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ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE ESTRUTURAS METÁLICAS

USANDO O CONCEITO DE RÓTULAS PLÁSTICAS E O

ALGORITMO DE RETORNO RADIAL.

MARÍA PAZ DUQUE GUTIÉRREZ

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS

E CONSTRUÇÃO CIVIL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

FACULDADE DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

2




ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE ESTRUTURAS

METÁLICAS USANDO O CONCEITO DE RÓTULAS

PLÁSTICAS E O ALGORITMO DE RETORNO RADIAL.


ORIENTADOR: WILLIAM TAYLOR MATIAS SILVA, Dr. Ing.

CO-ORIENTADOR: LUCIANO MENDES BEZERRA, PhD.

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS

PUBLICAÇÃO: E.DM-004A/14

BRASÍLIA / DF: 17 / 04 / 2014

http://e.dm/

i




ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE ESTRUTURAS METÁLICAS

USANDO O CONCEITO DE RÓTULAS PLÁSTICAS E O

ALGORITMO DE RETORNO RADIAL.


DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE

TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL.

APROVADA POR:

_________________________________________

Prof. William Taylor Matias Silva, Dr. Ing. (UnB)

(Orientador)

___________________________________

Prof. Francisco Evangelista Junior, PhD (UnB)

(Examinador Interno)

_________________________________________

Prof. Osvaldo Luís Manzoli, Dr. Ing (UNESP)

(Examinador Externo)

BRASÍLIA, 17 DE ABRIL DE 2014

ii

FICHA CATALOGRÁFICA

DUQUE GUTIÉRREZ, MARÍA PAZ

Análise Elastoplástica de Estruturas Metálicas Usando o Conceito de Rótula Plástica e o

Algoritmo de Retorno Radial. [Distrito Federal] 2014.

xiii, 87p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construção Civil, 2014).

Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia.

Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.

1. Análise Não Linear 2. Rótula Plástica

3. Plasticidade 4. Método dos Elementos Finitos

I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

GUTIERREZ, M. P. D. (2014). Análise Elastoplástica de Estruturas Metálicas Usando o

Conceito de Rótula Plástica e o Algoritmo de Retorno Radial. Dissertação de Mestrado em

Estruturas e Construção Civil. Publicação E.DM-004A/14, Departamento de Engenharia

Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 87p.

CESSÃO DE DIREITOS

AUTOR: María Paz Duque Gutiérrez

TÍTULO: Análise Elastoplástica de Estruturas Metálicas Usando o Conceito de Rótula

Plástica e o Algoritmo de Retorno Radial.

GRAU: Mestre ANO: 2014

É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta

dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos

acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte

desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

_____________________________

María Paz Duque Gutiérrez

CLN 403, Bloco C apto 108 - Asa Norte

70.835-530 Brasília - DF- Brasil

e-mail: [email protected]

http://e.dm/

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Dedicatória.

A Bernardo y Elvia (in memoriam)

A mi abuelita Rosalba y a Isabel

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AGRADECIMENTOS

Obrigada Deus pelas infinitas bênçãos recebidas.

Ao meu orientador o Prof. William Taylor Matias Silva, por ter-me aceito como sua

orientanda, pela constante disponibilidade e incentivo.

Ao programa de Pós-Graduação em estruturas e Construção Civil, aos professores e os

estudantes.

À minha família que amo profundamente, pelo apoio e carinho especialmente aos meus

pais, a vocês minha eterna gratidão. Às minhas irmãs Natalia, Daniela e à minha sobrinha

Emma. Aos meus primos, tios e amigos na Colômbia pelo amor e apoio. Sempre

acreditaram em minha capacidade e me acharam a melhor de todas, mesmo não sendo.

Ao Julián pelo amor que me brinda dia a dia, pela companhia, paciência, pelo incentivo

sempre, pelo apoio incondicional e por ser, de tantas formas, um homem maravilhoso.

Aos amigos, companheiros e conhecidos em Brasília pela companhia, carinho e apoio

durante o tempo da realização do Mestrado, pela ajuda para a execução da minha

dissertação, pela amizade e pelos momentos convividos nestes últimos dois anos. Obrigada

por dividir comigo as angústias e alegrias.

À CAPES pelo apoio financeiro.

v

RESUMO

ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA DE ESTRUTURAS METÁLICAS USANDO O

CONCEITO DE RÓTULAS PLÁSTICAS E O ALGORITMO DE RETORNO

RADIAL

Autor: María Paz Duque Gutiérrez

Orientador: William Taylor Matias Silva, Dr. Ing.

Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil

Brasília, abril de 2014

O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento e implementação de uma rotina de

aplicação prática para uma análise elastoplástica de primeira ordem (pequenas

deformações e pequenos deslocamentos), baseada nos conceitos de algoritmo de retorno

radial, preditor/corretor e o conceito de rótulas plásticas. Espera-se obter uma ferramenta

numérica precisa e computacionalmente econômica para a solução de diferentes tipos de

estruturas metálicas. Para a análise limite, é utilizada uma superfície de escoamento

assumida como uma função convexa e contínua das forças, agindo na seção transversal da

estrutura. Para a solução das equações de equilíbrio, é utilizado um método iterativo

baseado no método de Newton-Raphson combinado com o método de comprimento de

arco. É introduzido o endurecimento isotrópico no regime plástico. As deformações

plásticas são regidas pelo princípio da normalidade e são restritas aos extremos dos

elementos. Os extremos dos elementos podem mudar bruscamente do estado elástico ao

estado plástico. A matriz modular tangente consistente é determinada e aplicada sendo

essencial para obter precisão e convergência. Finalmente, diferentes exemplos numéricos

são estudados para avaliar a eficiência e aplicabilidade dos métodos empregados.

vi

ABSTRACT

ELASTOPLASTIC ANALYSIS OF METAL STRUCTURES USING THE

CONCEPT OF PLASTIC HINGES AN THE RADIAL RETURN ALGORITHM

Author: María Paz Duque Gutiérrez

Supervisor: William Taylor Matias Silva, Dr. Ing.

Postgraduate Program in Structure and Civil Construction Engineering

Brasília, April of 2014

The objective of this work is the development and implementation of a routine of practical

application for a first order elastoplastic analysis (small strains and small displacements).

Based on the concepts of radial return algorithm, predictor / corrector and the concept of

plastic hinge. It is expected to obtain a numerical tool accurate and computationally

economical for the solution of different metal structural typologies. For the limit analysis is

used a yield surface assumed as a convex and continuous function of the forces acting at

the cross section of the structure and therefore, for the solution of the equilibrium

equations is used an iterative method based on the Newton-Raphson method combined

whit the arc length method. Isotropic hardening in the plastic regime is introduced. The

plastic deformations are governed by the principle of normality and are restricted to the

extremes of the elements. The extremes of the elements can change abruptly from elastic

to plastic state. Consistent modular tangent matrix is determined and applied since it is

essential for the accuracy and convergence. Finally, different numerical examples are

studied to evaluate the efficiency and applicability of the methods employed.

vii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .......................................................................................... 1

1.1 MOTIVAÇÃO ............................................................................................. 1

1.2 OBJETIVOS .............................................................................................. 3

1.2.1 Objetivo geral ........................................................................................... 3

1.2.2 Objetivos específicos .............................................................................. 3

1.3 METODOLOGIA........................................................................................ 4

1.4 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ....................................................... 4

2. RÓTULA PLÁSTICA ................................................................................. 6

2.1 CONCEITO DE RÓTULA PLÁSTICA ................................................................... 6

2.2 SUPERFÍCIE DE INTERAÇÃO ........................................................................... 8

2.2.1 Fluxo plástico......................................................................................... 10

2.2.2 Derivadas de primeira ordem da superfície de interação .................. 11

2.2.3 Derivadas de segunda ordem da superfície de interação .................. 12

2.2.4 Endurecimento isotrópico .................................................................... 13

2.3 MULTIPLICADOR PLÁSTICO ......................................................................... 17

2.4 MATRIZ DE RIGIDEZ ELASTOPLÁSTICA .......................................................... 21

3. ALGORITMO DE RETORNO RADIAL ................................................... 23

3.1 DERIVADAS DA SUPERFÍCIE DE INTERAÇÃO .............................................. 24

3.2 DESCRIÇÃO DO ALGORITMO DE RETORNO RADIAL ........................ 25

3.2.1 Algoritmo de retorno de vetor simples ................................................ 26

3.2.2 Algoritmo de retorno com dois vetores ............................................... 29

3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ TANGENTE CONSISTENTE ............................... 32

3.3.1 Algoritmo de retorno de vetor simples ................................................ 33

3.3.2 Algoritmo de retorno com dois vetores ............................................... 34

4. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES NÃO LINEARES ..................................... 39

4.1 MÉTODOS DE COMPRIMENTO DE ARCO ............................................ 40

4.1.1 Método de controle de deslocamento ................................................. 40

4.1.2 Método de comprimento de arco esférico e formulação do método de

comprimento de arco cilíndrico ........................................................................ 42

4.1.3 Métodos de comprimento de arco linearizados .................................. 44

4.1.4 Tamanho do comprimento de arco ...................................................... 45

viii

5. EXEMPLOS NUMÉRICOS ...................................................................... 46

5.1 TRELIÇA PLANA .................................................................................... 47

5.1.1 Exemplo 1 ............................................................................................... 47

5.1.2 Exemplo 2 ............................................................................................... 49

5.2 PÓRTICO PLANO ................................................................................... 51

5.2.1 Exemplo1 ................................................................................................ 51

5.2.2 Exemplo 2 ............................................................................................... 53

5.2.3 Exemplo 3 ............................................................................................... 56

5.2.4 Exemplo 4 ............................................................................................... 57

5.2.5 Viga Engastada-Livre ............................................................................ 59

5.3 GRELHA PLANA .................................................................................... 61

5.3.1 Exemplo 1 ............................................................................................... 61

5.4 PÓRTICO ESPACIAL ............................................................................. 63

5.4.1 Exemplo 1 ............................................................................................... 63

5.5 EXEMPLOS NO ANSYS ......................................................................... 66

5.5.1 Viga Engastada-Engastada com carga no centro do vão .................. 67

5.5.2 Viga Engastada-Livre ............................................................................ 69

6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES ............................................................. 73

6.1 CONCLUSÕES GERAIS ......................................................................... 73

6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ...................................... 74

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 76

ANEXO A ............................................................................................................. 79

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Elemento de viga com região escoada e rótula plástica, Ueda e Fujikubo (1990)

............................................................................................................................................. 15

Figura 2.2 Constante de Endurecimento isotrópico............................................................. 16

Figura 2.3 Método de rótula plástica ................................................................................... 17

Figura 3.1 Algoritmo para uma rótula plástica .................................................................... 27

Figura 3.2 Algoritmo para duas rótulas plásticas ................................................................ 29

Figura 4.1 Método de comprimento de arco esférico e notação para um sistema com um

grau de liberdade (ψ=1) (Crisfield, 1991) ........................................................................... 41

Figura 5.1 Geometria e carregamento ................................................................................. 48

Figura 5.2 Malha de elementos finitos ................................................................................ 48

Figura 5.3 Formação das rótulas plásticas ........................................................................... 48

Figura 5.4 Resposta do ciclo de carga-descarga .................................................................. 49


Figura 5.6 Malha de elementos finitos ................................................................................ 50

Figura 5.7 Formação das rótulas plásticas ........................................................................... 50

Figura 5.8 Resposta do processo de carregamento .............................................................. 51


Figura 5.10 Malha de elementos finitos .............................................................................. 52

Figura 5.11 Formação das rótulas plásticas ......................................................................... 52

Figura 5.12 Resposta para o ciclo de carga-descarga. ......................................................... 53

Figura 5.13 Geometria e carregamento ............................................................................... 54



Figura 5.16 Resposta do ciclo de carga-descarga ................................................................ 55




Figura 5.20 Resposta do processo de carregamento ............................................................ 57




x




Figura 5.27 Formação da rótula plástica ............................................................................. 60





Figura 5.32 Resposta do ciclo de carga-descarga ................................................................ 63




Figura 5.36 Resposta do ciclo carga-descarga..................................................................... 65

Figura 5.37 Modelo de endurecimento isotrópico. (ANSYS). ............................................ 66

Figura 5.38 Elemento SOLID186, da Biblioteca (ANSYS) ................................................ 67




Figura 5.42 Configuração deformada ANSYS .................................................................... 69

Figura 5.43 Resposta para o processo de carregamento ...................................................... 69



Figura 5.46 Formação da rótula plástica ............................................................................. 70

Figura 5.47 Configuração deformada ANSYS .................................................................... 71

Figura 5.48 Tensões equivalentes, Von Mises .................................................................... 71

Figura 5.49 Resposta para o processo de carregamento ...................................................... 72

Figura A.0.1 Sistema de coordenadas locais e globais da treliça plana. ............................. 79

Figura A.0.2 Sistema de coordenadas locais da treliça espacial. ........................................ 81

Figura A.0.3 Sistema de coordenadas locais e globais do pórtico plano............................. 83

Figura A.0.4 Sistema de coordenadas locais grelha plana. ................................................. 84

Figura A.0.5 Sistema de coordenadas locais do pórtico espacial. ....................................... 86

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 5-1 Propriedades dos elementos .............................................................................. 47









Tabela 5-10 Propriedades dos elementos ............................................................................ 68

Tabela 5-11 Propriedades dos elementos. ........................................................................... 70

xii

LISTA DE SÍMBOLOS

E Módulo de elasticidade

Fx Força axial

Fy, Fz Força cortantes

Fxp Força axial de plastificação

Fyp, Fzp Forças cortantes de plastificação

Vetor de forças

Vetor de força generalizado

Vetor de forças preditor elástico de partida

Equação de equilíbrio do sistema

Superfície de escoamento do nó 1

Superfície de escoamento do nó 1

Vetor de fluxo plástico do nó 1

Vetor de fluxo plástico do nó 2

Taxa do vetor de fluxo plástico do nó 1

Taxa do vetor de fluxo plástico do nó 2

G Módulo de cisalhamento

Constante de endurecimento isotrópico

Iterações requeridas para convergência

Iterações desejadas para convergência

Matriz de rigidez elástica

Matriz de rigidez tangente

Matriz de rigidez elastoplástica

Matriz de rigidez elastoplástica consistente algorítmica

lip Comprimento da região escoada dos elementos

Mi Vetor de momento fletor no nó i

Mx Momento torçor

My, Mz Momentos fletores

Mxp Momento torçor de plastificação

Myp, Mzp Momentos fletores de plastificação

xiii

Ni Vetor de força axial no nó i

P Deslocamentos

Qi Vetor de força cortante no nó i

qi Forças internas

qef Vetor fixo de força externa

Vetor de forças residuais

Matriz de redução de rigidez

S Comprimento de arco

sgn(x) Denota o sinal de x

Vetor de deslocamentos

Vetor de deslocamentos elásticos

Vetor de deslocamentos plásticos

Taxa do vetor de deslocamentos plásticos

Trabalho plástico acumulado

xo Denota um valor inicial de x

Κ Constante de endurecimento

Superfície de escoamento

Taxa da superfície de escoamento

Λ Parâmetro do nível de carga

Multiplicador plástico

Multiplicador plástico do nó 1

Multiplicador plástico do nó 2

Denota a variação de x

Ψ Parâmetro que define o comprimento de arco

1

1. INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÃO

Atualmente existe uma tendência, nos códigos de projeto, de se incorporar os efeitos das não

linearidades nas análises estruturais, e um esforço considerável no desenvolvimento de

técnicas numéricas para a solução desse tipo de problemas. Com o intuito de obter um melhor

aproveitamento da capacidade de resistência dos materiais, isso, pelos constantes nos

materiais usados na construção civil, e nas ferramentas computacionais usadas no cálculo.No

projeto das estruturas é usual que a análise estrutural seja feita levando em conta só o

comportamento em estado elástico dos materiais, ignorando, assim, o aporte quando os

materiais estão trabalhando em regime plástico, sendo esse aporte ainda mais importante nas

estruturas metálicas por terem um comportamento dúctil.

Os materiais comportam-se de modos muito complexos, e não é viável escrever um conjunto

de equações que descrevam o desempenho do material de modo exato. Então, são formuladas

equações que descrevem diferentes tipos ideais de resposta do material. Resulta o estudo do

comportamento não linear dos materiais, devido às deformações de segunda ordem (não

linearidade geométrica) ou pelo fato dos materiais possuírem leis constitutivas não lineares

(não linearidade física) Nesse sentido, o presente trabalho concentra-se no comportamento

não linear dos materiais.

A teoria da plasticidade foi desenvolvida a partir de 1930. Fundamentou-se inicialmente, no

estudo de metais. Nasceu da necessidade de estudar outros tipos de equações constitutivas que

permitissem determinar os estados últimos e de ruptura, a modelagem de deformações não

recuperáveis, variações no comportamento dos materiais, entre outras questões.

O comportamento elástico dos materiais depende simplesmente da deformação atual e não da

história das deformações, ao contrário do comportamento elastoplástico. Por isso, variáveis

adicionais conhecidas como variáveis internas são introduzidas com a finalidade de

representar o efeito da história das deformações no material. Em plasticidade não existe uma

relação única entre o estado de tensões e o estado de deformações . Então, as relações

2

constitutivas para o comportamento elastoplástico devem ser de natureza incremental, ou seja,

para uma deformação dada, o estado de tensão correspondente é obtido pela integração das

relações constitutivas e o resultado irá depender da história do carregamento.

As variáveis internas podem estar relacionadas ao comportamento microscópico do material,

responsável pelo desempenho e resposta no regime plástico. Porém, desenvolver as relações

entre as variações desses parâmetros e as deformações plásticas, na prática, pode-se tornar

uma tarefa que não é sempre possível. Assim, é usual em modelos constitutivos que variáveis

que representem o endurecimento, tamanho, forma e posição da superfície de escoamento

sejam desenvolvidas como as variáveis internas do material.

O método de rótula plástica, conceito fundamental deste trabalho, nasce no final da década de

1960 como uma abstração matemática, pois implica deformações infinitas, o que permite

simplificar as análises elastoplásticas de diferentes elementos finitos. O método considera que

todas as deformações plásticas são concentradas em regiões plásticas, de comprimentos nulos,

e localizados nos extremos dos elementos, enquanto o resto do elemento, entre os dois nós,

está em regime elástico. O conceito é computacionalmente conveniente e pode ser preciso o

suficiente para muitas aplicações práticas.

Atualmente o método é amplamente utilizado em projetos estruturais. Por meio do software

SAP2000, por exemplo, podem ser inseridas rótulas plásticas em qualquer número de

posições ao longo da estrutura. Cada rótula representa o comportamento do elemento após o

patamar de escoamento, concentrado na posição da rótula.

Por outro lado, são estudadas as propriedades e o comportamento das estruturas metálicas,

porque elas representam um dos mais importantes sistemas construtivos utilizados, por ser um

material de alta resistência nos diversos estados de tensão, ademais da possibilidade de

construir estruturas mais leves, com maior velocidade construtiva e limpeza.

Finalmente, levando em consideração que os materiais, por várias razões, não satisfazem às

equações baseadas na teoria da elasticidade, daí que esta só pode ser usada com aproximação,

dentro de determinadas faixas de cargas. Fora desses limites e para cargas próximas ao

colapso da estrutura, os estados de solicitações nos membros que a compõem irão obedecer

3

leis diferentes, que estão dentro do campo da plasticidade ou da elastoplasticidade. Pretende-

se, com esta pesquisa, obter uma modelagem mais próxima da realidade de alguns tipos de

estruturas metálicas simples.

Para a integração do modelo constitutivo, será utilizado o algoritmo de retorno radial, testado

por Silva e Bezerra (2010) com diferentes superfícies de escoamento, notando que o

algoritmo proposto fornece uma forma de manter o vetor de força generalizado sempre na

superfície de escoamento ou dentro dela e que o uso da matriz modular tangente "consistente"

é fundamental para obter a taxa quadrática de convergência, com o método de Newton-

Raphson.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo geral

Esta pesquisa tem como objetivo geral realizar uma análise não linear de primeira ordem,

partindo-se do trabalho de Silva e Bezerra (2010) em estruturas metálicas reticuladas,

planas e espaciais, por meio da utilização do conceito de rótula plástica e o algoritmo de

retorno radial, introduzindo e avaliando o efeito de endurecimento isotrópico nas

estruturas analisadas, por meio da elaboração de um programa em código aberto, que

poderá ser utilizado com fins de ensino.

1.2.2 Objetivos específicos

Realizar uma rotina de aplicação prática no software MATLAB para uma análise

elastoplástica de primeira ordem, implementando um modelo e critério de ruptura que

considere a plasticidade num programa de análise.

Realizar uma análise de elementos de treliça e pórticos em duas e três dimensões, e de

elementos de grelha plana e determinar a capacidade portante das diferentes tipologias

estruturais.

4

Validar a formulação proposta, comparando as soluções numéricas obtidas com

exemplos encontrados na literatura.

1.3 METODOLOGIA

Inicialmente, será realizada uma análise estrutural elástica por elementos finitos de estruturas,

que podem ser discretizadas por elementos finitos de treliça, pórticos ou por elementos de

grelha plana, como passo inicial da rotina programada em MATLAB.

Em seguida, é feito um estudo para a solução da não linearidade física, empregando técnica

iterativa, baseada no método de Newton-Raphson. A matriz de rigidez tangente será calculada

no começo de cada passo de carga e é mantida constante durante as iterações para atingir o

equilíbrio. Para determinar pontos da trajetória não linear de equilíbrio, além de um ponto

limite, será utilizada a técnica do comprimento de arco.

Com base na rotina desenvolvida, é introduzido o regime plástico na análise por meio do

conceito de rótula plástica, via a superfície de escoamento que define a capacidade portante

última da seção. As deformações plásticas estarão confinadas às seções nos extremos dos

elementos. Na simulação numérica, utiliza-se o algoritmo de retorno radial, podendo ocorrer

uma ou duas rótulas plásticas no elemento.

Finalmente, para verificar a coerência da implementação dos métodos e algoritmos estudados

e implementados numericamente, apresentam-se diversos exemplos numéricos extraídos da

literatura para demonstrar a eficácia do algoritmo de retorno radial na análise elastoplástica de

estruturas metálicas reticuladas.

1.4 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

Esta dissertação está dividida em seis capítulos, e os assuntos de cada capítulo são brevemente

descritos a seguir:

O Capítulo 1 apresenta introdução ao tema e contextualização ao assunto estudado,

assim como os objetivos gerais e específicos do trabalho.

5

O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica e a descrição analítica da utilização do

conceito de rótula plástica para simular o comportamento elastoplástico em um

elemento de barra.

O Capítulo 3 apresenta a formulação do método de integração para o modelo

constitutivo assumido no trabalho.

No Capítulo 4, é apresentado brevemente o método de solução das equações não

lineares.

No Capítulo 5, são apresentados diversos exemplos numéricos para avaliar a

efetividade dos métodos empregados.

No Capítulo 6, são apresentadas as conclusões da pesquisa e também algumas

sugestões para investigações futuras na área.

6

2. RÓTULA PLÁSTICA

As aplicações de conceitos plásticos a projetos estruturais começaram em 1914, com a

primeira publicação do húngaro Gabor Kazinczy, que introduziu o conceito fundamental de

rótula plástica.

Por meio de estudos experimentais de vigas engastadas nos extremos, com carga

uniformemente distribuída, foi percebido que as primeiras fissuras aparecem nos extremos,

indicando o limite elástico nesses pontos, porém, as vigas podiam resistir a cargas adicionais.

Durante a descarga percebeu-se que as vigas apresentam deformações permanentes nos

extremos e no centro do vão. Kazinczy chamou essas deformações de rótulas.

A teoria plástica básica está relacionada com a redistribuição das tensões em uma estrutura,

depois de que em certos pontos desta se atinge a tensão de escoamento. Segundo a teoria

plástica, aquelas partes da estrutura que alcançam a tensão de escoamento não podem resistir

a tensões adicionais, mas deformarão o suficiente para permitir que essas tensões sejam

transmitidas às outras partes da estrutura em que as tensões são menores que a tensão de

escoamento e são capazes de absorver tensões adicionais.

Existem, em geral, dois métodos para descrever o comportamento não linear dos materiais, o

primeiro, chamado de plasticidade por camadas, consiste em aplicar a condição de

plasticidade em termos das tensões a cada uma das camadas da seção. No outro, as equações

constitutivas são formuladas em termos das tensões resultantes e das deformações

generalizadas. Assim a integração por meio da espessura não é necessária, o que reduz

significativamente o tempo e a capacidade computacional.

2.1 CONCEITO DE RÓTULA PLÁSTICA

A utilização do conceito de rótula plástica nas análises elastoplásticas foi introduzida por

Ueda et al. (1968, 1969a, 1969b), que desenvolveram um mecanismo para uma análise

elastoplástica de estruturas aporticadas, baseado na teoria incremental da plasticidade.

7

Aplicando o conceito de rótula plástica, as equações constitutivas são formuladas em termos

dos esforços resultantes e das deformações generalizadas. Todos os deslocamentos plásticos

são concentrados em regiões plásticas, de comprimentos nulos, e localizados nos extremos

dos elementos.

Esse método se baseia nos princípios básicos da teoria da plasticidade. A existência de uma

superfície de interação dos esforços internos agindo na seção transversal, que define a

capacidade portante última da seção. Definição de uma regra de fluxo plástico proporcional

ao gradiente da superfície de interação adotada, sendo que o fluxo plástico determina a

evolução dos deslocamentos plásticos. Adota-se uma lei para o endurecimento isotrópico da

superfície de interação.

Para análises elastoplásticas de primeira ordem, existem deslocamentos elásticos

(recuperáveis) e plásticos (não recuperáveis). O deslocamento total é a soma de ambos.

Segundo Ueda e Fujikubo (1990), com a definição do critério de escoamento como uma

função em termos dos esforços resultantes, os deslocamentos plásticos, associados com cada

componente dos esforços resultantes, podem ser definidos conforme a lei de fluxo. O método

foi estendido ao método do nó plástico, que pode ser aplicado a elementos finitos de qualquer

forma geométrica.

A seguir se apresenta uma breve descrição de alguns trabalhos encontrados na literatura, em

que é utilizado o método das rótulas plásticas junto com procedimentos incrementais –

iterativos para análises elastoplásticas.

Argyris (1982) expõe uma análise de grandes deformações, com ênfase na análise passo a

passo do comportamento não linear, utilizando a matriz de rigidez elástica quando não seja

atingida nenhuma condição limite, e a matriz de rigidez elastoplástica quando uma zona

plástica seja desenvolvida. As zonas de plastificação são definidas por superfícies de interação

plástica, considerando que estas dependem fortemente das propriedades geométricas da seção

transversal. O documento faz uma comparação entre a técnica e o modelo de plasticidade em

camadas.

8

Nee e Haldar (1988) apresentam uma análise usando o conceito de rótula plástica para o

estudo do comportamento de flambagem em estruturas espaciais, verificando, com diversos

exemplos, que o método é extremamente eficiente e, igualmente, é muito econômico em

comparação com outros métodos em termos de tempo requerido pelas ferramentas

computacionais para resolver o problema.

Orbison e McGuire (1982) desenvolveram um programa que trata as não linearidades

geométricas e do material. A formação de rótulas plásticas, a interação das forças nos

elementos na rótula e descarregamento elástico são levados em consideração para a

modelagem do comportamento inelástico em estruturas de aço.

Shi e Atluri (1988), tratam a análise elastoplástica de grandes deformações de pórticos

espaciais sobre cargas que podem ser não conservativas. Ueda e Yao (1982) fazem uma

análise de placas e sólidos, na qual o nó torna-se plástico quando as tensões resultantes

satisfazem a condição de plasticidade apropriada. Nesse sentido, são desenvolvidas

deformações plásticas apenas nos nós. Assim, os autores chamam este método como o

Método do nó plástico.

2.2 SUPERFÍCIE DE INTERAÇÃO

Um elemento fundamental na teoria da plasticidade é a existência de um domínio que

determina o comportamento elástico inicial dos materiais, isto é, os materiais têm um limite

dentro do qual eles respondem a uma forma puramente elástica. A fronteira dessa região, seja

no campo de tensões ou deformações, é denominada superfície de escoamento. O tamanho da

superfície depende do tipo de material e da história de carregamento.

No presente trabalho, a superfície de escoamento é uma função de interação, que depende

principalmente da combinação dos esforços resultantes que atuam na seção transversal, assim,

como da geometria da seção transversal e alguns outros fatores que separa no espaço de

esforços resultantes aquelas combinações que conduzem a comportamentos do tipo elástico

ou comportamentos do tipo plástico, e que permite visualizar o conjunto de tensões possíveis

ou admissíveis do material.

9

É aplicada a condição de consistência da superfície de interação, que se refere a que o estado

de tensões deve permanecer dentro ou na superfície. Quando o elemento encontra-se no

regime plástico, pode ocorrer que o estado de tensões se afaste da superfície de interação

então, esta pode mudar seu tamanho, forma ou posição, de tal maneira que o estado atual de

tensões continue na superfície.

Existem na literatura diferentes tipos de equações que definem a superfície de escoamento,

para diversos tipos de materiais, que tentam ser uma boa aproximação da superfície real. O

fato de que sejam contínuas, convexas e suaves proporciona uma implementação

computacional eficiente. Zyczkowski (1966) apresenta uma breve descrição de cerca de

quatrocentos tipos de enfoques, alguns deles teóricos e outros experimentais de barras, tubos,

placas e cascas.

No método proposto é assumida uma superfície de interação como uma função contínua e

convexa, que se aplica a una seção transversal arbitraria, definida pela equação (2.1) proposta

por Silva e Bezerra (2010). Na equação (2.1) é considerado um elemento de pórtico espacial,

mas a função dependerá do elemento utilizado na discretização da estrutura.

(2.1)

Os esforços que atuam na seção são: axial (Fx), cortantes (Fy e Fz), momento torçor (Mx) e

momentos fletores (My e Mz); e conformam o vetor de forças no nó:

(2.2)

Os momentos de plastificação, em função da geometria da seção transversal, que definem a

capacidade portante última são: axial (Fxp), cortantes (Fyp e Fzp), momento torçor (Mxp) e

momentos fletores (Myp e Mzp).

10

Os valores de αi dependem da geometria da seção transversal, sendo sempre constantes

positivas. Nas modelagens realizadas, essas constantes carecem de sentido físico, mas são

calibradas no momento da simulação, dependendo da seção transversal utilizada.

Alguns outros autores desenvolveram expressões para a superfície de interação e deram

valores às constantes αi, por exemplo por meio de aproximações com métodos como o de

mínimos quadrados (Orbison,1982). Vieira (2013) utiliza o modelo de regressão linear

múltipla, que permite tratar esforços resultantes de várias análises para obter uma superfície

de interação com esforços combinados. Também existem expressões para a formulação de

superfícies de interação nos códigos de normas de projeto.

2.2.1 Fluxo plástico

A definição da superfície de interação junto com o critério de escoamento adotado estabelece

as condições em que os deslocamentos plásticos podem ocorrer. O vetor de fluxo plástico , é

obtido a partir de um potencial plástico, definido na equação (2.3). Nesse caso por se tratar de

estruturas metálicas, o potencial plástico é definido em relação à superfície de interação.

(2.3)

Em que, é o vetor de esforços resultantes na seção transversal.

A evolução dos deslocamentos plásticos é definida pelo produto entre o vetor de fluxo

plástico e o multiplicador plástico , este é um valor não negativo que satisfaz a condição

de complementaridade definida pela equação (2.4).

(2.4)

A equação anterior implica que os deslocamentos plásticos não se desenvolvem dentro do

domínio elástico, o fluxo plástico pode ocorrer apenas quando o nível de tensões é tal que é

atingida a condição de escoamento, e então ocorre a formação da rótula plástica i.e. ,

então .

11

Também é definida a condição de consistência sob escoamento plástico ( , pela equação

(2.5).

(2.5)

Por outro lado, o vetor de deslocamentos locais no nó , calcula-se como a soma dos

deslocamentos elásticos , e plásticos

:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Assim, a taxa do vetor de deslocamentos plásticos é calculada como:

(2.9)

2.2.2 Derivadas de primeira ordem da superfície de interação

Em relação à equação (2.1), obtêm-se as derivadas de primeira ordem da superfície de

interação para o cálculo do potencial plástico. Em que

é o sinal das

componentes do vetor de forças nodais. As equações (2.10) serão coletadas em vetores na

implementação numérica a fim de obter uma forma mais compacta.

(2.10a)

(2.10b)

12

(2.10c)

(2.10d)

(2.10e)

(2.10f)

2.2.3 Derivadas de segunda ordem da superfície de interação

Para a implementação numérica do algoritmo de retorno radial devem ser avaliados os

gradientes do potencial plástico, que são calculados pela diferenciação de cada uma das

equações (2.10) como se mostra a seguir.

(2.11a)

;

(2.11b)

(2.11c)

(2.11d)

;

;

;

;

(2.11e)

(2.11f)

;

;

;

;

(2.11g)

(2.11h)

13

;

;

;

;

(2.11i)

(2.11j)

(2.11k)

;

;

;

(2.11l)

(2.11m)

(2.11n)

;

;

;

(2.11o)

(2.11p)

As equações (2.11) serão coletadas em forma matricial para obter as matrizes que contêm o

gradiente do fluxo de potencial plástico nos extremos dos elementos.

2.2.4 Endurecimento isotrópico

Nos materiais que apresentam endurecimento, ao contrário do comportamento elástico

perfeitamente plástico, a forma e tamanho da superfície de interação é afetada pela história

completa dos deslocamentos plásticos. O endurecimento isotrópico introduzido por Hill

(1950) assume que a forma e a posição da superfície de escoamento permanecem fixas

enquanto o tamanho muda.

Uma formulação matemática do endurecimento isotrópico assume que as deformações

plásticas afetam a condição de escoamento, independentemente da direção da aplicação das

14

tensões, a superfície de escoamento se expande ou se contrai uniformemente, sem mudança na

forma. A quantidade de endurecimento é dada pelo estado final das deformações plásticas.

Uma taxa de endurecimento isotrópico para o deslocamento em um determinado ponto, ou em

uma seção do elemento, não pode ser diretamente utilizada no método com rótula plástica.

Então, deve-se desenvolver um método para concentrar os efeitos do endurecimento

isotrópico nos nós.

Entre os autores que têm introduzido o endurecimento isotrópico na análise elastoplástica com

rótulas plásticas, estão, por exemplo, Ueda e Fujikubo (1990), em que o trabalho da rótula

plástica associado ao nó i do elemento deve ser igual ao trabalho

da região real

escoada ( .

(2.12)

(2.13)

Sendo uma medida da magnitude do deslocamento plástico no nó i, é o vetor

diferencial da função de escoamento com respeito ao vetor de forças nodais . Então, é

calculado um parâmetro para converter o efeito do endurecimento na região escoada,

realmente se espalhando no elemento, dentro do efeito no deslocamento nodal plástico.

(2.14)

O valor de é calculado por meio de parâmetros que representam a taxa de endurecimento

na seção, a taxa do endurecimento nodal do ponto i, da função da distribuição das

deformações plásticas é do módulo de endurecimento do material H.

Quando é considerado o efeito do endurecimento do material na evolução das deformações

plásticas, por meio do método dos elementos finitos, este é considerado como distribuído

sobre a região escoada do elemento, e então, a matriz de rigidez elastoplástica é derivada

introduzindo a taxa de endurecimento à relação tensão – deformação no ponto escoado.

Por outro lado, no método com rótula plástica, a rigidez de um elemento é calculada

concentrando as deformações plásticas nos nós, e para um elemento com um nó i escoado

15

(Figura 2.1), devido ao endurecimento, a região escoada estende-se não só na seção

transversal do nó i, mas também sobre o comprimento do elemento. Faz-se necessário estimar

a região escoada real no elemento e concentrar os efeitos do endurecimento no nó.

Figura 2.1 Elemento de viga com região escoada e rótula plástica, Ueda e Fujikubo (1990)

Com o intuito de aumentar o tamanho da superfície de interação no processo de carregamento

e na evolução dos deslocamentos plásticos, para assim estender a teoria básica do método de

rotula plástica e considerar os efeitos do endurecimento no material, calcula-se a constante κ,

definida pela equação (2.15).

(2.15)

O valor de κ foi determinado com base na análise das dimensões da função de interação e do

multiplicador plástico. Essa constante depende do módulo de endurecimento H, definido pela

equação (2.16) e ilustrado na Figura 2.2, e das propriedades geométricas da seção transversal.

(2.16)

16

Figura 2.2 Constante de Endurecimento isotrópico

Sendo, A a área transversal do elemento, o comprimento da barra e , e a inércia na

seção transversal respeito aos eixos x, y e z respectivamente.

No estudo de exemplos numéricos, observou-se que introduzindo a constante κ multiplicada

pelo multiplicador plástico em cada uma das iterações nos incrementos de carga, o tamanho

da superfície de interação aumenta, o que se traduz em aumento da capacidade na evolução

dos deslocamentos plásticos.

Porém comparando os resultados obtidos com os encontrados na literatura e os fornecidos

pelo software ANSYS, os valores obtidos para os fatores de carga são menores. Isso por que a

metodologia proposta, utilizando-se o conceito de rótula plástica, não leva em consideração a

região escoada real do elemento.

É introduzido um coeficiente ω para ajustar o módulo de endurecimento H, pois, o valor

numérico do módulo H é obtido da curva tensão vs. deformação do material, e com o método

de rótula plástica, ele será usado no campo dos esforços resultantes.O valor de ω, é obtido

neste trabalho por meio da calibração do programa mediante a comparação dos resultados

com os encontrados na literatura. Analiticamente pode ser ilustrada mediante a equivalência

do trabalho plástico da região escoada e o trabalho realizado pela rótula plástica (Figura 2.3).

Et

E1

1y

y

H1

y

y

p

17

Figura 2.3 Método de rótula plástica

(2.17)

↓

Finalmente, a superfície de interação utilizada no desenvolvimento da rotina, adotando-se

uma lei para o endurecimento isotrópico será:

(2.18)

Em que a evolução da variável dependerá do multiplicador plástico, ou seja:

(2.19)

2.3 MULTIPLICADOR PLÁSTICO

O multiplicador plástico é o valor que define a magnitude da evolução dos deslocamentos

plásticos. Considerando-se, por exemplo, a formação de uma rótula plástica no nó 1 do

elemento de viga, a superfície de interação no nó será:

18

(2.20)

Aplica-se a condição de consistência assim como definida pela equação (2.5), como o

multiplicador plástico ;

(2.21)

Onde:

(2.22)

Assim a condição de consistência fica como:

(2.23)

Dado que os deslocamentos estão compostos pela soma dos deslocamentos elásticos e

plásticos, o aumento do vetor de forças pode ser calculado como sendo o aumento dos

deslocamentos elásticos multiplicados pela matriz de rigidez elástica do elemento. Assim:

(2.24)

E, como por sua vez, os deslocamentos plásticos se obtêm com a magnitude do multiplicador

plástico multiplicado pelo vetor de fluxo plástico, tem-se:

19

(2.25)

Substituindo a equação anterior em (2.23):

(2.26)

É possível calcular o valor do multiplicador plástico λ1, como;

(2.27)

Quando ocorre a formação de duas rótulas plásticas, um procedimento análogo é utilizado

para o cálculo dos multiplicadores plásticos. Os quais definirão a magnitude dos

deslocamentos plásticos nos nós 1 e 2.

As superfícies de interação nos nós 1 e 2 do elemento de viga serão respectivamente:

(2.28a)

(2.28b)

Aplica-se de novo a condição de consistência para a derivada da função de escoamento:

(2.29)

20

Em que, é uma matriz que contém os vetores de fluxo plástico em cada um dos nós do

elemento, é um vetor com as derivadas da superfície de interação, e é um vetor que

contém os valores dos multiplicadores plásticos, definidos pelas seguintes equações :

(2.30)

(2.31)

, (2.32)

E 0 é um vetor de seis colunas com elementos nulos.Também é definida a matriz que

contém a constante de endurecimento como:

(2.33)

Idêntico ao procedimento descrito para a formação de uma rótula plástica, e como os

deslocamentos estão compostos pela soma dos deslocamentos elásticos e plásticos, o

incremento do vetor de forças pode ser escrito como:

(2.34)

A evolução das variáveis internas são escritas agora como:

(2.35)

Substituindo a equação anterior no vetor de forças nodais, obtém-se que:

(2.36)

21

Assim a condição de consistência é escrita como:

(2.37)

Finalmente, com as equações anteriores é possível calcular os valores dos multiplicadores

plásticos:

(2.38)

2.4 MATRIZ DE RIGIDEZ ELASTOPLÁSTICA

Uma vez que em um ou ambos nós do elemento o estado de tensão é igual o superior à

capacidade portante última da seção, ocorre a formação de uma ou duas rótulas plásticas

respectivamente. Por conseguinte, é necessário o cálculo de uma expressão para a matriz de

rigidez elastoplástica para modificar as relações força vs. deslocamento.

Para o caso da formação de uma rótula plástica. Substituindo-se o valor do multiplicador

plástico calculado em (2.27) na equação (2.25);

(2.39)

Pode-se calcular a matriz de rigidez elastoplástica como:

(2.40)

Substituindo os valores obtidos na equação (2.38) para os multiplicadores plásticos na

equação (2.36), tem-se que;

(2.47)

22

Da equação anterior pode ser obtida a expressão para a matriz de rigidez elastoplástica, no

caso da formação de duas rótulas plásticas:

(2.48)

23

3. ALGORITMO DE RETORNO RADIAL

Como parte fundamental numa análise elastoplástica, tem-se a avaliação nos incrementos das

tensões para um dado incremento no vetor de deformações. Deve-se calcular a matriz

tangente do material para a implementação do método de Newton-Raphson. Para análises

elásticas, a derivação da matriz pode resultar uma tarefa trivial, porém, métodos numéricos de

integração das relações constitutivas podem ser utilizados no caso de análise elastoplástica.

O problema é então, para os valores das tensões, os incrementos nas deformações e as

variáveis internas, no incremento atual n. Encontrar para o incremento n+1, os valores da

matriz tangente, ou operador de rigidez tangente, assim como as tensões e as variáveis

internas do material

A maior parte dos métodos de cálculo, desviam as tensões finais da superfície de escoamento,

pelo que o método de integração utilizado deve trazer de volta as tensões à superfície. O

método clássico para a consecução desse objetivo é o algoritmo de retorno radial introduzido

por Wilkins (1964).

Uma categoria de algoritmos conhecida como algoritmo preditor/corretor elástico, dentro da

qual está o algoritmo de retorno radial, pode ser descrita como um processo de dois passos, no

primeiro, a resposta inelástica do material é mantida congelada. Depois o incremento da

deformação é aplicado como uma deformação elástica, e o incremento nas tensões é calculado

como um preditor elástico. No segundo passo, as tensões são trazidas de volta à superfície de

escoamento, o procedimento é conhecido como mapeamento de retorno, o que é equivalente a

encontrar a projeção ao ponto mais próximo da tensão de partida. Por essa razão o algoritmo é

também conhecido como o método ao ponto mais próximo, CPPM, por suas siglas em inglês

(closest point projection method).

Uma vez que o estado final de tensões é forçado a permanecer na superfície de escoamento, o

algoritmo aplica a consistência. A técnica utiliza o método Bacward Euler, método implícito

que permite passos grandes de carga, e que pelo uso de uma matriz tangente consistente,

aumenta significativamente a taxa de convergência. É chamado de consistente por que ele é

24

consistente com o algoritmo usado para calcular as tensões. A vantagem principal do método

é que, para a maioria das vezes, é estável e proporciona uma precisão satisfatória.

3.1 DERIVADAS DA SUPERFÍCIE DE INTERAÇÃO

Como foi mencionado no capítulo anterior, é assumida uma superfície de interação contínua e

convexa, já que para computar a matriz tangente consistente é necessário o cálculo de

gradientes da superfície. Essa função se aplica a uma seção transversal arbitrária, definida

pela equação (2.18), em relação aos esforços resultantes.

Para obter a função do potencial plástico em cada nó do elemento, são calculadas as derivadas

de primeira ordem da superfície de interação pelas equações (2.10). As derivadas são descritas

num arranjo que define o fluxo plástico nos nós do elemento durante o processo de

carregamento.

(3.1)

O gradiente do vetor de potencial plástico é obtido pela diferenciação de cada um dos

componentes dos vetores definidos em (3.1), assim resultam as equações (2.11). O gradiente

de fluxo plástico de cada um dos nós está definido pelas matrizes nas equações (3.2c):

25

(3.2a)

(3.2b)

(3.2c)

3.2 DESCRIÇÃO DO ALGORITMO DE RETORNO RADIAL

Assumindo a existência de um vetor de força generalizado no nó 1 fora da superfície de

interação, o algoritmo Backward Euler baseia-se na seguinte equação:

(3.3)

26

1 𝑗

𝑗

1

𝑗

1

Em que:

(3.4)

λ1>0 é o multiplicador plástico, Kij é a matriz de rigidez elástica do elemento, dUj é o

incremento no vetor de deslocamentos nodais Uj. Fitrial

é o vetor de forças nodais preditor

elástico de partida, é o vetor de fluxo plástico no nó 1 que estará definido pelos esforços

resultantes na seção transversal do nó 1, que estão fora de superfície de interação.

O termo é o corretor plástico utilizado para retornar o vetor de forças nodais à

superfície. é o vetor de forças nodais após a correção. Como geralmente o vetor preditor

não satisfaz a condição de escoamento, é necessário um procedimento iterativo para retornar o

vetor de forças à superfície de interação.

A Figura 3.1 mostra a representação geométrica do algoritmo para a formação de uma rótula

plástica, em que pode-se observar o vetor de forças do último passo de carga e Fitrial,

o

vetor preditor elástico que está fora da superfície. Portanto, começa o processo iterativo e são

calculados os corretores plásticos até atingir a condição de escoamento. Para a formação de

duas rótulas plásticas, aplica-se uma metodologia análoga, mas com dois vetores de retorno

como apresentado na Figura 3.2.

3.2.1 Algoritmo de retorno de vetor simples

Quando os esforços nodais seccionais saírem só de um nó do elemento, ocorre a formação de

uma rótula plástica no nó. É aplicado um algoritmo com um vetor de retorno.

Assumindo que no nó 1 do elemento não se satisfaz a condição de escoamento, o algoritmo

traz de volta o vetor de forças nodais à superfície. É definido um vetor de forças residuais

como:

(3.5)

27

Figura 3.1 Algoritmo para uma rótula plástica

O vetor de forças residuais representa a diferença entre o estado atual do vetor de forças

nodais e a força Backward Euler . O vetor preditor Fitrial

é mantido constante durante o

processo de iteração. É aplicada uma expansão em Séries de Taylor de primeira ordem na

equação (3.5) para obter uma expressão do vetor de forças residuais atualizado , em

termos do vetor de forças residuais anterior .

(3.6)

Nesse sentido, dFi é um incremento infinitesimal do vetor de forças generalizadas,Fi, dλ1 é a

variação do multiplicador plástico λ1, e o termo

é a mudança no vetor de

potencial plástico

. O objetivo será atingir a condição na qual representado

pela seguinte equação:

(3.7)

F1

PREDITOR

ELÁSTICO

F2

F1

F1trial

CORRETORES

PLÁSTICOS

NNp

MMp

SUPERFÍCIE DE

INTERAÇÃO

N

Q

M2

N

Q

M1

F1

28

Para determinar uma expressão do vetor corretor de forças dFi, é definida a seguinte matriz

auxiliar:

(3.8)

Considerando as equações anteriores e após algumas manipulações algébricas, é obtida uma

expressão para dFi, que é dada pela seguinte expressão:

(3.9)

É aplicada uma expansão de primeira ordem em Séries de Taylor da função de interação ,

em torno do vetor de forças nodais finais Fi.

(3.10)

Para que o vetor de forças atualizado esteja na superfície de interação, deve ser

.Com essa condição e com a equação (3.9), a variação do multiplicador plástico

é facilmente encontrada como:

(3.11)

Critério de convergência

O procedimento iterativo continua até que o critério de escoamento seja satisfeito no

estado final de força, o qual está representado pelas equações:

(3.12)

29

Em que rnorm

é a norma para o vetor de forças residuais. gnorm é definida como a norma

residual de escoamento. TOL é a tolerância adotada para convergência.

3.2.2 Algoritmo de retorno com dois vetores

No caso em que os esforços nodais seccionais, em ambos nós do elemento, saiam da

superfície de interação, ocorre a formação de duas rótulas plásticas, uma em cada nó. Pelo que

é aplicado um algoritmo com dois vetores de retorno. O algoritmo é utilizado para que os

vetores de forças nodais em ambos extremos do elemento, depois do incremento nos

deslocamentos, possam ser levados à superfície de interação.

Figura 3.2 Algoritmo para duas rótulas plásticas

A força Backward Euler, obtida com o algoritmo com dois vetores de retorno, pode ser

definida como:

(3.13)

F1

PREDITOR

ELÁSTICO

F2

F1

F2 PREDITORELÁSTICO

F2trial

F1trial

CORRETORES

PLÁSTICOS

CORRETORES

PLÁSTICOS

NNp

MMp

SUPERFÍCIE DE

INTERAÇÃO

N

Q

M2

N

Q

M1

F1

F2

30

Com λ1>0 e λ2>0.

O procedimento descrito para o algoritmo com um vetor de retorno é definido de maneira

similar ao vetor de forças residuais;

(3.14)

O vetor de forças residuais representa a diferencia entre o estado atual do vetor de forças

nodais e a força Backward Euler . Análogo ao procedimento anterior, o esforço preditor

Ftrial

é mantido constante durante o processo iterativo.

Uma expansão em Séries de Taylor de primeira ordem é aplicada à equação (3.14) para obter

uma expressão do vetor de forças residuais atualizado em termos do vetor de forças

residuais anterior ;

(3.15)

Impondo-se a condição na equação anterior, tem-se que:

(3.16)

Para determinar uma expressão do vetor corretor de forças dFi, é definida a seguinte matriz

auxiliar:

(3.17)

31

Considerando-se as equações (3.16) e (3.17), e após algumas manipulações algébricas para

resolver , segue-se que:

(3.18)

São desenvolvidas expansões em Séries de Taylor de primeira ordem às funções de interação

nos nós 1 e 2, e respectivamente. Essas séries geram aproximações lineares dos novos

valores das funções de interação e

, como:

(3.19)

Para que os vetores de forças atualizados estejam na superfície de interação, deve ser

e

. Utilizando a expressão para , tem-se que:

(3.20)

As duas equações anteriores formam um sistema 2x2 com e como variáveis, e

introduzindo algumas variáveis auxiliares, o sistema pode ser colocado na forma:

(3.21)

32

Utilizando-se a regra de Cramer para o sistema de equações, as variações dos multiplicadores

plásticos em ambos extremos do elemento são encontrados facilmente como:

(3.22)

As variáveis auxiliares estão definidas como:

(3.23)

Critério de convergência

O procedimento iterativo continua até que o critério de escoamento seja satisfeito no

estado final de força, o qual está representado pelas equações:

; e

(3.24)

3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ TANGENTE CONSISTENTE

O objetivo final na derivação do algoritmo Backward Euler, para a integração das equações

constitutivas, é o uso dos algoritmos com uma e duas rótulas plásticas em cálculos em

elementos finitos. Se as iterações com o método de Newton-Raphson são usadas para o

equilíbrio global, o uso da chamada matriz de rigidez elastoplástica tradicional,

coloca

em risco a taxa de convergência quadrática do procedimento iterativo.

33

Com o objetivo de preservar a taxa quadrática de convergência, pode ser derivada uma matriz

de rigidez consistente. No que se segue, são derivadas duas matrizes de rigidez consistentes,

cada uma para o algoritmo com uma ou duas rótulas plásticas respectivamente.

Uma vez são atingidos os critérios de convergência e os esforços seccionais são trazidos até a

superfície de interação, a matriz de rigidez tangente consistente é atualizada antes de começar

o próximo ciclo de carga.

3.3.1 Algoritmo de retorno de vetor simples

Iniciando-se pela equação Backward Euler, e considerando-se que o vetor está fora da

superfície de interação, e o vetor de forças nodais está na superfície de interação, no final

do processo iterativo, a equação (3.3) pode ser escrita como:

(3.25)

Com λ1>0 O termo representa o incremento elástico no vetor de forças

nodais de partida e está associado com o incremento no vetor de deslocamentos nodais . O

diferencial da equação (3.25) fornece a seguinte expressão:

(3.26)

A equação anterior pode ser escrita, para colocar o termo em evidência, após algumas

operações algébricas como:

(3.27)

Usando-se a matriz definida pela equação (3.8), e definindo-se a matriz de redução de

rigidez como , a equação anterior fica como:

34

(3.28)

A forma da equação anterior resulta similar à forma não consistente exceto pela mudança de

por . Uma vez que à posição final de forças cumpre a condição de

consistência, isto é; , diferenciando-se essa condição e substituindo o valor de

encontrado na equação (3.28), resulta:

→

(3.29)

Portanto, a variação no multiplicador plástico pode ser expressada como:

(3.30)

Finalmente, usando as equações (3.28) a (3.30), a matriz de rigidez elastoplástica consistente

com o método de integração utilizado, é determinada como:

(3.31)

3.3.2 Algoritmo de retorno com dois vetores

Análogo ao procedimento descrito para o algoritmo com uma rótula plástica, começando-se

pela equação do algoritmo Backward Euler, para o algoritmo com dois vetores de retorno,

pode-se escrever a seguinte expressão para o vetor de forças nodais no final do procedimento

iterativo:

35

(3.32)

Com λ1>0 e λ2>0. O diferencial da equação (3.32) fornece a seguinte expressão, utilizando-se

o vetor de forças nodais de partida definido pela equação (3.3);

(3.33)

E, após algumas operações algébricas, colocando-se o termo em evidência, chega-se a:

(3.34)

Usando-se a matriz como definida pela equação (3.17), e denotando-se a matriz de

redução plástica como , a equação anterior pode ser reescrita como:

(3.35)

Novamente, assumindo que a condição de consistência deve prender completamente ao ponto

final de forças, isto é: e . Diferenciando-se essas condições, e introduzindo-se a

expressão encontrada para pela equação (3.35), pode-se obter:

→

(3.36)

36

→

Ou coletando os termos algebricamente as equações (3.36) são transformadas em:

(3.37)

As equações anteriores formam um sistema de equações com e como variáveis,

introduzindo-se as variáveis auxiliares c1, c2, b11, b12, b21, b22, como:

(3.38)

Usando-se a regra de Cramer, o sistema anterior é resolvido para dλ1 e dλ2, como:

(3.39)

Ou alternativamente,

37

(3.40)

No caso em que algum dos multiplicadores plásticos seja negativo (dλ1<0 ou dλ2<0), o

multiplicador plástico será automaticamente definido como zero (dλ1=0 ou dλ2=0), o que

corresponde ao início de uma rótula plástica.

Novamente introduzindo-se novas variáveis auxiliares:

;

;

;

(3.41)

As equações que definem os multiplicadores plásticos podem ser escritas como:

(3.42)

Finalmente usando-se as equações (3.35) e (3.42), a matriz de rigidez elastoplástica

consistente, , para o método descrito é obtida pela seguinte expressão:

38

(3.43)

39

4. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES NÃO LINEARES

Análises estruturais que consideram grandes deslocamentos ou relações constitutivas fora do

escopo linear (materiais hiperelásticos, plásticos, viscoelásticos, etc.), ou ainda a alteração nas

condições de contorno, requerem a solução de sistemas de equações não lineares.

Até meados da década de setenta do século passado, os problemas com não linearidade em

estruturas eram solucionados por meio de métodos puramente incrementais sob controle de

carga. No entanto, métodos incrementais-iterativos foram desenvolvidos devido às

dificuldades dos métodos meramente incrementais, uma vez que estes têm a grande

desvantagem de poder desviar a solução da trajetória de equilíbrio, acumulando o erro

determinado pelo passo de carga. Para uma boa aproximação inicial à solução, e visando

obter-se uma resposta completa do sistema, a carga externa total é dividida em vários

incrementos (Menin, 2006).

Segundo Clarke (1990), a estratégia de solução incremental-iterativa, para problemas elásticos

não lineares, é idealmente adequada para a obtenção da resposta de carga vs. deflexão estática

de uma estrutura completa. Passos grandes de carga podem ser usados com a garantia de que

o total de equações de equilíbrio sempre pode ser satisfeito dentro de uma tolerância

especificada. No método incremental-iterativo, cada passo de carga consiste na aplicação de

um incremento de carga externa, e iterações subsequentes para restabelecer o equilíbrio.

O método de comprimento de arco foi introduzido por Riks (1972) para estruturas

geometricamente não lineares. As equações de equilíbrio são complementadas por uma

equação simples auxiliar. Assim, problemas governados pelo comportamento elástico da

estrutura, associado com a perda de estabilidade num ponto limite, podem ser calculados se o

problema é adequadamente formulado.

Rodrigues (2000) explica como a ideia básica desse método é tratar o parâmetro de carga

como uma variável adicional, controlando não o incremento do parâmetro de carga, nem o

incremento de uma determinada componente j do vetor de deslocamento, mas sim o

comprimento do vetor que une o ponto conhecido da trajetória ao incógnito desejado, ou seja,

a corda do arco da trajetória a ser determinada.

40

Segundo Crisfield (1991), os métodos de comprimento de arco se destinam a permitir que os

algoritmos de solução possam passar os pontos limites (cargas máximas e mínimas). O

método destaca-se pela versatilidade e a aplicabilidade na resolução de problemas na

engenharia estrutural.

4.1 MÉTODOS DE COMPRIMENTO DE ARCO

4.1.1 Método de controle de deslocamento

A equação de equilíbrio pode ser escrita como:

(4.1)

Sendo:

, Forças internas, função dos deslocamentos p.

Vetor fixo de força externa.

λ, Parâmetro do nível de carga.

A equação (4.1) define um estado de carregamento proporcional, em que o padrão de carga é

mantido fixo. Diversas formas de método de comprimento de arco têm como objetivo

encontrar a intersecção de (4.1) com o comprimento de arco s, definido por:

(4.2)

E,

(4.3)

O parâmetro ψ depende da escala adotada entre os termos de carga e os termos de

deslocamento. O problema é, então, resolver a equação:

41

(4.4)

No entanto, nessa aproximação é frequentemente muito difícil de limitar apropriadamente o

desvio do equilíbrio, então é usualmente utilizados métodos "preditor/corretor".

Nos métodos comprimento de arco, pode-se substituir efetivamente a forma diferencial de

(4.3) de forma incremental:

(4.5)

Em que é o raio da interseção desejada prefixado.

Figura 4.1 Método de comprimento de arco esférico e notação para um sistema com um grau

de liberdade (ψ=1) (Crisfield, 1991)

A essência principal dos métodos de comprimento de arco é que o parâmetro de carga λ torna-

se uma variável, então, junto com os n deslocamentos variáveis, têm-se em total n+1

variáveis. Para resolver essas incógnitas temos as n equações de equilíbrio de (4.1) e a

42

equação de restrição dada por (4.5). Na Figura 4.1 visualizam-se as aproximações da solução

situadas em uma esfera de raio .

Seguindo a Riks (1972 e 1979) e Wempner (1971), pode-se resolver o sistema de equações

por uma aplicação direta do método de Newton-Rapshon de (4.1) a (4.5). O método de

Newton-Rapshon fica melhor introduzido por meio de Séries de Taylor truncadas com o

subscrito n (Crisfield, 1991).

Das equações (4.1) a (4.5):

(4.6a)

(4.6b)

As equações (4.6a) e (4.6b) podem ser combinadas e escritas em forma matricial,

(4.7)

Equações (4.7) podem ser usadas diretamente para encontrar a variação e . Mas, ao

contrário de , a matriz aumentada em (4.7) não é nem simétrica ou em banda.

4.1.2 Método de comprimento de arco esférico e formulação do método de

comprimento de arco cilíndrico

Segundo Batoz e Dhatt (1979), em vez de resolver (4.7), é possível introduzir diretamente a

restrição de (4.6b) para o controle de deslocamento em um único ponto. Para esse fim, o

deslocamento iterativo é dividido em dois. Então, a mudança no novo nível de carga

desconhecido, torna-se:

(4.8)

Podendo trabalhar com qualquer das expressões, a forma final pode-se definir como:

43

(4.9)

é a variação iterativa do método padrão de carga controlada do Newton-Rapshon, no nível

de carga fixo , enquanto - deverá ser calculado do passo preditor inicial,

não muda nas iterações uma vez que é fixa. Depois de calcular de (4.9), os novos

deslocamentos incrementais são:

(4.10)

Sendo a única incógnita da equação. Através da restrição (4.5) que pode ser reescrita

como:

(4.11)

Substituindo (4.10) em (4.11), chegamos à equação quadrática escalar:

(4.12)

Em que:

(4.13a)

(4.13b)

(4.13c)

Resolvendo para , e com a equação (4.10) a mudança completa é determinada. Diversos

autores, incluindo Crisfield (1981) e Ramm (1981 e 1982), independentemente, concluíram

que para problemas práticos, o parâmetro tem pouco efeito sobre o processo e pode ser

zero. Como resultado, a restrição deverá ser considerada cilíndrica em vez de esférica.

Na formulação do método de comprimento de arco cilíndrico, são aplicadas as equações

(4.12) e (4.13) com .

(4.14a)

44

(4.14b)

(4.14c)

Para escolher a raiz apropriada de (4.13), as duas raízes são calculadas.

(4.15a)

(4.15b)

Em seguida, para descobrir qual é a mais próxima da direção incremental prévia, . O

ângulo mínimo entre e representa a direção indicada, o que é o cosseno máximo

dado por:

(4.16)

Em que:

(4.17a)

(4.17b)

O deslocamento final será:

(4.18)

4.1.3 Métodos de comprimento de arco linearizados

Da equação (4.18) pode-se escrever:

(4.19)

Sendo o valor anterior da incompatibilidade do comprimento de arco. Se temos o

método de Ramm (1981). Usando a equação (4.9), é possível obter a seguinte relação

linearizada para o fator de carga:

45

(4.20)

Predição de

A predição do incremento de carga pode ser obtida por:

(4.21)

Em que é a matriz de rigidez tangente no início do incremento. Substituindo-se em (4.11)

com ψ=0:

(4.22)

Segundo Crisfield (1981), s será igual a +1 quando for definida positiva, isto é:

(4.23)

4.1.4 Tamanho do comprimento de arco

Segundo Menin (2006), para a determinação do comprimento de arco, precisa-se considerar

que este deve ser tal que, em regiões com poucas não linearidades, ele seja grande e pequeno

no caso contrário.

Para a atualização do comprimento, Crisfield (1991) propõe:

(4.24)

Em que é o comprimento precedente para o qual iterações foram requeridas para

garantir a convergência e o número de iterações desejadas ( ).

46

5. EXEMPLOS NUMÉRICOS

Neste capítulo são apresentados e analisados diversos exemplos numéricos, com o objetivo de

comparar os resultados e avaliar a precisão e eficácia do método apresentado e descrito nos

capítulos anteriores. Os exemplos testam o desempenho global da estratégia de solução e o

desempenho local dos esquemas de integração Backward Euler.

Um método incremental iterativo baseado no método de Newton-Raphson, combinado com o

método de controle de comprimento de arco constante, é utilizado para a solução das

equações de equilíbrio não lineares.

Como “n” elementos podem compartilhar um nó comum, no caso de se desenvolver a rótula

plástica, esta será atribuída ao nó adequado do elemento em conformidade com a sucessão de

análise de elementos. Com o propósito de evitar singularidade na matriz de rigidez global, no

máximo (n-1) rótulas plásticas podem ser designadas ao nó comum.

Nos exemplos podem ser observados a geometria, o carregamento e a malha utilizada para

cada uma das estruturas analisadas, assim como as propriedades mecânicas do material, a

superfície de interação adotada para cada caso e a curva carga deslocamento obtida em cada

exemplo.

O leitor pode consultar os resultados obtidos por Silva e Bezerra (2010), para a análise de

convergência do algoritmo de retorno radial de diferentes estruturas estudadas e a

demonstração da convergência quadrática do método.

A discretização de cada um dos elementos e os graus de liberdade local e global podem ser

observadas no ANEXO A.

47

5.1 TRELIÇA PLANA

5.1.1 Exemplo 1

Neste exemplo é considerada uma estrutura de treliça plana, estaticamente indeterminada com

duas cargas concentradas aplicadas simetricamente. Na Figura 5.1 é apresentada a geometria e

o carregamento, na Figura 5.2 a malha utilizada, na Figura 5.3 é indicado por números o

desenvolvimento progressivo da formação das rótulas plásticas. E na Tabela 5-1, apresentam-

se as propriedades do material e a superfície de interação utilizada, que define a capacidade

portante última da seção transversal.

A estrutura foi analisada por Powell e Simons (1981), assumindo uma análise de pequenas

deformações, com a finalidade de descobrir algum tipo de dificuldade que possa ocorrer no

processo de descarregamento. Nesta pesquisa foi estudado o deslocamento vertical,

considerando um endurecimento do material na evolução dos deslocamentos plásticos, com

um módulo de endurecimento H de 0.02 vezes o módulo de elasticidade E. A resposta de

carga vs. deslocamento para o ciclo de carga-descarga é mostrado na Figura 5.4.

Na resposta carga vs. deslocamento mostrada pela Figura 5.4, é observado o deslocamento

vertical no nó 10 da malha para um ciclo de carga e descarga. O valor de ω igual a zero

implica um comportamento perfeitamente plástico dos elementos, pois, a superfície de

interação permanece inata em todo o processo. Para esse exemplo, introduzindo o valor de ω

igual a 2, é calculada a resposta elastoplástica, e se obtém resultados semelhantes aos dos

autores anteriores. Observou-se o aumento da capacidade portante do material depois de se

atingir o patamar de escoamento.

Tabela 5-1 Propriedades dos elementos

Elementos Diagonais Demais

EA (kN) 1x105 1x10

5

Np (kN) 65 61.1

48

Figura 5.1 Geometria e carregamento

Figura 5.2 Malha de elementos finitos

Figura 5.3 Formação das rótulas plásticas

A superfície de interação adotada para os elementos de treliça plana considera a iteração dos

esforços axiais nos extremos dos elementos e dos esforços axiais de plastificação, definidos

pela área da seção transversal do elemento y da tensão de escoamento do material.

x

y

P P

2

1 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

16

18

1

2

3

25

4

5

6

26

7

8

9

27

10

11

12

28

13

14

15

29

16

17

18

30

19

20

21

31

22

23

24

1

2

3

1 1 1

2 2

2 2 2

3

CL

CL

49

Figura 5.4 Resposta do ciclo de carga-descarga

5.1.2 Exemplo 2

Na Figura 5.5 é apresentada a geometria e o carregamento, na

Figura 5.6 a malha utilizada, na Figura 5.7 é indicado por números o desenvolvimento

progressivo da formação das rótulas plásticas, e na Tabela 5-2, se apresentam as propriedades

do material e a superfície de interação utilizada.

O mesmo problema foi analisado para a carga de colapso por Bathe e Dvorkin (1983),

assumindo uma formulação Lagrangiana. A resposta de carga vs. deslocamento para o

processo de carregamento é mostrado na Figura 5.8.

Na Figura 5.8 é apresentada a evolução do deslocamento vertical no nó 4 da malha utilizada

para discretizar a estrutura, obtendo-se os mesmos resultados dos autores anteriores. Sem

considerar o endurecimento do material, mostrando que os métodos utilizados fornecem uma

ferramenta prática para o estudo de comportamento elastoplástico de estruturas reticuladas.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

w=0

w=2

Powell & Simons 1981

50


Elementos 1 e 3 2

Área 1 1

E (kN/m2) 2x10

5 2x10

5

Np (kN) 100 300




x

y

u

v

P

5 m 5 m

5 m

1 2 3

4

1 2 3

1

1

2 1

51

Figura 5.8 Resposta do processo de carregamento

5.2 PÓRTICO PLANO

5.2.1 Exemplo1

É estudada uma estrutura aporticada de dois pavimentos, o mesmo problema foi analisado por

Argyris (1982), além de outros autores, para o caso de pequenas e grandes deformações. Na

Figura 5.9 é apresentada a geometria e o carregamento, na Figura 5.10 a malha utilizada, na

Figura 5.11 e indicado por números o desenvolvimento progressivo da formação das rótulas

plásticas, e na Tabela 5-3 são apresentadas as propriedades do material e a superfície de

interação utilizada, neste caso considerando a interação entre os esforços axiais e os

mementos fletores que atuam na seção transversal dos elementos.

A resposta de carga vs. deslocamento para o ciclo de carga-descarga é mostrada na Figura

5.12, em que pode ser observado o comportamento quando é considerado o comportamento

elastoplástico perfeito do material, a resposta é bastante aproximada à apresentada por os

autores anteriores para a análise de pequenas deformações.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

Bathe & Dvorkin (1983)

52





Elementos Vigas Pilares

E (kN/m2) 2.1x10

8 2.1x10

10

A (m2) 0.01

0.02

I (m4) 0.29x10

-3 0.51x10

-3

Np (kN) 2.95 4.80

Mp (kN.m) 0.42 0.73

P/2

P/2

2P

2P

P

P P

P

P

P

P

P/2

u

x

y

1

2

3

6

7

8

11

12

13

4

5

9

10

1

2

3

4

5

6

7 8

11 12

9 10

13 14

2 1

34 5

6 7

8 9

10

11

53

Figura 5.12 Resposta para o ciclo de carga-descarga.

Na Figura 5.12 se observa, o deslocamento horizontal no nó 3 da malha utilizada para

discretizar a estrutura, devido ao incremento no carregamento definido pela Figura 5.9, e

posterior descarga. Pode-se resaltar que com os algoritmos empregados a resposta obtida é

semelhante à encontrada na literatura.

5.2.2 Exemplo 2

É apresentado um pórtico plano de quatro pavimentos. A estrutura foi analisada por Haldar e

Nee (1988) para um valor de a=0.5. Na Figura 5.13, é apresentada a geometria e o

carregamento, na

Figura 5.14 observa-se a malha utilizada, na Figura 5.15 é indicado por números o

desenvolvimento progressivo da formação das rótulas plásticas, na Tabela 5-4 são

apresentadas as propriedades do material e a superfície de interação utilizada, sendo a mesma

adotada pelos autores anteriores com a finalidade de comparar os resultados.

A resposta de carga vs. deslocamento para o ciclo de carga-descarga é apresentada na Figura

5.16. Pode ser observado o comportamento do deslocamento horizontal do nó 14 da malha

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

2.5

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

Argyris 1982

54

utilizada. É considerado o comportamento elastoplástico perfeito do material, a resposta tem

uma excelente aproximação com os resultados apresentados por Haldar e Nee (1988).




4.57 m 4.57 m

3.6

6 m

a*P

a*P

a*PP/2

P/2

P/2 P

P

P P/2

P/2

P/2

a*P/2

P/2P/2 P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

x

y

u

1

2

3

45

6

7

55


Elementos Colunas

inferiores

Demais

colunas

Vigas

E(kN/m2) 1.99x10

8 1.99x10

8 1.99x10

8

A(m2) 0.014 0.011 0.008

I(m4) 2.759x10

-4 1.3902x10

-4 2.152x10

-4

Mp(kN.m) 484.027 305.059 295.568

Np(kN) 3594.163 2730.763 2263.699


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

Haldar & Nee (1988)

56

5.2.3 Exemplo 3

No exemplo a seguir, é estudada uma estrutura formada por duas vigas, na Figura 5.17 é

apresentada a geometria e o carregamento, na Figura 5.18 a malha utilizada, na Figura 5.19 é

indicado por números o desenvolvimento progressivo da formação das rótulas plásticas, na

Tabela 5-5 são apresentadas as propriedades do material e a superfície de interação utilizada.

A estrutura foi analisada por Argyris (1982), comparando os resultados obtidos com

resultados experimentais. A resposta de carga vs. deslocamento para o processo de

carregamento é mostrada na Figura 5.20. É estudado o comportamento do deslocamento

vertical do nó 2 da malha utilizada devido ao incremento do fator de carga, é considerado um

material perfeitamente plástico, sem endurecimento. A resposta tem uma excelente

aproximação com os resultados com a apresentada por Argyris (1982) discretizado por dois

elementos de viga bi-dimensionais.




P

0.32 m

0.2

5 m

1

2

12

3

x

y

v

1

2

57


Elementos 1 2

E(kN/m2) 3.114x10

10 3.114x10

10

A(m2) 4.85x10

-4 4.85x10

-4

I(m4) 1.475x10

-8 1.475x10

-8

Mp(kN.m) 275.345 347.762

Np(kN) 57662.297 72830.732


5.2.4 Exemplo 4

A seguir é apresentado um pórtico assimétrico que foi analisado, entre outros, por Argyris

(1982) e depois por Vieira (2013), este com diversas superfícies de interação obtidas por

regressão linear múltipla. Na Figura 5.21, é apresentada a geometria e o carregamento, na


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

4

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

Argyris (1982)

58

progressivo da formação das rótulas plásticas, e na Tabela 5-6 se apresentam as propriedades

do material e a superfície de interação adotada, sendo a mesma dos autores anteriores.

A resposta de carga vs. deslocamento para o processo de carregamento é mostrada na Figura

5.24, em que se estuda o deslocamento horizontal do nó 2 da malha. Devido ao incremento

nas cargas aplicadas, é considerado um material perfeitamente plástico, a resposta tem uma

excelente aproximação com à apresentada por Vieira (2013), na análise de pequenas

deformações:




6 m 6 m

6 m

9 m

x

y

P u

3P

1 4

7

52 3 6

1

2

3

4 5

6

1 23

4 7

8

5

6

59


Elementos 1, 2, 3 e 6 4 e 5

E (kN/m2) 88964.359 88964.359

A (m2) 0.080 0.139

I(m4) 1.067x10

-3 2.454x10

-3

Mp(kN.m) 0.028 0.057

Np(kN) 2.847 4.951


5.2.5 Viga Engastada-Livre

Neste exemplo é considerada uma viga engastada num extremo e livre no outro, com duas

cargas concentradas, uma horizontal e a outra vertical, no extremo livre da estrutura. Na

Figura 5.25, é apresentada a geometria e o carregamento, na Figura 5.26 a malha utilizada, na

Figura 5.27 é indicado por números o desenvolvimento progressivo da formação das rótulas

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

5

Deslocamento/L

Fato

r de c

arg

a,

kN

Vieira (2013)

60

plásticas, e na Tabela 5-7 são apresentadas as propriedades do material e a superfície de

interação utilizada, sendo o mesmo critério de escoamento adotado pelos autores anteriores.

A estrutura foi analisada por Ueda e Fujikubo (1990) pelo método do nó plástico introduzindo

uma taxa de endurecimento H. A trajetória de carga vs. deslocamento para o processo de

carregamento é apresentada na Figura 5.28.



Figura 5.27 Formação da rótula plástica


Elementos 1

E(kN/m2) 2.059x10

8

A(m2) 2.4x10

-4

I(m4) 8x10

-9

Mp(kN.m) 0.360

Np(kN) 72

Na Figura 5.28, observa-se o deslocamento vertical do nó 2 da viga para à análise incremental

da carga aplicada. Introduzindo-se um valor de ω igual a 4 na superfície de interação, obtém-

se uma trajetória para o processo, semelhante à encontrada na literatura.

61

Pode-se observar o aumento da capacidade portante do material depois de se atingir o patamar

de escoamento. Porém, com resultados ainda menores do que os obtidos por Ueda e Fujikubo

(1990), devido ao fato de que eles introduzem alguns fatores na superfície de interação, e pela

discretização da estrutura.


5.3 GRELHA PLANA

5.3.1 Exemplo 1

Para o estudo do elemento de grelha plana é considerada uma estrutura que foi analisada por

Ueda e Yao (1982), sobre a ação de uma carga P concentrada, submetendo a estrutura a

momentos fletores e torçores. Na Figura 5.29, é apresentada a geometria e o carregamento, na


progressivo da formação das rótulas plásticas, e na Tabela 5-8 se apresentam as propriedades

do material e a superfície de interação utilizada.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

Ueda & Fujikubo (1990)

62

A análise inelástica de primeira ordem dessa estrutura é realizada para um processo de

carregamento, descarregamento e reversão de carga, os resultados são comparados com o

processo de carga obtido por Ueda e Yao (1982), assumindo uma análise com pequenas

deformações. A resposta de carga vs. deslocamento para o ciclo é apresentada na Figura 5.32.





EI(kN.m2)

388.08

Mp(kN.m) 21.95

GJ(kN.m2)

297.92

Tp(kN.m) 17.24

Na Figura 5.32, pode ser observado o comportamento do deslocamento vertical do nó 2 da

malha utilizada. É considerado um material com comportamento perfeitamente plástico, a

63

resposta obtida está em uma excelente concordância com os valores relatados pelos autores

anteriores.


5.4 PÓRTICO ESPACIAL

5.4.1 Exemplo 1

Neste exemplo é analisado um tipo de estrutura usada frequentemente para indústrias off-

shore, analisada por Shi e Atluri (1988), cada um dos elementos da estrutura é modelado

como elemento de viga 3D. É realizada uma análise inelástica de primeira ordem

considerando um processo de carregamento e descarregamento. Os autores anteriores

realizaram uma análise de segunda ordem do problema, por consequência seus resultados

representam valores levemente menores, mas os resultados obtidos na rotina desenvolvida

estão em boa concordância com os anteriores.

Na Figura 5.33, é apresentada a geometria e o carregamento, na Figura 5.34 a malha utilizada,

na Figura 5.35 é indicado por números o desenvolvimento progressivo da formação das

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08-150

-100

-50

0

50

100

150

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

Ueda & Yao (1982)

64

rótulas plásticas, e na Tabela 5-9 são apresentadas as propriedades do material e a superfície

de interação utilizada.




A resposta de carga vs. deslocamento para o ciclo é mostrada na Figura 5.36, estudando o

comportamento do deslocamento horizontal do nó 3 da malha utilizada para discretizar a

estrutura, pode ser observado o comportamento quando é considerado um material

perfeitamente plástico.

65


Elementos Pilares Contraventamentos

E (kN/m2) 2.1x10

8 2.1x10

8

A (m2) 5.28x10

-3 8.62x10

-4

I (m4) 4.7x10

-5 7.9x 10

-6

J (m4) 9.39x10

-5 1.58x10

-6

Mp (kN.m) 125.5 6.6

Np (kN) 1478 241.2

Tp (kN.m) 105.6 5.5

Figura 5.36 Resposta do ciclo carga-descarga

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

5

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

Shi & Atluri (1988)

66

5.5 EXEMPLOS NO ANSYS

A seguir são apresentados dois exemplos numéricos feitos no programa ANSYS (Workbench

14.5), na tentativa de comparar os resultados com os obtidos na rotina desenvolvida no

MATLAB.

A opção utilizada para a análise elastoplástica no ANSYS é Bilinear Isotropic Hardening,

utilizando um modelo de endurecimento bilinear isotrópico, representado na Figura 5.37, com

um critério de escoamento de Von Mises e uma regra de fluxo associativa.

Figura 5.37 Modelo de endurecimento isotrópico. (ANSYS).

O elemento utilizado para a modelagem foi SOLID186, elemento de ordem superior com 20

nós que apresenta um comportamento de deslocamento quadrático. O elemento é usado para

modelagem de estruturas sólidas 3-D. Está definido por vinte nós com três graus de liberdade

em cada nó: translações nas direções x, y e z. A geometria, as localizações dos nós e o sistema

de coordenadas para este elemento são mostrados na Figura 5.38. O elemento básico tem

forma de hexaedro, mas pode ser utilizado como um prisma.

O elemento SOLID186 suporta plasticidade, hiperplasticidade, endurecimento nas tensões,

grandes deformações, entre outros tipos de comportamentos.

67

A Figura 5.38 identifica as faces do elemento e representa o sistema de coordenadas. As

propriedades do material podem ser anisotrópicas.

As cargas são definidas como sendo de dois tipos: cargas nodais e cargas do elemento. As

cargas nodais são definidas nos nós e não estão diretamente relacionadas aos elementos. Essas

cargas nodais estão associadas aos graus de liberdade no nó e, normalmente, são inseridos

como restrições de deslocamento, forças e cargas nodais. As cargas do elemento são: cargas

de superfície, que carregam o peso próprio do corpo, e cargas de inércia.

Figura 5.38 Elemento SOLID186, da Biblioteca (ANSYS)

5.5.1 Viga Engastada-Engastada com carga no centro do vão

A seguir é analisada uma viga com carregamento e geometria definida pela Figura 5.39, a

malha utilizada no MATLAB definida na Figura 5.40, e na Figura 5.41 as rótulas plásticas

que se formam na viga. Na Tabela 5-10, apresentam-se as propriedades geométricas e

mecânicas do elemento de viga.

As características das condições de contorno para a viga são: o apoio de terceiro gênero para

ambos os extremos. Para simular o apoio, os deslocamentos foram restritos na direção , e

(Figura 5.42).

68


5.43, em que pode ser observada a evolução do deslocamento vertical do nó 2 da malha,

devido ao incremento da carga aplicada. É apresentada a resposta quando é considerado um

comportamento do material perfeitamente plástico, utilizando na modelagem um valor de ω

igual a zero, e assim a superfície permanece intata no processo.

No ANSYS introduzido-se um módulo de endurecimento H de 1x106 kN/m

2 e ajustando-se

um valor de ω igual a 21 na rotina, obtêm-se resultados semelhantes.

Figura 5.39 Geometria e

carregamento

Figura 5.40 Malha de

elementos finitos

Figura 5.41 Formação das rótulas

plásticas


E (kN/m2)

2.059x108

A (m2) 0.024

I (m4) 8x10

-9

Mp (kN.m)

0.36

P

3 m

x

y

u 12

31 2

69

Figura 5.42 Configuração deformada ANSYS

Figura 5.43 Resposta para o processo de carregamento

5.5.2 Viga Engastada-Livre

Para o seguinte exemplo, é estudada uma viga com carregamento e geometria definida pela

Figura 5.44, na Figura 5.45 a malha utilizada no MATLAB, e na Figura 5.46 se observa a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10-3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

w=0

w=21

ANSYS

70

formação da rótula plástica na viga. Na Tabela 5-11, Observam-se as propriedades

geométricas e mecânicas do elemento de viga, e a superfície de interação utilizada.

As características das condições de contorno para a viga são: o apoio de terceiro gênero para o

extremo esquerdo. Para simular o apoio, os deslocamentos foram restritos na direção , e

(Figura 5.47), e na Figura 5.48 as tensões equivalentes de Von Mises.


5.49, em que pode ser observado a evolução do deslocamento vertical do extremo livre da

estrutura, devido ao processo de carga. É apresentada a resposta quando é considerado um

comportamento do material perfeitamente plástico, utilizando na modelagem um valor de ω

igual a zero, e assim a superfície permanece intata no processo.

Figura 5.44 Geometria e

carregamento

Figura 5.45 Malha de

elementos finitos

Figura 5.46 Formação da rótula

plástica

Tabela 5-11 Propriedades dos elementos.

E (kN/m2)

1x104

A (m2) 4

I (m4) 5.33

Mp (kN.m)

1200

P

3 m

x

y

u

1 21

71

No ANSYS introduzindo-se um módulo de endurecimento H de 1x103 kN/m

2 e ajustando-se

com um valor de ω igual a 7 na rotina, obtêm resultados semelhantes.

Figura 5.47 Configuração deformada ANSYS

Figura 5.48 Tensões equivalentes, Von Mises

72

Figura 5.49 Resposta para o processo de carregamento

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Deslocamento, m

Fato

r de c

arg

a,

kN

w=0

w=7

ANSYS

73

6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES

6.1 CONCLUSÕES GERAIS

No presente trabalho foi testado o algoritmo de retorno radial com diferentes tipos de

superfícies de interação. É de notar que o algoritmo formulado fornece uma maneira de

manter o vetor de esforços generalizados dentro da superfície de escoamento ou sobre ela.

O método foi implementado por Silva e Bezerra (2010), acrescentando neste trabalho as

tipologias estruturais analisadas (como o caso das treliças planas), a quantidade de estruturas

estudadas, comparando também os resultados com exemplos simples feitos no programa

ANSYS, e introduzindo o endurecimento isotrópico na evolução das deformações plásticas

por meio de uma constante que depende das propriedades geométricas e mecânicas dos

elementos que conformam a estrutura, afetada pelo multiplicador plástico que é uma medida

de magnitude do aumento das deformações plásticas.

O método proposto trata simultaneamente com duas rótulas plásticas localizadas nos extremos

dos elementos finitos durante ciclos de carga e descarga. Combinando o método de Newton-

Raphson e o método de retorno radial, é fornecida uma matriz de rigidez tangente consistente

com o método, e são obtidos algoritmos robustos, precisos e rapidamente convergentes. Os

algoritmos de retorno com um e dois vetores foram propostos simulando, respectivamente,

uma e duas rótulas plásticas nos extremos dos elementos.

Foi desenvolvida neste trabalho, a formulação analítica e numérica para o elemento de pórtico

tridimensional, considerando-se o efeito da não linearidade física do material, via a formação

de rótulas plásticas, por meio de uma função de interação dos esforços atuantes o os esforços

de plastificação.

No desenvolvimento do trabalho, foram pesquisadas as técnicas de comprimento de arco

baseado no descrito por Crisfield (1991) e Menin (2006) e implementação daquela que melhor

se adapta ao problema estudado. As técnicas se mostraram muito eficientes fornecendo bons

resultados na solução das equações não lineares.

74

Conclui-se com o anterior o seguinte:

A rotina resultante desta pesquisa para análise não linear de estruturas metálicas

simples proporciona um comportamento robusto em termos de implementação

numérica e econômico em termos de capacidade computacional, exibindo eficiência e

precisão. A rotina foi escrita em código aberto, podendo ser utilizada com fins de

ensino.

Ao combinar a técnica de comprimento de arco com o método de Newton-Rapshon, é

obtida uma rotina capaz de traçar trajetórias de equilíbrio completas, passando por

pontos limites de carga e deslocamento para um ciclo que pode ser de carga-descarga.

Com a implementação numérica, foi percebido o aumento das tensões na evolução das

deformações plásticas (endurecimento do material). Porém, os resultados obtidos dos

fatores de carga foram menores do que os obtidos por outros autores e aos obtidos

pelo programa ANSYS, já que o conceito de rótula plástica não considera a região real

escoada no elemento. Por meio da calibração do programa, via uma constante que

representaria esta região, foram obtidos resultados satisfatórios.

6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Finalmente, a seguir se deixam como sugestões para a continuação deste trabalho.

Extensão do programa para outras tipologias estruturais como placas e cascas;

Deduzir analiticamente uma expressão para a constante ω que representa a região real

escoada no elemento quando este plastifica, e implementar numericamente;

Estudo de leis de endurecimento isotrópico não linear e posterior implementação;

Implementação do endurecimento cinemático no modelo constitutivo para análises

dinâmicas;

75

Desenvolvimento de interfaces para as etapas de pré e pós-processamento, e, assim,

tornar o programa mais amigável no processo de entrada de dados e melhorar a

visualização e interpretação dos resultados.

76

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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79

ANEXO A

MATRIZES DE RIGIDEZ E ROTAÇÃO DOS ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS

A seguir são apresentadas as matrizes locais de rigidez elástica dos elementos utilizados no

programa desenvolvido. Assim como as matrizes de rotação para o cálculo das matrizes

globais de rigidez. No livro de Sennet (2000) pode-se encontrar mais informação acerca da

análise matricial de estruturas.

Treliça plana

São permitidos dois deslocamentos em cada nó, então, cada nó possui dois graus de liberdade.

Na Figura A.0.1 é apresentada a configuração local e global do elemento, os deslocamentos

da barra são denotados por δ e os globais u.

Figura A.0.1 Sistema de coordenadas locais e globais da treliça plana.

Onde: C=cos(θ); S=sen(θ)

80

A matriz de rigidez do elemento de barra dependerá da área da seção transversal A, do

módulo de elasticidade, e do comprimento L. Expressa pela equação (0.1), a matriz de rotação

R, equação (0.2), pela qual poderá ser determinada a matriz de rigidez global como indicado

na equação (0.3).

(0.1)

(0.2)

(0.3)

Treliça espacial

O elemento de treliça espacial, diferente da treliça plana, tem a característica de ter um grau

adicional por nó, sendo em total, três graus de liberdade para cada um dos nós. Na Figura

A.0.2 é apresentada a configuração local do elemento, os deslocamentos da barra são

denotados por δ.


módulo de elasticidade E, e do comprimento L. Expressa pela equação (0.4), a matriz de

rotação R, calculada por meio das equações (0.5), pela qual poderá ser determinada a matriz

de rigidez global como indicado na equação (0.6).

81

Figura A.0.2 Sistema de coordenadas locais da treliça espacial.

(0.4)

;

Onde é uma matriz 3x3 de elementos nulos.

Exceto quando o elemento está alinhado com o eixo Y, então a matriz R resulta

(0.5)

82

em:

Sendo:

(0.6)

Pórtico plano

São permitidos dois deslocamentos e uma rotação em cada nó, então, cada nó possui três

graus de liberdade. Na Figura A.0.3 é apresentada a configuração local e global do elemento,

os deslocamentos da barra são denotados por δ e os globais u.


módulo de elasticidade, do comprimento L e da inércia I da seção transversal. Expressa pela

equação (0.7), a matriz de rotação R, equação (0.8), pela qual poderá ser determinada a matriz

de rigidez global como indicado na equação (0.9).

83

Figura A.0.3 Sistema de coordenadas locais e globais do pórtico plano.

(0.7)

(0.8)

(0.9)

84

Grelha plana

A grelha é uma estrutura que tem cargas aplicadas perpendicular ao seu plano, o elemento terá

em cada nó, deslocamento vertical, rotação sobre o eixo horizontal da seção transversal

devido à flexão, e rotação sobre o eixo do elemento devido à torção. Na Figura A.0.4 é

apresentada a configuração local do elemento, os deslocamentos da barra são denotados por δ.

Figura A.0.4 Sistema de coordenadas locais grelha plana.

A matriz de rigidez do elemento de barra dependerá do momento polar de inércia J da seção

transversal, do módulo de elasticidade E, do módulo de cisalhamento G e do comprimento L.

Expressa pela equação (0.10), a matriz de rotação R, calculada por meio das equações (0.11),

pela qual poderá ser determinada a matriz de rigidez global como indicado na equação (0.12).

85

(0.10)

(0.11)

(0.12)

Pórtico espacial

Para descrever os deslocamentos do nó devem ser especificadas três rotações; duas devidas à

flexão, uma à torção e três translações (x. y e z), então o elemento terá seis graus de liberdade

em cada nó. Na Figura A.0.5 é apresentada a configuração local do elemento, os

deslocamentos da barra são denotados por δ.


módulo de elasticidade E, do módulo de cisalhamento G, da inércia da seção transversal sobre

os eixos y e z Iy e Iz respectivamente, do momento polar de inércia Jx e do comprimento L.

Expressa pela equação (0.13), a matriz de rotação R, calculada por meio das equações (0.14),

pela qual poderá ser determinada a matriz de rigidez global como indicado na equação (0.15).

86

Figura A.0.5 Sistema de coordenadas locais do pórtico espacial.

(0.13)

;

(0.14)

87

Sendo

Finalmente

Onde

(0.15)

universidade de brasÍlia - repositorio.unb.brrepositorio.unb.br/bitstream/10482/16938/1/2014... ·...

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