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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
VANDERLEI TOLEDO SEVERINO
EXPERIMENTO DE ENSINO DE COVARIAÇÃO NO CONTEXTO DO
HOMEM VITRUVIANO
SÃO PAULO 2011
VANDERLEI TOLEDO SEVERINO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
EXPERIMENTO DE ENSINO DE COVARIAÇÃO NO CONTEXTO DO
HOMEM VITRUVIANO
Dissertação apresentada à Banca Examinadora
da Universidade Bandeirante de São Paulo, como
exigência parcial para a obtenção do título de
MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a
orientação da professora doutora Verônica Yumi
Kataoka e co-orientação da Profa Dra Monica
Karrer.
SÃO PAULO
2011
Severino, Vanderlei Toledo. Experimento de Ensino de Covariação no Contexto do Homem Vitruviano / Vanderlei Toledo Severino.-- São Paulo: [s.n.], 2011.
143f. il. 30cm Dissertação de Mestrado – Universidade Bandeirantes de São Paulo – Educação Matemática.
Orientadora: Profª. Dra.Verônica Yumi Kataoka Co-Orientadora: Profª Dra. Monica Karrer
1. Covariação 2. Design Experiment 3. Processo de Translação 4. Letramento Estatístico 5. Homem Vitruviano I.Título
VANDERLEI TOLEDO SEVERINO
EXPERIMENTO DE ENSINO DE COVARIAÇÃO NO CONTEXTO DO
HOMEM VITRUVIANO
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE
DE SÃO PAULO COMO EXIGENCIA DO PROGRAMA DE PÓS-
GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientadora
Nome: Profª Drª Verônica Yumi Kataoka
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
Assinatura: ________________________________________________
2ª Examinador
Nome: Profª Drª Claudia Borim da Silva
Instituição: Universidade São Judas Tadeu - USJT
Assinatura: ________________________________________________
3ª Examinador
Nome: Profª Drª Monica Karrer
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN
Assinatura: ________________________________________________
Biblioteca
Bibliotecário: _______________________________________________
Assinatura:____________________________Data____/_____/_______
São Paulo, 31 de agosto de 2011
AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, por ter me abençoado e ajudado em mais esta
etapa da minha vida. Depois à minha família, principalmente minha esposa e filhos,
que me suportaram em momentos de angústia, de fraqueza e finalmente de alegria.
Agradeço aos meus professores, por ter me propiciado muitas horas de alegria na
aquisição de novos conhecimentos, bem como suportado as minhas incansáveis
lamentações quando não foi possível alcançar os objetivos esperados, mas mesmo
assim sempre munidos com palavras animadoras que não me deixaram desistir.
A minha orientadora, Professora Verônica Yumi Kataoka, não tenho palavras para
expressar a minha imensa gratidão pela sua grande amizade, carinho e dedicação
do seu trabalho para que este meu momento se realizasse, também expresso todos
estes sentimos e palavras para a minha co-orientadora Professora Monica Karrer.
A todas as minhas amizades conquistadas durante este período que estivemos
juntos, os meus sinceros agradecimentos.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Climograma da cidade de Catalão 19
Figura 2 Desenho do Homem Vitruviano do Leonardo da Vinci 20
Figura 3 Processos de Translação proposto por Moritz (2004) 40
Figura 4 Desenho do Homem Vitruviano do Leonardo da Vinci 49
Figura 5 Pátio da escola para montar o dotplot humano 61
Figura 6 Icone e janela Console do software R 68
Figura 7 Importando dados do Excel 69
Figura 8 Visualização dos dados importados 69
Figura 9 Resumo das medidas para todas as variáveis 69
Figura 10 Menu gráficos para geração dos gráficos no pacote Rcmdr 70
Figura 11 Dotplot da variável atura 70
Figura 12 Tela de solicitação para o diagrama de dispersão para as variáveis peso e Altura
70
Figura 13 Climograma da cidade de Catalão 74
Figura 14 Coleta de Dados dos alunos da 3ª série A 80
Figura 15 Lista de dados coletados da turma da 3ª série A 81
Figura 16 Demonstração do espaço e escala utilizada para a construção do dotplot
humano: altura, envergadura e largura dos ombros 86
Figura 17 Resposta da atividade 5 da 6ª sessão da dupla D3 88
Figura 18 Gráfico construido pela dupla D2 89
Figura 19 Alunos da dupla D2 durante a atividade de familiarização no software R 100
Figura 20 Telas capturadas pelo software Camtasia da dupla D3 para a
determinação de algumas medidas estatísticas das variáveis 102
Figura 21 Telas capturadas pelo software Camtasia da dupla D3 para a geração do
dotplot da altura 102
Figura 22 Tela para a geração do diagrama de dispersão da largura dos ombros
pela altura no pacote Rcmdr, software R 103
Figura 23 Telas capturadas pelo software Camtasia da dupla D3 para as atividades
1 e 2 da 9ª sessão – Parte II 105
Figura 24 Diagramas de dispersão entre largura dos ombros e altura, e palmo da
mão e altura 106
Figura 25 Gráficos dos alunos para atividade Q1b com nível 3 de covariação adequada
109
Figura 26 Gráficos dos alunos para atividades Q1b e Q1c com nível 2 de covariação
inadequada de um aluno da dupla D2
110
Figura 27 Gráfico do aluno para atividade Q2c com nível 0 – covariação não
estatística
113
Figura 28 Resposta gráfica de dois alunos para atividade Q2c com nível 2 e nível 3 113
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Descrição dos níveis de letramento estatístico propostos por Watson e Callingham (2003)
33
Quadro 2 Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a geração de dados especulativos
44
Quadro 3 Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a interpretação gráfica numérica e verbal
45
Quadro 4 Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a geração de dados especulativos
107
Quadro 5 Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a interpretação gráfica numérica e verbal
111
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Valores: mínimo, máximo, amplitude total (AT), moda e mediana das variáveis altura, evergadura e largura dos ombros de 25 alunos do 3º ano do ensino médio
83
Tabela 2 Síntese das respostas das duplas para as atividades 1 a 3 das variáveis altura (A), envergadura (E), largura dos ombros (LO) em 3 sessões
91
Tabela 3 Níveis de habilidade do raciocínio de covariação dos 5 alunos na Atividade Final
116
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 14
1.1 ESCOLHA DO TEMA............................................................................... 16
1.2 OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA................................................ 21
2 ENSINO DE ESTATÍSTICA.................................................................... 24
2.1 ENSINO DE ESTATÍSTICA NA ESCOLA............................................... 24
2.2 ORIENTAÇÃO CURRICULARES........................................................... 26
2.2.1 Parâmetros Curriculares Nacional........................................................... 27
2.2.2 Currículo do Estado de São Paulo........................................................... 28
2.3 LETRAMENTO ESTATÍSTICO................................................................ 29
2.4 USO DE COMPUTADORES NO PROCESSO DE ENSINO E
APRENDIZAGEM.....................................................................................
34
3. COVARIAÇÃO......................................................................................... 38
3.1 RACIOCÍNIO DE COVARIAÇÃO............................................................ 38
3.2 ESTUDOS RELACIONADOS SOBRE COVARIAÇÃO............................ 43
3.3 HOMEM VITRUVIANO............................................................................ 49
4 MÈTODO................................................................................................. 51
4.1 PARTICIPANTES DO ESTUDO.............................................................. 51
4.2 INSTRUMENTOS.................................................................................... 53
4.3 PROCEDIMENTO DE COLETA E ANÁLISE DE DADOS...................... 53
5 EXPERIMENTO DE ENSINO.................................................................. 56
6 ANÁLISE A POSTERIORI DO EXPERIMENTO DE ENSINO................ 77
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................... 118
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................... 121
APÊNDICES............................................................................................................ 128
RESUMO
Severino, V. T. Experimento de Ensino de Covariação no contexto do Homem Vitruviano. 2011. 143f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 20111
Essa pesquisa teve como objetivo investigar a aprendizagem do conceito de
covariação de seis alunos da 3ª série do Ensino Médio por meio da aplicação de um
experimento de ensino no ambiente de aprendizagem papel & lápis e no ambiente
computacional, utilizando o software R, tendo como temática o “Homem Vitruviano” e
focando o processo de translação propostos por Moritz. Destaca-se que a
covariação é o conceito estatístico que está relacionado com a associação entre
duas variáveis. Para o desenvolvimento do raciocínio de covariação é importante
utilizar processos de translação entre os dados numéricos brutos, as representações
gráficas e as declarações verbais, e que estão relacionadas com três habilidades
necessárias para a resolução de atividades que envolvam esse conceito: geração de
dados especulativos (GDE), interpretação verbal do gráfico (IVG) e interpretação
numérica do gráfico (ING). Para o desenvolvimento dessa pesquisa foi utilizada a
metodologia do Design Experiment, e a cada encontro, foi realizada a coleta dos
dados das seguintes formas: no ambiente papel & lápis – produção escrita e fotos,
no ambiente computacional a captura das telas geradas no R, por meio do software
Camtasia Studio, além da produção escrita dos mesmos. As atividades propostas
tanto no ambiente papel & lápis como no computacional propiciaram aos alunos o
desenvolvimento das etapas de uma pesquisa: investigar o tema, elaborar as
questões de pesquisa, coletar dados, tratar os dados, analisar as informações e
concluir a pesquisa. A motivação dos alunos com as investigações, a busca pelas
respostas às suas questões de pesquisa, a identificação da moda, mediana,
amplitude, freqüência, ponto máximo e mínimo, a exploração de diversos tipos de
gráficos, inclusive diferentes dos que eles conheciam, como por exemplo: dotplot
humano, dotplot no papel, diagrama de dispersão bivariado, a verificação da
1 Comitê de Orientação: Orientadora: Profª Dra Verônica Yumi Kataoka
Co-orientadora: Profª Dra Monica Karrer
existência ou não da relação entre as variáveis por meio da reta teórica,
constituíram-se- aspectos didáticos importantes no processo de aprendizagem do
tópico de covariação. O uso do pacote Rcmdr, do software R, auxiliou os alunos na
exploração e observação do conceito de variabilidade e da relação entre as
variáveis, que não tinham sido exploradas no ambiente papel & lápis, levando assim
os alunos a realizarem novas investigações. Avaliando o desenvolvimento global do
experimento de ensino, foi possível observar que os alunos conseguiram atingir
satisfatoriamente os maiores níveis de habilidades de GDE, IVG e ING proposto por
Moritz, que, por conseguinte, propiciaram o desenvolvimento do raciocínio de
covariação dos mesmos. Considerando os argumentos e os fatos apresentados nas
diversas sessões e atividades que nortearam esta pesquisa, pode-se concluir que o
experimento de ensino proposto, trouxe contribuições significativas relacionadas
com o aprendizado do conceito informal de covariação desses alunos da 3ª série do
Ensino Médio. Espera-se, por fim, que esse experimento de ensino, após algumas
alterações, possa ser aplicado em turmas do ensino médio, auxiliando os alunos no
desenvolvimento do raciocínio desse conceito, e, por conseguinte, contribuam para
o letramento estatístico dos mesmos, na perspectiva de Gal, Wallman, Watson e
Callighman.
Palavras-Chave: Letramento Estatístico, Homem Vitruviano, Covariação, Design
Experiment, Processo de Translação.
SEVERINO, V. T. Teaching Experiment covariation in the context of the
Vitruvian Man. 2011. 143f. Dissertation – Master in Mathematics Education,
Bandeirante University of São Paulo, São Paulo, 2011.2
This research aimed to investigate the learning of the concept of covariation of six
students in the third grade of high school by applying a teaching experiment in the
paper and pencil environment and in the computing environment using the R
software with the theme of the Vitruvian Man and focusing on the process of
translation proposed by Moritz. It is worth noting that covariance is the statistical
concept that is related to the association between two variables. For the development
of reasoning processes is important to use the covariation of translation between the
raw data, graphic representations and verbal statements, which are related to the
three skills that are necessary for solving activities involving this concept: speculative
data generation (SDG), verbal interpretation of the graph (VIG), and numerical
interpretation of the graph (NIG). For the development of this research the
methodology of Experiment Design, and every meeting, we collected data in the
following ways: environmental paper and pencil - writing and photos, in the
computing environment in the screens generated in R were recorded with Camtasia
Studio software and the written production of these. The proposed activities both in
the paper and pencil environment and in the computer environment provided the
students with the stages of development research: investigate the subject, develop
research questions, collect data, process data, analyse information, and complete
the survey. The motivation of students to research, the search for answers to
research questions, identifying the mode, median, range, frequency, peak and
minimum, the exploitation of various types of charts, even different from what they
knew, for example, a human dotplot on paper, bivariate scatter plots, and the
verification of whether the relationship between the variables through the theoretical
straight constituted important aspects in the process of teaching the learning topic of
covariation. The use of the Rcmdr package of the R software assisted students in
their exploration and observation of the concept of variability and the relationship
between the variables that had not been explored in the paper and pencil
2 Guidance Committee: Advisor: Profa Dra Verônica Yumi Kataoka
Co-advisor: Profa Dra Monica Karrer
environment, thus leading the students to undertake new investigations. When
assessing the overall development of the teaching experiment, we observed that the
students achieved the highest levels of satisfactory skills in SDG, VIG and NIG
proposed by Moritz, which therefore led to the development of the covariation of the
same reasoning. When considering the arguments and facts presented in several
sessions and the activities that guided this research, we can conclude that the
proposed teaching experiment has made significant contributions related to learning
the concept of informal covariation of students in the third grade of high school. It is
hoped, eventually, that this teaching experiment, after some changes, can be applied
to high school classes, helping students in the reasoning of this concept and
therefore contributing to their statistical literacy according to the perspective of Gal,
Wallman, Watson and Callighman.
Keywords: Statistical literacy. Vitruvian Man. Covariation. Experiment design.
Process of translation
14
1 INTRODUÇÃO
É comum em nosso cotidiano, nos deparamos com diversas informações
apresentadas na mídia por meio de tabelas, gráficos e medidas, como, por exemplo,
os resultados de pesquisas eleitorais e de mercado, os indicadores financeiros e os
índices de qualidade industrial. A leitura e interpretação crítica dessas informações
exigem cada vez mais do cidadão os domínios dos conhecimentos estatísticos e
entendimento contextual que possam assegurar a correta compreensão das
mesmas.
De acordo com Gal (2002), se um indivíduo lê e interpreta as informações
estatisticas, sendo capaz de avaliá-las criticamente e argumentar as suas
conclusões, ele pode ser considerado letrado estatisticamente.
Refletindo sobre a necessidade da leitura e interpretação crítica das
informações estatísticas, lembro-me de fatos que ocorreram quando eu trabalhava
no departamento de Controle de Qualidade de uma empresa de Metalurgia, em que
muitos funcionários não apresentavam conhecimento estatístico suficiente para
desempenhar as funções na sua plenitude, como, por exemplo, a construção, a
leitura e a interpretação dos gráficos de Controle Estatístico do Processo (CEP) ou
de qualquer outro contexto na fábrica.
Embora esta situação com os funcionários me deixasse constrangido, eu
sempre acreditei que aquele problema nunca fosse da minha responsabilidade.
Após terminar o curso de graduação de Ciências com ênfase em Matemática, fui
convidado a lecionar em uma escola próxima a minha casa no ano de 1988,
iniciando assim uma nova carreira como professor.
No inicío, confesso que tive vontade de desistir, pois trabalhava na empresa
no periodo diurno e, no período noturno, lecionava. Mas, com o passar do tempo,
acostumei com aquela situação e passei a acreditar que a minha experiência de
trabalho na empresa privada, associada com os meus conhecimentos acadêmicos,
poderiam contribuir para que os meus alunos não tivessem as mesmas dificuldades
dos meus colegas na fábrica. Dessa forma, tive a oportunidade de aprender que o
15
papel da escola e do professor são de extrema importância no processso de ensino
e aprendizagem de Estatística.
Assim, nos planejamentos, comecei a sugerir à direção da escola que
acrescentassem, nas aulas de matemática, noções de Estatística, pelo menos para
a 3ª série do colegial (ensino médio). Em 1990, essa minha proposta foi aceita
pela direção e pelos professores.
Ao longo desses anos, percebi que ocorreram muitas alterações na Educação
Básica no Brasil que contribuiram para a melhoria do ensino e aprendizagem de
Estatística, dentre estas, gostaria de citar as que, no meu ponto de vista, foram de
fundamental importância neste processo:
● Em 1998: Publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais com orientação
para o Ensino Fundamental ciclos 3 e 4 (BRASIL, 1998);
● Em 1999: Publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais com orientação
para o Ensino Médio (BRASIL, 1999);
● Em 2002: Publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais + Ensino
Médio com Orientações Educacionais Complementares (BRASIL, 2002);
● Em 2006: Publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais com
Orientações Curriculares para o Ensino Médio Complementares (BRASIL,
2006);
Em 2008: Publicação da Proposta Curricular para o Ensino Fundamental e
Médio do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008);
Em 2010: Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e Suas
Tecnologias para o Ensino Fundamental e Médio (SÃO PAULO, 2010).
Acompanhando a implantação dos documentos supracitados, vejo que,
apesar dos avanços, ainda é necessário que os alunos desenvolvam as habilidades
e competências por meio de atividades, que os possibilitem serem capazes de
efetuar a leitura, estabelecer relações, levantar e verificar hipóteses, interpretar e
argumentar informações estatísticas.
16
1.1 ESCOLHA DO TEMA
Participando do curso de Pós-graduação em Educação Matemática, tive a
oportunidade de analisar algumas situações que não foram exploradas
anteriormente, nem na minha prática docente, nem tampouco na minha formação
acadêmica. Fazendo uma reflexão do meu desempenho como professor, observei
que, na minha prática de ensino, limitei-me a desenvolver o conteúdo estatístico
apenas focado em organização, coleta e representação de dados, como, por
exemplo, construção de tabelas e gráficos, enfatizando a mesma apenas com
cálculos matemáticos e não fomentando uma análise crítica para uma discussão do
contexto.
Penso que essa maneira de ensinar Estatística prejudicou os alunos, que
vêm apresentando dificuldades em compreendê-la. Ao efetuar diversas leituras de
artigos e pesquisas abordando questões sobre o ensino e aprendizagem de
Estatística, percebi que a preocupação destes pesquisadores era investigar quais
conhecimentos e saberes os alunos utilizavam quando se deparavam com
informações que necessitavam de um tratamento estatístico, o qual encontrava-se
de acordo com os meus propósitos, enquanto professor-pesquisador.
De fato, resolvi desenvolver essa pesquisa com foco no letramento estatístico,
que, segundo Gal (2002), é uma condição necessária para que uma pessoa adulta,
que vive numa sociedade industrializada, seja capaz de apropriar-se da leitura e
escrita dentro do contexto social, e possa utilizar-se destes conhecimentos para
tomada de decisão. Em consonância com essa concepção de letramento estatístico,
os PCN recomendam que o trabalho com a Estatística no ensino médio deve
proporcionar ao aluno:
[...] o entendimento sobre o propósito e a lógica das investigações estatísticas, bem como sobre o processo de investigação. Deve-se possibilitar aos estudantes o entendimento intuitivo e formal das principais ideias matemáticas implícitas em representações estatísticas, procedimentos ou conceitos. Isso inclui entender a relação entre síntese estatística, representação gráfica e dados primitivos (BRASIL, 2006, p. 78).
É importante também que os conteúdos sejam trabalhados priorizando a
aprendizagem que valorize o raciocínio do aluno por meio de atividades que
questionem a existência da solução, estabeleçam hipótese para que se possam tirar
17
conclusões, criando modelos possíveis de argumentar com uma fundamentação
lógica e dedutiva.
Os alunos devem exercitar a crítica na discussão de resultados de investigações estatísticas ou na avaliação de argumentos probabilísticos que se dizem baseados em alguma informação. A construção de argumentos racionais baseadas em informações e observações, veiculando resultados convincentes, exige o apropriado uso de terminologia estatística e probabilística. É também com a aquisição de conhecimento em estatística que os alunos se capacitam para questionar a validade das interpretações de dados e das representações gráficas, veiculadas em diferentes mídias, ou para questionar as generalizações feitas com base em um único estudo ou em uma pequena amostra (BRASIL, 2006, p.78).
Concomitantemente com as orientações curriculares dos PCN, a Secretária
da Educação do Estado de São Paulo (SEE - SP) vem, desde 2008, elaborando um
currículo para o Ensino Fundamental e Médio, sendo previsto o ensino de Estatística
e Probabilidade.
Em 2010, esse currículo foi implementado e está pautado na promoção das
competências indispensáveis para os desafios sociais, culturais e profissionais.
[...] contempla algumas das principais características da sociedade do conhecimento e das pressões que a contemporaneidade exerce sobre os jovens cidadãos, propondo princípios orientadores para a prática educativa, a fim de que as escolas possam preparar seus alunos para esse novo tempo. Ao priorizar a competência de leitura e escrita, o currículo define a escola como espaço cultural de articulação de competências e conteúdo disciplinares (SÃO PAULO, 2010, p.7)
O currículo propõe as seguintes habilidades para o ensino de Estatística no
ensino médio:
- Saber construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências a partir de dados
obtidos em pesquisas por amostras estatísticas;
Calcular e interpretar medidas de tendência central, bem como saber calcular e
interpretar medidas de dispersão de uma distribuição de dados;
- Analisar e interpretar índices estatísticos de diferentes tipos e reconhecer as
características de conjunto de dados distribuidos normalmente. (SÃO PAULO,
2010).
Diante dos desafios para atender as propostas apresentadas pelos PCN em
conjunto com o Currículo do estado de São Paulo, resolvi trabalhar com alunos da 3ª
18
série do ensino Médio, um conceito de Estatísitca que me interessou, denominado
covariação.
Segundo Moritz (2004), a covariação diz respeito à associação de variáveis,
ou seja, a correspondência entre variação. Esse conceito, mesmo se for trabalhado
de maneira informal3 no Ensino Médio, pode fomentar as discussões referentes à
associação entre duas ou mais variáveis , que, constantemente, são mencionadas
ou utilizadas no cotidiano dos alunos como: as medidas da altura e envergadura dos
braços; o número de horas de estudo e a nota obtida em avaliações, crescimento de
uma planta ao longo do tempo e a quantidade de água depositada, variação do peso
em relação à quantidade de calorias ingeridas.
De acordo com esse mesmo autor, a covariação pode ser classificada em
três tipos: a covariação lógica, numérica e estatística; ressaltando que este último é
que será abordado nesse trabalho como nosso objeto de pesquisa, por envolver a
relação entre duas variáveis aleatórias. Para o desenvolvimento do raciocínio de
covariação, é importante:
[...] propor sequências de ensino que envolvam o processo de translação entre dados numéricos, representações gráficas e sentenças verbais, para facilitar o desenvolvimento das habilidades que proporcionará o controle de uma variável pelo conhecimento ou manipulação de outra variável, auxiliar na compreensão e avaliação crítica das informações que podem ser geradas também por meio de dados especulativos(Moritz, 2004, p. 227, tradução nossa).
O processo de translação segundo Moritz, é um processo para explorar o
mesmo conteúdo de covariação representado por situações diferentes umas das
outras. Pode-se destacar entre estas: as representações dos dados numéricos, as
representações gráficas, as sentenças verbais sobre covariação estatística e
associação causal, cujo o objetivo é avaliar as habilidades de racíocionio sobre
Geração de Dados Especulativos4 (GDE) – esboço de um gráfico para representar
uma declaração verbal; como para a Interpretação Verbal do Gráfico (IVG) -
declaração verbal para descrever um diagrama de dispersão e Interpretação
Numérica do Gráfico (ING) - leitura e interpolação dos valores no diagrama de
dispersão.
3 Makar e Rubin (2009) caracterizam inferência estatística informal, como uma conclusão
generalizada expressa com um grau de incerteza e comprovada apenas com os dados disponíveis. 4 Segundo Moritz (2004) geração de dados especulativos são dados gerados pelo próprio aluno
baseado na interpretação de um sentença verbal.
19
A importância da apropriação dos conceitos elementares de covariação,
mesmo de maneira informal para a formação do aluno, já é apresentada também no
Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e Suas Tecnologias na situação de
aprendizagem por meio das Atividades 1 (p. 5) e 2 (p. 6) do caderno do aluno,
volume 4 para a 3ª série do Ensino Médio. Estas atividades abordam a relação entre
as variáveis índices de chuva (mm) e temperatura média mensal (ºC) de um
determinado ano da cidade de Catalão, Goiás. Os dados foram apresentados em
forma de gráfico – Climograma ou gráfico termopluviométrico (Figura 1).
Figura 1 - Climograma da cidade de Catalão, Goiás de um determinado ano
Fonte: Caderno 4 SEE – SP do 3º ano do ensino médio (SÃO PAULO, 2010, p. 5)
Observando o gráfico, o aluno deveria responder cinco questionamentos,
sendo dois deles para explicitar a relação entre as duas variáveis quais sejam:
“Como é possível relacionar as estações do ano ao índice de chuvas no gráfico?”,
“Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico, responda: É verdade que
chove mais nos meses mais frios? Justifique sua resposta” (SÃO PAULO, 2010, p. 5 –
8).
Na proposta de um experimento de ensino para o desenvolvimento do
raciocínio de covariação, além de envolver os processos de translação, pode-se,
conforme as recomendações dos PCN para o ensino médio, apresentar situações
que:
[...]possam ser determinante para a leitura das informações que circulam na mídia e em outras áreas do conhecimento na forma de tabelas, gráficos e informações de caráter estatístico. Contudo, espera-se do aluno nessa fase da escolaridade que ultrapasse a leitura de informações e reflita mais criticamente sobre seus
20
significados. Assim, o tema proposto deve ir além da simples descrição e representação de dados, atingindo a investigação sobre esses dados e a tomada de decisões. (BRASIL, 2002, p.126).
Diante das orientações curriculares dos PCN e do currículo proposto pela
Secretária da Educação do Estado de São Paulo (SEE - SP), nesse trabalho de
experimento de ensino, iremos apresentar o conceito de covariação numa
abordagem informal, para analisar a relação entre as variáveis alturas, envergadura
dos braços e largura dos ombros apresentado por Leonardo da Vinci na figura do
Homem Vitruviano (ilustração do livro Divina Proportione de Luca Paciolo) (Figura 2).
Figura 2 - Desenho do Homem Vitruviano do Leonardo da Vinci Fonte: HTTP://PT.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Da_Vinci_Vituve__Luc_Viatour.jpg
No desenho, o Homem Vitruviano está inscrito em uma circunferência e um
quadrado, com os braços e as pernas estendidas, representando assim o cânone de
proporções do corpo humano, transmitindo a ideia concreta que cada seção do
corpo humano é uma parte do todo, apresentando as relações entre elas.
Neste experimento de ensino, dentre as diversas relações que podem ser
estabelecidas entre as medidas antropométricas, escolhemos analisar somente três:
a igualdade da medida da envergadura dos braços estendidos e a altura, a medida
da altura sendo igual a quatro vezes a largura do ombro e a altura sendo dez vezes
a medida do palmo da mão, dos dados obtidos com alunos da 3ª série do Ensino
Médio.
Outro aspecto que deve ser considerado, durante este meu tempo como
docente, é a inserção crescente dos computadores no ambiente escolar, sendo
utilizado por alguns professores como recurso didático para auxiliar no processo de
ensino e aprendizagem.
21
Segundo o currículo do estado de São Paulo, a inserção da tecnologia no
âmbito escolar:
[...] imprime um ritmo sem precedentes ao acúmulo de conhecimentos e gera profunda transformação quanto ás formas de estrutura, organização e distribuição do conhecimento acumulado. Nesse contexto, a capacidade de aprender terá de ser trabalhada não apenas nos alunos, mas na própria escola, como instituição educativa (SÃO PAULO, 2010, p. 10).
Os PCN recomendam que os professores busquem alternativas no processo
de aprendizagem, como o uso de softwares educativos.
Quanto aos softwares educacionais, é fundamental que o professor aprenda a escolhê-los em função dos objetivos que pretende atingir e de sua própria concepção de conhecimento e de aprendizagem, distinguindo os que se prestam mais a um trabalho dirigido para testar conhecimentos dos que procuram levar o aluno a interagir com o programa de forma a construir conhecimento. (BRASIL, 1997, p.35).
Ben-Zvi e Garfield (2008) sugere que o uso da tecnologia pode auxiliar os
alunos no desenvolvimento do julgamento de covariação conforme já apresentado
por pesquisadores como Batanero et al. (1996, 1997), Cobb et al. (2003b) e Konold
(2002b). Esse mesmo autor comenta que os softwares específicos favorecem na
flexibilidade, dinamismo e múltiplas capacidades de representação, permitindo que
os alunos possam exibir, manipular, compreender e aplicar melhor o raciocínio
covariacional.
No experimento de ensino proposto nesse trabalho, utilizaremos o software
estatístico R para auxiliar na construção dos gráficos bivariados, permitindo uma
melhor interpretação gráfica das relações entre as variáveis investigadas.
Uma característica importante do R é ser um software livre, com capacidade
para rodar tanto em Windows como em Linux, possibilitando o seu uso nas escolas
mesmo em computadores com baixa configuração.
1.2 OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA
Essa pesquisa tem como objetivo investigar a aprendizagem do conceito de
covariação de alunos da 3ª série do Ensino Médio por meio da aplicação de um
22
experimento de ensino nos ambientes de aprendizagem papel & lápis e
computacional, utilizando o software R, tendo como temática o Homem Vitruviano e
focando os processos de translação propostos por Moritz (2004).
Espera-se obter respostas para as seguintes questões de pesquisa:
Que aspectos no processo de aprendizagem podem ser observados quando
se utiliza um experimento de ensino no ambiente papel & lápis e tendo como
temática o Homem Vitruviano para trabalhar o conceito de covariação?
Que aspectos no processo de aprendizagem podem ser observados quando
se utiliza ambiente computacional para exploração do conceito de covariação?
Ressalta-se que, com o experimento de ensino proposto, esperamos articular
o conhecimento prévio dos estudantes em Matemática, de maneira que possam
aplicá-los relacionando com a aprendizagem do conceito de covariação, como, por
exemplo, funções, funções de 1º grau, representação no plano cartesiano.
Este trabalho está dividido em sete capítulos a seguir:
No primeiro capítulo, que é este, apresenta a introdução do trabalho, a
justificativa para a escolha do tema, bem como o objetivo e as questões de
pesquisa.
O segundo capítulo se refere ao ensino de Estatística, dando ênfase as
orientações curriculares, apontando a importância dos objetivos dos PCN (2002,
2006) e do Currículo de Matemática do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2010)
para o trabalho com Estatística no ensino médio. Também enfatiza os conceitos de
letramento e letramento estatístico segundo alguns teóricos, principalmente os
modelos de letramento estatístico proposto por Gal(2002) e Watson (2006) e
evidencia-se a importância do ambiente computacional no processo de ensino e
aprendizagem, além de se explicitar as características do software R.
No terceiro capítulo, discutem-se os aspectos teóricos da covariação que
serviram como base para o desenvolvimento do experimento de ensino. Apresenta-
se também exemplo de uma atividade e do sistema de avaliação do conhecimento
de covariacão dos alunos proposto por Moritz (2004), baseado na taxonomia SOLO
(BIGGS e COLLIS, 1991) e o estudo de inferência informal com o auxilio do
TinkerPlots aplicado por Watson e Suzie, (2008). Finaliza-se com uma síntese da
23
história do Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci, relacionando as medidas
antropométricas do corpo humano.
No quarto capítulo, explicita-se a metodologia proposta para o
desenvolvimento desta pesquisa.
No quinto capítulo, apresenta-se o experimento de ensino, descrevendo, para
cada etapa, os objetivos, o tempo estimado, os materiais necessários e os
procedimentos metodológicos.
O sexto capítulo corresponde à análise a posteriori do experimento de ensino,
sendo evidenciados os principais resultados, bem como o papel do professor-
pesquisador na condução do experimento. Ressalta-se que, para análise da
atividade final, foram utilizados os níveis de covariação propostos por Moritz (2004)
para a categorização das respostas dos alunos.
No sétimo e último capítulo, são feitas as considerações finais para esse
estudo.
24
2 O ENSINO DE ESTATÍSTICA
Neste capítulo, abordaremos o ensino de Estatística na escola, as orientações
dos Parâmetros Curriculares Nacionais e o Currículo do estado de São Paulo e as
propostas dos modelos de letramento estatístico de Gal (2002) e de Watson (2006),
bem como o uso do computador no processo de ensino aprendizagem, enfatizando
algumas pesquisas realizadas, utilizando este recurso.
2.1 ENSINO DE ESTATÍSTICA NA ESCOLA
No Brasil, não existem cursos de Licenciatura em Estatística, nem tampouco
essa disciplina incluída no curriculo da Educação Básica, sendo assim, ficando sob a
responsabilidade dos licenciados em Matemática ou em Pedagogia (no caso do
ensino fundamental I), na disciplina de Matemática trabalhar os conteúdos
estatísticos e probabilísticos. Contudo, de acordo com Lopes (2003), a inclusão da
Estatística e da Probabilidade nos currículos de Matemática da educação básica não
foi acompanhada de uma preparação cuidadosa desses professores, e, segundo
Viali (2008), o curso de Licenciatura em Matemática no Brasil, geralmente oferece
uma única disciplina, com carga horária de 60 a 75 horas, que aborda de forma
superficial a Estatística Descritiva e a Probabilidade.
Godino, Batanero e Flores (1998) e Shaughnessy (1992) apontam o processo
de formação de professores de Matemática, ou ainda, a falta de familiarização
destes, como uma das principais dificuldades para o êxito no processo de ensino de
Estatística. Segundo esses mesmos autores, o ensino desse tema não pode
privilegiar apenas o desenvolvimento de estruturas conceituais e ferramentais para a
resolução de problemas, é preciso, também, orientar os alunos para que construam
formas de raciocínio e instruções corretas acerca da interpretação dos dados.
É importante salientar que as dificuldades de ensino de Estatística não se
restringem somente ao Brasil. Existem indícios de que, em outros países, esta
disciplina vem apresentando as mesmas deficiências no processo de ensino-
aprendizagem, como apresentados nas pesquisas de, por exemplo: Nicholson, Road
25
e Darnton (2003), Batanero, Godino e Roa (2004); Pecky e Gould (2005);Conteras,
Batanero, Diaz e Fernandes (2011). Em Portugal, Ponte e Fonseca (2001), em
estudo realizado pela APM (1998), mostram que um número significativo de
professores consideravam que este tema poderia ser reduzido na sua importância
curricular no ensino básico e secundário.
Estes mesmos autores afirmam que, neste caso, é necessário efetuar uma
análise apronfundada dos objetivos, dos conteúdos e das orientações metodológicas
relativos a este assunto, bem como uma discussão sobre o papel da disciplina e sua
importância curricular.
No Brasil, muitas ações têm contribuido para a melhoria do desenvolvimento
profissional dos professores de Matemática da Educação Básica, responsáveis pelo
ensino de Estatística, como, por exemplo, publicações de artigos em revistas
(Professor de Matemática; Educação Matemática em Revista), oferta de oficinas e
trabalho em congressos (Encontro Nacional de Educação Matemática), a
consolidação do grupo de pesquisa em Estatística e Probabilidade (GT12) vinculado
à Sociedade Brasileira de Educação Matemática e diversas dissertações de
Mestrados e teses de Doutorados nos programas de Pós–Graduação em Educação
Matemática.
Segundo Fernandes at al (2008) com a intensificação do ensino de
Probabilidade e Estatística no processo de formação inicial dos professores de
Matemática, nos cursos de Licenciatura em Matemática ou Pedagogia, é provável
que as dificuldades desses profissionais responsáveis por ministrar estes conteúdos
na educação Básica possa ser amenizada.
A apresentação de propostas para a melhoria do processo de ensino
aprendizagem dos alunos, repercute também na necessidade da melhoria da
qualidade dos materiais didáticos para o bom desenvolvimento da prática
pedagógica. Segundo Lopes (2003), no Brasil, o ensino da Estocástica, na escola
básica, tem um grande agravante que se refere às poucas publicações para que os
professores possam se apropriar do assunto e incorporar em suas aulas, apesar
dos livros didáticos não fazerem uma abordagem mais específica de tópicos de
Estatística.
26
Muitos paises inseriram em seus currículos recomendações para o ensino de
Estatística na Educação Básica.
2.2 ORIENTAÇÕES CURRICULARES
Ponte e Fonseca (2001) abordam que o ensino de Estatística, nos países
europeus, apresenta três grandes tendências curriculares:
Ênfase no processo de Análise de Dados, na perspectiva de que esta ciência
seja utilizada pela sociedade, predominante em países como a Inglaterra;
Sendo um capítulo da Matemática, por várias vezes designada como
Estocástica, enfatiza aspectos conceituais e/ou computacionais, abordagem
seguida, por exemplo, na França;
Como uma ferramenta auxiliar para o estudo de diversos assuntos e
disciplinas escolares, tendência seguida como, por exemplo, na Suécia.
Esses autores afirmam que, com a Estatística sendo usada em diversas
disciplinas escolares, seu aspecto na disciplina de Matemática tem uma atenção
reduzida.
Para alguns autores, como Hogg (1991, apud PONTE e FONSECA, 2001), o
ensino de Estatística deve começar por dar atenção à aprendizagem da formulação
de questões apropriadas, ao modo de recolher dados de forma efetiva, a
sistematização e interpretação dessa informação e a compreensão das limitações da
inferência estatística.
Segundo Ponte e Fonseca (2001), a Estatística, em todos os países, tem se
constituído em uma área recente no currículo de Matemática. Eles comentam que,
em Portugal, a implementação desta disciplina no currículo escolar ocorreu somente
nos anos 70, sempre em lugar relativamente marginal, pois, até a data desta
pesquisa, os professores não davam muita importância para este tema.
No Brasil, a importância da análise de dados em problemas sociais e
econômicos, bem como nas estatísticas relacionadas à saúde, população,
transportes, orçamentos e questões de mercado, fez com que fosse inserido nos
27
Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio, um terceiro eixo ou tema
estruturador do ensino, denominando Análise de Dados. Esse eixo tem três unidades
temáticas que são: Estatística, Contagem e Probabilidade, cujo objetivo é estudar os
conjuntos finitos de dados, que podem ser numéricos ou informações qualitativas,
dando origem a procedimentos distintos, por meio de processos de contagem,
combinatória, frequências e medidas estatísticas e probabilidade (BRASIL, 2002).
2.2.1 Parâmetros curriculares nacionais
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM)
mencionam a contextualização sociocultural como forma de aproximar o aluno da
realidade e fazê-lo vivenciar situações próximas que lhe permitam reconhecer a
diversidade em torno de si e ser capaz de atuar nesta realidade. Neste contexto, a
matemática do ensino médio pode ser determinante para a leitura de informações e
mensagens apresentadas na mídia por meio de tabelas, gráficos e outros de caráter
estatístico (BRASIL, 2002).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), no bloco de Tratamento da
Informação para o Ensino Fundamental (BRASIL, 1997,1998) e o Bloco Análise de
Dados para o Ensino Médio (BRASIL, 2002, 2006) vêm recomendando a inserção
oficial de tópicos de Estatística no âmbito escolar, com o objetivo de:
● Identificar formas adequadas para descrever e representar dados numéricos
e informações de natureza social, econômica, política, científico-tecnológica
ou abstrata.
● Ler, interpretar dados e informações de caráter estatístico apresentado em
diferentes linguagens e representações, na mídia ou em outros textos e
meios de comunicação.
● Obter médias e avaliar desvios de conjuntos de dados ou informações de
diferentes naturezas.
● Compreender e emitir juízos sobre informações estatísticas de natureza
social, econômica, política ou científica apresentadas em textos, notícias,
propagandas, censos, pesquisas e outros meios (BRASIL, 2002).
28
No Brasil, alguns estados por meio de uma articulação com os conteúdos
propostos nos PCN estão desenvolvendo as suas próprias propostas curriculares,
por exemplo, no estado de São Paulo, a Secretaria da Educação a partir de 2008,
iniciou a implantação do Currículo do Estado de São Paulo.
2.2.2 Currículo do estado de São Paulo
Segundo esta Secretaria, o objetivo principal do currículo é mapear o vasto
território do conhecimento, recobrindo-o por meio de disciplinas, de maneira que
conteúdos destas sejam organizados de modo a possibilitar o tratamento dos dados
que sirvam de base para a construção dos conhecimentos (SEE, SÂO PAULO,
2010).
Assim, o governo do estado de São Paulo espera que, por meio das
orientações curriculares em conjunto com o material didático, possa reduzir as
deficiências que ainda dificultam a formação adequada do aluno durante o ensino
fundamental e médio na disciplina de Matemática.
Com relação à Matemática, as competências básicas almejadas estão
divididas em três eixos :
Capacidade de expressão e compreensão das diversas linguagens, como, por exemplo: leitura de um texto, tabela ou gráfico, bem como a compreensão de fenômenos históricos, sociais econômicos, naturais entre outros. Neste eixo, ao lado da Língua Materna, a Matemática compõe um par complementar como meio de expressão e de compreensão da realidade, apresentadas em formas de objetos matemático por meio de números e relações;
Capacidade de argumentação, análise e articulação das informações, tendo em vista a viabilização da comunicação, a tomada das decisões, propondo a realização de ações efetivas. Neste eixo, a Matemática apresenta-se como instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da análise racional, com o objetivo da obtenção de conclusões. Destacamos neste eixo, dois pontos cruciais: a) a construção do pensamento lógico sendo ele indutivo ou dedutivo; b) capacidade de sintetizar e tomar decisões a partir dos elementos disponíveis, ou seja, resolver problemas primariamente na Matemática e secundariamente nas outras disciplinas;
Capacidade de contextualizar e abstrair os conteúdos, fixando na atualidade e também no universo de significados, destacando principalmente o mundo do trabalho, considerando as novas
29
perspectivas de virtualidades e potencialidades dentro de um universo de imaginação. Neste eixo é privilegiada a oportunidade de lidar com os elementos do par concreto e abstrato (SÃO PAULO, 2010).
Os conteúdos apresentados devem ser estudados, sobretudo na área de
Matemática, destacando alguns temas rotulados como “Tratamento da Informação”,
procurando enfatizar principalmente porcentagem, médias, tabelas e diferentes tipos
de gráficos.
Este mesmo currículo pressupõe que os conteúdos disciplinares, que se
estendem até o Ensino Médio, são meios para a formação dos alunos como cidadão
e como pessoas, o desenvolvimento de competências relacionadas ao eixo de
argumentação/decisão é o espaço privilegiado para o tratamento da informação em
busca de uma visão crítica do tema, como, por exemplo, o planejamento de uma
pesquisa estatística que utilize técnicas de elaboração de questionário e
amostragem, a investigação de temas de estatística descritiva e a inferência
estatística, o estudo de estratégia de contagem e o cálculo de probabilidades entre
outros (SÃO PAULO, 2010).
2.3 LETRAMENTO ESTATÍSTICO
O termo letramento foi traduzido para o Português da palavra inglesa literacy
(a condição de ser letrado). Quando nos referimos que um indivíduo é letrado,
estamos mencionando que o mesmo faz uso competente e frequente da leitura e da
escrita nas práticas sociais (SOARES, 1998). Este termo ainda não está
dicionarizado, porque foi introduzida muito recentemente na língua portuguesa.
Segundo Kleimam (1995), o termo letramento surgiu como a tentativa de separar os
estudos sobre o impacto social da escrita dos estudos sobre a alfabetização com
conotações escolares.
Soares (2004) diferencia os conceitos alfabetização e letramento, e comenta
que, em outros países, esses termos são independentes, enquanto no Brasil, são
inter-relacionados, ou seja, um indivíduo alfabetizada somente tem o domínio da
leitura e escrita, enquanto o indivíduo letrado, faz jus dessas duas competências e
também aplica este conhecimento no seu cotidiano.
30
De acordo com Gal (2002), letramento é a capacidade que o indivíduo tem de
fazer leitura de textos ou informações, representados por gráficos ou tabelas e
outros meios de comunicação. Este autor menciona que o letramento é um dos
conhecimentos necessários para que o individuo adulto em um mundo globalizado
possa ser considerado letrado em Estatística.
Wallman (1993) definiu o letramento estatístico como a habilidade para
entender e avaliar criticamente resultados que permeiam nossas vidas, conjugadas
com a habilidade para apreciar contribuições que o pensamento estatístico pode
trazer nas decisões públicas e privadas, profissional e pessoal.
Gal (2002) propõe um modelo de letramento estatístico para o cidadão que
vive em uma sociedade industrializada, referindo-se aos principais conhecimentos
necessários para a compreensão das mensagens estatísticas em suas variadas
formas de representação, o que irá requerer do indivíduo a utilização de várias
habilidades, que proporcionarão os significados independentemente dos níveis de
complexibilidade apresentado.
Assim, de acordo com esse mesmo autor, para que o indivíduo seja letrado
em Estatística, é imprescindível que atenda aos cinco elementos cognitivos, que em
conjunto, contribuirá para o desenvolvimento das seguintes habilidades:
compreender, interpretar, avaliar criticamente e, quando necessário, reagir às
mensagens estatísticas por meio de argumentações. Esses cinco elementos são:
habilidades de letramento, conhecimento estatístico, conhecimento matemático,
conhecimento de contexto e questão crítica. Além disso, considera também no seu
modelo dois elementos de disposição que são: posição crítica, convicção e atitudes,
conforme descritos a seguir: .
● habilidades de letramento deverão proporcionar ao indivíduo a facilidade em
observar se algumas mensagens apresentam termos técnicos, jargões
estatísticos que facilitam interpretações ambíguas ou errôneas, levando muitas
vezes a conclusões precipitadas;
● conhecimentos básicos de estatística e probabilidade, que possam facilitar a
organização dos dados, na pesquisa ou experimento;
31
● os conhecimentos matemáticos são necessários para manter os indivíduos
atentos sobre os procedimentos numéricos que estão envolvidos nos cálculos
dos indicadores estatísticos como a porcentagem e a média;
● o conhecimento do contexto é o principal determinante de familiaridade do
leitor com fontes para variação e erro;
● as habilidades críticas são ferramentas necessárias para que, em geral, o
cidadão não seja manipulado por sistemas políticos, áreas comerciais, ou
outras situações inerentes ao uso da Estatística que utilizam em contextos de
consultas empíricas, cabendo ao indivíduo manter-se atento examinando com
racionalidade as informações divulgadas.
Já em relação aos elementos de disposição, Gal (2002) descreve que a
posição crítica é a expectativa que um indivíduo possui automaticamente quando
toma uma atitude interrogativa para situações quantitativas que podem ser
enganosas intencionalmente ou não. Já as convicções e atitudes estão associadas
a emoções, sentimentos responsáveis por respostas positivas ou negativas
disparadas pelas experiências imediatas de uma pessoa. Watson (2006), também
ressalta a importância do letramento estatístico, propondo um modelo composto por
seis componentes:
conteúdo estatístico, são aqueles que estão inseridos no currículo de
Matemática, como, por exemplo: conjunto de dados, representação de dados,
redução de dados, média, chance, aleatoriedade e inferência informal;
entendimento do contexto, é um componente importante para o letramento
estatístico, fornece pré-requisitos para possibilitar uma reflexão crítica sobre
mensagens estatísticas e para compreender as implicações dos resultados ou
números formados. Em algumas situações, as reportagens, nas mídias, podem
mascarar ou distorcer informações em relação a fonte. Portanto, é de extrema
importância que combinemos as habilidades de letramento e o conhecimento
globalizado que forneceram pré-requisitos para efetuar reflexões críticas
sobre mensagens estatísticas, facilitando a compreensão em relação aos
resultados divulgados. Segundo a autora, o entendimento do contexto foi
evidenciado pelos autores Wallman (1993) e Gal (2002);
32
habilidades de letramento, este componente foi baseado no letramento, que
associam as práticas de leitura e escrita e as práticas sociais;
habilidades matemática e estatística, ter o conhecimento de proporção, razão,
percentual, e relacionamento com os outros conteúdos. Assim como as
habilidades estatísticas são baseadas no entendimento e cálculo de média,
probabilidade simples, probabilidades de componentes dos eventos
independentes;
formato de tarefas, deve ser apropriado de acordo com cada série escolar, o
professor auxilia os alunos no desenvolvimento e no avanço dos conceitos
estatísticos envolvendo discussões em suas aulas;
motivação para realização das tarefas, esse componente foi relatado como um
dos componentes de disposição, que está agregado a três conceitos
relacionados, mas distintos: posição critica, convicções e atitudes que
representam toda a essência para o letramento estatístico. Estes conceitos
apresentam-se interligados, tornando-se, consequentemente, mais difícil de
descrevê-los de maneira separada.
Watson e Callingham (2003) sugerem uma sequência hierárquica com seis
níveis de letramento estatístico, tarefas denominados de: idiossincrático, informal,
inconsistente, consistente e não crítico, crítico e matematicamente crítico (Quadro 1).
33
Quadro 1 - Descrição dos níveis de letramento estatístico propostos por Watson e Callingham (2003).
Idiossincrático O desempenho do aluno, nas tarefas propostas, é baixo, sugerindo pouco envolvimento com o contexto. Neste estágio, as respostas dos alunos estão relacionadas às experiências pessoais, intuitivas e não sobre o conteúdo de Estatística.
Informal A resposta do aluno ainda é suscetível de representação intuitiva, crenças, conteúdos não estatísticos ou foca em aspectos irrelevantes, provavelmente pelo entendimento ainda coloquial ou informal do contexto.
Inconsistente O aluno ainda é dependente e seletivo sobre o formato das tarefas, as ideias estatísticas do contexto são apresentadas qualitativamente e não quantitativamente.
Consistente e não Crítico
O aluno apresenta respostas adequadas em alguns contextos de tarefas e possui expectativa de questionamento crítico.
Crítico Neste estágio, o aluno possui um pensamento crítico associado ao uso sofisticado da matemática, mas em alguns contextos particularmente familiarizados.
Matematicamente Crítico
O aluno pode apresentar habilidades matemáticas sofisticadas associadas com sucesso em muitas das tarefas particularmente em diferentes contextos, sensibilidade de identificar as incertezas na tomada de previsões.
Watson (2003) alerta sobre a importância do contexto do letramento
estatístico, mencionando que os alunos que se encontram nos dois primeiros níveis,
apresentam esforços para interpretar a situação, porém permanecem somente no
contexto. No terceiro e quarto níveis, os alunos administram os conceitos estatísticos
em diferentes contextos, mas ainda não criticam os mesmos, enquanto nos últimos
níveis, os alunos apresentam compreensão e postura crítica aos textos
apresentados. Esta informação apresentada pela autora, vem ao encontro das
dificuldades já mencionadas em relação ao ensino de Estatística, que na maioria das
vezes fica limitado somente aos cálculos, a organização e representação dos dados,
não se propiciando uma análise crítica dos resultados encontrados associados ao
contexto envolvido.
Watson e Callingham (2003) mencionam que o ideal para termos adultos
estatisticamente letrados, será iniciar o processo de ensino de Estatística ainda no
Ensino Fundamental.
34
2.4 USO DO COMPUTADOR NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
Atualmente, quando pensamos no processo de ensino e aprendizagem, não
podemos negar a necessidade da utilização do computador, bem como as
tecnologias de informação e comunicação que vêm se constituindo em uma das
ferramentas que auxiliam no desenvolvimento desse processo. Dentre as diversas
finalidades, destaca-se a velocidade de apresentar as informações por diversos
meios, a facilidade de interação com os envolvidos no processo, a praticidade no
sistema de comunicação e a possibilidade de explorar situações que não seriam
possíveis no ambiente papel e lápis, tais como: simulações e animações. .
Os PCN mencionam a necessidade do uso do computador nas atividades
escolares quando afirmam que:
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o
ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também como
fonte de aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento
de habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a
aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas,
trocando suas produções e comparando-as. (BRASIL, 1997, p.35).
De acordo com Borba (1999), a introdução de novas tecnologias na Educação
Matemática (entendendo essas tecnologias como sendo computadores, calculadoras
gráficas e suas interfaces que se modificam a cada dia) vem despertando algumas
preocupações entre os profissionais da educação, principalmente, no que se referem
às mudanças curriculares, às novas dinâmicas de sala de aula, ao “novo” papel do
professor e ao papel do computador na sala de aula. Para investigar esses aspectos
os educadores vêm desenvolvendo pesquisas, bem como buscando softwares
educativos que possam atender a demanda e suprir as dificuldades relacionadas
com o processo de ensino e aprendizagem, e, por conseguinte, que possibiltem o
desenvolvimento das competências e das habilidades do aluno.Como exemplo de
pesquisas podemos citar os trabalhos de Watson e Suzie (2008), Silva (2008) e Ben-
Zvi e Garfield (2008).
Watson e Suzie (2008) exploraram o desenvolvimento de ideias de inferência
informal com a introdução do software TinkerPlots para facilitar o processo de
35
análise, economizando tempo, trabalhando com as propriedades do programa que
contribuiram para que o aluno por meio de sua criatividade, confirmasse suas
hipóteses e gerasse relatórios.
Silva (2008) utilizou o aplicativo Tabletop para o desenvolvimento dos
conceitos elementares de Estatística a partir do Homem Vitruviano que, segundo o
autor, permitem a montagem, manipulação e representação de dados por meio de
tabelas, gráficos de barras e pontos, histogramas e diagrama de Venn de forma
eficiente. Esse mesmo autor comenta que, com este software, o potencial de
animação do computador é aproveitado em várias representações visuais dos
dados, possibilitando que, quando o aluno seleciona as variáveis, os ícones se
movimentem e se agrupem, podendo servir de elo entre o concreto e o abstrato.
De acordo com Ben-Zvi e Garfield (2008), várias pesquisas têm sugerido o
uso de tecnologias para auxiliar os julgamentos de problemas envolvendo
covariação, citando Batanero et al.(1996,1997), Cobb et al.(2003), dentre outros.
Segundo esse mesmo autor, um software ou applet para auxiliar o ensino de
covariação deve permitir a exploração e manipulação de dados bivariados por meio
dos diagramas de dispersão, da possibilidade de adicionar pontos nesses gráficos,
bem como visualizar o coeficiente de correlação indicado com o acréscimo desses
novos pontos nos gráficos, cita, como exemplo o applet disponível em
www.stat.edu/n sundar/java/applets/concreateApplet.html.
Os PCN esboçam sua preocupação com relação às características que os
programas de computadores devem apresentar, para que a exploração do processo
de aprendizagem dos alunos apresente resultados satisfatórios quando dispuser do
uso deste tipo de ferramenta. A escolha do programa adequado pode constituir na
melhoria de aquisição de conceitos e conhecimentos.
]...[há programas de computador (softwares) nos quais os alunos
podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos,
referidos a seguir como programas de expressão. Os programas de
expressão apresentam recursos que provocam, de forma muito
natural, o processo que caracteriza o “pensar matematicamente”, ou
seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam
conjecturas, criam estratégias para resolver problemas. (BRASIL,
2006, p.88).
36
Para a nossa pesquisa o software selecionado foi o R que é um ambiente
computacional integrado para manipulação, análise e representação gráfica de
dados baseado em linguagem de programação orientada a objetos e que
disponibiliza uma grande variedade de métodos estatísticos: modelagem linear e não
linear, teste estatístico clássico, séries temporais, métodos multivariados,
geoestatística, dentre outros.
Esse software também se constitui como uma ferramenta pedagógica, que
permite fazer simulações, facilitando a interação do aluno com outras possibilidades
de experiências, auxiliando na melhor compreensão das transformações, por meio
de exemplos que possam variar os parâmetros ou alterar as hipóteses.
Em relação à documentação da linguagem, o programa estatístico R conta
com diversos manuais e livros (http://cran. r-project.org/ - link Manual), uma
newsletter e vários outros artigos escritos por terceiros e em diferentes línguas, que
estão disponíveis na web gratuitamente.
Um dos atrativos do R é estar disponível sob os termos da General Public
License da Free Software Foundation (GNU), na forma de código aberto (open
source), podendo ser compilado e rodado em um grande número de plataformas
UNIX e similar (incluindo FreeBSD e Linux), além do Windows 9x/NT/2000 e MacOS.
Kataoka et al. (2008) afirmam que outra característica importante do R, é que,
dependendo do tipo de análise, computadores com configurações simples podem
ser utilizados. Ressaltam principalmente a informação da configuração, pois
acreditam que muitas escolas públicas possam conseguir por meio de doações,
computadores com capacidade similar.
Por estas características apresentadas por este programa e a possibilidade do
uso de um computador com simples configuração, espera-se que o mesmo atenda
às necessidades dos alunos em relação ao processo de aprendizagem, facilitando a
compreensão dos conceitos da covariação.
Mas, uma possível limitação inicial no uso do software R, em relação ao
conhecimento dos comandos a serem digitados, poderá surgir durante o processo de
investigação, porém esta dificuldade deverá ser contornada com o uso do pacote
Rcmdr (chamado também de R Commander), que foi desenvolvido em 2000, em
vários idiomas, tais como, inglês, português, francês, italiano, alemão, espanhol e
37
disponibiliza diversos métodos estatísticos usuais, tanto para auxiliar no ensino da
Estatística Descritiva como da Inferência Estatística.
Uma das vantagens desse pacote é que as operações podem ser feitas por
meio de menus e não diretamente por linhas de comando. Mas, por outro lado, a
cada operação realizada, é possível que o usuário visualize na janela do script qual
seria a linha de comando necessário, ou seja, este pacote permite que o usuário
possa aprender passo a passo quais são as linhas de comando que estão sendo
executadas no R.
Existe também uma janela para saída dos resultados, sendo que os gráficos
são gerados numa janela separada e, no rodapé, são exibidas algumas mensagens
que o sistema julga relevantes, como, por exemplo, mensagens de erro na
execução, número de variáveis e linha de um banco de dados.
38
3 COVARIAÇÃO
Neste capítulo, iremos abordar o conceito e o raciocínio de covariação,
segundo Moritz (2004), alguns estudos já realizados sobre este conteúdo e o
contexto histórico do Homem Vitruviano.
3.1 RACIOCÍNIO DE COVARIAÇÃO
O conceito de covariação está relacionado à associação de variáveis,
responsável pelo grau de correspondência existente entre elas. Moritz (2004) afirma
que a natureza da covariação pode ser categorizada de acordo com os tipos de
variáveis envolvidas, a saber:
● Covariação Lógica, definida pelo envolvimento de variáveis lógicas, podendo
ser classificada em verdadeiro ou falso, como, por exemplo, na sentença A =
Não B, ou seja, existe uma covariação lógica entre A e B, no sentido que,
quando variamos o valor de A de verdadeiro para falso, a variação
correspondente do valor de B de falso passará para verdadeiro para manter a
igualdade válida.
● Covariação Numérica pode ser expressa por meio de uma equação
envolvendo as variáveis que assumiram valores reais, mantendo a
correspondência de um valor em relação ao outro. Na expressão y = 2x, as
variáveis x e y mantêm uma correspondência de variação dos valores entre
elas, ou seja, y sempre será igual ao dobro de x.
● Covariação Estatística refere-se à correspondência de variação de duas
variáveis estatísticas (aleatórias), que variam ao longo de uma escala
numérica. O gráfico utilizado para representar este tipo de covariação é
denominado diagrama de dispersão, e que mostra a correspondência entre as
coordenadas de cada variável.
Carlson et al. (2002, apud BEN-ZVI e GARFIELD, 2008) menciona que o
raciocínio covariacional pode ser desenvolvido utilizando-se atividades cognitivas
39
que envolvem uma correlação entre duas variáveis quantitativas. Tal relação sobre
cada uma é a correspondência entre uma e a outra. Segundo estes pesquisadores,
este tipo de raciocínio é muito utilizado na forma matemática por meio de função
linear; e na Estatístíca, por meio da exploração do gráfico de dispersão, sendo, na
maioria das vezes, sobre eventos de pré-definição causal, como, por exemplo,
quando uma pessoa afirma que se despender maior tempo estudando, obter maior
nota na avaliação.
Cazorla, Silva e Utsumi (2008), analisaram livros didáticos de Matemática
para o ensino fundamental, mais especificamente da 8ª série (9º ano), e observaram
que geralmente os autores desses livros abordam o conceito de função de forma
contextualizada, apresentado atividades que relacionam variáveis ligadas aos
fenômenos físicos, biológicos ou outros, mas as funções são tratadas apenas de
forma determinística, dificultando a aprendizagem do aluno, no que tange a
compreensão de como transformar as evidências empíricas observadas num modelo
matemático. Além disso, essas autoras afirmam que “[..] os conceitos elementares
de Estatística e Probabilidade são apresentados de forma pouca relacionada com as
funções matemáticas, servindo somente para ilustrar funções do tipo “exóticas”, sem
explorar a amostragem e a variação dos dados inerente aos fenômenos estudados”
(2008, p.1).
No estudo de covariação estatística, é comum trabalhar com a construção de
diagramas de dispersão, que são utilizadas para o estudo de duas variáveis
quantitativas e, na maioria dos casos, utiliza-se também a correlação5 de Pearson
para quantificar o grau da associação entre essas variáveis, ou a sua não existência.
Vale ressaltar que, nesta pesquisa, não apresentaremos a correlação de Pearson
porque esperamos trabalhar com os alunos o conceito de covariação de maneira
informal.
Moritz (2004) afirma que, para o desenvolvimento do raciocínio de covariação,
é importante utilizar diversos processos de translação, que segundo o autor, é um
5 Observando a parte histórica, o termo correlação foi utilizado pela primeira vez por Francis Galton
(1822-1911), que, em 1869, publicou o livro “Gênio Hereditário”, aplicando conceitos estatísticos em problemas de hereditariedade.
40
processo para explorar o mesmo conteúdo de covariação representado por
situações diferentes umas das outras. Pode-se destacar entre estas: as
representações dos dados numéricos, as representações gráficas, as sentenças
verbais sobre covariação estatística e associação causal (Figura 3).
Estes processos de translação favorecem o domínio entre as diversas
representações de covariação, facilitando a visualização das relações, esperando
melhorar a sensibilização do aluno em relação à possibilidade de viés ou erro.
Figura 3 - Processos de Translação proposto por Moritz (2004, tradução nossa).
Banco de Dados Numéricos
Representação Gráfica
Titulo: Nível de Ruído em Sala de Aula
Classe Quantidade de Nivel
Pessoas na Classe de
Ruído
A 24 60
B 26 50
C 21 70
D 27 40
E 24 40 F 29 20
Construção
de Gráficos
Interpretação
Numérica do
Gráfico
Geração de
Dados
Especulativos
Interpretação
Verbal dos
Dados
Interpretação
Verbal dos
Dados
Sentença Verbal de Covariação
Sentença Causal
“O nível de ruído está relacionado com o número de pessoas” ou “Classe com
mais pessoas tem menor nível de ruído”.
“Mais pessoas dentro da classe causam um menor nível de ruído”
Inferência Causal
41
Segundo Moritz (2004), ao trabalhar-mos com atividades que envolvam o
raciocínio sobre covariação, desenvolvemos três habilidades:
Investigação dos dados, demonstrado pelo esboço gráfico para representar
uma declaração verbal;
Interpretação verbal do gráfico, demonstrado pela descrição de um diagrama
de dispersão ou por meio de uma declaração verbal do mesmo;
Interpretação numérica do gráfico, demonstrado pela leitura e interpolação
dos valores.
As habilidades adquiridas pelo indivíduo no processo de aprendizagem de
covariação, poderá auxiliá-lo no desenvolvimento de competências necessárias,
para avaliar informações gráficas presentes em jornal, revista ou outro meio de
comunicação que exijam uma análise mais detalhada dos dados.
Ben-Zvi e Arcavi (2001) afirmam que os alunos precisam desenvolver
habilidades que combinem de forma flexível e global as situações apresentadas.
O desenvolvimento de atividades que envolvam soluções por meio de
descrições verbais, de representações gráficas e vice-versa, tem se tornado fonte de
pesquisa para pesquisadores como Moritz (2000), Brelcke, Bell & Swan, (1987a),
(1987b); Colombe & Bercnson, (2001); Mavarech & Kramarsky, (1997).
Moritz (2004) menciona que alguns princípios básicos para o desenvolvimento
do raciocínio sobre covariação estatística, devem ser aplicados para facilitar a
análise nas atividades de covariação:
● Não considerar somente uma correspondência de valores para um simples
ponto de dados bivariados, mas a variação de pontos como tendência global;
● Não considerar somente uma variável simples, mas a correspondência de
duas variáveis;
● Balancear crenças a priori, com os dados observados.
Em alguns países, o conteúdo de covariação já aparece nos currículos, como
é o caso da Austrália (Austratiam Education Council – AEC, 1991, 1994) da
Inglaterra (Ministério da Educação e do Emprego – DEE, 1999), e dos Estados
Unidos (Conselho Nacional dos Professores de Matemática – NCTM, 2000).
42
Geralmente, nestes países, os alunos são convidados a participar de várias etapas
no processo de aprendizagem, quais sejam: levantar hipótese para relação entre
duas variáveis; coletar dados; representar dados ou análise numérica; tirar
conclusões sobre a relação em declarações verbais.
Na Austrália, as atividades propostas para serem desenvolvidas com os
alunos do ensino médio, são: “representar duas variáveis no diagrama de dispersão
e criar sentenças informais sobre as relacões (AEC, 1994, p. 93), e representar uma
série de dados em gráficos de linha” (AEC, 1994, p. 109).
Na Inglaterra, os alunos do ensino secundário são preparados para esboçar
gráficos de dispersão e gráficos de linha para uma série de dados “observando a
causa e o efeito, ao analisar os dados” (DEE, 1999 p. 40) e “esboçar linhas de
melhor ajuste pelo visual, procurando entender o que elas representam” (DEE, 1999,
p. 41).
Nos Estados Unidos, recomenda-se que os alunos da sexta e oitava séries
utilizem o gráfico de dispersão como uma importante ferramenta na análise dos
dados, encorajando os alunos a interpretar as linhas de ajuste (NCTM, 2000). De
acordo com Ben-Zvi e Garfield (2008), o conceito de covariação é importante nos
diferentes campos da Psicologia, Ciências, Matemática e Estatística, sendo que o
raciocínio covariacional é descrito de forma um pouco diferente em cada disciplina.
Ainda segundo esses autores é importante compreender os aspectos da covariação
estatística como: a estrutura e a intensidade da relação bivariada, o seu papel em
modelos casuais e na predição de eventos, e a mudança de valores de uma variável
expressa em relação a uma linha.
Ben-Zvi e Garfield (2008) comenta que os tópicos envolvendo covariação
pode ser introduzido em vários momentos no currículo e pode ser informalmente
desenvolvidos por meio de produção de dados e construção de gráficos bivariados,
e que pode ser trabalhado como parte da análise dos dados, mas com o estudo
formal dos dados bivariados ocorrendo após o estudo da inferência estatística.
Esses autores afirmam também que o estudo da covariação integra vários temas já
estudados, podendo ser revisitado e aprofundado em vários momentos do processo
de aprendizagem de Estatística.
43
Watkins et al. (2004, apud BEN-ZVI e GARFIELD, 2008) descreve seis
características de uma relação bivariada que pode ser usada para os estudantes
aprenderam a examinar e raciocinar sobre dados bivariados: iniciar com a análise
das variáveis no contexto univariado, enfocando a investigação da variabilidade;
avaliar a forma do padrão revelado no gráfico bivariado em termos de linearidade e
outliers; investigar se a tendência é positiva ou negativa; a intensidade dessa
tendência (forte ou fraca, variada ou constante); se o padrão pode ser generalizado
para outras situações; e se existe explicações plausíveis para os padrões
observados.
Watson e Suzie (2008) recomendam que para trabalhar o contexto bivariado
seja interessante que os alunos sejam estimulados a investigar inicialmente uma
determinada variável, por exemplo, a envergadura dos braços de um grupo todo, em
seguida analisar essa mesma variável mas separada por grupos, tais como,
meninos e meninas; e por fim, avaliar a relação entre duas variáveis, como
envergadura e altura.
Para a nossa pesquisa, nos apoiamos nas recomendações desses autores
(WATKINS et al. , 2004 e WATSON E SUZIE, 2008) para elaborar o experimento de
ensino em que fossem investigado primeiro as variáveis no contexto univariado para
depois avaliar os contextos bivariados.
3.2 ESTUDOS RELACIONADOS SOBRE COVARIAÇÃO
Em sua pesquisa, Moritz (2004) desenvolveu atividades com alunos de duas
escolas particulares da Tasmânia, consideradas socioeconomicamente com padrão
mais elevado em relação à população escolar geral daquele país. Foram escolhidos,
em cada escola, alunos do terceiro, quinto, sétimo e nono anos do ensino
fundamental. Esse autor menciona que as variáveis das atividades devem ser
familiares para os alunos, por isso escolheu trabalhar com tempo de estudo, nível
de ruído e o número de pessoas em sala de aula (ver atividade final 3, p.60). De
acordo com Watson e Suzie (2008), a utilização de situações familiares para os
alunos, facilita a exploração de ideias de inferência informal.
44
Nas atividades propostas por Moritz (2004), explorando o racíocinio de
covariação por meio do processo de translação, o mesmo esperava que os alunos
desenvolvessem três habilidades: Geração de Dados Especulativos (GDE) –
esboço de um gráfico para representar uma declaração verbal; como para a
Interpretação Verbal do Gráfico (IVG) - declaração verbal para descrever um
diagrama de dispersão e Interpretação Numérica do Gráfico (ING) - leitura e
interpolação dos valores no diagrama de dispersão.
Para avaliar as respostas dos alunos, foram determinados quatro níveis de
conhecimentos estatísticos sobre covariação, de acordo com a taxonomia SOLO
(BIGGS E COLLIS, 1991) (Quadros 2 e 3).
Quadro 2 - Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a geração de dados especulativos.
Classificação dos
Níveis
Descrição das habilidades e conhecimentos
Nível 0 – Não
Estatística
a) Um contexto narrativo, porém não apresenta um conjunto de dados com mais de um valor para a variável.
b) Eixo de um gráfico ou valores, apresentado por números em posições espaciais, sem um contexto que indica a variável.
Nível 1 – Único
Aspecto
a) Correspondência em um único caso bivariado.
b) Variação de valores para uma única variável.
Nível 2 – Covariação
Inadequada
a) A correspondência é apresentada com variação inadequada para pelo menos uma variável: uma variável só ter dois valores distintos.
b) A variação é apresentada para cada variável com correspondência inadequada, ou seja, na direção incorreta.
Nível 3 – Covariação
Apropriada
Respostas apresentam ambas as variáveis com correspondência adequação entre as variações dos valores para cada variável.
45
Quadro 3 - Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a interpretação gráfica numérica e verbal.
Classificação dos Níveis
Interpretação verbal do gráfico Interpretação númérica do gráfico
Nível 0 – Não Estatística
a) contexto sem variáveis ou associação b) falhas visuais
Falhas na leitura de valores no eixo. Pode referir-se: a) contexto baseado em¨crenças” b) características visuais, como por exemplo o valor máximo da escala.
Nível 1 – Único Aspecto
a) um único ponto simples b) uma única variável (dependente)
Lê um valor dado associando a valores bivariados, mas sem interpolar os dados
Nível 2 – Covariação Inadequada
Refere-se a variáveis como: a) a correspondência é percebida comparando dois ou mais pontos sem generalizar (6 classes em geral) b) as variáveis são descritas e a correspondência não é mencionada ou a direção não está correta
Lê os valores, mas interpola os pontos em posições erradas.
Nível 3 – Covariação Apropriada
Refere-se a todas as variáveis e indica a direção correta
Lê os valores e interpola os pontos corretamente
Para a análise desta pesquisa, foram considerados os quatro níveis de
respostas detalhadas conforme as tarefas relativas em relação à geração de dados
especulativos, a interpretação verbal do gráfico e interpretação numérica do gráfico.
Nesta pesquisa, Moritz (2004) afirma que a maioria das respostas dos estudantes,
até mesmo no terceiro ano do ensino fundamental, mostra que foi identificado pelo
menos um único aspecto relacionado aos dados, como ler um valor a partir de um
gráfico de dispersão, o que demonstra que eles se familiarizaram com a tarefa.
Os níveis de interpretação verbal e gráfica foram altamente correlacionados,
provavelmente porque para a codificação de ambas, a leitura é obrigatória, a partir
dos eixos, em relação ao título da variável ou o valor na escala. É importante
salientar que, os alunos do terceiro ano de escolaridade conseguiram demonstrar
uma covariação negativa na geração dos dados especulativos.
46
Moritz (2004) comenta que as razões para esta taxa de sucesso podem incluir
a capacidade acima da média da amostra dos estudantes, ou o contexto da tarefa,
envolvendo seis casos de dados discretos em um ambiente familiar. O autor acredita
que a diferença deste estudo para outras pesquisas, está na codificação das
respostas abertas utilizando a TAXONOMIA SOLO e de não exigir que os alunos
representem os dados somente de uma forma, como, por exemplo, no plano
cartesiano.
È importante enfatizar que, em seu estudo, Moritz (2004) procurou avaliar a
habilidade de geração de dados especulativos, independentemente da forma de
representação, sendo que o maior nível de respostas ilustrava essa habilidade com
diferentes formas de representação, como, por exemplo: tabelas de dados brutos, os
gráficos de comparação da série e covariação apresentadas nos gráficos de barras,
linhas e bivariados. Com isso, muitos alunos aderiram à construção de tabelas,
observando os aspectos apresentados nas mesmas e levantando questões mais
apropriadas em relação ao propósito da representação.
Moritz (2004) menciona que, sobre este estudo, uma série de comparação de
gráficos foram considerados para demonstrar o alto índice de geração de dados
especulativos, e, é claro, que há muitos aspectos de compreensão do aluno, que
podemos tentar avaliar, incluindo a produção de competências dos gráficos para
estar em conformidade com as diversas convenções. Mas, se estamos interessado
em promover a exibição de gráficos como ferramentas de análise e não fim em si
mesmo, então as atividades devem permitir e mesmo incentivar uma variedade de
representação para atingir os fins de confronto com os dados e raciocínio sobre
covariação.
Esse mesmo autor afirma que, nas diferentes abordagens para os gráficos,
foram observadas dificuldades em relação aos títulos e unidades, apresentando
inversão dos eixos, reversão ou irregularidade nas escalas métricas. Moritz (2004)
destaca que, se for apresentada uma seleção com variáveis distintas para as tarefas
familiares, esse procedimento poderá ser importante para que o raciocínio dos
estudantes em especial na rotulagem e utilização das unidades. Concluiu também
que a covariação gráfica, usando contexto conhecido pelos alunos, pode ocorrer
antes da padronização dos gráficos convencionais. Ou seja, segundo o autor,
47
quando iniciamos o processo de ensino dos gráficos de uma forma padrão, como,
por exemplo, utilizando diretamente as coordenadas cartesianas, pode eliminar as
concepções alternativas, inibindo o raciocínio sobre covariação, e o processo de
instruções poderá ser mais eficaz, quando baseado no desenvolvimento do
raciocínio dos alunos.
É importante que, durante o desenvolvimento do processo de aprendizagem
proposto, o aluno consiga interagir de maneira que possa extrair os conhecimentos
necessários, construindo novas ideias e, consequentemente, desenvolver as
habilidades para a construção dos gráficos, que poderá remover a ameaça
emocional em relação ao desenho apresentado. Logo, após os alunos começaram a
se familiarizarem no contexto das variáveis, eles podem começar a investigar
covariação entre as variáveis, discutir as formas de raciocínio sobre covariação, e,
lentamente ser introduzidas as convenções para expressar sua fundamentação em
gráficos, palavras e métodos numéricos (MORITZ, 2004).
No artigo das autoras Watson e Suzie (2008), é apresentada a construção de
ideias de inferência informal, utilizando situações familiares e, por meio da
introdução de uma ferramenta computacional “TinkerPlots”, que deu suporte no
desenvolvimento das atividades. Segundo essas mesmas autoras, é importante que
os alunos em Estatística saibam encontrar a média de um conjunto, construir um
gráfico, desenvolver atividades experimentais com jogos de dados, entre outros
processos de aprendizagem, porém existe a necessidade de conduzir o aluno a
responder questões significativas e fazer inferência referente às atividades
propostas. Por isso, há necessidade de trabalhar experimento de ensino com
questões que explorem o desenvolvimento destas ideias e atuem em conjunto com
as ferramentas computacionais. A proposta sugere que o público-alvo sejam alunos
com idade variando de 6 a 10 anos, mas poderá ser expandido para alunos do
ensino fundamental II ou ensino médio, dependendo da atividade a ser
desenvolvida.
Segundo essas autoras, o objetivo deste artigo era motivar os professores a
apresentar para os seus alunos um experimento que desenvolvesse por meio de
investigações significativas, a valorização dos tipos de questões em que a inferência
informal pudessem ajudar a responder, como exemplo: O que é uma medida de
48
precisão? O que significa fazer uma medição exata? Qual variação é esperada se
uma medição for repetida? Porque a exatidão é importante? Como podemos confiar
que nós temos uma verdadeira “medida”?. Nessa pesquisa foi adotada pelas
autoras como contexto para as investigações, a medição do corpo humano, pois
segundo elas, as atividades baseadas no quadro do homem Vitruviano, pintado por
Leonardo da Vinci, avaliando as medidas do palmo da mão, comprimento dos pés,
altura e envergadura têm sido descritos por outros pesquisadores (por exemplo
CLARKE, 1996; LAVRTT & CLARKE, 1992) como fonte de motivação para
questionamentos, pois estas medidas, podem fornecer excelente banco de dados de
amostras aleatórias.
Watson e Suzie (2008) comentam também que ao planejar este tipo de
atividade, é importante desenvolver as ideias associadas com a inferência informal,
considerando como ponto de partida questões que possam abranger a população
em geral, que facilitará a possibilidade da exploração dos conteúdos em diversos
níveis de aprendizagem. Por meio destes questionamentos, é possível despertar nos
alunos o processo investigativo de associação entre duas variáveis. Nesse estudo,
as autoras usaram o software Tinkerplots, que auxiliou na verificação de algumas
medidas como a máxima, mínima, média, moda, mediana, freqüência, e facilitou
também nas diversas representações gráficas utilizando esses dados.
Essas autoras ressaltam que, apesar do uso das ferramentas do software
TinkerPlots seja de extrema importância, principalmente na exploração do
scattergraphs, se os alunos ainda não estiverem familiarizados com este programa,
podem realizar explorações das relações bivariadas por meio da diferença entre a
altura e a envergadura, para ver se o resultado é zero ou próximo de zero. Essa
investigação pode ser feita também dividindo uma medida pela outra, e verificando o
quão perto de 1 (um) este resultado está (WATSON e SUZIE, 2008; SILVA, SILVA,
MAGINA, 2010).
49
3.3 HOMEM VITRUVIANO
O Homem Vitruviano é um desenho famoso que Leonardo da Vinci pintou
aproximadamente em 1490. O quadro descreve uma figura masculina desnuda
separada e simultaneamente em duas posições sobrepostas com os braços inscritos
num círculo e num quadrado, conforme Figura 4. Em algumas situações, este
desenho e o texto são chamados de Cânone das Proporções. Atualmente, este
quadro faz parte da coleção da Gallerie dell'Accademia (Galeria da Academia) em
Veneza, Itália.
Figura 4 - Desenho do Homem Vitruviano do Leonardo da Vinci Fonte: HTTP://PT.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Da_Vinci_Vituve__Luc_Viatour.jpg
Quando examinamos o desenho, notamos que a combinação das posições
dos braços e pernas formam quatro posturas diferentes. As posições com os braços
em cruz e os pés são inscritas juntas no quadrado, enquanto a posição superior dos
braços e das pernas é inscrita no círculo.
O Homem Vitruviano é baseado nos escritos do arquiteto romano Marcus
Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados De Architectura, um tratado de
arquitetura em que são descritas as relações entre as medidas do corpo humano:
Um palmo é a largura de quatro dedos;
Um pé é a largura de quatro palmos;
Um antebraço ou cúbito é a largura de seis palmos;
50
A altura de um homem é quatro antebraços;
Um passo é quatro antebraços;
A longitude dos braços estendidos é igual sua altura;
A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da altura de
um homem;
A distância do topo da cabeça para o fundo do queixo é um oitavo da altura de
um homem;
A distância do nascimento do cabelo para o topo do peito é um sétimo da altura
de um homem;
A distância do topo da cabeça para os mamilos é um quarto da altura de um
homem;
A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem;
A distância do cotovelo para o fim da mão é um quarto da altura de um homem;
A distância do cotovelo para a axila é um oitavo da altura de um homem;
O comprimento da mão é um décimo da altura de um homem;
A distância do fundo do queixo para o nariz é um terço da longitude da face;
A distância do nascimento do cabelo para as sobrancelhas é um terço da
longitude da face;
A altura da orelha é um terço da longitude da face.
No século XV, esta relação da matemática com as proporções do corpo
humano foi considerado por Leonardo da Vinci e outros artístas como uma das
grandes realizações do Renascimento italiano.
Por essa possibilidade de investigação de diversas relações entre duas
variáveis, e por conseguinte, a exploração do conceito de covariação, é que o
experimento de ensino proposto nesse estudo se utiliza do contexto do Homem
Vitruviano
51
4 MÉTODO
Para o desenvolvimento dessa pesquisa, será utilizada a metodologia do
Design Experiment, que, de acordo com Cobb et al. (2003), deve ter as seguintes
características:
O desenvolvimento da pesquisa deve ocorrer por meio de ciclos contínuos de
design, de interação, de análise e de redesign;
A pesquisa não deve registrar somente os sucessos ou as falhas, mas
focalizá-los nas interações que contribuam para a compreensão dos fatores
de aprendizagem envolvidos;
A pesquisa deve envolver o desenvolvimento de relatos fiéis sobre métodos
que possam documentar e conectar processos de interações aos resultados
de interesse.
Para Cobb et al. (2003), um aspecto importante de qualquer experimento de
design é que o pesquisador deve ter habilidade para realizar as funções associadas,
como desenvolver um design inicial, conduzir a experiência e extrair uma análise
retrospectiva e sistemática. Sendo que o experimento é “flexível” de acordo com a
produção dos alunos, podendo ser remodelado durante o processo.
4.1 PARTICIPANTES DO ESTUDO
Foram selecionados, para este estudo, seis alunos da turma da 3ª série do
Ensino Médio matriculados no primeiro bimestre de 2011, da escola Estadual
Marechal Henrique Teixeira Lott, localizada no município de Embu das Artes no
estado de São Paulo.
Por meio da aplicação de um questionário de perfil (Apêndice A), foi possível
observar que a média de idade desses alunos era de 16,5 anos, que nenhum deles
trabalhava, e 4 eram do gênero masculino. Entre as disciplinas que mais gostam no
curso, 5 dos 6 alunos escolheram a Matemática, sendo que 3 alunos justificaram a
escolha porque o conteúdo dessa disciplina é muito importante/atrativo para a sua
formação geral; 1 aluno considerou muito importante/atrativo para a sua vida e o
outro aluno porque o professor é que torna a disciplina atrativa.
52
Verificou-se também que cinco alunos já tinham estudado algum conceito
estatístico em outra série. Todos os seis alunos afirmam conhecer e se julgaram
capazes de interpretar os termos porcentagem; cinco alunos, o termo frequência,
quatro alunos, probabilidade e proporção; dois alunos, variância e média; e somente
um aluno, população, mediana, variáveis e amostra. Dentre os termos que eles não
conheciam, destacam-se correlação, covariação, e o diagrama de dispersão,
justamente termos centrais desse estudo. Os seis alunos classificaram a Estatística
como sendo importante no seu cotidiano.
Em relação ao primeiro sentimento quando se ouve a palavra Estatística (foi
solicitado que usassem no máximo três palavras), percebe-se, pelas respostas: três
alunos usaram a palavra probabilidade, que é uma resposta associada a um aspecto
cognitivo e não afetivo, mas era esperado já que, na 2ª série, eles viram esse tópico.
O aluno Rafael teve dúvidas para responder essa questão, e o professor-
pesquisador comentou que ele poderia mencionar qualquer tipo de sentimento que a
palavra lhe transmitisse.
Quanto à primeira idéia que passa pela mente quando se ouve a palavra
Estatística, surgiram respostas como: organização, interpretação, dedução,
selecionar e números; o que mostra, mais uma vez, que esses alunos realmente
associam Estatística aos aspectos cognitivos.
Deve-se ressaltar que, para justificar a escolha de somente seis alunos como
sujeito de pesquisa para o desenvolvimento deste estudo, nos baseamos, em um
tipo de modalidade presente na metodologia de Desing Experment de Cobb et al.
(2003), a qual prevê vários modos de manifestações dependendo dos objetivos
pensados. As modalidades destacam–se pelos seguintes meios: experimentos de
ensino aplicados a um pequeno grupo de estudantes, para que seja possível a
elaboração de análises com mais profundidade e com riqueza de detalhes,
experimentos voltados a salas de aula, em que uma equipe de investigadores auxilia
o professor (que também pode ser um membro desta equipe de investigação);
estudos voltados a professores em formação; estudos voltados a professores
atuantes para o desenvolvimento de uma comunidade profissional e modelos que
objetivam grandes reestruturações, envolvendo equipes de pesquisadores,
professores, gestores escolares e outras partes interessadas em auxiliar na
organização.
53
Portanto em nossa pesquisa optamos por trabalhar com a versão em pequena
escala, em que o professor-pesquisador conduziu uma série de etapas do
experimento de ensino com um pequeno grupo de estudantes, evidenciando,
com profundidade, as construções e evoluções apresentadas por estes
participantes.
Para o desenvolvimento da pesquisa, nomeamos os participantes para
facilitar a identificação e estruturar melhor as atividades e seus realizadores.
Os seis alunos, participantes da pesquisa, foram nomeados de alunos-
pesquisadores (AP), uma vez que assumiram dupla função nesse estudo, tanto
como sujeitos da investigação, participando do desenvolvimento das atividades
proposta nas etapas do processo de aprendizagem e também no auxilio do
andamento das atividades com o professor pesquisador (PP), nas etapas da
pesquisa, auxiliando na coleta de dados do restante dos alunos da turma, nomeados
alunos colaboradores (AC), e organizando os AC nas construções dos gráficos
humanos. O PP foi o responsável por conduzir o experimento com os AP e os AC. É
importante informar que todos os AC ou os seus responsáveis, também assinaram o
TCLE.
Cada dupla de AP foi designada por um símbolo para facilitar a identificação
dos mesmos durante o desenvolvimento das atividade, assim, a 1ªdupla, composta
pelos alunos Rafael e Henrick, foi denominada D1, a 2ªdupla, Danley e Alexandre -
D2 e a 3ªdupla, Ana Lúcia e Ingrid - D3.
4.2 INSTRUMENTOS
Para o desenvolvimento do estudo, foram utilizados um questionário de perfil
e o experimento de ensino do Homem Vitruviano, dividido em sete etapas (Apêndice
A).
4.3 PROCEDIMENTOS DE COLETA E ANÁLISE DOS DADOS
No início do primeiro bimestre do ano letivo de 2011, o professor-pesquisador
solicitou à direção da escola para desenvolver o estudo com a turma da 3ª série A
do Ensino Médio do periodo matutino, e que foi aceito prontamente. Vale salientar
54
que, antes de inciar o trabalho com os alunos, foi solicitado que a direção assinasse
o termo de responsabilidade da instituição (Apêndice C).
No início do segundo bimestre letivo de 2011, o professor-pesquisador
convidou seis alunos para participarem do estudo, ressaltando a importância da
participação e contribuição dos mesmos para o estudo. Definidos os alunos, antes
de iniciar a pesquisa, foi solicitado aos seus responsáveis que assinassem o Termo
de Consentimento Livre e Esclarecido - TCLE (Apêndice D) e o Termo de Direito de
Uso e Imagem (Apêndice E).
Em seguida, iniciou-se os trabalhos com o experimento de ensino do Homem
Vitruviano que ficou dividido em sete etapas, baseado na metodologia do Design
Experi ments (COBB et al. 2003). A aplicação do experimento ocorreu em oito
encontros de 100 minutos cada, sendo que cinco deles foram desenvolvidos no
ambiente de aprendizagem papel & lápis, dois encontros no ambiente computacional
mais especificamente com o software estatístico R e um encontro para responder a
atividade final, proposta na 7ª etapa, com os participando sendo avaliados
individualmente. Destaca-se que, no segundo encontro, o professor-pesquisador
(PP) solicitou aos AP que respondessem o questionário de perfil, o qual foi analisado
de maneira qualitativa, para desenvolver uma categorização em consonância com as
informações apresentadas. No último encontro os AP responderam uma atividade
final com três questões, referente ao aprendizado do conceito de covariação.
Os encontros propostos foram suficientes para a realização das atividades,
considerando inclusive que, em alguns deles, a intervenção do professor-
pesquisador para auxiliar com algumas instruções para o desenvolvimento das
atividades foi mais frequente. Devemos lembrar que esse tempo é estimado, já que
cada escola apresenta uma realidade diferente.
Nos encontros, foi realizada a coleta dos dados para análise das seguintes
formas: no ambiente papel & lápis – produção escrita e fotos; no ambiente
computacional captura das telas geradas no R, por meio do software Camtasia
Studio, além da produção escrita dos AP.
Todo o trabalho foi acompanhado pelo PP tendo o auxilio dos AP na
participação e na condução de algumas atividades, sendo estas atividades
realizadas na sua maioria no contra turno do período escolar, ou seja período da
tarde no horário das 14:00 ás 16:00 hs somente com os AP, dois encontros no
periodo da manhã com toda a sala, para coletar os dados do AC conforme as
55
questões de pesquisa e a formação dos gráficos humanos (dotplot).Os resultados
foram analisados pelo professor-pesquisador, utilizando os procedimentos da
metodologia para o desenvolvimento da pesquisa, ou seja, para as respostas das
atividades propostas nas etapas de 1 a 6, realizadas em duplas (D1, D2 e D3), foram
feitas apenas comparações do que era esperado e do que foi observado, já para as
atividades da etapa 7, para avaliar as habilidades do raciocínio em covariação, as
respostas de cada um dos alunos foram classificadas utilizando-se as categorias
propostas por Moritz (2004), que se baseiam na taxonomia SOLO (BIGGS e
COLLIS, 1991).
56
5 EXPERIMENTO DE ENSINO
A proposta inicial deste experimento de ensino(EE) foi apresentada por Silva,
Magina e Silva (2010), sendo que a diferença neste estudo, que o foco foi no ensino
do conceito de covariação, utilizando os processos de translação propostos por
Moritz (2004).
Esses processos exploram habilidades para o desenvolvimento do racíocinio
sobre covariação: geração de dados especulativos, ou seja, declaração verbal de
um gráfico; interpretação verbal do gráfico, tradução de um gráfico bivariado em
declaração verbal; a interpretação numérica do gráfico, reconhecimento dos valores
por meio de leitura.
Além disso, está sendo proposto, nesse experimento de ensino, a utilização
do sotware R para a construção dos gráficos bivariados, bem como a aplicação de
uma atividade final com duas questões apresentadas por Moritz (2004) e uma
questão do caderno 4 da SEE/SP do 3ª série do ensino médio.
Esse EE tem como objetivos:
● Investigar as relações apresentadas entre as medidas antropométricas;
● Desenvolver o EE nos moldes da pesquisa científica: estabelecer as questões
de pesquisa, coletar, tratar e analisar dados e comunicar resultados;
● Utilizar as medidas estatísticas: moda, mediana, amplitude total, para
determinar o perfil da turma de acordo com as variáveis estudadas;
● Estimular a percepção de variabilidade;
● Apresentar o conceito de covariação de maneira informal, utilizando
diferentes formas de representação: gráfica, numérica e verbal, enfatizando o
processo de translação proposto por Moritz (2004);
● Potencializar as análises das relações bivariadas entre as medidas
antropométricas estudadas no ambiente computacional R.
Neste capítulo, serão apresentadas cada uma das sete etapas para o
desenvolvimento do EE, explicitando o objetivo, o tempo estimado, o material
necessário, o procedimento de cada uma das etapas e finalizando com um resumo
da atuação do professor pesquisador. Salienta-se que os alunos- pesquisadores
trabalharam, em dupla, durante a aplicação das etapas, com a exceção da atividade
57
final que foram avaliados individualmente, com o intuito de observar a assimulação
do conteúdo e o desenvolvimento das habilidades .
1ª Etapa: Investigar as relações apresentadas entre as medidas
antropométricas
Objetivo: Pesquisar as relações entre as medidas antropométricas estabelecidas por
Marco Vitruvius Pollio, o que é esse tipo de medida e quem foi o pintor Leonardo da
Vinci, enfatizando o quadro do Homem Vitruviano.
Tempo estimado: 01 hora aula (1º encontro).
Material utilizado: Computador, Internet, folhas de sulfite, caderno e lápis.
Procedimento:
Nesta atividade, o professor-pesquisador (PP) solicitou aos alunos
pesquisadores (AP) que efetuassem uma pesquisa na internet, no laboratório de
informática da escola, indicando alguns sites para coleta de informação sobre o
arquiteto romano Marco Vitruvius Pollio, destacando as medidas antropométricas e o
pintor Leonardo da Vinci, focando o quadro do Homem Vitruviano.
Em seguida à pesquisa na internet, o PP solicitou aos AP que
sistematizassem as suas informações e debatessem com os demais AP,
principalmente focando as relações entre as medidas antropométricas.
O PP estabeleceu com os alunos, quais variáveis deveriam ser investigadas
para esse estudo, definindo-se a altura, a envergadura, a largura dos ombros e a
palmo da mão (a medida do pulso até a ponta do dedo médio) como variáveis de
estudo.
2ª Etapa: Estabelecer as questões de pesquisa
Objetivo: Levantar questões de pesquisas.
Tempo estimado: 01 hora/aula (1º encontro).
58
Material utilizado: folhas de sulfite, lápis.
Procedimento:
Nesta etapa, o professor-pesquisador procurou incentivar as discussões,
sobre as características das medidas: altura, envergadura, largura dos ombros e
palmo da mão, bem como a investigação da veracidade da relação que envolva
essas medidas encontradas no quadro do Homem Vitruviano, de maneira que eles
apresentem alguns questionamentos para posterior análise, como por exemplo: Qual
o comportamento dessas medidas antropométricas? A envergadura é igual à altura?
A largura dos ombros é um quarto da altura? O palmo da mão é um décimo da
altura?
O professor-pesquisador informou aos alunos pesquisadores que as questões
não escolhidas para o desenvolvimento da pesquisa poderiam ser aproveitadas em
outras oportunidades, esclarecendo que, naquele momento do desenvolvimento do
experimento, não haveria tempo suficiente para estudar todas as variáveis propostas
com eficiência.
Além das variáveis altura, envergadura, largura dos ombros e palmo da mão
(qualitativa contínuas), foram coletados também as variáveis gênero (qualitativa
nominal) e idade (quantitativa discreta), por serem medidas demográficas
importantes para a caracterização dos alunos.
3ª Etapa: Coletar os Dados
Objetivo: Efetuar a coleta de dados e utilizar corretamente os instrumentos de
medição (fita métrica).
Tempo estimado: 02 horas/aula (2º encontro).
Material utilizado: 2 fitas métricas de 1 metro, fita crepe adesiva, cartaz em papel
madeira com planilha e pincel atômico.
Procedimento:
Os alunos-pesquisadores (AP) efetuaram a coleta de dados por meio de
perguntas e medição dos alunos colaboradores (AC) da sala, preenchendo o banco
59
de dados conforme apresentado na lista 1, construída em papel madeira com as
seguintes informações: nome do aluno, gênero, idade, altura, largura dos ombros,
envergadura e palmo da mão. A lista foi construída pelos AP, para facilitar a
recuperação dos dados a qualquer momento.
Lista 1. Banco de dados dos alunos colaboradores
ALUNO GENERO IDADE ALTURA L. OMBRO ENVERGADURA PALMO DA MÃO
Para medir a altura e a envergadura dos AC, foram utilizadas duas fitas
métricas de 1 metro, que foram colocadas verticalmente a 1 metro de altura em
relação ao chão e a 1 metro de algum ponto de referência.
Para medir a largura dos ombros (máxima), foi utilizada uma fita métrica de 1
metro, posicionando diretamente no ombros dos alunos. Para medir a palmo da
mão, os AP utilizaram a mesma trena para medir a altura e a envergadura.
4ª Etapa: Desenvolver as atividades usadas no ambiente de aprendizagem
papel & lápis – caso univariado
Objetivo: Tratar e analisar as variáveis, determinando algumas medidas estatísticas
(moda, mediana, amplitude total) e construindo alguns gráficos (dotplot humano e
dotplot em papel). Estimular a percepção da variabilidade importante para o
desenvolvimento do raciocínio de covariação.
Tempo estimado: 04 horas/aula (3º e 4º encontros).
Material utilizado: folhas de papel sulfite, malhas prontas para a construção do
dotplot, lápis, 3 fitas métricas gigantes para o dotplot humano, fita adesiva.
Procedimento:
O professor-pesquisador apresentou aos AP alguns questionamentos
envolvendo as variáveis estudadas, baseados em situações que geraram a análise
da variabilidade, na perspectiva de responder as questões de pesquisa determinada
na 2ª etapa, fomentando a utilização das medidas estatísticas e do dotplot para
60
respondê-las. Os mesmos questionamentos foram respondidos em três situações
diferentes: com os dados em um banco de dados desorganizados, no dotplot
humano e no dotplot em papel. Os gráficos do dotplot humano seram registrados por
meio de fotos para facilitar futuras pesquisas do fato ocorrido.
1ª Situação – Banco de dados desorganizados
Os alunos deveram responder quatro atividades tendo disponível apenas
banco de dados desorganizados em papel madeira.
Atividade 1 - Diante das medidas coletadas na sala de aula, qual foi o maior e o menor valor encontrado e a diferença entre esses dois valores para as variáveis a seguir:
Altura.......................: maior: _________ menor: __________ difer.: _______
Envergadura............: maior:_________ menor:__________ difer.: _______
Largura dos ombros: maior:_________ menor:__________ difer.: _______
Existem diferenças entre essas variáveis?____________ Caso sim,quais? _____________
Atividade 2 – Em relação as medidas encontradas nos alunos da sala, para cada variável qual(is) foi(ram) o(s) valor(es) que apresentam(ram) a maior frequência e quantas vezes houve a repetição?
Altura .......................: medida(s): _________ frequência(s): __________
Envergadura............: medida(s):_________ frequência(s):__________
Largura dos ombros: medida(s):_________ frequência(s):__________
Atividade 3 – Dentre todas as medidas, qual valor pode ser considerado como uma medida central, ou seja, qual é a medida que divide a amostra em 50%.
Altura .......................: medida: _________
Envergadura............: medida:_________
Largura dos ombros: medida:_________
Atividade 4 – Com base nas respostas das atividades 1 a 3, faça uma síntese descrevendo essas variáveis.____________________________________________
Nas atividades 1, 2 e 3, espera-se que o aluno apresente, como resultados,
os valores mínimo e máximo, amplitude total, moda e mediana, observando os
valores coletados no banco de dados e fazendo uma translação dos dados
61
apresentados para uma interpretação verbal à medida que vão respondendo às
questões, que também deverão auxiliar na discussão em relação a variabilidade.
Para a atividade 4, ainda é esperada uma translação do banco de dados
desorganizados para a interpretação verbal, porém apresentando uma síntese
relacionada com os valores observados.
2ª Situação - dados organizados no dotplot humano
O professor-pesquisador auxiliou os AP na organização dos AC para a
construção do dotplot humano das variáveis altura, largura dos ombros e
envergadura, adotando os seguintes procedimentos:
no pátio da escola, os AC serão enfileirados, primeiramente, por ordem de
altura;
em seguida, será colocada, no chão, a fita métrica gigante para a altura e
solicitado aos alunos que se posicionem enfileirados lateralmente no valor da
sua variável correspondente, formando assim o dotplot humano (Figura 5);
Figura 5 - Pátio da escola para montar o dotplot humano
o mesmo procedimento deverá ser repetido para a envergadura e para a
largura dos ombros.
A idéia é que os alunos-pesquisadores possam retomar todos os
questionamentos da 1ª situação e verificar se as suas respostas continuam sendo as
mesmas após a construção do dotplot humano, principalmente, no que se refere à
discussão da variabilidade da largura dos ombros e da altura. Então, os AP terão
que responder se mudam de resposta, e caso positivo, justificar a mesma.
62
Em relação a sua resposta dada na 1ª situação, você mudaria de opinião em
relação às atividades?
Atividade 1 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão._________________________________________________
Altura .......................: maior: _________ menor: __________
Envergadura............: maior:_________ menor:__________
Largura dos ombros: maior:_________ menor:__________
Existem diferenças entre essas variáveis?___________ Caso sim, quais? _______
Atividade 2 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão._________________________________________________
Altura .......................: medida(s): _________ frequência(s): __________
Envergadura............: medida(s):_________ frequência(s):__________
Largura dos ombros: medida(s):_________ frequência(s):__________
Atividade 3 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão. _________________________________________________
Altura .......................: medida: _________
Envergadura............: medida:_________
Largura dos ombros: medida:_________
Atividade 4 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão.__________________________________________________
Além disso, será questionada se a forma de apresentação dos dados propicia
algum tipo de leitura diferente dos dados. Para tal, o professor-pesquisador fará
algumas perguntas para os AP, como, por exemplo, as descritas na atividade 5.
Atividade 5 - Algumas das medidas calculadas na 1ª situação ficam mais fáceis de
serem observadas com o dotplot humano? Como é o comportamento da variável
largura dos ombros quando comparada com a altura?________________________
Nas atividades 1, 2 e 3, espera-se que o aluno observe as variações por meio
da apresentação dos resultados como medidas mínima e máxima, amplitude total,
63
moda e mediana, visualizando o comportamento dos valores existentes no dotplot
humano e fazendo uma translação para uma interpretação verbal (escrita) à medida
que forem respondendo as questões.
3ª situação - dados organizados no dotplot em papel
Nesse momento, o professor-pesquisador distribuiu uma folha com 2 malhas,
para que os AP pudessem construir o dotplot no papel para as variáveis altura e
envergadura.
Em seguida, o professor-pesquisador solicitou aos alunos que verificassem
se, após a construção dos dotplot em papel, eles mudariam alguma das respostas
dadas na 2ª situação (dotplot humano).
Atividade 1 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão.________________________________________________
Altura .......................: maior: _________ menor: __________
Envergadura............: maior:_________ menor:__________
Largura dos ombros: maior:_________ menor:__________
Existem diferenças entre essas variáveis?____________ Caso sim, quais? _______
Atividade 2 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão.___________________________________
Altura .......................: medida(s): _________ frequência(s): __________
Envergadura............: medida(s):_________ frequência(s):__________
Largura dos ombros: medida(s):_________ frequência(s):__________
Atividade 3 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão.__________________________________________________
Altura .......................: medida: _________
Envergadura............: medida:_________
Largura dos ombros: medida:_________
Atividade 4 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção da questão._________________________________________________
A confirmação ou não, nas atividades de 1 a 4, representará a interação do
aluno nas translações entre o banco de dados numéricos, a representação gráfica e
a sentença verbal.
64
Além da comparação das respostas com as outras duas situações, a
construção dos dotplot em papel será importante nas discussões apresentadas na
etapa seguinte.
5ª Etapa: Desenvolver as atividades no ambiente de aprendizagem papel &
lápis – caso bivariado
Objetivo: Explorar as construções dos gráficos dotplot em papel e das tabelas para
apresentar o conceito de covariação de maneira informal. Fomentar a construção do
diagrama de dispersão.
Tempo estimado: 3 horas/aula (5º e 6º encontros)
Material utilizado: folhas de papel sulfite, malhas prontas para a construção do
dotplot e lápis.
Procedimento:
O professor pesquisador solicitará aos AP que, observando os dotplot em
papel, respondam as seguintes questões:
Atividade 1 - Nos gráficos construídos, você consegue identificar 5 alunos e suas medidas de altura e de envergadura? Justifique a sua resposta. _______________
Atividade 2 – Utilizando deste mesmo artifício, você consegue identificar nos gráficos todos os alunos da sala e suas medidas? Por que? __________________________
Atividade 3- Pode-se afirmar que as medidas da altura e envergadura de cada aluno dessa turma são iguais? Justifique a sua resposta.__________________________
Atividade 4 – Observando o conjunto de dados dos gráficos 1 e 2 da turma X, responda a seguinte questão: É possível afirmar que altura é igual a envergadura? Justifique sua resposta._______________________________________________
Nas atividades de 1 a 4, espera-se, a partir da construção do gráfico dotplot,
uma investigação mais apurada dos dados, ocorrendo a translação entre a
representação gráfica e a sentença verbal, dando uma sustentação melhor para a
inferência. É esperado que, nesta atividade, os alunos apresentem dificuldades no
65
processo da justificativa (sentença verbal), por não estarem acostumados com este
tipo de questão.
Gráfico 1 - Dotplot da Altura da turma X
Altura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Envergadura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Gráfico 2 - Dot Plot da Envergadura da turma X
Altura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Envergadura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Atividade 5 - Observando os dados a seguir no banco de dados é possível afirmar que a altura é igual a envergadura sem uma representação gráfica? Por que?
CONJUNTO DE DADOS PARA PESQUISA
NOME SEXO IDADE ALTURA ENVER
Aline C. F 17 1,58 1,58
Andrei M 18 1,76 1,8
Anderson M 17 1,68 1,7
Bruna F 18 1,62 1,64
Carlos M 18 1,82 1,86
Carolina F 19 1,53 1,53
Camila F 16 1,65 1,68
Cristiano M 17 1,68 1,68
Celso M 18 1,72 1,74
Daniel M 17 1,67 1,7
Daniela F 19 1,54 1,56
Elion M 18 1,74 1,74
Fabiana F 17 1,52 1,52
Henrique M 17 1,79 1,82
Juliana F 18 1,62 1,65
Julio M 21 1,68 1,7
Kátia F 17 1,57 1,6
Kelly F 17 1,52 1,52
Laysla F 18 1,78 1,8
Leandro M 17 1,64 1,68
Lincon M 19 1,65 1,65
NOME SEXO IDADE ALTURA ENVER
Luis M 17 1,68 1,72
Lilian F 24 1,71 1,71
Maria Ap. F 17 1,52 1,52
Mariana F 17 1,63 1,64
Meire F 16 1,55 1,58
Marcos M 17 1,68 1,7
Mirian F 18 1,58 1,6
Murilo M 17 1,78 1,8
Nilson M 17 1,68 1,68
Odair M 18 1,72 1,76
Paula F 19 1,65 1,66
Priscila F 17 1,58 1,58
Plinio M 17 1,68 1,7
Kledson M 17 1,78 1,8
Rayssa F 18 1,63 1,63
Rayanna F 18 1,58 1,6
Rita F 17 1,73 1,75
Robson M 17 1,68 1,72
Ruth F 17 1,64 1,66
Rhuan M 18 1,72 1,7
Sergio M 21 1,66 1,68
66
Na atividade 5, espera-se que os alunos utilizem a diferença entre os valores
de altura e envergadura para verificar a hipótese de igualdade como observado por
Watson e Suzie (2008), ou razão entre as duas variáveis como apresentado por
Silva, Magina e Silva (2010).
Atividade 6 - Caso fosse apresentado um banco de dados com 1000 pessoas, como voce responderia a questão se altura é igual à envergadura? Porque? _____________
Na atividade 6, espera-se que os alunos respondam que pode ser utilizado o
gráfico bivariado para representar as duas variáveis, por ser um banco de dados
bem maior do que o apresentado na atividade 5, ficando, então, complicado utilizar
a mesma técnica da atividade 5. Apesar de que o aluno poderá justificar que,
usando o computador, o procedimento pode ser o mesmo da atividade 5, até
porque plotar um gráfico com 1000 dados manualmente, também não é simples.
Atividade 7 - Imagine um aluno com 1,70 metros de altura e 1,74 metros de envergadura, como você representaria graficamente as duas medidas simultaneamente? ___________________________________________________
Nesta atividade, inicia-se o trabalho da articulação entre as duas variáveis:
desenvolvendo a interpretação numérica do gráfico e fazendo a translação para a
representação gráfica. Espera-se que o aluno possa trabalhar com as duas
variáveis em eixos diferentes, sendo capaz de plotar o ponto com a altura e a
envergadura no gráfico.
Caso os alunos não consigam responder a atividade 7, o professor-
pesquisador terá que levar os alunos para o pátio novamente e montar um
diagrama de dispersão humano, utilizando as duas fitas métricas gigantes, uma
para altura e a outra para envergadura, ou seja, colocando uma fita na vertical e a
outra perpendicularmente na horizontal.
Em seguida, o professor-pesquisador entregará aos AP uma folha com
malha A4 e solicitará que eles construam, em um único gráfico, a altura e a
67
envergadura simultaneamente com os dados coletados dos AC. Após a construção
dos gráficos, os AP devem responder os seguintes questionamentos:
Atividade 8 - Observando o gráfico é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e envergadura? Se sim, qual(ais)?___________________
Atividade 9 – Utilizando o gráfico da atividade 8, trace a reta teórica y=x, e analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a envergadura? Justifique a sua resposta. ___________________________________________________________
Atividade 10 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
__________________________________________________________________
Nas atividades 8 e 9, espera-se que o aluno com o domínio do diagrama de
dispersão possa efetuar a translação da representação gráfica para a sentença
verbal de covariação, inferindo em relação à proporcionalidade entre a altura e a
envergadura.
Na atividade 10, espera-se que o aluno possa desenvolver o raciocínio de
covariação, mesmo de maneira informal.
Até esta etapa, espera-se o mínimo de interferência do professor-
pesquisador durante a aplicação das atividades. No caso da necessidade de
intervenção do professor-pesquisador, as mesmas deverão ter como objetivo,
esclarecer alguma dúvida, mantendo a postura de orientá-los a ler a questão
novamente e discutir com seus respectivos pares.
6ª Etapa: Desenvolver as atividades no ambiente de aprendizagem
computacional – casos univariado e bivariado
68
Objetivo: Potencializar as análises das relações bivariadas entre as medidas
antropométricas estudadas no ambiente computacional, com o software R, mais
especificamente o pacote Rcmdr.
Tempo estimado: 3 horas/aula (6º e 7º encontros).
Material necessário: Laboratório de informática e o software R com o pacote Rcmdr
instalado.
Procedimento:
Antes da construção dos gráficos, serão realizadas algumas atividades de
familiarização com o pacote Rcmdr, conforme descrito a seguir.
1) Abrir o R e carregar o pacote Rcmdr digitando na janela Console o comando
library(Rcmdr) (Figura 6).
Figura 6 - Icone e janela console do software R
2) Importar um banco de dados
Para importar um banco de dados, devemos utilizar o menu Dados e escolher
a opção importar arquivos de dados, e posteriormente escolher o programa que
os dados serão importados. Para nosso experimento, importaremos os dados do
Excel (figura 7). Será utilizado como exemplo, um banco de dados composto pelas
seguintes variáveis: gênero, idade, altura, peso, nota em Matemática, nota em
Física, nota em Português, quantidade de irmãos, preferência musical, time
favorito, religião, lazer de preferência e gosto pela Matemática.
69
Figura 7 - Importando dados do Excel.
3) Verificar o banco de dados importados.
No menu ver dados, podemos visualizar os dados importados (Figura 8).
Figura 8 - Visualização dos dados importados.
4) Calcular algumas medidas estatísticas.
No menu Estatísticas, é possível obter várias medidas estatísticas e,
clicando na opção Resumos- Conjunto de dados ativos, se obtém o resumo de
medidas, que, no caso das variáveis qualitativas, seria o número de observações
de cada categoria e para as variáveis quantitativas, o valor mínimo, 1º quartil, 2º
quartil – mediana, média, 3º quartil e valor máximo (figura 9).
Figura 9 - Resumo das medidas para todas as variáveis
70
5) Gerar gráficos
Podem ser gerados no menu Gráficos (figura 10), o dotplot denominado de
stripchart (figura 11) e o diagrama de dispersão nomeado de scaterplot (figura 12).
Rcmdr.
1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
Altura
Figura 10 - Menu gráficos para geração dos gráficos no pacote Rcmdr
Figura 11 - Dotplot da variável atura
1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
45
50
55
60
65
70
75
Altura
Pe
so
Figura 12 - Tela de solicitação para o diagrama de dispersão para as variáveis peso e altura
71
Em seguida à familarização, os AP digitaram o banco de dados com as
informações coletadas dos alunos da 3ª série A numa planilha eletrônica, para ser
importada para o pacote Rcmdr.
Utilizando o pacote Rcmdr, os AP, em duplas, construiram os gráficos de
dotplot: altura, largura do ombro, envergadura e palmo da mão e os diagramas de
dispersão bivariado para altura x largura dos ombros e altura x palmo da mão.
Observando os diagramas de dispersão, os AP deverão responder as atividades a
seguir.
Atividade 1 - Observando o diagrama de dispersão (scatterplot) é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e largura dos ombros? Se sim qual(ais)?______________
Espera-se que nesta atividade o aluno seja capaz de construir o diagrama
de dispersão seguindo os procedimentos apresentados para usar o pacote Rcmdr,
na sequência ele possa por meio da observação da nuvem de pontos, responder e
justificar usando os conceitos de covariação já adquiridos.
Atividade 2 – Utilizando o gráfico da atividade 1, trace a reta teórica y=4x, em que “y” seria a altura e “x” a largura dos ombros. Analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a largura dos ombros? Justifique a sua resposta. ____________________
Espera-se que nesta atividade, o aluno munido das informações da questão
da atividade 1, possa dar continuidade no processo, ainda seguindo o
procedimento de uso do pacote Rcmdr, consiga traçar a reta teórica e novamente
analisar as nuvem de pontos próximo da reta para poder tirar a sua conclusão e
justificar a sua resposta.
Atividade 3 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
__________________________________________________________________
Nesta atividades, espera-se que o aluno com o domínio do diagrama de
dispersão possa efetuar a translação da representação gráfica para a sentença
verbal de covariação, inferindo em relação à proporcionalidade eexistente no
gráfico.
72
Atividade 4 - Observando o diagrama de dispersão (scatterplot) é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e palmo da mão? Se sim, qual(ais)?______________
Espera-se que nesta atividade o aluno seja capaz de construir o diagrama
de dispersão seguindo os procedimentos apresentados para usar o pacote Rcmdr,
na sequência ele possa por meio da observação da nuvem de pontos, responder e
justificar usando os conceitos de covariação já adquiridos.
Atividade 5 – Utilizando o gráfico da atividade 4, trace a reta teórica y=10x, em que “y” seria a altura e “x” o palmo da mão. Analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a palma da mão? Justifique a sua resposta. ____________________
Espera-se que nesta atividade, o aluno munido das informações da questão
da atividade 4, possa dar continuidade no processo, ainda seguindo o
procedimento de uso do pacote Rcmdr, consiga traçar a reta teórica e novamente
analisar as nuvem de pontos próximo da reta para poder tirar a sua conclusão e
justificar a sua resposta.
Atividade 6 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
__________________________________________________________________
Nesta atividades, espera-se que o aluno com o domínio do diagrama de
dispersão possa efetuar a translação da representação gráfica para a sentença
verbal de covariação, inferindo em relação à proporcionalidade eexistente no
gráfico.
7ª Etapa: Aplicar a Atividade Final
Objetivo: Verificar a aprendizagem dos alunos AP sobre o conceito de covariação.
Tempo estimado: 2 horas/aula (8º encontro).
Material necessário: Papel e lápis.
Procedimento:
73
Para finalizar a EE, os AP deverão responder três atividades, sendo duas
propostas por Moritz (2004) e a terceira do Caderno 4 SEE-SP do 3º ano do ensino
médio.
Atividade Final 1 (Extraído de Moritz, 2004)
Ana e Clara desenvolveram um projeto para verificar os hábitos de estudo de 6 alunos de um determinado ano escolar. Elaboraram um questionário com 2 questões:
a) Quantas horas você gastou estudando para a prova de matemática?
b) Qual foi a nota que você tirou na prova?
Após o levantamento, Ana afirmou:
“Quanto maior o tempo de estudo, menor a nota tirada na prova”.
Q.1a. Como você interpreta essas duas informações.
Q.1b. Esboce um gráfico que represente a afirmação de Ana.
Q.1c. Agora esboce outro gráfico que represente essa outra afirmação:
“Os alunos que estudam mais tempo, obtêm maiores notas na prova”
Segundo Moritz (2004), o contexto da questão foi escolhido de forma que os
estudantes esperassem uma covariação positiva entre as variáveis, porém, a
questão apresenta uma covariação negativa. Esse mesmo autor comenta que, para
obter os gráficos a partir da geração de dados especulativos (dados apresentados
somente através da sentença sem apresentar valores, apenas através da indução
do aluno), não foram fornecidos os eixos justamente para que os estudantes
pudessem decidir os números e tipos de variáveis para representar e desenvolver a
sua própria forma de representação.
Assim, nesta atividade é esperado que o aluno desenvolva a investigação
dos dados especulativos e generalização através do esboço do gráfico, bem como
a translação de sentença verbal para os dados numéricos e representação ou
sentença verbal para representação gráfica.
Atividade Final 2 (Extraído do Caderno 4 SEE-SP, 2010)
O gráfico a seguir foi gerado a partir dos dados do climograma da cidade de
Catalão no estado de Goiás, apresentando o índice de chuvas em milímetro, e a
temperatura média dos meses em grau Celsius (Figura 13).
74
Figura 13 - Climograma da cidade de Catalão, Goiás de um detrminado ano
Fonte: Caderno 4 SEE – SP do 3ª série do ensino médio (SÃO PAULO, 2010, p. 5)
A respeito desse gráfico, responda:
(Q2a) Como é possível relacionar as estações do ano aos índices de chuvas apresentado no gráfico?_______________________________________________
Nesta questão, espera-se que o aluno consiga fazer uma relação do gráfico
com as quatro estações do ano ( primavéra, verão, outono e invérno), por meio de
translação da interpretação verbal do gráfico para a sentença verbal.
(Q2b) Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico. É verdade que chove mais nos meses mais frios? Justifique sua resposta.____________________
Esta questão é semelhante a questão Q2a, onde é esperado que o aluno
consiga fazer uma relação do gráfico com as quatro estações do ano ( primavéra,
verão, outono e invérno), neste caso optando somente pelas estações mais frias e
justificando por meio de translação da interpretação verbal do gráfico para a
sentença verbal, porque chove menos nas estações mais frias.
(Q2c) Represente os dados deste gráfico em um diagrama de dispersão bivariado.
__________________________________________________________________
Nesta questão, espera-se que o aluno tenha adquirido os conceitos
suficientes para poder desenvolver um diagrama de dispersão a partir dos dados
apresentados no gráfico existente, neste caso esta sendo efetuado a translação de
um gráfico já existente para o desenvolvimento de uma diamagra de dispersão, ou
seja a geração de um novo meio de observar os dados propostos.
75
Atividade Final 3 (Extraído de Moritz, 2004)
Os estudantes da escola X, desenvolveram um projeto para verificar o nível de
ruido em 6 salas de aula. Para tal utilizaram um decibelimetro e verificaram o nível
de ruído, considerando também a quantidade de pessoas que encontravam-se na
sala no momento da medição.
Os resultados desta pesquisa podem ser observados no gráfico da Fig. 1
C
A
E
B
D
F
0
10
20
30
40
50
60
70
80
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nº de pessoas na sala
Nív
el d
e ru
ído
Q3a. Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
__________________________________________________________________
Espera-se que, nesta questão, o aluno apresente habilidade para realizar a
interpretação verbal do gráfico, redigindo um texto em que fique claro a associação
negativa que existe entre as variáveis.
Q3b. Quantas pessoas estão na classe D?_______________________________
Espera-se que, nesta questão, o aluno desenvolva interpretação numérica
do gráfico.
Q3c. Caso os alunos tenham que medir o nível de ruído em uma classe que tenha 23 pessoas, qual o nível de barulho você acha que eles iriam medir? ( Mesmo que você não tenha certeza, procure estimar ou adivinhar). Justifique a sua resposta.__________________________________________________________
76
Espera-se que, nesta questão, o aluno desenvolva interpretação numérica
do gráfico e consiga efetuar a interpolação com base na proximidade de uma ou
mais das classes A,B e E.
Q3d. Um dos alunos que estava efetuando a medida disse:
“O gráfico mostra que as salas de aula com mais pessoas fazem menos barulho”. Você acha que o gráfico é uma boa razão para dizer isso?
( ) sim ( ) não. Justifique a sua resposta.
_________________________________________________________________
Q3e. Algum tempo depois, o mesmo aluno disse:
“O gráfico mostra que o baixo nivel de ruido está relacionado com o número de pessoas na classe”. Você concorda com ele?
( ) sim ( ) não. Justifique a sua resposta.
__________________________________________________________________
Nas questões Q3d e Q3e, espera-se que, o aluno desenvolva interpretação
verbal do gráfico, justificando sua resposta e sendo capaz de sinalizar mais
especificamente sobre a covariação. Estas questões também foram redigidas de
forma aberta, procurando evitar novamente a suposição de que existe uma
associação, assim nesta nova proposta, pode ser que o aluno comente e resolva
com mais facilidade estas questões.
77
6 ANÁLISE A POSTERIORI DO EXPERIMENTO DE ENSINO
Este capítulo apresenta a análise a posteriori do experimento de ensino, com
o objetivo de avaliar aprendizagem do conceito de covariação, procurando
identificar, nas respostas dos alunos, o uso eficiente ou não dos processos de
translação e, por conseguinte, o desenvolvimento do raciocínio de covariação.
Ressalta-se que, para a análise da atividade final, foram utilizados os níveis de
covariação propostos por Moritz (2004) para a categorização das respostas dos
alunos.
1ª Sessão – Pesquisa na internet
A primeira sessão teve início em 16/05/2011, com três duplas de alunos-
pesquisadores (AP). A primeira tarefa solicitada aos AP foi efetuar uma pesquisa
na internet, em sites recomendados sobre o arquiteto romano Marco Vitruvius, as
medidas antropométricas e o pintor Leonardo da Vinci, focando mais
especificamente, a pintura do Homem Vitruviano.
Na realização desta pesquisa, os AP sistematizaram as informações através
das respostas de um questionário (Apêndice A), com o resumo dos dados
pesquisados, bem como o estabelecimento de algumas questões de pesquisa com
foco nas medidas antropométricas apresentadas no quadro do Homem Vitruviano,
enfatizando somente as variáveis: altura, envergadura, largura dos ombros e
comprimento do palmo da mão.
Durante o processo de pesquisa, a aluna Ingrid da dupla D3 mencionou que
quando o desenho foi desenvolvido, centralizando o quadrado e o círculo pelo
mesmo ponto, os artistas não obtiveram sucesso em relação à proporcionalidade
dimensional, ou seja, os desenhos apresentavam-se com deformações na parte
superior.
Já o aluno Danley da dupla D2, após desenvolver as questões de pesquisa,
comentou que queria verificar imediatamente a veracidade das mesmas, porém o
PP ressaltou que as questões de pesquisa poderão ser exploradas após a coleta
dos dados dos alunos da turma.
78
Os alunos Danley e Ana Lúcia comentaram entre si, que Vitrivius foi o
primeiro a colocar o desenho do homem em suas proporções, enquanto Da Vinci
foi o responsável por desenhar o homem na figura geométrica, Danley relatou
também que era importante verificar as variações das medidas por gênero.
Mesmo com a interferência do professor-pesquisador, os alunos, em geral,
apresentaram muita dificuldade em relação ao desenvolvimento das questões de
pesquisa. Em alguns casos, as questões levantadas tornavam-se muito difíceis de
dimensionar por conta da parte do corpo sugerida, como, por exemplo, a dupla D2:
“A orelha é 1/3 da face?”, “A testa é 1/3 da face?”: ou da dupla D3: “A medida da
base do pescoço às raízes do cabelo é igual a 1/8 da altura do corpo?”,” A medida
da base do queixo à base das narinas é igual a 1/3 da face?”
Vale ressaltar que, durante a aplicação das atividades, houve um problema
técnico em relação ao uso do computador, já que o sistema ACESSA na escola,
após 50 minutos de funcionamento, desligava o computador automaticamente e
somente era reiniciado após nova solicitação do professor responsável. Com isso,
no momento da pesquisa, foram perdidos alguns minutos para reiniciar o sistema
novamente.
Nesta sessão, coube ao PP solicitar a liberação para o uso do computador,
manter os alunos focados na pesquisa e quando surgiram as dúvidas em relação
às questões de pesquisa, esteve atento ao auxílio dos AP procurando saná-las,
enfatizando o propósito do desenvolvimento das questões de pesquisa, bem como
argumentando com os AP, quais as dificuldades que poderiam ocorrer no momento
da coleta dos dados, no que se referia a parte do corpo que deveria ser medida.
Esclarecendo que existem diversas relações entre as partes do corpo humano,
porém nem sempre é fácil de serem medidas, devido à necessidade de
equipamentos de medição especiais. Para finalizar o PP comentou sobre a
importância da pesquisa e qual seria a finalidade das questões de pesquisa
desenvolvidas pelas duplas.
79
2ª Sessão – Revisão das questões de pesquisa e questionário de perfil
Em 20/05/2011, a sessão foi iniciada somente com 1 aluno de cada dupla,
com a proposta de revisão do questionário efetuado na sessão anterior, em
especial que melhorassem as questões de pesquisa de maneira que ficassem mais
fáceis e coerentes de serem medidas, tornando a coleta de dados mais eficiente e
também que respondessem o questionário de perfil individualmente (Apêndice B).
O resultado deste questionário de perfil já foi apresentado no capítulo 4, sessão 4.1
Participantes do estudo na página 37.
3ª Sessão – Coleta dos dados dos alunos
Em 22/05/11, no período da manhã, foram coletados os dados das medidas
de altura, envergadura, largura dos ombros e comprimento da palma da mão dos
19 alunos-colaboradores (AC) e dos 6 alunos-pesquisadores (AP). Ressalta-se que
a idéia inicial não era coletar também as medidas dos AP, mas, como eles ficaram
bastante envolvidos com o processo, tomaram a decisão por si só de participarem
do banco de dados.
Nesta etapa, o professor-pesquisador (PP) auxiliou os alunos pesquisadores
(AP) apenas no início da atividade, indicando como deveriam ser feitas as
medições, todo o resto do processo foi conduzido pelos AP (Figuras 14 e 15).
80
Dimensionando a largura dos ombros Dimensionando a envergadura
Dimensionando a palma da mão Dimensionando a altura
Figura 14 - Coleta de Dados dos alunos da 3ª série A
Vale salientar que, na medição da altura e da envergadura dos AC,
diferentemente de como descrito na 3ª etapa do capítulo 6, foi necessário utilizar
uma trena de 4 metros, em vez de fitas métricas de 1 metro, porque o local,
inicialmente proposto para o desenvolvimento dessa etapa não estava disponível.
Na sequência figura 15, podemos observar o banco de dados coletado e
organizado pelos AP.
81
Figura 15 - Lista de dados coletados da turma da 3ª série A
Observamos, nesta etapa, o envolvimento dos alunos AP, conduzindo toda a
coleta de dados sem apresentar dificuldades. Salientam-se também a colaboração
dos alunos AC, bem como da professora de Português, responsável pela classe no
momento da coleta. Os AP tiveram também a oportunidade de comprovar, por meio
experimental, a necessidade da coleta dos dados para verificar a veracidade das
questões de pesquisa levantadas nas 1ª e 2ª sessões.
82
Resumo da etapa: Nesta etapa o PP efetuou as intervenções somente no
início da coleta, orientando como deveriam ser efetuadas as medições das partes
do corpo,para a formação do banco de dados, conforme proposta da pesquisa.
4ª Sessão – Aprendizagem papel e lápis – caso univariado (Análise do banco
de dados dispersos)
Em 22/05/11 no período da tarde, iniciamos a etapa das atividades no
ambiente de aprendizagem papel e lápis (caso univariado) com o banco de dados
desorganizados, sendo solicitado aos AP que respondessem as seguintes
questões:
Atividade 1 - Diante das medidas coletadas na sala de aula, qual foi o maior e o menor valor encontrado e a diferença entre esses dois valores para as variáveis Altura, Envergadura e Largura dos Ombros. E se existiam diferenças entre essas variáveis. Caso afirmativo, quais seriam essas diferenças.
Atividade 2 – Em relação às medidas encontradas nos alunos da sala, para as variáveis Altura, Envergadura e Largura dos Ombros qual(is) seria(m) o(s) valor(es) que apresenta(ram) a maior frequência e quantas vezes houve a repetição.
Atividade 3 – Dentre todas as medidas relacionadas com cada uma das variáveis Altura, Envergadura e Largura dos Ombros qual valor poderia ser considerado como uma medida central, ou seja, qual é a medida que divide a amostra em 50%.
Atividade 4 – Com base nas respostas das atividades 1 a 3, as duplas deveriam apresentar uma síntese descrevendo essas variáveis.
Antes de iniciar a avaliação das respostas dos AP para as atividades 1 a 3, o
PP observou o banco de dados dos 25 alunos, determinando os valores: mínimo,
máximo, amplitude total, moda e mediana para cada uma das três variáveis
(Tabela 2), para comparar posteriormente com os resultados apresentados pelos
AP.
83
Tabela 1 - Valores: mínimo, máximo, amplitude total (AT), moda e mediana das variáveis altura, evergadura e largura dos ombros de 25 alunos do 3ª série do ensino médio
Variável Mínimo Máximo AT Moda Mediana
Altura (cm) 146 190 44 161, 175 167
Envergadura (cm) 147 193 43 167 167
Largura dos ombros (cm) 33 46 13 38 38
Na atividade 1, todas as duplas identificaram corretamente os valores
máximos e mínimos e calcularam as diferenças para as três variáveis. Os alunos
apresentaram dificuldade para responder se existiam diferenças entre as variáveis,
uma vez que, apesar de terem respondido sim, não conseguiram justificar
adequadamente dando respostas como: “existe uma diferença de 10 a 11 cm
(D1)”,” a altura é maior em 1,90 e a envergadura maior é 1,93 (D2)” e “os valores
da altura e envergadura e largura dos ombros (D3)”. As respostas parecem indicar
que os alunos ou não entenderam a pergunta, ou não souberam como utilizar as
medidas para comparar variáveis, como, por exemplo, explorar a amplitude total
para discutir a questão da variabilidade.
Na atividade 2, somente a dupla D1 percebeu a existência de dois valores
para a moda da altura, apesar de um dos valores estarem incorreto, mas porque
eles anotaram a medida de uma das alunas no banco de dados de forma incorreta:
ao invés de 161, colocaram 168, apresentando, então, como moda os valores 168
e 175. As duplas D2 e D3 apresentaram somente um valor para esta variável.
Para as demais variáveis solicitadas, as duplas não tiveram dificuldades na
determinação da moda. Analisando esses resultados, o que pode ter ocorrido é que
os alunos da dupla D2 e D3 ou não tinham o conhecimento de que podem existir
conjuntos de dados que apresentam mais de uma moda, sendo denominados de
bimodal; ou não investigaram corretamente o banco de dados, uma vez que, nessa
fase, os dados ainda estavam desorganizados na planilha de coleta.
Na atividade 3, todas as duplas erraram os valores de mediana solicitados,
estes resultados indicam que a determinação da mediana com os dados
desorganizados pode representar uma dificuldade cognitiva para os alunos,
84
principalmente se tiverem uma quantidade razoável de dados, nesse caso 25
alunos.
Na atividade 4, é importante destacarmos a resposta apresentada pela dupla
D1 que observou a relação apresentada no quadro do homem vitruviano entre
altura e envergadura, com a seguinte afirmação: “Assim, como no homem
vitruviano, percebemos que, em algumas pessoas, as medidas da envergadura e
da altura são as mesmas”.
Já as outras duas duplas D2 e D3 tiveram dificuldades na translação do
banco de dados para a sentença verbal, observando somente a relação numérica
por meio de comparação de valores: “Há muita diferença entre tamanhos, isso
mostra como é imensa a nossa diversidade no Brasil (D2)”; “As alturas são
aproximadas, assim como as envergaduras, porém existem algumas exceções
(D3)”.
Nesta sessão, o PP transcreveu os dados coletados para um cartaz e
ampliou o banco de dados em papel madeira, para melhorar a visibilidade dos
alunos AP, quando fossem responder o questionário proposto. Além disso,
observou as discussões e as atitudes dos alunos durante a realização da atividade.
Nesse processo de observação, o PP registrou que a dupla D3, mesmo
errando a atividade 3, iniciou um processo para encontrar a mediana, utilizando o
processo de cancelamento nos valores extremos, porém não colocando esses
valores em ordem crescente, para depois iniciar o cancelamento pelas
extremidades.
O PP verificou também que as duplas estavam bastante ansiosas em
relação à necessidade de responderem as atividades corretamente, e coube ao
mesmo, explicar que as atividades eram uma etapa de um processo maior e que
eles deveriam responder com atenção, mas que se fossem cometidos equívocos,
os mesmos seriam discutidos posteriormente de forma coletiva com ele.
Após essa explicação, os alunos começaram a se comunicar mais entre eles
(duplas) e deram continuidade às respostas das atividades.
Ao final o PP não discutiu os resultados das atividades, pois o objetivo nesta
sessão seria verificar se os alunos modificariam ou corrigiram as suas respostas
em relação as mesmas atividades, após observar, nas próximas sessões,
85
representações diferenciadas do mesmo conjunto de dados (dotplot humano e
dotplot papel)..
5ª Sessão – Aprendizagem papel e lápis – caso univariado (Construção do
dotplot humano)
Em 26/06, no período da manhã, iniciamos o processo de construção do
dotplot humano com os alunos da 3ª série A, com as medidas da altura,
envergadura e largura dos ombros dos AC. Vale salientar que o dotplot humano
não representou exatamente o banco de dados original, uma vez que os AP nessa
etapa só assumiram o papel de investigadores. Esse procedimento não interferiu
para a determinação dos valores: máximo, mínimo, amplitude total e moda, que
seriam utilizadas para responder as atividades da 6ª sessão; com exceção da
mediana que passava de 166 para 167 cm, constituindo esse uma falha de
condução do PP no processo.
Nesta etapa, destacamos novamente a contribuição dos AC, AP e da
professora de português que cedeu a sua aula. Nesta sessão, o PP iniciou o
trabalho solicitando aos AP que colocassem as escalas no chão para facilitar o
posicionamento dos AC. Após as escalas coladas, solicitou à professora
responsável pela aula naquele momento para liberar os AC, e dar continuidade ao
trabalho de coleta. A atividade foi realizada de forma satisfatória, conforme pode
ser observado nas fotos da figura 16. Também foi solicitado que os alunos AP
ficassem atentos em relação à formação dos gráficos, e observassem se a posição
dos alunos modificaria as suas respostas para as atividades da 4ª sessão
(atividades com os dados dispersos).
86
Fita métrica gigante para a variável altura Gráfico dotplot da altura
Gráfico dotplot da envergadura Gráfico dotplot da largura dos ombros
Figura 16 - Demonstração do espaço e escala utilizada para a construção do dotplot humano: altura, envergadura e largura dos ombros
As fotos foram tiradas caso os AP necessitassem consultá-las para
responder as atividades da 6ª sessão.
6ª Sessão – Aprendizagem papel e lápis – caso univariado (Análise do dotplot
humano)
Em 30/06/2011, foi solicitado aos alunos que efetuassem uma revisão das
suas respostas da 4ª sessão após a construção do dotplot humano. Foi
acrescentada também a atividade 5 que questionava se o dotplot humano poderia
facilitar a observação do comportamento das variáveis.
87
Em relação a sua resposta, apresentada nas atividades de 1 a 4 (antes de construir o dotplot humano), você mudaria de opinião em relação as medidas determinadas para as variáveis Altura, Envergadura e Largura dos Ombros. Se afirmativo, justifique sua decisão e faça a correção da questão.
Atividade 5 - Algumas das medidas calculadas na 1ª situação ficam mais fáceis de serem observadas com o dotplot humano? Como é o comportamento da variável largura dos ombros quando comparada com a altura?
Nesta sessão, o PP perguntou para os AP, se havia a necessidade de
apresentar as fotos para tirar alguma dúvida em relação ao posicionamento dos AC
nos gráficos dotplot apresentados no período da manhã e os AP responderam que
não.
Na atividade 1, somente a dupla D2 alterou a resposta do valor máximo para
largura dos ombros passando de 46 cm para 45 cm, e a diferença modificou de 13
cm para 12 cm, ou seja, essa dupla cancelou a resposta correta e modificou para
uma resposta errada. É possível que este descuído ocorreu por uma falta de
observação mais atenciosa no dotplot humano da largura dos ombros.
Na atividade 2, a dupla D1 alterou o valor da moda da altura de 168 cm e
175 cm para 161 cm e 175 cm com frequência 3. Essa mudança ocorreu porque
eles perceberam que tinham errado na anotação dos dados de uma aluna das
duplas na tabela, justificando a mudança por meio de observação do dotplot
humano. Já a dupla D3 alterou também o valor da moda da altura de 168 cm para
175 cm, ainda não percebendo que 161 cm também era a moda da altura.
Na atividade 3, somente a dupla D3 alterou o valor da mediana da largura
dos ombros de 41 cm para 38 cm, corrigindo para o valor correto, mas mesmo
assim manteve os valores incorretos para a mediana da altura e da envergadura.
As outras duplas não fizeram alteração mantendo-se os mesmos equívocos
cometidos na 4ª sessão. Esses resultados parecem indicar que os alunos não
conhecem mesmo o conceito de mediana, e que não seria apenas interferência da
forma de apresentação dos dados, como pensado na 4ª sessão.
Na atividade 4, as duplas D1 e D3 não responderam. A dupla D2 fez o
seguinte comentário “Houve um erro em relação a largura dos ombros de uma
colaboradora”. Essa afirmação não respondeu a pergunta de forma satisfatória,
88
reforçou o descuido da dupla no momento de responder a atividade 1 dessa
sessão, já que nenhum aluno mudou sua medida no dotplot humano. A não
resposta das outras duas duplas e essa da D2 parecem indicar que, de fato, os
alunos não entenderam o que significava comparar variáveis utilizando medidas
estatísticas.
Na atividade 5, vale ressaltar a resposta apresentada pela dupla D3, que, ao
comparar os gráficos da altura, envergadura e largura dos ombros, percebeu que o
gráfico da largura dos ombros das pessoas se apresentava mais próximas, e os
demais gráficos dispersou mais as pessoas (figura 17). É possível verificar que
esta dupla conseguiu observar, mesmo implicitamente, a variabilidade nos gráficos
apresentados, isso nos leva a pensar que, nestas atividades, podemos discutir com
facilidade este tópico.
Figura 17 - Resposta da atividade 5 da 6ª sessão da dupla D3
As duplas argumentaram que algumas atividades eram mais fáceis de serem
respondidas observando o dotplot humano, como, por exemplo, a localização do
aluno mais baixo e o mais alto, também a quantidade de alunos com maior
frequência. Coube ao PP apenas nessa etapa, observar a resolução das atividades
pelos AP.
Nesta etapa o PP ainda não efetuou as intervenções em relação aos
resultados, mesmo que, em algumas atividades perssistissem os mesmos erros. O
objetivo era verificar se os alunos modificariam ou corrigiram as suas respostas em
relação as mesmas atividades, após observar, nas próxima sessão,
representações diferenciadas do mesmo conjunto de dados (dotplot papel)..
89
7ª Sessão – Aprendizagem papel e lápis – caso univariado (Construção do
dotplot em papel)
Nesta sessão, o PP iniciou as atividades distribuindo as folhas de papel
milimetrado para as duplas construirem o dotplot e comentou que a construção se
daria conforme foi observado no dotplot humano, colocando as medidas repetidas
uma sobre as outras e não ao lado, pois, nesse caso, seria uma medida diferente e
não a mesma (Figura 18).
Figura 18 - Gráfico construido pela dupla D2
Após a construção do gráfico, novamente os alunos foram questionados em
relação às atividades de 1 a 4 respondidas na 7ª sessão, se eles mudariam de
opinião em relação a estas atividades; se afirmativo, deveriam justificar sua decisão
e corrigir a questão.
90
Em relação a sua resposta, apresentadas nas atividades de 1 a 4 (antes de construir o dotplot no papel), você mudaria de opinião em relação as medidas determinadas para as variáveis Altura, Envergadura e Largura dos Ombros. Se afirmativo, justifique sua decisão e faça a correção da questão.
Atividade 5 - Algumas das medidas calculadas na 1ª situação ficam mais fáceis de serem observadas com o dotplot no papel? Como é o comportamento da variável largura dos ombros quando comparada com a altura?
Na atividade 1, nenhuma dupla alterou seus resultados. Ressaltamos que as
sessões anteriores, foram o suficiente para que os alunos adquirissem confiança
nas respostas apresentadas.
Na atividade 2, somente a dupla D2 alterou a moda da altura de 168cm para
161 e 175cm com frequência de 3. Nesta questão, é importante mencionar que a
construção do gráfico foi importante para que a dupla observasse melhor a
distribuição dos pontos em relação às medidas apresentadas, facilitando a tomada
da decisão.
Na atividade 3, houve alteração das duplas D2 na medida da mediana da
altura de 170cm para 166cm, mas continuaram com a medida incorreta. A D3
também alterou o valor da mediana da altura de 170cm para 167cm, acertando o
valor; e da largura dos ombros de 38cm para 41cm, trocando a resposta certa por
um valor incorreto. Novamente reiteramos a importância da construção do gráfico
no papel para as possíveis alterações e conclusões.
Uma síntese das respostas por duplas das atividades 1 a 3, ao longo de 3
sessões (4ª, 6ª e 7ª sessões), bem como um comentário final, podem ser
observados na tabela 3.
91
Tabela 2 - Síntese das respostas das duplas para as atividades 1 a 3 das variáveis altura (A), envergadura (E), largura dos ombros (LO) em 3 sessões.
Ativ. Dupla Sessão
Comentário Final 4ª 6ª 7ª
1
D1
A – 190, 146, 44
E– 193, 147, 46
LO– 46, 33, 13
Não mudou Não mudou A atividade foi resolvida de forma correta logo na 4ª sessão. Apenas D2 mudou o valor máximo de LO, informando primeiro um valor correto e depois trocou para um valor errado, mudando também, por conseguinte, a amplitude total.
D2
A – 190, 146, 44
E– 193, 147, 46
LO– 46, 33, 13
Mudou só valor para LO de 46
para 45 e de 13 para 12
Não mudou
D3
A – 190, 146, 44
E– 193, 147, 46
LO– 46, 33, 13
Não mudou Não mudou
2
D1
A – 168 e 175
E – 167
LO – 38
Mudou só o valor para A de 168 e 175 para
161 e 175
Não mudou
Só a dupla D2 finalizou a atividade na 7ª sessão ainda sem identificar que, para a altura, tinham dois valores de moda, sendo que identificou apenas o valor 175 cm. Para as variáveis E e LO, não houve dificuldade para identificação do valor da moda.
D2
A – 168
E – 167
LO – 38
Não mudou
Mudou só valor para A de 168 e 175 para 161 e
175
D3
A – 168
E – 167
LO – 38
Mudou só valor para A de 168
para 175 Não mudou
3
D1
A – 165,
E – 165
LO - 37
Não mudou Não mudou
Ao final das 3 sessões, D1 não acertou nenhum valor, D2 só acertou o valor da mediana da altura e D3 acertou os valores da mediana da altura e da largura dos ombros. Sendo então das medidas solicitadas a mais díficil para os alunos indentificarem.
D2
A – 170
E – 166
LO – 36
Não mudou Mudou só o valor
para A de 170 para 166
D3
A – 170
E – 166
LO – 41
Mudou só o valor para LO de 41 para 38
Mudou só o valor para A de 170
para 166
Na atividade 4, a dupla D3 não respondeu a atividade e a dupla D1
apresentou uma síntese dos principais momentos da pesquisa e justificando a
proporcionalidade entre a altura e a envergadura:
92
Passo 1: Observação dos dados do Homem Vitruviano e suas perfeições.
Passo 2: Comparação de medidas, com o Homem Vitruviano e as pessoas em sala de aula.
Passo 3: Gráfico humano.
Com o gráfico humano tudo melhorou, ficou mais clara a visualização das medidas.
(Resposta da atividade 4 da 7ª sessão da dupla D1)
A dupla D2 também apresentou uma síntese, evidenciando principalmente o
dotplot humano, afirmando que esse gráfico possibilitou uma melhor visualização
das medidas:
Altura e enevergadura ficaram proporcional e que com o gráfico fica mais fácil de visualizar do que com números. No começo pesquisamos sobre o Homem Vitruviano e suas origens. Depois tentamos comprovar na prática e vimos algumas diferenças. Fizemos pesquisa de campo com os alunos e depois esboçamos no gráfico para tirar as conclusões finais.
(Resposta da atividade 4 da 7ª sessão da dupla D2)
Na atividade 5, os alunos comentaram que este tipo de gráfico era fácil de
construir e de realizar a leitura do mesmo para responder as atividades solicitadas.
Após a entrega das atividades respondidas por todas as duplas, o PP
começou a explicar para os AP qual era a finalidade daquelas atividades,
procurando sanar as possíveis dúvidas ao efetuar a correção das atividades,
definindo e exemplificando tópicos como: população, amostras, variáveis, ponto
máximo e mínimo, amplitude, frequência, moda, mediana e média. Foi enfatizado o
conceito da mediana, e as formas de cálculo, demonstrando as possibilidades
diferenciadas de observação desta medida nas diferentes representações do
conjunto de dados. .
Foi discutido também a importância de apresentar um mesmo conjunto de
dados de várias maneiras, diversificando as possibiliodades que o aluno tem para
calcular as medidas estatísticas, avaliar e descrever padrões de comportamento,
no que tange a variabilidade dos dados. Então quando comparamos cada tipo de
representação proposta com os alunos, pudemos analisar as possíveis vantagens
e desvantagens de cada uma delas:
Banco de dados desorganizados: os alunos gastaram mais tempo para
encontrar os valores das medidas solicitadas, pois os dados foram
93
apresentados de maneira não ordenadas, logo tem-se que checar cada
medida para resolver as questões propostas, mesmo assim não foi possível
encontrar todas as solicitadas, como exemplo, a mediana.
Dotplot humano: observando os alunos na formação do dotplot humano,
algumas medidas ficam mais fáceis de serem observadas, como por
exemplo: máximo e mínimo, já que são as extremidades no gráfico formado,
a moda fica mais visivel pela quantidade de alunos aglomerados naquele
valor. Embora ainda dificulta a observação da mediana.
Dotplot no papel: pode-se observar as mesma caracteristicas anterior, com
um diferencial de que os valores estão fixo, portando pode se destacar que
na construção do gráfico o aluno ja vai observando as extremidades e a
repetição de cada medida, aprimorando as suas conclusões.
8ª Sessão – Aprendizagem papel e lápis – caso bivariado
Nas atividades desta sessão, o foco era a exploração de questões que
possibilitassem trabalhar o conceito de covariação de maneira informal, para tal
foram solicitadas as comparações entre as variáveis altura e envergadura ou por
meio de operações de subtração ou razão entre elas, ou ainda, pela construção do
diagrama de dipersão. Vale salientar que foi solicitado aos alunos que utilizassem o
mesmo gráfico (dotplot no papel) construido na sessão anterior para responder as
atividades 1, 2 e 3.
Atividade 1 - Nos gráficos construídos, você consegue identificar 5 alunos e suas medidas de altura e de envergadura? Justifique a sua resposta.
Atividade 2 – Utilizando deste mesmo artifício, você consegue identificar nos gráficos todos os alunos da sala e suas medidas? Por que?
Atividade 3- Pode-se afirmar que as medidas da altura e envergadura dos alunos
dessa turma são iguais? Justifique a sua resposta.
Atividade 4 – Foi apresentado nesta atividade dois dotplot, um com altura e outro com a envergadura de uma turma X, para que eles respondessem a seguinte questão: É possível afirmar que altura é igual à envergadura? Justifique sua resposta.
94
Altura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Envergadura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Altura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Envergadura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Atividade 5 – Foi apresentada um banco de dados composto com os dados de 42 alunos, dispostos na seguinte ordem: nome, sexo, idade, altura e envergadura. Sendo dado a seguinte questão: É possível afirmar que a altura é igual à envergadura, sem uma representação gráfica? Por que?
Atividade 6 - Caso fosse apresentado um banco de dados com 1000 pessoas,
como você responderia a questão se altura é igual à envergadura? Porque?
Atividade 7 - Imagine um aluno com 1,70 metros de altura e 1,74 metros de envergadura, como você representaria graficamente as duas medidas simultaneamente?
Atividade 8 – Após terem construido um diagrama de dispersão com os dados coletados pelos alunos colaboradores (AC), foi solicitado que eles respondessem a seguinte pergunta: Observando o gráfico é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e envergadura? Se sim qual(ais)?
Atividade 9 – Utilizando o gráfico da atividade 8, trace a reta teórica y=x, e analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a envergadura? Justifique a sua resposta.
Atividade 10 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
Na atividade 1, as duplas responderam que era possível identificar os alunos
nos gráficos construído no papel, justificando da seguinte maneira:
D1 comentou que era possível a identificação, relacionando os alunos
posicionados nas extremidades e no meio;
D2 justificou que somente identificaria os alunos que se destacassem nas
extremidades dos gráficos;
D3 relacionou os alunos com as suas respectivas alturas e envergadura.
95
Nesta questão, a resposta positiva quanto à identificação dos alunos, pode ser
justificada pela pouca quantidade de alunos para ser identificada.
Na atividade 2, todas as duplas responderam não ser possível a
identificação de todos os alunos no gráfico, justificando, por exemplo, que não se
lembravam de todos ou de semelhanças nas medidas. Era esperado esse tipo de
resposta, estando os mesmos restritos apenas ao uso do gráfico, sem consulta à
tabela, justamente por ser um volume maior de dados.
Na atividade 3, os alunos apresentaram dificuldades de relacionar a
igualdade estatística entre a altura e a envergadura dos alunos. Provavelmente,
esses alunos devem estar mais familiarizados com situações que apresentam
dimensões univariadas.
Na atividade 4, mesmo observando os dotplot da altura e da envergadura da
turma X, as dificuldades ainda permanecem em relação a uma possível afirmação
entre as variáveis, pois, o tipo de gráfico apresentado dificultou a identificação de
uma correspondência entre as duas variáveis. Logo, parece comum a negação e
com justificativas como da dupla D2: “porque os gráficos deveriam ser exatamente
iguais” ou de D3: “Não, pois as quantidades de alunos, no gráfico da altura,
estariam respectivamente no gráfico da envergadura”.
Como comentado na 6ª sessão, essa questão foi elaborada com o intuito
dos alunos perceberem que se eles não conhecessem os elementos do banco de
dados os dotplot das duas variáveis não permitiriam dizer se altura é igual à
envergadura, o que difere das atividades 1 e 2, em que o banco de dados era
conhecido para os AP.
Na atividade 5, as duplas D1 e D3 apresentaram respostas positivas, mas
com justificativas que estariam mais propícias para a negação do questionamento:
“Sim, se isso ocorre. Pois é muito raro, apenas colhendo esses dados (D1)”, “Sim,
porque a altura e a envergadura estão representadas lado a lado possibilitando
uma melhor visualização”. Enquanto a dupla D2 respondeu a negação do
questionamento, porém eles justificaram alegando a possibilidade dos dados
estarem em um gráfico para facilitar a visualização. Esperava-se que, nessa etapa,
os alunos utilizassem como recurso pelo menos a diferença ou a razão entre as
duas variáveis, para verificar ou não a igualdade.
96
Na atividade 6, observamos que as duplas pensaram de modo diferente no
momento de justificar suas respostas: “É muito difícil isso ocorrer, porém existe
(D1)”, representando uma resposta evasiva;” “Observando a altura e envergadura
de algumas pessoas, formado assim uma estatística (D2)”, relacionando com uma
amostragem; “Analisando o gráfico, se o gráfico for igual será possível que a altura
seja igual à envergadura (D3)”, pensando num gráfico, mas sem explicitar qual.
Até essa atividade, a ideia de igualdade estava sendo colocada pelos alunos
numa visão bastante determinística, isto é, as duas variáveis só são iguais se os
seus valores forem exatamente iguais. Esse tipo de visão era até esperada, uma
vez que os mesmos só tinham vivenciado, nas aulas de Matemática, o tópico de
função, desconhecendo, como eles mesmos afirmaram no questionário de perfil, os
termos como correlação, covariação e diagrama de dispersão.
Outro detalhe é que, até a atividade 6, o PP não interferiu no processo, uma
vez que os AP não fizeram nenhum tipo de questionamento.
Na atividade 7, os alunos tinham que imaginar como representar dois
valores, um de cada variável no mesmo gráfico. O PP exemplificou mencionando
como um aluno no dotplot humano poderia se posicionar no pátio, relacionando a
sua altura e envergadura simultaneamente, ou seja, que eles deveriam imaginar
dois eixos, um para altura e outro para a envergadura. As respostas apresentadas
pelas duplas D2 e D3 foram apresentadas de modo diferente. A dupla D2 fez o
esboço do plano cartesiano, plotando os dois valores, mas sem apresentar ainda
nomeação para os eixos. A dupla D3 utilizou uma sentença verbal respondendo
que esses pontos deveriam ser representados num plano cartesiano, em que “x”
seria a altura e “y” a envergadura. Essas respostas mostram que as duas duplas,
mesmo sem perceber, já estavam pensando no diagrama de dispersão. A dupla D1
não respondeu a atividade. Nessa atividade, a interferência do PP, no início,
comentando sobre a possibilidade de dois eixos, pode ser considerada com uma
falha na condução do experimento, por provavelmente ter influenciado
positivamente nas respostas dos alunos.
Para a construção do diagrama bivariado com os alunos da sala, na
atividade 8, o PP entregou o papel milimetrado e depois fez uma rápido comentário
que o processo, deveria ser semelhante ao efetuado na atividade 7, porém com
mais dados para serem plotados. Nessa atividade, as duplas atingiram os objetivos
97
propostos construindo o gráfico solicitado. Observamos que as duplas
responderam a existência de relação entre as variáveis altura e envergadura,
sendo justificada, principalmente pela pequena variação entre essas medidas. A
dupla D2 comentou que, se a razão entre as variáveis fosse próxima de 1, poderia
confirmar essa igualdade, já demonstrando o início de um raciocínio de covariação
informal. É importante esclarecer que durante a resolução da questão, o PP
comentou a possibilidade de verificar a existência da igualdade das variáveis,
relacionando as operações básicas, mas sem dizer que seria pela diferença ou
pela divisão.
Na atividade 9, as duplas D2 e D3, justificam as suas respostas de uma
maneira bem semelhante: D2 desenvolveu a interpretação dos gráficos e
relacionou que a reta teórica é a relação da igualdade entre as variáveis; enquanto
a dupla D3 justificou que as pequenas diferenças apresentadas pelas variáveis
próximas da reta teórica representam a relação de igualdade, observadas as
pequenas diferenças entre as dimensões. Salienta-se que, nesta atividade, houve
interferência do PP, definindo a reta teórica para que as duplas tivessem elementos
para justificarem suas respostas. A dupla D1 não respondeu.
Na atividade 10, para responder esta questão, as duplas se basearam no
aprendizado adquirido durante o desenvolvimento das atividades propostas,
usando uma frase para representação de um gráfico construído: “Representa as
pequenas diferenças entre altura e envergadura. Caso você tenha altura e
envergadura igual terá uma reta transversal perfeita (D2)”, “Relações entre altura e
envergadura”. Analisando as respostas das duplas D2 e D3, observa-se uma
evolução, principalmente da D2, em relação à translação da representação gráfica
para a sentença verbal. A dupla D1 não respondeu.
É importante salientar que as dificuldades para responder o questionário
apresentadas pela dupla D1, foi devido aos mesmos não frequentarem alguns
encontros. Entre esses, a não realização das atividades proposta na 5ª etapa, que
propunha o desenvolvimento das atividades no ambiente papel & lápis, cujo
objetivo foi à translação das situações univariádo para o bivariádo.
Ao final da sessão, após a entrega das atividades das duplas, coube ao PP,
discutir a formalização de cada atividade, efetuando a correção e discutindo as
dificuldades apresentadas pelas duplas durante as resolução das questões.
98
Enfatizou principalmente o objetivo das atividades em relação a verificação da
hipótese de igualdade entre a altura e a envergadura, a partir dos dados
apresentados por meio do banco de dados desordenados, do dotplot e do
diagrama de dispersão, destacando a observação dos pontos próximos da reta
teórica para avaliar a intensidade da relação de igualdade entre essas variáveis,
mesmo que de maneira informal. Comentando sobre as dificuldades da observação
de possíveis relações em situações não propícias como o caso do banco de dados
desordenados e a representação por dotplot, que facilitam a visualização nos
contextos univariados, mas não oferece tanto suporte para tomar decisões nos
contextos bivariados.
O PP comentou também que a necessidades de intervir somente nas
atividades 7, 8 e 9, foi necessária para a continuidade do processo de
aprendizagem apresentadas nessas atividades, justificando como o início do
processo de atividades com situações bivariadas e a importância de trabalhar com
os diagramas de dispersão para esta ocasião e apresentando também exemplos
de aplicação em outras situações.
9ª sessão – Desenvolver as atividades no ambiente de aprendizagem
computacional – caso univariado e bivariado “Familiarização do programa R,
comandos básicos” – Parte I
Antes de trabalhar com o pacote Rcmdr do software R, o PP mostrou, de
forma breve, as janelas de trabalho do R, como criar um novo script (arquivo para
digitar as linhas de comando), realizar operações básicas (soma, multiplicação, raiz
quadrada, logaritmos), criar e operar vetores; principalmente usando o comando
“seq” para construir as sequências. Em seguida, entregou para os AP uma folha
com cinco atividades para serem desenvolvidas no R.
99
Atividade 1- Efetuar utilizando o software R às seguintes operações:
a) (12+9)+15
b) 48 dividido por 6
c) 13 dividido por 4 (apresentar o resultado com duas casas decimais)
d) 6 vezes 8
e) 2 elevado a quarta potência
f) Raiz quadrada de 64
g) Raiz cúbica de 8.
Atividade 2- Considerando a atividade anterior nomear cada uma das operações
com as respectivas letras a, b, c, d, e, f e posteriormente efetuar as seguintes
operações:
I- a somado com b
II- c multiplicado por d e o resultado dividido por 2
III. f elevado a terceira potência e o resultado somado a e.
Atividade 3- Gerar utilizando o software R às seguintes sequências:
h) Os 10 primeiros múltiplos de 3
i) Os 10 primeiros números naturais
j) Repetir 12 vezes o número quatro
k) Repetir 9 vezes a sequência numérica de 5 a 7.
Atividade 4- Considerando as sequências geradas na atividade anterior efetuar:
III- Sequência g + Sequência h
IV- Sequência i multiplicada por 5.
Atividade 5- Gere a seguinte sequência utilizando as ferramentas do R
l) 20, 16, 12, 8, 4, 0
Essas atividades de familiarização foram importantes para que os AP se
ambientassem com o software, esperando-se, assim, que os mesmos
apresentassem mais facilidade nas atividades de aprendizagem em relação à
construção e análise dos gráficos da próxima etapa.
Nesta etapa, a dupla D1 já tinha sido desfeita, ficando apenas as duplas D2
e D3, mas, com a ressalva que o aluno Henrik passou a trabalhar com a dupla D3.
A interferência do PP, nessa etapa, foi somente para sanar dúvidas em relação às
palavras desconhecidas ou que, no momento, os AP não lembravam como vetores,
sequência, logaritmo na base neperiana e múltiplos.
O único imprevisto ocorrido, nessa etapa, foi à impossibilidade de salvar o
programa no computador da escola, sendo, então, utilizado o notebook do PP para
a realização das atividades, ocorrendo um rodízio das duplas para o uso do
equipamento (Figura 19).
100
Figura 19 - Alunos da dupla D2 durante a atividade de familarização no software R
Nesta etapa, o PP auxiliou na montagem dos equipamentos, deixou o
programa de captura funcionando (Camtasia) e solicitou que, ao término da
atividade, não desligassem o equipamento para que fosse feito o fechamento do
programa, com a gravação das atividades.
No final da sessão, o PP perguntou se tinham alguma dúvida em relação às
atividades solicitadas, e os AP responderam que, por ter usado somente uma vez o
Programa, não encontram tantas dificuldades.
9ª Sessão – Desenvolver as atividades no ambiente de aprendizagem
computacional – casos univariado e bivariado “construção e análise dos
gráficos” – Parte II
Após a atividade de familarização o PP mostrou o pacote Rcmdr,
evidenciando algumas operações que seriam importantes para responder as
atividades propostas nessa etapa, a saber: importação do banco de dados do
Excel; o cálculo de algumas medidas estatísticas (valor mínimo, máximo, mediana,
média); como gerar o dotplot e o diagrama de dispersão. As telas que foram
apresentadas para os AP são as mesmas que estão na 6ª etapa do Capítulo 6.
101
Vale salientar que para demonstrar os procedimentos iniciais, o PP utilizou
um banco de dados de outra turma do 3ª série do ensino médio, justamente para
não interferir no desenvolvimento dos AP nas tarefas propostas nessa etapa.
Utilizando o pacote Rcmdr, os AP em duplas, por meio do banco de dados,
deveriam determinar algumas medidas estatísticas das variávies (Figura 20),
construir os gráficos de dotplot: altura, largura do ombro, envergadura e palmo da
mão (Figura 21), e os diagramas de dispersão bivariado para altura x largura dos
ombros e altura x palmo da mão, e responder as seguintes atividades:
Atividade 1 - Observando o gráfico é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e largura dos ombros? Se sim qual(ais)?
Atividade 2 – Utilizando o gráfico da atividade 1, trace a reta teórica y=4x, em que “y” seria a altura e “x” a largura dos ombros. Analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a envergadura? Justifique a sua resposta.
Atividade 3 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
Atividade 4 - Observando o gráfico é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e palmo da mão? Se sim qual(ais)?
Atividade 5 – Utilizando o gráfico da atividade 4, trace a reta teórica y=10x, em que “y” seria a altura e “x” o palmo da mão. Analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a envergadura? Justifique a sua resposta.
Atividade 6 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
102
Figura 20 - Telas capturadas pelo software Camtasia da dupla D3 para a determinação de algumas medidas estatísticas das variáveis
Figura 21 - Telas capturadas pelo software Camtasia da dupla D3 para a geração do dotplot da altura
Antes de apresentar a análise das respostas dos alunos para essas
atividades, deve-se esclarecer que houve uma falha no processo de condução do
103
experimento, no que tange a geração dos diagramas de dispersão no pacote
Rcmdr e na perguntas das atividades 2 e 5.
Para realizar as atividades 1 e 4, deveriam ter sido desmarcadas as opções
“Boxplot marginais”, “Linha de quadrados mínimos”, “Smooth line”; para que
fossem plotados apenas os pontos (Figura 22).
34 36 38 40 42 44 46
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
L..Ombro
Altura
Figura 22 - Tela para a geração do diagrama de dispersão da largura dos ombros pela altura no pacote Rcmdr, software R
Como esse procedimento não foi realizado os alunos responderam utilizando
o termo “reta teórica” que de fato se referia a reta de ajuste pelo método dos
quadrados mínimos. Além disso, os alunos não foram orientados a plotar
conjuntamente com o diagrama de dispersão as retas teóricas, que eram
necessárias para responder as atividades 2 e 5. Isto significa dizer que
supostamente as respostas dos alunos deveriam ter sido as mesmas para o bloco
de atividades 1 e 2, e o bloco de atividades 3 e 5. Porém, o que vai ser observado
na resposta de uma das duplas, que isso não ocorreu, justamente porque houve
uma segunda falha na condução do experimento nessa etapa, com a não correção
das perguntas apresentadas nas atividades 2 e 5, no que se refere a que variáveis
deveriam ser avaliadas a relação de proporção. No caso da atividade 2, a pergunta
deveria ter sido feita para verificação da relação entre altura e largura dos ombros,
e não entre altura e envergadura. Na atividade 5, o mesmo problema, a pergunta
104
deveria ter sido feita para relação altura e palmo da mão, e não altura e
envergadura.
Na atividade 1, as duplas D2 e D3, não conseguiram verificar a relação entre
as variáveis altura e largura dos ombros, pois os valores, segundo eles, não se
encontravam próximos da “reta teórica traçada”. Pode se observar pelas respostas
apresentadas, que os alunos já começaram fazer uma leitura do diagrama de
dispersão de forma mais adequada.
Na atividade 2, a dupla D2 confirmou a resposta anterior não encontrando
uma relação entre altura e a largura dos ombros, o que indica que os alunos
estavam realmente compreendendo como averiguar, mesmo que informalmente, a
relação entre duas variáveis, salvo a ressalva que de fato não era a reta teórica
y = 4x que os alunos estavam visualizando, e nem tampouco a pergunta se referia
a relação entre essas duas variáveis. A resposta dessa dupla para as atividades 1
e 2, foram respectivamente: “Não apresenta ter relação, pois os números estão
distante da reta teórica”, “Não, é bastante distante alguns pontos da reta teórica”.
A dupla D3, na atividade 2, confirmou a existência da relação, não sendo
considerada nesse caso uma contradição a sua resposta da atividade 1, uma vez
que, como já comentado, a pergunta se referia a relação entre altura e
envergadura. Inclusive, observando as telas capturadas nessa etapa observa-se
que essa dupla, de fato gerou tanto o diagrama de dispersão para altura e largura
dos ombros, como para altura e envergadura (Figura 23). As respostas
apresentadas por essa dupla nas atividades 1 e 2 foram respectivamente: “Não,
porque observamos que os valores não se encontram próximos da linha teórica”,
“Sim, porque as medidas estão próximas uma das outras”.
105
Figura 23 - Telas capturadas pelo software Camtasia da dupla D3 para as atividades 1 e 2
da 9ª sessão – Parte II
Nesta atividade o PP teve participação direta com a definição e alguns
comentários, referente à reta teórica que já havia mencionado na construção do
gráfico da atividade 8 da 8ªsessão, assim as duplas se anteciparam procurando
observar a relação dos valores com a reta teórica.
Na atividade 3, em relação às respostas apresentadas pelas duplas D2 e
D3, observa-se melhor desempenho no processo de translação dos dados
representados nos gráficos para uma sentença verbal, principalmente a dupla D2
que parece ser mais objetiva na sua resposta: “Esse gráfico está representado às
variáveis de largura de ombro e altura, que não tem relação da reta teórica com os
dados (D2)”, “O gráfico representa a relação entre a altura e a largura dos ombros
(D3)”.
Na atividade 4, as duas duplas conseguiram observar as relações entre as
variáveis altura e palma da mão considerando os pontos próximos da “reta teórica”.
Avaliando as justificativas apresentadas existem evidências que as duplas já
conseguiram observar a reta teórica como um aspecto de fundamental importância
para verificar a existência ou não da relação entre as dimensões bivariadas, ou
seja, o desenvolvimento de um raciocínio de covariação informal. Inclusive, a dupla
D2 ressaltou que: “A relação da reta teórica tem mais coerência com os dados que
na atividade anterior (altura e largura)”. O diagrama de dispersão entre a palmo da
mão e altura confirma essa afirmação da dupla D2 (Figura 24).
106
34 36 38 40 42 44 46
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
L..Ombro
Altura
15 16 17 18 19 20
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Palmo.da.mão
Altura
Figura 24 - Diagramas de dispersão entre largura dos ombros e altura, e palmo da mão e altura
Na atividade 5, a dupla D2 confirmou a sua resposta na atividade 4, qual
seja a existência da relação entre a palma da mão e altura, e mais uma vez
ressalta-se que mesmo com enunciado incorreto eles demonstraram que estavam
observando de fato a relação entre essas duas variáveis. A dupla D3, como na
atividade 2, respondeu baseado na relação entre altura e envergadura.
Na atividade 6, é possível observar a evolução das duplas na translação
entre a representação gráfica e a sentença verbal, embora não mencionando os
detalhes que o comprimento da palma da mão equivale a um décimo da altura: “O
gráfico representa as variáveis entre a palma da mão e a altura e mostra que os
dados dessas variáveis ficam próximos da reta teórica, diferente do gráfico anterior
(D2)”, “O gráfico representa a relação entre a altura e a palma da mão (D3)”.
As falhas apresentadas no processo de condução dessa etapa parecem não
ter prejudicado os alunos, de uma forma geral, no desenvolvimento das atividades,
sendo que os resultados globais alcançados podem ser considerados satisfatórios.
10º Sessão – Aplicação da Atividade Final
Para aplicar as atividades propostas nesta sessão, o PP solicitou que os
alunos respondessem individualmente. Em seguida comentou com os alunos que o
107
objetivo da avaliação final, seria avaliar o processo de aprendizagem do tema em
questão.
As respostas foram classificadas de acordo com os níveis de covariação
definidos por Moritz (2004), tanto para avaliar as habilidades de raciocínio sobre
Geração de Dados Especulativos (GDE) – esboço de um gráfico para representar
uma declaração verbal; como para a Interpretação Verbal do Gráfico (IVG) -
declaração verbal para descrever um diagrama de dispersão e Interpretação
Numérica do Gráfico (ING) - leitura e interpolação dos valores no diagrama de
dispersão. Sendo assim, as respostas obtidas nas questões Q1a, Q1b e Q1c, que
se referiam a GDE, foram classificadas em quatro níveis de acordo com a proposta
de Moritz (2004) (Quadro 4).
Quadro 4 - Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a geração de dados especulativos.
Classificação do
Níveis
Descrição das habilidades e conhecimentos
Nível 0 – Não
Estatística
Um contexto narrativo, porém não apresenta um conjunto de dados com mais de um valor para a variável.
Eixo de um gráfico ou valores, apresentado por números em posições espaciais, sem um contexto que indica a variável.
Nível 1 – Único
Aspecto
Correspondência em um único caso bivariado.
Variação de valores para uma única variável. Nível 2 – Covariação
Inadequada
A correspondência é apresentada com variação inadequada para pelo menos uma variável: uma variável só ter dois valores distintos.
A variação é apresentada para cada variável com correspondência inadequada, ou seja, na direção incorreta.
Nível 3 – Covariação
Apropriada
Respostas apresentam ambas as variáveis com correspondência adequada entre as variações dos valores para cada variável.
108
Atividade Final 1 (Extraído de Moritz, 2004) Ana e Clara desenvolveram um projeto para verificar os hábitos de estudo de 6 alunos de um determinado ano escolar. Elaboraram um questionário com 2 questões:
c) Quantas horas você gastou estudando para a prova de matemática?
d) Qual foi a nota que você tirou na prova?
Após o levantamento, Ana afirmou: “Quanto maior o tempo de estudo, menor a nota tirada na prova”.
Q.1a. Como você interpreta essas duas informações.
Q.1b. Esboce um gráfico que represente a afirmação de Ana.
Q.1c. Agora esboce outro gráfico que represente essa outra afirmação:
“Os alunos que estudam mais tempo, obtêm maiores notas na prova”
Nesta questão Q1a, dois alunos (todos os dois da dupla D2) não
conseguiram dar uma resposta coerente com a solicitação da pergunta, indicando
dificuldade de interpretação do texto ou falta de atenção na leitura. Em um dos
casos, o aluno alegou que: “Ela usou só um exemplo e generalizou. Foi um grande
erro, pois não pode fazer estatística de uma única pessoa e tirar uma conclusão”.
Nota-se neste caso a falta de atenção na leitura, pois, a informação do texto esta
bem clara que foi verificado o hábito de 6 alunos, sendo assim esse aluno foi
classificado no nível 0, ou seja, com resposta classificada como não estatística. Na
resposta do outro aluno, observa-se que foi discutida somente a relação entre a
carga horária e o resultado da nota sem definir uma posição: ”São duas variações
que nos permitem perceber se a carga horária de estudos influencia no resultado
da nota”. Essa resposta foi classificada no nível 2 – covariação inadequada, uma
vez que não mostrou a direção da correspondência entre as duas variáveis. Nota-
se então que os dois alunos apresentaram dificuldade na translação da sentença
verbal para uma interpretação verbal
Os outros três alunos que apresentaram respostas mais consistentes, sendo
considerados com o nível 3 de habilidade para GDE – covariação apropriada, pois
relacionaram as variáveis corretamente, indicando a direção, como podemos
observar nas afirmações feitas: “Os alunos que estudaram mais para a prova
tiveram notas baixas e o que estudaram menos tiveram notas altas”, “Pode ser que
os que estudaram mais tempo não prestaram tanta atenção, quanto aos que
estudaram menos”, “ Os alunos podem ter estudado muitas horas e terem tirado
notas baixas, ou o contrário, mas Ana só poderia ter tirado essa conclusão se o
tempo de estudo deles e as notas baixas”.
109
Nas questões Q1b e Q1c, dois alunos (um aluno da D2 e outro aluno da D3)
atingiram o nível de covariação apropriada e os outros três a covariação
inadequada. Neste caso, percebe-se que nestas atividades os alunos que atingiram
o nível de covariação apropriada, forneceram dados para o tempo de estudo, os
valores mais elevados, associando com as menores notas da prova e
apresentando pelo menos três pontos bivariados no diagrama de dispersão e
clareza na nomeação dos eixos das coordenadas (horas de estudos x notas da
prova) (figura 25).
Resposta Q1b
Aluno da D2 Aluno da D3
Resposta Q1c
Aluno da D2 Aluno da D3
Figura 25 - Gráficos dos alunos para atividade Q1b com nível 3 de covariação adequada
110
Em relação aos três alunos que atingiram nível de covariação inadequada,
eles não apresentaram clareza em relação quantidade de alunos que deveriam
estar representados no gráfico, embora tenham apresentados de forma correta a
direção da covariação, com os números explícitos, e o rótulo dos eixos indicando a
direção correta (Figura 26).
Figura 26 - Gráficos dos alunos para atividades Q1b e Q1c com nível 2 de covariação
inadequada de um aluno da dupla D2
As respostas obtidas nas questões Q2a e Q2b, bem como Q3a a Q3e, que
se referiam Interpretação Verbal do Gráfico (IVG) e Interpretação Numérica do
Gráfico (ING), foram classificadas em quatro níveis de acordo com a proposta de
Moritz (2004) (Quadro 5).
111
Quadro 5 - Classificação dos níveis das atividades propostos por Moritz (2004) de acordo com a taxonomia SOLO, para a interpretação gráfica numérica e verbal
Classificação do Níveis Interpretação verbal do gráfico
Interpretação numérica do gráfico
Nível 0 – Não Estatística
a) contexto sem variáveis ou associação b) falhas visuais
Falhas na leitura de valores no eixo. Pode referir-se: a) contexto baseado em¨crenças” b) características visuais, como por exemplo o valor máximo da escala.
Nível 1 – Único Aspecto
a) um único ponto simples b) uma única variável (dependente)
Lê um valor dado associando a valores bivariados, mas sem interpolar os dados
Nível 2 – Covariação Inadequada
Refere-se a variáveis como: a) a correspondência é percebida comparando dois ou mais pontos sem generalizar b) as variáveis são descritas mais a correspondência não é mencionada ou a direção não está correta
Lê os valores, mas interpola os pontos em posições erradas.
Nível 3 – Covariação Apropriada
Refere-se a todas as variáveis e indica a direção correta
Lê os valores e interpola os pontos corretamente
Atividade Final 2 (Extraído do Caderno 4 SEE-SP, 2010): O gráfico a seguir foi
gerado a partir dos dados do climograma da cidade de Catalão no estado de Goiás,
apresentando o índice de chuvas em milímetro, e a temperatura média dos meses
em grau Celsius.
(Q2a) Como é possível relacionar as estações do ano aos índices de chuvas
apresentado no gráfico?
(Q2b) Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico. É verdade que
chove mais nos meses mais frios? Justifique sua resposta.
(Q2c) Represente os dados deste gráfico em um diagrama de dispersão bivariado.
112
Na questão Q2a, que envolvia a interpretação verbal do gráfico (IVG), dois
alunos tiveram inconsistências nas suas respostas (um aluno da dupla D2 e outra
da dupla D3), não conseguindo apresentar uma sentença verbal que demonstrasse
a variabilidade existente no climograma: “Com os conhecimentos obtidos ao longo
do tempo, sabemos que alguns meses chovem mais que outros tendo essa noção
é fácil de descrever (aluno da D2)”, “na maioria das vezes no meses mais frios
chove mais, mas nem sempre isso acontece (aluno da D3)”. As respostas então
foram classificadas como nível 2 de covariação inadequada, por descreverem os
eixos, mas não apresentarem a direção ou apresentá-la de forma incorreta.
Os outros três alunos tiveram suas respostas classificadas como nível 3 de
covariação apropriada, como por exemplo, a resposta de um aluno da D2: “ No
verão a bastante chuva, já no outono e inverno o nível de chuva cai bastante”.
Para a questão Q2b (também IVG), somente um aluno (da D3) não
conseguiu justificar corretamente a sua resposta, classificado como covariação
inadequada (apresenta eixo, mas a direção estava incorreta): “Não, pois se
observamos o gráfico veremos que nem sempre chove mais em meses mais frios,
por exemplo, janeiro: TM 23ºC/ DC 299 mm e setembro 23ºC/ DC 58 mm”. Quatro
alunos tiveram respostas classificadas no nível 3 de covariação apropriada, por
exemplo, a resposta do aluno D3: “Não, porque nos meses mais frios a umidade do
ar favorece a não concentração, mas sim a dispersão das nuvens carregadas”.
Na questão Q2c, exigia-se do aluno a habilidade para passar de um tipo de
representação gráfica para outra, que não está entre os tipos de habilidades
descritos por Moritz (2004), mesmo assim, foi utilizada a mesma classificação das
respostas sendo feita uma pequena adaptação na descrição dos níveis.
As respostas de três alunos (um aluno de cada umas das três duplas) foram
classificados como nível 0 não estatística, sendo que um não respondeu (aluno da
D1), outro fez a seguinte afirmativa (aluno da D3): “Índice de chuvas em mm e a
temperatura média em ºC Climograma de Catalão”, nesse caso o aluno não
cumpriu a tarefa por não apresentar um gráfico; e o aluno da D2 apresentou um
gráfico (Figura 27).
113
Figura 27- Gráfico do aluno para atividade Q2c com nível 0 – covariação não estatística
Os outros dois alunos tiveram seus gráficos considerados como resposta no
nível 2 de covariação inadequada (aluno da D2), por apresentar apenas dois
pontos, e outro no nível 3 covariação apropriada (aluno da D3) (Figura 28).
Nível 2 Nível 3
Figura 28 - Resposta gráfica de dois alunos para atividade Q2c com nível 2 e nível 3
114
Atividade Final 3 (Extraído de Moritz, 2004): Os estudantes da escola X, desenvolveram um projeto para verificar o nível de ruido em 6 salas de aula. Para tal utilizaram um decibelimetro e verificaram o nível de ruído, considerando também a quantidade de pessoas que encontravam-se na sala no momento da medição.
Os resultados desta pesquisa podem ser observados no gráfico da Figura
Q3a. Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
Q3b. Quantas pessoas estão na classe D?
Q3c. Caso os alunos forem medir o nível de ruido em uma classe que tenha 23 pessoas, qual o nível de barulho você acha que eles iriam medir? ( Mesmo que você não tenha certeza, procure estimar ou adivinhar). Justifique a sua resposta.
Q3d. Um dos alunos que estava efetuando a medida disse:
“O gráfico mostra que as salas de aula com mais pessoas fazem menos barulho”. Você acha que o gráfico é uma boa razão para dizer isso?
( ) sim ( ) não. Justifique a sua resposta.
Q3e. Algum tempo depois, o mesmo aluno disse:
“O gráfico mostra que o baixo nivel de ruido está relacionado com o número de pessoas na classe”. Você concorda com ele?
( ) sim ( ) não. Justifique a sua resposta.
Nesta questão Q3a, de interpretação verbal do gráfico, tivemos dois alunos
(um da D2 e outro da D3) com resposta no nível 0, dois alunos no nível 3 (um da
D2 e da outro da D3) e um que não respondeu (da D1). Os dois alunos no nível 0
fizeram apenas comentários sobre o contexto da questão, mas sem a associação
115
entre as variáveis: “Representação de números de pessoas em sala de aula e o
nível de ruído”, “O gráfico representa o número de ruídos em uma sala de aula
analisando o número de alunos para justificar a resposta”. No caso dos dois alunos
que apresentaram o nível de covariação apropriada, a aluna da dupla D3,
comentou que além da relação existente entre o nível de ruído e a quantidade de
pessoas na sala, percebeu também a existência de sala que não segue o mesmo
padrão de ruído das demais, e o outro aluno da D2 afirmou “o gráfico mostra que
quanto menor o número de pessoas, maior o nível de ruído”.
Na questão Q3b, refere-se à interpretação numérica do gráfico (ING), todos
os alunos conseguiram ler os valores apresentados no gráfico corretamente, sendo
então classificados no nível 3 de covariação apropriado.
Na questão Q3c, nenhum dos alunos conseguiu fazer uma previsão correta
dos possíveis valores no gráfico para uma sala com 23 alunos, a maioria das
respostas não contemplava a sequência do crescimento do ruído apresentado
pelas salas com menos alunos, portanto. Nesta questão os alunos foram
classificados no nível 0 - não estatístico. Esse resultado revela que os alunos, não
estão acostumados a responder atividades que exigem predição de dados
interpolados em diagrama de dispersão.
Na questão Q3d, de interpretação verbal do gráfico, nota–se que somente
dois alunos (um da D1 e outro da D3) tiveram suas respostas classificadas o nível
3 de covariação apropriada, justificando com coerência e sabendo relacionar as
informações apresentadas na sentença verbal com o valores demonstrado no
gráfico: “Sim, conforme o número de pessoas aumenta o nível de ruído diminui,
mas não sei dizer por que isso acontece”, “Sim, pois fazendo um gráfico que o eixo
x representa a quantidade de alunos em sala e o eixo y representa a intensidade
do barulho, mostraria mais claramente os dados obtidos”. Já os outros três alunos
não souberam estabelecer uma correspondência da sentença verbal com os dados
do gráfico, resultando em respostas desassociadas com o contexto, não
conseguindo relatar uma correspondência entre as variáveis, exemplo de resposta:
“Não, o gráfico é muito superficial e o melhor modo de fazer isso e perguntar e
fazer uma média”.
Na questão Q3e, interpretação verbal do gráfico, um aluno teve resposta
classificada no nível 0, três no nível 2 e um no nível 3. Um exemplo de resposta no
116
nível 2 seria “Sim, quanto mais pessoas, maior o barulho então, poucas pessoas
pouco barulho”, mostrando uma direção inapropriada. A resposta do nível 3 foi:
“Depende. Sim, se ele quis dizer que o número de pessoas influenciam no nível de
ruído, a resposta seria. Não, se ele quis dizer que quanto menos tem pessoas,
menor é o nível de ruído”.
Os níveis de habilidade do raciocínio de covariação apresentados por cada
aluno em cada atividade podem ser observados na tabela 4.
Tabela 3 - Níveis de habilidade do raciocínio de covariação dos 5 alunos na Atividade Final
Atividade Dupla D1 Dupla D2 Dupla D3
Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5
Q1a 3 3 0 2 3
Q1b 2 3 2 2 3
Q1c 2 3 2 3 3
Q2a 3 2 3 3 2
Q2b 3 3 3 3 2
Q2c ---- 0 2 0 3
Q3a ---- 0 3 0 3
Q3b 3 3 3 3 3
Q3c 0 2 2 2 2
Q3d 3 0 0 3 2
Q3e 3 2 2 2 0
Na avaliação geral das 53 respostas válidas, 9 foram no nível 0, nenhuma no
nível 1, 18 no nível 2, 26 no nível 3, que nos leva a concluir que os alunos se
apropriam do conceito de covariação informal de forma satisfatória. Destaca-se que
os alunos da dupla 3, apresentaram respostas com os melhores níveis de
habilidades, que pode ser explicada em parte pela participação ativa, observadora
e detalhista que essa dupla teve durante a execução das atividades do
experimento de ensino. Por outro lado, os alunos da dupla D2 que sempre
resolveram as atividades do experimento de ensino de forma mais rápida, tiveram
suas respostas classificadas com níveis de habilidade inferiores ao da dupla D3, o
que pode ser explicado, por uma falta de cuidado ao responder essas atividades, já
117
que os mesmos estavam sempre atentos, mais apressados. Já o aluno da D1, a
ausência em muitas sessões, pode ser a razão dos seus resultados apresentados
nas questões Q2c e Q3a.
Em sua pesquisa Moritz (2004), aplicou as atividades 1 e 3 para um público
alvo de 167 alunos diversificando os anos (3º, 5º, 7º e 9º), e nestas questões
obteve os seguintes valores em geral para os níveis de covariação: 18 alunos Não
Estatístico, 18 Único Aspecto, 35 Covariação Inadequada e 96 Covariação
Apropriada. Os resultados desse estudo são similares ao do Moritz (2004), já que
se forem separadas apenas as questões das atividades 1 e 3, obtém-se que das 39
respostas válidas, 7 foram classificadas no nível 0, 14 no nível 2 e 18 no nível 3.
118
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Durante a aplicação do experimento, as duplas formadas pelos AP se
envolveram com bastante empenho nas atividades propostas, o que facilitou o
desenvolvimento dessa pesquisa.
Em relação à 1ª sessão, com a atividade de pesquisa na internet referente à
bibliografia do arquiteto romano Marco Vitruvius, as medidas antropométricas e o
pintor Leonardo da Vinci, focando mais especificamente, a pintura do Homem
Vitruviano, foi possível observar as discussões entre os pares e colegas das outras
duplas sobre as medidas antropométricas e as possíveis relações que existem no
corpo humano. Quanto ao desenvolvimento das questões de pesquisa para análise
futura, houve certa dificuldade na elaboração das mesmas, pois os alunos queriam
fazer as relações com medidas que eram muito dificil de medir. Mesmos com
algumas dificuldades a atividade foi realizada, com o ganho de conhecimento
histórico em relação ao Leonardo da Vinci, Marcus Vitruvius, as medidas
antropométricas.
Dando sequência ao trabalho, foi realizado o processo de coleta de dados
pelos próprios AP na sala de aula, o que permitiu que os mesmos percebessem
que para comprovar a veracidade das suas questões de pesquisa em relação as
variáveis altura, envergadura, largura dos ombros e comprimento da palma da mão
essa etapa era muito importante. Além disso, a construção e observação do banco
de dados, a construção dos gráficos, facilitaram a fixação da aprendizagem dos
termos como ponto máximo, ponto mínimo, moda e mediana.
As outras formas de apresentação dos dados, como o dotplot humano e o
dotplot no papel, foram consideradas pelos alunos com formas mais fáceis de
visualizar as medidas estatísticas que eles tiveram dúvida de determinar apenas
com o banco de dados. Essa constatação pode ser observada no depoimento de
uma dupla: “essas formas diferenciadas de apresentação facilitaram o meu
entendimento com relação a este tema”.
Nas atividades desenvolvidas na 8ª sessão, finalizando os processos
univariados e iniciando as atividades bivariadas, foi possível perceber que os
119
alunos apresentaram uma dificuldade inicial nas atividades, que envolviam a
translação de uma variável utilizando o dotplot, para o contexto de duas variáveis e,
por conseguinte, dificuldade na construção dos diagramas de dispersão. Porém,
nota-se que durante a resolução das atividades os alunos foram mudando suas
respostas de forma bastante consistente e contínua, permitindo que os mesmos
buscassem novas alternativas para os novos desafios apresentados, possibilitando
a aquisição de novos conceitos como: diagrama de dispersão, reta teórica,
correspondência.
As atividades da 9ª sessão foram importantes para que os alunos
revisitassem os conceitos e pudessem investigar no ambiente computacional,
outras relações diferentes das exploradas no ambiente papel & lápis, utilizando
também diferentes processos de translação: banco de dados para gráfico, gráfico
para verbal.
Finalmente, analisando a atividade final foi possível verificar que as
atividades aplicadas exploraram de forma satisfatória as três habilidades propostas
por Moritz (2004) para o desenvolvimento do raciocínio de covariação: geração de
dados especulativos, interpretação numérica e verbal do gráfico. Os resultados
nessa etapa foram bem positivos, uma vez que das 53 respostas válidas, apenas
nove foram classificadas no nível 0 – não estatístico, e que na maioria das
respostas os alunos expressaram os dois aspectos de covariação: correspondência
e variação.
Assim, levando em consideração os resultados obtidos em nossos estudos,
nos sentimos aptos para responder as nossas questões de pesquisa:
Que aspectos no processo de aprendizagem podem ser observados quando
se utiliza um experimento de ensino no ambiente papel & lápis e tendo como
temática o Homem Vitruviano para trabalhar o conceito de covariação?
Que aspectos no processo de aprendizagem podem ser observados quando
se utiliza o ambiente computacional para explorar o conceito de covariação?
As atividades propostas tanto no ambiente papel & lápis como no
computacional propiciaram aos alunos o desenvolvimento das etapas de uma
pesquisa: investigar o tema, elaborar as questões de pesquisa, coletar dados, tratar
os dados, analisar as informações e concluir a pesquisa. Segundo Silva (2008) este
120
tipo de contexto e procedimentos estatísticos desperta no aluno seu espírito
investigativo.
A motivação dos alunos com as investigações, a busca pelas respostas às
suas questões de pesquisa, a identificação da moda, mediana, amplitude,
freqüência, ponto máximo e mínimo, a exploração de diversos tipos de gráficos,
inclusive diferentes dos que eles conheciam, como por exemplo: dotplot humano,
dotplot no papel, diagrama de dispersão bivariado, a verificação da existência ou
não da relação entre as variáveis por meio da reta teórica, se constituíram aspectos
didáticos importantes no processo de aprendizagem do tópico de covariação.
O uso do pacote Rcmdr, do software R, auxiliou os alunos na exploração e
observação do conceito de variabilidade e da relação entre as variáveis, que não
tinham sido exploradas no ambiente papel & lápis: largura dos ombros e altura;
palmo da mão e altura. Em suma, o ambiente computacional auxiliou no processo
de aprendizagem de covariação potencializando, como era esperado, as análises,
levando os alunos a realizarem novas investigações.
Avaliando o desenvolvimento global do experimento de ensino, foi possível
observar que os alunos conseguiram progredir para os maiores níveis de
habilidades de geração de dados especulativos, a interpretação verbal e numérica
do gráfico proposto por Moritz (2004), que, por conseguinte, propiciaram o
desenvolvimento do raciocínio de covariação dos mesmos.
Considerando os argumentos e os fatos apresentados nas diversas sessões
e atividades que nortearam esta pesquisa, podemos concluir que a intervenção do
experimento de ensino proposto, trouxe contribuições significativas relacionadas
com o aprendizado do conceito de covariação informal de alunos da 3ª série do
Ensino Médio. Espera-se, por fim, que esse experimento de ensino após algumas
alterações possa ser aplicado em turmas do ensino médio, e que possam auxiliar
os alunos no desenvolvimento do raciocínio desse conceito, e, por conseguinte,
contribuam para o letramento estatístico dos mesmos, na perspectiva de Gal,
Wallman, Watson e Callighman.
121
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127
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.
Apêndice A – Experimento de ensino
1ª Etapa: Investigar as relações apresentadas entre as medidas
antropométricas
Atividade 1- Pesquisar na internet as relações entre as medidas antropométricas
estabelecida por Marco Vitruvius Pollio, o que é esse tipo de medidas e quem foi o
pintor Leonardo da Vinci, enfatizando o quadro do Homem Vitruviano.
2ª Etapa: Estabelecer as Questões de Pesquisa
Atividade 1 - Discutir sobre as características das medidas: altura, envergadura e
largura dos ombros, bem como a investigação da veracidade da relação que envolva
essas medidas encontradas no quadro do Homem Vitruviano
Atividade 2 – Estabelecer as questões de pesquisa
3ª Etapa: Coletar os Dados
Atividade 1 - Efetuar a coleta de dados por meio de perguntas e medição dos alunos
colaboradores (AC) da sala, preenchendo a tabela 1 com as seguintes informações:
nome do aluno, genero, idade, altura, largura dos ombros, envergadura e palmo da
mão. Essa tabela deverá ser construída em papel madeira, para facilitar a
recuperação dos dados a qulaquer momento.
Tabela 1 – Tabela para coleta de dados dos alunos colaboradores
4ª Etapa: Desenvolver as atividades no ambiente de aprendizagem papel &
lapís – caso univariado
1ª Situação - Dados desorganizados na tabela 1
ALUNO GENERO IDADE ALTURA L. OMBRO ENVERGADURA PALMO DA MÃO
129
Atividade 1 - Diante das medidas coletadas na sala de aula, qual foi o maior e o menor valor encontrado e a diferença entre esses dois valores para as variáveis a seguir:
Altura.......................: maior: _________ menor: __________
Envergadura............: maior:_________ menor:__________
Largura dos ombros: maior:_________ menor:__________
Existem diferenças entre essas variáveis?__________________________________ Caso sim,quais? _____________________________________________________
Atividade 2 – Em relação às medidas encontradas nos alunos da sala, para cada variável qual(is) foi(ram) o(s) valor(es) que apresentam(ram) a maior frequência e quantas vezes houve a repetição?
Altura .......................: medida(s): _________ frequência(s): __________
Envergadura............: medida(s):_________ frequência(s):__________
Largura dos ombros: medida(s):_________ frequência(s):__________
Atividade 3 – Dentre todas as medidas, qual valor pode ser considerado como uma medida central, ou seja, qual é a medida que divide a amostra em 50%.
Altura .......................: medida: _________
Envergadura............: medida:_________
Largura dos ombros: medida:_________
Atividade 4 – Com base nas respostas das atividades 1 a 3, faça uma síntese descrevendo essas variáveis.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2ª Situação - dados organizados no dotplot humano
Em relação a sua resposta dada na 1ª situação, voce mudaria de opnião em
relação às atividades?
Atividade 1 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões.
___________________________________________________________________
Altura .......................: maior: _________ menor: __________
130
Envergadura............: maior:_________ menor:__________
Largura dos ombros: maior:_________ menor:__________
Existem diferenças entre essas variáveis?__________________________________ Caso sim,quais? ______________________________________________________
Atividade ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões
___________________________________________________________________
Altura .......................: medida(s): _________ frequência(s): __________
Envergadura............: medida(s):_________ frequência(s):__________
Largura dos ombros: medida(s):_________ frequência(s):__________
Atividade 3 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões.
___________________________________________________________________
Altura .......................: medida: _________
Envergadura............: medida:_________
Largura dos ombros: medida:_________
Atividade 4 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões.
___________________________________________________________________
Atividade 5 - Algumas das medidas calculadas na 1ª situação ficam mais fáceis de
serem observadas com o dotplot humano? Como é o comportamento da variável
largura dos ombros quando comparada com a altura?_________________________
___________________________________________________________________
3ª situação - dados organizados no dotplot em papel
Após a construção dos dotplot em papel, vocês mudariam alguma das
respostas dadas na 2ª situação (dotplot humano).
131
Atividade 1 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Altura .......................: maior: _________ menor: __________
Envergadura............: maior:_________ menor:__________
Largura dos ombros: maior:_________ menor:__________
Existem diferenças entre essas variáveis?__________________________________ Caso sim,quais? ______________________________________________________
Atividade 2 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Altura .......................: medida(s): _________ frequência(s): __________
Envergadura............: medida(s):_________ frequência(s):__________
Largura dos ombros: medida(s):_________ frequência(s):__________
Atividade 3 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Altura .......................: medida: _________
Envergadura............: medida:_________
Largura dos ombros: medida:_________
Atividade 4 ( ) Sim ( ) Não - Caso positivo justifique a sua decisão e faça a correção das questões.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5ª Etapa: Desenvolver as atividades no ambiente de aprendizagem papel &
lápis – caso bivariado
Observando os dotplot em papel respondam as seguintes questões:
132
Atividade 1 - Nos gráficos construídos, você consegue identificar 5 alunos e suas medidas de altura e de envergadura? Justifique a sua resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 2 – Utilizando deste mesmo artifício, você consegue identificar nos gráficos todos os alunos da sala e suas medidas? Por que?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 3- Pode-se afirmar que as medidas da altura e envergadura dos alunos dessa turma são iguais? Justifique a sua resposta.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 4 – Observando o conjunto de dados dos gráficos 1 e 2 da turma X, responda a seguinte questão: É possível afirmar que altura é igual à envergadura? Justifique sua resposta.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Gráfico 1 - Dotplot da Altura da turma X
Altura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Envergadura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Gráfico 2 - Dot Plot da Envergadura da turma X
Altura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
Envergadura (m)
1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86
133
Atividade 5 - Observando os dados a seguir é possível afirmar que a altura é igual à
envergadura, sem uma representação gráfica? Por que?
CONJUNTO DE DADOS PARA PESQUISA
NOME SEXO IDADE ALTURA ENVER
Aline C. F 17 1,58 1,58
Andrei M 18 1,76 1,8
Anderson M 17 1,68 1,7
Bruna F 18 1,62 1,64
Carlos M 18 1,82 1,86
Carolina F 19 1,53 1,53
Camila F 16 1,65 1,68
Cristiano M 17 1,68 1,68
Celso M 18 1,72 1,74
Daniel M 17 1,67 1,7
Daniela F 19 1,54 1,56
Elion M 18 1,74 1,74
Fabiana F 17 1,52 1,52
Henrique M 17 1,79 1,82
Juliana F 18 1,62 1,65
Julio M 21 1,68 1,7
Kátia F 17 1,57 1,6
Kelly F 17 1,52 1,52
Laysla F 18 1,78 1,8
Leandro M 17 1,64 1,68
Lincon M 19 1,65 1,65
Luis M 17 1,68 1,72
Lilian F 24 1,71 1,71
Maria Ap. F 17 1,52 1,52
Mariana F 17 1,63 1,64
Meire F 16 1,55 1,58
Marcos M 17 1,68 1,7
Mirian F 18 1,58 1,6
Murilo M 17 1,78 1,8
Nilson M 17 1,68 1,68
Odair M 18 1,72 1,76
Paula F 19 1,65 1,66
Priscila F 17 1,58 1,58
Plinio M 17 1,68 1,7
Kledson M 17 1,78 1,8
Rayssa F 18 1,63 1,63
Rayanna F 18 1,58 1,6
Rita F 17 1,73 1,75
Robson M 17 1,68 1,72
Ruth F 17 1,64 1,66
Rhuan M 18 1,72 1,7
Sergio M 21 1,66 1,68
134
Atividade 6 - Caso fosse apresentado uma tabela com 1000 pessoas, como voce responderia a questão se altura é igual à envergadura? Porque? ______________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 7 - Imagine um aluno com 1,70 metros de altura e 1,74 metros de envergadura, como você representaria graficamente as duas medidas simultaneamente?
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 8 - Observando o gráfico é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e envergadura? Se sim qual(ais)?____________________________________________________________
___________________________________________________________________
Atividade 9 – Utilizando o gráfico da atividade 8, trace a reta teórica y=x, e analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a envergadura? Justifique a sua resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 10 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
6ª Etapa: Desenvolver as atividades no ambiente de aprendizagem
computacional – casos univariado e bivariado
Utilizando o pacote Rcmdr, por meio do banco de dados, construam os
gráficos de dotplot: altura, largura do ombro, envergadura e palmo da mão e os
diagramas de dispersão bivariado para altura x largura dos ombros e altura x palmo
da mão. Responda ,as atividades a seguir.
135
Atividade 1 - Observando o gráfico é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e largura dos ombros? Se sim qual(ais)?____________________________________________________________
___________________________________________________________________
Atividade 2 – Utilizando o gráfico da atividade 1, trace a reta teórica y=4x, em que “y” seria a altura e “x” a largura dos ombros. Analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a envergadura? Justifique a sua resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 3 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade 4 - Observando o gráfico é possível verificar se existe alguma relação entre as variáveis altura e palmo da mão? Se sim qual(ais)?____________________________________________________________
___________________________________________________________________
Atividade 5 – Utilizando o gráfico da atividade 4, trace a reta teórica y=10x, em que “y” seria a altura e “x” o palmo da mão. Analise o comportamento da nuvem de pontos em relação a essa reta. Você consegue observar uma relação proporcional entre a altura e a envergadura? Justifique a sua resposta.
___________________________________________________________________
Atividade 6 - Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
136
7ª Etapa: Aplicar a Atividade Final
Atividade Final 1 (Extraído de Moritz, 2004)
Ana e Clara desenvolveram um projeto para verificar os hábitos de estudo de 6
alunos de um determinado ano escolar. Elaboraram um questionário com 2
questões:
e) Quantas horas você gastou estudando para a prova de matemática?
f) Qual foi a nota que você tirou na prova?
Após o levantamento, Ana afirmou:
“Quanto maior o tempo de estudo, menor a nota tirada na prova”.
Q.1a. Como você interpreta essas duas informações.
Q.1b. Esboce um gráfico que represente a afirmação de Ana.
Q.1c. Agora esboce outro gráfico que represente essa outra afirmação:
“Os alunos que estudam mais tempo, obtêm maiores notas na prova”
Atividade Final 2 (Extraído do Caderno 4 SEE-SP, 2010)
O gráfico a seguir foi gerado a partir dos dados do climograma da cidade de
Catalão no estado de Goiás, apresentando o índice de chuvas em milímetro, e a
temperatura média dos meses em grau Celsius.
Figura 1: Climograma da cidade de Catalão, Goiás de um detrminado ano Fonte: Caderno 4
SEE – SP do 3º ano do ensino médio (SÃO PAULO, 2010, p. 5)
137
A respeito desse gráfico, responda:
(Q2a) Como é possível relacionar as estações do ano aos índices de chuvas apresentado no gráfico?
______________________________________________________________________________________________________________________________________
(Q2b) Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico. É verdade que chove mais nos meses mais frios? Justifique sua resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
(Q2c) Represente os dados deste gráfico em um histograma de dispersão bivariado.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Atividade Final 3 (Extraído de Moritz, 2004)
Os estudantes da escola X, desenvolveram um projeto para verificar o nível de ruido
em 6 salas de aula. Para tal utilizaram um decibelimetro e verificaram o nivel de
ruido, considerando também a quantidade de pessoas que encontravam-se na sala
no momento da medição.
Os resultados desta pesquisa podem ser observados no gráfico da Fig. 1
C
A
E
B
D
F
0
10
20
30
40
50
60
70
80
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nº de pessoas na sala
Nív
el d
e ru
ído
138
Q3a. Imagine que você esta conversando com alguém que não pode ver o gráfico. Escreva uma frase para dizer o que este gráfico representa.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Q3b. Quantas pessoas estão na classe D?
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Q3c. Caso os alunos forem medir o nível de ruido em uma classe que tenha 23 pessoas, qual o nível de barulho você acha que eles iriam medir? ( Mesmo que você não tenha certeza, procure estimar ou adivinhar). Justifique a sua resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Q3d. Um dos alunos que estava efetuando a medida disse:
“O gráfico mostra que as salas de aula com mais pessoas fazem menos barulho”. Você acha que o gráfico é uma boa razão para dizer isso?
( ) sim ( ) não. Justifique a sua resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
Q3e. Algum tempo depois, o mesmo aluno disse:
“O gráfico mostra que o baixo nivel de ruido está relacionado com o número de pessoas na classe”. Você concorda com ele?
( ) sim ( ) não. Justifique a sua resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________
139
Apêndice B – QUESTIONÁRIO DE PERFIL
1) Sexo: Masculino Feminino 2) Idade:_______(anos completos) 3) Sobre trabalho: Trabalho Não trabalho Estou procurando emprego 4) Existe (m) disciplina (s) no curso que você gosta mais? ( ) sim ( ) não Quais: ____________________________________________________________________ 5) Se você respondeu sim na questão anterior, você gosta mais de alguma (s) disciplina (s)
principalmente porque (marque apenas uma alternativa): a) o conteúdo da disciplina é muito importante/atrativo para a minha formação geral b) o conteúdo da disciplina é muito importante/atrativo para a minha vida c) a metodologia e os materiais didáticos tornam a (s) disciplina (s) atrativa (s) d) o (s) professor (es) é que torna (tornam) a (s) disciplina (s) atrativa (s) 6) Durante as outras séries escolares, você já tinha estudado algum conceito estatístico? sim não
7) Dos termos abaixo, utilizados em Estatística, quais você conhece e julga-se capaz de interpretar (marque com X) ( ) Amostra ( ) Freqüência ( ) Porcentagem ( ) Amostragem ( ) Média ( ) Probabilidade ( ) Amplitude ( ) Mediana ( ) Proporção ( ) Correlação ( ) Mensuração ( ) Variância ( ) Curva Normal ( ) Moda ( ) Variáveis ( ) Desvio padrão ( ) Percentil ( ) Gráfico de pontos - dotplot ( ) População ( ) Diagrama de dispersão ( ) Covariação ( ) Outros_______________________________________________________
8) Como você classifica a Estatística para seu cotidiano? nada importante pouco importante importante muito importante 9) Responda sucintamente os itens abaixo (use no máximo 3 palavras): a) Qual o primeiro sentimento que você tem, quando ouve a palavra estatística?_________________________________________________________________ b) Qual a primeira idéia que passa pela sua "mente", quando você ouve a palavra estatística?_________________________________________________________________
140
Apêndice C – Termo de Responsabilidade da Instituição
TERMO DE RESPONSABILIDADE DA INSTITUIÇÃO
Eu, Prof.(a) ____________________________________________________,
diretor(a) da Escola ____________________________________________________,
declaro ter conhecimento da pesquisa: Ensino de Covariação no contexto do Homem
Vitruviano, de responsabilidade da professora Dra. Verônica Yumi Kataoka e do mestrando
Vanderlei Toledo Severino da Universidade Bandeirante de São Paulo – Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática, e autorizo sua realização com alunos do 3º ano do
ensino médio, no ano de 2011.
Assinando esta autorização, estou ciente de que os alunos responderão os seguintes
instrumentos: questionário de perfil do aluno e atividades propostas na seqüência de ensino.
Além disso, os alunos utilizarão o Software R, mais especificamente o pacote Rcmdr, no
laboratório de informática da escola..
Fui informado que esta pesquisa está sendo desenvolvida pelo mestrando
supracitado, sob a orientação da Profa Dra Verônica Yumi Kataoka.
_____________________________________________
Assinatura do Diretor
141
Apêndice D – TCLE Menor
Carta de esclarecimento sobre o Projeto e a Pesquisa
Pesquisa: Ensino de Covariação no contexto do Homem Vitruviano
Pesquisadores responsáveis: Vanderlei Toledo Severino RG 15529624-3 e Verônica Yumi
Kataoka RG 4.209.917
Informações sobre a pesquisa:
Esta pesquisa está sendo desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática, tendo como objetivo principal investigar a aprendizagem do conceito de
covariação de maneira informal, com os alunos do 3º ano do Ensino Médio, utilizando
algumas medidas do corpo humano (altura, envergadura, largura dos ombros e palmo da
mão) para estudar as relações propostas no quadro do Homem Vitruviano pintado por
Leonardo da Vinci. Para tal, os alunos responderão os seguintes instrumentos: questionário
de perfil do aluno e atividades propostas na seqüência de ensino. Além disso, os alunos
utilizarão o Software R, mais especificamente o pacote Rcmdr, no laboratório de informática
da escola.
Ao preencher estes instrumentos de pesquisa, você estará consentindo que os dados do
aluno sob sua responsabilidade sejam utilizados apenas para os fins desta pesquisa.
Ressaltamos que não há interesse de identificá-lo.
Desde já agradecemos sua contribuição, porque ela será de extrema importância para que
os objetivos deste trabalho sejam atingidos.
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Eu, _________________________________________________________________, portador (a) do RG ____________________ responsável pelo aluno ________________________________________________________, residente na _________________________________________________________, com número de telefone ____________________ e e-mail _____________________________, abaixo assinado, dou meu consentimento livre e esclarecido para a participação do aluno acima referenciado como voluntário(a) da pesquisa supra citada, sob a responsabilidade dos pesquisadores Vanderlei Toledo Severino e Verônica Yumi Kataoka.
1. Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:
2. O objetivo principal dessa pesquisa é investigar a aprendizagem do conceito de covariação de maneira informal com alunos do 3º ano do Ensino Médio da Escola Estadual Marechal Henrique Teixeira Lott.
3. Durante o estudo, o aluno sob minha responsabilidade estará preenchendo o questionário de perfil do aluno, realizando experimentos extra classe e desenvolvendo atividades no laboratório de informática. Assim que for terminada a pesquisa, o aluno sob minha responsabilidade terá acesso aos resultados globais do estudo;
142
4. O aluno sob minha responsabilidade está livre para interromper, a qualquer momento, sua participação nesta pesquisa;
5. A participação nesta pesquisa é voluntária, sendo que estou ciente que o aluno sob minha responsabilidade não receberá qualquer forma de remuneração;
6. O risco desta pesquisa é mínimo e restringe-se ao constrangimento de não saber responder os problemas propostos ou a lembrança de algum evento desagradável durante sua experiência escolar com a própria Estatística ou disciplinas afins como a Matemática.
7. Os dados pessoais do aluno sob minha responsabilidade serão mantidos em sigilo e os resultados obtidos com a pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica especializada;
8. Sempre que julgar necessário poderá entrar em contato com pesquisador Vanderlei Toledo Severino, no telefone 6016-6240 ou pelo e-mail: [email protected] e a pesquisadora Verônica Yumi Kataoka, no telefone 2972-9008 ou pelo e-mail: [email protected].
9. Obtive todas as informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre a participação do aluno sob minha responsabilidade na referida pesquisa;
10. Este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma permanecerá em meu poder e a outra com os pesquisadores responsáveis.
_____________________, ______de ____________________ de 2011.
Assinatura do Responsável pelo aluno:_________________________________________
Assinatura do Pesquisador Responsável pelo estudo: ___________________________
143
Apêndice E – Termo de direito do uso de imagem
TERMO DE DIREITO DO USO DE IMAGEM
Eu, ______________________________________________________________,
portador(a) de cédula de identidade nº ______________________, autorizo a Professora
Doutora Verônica Yumi Kataoka e o mestrando Vanderlei Toledo Severino do Programa de
Pós-Graduação em Educação Matemática da UNIBAN, gravar em vídeo as imagens, tirar
fotos e depoimentos do menor sob minha responsabilidade durante os encontros, na Escola
Estadual Marechal Henrique Teixeira Lott, referentes ao desenvolvimento do Projeto de
Pesquisa intitulada Ensino de Covariação no contexto do Homem Vitruviano e veicular em
qualquer meio de comunicação para fins didáticos, de pesquisa e divulgação de
conhecimento científico sem quaisquer ônus e restrições.
Fica ainda autorizada, de livre e espontânea vontade, para os mesmos fins, a cessão de
direitos da veiculação, não recebendo o menor sob minha responsabilidade para tanto
qualquer tipo de remuneração.
São Paulo, _____ de __________________ de 2011
Ass.___________________________________
RG: