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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
A TABELA PRICE NOS FINANCIAMENTOS HABITACIONAIS
Por: Edilson Magalhães de Abreu
Orientador
Mary Sue Pereira
Rio de Janeiro
2003
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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
A TABELA PRICE NOS FINANCIAMENTOS HABITACIONAIS
Apresentação de monografia à Universidade
Cândido Mendes como condição prévia para a
conclusão do Curso de Pós-Graduação “Lato
Sensu” em Finanças e Gestão Corporativa.
3
AGRADECIMENTOS
Em especial ao meu amigo
Wellington H. Pinto por ter tido a
paciência de ler o meu trabalho
várias vezes e dar a sua opinião à
respeito, e aos demais que, direta ou
indiretamente, contribuíram de
maneira relevante na elaboração
deste trabalho.
4
DEDICATÓRIA
À mamãe Margarida N. de A.
Magalhães, à minha esposa Raquel R.
da Silva e ao meu filho Rafael.
5
RESUMO
Existe um questionamento muito grande sobre a legalidade ou não
do sistema de amortização francês, mais conhecido como tabela price. Para
responder a esse questionamento faz-se necessário conhecer os conceitos
de matemática financeira comumente contratados em uma operação de
empréstimo ou financiamento.
Este trabalho mostra a diferença entre capitalização e amortização,
apresenta os principais sistemas de amortização existentes e demonstra que
na tabela price o que cresce exponencialmente são as parcelas de
amortização e não os juros, concluindo-se que a alegação não tem
fundamento.
Espera-se que o entendimento deste trabalho contribua para orientar
nas decisões de advogados, juízes e mutuários no que se referir a sistemas
de amortização, e em especial a tabela price.
6
METODOLOGIA
A metodologia adotada neste trabalho foi a consulta bibliográfica, a
visita a diversos sites na Internet e a análise de trabalhos que tratam sobre o
assunto, buscando encontrar uma maneira de sintetizá-los numa obra que
tivesse o caráter de objetividade e clareza no sentido de provar que a
alegação de anatocismo na tabela price não tem fundamento.
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 08
CAPÍTULO I - Conceitos básicos de matemática financeira 09
CAPÍTULO II - Sistemas de amortização 21
CAPÍTULO III – A tabela price 30
CONCLUSÃO 41
BIBLIOGRAFIA 47
ÍNDICE 50
FOLHA DE AVALIAÇÃO 52
8
INTRODUÇÃO
A matemática financeira faz parte da vida de todos nós, pois, quem
nunca comprou à prazo, fez um empréstimo bancário ou financiou a compra
de um automóvel ou apartamento? A forma de se calcular o valor das
prestações nessas operações é definida através do sistema de amortização
adotado, e o mais usual no nosso dia-a-dia é a tabela price.
No Sistema Financeiro de Habitação a tabela price vem sendo cada
vez menos utilizada devido a reclamações judiciais alegando crime de
anatocismo (juros sobre juros). Será que tais alegações procedem? O tema
“tabela price no Sistema Financeiro de Habitação” foi escolhido com a
intenção de responder a esta pergunta e esclarecer porque tal alegação não
tem fundamento.
Este trabalho não tem a pretensão de contemplar todas as questões
e definições de matemática financeira. Trata-se de uma pesquisa concisa
sobre o tema proposto para que mutuários, advogados e juízes possam ler,
avaliar e talvez ter como parâmetro, o conteúdo deste trabalho.
No capítulo I procura-se definir os conceitos básicos de matemática
financeira. No capítulo II aborda-se sobre os principais sistemas de
amortização existentes. No capítulo III serão discutidos os principais
questionamentos de anatocismo na tabela price e por último, explica-se, com
base na progressão geométrica, que a tabela price não capitaliza juros e,
portanto, a alegação de crime de anatocismo não tem fundamento.
9
CAPÍTULO I
Conceitos básicos de matemática financeira
10
O desconhecimento sobre certos conceitos faz com que se aceite
idéias equivocadas a respeito de determinados assuntos. É o que acontece,
principalmente, quando o tema é a tabela price.
Alguns profissionais afirmam que a tabela price é ilegal porque
capitaliza juros, ou porque a taxa efetiva cobrada é maior do que a
contratada, ou ainda, que a correção monetária deveria incidir sobre o saldo
devedor após a amortização da parcela e não antes, como é a sistemática
hoje.
Diante de tais afirmativas percebeu-se a necessidade de apresentar
os conceitos dos principais termos utilizados na montagem de um sistema
de pagamento de dívidas.
Neste capítulo são apresentados os conceitos de capitalização,
amortização, taxa de juros e correção monetária com o objetivo de provar
que cada um deles possuem definições próprias e que não se justificam as
afirmações de anatocismo, juros sobre juros, na tabela price.
1.1 – Capitalização
Capitalizar significa converter em capital. Então quando se lê numa
cláusula contratual que os juros serão “capitalizados” mensalmente,
significa que ao término de um mês os juros serão somados ao principal,
capital inicial, para o cálculo de novos juros no mês seguinte.
José Dutra Vieira Sobrinho assim define a capitalização:
"Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o
capital inicial, acrescido de juros acumulados até o período anterior. Neste
regime de capitalização o valor dos juros cresce em função do tempo”.
(SOBRINHO, José Dutra Vieira. 2000, p. 34)
11
No regime de capitalização composto a taxa de juros varia
exponencialmente em função do tempo.
O regime de juros compostos incorpora o conceito de potência, onde
o tempo é o expoente e a taxa de juros a base da potência. Esta potência é
representada do seguinte modo: (1+i)n , onde:
Base = (1+i)
Expoente = n
Uma potência é o resultado da multiplicação da base por ela
mesma, na quantidade de vezes indicada pelo expoente. Vale lembrar que
para todo expoente igual a 1 (um) o produto será sempre a base, e para todo
expoente igual a 0 (zero) o produto será sempre 1 (um).
O expoente é a quantidade situada acima e a direita de outra,
chamada base. O expoente indica quantas vezes a base aparece na
operação de multiplicação.
Considerando-se uma taxa de juros igual a 8%a.m para um período
de 4 meses, tem-se:
primeiro mês = (1,08)1 = 1,08000
Segundo mês = (1,08)2 = 1,08 x 1,08 = 1,16640
Terceiro mês = (1,08)3 = 1,08 x 1,08 x 1,08 = 1,25971
Quarto mês = (1,08)4 = 1,08 x 1,08 x 1,08 x 1,08 = 1,36049
O exemplo mostra o crescimento exponencial da taxa de juros em
função do tempo considerado para a operação.
"No regime de juros compostos os juros de cada período são
somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes.
12
Os juros são capitalizados e, consegüentemente, rendem juros." (PUCCINI,
Abelardo de Lima. 2002, p. 14)
O exemplo abaixo ajudará a entender melhor este conceito:
Uma quantia de R$ 10.000,00 aplicada a uma taxa de juros de 8%
ao período, durante quatro períodos, no regime de capitalização composta,
acumula-se os seguintes saldos ao final de cada período considerado:
Períodos Saldo inicial Juros de 8% Saldo Final
1 R$ 10.000,00 R$ 800,00 R$ 10.800,00
2 R$ 10.800,00 R$ 864,00 R$ 11.664,00
3 R$ 11.664,00 R$ 933,12 R$ 12.597,12
4 R$ 12.597,12 R$ 1.007,77 R$ 13.604,89
Observa-se que:
1º – Os juros de cada período são crescentes;
2º – O saldo final cresce, a cada período, de forma geométrica, ou
exponencial, de razão igual a 8%.
Exemplo:
primeiro termo = R$10.000,00
segundo termo = R$10.800,00
terceiro termo = R$ 11.664,00
quarto termo = R$ 12.597,12
quinto termo = R$ 13.604,89
razão = 1+taxa de juros = (1,08)
número de termos = 5
Saldo final = primeiro termo x razão elevada o número de períodos subtraído
de uma unidade.
Saldo final = R$10.000,00 (1,08)5-1
13
Saldo final = R$13.604,89
Abaixo tem-se a fórmula utilizada na matemática financeira para o
cálculo do valor futuro no regime de capitalização composta.
VF = VP(1+i)n , onde:
VF = valor futuro
VP = valor presente
i = taxa de juros em forma unitária
n = número de períodos.
No caso em estudo, (1+i)n é igual a:
(1+0,08)4 = 1,360489
R$ 10.000,00 x 1,360489 = R$ 13.604,89
O mesmo ocorre quando se pretende aplicar, em períodos iguais e
sucessivos, uma determinada quantia a juros compostos ou capitalizados. O
saldo ao final de cada período também é sempre crescente. Aplica-se, no
caso, a fórmula do FAC (Fator de Acumulação de Capital), que se expressa
da seguinte forma:
FAC = [(1+i)n – 1] ÷ i
Portanto, se um investidor aplicar todo mês uma quantia de R$
3.019,21 durante 4 meses a uma taxa de 8%a.m., ao final será acumulado o
montante de R$ 13.604,89.
FAC = [(1+0,08)4-1] ÷ 0,08
FAC = 4,50611
Montante acumulado = Valor aplicado x FAC
R$ 13.604,89 = R$ 3.019,21 x 4,50611
Observa-se que na capitalização composta o saldo final tem
crescimento geométrico. Isso não ocorre nos sistemas de amortização,
como se verá.
14
1.2 - Amortização
Amortizar significa quitar uma dívida aos poucos, ou seja, em
prestações.
Juan Carlos Lapponi, Doutor em engenharia pela Escola Politécnica
da Universidade de S.Paulo, professor de cursos de pós-graduação da FGV,
no seu livro “Matemática Financeira usando Excel” (p. 160) ensina duas
regras básicas que devem ser observadas na hora de se elaborar um
sistema de amortização:
1ª Regra:
Cada prestação refere-se a um período de tempo determinado e o seu valor
é composto por uma parcela de juros, que é a remuneração do capital
tomado emprestado, e outra de pagamento do principal (amortização); isto é:
Prestação = Amortização + Juros
2ª Regra:
O valor dos juros de cada prestação são sempre calculados sobre o saldo
devedor do empréstimo no início do período a que se refere a prestação,
aplicando uma determinada taxa de juros.
O exemplo abaixo ajudará a consolidar o entendimento:
Taxa de juros = 2%
Prestação nº Prestação Juros Amortização Saldo devedor
15
0 0 0 0 R$ 10.000,00
1 R$ 2.626,24 R$ 200,00 R$ 2.426,24 R$ 7.573,76
2 R$ 2.626,24 R$ 151,48 R$ 2.474,76 R$ 5.099,00
3 R$ 2.626,24 R$ 101,98 R$ 2.524,26 R$ 2.574,74
4 R$ 2.626,24 R$ 51,50 R$ 2.574,74 R$ 0,00
Pode-se constatar que:
1º – Após o pagamento de uma prestação honrada no seu vencimento:
a) O juro é zerado (Os juros calculados sobre o saldo devedor para a
primeira prestação, no valor de R$200,00, foram totalmente
pagos);
b) O saldo devedor do empréstimo será igual à parte do
financiamento que ainda não foi amortizado ( o valor do
financiamento a amortizar, após o pagamento da primeira
prestação, é de R$ 7.573,76); e
c) Se o devedor quiser quitar o financiamento pagará somente o
saldo devedor, pois os juros foram zerados com o pagamento da
prestação.
2º – Nenhuma prestação pode ter valor menor que os juros calculados
sobre o saldo devedor no início do período ao que se refere a prestação; ou
seja, o valor da prestação deverá ser sempre maior que o valor dos juros da
respectiva parcela.
Essas regras foram acolhidas pela legislação brasileira em 1916
através do art. 993 do código civil1. Tempo suficiente para eximir qualquer
dúvida sobre anatocismo nos sistemas de amortização.
"Art. 993 – Havendo capital e juros vencidos, o pagamento imputar-
se-á primeiro nos juros vencidos, e, depois, no capital, salvo estipulação em
contrário, ou se o credor passar a quitação por conta do capital."
16
1.3 - taxas de juros
Na matemática financeira quando os pagamentos são fixados
mensalmente, a taxa de juros também tem que ser.
Nos financiamentos habitacionais a taxa contratada é a taxa
nominal. A taxa nominal é sempre expressa em termo anual, então quando
se estabelece pagamentos mensais tendo-se contratado uma taxa anual,
surge a necessidade de transformá-la em mensal.
Dependendo do regime de juros utilizado, muda a forma de se
trabalhar a taxa de juros e, evidentemente, o conceito também.
A taxa nominal é uma taxa de juros expressa para um período
diferente do período da capitalização.
Exemplo: 12% ao ano, capitalizados mensalmente.
A taxa nominal aplicada em cada período de capitalização é
denominada taxa efetiva. No regime de juros simples essa taxa é calculada
de forma proporcional, logo para uma taxa nominal de 12% a.a. tem-se uma
taxa efetiva mensal de 1% a.m.
A taxa efetiva é uma taxa de juros expressa para um período igual
ao período da capitalização.
Exemplo: 1% ao mês, capitalizados mensalmente.
No regime de juros compostos, a taxa anual, equivalente a taxa
efetiva mensal calculada no regime de juros simples, de forma proporcional,
será sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem.
1 Art. 354 da lei 10.406, de 10/01/2002 (Novo Código Civil Brasileiro)
17
Exemplo:
Taxa nominal anual = 12%
Taxa efetiva mensal = 12/12 = 1%
Taxa anual equivalente = (1+i)n = (1,0112 –1) x 100 = 12,6825%
No regime de juros simples trabalha-se com a taxa proporcional,
enquanto que no regime de juros compostos emprega-se a taxa equivalente.
As taxas proporcionais são taxas de juros expressas em períodos
diferentes, mas que produzem um mesmo montante, em mesmo intervalo de
tempo, no regime de juros simples.
Exemplo:
12%a.a ou 1%a.m, no regime de juros simples, acumula o mesmo montante
ao término do período das taxas. Considerando-se um investimento de R$
1.000,00 pelo prazo de um ano, será acumulado ao final R$ 1.120,00.
Montante acumulado = valor inicial x (1 + taxa de juros x número de
períodos)
R$1.000,00(1 + 0,01 x 12) = R$1.120,00
A taxa equivalente é uma taxa que refere-se a períodos de tempo
diferentes, mas que produz o mesmo montante, em mesmo intervalo de
tempo, no regime de juros compostos.
Para se determinar a taxa equivalente deve-se aplicar a seguinte fórmula:
(1+i)pp/pd. Onde:
pp = período procurado
pd = período dado.
pp = 1 mês pd = 1 ano que é igual a 12 meses, então:
(1+0,12)1/12 = 0,9489% a.m.
18
A taxa nominal de 12%a.a. é equivalente a taxa mensal de 0,9489%.
Embora o regime de juros simples seja diferente do regime de juros
compostos é possível obter-se os mesmos valores em uma operação
financeira utilizando-se os dois regimes, pois:
a) A taxa de juros expressa para um período igual ao período da
operação é a mesma nos dois regimes, ou seja, 12%a.a. para
uma operação de um ano vai acumular o mesmo montante nos
dois regimes;
b) A taxa de juros expressa para um período inferior ao período da
operação no regime de juros compostos é menor que no regime
de juros simples, ou seja, 12%a.a. é equivalente a taxa de
0,948879% ao mês no regime de juros compostos.
O capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de
0,948879%a.m. no regime de juros compostos durante 12 meses produz o
mesmo montante que produz quando aplicado a 1% a.m. no regime de juros
simples.
Juros compostos = VF = VP (1+i)n
VF = R$ 1.000,00(1,00948879)12 = R$ 1.120,00
Juros simples = VF = VP(1 + i x n)
VF = R$ 1.000,00(1 + 0,01 x 12) = R$ 1.120,00
As afirmações sobre a ilegalidade da tabela price, porque os agentes
financeiros utilizam a taxa proporcional ao invés da taxa equivalente para a
cobrança de juros, não tem fundamento técnico. Ora, se os que fazem tal
afirmação condenam a utilização do regime de juros compostos, por que
então querem que se aplique a taxa equivalente que é intrínseca ao regime
de juros compostos ?
19
É bastante evidente que se a taxa equivalente for utilizada o
mutuário pagará menos juros e amortizará mais rapidamente o principal
porque os juros de cada prestação são calculados sempre sobre o saldo
devedor e não capitalizados, então faz diferença aplicar 0,948879% a.m. ao
invés de 1% para o mesmo período, mas isso não tem nenhuma relação
com o sistema de amortização denominado tabela price. É uma questão de
aplicabilidade da taxa de juros.
1.4 - Correção monetária
A correção monetária é um índice que se destina a preservar o
poder aquisitivo da moeda, isto é, manter o poder de compra de um valor
sem que entretanto, nada lhe seja acrescido.
Assim, o valor de um empréstimo ficaria sujeito a dois fatores:
1º – A Correção Monetária - que manteria o poder de compra do valor
financiado com base na inflação;
2º – A taxa de juros - que seria o verdadeiro ganho do mutuante.
Para a maioria dos advogados a correção monetária deveria incidir
somente após o abatimento da parcela de amortização, porém do ponto de
vista da matemática financeira, que trata do valor do dinheiro no tempo,
primeiro deve-se corrigir monetariamente e depois deduzir a parcela
amortizada.
Em um financiamento de R$1.000,00 com taxa de juros de 1%a.m. e
a inflação medida no período de 0,5% tem-se:
n C.M Juros Amortização Pagamento
Saldo
devedor
20
0 0 0 0 0 1.000,00
1 5,00 10,05 90,95 101,00 909,05
Reposição da inflação = R$1.000,00 x 0,5% = R$ 5,00
Ganho real = R$ 1.000,00 + R$ 5,00 = R$ 1.005,00 x 1% = R$10,05
Ou seja, R$1.000,00 hoje é a mesma coisa que R$1.005,00 daqui a 30 dias,
logo para se ter um ganho real de 1% deve-se primeiro corrigir o valor
financiado.
21
CAPÍTULO II
Sistemas de amortização
Amortizar significa quitar uma dívida aos poucos, ou seja, em
prestações. O sistema de amortização define como será calculada a
prestação do financiamento.
Muitas vezes, quem compra um imóvel financiado opta pelo plano de
amortização cujo as prestações são mais baixas e acessíveis ao seu
orçamento mensal. O problema é que prestações mais baixas também
amortizam menos o saldo devedor.
O segredo para uma boa aquisição imobiliária está em analisar bem
as taxas de juros e os sistemas de amortização praticados pelos bancos e
definidos quando se contrata o financiamento. Dependendo do sistema
escolhido, a prestação pode começar mais baixa e ir aumentando. Ou, pelo
contrário, ela pode começar mais cara e ser mais baixa no fim do contrato.
22
De acordo com o sistema definido, o mutuário poderá amortizar
muito ou pouco do saldo devedor, o que pode significar um grande resíduo a
pagar no fim do contrato.
Os sistemas de amortização mais simples e mais usuais podem ser
agrupados em três classificações:
- Sistema de juros constantes (conhecido como sistema americano de
amortização);
- Sistema de amortizações constantes, denominado SAC e que tem
como uma de suas variantes o sistema SACRE (sistema de amortização
crescente), adotado atualmente pela Caixa Econômica Federal;
- Sistema de prestações constantes, também conhecidos como sistema
francês de amortizações ou Tabela Price.
Em todos eles o valor de cada pagamento será a soma do valor
amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:
Pagamento = Amortização + Juros
Para exemplificar tal situação será utilizado um financiamento
hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa
mensal de 4%.
2.1 - Sistema Americano
No sistema americano o devedor paga o principal, valor financiado,
de uma só vez ao término do contrato e ao final de cada período, realiza o
pagamento dos juros sobre o saldo devedor. Este sistema expressa muito
bem a idéia de que juros é o aluguel do dinheiro. Funciona como a locação
23
de um imóvel onde o inquilino vai pagando o aluguel a cada período e ao
término do contrato devolve o bem ao proprietário.
Principal característica: O valor dos juros é constante.
Sistema Americano
n Juros Amortização Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
2 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
3 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
4 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00
2.2 - Sistema de Amortização Constante (SAC)
Este sistema é extremamente simples. Sua denominação deriva da
sua principal característica, ou seja, as amortizações são todas iguais.
Neste sistema, quando não há previsão de correção do saldo
devedor, constata-se que o valor das prestações decrescem em progressão
aritmética.
Em uma progressão aritmética a diferença entre os termos, a partir
do segundo, é sempre constante.
Neste sistema os valores das prestações são calculados com
extrema facilidade através da divisão do valor financiado pelo número de
prestações e o valor da parcela de juros é determinado multiplicando-se a
24
taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente
anterior.
Principal característica: As parcelas de amortização são
constantes.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
n Juros Amortização Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00
2.3 - Sistema Price (Sistema Francês)
Este sistema é o mais comum no dia-a-dia de todos, por exemplo:
compra de uma calça em cinco prestações iguais (1+4) ou (0+5); pagamento
do crediário de um computador em dez prestações iguais, etc. É a forma
mais empregada, porque fica claro para o tomador do empréstimo se ele
poderá quitar ou não a dívida ao longo do período e porque fica mais fácil
calcular as prestações. Normalmente, é utilizado para financiamentos de
curto prazo de um a dois anos.
Principal caraterística: O valor das prestações é constante.
O cálculo da prestação Prest é o produto do valor financiado
VFin=300.000,00 pelo coeficiente Coef obtido da seguinte fórmula:
Coef = [(1+i)n x i] ÷ [(1+i)n – 1)
Coef = [(1+0,04)5 x 0,04] ÷ [(1+0,04)5 - 1]
25
Coef = 0,224627114
onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o
cálculo fornece: Prest = Coef × VFin
Prest = 0,224627114 x 300.000,00 = 67.388,13
Sistema Price (ou Sistema Francês)
n Juros Amortização Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65
Sobre os financiamentos habitacionais incidem juros anuais que são
cobrados mensalmente, objetivando a quitação da dívida após o pagamento
da última prestação. Esse resultado será alcançado (liquidação da dívida) se
o débito for corrigido monetariamente? Essa é uma questão normalmente
formulada pela maioria dos mutuários.
Pode-se analisar o exemplo da tabela price, conforme demonstrado
acima, utilizando-se de uma taxa de inflação de 0,5% ao período.
Sistema Price (ou Sistema Francês)
n C.M Juros Amortização Pagamento
Saldo
devedor
0 0 0 0 0 300.000,00
1 1.500,00 12.060,00 55.328,13 67.388,13 246.171,87
2 1.230,86 9.896,11 57.492,02 67.388,13 189.910,71
26
3 949,55 7.634,41 59.753,72 67.388,13 131.106,54
4 655,53 5.270,48 62.117,65 67.388,13 69.644,43
5 348,22 2.799,71 64.588,42 67.388,13 5.404,23
Totais 4.684,17 37.660,71 299.279,94 336.940,65
Quando o saldo devedor, que é a base para o cálculo dos juros,
aumenta mais que a parcela a pagar , visto que a correção monetária não
está sendo incorporada na base de cálculo do valor do pagamento, então
haverá resíduo ao término do prazo do financiamento. O que não ocorrerá
se o saldo aumentar na mesma proporção da parcela a pagar.
Sistema Price (ou Sistema Francês)
N C.M Juros Amortização Pagamento
Saldo
devedor
0 0 0 0 0 300.000,00
1 1.500,00 12.060,00 55.665,07 67.725,07 245.834,93
2 1.229,17 9.882,56 58.181,14 68.063,70 188.882,96
3 944,41 7.593,10 60.810,92 68.404,02 129.016,46
4 645,08 5.186,46 63.559,58 68.746,04 66.101,96
5 330,51 2.657,30 66.432,47 69.089,77 0
Totais 4.649,18 37.379,42 304.649,18 342.028,60
O Saldo devedor aumentou 0,5% e o valor da prestação também.
Observe os cálculos efetuados no vencimento da primeira parcela:
O saldo devedor atualizado é igual ao valor financiado multiplicado
pelo índice de inflação de 0,5% representado pelo fator 1,005.
R$ 300.000,00 x 1,005 = R$ 301.500,00.
27
O valor da prestação atualizada será igual ao valor determinado
antes da correção multiplicado pelo mesmo fator de atualização do saldo
devedor.
R$ 67.388,13 x 1,005 = R$ 67.725,07.
O cálculo dos juros é feito multiplicando-se o saldo devedor
atualizado pela taxa contratada de 4%.
R$ 301.500,00 x 4% = R$ 12.060,00
O valor da amortização será a diferença entre o valor da prestação e
o valor dos juros.
Amortização = R$ 67.725,07 – R$ 12.060,00 = R$ 55.665,07
Para a determinação do valor da prestação nº 2 o índice de correção
será aplicado sobre o valor da parcela nº 1 e assim sucessivamente.
Observe:
Prestação 2 = R$ 67.725,07 x 1,005 = R$ 68.063,70
Prestação 3 = R$ 68.063,70 x 1,005 = R$ 68.404,02
Prestação 4 = R$ 68.404,02 x 1,005 = R$ 68.746,04
Prestação 5 = R$ 68.746,04 x 1,005 = R$ 69.089,77
Toda vez que o saldo devedor aumentar o valor da prestação
aumentará na mesma proporção, desta forma o saldo devedor será zerado
ao término do prazo do financiamento.
O grande problema dos planos de pagamento de dívidas começou
com o chamado PES/CP (Plano de equivalência Salarial por Categoria
Profissional). Neste plano convencionavam-se prestações corrigidas pela
categoria profissional do mutuário e corrigia-se o saldo devedor por um
índice de inflação, então:
1) Se o índice de reajustamento do saldo devedor fosse maior que o da
prestação:
28
a) Não seria possível quitar o empréstimo no prazo convencionado,
restando saldo devedor;
b) Quanto maior a diferença dos índices e dos intervalos de reajustes
a possibilidade de ocorrer anatocismo (juros sobre juros) era
maior.
2) Se o índice de reajustamento do saldo devedor fosse menor que o da
prestação, o financiamento seria quitado antes do prazo convencionado.
Amortizações negativas (juros não pagos), devem ser controladas a
parte, sendo atualizadas pelos mesmos índices aplicados ao saldo devedor,
mas jamais adicionadas para não caracterizar anatocismo.
A Tabela Price não é ilegal, mas do ponto de vista financeiro o
mutuário pagará mais juros ao longo do prazo contratado se adotá-lo como
sistema de amortização.
29
CAPÍTULO III
A tabela price e os argumentos de anatocismo
30
Alguns autores afirmam que o sistema de amortização francês é
diferente da tabela price, porque a primeira trabalha com a taxa equivalente
e a segunda com a taxa proporcional. Esta diferença não existe. Não é a
forma de se trabalhar a taxa de juros que caracteriza o sistema de
amortização. O nome price é atribuído a este sistema em homenagem ao
seu criador Richard Price, e sistema de amortização francês porque a sua
aplicação se deu na França, conforme Mário Geraldo Pereira citado no livro
de José Dutra vieira Sobrinho:
“De acordo com o Professor Mário Geraldo Pereira, a
denominação “Tabela Price” se deve ao nome do
matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que
viveu no século XVIII e que incorporou a teoria dos
juros compostos às amortizações de empréstimos (ou
financiamentos). A denominação "Sistema Francês", de
acordo com o autor citado, deve-se ao fato de o mesmo
ter-se efetivamente desenvolvido na França, no Século
XIX. Esse sistema consiste em um plano de
amortização de uma dívida em prestações periódicas,
iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos
vencidos, em que o valor de cada prestação, ou
pagamento, é composto por duas parcelas distintas:
uma de juros e outra de capital (chamada
amortização)”. (PEREIRA, Mário Geraldo Apud
SOBRINHO, José Dutra Vieira. 2000, p. 220).
O sistema Price propõe-se a determinar o valor de uma prestação
constante, ou seja, igual, para cada um dos pagamentos em cada
vencimento.
O valor de cada prestação pode ser calculado tanto através de um
"coeficiente multiplicador", mais conhecido como FRC = Fator de
31
Recuperação de Capital, como de um "coeficiente divisor"; ambos levam ao
mesmo resultado, qual seja, o valor da prestação periódica.
Os coeficientes multiplicadores são obtidos da aplicação das
fórmulas:
FRC = [(1+i)n x i] ÷ [(1+i)n – 1) ou de
FRC = i ÷ [1 – (1+i)-n]
Onde:
i = taxa de juros na forma unitária;
n = períodos
Essa segunda fórmula se obtém pela simplificação algébrica da
primeira, através da divisão do dividendo e do divisor pela expressão (1+i)n,
comum aos dois.
Os coeficientes divisores provêm do inverso das duas fórmulas
acima, como segue:
FRC = [(1+i)n – 1] ÷ [(1+i)n x i] ou de
FRC = [1 – (1+i) -n] ÷ i
Essas fórmulas normalmente causam um certo impacto visual em
quem não domina o assunto, por conta disso alguns argumentos foram
criados na tentativa de justificar o anatocismo. Os mais comuns são:
- A capitalização existe porque o cálculo do Valor Presente se faz
aplicando taxas de juros compostas, ou exponenciais;
- Há capitalização porque a TIR – Taxa Interna de Retorno aplica
taxas compostas ou exponenciais;
- A capitalização está “demonstrada” pelo fato de que existe a
expressão (1+i)n.
3.1 – Valor Presente Líquido (VPL)
32
Alguns profissionais têm aplicado a fórmula do Valor Presente, ou
Valor Atual, na tentativa de comprovar, por indução, a existência de
capitalização composta na tabela price.
O Valor Presente Líquido é uma técnica de análise de investimentos
que se propõe a determinar o valor de um fluxo de caixa (pagamentos e
recebimentos) no momento zero ou inicial, utilizando-se uma determinada
taxa de juros.
A fórmula utilizada para se determinar o VPL é a seguinte:
VPL = FC1 + ...... + FC n (1+i) 1 (1+i) n
onde:
FC1 = Fluxo de caixa no período 1
FCn = Fluxo de caixa no último período
I = taxa de juros
Pode-se fazer uma análise utilizando os sistemas de amortização
apresentados no capítulo II (Sistema Americano, Sistema de Amortização
Constante e Sistema Price) para determinar o Valor Presente Líquido, no
momento zero, de cada prestação, como a seguir demonstrado:
Para o sistema americano:
VPL = 12.000,00 + 12.000,00 + 12.000,00 + 12.000,00 + 312.000,00 1,041 1,042 1,043 1,044 1,055
VPL = 300.000,00
O cálculo de cada prestação fica da seguinte forma:
Prestação 1 = 12.000,00 ÷ 1,041 = 11.538,46
33
Prestação 2 = 12.000,00 ÷ 1,042 = 11.094,67
Prestação 3 = 12.000,00 ÷ 1,043 = 10.667,96
Prestação 4 = 12.000,00 ÷ 1,044 = 10.257,65
Prestação 5 = 312.000,00 ÷ 1,045 = 256.441,26 VPL = 300.000,00
Observando as tabela abaixo pode se ter uma visão comparativa
mais evidente.
Taxa de juros = 4%
Sistema Americano
N Juros Amortização PagamentoSaldo
devedor VPL
0 0 0 0 300.000,00 0
1 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00 11.538,46
2 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00 11.094,67
3 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00 10.667,96
4 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00 10.257,65
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 256.441,26
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00 300.000,00
Conhecendo o valor das prestações é possível, através da fórmula
do Valor Presente Líquido, determinar o valor do financiamento. Basta
descontar o valor das prestações de cada período utilizando a mesma taxa
de juros do financiamento que neste caso é de 4%. Demonstra-se a seguir
o cálculo para o sistema de amortização constante e para a tabela price.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
n Juros Amortização PagamentoSaldo
devedor VPL
34
0 - - - 300.000,00 -
1
12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 69.230,77
2
9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 64.349,11
3
7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 59.740,56
4
4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 55.391,31
5
2.400,00 60.000,00 62.400,00 - 51.288,25
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 300.000,00
O fato de se poder determinar o valor presente de um valor no futuro
não caracteriza juros sobre juros.
A tabela price por utilizar o princípio da progressão geométrica,
assim como o VPL, é pouco compreendida. Através da tabela a seguir será
possível compreender que o crescimento exponencial que ocorre neste
sistema e na parcela de amortização.
Sistema Price (ou Sistema Francês)
n Juros Amortização PagamentoSaldo
devedor VPL
0 - - - 300.000,00 -
35
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 64.796,28
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 62.304,12
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 59.907,81
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 57.603,66
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 - 55.388,13
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 300.000,00
Como se pode perceber há uma relação inversa entre o VPL da 1ª
parcela descontada para a data inicial (zero) e o valor da amortização da
última parcela. O argumento é que se o VPL da quinta parcela (R$
55.388,13) na data zero for capitalizado para o período 5 (cinco) utilizando-
se a mesma taxa de juros do financiamento, encontrar-se-á o valor da
prestação. O que é verdade. Mas isso só é possível porque no sistema price
o valor da amortização é crescente. Observe o crescimento da parcela de
amortização a seguir e compare com a tabela.
R$ 55.388,13 x 1,045-1 = R$ 64.796,28.
O crescimento verificado no exemplo anterior refere-se tão somente
a parcela de amortização. Como o saldo devedor no período 4 é de R$
64.796,28 se for acrescido a este valor os juros do período encontrar-se-á o
valor da prestação que é de R$ 67.388,13.
Como em qualquer sistema de amortização os juros são calculados
sobre o saldo devedor e após o pagamento da 4ª parcela esse saldo é de
R$ 64.796,28.
No sistema price após o pagamento da prestação o saldo devedor
diminui, a parcela de amortização aumenta geometricamente e
consequentemente o valor dos juros é reduzido.
36
Já foi comprovado que taxa acumulada, ou geométrica, não é o
mesmo que juros capitalizados.
Pode-se estabelecer um plano de pagamentos com taxas
geométricas, ou acumuladas, sem que ocorra capitalização de juros.
O que a Súmula 121 do STF proíbe é a capitalização de juros.
"121. É vedada a capitalização de juros, ainda que expressamente
contratada.".
Assim, se temos um plano de pagamentos cujos vencimentos
ocorram a 38 dias, 45 dias e 50 dias de cada vencimento a partir da data
inicial, e a taxa de juros de 3% para cada período de 30 dias, as taxas
nesses períodos serão:
Dias Taxas
38 dias 3,82%
45 dias 4,53%
50 dias 5,05%
O fato de se aplicar taxas diversas, calculadas de forma geométrica
não implica, na prática do anatocismo, pois esta é a técnica para se
determinar a taxa equivalente.
Pode utilizar o sistema americano de amortizações, para um
financiamento de R$ 10.000,00, de acordo com os prazos acima
mencionados para comprovar tal situação:
- Primeiro: vencimento a 38 dias, taxa de 3,82% (Juros de R$ 382,00
debitado no vencimento e pago na mesma data, permanecendo o saldo
devedor de R$ 10.000,00);
37
- Segundo: vencimento a 45 dias do primeiro vencimento, taxa 4,53%
sobre R$ 10.000,00 (Juros de R$ 453,00 pago no mesmo dia do débito,
permanecendo o saldo devedor de R$ 10.000,00);
- Terceiro: vencimento a 50 dias do primeiro vencimento, taxa de 5,05%
(Juros de R$ 505,00, debitado no vencimento e pago na mesma data,
desta vez juntamente com o débito de principal: R$ 10.505,00).
Não ocorreu a prática do anatocismo, pois os juros foram pagos e
não capitalizados. Os juros foram contados, sempre, sobre o principal do
financiamento.
Anatocismo
"É a incidência de juros sobre os juros acrescidos ao saldo devedor em
razão de não terem sido pagos. Os juros obtidos, por meio desta prática, são
somados ao capital e será a base para o cálculo da nova contabilização de
juros”. (DireitoNet. Dicionário jurídico online)
Abelardo de Lima Puccini ensina que:
"No regime de juros compostos os juros de cada período, quando não são
pagos no final do período, devem ser somados ao capital e,
consequentemente, também passam a render juros." (PUCCINI, Abelardo de
Lima. 2002, p. 38)
Logo, de acordo com a boa lógica, se os juros foram pagos no
vencimento não há o que capitalizar.
Não são as taxas de juros e nem os períodos de vencimentos que
caracterizam a capitalização composta. Os contratos podem estabelecer
livremente tanto as taxas aplicáveis em cada período de vencimento, como
os vencimentos, que não têm a obrigação de ser a cada 30 (trinta) dias. O
38
importante é não adicionar juros ao principal e, sobre o montante (principal +
juros), calcular novos juros.
3.2 – Taxa Interna de Retorno (TIR)
No que tange à TIR - Taxa Interna de Retorno, esse cálculo se
destina a apurar qual a taxa efetiva de um fluxo de caixa, verificando, ao
final, em que essa taxa é diferente da taxa de atratividade prevista para um
investimento. Tal apuração da TIR é feita por taxas compostas, o que não
significa, necessariamente, juros compostos, como já foi dito. Como aliás
não poderia deixar de ser a matemática financeira cuida do valor do dinheiro
no tempo. Nos sistemas de amortização, inclusive na tabela price, essa taxa
é previamente conhecida, dispensando novos cálculos.
3.3 – A expressão matemática (1 + i)n
Analisando a fórmula de cálculo do valor da prestação pelo Sistema
Price, verifica-se que tanto no numerador como no denominador a
expressão (1+i)n é modificada. No numerador, pelo "redutor" "i", e no
denominador pela dedução de uma unidade (1) da expressão.
O conjunto da fórmula é que deve ser analisado pois, por exemplo,
(1+i)n não é a mesma coisa que [(1+i)n x i]. Parece bastante claro que as
duas fórmulas não são iguais, não podendo, por isso mesmo, dizer-se que
se trata de capitalização.
Qualquer tipo de argumento sobre a ilegalidade da tabela price deve
ser analisado à luz da matemática financeira. Não se deve acreditar em tudo
o que se houve ou lê. Não é porque alguém que tem credibilidade fez uma
afirmativa que se deve considerar como verdade absoluta.
39
CONCLUSÃO
Este item completará a demonstração de que a alegação da
existência de anatocismo na Tabela Price não tem fundamento.
Uma das principais alegações sobre a ilegalidade da tabela price
reside na aplicação de uma fórmula exponencial ou geométrica. O que faria
com que os juros crescessem progressiva e geometricamente. E isso não é
verdade. Tal constatação virá da análise da definição de progressão
geométrica.
40
“Progressão geométrica é uma seqüência de números não nulos, em
que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior
multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão”.
(GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto & GIOVANI JR, José
Ruy . 1994, p. 155)
Exemplo: (4,8,16,32,64)
8 = 4 . 2
16 = 8 . 2
32 = 16 . 2
64 = 32 . 2
Representação matemática da progressão geométrica:
an+1 = an . q
an = termo geral
q = razão
n – número de termos
Exemplo: Escrever uma P.G de cinco termos em que a1 = 4 e q = 2.
a1 = 4
a2 = a1 . q = 4 . 2 = 8
a3 = a2 . q = 8 . 2 = 16
a4 = a3 . q = 16 . 2 = 32
a5 = a4 . q = 32 . 2 = 64
Fórmula do termo geral:
an = a1 . qn-1
Esta fórmula permite que se determine qualquer termo de uma P.G sem
precisar escrevê-la integralmente como no exemplo acima. Veja:
41
Determinar o 5º termo de uma P.G onde a1 = 4 e q = 2.
an = 5º termo
a1 = 1º termo
a5 = 4 . 25-1
a5 = 4 . 16
a5 = 64
Querendo-se saber qual é soma desses 5 termos da progressão geométrica
é só aplicar a fórmula da soma dos termos de uma P.G conforme abaixo:
Sn = a1 . ( qn - 1 ) q - 1
Onde: Sn = soma dos termos
Do exemplo acima tem-se:
Sn = 4 . ( 25 – 1 ) 2 – 1 Sn = 4 . 31
Sn = 124
Constatação da veracidade da fórmula:
Se os termos da PG forem somados chega-se ao resultado Sn = 124.
(4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 124)
O sistema de amortização francês ou price, assim com o regime de
capitalização composto, a TIR e o VPL utilizam o princípio da progressão
geométrica, sendo que no sistema price este princípio é utilizado para se
determinar a parcela de amortização em cada pagamento.
Caso hipotético de aplicação prática:
- Valor do financiamento: R$ 10.000,00
- Taxa de Juros: 2% ao mês
- Prazo: 4 anos
42
- Prestação: R$ 2.626,24 do tipo postecipada. (Obtida multiplicando o valor
do financiamento pelo FRC - Fator de Recuperação de Capital de 0,262624).
Pode-se determinar, de antemão, as parcelas de juros e
amortizações contidas em cada prestação, cujas parcelas não são
absolutamente iguais em cada vencimento.
O valor da prestação, que será constante, já foi determinado através
da multiplicação do Valor financiado pelo FRC - Fator de Recuperação de
Capital. Para saber o valor dos juros da primeira parcela é só multiplicar o
Valor financiado pela taxa de juros, ou seja: R$10.000,00 x 2% = R$200,00.
Já é conhecido que prestação é igual amortização + juros, então é
só fazer uma conta simples.
Prest = amortização + juros
Amortização = Prest - juros
Amortização = R$2.626,24 - R$ 200,00
Amortização = R$2.426,24
No sistema price as parcelas de amortização crescem na razão igual
a (1+i), onde: i = 0,02 ; então a razão será igual a (1,02), logo:
a1 = R$2.426,24
q = (1,02)
Se em uma progressão geométrica cada termo posterior, a partir do
segundo, é igual ao anterior, multiplicado por um número fixo chamado
razão, então:
a2 = a1 . q = R$2.426,24 x 1,02 = R$2.474,76
a3 = a2 . q = R$2.474,76 x 1,02 = R$ 2.524,26
a4 = a3 . q = R$2.524,26 x 1,02 = R$ 2.574,75
Para um plano de amortização de longo prazo será mais prático
utilizar a fórmula do termo geral.
43
an = a1 . qn-1
Querendo-se calcular o valor que será amortizado na última parcela
do financiamento é só aplicar a fórmula do termo geral. Veja:
a4 = R$2.426,24 . (1,02)4 - 1
a4 = R$2.426,24 . 1,061208
a4 = R$ 2.574,75
Para se saber a amortização acumulada até a última parcela é só
aplicar a fórmula da soma dos termos de uma P.G.
Sn = a1 . ( qn - 1 ) q - 1 Exemplo: Sn = R$2.426,24 x (1,024 – 1) 1,02 – 1
Sn = R$2.426,24 x 0,082421 0,02
Sn = R$10.000,00
Na Tabela Price (sistema francês de amortizações) os juros são
decrescentes, assim como o saldo devedor, enquanto as amortizações são
crescentes. Isso ocorre exatamente porque os juros não são capitalizados,
mas contados apenas sobre o principal reduzido de amortizações
crescentes, ou seja o que cresce geometricamente é a parcela de
amortização e não os juros e, quanto a isso não há nenhuma ilegalidade.
44
No exemplo em estudo, as parcelas de juros e amortizações em
cada parcela são as seguintes:
Prestação nº Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 0 0 0 R$ 10.000,00
1 R$ 2.626,24 R$ 200,00 R$ 2.426,24 R$ 7.573,76
2 R$ 2.626,24 R$ 151,48 R$ 2.474,76 R$ 5.099,00
3 R$ 2.626,24 R$ 101,98 R$ 2.524,26 R$ 2.574,74
4 R$ 2.626,24 R$ 51,50 R$ 2.574,74 R$ 0,00
Percebe-se que os juros são regressivos na mesma proporção do
saldo devedor, e não progressivos, ou seja, se o saldo devedor inicial era de
R$10.000,00 e após a amortização da 1ª parcela passou a ser de
R$7.573,76; então houve uma redução de 24,2624% (R$10.000,00 -
24,2624% = R$ 7.573,76).
Se for aplicado o mesmo percentual sobre a 1ª parcela de juros
chegaremos ao valor dos juros na 2ª parcela. (R$200,00 – 24,2624% =
R$151,48).
O fato de se utilizar o princípio da progressão geométrica não implica
em anatocismo, pois o que é geométrico é a amortização e não os juros.
Constatações:
1 – O débito de juros é feito na data do vencimento de cada parcela,
incidente sobre o saldo devedor anterior; esses juros são pagos na mesma
data, através do destaque da parcela a ele destinado; do total da prestação
a diferença (parcela menos juros) destina-se à amortização do principal.
2 – Os juros são sempre decrescentes, o que não ocorreria se houvesse
capitalização, quando eles seriam sempre crescentes.
45
3 – As amortizações são sempre crescentes, em progressão geométrica cuja
razão é igual à taxa de juros.
4 – Os saldos são decrescentes, da mesma forma dos juros, o que
demonstra que os juros não são capitalizados.
CONCLUINDO: Alegação da existência de anatocismo na Tabela Price não
tem fundamento.
BIBLIOGRAFIA
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48
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ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO 2
AGRADECIMENTO 3
DEDICATÓRIA 4
RESUMO 5
METODOLOGIA 6
SUMÁRIO 7
INTRODUÇÃO 8
CAPÍTULO I
Conceitos básicos de matemática financeira 09
1.1 - Capitalização 10
1.2 – Amortização 14
1.3 - Taxas de juros 16
1.4 - Correção monetária 19
CAPÍTULO II
49
Sistemas de amortização 21
2.1 - Sistema Americano 23
2.2 - Sistema de Amortização Constante (SAC) 24
2.3 - Sistema Price (Sistema Francês) 25
CAPÍTULO III
A tabela price e os argumentos de anatocismo 30
3.1 – Valor Presente Líquido (VPL) 33
3.2 – Taxa Interna de Retorno (TIR) 39
3.3 – A expressão matemática (1 + i)n 39
CONCLUSÃO 41
BIBLIOGRAFIA 47
ÍNDICE 50
50
FOLHA DE AVALIAÇÃO
Nome da Instituição: Universidade Cândido Mendes
Projeto A Vez do Mestre
Pós-Graduação “Lato Sensu”
Título da Monografia: A tabela price nos financiamentos habitacionais
Autor: Edilson Magalhães de Abreu
Data da entrega: 30/06/2003
Avaliado por: Conceito:
Avaliado por: Conceito:
Avaliado por: Conceito:
Conceito Final: