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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO LAERTE CANAVARRO PERALI

OPERAÇÕES COM VETORES E SUAS APLICAÇÕES NO ESTUDO DA FÍSICA

UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES

DE REGISTROS SEMIÓTICOS COM AUXÍLIO DE UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA

SÃO PAULO 2011

2

LAERTE CANAVARRO PERALI MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

OPERAÇÕES COM VETORES E SUAS APLICAÇÕES NO ESTUDO DA FÍSICA

UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES

DE REGISTROS SEMIÓTICOS COM AUXÍLIO DE UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA

Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Monica Karrer.

SÃO PAULO 2011

3

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA UNIBAN - SP CAMPO MR

P482o Perali, Laerte Canavarro. Operações com vetores e suas aplicações no estudo da Física: uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos com o auxílio de um ambiente de geometria dinâmica/ Laerte Canavarro Perali – São Paulo: [s.n.], 2011. f.;Il.; 30cm. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática. Orientadora: Profa Dra. Monica Karrer. 1. Vetores 2. Geometria Analítica 3. Física 4. Registros de

representações semióticas 5. Design Experiment I. Título.

CDD: 516.182

4

LAERTE CANAVARRO PERALI

OPERAÇÕES COM VETORES E SUAS APLICAÇÕES

NO ESTUDO DA FÍSICA

UMA ABORDAGEM ENVOLVENDO CONVERSÕES DE REGISTROS SEMIÓTICOS COM

AUXÍLIO DE UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________________ Profa. Dra. Monica Karrer (Presidente - Orientadora)

_______________________________________________________________

Profa. Dra. Edna Maura Zuffi (1a Titular Externa - USP)

______________________________________________________ Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros (2° Titular Interno – UNIBAN)

SÃO PAULO

5

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: ____________________________________

Local e Data: ___________________________________

6

“O que ouço, esqueço; O que

vejo, lembro; O que faço,

aprendo” Confúcio

Dedico este trabalho aos meus

primeiros mestres, Ruth

Canavarro da Fonseca e

Raffaele Perali. Pais

carinhosos e dedicados que

me despertaram a curiosidade

pela matemática e pelas

ciências.

7

AGRADECIMENTOS

À Professora Doutora Monica Karrer, pela orientação realizada com

muita dedicação, competência, incentivo constante e paciência divina,

proporcionando-me a evolução na minha formação acadêmica,

educacional e sobretudo pessoal. Minha gratidão eterna.

Ao Professor Doutor Luiz Gonzaga Xavier de Barros pelas

contribuições, sugestões e críticas que ajudaram tanto neste trabalho.

À Professora Doutora Edna Maura Zuffi que aceitou o convite para

participar da banca fornecendo importantes contribuições.

Aos Professores Doutores Tânia Maria Mendonça Campos e Ruy

Pietropaolo pela iniciativa de fornecerem um curso de excelência e

manter um alto nível de professores dedicados.

Aos Professores do Programa de ensino de Pós-Graduação em

Educação Matemática da UNIBAN-SP, por todo apoio e incentivo dado

durante todo o meu percurso.

Às estudantes voluntárias da Faculdade Oswaldo Cruz de São Paulo

que contribuíram no desenvolvimento do experimento.

À minha irmã Lenita, pela presença contínua, atenção em todas as

horas, estímulo e incentivo constante.

Aos Professores, Anderson Araujo, Benedito José Santos, Márcio

Rogério Müller e Robert Joseph Didio pelo apoio, companheirismo e

atenção à nossa amizade.

8

RESUMO

Este trabalho teve por objetivo introduzir as operações de adição de vetores e

multiplicação de um vetor por um escalar real, partindo de uma abordagem gráfica

no ambiente de geometria dinâmica Cabri Géomètre II-Plus. Visando um trabalho

interdisciplinar, também foram exploradas as relações entre este conteúdo e as

aplicações da Física. A teoria que fundamentou esse estudo foi a dos registros de

representações semióticas de Duval (1995, 2003, 2009), uma vez que se procurou

explorar as conversões entre representações dos registros gráfico, algébrico e da

língua natural do conteúdo proposto. Com base na metodologia de Design

Experiment de Cobb et al. (2003), foi elaborado um experimento de ensino sobre

este tema, o qual foi aplicado a dois estudantes voluntários do curso de Licenciatura

em Química, que já haviam tido contato com o mesmo por meio de uma abordagem

tradicional. As etapas do estudo foram compostas por um questionário inicial, uma

familiarização com o software, uma revisão de conceitos considerados pré-requisitos

para o desenvolvimento do experimento, as atividades do experimento no ambiente

computacional, as atividades de aplicação na mecânica e um questionário para

avaliar as possíveis evoluções dos sujeitos. Apesar de se constatar que nem todas

as dificuldades apresentadas no questionário inicial foram superadas, a abordagem

desse estudo permitiu aos estudantes evoluções conceituais e nas conversões

envolvendo o registro gráfico. Salienta-se, também, que o aspecto dinâmico do

recurso computacional adotado favoreceu a atividade de experimentação e a

elaboração e validação de conjecturas.

Palavras-chave: Vetores. Geometria Analítica. Física. Registros de representações

semióticas. Design Experiment.

9

ABSTRACT

The objective of this study was the introduction of the vector addition and

multiplication operations by a real scalar, starting from a graphical approach in Cabri

Géomètre II-Plus dynamic geometry environment. Seeking an interdisciplinary work,

the relationship between this content and physics applications were also explored.

The theory supporting this study was the Duval semiotic representations registers

(1995, 2003, 2009), since we tried to explore the conversions between the

representation graphic, symbolic and natural language registers of the proposed

content. Based on the methodology of Design Experiment of Cobb et al. (2003), we

developed a learning experiment on this topic, which was applied to two Chemistry

Degree volunteer students, who had contact with it through a traditional approach.

The stages of the study involved of an initial questionnaire, a familiarization with the

software, a review of concepts considered prerequisites for the development of the

experiment, the activities of the experiment in the computing environment, the

activities of mechanics and applied a questionnaire to assess the possible

developments evolutions of the subjects. Although it seems that not all the difficulties

presented in the initial questionnaire were overcome, the approach of this study

allowed the students to get conceptual developments and enhancements in

conversions involving the graphical register. It should be noted also that the dynamic

aspect of computer resources adopted favored the experimentation activity and the

conjectures development and validation.

Keywords: Vectors. Analytic Geometry. Physics. Semiotic Representation Registers.

Design Experiment.

10

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO................................................................................................... 18

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.......................... 22

2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA....................................................................... 22

2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA............................................................................ 34

2.2.1 Pesquisas relacionadas................................................................................. 34

2.2.2 Análise de pesquisas relacionadas à Geometria Analítica........................... 35

2.2.3 Análise de pesquisas relacionadas à Física................................................. 45

2.2.4 Análise de pesquisas relacionadas ao uso de recursos computacionais.......................................................................................................

55

2.2.5 Análise de pesquisas relacionadas à Interdisciplinaridade.......................... 67

3 METODOLOGIA DA PESQUISA............................................................................... 71

3.1 A METODOLOGIA DOS DESIGN EXPERIMENTS............................................ 71

3.2 RELAÇÃO DE NOSSO ESTUDO COM A METODOLOGIA ADOTADA........ 72

3.2.1 Sujeitos........................................................................................................ 73

3.2.2 Papel do Professor-Pesquisador................................................................. 74

3.2.3 Material e Ambiente de Trabalho................................................................. 74

4 APRESENTAÇÃO DO EXPERIMENTO DE ENSINO....................................... 75

4.1 APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DO PRÉ-EXPERIMENTO........................ 75

4.1.1 Questões do Pré-experimento....................................................................... 76

4.2 APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI.......... 78

4.3 APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DE REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS................................................................................................................

96

4.3.1 Revisão de conceitos básicos ..................................................................... 96

4.4. APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES DO EXPERIMENTO PRINCIPAL.. 99

4.4.1. Apresentação da Atividade 1........................................................................ 99

4.4.1.1. Objetivos específicos da Atividade 1......................................................... 101

4.4.1.2 Objetivos específicos das situações da Física na Atividade 1.................. 103

4.4.2 Apresentação da Atividade 2....................................................................... 103

4.4.2.1 Objetivos específicos da Atividade 2........................................................ 104


4.4.3 Revisão de trigonometria e Apresentação da Atividade 3............................ 106

4.4.3.1 Revisão de trigonometria realizada com os sujeitos................................. 107

4.4.3.2 Apresentação da Atividade 3.................................................................... 111

4.4.3.2.1 Objetivos específicos da Atividade 3..................................................... 113

11

4.4.3.2.2 Objetivos específicos de situações da Física na Atividade 3................ 115






4.4.5.2 Objetivos específicos das situações presentes em obras de Física........ 123

4.5 APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DO PÓS-EXPERIMENTO....................... 124

5 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES................................................ 125

5.1 INTRODUÇÃO............................................................................................... 125

5.2 ANÁLISE DA ATIVIDADE DE PRÉ-EXPERIMENTO ................................... 126

5.3 ANÁLISE DA ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE............. 131

5.4 ANÁLISE DA ATIVIDADE DE CONCEITOS BÁSICOS DAS GRANDEZAS FÍSICAS E DE VETOR..........................................................................................

132

5.5 ANÁLISE DA ATIVIDADE 1E DAS SITUAÇÕES DE FÍSICA....................... 132

5.6 ANÁLISE DA ATIVIDADE 2 E DAS SITUAÇÕES DE FÍSICA...................... 136

5.7 ANÁLISE DA ATIVIDADE DE CONCEITOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA.................................................................................................

141

5.8 ANÁLISE DA ATIVIDADE 3 E DAS SITUAÇÕES DE FÍSICA....................... 141

5.9 ANÁLISE DA ATIVIDADE 4 E DAS SITUAÇÕES DE FÍSICA....................... 151

5.10 ANÁLISE DA ATIVIDADE 5 E DAS SITUAÇÕES DE FÍSICA...................... 155

5.11 ANÁLISE DA ATIVIDADE DE PÓS-EXPERIMENTO .................................. 164

6 CONCLUSÃO.................................................................................................... 169

6.1. SINTESE DAS ETAPAS DA PESQUISA ....................................................... 169

6.2. ANÁLISE DAS HIPÓTESES DO ESTUDO..................................................... 170

6.3. O DESEMPENHO DOS SUJEITOS DE PESQUISA ..................................... 173

6.4. O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL NO EXPERIMENTO............. 173

6.5. A ANÁLISE DA QUESTÃO DE PESQUISA................................................... 174

6.6. PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES..................................... 175

REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 176

ANEXOS ......................................................................................................................... 180

12

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – Tabulação dos Dados – Capítulo 2 do Livro 1.………………… 40

FIGURA 2 – Tabulação dos Dados – Capítulos 1 e 2 do Livro 2.…………… 40

FIGURA 3 – Exemplo da aplicação da regra do Paralelogramo ……………. 43

FIGURA 4 – Montando um gráfico sobre uma simulação do movimento do

pêndulo ……………………………………………………………..

51

FIGURA 5 – Uso do Cabri na atividade 1 ……………………………………... 60

FIGURA 6 – Uso do SPC na atividade 2.………………………………………. 61

FIGURA 7 – Uso do TEBO na atividade 2.…………………………………….. 62

FIGURA 8 – Uso do ToonTalk na atividade 3 ……………………………….... 63

FIGURA 9 – Representação da adição de vetores – Aluna A – Tarefa 3 –

Pré-experimento …………………………………………………...

128

FIGURA 10 – Representação da adição de vetores – Aluna A – Tarefa 5 –

Pré-experimento …………………………………………………...

128

FIGURA 11 – Análise de direção, sentido e módulo. (Aluna „A‟) …………….. 129

FIGURA 12 – Representação geométrica da adição de dois vetores. (Aluna

„B‟).……………………………………………………………………

129

FIGURA 13 – Direção, o sentido e o módulo do resultado. (Aluna „B‟).……… 130

FIGURA 14 – Atuação dos sujeitos nas tarefas da atividade 1 ………………. 134

FIGURA 15 – Conclusão da tarefa „f‟, Atividade 1 ……………………………... 135

FIGURA 16 – Resultados da manipulação na tarefa „d‟, Atividade 2 ………… 138

FIGURA 17 – Produção escrita na tarefa „d‟, Atividade 2 ……………………... 138

FIGURA 18 – Produção escrita da tarefa „e‟, Atividade 2 ……………………... 139

FIGURA 19 – Produção escrita da tarefa „f‟, Atividade 2 ……………………… 140

FIGURA 20 – Produção escrita da tarefa „b‟, Atividade 3 ……………………... 144

FIGURA 21 – Produção escrita da tarefa „c‟, Atividade 3 ……………………... 144

FIGURA 22 – Produção escrita da tarefa „d‟, Atividade 3 ……………………... 145

FIGURA 23 – Conclusão escrita da primeira parte da tarefa „e‟ na

Atividade 3 ………………………………………………………….

146

FIGURA 24 – Conclusão escrita da segunda parte da tarefa „e‟ na

Atividade 3 ……………………………………………………….....

146

FIGURA 25 – Conclusão escrita da tarefa „e‟ na Atividade 3 …………………. 147

13

FIGURA 26 – Interferência do professor-pesquisador na atividade 3 de

Física ……………………………………………………………......

149

FIGURA 27 – Resolução da atividade 3 de Física ……………………………... 150




FIGURA 31 – Produção da atividade 4 no Cabri 2D …………………………... 154

FIGURA 32 – Conclusão escrita da tarefa „b‟, Atividade 4 ……………………. 154

FIGURA 33 – Produção escrita da Tabela 7, Atividade 5 ……………………... 159


FIGURA 35 – Produção escrita da Tabela 9, Atividade 5 ……………………... 160

FIGURA 36 – Conclusão escrita da tarefa „h‟, Atividade 5 ……………………. 161

FIGURA 37 – Conclusão escrita da tarefa „i‟, Atividade 5 …………………….. 161

FIGURA 38 – Representação do vetor resultante na situação 2, Atividade 5 . 163

FIGURA 39 – Produção escrita da primeira questão. (Aluna „A‟)..………….... 164

FIGURA 40 – Representação de um vetor adição. (Aluna „A‟).……………….. 165

FIGURA 41 – Representação de um vetor adição. (Aluna „A‟).……………….. 165

FIGURA 42 – Representação da multiplicação de um vetor. (Aluna „A‟) ……. 166

FIGURA 43 – Representação de um vetor adição. (Aluna „B‟) ……………….. 167

FIGURA 44 – Definição de Grandeza Vetorial. (Aluna „B‟).……………………. 168

14

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 – Exemplo de tratamento no registro algébrico....................... 26

QUADRO 2 – Exemplo de tratamento no registro gráfico.......................... 26

QUADRO 3 – Exemplos de tratamentos no registro algébrico................... 27

QUADRO 4 – Exemplo de conversão do registro algébrico para o

gráfico..........……………………………………….......

27

QUADRO 5 – Exemplos de conversão do registro algébrico para o

gráfico no conteúdo referente a vetor.……………….

28

QUADRO 6 – Tipos e funções das representações................................... 29

QUADRO 7 – Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no

funcionamento matemático.………………………………......

32

QUADRO 8 – Exemplo de análise da congruência da atividade de

conversão.………………………………………………...........

33

QUADRO 9 – Exemplo de conversão congruente.…………………………. 33

QUADRO 10 – Exemplo de conversão não congruente.……………………. 33

QUADRO 11 – Classificação dos registros de representação.…………….. 37

QUADRO 12 – Livros usados por Campos (2000).………………………….. 46

QUADRO 13 – Livros de alguns físicos, relacionando a Matemática e a

Física …………………………………………………………....

48

QUADRO 14 – Livros analisados por Martini (2006).………………………... 49

QUADRO 15 – Funções e responsabilidades de cada membro do grupo .. 54

QUADRO 16 – Questões e Resultados.……………………………………..... 54

QUADRO 17 – Trabalhos encontrados na internet sobre o tema

Modelagem Matemática e o ensino de Física.……………...

67

QUADRO 18 – Resumo dos tipos de relações entre as disciplinas

educacionais.…………………………………………………...

69

QUADRO 19 – Pré-experimento ……………………………………………..... 77

QUADRO 20 – Tela Inicial do Software Cabri ……………………………….. 78

QUADRO 21 – Ícones das ferramentas no Cabri.……………………………. 79

QUADRO 22 – Uso da opção Vetor.…………………………………………... 79

QUADRO 23 – Exemplo de Representante de Vetor ………………………. 80

QUADRO 24 – Uso da opção - Mostrar eixos ……………………………….. 80

15

QUADRO 25 – Exemplo de sistema de eixos ……………………………….. 81

QUADRO 26 – Uso da opção – Definir grade ……………………………...... 81

QUADRO 27 – Exemplo de Grade na tela.…………………………………… 81

QUADRO 28 – Uso da opção – Equação ou coordenadas ……………….... 82

QUADRO 29 – Exemplo de coordenadas ……………………………………. 82

QUADRO 30 – Uso da opção - Distância ou comprimento ………………… 83

QUADRO 31 – Exemplo de comprimento de um representante de um

vetor ……………………………………………………………..

83

QUADRO 32 – Uso da opção – Etiqueta ……………………………………... 84

QUADRO 33 – Exemplo de etiqueta para um representante de vetor ……. 84

QUADRO 34 – Exemplo de preenchimento da etiqueta ……………………. 85

QUADRO 35 – Exemplo de ajuste da etiqueta ………………………………. 85

QUADRO 36 – Uso da opção – Cor …………………………………………... 86

QUADRO 37 – Exemplo de uso da opção cor ……………………………….. 86

QUADRO 38 – Uso da opção - Espessura.…………………………………… 87

QUADRO 39 – Exemplo do uso da espessura.………………………………. 87

QUADRO 40 – Uso da opção – Adição de dois vetores…………………….. 88

QUADRO 41 – Exemplo do uso da opção adição………………………….... 88

QUADRO 42 – Exemplo de mudança de cor……………………………….... 89

QUADRO 43 – Uso da opção – Número…………………………………….... 89

QUADRO 44 – Exemplo de uso da opção número.………………………….. 90

QUADRO 45 – Uso da opção - Homotetia.………………………………….... 90

QUADRO 46 – Exemplo do uso da homotetia – escolhendo o vetor ……… 91

QUADRO 47 – Exemplo do uso da homotetia – usando o fator …………... 91

QUADRO 48 – Exemplo do uso da homotetia – escolhendo um ponto de

origem …………………………………………………………..

91

QUADRO 49 – Exemplo do resultado do uso da homotetia de fator 2 ……. 92

QUADRO 50 – Ajuste na imagem do representante do vetor, para

melhorar sua visualização ………………………………........

92

QUADRO 51 – Uso da opção – Triângulo ………………………………….... 93

QUADRO 52 – Exemplo de triângulo ………………………………………..... 93

QUADRO 53 – Uso da opção – Polígono …………………………………….. 94

QUADRO 54 – Exemplo de Polígono …………………………………………. 94

16

QUADRO 55 – Uso da opção – Circunferência ……………………………... 95

QUADRO 56 – Exemplo de Circunferência ………………………………….. 95

QUADRO 57 – Revisão de Física ……………………………………………... 97

QUADRO 58 – Revisão de Vetores …………………………………………… 99

QUADRO 59 – Atividade 1 ……………………………………………………... 101

QUADRO 60 – Atividade 1 de Física …………………………………………. 102

QUADRO 61 – Apresentação da Atividade 2 ………………………………… 104

QUADRO 62 – Apresentação das situações da Física da Atividade 2 ……. 106

QUADRO 63 – Atividade de Revisão de Trigonometria …………………….. 110

QUADRO 64 – Apresentação da Atividade 3 ………………………………... 113


QUADRO 66 – Apresentação da Atividade 4.………………………………… 116


QUADRO 68 – Apresentação da Atividade 5 ………………………………… 120

QUADRO 69 – Apresentação de situações presentes em obras de Física . 123

QUADRO 70 – Atividade de Pré-Experimento ……………………………..... 127

QUADRO 71 – Tarefas da Atividade 1 ……………………………………….. 133






QUADRO 77 – Produção inicial da atividade 3 de Física ………………...... 148




QUADRO 81 – Atividade 5 que podem ser utilizadas na Física …………… 162

17

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 – Exemplo das dificuldades apresentadas pelos alunos de

Engenharia e Matemática na manipulação com vetores ……...

36

TABELA 2 – Resumo dos resultados ………………………………………….. 38

TABELA 3 – Resultados da atividade 2, parte C.……………………………... 47

TABELA 4 – Médias e porcentagens dos grupos GC e GT.…………………. 52

TABELA 5 – Nível de Ensino x Ano de publicação …………………………… 57

TABELA 6 – Modalidades de uso do computador no ensino de Física x

Ano de publicação………………………………………………….

57

TABELA 7 – Enfoque x Ano de Publicação …………………………………… 58

18

1 INTRODUÇÃO

Esta pesquisa teve por objetivo elaborar, aplicar e avaliar um experimento de

ensino sobre as operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um

escalar, conteúdos desenvolvidos na disciplina de Geometria Analítica do ensino

superior. O experimento foi elaborado partindo de uma abordagem gráfica no Cabri-

Géomètre II-Plus, aliada às aplicações da Mecânica Newtoniana.

A teoria dos registros de representações semióticas de Duval (1995, 2003,

2009) fundamentou esse estudo. Para esse pesquisador, o acesso a um objeto

matemático requer necessariamente o uso de representações semióticas e, para a

compreensão do mesmo, é necessário articular representações provenientes de

diferentes registros. As principais concepções do autor são descritas no capítulo 2

do presente trabalho.

Além da importância da exploração de diversos registros semióticos de um

mesmo objeto matemático, a necessidade do presente trabalho se deu em virtude

da problemática apontada por diversos pesquisadores com relação à aprendizagem

do conteúdo de vetores. Dentre eles, citamos Pavlopoulou (1993), Castro (2001) e

Bittar (2003), os quais desenvolveram estudos sobre este objeto matemático,

apontando dificuldades dos estudantes principalmente em conversões envolvendo o

registro gráfico. Pavlopoulou apresentou a diferença de desempenho dos sujeitos

quando da inversão do sentido de conversão, evidenciando maior dificuldade em

situações partindo do registro gráfico. Castro (2001) revelou que os alunos de sua

pesquisa apresentavam, inicialmente, dificuldades em atividades envolvendo a

conversão de registros do objeto matemático vetor e que, após a aplicação de sua

seqüência didática, houve evolução neste tipo de transformação. Bittar (1998)

observou que seus sujeitos de pesquisa, quando realizavam as conversões entre

registros, estas eram feitas de maneira automática, sem reflexões sobre as

transformações realizadas. Ela também evidenciou que os tratamentos não eram

explorados de forma significativa.

Partindo das dificuldades apontadas por estas pesquisas, Karrer e Barreiro

(2009) fizeram uma análise dos livros didáticos de Geometria Analítica

freqüentemente referenciados nos cursos de exatas de instituições de ensino do

país, concluindo que os mesmos privilegiavam o registro simbólico-algébrico, sendo

19

o registro gráfico pouco explorado. As autoras concluíram que a reduzida exploração

do gráfico possa provavelmente influenciar nas dificuldades dos estudantes com

este tipo de registro.

Candido (2010) desenvolveu um experimento sobre os produtos escalar e

vetorial no R3 utilizando o Cabri 3D. Ele concluiu que o software favoreceu as

análises gráficas, porém, os sujeitos de sua pesquisa apresentaram dificuldades em

formalizar os conceitos no registro algébrico.

Lemke (2011) desenvolveu um processo investigativo para o ensino e

aprendizagem de retas e planos no R3 segundo uma abordagem vetorial,

observando que o trabalho em um software de geometria dinâmica contribuiu para

que seus sujeitos estabelecessem relações satisfatórias entre o registro gráfico e os

demais.

Neste trabalho também procuramos investigar aspectos da

interdisciplinaridade. Dentro das variações temáticas, definições e aplicações da

interdisciplinaridade, apropriamo-nos da citada por Fazenda (2008), na qual a

interdisciplinaridade é definida como a „interação existente entre duas ou mais

disciplinas‟ (FAZENDA, 2008, p.18). Deste modo, ela tem uma ampla abrangência

de atuação que contempla desde a „simples comunicação das ideias até a

integração mútua dos conceitos-chave da epistemologia, da termologia, do

procedimento, dos dados e da organização da pesquisa e do ensino, relacionados‟

(FAZENDA, 2008, p.18).

Na visão de Favarão (2004), pode-se decompor o conhecimento de forma a

facilitar o melhor entendimento das disciplinas, condição necessária para a melhoria

da qualidade do ensino superior. No presente estudo, tratamos da

interdisciplinaridade entre a Matemática e a Física. Neste contexto, Campos (2000)

investigou as relações entre a Geometria Analítica e Física, em termos de

exploração de registros e Martini (2006) investigou os vínculos entre a Matemática e

a Física a partir da forma como esta relação se estabelece nos livros didáticos.

Por fim, tratamos de estudos que evidenciaram as vantagens da inserção de

ferramentas computacionais no ensino. Citamos, dentre outros, os estudos de Borba

(2005) e Noss (2009), que investigaram em que medida os recursos computacionais

se relacionam com o aumento do conhecimento e com a redução das dificuldades

dos alunos em relação à aprendizagem da Matemática.

20

Essas pesquisas e outros estudos foram detalhados no capítulo 2 do presente

trabalho. Estes forneceram subsídios para a caracterização de nossa problemática,

ou seja, eles evidenciaram a necessidade de elaborar abordagens que efetivamente

integrassem o registro gráfico, as vantagens da exploração da relação entre diversos

registros, as influências dos recursos computacionais na aprendizagem e a

importância de um trabalho interdisciplinar.

Partindo desse contexto, com base na metodologia de Design Experiment de

Cobb, et al. (2003), que prevê a construção de abordagens diferenciadas sobre um

determinado conteúdo matemático, elaboramos um experimento de ensino

integrando o registro gráfico, o qual foi desenvolvido nos ambientes papel&lápis e

Cabri Géomètre II Plus. Teve-se a intenção de propor uma abordagem partindo da

experimentação no Cabri, para que o estudante, com base nas conjecturas

elaboradas neste ambiente, construísse os conceitos relativos às operações

propostas. Tendo em vista que o conteúdo de vetores é desenvolvido tanto na

Geometria Analítica como na Física, procuramos desenvolver também um trabalho

interdisciplinar.

Deste modo, nossa pesquisa pretende contribuir para a área de Educação

Matemática como uma forma alternativa de exploração das operações de adição de

vetores e multiplicação de um vetor por um escalar real. Ainda, nosso trabalho

apresenta uma situação diferenciada das pesquisas em andamento na Educação

Matemática, uma vez que normalmente estas estão contidas apenas no ambiente

matemático, e a nossa inclui um aspecto interdisciplinar entre a Geometria Analítica

e a Física.

Partindo da problemática apresentada, foi estabelecida a seguinte questão de

pesquisa:

Em que aspectos uma abordagem que integra os diversos registros, aliada à

utilização de um software de geometria dinâmica e à exploração de situações da

Física, influencia, de maneira favorável ou não, na construção dos conceitos de

adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar real?

Tivemos como hipóteses que a abordagem proposta influenciaria nos

seguintes aspectos:

-na análise das relações entre representações de diferentes registros;

21

-na construção diferenciada do conceito, uma vez que a abordagem permitiu

a exploração de conversões pouco usuais, ao partir da exploração gráfica favorecida

pelo ambiente de geometria dinâmica;

-na independência dos sujeitos para a construção dos conceitos, favorecida

pelo recurso computacional adotado;

-na construção significativa destes conceitos, tendo em vista a integração de

situações da Física.

O experimento foi aplicado a seis estudantes universitários do curso de

Licenciatura em Química, porém apenas dois alunos realizaram todas as atividades,

sendo que os demais participaram apenas do pré-experimento e familiarização.

Desta forma, partindo do fato que objetivamos investigar as evoluções dos sujeitos,

apresentamos os resultados apenas daqueles que realizaram todo o experimento. O

detalhamento dessa metodologia, a identificação dos sujeitos e a relação entre o

presente estudo e a mesma, foram apresentados no capítulo 3.

No capítulo 4 descrevemos o experimento, detalhando as atividades

elaboradas, acompanhadas de suas análises preliminares.

No capítulo 5, apresentamos os resultados da aplicação do experimento e, no

capítulo 6, discorremos sobre nossas considerações finais, apresentando sugestões

para futuras pesquisas.

22

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Serão apresentadas, neste capítulo, as principais ideias do filósofo, psicólogo

e pesquisador francês Raymond Duval (1995, 2009), o qual, no desenvolvimento de

seu trabalho de pesquisa, observou que, para o aprendizado pleno da Matemática, é

necessário que seja fornecido ao estudante, por meio do professor ou pelos livros

didáticos, o acesso às representações provenientes de diversos registros. Tal fato o

mesmo sintetiza na frase: „Não há noésis sem semiósis‟ (DUVAL, 1995, p.5), ou

seja, para este pesquisador, não existe a possibilidade de uma apreensão conceitual

de um objeto matemático sem o uso de registros de representações semióticas.

A base do entendimento da semiótica foi iniciada nos estudos sobre a

linguagem, não apenas na linguagem falada e escrita, mas em tudo que é usado

para a comunicação entre os seres humanos (símbolos, sons, gestos, cores, dentre

outros). Nascem destes estudos a linguística e a semiótica.

“Antes de tudo, cumpre alertar para uma distinção necessária: o sec. XX viu nascer e está testemunhando o crescimento de duas ciências da linguagem. Uma delas é a linguística, ciência da linguagem verbal; a outra é a semiótica, ciência de toda e qualquer linguagem”. (SANTAELLA, 1983, p. 9).

No século XXI, mais do que nos séculos passados, com os avanços da

tecnologia computacional (que usa ícones), da internet (que usa webdesign), dos

cenários virtuais, as simulações em 3D e a comunicação globalizada destes

recursos vêm contribuindo para a ampliação do uso da semiótica em todas as

ciências.

Apesar de o estudo da semiótica ter surgido em países de continentes

diferentes (Estados Unidos, Rússia e Suiça), a sua análise nasceu

aproximadamente no mesmo período do fim do século XIX, mostrando que havia

uma necessidade premente da mesma.

Este trabalho aborda brevemente dois filósofos e lógicos, Peirce (1931) e

Frege (1971), citados por Duval (2009, p. 35 e 57), que contribuíram para as

pesquisas da semiótica e que antecederam Duval no desenvolvimento da sua teoria.

23

A pesquisa do americano Charles Sanders Peirce (1839-1914) se estende por

várias áreas do conhecimento e a visão da semiótica ampliou-se a partir das suas

investigações.

Segundo Santaella (1983), a semiótica teve início na concepção dos

fenômenos mais simples da observação do cotidiano.

A definição de fenômeno dada por Santaella (1983) inclui situações

cotidianas, presentes na interação das pessoas com o meio que as cercam.

“Entendendo-se por fenômeno qualquer coisa que esteja de algum modo e em qualquer sentido presente à mente, isto é, qualquer coisa que apareça, seja ela externa (uma batida na porta, um raio de luz, um cheiro de jasmim), seja ela interna ou visceral (uma dor no estômago, uma lembrança ou reminiscência, uma expectativa ou desejo), quer pertencer a um sonho, ou uma idéia geral e abstrata da ciência”. (SANTAELLA, 1983, p. 32).

Partindo dessa ampla definição de fenômeno, é possível compreender as três

categorias eleitas por Peirce, citadas por Santaella (1983, p. 32) para entender como

os fenômenos se relacionam e são captados e armazenados na nossa consciência.

Tudo que nos cerca em um determinado momento, estejamos conscientes ou

não e que, conseguimos estabelecer uma proximidade com a exatidão de detalhes,

conforme nossos limites de entendimento, e seja como o ponto inicial de nossa

percepção e conexão com o universo que nos rodeia, é a partida para nossa

investigação. A essa situação Peirce chama de primeiridade.

Num momento subsequente à primeiridade, existe uma determinada reação

do nosso ser a tudo que nos cerca. Somos levados pelos cinco sentidos a

determinadas reações, que mexem com nosso sentimento, gostos e nos despertam

para escolhas, entre várias opções de paixões e ódios. A essa interação do nosso

ser com o que nos cerca e o despertar de nossos sentimentos, Peirce chama de

secundidade.

Após passarmos pela primeiridade e secundidade, onde nosso ser está sob o

efeito do contato sensorial e afetado por emoções, entra-se em uma fase em que

nosso ser processa todos os dados desse relacionamento e faz conclusões sobre as

duas primeiras situações. A essa nova situação, onde elaboramos conclusões sobre

o que contatamos e os sentimentos que isto provocou, Peirce chama de

terceiridade.

24

A semiótica de Peirce, portanto, nos ajuda a entender um conceito geral, que

é aplicado desde a base do observador, a relação deste com os fenômenos de

comunicação (símbolos, sons, cores) e sua estrutura descritiva dos efeitos dessa

relação e das interpretações condicionada pelos aspectos culturais e sociais.

Apesar do detalhamento do seu trabalho, Peirce admitiu que seu estudo

tivesse limites e que outros pesquisadores haveriam de continuar as investigações.

“Evidentemente, PEIRCE não chegou a explorar todos esses tipos. (de signos) Aliás, em relação a isso ele assim se refere: “Não assumirei o encargo de levar minha sistemática divisão de signos mais longe, mas deixarei isso para futuros exploradores”.(SANTAELLA, 1983, p. 62).

O matemático e filósofo alemão Friedrich Ludwig Gottob Frege (1848-1925),

iniciou suas pesquisas durante sua graduação em Matemática (1869 a 1873) na

Universidade de Jena. Desde a sua dissertação de Doutorado, „Sobre uma

Representação Geométrica de Figuras Imaginárias no Plano‟ (1873) e durante toda

sua vida acadêmica, escreveu dezenas de artigos, alguns descobertos e publicados

após sua morte, que falavam sobre a Lógica Matemática e a Filosofia da Linguagem.

No seu trabalho, verificou a forma, o conteúdo, o sentido e a referência, de modo a

dar argumentação ao uso da simbologia que justificasse as situações de verdadeiro

e falso na lógica.

Na principal obra de Frege (1879), intitulada „Ideografia, uma Linguagem por

Fórmulas do Pensamento Puro Modelada sobre a da Aritmética‟, ele apresentou o

seu sistema de notações, partindo de noções primitivas como a negação, a

implicação, a identidade e a quantificação.

A ideografia também foi referenciada em dois outros de seus trabalhos, sobre

a lógica formal e a linguagem simbólica.

Segundo Frege (1978)1 „a ideografia como toda linguagem simbólica, tem

como objetivo “substituir” e “suplementar” a linguagem natural...‟ e justifica que isso

se deve à “imperfeição e à insuficiência da linguagem natural, para usos científicos.”

Para ele, a “Ideografia é um instrumento, concebido para determinados fins

científicos, e que não pode ser condenada pelo fato de não servir para outros fins.”

1 Esta data se refere à tradução da obra original que foi publicada em 1879.

25

No artigo de Frege, publicado postumamente em 1964, „Aplicações da

Ideografia‟, ele exemplificou como, através da Ideografia, pode-se relacionar a

Aritmética e a Geometria, e observa que:

“os sinais utilizados não foram especialmente inventados para cada caso especial, mas têm significados tão gerais que eles são suficientes para dar conta de relações as mais gerais”. (FREGE, 1978, p. 17).

Frege (1978) também escreve sobre o sentido e a referência, refletindo o que

estaria associado à simbologia da linguagem e aos sinais relacionados com um

significado próprio de um objeto, colaborando com outros pesquisadores para

complementarem os seus trabalhos.

“É, pois, plausível pensar que exista, unido a um sinal (nome, combinação de palavras, letra), além daquilo por ele designado, que pode ser chamado de sua referência, ainda o que eu gostaria de chamar de o sentido do sinal, onde está contido o modo de apresentação do objeto”.(FREGE, 1978, p. 25-50).

Pode-se concluir nesta breve passagem pelo trabalho de Frege, que suas

observações relacionaram a preocupação no uso da simbologia, identificada por ele

na ideografia, com a importância do seu significado matemático no ensino e

aprendizagem da Aritmética e da Geometria.

Conforme citado por Duval, Peirce e Frege forneceram grandes contribuições

para a o desenvolvimento da semiótica. Os pressupostos teóricos de Duval (1995,

2000, 2009) são utilizados na área da Educação Matemática, tanto para os ensinos

fundamental e médio como para o ensino superior. O seu trabalho sobre os objetos

matemáticos, seus registros de representação semiótica e o funcionamento cognitivo

da compreensão em Matemática, revelou que muitas de suas questões estão

presentes no cotidiano das situações encontradas em sala de aula, em particular,

nas aulas sobre vetores, normalmente desenvolvidas no primeiro ano dos cursos

superiores de exatas.

Um registro de representação semiótica, para Duval (2003), é um sistema de

representação semiótica que permite três atividades cognitivas: a formação, o

tratamento e a conversão. Como exemplos de registros de representações

semióticas temos o gráfico, o algébrico, o da língua natural e o figural.

26

Apesar de existirem três tipos de atividades cognitivas, (formação, tratamento

e conversão) para esta dissertação será dada uma maior importância às

transformações entre representações, que são definidas distintamente como

tratamento e conversão.

O tratamento de representação é uma transformação que tem como

característica a permanência dentro do mesmo registro de representação.

Como exemplo destes tratamentos são apresentadas as transformações

utilizadas na resolução de uma equação de primeiro grau, conforme ilustrado no

Quadro 1.

7

5122

1252

a

aa

aa

QUADRO 1 – Exemplo de tratamento no registro algébrico.

Durante todo o processo de resolução para achar o valor da incógnita a, as

transformações ocorreram no interior de um mesmo registro, neste caso, o algébrico.

No estudo de vetores na Física, temos como exemplo a determinação da

resultante a partir de dois ou mais vetores unitários de módulo conhecido,

constituindo um tratamento no registro gráfico, conforme exemplo no Quadro 2. Já

no Quadro 3, apresenta-se um tratamento no registro algébrico, referente à adição

de vetores.

QUADRO 2 – Exemplo de tratamento no registro gráfico. Fonte: Yamamoto, 1993, p. 107.

27

a) mmmm

2233

b) mmmm

3223

QUADRO 3 – Exemplos de tratamentos no registro algébrico.

A conversão exige, no mínimo, o conhecimento de dois sistemas de

representação diferentes. Parte-se de um sistema para outro de forma a representar

o mesmo objeto matemático de duas formas distintas.

Como exemplo pode-se apresentar a transformação da lei algébrica de uma

função constante para sua representação gráfica, verificado no Quadro 4.

REGISTRO

ALGÉBRICO

REGISTRO GRÁFICO

f(x) = 7

QUADRO 4 – Exemplo de conversão do registro algébrico para o gráfico.

Outro exemplo de conversão, que parte de uma representação do registro

algébrico para uma representação do registro gráfico, é apresentado no Quadro 5,

onde no registro gráfico a seta em vermelho no primeiro item (a), representa o

resultado m

2 e no segundo item (b), o resultado m

3 .

28

REGISTRO

ALGÉBRICO

REGISTRO GRÁFICO

a)

mmmm

2233

b)

mmmm

3223

QUADRO 5 – Exemplos de conversão do registro algébrico para o gráfico no conteúdo referente a vetor.

Durante o processo de conversão do registro algébrico para o o registro

gráfico, o sujeito deve ter o domínio dos sistemas representativos do objeto

matemático para demonstrar compreensão e o significado da leitura correta em cada

sistema. Apesar de ser importante ter o domínio dos sistemas que se deseja usar

para a conversão, isso não é o suficiente para demonstrar sua plena compreensão.

29

A noção de registro criada por Duval tem na sua abrangência a importante

relação da aprendizagem matemática com a semiótica.

“Um registro de representação é, segundo Duval (1999), um sistema semiótico que tem as funções fundamentais em nível do funcionamento consciente. Falar de registro de representação semiótica, da conversão e da coordenação de registros significa colocar em jogo o problema da aprendizagem e disponibilizar ao professor instrumentos que deverão ajudá-lo a tornar mais acessível a compreensão da matemática”.( ALMOULOUD, 2003, p.125).

Segundo Duval (2009), podemos classificar os diferentes tipos de

representação por duas oposições clássicas, que são a oposição consciente/não-

consciente e a oposição interna/externa.

“A oposição consciente/não-consciente é a oposição entre o que, de uma parte, aparece a um sujeito e que ele nota, e, de outra parte, o que lhe escapa completamente e que ele não pode notar”. (DUVAL, 2009, p. 40).

Conforme Duval (2009) afirma, a passagem do não-consciente para o

consciente, „corresponde a um processo de objetivação para o sujeito que toma

consciência‟. Objetivação aqui, „corresponde à descoberta pelo próprio sujeito do

que até então ele mesmo não supunha, mesmo se outros lhe houvessem explicado‟.

“A oposição externa/interna, é a oposição entre aquilo que, de um indivíduo, de um organismo ou de um sistema, é diretamente visível e observável e aquilo que, ao contrário, não o é”. (DUVAL, 2009, p. 41).

A classificação de Duval (2009) identifica as representações mentais como

sendo conscientes e internas e as representações semióticas como sendo

conscientes e externas. Para este caso, a representação de um objeto necessita de

um significado simbólico. As representações computacionais são classificadas como

não-conscientes e internas. (Quadro 6).

Interna Externa

Consciente Mental .Função de objetivação

Semiótica .Função de objetivação .Função de expressão .Função de tratamento intencional

Não-consciente Computacional .Função de tratamento automático ou quase instantâneo.

QUADRO 6 - Tipos e funções das representações. Fonte: Duval, 2009, p. 43.

30

As questões que Duval (2003, p.11) formula e que têm grande importância

para as atividades de pesquisa e de docência, são: “„Como compreender as

dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos alunos têm na compreensão da

matemática? Qual é a natureza dessas dificuldades? Onde elas se encontram?”

Duval (2003) justifica, na sua pesquisa sobre essas questões, que para o

entendimento das dificuldades dos alunos no aprendizado da Matemática, deve-se

utilizar uma abordagem cognitiva, que capacita o sujeito a adquirir autosuficiência na

compreensão e desenvolvimento do seu raciocínio.

“Essas questões passaram a ter uma amplitude e uma importância particulares com a recente exigência de uma maior formação matemática inicial para todos os alunos, a fim de prepará-los para enfrentar um ambiente informático e tecnológico cada vez mais complexo. Mas, para responder a essas questões, não podemos nos restringir ao campo matemático ou à sua história. É necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino da matemática, em formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise e de visualização”.(DUVAL, 2003, p.11).

Após apresentar a abordagem cognitiva como uma das opções de se tratar o

problema da aprendizagem da matemática, Duval (2003) defende a criação de uma

didática mais adequada no trabalho do docente, dando ao estudante mais

autonomia no seu desenvolvimento, de modo a superar suas dificuldades.

“A originalidade de uma abordagem cognitiva não está em partir dos erros para tentar determinar as „concepções‟ dos alunos e a origem de suas dificuldades em álgebra, em decimais, neste ou naquele conceito geométrico etc. A originalidade da abordagem cognitiva está em procurar inicialmente descrever o funcionamento cognitivo que possibilite a um aluno compreender, efetuar e controlar ele próprio a diversidade dos processos matemáticos que lhe são propostos em situação de ensino”.(DUVAL, 2003, p.12).

Seguem alguns dos principais conceitos desenvolvidos por Duval (2003) que

visam fornecer uma visão de proposta de abordagem cognitiva, os quais serão úteis

para nossa argumentação e pesquisa.

Duval (2003) identifica a particularidade do trabalho com a Matemática por ela

não poder ser acessada sem a sua simbologia específica. As outras ciências podem

fazer uso de instrumentos que ajudam a precisar situações sem que se tenha a

necessidade de usar representações semióticas. Por exemplo, para determinar as

características de uma célula, a Biologia pode recorrer ao microscópio. Na Química,

31

dependendo do comportamento da reação de duas substâncias, podem-se

determinar as suas possíveis origens e na Física, há vários instrumentos que nos

ajudam a medir e quantizar as situações de estudo.

“Não podemos nos ater a um modelo geral comum de aquisição de conhecimento centrado sobre a ação, as interações e os desequilíbrios como fatores principais da construção de conceitos matemáticos. (...) A diferença entre a atividade cognitiva requerida pela matemática e aquela requerida em outros domínios do conhecimento não deve ser procurada nos conceitos, mas nas duas características seguintes: a importância primordial das representações semióticas e a grande variedade de representações semióticas utilizadas em matemática”. (DUVAL, 2003, p.12-14).

É inegável a contribuição das representações dos objetos matemáticos para a

linguagem e o entendimento da Matemática. A semiótica contribuiu para o

desenvolvimento dinâmico da compreensão do pensamento, nas relações e

interpretações da observação e entendimento da natureza.

Os objetos matemáticos são apropriados pelos estudantes de todas as

idades, na sequência estabelecida pelas normas curriculares, de forma que haja

uma formação desde as suas estruturas mais simples e elementares, até aquelas

mais complexas e sofisticadas, respeitando o desenvolvimento mental e intelectual

dos alunos na aprendizagem da Matemática.

Desde as primeiras ideias de números, contagem e relação com as coisas,

até a notação de derivadas e integrais, o estudante passa do ensino fundamental até

o médio e superior, se familiarizando com a linguagem matemática, sedimentada

nos registros de representação semiótica.

Duval (2003) destaca quatro tipos de registros, os registros monofuncionais e

os multifuncionais, e em cada um deles, as representações discursivas e não

discursivas, conforme detalhado no Quadro 7.

32

REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA REPRESENTAÇÃO

NÃO-DISCURSIVA

REGISTROS

MULTIFUNCIONAIS

Os tratamentos não são

algoritmizáveis.

Língua natural.

Associações verbais (conceituais).

Forma de raciocinar:

.argumentação a partir de

observações, de crenças...;

.dedução válida a partir de definição

ou de teoremas.

Figuras geométricas planas ou

em perspectivas (configurações

em dimensão 0, 1, 2 ou 3).

.apreensão operatória e não

somente perceptiva;

.construção com instrumentos.

REGISTROS

MONOFUNCIONAIS

Os tratamentos são

principalmente

algotitmos.

Sistemas de escritas:

.numéricas (binária, decimal,

fracionária...);

.algébricas;

.simbólicas (línguas formais).

Cálculo.

Gráficos cartesianos.

.mudanças de sistema de

coordenadas;

.interpolação, exploração.

QUADRO 7 – Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático. Fonte: Duval, 2003, p.14.

Duval (2003) aponta que a compreensão plena da Matemática é estabelecida

quando existe a facilidade em manipular pelo menos dois registros de representação

simultaneamente.

Duval (2009) nos alerta sobre os fenômenos de congruência e não

congruência envolvidos neste processo. A congruência é tida como se fosse uma

„tradução‟ entre dois sistemas, ou seja, ela é caracterizada quando se passa de uma

representação num sistema para outra representação num outro sistema,

satisfazendo três condições ao mesmo tempo: 1) correspondência semântica entre

as unidades significantes que constituem as representações; 2) mesma ordem de

apreensão dessas unidades e 3) conversão de uma unidade significante da

representação de partida em uma só unidade significante na representação de

chegada. A não congruência é caracterizada pela ausência de uma ou mais

características da congruência.

“Geralmente, a passagem de uma representação a uma outra se faz espontaneamente quando elas são congruentes, quer dizer, quando as três condições seguintes são preenchidas: correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, mesma ordem possível de apreensão dessas unidades nas duas representações, e conversão de uma unidade significante da representação de partida em uma só unidade significante na representação de chegada. Mas, quando um desses critérios não é verificado, as representações não são mais congruentes entre elas, e a passagem de uma à outra não tem mais nada de imediato. Pode

33

igualmente fazer-se que duas representações sejam congruentes em um sentido de conversão e não congruente para a conversão inversa”. (DUVAL, 2009, p.18-19).

O Quadro 8 exemplifica a classificação feita por Duval (2000) da

congruência e não congruência.

TIPO DE CONVERSÃO SISTEMA OU REGISTRO DA

ESCRITA NATURAL

SISTEMA

SIMBÓLICO-ALGÉBRICO

Conversão congruente Conjunto de pontos com ordenada maior que abscissa.

y>x

Conversão não congruente

Conjunto de pontos cujas ordenadas e abscissas têm o mesmo sinal.

x.y>0

QUADRO 8 – Exemplo de análise da congruência da atividade de conversão. Fonte: Duval, 2000, p. 63.

Na Física uma conversão congruente seria exemplificada pela situação

apresentada a seguir no Quadro 9, que parte do registro da língua natural escrita

para o algébrico.

REGISTRO ESCRITA NATURAL REGISTRO ALGÉBRICO

Três vezes um vetor qualquer 3. v

QUADRO 9 – Exemplo de conversão congruente.

A conversão não congruente é exemplificada por uma proposta de resolução

de um exercício para determinar o valor de um vetor resultante. Neste caso o

Quadro 10 exemplifica uma conversão não congruente na Física, partindo do

sistema escrita natural para o sistema gráfico.

REGISTRO

DA

ESCRITA

NATURAL

REGISTRO GRÁFICO

Dois

homens

empurram

um caixote

nas

direções

indicadas.

Ache a

intensidade

da

resultante.

QUADRO 10 – Exemplo de conversão não congruente.

34

Esta situação não é congruente tendo em vista que não atende a qualquer

uma das condições de congruência definidas por Duval (2009). Por exemplo, neste

caso, não há uma mesma ordem de apreensão das unidades significantes que

constituem as duas representações.

Em situações de conversão não congruente, Duval (2003) verificou que as

dificuldades cognitivas são maiores.

“Numerosas observações nos permitiram colocar em evidência que os fracassos ou os bloqueios dos alunos, nos diferentes níveis de ensino, aumentam consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é necessária ou que a mobilização simultânea de dois registros é requerida. No caso de as conversões requeridas serem não-congruentes, essas dificuldades e/ou bloqueios são mais fortes”. (DUVAL, 2003, p.21).

Para o autor, há conversões que podem ser congruentes em um sentido e

não congruentes no sentido contrário, o que ele denomina de fenômeno da

heterogeneidade da conversão.

Segundo Duval (2003), embora as atividades de conversão sejam primordiais

para o desenvolvimento cognitivo, o ensino da Matemática normalmente privilegia a

atividade de tratamento nos registros simbólicos, uma vez que os mesmos são

frequentemente utilizados nas justificativas e provas.

Na próxima seção, serão apresentados trabalhos de pesquisa referentes às

disciplinas de Geometria Analítica e Física, em particular, do conteúdo de vetores,

os quais contribuíram para o desenvolvimento deste estudo. Ainda, serão

apresentados estudos referentes à utilização de ferramentas computacionais no

ensino de Matemática.

2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.2.1 Pesquisas relacionadas

A revisão bibliográfica do presente estudo contém trabalhos de pesquisa

relacionados às disciplinas de Geometria Analítica e Física, que trataram do objeto

matemático vetor. Tais pesquisas forneceram subsídios para justificar a necessidade

do presente estudo. Apresentamos, também, pesquisas que integraram o uso de

software como ferramenta didática para o ensino de Matemática. Estes trabalhos

35

são relevantes pelo fato de apontarem as dificuldades dos estudantes no estudo de

vetores, servindo de base à nossa pesquisa. Finalizamos esta revisão com algumas

pesquisas dobre a interdisciplinaridade, que também faz parte da nossa proposta de

apresentar a importância da exploração de conceitos na Geometria Analítica que

são usados no estudo da Física.

2.2.2 Análise de pesquisas relacionadas à Geometria Analítica

Os trabalhos apresentados a seguir abordam diferentes formas de pesquisa

realizadas com um propósito comum, o de identificar no processo ensino-

aprendizagem tanto as dificuldades apresentadas pelos estudantes frente à

disciplina de Geometria Analítica, especialmente no conteúdo de vetores, como

indicações de estratégias que possibilitem amenizá-las.

Pavlopoulou (1993) elaborou uma pesquisa envolvendo o ensino e

aprendizagem de vetores, tendo como base a teoria dos registros de representação

semiótica de Duval. Entre outros aspectos, ela constatou em seus estudos, que os

estudantes universitários franceses, do primeiro ano do curso de Matemática,

especificamente no conteúdo de vetores da disciplina de Geometria Analítica,

apresentavam um grau diferente de dificuldade nos dois sentidos de conversão em

uma dada situação. Por exemplo, quando eles fizeram uma conversão do registro

tabular para o gráfico, o índice de acerto foi de 0,83. Já quando a mesma situação

foi proposta em sentido inverso, o índice de acerto foi de 0,34.

Esse resultado ilustrou o fenômeno da heterogeneidade da conversão

relatado por Duval (2000).

Castro (2001) objetivou, com a sua pesquisa, investigar as dificuldades no

ensino-aprendizagem de vetores na Geometria Analítica. Sua abordagem,

fundamentada na teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1995),

estabeleceu a importância de se fazer o estudante distinguir os diferentes registros

de representações semióticas do objeto matemático “vetor”, que, em sua pesquisa,

foram classificados em simbólico, figural e da língua natural.

Ela utilizou a metodologia de Engenharia Didática proposta por Artigue

(1992), que tem como estrutura a concepção, realização, observação e análise da

seqüência de ensino para construir as atividades e exercícios sobre vetores. Sua

36

seqüência foi aplicada a três turmas do primeiro ano, duas do curso de Engenharia

(identificadas como escolas B e C) e uma do curso de Matemática (identificada como

escola A), tendo um total de setenta estudantes nas três escolas. Após aplicar as

atividades, os resultados obtidos indicaram as dificuldades dos estudantes,

conforme exposto na Tabela 1 apresentada a seguir.

TABELA 1 – Exemplo das dificuldades apresentadas pelos alunos de Engenharia e Matemática

na manipulação com vetores.

Número de duplas da

Escola A

Número de duplas da

Escola C

Dificuldade no registro gráfico 3 6

Dificuldade nos sub-registros do simbólico 2 3

Igualdade entre vetor e número real 0 3

Erro de dimensão 1 2

Fonte: Castro, 2001, p. 52

Segundo Castro (2001) a ausência da Escola B na apresentação dos

resultados se deve a fatos que contribuíram para o seu descarte, considerados

como „limite de pesquisa de campo‟. Dentre eles, a autora citou a pressa dos

estudantes na resolução das tarefas e a falta de disposição em colaborar com a

pesquisa. Apresentando de forma sintética os resultados de Castro (2001), ela pôde

observar que os estudantes tinham maior dificuldade na conversão em que um dos

registros envolvidos era o gráfico, principalmente quando este era o registro de

chegada, e que a aplicação da sua seqüência didática permitiu evoluções dos

estudantes em relação ao estabelecimento de conversões e ao reconhecimento de

diferentes registros.

Apesar da proximidade temática do trabalho de Castro (2001) com o presente

estudo, destacamos que envolvemos nesta pesquisa, as operações entre vetores e

suas relações com a Física no ensino superior.

Bittar (2003) discutiu a função dos registros de representação semiótica na

Geometria Analítica para a aprendizagem de vetor. Comparando o conteúdo das

pesquisas apresentadas na França e no Brasil, constatou que há semelhanças nas

características das dificuldades de aprendizagem no conceito de vetores pelos

alunos nos dois países. O seu trabalho foi contextualizado pelos trabalhos de outros

pesquisadores. Citou o estudo epistemológico de Dorier (1990) sobre vetor, o qual

37

mostrou que, para a melhor compreensão desse conceito, o objeto matemático vetor

deve ser desvinculado do vetor geométrico. A pesquisadora também fundamentou

seu estudo nos trabalhos de Pavlopoulou (1993) e Dias (1998), as quais fizeram um

levantamento das dificuldades dos estudantes em trabalhar com diferentes

representações dos registros no estudo de vetor, mostrando que para o aprendizado

desse conceito, é importante o amplo domínio de suas representações.

Bittar (2003) usou os conceitos de ferramenta (usado para resolver um

problema) e objeto (objetivo de estudo de um problema) ligados à dialética

ferramenta-objeto de Douady (1986), segundo a qual “a aprendizagem de um

conceito passa necessariamente por sua função de ferramenta e de objeto.”

Ela elaborou uma análise dos livros didáticos mais usados no ensino

secundário das escolas francesas, identificando como são introduzidos os conceitos

e as propriedades usadas pela Geometria Analítica no estudo dos vetores. Foram

verificados detalhadamente os exercícios resolvidos e propostos, utilizando uma

classificação dos registros (Quadro 11).

TIPO DE REGISTRO CÓDIGO DESCRIÇÃO

Geométrico-numérico GNUM Quando é preciso fazer cálculos, como, por exemplo,

calcular a norma de um vetor.

Gráfico G Quando um desenho é dado ou deve ser construído.

Linguagem natural LN Quando se trata de informações dadas na forma

discursiva, como, por exemplo, “seja um triângulo

ABC...”.

Simbólico geométrico SG Quando se trata de uma escrita simbólica sobre uma

propriedade geométrica, por exemplo, as retas (AB) //

(CD).

Simbólico vetorial V Quando se trata de usar relações ou notações vetoriais.

QUADRO 11 – Classificação dos registros de representação. Fonte: Bittar, 2003, p. 84.

Por meio desta análise, Bittar (2003) constatou que o conceito de vetor é

usado como uma ferramenta para resolver problemas de Geometria e a sua

representação, quando associada ao paralelogramo, tem a função de economia de

escrita. Desta forma, não é explorada, de forma significativa, a transformação de

conversão de uma representação para outra. Tal fato pode impedir que os

estudantes entendam o significado, tendo em vista que tudo é feito de modo

„automático‟ e „sem reflexão‟.

38

Utilizando essa mesma classificação de registros, foram propostos setenta e

três exercícios para verificar qual conversão seria utilizada pelos estudantes, com

base nas soluções propostas no livro do professor.

Dos setenta e três exercícios propostos, cinqüenta e cinco tinham como

registro de saída o algébrico vetorial, chamado de registro vetorial. Os dezoito

restantes não usavam este tipo de registro, ou seja, utilizavam um registro não

vetorial. Nas soluções dos estudantes (registros de chegada), dos cinqüenta e cinco

exercícios, quarenta e nove deles foram solucionados usando registro vetorial e

apenas seis usaram registro não vetorial. Dos outros dezoito, dezesseis usaram

registro vetorial e apenas dois usaram registro não vetorial. O resumo dos

resultados é apresentado na Tabela 2.

TABELA 02 – Resumo dos resultados.

Exercícios

Propostos (73)

Registro de Saída Registro de Chegada

Vetorial 55 Vetorial 49

Não Vetorial 6

Não Vetorial 18 Vetorial 16

Não Vetorial 2

Total de

registros

73 73

Fonte: Bittar, 2003, p. 86

Segundo Bittar (2003) embora a maioria dos registros de saída (55) sejam de

origem vetorial no enunciado e na resolução, outros registros (18) também foram

usados para chegar aos resultados. Neste caso ela considerou que houve uma

reduzida atividade de conversão entre representações de registros distintos na

resolução das questões.

Além da análise de livros e da aplicação do questionário, Bittar (2003)

verificou se o uso dos vetores como ferramenta para resolver os exercícios de

Geometria Analítica consistia em um processo eficaz, conforme a proposta do

ensino na França. Desta forma, elaborou um experimento de ensino, o qual foi

aplicado a duas turmas, uma do segundo ano do ensino médio e outra do primeiro

ano do ensino universitário. Segundo esta pesquisadora, a escolha destes alunos

„se deve ao fato de querermos apresentar o problema aos alunos “longe” do

39

momento em que eles o viram, para assim evitar os efeitos do contrato didático de

Brousseau (1986)‟ ou seja, a escolha dos alunos foi por não terem legitimado as

regras da sala de aula, nem a construção histórica da relação ternária (professor-

aluno-saber) sobre os vetores.

A autora concluiu que os estudantes que procuraram traduzir o problema em

linguagem vetorial tiveram mais sucesso que os sujeitos que se fixavam apenas no

registro geométrico. Ainda, a pesquisadora observou que os alunos dos dois grupos

apresentavam semelhanças no uso dos registros e nas dificuldades apresentadas.

Desta forma, ela concluiu que o ensino de vetores no secundário repousa nas

idas e voltas automáticas entre os diferentes tipos de registros e esta pode ser a

causa das dificuldades dos estudantes no estabelecimento de conversões.

Karrer e Barreiro (2009) apresentaram um trabalho sobre a análise do

conteúdo de vetores nos livros didáticos de Geometria Analítica, fundamentado na

teoria de registros de representações semióticas de Duval (2000). Ele foi realizado

tomando por base os trabalhos de Pavlopoulou (1993) e Karrer (2006), os quais

descreveram as dificuldades dos estudantes no processo de ensino e aprendizagem

no estudo de vetores e transformações lineares planas, respectivamente,

especialmente em conversões que envolviam o registro gráfico. Tal fato motivou

uma investigação a respeito da forma como as obras didáticas lidavam com os

diversos registros. A análise de Karrer e Barreiro (2009) foi realizada nos livros de

Geometria Analítica dos autores Boulos e Camargo (2005), identificado por Livro 1, e

Steinbruch e Winterle (1987), identificado por Livro 2, os quais são usualmente

indicados nas ementas dos cursos de graduação de ciências exatas das

universidades brasileiras.

Na pesquisa elaborada, foram classificados os diferentes tipos de registros,

presentes tanto na exposição teórica como no bloco de exercícios propostos. Dentre

eles, têm-se os registros gráfico, simbólico-algébrico, da língua natural, numérico e

geométrico. As autoras consideraram como registro gráfico aquele cujas

representações estão associadas a um sistema de coordenadas e como registro

geométrico aquele não tem essa associação.

A análise apontou que o Livro 1 traz no estudo de vetores uma introdução aos

conceitos básicos seguida de exercícios, privilegiando os registros simbólicos e da

língua especializada. Apesar da presença do registro geométrico, foi constatada a

40

inexistência do registro gráfico de vetor, no qual o mesmo é associado ao sistema de

coordenadas cartesianas.

Na Figura 1, apresentamos o primeiro gráfico das tabulações realizadas pelas

pesquisadoras que ilustra essa afirmação.

TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO - TOTAL: 45 EXERCÍCIOS

0

5

10

15

20

25

30

SIMBÓLICO

NUMÉRICO

GEOMETRICO

GRÁFICO

LÍNGUA NATURAL

LÍNGUA ESPECIALIZADA

FIGURA 1 – Tabulação dos Dados – Capítulo 2 do Livro 1. Fonte: Karrer; Barreiro, 2009.

Na análise das autoras, o Livro 2 apresenta, em sua exposição teórica, maior

variedade de tipos de registros se comparado ao Livro 1. Nos exercícios propostos,

há predominância dos registros simbólico, numérico e da língua natural, sendo que o

gráfico não é explorado, conforme pode ser observado na Figura 2, no segundo

gráfico da tabulação dos dados.

TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO - TOTAL: 18 EXERCÍCIOS

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

SIMBÓLICO

NUMÉRICO

GEOMETRICO

GRÁFICO

LÍNGUA NATURAL

LÍNGUA ESPECIALIZADA

FIGURA 2 – Tabulação dos Dados – Capítulos 1 e 2 do Livro 2. Fonte: Karrer; Barreiro, 2009.

41

Os dados gerados levaram a concluir que, neste levantamento sobre os tipos

de registros presentes na abordagem dessas obras, com foco no estudo de vetores

na Geometria Analítica, o registro gráfico é pouco valorizado, desfavorecendo as

conversões que o envolvem. Esta situação provavelmente represente um dos

fatores geradores de dificuldades nos estudantes na resolução de exercícios

vetoriais que requerem o uso desse registro na disciplina de Geometria Analítica.

Candido (2010) desenvolveu uma pesquisa envolvendo o estudo de produtos

de vetores (escalar e vetorial), conteúdo presente na disciplina de Geometria

Analítica, com dois alunos do curso de Licenciatura em Matemática de uma

universidade privada do Estado de São Paulo. Ele fundamentou seu trabalho nos

registros de representação de Duval (2003), já descrito no início deste capítulo, que

resumidamente trata da necessidade de, para a plena compreensão da Matemática,

os estudantes realizarem a coordenação de pelo menos dois registros de

representação semiótica, destacando os dois tipos de transformações, os

tratamentos e as conversões.

Candido (2010) usou a metodologia de Design Experiment (COBB, et al,

2003) que orienta a aplicação de experimentos de ensino de Matemática,

representando um processo dinâmico, que permite a reconfiguração das atividades

a partir das concepções e sugestões apresentadas pelos alunos.

Ele aplicou seis atividades, divididas em etapas, sobre os produtos escalar e

vetorial, explorando as relações entre os registros gráfico, algébrico, numérico e da

língua natural, usando o software Cabri 3D.

Na conclusão do seu trabalho, Candido (2010) evidenciou as dificuldades dos

alunos na passagem do registro algébrico para o gráfico e nos tratamentos no

registro algébrico. Foram detectadas também dificuldades na interpretação da

propriedade do produto escalar necessitando intervenções do professor-pesquisador

para sanar dúvidas e fazer questionamentos para que os alunos dessem

continuidade às atividades.

Patrício (2010) desenvolveu uma pesquisa para identificar e analisar as

dificuldades dos alunos no estudo de vetores. Ela foi realizada na Universidade do

Estado do Pará, sediada em Belém, com estudantes da disciplina de Geometria

Analítica do curso de Licenciatura em Matemática.

Participaram da pesquisa, quarenta e nove estudantes, agrupados em doze

equipes, sendo na sua maioria, formada por quatro alunos.

42

A pesquisa foi realizada, durante as aulas, sendo o autor o próprio professor

da disciplina. Partindo de sua problemática em sala de aula, levantou a seguinte

questão: Quais as dificuldades dos alunos do primeiro ano do Curso de Licenciatura

em Matemática ao lidarem com as representações semióticas na aplicação da regra

de adição de vetores?

A metodologia para análise dos dados teve como base a teoria de estudo de

caso, conforme definida por Yin (2005).

“[…] investiga um fenômeno contemporâneo dentro de seu contexto da vida real, especialmente quando os limites entre o fenômeno e o contexto não estão claramente definidos e […] enfrenta uma situação tecnicamente única em que haverá muito mais variáveis de interesse do que de ponto de dados e, como resultado baseia-se em várias fontes de evidências, com os dados precisando convergir em formato de triângulo e, como outro resultado beneficia-se do desenvolvimento prévio de proposições teóricas para conduzir a coleta e a análise dos dados”.(YIN, 2005, p.32-33).

Patrício (2010) elaborou uma atividade, composta por dez exercícios,

baseados em questões retiradas dos livros recomendados pela coordenação do

curso de Licenciatura de Matemática, na disciplina de Geometria Analítica.

Ele criou quatro categorias para acompanhar a resolução dos exercícios,

evidenciando as possíveis dificuldades dos estudantes. São elas, Confusão entre

coordenadas de ponto e coordenadas de vetor; Dificuldade na aplicação da regra do

paralelogramo; Dificuldade em identificar vetores iguais; Conversão entre registros

envolvendo o registro geométrico.

Após as aplicações das atividades e das análises dos registros em cada

categoria, identificamos as principais dificuldades apontadas por Patrício (2010).

Na categoria 1 que analisou a representação de vetores graficamente, a partir

das suas coordenadas, nenhuma equipe conseguiu fazer corretamente a

representação dos vetores a partir das coordenadas e em alguns casos, até mesmo

quando o enunciado fornecia os pontos no sistema cartesiano e solicitava-se o vetor

posição.

“Os registros dos alunos mostram que eles parecem familiarizados com o cálculo das coordenadas do vetor, mas encontram dificuldades para representar o vetor no sistema cartesiano, fato que corrobora com o pensamento de Bittar. A maioria das equipes mostrou dificuldade em decidir o que fazer com os pontos no gráfico, alguns

43

dos alunos conseguiram representar os segmentos, mas não conseguiram determinar o sentido. Com isso, podemos inferir que os alunos ficaram presos a conceitos geométricos, sem conseguir dominar a representação gráfica”. (PATRÍCIO, 2010, p. 61).

Segundo Patrício (2010) a ênfase dada por alguns professores na

apresentação das características geométricas do vetor podem ser um dos fatores

que limitam consideravelmente a capacidade dos estudantes na utilização dos

conhecimentos já adquiridos para uma construção correta da representação vetorial,

uma possível razão seria que, não se discutem as características do espaço vetorial

nas aulas, reduzindo a possibilidade de os estudantes ampliarem seus

conhecimentos.

Na categoria 2, a análise foi da dificuldade na aplicação da regra do

paralelogramo. Esta regra é utilizada para determinar a adição de dois vetores de

mesma origem, conforme apresentado a seguir. Veja Figura 3.

FIGURA 3 – Exemplo da aplicação da regra do Paralelogramo. Fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/. p.5

As principais dificuldades observadas foram a inversão do sentido dos

vetores, onde a figura do Paralelogramo não aparece no registro dos estudantes.

Neste caso o estudante teve dificuldade em compreender a concepção e aplicação

da regra e manter as propriedades geométricas da sua representação. Outra

dificuldade foi na interpretação da regra onde os estudantes não demonstraram

apreensão do conceito para a representação, mobilização e visualização do objeto.

Por fim, os estudantes tiveram dificuldades na associação e aplicação de

conhecimentos anteriores, diante da nova proposta e aplicação da regra.

Na categoria 3 a dificuldade observada foi com relação a identificar, obter e

substituir vetores iguais na adição de vetores. Os estudantes pareciam não

http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/

44

identificar as características básicas que formam um vetor ou seja, o seu módulo,

direção e sentido. Segundo Patrício (2010) os estudantes demonstraram não possuir

o domínio dessa fundamentação na resolução da atividade proposta.

Patrício (2010) verificou que quando se faz a representação do vetor,

principalmente usando o registro geométrico, o estudante confunde a representação

do vetor com um segmento determinado por dois pontos. Essas dificuldades,

segundo o autor, podem estar relacionadas com a falta de articulação entre as

apreensões operatória e a discursiva, que são importantes para a realização dos

tratamentos.

Na categoria 4, foram analisadas as dificuldades na conversão em que um

dos registros era o figural geométrico. Relembrando que na conversão, parte-se de

um sistema de representação para outro de forma a representar o mesmo objeto

matemático de duas formas distintas. Os erros na conversão foram atribuídos à falta

de visualização da figura para a utilização das propriedades algébricas no

tratamento do objeto matemático. Assim a dificuldade na conversão do registro

figural para o algébrico foi detectada em todos os participantes, onde nenhum deles

conseguiu realizar com sucesso a conversão.

“Assim, podemos perceber que a presença do registro figural em uma atividade de conversão é um fator que causa enorme dificuldade para o aluno e exige mais do que uma simples visualização dos vetores. É necessário que o aluno compreenda que em cada representação o conteúdo não é mesmo e que não há uma correspondência direta entre os elementos contidos em cada tipo de representação”. ( PATRÍCIO, 2010, p.86).

Lemke (2011) elaborou um estudo sobre o processo de ensino e

aprendizagem de retas e planos, segundo uma abordagem vetorial, desenvolvida na

disciplina de Geometria Analítica, utilizando o recurso computacional Cabri 3D.

Participaram de seu estudo seis estudantes do curso de Engenharia de uma

faculdade particular do interior do estado de São Paulo.

Devido ao fato da pesquisa ter caráter qualitativo com foco nas produções e

evoluções dos estudantes, ela elaborou um experimento de ensino com base na

metodologia dos Design Experiments de Cobb et al. (2003).

Baseado em Duval (2000), Lemke (2011) apresentou como questão de

pesquisa, “em que aspectos uma abordagem sobre retas e planos no R3, elaborada

com a preocupação de explorar a diversidade de registros nos ambientes papel &

45

lápis e o recurso computacional Cabri 3D, influencia na compreensão deste

conteúdo por parte dos estudantes?"

Lemke (2011) estruturou seu experimento com cinco atividades e um total de

vinte e seis tarefas, de modo a explorar cinco hipóteses que abrangem as situações

contidas na sua questão de pesquisa.

As atividades exploraram os registros da língua natural escrita, simbólico-

algébrico, numérico, gráfico, algébrico e simbólico. A evolução dos estudantes na

resolução das tarefas foi uma constante em todas as atividades. Como resultados, a

pesquisadora confirmou as suas hipóteses, que consistiam no fato de que o

estudante seria capaz de determinar as relações entre representações de diversos

registros, estabelecer análises partindo do registro gráfico, fazer conjecturas no

ambiente Cabri 3D e desenvolver compreensões distintas das presentes nas

intervenções tradicionais. A hipótese relativa à percepção das características dos

objetos matemáticos na especificidade do registro utilizado foi parcialmente

confirmada, uma vez que os estudantes apresentaram dificuldades nos registros da

língua natural escrita e simbólico-algébrico.

Lemke (2011) concluiu seu trabalho observando que os sujeitos foram

influenciados de forma positiva, na análise das relações entre as representações dos

registros e adquiriram certa autonomia e independência do auxílio do professor na

resolução dos exercícios propostos. Foi notável o favorecimento do recurso

computacional para a validação e formulação de conjecturas durante o processo de

resolução das tarefas.

2.2.3 Análise de pesquisas relacionadas à Física

Apresentamos a seguir, pesquisas sobre a integração entre as disciplinas de

Matemática e Física, de forma a demonstrar as dificuldades e as propostas para a

melhoria no ensino e aprendizagem nos conceitos.

Campos (2000) fez uma pesquisa interdisciplinar sobre a relação entre os

estudos do movimento (cinemática) na Física e as funções de primeiro grau na

Matemática. Ele elaborou atividades que foram executadas em uma sala de aula da

primeira série do ensino médio.

Ele fundamentou seu trabalho em dois teóricos franceses. O primeiro foi

Brousseau (1986) com as Situações Didáticas e as Situações Adidáticas. Usou

também, do mesmo autor, o Contrato Didático, que analisa as regras e convenções

46

estabelecidas durante as aulas entre professor e aluno, parecidas como as cláusulas

de um contrato comercial.

“Esse contrato é o conjunto de regras que determinam, uma pequena parte explicitamente mas sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro”. (BROUSSEAU, 1986, p.51).

O segundo teórico usado por Campos (2000) foi Duval, na sua teoria dos

Registros de Representações Semióticas. A metodologia utilizada no trabalho de

Campos (2000) foi a Engenharia Didática de Artigue (1988) que concilia a

metodologia do controle científico no desenvolvimento de um projeto na engenharia

com a complexidade das variáveis do comportamento humano. Esta metodologia

usa o esquema experimental realizado em sala de aula, chamada de “realizações

didáticas”. Ela é dividida em quatro fases; as análises preliminares; as concepções e

análise a priori; a experimentação e por fim, a análise a posteriori e validação.

Campos (2000) elaborou cinco atividades que foram aplicadas e executadas

em sala de aula a cinqüenta estudantes da faixa etária de 14 a 15 anos, da turma da

primeira série do ensino médio, numa escola particular de uma cidade do interior do

estado de São Paulo.

Os livros didáticos usados na sua pesquisa e que serviram para suas

considerações sobre a interdisciplinaridade, foram indicados pelos professores após

reunião pedagógica e estão identificados no Quadro 12.

LIVRO AUTORES

MATEMÁTICA FUNDAMENTAL: VOLUME ÚNICO, FTD, 1994

GIOVANNI, GIOVANNI JR & BONJORNO.

AS FACES DA FÍSICA: VOLUME ÚNICO,

MODERNA, 1997

CARRON & GUIMARÃES.

QUADRO 12 – Livros usados por Campos (2000). Fonte: CAMPOS, 2000, p.57.

Os alunos escolhidos da primeira série do ensino médio, na sua maioria, eram

oriundos das séries anteriores da mesma escola e possuíam uma breve noção de

movimento (uniforme e variável), fruto dos estudos de ciências. Foi verificado que o

conceito de função, desenvolvido no livro didático de Matemática desta mesma

série, não fez nenhuma alusão aos assuntos da Física que seriam analisados.

47

Dentro das cinco atividades propostas e analisadas, destacamos a atividade

2, parte C, efetuada por 22 duplas de alunos. Foi solicitado que, após observarem o

movimento de um trem de brinquedo, os alunos elaborassem um gráfico e a partir

deste, determinassem a função do primeiro grau correspondente.

Segue na tabela 3 o resultado desta atividade. (apresentamos o significado da

notação usada na tabela 3: NF – Não fez; RE – Respondeu errado; SP – Sucesso

parcial; SC – Sucesso completo).

TABELA 3 – Resultados da atividade 2, parte C.

NF RE SP SC

0 1 10 11

0% 4,6% 45,4% 50%

Fonte: CAMPOS, 2000, p.102.

Como podemos verificar pelos dados da tabela 3, apenas metade das duplas

participantes teve êxito nos resultados (SC – 50%) e, desta forma, confirmaram as

observações de Duval a respeito das dificuldades dos alunos franceses na

conversão de registros do sentido do gráfico para o algébrico.

Martini (2006) investigou os vínculos entre a Matemática e a Física partindo

do ponto de vista dos professores de Física, na utilização dos livros didáticos desta

disciplina e como estas duas considerações, a visão dos físicos e os livros didáticos,

interagem com o ensino e aprendizagem da Física para os alunos do ensino médio

de uma escola privada. Ele constatou que na relação entre as duas disciplinas,

(Matemática e Física), a Matemática pareceu contribuir para a operacionalização e

construção das abstrações no estudo da Física.

Fundamentou-se principalmente nos estudos de Almeida (1999), que

considera a linguagem Matemática como uma forma que a Física utiliza para se

expressar e Pietrocola (2002), que faz uma reflexão sobre o papel estruturador da

Matemática no estudo e pensamento da Física. A metodologia do seu trabalho foi a

Transposição Didática de Chevallard (1998) que destaca os três níveis do processo

didático, “o saber sábio”, associado ao conhecimento científico, “o saber a ser

ensinado”, usado pelos livros didáticos e “o saber ensinado”, desenvolvido pela

interação professor-aluno, sendo o professor, reconhecidamente o elo entre o

conhecimento a ser divulgado e os estudantes. Martini (2006) também analisou a

relação entre a Matemática e a Física segundo a visão dos renomados doutores em

48

Física, Feynman (1989)¹, Krauss (1995)² e Schenberg (1984)³ presentes nas suas

obras, listadas no Quadro 13 a seguir.

REFERENCIA AUTOR TITULO CIDADE EDITORA ANO

1 FEYNMAN, RICHARD P.

O QUE É UMA LEI FÍSICA?

LISBOA GRADIVA (1989)

2 KRAUSS, LAWRENCE M.

SEM MEDO DA FÍSICA.

RIO DE JANEIRO

CAMPUS (1995)

3 SHENBERG, MARIO.

PENSANDO A FÍSICA.

SÃO PAULO

BRASILIENSE (1984)

QUADRO 13 – Livros de alguns físicos, relacionando a Matemática e a Física. Fonte: MARTINI, 2006, p.26.

Segundo Martini (2006), Feynman (1989) relata que a Matemática tem ora a

função de linguagem que descreve a natureza, ora ela se torna uma expressão de

um processo mental associado à lógica e a abstração que permite aos estudantes

chegarem a um mesmo resultado, apesar de usarem caminhos diferentes. Krauss

(1995) concebe a Matemática como a maneira que usamos para descrever

profundamente a natureza e para Schenberg (1984), o desenvolvimento da Física

depende da Matemática e por este motivo não é possível existir a primeira sem a

segunda.

Martini (2006) usa a classificação de Wuo (2000) que separa os livros

didáticos de Física em quatro grupos, os quantitativos, os qualitativos, os intensistas

e os extensistas e através destes critérios, faz a sua seleção dos livros didáticos

para sua investigação. Reproduzimos a seguir a sua justificativa.

“As diferenças entre as estruturas desses textos aparecem principalmente na forma como são introduzidos os conceitos. No livro A, há, em geral, uma exposição qualitativa mais extensa antes que seja apresentada a formulação matemática, que é seguida de exercícios de fixação, onde também comparece, inicialmente, uma maior ênfase qualitativa. No livro B, a estrutura também é baseada em uma apresentação teórica, abordagem quantitativa, exercícios resolvidos e exercícios propostos, embora a discussão inicial seja mais resumida e os exercícios resolvidos tenham abordagem quantitativa”. (MARTINI, 2006, p. 51).

49

No Quadro 14, identificamos os livros didáticos analisados por Martini (2006).

LIVRO AUTORES REPRESENTAÇÃO

CURSO DE FÍSICA (VOL 1,2 E 3)

EDITORA SCIPIONE, 2000

ALVARENGA, BEATRIZ MÁXIMO, ANTONIO

LIVRO A – ALVARENGA

FUNDAMENTOS DA FÍSICA (VOL. 1,2 E 3)

ED. MODERNA, 2003

RAMALHO, JR. FRANCISCO FERRARO, NICOLAU

GILBERTO SOARES, PAULO A. DE

TOLEDO

LIVRO B - RAMALHO

QUADRO 14 – Livros analisados por Martini (2006). Fonte: MARTINI, 2006, p.47.

Na análise dos livros didáticos por Martini (2006) ele considerou dois

assuntos da Física (campo elétrico e calor sensível e latente) e sua abordagem dos

livros didáticos usou os seguintes elementos de análise:

“a) estrutura geral do livro; a idéia é verificar de que forma o tópico escolhido (campo elétrico, calor) está inserido na obra como um todo. b) desenvolvimento específico dos conceitos selecionados. b.1) desenvolvimento do conceito de campo elétrico e dos que dele decorrem; neste caso, analisar como se constrói o conceito de campo elétrico, linhas de força, campo de uma carga pontual, buscando reconhecer de que forma os autores agregam a matemática a essa conceituação. b.2) desenvolvimento do conceito de calor e dos que dele decorrem; neste caso, analisar como se constrói o conceito de calor sensível, calor latente, calor específico, etc., buscando reconhecer de que forma os autores agregam a matemática a essa conceituação. c) exercícios resolvidos e propostos; aqui o papel da matemática no saber físico de ensino médio evidencia-se, tornando a análise da forma e do tipo de problema ou exercício proposto fundamental para a investigação”. (MARTINI, 2006, p.48).

A abordagem de Martini (2006) é extensa e apresenta detalhes de cada

situação proposta. Vamos resumir aqui a análise dos resultados apresentados pelo

autor referentes a duas atividades propostas aos alunos a respeito dos conceitos do

processo de fusão e aplicação do gelo para o resfriamento de líquidos.

Segundo Martini (2006), os resultados indicaram que os alunos “possuem

uma tendência a adotar explicações deterministas do tipo “é porque é”; “apresentam

dificuldades em transpor seu conhecimento para a situação concreta e cotidiana,

independentemente do modelo explicativo que possuem”; “utilizam, em sua maioria,

corretamente o conceito de calor latente quando solicitados a resolver questões

quantitativas”; ”em matemática apenas operam com as relações algébricas, já que

não reconhecem o sentido do que calculam”; ”a solução matemática não é garantia

50

de compreensão física”; ”a compreensão física facilita pouco e não tem relação com

a solução matemática”.

Martini (2006) faz, na sua conclusão, uma reflexão sobre o papel da

Matemática no estudo da Física e sugere que os professores desta disciplina

deveriam dar à Matemática um papel mais restrito e à Física uma abordagem mais

teórica, para melhorar a sedimentação dos seus conceitos. O autor apresenta os

seguintes questionamentos: ”Mas será possível aprender, de fato, Física sem o

saber matemático? O aluno aprende mais facilmente e faz relações conceituais mais

pertinentes quando pode prescindir das considerações quantitativas? Em que

medida o uso da Matemática não compromete a compreensão dos fenômenos

físicos?”.

Júnior (2008) elaborou um estudo comparativo entre uma abordagem

construcionista de ensino, utilizando uma ferramenta computacional e um trabalho

de integração entre a Matemática e a Física, e uma abordagem tradicional. Ele

procurou responder as seguintes questões de pesquisa, “Que contribuições uma

abordagem construcionista de ensino traria à aprendizagem de alunos do 2º ano de

ensino médio dos conceitos de cinemática, quando comparada à abordagem

tradicional?” e “Em que medida o estudo integrado dos conteúdos de funções e de

cinemática, com a utilização de uma ferramenta computacional auxiliar, pode

contribuir para a construção dos conhecimentos de cinemática dos estudantes do 2º

ano do ensino médio?”

A problemática da integração da Matemática com a Física pelos estudantes,

apontada por Júnior (2008), foi decorrente das dificuldades dos mesmos na

utilização dos conceitos de álgebra e as funções na aprendizagem da cinemática.

Segundo Júnior (2008,p.15), “em geral, os estudantes apresentam muitas

dificuldades em formalizar conteúdos físicos, principalmente quando estes requerem

domínio e conhecimento de conceitos matemáticos”.

Os sujeitos escolhidos foram alunos da segunda série do ensino médio, de

uma escola pública estadual de São Paulo. Foram criados dois grupos, o

construcionista com 16 alunos que usaram a ferramenta computacional e o grupo

tradicional com 32 alunos que usaram papel e lápis.

51

Júnior (2008) usou a citação de Valente (1995) para definir o construcionismo.

“A construção do conhecimento através do computador tem sido denominada por Papert de construcionismo. Ele usou esse termo para mostrar um outro nível de construção do conhecimento: a construção do conhecimento que acontece quando o aluno constrói um objeto de seu interesse, como uma obra de arte, um relato de experiência ou um programa de computador. Na noção de construcionismo de Papert existem duas idéias que contribuem para que esse tipo de construção do conhecimento seja diferente do construtivismo de Piaget. Primeiro, o aprendiz constrói alguma coisa ou seja, é o aprendizado através do fazer, do "colocar a mão na massa". Segundo, o fato de o aprendiz estar construindo algo do seu interesse e para o qual ele está bastante motivado. O envolvimento afetivo torna a aprendizagem mais significativa.” (VALENTE, 1995, p.12)

Júnior (2008) desenvolveu uma seqüência de atividades utilizando um

software que pode ser usado no ensino médio e no superior. O INTERACTIVE

PHYSICS, segundo informações no site oficial americano, é o resultado de um

trabalho conjunto de professores de Física e engenheiros de software. Ele está

interado com os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais), permitindo que os

usuários, a partir da teoria, principalmente da Mecânica, criem situações com grande

interatividade, simulando um laboratório de Física. A Figura 4 contém um exemplo

de tela deste software.

FIGURA 4 – Montando um gráfico sobre uma simulação do movimento do pêndulo.

Fonte: http://www.design-simulation.com/documents/ip/ipintrotutorialportuguese.pdf

http://www.design-simulation.com/documents/ip/ipintrotutorialportuguese.pdf

52

O teórico norteador do trabalho foi Papert (1985, 1994) numa metodologia

baseada em elementos do Design Experiments de Cobb et al.(2003).

Júnior (2008) utilizou para a análise dos procedimentos dos estudantes com

ambiente computacional, a classificação criada por Valente (1995) que tem quatro

etapas (Descrição, Execução, Reflexão e Depuração). Podemos exemplificar como

essas etapas facilitam o trabalho de análise usando uma atividade de Física, neste

caso, a cinemática. Utilizando os comandos do software, o sujeito descreve o

movimento de um objeto, o software executa os comandos solicitados pelo sujeito,

ao refletir sobre o que aconteceu, o sujeito poderá depurar os procedimentos,

identificando nesta interação entre os conceitos físicos e o uso do software a

ocorrência dos acertos e dos erros, que neste caso podem ser corrigidos com o

próprio software.

Após as atividades os sujeitos responderam a um questionário de trinta e seis

perguntas sobre Física, envolvendo conceitos matemáticos, para as comparações

entre os grupos. As questões foram divididas em três situações de partida,

dezesseis combinando a língua natural e os gráficos, dezoito apenas a língua

natural e duas a partir de um vídeo. Este vídeo tratava-se de um recurso

computacional, usado por uma emissora de TV particular para refazer lances

duvidosos em partidas oficiais de futebol, e analisar estas situações.

As médias e porcentagens de acertos do grupo construcionista e do grupo

tradicional podem ser vistos na Tabela 4.

TABELA 4 – Médias e porcentagens dos grupos GC e GT.

Grupo Construcionista com 16 alunos. Grupo Tradicional com 32 alunos.

Nota igual ou acima

de 5,0

75% Nota igual ou acima

de 5,0

47%

Nota abaixo de 5,0 25% Nota abaixo de 5,0 53%

Média do Grupo 6,3 Média do Grupo 4,4

Fonte: JÚNIOR, 2008, p. 132.

Os resultados mostraram que o grupo construcionista, que esteve

caracterizado pelo uso de recurso computacional, obteve as melhores notas e

porcentagem de acerto, com melhor média, mostrando-se mais motivado, com

empenho e satisfação do que o grupo tradicional que usou papel e lápis.

53

Souza (a)2 (2010) desenvolveu um trabalho interdisciplinar entre as disciplinas

de Física e Matemática com a Robótica no ensino fundamental, por meio de uma

proposta de inclusão das tecnologias no ensino e na aprendizagem.

Os alunos puderam optar por duas construções de robô, utilizando Kits de

Robótica LEGOMindstorms NXT. A primeira sugestão foi apresentada pelo professor

de Física, na qual o robô poderia se deslocar de um ponto ao outro, sendo possível

medir a sua distância e o tempo, precedido de uma breve revisão sobre aceleração

e o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Já a segunda sugestão foi dada

por um professor de Matemática, que sugeriu que o robô pudesse desenhar uma

figura geométrica ou um gráfico.

O estudo teve como motivação a problemática dos alunos na falta de

disposição para os estudos de Física e Matemática, na baixa concentração e baixo

rendimento e nas dificuldades na realização de trabalhos em grupo. Apesar de ser

desenvolvido no ensino fundamental, a problemática apontada por Souza (2010)

pode ser verificada em todos os níveis do ensino.

A proposta para criar um projeto de Robótica pode, segundo Souza (2010),

possivelmente contribuir para a criação de novas competências, tais como planejar,

projetar, criar/desenvolver, avaliar, refazer e contemplar situações individualmente e

em grupo, na construção e programação de pequenos robôs.

A pesquisa ocorreu em 2009 com sessenta alunos do nono ano do ensino

fundamental, em uma escola particular do município de Campina Grande em

Pernambuco, com a participação dos professores de Física, Matemática e o

professor pesquisador de Robótica, também da mesma escola.

O estudo utilizou a concepção de pesquisa qualitativa, empírica, colaborativa,

utilizando dados quantitativos, fornecidos pelas atividades interativas entre as

disciplinas Física, Matemática e Robótica.

Antes de apresentar a proposta de construção de um sistema automatizado

de deslocamento e figuras geométricas aos alunos, os professores de Física e

Matemática da mesma escola foram questionados pelo professor-pesquisador para

identificar o seu perfil e afinidade com a tecnologia. Através das respostas, pôde-se

verificar que os professores que procuram maior capacitação acadêmica no

2 SOUZA, W. G., NÓBREGA, M. R. A INCLUSÃO DA ROBÓTICA NA EDUCAÇÃO: UMA VIVÊNCIA INTERDISCIPLINAR

NO ENSINO DA FÍSICA E DA MATEMÁTICA. IV Colóquio Internacional Educação e Contemporaneidade ISSN 1982-3657. Laranjeiras-SE, 2010.

54

aprimoramento da prática pedagógica, têm conhecimento de tecnologia da

informação no nível prático e educacional, utilizam a internet diariamente e são

favoráveis ao uso de tecnologia para a interdisciplinaridade. Este perfil favorece a

comunicação e utilização dos recursos computacionais com os alunos.

O professor pesquisador de Robótica explicou aos alunos a importância da

interdisciplinaridade e organizou as atividades. Após uma breve revisão sobre

programação, os grupos foram formados com quatro integrantes com funções bem

definidas de forma a caracterizar a participação e colaboração de idéias de cada

aluno. No Quadro 15, apresentamos a função e a responsabilidade de cada membro

do grupo.

Função Responsabilidade

Líder Registra e acompanha o processo de construção e programação.

Organizador Separa e repassa as peças para o montador.

Montador Recebe as peças e participa da construção e execução.

Programador Elabora a lógica, observando as funcionalidades.

QUADRO 15 – Funções e responsabilidades de cada membro do grupo. Fonte: SOUZA, 2010, p.12.

O questionamento voltado aos alunos teve como objetivo verificar se eles

atribuíam importância à disciplina e às aulas de Robótica e a sua aplicação no

futuro. No Quadro 16 resume os resultados.

Questões aos alunos. Resultado

Qual o grau de importância das aulas de Robótica?

Aprovação de 81%, sendo 58% relacionado a importância na sua formação de cidadania e 23% fundamental para o seu aprendizado.

Qual o grau de satisfação dos alunos durante as aulas de Robótica Educacional?

Aprovação de 86%, sendo 75% satisfeitos e 11% altamente satisfeitos.

Qual o Nível de satisfação do grupo nas aulas de Robótica?

Aprovação de 88%, sendo 70% satisfeitos e 18% altamente satisfeitos.

Qual a perspectiva dos alunos quanto à aprendizagem da Robótica?

A grande maioria 71% tem otimismo sendo 35% aprender tecnologia, 18% aprender assuntos diferentes, 11% entender as máquinas, 7% preparar-se para o futuro. O restante 29% foi dividido em 17% resposta insuficiente, 12% não responderam.

QUADRO 16 – Questões e Resultados. Fonte: SOUZA, 2010, p.9-11.

55

Conforme os resultados apontaram, o trabalho de interdisciplinaridade de

Souza (2010) proporcionou aos professores uma alternativa didático-pedagógica

que despertou interesse e compartilhamento de conhecimento entre os alunos. Ele

sugeriu que as escolas incluam a disciplina de Robótica como conteúdo tecnológico

permanente na grade curricular, de forma a promover a aprendizagem colaborativa.

2.2.4 Análise de pesquisas relacionadas ao uso de recursos computacionais.

As pesquisas a seguir são caracterizadas por abordarem o uso de recursos

computacionais como forma de diversificar o processo ensino- aprendizagem. Ainda,

tratam de explorações diferenciadas das comumente realizadas no ambiente papel e

lápis, proporcionando aos estudantes, melhorias no processo cognitivo e maior

motivação, que segundo Duval (2009), fazem parte da procura de um novo contexto,

identificado como „contexto informático‟ nas variáveis extrínsecas.

“As variáveis extrínsecas, ou seja, as relativas ao efeito do contexto, são as que atualmente retêm mais a atenção nos trabalhos didáticos e nos das ciências da educação. Essas variáveis podem, aliás, ser de natureza diferente: variáveis relativas às condições técnicas da execução das tarefas propostas (contexto papel-lápis, contexto informático ou contexto “audiovisual”)[...]”. ( DUVAL, 2009, p. 27).

Borba (2005) defende o uso do computador como parte da alfabetização

tecnológica. Ele relata sobre o preconceito do uso dessa ferramenta, sugerindo que

uma forma de superá-lo, consiste em desfazer a imagem do aluno como mero

operador da ferramenta. A sua preocupação ultrapassa a ideia comum que o

computador é a solução para os problemas da educação e propõe uma questão

mais ampla: “Para qual problema o computador é a solução?”

O que parece perturbar os professores é a automação das operações

matemáticas, que facilita a obtenção dos resultados, parecendo não passar pela

interpretação dos alunos. Neste caso, a proposta do trabalho de Borba (2005) é que

os professores precisam se preparar para elaborar atividades mais interessantes,

que façam desta nova ferramenta uma aliada pedagógica no ensino e na

aprendizagem.

56

“Alguns professores procuram caminhar numa zona de conforto onde quase tudo é conhecido, previsível e controlável. Conforto aqui está sendo utilizado no sentido de pouco movimento”. (BORBA, 2005, p.56).

O pesquisador relata sobre a problemática salarial e os programas

governamentais para a informática educativa, que incluem a capacitação do

professor considerando as diferentes características regionais. Neste contexto, as

situações parecem conflitar com o entusiasmo inicial do uso da nova tecnologia. Um

exemplo citado é a preocupação de diretores com normas e controles exagerados

para a utilização dos equipamentos, que acabam impedindo o seu uso. Pode-se

perceber que não existe, nos programas de distribuição dos equipamentos, uma

logística e uma estratégia de organização. Um exemplo disso é a constatação do

autor de que não há adequação de salas para instalação nem acomodação dos

alunos nem a manutenção periódica por técnicos permanentes na escola. No seu

trabalho Borba (2005) apresenta situações de sucesso no ensino da Matemática e

da Física com softwares gráficos, que ajudam na experimentação e no processo de

pesquisa dos alunos, facilitando a sua descoberta com os erros e acertos,

permitindo a investigação, argumentação e teorização das situações propostas pelos

professores mais preparados.

“A importância da investigação tem sido amplamente valorizada pela comunidade de educação matemática. Como vimos anteriormente, ela ganha destaque na proposta pedagógica experimental-com-tecnologia”. (BORBA, 2005, p.41).

Borba (2005) destaca a importância de o professor manter-se atualizado e

acompanhar a evolução constante da multimídia usada nos computadores e que as

informações precisam ser organizadas e discutidas para serem adequadamente

compartilhadas.

Elias (2009) elaborou um levantamento e análise sobre artigos publicados na

Revista Brasileira de Ensino de Física entre 2000 a 2008 sobre as propostas de uso

do computador como ferramenta auxiliar no ensino de Física nos Ensinos Médio e

Superior, bem como sua importância em proporcionar ao aluno maior interação com

os conteúdos abordados nestes níveis de ensino e atender às competências e

habilidades recomendadas nos PCNEM.

57

Na sua pesquisa, foi constatado que a maioria dos artigos é voltado para

Ensino Superior e que a menor ênfase ao Ensino Médio é atribuída às faltas de

infra-estrutura, recursos e despreparo dos professores nas escolas. A Tabela 5

resume o nível de ensino e o ano das publicações.

TABELA 5 - Nível de Ensino x Ano de publicação.

Ano de Publicação

Nível de ensino 2000

2001

2 0 0 2

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Total %

Ensino Superior 4

1

13 2

3

0

3

2

3

31 60,8

Ensino Médio 2

1

9 1

2

0

3

1

1

20 39,2

Total 6

2

22 3

5

0

6

3

3

51 100

Fonte: Elias, 2009, p. 8.

Dentro do período entre 2000 e 2008, foram encontrados 45 artigos que

relacionavam o uso do computador para o ensino aprendizagem da Física, nos quais

destacaram a sua utilização para atividades na coleta e análise de dados, simulação

ou modelagem de fenômenos físicos, instrução assistida, edição de filmes e

animações, estudo das habilidades cognitivas e multimídia.

A Tabela 6 resume as modalidades das propostas apresentadas nos artigos.

TABELA 6 – Modalidades de uso do computador no ensino de Física x Ano de publicação

Ano de Publicação

Modalidades de uso do computador

2000

2001

2 0 0 2

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Total

%

Simulação ou modelagem. 0 2 13 1 2 0 3 2 2 25 55,7

Coleta e análise de dados em tempo real.

3 0 2 1 2 0 1 0 1 10 22,2

Edição de filmes e animações. 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 4,4

Estudo de habilidades cognitivas.

1 0 1 0

0 0 0 0 0 2 4,4

Instrução assistida. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2,2

Multimídia. 0 0 0 0 1 0 2 1 1 5 11,1

Total 4 2 19 2

5 0 6 3 4 45 100


58

Podemos verificar duas modalidades mais utilizadas no computador para o

ensino- aprendizagem da Física. A primeira mais usada é a simulação e a segunda

a análise de dados.

Os artigos analisados tiveram dois enfoques, o qualitativo, onde os trabalhos

priorizavam aspectos conceituais, fenomenológicos e as contribuições e limitações

dos recursos computacionais e o quantitativo, utilizado nos processos de aquisição e

análise de dados, elaboração de gráficos, determinação de parâmetros físicos e

presença de erros nas medidas.

Na sua análise, Elias (2009) constatou que a maioria dos artigos sobre o uso

de recursos computacionais no ensino da Física tinha enfoque qualitativo,

possivelmente por representar os aspectos mais utilizados para o ensino e

aprendizagem característicos desta disciplina.

A Tabela 7 resume os enfoques no período da pesquisa.

TABELA 7 - Enfoque x Ano de Publicação

Ano de Publicação

Enfoque 2000

2001

2 0 0 2

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Total %

Qualitativo 1 1 15 1 5 0 6 3 3 35 77,8

Quantitativo 3 1 4 1 0 0 0 0 1 10 22,2

Total 4 2 19 2 5 0 6 3 4 45 100


Concluindo seu estudo, Elias (2009) sugere que, apesar dos problemas

relacionados ao uso do computador no ensino Médio já citados, as escolas deste

nível deveriam considerar a sua utilização no ensino da Física, como forma de

despertar a curiosidade e motivação dos estudantes, antecipar as habilidades e

conhecimentos que serão exigidos na vida cotidiana e possivelmente no ensino

superior. A utilização do recurso computacional não deve ser apenas uma

substituição da antiga ferramenta (giz e lousa) e a capacitação do professor no uso

do novo recurso deve proporcionar uma mudança na sua metodologia, para

apresentação dos conceitos de forma mais interessante, favorecendo aos

estudantes a aquisição das competências preconizadas no PCNEM.

59

Noss (2009) efetuou um estudo sobre como as ferramentas digitais

interferem no processo ensino-aprendizagem da Matemática e como este conteúdo

é interpretado pelos estudantes. Para o seu estudo, ele elegeu quatro categorias

relacionadas ao uso das ferramentas.

A primeira categoria foi relacionada com os elementos geométricos, a

segunda com os procedimentos de cálculo e esboço gráfico, a terceira a que se

utiliza de representação matemática e a quarta relacionada com a conectividade dos

alunos com o meio computacional.

O nível dos estudantes participantes das atividades não foi declarado pelo

autor em todas as situações, mas pelos objetos matemáticos citados no estudo e as

situações abordadas na apresentação dos softwares utilizados, podemos considerar

que foi direcionado a alunos do ensino fundamental e médio. Em apenas duas

situações foi mencionada a idade dos estudantes. Na atividade 3, a faixa etária foi

entre treze e quatorze anos na atividade 4, entre quatro e oito anos.

Algumas das questões que Noss (2009) formula estão envolvidas com o

desenvolvimento da Matemática e o ensino aprendizagem. São elas: Em que

medida o conhecimento matemático está relacionado com as práticas que utilizam a

semiótica? Como a aquisição do conhecimento está ligada ao uso de ferramentas

virtuais? Como são moldadas no conhecimento dos estudantes as abstrações

matemáticas expressas pelo meio (físico, virtual, cultural)?

Noss (2009) apresenta duas razões para a sua pesquisa. A primeira é

relativa à introdução das tecnologias, que oferecem uma oportunidade ao professor

para repensar o uso desta ferramenta como um processo de instrumentação para o

ensino da Matemática e a verificar como é a concepção dos alunos desta disciplina

através da sua integração com a situação proposta. Neste contexto, ele cita Artigue

(2002), quando ela afirma que na medida em que o aluno está ciente do sistema, ele

é capaz de olhar através dele, bem como olhar para ele. A segunda razão é que as

novas tecnologias estão sendo mais utilizadas nas salas de aula e em várias

disciplinas. Neste aspecto ele se utiliza do argumento de Balacheff (1993), que

discute a idéia da transposição computacional relativa ao fato de que as ferramentas

computacionais introduzem um novo modelo de conhecimento que relacionam o seu

funcionamento com a interface de utilização do software.

Apresentamos a seguir, cada categoria mencionada na pesquisa, com suas

respectivas análises.

60

Da primeira situação, relacionada com os elementos geométricos, foi

proposta a atividade 1. Ela foi aplicada a dois estudantes que utilizaram o Cabri para

a construção de um quadrilátero. Veja Figura 5.

FIGURA 5. Uso do Cabri na atividade 1.

Fonte: Noss, 2009, p.136.

Foi solicitado aos alunos que, quando estivessem certos de terem construído

um quadrilátero, deveriam procurar identificar outras propriedades desta figura que

poderiam ser satisfeitas. Eles exploraram as opções disponíveis no software,

conjecturando e construindo novas situações com sucesso no entendimento. O autor

ressaltou o papel do software Cabri na manipulação e interpretação a partir de uma

proposta inicial.

A segunda situação, relacionada com os procedimentos para cálculo e

esboço gráfico, foi baseada em estudo de caso numa fábrica de carros. Foi utilizada

inicialmente uma planilha manual para controle de processo estatístico, usado pelos

trabalhadores na linha de produção automotiva, para monitorar um processo de

fabricação. O resultado gráfico é utilizado para compartilhar informações entre o

setor de produção e o setor de gestão para a melhoria dos processos. Analisando a

resolução, verificou-se que os estudantes freqüentemente chegaram aos resultados

corretamente para a construção do gráfico, mas não apreenderam corretamente os

conceitos que levaram a exibir o resultado. Desta forma, o domínio da manipulação

técnica não traduziu a obtenção do conhecimento matemático contido na situação

proposta.

61

Nesta atividade foi utilizada a planilha modelo SPC (Statistical Process

Control) e a Figura 6 reproduz o resultado manual da atividade 2.

FIGURA 6. Uso do SPC na atividade 2. Fonte: Noss, 2009, p. 140.

Depois do processo manual, os alunos foram encorajados a refazer o gráfico

utilizando o software TEBO (Technologically Enhanced Boundary Object). Os novos

resultados permitiriam verificar que os dados foram automatizados mostrando

domínio das técnicas de manipulação do software pelos estudantes e que o

processo gerado por eles foi corretamente usado para a construção do gráfico, no

modelo SPC. Foi incorporado ao conhecimento dos estudantes, a linguagem de

programação que o software utilizou para automatização, usando os padrões

estatísticos da Matemática.

A Figura 7, mostra os resultados com o uso do software.

62

FIGURA 7. Uso do TEBO na atividade 2. Fonte: Noss, 2009, p. 141.

Desta forma, a utilização do recurso computacional, foi usado para que os

estudantes entendessem como o software construiu o gráfico e interpretou os

dados, proporcionando um acompanhamento da construção do conhecimento.

A atividade 3, proposta aos alunos de 13 e 14 anos, teve por objetivo

interpretar a representação decimal, não-exata e não periódica de um número

irracional, com uso de reticências para indicar "e assim por diante". Por exemplo, o

resultado da fração 1/7 é 0,1428571... , neste caso a representação está na situação

proposta e que para muitos estudantes é um paradoxo, pois a fração 1/7 é finita,

mas a sua representação decimal é representada por um número infinito. A solução

para este problema foi elaborar um sistema que representasse esse número,

quantas casas o estudante estivesse disposto a esperar ver, respeitando-se apenas

o limite da máquina e o tempo de processamento da informação. Na atividade, os

números depois da vírgula à direita, diminuem de tamanho ao se aproximar da mão

do avatar. Veja figura 8.

Desta forma, a solução de mostrar os dígitos exibidos diminuindo

gradualmente de tamanho até chegar ao tamanho de um pixel, mostra aos alunos

que um número infinito de dígitos, seguido após a vírgula é transmitido visualmente,

permitindo aos estudantes uma interpretação mais real do resultado.

Foi usado o sistema ToonTalk de programação, que faz uma simulação dos

dados, como se fosse um robô, „treinado‟ a fazer o que está sendo pedido pelo

avatar do usuário, representado pela forma da sua mão. Veja figura 8.

63

FIGURA 8. Uso do ToonTalk na atividade 3. Fonte: Noss, 2009), p. 144.

A última situação da pesquisa foi relacionada à mudança cultural, com a

interação dos estudantes com a conectividade computacional, tanto na relação do

estudante com o software como na comunicação entre os estudantes através do

computador. Nesta situação, Noss (2009) questiona a respeito de até que ponto esta

mudança cultural reflete no aprendizado da matemática.

Segundo Roschelle (2004) a conectividade possibilitada pela

mídia computacional constitui um conjunto profundamente importante na simulação

de representação matemática pelo meio computacional.

Noss (2009) considera um grande potencial para melhorar o ensino

aprendizagem da Matemática a conectividade computacional dentro e entre as salas

de aula no compartilhamento, reflexão e manipulação coletiva da informação e das

situações matemáticas. Dentro da sala de aula, usando a tecnologia, o estudante

pode construir uma situação inteira ou parte de um estudo de um objeto matemático

e dividir a sua reflexão com outros colegas. Este tipo de conexão coletiva pode ter

impacto considerável no desenvolvimento dos significados matemáticos através das

ferramentas gráficas computacionais. Como exemplo ele cita um projeto onde

estudantes de 4 a 8 anos construíram e compartilharam vídeo games simples. O

estudo mostrou que houve uma mudança nas regras de comunicação, quando

passaram da colaboração cara a cara, regida pelas expressões da linguagem nativa

e depois através de comunicação remota, onde as regras de comunicação são

regidas por expressões computacionais.

64

Noss (2009) concluiu a sua pesquisa resumindo as situações apresentadas.

Na primeira atividade com ferramenta dinâmica no estudo de atividades

geométricas, destaca a necessidade de se permitir que os estudantes tenham a

liberdade da escolha e investiguem os elementos de forma a construir o seu

conhecimento por meio da concentração na interação com o software. Na segunda e

terceira atividades, a comparação entre os processos, na atividade 2 a planilha

manual e planilha eletrônica e na atividade 3 a simbologia usual e o recurso visual,

puderam contribuir para o entendimento dos conceitos matemáticos na construção

gráfica dos resultados e na aquisição do conhecimento. Na quarta atividade, a

análise das conectividades individual e coletiva mostrou a necessidade de mudança

na maneira de apresentação das idéias e na criação de novas formas de linguagem

para exprimir os conhecimentos.

Noss (2009) destaca que o uso computacional para o ensino- aprendizagem

da Matemática é um desafio para os pesquisadores desta disciplina e que eles

precisam decidir o que deve ser mantido e o que precisa ser desenvolvido como

novos recursos. Ele observa que surgiram indícios de que muitos obstáculos

encontrados para a compreensão da Matemática, residem na escolha da infra-

estrutura de representação (papel e lápis ou computacional). Segundo Noss (2009)

as pesquisas estão começando a apontar exemplos de como a tecnologia pode ser

utilizada como infra-estrutura para que a Matemática possa ser aprendida e

ensinada.

Finalmente, ele considera que a questão da conectividade é importante para

o desenvolvimento da Matemática, pois possibilita a construção do conhecimento

dos estudantes em conjunto como objeto de reflexão e manipulação em um espaço

compartilhado. Ainda, contribui na expressão formal das idéias matemáticas quando

estão sendo compartilhadas à distância. Pesquisas sobre conectividade ainda são

reduzidas, mas, segundo o autor, a análise da conectividade pode revolucionar a

forma de se dominar os conhecimentos matemáticos, podendo ser o começo não

apenas de uma transformação pedagógica, mas também de uma epistemologia

estimulada pela conectividade.

Para encerrar suas considerações, Noss (2009) observa duas situações

importantes, a primeira é que o uso da tecnologia por si só não influencia o

desenvolvimento da Matemática de uma forma significativa, ela deve ser usada

como um apoio na aprendizagem, inserida nas atividades dentro de um projeto

65

pedagógico com objetivos específicos. A segunda consideração diz respeito à

importância de se escolher um instrumento que expresse a Matemática e que

contemple os alunos, na construção e reforço dos significados desenvolvidos em

cada caso de estudo.

O papel da infra-estrutura tradicional, do uso do papel e lápis tem

historicamente desempenhado sua função de ser capaz de suportar múltiplos modos

de expressão. Mas na educação, e em particular, na educação matemática, não se

pode negar o poder de transformação do uso dos computadores nos contextos

educativos formais, permitindo suportar novas formas de interação com os objetos

matemáticos, as quais nem sempre são possíveis no ambiente papel e lápis.

Souza3 (b) (2010) elaborou uma pesquisa bibliográfica em sites de revistas

eletrônicas e em anais de congressos sobre os recursos didático-pedagógicos

utilizados na modelagem matemática no contexto do ensino de Física, identificando

vinte trabalhos científicos relevantes sobre este tema.

Nas suas considerações epistemológicas, verificou os termos sobre a

representação matemática e o modelo matemático usando as observações de Duval

(2009).

Segundo Souza (2010) „podemos dizer que uma representação matemática

é uma representação semiótica (externa) que representa um objeto matemático

(número, função, reta etc.).‟ Dessa forma, podemos identificar que algumas

dificuldades dos estudantes estão em usar a representação matemática para a

resolução de problemas e a compreensão do modelo matemático.

O processo de seleção dos trabalhos utilizado por Souza (2010) consistiu na

utilização do „buscador‟ Google com as palavras chave “modelagem matemática +

ensino física”. Segundo esta base de pesquisa, foram identificados vinte trabalhos,

classificados em dois tipos de origens, os didático-pedagógicos (quinze) e teóricos

(cinco). Com relação a esse último tipo, foram detectadas três categorias, as

relacionadas a problemas contextualizados (onze ocorrências); a simulações

computacionais (três ocorrências) e a atividades experimentais (seis ocorrências).

No Quadro 17, reproduzimos a lista dos trabalhos e respectivos sites

pesquisados por Souza (2010).

3 SOUZA, E. S. R. SANTO, A. O. E. MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA RECURSOS DIDÁTICO-

PEDAGÓGICOS. In: VII E P A E M - Encontro Paraense de Educação Matemática. Belém, Pará, 2010.

66

PESQUISAS DE CUNHO TEÓRICO Título/Autor(es)/Site 1) A modelagem matemática aplicada ao ensino de Física no ensino médio. C. O. Lozada e olaboradores http://www.ffcl.edu.br/logos/artigos/2006b/ARTIGO1-pag2-ClaudiaLozada-logos-14-2006.pdf 2) Modelagem matemática de fenômenos físicos envolvendo grandezas proporcionais e funções do primeiro grau,através de atividades experimentais. L. S. Campos e M. S. T de Araújo. http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/269-2-A-gt9-Campos-ta.pdf 3) Modelagem no ensino/aprendizagem de física e os novos parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio.E. A. Veit e V. D. Teodoro. http://www.scielo.br/pdf/rbef/v24n2/a03v24n2.pdf

4) Modelagem computacional no ensino de física. E. A. Veit e I. S. Araújo. http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef/producao/modelagem_computacional_Maceio.pdf 5) Alternativas de modelagem matemática aplicada ao contexto do ensino de física: a relevância do trabalhointerdisciplinar entre matemática e física. C. O. Lozada. http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Html/comunicacaoCientifica.html

PESQUISAS DE CUNHO DIDÁTICO-PEDAGÓGICO

Título/Autor(es)/Site 1) A modelagem matemática como metodologia para o ensino-aprendizagem de Física. E. S. R. de Souza e A. O. do Espírito Santo. http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/fisica/artigos/ednilson.pdf 2) Equilíbrio no espaço: experimentação e modelagem matemática. P. A. P. Borges, N. A. Toniazzo e J. C. da Silva. http://www.scielo.br/pdf/rbef/v31n2/10.pdf 3) Aperfeiçoamento de professores de física e matemática utilizando a modelagem matemática M. Q. Albé e colaboradores. http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010716044716.pdf 4) O ensino de fenômenos físicos através da modelagem matemática. L. Daroit, C. Haetinger e M. M. Dullius. http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/RE/RE_35.pdf 5) Uma experiência da utilização da modelagem matemática computacional aplicada ao ensino de física F. H. L. Vasconcelos, J. R. Santana e H. B. Neto. http://tele.multimeios.ufc.br/~semm/conteudo/leitura/ef/artigo13.pdf 6) Modelagem matemática: uma experiência com professores. K. G. Leite. http://need.unemat.br/3_forum/artigos/13.pdf 7) Interdisciplinaridade por meio da modelagem matemática: uma atividade envolvendo matemática e física E. S. R. de Souza e colaboradores. http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/artigo/1-2009-02-28-12-40-16.pdf 8) Modelagem matemática no ensino-aprendizagem de física: tópicos de mecânica. E. S. R. de Souza http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/artigo/1-2009-02-28-12-35-31.pdf 9) A importância da modelagem matemática na formação de professores de física. C. O. Lozada e N. S. Magalhães. http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xviii/sys/resumos/T0202-2.pdf 10) A modelagem matemática através de conceitos científicos. H. R. da Costa.

http://www.cienciasecognicao.org/pdf/v14_3/m197.pdf 11) Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem nos cursos superiores de tecnologia E. C. Ferruzzi e colaboradores http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/Modelagem_Mat_Eng.pdf 12) Um estudo de caso relacionando formação de professores, modelagem matemática e resolução de problemas defísica. C. O. Lozada e N. S. Magalhães.. http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/xi/sys/resumos/T0108-2.pdf 13) Um relato de experiência sobre a prática de modelagem matemática aplicada ao ensino de física C. O. Lozada e N. S. Magalhães. http://www.uel.br/eventos/cnmem/aceitos.htm 14) Radiação solar ultravioleta e a modelagem matemática. M. C. Stieler e V. Bisognin. http://miltonborba.org/CD/Interdisciplinaridade/Encontro_Gaucho_Ed_Matem/cientificos/CC74.pdf 15) CTS e a modelagem matemática na formação de professore de física. P. E. da C. Moutinho.

http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Html/comunicacaoCientifica.html

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/fisica/artigos/ednilson.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/fisica/artigos/ednilson.pdf

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/RE/RE_35.pdf

http://tele.multimeios.ufc.br/~semm/conteudo/leitura/ef/artigo13.pdf

http://need.unemat.br/3_forum/artigos/13.pdf

http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/artigo/1-2009-02-28-12-40-16.pdf



http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xviii/sys/resumos/T0202-2.pdf

http://www.cienciasecognicao.org/pdf/v14_3/m197.pdf

http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/Modelagem_Mat_Eng.pdf

http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/xi/sys/resumos/T0108-2.pdf

67

http://www.ufpa.br/ppgecm/media/Dissertacoes_Pedro%20Estevao%20da%20Conceicao%20Moutinh

o.pdf

QUADRO 17. Trabalhos encontrados na internet sobre o tema Modelagem Matemática e o ensino de Física. Fonte: Souza, 2010, p. 7-8.

Na conclusão da sua pesquisa, Souza (2010) verificou que no ensino-

aprendizagem da Física, os três recursos mais utilizados, destacados pelos

problemas contextualizados, atividades experimentais e simulações computacionais,

puderam ser considerados como uma tendência e facilitadores na coleta de dados

qualitativos e quantitativos, importante para o desenvolvimento do modelo

matemático e estudo das representações.

Como podemos constatar neste levantamento, o uso das simulações

computacionais ainda é discreto, justificando assim a necessidade de realizar mais

investigações e pesquisas nesta categoria.

2.2.5 Análise de pesquisas relacionadas à interdisciplinaridade.

Apresentamos a seguir, pesquisas sobre a importância da

interdisciplinaridade no ensino. A nossa contribuição estará no estudo entre as

disciplinas de Matemática e Física, de forma a demonstrar as dificuldades e as

propostas para a melhoria no ensino e aprendizagem nos conceitos no ensino

superior.

Segundo Fazenda (1994) a origem da interdisciplinaridade surgiu na Europa,

inicialmente na França na década de 60, durante manifestações estudantis que,

reivindicavam entre outras mudanças, de que o ensino considerasse as questões de

ordem social, política e econômica daquela época. No início da década de 70, a

idéia de interdisciplinaridade chegou ao Brasil e foi considerada durante a criação

das Leis de Diretrizes e Bases Nº 5.692/71, na década de 90 na LDB Nº 9.394/96 e

mais recentemente nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental

e Médio.

“Mais amplamente integrado à vida comunitária, o estudante da escola de nível médio já tem condições de compreender e desenvolver consciência mais plena de suas responsabilidades e direitos, juntamente com o aprendizado disciplinar. No nível médio, esses objetivos envolvem, de um lado, o aprofundamento dos saberes disciplinares em Biologia, Física, Química e Matemática, com procedimentos científicos pertinentes aos seus objetos de estudo,

http://www.ufpa.br/ppgecm/media/Dissertacoes_Pedro%20Estevao%20da%20Conceicao%20Moutinho.pdf

http://www.ufpa.br/ppgecm/media/Dissertacoes_Pedro%20Estevao%20da%20Conceicao%20Moutinho.pdf

68

com metas formativas particulares, até mesmo com tratamentos didáticos específicos. De outro lado, envolvem a articulação interdisciplinar desses saberes, propiciada por várias circunstâncias, dentre as quais se destacam os conteúdos tecnológicos e práticos, já presentes junto a cada disciplina, mas particularmente apropriados para serem tratados desde uma perspectiva integradora”. (PCN: Ensino Médio, 2002, p.6).

Apesar de ter sido referenciada nas LDB e PCN, a interdisciplinaridade ainda

é pouco conhecida e aplicada nas escolas e faculdades.

Antes de falarmos sobre algumas pesquisas sobre o uso da

interdisciplinaridade vamos diferenciar este termo com alguns outros que apesar de

terem alguma relação, são propostas muito diferentes. Usaremos as definições

dadas por Japiassú (1976), resumidas no Quadro 18, para a Multidisciplinaridade,

Pluridisciplinaridade, Interdisciplinaridade e Transdisciplinaridade. A cada definição,

Associamos ao lado de cada definição, um organograma onde cada retângulo

representa uma disciplina distinta das outras e em outros casos as setas

representam o sentido das possíveis relações entre as disciplinas. Os níveis

mencionados nas definições, estão relacionados com a quantidade de linhas

horizontais que as disciplinas estão representadas.

DEFINIÇÃO ORGANOGRAMA

Multidisciplinaridade - Descrição geral: gama de disciplinas que propomos simultaneamente, mas sem fazer aparecer as relações que podem existir entre elas. [...] Tipo de sistemas: sistema de um só nível e de objetivos múltiplos; nenhuma cooperação.

Pluridisciplinaridade - Descrição geral: justaposição de diversas disciplinas situadas geralmente no mesmo nível hierárquico e agrupadas de modo a fazer aparecer as relações existentes entre elas. [...] Tipo de sistema: sistema de um só nível e de objetivos múltiplos; cooperação, mas sem coordenação.

Interdisciplinaridade - Descrição geral: axiomática comum a um grupo de disciplinas conexas e definida no nível hierárquico imediatamente superior, o que introduz a noção de finalidade. [...] Tipo de sistema: sistema de dois níveis e de objetivos múltiplos; coordenação procedendo do nível superior.

69

Transdisciplinaridade - Descrição geral: coordenação de todas as disciplinas e interdisciplinas do sistema de ensino inovado, sobre a base de uma axiomática geral. [...] Tipo de sistema: sistema de níveis e objetivos múltiplos; coordenação com vistas a uma finalidade comum dos sistemas.

QUADRO 18 – Resumo dos tipos de relações entre as disciplinas educacionais. Fonte: JAPIASSÚ, 1976, p. 73-74.

Favarão (2004) desenvolveu uma pesquisa com o objetivo de refletir sobre a

importância da interdisciplinaridade no processo ensino-aprendizagem do Ensino

Superior. Sua pesquisa envolvendo trabalhos de vários autores, entre eles o de

Fazenda (1993, 1994, 1995) que indicaram que o uso da interdisciplinaridade pode

contribuir para melhorar o conhecimento e a qualidade no Ensino Superior. Duas

razões são apontadas para esse efeito positivo, a primeira relacionada com a

diminuição das dificuldades no entendimento e associação de disciplinas afins como

Matemática e Física e a segunda pela contribuição na formação acadêmica mais

abrangente e socializada com as situações da realidade fora da universidade.

“A interdisciplinaridade vem sendo introduzida nas universidades por meio da realização de projetos e trabalhos integrados em diferentes cursos de graduação, reunindo os conteúdos trabalhados pela grade curricular em cada ano. Considerando que todas as disciplinas que formam as grades são indispensáveis para a formação dos bacharéis em suas áreas, a integração entre os conteúdos é fundamental para a qualidade da educação oferecida”.(FAVARÃO, 2004, p. 114).

O uso da interdisciplinaridade no ambiente universitário necessita de uma

mudança no planejamento das disciplinas. As novas formas de abordagem

educativa incluem a revisão curricular, o papel do professor neste novo conceito,

projetos e práticas da iniciação científica e cursos de extensão. Estas abordagens

colaboram na formação do estudante universitário, de acordo com Favarão apud

Fazenda, (1994, p.23), “É apoio à ciência e à pesquisa. Possibilita eliminar a

distância existente entre a formação escolar e atividade profissional”.

Segundo Favarão (2004) as principais questões que continuam a serem feitas

em relação ao ensino aprendizagem são „Qual o seu objetivo de ensino?‟, „Qual o

tipo de aluno que gostariam de ajudar a formar?‟. A maioria dos projetos

pedagógicos tem como objetivo no ensino, auxiliar os estudantes numa formação

70

mais ampla, participativa e reflexiva, para a melhor formação do cidadão mais

atuante na sociedade. Ela esclarece que embora integre algumas disciplinas, nem

por isso é tida como uma técnica ou um método.

“Entretanto, é preciso esclarecer que a interdisciplinaridade não é uma técnica didática, nem um método de investigação, também não pode ser vista como elemento de redução a um denominador comum, mas como elemento teórico-metodológico da diversidade e da criatividade”.(FAVARÃO, 2004, p. 106).

A interdisciplinaridade é compatível com a idéia de que o conhecimento está

sempre em construção, ou seja, tem como base o construtivismo. Quanto mais

dinâmico o processo de ensino aprendizagem maior poderá ser a construção do

saber.

“A interdisciplinaridade vem sendo introduzida nas universidades por meio da realização de projetos e trabalhos integrados em diferentes cursos de graduação, reunindo os conteúdos trabalhados pela grade curricular em cada ano. Considerando que todas as disciplinas que formam as grades são indispensáveis para a formação dos bacharéis em suas áreas, a integração entre os conteúdos é fundamental para a qualidade da educação oferecida”.(FAVARÃO, 2004, p. 114).

Outro fator importante da interdisciplinaridade é o seu aspecto

contemporâneo referente a globalização, considerando a união das ciências em prol

das sociedades.

“A preocupação com a interdisciplinaridade em nossas escolas vem trazer uma nova visão didático-pedagógica à problemática da formação humana. O aluno dentro de uma escola com a preocupação interdisciplinar, não viverá um currículo que veicule conceituações fechadas, mas sim interligadas. A visão do mundo e da vida no momento, é uma visão global, uma visão do todo, onde cada parte passa a ter significado, quando adita a um grande conjunto”. (FAZENDA, 1995, p. 57).

Um dos obstáculos à implementação da interdisciplinaridade é a postura

conservadora e a falta de iniciativa às mudanças. “O comodismo também impede a

eliminação das barreiras existentes entre as disciplinas, pois é mais fácil trabalhar

fragmentado do que discutir idéias.” (Favarão, 2004, p. 107)

71

3. METODOLOGIA DA PESQUISA

3.1 A METODOLOGIA DOS DESIGN EXPERIMENTS

O Design Experiment representa uma metodologia de pesquisa dotada de um

processo dinâmico e cíclico, que se desenvolve a partir do objetivo inicial de projetar

um experimento. Ele pode ser utilizado tanto para o desenvolvimento de produtos e

processos na indústria como na área da educação. O importante é ter os objetivos

bem definidos para o pesquisador direcionar o seu trabalho.

Na área da Educação Matemática, a metodologia de Design Experiments de

Cobb et al. (2003) é utilizada para investigar processos relacionados ao ensino e à

aprendizagem dessa disciplina e pretende contemplar todo o seu ambiente,

proporcionando aos seus integrantes, alunos e professores, maior interação,

favorecendo a criação de hipóteses e análises cíclicas das situações criadas,

permitindo o redesign das atividades e novas aplicações.

Essa metodologia surgiu para atender à necessidade de um modelo

específico para analisar os processos de ensino e de aprendizagem em Matemática,

tendo em vista que eram utilizados modelos de outras áreas, tais como Psicologia e

Medicina, que avaliavam os resultados normalmente com base na comparação entre

grupos de controle e experimental.

Segundo Cobb et al. (2003) o professor-pesquisador deve criar as atividades

iniciais e conduzi-las sistematicamente, tendo a flexibilidade para adaptar as

situações às produções fornecidas pelos estudantes.

“O Design Experiments enfatiza a criação e o desenvolvimento de teorias de aprendizagem como seu objetivo preliminar, com a melhoria do processo de aprendizagem em sala de aula vista como o objetivo secundário”. (COBB et al., 2003).

O grupo de estudo pode ser formado por um número reduzido de sujeitos ou

por uma classe numerosa, sendo a quantidade de pessoas envolvidas dependente

dos objetivos da pesquisa.

O professor-pesquisador tem como principal papel conduzir uma série de

sessões de ensino com o grupo de estudantes escolhido previamente. Ele ainda cria

72

uma versão, em pequena escala, de uma ecologia de aprendizagem que garante um

estudo mais profundo e detalhado dos resultados.

O conceito de ecologia de aprendizagem aparece neste contexto, por

considerar a complexidade das variáveis que estarão interagindo durante a

execução da proposta didática. Alguns dos fatores que compõem o ambiente da

aplicação é a sala de aula que se transforma em um laboratório, as idéias e

sugestões dos alunos, o software utilizado como ferramenta na resolução dos

exercícios, enfim, todos os elementos que estão presentes durante a atuação dos

alunos. O importante é fazer uma análise considerando o conjunto de todos os

fatores que influenciam o processo.

Salientamos que o nosso trabalho não tem a pretensão de desenvolver uma

teoria nova, mas sim contribuir para novas reflexões teóricas, uma vez que a

observação da atuação dos alunos diante das atividades propostas e de sua

interação com o software permitirá levantar fatores que possam contribuir como

sugestões de melhorias no trabalho com as operações de adição de vetores e

multiplicação de um vetor por um escalar.

3.2. RELAÇÃO DE NOSSO ESTUDO COM A METODOLOGIA ADOTADA

A nossa proposta de atividade prevê uma metodologia flexível, que considere

as várias formas de resoluções, interpretação, acertos e erros de cada aluno,

respeitando a sua forma de entendimento e evolução das situações. A metodologia

de Design Experiment de Cobb et al. (2003) foi selecionada por possuir estas

características, proporcionando um ciclo de redefinições a partir das atividades

propostas, de forma a reformular as situações conforme a interação e interpretação

dos alunos participantes.

Esperamos proporcionar uma situação em que os alunos tenham ampliadas

as suas possibilidades de participação, considerando as reformulações a partir da

resolução das atividades.

Os erros ocorridos durante a resolução das atividades não serão descartados,

ao contrário, poderão proporcionar novas situações que deverão ser consideradas

73

para as análises, novas propostas e confirmação ou não das hipóteses iniciais.

3.2.1. Sujeitos

A escolha de sujeitos de Licenciatura em Química se deu em função da

problemática detectada nas aulas ministradas pelo professor-pesquisador nas

disciplinas de Física Teórica e Física Experimental do primeiro ano do curso de

Licenciatura em Química.

Durante o desenvolvimento das aulas de Física, foram identificadas

dificuldades na aprendizagem dos conceitos de vetor, objeto matemático que tem

sua origem na Geometria Analítica, sendo aplicado em várias situações da Física.

Foi realizado um convite a uma turma de cinquenta alunos do curso de

Licenciatura em Química de uma universidade privada do Estado de São Paulo,

sendo que seis se voluntariaram a participar da pesquisa, a qual foi desenvolvida em

horário extra classe. As atividades foram desenvolvidas com três duplas, sendo que

estes estudantes já haviam tido contato anterior com o conteúdo proposto no

experimento, porém, foi verificado, pelos resultados do pré-experimento, que eles

ainda apresentavam muita dificuldade com estes conceitos. Todos eram oriundos de

escolas estaduais e municipais do Estado de São Paulo e, quando ingressaram no

ensino superior, estavam há mais de um ano afastados dos estudos. A faixa etária

dos estudantes estava compreendida entre vinte e trinta e cinco anos. Como eles

não conheciam a ferramenta computacional adotada, foi proposta uma atividade de

familiarização com o software Cabri-Géomètre II Plus antes da aplicação do

experimento sobre operações com vetores.

Salientamos que, dos seis alunos, apenas dois cumpriram todas as atividades

do experimento, sendo que os demais abandonaram o processo por problemas

particulares. Desta forma, com vistas a obter dados sobre a evolução desses

estudantes, limitamos a nossa análise aos estudantes que participaram de todo o

experimento. Devido ao fato de o programa curricular da disciplina estar sendo

desenvolvido durante o processo do experimento, não foi possível ampliar o número

de sujeitos, uma vez que os mesmos estavam em um momento de aprendizagem do

mesmo conteúdo de vetores na disciplina de Geometria Analítica.

74

3.2.2. Papel do Professor-Pesquisador

O professor-pesquisador monitorou as atividades de forma a permitir a

reformulação do experimento e por isso, teve um papel fundamental na execução do

design. Ele organizou as atividades, colheu evidências e deu suporte na utilização

dos materiais, fazendo as mudanças conforme necessário. A sua intervenção foi

discreta, pois o objetivo foi de não inibir a criatividade e a demonstração espontânea

dos alunos na condução do experimento.

3.2.3. Material e Ambiente de Trabalho

Para a execução das atividades propostas, usando o design, foram

elaboradas cinco atividades, organizadas em uma seqüência em que cada atividade

envolveu primeiramente o conceito de vetor e suas operações, para depois integrar

uma aplicação na Física. Estas atividades foram propostas nos ambientes papel e

lápis e Cabri-Géometre II. Desta forma, o ambiente de trabalho para a realização

das atividades foi uma sala de laboratório de informática de uma universidade

privada de ensino no estado de São Paulo, tendo o software adotado instalado nos

computadores. Outros materiais também foram utilizados para realizar estas

atividades, tais como lápis, borracha, régua, calculadora, além do software. Para a

coleta de dados, foi instalado o software livre denominado Camtásia, que captura

simultaneamente as telas dos computadores e a áudio-gravação das falas dos

estudantes e do professor-pesquisador. Além desses dados, foram coletadas as

produções escritas dos sujeitos.

75

4. APRESENTAÇÃO DO EXPERIMENTO DE ENSINO

Neste capítulo, apresentaremos as atividades do experimento sobre

operações com vetores, elaboradas de forma a explorar as relações entre os

diversos registros, integrando o recurso Cabri-Géomètre II Plus e situações da

Física. O experimento foi organizado em sete etapas. Na primeira etapa, realizamos

uma atividade pré-experimento, que teve o objetivo de mapear os conhecimentos

prévios dos estudantes em relação ao conteúdo. Na segunda etapa, fizemos uma

atividade de familiarização com o software Cabri, uma vez que os estudantes não o

conheciam. Na terceira etapa, fizemos uma breve revisão dos conceitos básicos de

vetores, para garantir a base necessária para a execução do experimento. Na quarta

etapa iniciamos as tarefas com vetores, dividida em duas atividades. A primeira

atividade envolveu a adição de vetores de mesma direção e mesmo sentido e a

segunda envolveu a adição de vetores de mesma direção com sentidos opostos. Na

quinta etapa, fizemos uma revisão básica de trigonometria. Na sexta etapa,

prosseguimos com as atividades sobre vetores, sendo a terceira atividade referente

à adição de vetores com direções diferentes, a quarta atividade sobre produto de um

vetor por um escalar e a quinta atividade sobre decomposição de vetores. Na sétima

etapa, realizamos uma atividade pós-experimento, com a finalidade de obter dados

sobre as possíveis evoluções dos estudantes. A cada atividade sobre vetores, foi

acrescentada uma atividade de aplicação na Física, visando um trabalho

interdisciplinar.

A opção pelo software Cabri se deu em função dessa ferramenta possibilitar

um trabalho integrado dos registros gráfico e algébrico, o que é compatível com a

fundamentação teórica adotada. O seu aspecto dinâmico permite que o aluno realize

experimentações, levantando conjecturas em relação às situações propostas,

favorecendo a construção do conhecimento de forma independente.

A seguir, apresentamos a descrição dessas etapas.

4.1. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DO PRÉ-EXPERIMENTO

A atividade apresentada a seguir teve por objetivo mapear os conhecimentos

prévios dos sujeitos, uma vez que eles já haviam tido contato com esse objeto

matemático.

76

Na execução das tarefas dessa fase, o professor pesquisador não fez

qualquer interferência, deixando claro aos estudantes que o objetivo consistia em

verificar seus conhecimentos prévios. O tempo para a resolução das questões foi de

vinte minutos, e não teve nenhuma justificativa classificatória, pontuação ou nota,

apenas serviu para determinar um prazo razoável para finalizar as atividades, as

quais foram realizadas individualmente. Seguem as questões dessa fase.

4.1.1. Questões do Pré-experimento

A seguir apresentamos o Quadro 19 deste Pré-experimento.

1. Escreva o que você entende por vetor.

2. Cite algumas situações da Física nas quais os vetores são aplicados.

3. Dados os representantes dos vetores u

e v

, determine um representante figural

geométrico de u

+ v

:

Se dois vetores u

e v

têm a mesma direção e o mesmo sentido, o que ocorre com:

a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?


e v


geométrico de u

+ v

para cada caso:

a)

b)

Se dois vetores u

e v

têm a mesma direção e sentidos opostos, o que ocorre com:

a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?

77


e v


geométrico de u

+ v

:

Se dois vetores u

e v

têm direções diferentes, o que ocorre com a:

a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?

6. Apresenta-se a seguir um representante do vetoru

:

u

u

Determine um representante figural geométrico de:

a) 2u

b) -2u

Dado um vetor u

, ao multiplicá-lo por um número real “m” diferente de zero, o que ocorre

com:

a direção de m u

?

o sentido de m u

?

o módulo de m u

?

E se “m” fosse igual a zero, o que daria m.u

?

7. O que é uma grandeza escalar? Dê um exemplo.

8. O que é uma grandeza vetorial? Dê um exemplo.

9. Escreva resumidamente as três leis de Newton.

QUADRO 19 - Pré-experimento.

78

4.2. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO NO CABRI

Partindo do fato de que os estudantes não conheciam a ferramenta

computacional adotada, antes das atividades do design propusemos uma atividade

de familiarização com os comandos do Cabri. Fizemos uma breve apresentação da

utilização de suas ferramentas e opções de uso, para efetuar as operações de

adição, subtração e multiplicação de um vetor por um escalar real.

O Cabri é um software de geometria dinâmica destinado aos alunos dos

ensinos fundamental, médio e superior para a aprendizagem de Matemática. Ele foi

desenvolvido a partir do final dos anos 80 por Jean-Marie Laborde e Franck

Bellemain no Instituto de Informática e Matemática Aplicada de Grenoble, no

laboratório de pesquisa da “Universidade Joseph Fourier” em Grenoble, França.

A versão Cabri-Géomètre II foi elaborada de forma a permitir ao usuário a

criação de figuras geométricas, de transformações geométricas, dentre outras

explorações no plano. Usando as opções listadas nos ícones e o mouse, associa as

necessidades de criação com os conceitos matemáticos. Tal software tem sido

atualizado com novas versões, aprimorando o seu desempenho, de forma a permitir

a ampliação das possibilidades e da criatividade das aplicações pelos usuários. A

versão de teste é gratuita, mas o seu uso pleno exige registro de autorização e

pagamento.

Após disponibilizar o Cabri no computador e abrir a sua tela inicial, (Quadro

20) seguem algumas recomendações para a sua manipulação básica. Sendo o

Cabri um software muito amigável, ele dispensa sofisticado nível de detalhamento. A

curiosidade do usuário será prontamente satisfeita a cada desafio da sua

imaginação.

QUADRO 20 – Tela Inicial do Software Cabri.

79

Nas instruções básicas, para facilitar a identificação dos comandos, primeiro

nos referimos ao ícone e depois à lista de comandos. A referência aos onze ícones

exibidos na barra de ferramentas será da esquerda para a direita, do primeiro ao

décimo primeiro ícone, de acordo com o apresentado no Quadro 21.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º

QUADRO 21 – Ícones das ferramentas no Cabri.

A seguir, serão apresentados os comandos necessários para o

desenvolvimento do experimento.

a) Construindo um vetor

Ressaltamos que este software utiliza a palavra “vetor” quando de fato

construiremos um “representante” do vetor. Para a construção de um representante

de um vetor, acesse o terceiro ícone, e clique na opção Vetor, conforme

apresentado no Quadro 22.

QUADRO 22 – Uso da opção Vetor.

Aparecerá na tela um toco de um lápis. Clique na tela no local desejado para,

a partir de um ponto, criar o representante de um vetor, conforme o Quadro 23.

80

QUADRO 23 – Exemplo de Representante de Vetor.

b) Construindo o representante de um vetor em relação ao sistema de

coordenadas S=(O, x, y).

Para a construção do sistema de coordenadas, acesse o último ícone, de

acordo com o Quadro 24.

QUADRO 24 – Uso da opção - Mostrar eixos.

Clique na opção Mostrar eixos. A partir daí aparecerão os eixos x e y,

centralizados na tela, com os valores unitários positivos da primeira unidade,

conforme apresentado no Quadro 25.

81

QUADRO 25 – Exemplo de sistema de eixos

Para facilitar a visualização das coordenadas, usaremos a grade sobre o

plano de fundo. No mesmo ícone anterior, clique em Definir grade, conforme

mostramos nos Quadros 26 e 27.

QUADRO 26 – Uso da opção – Definir grade.

QUADRO 27 – Exemplo de Grade na tela.

82

b) Determinando as coordenadas e o seu módulo.

Para que o Cabri determine as coordenadas (x, y) do vetor, basta acessar o

nono ícone e clicar na opção Equação ou coordenadas, conforme ilustrado no

Quadro 28.

QUADRO 28 – Uso da opção – Equação ou coordenadas.

As extremidades do vetor são identificadas pelos seus respectivos pontos.

Nas proximidades de cada ponto das extremidades, clique para aparecerem as

coordenadas, conforme Quadro 29.

QUADRO 29 – Exemplo de coordenadas.

83

Para que o Cabri determine o módulo do vetor, neste caso o seu comprimento

(em centímetros), basta acessar o mesmo ícone anterior e clicar na opção Distância

ou comprimento, de acordo com o apresentado nos Quadros 30 e 31.

QUADRO 30 – Uso da opção - Distância ou comprimento.

QUADRO 31 – Exemplo de comprimento de um representante de um vetor.

d) Nomeação, mudança da cor e da espessura do representante de um vetor.

Para identificar os representantes dos vetores em cada atividade, vamos usar

uma „etiqueta‟. Neste caso, basta acessar o décimo ícone e clicar na opção Etiqueta,

de acordo com o Quadro 32.

84

QUADRO 32 – Uso da opção – Etiqueta.

Após escolher essa opção, aproxime a seta no representante do vetor e

escolha em qual dos itens deseja usar a etiqueta, neste caso a escolha será no

representante do vetor. Dê um clique na tela. Aparecerá uma caixa de texto, onde

você deve escrever uma letra. Observe essa seqüência nos Quadros 33 e 34.

QUADRO 33 – Exemplo de etiqueta para um representante de vetor

85

QUADRO 34 – Exemplo de preenchimento da etiqueta.

Após escrever a letra, é possível ajustar sua posição de forma a melhorar sua

visualização. Para isto, clique no primeiro ícone. Volte à etiqueta e faça o ajuste

desejado, conforme apresentado no Quadro 35.

QUADRO 35 – Exemplo de ajuste da etiqueta.

Para facilitar a visualização e destaque dos representantes dos vetores,

usamos a variação de cor e espessura. Para isso, basta acessar o último ícone e

clicar na opção Cor, conforme ilustrado nos Quadros 36 e 37.

86

QUADRO 36 – Uso da opção - Cor.

QUADRO 37 – Exemplo de uso da opção cor.

Para mudar a espessura do representante do vetor, no mesmo ícone clique

na opção Espessura e faça a sua escolha, conforme apresentado nos Quadros 38 e

39.

87

QUADRO 38 – Uso da opção - Espessura.

QUADRO 39 – Exemplo do uso da espessura.

e) Efetuando a adição de vetores no Cabri

O Cabri já tem esta opção em sua estrutura, basta indicar quais vetores

devem ser adicionados, dois a dois, e selecionar o ponto de referência. Antes de

iniciar a adição, desenhe a origem de um representante do vetor (u

) na extremidade

do outro ( v

). Depois, acesse o quinto ícone e clique na opção Soma de dois vetores,

conforme ilustrado no Quadro 40.

88

QUADRO 40 – Uso da opção – Adição de dois vetores.

Indique os vetores a serem adicionados e o ponto de origem do representante

do vetor adição. Veja no Quadro 41.

QUADRO 41 – Exemplo do uso da opção adição.

Depois você pode fazer os ajustes para destacar o vetor resultante, mudando

a espessura e a cor, conforme apresentado no Quadro 42.

89

QUADRO 42 – Exemplo de mudança de cor.

f) Efetuando o produto de um vetor por um número real (escalar).

O Cabri não tem uma estrutura pronta para a multiplicação por escalar como

no caso da adição, mas possui uma forma de realizar esse produto usando o

conceito de homotetia, que se trata de uma operação de ampliação ou redução do

comprimento de um segmento de reta ou o tamanho de uma figura. Usando este

conceito, a partir do representante de um vetor dado, cria-se um número real para

aumentar ou diminuir o seu comprimento, obtendo-se o mesmo efeito do produto de

um vetor por um escalar real.

Após criar um vetor, para efetuar o produto do mesmo por um escalar real,

acesse o décimo ícone e clique na opção Número, para determinar o numero real

que deseja usar para esta operação. Veja a seqüência dos Quadros 43 e 44, que

indica as etapas para realizar essa operação.

QUADRO 43 – Uso da opção - Número.

90

QUADRO 44 – Exemplo de uso da opção número.

Em seguida, acesse o sexto ícone e clique em Homotetia, conforme

apresentado no Quadro 45.

QUADRO 45 – Uso da opção - Homotetia.

Depois, selecione, nesta ordem, o vetor, o valor a ser usado e o ponto de

origem do vetor resultante. Nos Quadros 46, 47, 48 e 49 são apresentadas as

etapas desta construção.

91

QUADRO 46 – Exemplo do uso da homotetia – escolhendo o vetor.

QUADRO 47 – Exemplo do uso da homotetia – usando o fator.

QUADRO 48 – Exemplo do uso da homotetia – escolhendo um ponto de origem.

92

QUADRO 49 – Exemplo do resultado do uso da homotetia de fator 2.

Para evidenciar o representante do vetor resultante, use os recursos de

aumentar a espessura ou a mudança de cor e para evidenciar o resultado do

produto, podemos indicar os comprimentos dos vetores, conforme ilustrado no

Quadro 50.

QUADRO 50 – Ajuste na imagem do representante do vetor, para melhorar sua visualização.

f) Criando figuras geométricas.

O Cabri tem formas já estabelecidas de criação de figuras geométricas, basta

acessar os ícones e usar as opções desejadas. Seguem alguns casos.

93

Construção de triângulo - Acesse o terceiro ícone, clique na opção Triângulo.

Depois desenhe o triângulo conforme desejar. Você pode usar o fundo com a grade

para melhor precisar as dimensões da figura. Nos Quadros 51 e 52 ilustram essa

construção.

QUADRO 51 – Uso da opção - Triângulo.

QUADRO 52 – Exemplo de triângulo.

Construção de um Polígono - Acesse o terceiro ícone, clique na opção

Polígono. Da mesma forma que o triângulo, desenhe o polígono conforme desejar.

Basta ir clicando tantas vezes quanto quiser para formar a figura. Nos Quadros 53 e

54 apresentam a construção de um pentágono.

94

QUADRO 53 – Uso da opção - Polígono.

QUADRO 54 – Exemplo de Polígono.

Construção de circunferência - Acesse o quarto ícone, clique na opção

Circunferência. Escolha o ponto para o centro da circunferência e dimensione o

tamanho do raio conforme desejar. Veja os Quadros 55 e 56.

95

QUADRO 55 – Uso da opção - Circunferência.

QUADRO 56 – Exemplo de Circunferência.

96

4.3. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DE REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS

A atividade de revisão de conceitos básicos sobre vetores e conceitos de

Física foi elaborada dada a constatação de sua necessidade diante das dificuldades

dos estudantes detectadas na atividade de pré-experimento. Segue a descrição

dessa revisão.

4.3.1. Revisão de conceitos básicos

A seguir apresentamos o Quadro 57 Revisão de Física e Quadro 58 Revisão

de Vetores.

Grandezas Físicas

Podemos definir grandeza como sendo o processo que envolve uma medida usando uma

determinada unidade, ou algo suscetível de ser comparado e medido. Vamos diferenciar dois tipos

de grandezas, a escalar e a vetorial.

A grandeza escalar fica perfeitamente caracterizada pelo valor numérico e pela unidade de

medida.

Por exemplo, o comprimento. É o bastante dizer 1cm, para termos a total compreensão da

quantidade de vezes (neste caso um) que aquela unidade (neste caso centímetro) está sendo usada,

para dimensionar o comprimento de alguma coisa. Da mesma forma, temos a referência da

temperatura na escala, Celsius (C°), massa em quilograma (kg), ou grama (g), o tempo em hora (h),

ou segundo (s), são exemplos de grandezas escalares.

A grandeza vetorial necessita, para ser perfeitamente caracterizada, das ideias de valor

numérico, direção, sentido e de uma unidade de medida.

Exemplos de grandezas vetoriais que usaremos nas atividades - Velocidade e Força.

Suponha que desejamos fazer a localização de um avião num determinado instante, durante a sua

viagem entre duas cidades. Se somos informados que o avião está com distância de 100 km da

cidade destino, não é o suficiente para sua localização no mapa. Precisamos de mais duas

informações, a sua direção e sentido.

97

A Velocidade Escalar e a Velocidade Vetorial

O conceito de velocidade aparece diariamente em nosso cotidiano, quando usamos um meio

de transporte qualquer (automóvel, ônibus, metrô), que tenha um velocímetro relacionando às

unidades quilômetro (distância) por hora (tempo). Essa relação (km/h) é a medida escalar da

velocidade; mas, durante o percurso, o veículo em movimento, muda constantemente a sua direção

e sentido, neste caso, a velocidade deste corpo em movimento, adquire características vetoriais.

As Leis de Newton e o conceito de Força

Destacamos a seguir as três leis do movimento, mais conhecidas como as leis de Newton,

que por ele foram enunciadas.

O Princípio da Inércia pode ser comprovado pela observação dos corpos que permanecem

no seu estado inicial de repouso ou, depois de iniciado o seu movimento, tendem a não parar mais

de se movimentar. Por exemplo: no jogo de bilhar podemos verificar como a Primeira Lei de Newton

acontece. As bolas permanecem em repouso até serem impulsionadas pela batida do taco. Se não

houvesse o atrito da bola com a superfície do feltro que cobre a mesa de bilhar, ela ficaria rolando

sem parar.

O Princípio da Inércia ou a primeira lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma:

“Todo corpo em repouso tende a continuar em repouso, e todo corpo em movimento, tende a

continuar em movimento retilíneo e uniforme.”

Após descobrir a relação da aceleração da gravidade com a massa do corpo, Newton

equacionou esta relação com a força que é exercida sobre os corpos para que tenha coerência com

a primeira lei. Ele então enunciou a sua segunda lei, que pode ser apresentada da seguinte forma:

“A resultante das forças que agem sobre um corpo é igual ao produto da massa pela aceleração

adquirida” . A representação algébrica da segunda lei é : F = m.a, onde F é a força resultante e tem

sua unidade de medida em (N) Newton, m é a massa (kg) e a a aceleração da gravidade do planeta

em (m/s²).

A terceira lei de Newton está relacionada com a ação e reação entre os corpos e foi

enunciada da seguinte forma: “Se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este exerce

sobre o corpo A uma força de mesma intensidade e direção, mas de sentido contrário”

Outra forma de exprimir esta mesma lei é por este enunciado resumido: “A toda ação

corresponde uma reação”

QUADRO 57 - Revisão de Física. Fonte: YAMAMOTO, K. et al. Os alicerces da Física 1 – Mecânica. São Paulo. Editora Saraiva, 1993.

98

Vetores

Segmento orientado

Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos, sendo A a origem e B a

extremidade do segmento orientado. Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm

o mesmo comprimento se os segmentos figural geométricos AB e CD têm o mesmo

comprimento. Se (A,B) e (C,D) não são nulos, dizemos que (A,B) e (C,D) têm a mesma

direção se AB // CD. Se (A,B) e (C,D) têm a mesma direção, eles podem ter o mesmo sentido

ou sentidos contrários. Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se um dos

casos seguintes ocorrer: ambos são nulos ou nenhum é nulo e ambos têm o mesmo

comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.

A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD. Propriedades da equipolência: I) AB ~ AB (reflexiva). II) Se AB ~ CD, então CD ~ AB (simétrica). III) Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF (transitiva). IV) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

Vetor

Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (A,B) é um

segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo representante é (A,B)) será

indicado por AB . Usam-se também letras latinas minúsculas encimadas por uma seta ( u ,

v ,...), não se fazendo desse modo referência ao representante. Logo, o vetor tem por

representante um segmento de reta orientado, tendo as seguintes características: módulo,

direção e sentido.

Já abordamos os dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. Vamos nos

aprofundar na utilização das grandezas vetoriais no estudo da Física. As características de um

vetor são módulo, direção e sentido. Quando estudamos o módulo do vetor Velocidade ou do

vetor Força, usualmente utilizamos as unidades (m/s ou km/h) e (N), respectivamente.

Vejamos a seguir, alguns tipos de vetores.

Vetor nulo: é o vetor cujo representante é um segmento orientado nulo, indicado por

0 .

Vetor unitário: é o vetor que tem módulo 1.

Vetores opostos: o vetor - v = BA é chamado oposto do vetor v = AB , se AB e

BA só diferem no sentido (se A≠B), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma

99

direção, mesmo comprimento e sentidos contrários.

v

- v

Vetores paralelos: os vetores u e v não nulos são paralelos se um representante

de u é paralelo a um representante de v (e portanto a todos).

v

u

Vetores iguais: Se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são eqüipolentes, então os

vetores AB e CD são iguais.

AB

CD

QUADRO 58 - Revisão de Vetores. Fonte: BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 2ª ed. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987, e STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. McGraw-Hill, São Paulo, 1987 (2. ed).

4.4. APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES DO EXPERIMENTO PRINCIPAL

4.4.1. Apresentação da Atividade 1

A Atividade 1 tem por objetivo que o estudante determine a adição de dois

vetores u

e v

(que têm a mesma direção e sentido) experimentalmente no Cabri,

para, em seguida, institucionalizar, no ambiente papel & lápis, suas conclusões a

respeito do que ocorre com a direção, sentido, módulo e coordenadas de u

+v

. A

atividade envolve conversões entre os registros da língua natural, algébrico, gráfico

e numérico. No Quadro 59 são apresentadas as tarefas que compuseram essa

primeira atividade.

100

Tarefa a) Abra o arquivo 1 do software Cabri (figura 1). Nele são apresentados os representantes de

dois vetores u

e v

de mesma direção e mesmo sentido, dados em relação ao sistema de

coordenadas cartesianas S=(O,x,y), onde O é o ponto origem da intersecção dos dois eixos, x (das

abscissas) e y (das ordenadas). Determine a adição desses vetores e nomeie-a por u

+ v

.

FIGURA 1 – Arquivo 1 do Cabri.

Tarefa b) Determine as coordenadas de u

, v e u

+ v

. Anote os dados na linha 1 da tabela 1.

Tarefa c) Faça mudanças no comprimento dos vetores. Aumente e diminua o comprimento a partir

das extremidades dos representantes, mantendo a mesma direção e o mesmo sentido. A cada

mudança, anote os novos valores das coordenadas de u

, v

e u

+ v

na tabela 1.

TABELA 01

u

v

u

+ v

1

2

3

4

5

Que relação existe entre as coordenadas de u

, v

e u

+ v

?

____________________________________________________________________________

Tarefa d) Determine os módulos (comprimento) de u

, v

e u

+ v

. Anote os dados respectivos na

linha 1 da tabela 2.

Tarefa e) Faça mudanças nas extremidades dos representantes dos vetores. Aumente e diminua o

comprimento a partir de suas extremidades, mantendo a mesma direção e o mesmo sentido. A cada

mudança, anote os novos valores dos módulos de u

, v

e u

+ v

na tabela 2.

101

TABELA 02

Que relação existe entre as medidas desses vetores?

____________________________________________________________________________

Escreva suas conclusões a respeito das suas observações:

____________________________________________________________________________

Tarefa f ) Se dois vetores u

=(a,b) e v

=(c,d) , dados em relação ao sistema de coordenadas S=(O,

x, y), têm a mesma direção e o mesmo sentido, o que podemos concluir a respeito de u

+v

? Use a

tabela 3 para suas respostas.

TABELA 03

1 Direção de u

+ v

2 Sentido de u

+ v

3 Módulo de u

+ v

4 Coordenadas de u

+ v

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5

QUADRO 59 – Atividade 1.

4.4.1.1. Objetivos específicos da Atividade 1

Nas tarefas „a‟ e „b‟, pretende-se que o estudante construa, no ambiente

Cabri, o vetor que representa a adição de dois vetores cujos representantes são

dados e que determine suas coordenadas. Neste caso, ele operará nos registros

gráfico e numérico, partindo da leitura do enunciado dado em língua natural escrita.

Na tarefa „c‟, pretende-se que o aluno observe, utilizando o aspecto dinâmico do

software, a relação entre as coordenadas de u

, v

e u

+ v

quando u

e v

têm a

mesma direção e o mesmo sentido. Ainda, pretende-se que o estudante observe

que u

+v tem a mesma direção e o mesmo sentido de u

e v

em todos os casos

dessa situação. Por fim, pretende-se que ele conclua a regra da adição neste caso

particular, por meio de conversões entre os registros gráfico, numérico e da língua

natural.

Nas tarefas „d‟ e „e‟, pretende-se que o estudante observe a relação entre o

módulo de (u

+ v

) e dos vetores u

e v

, que têm a mesma direção e o mesmo

sentido. Ele fará experimentações no Cabri, utilizando o seu aspecto dinâmico para

102

mudar o comprimento dos vetores e preencherá uma tabela com os dados obtidos.

Neste caso, haverá uma conversão do registro gráfico para o numérico. Espera-se

que ele conclua a relação entre os módulos dos vetores u

v

e (u

+ v

),

apresentando uma produção na língua natural escrita.

Na tarefa „f‟, pretende-se verificar se o estudante apresenta uma conclusão

em relação à resultante genérica u

+ v

na situação proposta (com u

e v

tendo a

mesma direção e o mesmo sentido), sobre todos os questionamentos solicitados na

tabela resumo. Neste caso, é provável que o estudante utilize representações do

registro da língua natural ou o algébrico.

A seguir, no Quadro 60, são apresentadas situações da Física que tratam

desse caso específico de adição. Esta atividade tem por objetivo que o estudante

determine a adição vetorial de vetores que têm a mesma direção e o mesmo sentido

em uma situação aplicada aos conceitos de velocidade usados pela Física, no

estudo da Cinemática, que compõe a Mecânica Newtoniana. Será sugerida a

utilização do software, como ferramenta de auxílio nas conversões entre os registros

da língua natural, algébrico, gráfico e numérico.

ATIVIDADE 1 DE FÍSICA.

Duas forças 1F

= 3N e 2F

= 5N são aplicadas em um corpo que está parado numa

superfície horizontal. As forças têm o mesmo sentido e direção. Veja Figura 1.

a) Se desejar, represente a situação do problema, usando o software. (Use a origem dos eixos como referência à posição do corpo).

b) Determine a força resultante.

1F

2F

Figura 1 – Forças aplicadas com mesma direção e sentidos.

QUADRO 60 – Atividade 1 de Física.

103

4.4.1.2. Objetivos específicos das situações da Física na Atividade 1

Na situação 1, pretende-se verificar se o estudante consegue compartilhar as

etapas da atividade 1 com as situações da Física, usando as ferramentas do Cabri .

Esta situação envolve o conteúdo de adição de vetores com a mesma direção e

mesmo sentido. Nesta situação os vetores simulam o deslocamento vetorial. Neste

caso, espera-se que ele tenha construído o conceito de adição vetorial, por meio da

manipulação do Cabri, para interpretar e solucionar a situação proposta.

Para a resolução dessa situação, é provável que o estudante utilize as

representações dos registros da língua natural, algébrico e do gráfico.


Esta atividade tem por objetivo que o estudante determine a adição de dois

vetores u

e v

(que têm a mesma direção e sentidos opostos) experimentalmente no

Cabri, para, em seguida, institucionalizar, no ambiente papel & lápis, suas

conclusões a respeito do que ocorre com a direção, sentido, módulo e coordenadas

de u

+ v

neste caso específico. A atividade envolve conversões entre os registros da

língua natural, algébrico, gráfico e numérico. A seguir, no Quadro 61, são

apresentadas as tarefas dessa atividade.

Tarefa a) Abra o arquivo 2 do software Cabri. Nele são apresentados os representantes de dois

vetores u

e v

de mesma direção e sentidos opostos, em relação ao sistema de coordenadas

cartesianas S=(O, x,y). Determine a adição desses vetores e nomeie-a por u

+ v

. Veja figura 3.



, v

e u

+ v

, anote os dados respectivos na linha 1 da

tabela 4. Altere as extremidades dos vetores mantendo os sentidos opostos de u

e v

e preencha a

104

tabela 4 com esses dados.

TABELA 04

u

v

u

+ v

1

2

3

4

5

Tarefa c) Que relação existe entre as coordenadas de u

, v

e u

+ v

?

_______________________________________________________________

Tarefa d) determine os módulos de u

, v

e u

+ v

, anote os dados respectivos na linha 1 da tabela

5. Altere as extremidades dos vetores mantendo os sentidos opostos de „ u

‟ e „ v

‟ e preencha a

tabela 5:

TABELA 05

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5


_______________________________________________________________

Escreva as suas conclusões a respeito das suas observações:

_______________________________________________________________

Tarefa e) Se dois vetores u

=(a,b) e v

=(c,d) , dados em relação ao sistema de coordenadas S=(O,

x,y), têm a mesma direção e sentidos opostos, o que podemos concluir a respeito de u

+v

? Use a

tabela 6 para suas respostas.

TABELA 06

1 Direção de u

+ v

2 Sentido de u

+ v

3 Módulo de u

+ v

4 Coordenadas de

u

+ v

Tarefa f) Quando u

+ v

resultará no vetor nulo, ou seja, quando u

+ v

= (0,0)?

QUADRO 61 – Apresentação da Atividade 2.



Cabri, o representante do vetor adição de dois vetores dados e que determine suas

105

coordenadas. Neste caso, ele operará nos registros gráfico e numérico, partindo da

leitura do enunciado dado em língua natural escrita. Na tarefa „c‟, pretende-se que o

aluno observe, utilizando o aspecto dinâmico do software, a relação entre os

módulos (comprimentos) de u

, v

e u

+ v

, quando u

e v

têm a mesma direção e

sentidos opostos. Ainda, pretende-se que o estudante observe que u

+v

tem a

mesma direção de u

e v

e que u

tem o sentido oposto de v

em todos os casos

dessa situação. Por fim, pretende-se que ele construa a regra da adição neste caso

particular, por meio de conversões entre os registros gráfico, numérico e da língua

natural.

Nas tarefas „d‟ e „e‟, pretende-se que o estudante observe a relação entre o

módulo de ( u

+ v

) e os vetores u

e v

, que têm a mesma direção e sentidos

opostos. Ele fará experimentações no Cabri, utilizando o seu aspecto dinâmico para

mudar o módulo (comprimento) dos vetores e preencherá uma tabela com os dados

obtidos. Neste caso, haverá uma conversão do registro gráfico para o numérico.

Espera-se que ele conclua a relação entre os módulos dos vetores u

, v

e (u

+v

),

apresentando uma produção na língua natural escrita.

Na tarefa „f‟, pretende-se verificar se o estudante apresenta uma conclusão

em relação à resultante genérica u

+ v

na situação proposta, quando existe a

possibilidade da resultante ser nula (com u

e v

tendo a mesma direção e sentidos

opostos), sobre todos os questionamentos solicitados na tabela resumo. Neste caso,

é provável que o estudante utilize representações do registro da língua natural ou

algébrico.

A seguir, são apresentadas situações da Física para o caso de dois vetores

com a mesma direção e sentidos opostos. O Cabri será utilizado para configurar as

situações, os dados iniciais, favorecendo a obtenção das resoluções solicitadas.

Esta atividade tem por objetivo que o estudante determine a adição vetorial de

vetores que têm a mesma direção e sentidos opostos, em um contexto aplicado aos

conceitos de velocidade usados pela Física. Tal estudo refere-se à Cinemática, que

compõe a Mecânica Newtoniana. O software será usado como ferramenta dinâmica

de auxílio nas conversões entre os registros da língua natural, algébrico, gráfico e

numérico.

A situação de Física é apresentada no Quadro 62, a seguir.

106


Duas forças, 1F

= 10N (sentido para a direita) e 2F

= 6N (sentido para a esquerda), são

aplicadas ao mesmo tempo sobre um bloco de madeira de massa igual a 2kg. Veja figura

02. Sabendo que o bloco está sobre uma superfície horizontal sem atrito, faça os itens a

seguir:

a) Desenhe as forças aplicadas no bloco, (Se desejar, utilize o software e, neste caso, use

a origem dos eixos como referência a posição do bloco).

b) Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante.

c) Calcule a aceleração que a força resultante provoca no bloco.

2F

1F

.

FIGURA 02 – Forças aplicadas com mesma direção e sentidos opostos. QUADRO 62 – Apresentação das situações da Física da Atividade 2.


Nesta atividade 2, pretende-se verificar se o estudante consegue relacionar

as etapas da atividade anterior com as situações da Física, usando as ferramentas

do Cabri . Esta situação envolve o conteúdo de adição de vetores com mesma

direção e sentidos opostos. Nesta tarefa os vetores simulam o deslocamento

vetorial. Neste caso, espera-se que ele tenha construído o conceito de adição

vetorial para este caso específico e, por meio da manipulação do Cabri, consiga

interpretar e solucionar a situação proposta.

Para a resolução desta atividade é provável que o estudante utilize as

representações do registro da língua natural, algébrica e gráfica. O uso do Cabri

será opcional.

4.4.3. Revisão de trigonometria e Apresentação da Atividade 3

Antes da aplicação da atividade 3, fizemos uma breve revisão dos conceitos

básicos de trigonometria, tomando como base os resultados da atividade do Pré-

Experimento.

107

4.4.3.1. Revisão de trigonometria realizada com os sujeitos.

As primeiras noções de Trigonometria (do grego, trigonos : “triângulo”;

metrein: “medir”) estão ligadas às relações existentes entre os lados e os ângulos de

um triângulo retângulo. A busca de soluções para problemas essencialmente

práticos evidenciou algumas relações simples entre esses elementos e a partir daí

se desenvolveu um importante ramo da Matemática.

Sobre os triângulos retângulos sabemos que: um de seus ângulos tem

medida 90º; a soma das medidas dos outros dois é também 90º; o lado oposto ao

ângulo de 90º se chama hipotenusa; os outros lados se chamam catetos e que o

quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (teorema de

Pítagoras).

Observamos que, por comodidade de linguagem não faremos distinção entre

um segmento (figura geométrica) e a sua medida (número); também não

distinguiremos um ângulo (figura geométrica) da sua medida (número).

Vamos resumir os resultados citados, observando o Quadro 63 a seguir:

ATIVIDADES DE REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:_____________________________________________________ Aluno 2:_____________________________________________________

Vamos verificar a situação nos triângulos retângulos.

Na tabela abaixo apresentamos as definições do triângulo retângulo que será usado

para a revisão.

Letra Lado Triângulo Retângulo Vértice = Ângulo Medida

a Hipotenusa

A = Ângulo reto A=90°

b Cateto

B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Temos:

B + C = 90°; a² = b² + c²

108

A partir daqui iniciaremos o nosso estudo da trigonometria.

Em geral, para um ângulo agudo α de um triângulo retângulo temos a seguinte

situação:

Seno de α, representado por sen α:

sen α = cateto oposto a α

hipotenusa

Exemplo: Calcule o sen α, sabendo que o cateto BA (adjacente) vale 4 e o cateto CA

(oposto) vale 3.

1º) Vamos usar o teorema de Pitágoras h² = b² + c² para calcular o valor da

hipotenusa. h = ²² baca , h = ²4²3 ; h = 25 ; h=5

2º) sen α = 3/5 ; sen α = 0,60

Cosseno de α, representado por cos α:

cos α= cateto adjacente a α

hipotenusa

109

Exemplo: Calcule o cos α, sabendo que o cateto BA (adjacente) vale 4 e o cateto CA

(oposto) vale 3.

1º) No item anterior, já calculamos a medida da hipotenusa, obtendo h = 5.

2º) cos α = 4/5 ; cos α = 0,80

Tangente de α, representado por tg α:

tg α =

cateto oposto a α

cateto adjacente a α

Exemplo: Calcule a tg α, sabendo que o cateto BA (adjacente) vale 4 e o cateto CA

(oposto) vale 3.

tg α = 3/4 ; tg α = 0,75

Vamos verificar a situação nos triângulos quaisquer.

Classificação quanto aos ângulos.

Ao iniciar o estudo das relações trigonométricas que permitem resolver um triângulo

qualquer, vamos recordar a classificação dos triângulos quanto aos ângulos:

1º) triângulos retângulos: são os que têm um ângulo reto (=90°).

2º) triângulos acutângulos: são os que têm todos os ângulos agudos (<90°).

3º) triângulos obtusângulos: são os que têm um ângulo obtuso (>90°).

110

Lei dos senos.

“Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos

ângulos opostos.”

Se os lados de um triângulo qualquer tiverem comprimentos a, b e c e se α for o

ângulo entre os lados b e c, β entre os lados c e a, γ entre os lados a e b então vale a relação:

sen

a =

sen

b =

sen

c

Lei dos cossenos.

“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos

quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas

destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.”

Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b e c e se α for o ângulo entre os

lados b e c, β entre os lados c e a, γ entre os lados a e b então valem as relações:

a² = b² + c² - 2 bc . cos α b² = a² + c² - 2 ac . cos β c² = a² + b² - 2 ab . cos γ

QUADRO 63 – Atividade de Revisão de Trigonometria. FONTE: IEZZI, G. [et al], Matemática: 1º série, 2º grau – 10 ed. São Paulo, Atual, 1990. p.169-174, 270-274.

111

4.4.3.2. Apresentação da Atividade 3

Esta atividade tem por objetivo que o estudante determine a adição de dois

vetores u

e v

(que têm direções diferentes) introduzindo o uso de ângulo entre

vetores, que deverá ser verificado experimentalmente no Cabri, para, em seguida,

institucionalizar, no ambiente papel & lápis, suas conclusões a respeito do que

ocorre com a direção, sentido, módulo e coordenadas de u

+ v

nesse caso

particular. A atividade envolve conversões entre os registros da língua natural,

algébrico, numérico e gráfico. A seguir no Quadro 64, são apresentadas as tarefas

dessa atividade.

Tarefa a) No Cabri, crie o sistema de coordenadas S=(O,x,y). Em seguida, construa uma grade

de pontos na tela de forma a facilitar a visualização e a construção de dois vetores u

e v

com

origem em O e com direções diferentes, conforme sugere a Figura 5.


Tarefa b) Determine a adição de u

+ v

. O que você observa?

____________________________________________________________________________

Tarefa c) Determine as coordenadas de u

, v

e u

+ v

. Altere as extremidades do vetor u

ou

do vetor v

(com u

e v

tendo direções diferentes) e preencha a tabela 7.

TABELA 07

u

v

u

+ v

1

2

3

4

5

112


, v

e u

+ v

?

____________________________________________________________________________


, v

e u

+ v

e preencha a linha 1 da tabela 8. Em

seguida, altere a extremidade do vetor u

ou do v

(com u

e v

tendo direções diferentes) e

preencha a tabela 8.

TABELA 08

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5

Alguma das relações obtidas nas atividades anteriores 1 e 2, é verdadeira para esta situação

da atividade 3? Justifique.

____________________________________________________________________________

Tarefa e) Podemos observar que as conclusões obtidas nas duas últimas atividades não valem

para esta situação particular. Vamos estudar dois casos:

1a) Abra o arquivo 4 no software Cabri (figura 6). Observe que o ângulo formado pelos vetores

u

e v

é de 90o.


Determine os módulos de u

, v

e u

+ v

e preencha a linha1 da tabela 9. Em seguida, mexa

na extremidade do vetor u

ou do v

e anote os resultados dos módulos dos vetores u

, v

e

u

+ v

na tabela 9.

TABELA 09

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5

113

Como poderíamos determinar a medida de u

+ v

, para quaisquer vetores u

e v

com

direções diferentes quando o ângulo entre eles é de 90o?

____________________________________________________________________________

2o) Abra o arquivo 5 no software Cabri (Figura 7). Observe que o ângulo formado pelos vetores

u

e v

não é de 90o.



, v

e u

+ v

, anote os resultados na linha 1 da tabela 10. Mexa na

extremidade do vetor u

ou do v

e anote os resultados na tabela 10.

TABELA 10

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5

É possível achar o módulo do vetor u

+ v

da mesma forma anterior, quando o ângulo entre os

vetores era de 90°? Justifique.

____________________________________________________________________________

Como poderíamos determinar a medida do módulo de u

+ v


e v

com direções diferentes?

____________________________________________________________________________

Verifique suas conclusões para os valores obtidos na tabela 10.

____________________________________________________________________________


4.4.3.2.1. Objetivos específicos da Atividade 3


Cabri, o vetor que representa a adição de dois vetores com direções diferentes.

114

Neste caso, ele operará nos registros, gráfico e numérico, partindo da leitura do

enunciado dado em língua natural escrita. Na tarefa „c‟, pretende-se que o aluno

observe, utilizando o aspecto dinâmico do software, a relação entre as coordenadas

de u

, v

e u

+ v

, quando u

e v

têm direções diferentes.

Na tarefa „d‟, pretende-se que o estudante observe a relação entre o módulo

de (u

+ v

) e os módulos dos vetores u

e v

, que têm direções diferentes. Ele fará

experimentações no Cabri, utilizando o seu aspecto dinâmico para mudar o

comprimento dos vetores e preencherá uma tabela com os dados obtidos. Neste

caso, haverá uma conversão do registro gráfico para o numérico. É provável que o

estudante encontre dificuldades para achar esta relação, uma vez que esse caso

envolve uma análise diferenciada dos anteriores. Se isso ocorrer, será proposta a

tarefa „e‟, na qual se pretende apresentar ao estudante duas situações de análise.

Em uma delas, o ângulo formado entre as direções dos vetores é de 90º e, na outra,

o ângulo é diferente de 90º. Pretende-se verificar se o estudante apresenta uma

conclusão em relação à resultante genérica u

+ v

nas duas situações propostas

(com u

e v

tendo direções diferentes). Na primeira, pretende-se que ele utilize o

teorema de Pitágoras e, na segunda, a lei dos cossenos. Neste caso, é provável que

o estudante utilize representações do registro da língua natural ou do algébrico.

A seguir, é apresentada no Quadro 65, uma situação da Física, que objetiva

determinar a adição vetorial de vetores que têm direções diferentes, em uma

situação aplicada aos conceitos de força da Física, no estudo da Dinâmica, que faz

parte da Mecânica Newtoniana. O software será uma ferramenta dinâmica de auxílio

nas conversões entre os registros da língua natural, algébrico, gráfico e numérico.


Duas Forças atuam num corpo de massa 10 Kg, inicialmente parado. Sabendo que 1F

= 6N,

2F

= 8N e que entre os representantes dos vetores que determinam essas forças há um

ângulo de 60°, determine:

a) A representação da situação do problema. (Caso desejar, use o software e, neste caso, adote a origem do sistema de eixos como referência à posição do corpo).

b) O módulo, a direção e o sentido da Força resultante.

c) A aceleração do corpo.

115

1F

60° 2F

QUADRO 65 – Apresentação das situações da Física da Atividade 3.

4.4.3.2.2. Objetivos específicos das situações da Física na Atividade 3

Nessa situação, pretende-se verificar se o estudante consegue compartilhar

as etapas da atividade 3 com uma aplicação da Física, usando as ferramentas do

Cabri . Esta situação envolve o conteúdo de adição de vetores com direções

diferentes. Nesta situação os vetores simulam a aplicação de duas forças

simultâneas num corpo inicialmente em repouso. Neste caso espera-se que o

estudante tenha construído o conceito de adição vetorial e que interprete e solucione

a situação proposta. Novamente, o uso do software será opcional.


Esta atividade tem por objetivo que o estudante determine o produto de um

vetor por um escalar real experimentalmente no Cabri, para, em seguida,

institucionalizar, no ambiente papel & lápis, suas conclusões a respeito do que

ocorre com a direção, sentido, módulo e coordenadas de m. u

, sendo “m” um

número real. A atividade envolve conversões entre os registros da língua natural,

gráfico, algébrico e numérico. A seguir, no Quadro 66, são apresentadas as tarefas

dessa atividade.

116

Tarefa a) Crie com o software Cabri, o sistema de coordenadas cartesianas S=(O, x, y) e o

representante de um vetor v

com origem na origem deste sistema. Em edição numérica, crie

m= 2. Vamos fazer a multiplicação do vetor por este número. Para isso, selecionar “homotetia”,

clicar no vetor e em seguida no número. Você obterá a imagem geométrica de 2. v

. Veja

sugestão na figura 8.


Tarefa b) Determine as coordenadas e o módulo de v

. Faça o mesmo para 2v

. O que você

observa?

____________________________________________________________________________

Tarefa c) Altere o valor numérico (selecione números positivos, negativos e o zero). Preencha a

tabela 11, com alguns dados obtidos.

TABELA 11

Coordenadas de u

Coordenadas de m. u

1

2

3

4

O que você observa?

____________________________________________________________________________


_______________________________________________________________

Sendo v

=(a,b) um vetor dado em relação ao sistema de coordenadas S=(O, x,y), o que ocorre

quando multiplicamos v

por um número real “m” qualquer”? Preencha a tabela 12, com os

dados obtidos.

TABELA 12

1 Direção de m v

2 Sentido de m v

3 Módulo de m v

4 Coordenadas de m v


117



Cabri, o representante de um vetor, o qual será multiplicado por um escalar real. Em

seguida solicitamos que o estudante determine as coordenadas e o módulo do vetor

inicial e do vetor obtido pela operação solicitada. Neste caso, ele operará nos

registros gráfico e numérico, partindo da leitura do enunciado dado em língua natural

escrita. Na tarefa „c‟, pretende-se que o aluno observe, utilizando o aspecto dinâmico

do software, a relação entre as coordenadas de u

e do vetor obtido pela

multiplicação de u

por um escalar real, observando as conseqüências destas

operações no módulo, na direção e no sentido do vetor. Por fim, pretende-se que ele

conclua e registre o que observou, efetuando conversões entre os registros gráfico,

numérico e da língua natural. Neste caso, é provável que o estudante forneça suas

produções nos registros da língua natural e algébrico.

A seguir, no Quadro 67, apresenta-se uma situação da Física relacionada a

este tipo de operação. Esta atividade tem por objetivo que o estudante determine a

multiplicação de um vetor por um número real em uma situação aplicada ao conceito

de velocidade da Física, no estudo da Cinemática, que faz parte da Mecânica

Newtoniana. O uso do software será sugerido como ferramenta de auxílio nas

conversões entre os registros da língua natural, algébrico, gráfico e numérico.

ATIVIDADE 4 DE FÍSICA. Três aeroportos A, B e C, estão como pontos numa mesma reta, na rota de viagem de um

avião. A velocidade máxima do avião é de 240 km/h. Despreze o tempo gasto das operações

do avião na decolagem, aterrissagem e deslocamento na pista. Sabe-se que a distância entre

A e B é de 120 km e que de B até C é 2,5 vezes a distância de A e B. Determine o menor

tempo de viagem de A para C.

QUADRO 67 – Apresentação das situações da Física da Atividade 4.


Nessa situação, pretende-se verificar se o estudante consegue compartilhar

as etapas da atividade 4 com uma tarefa da Física, podendo usar as ferramentas do

Cabri . Esta situação envolve o conteúdo de produto de vetor por um número real,

para em seguida calcular o menor tempo de viagem. Neste caso espera-se que o

estudante já tenha construído o conceito de produto de vetor por um número real,

118

por meio da manipulação do Cabri, para interpretar e solucionar a situação proposta.

Para a resolução desta tarefa, é provável que o estudante utilize representações dos

registros da língua natural, algébrico e gráfico, podendo utilizar o Cabri como

ferramenta auxiliar de resolução.


Esta atividade tem por objetivo que o estudante determine a decomposição de

um ou mais vetores, que têm módulos, direções e sentidos quaisquer.

Reutilizaremos os conceitos de coordenadas, usadas nas atividades anteriores,

agora associadas ao conceito de decomposição vetorial e à projeção do vetor nos

eixos x e y. Inicialmente o aluno utilizará o Cabri, para, em seguida, generalizar, no

ambiente papel & lápis, suas conclusões a respeito do que ocorre com a direção, o

sentido, o módulo e as coordenadas do vetor obtido via decomposição. A atividade

envolve conversões entre os registros da língua natural, algébrico, gráfico e

numérico. A seguir no Quadro 68, são apresentadas as tarefas dessa atividade.

Tarefa a) No Cabri, crie o sistema de coordenadas S=(O, x,y) e um vetor u

qualquer com origem

fora da origem do sistema. Use o recurso da grade de pontos na tela de forma a facilitar a

visualização. Veja sugestão na figura 9.

FIGURA 9 – Criação de um vetor no Cabri

Tarefa b) Determine o vetor projeção ortogonal do vetor u

nos eixos x e y. Para isso, trace

paralelas aos eixos x e y, nos pontos de origem e extremidade do vetor e, em seguida, crie os

representantes dos vetores resultantes das projeções. Veja sugestão na figura 10 da construção

inicial dessa situação.

119

FIGURA 10 – Sugestão de uma projeção ortogonal.

Tarefa c) Em seguida, determine seus módulos. Determine as coordenadas do vetor u

,

considerando o representante desse vetor no primeiro quadrante. Movimente a extremidade desse

vetor e anote as coordenadas de sua origem e de sua extremidade. Anote, também, os módulos

dos vetores referentes às projeções na tabela 13.

TABELA 13

Coordenada da Origem do

vetor u

Coordenada da

Extremidade

do vetor u

Módulo do vetor projeção ortogonal do

vetor u

no eixo x

Módulo do vetor projeção

ortogonal do vetor u

no

eixo y

1

2

3

4

5

Que relação você pode observar com base nos dados da tabela 13?

_______________________________________________________________

Tarefa d) Determine o ângulo que o vetor u

faz com o eixo x (ou que faz com a reta paralela ao

eixo x que passa pela origem do vetor u

). Anote o valor do ângulo e o seu respectivo módulo na

linha 1 da tabela 14. Em seguida, movimente o vetor e preencha os dados da tabela 14. Veja

sugestão na figura 11.

FIGURA 11 – Exemplo para achar o ângulo do vetor com eixo x.

120

TABELA 14

Coordenada da Origem

do vetor u

Coordenada da

Extremidade do

vetor u

Ângulo Módulo de

u

1

2

3

4

5

Tarefa e) Determine os valores das projeções do vetor u

, nos eixos x e y e preencha a tabela 15,

usando os valores dos módulos da tabela 14 e seus respectivos ângulos.

TABELA 15

ux = Iu

I.cos uy = Iu

I.sen

1

2

3

4

5

O que podemos concluir, comparando os dados das tabelas 14 e 15?

_______________________________________________________________

Tarefa f) Construa dois vetores u

e v

e as suas respectivas projeções nos eixos x e y. Preencha

a tabela 16 com os dados obtidos. Veja sugestão na figura 12.

FIGURA 12 – Exemplo de dois vetores e suas projeções nos eixos x e y.

TABELA 16

Componentes do vetor u

Componentes do vetor v

xu

yu

xv

yv

121

Tarefa g) Determine a adição dos vetores u

e v

a partir das adições individuais dos

componentes das projeções dos vetores nos eixos x e y, conforme dados na tabela 15. Para esta

tarefa considere R = u

+ v

e calcule os valores de Rx = ( xu

+ xv

), e Ry = (yu

+

yv

).

Use a tabela 17 para suas anotações.

TABELA 17

Componentes do vetor adição (u

+ v

) no

eixo x – (Rx)


+ v

) no

eixo y – (Ry)

xu

yu

xv

yv

Tarefa h) Determine a adição vetorial de u

+ v

, conforme indicado na operação de adição da

atividade 3. Compare os valores obtidos nas duas tarefas, (f) e (g) e faça as suas conclusões.

_______________________________________________________________

Tarefa i) Com base nas operações de adição vetorial, desenvolvidas a partir das projeções dos

vetores u

e v

nos eixos x e y, elabore uma situação de subtração vetorial de u

– v

. Confirme

os valores obtidos pelo método usado nas tabelas 15, 16 e 17. Faça suas conclusões abaixo.

_______________________________________________________________

QUADRO 68 - Apresentação da Atividade 5.



Cabri, o representante de um vetor qualquer e depois faça a sua projeção nos eixos

x e y. Neste caso, ele operará nos registros, gráfico e numérico, partindo da leitura

do enunciado dado em língua natural escrita. Na tarefa „c‟, pretende-se que o aluno

determine o módulo do vetor com os dados da sua projeção nos eixos x e y,

utilizando o aspecto dinâmico do software. Ainda, pretende-se que o estudante

observe a necessidade de considerar o sinal nos casos em que a extremidade do

vetor não pertence ao primeiro quadrante. Na tarefa „d‟, pretende-se que os ângulos

sejam identificados facilmente com ajuda do software. Na tarefa „e‟, pretende-se que

o estudante, de posse das informações do módulo e do ângulo do vetor,

identificados na tarefa anterior, utilize tais dados para determinar os componentes do

vetor u

, com base nas suas projeções nos eixos x e y.

Na tarefa „f‟, pretende-se que o estudante retome a construção de vetores

com o uso do software Cabri, relembrando atividades anteriores, como parte de uma

nova situação de adição vetorial através de componentes. Na tarefa „g‟, pretende-se

122

que o estudante determine a adição vetorial de u

+ v

pelo método da adição de

componentes dos vetores, projetados nos eixos x e y. Na tarefa „h‟, pretende-se que

o estudante determine a adição vetorial dos mesmos vetores pelo método utilizado

na atividade 3. Ainda nesta tarefa pretende-se que o estudante faça observações e

conclusões sobre os métodos usados para a adição vetorial. Na tarefa „i‟, pretende-

se que o estudante elabore uma situação que, a partir da adição, desenvolva o

mesmo método da decomposição para a operação de subtração dos mesmos

vetores. Por fim, pretende-se que ele conclua as regras da adição e subtração pelo

método da decomposição vetorial, pelas projeções dos vetores nos eixos x e y. É

provável que para a realização destas tarefas o estudante efetue conversões entre

os registros gráfico, numérico e da língua natural.

Apresentam-se, a seguir no Quadro 69, situações matemáticas presentes em

obras de Física, relacionadas a este caso. A atividade seguinte tem por objetivo que

o estudante determine a decomposição vetorial para vetores com quaisquer

direções. O software poderá ser utilizado como ferramenta de auxílio nas

conversões entre os registros da língua natural, algébrico, gráfico e numérico.

Situação1. Um vetor A com módulo de 17,00 m faz um ângulo de 56° no sentido anti-horário

com o semi-eixo x positivo. Figura 13. Determine os componentes Ax e Ay do vetor A.

FIGURA 13 – Situação 1.

Situação2. Dois vetores a e b, tendo módulos iguais a 10 unidades, são orientados como

mostra a figura 14, sendo sua adição representada por r. Determine:

a) Os componentes de r segundo os eixos Ox e Oy;

b) O módulo de r;

c) O ângulo que r forma com o eixo Ox.

123

FIGURA 14 – Situação 2. Situação3. Em A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12,0m e forma um ângulo de 40° no

sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de 15,0m e

forma um ângulo de 20° no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Veja figura

15. Determine:

a) o módulo de B

b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo


QUADRO 69 - Apresentação de situações presentes em obras de Física.

4.4.5.2. Objetivos específicos de situações presentes em obras de Física

As situações da Atividade 5 envolvem os conceitos de decomposição de

vetores, de adição, ângulo e módulo de um vetor e têm por objetivo sedimentar os

conhecimentos trabalhados anteriormente. A situação 3, em particular, envolve a

determinação de B em A+B=C, tendo por informações, dados sobre A e C. Para a

resolução dessas situações, é provável que o estudante utilize representações dos

registros da língua natural, algébrico e gráfico. Apesar do uso do Cabri ser opcional,

é provável que os estudantes utilizem essa ferramenta como auxílio para as

conversões e tratamentos solicitados.

124

4.5. APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DO PÓS-EXPERIMENTO

A atividade de pós-experimento teve por objetivo verificar a existência de

evoluções dos estudantes após participarem do experimento. Conforme a

metodologia adotada, optamos por investigar as produções fornecidas durante o

processo, em que aspectos a ferramenta computacional adotada influenciou na

construção do conhecimento e as possíveis evoluções dos sujeitos, estabelecendo

um comparativo entre as respostas fornecidas no pré e no pós-experimento.

Dessa forma, a atividade do pós-experimento foi a mesma utilizada no pré-

experimento. As condições para execução da atividade se mantiveram as mesmas,

ou seja, nesta última etapa o professor pesquisador se manteve afastado de prestar

qualquer tipo de interferência e o tempo destinado a sua execução também foi de

vinte minutos.

125

5. ANÁLISE DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES

5.1. INTRODUÇÃO As atividades foram aplicadas em dois ambientes diferentes. Aplicamos o pré-

experimento e o pós-experimento em uma sala de aula comum de uma Faculdade

Particular da cidade de São Paulo e o experimento no laboratório de informática da

pós-graduação da UNIBAN, unidade Campo de Marte, o qual estava equipado com

computadores que continham o software Cabri-Géomètre.

Inicialmente aplicamos o pré-experimento individualmente a todos os

cinqüenta alunos componentes de uma turma de Licenciatura em Química. Em

seguida, apenas seis estudantes se voluntariaram a participar do experimento em

horário extra-classe.

Os seis alunos interessados têm sua origem estudantil em escolas municipais

e estaduais da cidade e do estado de São Paulo, trazendo características de

dificuldades e deficiências na formação do ensino médio em todas as disciplinas,

principalmente em Matemática e Física. Estes alunos foram organizados em três

duplas, sendo que apenas uma compareceu e participou de todas as atividades.

Desta forma, dado o objetivo da metodologia de Design Experiment, que consiste

em investigar a evolução dos sujeitos durante o processo, avaliamos apenas as

produções das alunas que participaram de todos os encontros, as quais serão

identificadas por alunas A e B. Salienta-se que tal situação não fere o uso desta

metodologia, pois a mesma prevê a modalidade de trabalho com um número

reduzido de sujeitos.

Foram usadas para a coleta de dados a captura de voz dos estudantes, a

imagem das atividades no recurso computacional Cantasia Studio da empresa

TechSmith, versão 7.1 de 2010, e as produções escritas evidenciadas nos

formulários.

126

5.2. ANÁLISE DA ATIVIDADE DE PRÉ -EXPERIMENTO

O objetivo do pré-experimento foi identificar a situação inicial das alunas em

relação ao conteúdo abordado nas atividades. Desta forma, esta atividade foi

aplicada individualmente, sem qualquer auxílio do professor-pesquisador. O Quadro

70 seguinte retoma as questões apresentadas às alunas. O anexo 2 contém o a

ficha distribuída as estudantes.

1. Escreva o que você entende por vetor. 2. Cite algumas situações da Física nas quais os vetores são aplicados.


e v


geométrico de u

+ v

:

Se dois vetores u

e v


a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?


e v


geométrico de u

+ v

para cada caso:

a)

b)

Se dois vetores u

e v


a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?


e v


geométrico de u

+ v

:

127

Se dois vetores u

e v


a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?

6. Apresenta-se a seguir um representante do vetoru

:

u

u


c) 2u

d) -2u

Dado um vetor u

, ao multiplicá-lo por um número real “m” diferente de zero, o que ocorre

com:

a direção de m u

?

o sentido de m u

?

o módulo de m u

?

E se “m” fosse igual a zero, o que daria m.u

?

7. O que é uma grandeza escalar? Dê um exemplo. 8. O que é uma grandeza vetorial? Dê um exemplo. 9. Escreva resumidamente as três leis de Newton: 1º__________________________________________________________ 2º _________________________________________________________ 3º _________________________________________________________

QUADRO 70 – Atividade de Pré-Experimento.

A aluna A forneceu as características de um vetor (direção, sentido e módulo),

porém apresentou confusões entre direção e sentido. Ressalta-se que este tipo de

dificuldade também foi constatado por Patrício (2010) na aplicação de seu

experimento. Ao ser questionada a respeito das aplicações de vetores na Física,

limitou-se ao conceito de força. É provável que esta dificuldade seja decorrente do

fato de o ensino atual ainda não integrar efetivamente um trabalho interdisciplinar,

conforme apontado por Martini (2006) e Campos (2000). Ela não obteve sucesso na

representação geométrica da adição de dois vetores em todos os casos (com

128

mesma direção e mesmo sentido, com mesma direção e sentidos contrários e com

direções diferentes), conforme pode ser observado nas Figuras 9 e 10 seguintes. A

seta utilizada aponta para a produção da aluna.

FIGURA 9 – Representação da adição de vetores – Aluna A – Tarefa 3 – Pré-experimento.

FIGURA 10 – Representação da adição de vetores – Aluna A – Tarefa 5 – Pré-experimento.

Ela também apresentou dificuldades na avaliação da direção, do sentido e do

módulo de u

+ v

em todos os casos. Em seu trabalho, Patrício (2010) também

observou que os estudantes tinham dificuldades em identificar e obter a

representação geométrica da adição de vetores, atribuindo tais equívocos às

dificuldades nas operações de tratamento no registro figural geométrico.

Exemplificando, segue sua produção para o caso de análise de direção, sentido e

módulo da adição de dois vetores que tinham a mesma direção e o mesmo sentido,

Figura 11. Nos outros casos, ela deixou a questão sem resolução.

129

FIGURA 11 - Análise de direção, sentido e módulo. (Aluna „A‟).

A partir da questão 6, a aluna relatou que não tinha conhecimento sobre a

multiplicação de um vetor por um escalar real e sobre os conceitos de grandeza

escalar, vetorial e das leis de Newton, deixando então todas essas tarefas sem

resolução. Isso aponta que, apesar de a aluna já ter tido contato com esses tópicos

no ensino médio, estes não foram apreendidos.

A aluna B demonstrou um conhecimento mais efetivo dos conceitos se

comparada com a aluna A. Ela apresentou corretamente a compreensão de vetor,

destacando suas características e quando questionada a respeito das aplicações de

vetores na Física, relatou a possibilidade de utilizá-los em problemas envolvendo

velocidade, aceleração e deslocamento. Com relação à representação geométrica

de adição de dois vetores, a aluna apresentou resultado satisfatório quando os

vetores tinham a mesma direção, porém, não soube determinar o representante

quando as direções eram diferentes, conforme apresentado na Figura 12 seguinte.

FIGURA 12 - Representação geométrica da adição de dois vetores. (Aluna „B‟).

No caso da adição de dois vetores com mesma direção e mesmo sentido, a

aluna apresentou corretamente suas conclusões em relação à direção, sentido e

130

módulo do resultado. Quando solicitada a analisar a direção, sentido e módulo da

adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos, ela teve dificuldade

em avaliar apenas a direção, respondendo neste caso, que a direção de u

+v

ficaria

igual a do maior vetor. No caso de vetores com direções diferentes, ela apresentou

dificuldades para avaliar a direção, o sentido e o módulo do resultado, conforme

ilustrado na Figura 13 seguinte.

FIGURA 13 - Direção, o sentido e o módulo do resultado. (Aluna „B‟).

Novamente pode-se relacionar esta problemática com os estudos de Patrício

(2010), o qual observou em situação semelhante que seus sujeitos apresentavam

dificuldades na aplicação da regra e na manutenção das propriedades geométricas

de sua representação. Ressalta-se que as duas alunas de nosso estudo

apresentaram esta mesma dificuldade.

Com relação à multiplicação de um vetor por um número real diferente de

zero, a aluna soube analisar a direção e o módulo do resultado, porém, apresentou

dificuldades na análise do sentido, uma vez que relatou que independente do

número "m" o resultado "m. u

" teria o mesmo sentido de u

. Para esta aluna, se o

número real fosse igual a zero, o produto m. u

não existiria. É provável que a falta

de um trabalho interdisciplinar entre a Matemática e a Física, conforme apontado por

Martini (2006) e Campos (2000), gere este tipo de desempenho. Segundo Favarão

(2004), a postura conservadora dos professores e a falta de iniciativa às mudanças

representam obstáculos à implementação da interdisciplinaridade.

Partindo dessa análise, foi verificado que as estudantes participantes desta

atividade possuem dificuldades significativas em relação aos conceitos solicitados.

Desta forma, estes dados foram considerados na preparação das atividades do

design e representaram o ponto de partida para investigar as possíveis evoluções

das alunas após a experimentação.

131

5.3. ANÁLISE DA ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE

As alunas participantes do experimento não conheciam o software Cabri

Géomètre e, desta forma, o objetivo desta atividade de familiarização foi de

apresentar às alunas os comandos básicos, as possibilidades e suas abrangências

do estudo.

Embora o software seja de fácil manipulação, não foram esgotados todos os

comandos neste primeiro contato, deixando aos sujeitos, a possibilidade da

descoberta e auto-aprendizado. Procuramos trabalhar principalmente os comandos

relativos ao conceito de vetor.

Nesta fase participaram os seis estudantes, os quais foram organizados em

três duplas. O professor-pesquisador entregou uma ficha para cada dupla e a

atividade foi desenvolvida em cerca de duas horas.

Toda a atividade foi desenvolvida no laboratório de informática da pós-

graduação da UNIBAN - Campus Marte, onde foi disponibilizado um computador por

dupla contendo a versão do software Cabri. A dupla de sujeitos revezava na leitura

do roteiro e na manipulação dos comandos, interagindo entre si e com as situações

esperadas e inesperadas de manuseio como, cliques em outros comandos por

engano e curiosidades por outras situações do software.

O anexo 3 contém a ficha distribuída as estudantes.

Em geral, a dupla não apresentou dúvidas no manuseio dos comandos,

solicitando pouco apoio do professor-pesquisador. Embora não tivessem

conhecimento deste recurso computacional, todos são usuários habituais do

computador e acessam a internet diariamente, o que provavelmente justifica a

ausência de dúvidas no trabalho com o software. Além disso, observou-se uma

grande motivação dos alunos no manuseio do recurso computacional. Ressalta-se

que Elias (2009) sugere um trabalho com este tipo de recurso no ensino da Física,

para despertar a curiosidade e motivação, com o intuito de antecipar as habilidades

e conhecimentos já no ensino médio.

Notou-se que as estudantes freqüentemente tentavam realizar as atividades

sem a preocupação de ler atentamente o roteiro e, quando solicitavam a presença

do professor-pesquisador, este se limitou a solicitar às alunas uma nova leitura do

roteiro.

132

5.4. ANÁLISE DA ATIVIDADE DE CONCEITOS BÁSICOS DAS

GRANDEZAS FÍSICAS E DE VETOR

As dificuldades detectadas na resolução de questões da atividade pré-

experimento apontaram a necessidade de uma proposta de abordagem que

permitisse às estudantes construir o próprio conhecimento, principalmente com

relação às operações de vetores. Visando garantir a base necessária para realizar

essa construção, aplicamos uma atividade que visou relembrar conceitos básicos de

Física (grandeza escalar e vetorial, velocidade escalar e vetorial, Leis de Newton e

conceito de força) e elementos para conceituar o objeto matemático vetor

(segmentos orientados, equipolência, conceito de vetor, vetor unitário e vetor nulo).

Nesta revisão, não foram discutidas as operações de adição e multiplicação por

escalar real, dado que o objetivo era que as mesmas fossem construídas durante o

experimento, com o apoio do software.

Nesta atividade, caracterizada pela informação, não foi solicitada resolução

de tarefas. Foi realizada apenas a discussão do material presente no anexo 4.

5.5. ANÁLISE DA ATIVIDADE 1 E DAS SITUAÇÕES DE FÍSICA

Esta primeira atividade, referente à nossa proposta de interação dos

conceitos de vetores com o software Cabri, teve como objetivo explorar o conceito

de adição de vetores com a mesma direção e sentido. Apresenta-se no Quadro 71

seguinte os enunciados das tarefas desta atividade. O anexo 5 contém a ficha que

foi apresentada aos estudantes.

Tarefa a) Abra o arquivo 1 do Cabri. Nele, você encontrará dois vetores u

e v

de mesma

direção e mesmo sentido, em relação ao sistema de coordenadas cartesianas S=(O,x,y), onde O é o ponto origem da intersecção dos dois eixos, x (das abscissas) e y (das ordenadas).

Determine a adição desses vetores e nomeie-a por u

+ v

. Veja Figura 1.

133

FIGURA 1 – Exemplo 1.


, v

e u

+ v


Tarefa c) Faça mudanças no comprimento dos vetores. Aumente e diminua o comprimento a partir das extremidades dos vetores, mantendo a mesma direção e o mesmo sentido. A cada

mudança, anote os novos valores das coordenadas de u

, v

e u

+ v

na tabela 1.

TABELA 01

u

v

u

+ v

1

2

3

4

5


, v

e u

+ v

?

_______________________________________________________________

Tarefa d) Determine os módulos (comprimento) de u

, v

e u

+ v

. Anote os dados respectivos

na linha 1 da tabela 2. Tarefa e) Faça mudanças nas extremidades dos vetores. Aumente e diminua o comprimento a partir das extremidades dos vetores, mantendo a mesma direção e o mesmo sentido. A cada


, v

e u

+ v

na tabela 2.

TABELA 02

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5

Que relação existe entre as medidas desses vetores? _______________________________________________________________ Escreva as suas conclusões a respeito das suas observações: _______________________________________________________________


=(a,b) e v

=(c,d) , dados em relação ao sistema de coordenadas

S=(O, x, y), têm a mesma direção e o mesmo sentido, o que podemos concluir a respeito de

u

+ v

? Use a tabela 3 para suas respostas.

TABELA 03

1 Direção de u

+ v

2 Sentido de u

+ v

3 Módulo de u

+ v

4 Coordenadas de u

+ v

QUADRO 71 – Tarefas da Atividade 1.

134

Nas tarefas a e b, as alunas não tiveram dificuldades em determinar no Cabri,

o representante da adição de dois vetores, bem como suas coordenadas.

Na Figura 14, apresenta-se um momento da participação na resolução das

tarefas da atividade 1.

FIGURA 14 – Atuação dos sujeitos nas tarefas da atividade 1.

Na tarefa c, elas preencheram corretamente a tabela e puderam observar a

relação existente entre u

, v

e u

+ v

. O aspecto dinâmico do Cabri favoreceu a

análise, tendo em vista que, ao alterar a extremidade de um dos representantes ( u

ou v

), foi possível observar dinamicamente o que ocorria com as coordenadas de

u

+ v

. Noss (2009) ressaltou que a utilização do software de geometria dinâmica no

seu estudo também favoreceu a manipulação, a elaboração de conjecturas e a

interpretação dos dados pelos seus sujeitos.

Nas tarefas d e e, as estudantes determinaram os módulos de u

, v

e u

+ v

,

e por meio de mudanças nas extremidades dos vetores observaram que, para o

caso de vetores com mesma direção e mesmo sentido, o módulo de u

+ v

é igual à

soma dos módulos de u

e v

.

135

Na tarefa f, (Figura 15), as alunas mostraram a conclusão, apresentaram

satisfatoriamente os resultados em relação à direção e sentido, porém, apesar de

compreenderem o que ocorreu com o módulo e as coordenadas de u

+v

,

apresentaram problemas na representação na língua natural, conforme pode ser

observado no quadro seguinte. Segundo Duval (2003), os registros multifuncionais

discursivos, dentre eles a língua natural escrita, não são valorizados na Matemática

do ensino superior. É provável que este fato influencie negativamente quando os

estudantes são solicitados a representar neste registro, conforme observado nas

produções das alunas deste estudo.

FIGURA 15 – Conclusão da tarefa „f‟, Atividade 1.

Apesar disso, notamos evolução da Aluna A em relação à representação

geométrica da adição de vetores de mesma direção e mesmo sentido e na análise

de direção e sentido de u

+ v

neste caso. Isso foi constatado na comparação de suas

produções do pré-experimento e da atividade 1. Nesta situação em particular, a

aluna B já tinha apresentado uma produção satisfatória no pré-experimento.

A seguir, retomamos a atividade 1 de Física, apresentada no Quadro 72.

1) Duas forças 1F

= 3N e 2F

= 5N são aplicadas em um corpo que está parado numa

superfície horizontal. As forças têm o mesmo sentido e direção. Veja figura 01.

a)Represente a situação do problema, usando o software. (Use a origem dos eixos como referência à posição do corpo).

b)Determine a força resultante.

136

1F

2F

FIGURA 01 – Forças aplicadas com mesma direção e sentidos.


Nesta atividade de Física, as alunas não apresentaram dificuldade na

determinação da força resultante. O uso do software reforçou a obtenção do

resultado e a visualização da situação. Inicialmente as alunas representaram dois

vetores sem o cuidado de manter a mesma direção. Atribuímos esta dificuldade à

falta de experiência na manipulação do software. Com a interferência do professor-

pesquisador, as alunas procuraram tomar como base a direção do eixo das

abscissas, inserindo a origem do representante do segundo vetor coincidente com a

extremidade do representante do primeiro. O anexo 6 contém a ficha distribuída as

estudantes.


A atividade 2 tinha por objetivo a investigação da operação de adição de dois

vetores com a mesma direção e sentidos opostos. O Quadro 73 seguinte apresenta

as tarefas aplicadas à dupla. O anexo 5 contém o modelo utilizado pelas estudantes

nesta atividade.

Tarefa a) Abra o arquivo 2 do Cabri. Nele são dados dois vetores u

e v

de mesma direção e

sentidos opostos, em relação ao sistema de coordenadas cartesianas S=(O,x,y), onde O é o

ponto origem da intersecção dos dois eixos, x (das abscissas) e y (das ordenadas). Determine

a adição desses vetores e nomeie-a por u

+ v

. Veja Figura 2.

137



, v

e u

+ v

, anote os dados respectivos na

linha 1 da tabela 4. Altere as extremidades dos vetores mantendo os sentidos opostos de u

e

v

e preencha a tabela 4 com esses dados.

TABELA 04

u

v

u

+ v

1

2

3

4

5


, v

e u

+ v

?

_______________________________________________________________


, v

e u

+ v

, anote os dados respectivos na linha

1 da tabela 5. Altere as extremidades dos vetores mantendo os sentidos opostos de „ u

‟ e „ v

‟,

preencha a tabela 5:

TABELA 05

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5


=(a,b) e v

=(c,d) , dados em relação ao sistema de

coordenadas S=(O, x,y), têm a mesma direção e sentidos opostos, o que podemos concluir a

respeito de u

+ v


TABELA 06

1 Direção de u

+ v

2 Sentido de u

+ v

3 Módulo de u

+ v

4 Coordenadas de u

+ v

Tarefa f) Quando u

+ v


+ v

= (0,0)?


138

As estudantes abriram um arquivo no Cabri contendo a situação inicial de dois

representantes com mesma direção e sentidos opostos. Elas determinaram as

coordenadas desses representantes e a adição por meio do comando do software.

Na tarefa b, preencheram a tabela fazendo a manipulação dos representantes,

obtendo outros valores de coordenadas. Apesar de terem realizado a manipulação,

trataram somente dos casos em que o módulo de u

era maior que o de v

e, desta

forma, o resultado de u

+ v

possuía sempre coordenadas positivas. Apesar disso,

puderam observar a relação entre as coordenadas de u

, v

e u

+ v

. Na tarefa d, as

estudantes determinaram os módulos de u

, v

e u

+v

. Na manipulação das

extremidades, fixaram-se apenas nos casos em que o módulo de u

era maior que o

de v

e concluíram que o módulo de u

+ v

era obtido subtraindo o módulo v

do

módulo de u

, conforme pode ser observado na produção apresentada a seguir, nas

Figuras 16 e 17.

FIGURA 16 – Resultados da manipulação na tarefa „d‟, Atividade 2.

FIGURA 17 – Produção escrita na tarefa „d‟, Atividade 2.

Neste momento, o professor-pesquisador optou por não interferir, uma vez

que estas situações seriam exploradas em tarefas posteriores.

139

Na tarefa e, na síntese das conclusões, foram observadas dificuldades na

interpretação da direção, uma vez que foi apresentada uma confusão entre direção e

sentido. Isto porque as alunas relataram que a direção de u

+v

continuava sendo a

mesma do maior vetor, apresentando a mesma resposta para a análise do sentido.

Esse tipo de confusão também ocorreu no estudo de Patrício (2010). Com relação

ao módulo, observaram corretamente que, nesta situação, o comprimento de u

+ v

coincidia com a diferença do representante de maior módulo pelo representante de

menor módulo. Observam-se novamente dificuldades em apresentar essa conclusão

na representação da língua natural escrita. Isso reforça a afirmação de Duval (2003)

relativa ao fato de o ensino da Matemática explorar principalmente o registro

algébrico, considerando os demais como registros secundários. Com relação à

análise das coordenadas de u

+ v

, o professor-pesquisador observou que as

estudantes compreenderam como obter o resultado, porém, na produção escrita

apresentaram problemas, uma vez que relataram que as coordenadas de u

+v

é “a

subtração do maior vetor com o menor vetor”. A seguir, na Figura 18, apresenta-se a

produção das estudantes nesta tarefa.

FIGURA 18 – Produção escrita da tarefa „e‟, Atividade 2. Na tarefa f, observamos que as estudantes concluíram corretamente que a

soma de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos se anularão se eles

tiverem o mesmo módulo, conforme produção apresenta a seguir na Figura 19.

140

FIGURA 19 – Produção escrita da tarefa „f‟, Atividade 2.

Cabe ressaltar que ao redigir que um é positivo e outro negativo, as

estudantes se referenciavam às coordenadas dos representantes de u

e v

.

De uma forma geral, apesar das dificuldades relatadas, foram constatadas

evoluções principalmente da aluna A, uma vez que no pré-experimento ela não

soube representar geometricamente u

+v

nesta situação e nem concluir o que

ocorria com o sentido e o módulo. Já no pós-experimento, estas dificuldades foram

sanadas. No pré-experimento, a aluna B não apresentou dificuldades nesta situação

em particular, somente na análise da direção. Na atividade 2, ela continuou

afirmando que a direção de u

+ v

, para u

e v

com mesma direção e sentidos

contrários, “seria a mesma do maior vetor”.


2) Duas forças, 1F


= 6N (sentido para a esquerda),

são aplicadas ao mesmo tempo sobre um bloco de madeira de massa igual a 2kg.

Veja figura 02. Sabendo que o bloco está sobre uma superfície horizontal sem atrito,

faça os itens a seguir:

a) Desenhe as forças aplicadas no bloco, usando o software.

(Use a origem dos eixos como referência a posição do bloco).



2F

1F

.

FIGURA 02 – Forças aplicadas com mesma direção e sentidos opostos.


141

Neste caso, as alunas também fizeram a atividade no software. Elas

relacionaram os conceitos de Geometria Analítica para este caso da Física,

estabelecendo corretamente a resultante de duas forças de mesma direção e

sentidos contrários. Elas também determinaram corretamente a aceleração

solicitada. O anexo 6 contém a ficha distribuída as estudantes.

5.7. ANÁLISE DA ATIVIDADE DE CONCEITOS BÁSICOS DE

TRIGONOMETRIA

Na apresentação da atividade 3, o professor-pesquisador comentou que na

proposta de resolução, seriam usados vetores com direções diferentes e surgiriam

situações com necessidade de se trabalhar com outros conceitos de trigonometria,

tais como a medida de ângulo, teorema de Pitágoras e lei dos cossenos. Nos

questionamentos a respeito dos conhecimentos básicos sobre trigonometria,

verificou-se que as alunas não detinham domínio dos conceitos e, desta forma,

surgiu a necessidade de incluirmos uma breve atividade que permitisse às

estudantes, o uso destes conceitos na construção das resoluções e

acompanhamento das tarefas propostas, especificamente das atividades 3 e 5.

Visando garantir a base necessária para realizar essa construção, aplicamos uma

atividade que visou relembrar conceitos básicos de trigonometria (hipotenusa,

cateto, seno, cosseno, tangente, triângulo retângulo, Lei dos cossenos). Nesta

revisão, os exercícios propostos foram exemplificados de forma a proporcionar

informações para consulta, permitindo às alunas, maior autonomia para a resolução

das tarefas das Atividades 3 e 5.

Nesta atividade, caracterizada pela informação, não foi solicitada resolução

de tarefas. Foi realizada apenas a discussão do material presente no anexo 7.


O Quadro 75 seguinte apresenta as tarefas que compuseram a Atividade 3 do

experimento. O anexo 8 contém o modelo utilizado pelas estudantes nesta atividade.

Tarefa a) No Cabri, crie o sistema de coordenadas S=(O,x,y). Em seguida, construa uma

grade de pontos na tela de forma a facilitar a visualização e a construção de dois vetores u

e

v

com origem em O e com direções diferentes, conforme sugere a Figura 1.

142



+ v

. O que você observa nesta situação de adição em

relação às situações anteriores, efetuadas nas atividades 1 e 2?


, v

e u

+ v


ou

do vetor v

(com u

e v


TABELA 01

u

v

u

+ v

1

2

3

4

5


, v

e u

+ v

?

_____________________________________________________________________


, v

e u

+ v

e preenche a linha 1 da tabela 8. Em

seguida, altere a extremidade do vetor u

ou do v

(com u

e v

tendo direções diferentes) e

preencha a tabela 2. TABELA 02

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5

A relação obtida nas atividades anteriores 1 e 2, é verdadeira para esta situação na atividade 3? Justifique. _____________________________________________________________________

Tarefa e) Podemos observar que se os vetores u

e v

têm direções diferentes, a adição dos

módulos de u

e v

não é obtida conforme observado nas atividades anteriores. Vamos

estudar duas situações: 1

a) Abra o arquivo 4 no software Cabri (figura 1). Observe que o ângulo formado pelos vetores

u

e v

é de 90o.

143



, v

e u

+ v

e preencha a linha1 da tabela 3. Em seguida, mexa

na extremidade do vetor u

ou do v


, v

e

u

+ v

na tabela 3.

TABELA 03

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5


+ v


e v

com

direções diferentes quando o ângulo entre eles é de 90o?

_____________________________________________________________________ 2

o) Abra o arquivo 5 no software Cabri (Figura 2). Observe que o ângulo formado pelos vetores

u

e v

não é de 90o.



, v

e u

+ v


extremidade do veto u

ou do v


TABELA 04

I u

I I v

I I u

+ v

I

1

2

3

4

5


+ v


144

vetores era de 90°? Justifique. _____________________________________________________________________


+ v


e v

com

direções diferentes? _____________________________________________________________________ Verifique suas conclusões para os valores obtidos na tabela 04. _____________________________________________________________________


Na tarefa a, as estudantes construíram no Cabri dois vetores u

e v

com

origem na origem do sistema de coordenadas cartesianas xOy e direções diferentes.

Na tarefa b, as alunas determinaram u

+ v

e observaram a particularidade existente

nesta situação, conforme apresentado a seguir, na Figura 20.

FIGURA 20 – Produção escrita da tarefa „b‟, Atividade 3.

Na produção dessas alunas, da mesma forma que constatado por Castro

(2001), observamos que a aplicação das atividades iniciais permitiu uma evolução

das estudantes quanto à conversão do gráfico para o algébrico e com relação à

coordenação entre estes e a língua natural.

Na tarefa c (Figura 21), as alunas alteraram as extremidades dos

representantes, preencheram a tabela com alguns casos particulares, mantendo

direções diferentes de u

e v

. Neste caso, elas observaram que as coordenadas de

u

+ v

poderiam ser obtidas somando as coordenadas de u

com as de v

, conforme

apresentado a seguir.

FIGURA 21 – Produção escrita da tarefa „c‟, Atividade 3.

145

Ressalta-se que as alunas só trabalharam com representantes no primeiro

quadrante e tiveram a preocupação de obter números inteiros para as coordenadas

dos vetores, o que demandou um tempo maior do que o esperado.

Na tarefa d as alunas determinaram os módulos de u

, v

e u

+v

, alteraram

as extremidades e preencheram a tabela. Elas esperavam obter como resultado do

módulo de u

+ v

, a soma do módulo de u

com o módulo de v

, mas, utilizando o

Cabri, puderam constatar que isso não ocorria, conforme podemos observar na

produção seguinte, na Figura 22.

FIGURA 22 - Produção escrita da tarefa „d‟, Atividade 3.

A justificativa correta das alunas confirma as observações de Duval (2003).

Segundo ele, para que os sujeitos tenham a compreensão plena da Matemática é

necessário que exista facilidade em manipular pelo menos dois registros de

representação simultaneamente. Neste caso, as alunas usaram os registros de

representação gráfica, algébrica e da língua natural. Salientamos que o software

pelo seu dinamismo, favoreceu a análise de conjecturas. As alunas puderam

observar que suas hipóteses iniciais não foram validadas.

Na tarefa e, foram estudadas duas situações particulares. Em primeiro lugar,

foi tratado o caso em que o ângulo formado entre os representantes dos vetores era

de 90o. Em segundo lugar, foi tratado o caso em que este ângulo não era reto. No

primeiro caso, as alunas calcularam os módulos de u

, v

e u

+v

, preencheram a

tabela e associaram a obtenção do módulo de u

+ v

por meio do teorema de

Pitágoras. Essa associação foi realizada espontaneamente, sem auxílio do

professor-pesquisador. É provável que isso tenha ocorrido em função da revisão

realizada anteriormente e o valor do ângulo de 90° ter se destacado no texto.

A seguir, apresentamos a conclusão escrita das alunas para esta atividade,

nas Figuras 23 e 24.

146

FIGURA 23 – Conclusão escrita da primeira parte da tarefa „e‟ na Atividade 3.

Na segunda situação, na qual o ângulo não era de 90o, as alunas

determinaram os módulos de u

, v

e u

+v

, alteraram as extremidades de u

e v

e

preencheram a tabela com os dados obtidos. Verificaram que nesta situação, não

era possível obter o módulo de u

+ v

pelo teorema de Pitágoras, conforme

apresentado a seguir.

FIGURA 24 – Conclusão escrita da segunda parte da tarefa „e‟ na Atividade 3.

Apesar de constatarem que o teorema de Pitágoras não poderia ser aplicado

nesta situação, elas não conseguiram estabelecer, de forma independente, uma

estratégia de resolução. Ressaltamos que elas participaram da revisão da lei dos

cossenos, mas não estabeleceram a relação da tarefa com este tópico. Apesar de

observarmos que as alunas compreenderam que naquela situação não era possível

aplicar o teorema de Pitágoras, notamos dificuldades na representação da língua

natural escrita, conforme apresentado a seguir, na Figura 25.

147

FIGURA 25 – Conclusão escrita da tarefa „e‟ na Atividade 3.

Nota-se também nesta produção a confusão entre direção e sentido, a qual

também ocorreu nas pesquisas de Patrício (2010). Neste caso, houve a necessidade

de interferência do professor-pesquisador, o qual solicitou às alunas a retomada da

revisão dos conceitos básicos de trigonometria. Apesar disso, as alunas ainda não

conseguiram calcular o módulo do vetor u

+ v

.

Como seria proposta uma atividade de Física que utilizaria a lei dos cossenos,

neste momento o professor-pesquisador não interferiu.

A seguir, apresenta-se a tarefa de Física relativa a essa situação, no Quadro

76.

3) Duas Forças atuam num corpo de massa 10 Kg, inicialmente parado. Sabendo que

1F

= 6N, 2F

= 8N e que entre estas duas Forças, tem um ângulo de 60°, determine:

a) O módulo, a direção e o sentido da Força resultante.

b) A aceleração do corpo.

1F

60° 2F


O anexo 9 contém o modelo utilizado pelas estudantes nesta atividade de

Física.

148

Nesta situação, as alunas representaram geometricamente a força resultante,

porém, tiveram sucesso só na direção do representante, mas não no sentido,

conforme pode ser observado no Quadro 77, seguinte.

QUADRO 77 – Produção inicial da atividade 3 de Física.

Em seguida, as alunas tentaram obter as coordenadas da força resultante em

relação ao sistema S=(O,x,y). Notando que o processo estava bloqueado, o

professor-pesquisador solicitou às alunas que revisassem o material de revisão de

trigonometria. Com isso, elas olharam esse material, mas não concluíram, de forma

independente, que poderiam utilizar a lei dos cossenos para determinar o módulo de

u

+ v

. O professor-pesquisador teve que atuar de forma mais intensa para que a

tarefa fosse resolvida de forma satisfatória e houve uma discussão a respeito da

aplicação da lei dos cossenos nessa situação. Essa situação confirma Martini

(2006), quando o mesmo revela a importância de se ter um conhecimento sólido da

Matemática para a compreensão de situações da Física.

Na Figura 26, apresenta-se o momento da interferência do professor-

pesquisador.

149

FIGURA 26 – Interferência do professor-pesquisador na atividade 3 de Física.

O uso do software favoreceu a determinação do módulo, da direção e do

sentido da força resultante. O cálculo da aceleração também foi correto,

considerando o módulo da força resultante.

A produção das alunas, após a interferência do professor-pesquisador, é

apresentada a seguir na Figura 27.

150

FIGURA 27 – Resolução da atividade 3 de Física.

Essa situação confirma Martini (2006), quando o mesmo revela a importância

de se ter um conhecimento sólido da Matemática para a compreensão de situações

da Física.

151


A Atividade 4 teve por objetivo explorar no Cabri a multiplicação de um vetor

por um número real por meio do comando de “homotetia” existente no software.

As tarefas desta atividade são descritas a seguir no Quadro 78. O anexo 8

contém o modelo completo utilizado pelas estudantes nesta atividade.

Tarefa a) Crie com o software Cabri, o sistema de coordenadas cartesianas S=(O, x, y) e

um vetor v

com origem na origem deste sistema. Em edição numérica, crie m= 2. Vamos fazer

a multiplicação do vetor por este número. Para isso, selecionar “homotetia”, clicar no vetor e em

seguida no número. Você obterá a imagem geométrica de 2. v

. Veja sugestão na figura 3.




. O que você

observa?

_____________________________________________________________________

Tarefa c) Altere o valor numérico (selecione números positivos, negativos e o zero). Preencha a

tabela 05, com alguns dados obtidos.

TABELA 05

Coordenadas de u

Coordenadas de m. u

1

2

3

4


_____________________________________________________________________


_____________________________________________________________________

152

Sendo v

=(a,b) um vetor dado em relação ao sistema de coordenadas S=(O, x,y), o que

ocorre quando multiplicamos v

por um número real “m” qualquer”? Preencha a tabela 06, com

os dados obtidos.

TABELA 06

1 Direção de m v

2 Sentido de m v

3 Módulo de m v



Na tarefa a, para a construção da multiplicação do vetor v

por 2, o professor-

pesquisador, notando a dificuldade das alunas na utilização do software, solicitou

que retomassem a atividade de familiarização, com o intuito de relembrar o uso do

comando de homotetia dessa ferramenta. A partir daí, as alunas não apresentaram

dificuldades em desenvolver a atividade.

Na tarefa b, as alunas não tiveram dificuldade em observar o que ocorria com

as coordenadas e o módulo de 2 v

, conforme Figura 28. Na tarefa c, elas alteraram

o valor de m em m. v

, selecionando valores positivos, negativos e o zero.

Preencheram a tabela com os dados obtidos e tiveram sucesso nas suas

conclusões, conforme podemos observar nas produções seguintes, nas Figuras 29 e

30.


153



Fazendo um paralelo com Noss (2009), notamos que o uso da ferramenta de

geometria dinâmica favoreceu a liberdade de escolha e a investigação dos

elementos de forma a construir o conhecimento por meio da interação com o

software. Elas puderam explorar as opções disponíveis na ferramenta,

conjecturando e construindo novas situações de forma independente, obtendo

sucesso na compreensão.

Apesar disso, quando foi solicitada a operação m. u

, com m=0, as alunas

relataram que o resultado seria igual a zero e não igual ao vetor nulo. É provável que

o software tenha influenciado nesta compreensão, uma vez que ele não faz distinção

entre o ponto da origem e o vetor nulo.

Na Figura 31 a produção desta atividade 4 no Cabri 2D.

154

FIGURA 31 – Produção da atividade 4 no Cabri 2D.

Nas conclusões desta atividade, notamos uma evolução em relação à

diferenciação entre direção e sentido. Nas atividades anteriores as alunas

estabeleciam freqüentemente confusões entre esses dois elementos, o que não

ocorreu mais nesta atividade. Atribuímos essa evolução ao uso do software e ao

contato com as atividades do experimento. A conclusão apresentada pela dupla é

descrita na Figura 32.

FIGURA 32 – Conclusão escrita da tarefa „b‟, Atividade 4.

155

Notamos que a produção escrita relativa à direção, sentido e módulo foi

satisfatória, porém, as alunas demonstraram dificuldade em expressar, na língua

natural escrita, suas conclusões a respeito das coordenadas de m. v

. A dificuldade

na expressão escrita também foi constatada por outros pesquisadores, tais como

Cândido (2010) e Karrer (2006). Ressaltamos que foi observada, pelos dados da

tabela, a compreensão, por estas alunas, do que ocorria com as coordenadas de m.

v

, ou seja, elas apenas não conseguiram, neste momento, expressar suas

conclusões.


O anexo 9 contém o modelo utilizado pelas estudantes nesta atividade.

4) Três aeroportos A, B e C, estão como pontos numa mesma reta, na rota de viagem de

um avião. A velocidade máxima do avião é de 240 km/h. Despreze o tempo gasto das operações do avião na decolagem, aterrissagem e deslocamento na pista. Sabendo que a distância entre A e B é de 120 km e que de B até C é 2,5 vezes a distância de A e B. Determine:

a) O tempo total da viagem de A para C.

b) A intensidade da sua velocidade vetorial média do avião.


As alunas estabeleceram corretamente a relação entre multiplicação do

módulo de um vetor por um número real nesta situação da Física e determinaram

corretamente o tempo total da viagem de A a C e a intensidade da velocidade

vetorial média do avião.

O uso do software neste caso ficou restrito à utilização de homotetia e ao

cálculo, via comando da ferramenta, da distância total. A manipulação do recurso

computacional também serviu para que elas visualizassem a mudança do sentido do

vetor, quando o número real era negativo.


A atividade 5 teve por objetivo apresentar a adição de vetores por meio de

suas projeções ortogonais nos eixos x e y.

As tarefas desta atividade são apresentadas a seguir no Quadro 80. O anexo

8 contém o modelo utilizado pelas estudantes nesta atividade.

156


no primeiro quadrante

com origem fora da origem do sistema. Use o recurso da grade de pontos na tela de forma a

facilitar a visualização. Veja sugestão na figura 4.



nos eixos x e y. Para isso, trace

paralelas aos eixos x e y, nos pontos de origem e extremidade do vetor. Veja sugestão na figura 5.



,

considerando o representante desse vetor no primeiro quadrante. Movimente a extremidade desse

vetor e anote as coordenadas de sua origem e de sua extremidade. Anote, também, os módulos

dos vetores referentes às projeções na tabela 07.

TABELA 07


do vetor u

Coordenada da

Extremidade do vetor u


ortogonal do

vetor u

no eixo

x


ortogonal do

vetor u

no eixo

y

1

2

3

4

5

Que relação existe entre as coordenadas do vetor u

e a os módulos de sua projeção nos eixos x

e y?

_____________________________________________________________________

157


faz com o eixo x (ou que faz com a reta paralela ao

eixo x que passa pela origem do vetor u

) em cada caso da tabela 07. Anote o valor do ângulo e o

seu respectivo módulo na linha 1 da tabela 08. Em seguida, movimente o vetor e preencha os

dados da tabela 08. Veja sugestão na figura 6.

FIGURA 6 – Exemplo para achar o ângulo do vetor com eixo x.

TABELA 08

Coordenada da Origem do

vetor u

Coordenada da

Extremidade do

vetor u

Ângulo Módulo de

u

1

2

3

4

5

Tarefa e) Determine os valores dos módulos das projeções do vetor u

nos eixos x e y e preencha

a tabela 09, usando os valores dos módulos da tabela 08 e seus respectivos ângulos.

TABELA 09

ux = u.cos uy = u.sen

1

2

3

4

5

O que podemos concluir, comparando os valores das projeções nos eixos x e y anotados na

tabela 07 e os valores da tabela 09?

_____________________________________________________________________

Tarefa f) Construa dois vetores u

e v

e as suas respectivas projeções nos eixos x e y. Preencha

a tabela 10 com os dados obtidos. Veja sugestão na figura 07.

158

FIGURA 07 – Exemplo de dois vetores e suas projeções nos eixos x e y. TABELA 10

Componentes do vetor u

Componentes do vetor v

xu

yu

xv

yv

Tarefa g) Determine a adição dos vetores u

e v

a partir das adições individuais dos

componentes das projeções dos vetores nos eixos x e y, conforme dados na tabela 09. Para esta

tarefa considere R = u

+ v

e calcule os valores de Rx = ( xu

+ xv

), e Ry = (yu

+

yv

).

Use a tabela 11 para suas anotações.

TABELA 11


+ v

) no eixo

x – (Rx)


+ v

) no

eixo y – (Ry)

xu

yu

xv

yv

Tarefa h) Determine a adição vetorial de u

+ v

, conforme indicado na operação de adição da

atividade 3. Compare os valores obtidos nas duas tarefas, (f) e (g) e faça as suas conclusões.

_____________________________________________________________________

Tarefa i) Com base nas operações de adição vetorial, desenvolvidas a partir das projeções dos

vetores u

e v

nos eixos x e y, elabore uma situação de subtração vetorial de u

– v

. Confirme

os valores obtidos pelo método usado nas tabelas 09, 10 e 11. Faça suas conclusões abaixo.

_____________________________________________________________________


As alunas determinaram as coordenadas tanto da origem como da


. Em seguida, determinaram as projeções ortogonais de u

nos eixos x e y e seus respectivos módulos. Manipularam o vetor u

e preencheram

os dados na seguinte tabela 07 desta atividade, apresentada na Figura 33.

159

FIGURA 33 – Produção escrita da Tabela 7, Atividade 5.

Apesar da dificuldade em expressar as conclusões na língua natural escrita,

as alunas observaram que os módulos das projeções ortogonais nos eixos x e y

correspondiam às coordenadas do vetor, que seriam obtidas fazendo a diferença

entre as coordenadas da extremidade e da origem. Novamente relacionamos esta

problemática com Duval (2003), Cândido (2010) e Karrer (2006). A produção escrita

da dupla é apresentada a seguir, na Figura 34.


Partindo dos dados da tabela anterior, as alunas determinaram o ângulo entre

o representante de u

e o eixo x e o módulo de u

e preencheram uma nova tabela

com esses dados. Em seguida, determinaram ux e uy pelas fórmulas ux=I u

I.cos e

160

uy=I u

I.sen e compararam com os resultados obtidos no Cabri. A tabela 9

construída pela dupla é apresentada a seguir, na Figura 35.

FIGURA 35 – Produção escrita da Tabela 9, Atividade 5.

As estudantes notaram que os valores não eram exatamente iguais, mas sim

próximos aos valores obtidos no Cabri quando comparados aos valores obtidos com

o uso da calculadora do próprio software. Foi discutido o motivo desta diferença,

que decorreu do número de casas decimais estipulado no software. Salientamos que

Noss (2009), em sua atividade sobre a interpretação de representação decimal não

exata e não periódica, também teve que fazer este tipo de discussão em relação à

precisão dos resultados.

Apesar de alguns limites da ferramenta, como na situação dos valores

limitados pelo número de casas decimais, foi evidente que o uso deste recurso

provocou uma situação motivadora e desafios que estimularam as alunas na

participação das tarefas de forma comprometida e assídua.

A conclusão das alunas é apresentada a seguir, nas Figuras 36 e 37.

161

FIGURA 36 – Conclusão escrita da tarefa „h‟, Atividade 5.

FIGURA 37 – Conclusão escrita da tarefa „i‟, Atividade 5.


O anexo 9 contém o modelo utilizado pelas estudantes nesta atividade.

Situação1. Um vetor A com módulo de 17,00 m faz um ângulo de 56° no sentido anti-horário

com o semi-eixo x positivo. Figura 13. Determine os componentes Ax e Ay do vetor A.


Situação2. Dois vetores a e b , tendo módulos iguais a 10 unidades, são orientados como


d) Os componentes de r segundo os eixos Ox e Oy;

e) O módulo de r;

f) O ângulo que r forma com o eixo Ox.

162

FIGURA 14 – Situação 2. Situação3. Na adição de A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12,0m e forma um ângulo de

40° no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de

15,0m e forma um ângulo de 20° no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo.

Veja figura 15. Determine:

c) o módulo de B

d) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo


QUADRO 81 – Atividade 5 que podem ser utilizadas na Física.

Na resolução da primeira tarefa da atividade 5, as alunas tiveram sucesso na

determinação dos componentes Ax e Ay do vetor A, obtendo como coordenadas do

vetor A o resultado (9,5; 14,1) e puderam confirmar estes valores com o recurso

computacional.

As estudantes não tiveram sucesso na situação 2, uma vez que determinaram

um representante do vetor figural geométrico r com erro no sentido, conforme pode

ser observado na Figura 38 seguinte. Neste caso elas usaram a representação da

figura no ambiente papel e lápis para determinar r.

163

FIGURA 38 – Representação do vetor resultante na situação 2, Atividade 5.

Isso afetou o cálculo das componentes de r

e a determinação do ângulo que

r

formava com o eixo das abscissas. Além disso, elas determinaram incorretamente

o módulo do vetor r

por Pitágoras, sem observar que o ângulo formado entre os

vetores a e b não era reto. Atribuímos essa dificuldade ao fato de o modelo deste

problema se diferenciar dos anteriores, necessitando de uma reflexão. Notamos que

as alunas resolveram o problema de forma automática, o que também foi constatado

por Bittar (2003). No uso do recurso computacional, elas puderam verificar o erro e

retomaram os cálculos. Primeiramente elas verificaram que o sentido da resultante

estava contrário ao que deveria. Em segundo lugar, observaram que o valor do

módulo da resultante solicitado e obtido pelo software, poderia ser encontrado com o

uso da Lei dos cossenos, conforme pode ser observado na Figura 38.

Neste caso, o software permitiu constatar o erro, por meio da comparação

entre suas hipóteses e o valor fornecido pela ferramenta. Noss (2009) também

constatou, em uma de suas atividades, que a ferramenta proporcionou um

acompanhamento da construção do conhecimento.

Na situação 3, as alunas observaram que B=C-A, determinaram as

coordenadas de B e o ângulo solicitado. Apesar disso, não determinaram o módulo

de B como foi solicitado.

164

5.11. ANÁLISE DA ATIVIDADE DE PÓS-EXPERIMENTO

A atividade de pós-experimento era coincidente com a atividade do pré. Ela

foi aplicada individualmente e objetivou investigar as possíveis evoluções das alunas

após o contato com o experimento de ensino elaborado. O anexo 2 contém o

modelo utilizado pelas estudantes nesta atividade.

Nas tarefas 1, 2 e 3 do pré-experimento, a aluna A apresentou confusões

entre direção e sentido de um vetor, o que não ocorreu mais no pós-experimento.

Apesar disso, enquanto no pré-experimento ela relatou que um vetor tem as

características de direção, sentido e módulo, no pós-experimento ela não relatou

sobre o módulo, como podemos verificar na produção a seguir, na Figura 39.

FIGURA 39 – Produção escrita da primeira questão. (Aluna „A‟).

Podemos observar uma dificuldade na expressão escrita, uma vez que a

aluna concebeu um vetor não como um conjunto de segmentos orientados

eqüipolentes, mas o associou a um representante.

No pré-experimento, ao ser questionada sobre as aplicações dos vetores na

Física, ela citou apenas a aplicação em situações que envolviam força. Já no pós-

experimento, ela também acrescentou a aplicação em situações de deslocamento.

No pré-experimento, ela não obteve sucesso na representação geométrica da

adição de dois vetores em todos os casos trabalhados. Já no pós-experimento, ela

teve sucesso somente nos casos de adição de vetores com mesma direção,

conforme ilustrado a seguir, nas Figuras 40 e 41.

165

FIGURA 40 – Representação de um vetor adição. (Aluna „A‟).

FIGURA 41 – Representação de um vetor adição. (Aluna „A‟).

No pré-experimento, ela apresentou problemas na avaliação da direção, do

sentido e do módulo de u

+ v

em todos os casos. Já no pós, ela soube avaliar

corretamente a direção e o sentido nos casos de adição de vetores de mesma

direção, porém, não teve sucesso no caso em que os vetores tinham direções

diferentes. Notamos também que a aluna apresentou problemas com relação ao

módulo de u

+ v

.

No pré-experimento, a partir da questão 6, a aluna A, deixou todas as tarefas

sem resolução. No pós-experimento, ela notou que ao multiplicar um vetor por um

166

número, a direção não altera. Ainda, ela observou que quando o número é negativo,

há uma mudança de sentido. Apesar disso, a aluna ainda apresentou dificuldades na

representação gráfica, conforme observamos a seguir na Figura 42.

FIGURA 42 – Representação da multiplicação de um vetor. (Aluna „A‟).

Nas tarefas 7, 8 e 9, relacionadas à Física, a aluna definiu e exemplificou

corretamente grandeza escalar, vetorial e apresentou de forma satisfatória as três

leis de Newton. Notamos que na descrição de grandeza vetorial, a aluna incluiu o

módulo do vetor na sua produção, o que não ocorreu na primeira tarefa. Como no

pré-experimento ela também apresentou as três características na tarefa 1, é

provável que a ausência do módulo em sua descrição tenha ocorrido por

esquecimento.

167

Fazendo uma avaliação global da produção dessa aluna, pudemos constatar,

na comparação de sua produção no pré e no pós-experimento, que houve evolução

com relação aos conceitos e às representações geométricas das operações entre

vetores. Apesar disso, ainda notamos dificuldades em algumas situações, tais como

a interpretação do que ocorre com o módulo de u

+ v

e m. u

(m real),

representações geométricas da adição de vetores com direções diferentes e do

produto de um vetor por um número real. Concluímos que o software contribuiu para

a obtenção de conjecturas e validações, porém, para esta aluna, seriam necessárias

atividades adicionais para que atingisse os resultados esperados.

No pré-experimento, a aluna B apresentou um conhecimento mais efetivo se

comparada com a aluna A. As resoluções das tarefas 1, 2, 3 e 4 já foram

satisfatórias no pré-experimento e permaneceram inalteradas no pós-experimento.

Na tarefa 5, a aluna apresentou uma evolução tanto na representação gráfica

de u

+ v

como na análise escrita de sua direção. No pré-experimento ela não soube

determinar um representante de u

+ v

, mas no pós apresentou corretamente este

resultado, utilizando a regra do paralelogramo. Apresentamos, a seguir, sua

produção nesta tarefa, na Figura 43.

FIGURA 43 – Representação de um vetor adição. (Aluna „B‟).

Com relação à direção de u

+ v

, ela escreveu que “é a direção entre os dois

vetores (diagonal de um paralelogramo)”. Apesar da dificuldade na representação

escrita, notamos que a aluna concluiu corretamente a direção de u

+ v

para o caso

em que u

+ v

têm direções diferentes, fato que não ocorreu no pré-experimento.

168

Na produção geral desta aluna no pós-experimento, notamos uma confusão

entre módulo de u

+ v

com coordenadas de u

+ v

. Por exemplo, quando

questionada sobre o módulo de u

+ v

(sendo u

e v

vetores com direções

diferentes), ela apresentou a seguinte redação: “é a soma dos componentes x e y de

cada vetor”. É provável que a última atividade realizada no experimento tenha

influenciado este tipo de resposta.

Na tarefa 6, a aluna já havia apresentado de forma correta, no pré-

experimento, as representações geométricas de 2. u

e -2. u

. Porém, nesta primeira

fase, ela afirmou que o sentido de m. u

permanecia sempre o mesmo. No pós-

experimento notamos uma evolução. Além de ter representado corretamente os

vetores 2u

e -2u

, ela observou que o sentido de m. u

dependia do sinal de m.

Quanto à análise do módulo de m. u

, notamos novamente confusão entre medida e

coordenadas. Ao ser questionada a respeito do resultado de m. u

se m fosse igual a

zero, no pré-experimento a aluna afirmou que não existia e no pós afirmou que o

resultado seria zero. Apesar de não fornecer como resposta que o resultado seria o

vetor nulo, notamos que a aluna já admitiu a existência de resposta.

Nas tarefas 7, 8 e 9, relativas à Física, notamos evolução na questão

referente à grandeza vetorial. No pré-experimento, a aluna relatou que era uma

grandeza que não tem unidade. No pós-experimento, ela apresentou a seguinte

descrição, exibida na Figura 44.

FIGURA 44 – Definição de Grandeza Vetorial. (Aluna „B‟).

Fazendo uma análise global da produção desta aluna, pudemos notar uma

evolução em relação à representação geométrica de u

+ v

, quando u

e v

tinham

direções diferentes, na análise da direção neste caso particular, e na análise do

sentido do vetor obtido pela multiplicação de um vetor por um número real. Além

disso, houve evolução na definição de grandeza vetorial.

Apesar disso, notamos também na produção desta aluna B, confusão entre

módulo e coordenadas de um vetor.

169

6 CONCLUSÃO

Neste capítulo será apresentado um resumo das etapas deste trabalho e, em

seguida, será descrita uma análise das hipóteses desta pesquisa, evidenciando as

dificuldades e as evoluções apresentadas pelos estudantes durante a aplicação do

experimento. Também serão destacadas as contribuições do software neste

processo e as perspectivas para novas investigações.

6.1. SINTESE DAS ETAPAS DA PESQUISA

A motivação inicial para o desenvolvimento desta pesquisa se deu em função

das dificuldades encontradas no meu trabalho como docente no ensino superior.

Leciono a disciplina de Física para alunos do primeiro ano do curso de Licenciatura

em Química e pude observar dificuldades especificamente no estudo de vetores.

Dado que este conteúdo é comum às disciplinas de Geometria Analítica e Física dos

cursos superiores de exatas, pude observar, nas leituras iniciais sobre trabalhos que

tratavam desta temática, que vários autores, dentre eles Pavlopoulou (1993), Castro

(2000) e Cândido (2010), constataram problemas, por parte dos estudantes, em lidar

com vetores, principalmente em situações de exploração de relações entre os

registros algébrico e gráfico.

No ensino de Física, destacam-se os estudos de Campos (2000), Martini

(2006) e Souza (2010), que relacionaram as dificuldades dos estudantes dos anos

iniciais dos cursos de exatas, com aspectos da interdisciplinaridade entre a

Matemática e a Física.

Considerando o papel fundamental das ferramentas computacionais como

auxiliares na construção do conhecimento, também foram analisados trabalhos de

alguns autores, como Borba (2005), Elias (2009) e Noss (2009), que revelaram a

contribuição deste tipo de recurso para o processo de ensino e aprendizagem,

representando um fator motivador, que favorece contatos diferenciados com o objeto

matemático.

Desta forma, esta pesquisa objetivou elaborar, aplicar e analisar um

experimento de ensino sobre as operações de adição de vetores e multiplicação de

um vetor por escalar real, desenvolvido nos ambientes papel e lápis e Cabri-

170

Géomètre. Procurou-se explorar as relações entre os registros gráfico, algébrico e

da língua natural e estabelecer a interdisciplinaridade entre a Geometria Analítica e

a Física.

6.2. ANÁLISE DAS HIPÓTESES DO ESTUDO.

Serão verificadas, a seguir, se as hipóteses inicialmente previstas foram

confirmadas, conforme o desenvolvimento do experimento e o envolvimento dos

sujeitos.

As atividades do experimento foram propostas no registro da língua natural

escrita e requeriam um trabalho de exploração, de manipulação, de levantamento e

validação de conjecturas, utilizando o recurso computacional Cabri - Géometre.

Após a realização de cada bloco de atividades no campo da Geometria

Analítica, foram propostas aos sujeitos, tarefas de Física envolvendo o mesmo

contexto, de forma a verificar se os estudantes estabeleceriam relações entre os

conhecimentos adquiridos na primeira disciplina e as situações de cinemática.

A seguir, serão retomadas as hipóteses desse estudo.

a) Primeira hipótese: a abordagem proposta favorecerá a análise das relações

entre representações de diferentes registros.

Foi observado que as alunas apresentaram evoluções nas relações entre as

representações gráfica e algébrica. Tal fato pôde ser identificado em diversas

situações. Por exemplo, em todos os casos de adição de vetores, elas constataram,

elaborando manipulações no registro gráfico, as conseqüências no registro algébrico

na representação de coordenadas. Isso também ocorreu na operação de

multiplicação de um vetor por um escalar real. Em alguns momentos do

experimento, as produções na língua natural escrita, provenientes de conversões

partindo do registro gráfico ou do registro algébrico, não foram satisfatórias e

freqüentemente não refletiam a real compreensão das alunas. Provavelmente tal

dificuldade seja decorrente da reduzida exploração dos registros multifuncionais

discursivos no ensino superior, conforme apontado por Duval (2003) e Karrer e

Barreiro (2009). Com isso, conclui-se que a primeira hipótese foi parcialmente

confirmada.

171

b) Segunda hipótese: a abordagem proposta favorecerá a construção

diferenciada do conceito, uma vez que a abordagem permitiu a exploração de

conversões pouco usuais, ao partir da exploração gráfica favorecida pelo ambiente

de geometria dinâmica.

O experimento foi construído de forma a envolver inicialmente situações

propostas no Cabri-Géomètre, que englobaram a análise exploratória das operações

com vetores. As alunas puderam construir o conhecimento, com pouca interferência

do professor-pesquisador, efetuando conversões que partiam do registro gráfico.

Salienta-se que este tipo de exploração não é usual no ensino, conforme apontado

por Karrer e Barreiro (2009). Ainda, procurou-se relacionar cada situação proposta

com tarefas da Física, permitindo assim um trabalho interdisciplinar. Tal fato

propiciou um contato diferenciado com o objeto matemático e o aspecto dinâmico do

software favoreceu a construção independente dos conceitos. Por exemplo,

podemos destacar os seguintes episódios que ilustram estas afirmações.

Principalmente nas atividades 1 e 2, o uso da ferramenta computacional trouxe uma

abordagem dinâmica que favoreceu a observação das conseqüências provocadas

pela manipulação no registro gráfico. Estas atividades contribuíram para integrar o

estudo do conceito e a criação do conhecimento de forma independente, sem a

interferência do professor-pesquisador. Desta forma, as alunas puderam

estabelecer, de forma independente, situações novas a partir dos dados iniciais,

criando alternativas diferenciadas e novas conjecturas. As tarefas de Física,

presentes no final de cada atividade, trouxeram significado às operações,

contribuindo para a integração das disciplinas. Com isso, concluímos que esta

hipótese foi parcialmente confirmada, uma vez que ainda detectamos algumas

dificuldades não superadas. Dentre elas, destacamos a confusão entre vetor e

representante, a confusão entre módulo e coordenadas, obstáculos com a lei dos

cossenos e o fato de os estudantes se restringirem ao primeiro quadrante. Tal fato

aponta para a necessidade de um redesign de algumas atividades do experimento,

com o intuito de minimizar essas dificuldades.

172

c) Terceira hipótese: a abordagem permitirá a independência dos sujeitos para a

construção dos conceitos, favorecida pelo recurso computacional adotado.

Considerando que os sujeitos não tinham qualquer experiência anterior com o

uso de algum software dinâmico e que todo o experimento foi desenvolvido em

apenas cinco encontros, pôde-se verificar uma grande evolução na utilização do

recurso computacional. Inicialmente as alunas solicitavam a presença do professor-

pesquisador com mais freqüência para confirmar se o exercício estava correto,

porém, no decorrer do experimento, essa dependência foi sendo reduzida,

provavelmente pela característica dinâmica do software. Tal fato também foi

constatado nos estudos de Candido (2010) e Lemke (2011). Apesar disso, em

algumas situações, houve bloqueios que geraram a necessidade de interferência do

professor-pesquisador, principalmente no esclarecimento das opções da ferramenta

e na retomada da leitura dos enunciados das atividades. Por exemplo, na tarefa da

atividade 4, embora não houvesse dúvida para obter o resultado através de cálculo

sem o software, as alunas apresentaram dificuldades para a construção da

multiplicação do vetor v

por 2 neste ambiente. O professor-pesquisador, notando a

dificuldade das alunas, solicitou que retomassem a atividade de familiarização, com

o intuito de relembrar o uso do comando de homotetia dessa ferramenta. Na

atividade 5 de Física, que envolvia a lei dos cossenos, a tarefa foi solicitada sem o

uso do software, para verificar se as estudantes haviam apreendido os

conhecimentos das atividades anteriores. O resultado não foi corretamente

desenvolvido, necessitando da interferência do professor-pesquisador, o qual

solicitou que as estudantes consultassem os conceitos básicos de trigonometria. As

alunas aplicaram a lei dos cossenos e obtiveram o resultado corretamente e, desta

forma, o professor-pesquisador solicitou que usassem o recurso computacional para

confirmar os dados obtidos. Desta forma, o software assumiu tanto o papel de

facilitador da construção do conhecimento como de elemento de validação dos

resultados. Excluindo estas interferências pontuais, as alunas não tiveram grandes

dificuldades na manipulação do recurso e na realização das tarefas. Tal fato indica

que, se esta situação se tornasse uma rotina, ou seja, se o uso do recurso

computacional passasse a ser regular, conforme sugerido por Borba (2005) e Elias

(2009), a questão da autonomia provavelmente iria aumentar.

Desta forma, considera-se que a hipótese 3 foi parcialmente confirmada.

173

d) Quarta hipótese: a abordagem favorecerá a construção significativa destes

conceitos, tendo em vista a integração de situações da Física.

Nas tarefas de Física presentes ao final de cada atividade, as alunas puderam

relacionar os conhecimentos de vetores com situações aplicadas, gerando uma

construção significativa destes conceitos. Nas atividades 1, 2 e 4 e na situação que

envolvia o teorema de Pitágoras da atividade 3, as alunas não apresentaram

dificuldades em estabelecer esta relação. Já na situação que envolvia a lei dos

cossenos da atividade 3 e na atividade 5, as alunas não tiveram o mesmo sucesso.

Notamos que dificuldades em conceitos matemáticos geraram problemas para

estabelecer essas relações com a Física, o que nos leva a concluir que haveria

necessidade de mais encontros e atividades para sedimentar os conhecimentos

matemáticos, antes de estes serem requisitados em uma aplicação da Física.

Ressaltamos que Campos (2000) e Martini (2006) também apontaram esse tipo de

dificuldade quando propuseram atividades que requeriam a relação entre conceitos

de Matemática e de Física. A despeito destas dificuldades, constatamos que essa

hipótese foi confirmada.

6.3. O DESEMPENHO DOS SUJEITOS DE PESQUISA.

As alunas demonstram grande motivação e compromisso durante o processo.

Elas participaram ativamente das atividades e, particularmente em relação ao

recurso computacional, demonstraram muito interesse, inclusive em aprender

comandos que não seriam necessários para este experimento. As dificuldades em

algumas situações foram amenizadas com o auxílio do professor-pesquisador e do

recurso computacional e, em nenhum momento, impediram a continuidade dos

trabalhos. Ressalta-se que os professores de Física e de Cálculo Diferencial dessas

alunas relataram que a participação das mesmas neste experimento trouxe ganhos

em suas disciplinas.

6.4. O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL NO EXPERIMENTO.

O Cabri-Géomètre possibilitou aos participantes a motivação para o trabalho

com situações de exploração dos seus recursos, proporcionando novas maneiras de

174

explorar, visualizar e analisar as questões propostas. Esse recurso computacional

permitiu explorações não usuais, tais como a análise dinâmica das relações entre os

registros, a visualização das mudanças dos dados e a possibilidade de analisar

conjecturas.

A importância do uso desse software confirmou o trabalho de Noss (2009),

quando este afirma que um software de geometria dinâmica constitui uma

importante ferramenta de exploração dos conceitos de uma forma interativa e

dinâmica. As observações de Elias (2009) apontam que um software não deve

apenas substituir um recurso tradicional como a lousa e o giz, mas provocar nos

professores uma nova forma de atuação, o que pode contribuir numa mudança da

metodologia e no projeto pedagógico. Salienta-se que o professor-pesquisador

desse experimento teve que adotar uma postura diferenciada, assumindo o papel de

orientador do processo e não de transmissor do conhecimento.

6.5. A ANÁLISE DA QUESTÃO DE PESQUISA.

Retomaremos, neste momento, a questão de pesquisa do presente trabalho:

Em que aspectos uma abordagem que integra os diversos registros, aliada à

utilização de um software de geometria dinâmica e à exploração de situações da

Física, influencia na construção dos conceitos de adição de vetores e multiplicação

de um vetor por um escalar real?

Partindo da análise apresentada na seção anterior, pudemos constatar que a

abordagem proposta neste estudo influenciou positivamente:

-no trabalho integrado com diversos registros, que permitiu que o estudante

observasse e entendesse as relações entre eles;

-no levantamento de conjecturas e na validação experimental de hipóteses.

Neste caso, o software representou um ambiente propício para investigações que

não seriam possíveis no ambiente papel e lápis, graças ao aspecto dinâmico desse

recurso. Ele também favoreceu um trabalho mais independente das estudantes;

-no estabelecimento de significado às operações de adição de vetores e

multiplicação de um vetor por um escalar real, sugerida pela junção de situações da

Geometria Analítica e Física que garantiram um trabalho interdisciplinar;

-no aspecto motivacional, uma vez que as alunas demonstraram entusiasmo

e certa independência durante o processo.

175

6.6. PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES.

Diante dos resultados obtidos, sugerem-se, como tema para novas

investigações, estudos interdisciplinares que englobem conceitos de Geometria

Analítica e suas relações com a Física. Este tipo de pesquisa no ensino superior

ainda é recente e pode provocar descobertas que contribuam para o melhor

entendimento dessas relações.

O presente estudo também abre perspectivas para pesquisas em outras

temáticas que integrem recursos de geometria dinâmica, uma vez que este tipo de

ferramenta representou um importante ambiente de exploração para a construção

dos conceitos. Tal fato requer uma nova forma de atuação dos professores, o que

também leva à necessidade de investigações a respeito do papel do docente no

trabalho com este tipo de ambiente.

176

REFERÊNCIAS

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180

ANEXOS

ANEXO 1. TERMO DE CONSENTIMENTO.

182

ANEXO 2. ATIVIDADES DE PRÉ-EXPERIMENTO E PÓS-EXPERIMENTO.

ATIVIDADES DE PRÉ E PÓS EXPERIMENTO Nome :______________________________________ Data___/___/___ Instruções. Na execução das atividades pré experimento, o professor pesquisador, não poderá auxiliá-lo na resolução das questões propostas ou dúvidas sobre qualquer atividade. Você deve responder às questões individualmente, sem se preocupar em acertar ou errar, apenas se basear nos seus conhecimentos adquiridos em estudos anteriores. O tempo para responder todas as questões é de vinte minutos, mas não tem nenhuma justificativa classificatória, pontuação ou nota, apenas serve para determinar um prazo razoável para finalizar as atividades. Se ao final do tempo você não conseguir terminar alguma questão, não se preocupe, apenas justifique que terminou o prazo de entrega.

2. Escreva o que você entende por vetor.

__________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cite algumas situações da Física nas quais os vetores são aplicados.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________


e v

, determine um representante figural geométrico de u

+ v

:

Se dois vetores u

e v


a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?


e v


+ v

para

cada caso:

a)

b)

183

Se dois vetores u

e v


a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?


e v


+ v

:

Se dois vetores u

e v


a direção de u

+ v

?

o sentido de u

+ v

?

o módulo de u

+ v

?

6. Apresenta-se a seguir um representante do vetor u

:

u

u


e) 2 u

f) -2 u

Dado um vetor u

, ao multiplicá-lo por um número real “m” diferente de zero, o que ocorre com:

184

a direção de m u

?

o sentido de m u

?

o módulo de m u

?

E se “m” fosse igual a zero, o que daria m. u

?

____________________________________________________________________________________

7. O que é uma grandeza escalar? Dê um exemplo. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8. O que é uma grandeza vetorial? Dê um exemplo. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9. Escreva resumidamente as três leis de Newton: 1º__________________________________________________________________________ 2º _________________________________________________________________________ 3º _________________________________________________________________________

185

ANEXO 3. ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO COM O SOFTWARE.

FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:____________________________________________________ Aluno 2:____________________________________________________ Introdução O Cabri é um software destinado aos alunos do ensino fundamental, médio e superior para o ensino e aprendizagem da matemática, especificamente da geometria. Foi desenvolvido a partir do final dos anos 80 por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain no Instituto de Informática e Matemática Aplicada de Grenoble, no laboratório de pesquisa da “Universidade Joseph Fourier” em Grenoble, França. Após disponibilizar o Cabri no computador e abrir a sua tela inicial, seguem algumas instruções para a sua manipulação básica. Sendo o Cabri um software muito amigável, ele dispensa sofisticado nível de detalhamento. A curiosidade do usuário será prontamente satisfeita a cada desafio da sua imaginação. Nas instruções básicas, para facilitar a identificação dos comandos, primeiro nos referimos ao ícone e depois a lista de comandos. A referência aos onze ícones exibidos na linha de ferramentas, será da esquerda para a direita, do primeiro ao décimo primeiro ícone. Veja a figura 01. Figura 01.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º

Tela Inicial do Software Cabri.

Instruções Básicas. 1. Construindo um vetor. Para a construção de um vetor, acesse o terceiro ícone, e clique na opção Vetor, conforme a figura 02. Figura 02.

186

Vai aparecer na tela um toco de um lápis. Clique na tela no local desejado para, a partir de um ponto, criar o seu vetor. Veja a figura 03. Figura 03.

2. Construindo um vetor sobre um sistema de coordenadas S=(O, x, y). Para a construção de coordenadas, acesse o último ícone. Veja a figura 04. Figura 04.

Clique na opção Mostrar eixos, e aparecerão os eixos x e y, centralizados na tela, com os valores unitários positivos da primeira unidade, conforme a figura 05. Figura 05.

187

Para facilitar a visualização das coordenadas, usaremos a grade sobre o plano de fundo. No mesmo ícone anterior, clique em Definir grade, conforme mostramos nas figuras 06 e 07. Figura 06.

Figura 07.

3. Determinando as coordenadas e o seu módulo. Para que o Cabri determine as coordenadas x, y das extremidades do vetor, basta acessar o nono ícone e clicar na opção Equação ou coordenadas. Veja a figura 08. Figura 08.

188

As extremidades do vetor são identificadas pelos seus respectivos pontos. Nas proximidades de cada ponto das extremidades, clique para aparecerem as coordenadas. Veja a figura 09. Figura 09.

Para que o Cabri determine o módulo do vetor, neste caso o seu comprimento (em centímetros), basta acessar no mesmo ícone anterior e clicar na opção Distância ou comprimento. Veja nas figuras, 10 e 11. Figura 10.

Figura 11.

189

4. Nomeando, mudando de cor e a espessura do vetor. Para identificar os vetores em cada atividade, vamos usar uma „etiqueta‟. Neste caso basta acessar o décimo ícone e clicar na opção Etiqueta. Veja a figura 12. Figura 12.

Após escolher a opção aproxime a seta do vetor e escolha em qual dos itens deseja usar a etiqueta, neste caso a escolha será no vetor. Dê um clique na tela. Vai aparecer uma caixa, onde você deve escrever uma letra. Veja a seqüência nas figuras 13 e 14. Figura 13.

Figura 14.

190

Após escrever a letra, você pode ajustar o local onde ela tenha melhor visualização. Para isto clique no primeiro ícone. Volte à etiqueta e faça o ajuste desejado. Veja a figura 15. Figura 15.

Para facilitar a visualização e destaque dos vetores, usamos a variação de cor e espessura. Para isso, acesse o último ícone, clique na opção Cor e faça a sua escolha. Veja as figuras 16 e 17. Figura 16.

Figura 17.

191

Para mudar a espessura do vetor, no mesmo ícone, clique na opção Espessura e faça a sua escolha. Veja as figuras 18 e 19. Figura 18.

Figura 19.

5. Efetuando a adição de vetores. O Cabri já tem estruturado esta opção, basta indicar quais vetores devem ser adicionados, dois a dois, e indicar qual o ponto de referência. Antes de iniciar a adição, desenhe a extremidade de um vetor (v) no início do outro (u). Depois, acesse o quinto ícone e clique na opção Soma de dois vetores. Veja a figura 20. Figura 20.

192

Indique os vetores a serem adicionados e o ponto para efetuar a adição. Veja figura 21. Figura 21.

Depois você pode fazer os ajustes para destacar o vetor resultante, mudando a espessura e a cor. Veja a figura 22. Figura 22.

6. Efetuando a multiplicação de um vetor por um número real (escalar). O Cabri não tem uma estrutura para a multiplicação como no caso da adição, mas, possui uma forma de atribuir a multiplicação usando o conceito de homotetia, que se trata de uma operação de ampliação ou redução do comprimento de um segmento de reta ou o tamanho de uma figura. Usando este conceito, a partir de um vetor dado, usamos um número real para aumentar ou diminuir o seu comprimento, da mesma forma que estaríamos multiplicando o vetor. Após criar um vetor, para efetuar a sua multiplicação ou divisão, acesse o décimo ícone e clique na opção Número, para determinar o numero real que deseja usar para esta operação. Veja a seqüência das figuras 23 e 24. Figura 23.

193

Figura 24.

Em seguida, acesse o sexto ícone e clique em Homotetia. Veja a figura 25. Figura 25.

Depois, indique o vetor, o valor a ser usado e o ponto de referência para efetuar a operação. Veja nas figuras 26, 27, 28 e 29. Figura 26.

194

Figura 27.

Figura 28.

Figura 29.

Para evidenciar o vetor resultante, use os recursos de aumentar a espessura ou a mudança de

195

cor e para evidenciar a operação de multiplicação, podemos indicar os comprimentos dos vetores. Veja a figura 30. Figura 30.

7. Criando figuras geométricas. O Cabri tem formas já estabelecidas de criação de figuras geométricas, basta acessar os ícones e usar as opções desejadas. Veja alguns casos. Triângulo - Acesse o terceiro ícone, clique na opção Triângulo. Depois desenhe o triângulo conforme deseja. Você pode usar o fundo com a grade para melhor precisar as dimensões da figura. Veja figura 31 e 32. Figura 31.

Figura 32.

Polígono - Acesse o terceiro ícone, clique na opção Polígono. Da mesma forma que o triângulo, desenhe o polígono conforme deseja. Basta ir clicando tantas vezes quiser para formar a figura. Veja figura 33 e 34. Figura 33.

196

Figura 34.

Circunferência - Acesse o quarto ícone, clique na opção Circunferência. Escolha o ponto para o centro da circunferência e dimensione o tamanho conforme desejar. Veja as figuras 35 e 36. Figura 35.

Figura 36.

197

ANEXO 4. ATIVIDADE DE CONCEITOS BÁSICOS DAS GRANDEZAS FÍSICAS E DE VETOR.

REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS DAS GRANDEZAS FÍSICAS E DE VETOR. Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:_____________________________________________ Aluno 2:_____________________________________________

Introdução

Antes de iniciarmos nossas atividades com o software, precisamos recordar alguns conceitos de Física e de vetores. Seguem alguns conceitos básicos.

Grandezas Físicas

Podemos definir grandeza, como sendo o processo que envolve uma medida usando uma determinada unidade, ou algo suscetível de ser comparado e medido. Vamos diferenciar dois tipos de grandezas a escalar e a vetorial.

A grandeza escalar fica perfeitamente caracterizada pelo valor numérico e pela unidade de medida.

Por exemplo, o comprimento. É o bastante dizer 1cm, para termos a total compreensão da quantidade de vezes (neste caso um) que aquela unidade (neste caso centímetro) está sendo usada, para dimensionar o comprimento de alguma coisa. Da mesma forma, temos a referência da temperatura na escala, Celsius (C°), massa em quilograma (kg), ou grama (g), o tempo em hora (h), ou segundo (s), são exemplos de grandezas escalares.

A grandeza vetorial, necessita, para ser perfeitamente caracterizada, das idéias de valor numérico, direção, sentido e de uma unidade de medida.

Exemplo de grandeza vetorial is que usaremos nas atividades - velocidade e Força. Supondo que desejamos fazer a localização de um avião num determinado instante, durante a sua viagem entre duas cidades. Se somos informados que o avião está com velocidade de 100km (módulo) da cidade destino, não é o suficiente para sua localização no mapa. Precisamos de mais duas informações, a sua direção e sentido.

A Velocidade Escalar e a Velocidade Vetorial

O conceito de velocidade aparece diariamente em nosso cotidiano, quando usamos um meio de transporte qualquer (automóvel, ônibus, metrô), que tenha um velocímetro relacionando às unidades quilometro (distância) por hora (tempo). Essa relação (km/h) é a medida escalar da velocidade; mas, durante o percurso, o veículo em movimento, muda constantemente a sua direção e sentido, neste caso, a velocidade deste corpo em movimento, adquire características vetoriais.

As Leis de Newton e o conceito de Força

Destacamos a seguir as três leis do movimento, mais conhecidas como as leis de Newton, que por ele foram enunciadas.

O Princípio da Inércia pode ser comprovado, pela observação dos corpos que permanecem no seu estado inicial de repouso ou depois de iniciado o seu movimento, tende a não parar mais de se movimentar. Por exemplo: no jogo de bilhar podemos verificar como a Primeira Lei de Newton acontece. As bolas permanecem em repouso até serem impulsionadas pela batida do taco. Se não houvesse o atrito da bola com a superfície do feltro que cobre a mesa de bilhar, ela ficaria rolando sem parar.

198

O Princípio da Inércia ou a primeira lei de Newton, pode ser enunciada da seguinte forma: “Todo corpo em repouso tende a continuar em repouso, e todo corpo em movimento, tende a continuar em movimento retilíneo e uniforme.”

Após descobrir a relação da aceleração da gravidade com a massa do corpo, Newton equacionou esta relação com a força que é exercida sobre os corpos para que tenha coerência com a primeira lei. Ele então enunciou a sua segunda lei, que pode ser enunciada da seguinte forma:“A resultante das forças que agem sobre um corpo é igual ao produto da massa pela aceleração adquirida” . A representação algébrica da segunda lei é : F = m.a, onde F é a força resultante e tem sua unidade de medida em (N) Newton, m é a massa (kg) e a a aceleração da gravidade do planeta em (m/s²).

A terceira lei de Newton está relacionada com a ação e reação entre os corpos e foi enunciada da seguinte forma: “Se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este exerce sobre o corpo A uma força de mesma intensidade e direção, mas de sentido contrário”

Outra forma de exprimir esta mesma lei é por este enunciado resumido: “A toda ação corresponde uma reação”

Vetores

Segmento orientado

Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos, sendo A a origem e B

a extremidade do segmento orientado. Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D)

têm o mesmo comprimento se os segmentos figural geométricos AB e CD têm o mesmo

comprimento. Se (A,B) e (C,D) não são nulos, dizemos que (A,B) e (C,D) têm a mesma

direção se AB // CD. Se (A,B) e (C,D) têm a mesma direção, eles podem ter o mesmo

sentido ou sentidos contrários. Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se

um dos casos seguintes ocorrer: ambos são nulos ou nenhum é nulo e ambos têm o

mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.

A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD. Propriedades da equipolência: I) AB ~ AB (reflexiva). II) Se AB ~ CD, então CD ~ AB (simétrica). III) Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF (transitiva). IV) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

Vetor

Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se (A,B) é um

segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo representante é (A,B))

será indicado por AB . Usam-se também letras latinas minúsculas encimadas por uma seta

( u , v ,...), não se fazendo desse modo referência ao representante. Logo, o vetor tem por

199

representante um segmento de reta orientado, tendo as seguintes características: módulo,

direção e sentido.

Já abordamos os dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. Vamos nos

aprofundar na utilização das grandezas vetoriais no estudo da Física. As características de

um vetor são módulo, direção e sentido. Quando estudamos o módulo do vetor Velocidade

ou do vetor Força, usualmente utilizamos as unidades (m/s ou km/h) e (N),

respectivamente.

Vejamos a seguir, alguns tipos de vetores.

Vetor nulo: é o vetor cujo representante é um segmento orientado nulo, indicado

por 0 .

Vetor unitário: é o vetor que tem módulo 1.

Vetores opostos: o vetor - v = BA é chamado oposto do vetor v = AB , se AB e

BA só diferem no sentido (se A≠B), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma

direção, mesmo comprimento e sentidos contrários.

v

- v

Vetores paralelos: os vetores u e v não nulos são paralelos se um representante

de u é paralelo a um representante de v (e portanto a todos).

v

u

Vetores iguais: Se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são eqüipolentes, então

os vetores AB e CD são iguais.

AB

CD

Fonte: BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 2ª ed. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987, e STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. McGraw-Hill, São Paulo, 1987 (2. ed).YAMAMOTO, K. et al. Os alicerces da Física 1 – Mecânica. São Paulo. Editora Saraiva, 1993. ANEXO 5. ATIVIDADES 1 e 2.

200

ATIVIDADES 1 e 2 DO EXPERIMENTO

Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:_____________________________________________________ Aluno 2:_____________________________________________________

Introdução

Iniciaremos nossas atividades com o auxilio de um software de geometria dinâmica destinado

aos alunos dos ensinos fundamental, médio e superior para a aprendizagem de Matemática,

chamado Cabri.

A versão Cabri-Géomètre II foi elaborada de forma a permitir ao usuário a criação de figuras

geométricas, de transformações geométricas, dentre outras explorações no plano. Usando as opções

listadas nos ícones e o mouse, associa as necessidades de criação com os conceitos matemáticos.

Nesta oportunidade estaremos usando a versão desenvolvida em duas dimensões (2D) existe uma

outra versão com três dimensões 3D.

Sendo o Cabri um software muito amigável, ele dispensa sofisticado nível de detalhamento. A

curiosidade do usuário será prontamente satisfeita a cada desafio da sua imaginação.

ATIVIDADE 1

Tarefa a) Abra o arquivo 1 do Cabri. Nele, você encontrará dois vetores u

e v


mesmo sentido, em relação ao sistema de coordenadas cartesianas S=(O,x,y), onde O é o ponto

origem da intersecção dos dois eixos, x (das abscissas) e y (das ordenadas). Determine a adição

desses vetores e nomeie-a por u

+ v

. Veja Figura 1.

FIGU

RA 1 – Exemplo 1.


, v

e u

+ v


Tarefa c) Faça mudanças no comprimento dos vetores. Aumente e diminua o comprimento a partir

das extremidades dos vetores, mantendo a mesma direção e o mesmo sentido. A cada mudança,

anote os novos valores das coordenadas de u

, v

e u

+ v

na tabela 1.

TABELA 01

u

v

u

+ v

1

2

3

201

4

5


, v

e u

+ v

?

_______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________Tarefa d)

Determine os módulos (comprimento) de u

, v

e u

+ v

. Anote os dados respectivos na linha 1 da

tabela 2.

Tarefa e) Faça mudanças nas extremidades dos vetores. Aumente e diminua o comprimento a

partir das extremidades dos vetores, mantendo a mesma direção e o mesmo sentido. A cada


, v

e u

+v

na tabela 2.

TABELA 02

I u

I I v

I I u

+v

I

1

2

3

4

5


_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

________________________________________________________________


_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

________________________________________________________________


=(a,b) e v


S=(O, x, y), têm a mesma direção e o mesmo sentido, o que podemos concluir a respeito de

u

+ v


TABELA 03

1 Direção de u

+ v

2 Sentido de u

+ v

3 Módulo de u

+ v

4 Coordenadas de u

+ v


ATIVIDADE 2

202

Tarefa a) Abra o arquivo 2 do Cabri. Nele são dados dois vetores u

e v


sentidos opostos, em relação ao sistema de coordenadas cartesianas S=(O,x,y), onde O é o ponto

origem da intersecção dos dois eixos, x (das abscissas) e y (das ordenadas). Determine a adição

desses vetores e nomeie-a por u

+ v

. Veja Figura 2.



, v

e u

+ v

, anote os dados respectivos na linha 1 da

tabela 4. Altere as extremidades dos vetores mantendo os sentidos opostos de u

e v

e preencha

a tabela 4 com esses dados.

TABELA 04

u

v

u

+v

1

2

3

4

5


, v

e u

+ v

?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________


, v

e u

+ v

, anote os dados respectivos na linha 1 da tabela

5. Altere as extremidades dos vetores mantendo os sentidos opostos de „ u

‟ e „ v

‟, preencha a

tabela 5:

TABELA 05

I u

I I v

I I u

+v

I

1

2

3

4

5


_______________________________________________________________________________

203

_______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________


_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________


=(a,b) e v


S=(O, x,y), têm a mesma direção e sentidos opostos, o que podemos concluir a respeito de

u

+ v


TABELA 06

1 Direção de u

+ v

2 Sentido de u

+ v

3 Módulo de u

+ v

4 Coordenadas de

u

+ v

Tarefa f) Quando u

+ v


+ v

= (0,0)?


ANEXO 6. ATIVIDADE 1 e 2 DE FÍSICA.

204

ATIVIDADES 1 E 2 DE FÍSICA

Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:_____________________________________________________ Aluno 2:_____________________________________________________


5) Duas forças 1F

= 3N e 2F

= 5N são aplicadas em um corpo que está parado

numa superfície horizontal. As forças têm o mesmo sentido e direção. Veja figura

01.

c) Represente a situação do problema, usando o software. (Use a origem dos eixos como referência à posição do corpo).

d) Determine a força resultante.

1F

2F

FIGURA 01 – Forças aplicadas com mesma direção e sentidos. ATIVIDADE 2 DE FÍSICA.

1) Duas forças, 1F


= 6N (sentido para a

esquerda), são aplicadas ao mesmo tempo sobre um bloco de madeira de massa

igual a 2kg. Veja figura 02. Sabendo que o bloco está sobre uma superfície

horizontal sem atrito, faça os itens a seguir:

a) Desenhe as forças aplicadas no bloco, usando o software.

(Use a origem dos eixos como referência a posição do bloco).



2F

1F

.

FIGURA 02 – Forças aplicadas com mesma direção e sentidos opostos.

ANEXO 7. ATIVIDADE DE REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA.

205

ATIVIDADES DE REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRIA Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:_____________________________________________________ Aluno 2:_____________________________________________________

Vamos verificar a situação nos triângulos retângulos.

Na tabela abaixo apresentamos as definições do triângulo retângulo que será usado

para a revisão.

Letra Lado Triângulo Retângulo Vértice = Ângulo Medida

a Hipotenusa

A = Ângulo reto A=90°

b Cateto

B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Temos:

A partir daqui iniciaremos o nosso estudo da trigonometria.

Em geral, para um ângulo agudo α de um triângulo retângulo temos a seguinte

situação:

Seno de α, representado por sen α:

sen α = cateto oposto a α

hipotenusa

Exemplo: Calcule o sen α, sabendo que o cateto BA (adjacente) vale 4 e o cateto

B + C = 90°; a² = b² + c²

206

CA (oposto) vale 3.

1º) Vamos usar o teorema de Pitágoras h² = b² + c² para calcular o valor da

hipotenusa. h = ²² baca , h = ²4²3 ; h = 25 ; h=5

2º) sen α = 3/5 ; sen α = 0,60

Cosseno de α, representado por cos α:

cos α= cateto adjacente a α

hipotenusa

Exemplo: Calcule o cos α, sabendo que o cateto BA (adjacente) vale 4 e o cateto

CA (oposto) vale 3.

1º) No item anterior, já calculamos a medida da hipotenusa, obtendo h = 5.

2º) cos α = 4/5 ; cos α = 0,80

Tangente de α, representado por tg α:

tg α =

cateto oposto a α

cateto adjacente a α

Exemplo: Calcule a tg α, sabendo que o cateto BA (adjacente) vale 4 e o cateto CA

(oposto) vale 3.

tg α = 3/4 ; tg α = 0,75

207

Vamos verificar a situação nos triângulos quaisquer.

Classificação quanto aos ângulos.

Ao iniciar o estudo das relações trigonométricas que permitem resolver um triângulo

qualquer, vamos recordar a classificação dos triângulos quanto aos ângulos:

1º) triângulos retângulos: são os que têm um ângulo reto (=90°).

2º) triângulos acutângulos: são os que têm todos os ângulos agudos (<90°).

3º) triângulos obtusângulos: são os que têm um ângulo obtuso (>90°).

Lei dos senos.

“Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos

ângulos opostos.”

Se os lados de um triângulo qualquer tiverem comprimentos a, b e c e se α for o

ângulo entre os lados b e c, β entre os lados c e a, γ entre os lados a e b então vale a

relação:

sen

a =

sen

b =

sen

c

208

Lei dos cossenos.

“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos

quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas

destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.”

Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b e c e se α for o ângulo entre

os lados b e c, β entre os lados c e a, γ entre os lados a e b então valem as relações:

Bibliografia.

IEZZI, G. [et al], Matemática: 1º série, 2º grau – 10 ed. São Paulo, Atual, 1990. p.169-174,

270-274.

a² = b² + c² - 2 bc . cos α b² = a² + c² - 2 ac . cos β c² = a² + b² - 2 ab . cos γ

209

ANEXO 8. ATIVIDADES 3, 4 e 5.

ATIVIDADES 3, 4 e 5 DO EXPERIMENTO

Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:_______________________________________________________ Aluno 2:_______________________________________________________ ATIVIDADE 3 Tarefa a) No Cabri, crie o sistema de coordenadas S=(O,x,y). Em seguida, construa uma grade de

pontos na tela de forma a facilitar a visualização e a construção de dois vetores u

e v

com origem

em O e com direções diferentes, conforme sugere a Figura 1.



+ v

. O que você observa nesta situação de adição em relação às

situações anteriores, efetuadas nas atividades 1 e 2?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________


, v

e u

+ v


ou do

vetor v

(com u

e v


TABELA 01

u

v

u

+v

1

2

3

4

5

210


, v

e u

+ v

?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________


, v

e u

+ v

e preenche a linha 1 da tabela 8. Em seguida,

altere a extremidade do vetor u

ou do v

(com u

e v

tendo direções diferentes) e preencha a tabela

2.

TABELA 02

I u

I I v

I I u

+v

I

1

2

3

4

5

A relação obtida nas atividades anteriores 1 e 2, é verdadeira para esta situação na atividade 3?

Justifique.

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________

Tarefa e) Podemos observar que se os vetores u

e v

têm direções diferentes, a adição dos

módulos de u

e v

não é obtida conforme observado nas atividades anteriores. Vamos estudar duas

situações:

1a) Abra o arquivo 4 no software Cabri (figura 1). Observe que o ângulo formado pelos vetores u

e v

é de 90o.



, v

e u

+ v

e preencha a linha1 da tabela 3. Em seguida, mexa na


ou do v


, v

e u

+v

na

tabela 3.

211

TABELA 03

I u

I I v

I I u

+v

I

1

2

3

4

5


+ v


e v

com direções

diferentes quando o ângulo entre eles é de 90o?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

________________________________________________________

2o) Abra o arquivo 5 no software Cabri (Figura 2). Observe que o ângulo formado pelos vetores u

e

v

não é de 90o.



, v

e u

+ v


extremidade do veto u

ou do v


TABELA 04

I u

I I v

I I u

+v

I

1

2

3

4

5


+ v


vetores era de 90°? Justifique.

212

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________


+ v


e v

com direções

diferentes?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________

Verifique suas conclusões para os valores obtidos na tabela 04.

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________

ATIVIDADE 4

Tarefa a) Crie com o software Cabri, o sistema de coordenadas cartesianas S=(O, x, y) e um vetor v

com origem na origem deste sistema. Em edição numérica, crie m= 2. Vamos fazer a multiplicação do

vetor por este número. Para isso, selecionar “homotetia”, clicar no vetor e em seguida no número.

Você obterá a imagem geométrica de 2. v

. Veja sugestão na figura 3.




. O que você

observa?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________Tarefa c) Altere o valor

numérico (selecione números positivos, negativos e o zero). Preencha a tabela 05, com alguns dados

obtidos.

213

TABELA 05

Coordenadas de u

Coordenadas de m. u

1

2

3

4


_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________


_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________Sendo v

=(a,b) um vetor

dado em relação ao sistema de coordenadas S=(O, x,y), o que ocorre quando multiplicamos v

por

um número real “m” qualquer”? Preencha a tabela 06, com os dados obtidos.

TABELA 06

1 Direção de m v

2 Sentido de m v

3 Módulo de m v


ATIVIDADE 5


qualquer com origem fora

da origem do sistema. Use o recurso da grade de pontos na tela de forma a facilitar a visualização.

Veja sugestão na figura 4.

214



nos eixos x e y. Para isso, trace paralelas

aos eixos x e y, nos pontos de origem e extremidade do vetor. Veja sugestão na figura 5.



, considerando

o representante desse vetor no primeiro quadrante. Movimente a extremidade desse vetor e anote as

coordenadas de sua origem e de sua extremidade. Anote, também, os módulos dos vetores

referentes às projeções na tabela 07.

TABELA 07


do vetor u

Coordenada da

Extremidade do vetor u


ortogonal do

vetor u

no eixo

x


ortogonal do

vetor u

no eixo

y

1

2

3

4

5

Que relação existe entre as coordenadas do vetor u

e a os módulos de sua projeção nos eixos x e

y?

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________

215


faz com o eixo x (ou que faz com a reta paralela ao eixo

x que passa pela origem do vetor u

em cada caso da tabela 07. Anote o valor do ângulo e o seu

respectivo módulo na linha 1 da tabela 08. Em seguida, movimente o vetor e preencha os dados da

tabela 08. Veja sugestão na figura 6.

ANEXO 9. ATIVIDADE 3, 4 e 5 DE FÍSICA.

ATIVIDADES 3, 4 e 5 DE FÍSICA

Dupla Nº ____ Data___/___/___ Aluno 1:___________________________________________________ Aluno 2:___________________________________________________ ATIVIDADE 3

Duas Forças atuam num corpo de massa 10 Kg, inicialmente parado. Sabendo que 1F

= 6N,

2F

= 8N e que entre estas duas Forças, tem um ângulo de 60°, determine:

a) O módulo, a direção e o sentido da Força resultante.

b) A aceleração do corpo.

60°

1F

60°

2F

ATIVIDADE 4 Três aeroportos A, B e C, estão como pontos numa mesma reta, na rota de viagem de um

avião. A velocidade máxima do avião é de 240 km/h. Despreze o tempo gasto das operações

do avião na decolagem, aterrissagem e deslocamento na pista. Sabendo que a distância entre

A e B é de 120 km e que de B até C é 2,5 vezes a distância de A e B. Determine:

c) O tempo total da viagem de A para C.

d) A intensidade da sua velocidade vetorial média do avião.

ATIVIDADE 5 Um vetor A com módulo de 17,00 m faz um ângulo de 56° no sentido anti-horário com o semi-

eixo x positivo. Figura 13. Determine os componentes Ax e Ay do vetor A.

216


Situação2. Dois vetores a e b, tendo módulos iguais a 10 unidades, são orientados como


g) Os componentes de r segundo os eixos Ox e Oy;

h) O módulo de r;

i) O ângulo que r forma com o eixo Ox.

FIGURA 14 – Situação 2. Situação3. Na adição de A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12,0m e forma um ângulo de

40° no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de

15,0m e forma um ângulo de 20° no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo.

Veja figura 15. Determine:

e) o módulo de B

f) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo

217


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