UnidadeUnidade1515

Formulação de ModelosFormulação de Modelos

DC 3DC 3

19321932

All metalAll metal

Carenagem Carenagem motormotor

Navegação Navegação radioradio

bimotorbimotor

30 horas de ensaio em 30 horas de ensaio em túneltúnel

Primórdios da Primórdios da AeronáuticaAeronáutica

Solução diretaSolução direta

ExperimentaçãoExperimentação realizada no protótiporealizada no protótipo

--DispendiosaDispendiosa-Pouco -Pouco práticaprática

Solução Solução DiretaDireta

Solução Solução DiretaDireta--

DispendiosaDispendiosa-Pouco -Pouco práticaprática

-Dificuldades de otimização-Dificuldades de otimização-Destrutiva e perigosa-Destrutiva e perigosa

Solução Solução DiretaDireta

Alta Complexidade dos Alta Complexidade dos Projetos ModernosProjetos Modernos

19091909DemoiselleDemoiselle

The first jet airlinerThe first jet airlinerDe Havilland Comet 1, entered De Havilland Comet 1, entered service on May 2, 1952 on the service on May 2, 1952 on the London - Johannesburg routeLondon - Johannesburg route

84 Passengers84 Passengers4 Rolls-Royce Avon engines4 Rolls-Royce Avon engines535 mph cruise535 mph cruise

SST BoeingSST Boeing

ModelosModelos

-Fatores irrelevantes -Fatores irrelevantes podem ser podem ser desconsiderados desconsiderados na na construção do modeloconstrução do modelo-Decompor o modelo em -Decompor o modelo em sub-sub- problemasproblemas-Refinar os modelos-Refinar os modelos-Determinar -Determinar sensibilidadessensibilidades-Previsões-Previsões

Limitação dos Limitação dos ModelosModelos

Modelos são Modelos são idealização idealização incompletasincompletas

Sempre ocorrerá Sempre ocorrerá diferenças dos diferenças dos

resultados resultados calculados calculados e medidose medidos

As diferenças de As diferenças de resultados depende das resultados depende das

suposições e suposições e simplificações simplificações

molamola

F = k xF = k x

FF

Gd

NDFx

4

38

d

2D

Sempre ocorrerá Sempre ocorrerá diferenças dos diferenças dos

resultados resultados calculados calculados (modelos) e medidos (modelos) e medidos

(protótipo)(protótipo)

Os modelos não são Os modelos não são únicosúnicos

Escoamento de Escoamento de fluidosfluidos

Problema:Problema:

Problema de alta Problema de alta complexidadecomplexidade

Modelo com Modelo com simplificaçõessimplificações

Equação de Equação de BernoulliBernoulli

constante2

2

VP

dVVdP

RestriçõesRestrições::Escoamento em regime Escoamento em regime

permanentepermanente 0t

Escoamento incompressívelEscoamento incompressível0d

Escoamento sem atritoEscoamento sem atrito

Ao longo de uma linha de Ao longo de uma linha de correntecorrente

0ds

0t

0d 0ds

Ao longo de uma linha de Ao longo de uma linha de correntecorrente

Modelo mais Modelo mais elaborado:elaborado:

Equações de Navier & Equações de Navier & StokesStokes

z

u

x

w

zx

v

y

u

y

Vx

u

xx

Pg

z

u

y

u

x

u

t

u

Dt

Du

x

.

3

22

Um mesmo modelo pode Um mesmo modelo pode representar problemas representar problemas

diferentesdiferentes

ck

m

x

Os modelos não são Os modelos não são únicosúnicos

2- Modelos 2- Modelos AnalógicosAnalógicos

1- Modelos 1- Modelos IcônicosIcônicos

3- Modelos 3- Modelos SimbólicosSimbólicos

Tipos de modelosTipos de modelos

1- Modelos 1- Modelos IcônicosIcônicosApresentam Apresentam

equivalência geométrica equivalência geométrica visual em escala visual em escala

ampliada ou reduzidaampliada ou reduzidaPodem mostrar Podem mostrar somente partes ou somente partes ou

características características relevantes para o relevantes para o

propósito imediatopropósito imediato

Classes dos Modelos Classes dos Modelos IcônicosIcônicos

Modelos Icônicos Modelos Icônicos bidimensionaisbidimensionais

MapasMapas

Modelos Icônicos Modelos Icônicos bidimensionaisbidimensionais

DesenhosDesenhos

Modelos Icônicos Modelos Icônicos bidimensionaisbidimensionais

Modelos Icônicos Modelos Icônicos réplicas físicas réplicas físicas tridimensionaistridimensionais

Classes dos Modelos Classes dos Modelos IcônicosIcônicos

Modelos Icônicos Modelos Icônicos réplicas físicas réplicas físicas tridimensionaistridimensionais

MaquetesMaquetes

Modelos Icônicos Modelos Icônicos réplicas físicas réplicas físicas tridimensionaistridimensionais

miniaturasminiaturas

Modelos Icônicos Modelos Icônicos réplicas físicas réplicas físicas tridimensionaistridimensionais

Mock-upMock-up

Boeing 2707 ConcordePeso total ao decolar 306t 159 tRaio de ação 6.400 km 6.400 kmVelocidade de cruzeiro 2.900 km/h 2.335 km/hAltitude de cruzeiro 19.500 m 19.000 mEnvergadura 53 m 25 mComprimento 93 m 58 mPrimeiro vôo previsto 1968-1970 1968Entrada em serviço por volta de 1975 1971

2- Modelos 2- Modelos AnalógicosAnalógicos

1- Modelos 1- Modelos IcônicosIcônicos

3- Modelos 3- Modelos SimbólicosSimbólicos

Tipos de modelosTipos de modelos

2- Modelos 2- Modelos AnalógicosAnalógicos

Seguem o Seguem o mesmo mesmo

princípio do princípio do original original

2- Modelos 2- Modelos AnalógicosAnalógicos

1- Modelos 1- Modelos IcônicosIcônicos

3- Modelos 3- Modelos SimbólicosSimbólicos

Tipos de modelosTipos de modelos

3- Modelos 3- Modelos SimbólicosSimbólicos

Modelo MatemáticoModelo Matemático

Descrição de um Descrição de um sistemasistemaRelações Relações

quantitativasquantitativasee

Relações qualitativasRelações qualitativas

Relações Relações quantitativasquantitativas

PotênciaPotênciaDimensõesDimensões

CustosCustosRelações qualitativasRelações qualitativas

SegurançaSegurançaConfiabilidadeConfiabilidade

AparênciaAparência

Modelo matemáticoModelo matemático

-Permite -Permite generalizaçõesgeneralizações-Permite simplificar -Permite simplificar problemas problemas complexoscomplexos-Permite utilizar -Permite utilizar métodos métodos matemáticosmatemáticos-Produz resultados -Produz resultados numéricosnuméricos

Preparação do Preparação do Modelo MatemáticoModelo Matemático

1-Identificar as variáveis1-Identificar as variáveis2-Suposições 2-Suposições simplificadorassimplificadoras3-Condições de contorno3-Condições de contorno4-Equacionar4-Equacionar5-Simplificar5-Simplificar

Características do Características do Modelo matemáticoModelo matemático

1-Previsão de 1-Previsão de desempenhodesempenho2-Complexidade mínima2-Complexidade mínima3-Termos separados3-Termos separados4-Fácil verificação4-Fácil verificação

Case StudyCase StudyTanque de água de uma Tanque de água de uma

betoneirabetoneira

Espaço disponível 1,5 x 0,6 x Espaço disponível 1,5 x 0,6 x 0,6 m0,6 m

Capacidade 430 lCapacidade 430 l

Resistência à corrosãoResistência à corrosãoFabricação simplesFabricação simples

Enchimento e esvaziamento fácilEnchimento e esvaziamento fácil

Forma geométricaForma geométricaEsférico 0,91 mEsférico 0,91 m

Cilíndrico Cilíndrico

C Custo totalC Custo totalCa Custo do açoCa Custo do açoCs Custo da soldagemCs Custo da soldagemCg Custo da galvanizaçãoCg Custo da galvanizaçãoW Peso de açoW Peso de açow Comprimento da w Comprimento da soldagemsoldagemA Área de superfícieA Área de superfície

VariáveisVariáveis

V Volume 430 lV Volume 430 lca Custo unitário do açoca Custo unitário do açocs Custo unitário da cs Custo unitário da soldagemsoldagemcg Custo unitário da cg Custo unitário da galvanizaçãogalvanizaçãoLmáx = 1,5 mLmáx = 1,5 mDmáx = 0,6 mDmáx = 0,6 mChapa 1,6mm (ca = Chapa 1,6mm (ca = 125,00/m125,00/m22))cs = 30,00cs = 30,00Cw = 20,00Cw = 20,00

Restrições e constantesRestrições e constantes

equaçõesequações

DLD

A

42

2

LD

V4

2

4

42

D

VDcwAcgcaC

22 46,25

6,1256,266

2,243D

DD

DC

8,0DCmín

mLemD 52,16,0

Caso 2Caso 2 Ascensão de Bolhas Ascensão de Bolhas Gasosas em Meio Líquido Gasosas em Meio Líquido InfinitoInfinitoVariáveis do problema:Variáveis do problema:

0U,D,,,,,,gF GLGL

onde g é a aceleração da gravidade, onde g é a aceleração da gravidade, a densidade, a densidade, a a viscosidade absoluta, viscosidade absoluta, a tensão superficial, D o diâmetro a tensão superficial, D o diâmetro equivalente, U a velocidade terminal da bolha e V o seu equivalente, U a velocidade terminal da bolha e V o seu volume. Os índices L e G correspondem, respectivamente, à volume. Os índices L e G correspondem, respectivamente, à fase contínua e à fase dispersa, consideradas, na presente fase contínua e à fase dispersa, consideradas, na presente análise, como incompressíveis e newtonianasanálise, como incompressíveis e newtonianas

3/1)/V6(D

L

UDRe L

L

L2Dg

Eo

3LL

4Lg

Mo

2/1

2/12

Eo

MoReWe

2/12

2/3

DMoRe3

Eo4C

AU2

1

FC

2L

DD

3LED Dg

6FF

2U

Dg

3

4CD

1

10

Nú

me

ro d

e R

eyn

old

s, R

e

10 -2 10 -1 10 2 10 31 10

N úm ero de Eötvos, Eo

Ca

lota

esf

éri

ca/e

lipso

ida

l

10 -3

10 -2

10 -1

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

Esférica

E lipso ida l

U = 12,0 cm/U = 12,0 cm/s D = s D = 1,05 mm.1,05 mm.

1

10

Nú

me

ro d

e R

eyn

old

s, R

e

10 -2 10 -1 10 2 10 31 10

N úm ero de Eötvos, Eo

10 -3

10 -2

10 -1

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6

M o = 2,6 .10 -11

M o = 4,3 .10 -10

G race (1973)

M o = 2,1.10 -11

Experim enta l

10 2 10 3

N úm ero de R eynolds, R e

10 -1

10

1

10

Co

efic

ien

te d

e a

rra

sto

, C

D

Esfera ríg idaD urst e t a l.(1986)

Experim enta lM o = 2,1.10 -11

M o = 2,5.10 -11

H arper (1972)