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___________________________________________________________________________________UFU FEELT Mauro Guimares 1

CIRCUITOS ELTRICOS II Unidade 4

CIRCUITOS POLIFSICOS DESEQUILIBRADOS4.1 CARGAS NO EQUILIBRADAS

Cargas trifsicas so definidas como no equilibradas se pelo menos uma impedncia de umafases difere das restantes.

4.2 CARGAS NO EQUILIBRADAS EM

Inicialmente, calculam-se as correntes de fase dadas por:

ab

abab Z

V I &

&& = ;

bc

bcbc Z

V I &

&& = ;

ca

caca Z

V I &

&& = .

A seguir, calculam-se as correntes de linha dadas por:caabaa I I I &&& =' ; abbcbb I I I &&& =' ; bccacc I I I &&& =' .

Exemplo 4.1 -Para a seqncia de fases ab-ca-bc (inversa), calcular as correntes de fase e de linha dadtenso de linha = 0100abV & volts e as impedncias de fase:

.020020;87,36534

;13,531086

=+=

==

=+=

j Z

j Z

j Z

ca

bc

ab

&

&

&

;0100 V V ab =&

;120100 V V ca =& .120100 V V bc =&

Correntes de fases:

;13,531013,53100100

A Z V

I ab

abab =

== &

&&

;87,1562087,365

120100 A

Z V

I bc

bcbc +=

== &&

&

.1205020120100

A Z V

I caca

ca =

== &

&&

Observe o desequilbrio em mdulo e ngulo das correntes de fase e que a seqncia de fases decorrentes foi mantida com relao aquelas das tenses da alimentao.

Correntes de linha:;35,2326,9120513,5310' A I I I caabaa === &&&

;97,14609,2913,531087,15620' A I I I abbcbb =+== &&& .48,3703,2087,156201205' A I I I bccacc === &&&

Observe o desequilbrio em mdulo e ngulo das correntes de linha e que a seqncia de fases decorrentes foi mantida com relao aquelas das tenses da alimentao.


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CE2 - Unidade 4 - Circuitos Polifsicos no Equilibrados

UFU FEELT Mauro Guimares 2

4.3 CARGAS NO EQUILIBRADAS EM YTransforma a ligao Y na sua ligao equivalente e, a seguir, proceda de maneira similar ao item

anterior.Exemplo 4.2 Para a carga trifsica ligada em Y e tenses aplicadas na seqncia inversa e mostradaseguir, calcule as correntes de linha.

.9020200;4514,141010

;010010

==

=+=

=+=

j Z

j Z

j Z

co

bo

ao

&

&

&

;90212 V V ab =& ;150212 V V bc =&

.30212 V V ca =&

Impedncias da ligao equivalentes ligao Y:

;4521,219020

4526,424=

=

++=

co

aococoboboaoab Z

Z Z Z Z Z Z Z &

&&&&&&&

;4543,42010

4526,424=

=

++=

ao

aococoboboaobc Z

Z Z Z Z Z Z Z &

&&&&&&&

;90304514,14

4526,424=

=

++=

bo

aococoboboaoca Z

Z Z Z Z Z Z Z &

&&&&&&&

Correntes de fases:

;45104521,21

90212 A

Z V

I ab

abab =

== &&

&

;10554543,42

150212 A

Z V

I bc

bcbc =

== &

&&

.6007,7903030212

A Z V

I ca

caca =

== &

&&

Observe o desequilbrio em mdulo e ngulo das correntes de fase e que a seqncia de fases decorrentes foi invertida com relao aquelas das tenses da alimentao.

Correntes de linha:;1566,36007,74510' A I I I caabaa === &&&

;1,12555,1445101055' A I I I abbcbb === &&& .21,6697,1110556007,7' A I I I bccacc === &&&

Observe o desequilbrio em mdulo e ngulo das correntes de linha e que a seqncia de fases decorrentes foi invertida com relao aquelas das tenses da alimentao.Conclui-se, ento, que dependendo do desequilbrio das impedncias poder, inclusive, ocomudana da seqncia de fases das correntes com relao seqncia de fases das tenses qu

originaram.


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Problema 4.1 Calcule aoV & , boV & e coV & no exemplo anterior.

.8,234,23921,6697,119020;1,8074,2051,12555,144514,14

;156,361566,3010

'

'

'

V I Z V

V I Z V

V I Z V

cccoco

bbbobo

aaaoao

===

===

===

&&&

&&&

&&&

Observe o desequilbrio em mdulo e ngulo das tenses fase-ponto O (ponto comum das cargas) e que aseqncia de fases destas tenses foi mantida com relao aquelas das tenses da alimentao mestendo-se ocorrido, inverso da seqncia de fases das correntes de linha.

Problema 4.2 Determine as potncias dissipadas nas trs fases e total no Exemplo 9.2..351;097,110;21755,1410;13466,310 222 W PPPPW PW PW P cbaabccba =++=======

Problema 4.3 Inverta as fases das tensesbc caV e V

doExemplo 4.2 (tenses aplicadas na seqncia direta) ecalcule as novas correntes de linha.

Tm-se as correntes:;4510

4521,2190212

A Z V

I ab

abab =

== &&

&

;1554543,42

30212 A

Z V

I bc

bcbc =

== &

&&

.6007,79030150212

A Z V

I ca

caca =

== &

&&

;7566,136007,74510' A I I I caabaa === &&&

;2,1112,64510155' A I I I abbcbb === &&& .9,9953,71556007,7' A I I I bccacc === &&&

Observe no diagrama fasorial acima as tenses de linha da alimentao e as correntes de licorrespondentes ao Exemplo (4.2) e ao Problema (4.3). O ndice (d) est associado tenso da alimentaona seqncia direta e as correntes obtidas. O ndice (i) est associado alimentao na seqncia inversa.

4.4 CARGAS COMBINADAS EM E Y

Calculam-se os s equivalentes aos Ys e, a seguir, determina-se o equivalente, procedendo-se,ento, de maneira similar aos itens anteriores.

4.5 TEORIA GERAL DE CIRCUITOSimilares s solues para circuitos de correntes contnuas. Tm-se:

N a juno de mais de dois ramos de um circuito; N Nmero de ns de um circuito; RAMO Trecho compreendido entre dois ns; R Nmero de ramos de um circuito; I - Nmero de equaes independentes para as correntes (1a Lei de Kirchoff): 1= N I ;

T - Nmero de equaes independentes para as tenses (2a

Lei de Kirchoff): I RT = ;Aplicando-se estes conceitos ao circuito seguinte, tm-se:


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N =2 (nsn e o); I 1121 === N ;Equao de corrente:

bbaaccccbbaa I I I I I I '''''' 0 &&&&&& ==++ ; (1)

R 3 (ramos aona ' , bonb ' e conc ' );

T = 213 == I R

;Equaes de tenses:( ) ( ) '''''''' ncnacccoccncaaaoaana E E I Z Z Z I Z Z Z &&&&&&&&&& =++++ , (2)( ) ( ) '''''''' ncnbcccoccncbbbobbnb E E I Z Z Z I Z Z Z &&&&&&&&&& =++++ . (3)

Substituindo a expresso (1) nas equaes (2) e (3), agregando-se os termos emaa I '& e bb I '& obtm-se umsistema linear complexo com duas equaes e duas incgnitas,aa I '& e bb I '& . Aps determin-las, calcula-se

bbaacc I I I ''' &&& = .

4.6 SENTIDOS POSITIVOS DE CIRCUITOEm geral, empregam-se dois mtodos para escrever as equaes bsicas de Kirchhoff para uma r

1. Notao com subndice duplo que especifica automaticamente os sentidos positivos de circuito pacorrentes e tenses que esto sendo consideradas;

2. Afixar setas no diagrama do circuito que designam os supostos sentidos positivos de circuito pacorrentes e tenses.

4.7 O SISTEMA Y-Y SEM CONEXO DOS NEUTROS (subndice duplo) Para o circuito abaixo, tm-se as equaes de corrente e de tenses:

;0''' =++ ccbbaa I I I &&& ( ) ( ) '''''''' nbnabbbobbnbaaaoaana E E I Z Z Z I Z Z Z &&&&&&&&&& =++++ ,( ) ( ) .'''''''' nbncbbbobbnbcccoccnc E E I Z Z Z I Z Z Z &&&&&&&&&& =++++


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4.8 NOTAO COM SUBNDICE SIMPLESPara o circuito abaixo, tm-se as equaes de corrente e de tenses:

;0=++ cba I I I &&&

) ) babbgaag E E I Z Z I Z Z &&&&&&&& =++ ,( ) ( ) .bcbbgccg E E I Z Z I Z Z &&&&&&&& =++

Exemplo 4.4 Para o circuito do item anterior, dados as tenses e as impedncias:

.120000.1866500;120000.1866500

;0000.10000.1

V j E

V j E

V j E

c

b

a

=+=

==

=+=

&

&

&

.964,75246,882;018,60033,605230

;050050;45284,282020

=+=

=+=

=+=

=+=

j Z

j Z

j Z

j Z

g

c

b

a

&

&

&

&

Calcule as correntes de linha, as tenses de fase e de linha na carga. Respostas:

;81,7068,20;519,152486,22

;841,34024,16

A I

A I

A I

c

b

a

=

=

=

&

&

&

;828,1305,241.1

;519,1523,124.1;159,1023,453

V V

V V

V V

c

b

a

=

=

=

&

&

&

;655,1454,523.1

;26,97470.1;527,228,562.1

V V

V V

V V

ca

bc

ab

=

=

=

&

&

&

Problema 4.6 Para o circuito do Exemplo 4.4, inseriu-se dois wattmetros:aW percebendo a correntea I & ea tenso

abV & na carga e o outro,

cW percebendo a corrente

c I & e a tenso

cbV & na carga. Calcule:

a) Calcular as leituras de aW e de cW .

( ) =+=====

.743.29)81,70)18026,97((cos68,20470.1cos;8,503.13))841,34(527,22(cos024,168,562.1cos

W I V W

W I V W

ccb

aab

I V ccbc

I V aaba

&&

&&

b) Comparar a soma das leituras deaW e de cW com a soma das potncias reais da carga trifsica.

+=++=++

=+=+

.3,246.4368,2030486,2250024,1620;8,246.43743.298,503.13

222cacba

ca

W W W PPP

W W W

Observe que mesmo nas cargas desequilibradas, o mtodo dos dois wattmetros continua vlido pamedio da potncia real de uma carga trifsica.


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Problema 4.7 Estabelecer as equaesnecessrias para determinar 1I no circuitoabaixo, sabendo-se que:

As impedncias dadas esto ems;

;105;10

;10

3

2

1

+=

=

=

j Z

j Z

j Z

&

&

&

.90100;0100

V E

V E

nb

na

=

=&

&

Soluo:Nmero de ns = N=4 (nsn, c, d e e);Nmero de equaes de correntes independentes = I - 3141 === N ;Equaes de corrente:

214 I I I &&& = ;325 I I I &&& += ;

316 I I I &&& += .Nmero de ramos = R 6 (ramosnae , nd , nbc , cd , ce ede );Nmero de equaes de tenses independentes = T - 336 == I R ;Equaes de tenses:

( ) ( )

( ) ( ).0

;;

21323212

313233

3211

=+

=++++

=+

I Z I I Z I I Z

E I I Z I I Z I Z

E I Z I Z I Z

naan

nbnb

&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&

,

Resolvendo o sistema de equaes acima, obtm-se: A j I == 58,15109,69,236,51& .

4.9 O SISTEMA Y-Y COM CONEXO DOS NEUTROS

Sugesto: Correntes de lao (1 I &, 2 I & e 3 I &) onde aa I I '1 && = , bb I I '2 && = e cc I I '3 && = com 1 I &, 2 I & e 3 I & retornando pelo neutro. Dessa forma 321' I I I I on &&&& ++= .


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4.10 O SISTEMA Y -

Determinam-se, inicialmente, as correntes de lao1 I &, 2 I & e 3 I &. A seguir:

3

32

31

2

12

1

I I

I I I

I I I

I I

I I I

I I

ca

bc

ab

c

b

a

&&

&&&

&&&

&&

&&&

&&

=

+=

+=

=

=

=

Problema 4.9 Para o sistemaY- acima, com as tenses e as impedncias:

.120350.1170.1675;120350.1170.1675

;0350.10350.1

V j E

V j E

V j E

c

b

a

=+=

==

=+=

&

&

&

;2050;0100;6040

=

+=

+=

j Z

j Z

j Z

ca

bc

ab

&

&

&

.5,09,0;5,11,0

+=

+=

j Z

j Z

L

g

&

&

Calcularam-se as correntes de linha, em ampres:

a

b

c

I 70,6 20,4

I 28,5 161,7

I 51,5139,4

=

=

=

.

Pede-se a potncia total gerada no gerador trifsico.

.6,183)4,139120(cos5,51350.1))7,161(120(cos5,28350.1))4,20(0(cos6,70350.1

kW

Pgerador =

++=


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Problema 4.10 -Para o mesmo problema anterior, usando a ligao Y equivalente, calcular as tensecorrentes ab bc caab bc caV ,V ,V ,I , I , I

e a potncia na carga trifsica com ligao tringulo.

Calculando-se as impednciasa b cZ ,Z e Z

daestrela equivalente ao do exerccio anterior(Problema 4.9). Obtm-se:

;64,3375,27;80,2185,53;42,4415,37;0100;57,2203,20;31,5611,72

======

cca

bbc

aab

Z Z

Z Z

Z Z

Clculo das tenses das fases ao ponto comum (n) das cargas.

an

bn

cn

V 70, 6 20, 4 x20, 03 22,57 1.414,12 2.17 1.413,1 j53, 55V

V 28,5 161, 7 x37,15 44, 42 1.058,78 117, 28 485,3 j941, 02V

V 51, 5139, 4 x27, 75 33, 64 1.429,13 105, 76 388, 2 j1.375, 4V

= = = +

= = =

= = = +

Clculo das tenses de linha na carga trifsica.

ab an nb

bc bn nc

ca cn na

V V V 1.414,12 2,17 1058,78 117,28 2.143 27,65 V

V V V 1.058,78 117,28 1.429,13105,76 2.318,5 92,4 V

V V V 1.429,13105,76 1.414,12 2,17 2.234,3143,7 V

= + = =

= + = =

= + = =

Clculo das correntes de fase na carga com ligao tringulo.

;66,2872,2931,5611,7265,27143.2

A Z V

I ab

abab =

== &

&&

;4,9218,230100

4,925,318.2 A

Z V

I bc

bcbc =

== &&

&

.5,16549,4180,2185,537,1433,234.2

A Z V

I ca

caca =

== &&

&

Clculo da potncia na carga trifsica com ligao tringulo..13,17549,415018,2910072,2940 222 kW PPPP cabcab =++=++=

Problema 4.11 -Comparar potncia gerada com a potncia total consumida no circuito do Problema 4.9Potncia gerada = 183,6 kW (Problema 4.9);Potncia consumida no gerador = ;845,05,511,05,281,06,701,0 222 kW =++ Potncia consumida na linha = ;604,75,519,05,289,06,709,0 222 kW =++ Potncia consumida na carga = 175,13 kW (Problema 4.10);Potncia total consumida = 0,845 +7,604 +175,13 = 183,6 kW = Potncia gerada.


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4.11 - EFEITOS DA SEQNCIA DE FASESA menos que seja explicitamente informado, a expresso Seqncia de fases refere-se seqncia

de fases das tenses. Deve-se recordar que, em sistemas no equilibrados, as correntes de linha e de fassua prpria seqncia de fases que podem ou no ser, iguais da tenso. Veja exemplo Exemplo 9.2. Calternncia da seqncia de fases das tenses da alimentao, destacam-se os efeitos seguintes:A) - Sistema equilibrado

1. invertido o sentido de rotao de motores de induo polifsicos;2. No mtodo dos dois wattmetros para medio de potncia real, ocorre a permuta de suas leituras;3. Porm os mdulos de correntes e tenses no so alterados.

B) - Sistema no equilibrado1. Em geral, causar alteraes nos mdulos bem como nas fases de certas correntes nos ramos;2. Porm os Watts e os VARs totais gerados permaneam os mesmos.

Exemplo 4.5 Observe o efeito da inverso da seqncia de fasesda tenso de alimentao nos mdulos e fases das correntes dacarga conectada em , indicada ao lado.a) Tenses na seqncia inversa (Exemplo 4.2):

;90212 V V ab =& ;150212 V V bc =& .30212 V V ca =& ;157,3 A I ao =& ;1,1256,14 A I bo =& .2,660,12 A I co =&

b) Tenses na seqncia direta (Problema 4.3):;90212 V V ab =& ;30212 V V bc =& .150212 V V ca =&

;757,13 A I ao =& ;2,1112,6 A I bo =& .9,995,7 A I co =&

4.12 MTODO PARA VERIFICAO DA SEQNCIA DE FASES DE TENSESH dois mtodos gerais para a verificao da seqncia de fases de tenso; um, baseado no senti

rotao de motores de induo; o outro, em caractersticas de circuitos polifsicos no equilibrados.4.12.1 Mtodo do Sentido de rotao de motores de induo polifsicos

Pequenos motores de induo polifsicos, que foram previamente aferidos para uma determiseqncia de fases conhecida, podem ser empregados para verificar a seqncia de fases de um sistema. O princpio de operao deste mtodo envolve a teoria de campos magnticos girantes.4.12.2 Uso de Caractersticas de Circuitos Polifsicos no Equilibrados4.12.2.1 - Mtodo das duas Lmpadas

Definem-se, arbitrariamente, as fases de linhaa, b, e c para o circuito ao lado.

Mtodo: Se a lmpada a brilhar mais que a lmpadab, ento, a seqncia de fases ABC (seqnciadireta) e, caso contrrio, seqncia CBA (inversa).Veja comprovao numrica no Exemplo 4.6.


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Exemplo 4.6 Com a finalidade de ilustrar o efeito da inversoda seqncia de fases sobre mdulos das tenses de fase e decorrentes de linha, considere o circuito ao lado, onde:

;0100 V V ab =& ;120100 V V bc =& .120100 V V ca =& ;100=ao Z & ;100= j Z bo& ;100=co Z &

Soluo:Para as correntes de lao1 I & e 2 I & indicadas tm-se as equaes:

a 1 b 1 2 a b ba'b '

c b 1 2 b b cc'b'

1

2

Z I Z (I I ) V (Z Z ) Z 100 j0100 60Z I 2 Z (I I ) V Z Z Z

100 j100 j100 I 100 j100 100 j100 100 60I

10.000 j20.000 22.360,7 63,435

+ + = + + = + + = +

+ = +

= + =

Resolvendo para as correntes de lao1 I & e 2 I & indicadas, tm-se:

;435,48864,0646,0573,0000.525,660.1810010060100

100100 111 A j I j j

j==

=+=+

= &&

&&

;565,71231,0220,00732,025,660.325,660.360100100

100100100 222 A j I j j

j==

=+=

+= &

&&&

Tenses de fase, de linha e correntes de linha:

.02,12097,99;565,711,23

;435,484,862

1

V V V V

V I Z V V I Z V

aococa

cco

aao

==

====

&&&

&&&&&&

( ).565,71231,0

;529,146775,0;435,48864,0

2'

21'

1'

A I I

A I I I

A I I

cc

bb

aa

==

=+===

&&

&&&&&

Para Seqncia inversa tm-se:;0100 V V ab =& ;120100 V V bc =& .120100 V V ca =&

=+

+60100

0100100100100

100100100

2

1

I

I

j j

j j&

&

;000.20000.10 j+=& Resolvendo para as correntes de lao1 I & e 2 I & indicadas, tm-se:

;565,11231,00464,0227,0000.57,339.110010060100

100100 111 A j I j j

j==

=+=+

= &&

&&

;435,108864,0820,0273,03,660.133,660.1360100100100100100 2

22 A j I j j

j==

==

+= &

&&&

Tenses de fase, de linha e correntes de linha:

.98,11997,99;435,1084,86

;565,111,23

2

1

V V V V

V I Z V

V I Z V

aococa

cco

aao

==

==

==

&&&

&&&

&&&

( ) .435,108864,0 ;529,86775,0

;565,11231,0

2'

21'

1'

A I I A I I I

A I I

cc

bb

aa

===+=

==

&&

&&&

&&


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4.12.2.2 Mtodo do VoltmetroDefinem-se, arbitrariamente, as fases de linhaa, b, e

c para o circuito ao lado. Mtodo: Se o voltmetroV acusar uma leitura maior que atenso de linha ( LV ), ento, a seqncia de fases ABC(seqncia direta) e, caso contrrio, seqncia CBA(inversa). Resumindo:

Se LV V > seqncia de fases direta (ABC);Se LV V < seqncia de fases inversa (CBA).

Veja comprovao numrica no exemplo seguinte.

a) Seqncia direta:

ab

bc

ca

V 200 0

V 200 120

V 200 120

=

=

= +

caca

ca

bo bc co

V 200120I 1,366 j0,366 1.414165100 j100Z

V V V 200 120 141,4165 273,21 150

= = = + =

= + = + =

b) Seqncia Inversa

ab

bc

ca

V 200 0V 200 120

V 200 120

=

= +

=

caca

ca

bo bc co

V 200 120I 1,414 75100 j100Z

V V V 200120 141,4 75 73,21150

= = =

= + = + =

4.13 MTODO DOS TRS WATTMETROS PARA MEDIDA DE POTNCIA TRIFSICAUm wattmetro por fase, onde cada wattmetro mede a potncia de cada uma das impedncia

carga trifsica. Este mtodo no ser, em geral, usado a menos que fossem desejadas as potncias de fase. aplicvel em circuitos onde o fator de potncia varia continuamente como, por exemplo, no casobteno das caractersticas de um motor sncrono.


12/30



4.14 MTODO DOS DOIS WATTMETROS PARA MEDIDA DE POTNCIA TRIFSICA

Os trs wattmetros ligados conforme indicado na figura acima mediro corretamente a potconsumida pela carga trifsica abc, conforme provado a seguir. Como a potncia real entregue a c

trifsica abcP corresponde potncia mdia num perodo, tem-se:

( )dt ivivivT

PT

cccobbboaaaoabc ++=0

'''1

.

A soma das potncias medida pelos wattmetros :

( )dt ivivivT PT

cccpbbbpaaapmedida ++= 0 '''1

, onde:

+=

+=

+=

.;;

opcocp

opbobp

opaoap

vvv

vvv

vvv

Substituindo os valores deapv , bpv e cpv na integral anterior, tem-se:

medidaP = ( ) abcT

ccbbaaopcccobbboaaao Pdt iiivivivivT =

+++++

=0

0''''''

14 434 421 .

Observa-se que a comprovao acima foi inteiramente independente da posio fsica do pontP.Dessa forma, ao ligar-se este ponto a qualquer uma das fases, o wattmetro correspondente fase ligapontoP acusar valor nulo sendo, portanto, desnecessrio para a medio da potncia trifsica recaindoassim, no mtodo dos dois wattmetros.

4.15 EMPREGO DE N-1 WATTMETROS PARA MEDIR POTNCIA N-FILAR

Uma mera extenso do item anterior.


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4.16 MTODO DE VERIFICAO PARA LEITURA POSITIVA OU NEGATIVA DOWATTMETROS

O mesmo critrio aplicado para sistema equilibrado,desconectando-se, separadamente, as bobinas de correntes doswattmetros. Estamos considerando aqui o caso de sistematrifsico, cargas desequilibradas, mtodo dos dois wattmetros

4.17 AMPRES REATIVOS EM SISTEMA TRIFSICO TETRAFILARES NOEQUILIBRADOS

Utilizao de trs varmetros medidores de volt-ampres reativos:

]

]

] .

;

;

co

co

bo

bo

ao

ao

V I cococ

V I bobob

V I aoaoa

sen I V VAR

sen I V VAR

sen I V VAR

&

&

&

&

&

&

=

=

=

Exemplo 4.9 Para o circuito acima com as tenses e impedncias indicadas obtm-se as correntes:;0100' V E na =&

;120100' V E nb =& .120100' V E nc =& .6020

;050;4525

=

=

=

co

bo

ao

Z

Z

Z

&

&

&

.1805

;1202;450,4

=

=

=

co

bo

ao

I

I

I

&

&

&

Pedem-se as leituras dos varmetrosa, b e c e a potncia reativa (abcQ ) da carga trifsica, bem como,as leituras dos wattmetrosa, b e c e a potncia real (abcP ) ao substituir os varmetros por wattmetros.

]

]

] .01,433)60(5100

;002100

;84,282454100

VAr sensen I V VAR

VAr sensen I V VAR

VAr sensen I V VAR

co

co

bo

bo

ao

ao

V I cococ

V I bobob

V I aoaoa

===

===

===

&

&

&

&

&

&

abcQ = ;17,150)01,433(084,282 VAr VARVARVAR cba =++=++

]

]

] .250)60(cos5100cos

;2000cos2100cos

;84,28245cos4100cos

W I V W

W I V W

W I V W

co

co

bo

bo

ao

ao

V I cococ

V I bobob

V I aoaoa

===

===

===

&

&

&

&

&

&

;84,73225020084,282 W W W W P cbaabc =++=++=


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4.18 - FATOR DE POTNCIA EM SISTEMAS TRIFSICOS NO EQUILIBRADOSNum sistema polifsico no equilibrado cada fase tem seu prprio fator de potncia. Assim, a m

dos fatores de potncia das fases individuais uma boa indicao da relao dos watts totais para os ampres totais apenas nos casos onde as cargas por fase so todas indutivas ou todas capacitivas. Tendtanto cargas indutivas como capacitivas, o clculo do valor mdio no leva em considerao o ecompensativo dos volt-ampres reativos indutivos e capacitivos deteriorando, dessa forma, seu clculo.ento, usado a definio de fator de potncia vetorial , dado por:

( ) ( ) ( ) 2222cos

cos

cos

abcabc

abcvetorial

QP

PVI mdulo

VI

senVI VI

VI fp

+==

++=

onde:

cccbbbaaaabc I V I V I V VI P coscoscoscos ++== ;cccbbbaaaabc sen I V sen I V sen I V senVI Q ++== .

Os subndices empregados nas equaes acima, referem-se a valores individuais por fase. Por exemplo,a a defasagem entre a tenso e a corrente da fasea do sistema.Exemplo 4.10 Comparar o fator de potncia mdio com o fator de potncia vetorial do Exemplo 4.9.

a) Fator de potncia mdio

.7357,03

5,01707,0).(5,0)60(cos

);(10cos);(707,045cos

=++=

====

==

mdio

c

b

a

fp

capacitivo fp

resistivo fp

indutivo fp

b) Fator de potncia vetorial

( ).9796,0

07,748

84,732

17,15084,732

84,7322

222

==+

=+

=abcabc

abcvetorial

QP

P fp

4.19 MEDIDA DE sen I V NUM CIRCUITO TRIFSICO TRIFILARSer utilizado dois Varmetros (medidores de volt-

ampres reativos) com ligao idntica da ligao dosinstrumentos no mtodo dos dois Wattmetros. Ser mostrado aseguir que, quando conectados deste modo, a soma algbrica dasduas leituras dos medidores de volt-ampres reativos igual potncia reativa do circuito trifsico,

cccbbbaaaabc sen I V sen I V sen I V senVI Q ++== .Os varmetros conectados conforme a figura ao lado,

indicam as leituras:]

] .

;

'

'

'

'

cb

cc

ab

aa

V I cccbc

V I aaaba

sen I V VAR

sen I V VAR&

&

&

&

=

=

Com a finalidade de anlise, as leituras acimasero expressas em funo das componentes complexasdas tenses e correntes. Sabe-se que:

'.;'

jii I

jvvV

+=+=

&&


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Dessa forma,] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) '.'coscoscoscos)(

ivivsen I V I senV

sensenVI senVI senVI

I V I V

V I I V I V V I

====

&&

Do circuito com os dois varmetros nota-se que:.;; '' bococbboaoabcoccaoaa V V V eV V V I I I I &&&&&&&&&& ====

Tm-se, ento, para as medies dos varmetrosA e C:]

( ) ( ) ( ).''''''')()''(''

''

ababaababaaaa

abaabaaabaabV I aaaba

ivivQiviviviv

ivvivvivivsen I V VAR abaa

=

==== &

&

]( ) ( ) ( ).''''''

')()''(''''

cbcbccbcbcccc

cbccbcccbccbV I cccbc

ivivQiviviviv

ivvivvivivsen I V VAR cbcc

=

==== &

&

Lembrando-se que ( )bca I I I &&& =+ )( , tm-se para a soma algbrica das medies deaVAR e cVAR :( ) ( )( )( ) .''

''()('''''

cbacbbbba

ccabcaba

cbcbcababaca

QQQQivivQ

QiiviivQ

ivivQivivQVARVAR

++=++=+++

=+=+

Note que no foi imposta nenhuma condio quanto ao equilbrio de tenses e correntesdesenvolvimento acima viabilizando, assim, o mtodo dos dois varmetros para a medio de potreativa em sistema trifsico trifilar.Exemplo 4.11 -Seja o sistema trifsico trifilar, no equilibrado, na seqncia abbcca , com carga em ecom os valores de tenses de linha e impedncias de fase informadas, calculam-se as correntes:

=

=

=

2254,1411354,141

0200

ca

bc

ab

V

V

V

&

&

&

=

=

=

9010180106020

ca

bc

ab

I

I

I

&

&

&

=

=

=

4514,144514,146010

ca

bc

ab

Z

Z

Z

&

&

&

=

=

=

4514,141,13945,26

2,364,12

c

b

a

I

I

I

&

&

&

Determine as leituras dos pares de Varmetros.

====

VAr senVARVAr senVAR

b

a

4,2671,445,264,1417,732.1)2,81(4,124,141

;3,465.1 VARVARVAR ba =+

====

VAr senVAR

VAr senVAR

c

a

0014,144,1417,464.1)2,36(4,12200

;7,464.1 VARVARVAR ca =+

==

==

VAr senVAR

VAr senVAR

c

b

4,999.19014,144,141

6,463.3)9,40(45,26200

;2,464.1 VARVARVAR cb =+


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Problema 4.16 Determinar o fator de potncia vetorial para o circuito do Exemplo 4.11.=++= cabcababc PPPP 200 x 20 x cos (-60) + 141,4 x 10 x cos 45 + 141,4 x 10 x cos45 =

2.000 + 999,8 + 999,8 = 3.999,7 W.

.939,03,259.47,999.3

)2,464.1(7,999.37,999.3

22==

+=vetorial fp

f.p. media = ?3 =++

Para o mesmo circuito, determine as medidas de potncias reais:

====

;5,3730)1,4(cos45,264,141;2,268)2,81(cos4,124,141

W W

W W

b

a .7,998.3 W Pabc =

====

;4,999.1)0(cos14,144,141;3,001.2)2,36(cos4,120,200

W W

W W

c

a .7,000.4 W Pabc =

==

==

;0)90(cos14,144,141

;5,998.3)9,40(cos45,260,200W W

W W

c

b .5,998.3 W Pabc

=

Exemplo 4.8 - Para a figura ao lado, sabendo-se queas tenses '''''' ,, accbba V V V &&& so trifsicas equilibradas,seqncia inversa, onde V V cb = 120200''& e que1 CV=735 watts, pede-se:

a) As tenses ,,, cabcab V V V &&& '''''' ,, ncnbna V V V &&& na seqncia inversa

=

=

=

.120200;120200

;0200

V V

V V

V V

ca

bc

ab

&

&

&

=

=

=

V V

V V

V V

nc

nb

na

903

200

1503200

303

200

''

''

''

&

&

&

b) As correntes ccbbaaabcnbnan I e I I I I I I ''' ,,,,, &&&&&&&

Para um motor eltrico tem-se: .4,444.581,07356

W

P

P M

E =

==

cnbnan L L L E I I A I A I I V P ====

== 71,1871,1884,02003

4,444.5cos3 ;

f.p.=0,84 =arccos(0,84)=32,86 indutivo;

.57,4557,28;57,45)57,45(0)(

;57,45)7,0(cos

;57,257,0200

000.4cos

;86,2)86,3230()(

A I

capacitivoarc

A I I V P

ab

abV I

abababab

anV an I

ab

====

==

=

==

===

&

&&

&&

.86,12271,18;51,17277,28

;71,2631,43;86,12271,18

;14,11771,18;86,271,18

'

'

'

A I I

A I I I

A I I I

A I

A I

A I

cncc

abbnbb

anabaa

cn

bn

an

==

==

=+=

=

=

=

&&

&&&

&&&

&

&

&


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c) As leituras de aW e cW . partir destes valores determine o valor deabcP , potncia total das cargas.

.4,444.94,444.5000.4;67,444.9

;97,706.1)86,122(60(cos71,18200cos;70,737.7)71,260(cos31,43200cos

arg

2'''

1'''

W P

W W W P

W I V W

W I V W

asc

caabc

ccbcc

aabaa

=+==+=

======

d) As leituras de aVAR e cVAR se substituirmos os wattmetrosA e C por varmetros. Calcule o valor deabcQ partir dos valores de aVAR e cVAR . Compare o valor de abcQ com a potncia reativa das cargas.

;36,563;98,329.3)86,62(71,18200

;35,893.3)71,26(31,43200

VAr VARVARQ

VAr senVAR

VAr senVAR

caabc

c

a

=+===

==

;39,080.4)57,45(;75,516.3)86,32(

VAr tgPQ

VAr tgPQ

abab

M M

====

.64,56339,080.475,516.3arg abcasc QVar Q ==

4.20 RELAES ESTABELECIDAS A PARTIR DOS MDULOS DE TENSES E CORRENTEDETERMINADOS EXPERIMENTALMENTE

Relaes de fase em sistemas polifsicos no equilibrados podem, em alguns casos, sedeterminados por leituras em ampermetros e voltmetros. Em geral, para se obter uma soluo necessita-se de um conhecimento prvio da seqncia de fases das correntes ou das tenses e, determinar-se as fases do sistema necessrio conhecer a fase de um deles.

a) Tenses entre linhas trifsicas Neste caso deve-se atender equao:.0=++ cabcab V V V &&&

Sabe-se que uma construo geomtrica equivalente aesta equao vetorial um tringulo cujos lados tenhamas dimenses dos mdulos dos vetores da equaoconforme mostrado na figura ao lado para as seqnciasdireta e inversa. Definido o tringulo pode-sefacilmente determinar os ngulos e atravs da leidos cossenos, por exemplo, para o ngulo , esta lei dizque: o quadrado do lado oposto ao ngulo definido igual soma dos quadrados dos lados que formam ongulo , subtaindo-se o produto destes lados e docosseno do ngulo que o define , ou melhor:

.cos2222 bcabbcabca V V V V V += De forma similar para o ngulo tm-se:

.cos2222 caabcaabbc V V V V V += Nas equaes acima, conhecendo-se os valores deabV ,

bcV e caV calculam-se os valores numricos de e de


18/30



. A seguir, considerandoabV na referncia, tm-se as tenses:na seqncia direta:

( )( ) .180

;180;0

=

=

=

caca

bcbc

abab

V V

V V

V V

&

&

&

na seqncia inversa:

( )( ) .180

;180;0

=

=

=

caca

bcbc

abab

V V

V V

V V

&

&

&

Problema 4.17 Dado as tenses entre linhas de um sistema trifsico, seqncia ab, ca, bc, determinarvalores vetoriais para tenses tendo como referncia a tensoabV .

.5,155;8,120

;160

V V

V V

V V

ca

bc

ab

===

Lei dos cossenos para o ngulo :

.53,65

41421,0656.38

39,012.168,1201602

5,1551608,120cos222

=

==

+=

Lei dos cossenos para o ngulo :

.45

70715,0760.49

61,187.355,1551602

8,1205,155160cos222

=

==

+=

Expresses vetoriais para as tenses:

.1355,155)180(5,155

;47,1148,120)180(8,120;160160

V V

V V

V V

ca

bc

ab

==

==

=

&

&

&

b) As seis tenses de uma carga trifsica (ou gerador) conectada em estrla Neste caso, alm de atender equao

0=++ cabcab V V V &&& j discutido no item (a) necessriosatisfazer, tambm, as equaes:

.;;

aococa

cobobc

boaoab

V V V

V V V

V V V

&&&

&&&

&&&

=

=

=

Aps a montagem do tringulo ABC com as tenses entrelinhas, determina-se o pontoO, cruzamento dos arcosaoV ,

boV e coV que se iniciam, respectivamente, na origem dosvetores abV & , bcV & e caV & . Com procedimento similar ao itemanterior (a) determinam-se, por exemplo, os ngulos , e e, a seguir, obtm-se as tenses fasoriais:

( )( )( ).180

;;

=

=

=

bc

bc

V coco

V bobo

aoao

V V

V V

V V

&

&

&

&

&


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c) As seis correntes de uma carga trifsica (ou gerador) conectada em tringulo Neste caso, alm de atender equao

0=++ cba I I I &&& necessrio satisfazer, tambm, asequaes:

.;

;

abbcb

bccac

caaba

I I I I I I

I I I

&&&&&&

&&&

==

=

No caso da equao 0=++ cba I I I &&& faa de modosimilar ao item (a), anteriormente, com a ressalva deque na montagem do tringulo correspondente o vetor

cc I '& deve seguir ao vetor aa I '& , conforme mostrado nafigura ao lado. Aps a montagem do tringulo com ascorrentes de linha, montam-se os tringuloscorrespondentes as composies das correntes de

linha pelas correntes de fase. Com procedimentosimilar aod itens anteriores (a) e (b) determinam-se,por exemplo, os ngulos , , , e , a seguir,obtm-se as correntes fasoriais:

( )( );180

;180;0

=

=

=

cc

bb

aa

I I

I I

I I

&

&

&

( )( ) .180

;;

'

=

=

=

caab

I bcbc

abab

I I

I I

I I

bb

&

&

&

&

Observe que os ngulos das tenses fasoriais foram estabelecidos em funo de uma referncia arbitradcaso, abV & na referncia. Caso isto no seja a sua realidade basta efetuar uma rotao no diagrama fasorque corresponde a adicionar ou subtrair todos os ngulos de um determinado . Isto vlido tanto para odiagrama das tenses como das correntes. Por outro lado, para um correto casamento dos fasores de tende corrente necessrio conhecer o real defasamento de uma tenso e de uma corrente correspondendessa forma, ajustando as demais correntes por um defasamento apropriado.

Exemplo 4.12 Para uma carga conectada em, seqncia de fases da tenso direta, tendo como

referncia a tenso abV , ab Z & indutivo com a relao 1= R X e tm-se as informaes de medies:;200 voltsV ab = ;4,141 voltsV bc = .4,141 voltsV ca =

;8,15' ampres I aa = ;07,7' ampres I bb = .14,14' ampres I cc =

;07,7 ampres I ab = ;10 ampres I bc = .10 ampres I ca =

determine os valores complexos para todas tenses e correntes. Respostas:

;0200 V V ab =& ;1354,141 V V bc =&

;1354,141 V V ca =&

;5,188,15' A I aa =& ;13507,7' A I bb =&

;13514,14' A I cc =&

;4507,7 A I ab =& ;9010 A I bc =&

;18010 A I ca =&


20/30




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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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2. BOYLESTAD, R. L.Introduo anlise de circuitos. Traduo: Jos Lucimar do Nascimento;

reviso tcnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 preimpresso, fev. 2008. Traduo de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. p. 663-686.

3. IRWIN, J. D.Anlise de Circuitos em Engenharia. Traduo: Luis Antnio Aguirre, Janete FurtadoRibeiro Aguirre; reviso tcnica: Antnio Pertence Jnior. 4. ed. So Paulo: Pearson Makron Bo2000. 848 p. Traduo de: Basic Engineering Circuit Analysis 4 th edition. cap 12. p. 475-549.

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5. ROBBA, E. J. et al.Introduo a sistemas eltricos de Potncia - componentes simtricas. 2. ed. rev. eampl. So Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpresso, 2007. cap 1. p. 1-105.

6. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R.Fundamentos de Anlise de CircuitosEltricos. Traduo: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. RioJaneiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpresso 2000. Traduo de Basic electric circuit analysis, John WilSons, 1990. cap 13. p. 319-343.

unid_4___c_ircuitos_polifasicos_desequilibrados.pdf

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