dependendo da posição em que
estiverem, possuem pelo menos uma face não plana, ou seja, arredondada, e os
objetos com a forma de uma esfera rolarão, independente da posição. Assim, é
apresentado que os sólidos geométricos formados apenas por superfícies planas
são chamados de poliedros e os sólidos geométricos que possuem ao menos uma
superfície arredondada, que de alguma maneira rolam, são chamados de corpos
redondos ou não-poliedros.
Os exercícios destes conteúdos são baseados na identificação e diferença
entre poliedros e corpos redondos e suas nomenclaturas, e na planificação de
alguns sólidos. Também, a identificação dos elementos de um sólido geométrico
(faces, vértices e arestas) é feita nos exercícios, como no exemplo a seguir.
25
Figura 2 – Exercício sobre sólidos geométricos
Fonte: CAMPAGNARO, 2011.
Ainda no 6º ano do Ensino Fundamental, mas no terceiro trimestre, no tópico
nomeado Polígonos, o conteúdo é abordado inicialmente com a composição de
mosaicos utilizando figuras geométricas planas chamadas polígonos ou não
polígonos, para então definir polígono regular, fazer a identificação e nomenclatura
de alguns polígonos regulares, que possuem todos os lados e ângulos internos
congruentes e são nomeados de acordo com o número de lados ou ângulos
internos.
Figura 3 – Mosaico e figuras geométricas
Fonte: CHARNY, Irina. New hat. 2009. 1 mosaico
26
Os exercícios destes conteúdos são baseados na identificação de polígonos
regulares ou não regulares, justificando sua classificação, a nomenclatura e o
desenho de alguns polígonos.
Figura 4 – Exercício sobre polígonos
Fonte: CAMPAGNARO, 2012.
Já no 7º ano do Ensino Fundamental, o conteúdo referente a este trabalho é
abordado no terceiro trimestre, no tópico nomeado sólidos geométricos. Novamente
a abordagem inicial do conteúdo é feita relacionando com algo que está presente em
nosso dia a dia, como as embalagens da figura a seguir, que se assemelham a
prismas e pirâmides e têm a forma de poliedros.
Figura 5 – Embalagens com forma de poliedros
Fonte: CAMPAGNARO, 2012.
Através de uma troca de ideias entre o professor e os alunos e alguns
questionamentos, chega-se a definição que poliedros são formas geométricas
espaciais cujas faces são polígonos, que prismas são poliedros que possuem as
faces laterais retangulares e as bases na forma de polígonos e que pirâmides são
poliedros que possuem as faces laterais triangulares e a base na forma de
polígonos.
Então, os elementos das pirâmides e dos prismas são apresentados, como na
figura a seguir:
27
Figura 6 – Elementos dos prismas e pirâmides
Fonte: CAMPAGNARO, 2012.
Introduzindo o conteúdo dos Poliedros de Platão, uma atividade utilizando
canudos de plástico e barbante é proposta e foi realizada pela professora da turma
para a construção do tetraedro e do cubo. Outra atividade é realizada com a
identificação de alguns poliedros e suas características, e o objetivo desta atividade
é que os alunos observem que o número de vértices menos o número de arestas
mais o número de faces é igual a duas unidades, que vem a ser a Relação de Euler.
Figura 7 – Poliedros e suas características
Fonte: CAMPAGNARO, 2011.
Por sua vez, para que um poliedro seja considerado um Poliedro de Platão
ele deve apresentar algumas características: deve apresentar todas as faces
formadas por polígonos com o mesmo número de lados, de qualquer vértice deve
28
partir o mesmo número de arestas e vale a Relação de Euler ( ). Os
Poliedros de Platão são: tetraedro, cubo ou hexaedro, octaedro, dodecaedro e
icosaedro.
Esses principais assuntos apresentados nas apostilas dos alunos servirão de
base para as análises dos resultados obtidos durante a aplicação da atividade deste
trabalho, pois permitem o reconhecimento da organização dos conceitos
geométricos que deram base para os alunos trabalharem com os poliedros, suas
propriedades e relações.
29
3 OS POLIEDROS E OS MATERIAIS CONCRETOS
Neste capítulo, são apresentadas algumas considerações sobre a Relação de
Euler e os poliedros e o uso de materiais concretos no ensino da geometria,
elementos importantes para a realização deste trabalho.
3.1 A RELAÇÃO DE EULER E OS POLIEDROS
No estudo da geometria, quando se fala da Relação de Euler é preciso
especificar sobre qual relação se refere, visto que Leonhard Euler (1707 - 1783) fez
importantes descobertas em várias áreas da matemática. No caso deste estudo, se
refere à Relação de Euler para poliedros, que relaciona o número de vértices V,
faces F e arestas A de um poliedro e é dada por
A relação é apresentada em muitos livros e materiais didáticos através da
fórmula , no entanto se escrita dessa maneira a fórmula não tem
sentido nenhum dentro dos campos da matemática como a topologia, análise e
geometria diferencial, segundo Lima do Instituto de Matemática Pura e Aplicada -
IMPA, no vídeo (PAPMEM, 2017), pois não significa nada e muito menos
. Já é um número importantíssimo em matemática, chamado de
característica de Euler, aparecendo em diversos campos da matemática como os
citados anteriormente.
Essa afirmação, no entanto, não pode ser feita da mesma forma quando
olhamos para o ensino da educação básica, pois somando apenas tem-se um
dos significados que podemos atribuir a esta ação, mesmo que simples, é a soma
dos vértices e das faces de um poliedro. Já somando tem-se o número de
arestas de um poliedro acrescido de duas unidades, e tudo isso passa a ter sentido
para o estudante quando é possível perceber que há uma igualdade numérica entre
30
essas somas, ou seja, quando se pode identificar regularidades que permitirão uma
série de práticas matemáticas sobre isso.
De acordo com Lima (1982) o Teorema de Euler tem sido ensinado há
décadas nas escolas, ele tem características que o tornam atraente e popular e,
além disso, é fácil ilustrá-lo com belos desenhos de poliedros (Figura 8). Assim, fica
fácil constatar visualmente que .
Figura 8 – Poliedros e o Teorema de Euler
Fonte: LIMA, 1982.
No entanto, esta relação não é válida para todos os poliedros, como o
poliedro abaixo, em que .
Figura 9 – Poliedro que não vale o Teorema de Euler
Fonte: LIMA, 1982.
Portanto, é necessário estabelecer para quais poliedros a Relação de Euler é
válida. É importante perceber que a Relação de Euler vale para todo poliedro
convexo, que serão abordados a seguir, no entanto, vale reconhecer que existem
alguns poliedros não convexos em que esta relação também é valida. Logo, para
todo poliedro convexo vale a Relação de Euler, porém nem todo poliedro em que a
Relação de Euler vale, é convexo.
31
3.1.1 Poliedros Convexos
Dentro dos conteúdos abordados na geometria, os sólidos geométricos, de
uma forma geral, podem ser classificados em poliedros e não-poliedros, e como já
comentei na seção 2.2.2 deste trabalho, os poliedros são sólidos geométricos que
possuem apenas faces planas. Além disso, segundo Barros e Franco (2011),
[...] Devemos destacar que os sólidos geométricos não são ocos, eles são maciços. O problema de nos basearmos em objetos ocos como caixas de sapato ou embalagens de filme fotográfico para chegarmos à noção de sólido geométrico é que a noção matemática advinda de sua manipulação é a de superfície de um sólido geométrico (BARROS; FRANCO, 2011, p. 11).
Portanto, no trabalho em sala de aula com algum objeto que se assemelha a
um sólido é importante ultrapassarmos as limitações que as representações que tais
objetos oferecem para que os alunos construam a noção de que o sólido matemático
é um elemento totalmente preenchido, não se trata de “só uma casquinha bem fina”.
Ainda sobre as limitações ou equívocos que as representações de sólidos
geométricos podem gerar no processo de aprendizagem, estes autores mencionam
que:
O espaço tridimensional real no qual vivemos possui objetos que podemos ver, pegar, sentir a massa ou ver sua cor. Mas o universo matemático existe apenas como conceito abstrato, seus sólidos geométricos não podem ser tocados, vistos ou serem colocados em uma balança para sabermos sua massa. E mais, os sólidos geométricos não possuem cor. Matematicamente falando, não existe um cubo azul ou um cubo vermelho, pois na geometria não existem cores! (BARROS; FRANCO, 2011, p. 12).
Quando estamos manipulando objetos reais como caixa de sapato, balas de
gomas, palitos de dente, massa de modelar, entre outros, para representar um
sólido geométrico, o aluno precisa saber que a matemática possui uma linguagem
precisa que deve ser respeitada. O professor é o responsável para fazer essa
transposição da linguagem coloquial para a linguagem matemática utilizada para
definições e argumentações. “É preciso que o estudante se esforce e utilize as
nomenclaturas precisas para que, em sua futura sala de aula, tenha domínio dos
termos matemáticos e os utilize corretamente” (BARROS; FRANCO, 2011 p.12).
De acordo com Campagnaro (2011), os poliedros são sólidos geométricos
formados apenas por superfícies planas. Existem diversos tipos de poliedros, os
32
convexos e não convexos e, para que a Relação de Euler seja válida ela deve ser
restrita aos poliedros convexos, que são definidos como “uma reunião de um
número finito de polígonos planos de modo que cada lado do polígono é também
lado de um, e apenas um outro polígono e, o plano que contém um desses
polígonos deixa todos os outros de um mesmo lado” (SANTOS, 2014, p. 11).
Ou seja, de acordo com Santos (2014), a primeira afirmativa significa que
cada um dos lados dos polígonos pertence a dois polígonos distintos e, que
adjacentes a um polígono qualquer de n lados terá um número n de polígonos.
Citando alguns exemplos para o melhor entendimento dessa afirmação, ao lado de
um polígono de 5 lados terá 5 polígonos e, ao lado de um polígono de 6 lados terá 6
polígonos. Assim, “jamais haverá "espaços" ou "buracos" no poliedro convexo, pois
as suas faces estão totalmente conectadas entre si, face a face, por meio de cada
uma das arestas que será utilizada por duas faces distintas e adjacentes (SANTOS,
2014, p. 11). Já a segunda afirmativa significa que para o plano que contém uma
das faces do poliedro, todas as demais faces estarão do mesmo lado do plano
citado. Citando um exemplo para o melhor entendimento dessa afirmação, a mesma
figura utilizada anteriormente (Figura 9) demonstra um caso em que essa afirmativa
não é válida, pois o plano que contém uma das faces delimitadas pelo “buraco”
interno do poliedro, não deixa todos os outros polígonos do mesmo lado, garantindo
assim que o poliedro não é convexo.
Com o exemplo da figura a seguir (Figura 10), de um poliedro não convexo,
percebe-se que a Relação de Euler não é válida, pois .
Figura 10 – Poliedro não convexo
Fonte: LIMA, 1982.
33
Já o exemplo da figura a seguir, mostra um poliedro não convexo em que a
Relação de Euler é válida, pois .
Figura 11 – Poliedro não convexo em que vale a Relação de Euler
Fonte: SILVA, online.
Portando, todo poliedro convexo satisfaz a Relação de Euler, mas nem todo
poliedro que satisfaz essa relação é convexo. Dentre os poliedros convexos, são
destacados os Poliedros de Platão e que fizeram parte da atividade desenvolvida
com os alunos desta pesquisa.
3.1.2 Poliedros de Platão
Dentre as pessoas que tiveram uma participação importante no
desenvolvimento da Geometria, em muitas obras no campo da História da
Matemática atribui-se ao grego Euclides a escrita da obra os Elementos, por volta de
300 a.C., composta por treze livros. De acordo com Tomei (2006), nesta obra estão
contidos resultados de uma tradição que combina Geometria e uma Aritmética
diferente da que conhecemos hoje, apresentados de uma maneira revolucionária, na
qual Euclides dedicou-se a geometria do plano e do espaço e a Teoria dos
Números. Euclides teve a contribuição de alguns matemáticos e filósofos gregos,
que influenciaram seu pensamento, entre eles Tales de Mileto, Pitágoras e Platão.
Dos treze livros, o último volume foi dedicado aos estudos dos poliedros
regulares. De acordo com Tomei (2006), Euclides apresentou de forma magistral a
demonstração de que, de fato, só existem cinco poliedros regulares, e obteve as
relações entre seus lados e os raios das esferas inscrita e circunscrita para cada
34
poliedro. Os gregos ficaram fascinados pela simetria dos poliedros regulares e os
estudaram detalhadamente, são cinco: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro e
dodecaedro.
[...] cada um deles possui faces iguais, que por sua vez são polígonos regulares, e em cada vértice o mesmo número de polígonos se encontram. Os quatro elementos primordiais, água, terra, fogo e ar, que por combinações davam origem a todos os corpos, foram identificados por Platão ao icosaedro, cubo, tetraedro e octaedro, respectivamente. Para Platão, as propriedades físicas da matéria eram consequência das propriedades geométricas de suas partículas constituintes. (TOMEI, 2006, p. 79).
Para que um poliedro seja considerado um Poliedro de Platão, de acordo com
Campagnaro (2011) ele deve apresentar algumas características: todas as faces
formadas por polígonos com o mesmo número de lados, de qualquer vértice deve
partir o mesmo número de arestas e vale a Relação de Euler ( ). Os
Poliedros de Platão regulares são: tetraedro, cubo ou hexaedro, octaedro,
dodecaedro e icosaedro.
Figura 12 – Poliedros de Platão
Fonte: PETRIN, online.
Fazendo uma relação da Geometria com o Universo, assim como para Platão
as propriedades físicas da matéria eram consequência das propriedades
geométricas de suas partículas constituintes, de acordo com Tomei (2006), o fato é
que o Universo e seus fenômenos têm mostrado uma maravilhosa docilidade:
usando palavras e representações ingênuas, onde raios de luz eram representados
35
como sendo retas; mas hoje isso não é verdade. Einstein mostra que a luz, devido à
lei de atração dos corpos, se curva, então não são sempre retas. No entanto, temos
sido capazes de imitar o que vemos com impressionante precisão.
A geometria tem essa versatilidade, de manifestar-se no abstrato e no real, e
aí surge a necessidade de aproximar o abstrato do real, de tornar físico algo que até
então é apenas imaginário através de uma linguagem voltada para o ensino de
Geometria, no Ensino Fundamental. O que aumenta a importância dos materiais
manipuláveis no ensino de Geometria.
Salienta-se, por exemplo, a importância de estudar os conceitos e objetos geométricos do ponto de vista experimental e indutivo, de explorar a aplicação da Geometria a situações da vida real e de utilizar diagramas e modelos concretos na construção conceptual em Geometria. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 83).
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), essa área da matemática é
fundamental para compreender o espaço em que nos movemos e para perceber
aspectos essenciais da atividade matemática, como será abordado no tópico a
seguir.
3.2 USO DE MATERIAIS CONCRETOS NO ENSINO DA GEOMETRIA
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), o ensino de
Matemática, voltado para a geometria, deve visar ao desenvolvimento do
pensamento geométrico através de situações de aprendizagem que levem o aluno a
estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas,
construindo e interpretando suas representações (BRASIL, 1998, p. 64).
Ainda segundo os PCNs (1998), as atividades geométricas centram-se em
procedimentos de observação, representações e construções de figuras que
permitam aos alunos fazer conjecturas sobre algumas propriedades das mesmas.
Dentro da Geometria, no ramo de espaço e forma que está inserida, alguns
conceitos e procedimentos são importantes na sua abordagem e maneira de
trabalhar:
Distinção, em contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando nomenclatura própria.
36
Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados. Quantificação e estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides, da relação desse número com o polígono da base e identificação de algumas propriedades, que caracterizam cada um desses sólidos, em função desses números. (BRASIL, 1998, p. 73)
Ao explorar a geometria através da manipulação de objetos, o aluno pode
representar, construir e investigar as propriedades, contribuindo assim para a
evolução das competências de abstração e generalização, essenciais para o estudo
da matemática (CLEMENTE et al, 2014), além de desenvolver a percepção espacial
que, de acordo com Fürkotter e Morelatti (2009, p. 29), é indispensável que os
alunos “desenvolvam a capacidade de observar o espaço tridimensional e
de elaborar modos de comunicar-se a respeito dele, pois a imagem é um
instrumento de informação essencial no mundo moderno”.
Assim, as dificuldades que os alunos apresentam com os conteúdos
geométricos no Ensino Fundamental podem ser, por exemplo, contornadas através
do uso de materiais concretos para que os alunos “tenham uma melhor apreensão
do conteúdo de geometria, tanto no que diz respeito a sua visualização, quanto na
construção, mensuração e também nos cálculos algébricos” (VERSA; SOUZA, 2009,
p.2), pois “compreende-se que a utilização de materiais concretos é uma das
maneiras que pode despertar a criatividade e o raciocínio lógico dos alunos” (VITAL,
MARTINS, SOUZA, 2016, p. 2).
Entretanto, de acordo com Lorenzato (2009) a utilização de materiais
manipuláveis vem acompanhada por uma grande expectativa por parte dos
professores que atuam no Ensino Fundamental, tendo a esperança que o suporte
dado por esse material possa amenizar as dificuldades de ensino. É preciso
entender que apenas a manipulação de objetos não leva à compreensão total, é
necessária uma relação entre a experimentação e a reflexão.
Materiais concretos ou manipuláveis são definidos segundo Reys (2017)
como “objetos ou coisas que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e
movimentar. Podem ser objetos reais que têm aplicação no dia a dia ou podem ser
objetos que são usados para representar uma ideia”. Esses materiais por sua vez
“devem servir como mediadores para facilitar a relação
37
professor/aluno/conhecimento no momento em que um saber está sendo construído”
(LORENZATO, 2009, p. 78) e não apenas como um fator de motivação ou para que
as aulas fiquem mais “divertidas”, uma vez que “ambientes onde se faz uso de
materiais manipuláveis favorecem a aprendizagem e desenvolvem nos alunos
atitudes mais positivas” (MATOS E SERRAZINA apud LORENZATO, 2009, p. 79).
Alguns critérios foram definidos por Reys (2017) para selecionar bons
materiais manipuláveis, esses critérios não são universais, mas servem muito bem
para a realização deste trabalho, são eles:
Os materiais devem proporcionar uma verdadeira personificação do
conceito matemático ou das ideias a serem exploradas;
Os materiais devem representar claramente o conceito matemático;
Os materiais devem ser motivadores;
Os materiais, se possível, devem ser apropriados para usar quer em
diferentes anos de escolaridade, quer em diferentes níveis de formação
de conceitos;
Os materiais devem proporcionar uma base para a abstração;
Os materiais devem proporcionar manipulação individual.
A utilização desses materiais quando associados com representações e
interpretações geométricas, como poliedros, por exemplo, por meio da “manipulação
auxiliará a visualização espacial, ou seja, a habilidade de pensar, em termos de
imagens mentais (representação mental de um objeto ou de uma expressão),
naquilo que não está ante os olhos” (LORENZATO, 2009, p. 81), em que “o
significado léxico atribuído à visualização, nesse contexto, é o de transformar
conceitos abstratos em imagens reais ou mentalmente visíveis” (LORENZATO,
2009, p. 82).
Independente do material escolhido, além de ser considerado um bom
material manipulável ele deverá cumprir sua função essencial: ensinar matemática.
Para isso, escolhemos o material “balas de gomas e palitos de dentes”, pois além de
se adequar nos critérios definidos por Reys (2017) para selecionar bons materiais
manipuláveis, os objetivos da atividade utilizando esses materiais estavam em
consonância com os objetivos do ensino de Matemática no segundo ciclo do Ensino
Fundamental, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais e como citado
38
por Campagnaro (2011). Também, os materiais escolhidos são de baixo custo, fácil
manipulação e permitem ensinar Matemática através da realização de uma aula de
diferente e que motive os alunos.
39
4 O CONHECIMENTO GEOMÉTRICO
Neste capítulo, será feito o embasamento teórico deste trabalho,
fundamentado com o trabalho de Luiz Carlos Pais, que aborda o problema da
relação da geometria com o mundo físico vivenciado pelo aluno. Em seu trabalho
intitulado “Intuição, experiência e teoria geométrica” o enfoque é para:
[...] a análise da importância do uso de desenhos, objetos materiais e de imagens mentais como recursos didáticos auxiliares e representativos do processo de construção dos conceitos geométricos planos e espaciais. A análise desses recursos é seguida pela identificação da existência de uma possível correlação desses elementos com os aspectos intuitivo, experimental e teórico do conhecimento geométrico (PAIS, 1996, p. 65).
Como fundamentação teórica, seu trabalho subsidiará as análises
relacionadas, principalmente, da aplicação e utilização de objetos materiais, ou
materiais concretos como citados anteriormente, onde sua utilização adequada visa
minimizar os obstáculos existentes nos processos de ensino e aprendizagem de
geometria, principalmente no que se refere à abstração e generalização.
4.1 REPRESENTAÇÃO BIDIMENSIONAL DOS CONCEITOS GEOMÉTRICOS
ESPACIAIS
Quando o conteúdo matemático trabalhado em sala de aula faz parte da
geometria espacial, logo aparecem problemas na representação bidimensional ou
plana desses conceitos geométricos, este problema ocorre, de acordo com Santos
(2014), porque tal representação torna muitos destes objetos visualmente
inacessíveis aos alunos por demandar o uso de um olhar em perspectiva.
Nos processos de ensino e aprendizagem da geometria plana e espacial, Pais
(1996) afirma que quatro elementos são fundamentais e intervêm fortemente nesse
processo: o objeto, o conceito, o desenho e a imagem mental. O autor estabelece
uma relação entre esses elementos e a estrutura básica de uma teoria
epistemológica da geometria que foi desenvolvida por Gonseth (1945 apud PAIS,
40
1996, p. 66) que aponta três aspectos inerentes ao conhecimento geométrico, a
saber: aspecto intuitivo, experimental e teórico do conhecimento geométrico.
O objeto, neste caso, refere-se aos materiais didáticos utilizados como
recurso para a representação concreta. “Esses objetos e suas representações por
um desenho têm uma influência predominante nos procedimentos de raciocínio do
aluno no transcurso da construção de seu conhecimento” (PAIS, 1996, p. 66).
Destaca-se aqui a importância do desenho no ensino da geometria, uma vez que
esta pode ser ensinada sem utilizar objetos concretos, no entanto sem o desenho
não é possível, possuindo uma influência predominante, como acima citado.
O objeto, aqui neste trabalho interpretado como materiais concretos, pode ser
“uma parte material claramente identificável no mundo vivenciado pelo aluno e que
pode ser associado à forma de alguns dos conceitos geométricos estudados” (PAIS,
1996, p. 67). Um exemplo encontrado na apostila dos alunos que fazem parte desta
pesquisa são as embalagens vazias que podem ser associadas aos poliedros
correspondentes, ou ainda, um tetraedro construído com canudos de plástico e
barbante (Figura 13), madeira ou papel pode ser associado ao tetraedro, e assim
permitir a identificação e estudo de conceitos e propriedades relacionados ao sólido.
Figura 13 – Figura Poliédrica (tetraedro regular) feita com canudos de plástico e barbante
Fonte: produção da própria autora
Como exemplo utilizado neste trabalho é a utilização de balas de gomas,
também chamadas de jujubas, palitos de dentes e uma folha de papel para a
construção e representação de poliedros, em que as balas de goma representam os
vértices, os palitos representam as arestas e a folha de papel o plano (Figura 14).
41
Figura 14 – Figura Poliédrica (pirâmide regular de base quadrada) feita de balas de gomas e palitos de dente
Fonte: produção da própria autora
Essa associação das noções geométricas com um objeto que exerce uma
influência predominante no raciocínio do aluno, juntamente com a facilidade de
manipulação desses objetos concretos é que leva o professor a inseri-los em sua
aula na tentativa de potencializar ou auxiliar no processo de construção do
conhecimento geométrico e, consequentemente, no processo de aprendizagem.
Esse uso deve ser cuidadosamente planejado para que ele possa contribuir para
uma aprendizagem mais significativa, não se limitando a uma simples atividade
lúdica, PAIS (1996).
Com o uso desses materiais pode surgir um problema, o erro de admitir a
existência de uma “geometria concreta”, contrastando com a generalidade e
abstração dos conceitos geométricos que se pretende ensinar. Segundo Pais
(1996), existe geralmente uma grande expectativa de que com essa manipulação o
aluno possa descobrir propriedades que, uma vez abstraídas, contribuam na
elaboração conceitual. Como exemplo, pode-se citar a aplicação da proposta de
atividade feita aqui neste trabalho, em que o aluno, ao manipular o objeto construído
com balas de goma e palitos de dente pode constatar o número de faces, vértices e
arestas por si mesmo, e com a orientação do professor, atingir outros conceitos
matemáticos. Esta constatação efetuada diretamente no objeto parece ser mais fácil
do que quando feita com a leitura de um desenho, pois a base quadrada da figura
anterior, vista de cima (Figura 13) por exemplo, não está visível num desenho
bidimensional podendo, até mesmo, o aluno confundir essa figura com um octaedro
(Figura 15). “Esta aparente facilidade reside juntamente no imediatismo oferecido
pelo objeto e, também, no fato da leitura do desenho requerer necessariamente um
tipo de abstração” (PAIS, 1996, p. 67).
42
Figura 15 – Octaedro Regular
Fonte: produção da própria autora no software Poly (2017)
Segundo Pais (1996), o uso desses objetos não deve ser condenado e nem
proibido, o que deve ser feito é reconhecer que a aprendizagem vai ocorrer somente
a partir do momento que o aluno conseguir fazer uma leitura geométrica da
representação envolvida, com o uso adequado dos mesmos.
Neste ponto reside talvez o maior risco de um uso inadequado ou superficial dos materiais didáticos, quando sua manipulação se restringe puramente a seu aspecto mais imediato. O desafio didático, neste caso, é saber como dar continuidade didática entre o uso do material e as questões que levariam à abstração (PAIS, 1996, p. 68).
Pais (1996) afirma ainda que o objeto pode ser considerado uma forma de
representação primária do conceito, devido a facilidade de manipulação que possui.
Assim, o objeto utilizado como um recurso é um modelo físico que pode contribuir na
formação das ideias, no entanto sem substituí-las. Tanto os objetos concretos como
os desenhos auxiliam na criação e desenvolvimento das imagens mentais, que
serão tratadas no tópico seguinte, e quando ocorre a aproximação destas imagens
mentais com os conceitos, tem-se o aprendizado.
4.2 APRENDIZAGEM GEOMÉTRICA E AS IMAGENS MENTAIS
Nos processos de ensino e aprendizagem da geometria plana e espacial o
desenho é um dos recursos didáticos mais utilizados para sua conceitualização e
43
representação.
Quer seja na representação de figuras planas ou espaciais, o desenho tem sido, na realidade, uma passagem quase que totalmente obrigatória no processo de conceitualização geométrica. Sua presença destaca-se tanto nas aulas de geometria, como nos livros didáticos, ou mesmo simplesmente, para ilustrar os enunciados de exercícios, definições ou teoremas (PAIS, 1996, p. 68).
Devido a essa constante presença, é necessário entender o motivo que faz
com que isso aconteça. Segundo Pais (1996), o desenho possui uma natureza
particular e concreta, opondo-se às características gerais e abstratas do conceito. E
essa correlação entre o particular e o geral, entre o concreto e o abstrato, que
envolve a representação conceitual, é o principal desafio na aprendizagem
geométrica, transpor o próprio desenho.
O desenho é utilizado tanto na geometria plana quanto na espacial, porém
seu uso na geometria plana é de um entendimento mais fácil, uma vez que na
geometria espacial faz-se o uso da técnica da perspectiva para a representação dos
objetos em três dimensões. “Este uso da perspectiva que serve para colocar em
evidência a terceira dimensão do objeto representado, é uma das dificuldades
maiores encontradas pelos alunos na aprendizagem dos conceitos espaciais” (PAIS,
1996, p. 69), tornando-se assim um obstáculo para a aprendizagem desses
conteúdos.
Se o objeto era considerado uma forma de representação primária do
conceito, então o desenho pode ser considerado como uma segunda forma de
representação conceitual, possuindo um nível de complexidade maior que a
primeira, uma vez que exige o domínio de algumas informações técnicas que muitas
vezes não são ensinadas em nível de Ensino Fundamental, PAIS (1996).
Toda esta manipulação dos objetos concretos e o uso dos desenhos permite
que os alunos criem imagens mentais, que com o tempo vão se ampliando,
tornando-se mais complexas e relacionando-se umas com as outras. De acordo com
Pais (1996), essas imagens são de uma natureza diferente daquelas do objeto e do
desenho e, possuem duas características básicas: a subjetividade e a abstração.
Pelo fato de serem abstratas, podem ser relacionadas aos conceitos, embora o seu aspecto subjetivo as afaste da natureza científica. Entretanto, o que deve ser salientado é que a construção da objetividade passa necessariamente pelo estágio subjetivo da concepção individual do aluno (PAIS, 1996, p. 70).
44
Segundo o dicionário Aurélio (2009), abstrato significa algo que é difícil de se
compreender, já o que é concreto é passível de confirmação por todos através dos
sentidos, do contato físico por exemplo, e as imagens mentais que por sua vez são
abstratas não são assim tão fáceis, pois depende da razão e da intelectualidade de
cada um, o que dificulta a compreensão. Já, a palavra subjetivo no dicionário Aurélio
(2009) significa algo que está baseado na interpretação individual de cada um, não
sendo igual para todas pessoas e, por isso, os aspectos subjetivos afastam as
imagens mentais da natureza científica do conceito, pois este é reconhecido perante
uma comunidade científica, e não se trata apenas de uma opinião particular.
Por sua vez, a objetividade caracteriza a validade de um conhecimento ou de
uma representação relativa a um objeto, e para que esta objetividade seja
construída ela passa pelo entendimento e pela concepção individual de cada aluno,
pela sua subjetividade, é neste sentido que o autor fala que “a construção da
objetividade passa necessariamente pelo estágio subjetivo da concepção individual
do aluno”.
De acordo com Pais (1996), não é fácil definir uma imagem mental, no
entanto quando o indivíduo é capaz de descrever as propriedades de um objeto ou
de um desenho na ausência desses elementos, pode-se dizer que ele tem uma
dessas imagens. Dentro da geometria “assim, como as noções geométricas são
ideias abstratas e, portanto, estranhas à sensibilidade exterior do ser humano, a
formação de imagens mentais é uma consequência quase que exclusiva do trabalho
com desenhos e objetos” (PAIS, 1996, p. 70). Percebe-se então uma importante
relação existente entre o desenho e objeto concreto na formação das imagens
mentais e, com isso, as aproximando aos conceitos matemáticos já instituídos.
Na geometria existem inúmeros conceitos, teoremas e situações geométricas
fundamentais e, para o desenvolvimento de um raciocínio mais dinâmico para a
resolução de problemas ou para novas aprendizagens, é necessário que o indivíduo
consiga fazer uma associação do que está sendo trabalhado com as imagens
mentais. “Para os interesses do ensino da geometria, são os objetos e os desenhos
que podem principalmente estimular a formação de boas imagens” (PAIS, 1996, p.
70), logo é importante a utilização dos objetos, como realizado neste trabalho, para
que a formação das imagens mentais aconteça.
Quanto as formas de representação do conceito, o objeto foi considerado uma
forma de representação primária, o desenho uma segunda forma de representação
45
conceitual e, as imagens mentais são, então, consideradas uma terceira forma de
representação das noções geométricas. “A natureza desta representação é bem
mais complexa em relação ao uso de um objeto ou de um desenho mas, por outro
lado, permite uma utilização muito mais rápida e eficiente” (PAIS, 1996, p. 70).
Por isso, quando os alunos pesquisados responderam o pré teste, eles
tiveram dificuldades em visualizar os objetos tridimensionais, com todas as suas
faces, vértices e arestas, eles não conseguiam descrever as propriedades dos
poliedros sem ter um desenho ou objeto, não tinham ainda formado imagens
mentais que pudessem se aproximar dos conceitos matemáticos. Em alguns casos
eles associavam o poliedro a apenas uma das suas faces, ao desenho, como por
exemplo o cubo ao quadrado, o tetraedro a um triângulo e os prismas e pirâmides a
apenas os polígonos de suas bases, não conseguindo visualizar o objeto como um
todo, pois eles fizeram a generalização da Relação de Euler por meio apenas dos
desenhos presentes na apostila. Ao contrário dos resultado obtidos no pós teste com
a aplicação do material proposto neste trabalho, em que os alunos conseguiram
associar os objetos ao desenhos e visualizá-los como um todo, identificando suas
faces, vértices e arestas, o que mostra a necessidade da representação primária dos
objetos para a sua abstração.
4.3 GENERALIZAÇÃO E ABSTRAÇÃO DO CONHECIMENTO GEOMÉTRICO
Generalizar é tornar algo geral, tornar mais amplo através, por exemplo, da
extensão de uma regularidade. Já abstrair está relacionado com separar
mentalmente uma parte de um todo, avaliando suas características e propriedades
em separado. Esses dois processos dentro da geometria são construídos pouco a
pouco em um processo que envolve uma comparação entre o mundo das ideias e o
mundo físico.
Segundo Pais (1996), a generalização de um conceito na geometria somente
faz sentido se este já estiver em um certo nível de formalização e, devido as
dificuldades impostas pela abstração, ela ocorre na aprendizagem, por meio da
identificação entre o conceito e a sua representação, por exemplo “é assim que um
46
simples traço no quadro negro ou no papel passa a ser a “própria” reta ou, como no
caso clássico da geometria plana, em que os conceitos são identificados ao seu
desenho” (PAIS, 1996, p. 71). Essa transposição entre o concreto e o abstrato, entre
o particular e o geral, é um dos maiores obstáculos enfrentados pelos alunos
durante sua aprendizagem.
A teoria epistemológica da geometria desenvolvida por Gonseth (1945 apud
PAIS, 1996, p. 71) aponta, como já mencionei, três aspectos do conhecimento
geométrico: o intuitivo, o experimental e o teórico, onde cada aspecto se difere do
outro e ao mesmo tempo se correlacionam de uma maneira fundamental no
conhecimento geométrico.
“A intuição é uma forma de conhecimento imediato que está sempre
disponível no espírito das pessoas e cuja explicitação não requer uma dedução
racional guiada por uma sequência lógica de argumentos” (PAIS, 1996, p. 72), um
conhecimento baseado somente na intuição é imediato e relativo aos conhecimentos
que o indivíduo já traz consigo. Este tipo de conhecimento é muito particular e pode
variar de um indivíduo para outro, “o que pode ser intuitivo e evidente para uma
pessoa pode não o ser para outra” (PAIS, 1996, p.72).
Embora alguns conhecimentos geométricos possam ser aceitos com base
neste aspecto, por exemplo, os axiomas da geometria euclidiana que são
propriedades evidentes por elas mesmas, segundo Bkouche (1983 apud PAIS,
1996, p. 72), outros conhecimentos precisam de uma demonstração para sua
validação, como é o caso, por exemplo, dos teoremas. Portando, “uma vez
admitidas algumas noções intuitivas, o raciocínio matemático, traduzido pelas
demonstrações, não pode basear-se na argumentação intuitiva” (PAIS, 1996, p. 72).
Por exemplo:
[...] pode ser descrita a seguinte situação em geometria plana: uma reta que passa por um ponto que é interior à região limitada por uma circunferência vai interceptar ou não essa circunferência? Uma maioria expressiva de alunos que têm uma pequena iniciação em geometria não tem dificuldade em concluir que a reta realmente irá não somente interceptar a circunferência como o fará em dois pontos. (PAIS, 1996, p. 72).
Considerando ainda a situação da reta que passa por um ponto interior a
região limitada por uma circunferência, caso ela seja constatada com a construção
de um desenho, o aspecto do conhecimento geométrico utilizado passa a ter um
caráter experimental, pois foi preciso realizar uma experimentação para se obter
47
uma certeza do conhecimento. Ainda, se ela for constatada por meio de uma
demonstração, utilizando o raciocínio e comprovações matemáticas, tem-se aí o
aspecto teórico do conhecimento geométrico.
Esses três aspectos do conhecimento geométrico e os quatro elementos que
são fundamentais no ensino e na aprendizagem de geometria podem ser associados
como no esquema a seguir.
Figura 16 – Aspectos e elementos do conhecimento
Fonte: adaptado de PAIS (1996)
As relações existentes entre esses elementos são o eixo central da
aprendizagem geométrica, por isso devem ser investigas e não devem ser deixadas
de lado. E do ponto de vista didático vale comentar que um desses elementos não
deve existir totalmente desvinculado dos outros.
A intuição tem algo em comum com as imagens mentais, pois ambas apresentam não só uma certa disponibilidade de utilização como também a propriedade de serem essencialmente subjetivas. Por outro lado, não constituem recursos aceitos para o processo de validação do conhecimento. O objeto e o desenho são simplesmente recursos materiais auxiliares à construção de um conhecimento de natureza experimental e, por si mesmos, não caracterizam as noções geométricas. Mas, na construção do conhecimento teórico da geometria, que é constituído essencialmente pelos conceitos, faz-se necessário o recurso simultâneo tanto das bases intuitivas como da atividade experimental (PAIS, 1996, p. 73).
A intuição, a experimentação e o conhecimento teórico são os três aspectos
do conhecimento geométrico, e estes não devem ser comparados um ao outro de
modo a afirmar que um seja mais importante, pois o conhecimento geométrico
demanda de uma relação entre esses três aspectos. Os alunos não devem apenas
alcançar o aspecto teórico, pois além de ser um erro talvez seja também impossível,
pois como vimos, segundo Goseth (1945 apud PAIS, 1996), o aspecto teórico
necessita de uma boa base intuitiva e experimental.
O conceito, o objeto concreto, o desenho e as imagens mentais que Pais
48
aponta como sendo os quatro elementos fundamentais no ensino e na
aprendizagem de geometria, e da mesma maneira não devem ser comparados um
ao outro afirmando que um é mais importante, pois o trabalho articulado entre esses
elementos que influencia diretamente no processo de ensino e na aprendizagem de
geometria.
Essa correlação entre os aspectos do conhecimento e os elementos
fundamentais no ensino de geometria demonstram que os materiais didáticos, aqui
abordados como materiais concretos ou manipuláveis, podem ser utilizados e em
muitas vezes o seu uso é importante, no entanto, seu uso deve ser feito com cautela
e de maneira racional. Como podemos ver esses materiais devem ser utilizados
como recursos auxiliares, e não como substitutivos à construção dos conceitos.
Levando em consideração todos os aspectos até aqui apresentados,
referentes ao aprendizado dos alunos pesquisados, as questões teóricas sobre o
conhecimento geométrico, a importância do uso das materiais manipuláveis, entre
outros, é apresentado na sequência o desenvolvimento metodológico da pesquisa.
49
5 REFERENCIAL METODOLÓGICO
Do ponto de vista dos procedimentos técnicos parte desta pesquisa é
bibliográfica, elaborada a partir de material já publicado, constituído principalmente
de livros, artigos de periódicos e, atualmente, material disponibilizado na internet.
(KAUARK; MANHÃES; MEDEIROS, 2010, p. 28). Através desta pesquisa foram
abordados os principais conceitos geométricos de estudo, a importância dos
materiais manipuláveis e a necessidade de utilizá-los no estudo da Geometria
Espacial para minimizar os obstáculos que os alunos encontram durante o estudo
desses conceitos.
A outra parte desta pesquisa teve um caráter experimental, onde, conforme já
mencionei algumas vezes em minha escrita, organizei e apliquei uma aula de
Matemática diferenciada com a utilização de balas de goma e palitos de dentes para
a construção de poliedros, de modo que as balas de goma representem os vértices
e os palitos as arestas, com duas turmas do 8º e 9º ano do Colégio Univille, bem
como a aplicação de um pré-teste e um pós-teste, o que passarei a apresentar neste
capítulo.
Sobre a abordagem do problema, esta é uma pesquisa qualitativa
desenvolvida com a intenção de estabelecer resultados a partir de coleta de dados e
análise da aplicação conforme descrita.
Pesquisa Qualitativa: considera que há uma relação dinâmica entre o mundo real e o sujeito, isto é, um vínculo indissociável entre o mundo objetivo e a subjetividade do sujeito que não pode ser traduzido em números. A interpretação dos fenômenos e a atribuição de significados são básicas no processo de pesquisa qualitativa. Não requer o uso de métodos e técnicas estatísticas. O ambiente natural é a fonte direta para coleta de dados e o pesquisador é o instrumento-chave. É descritiva. Os pesquisadores tendem a analisar seus dados indutivamente. O processo e seu significado são os focos principais de abordagem. (KAUARK; MANHÃES; MEDEIROS, 2010, p. 26)
Do ponto de vista prático, são realizadas duas etapas, uma do pré-teste e a
outra do pós-teste para a comparação dos resultados, conforme descritos a seguir.
50
5.1 DESCRIÇÃO DO PRÉ-TESTE
A primeira etapa da atividade realizada em sala de aula foi a do pré-teste com
duração estimada de 30 minutos, realizada no início da aula revisando, rapidamente,
a Relação de Euler , aplicada nos poliedros, com o reconhecimento
de seus elementos (vértices, faces, arestas). Também, de maneira rápida foram
relembrados os cinco Poliedros de Platão regulares (tetraedro, cubo ou hexaedro,
octaedro, dodecaedro e icosaedro), mostrando-os com uma apresentação em
Powerpoint. Nesta etapa também, foi pedido para os alunos completarem a tabela
(Quadro 1) que será utilizada posteriormente no pós teste. Este pré-teste foi utilizado
para analisar quão significativo foi o resultado obtido com a realização desta
atividade, comparando-o em seguida com o pós-teste.
Quadro 1 – Informações e tabela de dados
Aluno:
Ano/Turma:
Poliedro Vértices Faces Arestas Relação de Euler
Tetraedro Regular
Hexaedro Regular (Cubo)
Octaedro Regular
Pirâmide Regular de
Base Quadrada
Prisma Regular de
Base Triangular
Dodecaedro (desafio)
51
Icosaedro (desafio)
Relação de Euler: V + F = A + 2 Observação: Uma aresta é comum a duas faces do poliedro, portanto, para encontrar o número de arestas devemos multiplicar o número de faces pelo número de lados das mesmas e dividir o resultado por dois.
Fonte: produção da própria autora
5.2 DESCRIÇÃO DO PÓS-TESTE
A segunda etapa foi a realização da atividade com balas de goma e palitos de
dente, com duração estimada de 50 minutos. A atividade consistiu na construção de
poliedros utilizando balas de goma e palitos de dente, na qual as balas de goma
representavam as arestas e os palitos os vértices.
Os materiais manipuláveis utilizados nesta proposta são propostos em
Andrada (2014) com o uso de balas de gomas, também chamadas por jujubas,
palitos de dentes e uma folha com questões para os alunos responderem (Quadro
1), a mesma utilizada no pré-teste. Esta atividade visa melhorar a visualização dos
elementos geométricos, especialmente os tridimensionais; construir esqueletos de
poliedros com balas de goma e palitos de dente; reconhecer os Poliedros de Platão;
identificar vértices, faces e arestas e aplicar a Relação de Euler.
Os alunos (em grupos de 4 a 5 membros) tinham que construir alguns
poliedros que estavam identificados na folha de questões, de construção obrigatória.
Caso terminassem esses poliedros e quisessem construir outros, ficava a critério e
criatividade de cada aluno, seguindo sempre a tabela entregue a eles. Os poliedros
para construção obrigatória eram: Tetraedro Regular, Hexaedro Regular (Cubo),
Pirâmide Regular de Base Quadrada, Prisma Regular de Base Triangular, Octaedro
Regular.
52
A seguir são apresentadas algumas instruções para a construção dos
poliedros utilizando as balas de goma e os palitos de dente, mas os alunos tinham a
liberdade de escolher o procedimento que desejassem melhor.
TETRAEDRO REGULAR
Material: 4 balas de goma e 6 palitos.
Como construir: Construção de um triângulo equilátero.
Encaixe duas balas de goma nas extremidades de um palito e espete um palito em
cada uma dessas balas de goma. Feche o triângulo encaixando uma bala de goma
para unir os dois palitos com as extremidades livres (Figura 17).
Figura 17 – Triângulo equilátero
Fonte: ANDRADE, 2014.
Em cada uma das três balas de goma do triângulo equilátero, espete um palito na
vertical, inclinado para o interior do triângulo (Figura 18).
Figura 18 – Triângulo com palitos espetados
Fonte: ANDRADE, 2014.
Una as extremidades livres dos três palitos colocados anteriormente com uma bala
de goma (Figura 19).
53
Figura 19 – Tetraedro Regular
Fonte: ANDRADE, 2014.
HEXAEDRO REGULAR (CUBO)
Material: 8 balas de goma e 12 palitos.
Como construir: Construção de um quadrado.
Encaixe duas balas de goma nas extremidades de um palito e espete um palito em
cada uma dessas balas de goma. Encaixe uma nova bala de goma em cada
extremidade livre dos palitos e feche o quadrado espetando um novo palito entre as
duas balas de goma soltas (Figura 20).
Figura 20 - Quadrado
Fonte: ANDRADE, 2014.
Em cada uma das quatro balas de goma do quadrado espete um palito na posição
vertical (Figura 21).
54
Figura 21 – Quadrado com palitos espetados
Fonte: ANDRADE, 2014.
Construa outro quadrado e encaixe-o nas extremidades livres dos palitos espetados
no 2º passo (Figura 22).
Figura 22 – Hexaedro regular (cubo)
Fonte: ANDRADE, 2014.
PIRÂMIDE REGULAR DE BASE QUADRADA
Material: 5 balas de goma e 8 palitos.
Como construir: Construa um quadrado (Figura 20). Em cada uma das quatro
balas de goma do quadrado espete um palito na posição vertical (Figura 21). Una as
extremidades livres dos quatro palitos com uma bala de goma (Figura 23).
55
Figura 23 – Pirâmide regular de base quadrada
Fonte: ANDRADE, 2014.
OCTAEDRO REGULAR
Material: 6 balas de goma e 12 palitos.
Como construir: Construa uma pirâmide regular de base quadrada (Figura 23). Vire
a pirâmide de cabeça para baixo e espete um palito no sentido vertical em cada uma
das quatro balas de goma da base quadrada (Figura 24).
Figura 24 – Pirâmide de cabeça para baixo com palitos espetados
Fonte: ANDRADE, 2014.
Una as extremidades livres dos quatro palitos colocados anteriormente com uma
bala de goma (Figura 25).
56
Figura 25 – Octaedro regular
Fonte: ANDRADE, 2014.
PRISMA REGULAR DE BASE TRIANGULAR
Material: 6 balas de goma e 9 palitos.
Como construir: Construa um triângulo equilátero (Figura 17). Em cada uma das
três balas de goma do triângulo espete um palito na posição vertical (Figura 26).
Figura 26 – Triângulo com palitos espetados
Fonte: ANDRADE, 2014.
Construa outro triângulo e encaixe-o nas extremidades livres dos palitos espetados
anteriormente (Figura 27).
57
Figura 27 – Prisma regular de base triangular
Fonte: ANDRADE, 2014.
Após a construção dos poliedros foi realizado o preenchimento da mesma
tabela utilizada no pré-teste, com duração aproximada de 20 minutos, na qual os
alunos deveriam preenchê-la com os elementos dos poliedros e verificar se a
Relação de Euler é válida para todos eles. Para a realização deste teste os alunos
não estavam mais de posse dos poliedros construídos, esta observação é
importante quando relacionada a teoria de base deste trabalho, onde se os alunos
respondessem apenas com o uso dos objetos em mãos, isso não garante que
ocorresse uma aprendizagem significativa.
Logo abaixo da tabela foi fornecida a Relação de Euler: ,
como é estudada na apostila, válida para todo poliedro convexo, em que V é o
número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. No final da
folha de respostas, a seguinte observação foi apresentada para o cálculo do número
de arestas das figuras com o número de faces muito grande: “Uma aresta é comum
a duas faces do poliedro, portanto, para encontrar o número de arestas devemos
multiplicar o número de faces pelo número de arestas de uma face e dividir o
resultado por dois”.
Esta tabela foi a mesma utilizada na primeira e segunda etapa, que agora é
utilizada como pós-teste, permitindo assim comparar os resultados após a realização
da construção dos sólidos geométricos, aplicação e coleta dos dados obtidos,
conforme descrito a seguir.
58
6 APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES
Neste capítulo será feita uma descrição detalhada da aplicação da atividade
com as duas turmas, 8º e 9º ano do Ensino Fundamental, bem como os resultados
obtidos com esta aplicação e com o preenchimento das tabelas utilizadas no pré e
pós-teste. Para preservar a identidade dos alunos, esses recebem letras para
identificar as diferentes respostas de cada um.
6.1 REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES E COLETA DE DADOS
No dia 06 de junho de 2017, a atividade proposta foi aplicada com a turma do
9º ano. Essa sala possuía ao todo 30 alunos, porém, neste dia, havia cinco alunos
faltantes. A atividade foi desenvolvida no 3º e 4º horários de aula do período
vespertino, que são os horários referentes às aulas de matemática, que foram
cedidas pelo professor para a realização da atividade (autorização no Apêndice A).
Na primeira etapa, após a revisão dos conteúdos referentes à Relação de
Euler, os alunos responderam ao pré-teste, conforme o Quadro 1. Como todos os
alunos participantes da atividade já tinham visto esse conteúdo anteriormente, ele foi
apenas revisado para relembrar que a Relação de Euler é uma fórmula matemática
que relaciona o número de elementos de um poliedro convexo (faces, arestas e
vértices).
Esta etapa foi realizada de forma individual e sem consultas. Foi possível
notar que muitos alunos tiveram dificuldades em contabilizar as quantidades de
arestas, vértices e faces dos poliedros sem a visualização por meio de um objeto
concreto, utilizando apenas a visualização rápida de um desenho. Alguns deles
tentavam copiar a resposta do colega, pesquisar na internet (mesmo que avisados
que era proibido) ou então deixaram as respostas em branco. Alguns alunos, mesmo
com as imagens que foram apresentadas rapidamente para eles, tiveram
59
dificuldades em saber qual polígono era qual, ou quantos lados (faces) tinha cada
um.
Entre a 3º e a 4º aula os alunos saem para o recreio, e como se optou por
realizar as atividades com a manipulação dos materiais sem intervalos, então foi
adiantada em 15 minutos a saída deles. Antes disso, os alunos foram instruídos
sobre a organização da sala e a divisão dos grupos. Nessa sala, os alunos foram
divididos em cinco grupos de quatro membros cada, e um grupo com cinco
membros.
Após retornar do intervalo, os alunos foram para os seus grupos, e as
carteiras organizadas. Com os pacotes de balas de goma entregues, um para cada
grupo, e com uma caixa de palitos de dente, os trabalhos de construção dos
poliedros foram iniciados (Figura 28). Cada grupo deveria construir os poliedros da
tabela e dentro de cada grupo, a divisão de quem faria qual poliedro foi realizada
pelos próprios alunos, sendo assim, alguns alunos construíram apenas um poliedro
e outros construíram mais que um.
Figura 28 - Construção dos poliedros em sala de aula, 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Essa turma do 9º ano demorou mais do que 30 minutos para a construção
dos cinco sólidos obrigatórios e, não tiveram grandes dificuldades para realizar a
construção destes. Como eles estavam divididos em grupos, as dificuldades que um
aluno sentia na hora de construir, eram sanadas com a ajuda de um colega. Após
isso, como além destes sólidos: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro,
60
pirâmide regular de base quadrada, prisma regular de base triangular (Figura 29),
havia sido proposto o desafio de construção do dodecaedro e do icosaedro, algumas
equipes dedicaram o tempo restante para cumprir o desafio. Nesta parte da
atividade a turma estava menos agitada, tornando a aula um pouco mais tranquila
do que estava anteriormente.
Figura 29 – Poliedros construídos, 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Para a construção do dodecaedro e do icosaedro, os alunos até sabiam a
quantidade de lados que cada um possui (12 e 20, respectivamente), no entanto,
eles não tinham o conhecimento teórico de qual polígono correspondia à face de
cada um, e assim eles não conseguiam construí-los. Para auxiliar na construção foi
informado aos alunos que as faces de um dodecaedro são pentágonos, e as faces
de um icosaedro são triângulos.
Com essa informação eles começaram a construção e, nesta etapa percebeu-
se que eles utilizaram da intuição, um dos aspectos do conhecimento geométrico,
pois eles pensaram e assim relataram: “um dodecaedro tem 12 lados, se cada lado
é um pentágono, então construindo 12 pentágonos depois é só juntar todos”. No
entanto, na hora de juntar esses 12 pentágonos eles pegaram mais palitos para
fazer essa junção, e então perceberam que dessa maneira eles estavam
aumentando o número de arestas e de faces do poliedro, pois não perceberam que
uma aresta era comum a dois polígonos ao mesmo tempo e da maneira que
intuitivamente estava construindo, não dava certo a sua representação final.
Através de suas experimentações, outro aspecto do conhecimento
geométrico, perceberam que não deveriam utilizar mais palitos, mas sim encaixar
aqueles pentágonos um ao outro (Figura 30), de uma maneira que não aumentasse
61
o número de faces e que uma aresta fosse comum a dois polígonos ao mesmo
tempo.
Figura 30 – Dodecaedro construído, 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Já para a construção do icosaedro, apenas um grupo tentou construir. Como
eles já tinham percebido que construindo o número de polígonos correspondente ao
número de faces do poliedro, e depois juntando todos não tinha dado certo, eles já
tentaram construir encaixando um triângulo diretamente com o outro, tentando
formar o poliedro (Figura 31).
Figura 31 – Icosaedro sendo construído, 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Dos cinco grupos formados nesta turma, três conseguiram construir um
dodecaedro. Já o icosaedro, nenhum grupo conseguiu construir, o grupo que estava
tentando, apesar de várias tentativas, não conseguiu acertar o número de faces (ou
eles faziam com faces a menos, ou com faces a mais).
No dia 07 de junho de 2017, foi a vez de aplicar o projeto com a turma do 8º
ano. Essa sala possui ao todo 23 alunos, contudo, neste dia, havia três alunos
faltantes. Assim, a atividade foi desenvolvida no 1º e 4º horário de aula do dia
(período matutino), que são os horários referentes às aulas de matemática.
62
Assim como no 9º ano, na primeira etapa, após a revisão dos conteúdos
referentes à Relação de Euler, os alunos responderam ao pré-teste. Esta etapa foi
realizada de forma individual e sem consultas. Assim como na turma do 9º ano, foi
possível notar que muitos alunos tiveram dificuldades em contabilizar as
quantidades de arestas, vértices e faces dos poliedros sem sua visualização. Como
estratégia de resolução, alguns alunos desenharam um esboço do sólido para
realizar a contagem. Nessa sala, não houve ocorrências de alunos “colando”.
Devido ao intervalo entre a 1ª e a 4ª aula, optou-se por iniciar as atividades
com a manipulação dos materiais no último horário. Logo, na primeira aula, depois
de concluído o pré-teste, os alunos foram instruídos sobre a organização da sala,
para a segunda parte dos trabalhos, e divididos em grupos. Nessa turma, os alunos
foram divididos em quatro grupos de cinco membros cada.
Após retornar do recreio para a 4ª aula do dia, os alunos começaram a se
separar em grupos, conforme orientações prévias. Em seguida, foram entregues um
pacote de balas de goma e uma caixa de palitos de dentes para cada grupo e
iniciados os trabalhos de construção dos poliedros (Figura 32).
Figura 32 - Construção dos poliedros em sala de aula, 8º ano
Fonte: produção da própria autora
Diferente da turma do 9º ano, o 8º ano realizou a construção dos cinco sólidos
obrigatórios, em menos de 10 minutos (Figura 33). Assim como na turma do 9º ano,
como eles estavam organizados em grupos, as dúvidas existentes em alguns alunos
eram sanadas pelos colegas do próprio grupo. Todos os grupos construíram todos
esses poliedros e não tiveram grandes dificuldades. Como, além destes cinco
poliedros, havia sido também proposto o desafio de construção do dodecaedro e do
icosaedro, todas as equipes dedicaram o tempo restante para cumprir o desafio
(foram dedicados 30 minutos para essa etapa).
63
Figura 33 – Poliedros construídos, 8º ano
Fonte: produção da própria autora
Para a construção do dodecaedro e do icosaedro, a dúvida dos alunos era a
mesma que a existente no 9º ano, eles não tinham o conhecimento teórico de qual
polígono correspondia à face de cada poliedro, e da mesma maneira, para auxiliar
na construção foi informado aos alunos que as faces de um dodecaedro são
pentágonos, e as faces de um icosaedro são triângulos.
Assim como no 9º ano, alguns grupos começaram a montar 12 pentágonos ou
20 triângulos separadamente, para a construção do dodecaedro e do icosaedro,
respectivamente. Mas através da experimentação, ao tentarem juntar todos os
polígonos para formar o poliedro, não estava dando certo. Então eles começaram a
construir primeiramente um pentágono e depois foram construindo os outros
encaixados neste, e da mesma maneira com o triângulo. De todos os grupos
formados no 8º e 9º ano, apenas um grupo do 8º ano começou a construir o
dodecaedro e o icosaedro da segunda maneira citada, sem tentar construir 12 ou 20
polígonos separados e depois juntar todos, como os outros grupos fizeram.
Dos quatro grupos formados nesta turma, três deles conseguiram construir
um dodecaedro e um deles conseguiu construir o icosaedro (Figura 34).
64
Figura 34 – Dodecaero e icosaedro construídos, 8º ano
Fonte: produção da própria autora
A execução das atividades ocorreu conforme estava planejada e os alunos
participaram de todas as atividades, não houve ocorrências de descaso na execução
de nenhuma tarefa, tanto as atividades em grupo quanto as individuais realizadas
por todos os alunos, em ambas as turmas.
6.2 COMPARAÇÃO DO PRÉ E PÓS TESTE
Com a proposta de atividade que foi apresentada neste trabalho e também
aplicada, esperava-se que os alunos tivessem uma melhora na visualização dos
elementos geométricos, especialmente os tridimensionais, fazendo a identificação e
construção dos poliedros e, posteriormente a identificação do número de vértices,
faces e arestas de cada um, aplicando a Relação de Euler. Ainda, como as turmas
escolhidas para a aplicação da atividade já tinham aprendido este conteúdo e
possuíam certo conhecimento teórico a respeito do mesmo, buscou-se analisar
como foi essa melhora de maneira qualitativa, conforme o referencial teórico de Pais
(1996), através das competências de abstração e generalização e, na contribuição
da relação existente entre o desenho e objeto concreto para a formação das
imagens mentais, aproximando assim dos conceitos matemáticos já aprendidos por
eles.
Ao comparar a tabela que foi preenchida pelos alunos antes da aplicação e
logo após a finalização da atividade com os materiais manipuláveis, foi possível
65
observar as diferenças e melhoras através das respostas e relatos dados por eles,
assim como serão descritos a seguir. As imagens contêm as tabelas preenchidas
por alguns alunos, em que a primeira corresponde ao pré-teste, e a segunda
corresponde ao pós-teste. O gabarito da tabela pode ser encontrado no Apêndice B
para conferência.
6.2.1 Análise das Tabelas Preenchidas pelos Alunos do 8º ano
A tabela deveria ser preenchida com o número de vértices, faces e arestas
dos poliedros identificados, na linha correspondente a cada um. Logo, esperava-se
que o número de faces dos poliedros fosse um dos itens com maior facilidade para
ser preenchido, onde cada poliedro recebe seu nome de acordo com o número de
faces que possui, uma vez que os alunos já tinham esse conhecimento teórico. Ao
começar a analisar as tabelas, esses foram os casos que inicialmente despertaram a
minha atenção, em que os alunos não sabiam quantas faces possuía cada poliedro,
muitas vezes colocando qualquer valor como resposta, ou então deixando em
branco.
O aluno A (Figura 35) não conseguiu identificar o número de faces de nenhum
poliedro de maneira correta, bem como o número de vértices e arestas, “chutando”
valores para as respostas.
Figura 35 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno A do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
66
Já com o preenchimento da tabela após a realização da atividade observa-se
que quase todos os itens foram preenchidos com o valor correto.
É possível perceber no protocolo do pré-teste acima que para a quantidade
de vértices, o aluno A escreveu, para a maioria dos sólidos, a quantidade de vértices
que um polígono tem, ou seja, a quantidade de vértice que tem cada face do
poliedro correspondente. Como estavam fazendo a associação com os desenhos
que conheciam e já haviam estudado, conforme as análises da sua apostila, esse
aluno tinha a imagem mental associada ao desenho que estava vendo na forma
bidimensional. Esse aluno conseguiu fazer a correspondência com o sólido somente
depois da atividade com o material manipulável. A manipulação dos objetos não
levou à compreensão total, mas foi necessária uma relação entre a experimentação
e a reflexão para que pudesse perceber a diferença entre a representação
bidimensional e tridimensional.
Já o aluno B (Figura 36) não preencheu nenhum dado da tabela do pré-teste,
pelas rasuras na folha dá para ver que ele até tentou colocar alguns dados, mas
acabou apagando todos e entregando em branco.
Figura 36 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno B do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
No entanto, após a manipulação dos materiais, o aluno B respondeu quase
toda a tabela, faltando apenas a resposta para o icosaedro, sólido que tiveram
dificuldade na construção.
O aluno C (Figura 37) até tentou preencher alguns dados no pré-teste, no
entanto, apenas a identificação do número de faces de alguns poliedros estava
correta. Pode-se dizer que esses alunos não conseguiam descrever as propriedades
67
dos poliedros na ausência de um desenho ou de um objeto concreto, parece que
não conseguiam definir uma imagem mental que se aproximasse dos conceitos
matemáticos (PAIS, 1996).
Figura 37 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno C do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
Em todos os casos citados percebe-se uma melhora significativa com a
comparação das respostas, em que ao utilizar o objeto concreto os alunos
conseguiram identificar e descrever as propriedades dos poliedros. Esses alunos,
em que as maiores dificuldades foram observadas, correspondiam a uma pequena
quantidade de alunos da turma.
O aluno D (Figura 38) e o aluno E (Figura 39) procederam como muitos
alunos fizeram, preencheram a tabela antes da aplicação da atividade parcialmente
correta quanto ao número de faces dos poliedros, no entanto o número de vértices e
de arestas não estava correto.
68
Figura 38 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno D do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
Percebe-se que esses alunos tem um conhecimento teórico de qual poliedro
está se referindo, no entanto com a ausência do desenho ou do objeto a descrição
das outras propriedades fica dificultada, dificuldade essa de visualização
tridimensional. Assim, a imagem mental ainda não estava bem definida e, portanto,
não se aproxima completamente dos conceitos matemáticos.
Figura 39 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno E do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
Já com o preenchimento da tabela após a realização da atividade com o
material manipulável, observa-se que, com exceção dos itens correspondentes ao
icosaedro e ao dodecaedro, todos os outros estão corretos. Comparando as
respostas percebe-se que nesses casos a melhora foi significativa também, onde
com a utilização do objeto concreto os alunos puderam preencher a tabela
69
corretamente, ajudando na visualização tridimensional dos elementos que até então
estava prejudicada.
Esses alunos, nos quais poucas dificuldades foram observadas no pós-teste,
correspondiam a grande parte dos alunos da turma.
O aluno F (Figura 40) não preencheu toda a tabela antes da aplicação da
atividade, no entanto todos os itens preenchidos por ele estavam corretos. Talvez se
tivesse um pouco mais de tempo poderia ter preenchido os outros valores. Esse foi o
único caso que o aluno não conseguiu preencher corretamente a tabela por falta de
tempo. Já com aplicação da atividade no pós-teste ele conseguiu preencher os itens
faltantes, com exceção do dodecaedro. Percebe-se que o aluno conseguiu definir a
imagem mental e descrever as propriedades dos poliedros sem a presença do
objeto concreto ou do desenho.
Figura 40 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno F do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
O aluno G (Figura 41) procedeu como apenas alguns alunos da turma
fizeram, em que com exceções do dodecaedro e do icosaedro, todos os valores
preenchidos estavam corretos, tanto antes quanto depois da realização da atividade.
Percebe-se que esses alunos conseguiram definir uma imagem mental capaz de
descrever as propriedades dos poliedros sem a presença do objeto e,
posteriormente com o objeto concreto, reforçar esse conhecimento.
70
Figura 41 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno G do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
Outro ponto importante foi observado no preenchimento da tabela antes da
realização da atividade feito pelo aluno H (Figura 42), em que ele desenhou os
poliedros para a melhor identificação dos seus elementos. Tanto antes quanto
depois da realização da atividade, com exceção dos valores do dodecaedro e do
icosaedro, todos os outros estavam corretos. Percebe-se que esse aluno conseguiu
definir uma boa imagem mental e utilizou o desenho feito por ele para descrever as
propriedades dos poliedros. Posteriormente ele não precisou mais do desenho,
fazendo uso do objeto concreto.
Figura 42 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno H do 8º ano
Fonte: produção da própria autora
Com relação ao preenchimento da tabela com os dados do dodecaedro e do
icosaedro, por serem poliedros mais complexos e com um maior número de faces,
arestas e vértices, a visualização tridimensional e a formação da imagem mental
sem a utilização do desenho ou do objeto ficam dificultadas. Neste caso, os alunos
71
poderiam fazer uso da observação descrita abaixo da tabela, relacionando o nome
do poliedro com o número de faces e encontrando o número de arestas, faltando
encontrar apenas o número de vértices que com a Relação de Euler chegaria ao
resultado.
Por exemplo, sabendo que o sufixo edro vem da palavra grega hédra que
significa face e os prefixos, também oriundos do grego, indicam a quantidade de
faces de cada poliedro: tetra (4), hexa (6), octa (8), dodeca (12) e icosa (20). Para o
dodecaedro, seu prefixo significa 12 está relacionado com o número de faces e,
sabendo que suas faces são polígonos de 5 lados, então conforme a observação: “
Uma aresta é comum a duas faces do poliedro, portanto, para encontrar o número
de arestas devemos multiplicar o número de faces pelo número de lados das
mesmas e dividir o resultado por dois”, temos 12. 5 = 60 e 60/2=30 que me dá o
número de aresta igual a 30. Sabendo o número de arestas (30) e faces (12)
encontra-se o número de vértices com a relação de Euler V-A+F=2, onde V-
30+12=2, temos o número de vértices, V= 20.
Alguns alunos até conseguiam ter uma noção ou imaginar qual poliedro se
tratava, no entanto, não conseguiam fazer a contagem dos seus elementos, pois os
aspectos teóricos não estavam sendo correlacionados ainda com os aspectos
intuitivos e experimentais. Segundo Pais (1996) “A análise desses recursos é
seguida pela identificação da existência de uma possível correlação desses
elementos com os aspectos intuitivo, experimental e teórico do conhecimento
geométrico”. Assim, no preenchimento da tabela antes da realização da atividade
praticamente todos os alunos preencheram com os dados errados. Já com o
preenchimento da tabela após a realização da atividade, como nem todos os alunos
conseguiram construir o dodecaedro, e apenas um grupo construiu o icosaedro,
poucos alunos preencheram a tabela com os valores corretos. Ou seja, para os
alunos que conseguiram construir o poliedro e ainda assim preencheram a tabela de
maneira errônea, a presença do objeto concreto auxiliou na identificação dos
elementos, porém, não fizeram identificação correta das quantidades.
Ao preencherem a tabela, tanto no pré-teste quanto no pós-teste, na coluna
correspondente a Relação de Euler, percebe-se que as maiores dificuldades
encontradas pelos alunos no preenchimento dos elementos dos poliedros, foram
refletidas na hora de relacioná-los através da fórmula. Já os alunos que
apresentaram menos dificuldades na hora de preencher os valores dos elementos,
72
principalmente depois de manipular os objetos concretos, conseguiram relacionar
esses elementos de maneira correta aplicando a Relação de Euler.
6.2.2 Análise das Tabelas Preenchidas pelos Alunos do 9º ano
Assim como para o 8º ano, a tabela deveria ser preenchida da mesma
maneira, com o número de vértices, faces e arestas dos poliedros identificados. Ao
começar a analisar as tabelas, o que mais despertou minha atenção com a turma do
9º ano foi que assim como eles levaram mais tempo para construir os poliedros, eles
apresentaram mais dificuldades para preencher a tabela antes da realização da
atividade.
O aluno A (Figura 43) ao preencher a tabela antes da realização da atividade
não conseguiu identificar o número de faces de nenhum poliedro de maneira correta,
bem como o número de vértices e arestas.
Figura 43 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno A do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Já o aluno B (Figura 44) acertou apenas um valor, de todos que foram
preenchidos por ele, o número de faces do tetraedro regular. Ambos preencheram
apenas alguns valores da tabela mas de maneira errônea. Pode-se dizer que esses
alunos não conseguiam descrever as propriedades dos poliedros na ausência de um
desenho ou de um objeto, não conseguindo assim definir uma imagem mental que
73
pudesse se aproximar dos conceitos matemáticos, conforme Pais (1996), possuindo
grandes dificuldades na visualização tridimensional.
Figura 44 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno B do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Após a realização da atividade com o material manipulável, observando a
tabela preenchida pelos mesmos alunos, quase todos os itens foram preenchidos
com o valor correto. Nesses casos percebe-se uma melhora significativa com a
comparação das respostas, em que ao utilizar o objeto concreto os alunos
conseguiram identificar e descrever as propriedades dos poliedros, melhorando a
visualização tridimensional.
Esses alunos, em que essas dificuldades foram encontradas correspondem a
uma parcela significativa da turma toda.
Ao observar a tabela preenchida pelo aluno C (Figura 45) antes da realização
da atividade, percebe-se que ele tentou preencher a tabela, mas com valores
“chutados”, sem ter uma coerência entre os valores. Esse foi o único caso em que o
aluno preencheu a tabela antes da realização da atividade “chutando” os valores e
sem preencher nenhum corretamente.
74
Figura 45 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno C do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Pode-se dizer que, assim como o primeiro e segundo alunos, esse aluno não
conseguia descrever as propriedades dos poliedros na ausência de um desenho ou
de um objeto, sem conseguir identificar nem o número de faces de cada um, não
conseguindo assim definir uma imagem mental e nem aproximar dos conceitos
matemáticos, possuindo grandes dificuldades na visualização tridimensional.
Com o preenchimento da tabela após a realização da atividade, apesar de
encontrados alguns erros houve uma melhora significativa, em que com a utilização
do objeto concreto foi possível identificar e descrever as propriedades de quase
todos os poliedros da maneira correta.
O aluno D (Figura 46) e E (Figura 47) não preencheram toda a tabela antes
da aplicação da atividade, e dos itens preenchidos, quase todos estavam corretos.
Assim como no caso do 8º ano, talvez se tivesse tempo a mais eles poderiam ter
preenchido os outros valores, ou ainda, esses poliedros foram os únicos que esses
alunos conseguiram ter uma visualização tridimensional, não conseguindo identificar
mentalmente os outros.
O aluno D (Figura 46) fez alguns desenhos para a melhor identificação e
contagem dos seus elementos, antes da construção dos poliedros e, assim como o
aluno do 8º ano, após a construção ele fez o uso do objeto concreto. Segundo Pais
(1996), o desenho tem sido, na realidade, uma passagem quase que totalmente
obrigatória no processo de conceitualização geométrica. O desenho possui uma
natureza particular e concreta, opondo-se às características gerais e abstratas do
conceito e que se mostrou importante para esse aluno.
75
Figura 46 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno D do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Com a aplicação da atividade, o aluno D (Figura 46) preencheu todos os
valores, e com exceção do dodecaedro todos os valores estavam corretos. Já o
aluno E(Figura 47) não preencheu toda a tabela, e dos valores preenchidos nem
todos estavam corretos.
Figura 47 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno E do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Percebe-se que esses alunos não conseguiram estabelecer totalmente a
imagem mental dos sólidos trabalhados, uma vez que nem todos os elementos dos
poliedros foram corretamente identificadas, mas também houve uma melhora
significativa após a atividade com o objeto concreto.
O preenchimento da tabela pelo aluno F (Figura 48) e G (Figura 49) antes da
realização da atividade, é similar ao preenchimento da tabela da maioria dos alunos
76
do 9º ano. Quase todos os valores e em alguns casos todos foram preenchidos, no
entanto com erros, alguns com mais e outros com menos.
Figura 48 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno F do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
A maioria desses alunos conseguiu identificar corretamente o número de
faces de cada poliedro, associado ao seu nome. No entanto o número de vértices e
arestas não foi identificado corretamente. Percebe-se que, assim como alguns casos
do 8º ano, esses alunos tem um conhecimento teórico de qual poliedro está se
referindo, no entanto com a ausência do desenho ou do objeto a descrição das
outras propriedades fica dificultada, devido a dificuldade de uma visualização
tridimensional. Assim, a imagem mental não fica bem definida que pudesse
aproximar completamente dos conceitos matemáticos.
Figura 49 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno G do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
77
Já com o preenchimento da tabela após a realização da atividade com o
material manipulável observa-se que, com exceção de poucos itens, todos os outros
estão corretos. Comparando as respostas, percebe-se que nesses casos a melhora
foi significativa, onde com a utilização do objeto concreto os alunos puderam
preencher a tabela corretamente, ajudando na visualização tridimensional dos
elementos que até então estava prejudicada.
O aluno H (Figura 50) foi o único da turma do 9º ano que preencheu a tabela
corretamente, tanto antes quanto depois da construção dos poliedros, com exceção
dos valores referentes ao dodecaedro, em que apenas o número de faces foi
preenchido corretamente. Pode-se dizer então que este aluno tem uma imagem
mental desses poliedros, pois ele foi capaz de descrever as suas propriedades na
ausência do desenho ou de um objeto concreto, aproximando do conceito
matemático.
Figura 50 – Protocolos de pré e pós-teste do aluno H do 9º ano
Fonte: produção da própria autora
Com relação ao preenchimento da tabela com os dados do dodecaedro e do
icosaedro, a turma do 9º ano teve uma quantidade significativa de acertos,
principalmente no icosaedro, no entanto, a turma do 9º ano não conseguiu construir
nenhum icosaedro e nem todos conseguiram construir o dodecaedro. Como esta
turma teve casos de alunos tentando copiar a resposta do colega ou pesquisar na
internet (mesmo que proibido), e visto que poucos alunos acertaram os valores da
tabela correspondentes aos outros poliedros, que eram de uma complexidade menor
que estes, há uma grande chance que os valores tenham sido preenchidos com
78
algum auxílio externo (provavelmente o celular). Portando, não é possível chegar a
nenhuma conclusão neste aspecto, infelizmente, se houve melhora ou não.
Ao preencherem a tabela na coluna correspondente a Relação de Euler,
percebe-se que assim como no 8º ano, as maiores dificuldades encontradas pelos
alunos do 9º ano no preenchimento dos elementos dos poliedros, foram refletidas na
hora de relacioná-los através da fórmula. Já os alunos que apresentaram menos
dificuldades na hora de preencher os valores dos elementos, que preencheram com
valores corretos, conseguiram relacionar esses elementos de maneira correta
aplicando a Relação de Euler.
Ao manipular o objeto concreto, neste caso construído com balas de gomas e
palitos de dentes, o aluno consegue constatar o número de vértices, faces e arestas
por si mesmo, e de acordo com Pais (1996), com essa manipulação existe uma
expectativa que o aluno descubra propriedades que uma vez abstraídas, contribuam
na elaboração conceitual, sem admitir a existência de uma geometria concreta.
A aprendizagem ocorre somente quando o aluno consegue fazer uma leitura
geométrica da representação envolvida, (PAIS, 1996). O aluno não vê o objeto
concreto apenas como um objeto construído com balas de goma e palitos de dente,
ele vê como a representação de um poliedro, uma representação geométrica, assim
como ele atribui um significado geométrico para as balas de goma e palitos de
dente, como a representação dos vértices e das arestas dos poliedros.
79
CONCLUSÕES
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), o ensino de
Geometria deve visar desenvolver o pensamento geométrico, com procedimentos de
observação, representações e construções de figuras que levem o aluno a
estabelecer relações entre as figuras espaciais e as suas representações planas, e
interpretar as suas representações. No caso desta pesquisa, foram estudados os
poliedros e os elementos que os compõem, como as faces, vértices, arestas, além
das relações envolvidas desses elementos com a Relação de Euler. Para isso, o
estudo com poliedros foi abordado de uma maneira diferenciada, por meio de
materiais manipuláveis, que permitisse ao aluno construir, investigar as propriedades
dos sólidos e criar suas representações mentais de forma intuitiva e experimental.
Uma maneira de abordar e trabalhar os assuntos geométricos é com a
manipulação de objetos, onde o aluno pode representar, construir e investigar as
propriedades, contribuindo assim para a evolução das competências de abstração e
generalização, essenciais para o estudo da matemática (CLEMENTE et al, 2014),
além de desenvolver a percepção espacial. Concordando com esses autores, os
objetos concretos utilizados nesta pesquisa foram balas de gomas e palitos de
dentes que permitiram, por parte do aluno, a construção dos cinco poliedros
regulares de Platão além de um prisma e de uma pirâmide, de forma que as balas
de gomas representassem os vértices dos poliedros e os palitos de dentes as
arestas.
A manipulação desses objetos concretos e o significado atribuído a eles
quando associados com representações e interpretações geométricas, de acordo
com Lorenzato (2009) auxilia na visualização espacial, que é a habilidade de pensar,
em termos de imagens mentais, transformando conceitos abstratos em imagens
mentalmente visíveis, além de que a formação dessas imagens mentais é uma
consequência quase que exclusiva do trabalho com desenhos e objetos, de acordo
com Pais (1996).
Com o meu interesse e gosto pela Matemática, principalmente em relação à
Geometria, procurei estabelecer um vínculo maior de forma que proporcionasse um
80
estudo mais aprofundado de um tema que me encorajou a aplicar, na Educação
Básica, as experiências de que vinha tendo nas disciplinas da Graduação.
Para isso, a atividade com o material manipulável foi aplicada no Colégio
Univille, em duas turmas do Ensino Fundamental II, uma do 8º ano e outra do 9º
ano. Com um entendimento melhor de qual era a concepção de escola, bem como
alguns pontos importantes sobre a disciplina de matemática dessa escola, o seu
ensino de poliedros e os sobre alunos participantes da pesquisa, obteve-se o
conhecimento prévio dos alunos e da escola em que fazem parte e, assim inferir nos
resultados obtidos. Com essas análises prévias, inferiu-se que, mesmo os alunos já
tendo estudado o assunto e o conteúdo estar presente na apostila, a necessidade de
se trabalhar com objetos manipuláveis estava evidente, pois não conseguiam
descrever as propriedades dos poliedros em um pré-teste realizado com eles. Eles
tiveram dificuldades em definir as imagens mentais para descrever as propriedades
dos poliedros sem ter um desenho ou objeto que pudessem se aproximar dos
conceitos matemáticos.
A metodologia utilizada para esta pesquisa foi de cunho qualitativo, do ponto
de vista técnico com uma parte da pesquisa sendo bibliográfica relacionada ao tema,
e do ponto de vista prático a outra parte teve um caráter experimental, com a
proposta de uma atividade diferenciada, sua aplicação e análise dos dados obtidos,
a fim de estabelecer resultados a partir de coleta de dados e análise de uma
aplicação. Através desta metodologia foram abordados os principais conceitos
geométricos referentes ao tema, a importância dos materiais manipuláveis e a
necessidade de utilizá-los no estudo da Geometria Espacial para minimizar os
obstáculos que os alunos encontravam para o estudo desses conceitos. Foram
realizadas duas etapas, uma do pré-teste e a outra do pós-teste verificando o quão
significativa foi a atividade com os materiais manipuláveis para esses alunos.
O embasamento teórico que auxiliou essas análises dos resultados
encontrados foi a proposta de Luiz Carlos Pais (PAIS, 1996), com a teoria sobre
intuição, experiência e teoria geométrica, ao relacionar principalmente a utilização de
materiais concretos para minimizar os obstáculos existentes nos processos de
ensino e aprendizagem de geometria.
Com o objetivo geral de utilizar um material manipulável no ensino de
Geometria a fim de auxiliar os alunos na visualização dos elementos geométricos,
especialmente os tridimensionais e, em consonância com este objetivo, a proposta
81
de atividade apresentada neste trabalho fez com que os alunos tivessem uma
melhora na visualização e identificação dos elementos geométricos tridimensionais.
As duas turmas que foram aplicadas o pré-teste, já tinham estudado o
conteúdo sobre poliedros e a Relação de Euler. No entanto, nesta primeira etapa
verificou-se que poucos eram os alunos que tinham o conhecimento dos principais
elementos dos sólidos geométricos trabalhados e, por consequência a Relação de
Euller não era estabelecida. A apostila dessas duas turmas traz o conteúdo de
Geometria interligado com outros de forma que possam ser estudados durante o ano
letivo, sem que haja falhas e de forma que possam relacioná-lo ao mundo físico e
com outros tipos materiais concretos que os auxiliem. No entanto, nesta etapa da
aplicação, a falta dos objetos concretos fez a diferença nos resultados obtidos.
E assim evidenciou-se a realização da atividade, em que a manipulação dos
objetos concretos não se restringia aos aspectos mais imediatos, com um uso
superficial. Na atividade da segunda etapa, os aspectos do conhecimento (intuição,
experimentação e conhecimento teórico) estavam correlacionados com os
elementos fundamentais no ensino de geometria (conceito, objeto, desenho e
imagens mentais), de acordo com o referencial teórico adotado para as análises dos
resultados observados e obtidos.
Por meio do uso de um material didático concreto, como recurso auxiliar no
ensino e na aprendizagem de geometria, comprovou-se uma melhora na
visualização dos elementos geométricos, especialmente os tridimensionais por parte
dos alunos. Com o uso de objetos materiais como recursos didáticos no processo de
construção dos conceitos geométricos, aqui identificados como balas de goma e
palitos de dentes, os alunos conseguiram fazer uma leitura geométrica da
representação envolvida, amenizando assim os obstáculos para o conhecimento
geométrico de acordo com a fundamentação teoria defendida por Pais (1996).
Com relação às competências de abstração e generalização, esses
processos dentro da geometria são construídos pouco a pouco, envolvendo uma
comparação entre o mundo das ideias e o mundo físico. Essa transposição entre o
concreto e o abstrato, entre o particular e o geral, é um dos maiores obstáculos
enfrentados pelos alunos durante sua aprendizagem.
Segundo Pais (1996), a generalização de um conceito passa pelas
dificuldades impostas pela abstração, por meio da identificação entre o conceito e a
sua representação. Percebe-se num geral, por meio dos protocolos dos alunos, que
82
essas capacidades foram bem trabalhadas com a aplicação da atividade, em que as
balas de goma não eram apenas balas de goma, mas sim os vértices dos poliedros,
assim como os palitos de dente não eram apenas palitos de dente, mas passaram a
ser as arestas dos poliedros, e a construção final era a representação de um
poliedro, de uma figura geométrica, identificando os conceitos por suas
representações.
Baseando-se nos PCNs e segundo Campagnaro (2011), acredita-se que os
objetivos do ensino de Matemática no segundo ciclo do Ensino Fundamental que
também foram atingidos com esta atividade são: identificação dos conhecimentos
matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta,
característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade,
o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver
problemas, em que os alunos tiveram a curiosidade estimulada com a atividade,
assim como identificaram conhecimentos matemáticos que podem resolver inúmeros
problemas.
Também a seleção, organização e produção de informações relevantes, para
posterior interpretação e avaliação, foram realizadas neste trabalho de diferentes
maneiras: resolução de situações-problema, sabendo validar estratégias e
resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição,
indução, dedução, analogia, estimativa, utilizando conceitos e procedimentos
matemáticos, em que os alunos utilizaram a indução, experimentação e formas de
raciocínio para resolver situações problema e interação com seus pares de forma
cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas
propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto,
respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles, em que os
alunos trabalharam coletivamente ajudando uns aos outros.
Por fim, com os resultados das análises dos dados obtidos no pré e pós-teste
apresentados, podemos inferir que a questão do problema foi respondido. “Com o
uso de objetos materiais, como recursos didáticos no processo de construção dos
conceitos geométricos, os alunos conseguem minimizar os obstáculos existentes
nos processos de ensino e aprendizagem de geometria?”
Com todos os resultados aqui alcançados com o uso de materiais concretos e
com todos os benefícios que a utilização destes materiais pôde proporcionar, é
necessário ficar atento a esse uso. Eles devem ser utilizados com cautela e de
83
maneira racional, como recursos auxiliares e não como substitutivos à construção
dos conceitos, tendo a esperança que o suporte dado por esse material possa
amenizar as dificuldades de ensino.
Ao utilizar algum tipo de material concreto deve ser reconhecido que a
aprendizagem ocorrerá somente a partir do momento que o aluno conseguir fazer
uma leitura geométrica da representação envolvida, e o desafio é saber como dar
uma continuidade didática entre o uso do material e a capacidade de abstração.
Independente do material escolhido, ele deve ser considerado um bom material
manipulável e cumprir a função essencial de ensinar matemática.
Como sugestão para futuros trabalhos, pode ser aplicado com os mesmos
alunos um outro teste, utilizando materiais concretos, porém com questões mais
elaboradas e que além da identificação dos elementos dos poliedros, envolva
situações de abstração que o aluno possa identificar os principais elementos de um
sólido geométrico, uma vez que a utilização destes materiais trouxe bons resultados,
seu uso pode ser feito novamente. Também, pode ser feita uma pesquisa com os
professores para obter mais informações sobre a utilização de materiais concretos:
se usam, como é feito esse uso, se os resultados são positivos, etc. Por fim, com
essas informações obtidas com os professores seria possível desenvolver um
material que contenha informações e atividades envolvendo diferentes tipos de
materiais para diferentes níveis de ensino.
Ainda, da maneira que este trabalho foi proposto pode servir de base para
que os professores, além de constatarem como o uso do material concreto pode
trazer bons resultados para a aprendizagem de seus alunos, também possam
reconhecer o desenvolvimento geométrico de seus estudantes olhando para o pré e
pós-teste, o que traz impactos para as suas práticas em sala de aula, que podem
assim ficar mais focadas nas necessidades dos alunos ao invés de apenas cumprir
os conteúdos.
84
REFERÊNCIAS
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APÊNDICES
88
APÊNDICE A
Autorização para realização de atividade
89
APÊNDICE B
Informações e tabela de dados com respostas
Aluno:
Ano/Turma:
Poliedro Vértices Faces Arestas Relação de Euler
Tetraedro Regular
4 4 6 4+4=6+2
Hexaedro Regular (Cubo)
8 6 12 8+6=12+2
Octaedro Regular
6 8 12 6+8=12+2
Pirâmide Regular de
Base Quadrada
5 5 8 5+5=8+2
Prisma Regular de
Base Triangular
6 5 9 6+5=9+2
Dodecaedro (desafio)
20 12 30 20+12=30+2
Icosaedro (desafio)
12 20 30 12+20=30+2
Relação de Euler: V + F = A + 2 Observação: Uma aresta é comum a duas faces do poliedro, portanto, para encontrar o número de arestas devemos multiplicar o número de faces pelo número de lados das mesmas e dividir o resultado por dois.