unid 3 circuitos polifasicos equilibrados

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______________________________________________________________________________________ UFU – FEELT – Mauro Guimarães 1 CIRCUITOS ELÉTRICOS II Unidade 3 CIRCUITOS POLIFÁSICOS EQUILIBRADOS 3.1 – GERAÇÕES DE TENSÕES POLIFÁSICAS Sistema polifásico equilibrado: Conjunto de vários sistemas monofásicos com as tensões geradas em cada fase com mesma freqüência, mesma amplitude e defasadas no tempo por 360 = ° n θ onde n é o número de fases do sistema polifásico. Veja na figura ao lado, para uma máquina de dois pólos um sistema trifásico onde as bobinas aa’, bb’ e cc’ estão fisicamente defasadas de 120 graus. Considerando o sentido de rotação da parte móvel (ímã SN) conforme indicado, sentido horário, obteremos tensões geradas na seqüência direta (ABC), ou seja: fase b atrasada de 120° da fase a; fase c atrasada de 120° da fase b. No caso da rotação da parte móvel (ímã SN) no sentido ante-horário, obter-se-á tensões geradas na seqüência inversa (ACB ou CBA), ou seja: fase c atrasada de 120° da fase a; fase b atrasada de 120° da fase c; De uma forma geral define-se ordem de fase ou seqüência de fase como sendo a ordem pela qual as f.e.m. alcançam seus valores máximos. Resumindo-se, para seqüência direta a fase b atrasada de 120° da fase a e para seqüência inversa, a fase b adianta de 120° da fase a. Observe que se as tensões geradas nas fases a, b e c a b c (E ,E eE ) estão na seqüência direta, então, se tomarmos os seus negativos ( a' b' c' E ,E eE ) obteremos a mesma seqüência de fases, no caso, também, a seqüência direta. A ordem da seqüência de fases de um sistema polifásico é de suma importância já que, em especial para o sistema trifásico, o mais utilizado na prática tem-se que: Para um motor de indução, a inversão da seqüência de fase implica na inversão do sentido de rotação do eixo do motor; No caso de carga trifásica desequilibrada os valores das correntes de linha fasorias podem ser completamente diferentes para as duas seqüências, tanto em módulo como em seus ângulos. De uma forma geral analisando as figuras, abaixo, e considerando o sentido de giro mostrado, são equivalentes, para efeito da seqüência de fase , as denominações: Seqüência direta: ABC, BCA ou CAB; Seqüência inversa: CBA, BAC ou ACB.

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Page 1: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

______________________________________________________________________________________ UFU – FEELT – Mauro Guimarães 1

CIRCUITOS ELÉTRICOS II Unidade 3

CIRCUITOS POLIFÁSICOS EQUILIBRADOS

3.1 – GERAÇÕES DE TENSÕES POLIFÁSICAS

Sistema polifásico equilibrado: Conjunto de vários sistemas monofásicos com as tensões geradas em cada fase com mesma freqüência, mesma amplitude e defasadas no tempo por 360∆ = ° nθ onde n é o número de fases do sistema polifásico.

Veja na figura ao lado, para uma máquina de dois pólos um sistema trifásico onde as bobinas aa’, bb’ e cc’ estão fisicamente defasadas de 120 graus. Considerando o sentido de rotação da parte móvel (ímã SN) conforme indicado, sentido horário, obteremos tensões geradas na seqüência direta (ABC), ou seja: • fase b atrasada de 120° da fase a; • fase c atrasada de 120° da fase b.

No caso da rotação da parte móvel (ímã SN) no sentido ante-horário, obter-se-á tensões geradas na seqüência inversa (ACB ou CBA), ou seja: • fase c atrasada de 120° da fase a; • fase b atrasada de 120° da fase c;

De uma forma geral define-se ordem de fase ou seqüência de fase como sendo a ordem pela qual as f.e.m. alcançam seus valores máximos. Resumindo-se, para seqüência direta a fase b atrasada de 120° da fase a e para seqüência inversa, a fase b adianta de 120° da fase a.

Observe que se as tensões geradas nas fases a, b e c

a b c(E ,E e E )• • •

estão na seqüência direta, então, se tomarmos os seus

negativos ( a ' b ' c 'E , E e E• • •

) obteremos a mesma seqüência de fases, no caso, também, a seqüência direta.

A ordem da seqüência de fases de um sistema polifásico é de suma importância já que, em especial para o sistema trifásico, o mais utilizado na prática tem-se que: • Para um motor de indução, a inversão da seqüência de fase

implica na inversão do sentido de rotação do eixo do motor;

• No caso de carga trifásica desequilibrada os valores das correntes de linha fasorias podem ser completamente diferentes para as duas seqüências, tanto em módulo como em seus ângulos.

De uma forma geral analisando as figuras, abaixo, e considerando o sentido de giro mostrado, são equivalentes, para efeito da seqüência de fase , as denominações: • Seqüência direta: ABC, BCA ou CAB; • Seqüência inversa: CBA, BAC ou ACB.

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 2

3.2 – DIAGRAMA VETORIAL E NOTAÇÃO COM SUB-ÍNDICE DU PLO Quando estamos lidando com sinais alternados senoidais é de muita importância especificar o sentido

de percurso no circuito, bem como, o sentido da força elemotriz induzida. Lembre-se que as correntes e tensões serão representadas por fasores e, desta forma, uma inversão no sentido de percurso implica no negativo do fasor original. O sentido será indicado pelo sub-índice duplo, dessa forma, na figura ao lado, abE& significa que está sendo gerada uma f.e.m. na

bobina ab no sentido de a para b, ou melhor, o terminal b da bobina tem potencial maior que o terminal a. Da mesma forma, cdE& significa que está sendo gerada uma

uma f.e.m. na bobina cd no sentido de c para d, ou melhor, o terminal d da bobina tem potencial maior que o terminal b.

Exemplo 1 - Sabendo-se que as tensões geradas nas bobinas ab e cd acima sejam abE& = 100 / 60° volts e

cdE& =100 / 0° volts quais são as opções para ligá-las aditivamente?

a) Ligando os terminais b e c e tomando a tensão ad ab cdE E E= +& & & = 100 3 / 30° volts.

b) Ligando os terminais a e d e tomando a tensão cb cd abE E E= +& & & = 100 3 / 30° volts.

ad ab cdE E E= +& & &

cb cd abE E E= +& & &

Problema 3.2 – Conectando os terminais d e b determinar as tensões caE& e acE& ?

ca cd abE E E= −& & & = 100 / -60° volts

ac ab cdE E E= −& & & = 100 / 120° volts

Problema 3.2 – Para as bobinas ao lado determinar caE& sabendo-se que abE& =100 / 0° volts

e cdE& =100 / 30° volts.

Resp.: ca cd abE E E= −& & & = 51,76 / 105° volts

Page 3: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 3

3.3 – SISTEMAS DI E TETRAFÁSICOS O sistema difásico caracteriza-se pela geração de tensões alternadas senoidais com defasagem de 90o

em duas bobinas a’a e b’b conforme indicado abaixo. Observe que temos aqui uma exceção à regra geral de Sistema polifásicos equilibrados onde as tensões geradas em cada fase estão defasadas no tempo por

360

nθ °∆ = onde n é o número de fases do sistema polifásico. No caso bifásico, n=2, o que implicaria em

180θ∆ = ° .

Ligando-se os terminais a’ e b’ teríamos uma estrela bifásica onde: • Tensões de fase: Tensões geradas nas bobinas, 'a ae e 'b be na seqüência direta;

• Tensões de linha: Tensões entre dois terminais de saída do gerador, abe ou bae ;

• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FE e designando o módulo da tensão de linha por LE

observe que 2L FE E= × . Note que ' 'ab b b a aE E E= −& & & = 2 FE× / -135° ⇒ . &abE = 2L FE E= × .

Sistema Tetrafásico

O sistema tetrafásico caracteriza-se pela geração de tensões alternadas senoidais com defasagens de 90o entre as bobinas a’a, b’b , c’c e d’d conforme indicado abaixo.

Conexão em Estrela Ligando-se os terminais a’, b’ , c’ e d’ teríamos uma estrela tetrafásica onde: • Tensões de fase: Tensões geradas nas bobinas: 'a ae , 'b be , 'c ce e 'd de na seqüência direta;

• Tensões de linha: Tensões entre dois terminais de saída do gerador contíguos: abe , bce , cde e dae .

Observe que: ' 'ab b b a aE E E= −& & & , ' 'bc c c b bE E E= −& & & , ' 'cd d d c cE E E= −& & & e ' 'da a a d dE E E= −& & & ;

• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FE e designando o módulo da tensão de linha por LE

observe que 2L FE E= × . Note que ' 'ab b b a aE E E= −& & & = 2 FE× / -135° ⇒ &abE = 2L FE E= × .

Page 4: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

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Conexão em Malha Ligando-se os terminais a ao b’ , b ao c’, c ao d’ e o d ao a’ teremos uma malha tetrafásica onde: • Tensões de fase: Tensões geradas nas bobinas: 'a a ae e= , 'b b be e= , 'c c ce e= e ddd ee =' na seqüência

direta; • Tensões de linha: Tensões entre dois terminais de saída do gerador contíguos: '' ''d a ae e= , '' ''a b be e= ,

'' ''b c ce e= e '' ''c d de e= ;

• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FE e designando o módulo da tensão de linha por LE

observe que L FE E= ;

• Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador: , ,ab bc cd daI I I e I& & & & ;

• Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador: '' '' '' '', ,dd aa bb ccI I I e I& & & & . Observe que:

abdaaa III &&& −=" , ''bb ab bcI I I= −& & & , ''cc bc cdI I I= −& & & e ''dd cd daI I I= −& & & ;

• Fazendo o módulo da corrente de fase igual a FI e designando o módulo da corrente de linha por LI

observe que 2L FI I= . Observe que ''bb ab bcI I I= −& & & = 2 45∠ − °FI ⇒ ''&bbI = 2L FI I= .

Sistema difásico à três fios (2 fases e um neutro) - Seqüência direta

n 'a ' a F

n 'b ' b F

a 'b ' b a F

E E E 0

E E E 90

E E E 2 E 135

• •

• •

• • •

= = ∠ °

= = ∠ − °

= − = ∠ − °

3.4 – f.e.m. geradas por sistemas trifásicos tetrafilares

Para um gerador trifásico equilibrado na seqüência direta, ligando-se os terminais a’, b’ e c’ a um ponto comum e designando-o por n (ponto neutro) tem-se uma ligação estrela trifásica onde:

na a FE E E 0• •

= = ∠ ° ;

nb b FE E E 120• •

= = ∠ − ° ;

nc c FE E E 120• •

= = ∠ + °

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Note que ab b aE E E• • •

= − = F3 E 150∠ − ° onde FE é o módulo da tensão de fase já que

ab F F

3E 2 x OA 2 x E cos30 2 E

2= = ° =&

F3 E= .

Observações importantes para um gerador trifásico equilibrado com ligação Estrela: • Tensões de fase: f.e.m. induzidas nas bobinas (fases) do gerador, , ;= = =& & & & & &

na a nb b nc cE E E E e E E

• Tensões de linha: f.e.m.existentes entre os terminais de saída do gerador, ,& & &ab bc caE E e E . Observe que:

= −& & &ab b aE E E , = −& & &

bc c bE E E e = −& & &ca a cE E E ;

• Em módulo, toda Tensão de linha = 3 Tensão de fase;

• Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador , , ;& & &na nb ncI I I

• Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador ' ' ',& & &aa bb e ccI I I . Observe que as correntes

de linha são iguais as correntes de fase correspondentes: ' ' '; ;= = =& & & & & &na aa nb bb nc ccI I I I e I I

• Em módulo, toda Corrente de linha = Corrente de fase.

• A Corrente de neutro n 'nI•

é nula já n 'n na nb ncI I I I 0• • • •

= + + = ; • Veja as figuras abaixo ilustrando estes fatos. Observe que para efeito de treinamento, mostramos as

tensões de linha ,& & &ba ac cbE E e E em vez das tensões ,& & &

ab bc caE E e E . Quais são as relações vetoriais das

tensões de linha representadas em termos das tensões de fase?

Problema 3.4 - Desenhar um diagrama vetorial polar que represente as tensões de fase e de linha mostrados

no Oscilograma VIII-1 do livro texto, usando bnV•

como referência. Especificar o valor eficaz da tensão de fase, a seqüência das tensões de linha e de fase. Este Oscilograma corresponde às tensões numa carga em estrela equilibrada cujo valor eficaz das tensões entre linhas é 100 Volts.

a) FV = 100 / 3 =57,7 volts;

b) Seqüência das tensões de fase:

an, bn, cn; c) Seqüência das tensões de linha:

ab, bc, ca.

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3.5 – Sistemas Trifásicos trifilares Nos Sistemas Trifásicos Trifilares não existem o fio neutro e, portanto, não é possível conectar cargas

entre as linhas e o neutro. 3.6 – A conexão Triângulo (∆ )

Observe as figuras abaixo que ilustram este tipo de ligação bem como as relações existentes entre suas tensões e correntes de linha e de fase.

Observações importantes para um gerador trifásico equilibrado com ligação triângulo: • Tensões de fase: f.e.m. induzidas nas bobinas (fases) do gerador, ,& & &

ab bc caE E e E ;

• Tensões de linha: f.e.m.existentes entre os terminais de saída do gerador, ' ' ' ' ' ',& & &a b b c c aE E e E . Observe que

as tensões de linha são iguais as tensões de fase correspondentes: ' ' =& &a b abE E , ' ' =& &

b c bcE E e ' ' =& &c a caE E ;

• Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador, , ,& & &ab bc caI I I ;

• Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador ' ' ', ,aa cc bbI I I& & & . Observe que

' ' '; ; ;= − = − = −& & & & & & & & &aa ca ab bb ab bc cc bc caI I I I I I I I I

• Em módulo, toda Tensão de linha = Tensão de fase; • Em módulo, toda Corrente de linha = 3 Corrente de fase.

Problema 3.5 – Desenhar o diagrama vetorial com as tensões de fase, correntes de fase e de linha, usando

bcV& como referência, referente ao Oscilograma VIII-2 do livro texto.

Correntes de linha saindo do gerador

' ' '; ; ;= − = − = −& & & & & & & & &aa ca ab bb ab bc cc bc caI I I I I I I I I

Correntes de linha chegando na carga

' ' '; ; ;= − = − = −& & & & & & & & &a a ab ca b b bc ab c c ca bcI I I I I I I I I

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3.7 – Estrelas e malhas n-fásicas Para gerações n-fásicas equilibradas, ligadas em estrela, sabe-se que o defasamento das tensões

geradas em fases contíguas é 360

nθ °∆ = . Neste tipo de ligação, sempre, a tensão de linha entre fases

contíguas é a tensão de uma delas menos a tensão da outra fase. Individualizando-se para as fases a e b

obtém-se: ab an nb b aE E E E E• • • • •

= + = − ⇒ ( )ab L F

180E E 2 AB 2 E sen

n

• °= = × = × × . Para as correntes, é óbvio

que as de linha e de fase são iguais (L FI I= ) já que não existe nenhum nó separando-as.

Para as ligações em malha temos uma simetria com relação à ligação em estrela, só que permutando-se as tensões pelas correntes, ou melhor, o que ocorre com as tensões na ligação estrela ocorrerá com as correntes na ligação triângulo e vice-versa. Veja as figuras abaixo que ilustram este fato.

Tensões de linha iguais a tensões de fase já que ' ' =& &

a b abE E , ' ' =& &b c bcE E , etc.

bb ' ab bc

L F

bb' L F

E E ;

I I I ;

180I I 2 AB 2 I sen .

n

• • •

=

= −°= = × = × ×&

Problema 3.6 – Para um gerador em malha hexafásico com corrente de fase igual a 100 A, qual é o valor da sua corrente de linha?

360 360

606

° °∆ = = = °n

θ ;

L F

180 1I 2 I sen 2 100 sen30 2 100 100

6 2

°= × × = × × ° = × × = ampères.

Problema 3.7 – Qual é a tensão entre linhas adjacentes de um sistema duodecafásico, equilibrado, conectado em estrela, se FE 50= volts? Soluções numérica e gráfica.

L f

180E 2 E sen 2 50 sen15 25,88 volts;

12

°= × × = × × ° =

360 36030 50 0 50 30

12

° °∆ = = = °⇒ = ∠ ° = ∠ − °& &a bE e E

nθ ;

ab an nb b a

L ab

E E E E E 25,88 105 ;

E E 25,88 105 25,88volts.

• • • • •= + = − = ∠ − °

= = ∠ − ° =&

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Problema 3.8 – Determinar a tensão ente linhas alternadas num sistema hexafásico, equilibrado, conectado em estrela, se o módulo das tensões de fase é igual a 132,8 volts.

360 36060 132,8 0 ,

6

132,8 60 132,8 120 ;

° °∆ = = = °⇒ = ∠ °

= ∠ − ° = ∠ − °

&

& &

a

b c

En

E e E

θ

ac an nc c a

L ac

E E E E E 230 150 ;

E E 230 150 230volts.

• • • • •= + = − = ∠ − °

= = ∠ − ° =&

3.8 – Carga trifásica equilibrada com ligação Estrela (Y) Para uma carga trifásica equilibrada com ligação estrela tem-se que (veja figura do exemplo 3.2):

• Tensões de fase: Quedas de tensões produzidas nas impedâncias das fases: =& &an aV V , =& &

bn bV V e

=& &cn cV V ;

• Tensões de linha: Quedas de tensões entre dois terminais contíguos de entrada da carga: & & &

' ' ' 'V V Va b a n nb= + = an bnV V−& & = a bV V−& & ;

& & &' ' ' 'V V Vb c b n nc= + = bn cnV V−& & = b cV V−& & ;

& & &' ' ' 'V V Vc a c n na= + = cn anV V−& & = c aV V−& & .

• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FV e designando o módulo da tensão de linha por LV

observe que 3=L FV V . Em módulo, toda Tensão de linha = 3 Tensão de fase;

• Correntes de fase: Correntes que transitam nas impedâncias das fases: ,= = =& & & & & &an a bn b cn cI I I I e I I .

Considerando que o sistema é equilibrado e designando a impedância de fase por FZ& tem-se que:

,= = =& & &

& & && & &an bn cn

an bn cnF F F

V V VI I e I

Z Z Z;

• Correntes de linha: Correntes que chegam dos terminais da carga: ' ' ',& & &a a b b c cI I e I . Observe que:

' =& &a a anI I , ' =& &

b b bnI I e ' =& &c c cnI I ;

• Fazendo o módulo da corrente de fase igual a FI e designando o módulo da corrente de linha por LI

observe que =L FI I . Em módulo, toda Corrente de linha = Corrente de fase; Exemplo 3.2 – Para uma carga trifásica equilibrada (R = 6 Ω e LX = 8 Ω) ligada em estrela onde a tensão de

linha é igual a 220 volts pede-se: a corrente de linha, a potência real por fase e a potência real da carga trifásica.

LF

FF 2 2

F

L F

2 2F F F

Total 3# F

V 220V 127 V

3 3V 127 127

I 12,7 AZ 106 8

I I 12,7 A

P R I 6 x12,7 967,7 W

P P 3 x P 3 x 967,7 2.903,2 W.

= = =

= = = =+

= =

= × = == = = =

Page 9: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 9

Exemplo 3.2.a – Para o exemplo anterior, determine vetorialmente as tensões, correntes e potências, sabendo-se que as tensões estão na seqüência direta e &anV está na referência, isto é, 127 0= ∠ °&

anV volts.

an bn cn FZ Z Z Z 6 j8 10 53,13= = = = + = ∠ ° Ω& & & &

an

bn

cn

ab an bn

V 127 0 127 j0 volts

V 127 120 63,5 j110 volts

V 127 120 63,5 j110 volts

V V V 190,5 j110 220 30 volts

• • •

= ° = +

= − ° = − −

= ° = − +

= − = + = °

anan

F

bnbn

F

cncn

F

V 127 0I 12,7 53,13 A

10 53,13Z

V 127 120I 12,7 173,13 A

10 53,13Z

V 127 120I 12,7 66,87 A

10 53,13Z

••

••

••

°= = = − °°

− °= = = − °°

°= = = °°

na

na

Vna na na I

P V I cos 127 x 12,7 x cos 53,13 967,7 W= φ = ° =&

&

3# naP 3 P 3 967,7 2.903,1 W= × = × =

na

na

Vna na na I

Q V I sen 127 x 12,7 x sen 53,13 1.290,3 VARs= φ = ° =&

&

3# naQ 3 Q 3 1.290,3 3.870,9 VARs= × = × =

na na naN V I 127 x 12,7 1.612,9 VA= = =

3# naN 3 N 3 1.612,9 4.838,7 VA= × = × = Observe que neste exemplo e nas definições anteriores consideramos as correntes fluindo dos terminais a, b

e c para o ponto n, embora nada impeça de considerarmos a corrente no sentido contrário. É claro que o

sentido da corrente é definido pelo sentido da queda de tensão considerada, isto é, a tensão anV•

corrente anI•

(corrente entrando no neutro, ponto n); a tensão naV•

⇒corrente naI•

(corrente saindo do

neutro, ponto n). É obvio que na anI I• •

= − para um mesmo sistema de tensões geradas.

3.9 – Carga trifásica equilibrada com ligação Triângulo (∆∆∆∆) Para uma carga trifásica equilibrada com ligação triângulo tem-se que (veja figura do exemplo 3.3):

• Tensões de fase: Quedas de tensões produzidas nas impedâncias das fases: ,& & &ab bc caV V eV ;

• Tensões de linha: Quedas de tensões entre dois terminais contíguos de entrada da carga: & ' 'Va b , & ' 'Vb c e &

' 'Vc a . Observe que a 'b ' ab b'c ' bc c 'a ' caV V , V V e V V= = =& & & & & & ;

• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FV e designando o módulo da tensão de linha por LV

observe que =L FV V . Em módulo, toda Tensão de linha = Tensão de fase;

Page 10: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

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• Correntes de fase: Correntes que transitam nas impedâncias das fases: ,& & &ab bc caI I e I . Considerando

que o sistema é equilibrado e designando a impedância de fase por FZ& tem-se que:

,= = =& & &

& & && & &ab bc ca

ab bc caF F F

V V VI I e I

Z Z Z;

• Correntes de linha: Correntes que chegam dos terminais da carga: ' ' ',& & &a a b b c cI I e I . Observe que:

& & &'I I Ia a ab ca= −

& & &'I I Ib b bc ab= −

& & &'I I Ic c ca bc= −

• Fazendo o módulo da corrente de fase igual a FI e designando o módulo da corrente de linha por LI

observe que 3=L FI I . Em módulo, toda Corrente de linha = 3 Corrente de fase; Exemplo 3.3 – Para uma carga trifásica equilibrada (R = 6 Ω e LX = 8 Ω) ligada em triângulo onde a tensão

de linha é igual a 220 volts pede-se: a corrente de linha, a potência real por fase e a potência real da carga trifásica.

2 2 2 2

F L

F L

FF

F

L f

2 2F F F

Total 3# F

Z R X 6 8 10

V V 220 V

V 220I 22 A

Z 10

I 3 I 3 22 38,1 A

P R I 6 x 22 2.904 W

P P 3 P 3 2.904 8.712 W

= + = + = Ω= =

= = =

= × = × =

= = == = = × =

Exemplo 3.3.a – Para o exemplo anterior, determine vetorialmente as tensões, correntes e potências, sabendo-se que as tensões estão na seqüência direta e &abV está na referência, isto é, 220 0= ∠ °&

abV volts.

ab bc ca FZ Z Z Z 6 j8 10 53,13= = = = + = ∠ ° Ω& & & &

ab

bc

ca

V 220 0 volts

V 220 120 volts

V 220120 volts

= °

= − °

= °

abab

F

bcbc

F

V 220 0I 22 53,13 A

10 53,13Z

V 220 120I 22 173,13 A

10 53,13Z

••

••

°= = = − °°

− °= = = − °°

caca

F

a 'a ab ca

V 220120I 22 66,87 A

10 53,13Z

I I I 38,11 83,13 A

••

•°= = = °°

= − = − °& & &

Page 11: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 11

ab

ab

Vab ab ab I

P V I cos 220 x 22 x cos 53,13 2.904 W= φ = ° =&

&

3# abP 3 P 3 2.904 8.712 W= × = × =

VARssensenIVQ ab

ab

V

Iababab 872.313,5322220 =°××==&

3# abQ 3 Q 3 3.872 11.616 VARs= × = × =

ab ab abN V I 220 x 22 4.840 VA= = =

3# abN 3 N 3 4.840 14.520 VA= × = × = Observe que neste exemplo e nas definições anteriores consideramos as correntes fluindo dos terminais a

para b, de b para c e de c para a, embora nada impeça de considerarmos a corrente no sentido contrário ou outro qualquer. É claro que o sentido da corrente é definido pelo sentido da queda de tensão considerada,

isto é, a tensão abV•

⇒ corrente abI•

(corrente de a para b); a tensão baV•

⇒corrente baI•

(corrente de b

para a). É obvio que ba abI I• •

= − para um mesmo sistema de tensões geradas. Por exemplo, se for

especificado uma seqüência de fases ba cb acV ,V ,V ,• • •

quer dizer que cbV•

atrasa de baV•

de 120o e que

ac acV atrasa deV de120• •

° , usaríamos como base para os cálculos as correntes de fase ba cb acI , I , I• • •

.

Observações importantes sobre as relações existentes entre tensões, correntes e potências para ligações Estrela e Triângulo com mesmas impedâncias de fase ( FZ& ) e alimentadas com a mesma tensão de

linha ( LV ). Analisando os resultados obtidos nos exercícios 3.2.a e 3.3.a conclue-se que:

• yL LV V

∆= (hipótese);

• yF FV 3 V

∆= ;

• yF FI 3 I

∆= ;

• yL LI 3 I

∆= ;

• yF FP 3 P

∆= ;

• y3# 3#P 3 P

∆= .

3.10 - Diagrama vetorial de tríplice origem em Sistemas Trifásicos Equilibrados

a) Tensões geradas (tensões no gerador)

Seja um gerador ligado em estrela, seqüência direta, conforme ilustrado na página seguinte. Observe

que as tensões de linha são dadas por: ab b aE E E• • •

= − , bc c bE E E• • •

= − e ca a cE E E• • •

= − . Temos na figura (a), uma

ligação em estrela; na figura (b) o diagrama fasorial correspondente das tensões de fase cba EeEE &&& ,

geradas na seqüência direta e das tensões de linhas cabcab EeEE &&& , , composição vetorial das tensões de fase

e, finalmente, na figura (c) um diagrama fasorial equivalente àquele da figura (b) e que designamos diagrama vetorial de tríplice origem, onde as tensões de linha formam um triângulo eqüilátero. Observou-se nesta figura, para seqüência direta, que girando no sentido horário encontramos os pontos a, b e c na

seqüência ABC (seqüência direta). Se a seqüência gerada para as tensões cba EeEE &&& , fosse seqüência

inversa teríamos encontrado, girando novamente no sentido horário, os pontos na seqüência ACB, ou CBA ou BAC (seqüência inversa).

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

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Exemplo 1 - Para tensões geradas na seqüência inversa, sabendo-se que o& 90200∠=bcE V determine as

tensões de fase cba EeEE &&& , e de linha cabcab EeEE &&& , , usando o diagrama vetorial de tríplice origem

correspondente:

VE

VE

VE

ca

bc

ab

o

o

o

&

&

&

150200

90200

30200

−∠=

+∠=

−∠=

e

VEE

VEE

VEE

cnc

bnb

ana

o

o

o

&&

&&

&&

6047,115

6047,115

18047,115

+∠==

−∠==

+∠==

Exemplo 2 - Similar ao exemplo 1, seqüência direta, dado VEE cnc °∠== 90100&& . Têm-se:

VEE

VEE

VEE

cnc

bnb

ana

o

o

o

&&

&&

&&

90100

150100

30100

+∠==

−∠==

−∠==

e

VE

VE

VE

ca

bc

ab

o

o

o

&

&

&

603100

603100

1803100

−∠=

+∠=

+∠=

Observe nos exemplos 1 e 2 anteriores, que partimos da hipótese de que o gerador tinha ligação estrela e, neste caso, existe fisicamente o ponto n, ponto comum das três bobinas. Daí, determinamos as tensões de

neutro-fase cncbnbana EEeEEEE &&&&&& === , e as tensões fase-fase cabcab EeEE &&& , . Se assumirmos a hipótese

de que o gerador está ligado em triângulo, não teremos o ponto n físico, mas por outro lado o procedimento é totalmente similar na determinação das tensões neutro-fase e fase-fase. Este ponto n seria o neutro do gerador ligado em estrela, equivalente a este último ligado em triângulo.

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 13

Tensões na carga Seja uma carga trifásica equilibrada e seus diagramas fasoriais indicados abaixo. O procedimento é

análogo ao caso do gerador com a única diferença de que as tensões geradas são no sentido do neutro para a fase, ),( ncnbna EeEE &&& e, na carga, são no sentido da fase para o neutro ),( cnbnan VeVV &&& , ou seja, as tensões

seguem o sentido da corrente convencional. Considere seqüência direta com .0120 VV oan ∠=& Têm-se:

ancnca

cnbnbc

bnanab

VVV

VVV

VVV

&&&

&&&

&&&

−=

−=

−=

;

VV

VV

VV

ca

bc

ab

o

o

o

&

&

&

1503120

903120

303120

+∠=

−∠=

+∠=

e

VV

VV

VV

cn

bn

an

o

o

o

&

&

&

120120

120120

0120

+∠=

−∠=

∠=

.

Observe no exemplo acima que mesmo considerando a seqüência direta, o diagrama físico da carga, induz erroneamente à seqüência inversa. Lembre-se que a seqüência de fases é definida pelo diagrama vetorial e não pelo diagrama físico.

Exemplo 3 - Para seqüência inversa, o& 45180∠=bcV V, determine todas as tensões fase-neutro e fase-fase

numa carga trifásica equilibrada. Têm-se:

;165180

;45180

;75180

VV

VV

VV

ca

bc

ab

o

o

o

&

&

&

∠=

∠=

−∠=

e

;16592,103

;7592,103

;4592,103

VV

VV

VV

cn

bn

an

o

o

o

&

&

&

−∠=

∠=

−∠=

.

Embora, não muito usual, mas nada nos impede de que as tensões e correntes numa carga trifásica sejam consideradas saindo do neutro da carga. Com seqüência direta, veja exemplos seguintes:

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Ex. 1 - Diagrama polar de uma carga equilibrada em estrela com fp = 1.

Ex. 2 - Diagrama polar de carga equilibrada conectada em triângulo com fp = 1.

Exemplo 3.4 – Para uma carga trifásica equilibrada de 10 KVA com tensão de linha de 200 volts, apresente os diagramas de tríplice origem com as tensões geradas de fase e de linha e com as correntes de linha para: (a) Seqüência direta e fator de potência unitário; (b) Seqüência direta e fator de potência 0.6 atrasado; (c) Seqüência inversa e fator de potência 0.6 atrasado; Solução:

• cos( 1α ) = 1 ⇒ 1α = 0º;

• cos( 2α ) = 0.6 ⇒ 2α = 53,1º Têm-se os diagramas:

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3.11 - CÁLCULO DA POTÊNCIA REAL OU MÉDIA EM SISTEMA S EQUILIBRADOS (W)

ft

ffff

PnP

IVP

⋅=

= θcos

Para sistema Trifásico:

ffft IVP θcos3=

a) Ligação estrela

.cos3cos3

33

;

fLLfLL

tfL

fL

IVIV

PVV

II

θθ =⋅⋅⋅=⇒⋅=

=

b) Ligação triângulo:

.cos3cos3

3

;3

fLLfL

LtfL

fL

IVI

VPVV

II

θθ ==⇒=

=

Problema 3.9 - Tensões de linha trifásicas, VVL 300.2= , são aplicadas a uma carga equilibrada conectada

em Υ com Ω+= 2,173100 jZ f por fase, pede-se LI e Pt.

kWIVP

kWIRP

AZV

II

jZ

fLLt

fft

fL

fL

f

23,1360cos64,6300.23cos3

;23,1364,610033

;64,6200.3

300.2/

3

;602002,173100

22

=×××==

=××=××=

====

Ω°∠=+=

Problema 3.10 - Idem exemplo anterior com carga em ∆.

.67,3960cos92,19300.23cos3

;67,395,1110033

;92,195,1133

;5.11200

300.2

22

kWIVP

kWIRP

AII

AZ

V

Z

VI

fLLt

fft

fL

f

L

f

ff

=×××==

=××==

=×==

====

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

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3.12 – POTÊNCIA APARENTE (VOLT-AMPÈRES - VA) Para sistemas trifásicos equilibrados é definida como a soma dos VA das fases, ou melhor,

fffasetotais IVVAVAN 33 === . Em função das tensões e correntes de linha, têm-se:

• Ligação ∆ ⇒ N LLL

L IVI

V 33

3 == ;

• Ligação Υ ⇒ N LLLL IVI

V3

33 == .

3.13 – POTÊNCIA REATIVA (VOLT AMPÈRES REATIVOS – VA r) Definida como a soma dos volt-ampères reativos das fases, fffx senIVPQ θ3== . Similarmente

aos itens anteriores, têm-se:

• Ligação fLLx senIVP θ.3=⇒∆ ;

• Ligação fLLx senIVPY θ3=⇒ .

3.14 – TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS

Em sistemas trifásicos equilibrados, as potências real (P), reativa (Q) e aparente (N) formam um triângulo retângulo conforme mostrado ao lado onde fθ é o ângulo da impedância de fase da

carga trifásica equilibrada.

Problema 3.11 - Dado um sistema de tensões trifásicas equilibrada com 440=LV volts aplicada à carga ∆

equilibrada e com 68 jZ f +=& Ω, pede-se:

a) Calcular fN , fQ e o fator reativo.

• VAIVVAN ffff 360.1968

440440

22=

+=== ;

• VArsenVAQ fff 616.1110

6360.19 =

×== θ ;

• Fator reativo = 6,0== fsenfr θ .

3.15 - FATORES DE POTÊNCIA (fp) E REATIVO ( fr )

Para sistemas trifásicos equilibrados alimentados por ondas sensoriais, são definidos como:

• Fator de potência: cosseno do ângulo entre fV e fI ⇒ fp = N

P

VA

Pf ==θcos ;

• Fator reativo: seno do ângulo entre fV e fI ⇒ fr = N

Q

VA

Psen x

f ==θ ;

Exemplo 3.5 - Dado um motor trifásico de 5 HP alimentado por tensões trifásicas equilibradas 220 volts, rendimento de 0,85 e o fator de potência = 0,86, pede-se a potência real entregue ao motor em plena carga e a corrente elétrica absorvida da rede elétrica.

• Potência real entregue ao motor = WHP 5,386.485,0

7,7455

85,0

5 =×= ;

• AIWIIVP LLfLL 385,135,386.486,02203cos3 =⇒=×××⇒= θ .

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Exercício - Para um motor trifásico, 10 CV, fator de potência = 0,85 atrasado, tensão de linha = 220 volts, rendimento = 0,81, zHf 60= , pede-se:

a) As potências absorvidas da rede de alimentação (P, Q e N), e apresente o triângulo de potência (1 cv = 735,5 W);

;64,682.1085,0

25,080.9

cos

;25,080.981,0

5,73510

VAP

N

WP

P mecânicaelétrica

===

=×==

ϕ

µ

.43,627.522 VArPNQ =−=

b) A corrente de linha;

AIIVN LLL 035,282203

64,682.103 =

×=⇒= .

c) A corrente de fase se a ligação interna do motor é ligação ∆ e o valor de sua impedância de fase;

;592,13186,16

220;186,16

3

035,28

3Ω======

F

FF

LF I

VZA

II

&

.788,31592,13788,3185,0cos Ω∠=⇒== oo &FF Zarcθ

d) O valor das capacitâncias em (µF) de três capacitores iguais ligados em paralelo à este motor, com ligação ∆, de modo que o fator de potência do conjunto (motor + capacitores) seja 0,95 indutivo.

;53,984.2195,1825,080.9

;195,1895,0

11

1

1

VArtgQP

Qtg

fp

=×=⇒=

=⇒=

o

o

θ

θ

;90,642.212 scapacitivoVArQQQ =−=

Cálculo das capacitâncias ligadas em triângulo:

a) Enfoque monofásico

;937,5497,880

220

;97,8803

2

1

2

22

21

21

Ω===

⇒=

==

==

F

FC

c

F

C

FCCcF

F

Q

VX

X

V

X

VXIXQ

VArQ

Q

.282,48

937,54120

1011 6

F

wXC

wCX

Cc

µπ

==⇒=

b) Enfoque trifásico ( )

( )

.282,48

937,54120

1011

;937,54004,4

220

;004,43

;936,612203

90,642.2

903

6

2

F

XwC

CwX

I

VX

AI

I

AII

senIVQ

CC

F

Fc

LF

LL

LL

C

C

C

C

µπ

==⇒=

Ω===

==

=−××

−==

⇒−= o

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

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3.16 - Potências Monofásicas e Trifásicas Equilibradas com alimentação Alternada Senoidal

Os valores instantâneos da potência da carga monofásica indicada abaixo é dada por:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]

( )awtwtsensenIVwtsenIV

wtsenwtsenwtsenIV

wtsenwtsenIVwtsenIwtsenVp

vip

wtsen

mmmm

mm

mmmm

=−=−=−=

⇒=

4434421

2

2

2 coscos

coscos

θθ

θθθθ

Relembrando-se que:

⇒−=+=

wtsenwtwt

wtsenwt22

22

cos2cos

cos1

( )bwt

wtsen

wtsenwt

2

2cos1

22cos1

2

2

−=

⇒=−

Substituindo (b) em (a), obtém-se:

=−−=2

2cos

2

2cos1 wtsensenIV

wtIVp mmmm θθ

[ ] [ ]444 3444 21444 3444 2143421

321

22

2cos2

cos

2

coswtsen

senIVwt

IVIV mmmmmm θθθ −−

Onde:

(1) θcos2

mmIV - parcela constante correspondente à potência real;

(2) [ ]wtIV mm 2coscos

2θ− - parcela alternada correspondente a potência real;

(3) [ ]wtsensenIV mm 2

2θ− - parcela alternada correspondente a potência reativa.

Desenvolvendo (1) + (2) obtém-se:

[ ] ( )θθθ −−=+− wtIV

senwtsenwtIV mmmm 2cos

22cos2cos

2 - parcela alternada correspondente a

potência real e reativa de freqüência dupla dos sinais de tensão e de corrente do circuito monofásico.

Para o sistema trifásico equilibrado, considerando as potências instantâneas de cada fase função da tensão da fase e de sua respectiva corrente de fase, ( )aaa IVfP ,= , ( )bbb IVfP ,= e ( )ccc IVfP ,= , têm-se:

( )( ) ( )( ) ( ).240240

;120120

;

θθ

θ

−−−=

−−−=

−=

oo

oo

wtsenwtsenIVp

wtsenwtsenIVp

wtsenwtsenIVp

mmc

mmb

mma

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 19

Extendendo-se o desenvolvimento efetuado anteriormente para o circuito monofásico tem-se:

( )θθ −−= wtIVIV

p mmmma 2cos

2cos

2;

( )θθ −°−−= 1202cos2

cos2

wtIVIV

p mmmmb ;

( )θθ −°−−= 2402cos2

cos2

wtIVIV

p mmmmc

Para a carga trifásica obtém-se: 2

cos3

θ⋅=++= mmcbat

IVPPPP já que a soma das três parcelas

senoidais é nula – sinais senoidais de mesma freqüência, mesma amplitude e defasados de 120°. 3.17 - MEDIDAS DE POTÊNCIA EM SISTEMAS EQUILIBRADOS

Um wattímetro acusa uma leitura proporcional ao produto da corrente na sua bobina de corrente pela tensão na bobina de tensão e pelo cosseno do ângulo entre a tensão e a corrente percebidas por suas bobinas de tensão e de corrente. Assim, o valor medido será: ( )IVIVW θθ −= cos watts. Nas figuras abaixo têm-se

esquemas possíveis para a medição de potências trifásicas em cargas ligadas em triângulo e estrela onde a potência trifásica é a soma das potências medidas pelos três wattímetros. Entretanto nem sempre é possível in-

terromper as fases de uma carga ∆, assim como, ter acesso ao neutro de uma carga Y. Dessa forma, sugere-se o método de dois wattímetros indicados abaixo, que além de resolver os problemas citados anteriormente precisa apenas de dois e não de três medidores de potência real. Neste método, insere-se dois wattímetros em

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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 20

duas fases a seu critério com suas bobinas de corrente recebendo as correntes de linha sentido fonte para a carga. Suas bobinas de tensões devem perceber as tensões de sua fase para a fase sem wattímetro. Observando-se o diagrama fasorial correspondente, conclui-se que os wattímetros (a) e (b) medirão:

( ) ( )( ) ( ) .30cos30cos

;30cos30cos

2'

1'

WIVIV

WIVIV

LLbbbcb

LLaaaca

=+=+=

=−=−=oo

oo

θθθθ

W

W

Onde:

LV é a tensão de linha do sistema trifásico equilibrado;

LI é a corrente de linha que a carga trifásica equilibrada absorve da rede de alimentação; θ é o ângulo da impedância de fase. No diagrama fasorial anterior a título de exemplo, utilizou-se uma

carga indutiva, corrente atrasada do ângulo θ da tensão correspondente;

e que a soma de suas leituras resultará na potência trifásica, ou melhor, [ ]

[ ] .cos32

3cos230coscos2

3030coscos3030coscos

3FLLLLLL

LLba

PIVIVIV

sensensensenIV

===

=−++=+

θθθ

θθθθ

o

ooooWW

Observou-se acima que o wattímetro (a) acusou uma medida proporcional a ( )o30cos −θ e que o

wattímetro (b) acusou uma medida proporcional a ( )o30cos +θ . Podemos generalizar estas proporcionalidades usando o critério seguinte e que será comprovado através de diagramas fasoriais posteriormente. Para seqüência de fases direta (ABC), tem-se o critério:

Critério para seqüência de fases direta (ABC)

• Escolha duas fases para inserções dos wattímetros, por exemplo, fases (a) e (b);

• Partindo da fase (c), aquela sem wattímetro, girando-se no sentido horário, encontra-se o primeiro wattímetro (a) que designaremos de 1W

e que acusará a medida ( )o30cos1 −= θLL IVW ;

• Prosseguindo no sentido horário, encontra-se o segundo wattímetro (b) que designaremos de 2W e que acusará a medida

( )o30cos2 += θLL IVW ;

Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial da página seguinte para os pares de wattímetros: ( )ba WW , , ( )cb WW , e ( )ac WW , . Têm-se as medições para os pares de wattímetros seguintes:

I - Watímetros nas fases (a) e (b): ( )( )

=°+=−=

=°−=−=

2'

1'

)30(coscos

)30(coscos

'

'

WIVIVW

WIVIVW

LLIVbbbcb

LLIVaaaca

bbbc

aaac

θθθ

θθθ

&&

&&

II - Watímetros nas fases (b) e (c): ( )( )

=°+=−=

=°−=−=

2'

1'

)30(coscos

)30(coscos

'

'

WIVIVW

WIVIVW

LLIVcccac

LLIVbbbab

ccca

bbba

θθθ

θθθ

&&

&&

III - Watímetros nas fases (c) e (a): ( )( )

=°+=−=

=°−=−=

2'

1'

)30(coscos

)30(coscos

'

'

WIVIVW

WIVIVW

LLIVaaaba

LLIVcccbc

aaab

cccb

θθθ

θθθ

&&

&&

Page 21: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 21

Similarmente, para seqüência de fases inversa (CBA), tem-se o critério:

Critério para seqüência de fases inversa (CBA)

• Escolha duas fases para inserções dos wattímetros, por exemplo, fases (c) e (b);

• Partindo da fase (a), aquela sem wattímetro, girando-se no sentido horário, encontra-se o primeiro wattímetro (c) que designaremos de 1W

e que acusará a medida ( )o30cos1 −= θLL IVW ;

• Prosseguindo no sentido horário, encontra-se o segundo wattímetro (b) que designaremos de 2W e que acusará a medida

( )o30cos2 += θLL IVW ;

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 22

Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial abaixo para os pares de wattímetros: ( )bc WW , , ( )ab WW , e ( )ca WW , . Têm-se as medições para os pares de wattímetros seguintes:

I - Watímetros nas fases (c) e (b): ( )( )

=°+=−=

=°−=−=

2'

1'

)30(coscos

)30(coscos

'

'

WIVIVW

WIVIVW

LLIVbbbab

LLIVcccac

bbba

ccca

θθθ

θθθ

&&

&&

II - Watímetros nas fases (b) e (a): ( )( )

=°+=−=

=°−=−=

2'

1'

)30(coscos

)30(coscos

'

'

WIVIVW

WIVIVW

LLIVaaaca

LLIVbbbcb

aaac

bbbc

θθθ

θθθ

&&

&&

III - Watímetros nas fases (a) e (c): ( )( )

=°+=−=

=°−=−=

2'

1'

)30(coscos

)30(coscos

'

'

WIVIVW

WIVIVW

LLIVcccbc

LLIVaaaba

cccb

aaab

θθθ

θθθ

&&

&&

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 23

Varredura dos ângulos percebidos pelos wattímetros (1) e (2) no método dos dois wattímetros

Observou-se que o wattímetro (1) perceberá, sempre, o ângulo )30( °−θ e o wattímetro (2), o ângulo

)30( °+θ . Como o ângulo )(θ pode variar de -90° até +90° para uma carga puramente capacitiva até uma carga puramente indutiva. Desta forma pode-se ter o intervalo de valores possíveis para os ângulos dos wattímetros:

• Ângulo de 1W : intervalo [ ]°°− 60,120 ;

• Ângulo de 2W : intervalo [ ]°°− 120,60 .

Sabe-se que o cosseno é negativo nas faixas )90,120[ °−°− - ]120,90( °° e dessa forma, dependendo do fator de potência da carga, um dos wattímetros pode acusar uma leitura negativa. Num experimento prático, se um wattímetro acusar um valor negativo é de fundamental importância identificar se esta leitura deve ser considerada negativa no cálculo da potência trifásica ou se ela ocorreu por conexão errônea da montagem do circuito. Por outro lado, a maioria dos watímetros não tem escala para valores negativos e, neste caso, se uma leitura for negativa faz-se necessário trocar a polaridade de umas das bobinas (de tensão ou de corrente) deste wattímetro, efetuar a medida e considera-la como sendo negativa.

Sinais corretos das leituras dos wattímetros

Observou-se anteriormente a necessidade de considerar os sinais corretos às leituras dos wattímetros. Apresenta-se então dois procedimentos para assegurar este fato.

Método I: Wattímetro ligado com as polaridades corretas em suas bobinas de corrente e de tensão: 1. Identifique no wattímetro a polaridade positiva de suas bobinas de corrente e de tensão; 2. Faça sua ligação de modo que a corrente proveniente da fonte de tensão entre pelo terminal positivo e

saia pelo terminal negativo da bobinas de corrente do wattímetro; 3. Faça sua ligação de tensão de modo que a fase do wattímetro esteja ligada ao terminal positivo e a fase

sem wattímetro esteja ligado ao terminal negativo da bobinas de tensão do wattímetro; 4. Se o wattímetro acusar leitura negativa ao energizar o circuito considere sua leitura negativa, caso

contrário a medição obtida deve ser considerada positiva.

Método II: Abertura das bobinas de corrente dos wattímetros separadamente: 1. aW deve indicar leitura positiva com (b) aberto

2. bW deve indicar leitura positiva com (a) aberto.

3. Se algum wattímetro aW , bW indicar leitura negativa com (a) e (b)

fechados sua leitura deve ser considerada negativa.

Justificativa: Observe que nos itens (1) e (2) acima que ao desligar os terminais (b) e (a), respectivamente, a carga trifásica transformou-se numa carga monofásica onde a tensão aplicada é a tensão

de linha e a impedância da carga monofásica é FZ&2 , sendo FZ& a impedância de cada fase da carga trifásica. Dessa forma, leitura positiva significa wattímetro ligado corretamente (Método I) pois ele está medindo a potência real entrega a uma carga monofásica. Com relação ao item (3) é obvio que se os wattímetros estão ligados corretamente e se algum deles acusar leitura negativa este fato é devido ao fator de potência da carga e sua leitura deverá ser considerada negativa no método dos dois wattímetros.

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 24

Curva da relação de potência no Método dos Dois Wattímetros

Observou-se para cada valor de θθθθ, isto é, para cada fator de potência têm-se valores definidos para as leituras dos wattímetros 1W e 2W onde ( )°−= 30cos1 θLL IVW e ( )°+= 30cos2 θLL IVW . Dessa forma, a

relação ( 21 /WW ) nos permite determinar o fator de potência da carga trifásica a partir da “Curva das Relações de Potência” mostrada abaixo onde em valores absolutos 1W é menor que 2W . Exemplos:

a) 21 WW = com mesmos sinais ⇒ 21 /WW = 1 ⇒ cos (θ) = 1 ⇒ θ = 0°.

Contra-prova: ( )( )

( )( )

( )( ) .1

8660,0

8660,0

30cos

30cos

300cos

300cos

30cos

30cos

2

1 ==°+°−=

°+°°−°=

°+°−=

θθ

W

W

b) 21 WW = com sinais contrários ⇒ 21 /WW = -1 ⇒ cos (θ) = 0 ⇒ θ = 90°.

Contra-prova: ( )( )

( )( )

( )( ) .1

5,0

5,0

120cos

60cos

3090cos

3090cos

30cos

30cos

2

1 −=−

=°°=

°+°°−°=

°+°−=

θθ

W

W

c) 21 WW = /2 com mesmos sinais ⇒ 21 /WW = 0,5 ⇒ cos (θ) ≅ 0,866 ⇒ θ ≅ 30°.

Contra-prova: ( )( )

( )( )

( )( ) .5,0

0,1

5,0

0cos

60cos

3030cos

3030cos

30cos

30cos

2

1 ==°°=

°−°°+°=

°−°+=

θθ

W

W

d) 21 WW = /2 com sinais contrários ⇒ 21 /WW = -0,5 ⇒ cos (θ) ≅ 0,1867 ⇒ θ ≅ 79,24°.

Contra-prova: ( )( )

( )( )

( )( ) .5,0505,0

6529,0

3295,0

24,49cos

24,109cos

3024,79cos

3024,79cos

30cos

30cos

2

1 −≅−=−=°°=

°−°°+°=

°−°+=

θθ

W

W

e) 01 =W ⇒ 21 /WW = 0 ⇒ cos (θ) ≅ 0,5 ⇒ θ ≅ 60°.

Contra-prova: ( )( )

( )( )

( )( ) .0

866,0

0

30cos

90cos

3060cos

3060cos

30cos

30cos

2

1 ==°°=

°−°°+°=

°−°+=

θθ

W

W

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 25

Exemplo 3.7 - No circuito indicado ao lado aW acusa 800 W e bW , 400 W.

Com o terminal (a) aberto Wb acusou leitura negativa. Pede-se: a) A potência trifásica consumida pela carga.

( ) 4004008003 =−+=+= baF WWP watts.

b) O fator de potência da carga trifásica.

Na curva de relações de potência, com 5,0800

400/ 21 −=−=WW obtém-se

o fator de potência = 1867,0cos =θ .

3.18 – VOLT-AMPÉRES REATIVOS

No método dos dois wattímetros pode-se usar a as leituras 1W e 2W para determinar a potência reativa, ou melhor,

[ ][ ] ⇒====

=−−+=

=°+−°−=−

32

12302

)3030cos(cos3030coscos

)30(cos)30(cos)(

3

21

FLLLLLL

LL

LLLL

QsenIVsenIVsensenIV

sensensensenIV

IVIV

θθθ

θθθθθθ

o

oooo

WW

)(3 213 WWQPQ Fx −=== .

Cálculo do fator de potência baseado nas leituras 1W e 2W

Exemplo 3.8 – Para o exercício anterior com seqüência ABC, pede-se: a) A potência reativa trifásica da carga.

Seqüência ABC ⇒ WWW a 8001 == e WWW b 4002 −== ;

( ) 46,078.2)400800(3)(3 213 =−−=−== WWQQ F VAr.

b) O fator de potência da carga trifásica.

Solução 1: ( ) 400)400800()( 213 =−+=+== WWPP F W;

189,0)cos(107,79196,5400

46,078.2 ==⇒°=⇒=== θθθ fpP

Qtg .

Solução 2:

6,116.246,078.2400 2222 =+=+= QPN VA;

189,06,116.2

400 ===N

Pfp .

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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 26

3.19 - MÉTODO DE UM WATTÍMETRO PARA MEDIÇÃO DE POTÊ NCIA REATIVA

De maneira similar ao método dos dois wattímetros para medição de potências trifásicas equilibradas real e reativa pode-se comprovar através de diagramas fasoriais o “Método de um wattímetro para a medição da potência reativa trifásica.” Têm-se:

Critério para seqüência de fases direta (ABC)

• Escolha uma fase para inserção do wattímetro, por exemplo, a fase (a); • Partindo da fase (a), aquela com wattímetro, girando-se no sentido horário,

encontra-se a tensão bcV& que deverá ser aplicada a bobina de tensão do

wattímetro (a), aW .

• A potência reativa será dada por: aWQ 3= ;

• O sinal de aW implicará no sinal de Q , ou seja, um valor negativo significa potência reativa capacitiva, caso contrário, potência reativa indutiva. Ressalta-se a importância da ligação experimental com as polaridades corretas.

Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial da página seguinte para os wattímetros nas fases (a), (b) e (c). Têm-se as medições para os wattímetros seguintes:

I - Watímetros na fase (a): ( ) )()90(coscos

'' θθθθ senIVIVIVW LLLLIVaabca aabc=°−=−= && ;

II - Watímetros na fase (b): ( ) )()90(coscos

'' θθθθ senIVIVIVW LLLLIVbbcab bbca=°−=−= && ;

III - Watímetros na fase (c): ( ) )()90(coscos

'' θθθθ senIVIVIVW LLLLIVccabc ccab=°−=−= && .

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

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Similarmente, para seqüência de fases inversa (CBA), tem-se o critério:

Critério para seqüência de fases inversa (CBA)

• Escolha uma fase para inserção do wattímetro, por exemplo, a fase (c); • Partindo da fase (c), aquela com wattímetro, girando-se no sentido horário,

encontra-se a tensão baV& que deverá ser aplicada a bobina de tensão do

wattímetro (c), cW .

• A potência reativa será dada por: cWQ 3= ;

• O sinal de cW implicará no sinal de Q , ou seja, um valor negativo significa

potência reativa capacitiva, caso contrário, potência reativa indutiva. Ressalta-se a importância da ligação experimental com as polaridades corretas.

Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial da página seguinte para os wattímetros nas fases (c), (b) e (a). Têm-se as medições para os wattímetros seguintes:

I - Watímetros na fase (c): ( ) )()90(coscos

'' θθθθ senIVIVIVW LLLLIVccbac ccba=°−=−= && ;

II - Watímetros na fase (b): ( ) )()90(coscos

'' θθθθ senIVIVIVW LLLLIVbbacb bbac=°−=−= && ;

III - Watímetros na fase (a): ( ) )()90(coscos

'' θθθθ senIVIVIVW LLLLIVaacba aacb=°−=−= && .

Page 28: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 28

3.20 - SISTEMAS TRIFÁSICOS TETRAFILARES

Nos sistemas trifásicos tetrafilares equilibrados não existem correntes no neutro e, portanto, podem ser tratados da mesma forma que os sistemas trifásicos trifilares.

3.21 – SISTEMAS EM ∆

Sempre existe sistema em Y equivalente ao ∆, portanto, pode-se usar as mesmas regras anteriores. Observe-se que foram utilizadas apenas correntes e tensões de linha nas expressões literais para os cálculos de potências.

Problema 3.12 – Para uma carga trifásica equilibrada ligada em ∆, seqüência direta, fp=1 e valores instantâneos máximos de linha: máximoLV = 155,5 volts e máximoLI = 14,14 ampères, pede-se o valor acusado

pelos wattímetros aW e cW , ligados em concordância com o método dos dois wattímetros.

VVV máximoLL 96,1092/ == ; AII máximoLL 102/ == ;

fp=1 ⇒ θ = arc cos (1) = 0°; Seqüência ABC ⇒ 1WWc = e 2WWa = ;

1WWc = = ( ) WIV LL 2,952)300cos(1096,10930cos =°−°××=°−θ ;

2WWa = = ( ) WIV LL 2,952)300cos(1096,10930cos =°+°××=°+θ .

Exercício - Para uma carga trifásica equilibrada ligada em triângulo, Ω°∠= 40100FZ& , alimentada com

200=LV volts onde VVV Fan °−∠= 30& , seqüência inversa, pede-se:

a) As tensões ,,, cnbnan VVV &&& ,,, cabcab VVV &&& correntes: ,,, cabcab III &&&

ccbbaa III ''' ,, &&& e suas composições fasoriais

envolvendo os valores de fase e de corrente.

;15047,115

;9047,115

;3047,115

VV

VV

VV

cn

bn

an

°−∠=

°+∠=

°−∠=

&

&

&

;180200

;60200

;60200

VV

VV

VV

ca

bc

ab

°+∠=

°+∠=

°−∠=

&

&

&

;1402

;202

;1002

AI

AI

AI

ca

bc

ab

°+∠=

°+∠=

°−∠=

&

&

&

.170464,3

;50464,3

;70464,3

'

'

'

AI

AI

AI

cc

bb

aa

°+∠=

°+∠=

°−∠=

&

&

&

b) Calcular N, P e Q para o sistema trifásico equilibrado.

.32,771

;23,919cos

;96,199.1464,320033

VArsenNQ

WNP

VAIVN LL

====

=××==

θθ

Page 29: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 29

c) Calcular as leituras dos watímetros (b) e (c) conforme indicados na página anterior.

.27,682)170180(cos464,3200)cos(

;95,236)50120(cos464,3200)cos(

'

'

'

'

WIVW

WIVW

ccca

bbba

IVcccac

IVbbbab

=°−°××=−=

=°−°××=−=

&&

&&

θθ

θθ

d) Calcular P, Q e N a partir das leituras de Wb e Wc de acordo com o método dos dois wattímetros

Seqüência inversa (CBA), wattímetros nas fases (b) e (c) ⇒ ( ) ;27,6823040cos464,3200)30(cos1 WIVWW LLc =°−°××=°−== θ

( ) .95,2363040cos464,3200)30(cos2 WIVWW LLb =°+°××=°+== θ

.96,199.132,77122,919

;32,771)95,23627,682(3)(3

;22,919)95,23627,682(

2222

21

21

VAQPN

VArWWQ

WWWP

=+=+=

=−×=−=

=+=+=

e) Calcular a leitura do wattímetro (a) colocado na fase A, para medição da potência reativa.

Seqüência inversa (CBA), wattímetro na fase (a) ⇒ tensão cbV& aplicada à

bobina de tensão do wattímetro (a);

.32,77132,44533

;32,445)70120(cos464,3200)(cos''

VArWQ

WIVW

a

IVaacba aacb

=×==

=°+°−××=−= && θθ

3.22 – COBRE NECESSÁRIO PARA TRANSMITIR POTÊNCIASOB CONDIÇÕES FIXADAS Problema 3.13 – Determinar a relação de cobre necessária para transmissão bifásica trifilar com relação ao sistema trifásico trifilar sob as condições:

a) Mesma potência real transmitida; b) Mesma distância de transporte; c) Mesma perda total na linha de transmissão; d) Mesma tensão entre linhas; e) Mesma densidade de corrente nos três condutores bifásicos.

Solução: Vamos considerar o índice (2) associado ao sistema bifásico e, (3), ao sistema trifásico. Para o sistema bifásico, têm-se:

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 30

Da condição (a), têm-se : )1(cos2

2cos32

2

3323 θθ LL

LL IV

IVPP =⇒= ;

Substituindo a condição (d) em (1) tem-se: )2(3

2

223

23

2

3 LLL

L III

I =⇒= ;

Da condição (e), têm-se : 2222

22 fasenLn SSII =⇒= onde S é a seção dos condutores ⇒

22

2

Ln

RR = (3);

Da condição (c), têm-se : )4(23 22223 222233 nnLLLL IRIRIRPP +=⇒= ;

Substituindo a condição (3) em (4) e lembrando-se que 22

2 Ln II = , tem-se:

( ) ( ) )5(2222

23 2222

222

2

2233 LLLL

LLLL IRIR

IRIR +=+= ;

Substituindo a condição (2) em (5), tem-se:

( ) ( ) ( ))6(

2

22

2

2222

3

23

3

2

2

3

2223

2

2+=⇒

+=⇒+=

L

L

L

LLLLL S

S

R

RIRIR ;

Assim, a relação do cobre necessário é dada por:

)7(3

22.

3

22

3

2

3

22

3

2

3

2 +=+

==L

L

L

LL

S

S

Sl

SlSl

Volume

Volume

Peso

Peso;

Substituindo a condição (6) em (7), tem-se: 94,13

22

2

22

3

2 =+×+=Peso

Peso.

3.23 – HARMÔNICAS NO SISTEMA Y

Uma f.e.m. gerada num condutor será senoidal apenas quando o fluxo cortando o condutor for senoidal. Existem vários fatores que distorcem a distribuição de fluxo senoidal em geradores C.A, tais como: • Ranhuras e dentes de armadura – modificam a relutância do percurso do fluxo; • Introdução da carga – provocando uma corrente no induzido;

Certas disposições dos indutores na armadura e suas conexões reduzem certas harmônicas ou, mesmo, as eliminam por completo. Além disso, transformadores com núcleos de ferro conectados ao circuito podem provocar distorção do sinal senoidal devido a sua corrente de excitação que pode não ser senoidal ainda que a tensão aplicada seja uma onda senoidal pura. Torna-se, portanto, necessário considerar os efeitos de certas harmônicas de tensões e de correntes nas fases de um sistema trifásico já que afetam as tensões de linha do sistema.

Supondo-se que a f.e.m. induzida na fase a de um gerador conectado em Υ, mostrada na figura ao lado, seja

)7()5()3( 7755331 ααα ++++++= wtsenEwtsenEwtsenEwtsenEe mmmmna .

Supondo seqüência direta, fundamental da fase (b) atrasada de 120° da fundamental da fase (a), fase (c) atrasada de 240° e como, usualmente, um deslocamento de um grau da fundamental provoca um deslocamento de n graus na n-ésima harmônica têm-se para as tensões das fases (b) e (c):

)1207()2405()3()120( 7755331 °−++°−++++°−= ααα wtsenEwtsenEwtsenEwtsenEe mmmmnb ;

)2407()1205()3()240( 7755331 °−++°−++++°−= ααα wtsenEwtsenEwtsenEwtsenEe mmmmnc .

Page 31: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 31

Conclue-se: • Todas as 3as harmônicas e seus múltiplos de 6: 9as, 15as, 21as, etc., estão em fase; • A seqüência de fase da 5a harmônica e de seus múltiplos de 6: 11a, 17a, 23a, etc., estão invertidas em

relação à fundamental; • A 7a harmônica e seus múltiplos de 6: 13a, 19a, 25a, etc., têm a mesma seqüência de fase da fundamental.

Para determinar as tensões de linha devem-se efetuar as suas composições em termos das tensões de fase considerando separadamente cada harmônica, conforme indicado abaixo:

+=+=+=

nacnca

ncbnbc

nbanab

eee

eee

eee

Obtendo-se:

)1507(3)1505(3)150(3 77551 °−++°+++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmab ;

)907(3)905(3)90(3 77551 °+++°−++°+= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmbc ;

)307(3)305(3)30(3 77551 °−++°+++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmca .

Como as 3as harmônicas se anulam nas tensões de linha, têm-se para os valores eficazes das tensões de fase e de linha no gerador em estrela:

;32

3

;2

27

25

21

27

25

23

21

fLmmm

ba

mmmmna

EEEEE

E

EEEEE

≤⇒++=

+++=

Observa-se, então, que a relação da tensão de linha para a tensão de fase na ligação Υ é 3 apenas quando não há, na onda da tensão de fase, a terceira harmônica ou seus múltiplos de 6. Correntes no sistema Y

Considerando a Lei de Kirchhoff para as correntes ( 0=++ ncnbna III &&& ) conclui-se que não existe 3a

harmônica de corrente na conexão Υ trifilar, pois, em condições equilibradas, esta condição pode ser satisfeita apenas quando as três correntes são iguais em módulo e defasadas de 120° (que não é o caso já que estão em fase) ou quando o módulo de cada uma delas são nulos. Por outro lado, nos sistemas Υ tetrafilares a corrente de 3a harmônica retornará pelo neutro e se valor será Harmônican II °= 33 . O comportamento dos

diagramas fasoriais de correntes são similares àqueles apresentados para as tensões.

Page 32: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 32

3.24 – HARMÔNICAS NO SISTEMA ∆

Para as mesmas três bobinas do item anterior com tensões induzidas nae , nbe e nce contendo as 1a, 3a,

5a e 7a harmônicas, conectadas em ∆, provocará, a vazio, uma corrente de 3a harmônica no triângulo dada por:

H

H

H

H

HHH

HHH

g

g

g

g

bcabca

ncnbnaH Z

e

Z

e

ZZZ

eeeI

3

3

3

3

333

333

3

33 &&&&&

==++

= ++ .

Nota-se, então, que a tensão terminal nas linhas que é a tensão gerada menos a queda interna não conterão a componente de 3a harmônica já que a tensão de 3a harmônica gerada é consumida na impedância interna da bobina geradora. Dessa forma têm-se as tensões de linha:

)7()5( 77551 αα ++++= wtsenEwtsenEwtsenEe mmmca ;

)1207()2405()120( 77551 °−++°−++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmab ;

)2407()1205()240( 77551 °−++°−++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmbc .

Todas as harmônicas de corrente são possíveis nas fases do triângulo e as correntes de linha são determinadas pelas composições daquelas de fase indicadas ao lado, não possuindo a componente de 3a harmônica. Têm-se os valores eficazes para as correntes de fase e de linha:

;2

27

25

23

21 mmmm

f

IIIII

+++=

−=

−=

−=

cabccc

bcabbb

abcaaa

III

III

III

&&&

&&&

&&&

'

'

'

23

27

25

21 mmm

L

IIII

++= ⇒ fL II 3≤ .

Observa-se, então, que a relação da corrente de linha para a corrente de fase na ligação ∆ é 3 apenas quando não há, na onda da tensão de fase, a terceira harmônica ou seus múltiplos de 6.

Na síntese das harmônicas de tensão e de corrente existentes na fase e na linha para as várias combinações de geração-carga, mostradas adiante, têm-se as convenções: • Nas bobinas do gerador, independentemente da ligação Υ ou ∆, foram gerados as 1a, 3a e 5a harmônicas; • Os índices tem os significados: ( f ) – fase; ( g ) – gerador; ( L ) – linha; ( c ) – carga.

a) Sistema Υ-Υ trililar – 3 fases

gfE – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LE – 1a e 5a harmônicas;

gfI – 1a e 5a harmônicas;

LI – 1a e 5a harmônicas;

cfI – 1a e 5a harmônicas.

Page 33: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 33

b) Sistema Υ-Υ tetrafilar – 3 fases + neutro

gfE – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LE – 1a e 5a harmônicas;

cfE – 1a, 3a e 5a harmônicas;

gfI – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LI – 1a, 3a e 5a harmônicas;

nI – 3 x harmônicaI °3 .

c) Sistema Υ-∆ trililar – 3 fases

gfE – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LE – 1a e 5a harmônicas;

gfI – 1a e 5a harmônicas;

LI – 1a e 5a harmônicas;

cfI – 1a e 5a harmônicas.

d) Sistema ∆-∆ trililar – 3 fases

gfE – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LE – 1a e 5a harmônicas;

gfI – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LI – 1a e 5a harmônicas;

cfI – 1a e 5a harmônicas.

e) Sistema ∆-Υ trililar – 3 fases

gfE – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LE – 1a e 5a harmônicas;

gfI – 1a, 3a e 5a harmônicas;

LI – 1a e 5a harmônicas;

cfI – 1a e 5a harmônicas.

Page 34: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 34

Exemplo 3.49 – Um gerador emY gera na sua tensão de fase Ef os harmônicos 1°, 3°, 5° e 7°. Sabendo-se que VL = 230 volts e Vf = 160 volts medidos através de um voltímetro, pede-se o módulo de tensão gerada V3 para a terceira harmônica. Sabe-se que:

).2(23

230

2

)3()3()3(230

);1()()160(2

160

27

25

21

227

25

21

222

72

52

32

1

mmmmmml

mmmmf

VVVVVVV

VVVVV

++=⇒++==

=⇒+++==

Substituindo (2) em (1) obtemos:

;23,126267,966.723

230160 3

23

23

22 =⇒×=⇒+= mm

m VVV

Módulo de VV

V mm 26,89

23

3 == .

Exemplo. 3.50 - Para o circuito abaixo foi gerado as harmônicas 1°, 3°, 5°, e 7°. Através de um voltímetro obteve-se as medidas: Vac=2.500 volts e Vbb’=1.800 volts. Pede-se a tensão Vab’.

).3(2

500.222

);2(3

2800.1

2

3800.1

2

)3(800.1

);1(2

)2(

232

27

25

21

27

25

23

21

33

23

''

23

27

25

21

''

memmmmmmmac

memem

bbcbacbabb

mmmmabcbacab

VVVVVVVVV

VVV

VVVVV

VVVVVVVV

−=++⇒

+++=

×=⇒=⇒==⇒++=

+++=⇒+=

&

&&&&&

&&&&

Substituindo (3) em (1) elevado ao quadrado, obtêm-se:

).4(2

3500.22

2500.2)( 2

322

3

2322

' mmme

ab VVV

V +=+−=&

Substituindo (2) em (4), obtêm-se:

Page 35: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 35

4,707.2800.13

1500.2

3

2800.1

2

3500.2)( '

22

2

22' =⇒×+=

×+= abab VV& volts.

Exemplo. 3.52 – Para o circuito indicado abaixo, gerador trifásico equilibrado, carga puramente resistiva, tem-se que: leitura do amperímetro: 15 A, leitura do voltímetro: 230 V, leitura do watímetro: 600 watts, e que são gerados sinais de 1° e 3° harmônicas. Pede-se a corrente de linha e a tensão Van.

.34,1756,16

;6,168

79,132

;85

40

;68,1384079,132

;40115

6006000cos

;79,1323

2302303

;5153

22

1

1

33

22

11''

33

3

AI

AR

VI

RIRV

voltsV

voltsVVIW

voltsEEVEEEV

AIAIIIIII

l

Han

H

HHan

an

nnn

HHbccbbcbc

HHncnbnanN

o

o

oo

Ho

oo

oo

=+=

===

Ω==⇒=

=+=

=⇒=°=

==⇒==⇒−==

=⇒==⇒++=

&&&&&&

&&&&&&&

Page 36: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 36

Problemas - Capítulo 8 – Corcoran

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 37

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 38

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 39

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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 40

Respostas dos Problemas - Capítulo 8 - Corcoran

8.14) VF = 78 V; V12 = 78 V. 8.15) VF = 193,19 V; V13 = 193,19 V; V17 = 386,37 V.

8.16) IF6 = 10 A; IF12 = 19,32 A.

8.17) Três maneiras: b1 + b2 com EL =190,5 V; b1 - b4 com EL = 219,97 V; b1 // (-b4) com EL = 109,99 V.

8.18) Estrela trifásica

Malha trifáica

Ligação bifásica

8.19) Malha trifásica ⇒ E =119,06 V; Estrela trifásica ⇒ E = 68,74 V.

Page 41: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 41

8.20)

8.21) Y ⇒ IL = 6,64 A, P = 2.116 W; ∆ ⇒ IL = 19,92 A, P = 6,348 W.

8.22)

8.23) EL = 80 V. 8.24) VL = 207,61 V.

8.25) IF = 5,75 A; IL = 9,96 A. 8.26) VL = 271,26 V; P = 4.411,76 W.

8.27) IL = 36,51 A. 8.28) Ligação ∆: &Z F =2,634 + j9,878 Ω; Ligação Y: &Z F = 0,878 + j3,293 Ω.

8.29) IL = 16,72 A; P = 2.338,46 W; f p = 0,8076.

8.30) N = 8,73 kVA; fp = 0,958; IL = 22,91 A. 8.31) VL = 279,69 V.

8.32) f p atrasado ⇒ Q = 5,773 kVArs; f p adiantado ⇒ Q = 11,547 kVars.

8.33) f p atrasado e ∆ ⇒ C = 96,50 µF; f p atrasado e Y ⇒ C = 289,49 µF; f p adiantado e ∆ ⇒ C = 193,01 µF; f p adiantado e Y ⇒ C = 579,02 µF.

8.34) VL = 89,64 V; PL = 325,26 W; Pc = 813,14 W. 8.35) EL = 382,59 V.

8.36) EL = 2.091,19 V; P = 76,92 kW; f p = 0,424. 8.37) VL = 2.385 V.

8.38) fo = 820,7 Hz. 8.39) a) C= 1,187 µF; b) L = 16,60 mH.

8.40)Wa = -127,22 W; Wb = 402,45 W; PF = 91,74 W. 8.41)W1 = 8,274 kW; W2 = -3,274 kW.

8.42) WR = 529,68; QT = 917,43 VArs; Q

WT

R

= 3 . 8.43) Prova.

8.44) a) θ = 10,89 °; b) θ = 86,33 °. 8.45) N = 2.884,44 VA; f p = 0,2774.

8.46) IL = 20 A ; f p = 0,6; P = 14.400 W.

8.47) eab = 219,97 sen (wt - 150°) + 51,96 sen (5wt - 170°) V. 8.48) eL = 127 sen wt + 30 sen (5wt + 40°).

8.49) VM3 = 89,25 V. 8.50) Vab’ = 2.707,4 V.

8 51) Vbb’ = 2.056,7 V. 8.52) IL = 17,34 A; VAN = 138,68 V.

Page 42: Unid 3 Circuitos Polifasicos Equilibrados

CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados

UFU – FEELT – Mauro Guimarães 42

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de Reynaldo Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 8, p. 307-353.

2. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; revisão técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. reimpressão, fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. 22, p. 663-686.

3. IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. Tradução: Luis Antônio Aguirre, Janete Furtado Ribeiro Aguirre; revisão técnica: Antônio Pertence Júnior. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 848 p. Tradução de: Basic Engineering Circuit Analysis – 4 th edition. cap 12. p. 475-549.

4. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. Tradução: Ronaldo Sérgio Biasi. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 656 p. Tradução de Electric circuits, revised printing, 6th edition. cap 11. p. 365-391.

5. ROBBA, E. J. et al. Introdução a sistemas elétricos de Potência - componentes simétricas. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpressão, 2007. cap 1. p. 1-105.

6. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. Tradução: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpressão 2000. Tradução de Basic electric circuit analysis, John Wiley & Sons, 1990. cap 13. p. 319-343.