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Unidade III - Ondas 1. Situando a Temática Nesta unidade temática daremos algumas ideias do fenômeno ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em uma corda. Estudaremos os conceitos básicos como ondas transversais, longitudinais, pulsos de onda, função de onda geral, ondas em uma corda, energia de uma onda, superposição de ondas e ondas estacionárias. Nesta unidade e na próxima estudaremos as ondas mecânicas que são perturbações que se propagam em um meio. Porém na natureza não temos apenas ondas mecânicas, temos as ondas eletromagnéticas que não necessitam de meio para se propagar. Ainda existem outros fenômenos ondulatórios associados ao comportamento das partículas atômicas e subatômicas, ligados aos fundamentos da mecânica quântica.

2. Problematizando a Temática Quando estudamos o movimento de rotação de um corpo rígido, as partículas que o compõe não se movem umas com relação as outras. Diferentemente para um corpo deformável como o ar, água, cordas, sólidos elásticos, podemos estudar o movimento ondulatório desse corpo, isto é, um movimento coletivo de partículas em um corpo, mas aqui as partículas se movem relativamente umas com relação as outras e elas exercem forças, que dependem do tempo, umas contra as outras.

3. Pulsos de Onda Considere uma corda elástica como um sistema de partículas que está submetida a uma perturbação em um de seus pontos. O movimento é

fig. III.1. Exemplos de ondas.

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transmitido de uma partícula a outra e a perturbação se propaga ao longo das linhas das partículas. Tal perturbação é chamada de pulso de onda. Dependendo da direção da perturbação, ela pode ser chamada de onda transversal ou onda longitudinal, como podemos distinguir na fig. III.2.

4. Ondas Viajando

Considere um pulso de onda transversal, como na fig. III.3, viajando ao longo de uma corda com uma velocidade v. Suponha que a forma do pulso permanece constante. Para um tempo t = 0, a forma da onda representa uma função y = f(x). Em um tempo t > 0, um tempo depois, y = f(x - vt). Note que, se a onda viaja no sentido contrário de x, y = f(x + vt), para um tempo t > 0. No caso especial de ondas harmônicas, isto é, que em t = 0, a forma da

onda é uma função seno ou cosseno. Temos

kxAy cos eq. III.1

para t = 0, onde A é chamada a amplitude da onda, k é o número de onda, não confunda com a constante de uma mola. As cristas da onda ocorrem em kx = 0, 2π, 4π, ...Os valores mínimos de y são chamados de vales da onda que ocorrem em kx = π, 3π, 5π, ...A distância de uma crista a outra é chamado comprimento de onda

k

2

eq. III.2

A onda pode ser descrita pelas seguintes expressões, viajando na direção positiva de x ou negativa de x. Isto é,

)(cos vtxkAy e )(cos vtxkAy eq. III.3

O período da onda é o tempo de sua viagem correspondente a ,

vT / eq. III.4

enquanto a frequência da onda é

fig. III.2. Exemplos de propagação de uma onda longitudinal na primeira figura e onda transversal na segunda figura.

fig. III-3. Pulso de onda em t = 0 e em t = x/v > 0,

o pico viajou uma distância vt.

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Fig. III.5. Forças que atuam no segmento L

da corda, onde

F é a resultante.

/vf eq. III.5

A frequência angular é dada por

kvf 2 Agora teremos a função de onda,

)cos(]2)/2cos[( tkxAvtxAy eq. III.6

5. Velocidade de Onda em uma Corda A velocidade de uma onda depende da característica do meio e, às vezes, de . Vamos mostrar a velocidade de uma onda numa corda. Considere uma corda como na fig. III.4. A tensão na corda é 1F e sua densidade

é d kg/m, vamos assumir a amplitude da onda muito pequena, comparada ao tamanho da corda. Desta forma podemos dizer também que 1F = const. já que a perturbação é muito pequena. Nosso sistema de referência está se movendo para direita com velocidade do pulso. Nesse sistema, o pulso está em repouso e a corda viaja para esquerda. Cada segmento da curva viaja ao longo de um caminho tal como o pulso. Tome L da corda ao redor do caminho curvo, muito pequeno, para um muito pequeno do círculo. Note que

1

F + 2

F =

F = centripetaF

, tal que RLvdF /2

, por outro

lado a norma de

F é 1F . Temos que LR , assim a velocidade de uma onda transversal é

dFv 1 eq. III.7

Observe que, como a velocidade da onda é independente da forma, podemos pensar uma onda harmônica como uma sucessão de pulsos negativos e positivos. Se os pulsos têm mesma velocidade, todas ondas harmônicas sobre a corda tem mesma velocidade, independente do comprimento de onda. Apesar de nosso exemplo ser uma corda, o calculo da velocidade é geral. A velocidade de onda depende da força de restituição e da inércia do meio. Porém a velocidade depende da forma na maioria dos tipos de onda e assim os pulsos se tornam rasos. Um meio que proporciona

fig. III.4. Uma corda inicialmente esticada e bem ajustada entre dois pontos fixos, com tensão 1F , depois um pulso é aplicado

adquirindo uma velocidade v.

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fig. III.6. Pedaço ‘pequeno’ da corda

entre x e x+dx.

isto é chamado de meio dispersivo. Em contraste, para o caso de ondas harmônicas sobre uma corda, essas ondas em meio dispersivo não podem ser considerados como simplesmente uma sucessão de pulsos, pois os pulsos mudam sua forma, enquanto as ondas harmônicas não. Então nós chamaremos a velocidade do pico de um pulso de onda de velocidade de grupo, enquanto a velocidade de uma onda harmônica a velocidade de fase.

6. Energia em uma Onda Uma onda transversal em uma corda tem energia cinética, pois as partículas estão em movimento e por outro lado tem energia potencial porque um trabalho é preciso para esticar a corda. Considere um intervalo dx e a densidade de massa da corda para esse intervalo dx , assim

2)()(21

dtdydxdK eq. III.8

é a energia cinética desse pedaço de corda, onde dtdy

é sua velocidade.

Note que quando a onda passa em dx a corda estica mais com um

comprimento aproximado de 22 dydx , a corda perturbada e

invadindo a dimensão y. Então a mudança de comprimento da

corda é, dxdydxL 22 ou

]1)(211[]1)(1[ 22

dxdydx

dxdydxL

dxdxdyL 2)(

21

, para dxdy

suficientemente pequeno.

A energia potencial

dxdxdyFLFdU 2)(

21

eq. III.9

onde F é a força de tensão para esticar a corda e dU é a energia associada ao intervalo dx interpretada como o trabalho que deve ser feito contra a F. A energia total associada a dx é

dxxyFdx

tydUdKdE 22 )(

21)(

21

, enquanto a densidade de

energia da onda

22 )(21)(

21

xyF

ty

dxdE

eq. III.10

Tem-se uma onda harmônica,

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)(])[(21 2222 tkxsenAFk

dxdE ,

em virtude de kv e Fv

)(222 tkxsenAdxdE

eq. III.11

A energia deve viajar com uma onda de velocidade v , então para

dx: vdxdt é o tempo de mover esse intervalo. Assim, para uma onda

harmônica, a potência transportada de uma onda é

)(222 tkxsenAvdxdEv

dtdEP eq. III.12

7. A Superposição de Ondas Muitos tipos de ondas obedecem ao princípio de superposição, isto é, quando duas ou mais ondas se propagam, esta propagação é independente, ou seja, uma onda se propaga como se nenhuma outra onda a perturbasse. Muito embora, se uma onda de som é muito forte, o princípio da superposição não vale mais, assim como ondas de choque. Aqui não devemos nos preocupar com esse tipo de ondas e assim o princípio da superposição continua valendo. Como primeiro exemplo, vamos considerar duas ondas propagando-se em uma mesma direção com mesma frequência e amplitude, mas fases diferentes, como ondas em uma corda, no ar, na superfície da água. As funções de onda são,

)cos(1 tkxAy e )cos(2 tkxAy ,

pelo princípio da superposição 21 yyy e usando uma identidade trigonométrica,

21cos)

21cos(2 tkxAy .

Se 0 , as ondas estão em fase, elas encontram crista com crista e vale com vale. Isto é uma interferência construtiva. Enquanto se , as cristas das ondas se encontram com vales e a interferência é destrutiva, neste caso y = 0. Se duas ondas tem amplitudes diferentes suas interferências destrutivas não darão um cancelamento total das ondas. Um outro exemplo de superposição é quando consideramos frequências diferentes, )cos( 111 txkAy e )cos( 222 txkAy , teremos

)cos(])(21cos[2

_

21 xkxkAyyy , para t = 0, 21 kkk e

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fig. III.7. Ondas de frequências diferentes.

fig. III.8. O gráfico mostra uma superposição de

ondas dando uma amplitude modulada.

)(21

21

_

kkk . Se k <<_

k a onda y pode ser interpretada como uma onda

cujo número de onda é _

k e amplitude ])(21cos[2 xkA , sua amplitude

variando devagar com a posição. Essa amplitude é chamada de amplitude modulada. Veja a figura mostrando a superposição resultante de ondas com e diferentes. Ao passar o tempo, o padrão dessa fig. III.8 se move para direita

com velocidade de onda. Isto evolui para o fenômeno dos batimentos. Isto é o fenômeno da amplitude baixar e subir. A frequência de tais pulsos é dita frequência de batimento. O intervalo de tempo entre esses batimentos é

kvvxt /2/ e a frequência de batimento é

2121

2221 fffvkvkkvt

f batimento

.

Pela superposição de ondas harmônicas de diferentes amplitudes e freqüências, nós construímos formas de ondas complicadas. De fato, pode-se mostrar que qualquer onda periódica pode ser construída pela superposição de um número suficientemente grande de ondas harmônicas senoidais e cossenoidais. Chamamos este resultado de teorema de Fourier. Para fazermos essa composição usamos as séries de Fourier que poderemos ver

em um curso mais avançado.

8. Ondas Estacionárias Vamos considerar a superposição de duas ondas com mesmas frequências e amplitudes, mas propagando-se em direções opostas. As funções de onda e sua resultante são

)cos(1 tkxAy e )cos(2 tkxAy e

tkxAyyy coscos221 eq. III.13 y descrevendo uma onda estacionária. Essa onda viaja nem para direita nem para esquerda, seus picos permanecem fixos enquanto toda a onda cresce e decresce em harmonia. Se y acima representa o movimento de uma corda, então cada partícula da corda executa um MHS. Entretanto, em contraste ao caso de onda viajante, onde a amplitude de oscilação de cada partícula é a mesma, a amplitude de oscilação agora depende da posição com valor

kxAcos em uma posição x. Posições onde a amplitude de oscilação é máxima são:

,...2,,0 kx , onde /2k ,2/3,,2/,0 x ..... Os máximos são devidos a interferência construtiva entre as ondas. Da mesma forma para

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amplitude zero: ,2

3,2

kx ..., ou ,...,4/3,4/ x os mínimos são

devido a interferência destrutiva entre as ondas. Os mínimos de ondas estacionárias são chamados de nodos e os máximos de antinodos. Estamos supondo até agora que uma corda é um objeto longo sem pontos finais. Existe uma condição de contorno, nos pontos extremos da corda. A deformação y deve ser zero nesses pontos em todos os tempos. Isto impõe sérias restrições sobre as ondas que podem ser geradas na corda. Note que ondas estacionárias com nodos nos extremos satisfazem essa condição de contorno. Podemos ver um exemplo a seguir:

)cos()(1 vtl

xl

Aseny , )2cos()2(2 vt

lx

lAseny

e

)3cos()3(3 vtl

xl

Aseny , onde

correspondem respectivamente os gráficos da fig. III.9, Esses possíveis movimentos da corda são ditos modos normais. Os comprimentos de onda desses

modos são: 2l, l, ,...32 l

Enquanto as frequências desses modos: l

v2

,

lv , .....

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lv Essas frequências são chamadas

também de frequências normais, próprias ou autofrequências que, em geral, são escritas como,

lnvf2

, n = 1, 2, 3, .... mostrando que todas as autofrequências são

múltiplos da frequência fundamental lv 2/ . Em geral, qualquer movimento da corda será alguma superposição de vários modos normais, dependentes de como o movimento começou. Um exemplo de modos normais de uma corda fixa nos extremos se assemelha a uma barra numa mesma condição, como em uma ponte.

Exercícios Resolvidos Exemplo III. 1 Uma corda esticada e presa em uma das extremidades sofre uma oscilação senoidal na extremidade que não está presa com uma amplitude de 0,075 m, e uma frequência de 2 Hz. A velocidade da onda é 12 m/s. No instante t = 0 a extremidade possui um deslocamento nulo e começa a mover no sentido +y. Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade presa. Ache a amplitude, frequência angular, período, comprimento, e número de onda. Escreva uma função de onda. Escreva equações

fig. III.9. Modo fundamental(G1), primeiro modo harmônico(G2),

segundo modo harmônico(G3).

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para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que é dado o pulso em um ponto situado a 3 m desta extremidade. Solução: A amplitude é aquela dada no problema, A = 0,075 m. A frequencia angular é

sradsciclosciclorradf /6,12/2/22 . O período é .5,0/1 sfT O comprimento de onda, mfv 6/ . O número de onda,

mradk /05,1/2 ou mradvk /05,1/ .

Coloque x = 0 onde se encontra a extremidade do pulso no sentido +x. A função de

onda é, )()(2),( kxtAsenxTtAsentxyy

.

Agora para x = 0: )(),0( tAsentyy e para x = 3 m: )3(),3( ktAsentyy .

Exemplo III. 2 No exemplo anterior a densidade da corda é 0,250 kg/m. Qual é a tensão na extremidade do pulso da corda para que a velocidade da onda observada seja igual a 12 m/s? Solução:

NdvFdFv 362 .

Exemplo III. 3 Uma das extremidades de uma corda está presa a um suporte fixo no topo de um poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80 m. A corda fica esticada pela ação do peso de uma caixa com massa igual a 20 kg presa na extremidade inferior da corda. Um geólogo no fundo da mina balança a corda enviando um sinal lá em cima. Qual é a velocidade da onda transversal propagada na corda? Sabendo que um ponto da corda executa um MHS com frequência igual a 2 Hz, qual é o comprimento de onda? Solução: Despreze a variação da tensão devido ao peso da corda. A tensão F na corda é produzido pelo peso da caixa. Então NmgF 196 . A densidade é dada por

dFvkg

lmd 0250,0 . Por outro lado

ms

smfv 3,44

2/5,88

1 .

Exemplo III. 4 No exemplo III. 1 qual é a taxa de transferência de energia máxima que o pulso fornece para a corda? Ou seja, qual a potência instantânea máxima? E a média? Solução:

dtkxsenAvdxdEv

dtdEP )(222 a potência máxima é .22 dAv A

potência média é a metade da máxima.

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Exemplo III. 5 Deduza a equação da onda em uma corda para deformações suficientemente pequenas em um ‘pequeno’ segmento da corda. Solução: A fig. III.10 mostra um segmento de corda esticada. Vamos considerar pequenos deslocamentos verticais. O segmento mede x e sua massa xdm ,

onde d é massa por unidade de comprimento. O segmento se move verticalmente na direção y e a força de tensão resultante nessa direção é,

12 FsenFsenFRy . Como é muito pequeno, tgsen e assim

12 FtgFtgFRy . Veja que a tangente do ângulo feita pela corda com a

horizontal é a deformação (declive) da curva formada pela corda. Isto é,

xytg

, onde ),( txyy . Então )( 12 FFRy . Teremos

)( 12 como a variação de declives nos extremos do segmento.

Usando a segunda lei de Newton, 2

2

2

2

tyd

xF

tyxdF

. No

limite ,0x portanto 2

2

0lim

xy

xy

xxxx

. Usando a

expressão da velocidade da onda obtemos a equação da onda:

2

2

22

2 1ty

vxy

eq. III. 14

Exercícios Propostos Exercício III. 1 A tensão em uma corda é fornecida por um objeto pendurado de massa 3 kg como mostra a figura abaixo. O comprimento da corda é l = 2,5 m e sua massa m = 50 g. Qual é a velocidade das ondas sobre a corda?

Resposta: 38,3 m/s

fig. III.10. Segmento de uma corda

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Exercício III. 2 Mostre que a função do tipo )(),( vtxytxy satisfaz a equação de onda. Em particular verifique para a função de onda ).(),( tkxAsentxy

Resposta: Observe a eq. III.14. Exercício III. 3 Uma onda é descrita por )6285,0(002,0 txseny . Determine a amplitude,

frequência, período, comprimento de onda e velocidade da onda. Resposta: 0,002 m; 100 Hz; 0,01 s; 12,6 m; 1260 m/s.

Exercício III. 4 Uma corda de densidade linear 480 g/m está sob uma tensão de 48 N. Uma onda de frequencia 200 Hz e amplitude 4 mm viaja na corda. Qual a taxa média de transporte de energia da onda?

Resposta: 61 W.

Exercício III. 5 A função de onda para uma onda harmônica sobre uma corda é

).5,32,2()03,0(),( 11 tsxmsenmtxy Para qual direção a onda viaja?

Qual é sua velocidade? Encontre o comprimento de onda, frequência, período dessa onda. Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento dessa corda? Qual a velocidade máxima de qualquer segmento? Resposta: Para direita,

max

2,86 , 1,59 / , 0,557 ,1,80 , 0,03 , 0,105 /

m v m s f HzT s A m v m s

Exercício III. 6 Considere duas ondas viajando em direções opostas e suas funções de onda

)(1 tkxAseny e )(2 tkxAseny . Mostre que a soma dessas ondas é

uma onda estacionária. Uma onda estacionária sobre uma corda que está fixa nos extremos é dada por )480cos()3,52(024,0),( txsentxy , daí encontre a

velocidade da onda e a distância entre os dois nodos. Resposta: smv /18,9 e a distância 6 cm.