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  • blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

    ESCOLA DE APLICAO DR. ALFREDO JOS BALBI

    UNITAU

    APOSTILA

    INTRODUO AO ESTUDO DAS FUNES

    NOME: NO:

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    FUNO

    IDIA INTUITIVA DE FUNO O conceito de funo um dos mais importantes da matemtica. Ele est sempre presente na relao entre duas grandezas variveis. Assim so exemplos de funes: - O valor a ser pago numa corrida de txi funo do espao percorrido; - A rea de um quadrado funo da medida do seu lado; - O consumo de combustvel de um automvel funo, entre outros fatores, da velocidade. Observe que as relaes que vimos a seguir tm duas caractersticas em comum: - A todos os valores da varivel independente esto associados valores da varivel dependente; - Para um dado valor da varivel independente est associado um nico valor da varivel dependente. As relaes que tm essas caractersticas so chamadas de funes. Exemplos: 1) Nos itens abaixo, esto descritas algumas relaes entre variveis. Em cada caso, identifique a varivel independente e a dependente. a) O nmero de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga. Resoluo: b) A durao de uma chamada telefnica e o custo da chamada. Resoluo: 2) O preo a ser pago por uma corrida de txi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00 , denominada bandeirada mais uma parcela varivel de R$ 0,90 por km rodado. Determine: a) A funo que representa o preo P de uma corrida em funo de x quilmetros rodados. Resoluo: b) O preo de uma corrida de 12 km. Resoluo: c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida. Resoluo:

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    DEFINIO MATEMTICA DE FUNO Sendo A e B dois conjuntos no vazios e uma relao f de A em B, essa relao f uma funo quando cada elemento x do conjunto A est associado a um, e somente um, elemento y do conjunto B. Indica-se por: Quando estas condies descritas na definio no forem satisfeitas, existir apenas uma relao (R). Da, conclumos que toda funo uma relao mas, nem toda relao e uma funo. Observe os exemplos com diagramas: As figuras 1, 2 e 3 representam funes. Note que cada elemento do conjunto domnio A tem uma nica chegada no conjunto contradomnio B. Chamamos de conjunto imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No conjunto contradomnio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a relao especial uma funo.

    fig.1 fig.2 fig.3 As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relaes. Note que na fig. 4 alguns elementos de A tm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B e, finalmente, na fig. 6 um nico elemento de A tm vrias chegadas em B. A letra R acima do diagrama indica ser apenas uma relao.

    fig.4 fig.5 fig.6 Exemplos 1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relao expressa pela frmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. a) Faa o diagrama e verifique se f uma funo de A em B. Resoluo: b) Se for uma funo de A em B, determine o domnio, a imagem e o contra-domnio de f. Resoluo:

    f: A B

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    2) Seja a funo f: definida por f(x) = x2 - 7x + 9. Determine: a) O valor de f(-1) Resoluo: b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1. Resoluo: 3) Dadas as funes f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o valor de a. Resoluo:

    4) Dada a funo f: definida por f(x) = ax + b, com a e b . Determine a e b, sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5. Resoluo: DOMINIO DE UMA FUNO REAL DE VARIVEL REAL Quando trabalhamos com uma funo, importante sabermos qual o domnio dessa funo, pois ele que vai determinar os valores possveis para a varivel independente. Em muitos casos, o domnio e o contradomnio no vm explicitados, devemos, ento, considerar como domnio o conjunto de todos os nmeros reais que podem ser colocados no lugar da varivel independente na frmula da funo, obtendo, aps os clculos, um nmero real, j, o contradomnio ser os nmeros reais. Exemplos 1) Encontrar o domnio das funes:

    a) f(x) = 3x2 - 4x + 2 b) f(x) = 42

    53

    x

    x

    Resoluo: Resoluo:

    c) f(x) = 44 x d) f(x) = 4

    33

    2

    5

    +

    +

    x

    x

    x

    x

    Resoluo: Resoluo:

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    GRFICO DE UMA FUNO Para construir o grfico de uma funo, utilizaremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. O sistema de coordenadas ortogonais composto por: - Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal o eixo x (abscissas) e a reta vertical o eixo y (ordenadas). - O cruzamento das duas retas a origem do sistema. - As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. O grfico conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com xD e yIm. Para isso, consideremos os valores do domnio da funo o eixo x e as respectivas imagens no eixo y.

    Exemplos: 1) Construir o grfico das funes: a) BA :f , definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 } b) f: definida por f(x) = x + 2

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    ANALISANDO GRFICOS DE FUNES A partir do grfico de uma funo, podemos obter comportamento dessa funo, como: - O domnio e a imagem. - Os pontos onde o grfico intercepta os eixos coordenados.- Os intervalos para os quais a funo - Os intervalos para os quais a o valor da funo positivo e negativo.- O valor mximo ou mnimo que a funo atinge.- O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da funo. Como reconhecer quando um grfico representa uma funo Como para cada valor de x do domnio devemos ter em correspcontradomnio, possvel identificar se um grfico representa ou no funo, traamos retas paralelas ao eixo y. Para ser funo, cada reta vertical traada por pontos do domnio deve interceptar o grfico em um nico ponto.

    Como determinar o domnio e a imagem - O domnio de uma funo obtido pela projeo x (abscissas) - A imagem de uma funo y (ordenadas) Exemplo

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    ANALISANDO GRFICOS DE FUNES

    A partir do grfico de uma funo, podemos obter informaes importantes sobre o comportamento dessa funo, como:

    Os pontos onde o grfico intercepta os eixos coordenados. Os intervalos para os quais a funo crescente, decrescente ou constante

    is a o valor da funo positivo e negativo. ou mnimo que a funo atinge.

    O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da funo.

    Como reconhecer quando um grfico representa uma funo

    Como para cada valor de x do domnio devemos ter em correspondncia um nico y do contradomnio, possvel identificar se um grfico representa ou no funo, traamos retas paralelas ao eixo y. Para ser funo, cada reta vertical traada por pontos do domnio deve interceptar o grfico em um nico ponto.

    determinar o domnio e a imagem da funo

    O domnio de uma funo obtido pela projeo dos pontos do grfico sobre

    de uma funo obtida pela projeo dos pontos do grfico

    D(f) = } 6 x /1 x{ Im(f) = 5 y 2 / y {

    6

    informaes importantes sobre o

    ou constante.

    ondncia um nico y do contradomnio, possvel identificar se um grfico representa ou no funo, traamos retas paralelas ao eixo y. Para ser funo, cada reta vertical traada por pontos do

    do grfico sobre o eixo

    grfico sobre o eixo

    } 5

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    Como determinar as razes ou os zeros de uma funo Graficamente a(s) raiz(es) de uma funo (so) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde o grfico encontra o eixo x (abscissas). Exemplo

    Como determinar o intervalo onde a funo crescente, decrescente ou constante - Se aumentarmos o valor da varivel independente e aumentar os valores da imagem, temos funo crescente. - Se aumentarmos o valor da varivel independente e diminuir os valores da imagem, temos funo decrescente. Se aumentarmos o valor da varivel independente e no alterar os valores da imagem, temos funo constante.

    Valor mximo e Valor mnimo de uma funo

    Logo, os nmeros 2 e 5 so as razes ou os zeros da funo

    constante

    decrescente crescente

    y

    o

    x

    y

    o

    x X1

    X2

    f(x1)

    f(x2)

    mximo

    mnimo

    Valor mximo f(x2) Valor mnimo f(x1)

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    EXERCCIOS DE FIXAO DA APRENDIZAGEM 1) (Unesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de at 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condies: a) Encontre uma frmula que expresse o peso mnimo, P, que essa pessoa poder atingir aps n semanas. resp: 156 2,5n b) Calcule o nmero mnimo de semanas completas que a pessoa dever permanecer no SPA para sair de l com menos de 120 kg de peso. resp: 15 semanas 2) (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centgrados usa-se a frmula: C = 5(F - 32)/9,onde F o nmero de graus Fahrenheit e C o nmero de graus centgrados. a) Transforme 35 graus centgrados em graus Fahrenheit. resp: 95 b) Qual a temperatura (em graus centgrados) em que o nmero de graus Fahrenheit o dobro do nmero de graus ce