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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUCP/SP
MARIA DA CONCEIÇÃO DE OLIVEIRA MALASPINA
O INÍCIO DO ENSINO DE FRAÇÃO: UMA INTERVENÇÃO COM
ALUNOS DE 2ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2007
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUCP/SP
MARIA DA CONCEIÇÃO DE OLIVEIRA MALASPINA
O INÍCIO DO ENSINO DE FRAÇÃO: UMA INTERVENÇÃO COM
ALUNOS DE 2ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada à banca examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
em Educação Matemática, sob orientação da
Professora Doutora Sandra Maria Pinto Magina.
SÃO PAULO
2007
Banca Examinadora
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
__________________________ __________________________ Assinatura Local e Data
Ao meu esposo,
Marcos Roberto Malaspina,
pelo apoio e compreensão
e ao meu querido filho,
Heitor Oliveira Malaspina.
AGRADECIMENTOS
À Professora Doutora Sandra Maria Pinto Magina, pelas
orientações, dedicação, incentivo, apoio e amizade. Meu muito
obrigada, por todos os momentos de aprendizagem.
À Professora Doutora Janete Bolite Frant, por fazer parte da
banca e pelas valiosas sugestões, comentários e críticas que
contribuíram para elaboração e evolução desta pesquisa.
À Professora Doutora Abigail Fregni Lins, por fazer parte da
banca e pelas valiosas sugestões, comentários e críticas que
contribuíram para elaboração e evolução desta pesquisa.
À Professora Doutora Irene Carzola, pela meticulosa ajuda,
sugestões e ensinamentos e enriquecimento na construção da
análise.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pelo auxílio
concedido (bolsa mestrado), que sem dúvida alguma possibilitou o
início e o término deste trabalho.
À direção, professores e alunos da escola estadual pela
colaboração para a realização deste trabalho.
A Helenir da Comissão Regional da Diretoria de Ensino de São
Bernardo do Campo, pela disposição e atenção.
Aos meus amigos do grupo de segunda-feira, pelas sugestões.
O meu agradecimento especial a minha amiga Raquel pelo
incentivo, pelas pertinentes discussões na elaboração da seqüência
e durante toda a construção da dissertação.
Ao meu querido e amado esposo, pelo apoio e a valiosa ajuda, na
construção das tabelas e gráficos e sugestões.
À direção e professores da Escola Antônio Nascimento, em especial
a minha companheira de trabalho e amiga Léia, pela torcida e
vibração positiva.
À minha sogra, cunhados e cunhadas por te me ajudado apoiando
o meu pequeno filho durante as minhas ausências.
A todas as pessoas que direta ou indiretamente auxiliaram na
elaboração e desenvolvimento deste trabalho.
E finalmente, agradeço a Deus por ter me dado força, saúde, garra
e perseverança para que eu pudesse conquistar mais essa vitória.
A Autora
RESUMO
A presente dissertação teve por objetivo realizar um estudo intervencionista para
introdução do conceito de fração com alunos da 2ª série do Ensino Fundamental.
O estudo propôs-se a responder à seguinte questão de pesquisa: “Quais os
efeitos que cada um dos quatro significados para fração (parte-todo,
quociente, operador multiplicativo e medida) traz para a aprendizagem
inicial dos alunos do 1º ciclo (2ª série) do Ensino Fundamental sobre esse
conceito?” Para tanto, foi realizado um estudo com 61 alunos, advindos de duas
turmas de uma escola pública estadual da região de Santo André, que
compuseram dois grupos; um dos grupos passou por uma intervenção planejada
de ensino sobre o tema fração – Grupo Experimental (GE) – e o outro grupo não
passou por qualquer intervenção sobre o tema, e por isso, foi chamado de Grupo
Controle (GC). Ambos os grupos, nunca tiveram contato, do ponto de vista formal
da escola, com o objeto fração. A fundamentação teórica da pesquisa contou com
a Teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud (1988; 2001) e as idéias
teóricas de Nunes et al. (2003) com relação aos diferentes significados da fração.
A metodologia constou de um estudo quase-experimental dividido em duas
etapas: a primeira, denominada etapa , referiu-se a aplicação coletiva dos três
testes-diagnóstico (pré, intermediário e pós-teste) tanto aos alunos do GE quanto
GC que responderam individualmente. A segunda, chamada de etapa , voltou-se
para fase de intervenção, momento em que dividimos aos alunos do GE em
quatro subgrupos nos quais foram ensinados dois significados da fração.Os
dados foram analisados dentro de dois momentos: um voltado à análise
quantitativa em que se buscou relacionar os percentuais de acerto, com ajuda a
do pacote estatístico SPSS (Statistical Package for Social Sciene). O segundo
momento referiu-se a análise dos dados do ponto de vista qualitativo, visando
identificar os tipos de erros cometidos pelos alunos, bem como analisar suas
estratégias na resolução. Os resultados mostraram que cada um dos significados
teve papel importante na aprendizagem da fração pelos alunos e todos trouxeram
contribuições para o início da apropriação desse objeto. Dessa forma, foi possível
encontrar efeitos distintos na aprendizagem inicial de fração, dependendo do
significado que se utilizou para introduzir esse conceito.
Palavras-chave: Fração, intervenção, SPSS, Ensino Fundamental, testes-
diagnóstico
ABSTRACT
The purpose of this dissertation was to do an interventionist study for the
introduction of the fraction concept to 2nd graders. The study proposed to answer
the following research question: “What are the effects that each of the four
meanings of the fraction (part-whole, quotient, multiplicative operator and
measurement) bring to the initial learning of 2nd graders about this
concept?” For such, a study with 61 students was done, coming from two classes
of a state public school of the Santo André zone, which composed two groups,
one of the groups passed through a planned intervention of teaching about the
fraction theme – Experimental Group (GE) – and the other group did not pass
though any intervention about the theme, and because of that, it was called
Control Group (GC). Both groups have never had contact, from the formal view of
the school, with the fraction object. The theoretical foundation of the research
counted with the Theory of Conceptual Fields proposed by Vergnaud (1988; 2001)
and the theoretical ideas from Nunes et al. (2003) with relation to the different
meanings of fractions. The methodology counted with a near-experimental study
divided into two steps: the first one, denominated step , referred to the collective
application of three diagnostic tests (pre, intermediate and pos – test) for both
students from GE and GC that answered individually. The second one, called step
, turned itself to the intervention phase, moment in which the students from the
GE and the GC were divided into 4 subgroups in which two meanings of fractions
were taught. The data were analyzed inside these two moments, one turned to the
quantitative analysis in which was tried to relate the percentage of right answers,
with help from the SPSS (Statistical Package for Social Science) The second
moment referred to the analysis of the data from a qualitative point of view, aiming
at identifying kind of mistakes made by the students, as well as to analyze its
strategies in the resolution. The results showed that each of the meanings had an
important role in the learning of the fraction by the students and they all brought
contributions to the beginning of the appropriation of this object. Thus, it was
possible to find distinct effects in the initial learning of fraction, depending on the
meaning that was used to introduce this concept.
Keywords: Fraction, intervention, SPSS, Elementary School, Diagnostic – tests.
SUMÁRIO
CAPÍTULO I .............................................................................................................. 13
1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 13
1.2 JUSTIFICATIVA ............................................................................................. 14
1.3 PROBLEMÁTICA ........................................................................................... 16
1.4 OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA ...................................................... 18
1.5 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO .................................. 19
CAPÍTULO II ............................................................................................................. 21
APOIO TÉORICO DO ESTUDO ......................................................................... 21
2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 21
2.2 VERGNAUD: A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS ............................. 21
2.3 KIEREN ……………………………………………………………………………. 27
2.4 NUNES E BRYANT ………………………………………………………………. 29
2.4.1 Frações e seus cinco diferentes significados ....................................... 35
CAPÍTULO III ............................................................................................................ 42
REVISÃO DA LITERATURA .............................................................................. 42
3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 42
3.2 PESQUISAS DO GRUPO ............................................................................. 42
3.2.1 Pesquisas no Brasil e no Mundo .......................................................... 51
CAPÍTULO IV ............................................................................................................ 71
METODOLOGIA .................................................................................................. 71
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 71
4.2 DISCUSSÃO TEÓRICO-METODOLÓGICO ................................................. 72
4.3 DESENHO DO EXPERIMENTO ................................................................... 73
4.3.1 Universo da Pesquisa ........................................................................... 73
4.3.2 Sujeitos de Pesquisa ............................................................................ 74
4.4 MATERIAL ..................................................................................................... 75
4.4.1 Materiais da Etapa : Os Instrumentos Diagnósticos ........................... 76
4.4.2 Materiais da Etapa : A Intervenção ..................................................... 106
4.5 PROCEDIMENTO ......................................................................................... 107
4.5.1 Etapa : Aplicação dos Instrumentos-diagnóstico ................................ 107
4.5.2 Etapa : Aplicação da Intervenção de Ensino ...................................... 109
CAPÍTULO V ............................................................................................................. 118
ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................................................................... 118
5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 118
5.2 ANÁLISE QUANTITATIVA ............................................................................ 119
5.2.1 Desempenho geral do GC e GE ........................................................... 120
5.2.2 Desempenho Geral dos Subgrupos do GE .......................................... 122
5.2.2.1 Desempenho dos subgrupos do GE no Pré-teste .................... 125
5.2.2.2 Desempenho dos subgrupos do GE no Teste Intermediário .... 128
5.2.2.3 Desempenho dos subgrupos do GE no Pós-teste .................... 133
5.2.3 A fração e seus significados em relação aos testes-diagnóstico .......... 137
5.2.3.1 As variáveis contínuas e discretas nos testes-diagnóstico ....... 138
5.2.3.2 Icônica versus não icônica nos testes-diagnóstico ................... 140
5.2.3.3 Variável continua Icônica versus não icônica e variável
discreta icônica versus não icônica nos testes diagnósticos ... 141
5.3 ANÁLISE QUALITATIVA ............................................................................... 143
CAPÍTULO VI ............................................................................................................ 156
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 156
6.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 156
6.2 SÍNTESE DOS PRINCIPAIS RESULTADOS ................................................ 158
6.3 RESGATE DA QUESTÃO DE PESQUISA .................................................... 163
6.4 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS .............................................. 166
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 168
ANEXOS .................................................................................................................... i
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
Neste trajeto de doze anos como professora de Matemática do Ensino
Fundamental e Médio da Rede Pública e Privada, tive a oportunidade de expor e
discutir com os colegas nossa formação. No meio deste trajeto com o objetivo de
trazer algo melhor para minha formação e paralelamente tentar aperfeiçoar a
qualidade de meu trabalho, tive, também, a oportunidade de participar de alguns
projetos que traziam em seu cerne, como questão central, a formação do
professor. Muitas inquietações, reflexões foram desencadeadas ao longo desse
caminho.
A busca e o desejo de aperfeiçoar e ampliar esses conhecimentos para
continuar exercendo minha profissão, foram os fatores motivadores para ingressar
no Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Ao ingressar, integrei-me ao
grupo de pesquisa que traz em seu cerne dois pontos importantes: ensino e
aprendizagem das frações.
No contexto, o presente estudo enfoca o número racional em sua
representação fracionária ba , (a N, b N, com b 0), que chamaremos de
fração, com objetivo de fazer um estudo intervencionista com alunos de 2ª série
do Ensino Fundamental.
13
1.2 JUSTIFICATIVA
Na área de Educação Matemática, diversas pesquisas como as realizadas
por Nunes (1997); Silva (1997); Bezerra (2001); Merlini (2005); Moutinho (2005);
Rodrigues (2005); Santos (2005) e Canova (2006) apontam que existem
dificuldades em relação ao ensino e aprendizagem de frações, no que diz respeito
ao professor e aluno.
Para Nunes, (1997) muitas vezes, a forma como a fração é apresentada
pode permitir a impressão que as crianças saibam muito sobre frações. Conforme
afirma:
Um método de ensino... simplesmente encorajam os alunos a empregar um tipo de procedimento de contagem dupla – ou seja, contar o número total de partes e então as partes pintadas – sem entender o significado desse novo tipo de número. (NUNES, 1997, p. 191).
As dificuldades com a aprendizagem também podem ser constatadas na
análise do desempenho apresentado pelos alunos das 4ª e 5ª séries do Ensino
Fundamental, em duas questões propostas pelo Sistema Nacional de Avaliação
Básica (SAEB - 2001) e pelo Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do
Estado de São Paulo (SARESP, 1998).
O relatório do SARESP (1998) pontua que era esperada uma atuação bem
melhor por parte dos alunos, levantando como hipótese para essa má atuação o
não domínio, por parte desses alunos do conceito de frações equivalentes.
As evidências relatadas apontam a necessidade de se construir um método
de ensino que de fato possibilite ao aluno a plena compreensão do conceito de
fração.
Nas pesquisas como a de Campos e cols 1995, Kerslake (1986); Mack
(1993) apontadas por Nunes e Bryant (1997) houve consideráveis evidências para
sugerir que o único modelo de fração nas quais as crianças sentiram-se mais
confortáveis foi a fração, como parte de um todo.
14
Nunes e Bryant (1997) afirmam, apoiando os estudos de Mack (1993) que
existe uma lacuna com que a criança aprende na escola com os números
racionais e sua vida cotidiana. Esta desconexão é feita em razão da forma na qual
a aprendizagem é feita, pois os alunos não pensam nas frações, como tendo
qualquer relação com a divisão, apenas relacionam frações à linguagem parte-
todo.
Mack (1993) sugere ser possível superar esta lacuna: “movendo-se para
trás e para frente em seu conhecimento desenvolvido fora da escola e as
representações simbólicas, os alunos deveriam vir a compreender quais
conexões têm de ser feitas” (MACK, 1993 citada por NUNES e BRYANT, 1997, p.
213).
Como Behr et al (1983), acreditamos que desenvolver o conceito de
número racional, também, é importante, pois ele desenvolve nas crianças várias
habilidades, como: entender e controlar situações do mundo real, ampliar as
estruturas mentais necessárias para desenvolvimento intelectual, e, também,
prover a fundação, na qual podem ser desenvolvidas as operações algébricas.
Cabe ressaltar que este estudo faz parte de um projeto de pesquisa mais
amplo, desenvolvido dentro do programa de cooperação entre a Oxford University
– sob a Coordenação de Terezinha Nunes – e o Programa de Educação
Matemática da PUC-SP, coordenado pelas Professoras Tânia Campos e Sandra
Magina. O projeto intitulado “A formação, desenvolvimento e ensino do conceito
de fração”, tem por objetivo investigar a formação e o desenvolvimento do
conceito de fração no Ensino Fundamental, Médio e Superior, quer seja do ponto
de vista de seu ensino, quer seja de sua aprendizagem.
As pesquisas citadas serviram de base para o desenho de nosso estudo,
pois pontuaram as dificuldades encontradas nas estratégias para resolver
situações-problema que envolvem frações nos alunos dos 2º e 3o ciclos do Ensino
Fundamental (5ª e 6ª e 8ª séries), além de alunos do 3º ano do Ensino Médio e
alunos da área de exatas do Ensino Superior.
Com apoio nestes estudos, elaboramos uma pesquisa que enfocou alunos
do primeiro ciclo do Ensino Fundamental (2ª série), que nunca tiveram contato
15
com objeto frações do ponto de vista formal da escola. Nossa meta foi estender
esses diagnósticos, partindo agora para a realização de uma intervenção de
ensino, observando os efeitos de se trabalhar com quatro dos cinco significados
propostos por Nunes et al (2003), a saber: parte-todo, operador multiplicativo,
medida e quociente (que serão detalhados nos capítulos seguintes).
Assim, os cinco significados propostos por Nunes et al (2003) são: parte-
todo, operador multiplicativo, medida, quociente e número. Em nossa pesquisa,
não trataremos do significado número, por acreditarmos que a fase em que as
crianças do estudo encontram-se não lhes permite ainda ler e manusear
adequadamente instrumentos importantes para a apropriação desse significado,
como é o caso da régua que, por sua vez, acabaria por gerar uma variável
interveniente no estudo.
Após pontuadas estas dificuldades, apresentaremos na seção seguinte a
problemática de nosso estudo.
1.3 PROBLEMÁTICA
Romanatto afirma que o número racional é considerado um assunto
importante na escolaridade básica de Matemática. Em muitas oportunidades,
apresenta-se aos alunos, como um obstáculo para sua plena compreensão. Ainda
ressalta que:
Um dos aspectos que podem justificar tal situação é a complexidade com que esse assunto se manifesta. O número racional deve ser entendido como uma teia de relações onde noções, princípios e procedimentos matemáticos distintos são construídos ou adquiridos a partir de diferentes contextos. (ROMANATTO, 1997, p. 101)
A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a
situações em que está implícita a relação parte-todo, como é o caso das
tradicionais divisões de um chocolate ou de uma pizza em partes iguais. As
crianças são informadas que o número total de partes é o denominador, e que o
número de partes pintadas, o numerador. Desta forma, introduzir fração pode
16
fazer com que as crianças tenham a impressão de que sabem muito sobre
frações, mas isso pode ser um engano, uma vez que as situações são limitadas,
conforme constatamos no trabalho Campos e cols (1995, p. 191).
Partindo do pressuposto que, ao raciocinar sobre os números racionais
como fossem naturais, pontuamos, baseados nos PCN, alguns problemas que os
alunos podem enfrentar:
conceber que a representação ba com 0b seja um número racional
positivo e não dois números naturais com um traço a separá-los, isto é,
esse novo número representa o quociente entre dois números naturais
quaisquer, sendo o segundo não nulo.
entender que cada fração pode ser representada por diferentes e
infinitas representações ...63,
42,
21 , a noção de equivalência de
frações. Uma determinada medida ou quantidade no campo dos
números naturais era representada por um único número e agora, no
campo das frações, é necessário conceber infinitas representações para
uma determinada quantidade ou medida.
a comparação entre racionais : acostumados com a relação 3>2, terá de
compreender uma desigualdade que lhes pareça contraditória, ou
seja,21
31 ;
se, ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este
diferente de 0 ou 1), a expectativa é encontrar um número maior que
ambos, ao multiplicar 10 por 21 se surpreender-se-ão ao ver que o
resultado será menor que 10;
se a seqüência dos números naturais permite estabelecer sucessor e
antecessor, para os racionais isso não fará sentido; uma vez que entre
dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro
racional; assim, o aluno deverá perceber que 0,8 e 0,9 estão números,
como 0,81, 0,815 ou 0,87.
17
Frente às possíveis dificuldades apontadas pelos PCN e os resultados de
pesquisas que envolveram o conceito de fração, apresentaremos nas páginas
seguintes o objetivo e a questão de pesquisa deste estudo.
1.4 OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA
O objetivo desta pesquisa é realizar um estudo intervencionista com
crianças do 1º ciclo do Ensino Fundamental (2ª série), que nunca tiveram contato,
do ponto de vista formal da escola com o objeto fração. As noções intuitivas dos
alunos constituir-se-ão nosso ponto de partida. Isto é, iniciaremos investigando os
conhecimentos espontâneos do aluno referente ao objeto de estudo – fração para
posteriormente, proceder uma intervenção de ensino com o uso de material
manipulativo.
Como já foi dito, trabalharemos em nossa intervenção com quatro
significados da fração propostos por Nunes et al (2003): parte-todo, quociente,
operador multiplicativo e medida.
Neste contexto, lançamos a questão de pesquisa.
Quais os efeitos que cada um dos quatro significados para fração
(parte-todo, operador multiplicativo, quociente e medida) traz para a
aprendizagem inicial dos alunos do 1o ciclo (2ª série) do Ensino
Fundamental sobre esse conceito?
A fim de buscar subsídios para responder à questão foi elaborada uma
seqüência didática com 28 situações-problema em forma de livrinho, abarcando
os significados de frações- parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente
propostos por Nunes et al (2003) e, também, considerando as variáveis contínuas
e discretas e sua representação icônica versus não icônica.
Em nosso estudo, trabalhamos com duas classes de 2ª série, sendo que
denominamos uma de grupo controle (GC) e outra de grupo experimental (GE). O
18
grupo experimental foi subdividido em quatro subgrupos denominados GE1, GE2,
GE3 e GE4 que serão descritos detalhadamente no capítulo de metodologia.
Salientamos, também que este estudo constou de duas etapas: a etapa é
relacionada à aplicação dos instrumentos-diagnóstico (pré-teste, teste
intermediário e pós-teste) e a etapa referente à intervenção de ensino. Sendo
que os instrumentos-diagnóstico preservaram a mesma equivalência matemática,
tanto no que se refere aos contextos quanto as que se refere às questões.
Na etapa , tivemos a participação dos dois grupos experimental e controle
o primeiro instrumento aplicado, foi o pré-teste que teve por objetivo verificar os
conhecimentos espontâneos dos alunos no que tange à fração.
Já no que se refere à etapa , na qual só participou o grupo experimental,
trabalhamos primeiro com a intervenção de ensino que teve por objetivo verificar
como os alunos lidavam com as frações. Após esta primeira intervenção, fizemos
à aplicação do teste intermediário no qual participaram os dois grupos controle e
experimental. Em seguida realizamos a segunda intervenção de ensino, do qual
participou somente o grupo experimental. Ao final, foi aplicado terceiro
instrumento-diagnóstico, denominado pós-teste, que teve por objetivo verificar o
desenvolvimento do conceito, com a participação dos dois grupos: experimental e
controle.
1.5 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO
O capítulo I consta de uma breve introdução com apresentação da
problemática, justificativa, objetivo e questão de pesquisa do estudo.
No capítulo II são apresentadas as idéias teóricas que deram subsídios ao
nosso estudo; no que se refere aos Campos Conceituais, temos Vergnaud (1988;
1990; 1991; 1994 e 2001) e a classificação Teórica proposta por Nunes et al.
(2003) dos cincos diferentes significados da fração.
19
No capítulo III há uma revisão da literatura no sentido de apresentar e
discutir pesquisas já realizadas que têm correlação com o presente estudo. Este
trabalho encontra-se inserido no grupo de pesquisa, “A formação,
desenvolvimento e ensino do conceito de fração” (como já foi citado), dentro do
qual já foram produzidas cinco dissertações de Mestrado e estão em fase de
conclusão duas teses de Doutoramento, daremos especial ênfase a estas
pesquisas, sem, desconsiderar outras.
No capítulo IV, Metodologia, é feito a apresentação em detalhes do estudo,
no qual consta uma justificativa teórico-metodológica, seguida pela apresentação
do universo do estudo e do desenho do experimento.
No capítulo V procede a nossa análise dos resultados, tanto no aspecto
quantitativo como no qualitativo.
No capítulo VI, apresentamos as conclusões fundamentadas nas análises
feitas no capítulo anterior, propondo, com base nas reflexões advindas das
respostas à nossa questão de pesquisa, idéias para realização de futuras
pesquisas no tema fração, que permitam o avanço no conhecimento de como
ensinar fração.
Finalmente, apresentamos as referências bibliográficas que colaboraram
sobremaneira na elaboração e desenvolvimento do presente estudo.
20
CAPÍTULO II
APOIO TÉORICO DO ESTUDO
2.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo está dividido em duas partes. A primeira, refere-se à
formação do conceito, pois nos apoiamos na Teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud (1990, 2001).
A segunda parte, diz respeito aos significados das frações, a partir de
Kieren (1988), que foi o primeiro a classificar os números racionais em diferentes
significados e, sobretudo a classificação proposta por Nunes et al (2003), que se
assume para este estudo.
2.2 VERGNAUD: A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A teoria de Vygotsky exerceu uma grande influência da teoria de no
trabalho de Vergnaud. Uma delas é a idéia de que o conceito é construído com
base nas situações a que o sujeito se submete dentro ou fora da escola e que
esses conceitos evoluem e sofisticam-se ao longo do tempo. Em sua teoria,
Vergnaud procura focar a construção do conceito no próprio conteúdo do
conhecimento a ser construído pelo indivíduo.
O sujeito não consegue construir com facilidade um conceito, pois o tempo
necessário varia de pessoa para pessoa e pode se estender por um longo
período.
21
Vygotsky (1987) divide os conceitos em dois tipos: cotidianos (ou
espontâneos) que se referem àqueles conceitos construídos a partir da
observação, manipulação e vivência direta da criança e os conceitos científicos
que são os conhecimentos sistematizados, adquiridos nas interações
escolarizadas.Na formação do conceito cotidiano, a motivação é interna e
desenvolve-se a partir de situações particulares vivenciadas pelo sujeito. Assim, o
desenvolvimento do conceito espontâneo da criança é ascendente.
Para Vygotsky, (ibid), ao operar com conceitos cotidianos, a criança não
está consciente deles, pois sua atenção está sempre centrada no objeto ao qual o
conceito se refere e nunca no próprio ato do pensamento. O desenvolvimento do
conceito cotidiano deve atingir certo nível de generalização, para que a criança
esteja apta a absorver um conceito científico.
Podemos dizer que o processo de formação dos conceitos cotidianos é
ascendente, surgindo impregnado de experiência, mas, de forma ainda não
consciente e “ascendendo” para um conceito conscientemente definido; já os
conceitos científicos, surgem de modo contrário, seu movimento é descendente,
começando com uma definição verbal com aplicações não espontâneas e,
posteriormente, pode adquirir um nível de concretude, impregnando-se na
experiência. Isto porque o conceito científico depende da interferência de outras
pessoas, e o ensino escolar desempenha um importante papel nessa formação.
O ensino do conceito de fração que, geralmente, é formalizado na escola,
possibilita estabelecer forte ligação com o cotidiano das crianças, o que facilita a
compreensão desse conhecimento. Por exemplo, o conceito de metade 21 é
formado no cotidiano da criança, ao dividir um doce igualmente, repartir
igualmente um brinquedo, etc. Pode-se ir mais além e dizer que as frações de
numerador 1 são usualmente encontradas no dia-a-dia das crianças.
Vergnaud (1989) reconhece que a Teoria dos Campos Conceituais foi
desenvolvida, também, baseada nas idéias de Vygotsky.
Vergnaud (1993) considera a construção de um conceito matemático, como
algo que não se dá de maneira imediata. Para ele, são por meio de resoluções de
22
situações-problema que um conceito adquire sentido para o sujeito. Para formar
um conceito matemático, é preciso lidar com ele dentro de um conjunto de
situações e cada situação, por sua vez, traz consigo uma variedade de conceitos.
Deve-se ressaltar que o termo “situação”, tal como é empregado por
Vergnaud, não tem o sentido de situação didática de Brousseau, mas sim de
tarefa. “A idéia é que qualquer situação complexa pode ser analisada como uma
combinação de tarefas, cuja natureza e dificuldade própria é importante conhecer”
(VERGNAUDN, 2001, p. 167).
A Teoria dos Campos Conceituais (1990) é uma teoria cognitivista que
oferece um referencial ao estudo do desenvolvimento cognitivo e da
aprendizagem de competências complexas, particularmente aquelas implicadas
nas Ciências, levando em conta os próprios conteúdos do conhecimento e a
análise conceitual de seu domínio.
Esta teoria também possibilita analisar a relação entre os conceitos,
enquanto conhecimentos explícitos e as invariantes operatórias implícitas nos
comportamentos dos sujeitos frente a uma determinada situação, aprofundando a
análise das relações existentes entre significados e significantes.
Para Vergnaud (1993), significado é definido como sendo uma relação do
sujeito com as situações e o significante, de modo mais preciso, os esquemas
evocados no sujeito individual, por uma situação ou por um significado constituem
o significado dessa situação ou desse significante àquele indivíduo.
A teoria dos Campos Conceituais retoma e aprofunda as idéias de Piaget
no que se refere aos esquemas.
Para Piaget, esquema é o conceito introduzido para dar conta das formas
de organização, tanto das habilidades sensório-motoras como das habilidades
intelectuais. Vergnaud (1996) considera que os esquemas, necessariamente,
referem-se às situações, a tal ponto que se deve falar em interação esquema-
situação ao invés de interação sujeito-objeto da qual se referia Piaget. Decorre
daí que o desenvolvimento cognitivo consiste, sobretudo, no desenvolvimento de
um vasto repertório de esquemas.
23
Vergnaud (2001 p. 157) define esquemas como “a organização invariante
da conduta para dada classe da situação”
Como foi dito, para Vergnaud (2001) os esquemas referem-se a classes de
situações. Dentre estas distinguem-se duas:
Classes de situações para as quais o sujeito dispõe, em seu repertório,
em um dado momento de seu desenvolvimento, e em determinadas
circunstâncias, de competências necessárias ao tratamento
relativamente imediato da situação;
Classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as
competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e
exploração, de hesitações e as tentativas abordadas que o conduzem ao
êxito ou ao fracasso.
Segundo Vergnaud (2001), o conceito de esquema interessa às duas
classes de situações, mas não funciona do mesmo modo nos dois casos. No
primeiro caso, observam-se, para uma mesma classe de situações,
comportamentos automatizados, organizados por um só esquema. Ao passo que,
no segundo caso, observa-se à sucessiva utilização de vários esquemas que
podem entrar em competição e que, para atingir a solução desejada, devem estar
acomodados. Esse processo é necessariamente acompanhado por descobertas.
Desta forma, os conhecimentos contidos nos esquemas podem ser
designados pelas expressões conceito-em-ação e teorema-em-ação ou também
pela expressão mais global, “invariantes operatórios”.
O teorema-em-ação é uma proposição, uma crença que o sujeito toma
como verdadeira sobre o real. Está ligado às ações dos alunos para resolver um
determinado problema. Aparece de modo intuitivo, na maioria das vezes é
implícito1, seu âmbito de validade pode ser considerado verdadeiro ou falso. Os
teoremas-em-ação abrem caminhos para fazermos um diagnóstico do que os
alunos sabem, ou não, de modo que possamos oferecer situações que lhes
1 Implícito refere-se ao conhecimento que não está conscientemente apropriado pelo o sujeito. Nesse
sentido, implícito significa que o sujeito pode resolver um problema sem, contudo, saber explicar como ele chegou ao seu resultado ou, que operação usou para tal, ou, ainda, qual, ou quais, conceitos subjazem a sua ação.
24
permitam consolidar seus conhecimentos, estendê-los e superar suas eventuais
dificuldades.
Segundo Vergnaud (1988) apud Magina et al (2001), esse crescimento leva
muitos anos, mas os professores devem estar conscientes dos resultados a longo
prazo do processo de ensino-aprendizagem. O conceito-em-ação é um objeto, um
predicado ou uma categoria de pensamento tida como pertinente pelo sujeito na
construção dos esquemas que conduzem ao conceito e quando são
manifestados, geralmente, são explícitos.
A Teoria dos Campos Conceituais considera a existência de uma série de
fatores que influenciam e interferem na formação e desenvolvimento dos
conceitos e o conhecimento deve emergir dentro de situações-problema.
Apoiados nas considerações anteriores, Vergnaud (1990; 2001) considera
que a principal entrada do campo conceitual são as situações; e os vários
conceitos constituem essas situações que, também são representadas de alguma
forma. Para definir conceito, Vergnaud utiliza uma trinca de conjuntos,
representada como C = (S, I, R), onde:
S – é um conjunto de situações que dá sentido ao conceito (a
referência);
I – é um conjunto de invariantes, nos quais repousa a operacionalidade
do conceito (objetos, propriedades, relações);
R – é um conjunto de representações simbólicas que pode ser usada
para representar simbolicamente o conceito, suas propriedades e as
situações.
A construção do conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear,
facilmente identificável. Ao contrário, é complexo, demorado, com avanços e
retrocessos, continuidades e rupturas. O conhecimento prévio é determinante no
progressivo domínio de um campo conceitual.
Dentre muitas estruturas estudadas por Vergnaud, destacam-se duas: as
aditivas e as multiplicativas. O presente estudo encontra-se inserido dentro do
campo conceitual das estruturas multiplicativas. Cabe explicitar que esse campo
25
envolve o conjunto de situações, cujo tratamento implica uma ou várias
multiplicações e divisões, e o conjunto dos conceitos e teoremas, permite analisar
tais situações. Entre outros conceitos, são identificados a proporção simples e
múltipla, função linear e não linear, razão escalar direta e inversa, quociente e
produto de dimensões, combinação linear e aplicação linear, fração2, número
racional, múltiplo e divisor, como conceitos pertencentes às estruturas
multiplicativas.
A seguir apresentamos um exemplo que ilustra a idéia de Vergnaud no
campo da multiplicação.
A aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com idéias
construídas pelos alunos a respeito dos números naturais e, portanto, demanda
tempo e uma abordagem adequada. No campo dos números naturais, os alunos
vivenciam um conjunto de situações que forma a concepção de que a
multiplicação sempre aumenta, ou seja, o produto é sempre maior do que os dois
fatores. Ao raciocinar sobre os números racionais, é necessário um outro conjunto
de situações que dê conta de superar esta dificuldade, provocando a ruptura
dessa expectativa, por exemplo, 10 multiplicado por 21 .
Com este exemplo, acreditamos que o campo conceitual multiplicativo
abrange um número maior de situações, que necessitam ser melhor elucidadas e
analisadas com cuidado, a fim de facilitar a hierarquia das competências3
possíveis desenvolvidas pelos alunos, dentro e fora da escola, pois resolver
algumas operações de multiplicação constituem um dos elementos que compõe
esta operação, que pode ser considerada a ponta do iceberg conceitual.
Assim como Vergnaud, acreditamos que possa ser possível construir o
conceito de fração, coordenando uma interação entre os três conjuntos da terna –
o das Situações, dos Invariantes e das Representações.
2 Grifo nosso. 3 Competência refere-se à ação do sujeito cujo conhecimento que subjaz essa ação ainda está implícito. Ela
pode ser traçada pela ação do sujeito diante das situações. Liga-se, portanto, ao saber fazer do aluno.
26
2.3 KIEREN
Para Kieren o conceito de número racional pode ser construído a partir de
considerações dos quatro seguintes subconstrutos: quocientes, operadores,
medidas e razões (KIEREN, 1988, p.166).
O autor não engloba o subconstruto4 parte-todo, entende que as idéias que
o constituem já estão presentes nos subconstrutos quociente, operador e medida
(KIEREN, 1993, p. 57). Para o autor, a idéia de subconstrutos parece atribuir
maior ênfase às estruturas cognitivas.
Aprofundando suas considerações sobre a construção do conceito de
número racional, o autor propõe um modelo teórico para essa construção que
procura apresentar as possíveis interconexões entre as idéias que formam o
conceito, partindo das situações presentes no conhecimento intuitivo do sujeito
até o estágio da formalização. Este é apresentado sob a forma de um mapa no
qual se identificam quatro níveis pelos quais deve passar a construção do
conceito de número racional (KIEREN, 1993 p. 64-65).
- O nível dos conhecimentos intuitivos;
- Os subconstrutos;
- Um terceiro nível obtido com base nos subconstrutos em direção a um
pensamento multiplicativo mais formal; e
- O conhecimento estruturado nos números racionais dentro de um campo
quociente.
No intuito de achar explicações para a evolução do processo de construção
do conceito, Kieren (1993) considera que a partição e a obtenção da fração com
numerador unitário da forma b1 têm, para a criança, o mesmo papel de um
axioma na construção do número racional como elemento de um conjunto
quociente, denomina essa operação de “thinking tool”.
4 Kieren refere-se aos constructos e subconstructos. Podemos entender “constructos” como sendo o conceito
e “subconstructos” como os pequenos conceitos que juntos formam o conceito maior.
27
Outro aspecto importante do número racional mostrado por Kieren (1993) é
o fato de ele ter, ao mesmo tempo, um caráter de quociente e um caráter de
razão. Quando visto como quociente, ele responde à questão “quanto?” Quando
visto como razão, estabelece uma propriedade relacional entre a parte e o todo.
Outro fator que demonstra que os números racionais não podem ser vistos
somente como uma extensão dos números inteiros, é o fato de que nos racionais
a adição e a multiplicação são operações independentes. Enquanto nos inteiros
positivos, a multiplicação conduz a um número maior; nos racionais nem sempre
isso ocorre como, por exemplo, multiplicar 21 por
31 significa dividir
21 em 3
partes e essa operação não pode ser reduzida a uma adição, como se fazia com
os números inteiros.
Kieren (1993), também ressalta o duplo papel desempenhado pelo número
1 no campo racional, como uma consideração importante a ser levada em conta
na compreensão da construção desse conceito. De fato, o número 1 é a unidade
divisível “que forma uma base de comparação para os números racionais” (p. 55)
e, também, serve como base conceitual para formação do inverso multiplicativo,
além, claro, de servir como o elemento neutro da multiplicação. O autor defende a
necessidade das crianças apropriarem-se dessas duas noções, para que possam
passar a ver o número 1, dentro dessa visão mais complexa.
Uma conseqüência imediata da aplicação das idéias de Kieren é a de que
os currículos montados, segundo a visão dos números racionais dentro dos
subconstrutos (quociente, operador, medida e razão) propiciariam melhor
interligação dos vários campos da Matemática, além de se tornarem uma janela
significativa, para que a criança tenha contato com outros domínios5 da
Matemática, desde as séries iniciais. Porém se considerados os números
racionais apenas como uma extensão dos números inteiros ou um simples
algoritmo numa relação parte-todo estática, os números racionais permaneceriam
apenas no domínio matemático dos números.
5 Esses domínios que Kieren refere seriam que ao trabalhar os números racionais dentro dos subconstrutos,
você já mostraria outros campos da matemática como, por exemplo, o subconstruto operador aproxima os números racionais da Álgebra, subconstruto medida oferece uma ligação com a geometria, etc.
28
Para ilustrar a situação, o autor cita como exemplo, o fato de que partições
sucessivas podem conduzir crianças muito jovens à idéia de grandezas
infinitesimais, como no relato de uma estudante de 11 anos que respondeu que
sua fração favorita era 21 , pois “me fascina a possibilidade de dividir em dois e
obter pedaços tão pequenos quanto eu queira, indefinidamente”. O autor ainda
ressalta que o subconstruto medida oferece, também, uma ligação importante
entre geometria, espaço e estudo dos números racionais. (KIEREN, 1988 p. 59).
No que diz respeito ao subconstruto operador, o autor relata que este
proporciona uma aproximação dos números racionais com a Álgebra e com a
noção de função composta, em termos não-formais. Já o subconstruto razão,
aponta na direção de importantes conceitos de proporção e probabilidade.
Ao final, o autor sugere que a idéia de ver os números racionais por
intermédio dos subconstrutos fornece suporte para uma análise semântica,
psicológica e pedagógica do ensino do número racional, bem como um suporte
empírico para seu estudo. Propõe, também, que a idéia intuitiva de partição
exerce um papel importante na construção do conhecimento do número racional
por parte do sujeito.
2.4 NUNES E BRYANT
A aquisição de um conceito matemático pressupõe seu reconhecimento em
diversas situações e contextos. Assim sendo, cuidaremos a seguir, do objeto de
nosso estudo: os números racionais em sua representação fracionária,
denominada fração, no que diz respeito a seus diferentes significados tratados por
Nunes.
Nunes e Bryant (1997) citam que, com as frações as aparências enganam,
alguns alunos podem passar pela escola sem dominar diversos conceitos de
fração, mesmo usando termos fracionais corretos, falando coerentemente sobre
frações e resolvendo alguns problemas.
29
Abarcando esta idéia, Nunes e Bryant (1997) afirmam que essa falsa
impressão que as crianças têm de algum domínio do conceito de fração pode
estar associada à forma como esse conteúdo lhes é apresentado – todos
divididos em partes. Assim, as crianças são informadas de que o número total de
partes (por exemplo, 8) é o denominador e as partes pintadas (por exemplo, 5), o
numerador e escreve 85 , sem entender o significado desse novo tipo de número.
Nesse contexto, Nunes e Bryant (1997) retomam pesquisas relevantes,
cujos resultados confirmam a suspeita de que as crianças podem usar a
linguagem das frações sem compreender completamente sua natureza. Estes
estudos servem, como advertência dos perigos que existem por trás da
complexidade e da diversidade dos conceitos envolvidos em frações. Dentre os
estudos, destacam-se os realizados no Brasil por Campos e cols (1995) e na
Inglaterra por Kerslake (1996).
No trabalho citado, por Nunes e Bryant (1997), Campos e cols (1995)
apresentaram em suas pesquisas que a impressão de crianças raciocinando
sobre frações, poderia ser falsa, sobretudo, quando são submetidas a um método
de ensino que se limita e estimula os alunos a resolver os problemas, utilizando-
se de procedimentos de dupla contagem, sem entender o significado deste novo
tipo de número.
Para demonstrar sua hipótese, Campos e cols (1995) apresentaram os
desenhos indicados abaixo a crianças de idade aproximada de 12 anos ou mais,
que haviam aprendido o procedimento de dupla contagem e pediram-lhes que
nomeassem as frações apresentadas em cada uma das figuras, a seguir:
FIGURA 2.1 - Situações propostas por Campos apud Nunes e Bryant, 1997
Situação 1 Situação 2 Situação 3
FONTE: Nunes e Bryant, Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997
30
Nas duas primeiras situações 1 e 2, o percentual de acertos foi perto do
teto, com algumas exceções, pois alguns alunos usaram a contagem dupla de
forma diferente, contando as partes pintadas para o numerador e as partes não
pintadas, para o denominador.
Com relação a terceira situação, o desempenho dos alunos foi
significativamente inferior ao demonstrado nas situações 1 e 2, pois ao apoiarem
suas estratégias de resolução do procedimento de dupla contagem, 56% dos
alunos escolheram 71 , como a fração correspondente.
Estes resultados confirmam a suspeita levantada pelas pesquisadoras de
que as crianças podem usar a linguagem da fração sem compreender
completamente sua natureza.
Nesta pesquisa, a questão do tipo da situação 1, também, foi abordada e
será observado se os alunos também utilizaram o procedimento de dupla
contagem.
Nunes e Bryant (1997), ainda sugerem que existe uma conexão entre
divisão e fração, ficando, especialmente, claro quando se pensa em um tipo de
problema, envolvendo quantidades contínuas, pois se pensarmos em um
problema como, por exemplo, 3 barras de chocolate divididos por 4 pessoas, o
resultado da divisão será fração. Esta conexão não é acidental, faz referência a
uma análise matemática de números racionais feitas por Kieren (1988; 1994), em
que sugere que as frações são números produzidos por divisões e portanto, são
números do campo dos quocientes.
Nesse sentido, Nunes e Bryant (1997) argumentam que, se isso estiver
certo, então, deveremos buscar a origem da compreensão do conceito de fração
nas crianças, em um contexto que propicie situações de divisão.
Diante de tal reflexão, os autores citados argumentam que, de fato existe
uma lacuna entre a compreensão que as crianças têm das propriedades básicas
de frações e as tarefas resolvidas no contexto das avaliações educacionais.
Assim, Nunes e Bryant referem que:
31
... quando as crianças resolvem tarefas experimentais sobre divisão e números racionais, elas se engajam em raciocinar sobre as situações. Em contraste, quando elas resolvem tarefas matemáticas em avaliações educacionais elas vêem a situação como um momento no qual elas precisam pensar em que operações fazer com os números, como usar o que lhes foi ensinado na escola, concentrando-se nas manipulações de símbolos, os alunos poderiam desempenhar em um nível mais baixo do que teriam desempenhado se tivessem se preocupado mais com a situação-problema. (NUNES e BRYANT, 1997, p. 212)
A hipótese de dissociação entre o desempenho dos alunos em situações
contextuais e o desempenho frente às situações de avaliação escolar foi bastante
explorada por Mack (1993) e será discutida com maior profundidade na próxima
seção.
Os resultados da pesquisa de Mack (1993) vêm ao encontro com a
afirmação de Nunes e Bryant (1997) que, embora os problemas da vida cotidiana
não pareçam causar dificuldades, muitos dos problemas apresentados
simbolicamente não são resolvidos pelos estudantes, que apresentam algoritmos
falhos e comparações inadequadas.
No intuito de solucionar muitas das dificuldades apresentadas na
aprendizagem do número racional na forma fracionária, Nunes et al. (2003)
propõem uma classificação teórica, envolvendo a fração em cinco significados.
Antes de apresentarmos esta classificação, exporemos algumas considerações
de Nunes em relação ao conceito de fração.
Nunes et al. (2003) destacam dois invariantes que são considerados
centrais no conceito de fração: as noções de ordenação e equivalência.
No que concerne à ordenação de fração, observamos que existem duas
idéias básicas e centrais que devem ser levadas em consideração no ensino da
fração. A primeira é que, para um mesmo denominador, quanto maior for o
numerador, maior será a fração; contudo – a segunda idéia diz respeito a uma
situação na qual para um mesmo numerador, quanto maior o denominador menor
será a fração.
32
Observamos que a primeira estratégia é relativamente simples, pois a idéia
utilizada para resolver esta situação é semelhante à comparação de dois números
naturais, embora a afirmação que o denominador deve ser constante para uma
comparação direta a ser feita entre os numeradores, pode oferecer alguma
dificuldade. A segunda idéia pode mostrar mais dificuldade, pois as crianças
precisam pensar em uma relação inversa entre o denominador e a quantidade
representada pela fração.
No que diz respeito à noção de equivalência de fração, devem ser
considerados dois aspectos essenciais: equivalência em quantidades extensivas
e intensivas.
As quantidades extensivas referem-se à comparação entre duas
quantidades de mesma natureza, a lógica parte-todo. Portanto, são suscetíveis de
ser adicionadas e medidas por unidade de mesma natureza. Por exemplo: “três
metros” expressam a comparação de uma unidade de comprimento, o metro, com
outro comprimento, o comprimento da mesa. (NUNES et al. 2005)
Já as quantidades intensivas, referem-se às medidas baseadas na relação
entre duas quantidades diferentes, portanto, não suscetíveis de adição e são
medidas de uma relação de duas magnitudes, cada uma vindo de diferente
quantidade intensiva. Por exemplo, quando quisermos saber se uma limonada
está “forte” ou “fraca”, estaremos nos referindo à concentração do suco de limão,
a medida da concentração de um copo de limão (uma quantidade) e a quantidade
de água (a segunda quantidade).
A lógica das quantidades intensivas é diferente da lógica das quantidades
extensivas, porque não está baseada na relação parte-todo, mas, na relação
entre duas quantidades diferentes.
A diferença entre esses dois tipos de quantidade pode ser compreendida
segundo Nunes et al. (2005) quando comparamos as quantidades extensivas e
intensivas que podem ser medidas em uma mesma situação.
33
FIGURA 2.2 - Exemplo comparação entre quantidades extensiva e intensiva
FONTE: Nunes et al. (2005), Números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.
O exemplo 1 desta figura representa uma situação, envolvendo quantidade
extensiva. Quando juntamos duas quantidades extensivas, o todo é igual à soma
das partes e no caso se subtraímos uma parte de um todo, a parte que restará
será igual ao todo, menos a parte retirada.
Já o exemplo 2 desta figura, representa uma situação envolvendo
quantidade intensiva. Neste caso, se juntarmos duas quantidades intensivas
diferentes – um copo de suco de laranja com 80% de concentrado e outro com
20% de concentrado – a concentração do todo não será igual a 80 + 20. Os
números 80 e 20 não podem ser somados sem levarmos em consideração a
quantidade de água, pois 80% de suco de concentrado significa 80 partes de
concentrado para 20 partes de água e 20% de concentrado significa 20 partes de
concentrado para 80 de água.
Segundo Nunes et al. (2005), a lógica das quantidades extensivas baseia-
se no raciocínio aditivo. Já a lógica das quantidades intensivas baseia-se em uma
relação entre duas quantidades, portanto, no raciocínio multiplicativo.
Ao apresentar algumas considerações, feitas por Nunes et al. (2005) com
relação ao conceito de fração, seguimos nosso estudo apresentando a fração e
seus cincos significados.
34
2.4.1 Frações e seus cinco diferentes significados
Uma situação dada ou um simbolismo particular não evoca em um
indivíduo todos os esquemas disponíveis, isto é, quando se diz que uma palavra
tem determinado significado, estamos recorrendo a um subconjunto de esquemas
e, dessa forma, operando uma restrição ao conjunto dos esquemas possíveis.
Para ilustrar o que acabamos de discutir, tomemos, como exemplo, o significante
41 . O significado desse símbolo dependerá dos esquemas que o sujeito possui
para dar significado a essa representação.
O sujeito poderá dar como significado à fração 41 , uma relação parte-todo,
ou seja, uma pizza dividida em quatro partes iguais, sendo uma parte tomada, isto
é,41 significando o quociente da divisão entre duas variáveis. Poder-se-ia
interpretar, ainda, a fração 41 , como um número na reta numérica, ou seja, 0,25;
como operador, 41 de litro de leite, ou seja, 250 ml de leite e, finalmente, a
interpretação de 41 como sendo medida, isto é, a chance de se tirar uma bola azul
em uma caixa que tenha uma bola azul e três bolas vermelhas.
Diante do exposto, acreditamos que o conceito de fração poderá ser
construído se contemplado um conjunto de situações, explorando seus diferentes
significados, dentro de um contexto de quantidades contínuas e discretas.
Entendemos por quantidades contínuas aquelas que são passíveis de
serem divididas de modo exaustivo, sem que, necessariamente percam suas
características. Por exemplo, uma pizza pode ser dividida em inúmeras partes
sem deixar de ser pizza.
Por outro lado, quantidades discretas dizem respeito a um conjunto de
objetos idênticos, que representa um único todo e o resultado da divisão deve
produzir subconjuntos com o mesmo número de unidades. É o que encontramos,
35
por exemplo, em uma situação em que temos de dividir cinco bolinhas para três
crianças.
No que diz respeito à representação icônica, entendemos por icônica a
situação-problema que possui o desenho ou figuras e não icônica que não possui
desenhos ou figuras.
A seguir os parágrafos pretendem apresentar detalhadamente cada um dos
significados propostos por Nunes et al. (2003). Cabe ressaltar que, em nosso
estudo abarcaremos somente quatro dos cinco significados parte-todo, operador
multiplicativo, medida e quociente.
Fração como Parte-todo
A idéia presente neste significado é a da partição de um todo (contínuo ou
discreto) em n partes iguais, em que cada parte pode ser representada como n1 .
Assim, assumiremos como o significado parte-todo, um dado todo dividido em
partes iguais em situações estáticas, na qual a utilização de um procedimento de
dupla contagem é suficiente para se chegar a uma representação correta.
Por exemplo: 1- Uma barra de chocolate foi dividida em três partes iguais.
Carlos comeu duas dessas partes. Que fração representa o que Carlos comeu?
A situação refere-se ao significado parte-todo contínuo, com ícone. O aluno
frente a esta situação deverá identificar que o todo foi dividido em 3 partes iguais,
portanto, trata-se de uma comparação parte-todo (significado); bem como
identificar que o número total de partes que foi dividido é o denominador e as
partes que Carlos comeu representa o numerador, escrevendo a fração 32 .
Exemplo 2- Em uma loja de presentes, tem 2 bonés azuis e 1 boné branco,
todos do mesmo tamanho. Que fração representa a quantidade de boné branco
em relação ao total de bonés?
36
Para resolver esta situação, que envolve o significado parte-todo contínuo,
sem ícone, o sujeito deverá identificar qual o total de bonés referindo-se ao
denominador e quantos são os bonés brancos em relação ao total de bonés
correspondendo ao numerador, assim, terá a fração31 .
Fração como Quociente
Este significado está presente em situações em que está envolvida a idéia
de divisão, por exemplo, uma torta a ser repartida igualmente entre 5 crianças.
Nas situações de quociente temos duas variáveis (por exemplo, número de tortas
e número de crianças), sendo que uma corresponde ao numerador e a outra ao
denominador – no caso, 51 . A fração, nesse caso, corresponde à divisão (1
dividido por 5) e também ao resultado da divisão (cada criança recebe 51 ).
Exemplo: 1- Na mesa do restaurante existem 5 crianças. A garçonete
serviu 3 tortas para dividir igualmente entre elas. Qual a fração que cada criança
irá receber?
Esta situação-problema envolve o significado quociente contínuo com
ícone, o sujeito frente a esta situação deverá perceber que a divisão é uma boa
estratégia para resolvê-la. Temos duas variáveis, uma que corresponde ao
numerador, no caso as tortas e outra, ao denominador, no caso, as crianças.
Teremos, então, a fração 53 .
Exemplo: 2- Foram divididas igualmente 8 bolas de futebol de mesmo
tamanho para 4 crianças. Quantas bolas de futebol cada criança ganhará? Que
fração representa essa divisão?
37
Esta situação-problema envolve o significado quociente discreto sem ícone.
Para que possamos exemplificar a quantidade discreta no significado
quociente, temos de nos reportar às frações chamadas aparentes, ou seja,
frações que representam números inteiros, por exemplo: 22 ,
36 ,
28 ,.... No caso da
última situação apresentada à fração são 48 , ou seja, cada criança recebera 2
bolas de futebol.
A quantidade discreta exige que o numerador (bolas de futebol) seja
divisível pelo numerador (crianças).
Este significado pressupõe, ainda, extrapolar as idéias presentes no
significado parte-todo, pois na situação de quociente temos duas grandezas
distintas: no exemplo, tortas e crianças; no exemplo 2 bolas de futebol e crianças.
Significado Medida
Algumas medidas envolvem fração por se referirem à quantidade
extensiva, nas quais a quantidade refere-se à relação entre duas variáveis de
valor discreto. Por exemplo, a probabilidade de um evento é medida pelo
quociente – número de casos favoráveis, dividido pelo número de casos
possíveis. Portanto, a probabilidade de um evento varia de 0 a 1, e a maioria dos
valores com os quais se trabalhou é fracionário.
Exemplo: 1- Na escola de Paulo, foi feito um sorteio com 8 bilhetes para
um passeio. Paulo tinha comprado 4 desses 8 bilhetes. Qual a chance de Paulo
ser sorteado?
Esta situação envolve o significado medida, discreto sem ícone. A
possibilidade de Paulo ganhar o sorteio é expressa por uma medida (significado)
obtida pelo quociente entre, o número de bilhetes comprados por Paulo e o
número total de bilhetes do sorteio, ou seja, pela fração84 .
Outras medidas envolvem frações por se referirem a quantidades
intensivas.
38
Exemplo: 2- Para fazer uma certa quantidade de suco de uva são
necessárias 2 medidas de água para 1 medida de concentrado de suco de uva.
Que fração representa a medida de concentrado de uva em relação ao total de
suco?
Esta situação refere-se ao significado medida com quantidades intensivas,
com ícone. A receita é medida pela razão 1 para 2 que pode ser representada,
como sendo 21 (relação parte-parte). Com esta medida podemos fazer,
indefinidamente, diversas quantidades de suco de uva, mantendo o mesmo sabor;
além disso, esta quantidade poderá nos remeter à idéia de fração, considerando-
se que o todo (a mistura) é constituído de 3 partes, 31 é a fração que corresponde
a medida de concentrado de uva na mistura e, 32 é a fração que corresponde a
medida de água na mistura.
Situação Operador Multiplicativo
Associou-se a esse significado o papel de transformação, isto é, a
representação de uma ação que se deve imprimir sobre um número ou uma
quantidade, transformando seu valor nesse processo. Conceber a fração, como
um operador multiplicativo, é admitir que a fração ba funciona em quantidades
contínuas, como uma máquina que reduz ou amplia essa quantidade no
processo, enquanto em quantidades discretas sua aplicação atua como um
multiplicador divisor.
Exemplo: 1- Um estojo contém 20 lápis coloridos. Marina deu 43 dos lápis
para sua amiga. Quantas lápis Marina deu?
39
Nesta situação, o sujeito deverá perceber que a fração desempenha o
papel de transformação, ou seja, deve-se multiplicar 20 por 3 e dividir o total por 4
ou dividir 20 por 4 e multiplicar o total por 3. Ao mesmo tempo que a fração
desempenha um papel de transformação, também, conduz a idéia de que os
números racionais formam um corpo munido de duas operações; a adição e
multiplicação.
A explicação dada acima (quantidade discreta) se estende para
exemplificar as situações com quantidades contínua desse mesmo significado
(operador multiplicativo).
Exemplo: 2- Felipe ganhou uma barra de chocolate e comeu 43 . Pinte a
quantidade de chocolate que Felipe comeu?
O sujeito tem de perceber que a fração que Felipe comeu se refere a uma
quantidade, ou seja, 43 de 1.
Significado Número
Assim como o número inteiro, a fração nesse significado é representada
por pontos na reta numérica. Os números não precisam necessariamente referir-
se a quantidades específicas (discretas).
Existem duas formas de representação fracionária, ordinária e decimal.
Exemplo 1: Represente na reta numérica a fração 32 .
O sujeito frente a essa situação deverá reconhecer a fração, como um
número (significado) e não uma superposição de dois números naturais. Dever-
se-á perceber, ainda, que todo número tem um ponto correspondente na reta
numérica e que sua localização depende do princípio de ordenação (invariante),
40
isto é, 32 é um número compreendido entre 0 e 1. Mesmo considerando esse
intervalo, há necessidade de que o sujeito compreenda que à direita e à esquerda
de32 existem ainda infinitos números. Terá ainda que admitir a existência de
duas formas de representação fracionária, a ordinária e a decimal.
Desta forma, como já foi dito, assumiremos em nosso estudo os
significados das frações propostos por Nunes et al. (2005), pois acreditamos,
assim como Vergnaud que a aprendizagem de um conceito se dá por dentro de
situações ou conjuntos de situações.
41
CAPÍTULO III
REVISÃO DA LITERATURA
3.1 INTRODUÇÃO
O presente capítulo pretende trazer idéias de autores que elaboraram
pesquisas científicas sobre os números racionais no âmbito do campo de estudos
da Educação Matemática.
Para tanto apresentamos o capítulo dividido em duas seções: A primeira,
inicia-se com os trabalhos de mestrado que foram estudos diagnósticos, nos
quais se inclui este com o objetivo de estender esses diagnósticos, partindo agora
para a realização de uma intervenção de ensino, observando os efeitos de se
trabalhar com quatro dos cinco significados propostos por Nunes et al. (2003), a
saber: parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente.
A segunda, apresenta algumas pesquisas, que investigaram o ensino e
aprendizagem do conceito da fração e que muito contribuíram para nosso estudo.
3.2 PESQUISAS DO GRUPO
Como descrito no capítulo I deste trabalho, nosso estudo faz parte de um
projeto de pesquisa mais amplo, intitulado “A formação, desenvolvimento e ensino
do conceito de fração”, cujo objetivo é investigar a formação e o desenvolvimento
do conceito de fração nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior, quer seja do
ponto de vista de seu ensino, quer seja do ponto vista de sua aprendizagem.
42
No que diz respeito ao ensino de fração, há o trabalho de Canova (2006),
intitulado “Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclo do
Ensino fundamental com relação à fração”, que se propôs responder às seguintes
questões de pesquisa: Quais as crenças que os professores dos 1º e 2º ciclos do
Ensino Fundamental apresentam em relação ao conceito de fração e o seu
ensino? Quais as concepções e competências, que esses mesmos professores,
apresentam em relação à fração e seus diferentes significados?
Canova (2006) teve por objetivo identificar e analisar as crenças,
concepções e competências dos professores que atuavam no 1º e 2º ciclos do
Ensino Fundamental, no que diz respeito ao conceito de fração em seus cinco
significados, a saber, Nunes et al. (2003) – parte-todo, operador multiplicativo,
medida e quociente. Para tanto, elaborou um instrumento investigativo composto
por 29 questões subdivididas em quatro partes: 1- perfil; 2- crenças; 3-
concepções e 4- competências. Este instrumento foi aplicado a 51 professores do
Ensino Fundamental, distribuídos em três escolas da Rede Municipal da cidade
de Osasco. A pesquisa constou de dois momentos. O primeiro, diz respeito a
entrega dos questionários e o segundo, às entrevistas clínicas feitas com 10% da
amostra. Os resultados mostraram que as crenças dos professores não são
influenciadas pela sua prática docente, o mesmo não acontece para as
concepções. Pois estas eram mais restritas entre os professores do 1º ciclo do
que aos professores do 2º ciclo. Quanto à competência, Canova (2006) constatou
que não houve desempenho eqüitativo entre os cinco significados da fração e os
invariantes. Estas evidências levaram a pesquisadora a concluir que há a
necessidade de se ampliar o campo conceitual desses professores com relação
ao objeto fração.
Ainda voltado ao ensino de fração, temos o estudo de Santos (2005)
intitulado “O conceito de fração em seus diferentes significados: um estudo
diagnóstico junto a professores que atuam no Ensino Fundamental”. Esse estudo
propôs-se a responder à seguinte questão de pesquisa: “é possível reconhecer as
concepções dos professores que atuam nos 1º e 2º ciclos (polivalentes) e no 3º
ciclo (especialistas) do Ensino Fundamental, no que diz respeito ao conceito de
fração?” Se sim, quais? Se não, por quê?
43
Para responder à questão acima, Santos (2005) realizou um estudo
diagnóstico com 67 professores do Ensino Fundamental, distribuídos em sete
escolas da rede pública estadual da cidade de São Paulo. A pesquisa de campo
constou de dois momentos: no primeiro, foi solicitado aos professores a
elaboração de seis problemas, envolvendo o conceito de fração, e no segundo
momento, foi pedido para que resolvessem os próprios problemas elaborados. Os
resultados obtidos mostraram uma tendência, tanto entre os professores
polivalentes como entre os especialistas em valorizar a fração com o significado
operador multiplicativo na elaboração dos problemas.
Quanto à resolução dos problemas, houve uma valorização dos aspectos
procedimentais – aplicação de um conjunto de técnicas e regras (algoritmo).
Estas evidências levaram Santos (2005) a concluir que não existe diferença
significativa entre a concepção dos professores polivalentes e especialistas, seja
na elaboração ou na resolução de problemas de fração em seus diferentes
significados. No que concerne às concepções, o pesquisador ainda afirma que,
provavelmente, exista uma forte influência daquelas construídas na Educação
Básica.
No que diz respeito à aprendizagem de fração, três dissertações sobre o
tema foram desenvolvidas. Iniciamos descrevendo o estudo de Merlini (2005),
intitulado. “O conceito de fração em seus diferentes significados: um estudo
diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do Ensino Fundamental”. Merlini (2005)
propôs a responder a seguinte questão de pesquisa. Quais as estratégias de
resolução alunos de 5ª e 6ª séries utilizam frente a problemas que abordam o
conceito de fração, no que diz respeito aos cinco significados da fração: número,
parte-todo, operador multiplicativo, quociente e medida? E teve por objetivo
investigar as estratégias que esse alunos utilizam frente a problemas que
abordam o conceito de fração, segundo a classificação teórica proposta por
Nunes et al. (2003).
Para tanto, Merlini (2005) realizou um estudo diagnóstico com 120 alunos,
sendo 60 da 5ª série e 60 da 6ª série do Ensino Fundamental, distribuídos em
duas escolas da rede pública estadual da cidade de São Paulo. A pesquisa de
campo constou de dois momentos: no primeiro, o questionário foi aplicado
44
coletivamente e respondido individualmente pelos alunos; no segundo momento,
foram feitas entrevistas clínicas em 12% da amostra. Nos resultados obtidos, a
pesquisadora constatou que em nenhuma das séries pesquisadas houve um
desempenho eqüitativo, no que diz respeito aos cinco significados da fração, ou
seja, para um mesmo significado foram observadas diferentes estratégias de
resolução. Merlini ainda ressalta que a abordagem que se faz do conceito de
fração não garante que o aluno construa o conhecimento desse conceito.
Concomitante ao trabalho de Merlini (2005), há o trabalho de Moutinho
(2005), intitulado “Fração e seus diferentes significados um estudo com alunos
das 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental”.
No estudo de Moutinho (2005), a questão de pesquisa foi: Quais as
concepções que são possíveis de se identificar com relação aos cinco diferentes
significados da fração (número, operador multiplicativo, medida, quociente e
parte-todo), a partir da aplicação de um estudo diagnóstico, com alunos das 4ª e
8ª série do Ensino Fundamental?
A pesquisa teve por objetivo identificar as concepções que esses alunos
utilizam frente a problemas que abordam esse conceito. Para tanto, foi elaborado
um instrumento-diagnóstico já descrito anteriormente, foi o mesmo utilizado por
Merlini (2005), sendo este aplicado a 65 alunos da 4ª série e 58 alunos da 8ª série
do Ensino Fundamental distribuído em duas escolas da rede pública estadual da
cidade de São Paulo. Os resultados foram analisados, observando-se o
desempenho e as estratégias utilizadas pelos alunos, quando resolveram de
forma errônea as questões propostas.
A pesquisa de Moutinho (2005) mostrou que os alunos da 4ª série
demonstraram possuir a concepção parte-todo, como central para resolução dos
problemas; já os das 8ª, além desta, buscaram resolver os problemas com o uso
mais intenso de operações, sem atingir um índice de acerto favorável, o que
acabou resultando em desempenho menor do que a 4ª série.
Nessa direção, Moutinho (2005) concluiu que há necessidade de se
desenvolver trabalho mais amplo do Campo Conceitual da fração, com base no
45
uso de diferentes situações, utilizando os significados tratados por Nunes et al
(2003) no que tange às frações.
Por fim, há o trabalho de Rodrigues (2005), que foi, também, voltado à
aprendizagem de fração e teve por título “Números Racionais: Um estudo das
concepções de alunos após o estudo formal”. A pesquisa propôs responder às
seguintes questões de pesquisa: Que aspectos do conceito de fração nos
significados parte-todo e quociente permanecem sem ser apropriados por alunos
de oitava série do Ensino Fundamental, terceira série do Ensino Médio e Ensino
Superior na área de exatas? Que ligações existem entre essas dificuldades e as
deficiências, já apontadas por outras pesquisas, da prática pedagógica? O
trabalho teve por objetivo identificar aspectos do conceito de fração, relativos aos
significados parte-todo e quociente, que permaneceram não apropriados por
alunos em fase de escolarização posterior ao ensino formal.
Para responder às questões de pesquisa, Rodrigues (2005) elaborou um
instrumento composto de 48 questões, envolvendo o conceito de fração nos
significados parte-todo e quociente, em três níveis de dificuldade, aplicado a 13
alunos de 8ª série, 31 do 3º ano do Ensino Médio e 29 do Ensino Superior, na
área de exatas.
Rodrigues (2005) constatou que, mesmo nesses níveis de escolaridade, os
alunos ainda apresentam dificuldades significativas sob três pontos de vista: da
compreensão do papel da unidade nos problemas envolvendo frações, das
peculiaridades das situações, envolvendo grandezas discretas; e de aspectos
mais abstratos da construção dos números racionais, como a inclusão dos inteiros
e a explicação de soluções em termos operações com frações.
Anterior a esses trabalhos realizados no seio do grupo de pesquisa referido
no início desta seção, há o trabalho de Bezerra (2001) o que também foi voltado à
aprendizagem de fração, tendo por objetivo investigar, como ocorre a aquisição
do conceito de número fracionário em alunos de 3ª série do Ensino Fundamental,
bem como suas representações com base em situações-problema que fossem
desafiadoras e significativas ao aluno.
46
Bezerra (2001) inicia seu trabalho, afirmando que o conjunto dos números
naturais é um obstáculo na aprendizagem do conjunto dos números racionais.
Sua pesquisa consistiu de uma seqüência de ensino, abordando frações com o
significado parte-todo e quociente, contemplando, tanto quantidade contínua
como quantidade discreta.
A pesquisa foi aplicada em duas turmas de 3ª série do Ensino
Fundamental, de uma escola pública da cidade de São Paulo, dividida em dois
grupos: grupo controle e grupo experimental, considerando que o contato desses
sujeitos com o campo numérico dos números racionais fosse inédito.
Os dois grupos foram submetidos a dois testes individuais: um antes (pré-
teste) da aquisição do conceito de fração e outro (pós-teste), após ter tido contato
com esse conteúdo. O grupo denominado controle não teve qualquer contato
formal com esse conteúdo. O conteúdo sobre frações foi abordado somente
depois das aplicações dos dois testes. O objetivo de Bezerra (2001), com esse
grupo, era observar se poderia ocorrer algum acréscimo significativo de
aprendizagem de maneira informal.
Nas diversas formas de abordar a introdução do conceito dos números
fracionários, o autor optou por uma forma não convencional, ou seja, partir do
conceito de divisão já abordado nos números naturais e de frações impróprias.
Para Bezerra (2001) a construção da seqüência baseou-se na formulação
de situações-problema que procuravam motivar os alunos a encontrar respostas
que os levassem à aplicação dos conceitos adquiridos em outras situações
semelhantes, sempre partindo de uma situação-problema, no qual os alunos,
fazendo uso de determinados materiais significativos, caminhassem na direção da
construção do conceito do número fracionário. Desse modo, Bezerra (2001)
formaliza o conceito de número fracionário e sua representação na forma a/b
(a com b ).Nb, 0
Bezerra (2001, p. 168) inicia sua seqüência com situações explorando o
modelo quociente e, no desencadear dos encontros, apresentou também
situações com o modelo parte-todo. O autor enfatiza que o modelo parte-todo é
importante, mas não deve ser o único nem ser o ponto de partida para o
47
aprendizado das crianças, “pois ele parece oferecer uma barreira maior entre os
naturais e os fracionários”.
Com posse de seus resultados, Bezerra (2001) conclui que, embora as
crianças apresentem, após a intervenção, avanços cognitivos, ainda perduram
alguns tipos de erros que ele relaciona em seis categorias:
E1 – relacionar parte-parte, em quantidades discretas ou contínuas.
O erro foi observado em uma relação do tipo parte-todo que o aluno
procedeu à contagem da parte destacada e, em seguida, fez a contagem das
demais partes, esquecendo de relacionar o todo. Para exemplificar, Bezerra
apresenta uma questão que mostra o desenho de três corações e que um deles
foi pintado, cuja pergunta era: “Como você pode representar numericamente o
coração pintado em relação a todos os corações?” A resposta obtida foi 21 , que é
característica do E1, ou seja, relacionar parte-parte.
E2 – relacionar todo-parte, em quantidades discretas ou contínuas.
O erro compreende a inversão das posições do numerador com o
denominador.
E3 – representar uma fração, utilizando somente números naturais.
Este tipo de resposta, segundo o autor, evidencia que o aluno ainda não
conseguiu operar com o novo conjunto numérico, assim, representa com o
conhecimento anterior a nova situação, isto é, o conjunto dos números naturais.
E4 – considerar a palavra usada na leitura de uma fração, como sendo a
quantidade a ser assinalada.
Este erro representa a ação do aluno, quando lhe foi solicitado que
circulasse a quinta parte de um conjunto de dez elementos. O procedimento
utilizado em tal situação foi circular cinco elementos do conjunto.
48
E5 – com quantidades discretas, centrar-se em única figura (observação
da quantidade contínua) e desprezar as demais que compõe o todo.
Para Bezerra (2001), esse tipo de erro está relacionado ao procedimento
do aluno frente a uma quantidade discreta, fixa-se em apenas uma figura e a
considera como contínua, efetuando apenas a divisão dessa figura, desprezando
as demais.
E6 – realizar uma divisão de uma quantidade contínua, desprezando a
conservação das áreas na figura e repartindo as partes, segundo um
critério aleatório.
Bezerra (2001) ainda conclui que seu estudo ofereceu pistas significativas
sobre o processo de aquisição do conceito de fração, sendo a mais valiosa delas
a que o processo de construção dos conceitos de fração, a exemplo da história,
ganha força quando se inicia, baseando na resolução de problemas concertos,
advindos da realidade.
Cabe ressaltar que meu trabalho vem ao encontro do Bezerra, com
algumas diferenças, a primeira seria em relação ao sujeitos da pesquisa, pois,
trabalhei com alunos de 2ª série e, em segundo lugar, os significados da fração,
pois, em nossa seqüência envolvemos os quatro significados - parte-todo,
operador multiplicativo, medida e quociente.
Ainda dentro de nosso grupo de pesquisa, duas teses de doutorado,
abordando o tema fração encontram-se em andamento. São investigações que
buscam, entre outros objetivos, aprofundar os estudos diagnósticos realizados
pelos mestrandos do grupo.
Uma dessas teses esta sendo realizada por Damico (em fase de
conclusão), cujo estudo investiga a formação inicial de professores de Matemática
de duas universidade do ABC Paulista, no que reportar-se à preparação dos
licenciandos para o ensino de números racionais no Ensino Fundamental. Foram
pesquisados 346 alunos, sendo 189 iniciantes e 157 concluintes das duas
Instituições.
49
A coleta dos dados foi realizada por intermédio de cinco fontes,
denominadas Instrumentos: Instrumento 1- os alunos concluintes foram
solicitados a criarem oito problemas envolvendo frações, com o objetivo de avaliar
alunos do Ensino Fundamental; Instrumento 2- os alunos concluintes resolveram
os oito problemas que criaram; Instrumento 3- todos os alunos, iniciantes e
concluintes foram submetidos a uma avaliação, contendo vinte questões que
versavam sobre os conhecimentos fundamentais de números racionais;
Instrumento 4- entrevista interativa com 10% dos alunos concluintes participantes
da pesquisa; Instrumento 5- entrevista interativa com 41 professores.
Para coleta dos dados, Damico (em fase de conclusão) optou por uma
abordagem qualitativa, precedida por um estudo resumo estatístico, com o
objetivo de mostrar a freqüência que em cada categoria ou subcategoria foi
observada.
Os resultados são apresentados em três unidades de análise que abordam:
o conhecimento matemático (conceitual e processual) dos estudantes para
professores em relação a cinco subconstrutos ou significados das frações: parte-
todo, operador, quociente ou divisão indicada, medida e coordenada linear; o
conhecimento matemático e o PCK (conhecimento pedagógico do conteúdo ou
conhecimento didático) em relação às operações básicas com frações (adição,
multiplicação e divisão) e os números racionais na formação universitária.
Os dados da pesquisa de Damico (em conclusão) apontam para o fato de
que os estudantes para professores têm uma visão sincrética de números
racionais. Há um acentuado desequilíbrio entre conhecimento conceitual e
processual, com prevalência do processual, como também observa um baixo
nível de conhecimento didático relacionado às formas de representação dos
conteúdos, normalmente, ensinados no Ensino Fundamental que versam sobre
números racionais (frações).
Seguido ao estudo de Damico, tem-se, também, o estudo de Fontoura (em
andamento). Este será uma intervenção com professores das séries iniciais (1ª a
4ª séries do Ensino Fundamental), tendo como base os resultados nos estudos
50
diagnósticos dos mestrandos. Sua pesquisa vai envolver os cinco significados da
fração, a saber – parte-todo, operador multiplicativo, medida, quociente e número.
3.2.1 Pesquisas no Brasil e no Mundo
Nesta subseção, como foi dito, apresentaremos a revisão da literatura,
focalizando alguns estudos realizados no Brasil e no mundo que consideramos
relevantes e cujos os resultados contribuirão efetivamente ao desenvolvimento de
nossa pesquisa.
Nancy Mack (1990) fornece um grande apoio a nossa pesquisa, visto que a
pesquisadora preocupa-se em analisar a influência do conhecimento intuitivo dos
alunos na construção significativa dos procedimentos formais referentes às
frações, bem como a tendência dos alunos ao fazer generalizações sobre as
frações baseadas nas estruturas simbólicas disponíveis para números inteiros e,
reciprocamente, fazer generalizações sobre números inteiros com base nas
estruturas simbólicas das frações.
Embora os trabalhos apresentados pela autora representem grandes
diferenças do ponto de vista metodológico em relação à pesquisa, temos em
comum a busca da representação simbólica da fração a partir de situações-
problema que mobilizam, de início conhecimentos intuitivos, com alunos de 2ª
série do Ensino Fundamental, visto que fração inicia-se no ponto de vista formal
da escola na 3ª série do Ensino Fundamental. Os dois trabalhos apresentados
pela autora, referem-se à atividade intervencionista aplicada a grupos de alunos
de quinta e sexta séries, em atividades individualizadas, com minuciosa descrição
das respostas e procedimentos dos sujeitos.
Mack (1990) indica dois pontos importantes a serem levados em conta na
construção do conhecimento matemático dos estudantes: a obtenção de
situações que promovam a efetiva participação dos alunos e o relacionamento
entre seu conhecimento intuitivo e os procedimentos simbólicos.
51
Segundo Mack “conhecimento intuitivo” são as respostas dadas pelos
alunos a situações extraídas da vida real. Argumenta que esse conhecimento
costuma ser pouco relacionado ao conhecimento dos símbolos matemáticos
(MACK, 1990, p. 16). Ressalta também que os estudos recentes sobre frações
estão mais focados nas falsas concepções dos alunos sobre esse objeto
matemático e partem do princípio de que os alunos não têm nenhum
conhecimento anterior ao iniciar seu estudo e nem costumam considerar esses
conhecimentos intuitivos. Embora haja estudos que demonstrem a existência
desses conhecimentos, não existem trabalhos realizados sobre os caminhos que
os estudantes podem tomar com base neles dar significados aos símbolos e
procedimentos formais referentes às frações.
Mack (1990) observa que, nos problemas envolvendo partições, os alunos
apresentam uma tendência a separar um todo em partes e a representar cada
uma das partes como número inteiro, e não como uma fração do todo.
Os resultados da pesquisa de Mack apontam que a compreensão de
situações que envolviam frações fora da escola não se articulava com as
representações simbólicas aprendidas na escola.
Assim, propôs um problema: “suponha que você tem duas pizzas do
mesmo tamanho e você corta uma delas em seis pedaços de tamanhos iguais, e
você corta a outra em oito pedaços de tamanhos iguais. Se você receber um
pedaço de cada pizza, de qual você ganhará mais?” Depois, uma nova pergunta:
“que fração é maior, 1/6 ou 1/8?” Mack observou que problemas sobre situações
cotidianas não pareciam causar dificuldades; mas, no segundo problema, com
exceção de um aluno, todos disseram que 1/8 era maior, porque 8 é um número
maior.
No que diz respeito à unidade, a autora mostra que os alunos são capazes
de identificar corretamente a unidade a que se refere uma fração quando
trabalham com situações contextuais, porém sentem dificuldades de identificar a
unidade, quando trabalham com situações simbólicas. Ainda conclui que os
alunos tendem em uma situação simbólica ou concreta a tratar uma coleção de
unidades, como fosse sempre a nova unidade.
52
Outro ponto discutido pela pesquisadora é a influência dos procedimentos
padronizados, muitas vezes incorretos, na tentativa resolver as questões
simbólicas que muitas vezes, se sobrepõem aos procedimentos intuitivos e
constituem-se em um fator dificultador da construção do conceito (MACK 1990, p.
29).
A autora sugere que, seja pesquisada a viabilidade de se abordar o estudo
das frações, inicialmente, a partir da noção de partição, estendendo-se essa
concepção a outros significados antes que os alunos possam relacionar os
símbolos matemáticos a seu conhecimento intuitivo de fração (p. 30). A autora
ainda afirma que, quando esse caminho é seguido, surge nos alunos uma
tendência a construírem algoritmos alternativos corretos para a solução dos
problemas. Esses algoritmos, muitas vezes, são mais trabalhosos que os
tradicionais, e os alunos tendem a substituí-los por outros mais práticos na
medida que amadurecem seus estudos.
Ao final de seu trabalho, (Mack 1990, p. 29) propõe que embora muitos
autores reconheçam que o modelo parte-todo imponha limites a compreensão do
número racional, pois pode trazer dificuldades futuras ao estudo. Suas
observações mostram ser possível utilizar a idéia de partição para resolver muitos
problemas de maneira significativa.
Outra conclusão da autora é que a abordagem do estudo de frações, com
base na noção de partição e do conhecimento intuitivo permite resolver, mais
cedo que na proposta curricular tradicional, problemas como a subtração com
reagrupamentos ou a conversão de números mistos em frações impróprias.
(MACK, 1990, p. 30).
Ao investigarem a respeito da partição, tanto em figuras geométricas como
em grupos de objetos, com uma aproximação para o conceito de fração, Pothier e
Sawada (1990), apontam que os livros-texto limitam o uso de modelos físicos
para um trabalho introdutório de frações. Os autores evidenciam que os alunos
completam tais exercícios, sem que necessariamente atentem para as
propriedades geométricas de tais figuras (inteiro) ou das partes e,
conseqüentemente, nomeiam as frações para partes não iguais de um inteiro.
53
Assim, Pothier e Sawada (1990) argumentam que os exercícios baseados
em diagramas de figuras previamente repartidas que os alunos usam para
identificar várias frações ou para representá-las, colorindo o número determinado
de partes, podem representar parte das dificuldades enfrentadas no trabalho com
o conceito das frações.
Com o objetivo de avaliar os efeitos de um trabalho de um ensino de
frações, Tinoco e Lopes (1994) elaboraram uma proposta de ensino que
contemplava situações didáticas que visavam a minimizar o impacto das
dificuldades apresentadas pelos alunos no processo de aprendizagem do
conceito de fração.
O estudo foi realizado com um grupo de 101 alunos da 5ª série do Ensino
Fundamental de escolas municipais e outro grupo constituído de 30 alunos do 1º
ano do Curso de Formação de Professores “primários” (CFP) pertencentes a
escolas estaduais, ambas do Rio de Janeiro.
Na proposta de ensino, a ênfase dada era centrada em três aspectos: (a) a
construção do conceito de fração pelo aluno como um número; (b) a exploração
do conceito de fração em conjuntos discretos e (c) a noção de frações
equivalentes, como representações da mesma quantidade. Os sujeitos foram
submetidos a um pré-teste e um a pós-teste, além de entrevistas.
Da análise qualitativa dos dados obtidos, as autoras ressaltaram alguns
tipos de resolução. Na questão típica de fração, em conjunto discreto, foram
encontradas dois tipos de estratégias de resolução. “Silvia ganhou 43 dessas
balas. Pinte as balas que ela ganhou.” Abaixo do enunciado da questão desenhou
16 balas iguais.
A primeira estratégia identificada, foi fazer cálculo, isto é, contar o total de
balas determinando 43 de 16 e pintando 12 balas, sem fazer agrupamentos.
Uma segunda estratégia identificada, foi o agrupamento das balas em
quatro grupos iguais e pintando três deles.
54
A terceira estratégia foi formar grupos de quatro balas e, em cada um deles
pintar três das balas. Esta última estratégia é completamente diversa daquela
utilizada com as frações em conjunto contínuo, mas relacionada com as razões.
Em outra questão, enfocando a noção de frações equivalentes, o estudo
propôs a seguinte questão: “ 10....14
....72 . Qual o valor do quadrado? Qual o
valor do triângulo?”
As autoras citadas levantaram como hipótese para esta questão que a
dificuldade residia na presença da fração intermediária. A hipótese foi confirmada
na entrevista, uma vez que o aluno afirmou que o quadrado era quatro e o
triângulo, ele não sabia qual o valor.
Ao tampar a fração intermediária, as autoras refizeram a pergunta, obtendo
a resposta 35. Esta evidência sugere, segundo as autoras, que os alunos não
estão familiarizados com a transitividade da equivalência e que esta dificuldade
pode ser superada no processo de ensino, com situações que levem o aluno, por
exemplo, a obter uma fração equivalente a 153 com denominador 10.
Com relação às questões envolvendo a ordenação de frações, os critérios
utilizados pelos alunos basearam-se em três estratégias: (1) frações com o
mesmo numerador; (2) frações com o mesmo denominador e (3) frações com
numeradores e denominadores diferentes. Nesse último caso, os alunos
recorreram ao uso de diagramas.
Em suas conclusões, as autoras evidenciaram que em relação ao pré e ao
pós-teste, houve uma diminuição significativa das respostas em branco, o que
denota maior encorajamento dos alunos para atacar os problemas e uma melhora
sensível nas questões de conceitualização e equivalência. Por outro lado,
constataram ainda que alguns tipos de erro persistiram, sugerindo que a maioria
deles seja obstáculo epistemológico ou vício adquirido em sala de aula.
Kerslake (1996) em seu projeto de pesquisa na Inglaterra que durou seis
anos com 10.000 crianças entre 11 e 15 anos, investigou as estratégias de
55
resolução e os erros que essas crianças apresentavam ao resolver problemas
que envolviam entre outros conceitos os de fração.
Na busca de encontrar informações a respeito dos caminhos pelos quais os
alunos pensam sobre as frações, o estudo possibilitou observar três aspectos que
emergiram dos dados obtidos. O primeiro referia-se se os alunos seriam capazes
de pensar frações, como números ou se pensavam que a palavra “número”
implicaria somente a números inteiros. O segundo, descobrir os modelos de
frações que as crianças dispunham e o terceiro, como elas visualizavam a idéia
de equivalência.
Kerslake (1986) propôs, entre outros, um mesmo problema de dois modos:
com contexto e sem contexto. O problema sem contexto pedia aos alunos a
resolução de 3:5, e o problema com contexto: “Três barras de chocolate foram
divididas igualmente para cinco crianças. Quanto cada uma recebeu?”
A pesquisadora constatou que, aproximadamente 65% dos alunos
obtiveram sucesso no problema com contexto, ao passo que, no problema sem
contexto o índice de sucesso foi significativamente menor.
A autora observou que um número relativamente grande de alunos
interpretou 3:5 como 5:3, sugerindo que as crianças dividem um número grande
por outro menor.
Nas observações feitas por Kerslake (1986) das frações e números
inteiros, notou-se que quando se perguntava aos alunos “quantas frações estão
entre41 e
21 ?” Eles respondiam: “uma”, referindo-se a
31 . Dessa forma, podemos
concluir que os alunos observam apenas os denominadores das frações e não se
dão conta das frações existentes entre elas, ou seja, entre 21 e
41 .
Em seus estudos, Kerslake (1986) observou, durante as entrevistas, que o
diagrama com freqüência ajuda na resolução de determinados problemas como,
por exemplo, entender a fração, como parte de um todo por meio de um círculo
dividido em partes iguais e sombreado algumas delas. No entanto, o uso de
diagramas no modelo parte-todo nem sempre possibilita a visualização imediata
56
de determinadas situações como, por exemplo, 43
32 . Nesta situação, são
necessárias outras divisões da mesma figura para sua compreensão.
Kerslake (1986), baseada nas idéias de Kieren, argumenta que o conceito
de número racional é diferente de número natural, visto que eles não fazem parte
do meio natural dos alunos e as diversas interpretações do número racional
resultam em uma variedade de experiências necessárias.
Neste sentido, a autora conclui que o entendimento dos números racionais,
como elemento do campo quociente requer a oportunidade de experiências dos
aspectos partitivos da divisão. Há necessidade de se estender o modelo parte-
todo e incluir o aspecto quociente da fração e finalmente, as frações
representadas como pontos sobre a reta numerada.
Outra questão proposta por Kerslake (1986) dizia: “Aqui estão três doces.
Há quatro crianças que desejam a sua parte. O que você pode fazer?” Os alunos
dividiram os três doces para quatro pessoas, mas não se preocuparam se as
partes eram iguais ou não. Na intenção de observar o processo de divisão
realizado pelo aluno, foi avaliado que eles não fazem a conexão entre 3:4 e 43 ;
pois só um dos alunos teve mais dificuldade e traçou três retas sobre as três
bolas (doces), os demais desenharam uma cruz sobre cada bola.
Quando foi perguntado ao aluno que traçou três retas sobre as três bolas,
se todos os pedaços tinham o mesmo tamanho, ele respondeu: “O desenho não
está muito correto”. Ela não pensou na maneira de como fazer, mas, quando
lembrou do modelo , realizou a divisão de forma mais adequada que a anterior.
A estratégia utilizada por 11 alunos foi o de criar um desenho,
representando a situação, ou seja, os três doces que seriam repartidos e as
quatro crianças, distribuindo pedaço por pedaço para cada uma das crianças.
Em nosso estudo também encontramos respostas parecidas com os alunos
de Kerlaske (1986) que não preocupavam se a divisão estava em partes iguais.
57
Em seus estudos, Kerslake (1986) encontrou também evidências da falta
de compreensão dos alunos sobre equivalência de frações, mesmo, quando eles
tiveram sucesso em algumas situações que envolviam a equivalência de frações.
Os estudos mostraram que, embora os alunos tivessem apresentado um bom
desempenho nos itens de equivalência que ela apresentou, eles não
necessariamente encontraram frações equivalentes com o mesmo objetivo de
efetuar a adição e somavam frações com denominadores diferentes, por exemplo,
43
32 deram como resultado
75 .
A autora afirma que, embora alguns alunos tenham transformado as
frações em frações equivalentes com o mesmo denominador, parecem que não
perceberam a conexão entre equivalência de fração e adição.
Kerslake (1986) em seus estudos encontrou evidências consideráveis para
constatar que o único modelo de fração com o qual os alunos sentiram-se
confortáveis e familiarizados foi o de fração, como parte de um todo. A
familiaridade com o modelo parte-todo dificultou que entendessem o aspecto da
divisão ou da distribuição, isto é, por exemplo, a fração ba pode ser vista como
sendo coisas “a” distribuídas entre pessoas “b”.
Mesmo que o aspecto (divisão) apareça com freqüência em livros-texto e
seja a base para o método utilizado para transformar a fração em decimais, os
alunosmostram-se relutantes para reconhecer quaisquer conexões entre ba e
.b:a
Ao encontro, as idéias de Kerslake têm também os estudos realizados no
Brasil, por Campos et al. (1995).
O estudo consistiu de um teste diagnóstico, aplicado ao um grupo de 76
alunos de 4ª e 5ª séries do Ensino Fundamental com idade aproximada de 12
anos ou mais de três escolas particulares da cidade de São Paulo. Na posse dos
resultados, Campos et al. (1995) perceberam que havia respostas que mereciam
58
ser investigadas mais profundamente, decidindo, assim, por realização de
entrevistas.
Após analisar os protocolos e as entrevistas, Campos et al. (1995)
concluíram que a maior dificuldade encontrada foi que as crianças, apesar da
idade, não possuíam a noção de conservação de área. Esta dificuldade foi
constatada, por exemplo, nas figuras abaixo, cujas frações atribuídas
respectivamente, foram 31 e
62 .
Desta forma, ficou claro que as crianças não podem compreender o
conceito de fração, pois exige-se delas um desenvolvimento ainda não alcançado.
Campos et al. (1995) ressaltam que esta dificuldade se dá, uma vez que na
escola não são exigidos esses conhecimentos das crianças, pois é sempre dada
uma figura já dividida em partes iguais, fazendo com que elas não percebam a
noção fundamental da fração. A presença da dupla contagem é muito forte,
desconsiderando, assim, a conservação de área.
Outra dificuldade também é apontada por Campos et al. (1995) a respeito
da desconsideração das áreas equivalentes. Nas figuras representadas abaixo,
foram associadas, respectivamente, as seguintes frações: 44 e
11 .
Nas entrevistas, as pesquisadoras indagaram aos alunos se não se poderia
atribuir uma mesma fração para representar as duas figuras. As crianças
responderam não, pois eram figuras diferentes, “Uma tem traço e a outra não”.
59
Assim, um dos fatores facilitadores na pesquisa, foi a presença de frações
com o numerador 1, como 21 ou
31 . As questões que envolviam esse tipo de
fração tiveram respostas imediatas. As autoras ainda ressaltam que a provável
facilidade não deve ser uma simples coincidência, visto que, historicamente, os
egípcios e, até mesmo, hoje em dia, os povos tidos como primitivos (índios, tribos
africanas, etc), usam basicamente as frações unitárias. (CAMPOS et al., 1995).
Ao final, Campos et al (1995) afirmam que o ensino, tanto do ponto de vista
metodológico como curricular, é deficiente, apresentando falhas que, embora
evidentes, são difíceis de ser rompidas.
Silva (1997) realizou um trabalho com um grupo de alunos do último ano do
curso de Magistério, procurando investigar se eles conseguiam perceber as
diferentes concepções de fração como parte-todo, medida e quociente,
explorando, também, as quantidades discretas e contínuas.
O objetivo era possibilitar que os futuros professores das séries iniciais
refletissem sobre a introdução do número fracionário no ensino por meio de
diferentes concepções do conceito. Para atingir este objetivo, Silva (1997)
elaborou uma seqüência didática, baseada na metodologia da Engenharia
Didática.
Com base nos resultados obtidos, a autora constatou que, para alguns
professores, a seqüência trabalhada não foi suficiente. Silva (1997) classificou
estas dificuldades, como obstáculos didáticos e epistemológicos, confirmando os
resultados de Kieren (1988) e Campos (1989). Dentre as dificuldades apontadas,
foi constatada a forte tendência do uso de algoritmos e a concepção de associar a
fração a uma figura. Esta deveria estar, necessariamente, dividida em partes
iguais, considerando a área e a forma da figura. A necessidade é estabelecida
pelo uso da dupla contagem das partes na identificação da fração, ao mesmo
tempo em que conduz à idéia, conforme denomina a autora, de “discretização do
contínuo”, pois a referência do inteiro inicial é substituída pelo número de partes
conseguidas, após a divisão.
60
Silva (1997) destacou ainda a falta de entendimento do conceito de
medição, o que dificultou realizar medições com unidades não usuais; uma
tendência ao uso de algoritmos, em detrimento de um trabalho construtivo com a
representação de figuras, sobretudo, nas operações de adição e subtração.
Independente do contexto, os futuros professores apresentaram, naturalmente, os
decimais, como resultados das divisões, ao invés de perceberem a representação
de um quociente por meio de uma fração.
Com relação aos obstáculos de origem epistemológica, a autora constatou
que o conhecimento dos números naturais conduz à crença de que a adição e a
subtração de frações seguem uma lógica análoga à dos números naturais, ou
seja, basta somar os numeradores e os denominadores das frações envolvidos na
operação. Observou ainda que o uso constante de nosso sistema métrico,
representado exclusivamente por números decimais, dificultou a percepção das
representações fracionárias.
Finalmente, apoiada nos resultados obtidos, a autora destaca como
positivo o envolvimento dos futuros professores nas propostas, não havendo
resistência a nenhuma discussão, o que levou a uma mudança de comportamento
para quase todas dificuldades apresentadas.
Ao final, observa que alguns conhecimentos adquiridos anteriormente
apresentam raízes profundas, sugerindo a necessidade de realização de um
trabalho mais a longo prazo, para que essas raízes possam ser removidas dando
oportunidades para outras nascerem e crescerem com mais força e com novas
direções (SILVA, 1997; p. 197).
No artigo feitos por Onuchic e Botta (1997) uma “nova visão sobre o ensino
e a aprendizagem dos números racionais” as autoras chama atenção das grandes
dificuldades que os professores e os alunos sentem para trabalhar com os
números racionais.
As autoras ainda acreditam que essas dificuldades ocorram pela forma
como o número racional é ensinado, cujas as regras de “como fazer” são
privilegiadas e vêm ao encontro de alguns pesquisadores já citados como por
exemplo Campos et al. (1995) e Silva (1997).
61
Onuchic e Botta (1997, p. 6) ressaltam que o ensino convencional do grau
médio está produzindo estudantes com concepções excessivamente simplistas de
números e operações sobre números e estratégias mecânicas para resolver
problemas.
As autoras citam os estudos dos americanos Hiebert e Behr que
recomendam que:
- o ensino deveria ser mais orientado para o significado do que para o
símbolo;
- em lugar de se colocar o conhecimento como um pacote pronto e
acabado, o ensino deveria encorajar os alunos a construírem seu próprio
conhecimento;
- o ensino deveria trabalhar os alunos dentro de experiências de
aprendizagem estruturadas, para ajudá-los a adquirir um conhecimento
essencial , tanto conceitual como de procedimento.
Hiebert e Behr citados por Onuchic e Botta (1997) recomendam que seja
dada uma atenção ao desenvolvimento dos símbolos fracionários,
desenvolvendo-se conceitos, como os de ordem e equivalência, importantes para
se dar sentido ao tamanho relativo das frações e que levem os alunos a ligar sua
compreensão e suas estratégias intuitivas a métodos mais gerais e formais.
As autoras citadas ainda afirmam que compreender as frações como
números, comparações de frações, conversão para decimais e porcentagem
deveriam ser mais enfatizadas.
Onuchic e Botta (1997) citam, também, os estudos de Kieren (1988), que
foi o primeiro educador a identificar os quatro modos básicos, que chamou de
subconstrutos dos números racionais, nos quais esses números podem ser
interpretados, como relação parte-todo (medida), quociente, razão e operador.
Ao final de seu artigo, Onuchic e Botta (1997) recomendam que trabalhar o
número racional em seus diferentes significados e dentro do contexto de uma
variedade de situações-problema facilitaria a compreensão desses novos
números.
62
Em seu artigo “Números Racionais: conhecimentos da Formação Inicial e
Prática Docente na Escola Básica”, Moreira e David (2004) apresentaram uma
análise do conhecimento matemático, restringindo-se a certos aspectos do
conceito de número racional e às operações nesse campo numérico veiculado no
processo de formação inicial do professor, confrontando-o com as questões que
se colocam na prática docente na escola básica.
Os dados utilizados pelos autores referem-se ao curso diurno de
Licenciatura em Matemática da UFMG (Universidade Federal de Minas Gerais). O
estudo explicita e analisa algumas formas concretas de desarticulação, entre o
processo de formação inicial e a prática profissional.
No entanto, evidencia que, apesar das pesquisas mostrarem que, em
termos da prática docente, a construção dos números racionais é uma das mais
complexas operações da Matemática escolar, esse conjunto é visto como um
objeto extremamente simples, ao longo dos cursos de formação. O tratamento
dado ao conjunto dos números racionais refere-se apenas à definição,
demonstrações formais e propriedades, em outras palavras:
...é como se a teoria da Matemática científica sobre os números racionais resultasse da ação de um fortíssimo compactador que condensa – e, portanto, de certa maneira, esconde – uma variedade imensa de idéias matemáticas em alguns enunciados formais: as definições e os teoremas relativos às propriedades das operações. (MOREIRA e DAVID, 2004 p. 16).
Adotar esta perspectiva como tratamento didático, para o conjunto dos
números racionais, nos cursos de formação de professores, parece-nos, não ser
suficiente, como também não favorece a explicitação das idéias matemáticas
subjacentes às propriedades e às definições. Pois, o trabalho com números
racionais, do ponto de vista da Matemática escolar, pressupõe não só operar com
significados concretos da fração e de outras interpretações, mas também
compreender as relações entre seus elementos, as novas formas de
representações, a nova ordem, as novas operações e suas novas propriedades.
A compreensão de todas estas questões poderia permitir ao professor
propor e discutir com seus alunos, por exemplo, por que no processo de extensão
63
dos campos numéricos algumas propriedades e definições mantêm-se válidas e
outras, não. No domínio dos números naturais, o fato de que dois conjuntos são
rotulados pelo mesmo número falado – digamos ambos os conjuntos têm cinco
elementos, poderá ajudar os alunos a entenderem a equivalência entre dois
conjuntos. Esta situação é, provavelmente, mais complicada com as frações,
quando a equivalência de frações é designada por palavras diferentes – um terço,
dois sextos – e diferentes signos numéricos 1/3 e 2/6.
De todo modo, Moreira e David (2004) afirmam que o tratamento dado ao
conjunto dos números racionais, como alvo dado e estático, desenvolve-se
orientado pelos valores conceituais e estéticos na Matemática acadêmica,
garantindo, dessa forma, em tese, um estatuto de formação teórico-científico.
Portanto, a visão predominante no processo de formação, pode ter algumas
implicações sérias, uma vez que a articulação, entre o processo de formação na
licenciatura com a prática escolar, é concebida como uma tarefa a ser executada,
essencialmente, fora do espaço da formação matemática.
Os autores sugerem que a construção de uma articulação mais adequada
entre o processo de formação e a prática docente escolar está inteiramente ligada
a uma concepção de formação que tome como referência central a Matemática
em sua condição de disciplina escolar, “ao invés de se tentar integrar a prática
escolar a uma formação específica orientada pela Matemática científica”
(MOREIRA e DAVID, 2004, p. 17).
Campos e Magina (2004) realizaram um estudo diagnóstico com 70
professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, com objetivo de investigar
os conceitos que esses professores tinham sobre fração. Para tanto, solicitaram-
lhes que apresentassem estratégias de ensino ao analisarem respostas errôneas
de alunos em questões que envolviam o conceito de fração.
As autoras concluíram que, provavelmente, a maior parte dos professores
das séries iniciais apresenta dificuldades conceituais entre representar
numericamente situações de fração e de razão. Outro dado importante levantado
pelas pesquisadoras foi a pouca utilização dos invariantes da fração acionados
64
nas estratégias, o que pode significar a pouca relevância que esses invariantes
têm em seu ensino.
Além disso, constataram que a principal estratégia de ensino desses
professores é o uso de desenho ou de material concreto com vistas a facilitar
comparações perceptuais dos alunos em detrimento do trabalho com os
invariantes lógicos da fração. Parece que não há uma clareza desses professores
sobre os diferentes significados de fração, o que os levaram a propor situações de
ensino limitadas, restringindo-se à percepção e ao significado parte-todo.
Nesta perspectiva, temos também os estudos de Escolano e Gairín (2005)
que apresentaram em seu artigo “Modelos de Medida para la Ensenãnza Del
Número Racional em Educación Primários”, resultados de uma pesquisa realizada
com alunos de educação primária na Espanha, entre os anos de 1999 e 2004.
Para os autores, o uso do modelo parte-todo na introdução do conceito de
número racional é considerado, como alguns dos obstáculos didáticos na análise
de seus estudos.
Escolano e Gairín (2005) iniciam seu artigo, fazendo considerações sobre o
significado parte-todo, comparando-o com outros significados: quociente, medida
e razão.
Ressaltam que o uso quase exclusivo do significado parte-todo no ensino
não tem uma ligação com a gênese dos números racionais, uma vez que na
história, esse novo conjunto surge da necessidade de dividir, medir e comparar.
Afirmam que as dificuldades que apresentadas pelos alunos em relação ao
domínio dos números racionais, podem ser causadas, tanto pelas decisões
tomadas no processo educativo, em relação a esses números, como também pelo
conjunto de procedimentos, relações e operações próprias desses números.
Os autores, também referem-se a Behr et al. (1993) que admitem cinco
significados para a fração: parte-todo, quociente, razão, operador e medida e
Kieren (1993) que considera o significado parte-todo incluído nos significados
quociente e medida.
65
Escolano e Gairín (2005) referem que o significado parte-todo é
apresentado, usualmente, em uma situação estática, com a figura dividida em
partes iguais, com algumas dessas partes pintadas. Esta situação exigirá do
aluno realizar uma transferência entre representações gráficas e simbólicas, e as
etapas dessa transferência são a interpretação da figura, a realização da dupla
contagem e a representação do resultado dessas operações de forma simbólica.
Estas tarefas conduzem ao estabelecimento de uma relação simbólica entre dois
números naturais, e só depois, ao longo do processo educativo será instituída a
definição de número racional.
Segundo os autores, a construção do conceito de fração, tendo como ponto
de partida o modelo parte-todo aqui descrito, tem como características a
constatação de que boa parte do conhecimento é adquirido de forma visual, e
também o fato de que a atividade não está associada à tarefa de medir
grandezas. Nesse contexto, os fatos produzem na aprendizagem alguns efeitos
indesejados, como:
- A ênfase está na dupla contagem;
- não se define a unidade. O todo-unidade não necessita ser apresentado
de forma explícita. Sendo assim, as figuras podem ser apresentadas
superpostas e claramente diferenciadas, segundo o atributo da cor, de
modo que o aluno não tem necessidade de reconhecer a unidade para
resolver a tarefa;
- não se atribui relevância a necessidade de igualdade dos tamanhos das
partes (conservação das áreas), pois o processo está centrado na
cardinalidade do número de partes
Pelos fatores expostos, Escolano e Gairín (2005) ainda afirmam que
modelo parte-todo reforça a idéia de número natural, pois a tarefa se resolve por
dupla contagem e o aluno não sente necessidade de introduzir nenhuma estrutura
numérica superior à do número natural. Sendo assim, a fração não adquire o
status de número, mas, de uma simples relação entre dois números naturais.
Conforme os autores ressaltam tudo acaba por gerar três tipos de
obstáculos.
66
O primeiro, refere-se à formação de concepções adequadas, uma vez que
não existem frações impróprias; as frações são números não medidas; o todo ou
unidade não é número.
O segundo, diz respeito à separação conceitual entre número racional e
número natural, pois: a fração é formada por dois números naturais e descreve
apenas uma situação estática em que estão envolvidos dois números naturais.
Portanto, nem a fração nem a expressão decimal são entendidas como um ente
numérico diferente dos números naturais. As relações e operações com os
números racionais têm os mesmos significados que os números naturais, fazendo
com que os alunos tendam a estender aos números racionais as mesmas
técnicas operatórias usadas nos números naturais, não percebendo as
peculiaridades das operações com racionais, sobretudo no que diz respeito à
adição e à multiplicação.
Já o terceiro obstáculo, refere-se à formação de idéias abstratas, na
medida que não provêm situações que facilitem a passagem do mundo dos
objetos para o mundo das idéias. Assim, os alunos adquirem crenças do tipo: os
conceitos são as técnicas a eles associadas e os conteúdos úteis são os
procedimentais.
Com base nos obstáculos e nas dificuldades descritos acima, os autores
elaboraram uma seqüência de ensino, no sentido de uma proposta alternativa de
abordagem do ensino de frações, preocupados em reduzir os efeitos apontados,
como desvantagens do modelo parte-todo. Na elaboração da seqüência,
consideraram a gênese histórica do número racional, priorizando modelos que
forneçam suportes físicos estáveis para que os alunos construam o
conhecimento. Participaram das atividade 160 alunos e 5 professores.
Como conclusão, Escolano e Gairín (2005) argumentam que o modelo
apresentado, pautado nos significados medida, quociente e razão proporciona o
desaparecimento dos obstáculos citados e permitem que as frações impróprias
tenham o mesmo status, como expressão da medida de uma grandeza, que as
frações são entes numéricos associados à idéia de medida e que a unidade
exerce um papel essencial para interpretar as frações. Argumentam, as
67
diferenças entre os números racionais e os naturais e as frações equivalentes por
meio de atividades manipulativas.
Os pesquisadores do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação
Matemática (GEPEM), publicaram em 2005, um estudo no qual à pesquisadora
Frant faz referências ao livro ”Frações no Currículo do Ensino Fundamental:
Conceituação, Jogos e Atividades Lúdicas” de Joaquin Giménez e Marcelo Bairral
(1991), sobre a fundamentação e as aplicações no trabalho com frações nos
diferentes níveis de ensino. As idéias principais iniciaram-se desde 1978, pelo
grupo “Periódica Pura”, em Barcelona. No Brasil, em 1994, a primeira edição do
material foi desenvolvida e a presente edição sofreu algumas modificações em
função das experiências que continuaram se desenvolvendo em diferentes
espaços de formação profissional docente.
O livro disponibiliza aos professores e futuros educadores um conjunto de
material de apoio fundamentalmente gráfico ainda que de natureza manipulativa
para o ensino sistemático de frações.
O capítulo I do livro traz a fração dentro dos significados e implicações
curriculares e algumas falas de estudantes de Licenciatura Matemática (20 anos
de idade) referente à concepção que os mesmos têm sobre frações.
Nesse sentido, Giménez e Bairral (1991) afirmam que existem três
concepções errôneas apresentadas pelos estudantes sobre frações, a saber:
- a fração é uma parte menor da unidade;
- a fração são dois números separados por um traço;
- a fração é um operador que sempre indica uma subdivisão e, portanto,
um resultado menor.
Diante do exposto, mostram várias exemplos com objetivo de exemplificar
tais concepções e, ao final, dão ênfase a uma estratégia imprescindível: a
valorização da unidade.
Em seguida Giménez e Bairral (1991, p. 10) referem, que: “em nosso
cotidiano, a linguagem nos oferece uma primeira dificuldade sobre o tema, uma
68
vez que há uma variedade de situações que, freqüente e diferentemente falam da
frações”.
Nesse sentido, Gimenez e Bairral (2005) citam os diferentes aspectos que
a fração pode assumir que não estão associados apenas à idéia de parte-todo,
tais como: a fração como quantidade, como expressão de um escalar ou medida,
como função símbolo, ou, ainda, como probabilidade.
Ao final deste primeiro capítulo, Gimenez e Bairral (2005) sugerem que a
construção do conceito de fração deve ser desenvolvida baseada nos aspectos
citados acima e explorados desde situações mais simples até as mais complexas.
Ressaltam uma seqüência de conteúdos conceituais, que contemplam as
diversas idéias das frações que preconizam um processo contínuo de ampliação
desse conjunto.
O capítulo II intitulado de Equivalência, Reta Numérica, Comparações e
Estimativas, Gimenez e Bairral (2005) falam sobre a ordenação e equivalência,
como elementos conceituais importantes que constrói a noção de fração e
número racional e deve ser explorada em situações variadas.
Os autores sugerem que a primeira idéia para trabalhar a equivalência são
as distribuições, ou seja, uma vez que descoberto que as partes em que se divide
o todo, devem ser iguais. O processo de partição leva a elaboração de respostas
distintas.
Nos capítulos seguintes os pesquisadores recomendam vários jogos e
atividades manipulativas variadas para trabalhar com frações, além da descrição
de suas experiências com os alunos.
Gimenez e Bairral (2005) ainda ressaltam que as dificuldades associadas à
construção do conceito de fração são de dois tipos: psicológicas e
epistemológicas. No primeiro caso, os pesquisadores referem-se á construção da
idéia de unidade e à sua variabilidade, seja nos problemas resultantes das
subdivisões simples e, posteriormente, na aceitação da densidade (entre duas
frações há uma outra) que apresenta situações implícitas com a noção de infinito.
Além também da dificuldade em reconhecer frações de uso não cotidiano que
69
correspondem à interpretação da fração com a divisão, nesse caso, a aceitação
do resíduo como uma parte do divisor. Já em relação as dificuldades
epistemológicas, os pesquisadores ressaltam: duas frações, embora escritas
diferentemente, têm o mesmo valor; a incorporação da idéia de razão-proporção
com a fração; e o reconhecimento e aceitação da fração com um número,
chamando atenção do aluno para a existência e a especificidade de outro campo
numérico.
Ao final, Giménez e Bairral (2005) referem que “a utilização de uma tarefa
bem planejada ou um recurso didaticamente elaborado não implica na
aprendizagem”. Ou seja, em outras palavras, não só a utilização dos recursos e a
inovação das aulas que resolvem a complexidade na construção do
conhecimento. É preciso envolvimento tanto de professor como do aluno.
Expostos os estudos relevantes à nossa pesquisa, passaremos ao próximo
capítulo, no qual onde situaremos a metodologia utilizada na presente pesquisa.
70
CAPÍTULO IV
METODOLOGIA
4.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, descrevemos o desenho metodológico de nosso estudo,
cujo objetivo foi de introduzir o número racional positivo, em sua representação
fracionária, que chamamos de fração. Limitar-nos a abordar a fração com alunos
de 2ª série do Ensino Fundamental, apenas investigando quatro significados:
parte-todo, quociente, operador multiplicativo e medida (Nunes et al. 2003). Além
disso, consideramos as variáveis de quantidades (contínuas e discretas) e de tipo
representação (situação-problema icônica e não icônica).
Ao discorrer sobre o estudo, iniciamos com uma discussão teórico-
metodológica e, na seqüência, apresentamos o desenho do experimento, que
consta do universo da pesquisa, quando situamos a escola dentro, da qual o
estudo foi realizado e, em particular, delineamos seus sujeitos participantes.
Descrevemos, ainda, o material utilizado no que tange aos instrumentos-
diagnóstico aplicados (pré-teste, intermediário e pós-teste) e a intervenção de
ensino. Por fim, descrevemos o procedimento utilizado na aplicação dos
instrumentos e no desenvolvimento da referida intervenção.
Cabe ressaltar que as atividades utilizadas nos instrumentos-diagnóstico
foram as mesmas, tanto no pré como no intermediário e pós-teste.
71
4.2 DISCUSSÃO TEÓRICO-METODOLÓGICO
O estudo tem um caráter quase experimental, intervencionista, com o
objetivo de introduzir os números racionais positivos em sua forma fracionária (ba ,
com a e b naturais e b 0) que denominamos de fração.
Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006), os estudos experimentais
caracterizam-se pela realização de “experimentos” que visam verificar a validade
de determinadas hipóteses em relação fenômeno ou problema. Entendemos por
experimento aquela parte da investigação, na qual se manipulam certas variáveis
e observam-se seus efeitos sobre outras. Neste tipo de investigação, o papel do
pesquisador é tentar reproduzir um fenômeno para observá-lo sob controle.
Os autores ainda ressaltam que existem dois tipos especiais de pesquisa
experimental:
Quase-experimental: é aquele em que a variável independente é
manipulada pelo pesquisador, operando com grupos de sujeitos
escolhidos sem seu controle;
Experimental: é útil quando se deseja destacar as relações entre
variáveis (previamente selecionadas nele). Aqui as hipóteses
desempenham importante papel e o pesquisador pode controlar tanto a
variável independente como também a constituição dos grupos de
sujeitos envolvidos na pesquisa.
Campbeli e Stanley (1972) nesta mesma direção, ressaltam uma vez que
contemplamos em nossa metodologia a aplicação de um pré-teste, de uma
intervenção de ensino e de pós-teste, esta pesquisa pode ser tratada de forma
quase-experimental, citam também o fato de não haver preocupação com a
equivalência pré-experimental da amostragem dos grupos que a diferencia da
pesquisa experimental propriamente dita.
A proposta de trabalho aqui apresentada apóia-se nas idéias desses
autores. O estudo foi de caráter intervencionista, pela aplicação de instrumentos-
diagnóstico (pré-teste, teste intermediário, pós-teste), que permitem a obtenção
72
de dados quantitativos e qualitativos, sendo assim classificado de quase-
experimental.
4.3 DESENHO DO EXPERIMENTO
O desenho envolveu a utilização de dois grupos de pesquisa advindos de
duas classes da 2a série do Ensino Fundamental, sendo que uma das classes
teve o papel de grupo experimental (GE) e a outra de grupo controle (GC)6.
Ambos os grupos submeteram-se aos instrumentos-diagnóstico utilizados
pela pesquisa (pré, intermediário e pós-teste). Os grupos constituíram coletivos,
naturalmente montados, isto é, os sujeitos de cada grupo eram alunos que
compunham uma classe completa. Contudo, como se tratou de alunos de uma
mesma escola, com a mesma faixa etária e apresentando desempenho similar no
pré-teste, podemos dizer que havia uma certa equiparação entre os grupos.
A fixação dos grupos em experimental e de controle foi feita
aleatoriamente. O GC foi nosso grupo de referência, passou por todos testes
diagnósticos, mas não pelas intervenções de ensino pela qual passou o GE.
Tomaremos este grupo como comparativo; é importante salientar que, do ponto
de vista formal, o grupo não teve contato nenhum com o objeto estudado na
pesquisa.
4.3.1 Universo da Pesquisa
Como já foi dito anteriormente, nosso estudo foi realizado com alunos de
duas turmas de 2ª série do Ensino Fundamental de uma Escola Pública da região
de Santo André, cidade pertencente à grande São Paulo. No que diz respeito aos
ambientes da escola, a mesma possui Sala de Biblioteca, de Vídeo, Quadra
Poliesportiva. Além disso, está sendo montado um Laboratório de Informática com
oito computadores.
6 A partir daqui, iremos nos referir a esses grupos por suas respectivas abreviaturas GE para grupo
experimental e GC para grupo controle.
73
A escola participa do projeto denominado “Escola da Família”,
desenvolvido pelo Governo Estadual, que consiste em abrir as portas de algumas
de suas escolas nos finais de semana para promover atividades culturais e de
lazer que contam com a presença dos alunos e da comunidade. Esta escola
funciona nos períodos matutino e vespertino.
A primeira razão para a escolha da escola veio do fato de querermos
pesquisar uma instituição pública, já que esta é a que mais abriga a população de
estudantes brasileiros (92% da população de estudantes dos Ensinos
Fundamental e Médio estudam em escolas públicas). Quanto às razões de termos
escolhido esta escola, em particular, podemos elencar três que, embora distintos,
relacionam-se uns com os outros, a saber: conhecimento de parte de seu corpo
docente, acessibilidade e abertura da direção para realização de pesquisas
educacionais em suas dependências e seu fácil acesso com respeito à
localização. Por questão de ética, preservaremos o nome da escola, das
professoras e dos alunos envolvidos na pesquisa.
4.3.2 Sujeitos de Pesquisa
Os sujeitos de nossa investigação pertencem ao período vespertino, da
escola, apresentam faixa etária entre sete e nove anos de idade. Segundo dados
revelados pelo plano escolar, os sujeitos são provenientes de classe média e
moram próximos à escola. A maioria tem disponível em suas casas livros e
computador. Nessa direção, fomos informados pelas professoras dessas duas
classes participantes do estudo, que a grande maioria já é usuário de
computadores em suas próprias residências.
Nosso estudo contemplou um total de 62 alunos, sendo 31 da turma que
denominamos de GE e 31 da turma que chamamos de GC. Os alunos que
formaram o grupo GE foram os que receberam uma intervenção de ensino. O
desenho do experimento foi planejado uma subdivisão do GE em quatro
subgrupos, segundo o tipo e ordem da intervenção que cada subgrupo receberia.
Assim, o GE foi subdividido em GE1, GE2, GE3, e GE4. Esta escolha foi feita
aleatoriamente, com a ajuda da professora da classe, com exceção de dois
74
alunos que não podiam permanecer no mesmo grupo pelo fato de não dominarem
a leitura. Assim todos permaneceram nos mesmos subgrupos durante o
desenvolvimento de toda a intervenção, não havendo troca de subgrupo.
Ainda com relação ao desenho do experimento, este foi subdividido em
duas etapas: as etapas e . A etapa diz respeito às aplicações dos
instrumentos-diagnóstico (pré-teste, intermediário e pós-teste). Desta etapa,
participaram os dois grupos GE e GC. Já etapa diz respeito à aplicação da
intervenção de ensino do qual teve participação somente do grupo GE dividido em
subgrupos: GE1, GE2, GE3 e GE4.
A seguir, apresentaremos um quadro-resumo do desenho de nosso
experimento, para melhor visualização.
QUADRO 4.1 – Resumo do desenho do experimento
4.4 MATERIAL
Podemos descrever o material utilizado na pesquisa, segundo as duas
etapas do estudo. A etapa descreve o material utilizado nos instrumentos-
diagnóstico aplicados em três fases (pré-teste, teste intermediário e pós-teste). Já
a etapa cita os materiais utilizados na intervenção de ensino.
75
4.4.1 Materiais da Etapa : Os Instrumentos Diagnósticos
Os instrumentos-diagnóstico7 constituíram-se em pré-teste, intermediário e
pós-teste; todos preservaram a mesma equivalência Matemática, tanto no que se
refere aos contextos quanto às que se refere às questões.
Estes instrumentos foram compostos por 28 situações-problema,
apresentadas em forma de livrinho com oito páginas, sendo a primeira dedicada à
identificação do sujeito (nome, idade e série) e as páginas restantes as 28
situações-problema, envolvendo os quatro significados de fração (parte-todo,
operador multiplicativo, quociente e medida).
As variáveis de quantidade (contínua e discreta) e de representação
(icônica e não icônica foram consideradas e controladas. Para cada significado,
trabalhamos com oito situações-problema, sendo que quatro delas envolveram
variáveis contínuas e as outras quatro variáveis discretas (com exceção do
significado quociente, pois não conseguimos encontrar situações que
envolvessem quantidade discreta dentro desse significado, a não ser que
saíssemos do campo dos racionais).
Da mesma forma, havia quatro situações-problema que continham ícones e
outras quatro que não continham ícones. Optamos por trabalhar dessa maneira
para investigar se a presença do ícone contribui ou não na resolução das
situações envolvidas nos instrumentos-diagnóstico.
Abaixo mostraremos uma tabela com o número das questões, de acordo
com o significado e o tipo de variáveis envolvida, ou seja, discreta ou contínua,
icônica ou não icônica.
7 Para melhor visualização do layout da folha ver o Anexo 1 testes diagnósticos (pré, intermediário e pós-
teste).
76
QUADRO 4.2 - Distribuição das questões segundo o significado e as variáveis investigadas no
estudo.
Contínuo Discreto
não icônico não icônico
Parte-todo Q1 e Q3 Q2 e Q8 Q5 e Q4 Q6 e Q7
Quociente Q9 e Q10 Q11 e Q12
Operador multiplicativo
Q17 e Q18 Q19 e Q20 Q14 e Q15 Q13 e Q16
Medida Q25 e Q27 Q26 e Q28 Q21 e Q23 Q22 e Q24
Var. Sig.
Contínuoicônico
Discretoicônico
Todas as frações utilizadas nos instrumentos-diagnóstico foram chamadas
de frações próprias, aquelas em que o numerador é menor que o denominador.
Esta escolha baseia-se na hipótese de que a como os sujeitos investigados nunca
tiveram nenhum contato do ponto de vista formal da escola com fração, talvez, o
fato de utilizar apenas um tipo de fração, representando quantidades menores
que um facilitasse seu entendimento.
Necessário se faz dizer que a questão 12 do nosso instrumento-diagnóstico
apresenta uma fração imprópria.Isto ocorreu em razão de um erro de digitação
que somente foi percebido, após a aplicação do pré-teste. Como os testes-
diagnóstico mantiveram a mesma equivalência matemática de contexto e
questões, decidimos por manter a questão e dar uma atenção especial em nossa
análise, verificando assim o fator ordem e equivalência proposto no estudo de
Nunes et al. (2003) no que se refere às frações.
No que diz respeito as frações dos testes diagnósticos usamos as
seguintes frações: 21 ,
31 ,
41 ,
32 ,
42 ,
82 ,
43 ,
53 ,
63 ,
64 ,
84 ,
86 ,
48 .
A seguir, apresentaremos, a descrição pormenorizada de cada uma das
questões desenvolvidas nos testes, como uma análise das mesmas.
77
Questão 1
PEDRO E PAULO COMPRARAM UMA PIZZA PARA DIVIDIR IGUALMENTE ENTRE ELES.
PINTE DE AZUL A PARTE QUE PEDRO COMEU E DE VERMELHO A PARTE QUE PAULO COMEU
UTILIZANDO NÚMEROS, ESCREVA QUAL A FRAÇÃO DA PIZZA QUE CADA UM COMeu.
Resposta
Esta questão aborda o significado parte-todo com quantidade contínua e
apresenta ícone para retratar a situação. O significado parte-todo é, geralmente, o
mais abordado nos livros didáticos para se introduzir o conceito de fração. Para
obter a resposta, o aluno pode utilizar o processo de dupla contagem, sendo a
quantidade de pizzas dividida o denominador e a parte que Pedro comeu, o
numerador. O ícone, pode ser um fator facilitador, pois ele retrata a situação.
Nesse caso, a criança pode fazer a divisão no próprio desenho da pizza.
Nesta questão, é possível encontrarmos as seguintes respostas:
21 dividida em 2 partes e comeu uma parte, indicando o estabelecimento
da relação parte-parte.
12 O aluno poderia ainda ter pensado de maneira correta, mas inverteu o
numerador com o denominador.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva 21
pizza ou, simplesmente, 21 , ou ainda, “meio”. Não será considerada, como
resposta correta aquela em que o aluno simplesmente passar um traço na metade
do ícone constante na questão.
78
Geralmente, este significado é utilizado para introduzir o conceito de fração
e como é facilmente encontrado em livros didáticos, acreditamos que haja fortes
razões para se afirmar que os alunos não terão problemas resolver para essa
questão. Espera-se um grande número de acertos na questão.
Questão 2
ANTES QUE COMEÇASSEM A COMER CHEGARAM DOIS AMIGOS DO PAULO E DO PEDRO.
A PIZZA FOI ENTÃO OUTRA VEZ REPARTIDA IGUALMENTE ENTRE OS QUATRO AMIGOS.
NESTE CASO QUE PARTE DA PIZZA CADA UM IRÁ COMER? DESENHE ESTA SITUAÇÃO E
ESCREVA A FRAÇÃO QUE CADA UM DOS MENINOS IRÁ COMER.
Resposta
A questão refere-se ao significado Parte-todo com quantidade contínua, e
não utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno
consegue, apoiada na descrição de um problema, sem ausência de figuras,
identificar o todo, as partes e, por fim, representar uma fração que exprima a
situação.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
41 indicando a obtenção correta das partes e do todo, mostrando que o
aluno pode ter se utilizado de dupla contagem, o que caracteriza o
significado parte-todo.
14 o aluno poderia ainda ter pensado de maneira correta, mas inverteu
o numerador com o denominador.
31 o aluno ao responder dessa maneira poderia estar indicando o
estabelecimento das relações parte-parte.
79
Consideraremos como resposta correta, aquela que o aluno escreva 41 de
“pizza”. Não será considerada como resposta correta aquela que o aluno
simplesmente passe um traço na metade do ícone constante na questão.
Como na primeira questão, acreditamos que os alunos não terão
dificuldade em resolver a questão, pois refere-se ao significado parte-todo, e está
bem explicitado no texto: quem é o todo que foi dividido e qual número de partes
tomadas .
Questão 3
CARLOS GANHOU UMA BARRA DE CHOCOLATE. ELE CORTOU EM 6 PEDAÇOS IGUAIS E COMEU 4
PEDAÇOS. PINTE OS PEDAÇOS QUE ELE COMEU E ESCREVA A FRAÇÃO.Resposta
Esta questão enfatiza o significado parte-todo com quantidade contínua, e
utiliza ícone para retratar a situação e tem por objetivo verificar se o aluno
consegue identificar o todo, as partes e, por fim, representar uma fração que
exprima a situação.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
64 indicando que o aluno utilizou de relações parte-todo.
32 , o aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência entre os
elementos do conjunto
46 ou
23 para essas representações, o aluno demonstra que pensou da
maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
42 o aluno pode ter pensado em relações parte-parte.
80
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva, 64
ou32 . Não será considerada como resposta correta aquela em que o aluno
apenas pintar o ícone ele deverá também escrever a fração.
Nesta questão, nossa expectativa é que os alunos não apresentem muita
dificuldade e tenham uma grande quantidade de acertos, visto que o ícone é um
fator facilitador.
Questão 4
NUMA LOJA DE PRESENTES TEM 2 BONÉS AZUIS E 1 BONÉ BRANCO, TODOS DO MESMO
TAMANHO. VOCÊ PODE ESCREVER UTILIZANDO NÚMEROS A FRAÇÃO QUE REPRESENTA A
QUANTIDADE DE BONÉ BRANCO EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BONÉS?
Resposta
Esta questão enfatiza o significado parte-todo com quantidade discreta e
utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno identifica
o todo e utiliza a dupla contagem para representar a situação.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
31 indicando que o aluno utilizou a dupla contagem, o que caracteriza o
significado parte-todo.
13 para essas representação, o aluno demonstra que pensou da maneira
correta, mas inverte o numerador pelo denominador
21 indicando que o aluno pensou na relação parte-parte.
81
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva a
fração31 .
Nossa previsão é que também os alunos não apresentem dificuldades
nesta questão, visto que o ícone pode ser um fator facilitador, pois retrata de
maneira clara a situação.
Questão 5
NO RETÂNGULO ABAIXO, LAÍS PINTOU DUAS CARETINHAS. VOCÊ PODE REPRESENTAR
NUMERICAMENTE, EM FORMA DE FRAÇÃO, ESSAS CARETINHAS PINTADAS EM RELAÇÃO À
QUANTIDADE TOTAL DE CARETINHAS?
Resposta
A questão enfatiza o significado parte-todo com quantidade discreta e
utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno identifica
o todo e utiliza a dupla contagem para representar a situação.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
42 indicando que o aluno está usando a relação parte-todo.
21 o aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência entre os
elementos do conjunto.
24 ou
12 para estas representações, o aluno demonstra que pensou da
maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva, a
fração42 ou a fração equivalente
21 .
82
Como na primeira questão, acreditamos que os alunos não terão
dificuldade nessa questão, visto que o ícone pode ser um fator facilitador, pois
retrata de maneira clara a situação.
Questão 6
NUMA LOJA DE BRINQUEDOS HAVIA 5 BONECAS IGUAIS. SARA COMPROU 3 DESSAS BONECAS
PARA PRESENTEAR SUAS SOBRINHAS. QUE FRAÇÃO REPRESENTA AS BONECAS QUE SARA
COMPROU EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BONECAS DA LOJA?Resposta
Desenho
A questão refere-se ao significado parte-todo com quantidade discreta e
não utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno
identifica o todo e as partes com base na interpretação de um texto, em que o
todo deve ser considerado, como um conjunto de objetos e a parte, um de seus
subconjuntos.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
53 indicando que o aluno está usando a dupla contagem, o que enfatiza
situação parte-todo.
32 ou
23 indicando que o aluno está fazendo a relação parte-parte, ou
seja, o aluno indica 2 bonecas que sobraram na loja de brinquedo para 3
que Sara comprou ou 3 bonecas que Maria comprou para 2 que restaram
na loja .
35 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o
numerador pelo denominador
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva 53 .
83
Nossa previsão é que o aluno encontre um pouco mais de dificuldade nesta
questão, pelo fato de não apresentar ícone. O aluno terá de imaginar a situação,
com base na hipótese que as quantidades discretas não são muito utilizadas no
livros didáticos conforme mostram as pesquisa de Merline (2005) e Moutinho
(2005).
Questão 7
DAS 8 XÍCARAS DE UM CONJUNTO DE CHÁ, 2 ESTÃO QUEBRADAS. VOCÊ PODE ESCREVER A
FRAÇÃO QUE INDICA A QUANTIDADE DE XÍCARAS QUEBRADAS EM RELAÇÃO AO TOTAL DE
XÍCARAS?Resposta
Desenho
Esta questão refere-se ao significado parte-todo com quantidade discreta e
não utiliza ícone para retratar a situação, tem o mesmo objetivo da questão
anterior, verificar se o aluno identifica o todo e as partes a partir da interpretação
de um texto, em que o todo deve ser considerado como um conjunto de objetos e
a parte, um de seus subconjuntos.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
82 indicando que o aluno está usando a dupla contagem, o que enfatiza
situação Parte-todo
41 o aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência entre os
elementos do conjunto.
28 ou
14 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte
o numerador pelo denominador.
84
86 ou
68 o aluno está indicando que respondeu de maneira equivocada,
ou seja, 6 xícaras que restaram do conjunto que não estão quebradas
para 8 que é o total, utilizando a dupla contagem o que também
caracteriza o significado parte-todo, ou inverter o numerador com o
denominador na mesma situação.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 82
ou41 das xícaras.
Nossa previsão para esta questão é a mesma que a anterior, que o aluno
encontre um pouco mais de dificuldade, pelo fato de não apresentar ícone, e o
aluno ter de imaginar a situação. Partindo, também, da hipótese que as
quantidades discretas não são muito utilizadas nos livros didáticos.
Questão 8
NANÁ GANHOU UMA BARRA DE CHOCOLATE, PARTIU EM 3 PARTES IGUAIS E DEU 2 PARTES
PARA SUA AMIGA LUANA. VOCÊ PODE ESCREVER QUE FRAÇÃO REPRESENTA A PARTE QUE
LUANA RECEBEU EM RELAÇÃO AO TOTAL DO CHOCOLATE?Resposta
Desenho
Esta questão refere-se ao significado parte-todo com quantidade contínua
e não utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno
identifica o todo e as partes a partir da interpretação de um texto, utilizando-se de
dupla contagem.
Na questão, esperamos as seguintes respostas:
32 indicando que o aluno está usando a dupla contagem, o que enfatiza
a situação parte-todo.
85
23 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o
numerador pelo denominador
31 o aluno demonstra que respondeu de maneira equivocada,
relacionando o todo e o que sobrou.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 32 .
Não será considerada como resposta correta aquela em que o aluno escrever 31 ,
pois o tipo de resposta demonstra a sobra do todo.
Nossa expectativa é que o aluno não tenha dificuldade nesta questão, visto
que, para obter a resposta, ele poderá utilizar o procedimento de dupla contagem,
a quantidade de partes do chocolate que foi dividida, como sendo o denominador
e o total de partes que Luana recebeu, representar o numerador. Ainda partindo
da hipótese que quantidades contínuas são muito abordada pelos livros didáticos,
conforme pesquisas já citadas .
Questão 9
NA MESA DO RESTAURANTE TEM 5 CRIANÇAS. A GARÇONETE SERVIU 3 TORTAS PARA DIVIDIR
IGUALMENTE ENTRE ELAS. QUAL A FRAÇÃO QUE CADA CRIANÇA IRÁ RECEBER?
Resposta
Esta questão apresenta o significado quociente, com quantidade contínua,
utilizando-se de ícone para representar a situação. O significado quociente está
presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é verificar se o
86
aluno consegue, utilizando-se de figuras, responder à questão, operando com
grandezas contínuas.
Nesta questão, esperamos, as seguintes respostas:
53 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 3
chocolates para 5 crianças, o que retrata duas grandezas distintas (torta
e crianças).
35 o aluno demonstra que pensou de maneira correta, mas inverte o
numerador pelo denominador.
Consideramos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 53 da
torta.
Nossa expectativa é que os alunos tenham um pouco mais de dificuldade
nesta questão, embora seja comum as crianças vivenciarem situações que
envolvam operação de divisão por partição, mesmo antes de entrar na escola.
Questão 10
DIVIDA AS 2 BARRAS DE CHOCOLATE QUE ESTÃO DESENHADAS ABAIXO PARA 4 CRIANÇAS, DE
TAL FORMA QUE TODAS GANHEM O MESMO TANTO. QUANTO DO CHOCOLATE CADA UMA IRÁ
RECEBER?
Resposta
A questão aborda o significado quociente, com quantidade contínua,
utilizando-se de ícone para representar a situação. O significado quociente está
presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é o mesmo da
87
questão anterior, verificar se o aluno consegue utilizando-se de figuras responder
à questão, operando com grandezas contínuas.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
42 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 2
chocolates para 4 crianças, o que retrata duas grandezas distintas,
(chocolate e crianças).
24 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o
numerador pelo denominador.
21 aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 42
ou21 da barra de chocolate e, também, que divida corretamente as barras, ou
seja, utilizando-se do ícone.
Partimos da hipótese que a divisão por partição é dada, a partir das séries
iniciais, porém o aluno poderá não fazer conexão entre fração e divisão na
formalização da resposta. Acreditamos que os alunos também encontrarão
dificuldade nesta questão, apesar do ícone ser um fator facilitador, conduzindo-o
à resposta. Ressaltamos que isto pode ocorrer pelo fato do conceito de fração
estar para o aluno, mais ligado ao significado parte-todo. (NUNES e BRYANT,
1997).
Questão 11
AGORA DIVIDA UMA BARRA DE CHOCOLATE PARA TRÊS CRIANÇAS E PINTE A PARTE QUE UMA
DELAS IRÁ COMER.
Resposta
Desenho
88
Esta questão aborda o significado quociente, com quantidade contínua, e
não utiliza figuras para representar a situação. O significado quociente está
presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é verificar se o
aluno consegue responder à questão, operando com grandezas contínuas, sem
utilizar ícones.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
31 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 1
chocolate para 3 crianças, o que retrata duas grandezas distintas,
(chocolate e crianças).
13 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o
numerador pelo denominador.
32 o aluno demonstra que respondeu de maneira equivocada,
relacionando o que sobrou do chocolate que foi dividido para 3 crianças.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva 31
da barra ou, simplesmente, a que o aluno apenas pinte e divida o ícone
corretamente. Não será considerada correta aquela que o aluno simplesmente
passar traços no ícone constante na questão.
Como na questão anterior, acreditamos que o aluno poderá ter dificuldade
para responder esta questão, e o outro fator que poderá tornar a questão mais
complexa, é o fato de não aparecer o ícone, o aluno terá de imaginar e desenhar
a situação.
Questão 12
LANA TEM 8 BARRAS DE CEREAIS. ELA VAI DIVIDIR IGUALMENTE PARA 4 CRIANÇAS. VOCÊ
PODE ESCREVER QUE FRAÇÃO CADA CRIANÇA IRÁ RECEBER?
Resposta
Desenho
89
Esta questão aborda o significado quociente com quantidade contínua, e
não utiliza ícones para representar a situação. O significado quociente está
presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é verificar se o
aluno encontra a solução, baseando-se na descrição do problema.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
48 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 8
barras de cereais para 4 crianças, o que retrata duas grandezas distintas,
(cereais e crianças), caracterizando o significado quociente.
84 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o
numerador pelo denominador .
82 este tipo de resposta nos traz uma hipótese que o aluno possa ter
utilizado do significado parte-todo, ou seja, cada criança receberá 2
pedaços dos 8 cereais.
28 o aluno poderá responder invertendo o numerador pelo denominador.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 48 ,
24 ou 2 da barra de cereais.
Há fortes indícios que teremos nesta questão uma grande quantidade de
acertos.
Questão 13
SILAS COMPROU 6 BALÕES. DESSES BALÕES 21
SÃO VERMELHOS. ESCREVA QUANTOS
BALÕES SÃO VERMELHOS.
Resposta
Desenho
90
A questão envolve o significado operador multiplicativo, com quantidade
discreta e não utiliza ícone para representar a situação. O objetivo da questão é
que o aluno encontre a solução, baseando-se na descrição do problema.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
3 indica que o aluno utilizou o significado operador.
21 , possivelmente, o aluno tenha utilizado apenas dados do enunciado.
63 o aluno utilizou da estratégia parte-todo, ou seja, 3 balões de um total
de 6.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva ou
circule 3 dos balões.
Há grandes indícios que o aluno não terá dificuldade para responder esta
questão, tendo uma grande quantidade de acertos.
Questão 14
CARLA GANHOU 64
DAS BOLAS ABAIXO. CIRCULE QUANTO ELA GANHOU.
Resposta
A questão enfatiza o significado operador Multiplicativo com quantidade
discreta e apresenta ícone para retratar a situação. O objetivo da questão é que o
aluno represente a solução da situação, operando com o ícone.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
o aluno circule 4 das 6 bolinhas apresentadas,
91
Consideraremos como resposta correta aquela em que aluno escreva ou
circule as 4 bolas.
Há fortes indícios que o aluno não terá dificuldade em responder, pois a
situação fornece de maneira explícita todos os elementos para resolução.
Questão 15
FÁBIO TINHA 6 BOLAS. ELE ORGANIZOU AS BOLAS EM DOIS GRUPOS. UM GRUPO ERA DE
BOLAS AZUIS E OUTRO DE BOLAS AMARELAS. QUAL A FRAÇÃO QUE REPRESENTA AS BOLAS
AMARELAS EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BOLAS?
Resposta
A questão enfatiza o significado operador multiplicativo com quantidade
discreta e apresenta ícone para retratar a situação. O objetivo da questão é que o
aluno represente a solução da situação, operando com o ícone.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
63 tudo indica que o aluno considerou o conjunto como sendo uma parte.
21 há claras evidências que o aluno se utilizou da estratégia operador
multiplicativo, pois teríamos 1 que representa o grupo de bolas amarelas
e 2 que representam o total de grupos.
62 indicam que o aluno utilizou do significado parte todo, ou seja, dois
grupos de um total de 6 bolas.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva 63
ou21 das bolas.
92
Nossa expectativa é que haja pouco erros nesta questão, pois o ícone será
um fator facilitador.
Questão 16
AGORA FÁBIO TEM 8 BOLAS, ORGANIZADAS EM QUATRO GRUPOS. TRÊS GRUPOS SÃO DE
BOLAS VERDES E UM DE BOLA AMARELA. QUAL A FRAÇÃO QUE REPRESENTA AS BOLAS
VERDES EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BOLAS?
Resposta
Desenho
Esta questão enfatiza o significado operador multiplicativo com quantidade
discreta e não apresenta ícone para retratar a situação. O objetivo da questão é
que o aluno encontre a solução, baseando-se na descrição do problema.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
43 tudo indica que o aluno operou, utilizou-se da estratégia de operador
multiplicativo.
86 tudo indica que o aluno utilizou-se do significado parte todo.
83 indicam que o aluno utilizou o significado parte-todo, pois 3
representariam 3 grupos de bolas verdes e de um total de 8 bolas.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva 43 ,
ou ainda, 86 das bolas verdes.
Pressupõe-se que o aluno terá dificuldades para responder esta questão,
pelo fato de precisar encontrar a solução, baseando-se na descrição do problema,
sem a ajuda do ícone.
93
Questão 17
LULU GANHOU UM CHOCOLATE E COMEU 53 . PINTE A QUANTIDADE DE CHOCOLATE QUE
LULU COMEU. Resposta
A questão apresenta o significado operador multiplicativo com quantidade
contínua, e apresenta um ícone. O objetivo é que o aluno utilize o ícone para
responder o problema.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
o aluno indique ou pinte, de alguma forma, 3 das 5 partes que deverão
representar o chocolate inteiro.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno divida o
ícone corretamente em 5 partes iguais e pinte 3 partes. Não será considerada
como resposta correta, aquela em que o aluno simplesmente escrever
simplesmente53 da barra.
Pressupõe que, geralmente, o conceito de fração é introduzido e
trabalhado com figuras geométricas (retângulos, círculos) que apresentam
chocolate, pizza. Acreditamos que o ícone seja tido como fator facilitador para que
o aluno compreenda a questão.
Questão 18
A TIA DE SANDRA FEZ BOLOS DE MORANGO E CHOCOLATE. QUE FRAÇÃO REPRESENTA OS
BOLOS DE MORANGO EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BOLOS?
Resposta
94
A questão enfatiza o significado operador multiplicativo com quantidade
contínua e apresenta um ícone. O objetivo é que o aluno utilize o ícone para
responder ao problema.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
82 provalvemente, o aluno utilizou da dupla contagem, o que caracteriza o
significado parte-todo.
41 o aluno utilizou o operador multiplicativo.
62 provalvemente, o aluno utilizou a relação parte-parte.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escrever
82 ou
41 do bolo de morango.
Nesta questão, pressupõe-se que o aluno não encontre dificuldade em
responder a questão pois, o ícone pode ser um fator facilitador.
Questão 19
A MÃE DE CARLOS FEZ 1 TORTA DE MORANGO E 3 CHOCOLATE. QUE FRAÇÃO DO CONJUNTO
DE TORTAS REPRESENTA AS TORTAS DE CHOCOLATE COM RELAÇÃO AO TOTAL DE TORTAS
QUE A MÃE DE CARLOS FEZ?
Resposta
Desenho
Esta questão refere-se ao significado operador multiplicativo, contínuo e
não utiliza ícone para apresentar a situação. O objetivo é que o aluno, a partir da
descrição do problema, consiga sem utilização do ícone operar sobre a grandeza
contínua.
Nesta questão, esperamos as possíveis respostas:
95
43 o aluno utilize-se do significado operador multiplicativo
34 o aluno indique que pensou corretamente, mas inverteu o numerador
com o denominador.
31 o aluno utilize-se da estratégia parte-parte, ou usou apenas o
enunciado do problema para responder à questão.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno,
simplesmente, escreva 43 do total das tortas.
Como na questão anterior, acreditamos que o aluno poderá ter dificuldade
para responder esta questão pelo fato do não ter o ícone para representar a
situação.
Questão 20
CARLOS DEU 84
DO QUEIJO PARA 8 CRIANÇAS.
DESENHE ABAIXO O NÚMERO CERTO DE CRIANÇAS E DE QUEIJO, DE TAL FORMA QUE CADA
CRIANÇA RECEBA OS 84
DE QUEIJO QUE CARLOS DEU.
Resposta
Desenho
Esta questão refere-se ao significado operador multiplicativo com
quantidade contínua e não utiliza ícone para apresentar a situação. O objetivo da
questão é que o aluno encontre a solução baseando-se na descrição do
problema.
Nesta questão, esperamos as possíveis respostas:
há fortes indícios que o aluno desenhe 8 queijos e quatro crianças, e
divida o queijo, usando a situação parte-parte.
Desenhe utilizando a estratégia operador 21 ou
84 .
96
Consideraremos como resposta correta, aquela que o aluno desenhe a
situação.
Há claras evidências que haverá uma pequena quantidade de erros nesta
questão, visto que o aluno utilizar-se-á da dupla contagem.
Questão 21
NUM SAQUINHO HÁ 6 BOLAS DE GUDE. 4 DESSAS BOLAS SÃO AZUIS E DUAS SÃO VERDES.
QUAL A CHANCE DE ALGUÉM, SEM OLHAR, PEGAR UMA BOLA AZUL NESSE SAQUINHO?
Resposta
Esta questão refere-se ao significado medida, com quantidade discreta e
utiliza ícone para apresentar a situação. O significado medida desta questão
envolve fração e refere-se a quantidades extensivas, nas quais a quantidade é
medida pela relação de duas variáveis. A probabilidade de um evento é medida
pelo quociente número de casos favoráveis, dividido pelo número de casos
possíveis. Portanto, a probabilidade de um evento varia de 0 a 1 e a maioria do
valores com os quais trabalhamos, é fracionária. O objetivo da questão é que o
aluno com base na descrição do problema consiga chegar à solução utilizando-se
do ícone.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
64 para esta resposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da fração com
o significado de medida, ou seja, a chance de tirar 4 bolas azuis do
saquinho.
46 acreditamos que ao aluno pensou certo, mas fez a inversão do
numerador com o denominador
97
31 para este tipo de resposta, há fortes indícios que o aluno pode ter
simplificado a fração.
13 acreditamos que para este tipo de resposta, o aluno tenha invertido o
numerador com o denominador.
Consideraremos como resposta correta, aquela que o aluno escreva 64 ou
31 das bolas azuis ou, simplesmente,
64 .
Possivelmente, acreditamos que o ícone será um grande facilitador nesta
questão, havendo, desta forma, um grande índice de acertos.
Questão 22
VAMOS IMAGINAR QUE ALGUÉM TIROU AS BOLAS AZUIS E VERDES E QUE COLOCOU NO
SAQUINHO AGORA 2 BOLAS BRANCAS E 2 BOLAS PRETAS. QUAL A CHANCE DE ALGUÉM, SEM
VER, TIRAR DO SAQUINHO UMA BOLA BRANCA?Resposta
Desenho
Esta questão envolve o significado medida com quantidade discreta, e não
utiliza ícone para apresentar a situação. O significado medida desta questão
envolve fração e refere-se a quantidades extensivas, nas quais a quantidade é
medida pela relação de duas variáveis. A probabilidade de um evento é medida
pelo quociente número de casos favoráveis dividido pelo número de casos
possíveis. Portanto, a probabilidade de um evento varia de 0 a 1 e a maioria do
valores com os quais trabalhamos é fracionária. O objetivo da questão é que o
aluno com base na descrição do problema consiga chegar. Objetivo é que o
aluno, apoiado na descrição do problema, consiga sem utilização da figura chegar
à solução.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
98
42 para esta reposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da fração com o
significado de medida, ou seja, a chance de tirar 4 bolas azuis do
saquinho.
24 acreditamos que o aluno pensou certo, mas fez a inversão do
numerador com o denominador
42 para este tipo de resposta, há fortes indícios que o aluno pode ter
simplificado a fração
24 acreditamos que, para este tipo de resposta, o aluno tenha invertido o
numerador com o denominador.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 42
ou21 das bolas brancas.
Acreditamos que os alunos poderão para responder esta questão, pelo fato
de não ter o ícone para representar a situação. Nossa previsão é que tenha um
grande número de erros.
Questão 23
OBSERVE O BARALHO.
QUAL A CHANCE DE TIRAR UMA CARTA AZUL NESTE BARALHO?
Resposta
A questão envolve o significado medida com quantidade discreta e
apresente ícone para retratar a situação. O significado medida nesta questão
envolve fração e refere-se a quantidades extensivas, nas quais a quantidade é
medida pela relação de duas variáveis. A probabilidade de um evento é medida
99
pelo quociente número de casos favoráveis, 2 cartas brancas, dividido pelo
número de casos possíveis, total de cartas de 5 cartas. Portanto, a probabilidade
de um evento varia de 0 a 1 e a maioria do valores com os quais trabalhamos, é
fracionária. O objetivo da questão é que o aluno utilize o ícone para conseguir
chegar à solução do problema.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
53 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da
fração com o significado de medida, ou seja, a chance de tirar carta azul
neste baralho é de 3 em 5.
35 acreditamos que o aluno pensou certo, mas fez a inversão do
numerador com o denominador.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 53
das cartas azuis.
Nossa expectativa é que uma grande quantidade de alunos não tenha
dificuldade para resolver a questão, pois o ícone é um fator facilitador.
Questão 24
NA ESCOLA DE PAULO FOI FEITO UM SORTEIO COM 8 BILHETES PARA UM PASSEIO. PAULO
TINHA COMPRADO 4 DESSES 8 BILHETES. QUAL A CHANCE DE PAULO SER SORTEADO?
Resposta
Desenho
A questão envolve o significado medida com quantidade discreta e
apresenta ícone para retratar a situação. O significado medida desta questão
envolve fração e refere-se a quantidades extensivas, nas quais a quantidade é
medida pela relação de duas variáveis. A probabilidade de um evento é medida
pelo quociente número de casos favoráveis, total dos bilhetes comprados por
Paulo dividido pelo número de casos possíveis, total de bilhetes feito o sorteio,
100
portanto, a probabilidade de um evento varia de 0 a 1 e a maioria do valores com
os quais trabalhamos, é fracionária. O objetivo da questão é que o aluno sem
utilizar o ícone consiga por meio da descrição do problema, solucioná-lo.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
84 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da
fração com o significado de medida, ou seja, a chance de tirar carta azul
neste baralho é de 3 em 5.
48 acreditamos que o aluno pensou certo, mas fez a inversão do
numerador com o denominador .
41 ou
42 para este tipo de resposta, há fortes indícios que o aluno pode
ter simplificado a fração.
Consideraremos como resposta correta aquela que o aluno escreva 84 ou
41 ou
42 dos bilhetes.
Nossa expectativa é que haja um grande número de alunos nessa questão,
por ser uma situação muito ligada ao cotidiano, apesar do ícone não estar
presente na situação.
Questão 25
UM PINTOR MISTUROU 3 LITROS DE TINTA PRETA COM 1 LITRO DE TINTA BRANCA. QUE
FRAÇÃO DA MISTURA REPRESENTA A TINTA BRANCA EM RELAÇÃO AO TOTAL DE TINTA?
Resposta
Esta questão envolve o significado medida com quantidade contínua e
apresenta ícone para retratar a siituação. O significado medida desta questão
101
envolve fração e refere-se a quantidades intensivas, nas quais a quantidade é
medida pela mistura das duas tintas branca e preta. O objetivo da questão é que
o aluno utilize o ícone para conseguir chegar à solução do problema.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
41 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da
fração com o significado de medida, ou seja,
14 acreditamos que ao aluno pensou certo, mas fez a inversão do
numerador com o denominador .
31 há fortes indícios que, para este tipo de resposta, o aluno utilizou-se
da relação parte-parte.
Consideraremos como resposta correta, aquela que o aluno escreva 41 da
tinta branca em relação ao total da mistura.
Nossa expectativa é que grande número de alunos acerte a questão, pois o
ícone pode ser um fator facilitador.
Questão 26
PARA FAZER UMA JARRA DE SUCO DE CAJU, CARLA MISTURA 1 LITRO DE ÁGUA E 2 LITROS DE
CONCENTRADO DE CAJU. VOCÊ PODE ESCREVER QUE FRAÇÃO REPRESENTA O
CONCENTRADO DE CAJU EM RELAÇÃO AO TOTAL DA MISTURA?
Resposta
Desenho
A questão envolve o significado medida com quantidade contínua e não
apresenta ícone para retratar a situação. O significado medida desta questão
envolve fração por se referir a quantidades intensivas – concentrado de caju e
água, isto é, para obter o suco o aluno terá de misturar 1 litro de água para 2 litros
de concentrado de caju. Além disso, esta quantidade nos remete á idéia de
102
fração, considerando que o todo (o suco) é constituído de 3 partes, sendo 32 a
fração que corresponde à medida de concentrado de caju no suco e, 31 é também
a fração que corresponde à medida de água no suco.
Nesta questão, esperamos as possíveis respostas:
3
1 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da
fração com o significado de medida
13 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno pensou de
maneira coerente, porém inverteu o numerador com o denominador.
12 ou
21 acreditamos que ao responder desta forma, o aluno pode ter
pensado na relação parte-parte, ou seja, 2 partes do concentrado de caju
para 1 parte de água ou vice-versa.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 32
do concentrado de caju em relação ao total da mistura.
Nossa expectativa é que grande número de alunos não acerte a questão,
pois o fato do ícone não ser apresentado, pode ser um fator de complexidade.
Questão 27
PARA PREPARAR UMA JARRA DE DE REFRESCO DE UVA, CLÁUDIA NECESSITA DE UM COPO
DE CONCENTRADO DE UVA E UM COPO DE ÁGUA. VOCÊ PODE ESCREVER QUE FRAÇÃO
REPRESENTA O CONCENTRADO DE UVA EM RELAÇÃO A MISTURA TOTAL?
Resposta
103
A questão envolve o significado medida com quantidade contínua e
apresenta ícone para retratar a situação. O significado medida desta questão
envolve fração por se referir a quantidades intensivas – concentrado de uva e
água, isto é, para obter o suco, o aluno terá que misturar 1 litro de água para 1
litro de concentrado de uva. Além disso, essa quantidade nos remete à idéia de
fração, considerando que o todo (o suco) é constituído de 2 partes, sendo 21 a
fração que corresponde à medida de concentrado de uva no suco e, 21 é também
a fração que corresponde à medida de água no suco.
Nesta questão, esperamos as possíveis respostas:
21 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da
fração com o significado de medida
12 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno pensou de
maneira coerente, porém inverteu o numerador com o denominador.
11 acreditamos que, ao responder desta forma, o aluno pode ter pensado
na relação parte-parte, ou seja, 1 parte do concentrado de uva para 1
parte de água.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 21
do concentrado de uva em relação à mistura total.
Nossa expectativa é que grande número de alunos acerte a questão, pois o
fato do ícone ser apresentado, pode ser um fator de facilitador
Questão 28
PARA FAZER UM CIMENTADO UM PEDREIRO MISTURA DUAS LATAS DE CIMENTO COM 6 LATAS
DE AREIA. QUAL A FRAÇÃO REPRESENTA AS LATAS DE CIMENTO EM RELAÇÃO AO TOTAL DE
LATAS DA MISTURA?Resposta
Desenho
104
A questão envolve o significado medida com quantidade contínua e não
apresenta ícone para retratar a situação. O significado medida desta questão
envolve fração por se referir a quantidades intensivas – cimento e areia, isto é,
para obter o cimentado o pedreiro terá de misturar 2 latas de cimento, para 6 latas
de areia. Além disso, essa quantidade nos remete à idéia de fração, considerando
que o todo (a mistura) é constituído 8 partes, sendo 82 a fração que corresponde
à medida do cimento e, 86 é também a fração corresponde a medida da areia no
cimentado.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
82 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno utilizou-se da
fração com o significado de medida, ou seja, 2 partes de cimento para 8
partes da mistura (o total).
81 para este tipo de resposta, acreditamos que o aluno pensou de
maneira coerente, porém inverteu o numerador com o denominador.
62 ou
26 acreditamos que ao responder desta forma, o aluno pode ter
pensado na relação parte-parte, ou seja, 2 latas de cimento para 6 latas
de areia.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva, a
fração82 do cimento ou a fração equivalente
41 .
Nossa expectativa é que grande número de alunos não acerte a questão,
pois o fato do ícone não ser apresentado, pode ser um fator de complexidade.
Tendo apresentado uma análise prévia das questões, passaremos agora,
para segunda etapa do estudo.
105
4.4.2 Materiais da Etapa : A Intervenção
O material da intervenção de ensino constou de 12 situações-problema
envolvendo os quatro significados da fração (parte-todo, operador multiplicativo,
medida e quociente). Foram também consideradas e controladas nos problemas
as variáveis de quantidade (contínua e discreta) e de representação (icônica e
não icônica). Para cada significado, trabalhamos com seis situações-problema,
sendo que três delas envolveram variáveis contínuas e as outras três variáveis
discretas (com exceção do significado quociente que, como já foi dito, não
conseguimos elaborar situações que envolvessem quantidades discretas).
Ainda na intervenção, utilizamos fichas de atividades individuais entregues
aos alunos e material manipulativo que descreveremos, a seguir.
Fichas de atividades
Foram preparadas quatro fichas de atividades distintas, cada uma referente
a um dos significados. Cada ficha de atividade constitui-se de uma folha de papel
A4, constando apenas uma linha na parte superior da folha para identificação do
aluno, seguida da identificação do significado da fração que seria trabalhado já
impresso, o restante da folha foi dividida em uma tabela com seis linhas e duas
colunas, de modo que cada célula estava destinada para que o aluno resolvesse
nela a questão8, conforme mostra a figura abaixo:
QUADRO 4.3 - Fichas de atividades distribuídas aos alunos do Ge
Nome Nome Nome Nome Parte-todo Quociente Operador-Multiplicativo Medida 1- 7- 1- 1- 7- 1- 7- 2- 8- 2- 2- 8- 2- 8- 3- 9- 3- 3- 9- 3- 9- 4- 10- 4- 4- 10- 4- 10- 5- 11- 5- 5- 11- 5- 11- 6- 12- 6- 6- 12- 6- 12-
8 Para melhor visualização do layout da folha, ver Anexo 2.
106
Material manipulativo
O material manipulativo utilizado, constitui-se de figuras construídas em
cartolina branca em papel sulfite que estavam recortadas em forma de pizzas,
hexágonos, octógonos, bolos, tortas, bonecos e barras de chocolates ainda
levamos cartas de baralho, saquinho contendo bolas de gude, bexigas, caixinhas
de gelatina e saquinhos de refrescos de 200 ml.
4.5 PROCEDIMENTO
Descreveremos o procedimento do estudo segundo suas duas etapas,
iniciando pela etapa , referente às aplicações dos instrumentos-diagnóstico (pré-
teste, teste intermediário e pós-teste) e em seguida a etapa que diz respeito à
intervenção de ensino, tendo participado somente o grupo GE, conforme foi citado
anteriormente.
No que diz respeito à etapa , diagnóstica dos dois grupos GE e GC, foi
desenvolvida em sala de aula convencional no período normal de aula, com a
presença da pesquisadora e da professora da sala que fez o papel de
observadora. Já a etapa , que se refere à intervenção, foi feita em outro
ambiente da própria escola; no caso, a sala da biblioteca e os encontros foram
gravados e só contou com a presença da pesquisadora.
A seguir, descrevemos cada uma das etapas.
4.5.1 Etapa : Aplicação dos Instrumentos-diagnóstico
Esta etapa subdividiu-se em três fases: aplicação do pré-teste, teste
intermediário e pós-teste.
O pré-teste constitui-se de 28 situações-problema, no que tange aos
significados de frações (Nunes et al., 2003) – parte-todo, operador multiplicativo,
quociente e medida, bem como sua representação fracionária b
a (a , b ,
107
com b 0), contemplando, também as variáveis contínuas versus discretas,
icônicas versus não icônicas, que foram entregues aos alunos.
O teste foi aplicado coletivamente em cada uma das classes, com os
alunos e lido pela pesquisadora em voz alta, mas, resolvido individualmente por
cada um dos participantes, no contexto papel e lápis. Isto é sem o uso do material
manipulativo.
O objetivo de ler as questões foi de não gerar dúvidas na leitura, a fim de
que os alunos pudessem se ater em concentrar na resolução das questões.
O momento da aplicação do pré-teste em ambos os grupos, foi antecedido
por uma conversa em que foram explicados o objetivo do trabalho e sua
importância no âmbito da pesquisa. Enfatizamos que os alunos não se
preocupassem com acertos e erros ou notas, pois estes não eram o enfoque da
pesquisa. Por isso, era muito importante que ficassem bem à vontade,
procurassem não deixar questões sem resolver. Antes de iniciarmos à leitura, nos
vimos forçados a introduzir uma situação do dia das crianças que utilizamos
frações, isto aconteceu tanto no GE como no GC. Demos como exemplo a fração
meio. Solicitamos aos alunos que respondem as questões, à medida que fossem
lidas e procurassem resolver todas sem deixar nada em branco.
Esclarecemos que, no decorrer das atividades, se algum aluno ainda
sentisse alguma dúvida com relação ao entendimento do que a questão
objetivava, faríamos a devida explicação, de modo que esta não interferisse na
resposta do aluno.
Após as devidas explicações, para cada aluno presente foi distribuído um
“livrinho” de questões, para que todos colocassem seus respectivos nomes.
Idades e série e iniciassem o teste.
O primeiro grupo a responder o pré-teste foi GE, logo, em seguida o GC.
Nas duas salas, a aplicação do teste variou entre 90 a 120 minutos e contemplou
toda a sala.
108
Cabe ressaltar que, antes da aplicação do teste intermediário planejamos
um encontro com os alunos GE, no qual foi feita a intervenção com cada
subgrupo (GE1, GE2, GE3, GE4) e foi dado um significado de fração que
detalharemos na aplicação da intervenção.
O teste intermediário, como já foi dito nas seções anteriores, manteve a
mesma equivalência de contexto e questões. Este também foi aplicado
coletivamente e respondido individualmente, seguindo o mesmo procedimento do
pré-teste sem o uso do material manipulativo em um período aproximado de duas
horas.
Antes da aplicação do pós-teste tivemos o segundo encontro com o grupo
GE, no qual novamente cada um dos grupos (GE1, GE2, GE3, e GE4) passou por
outra intervenção que será detalhada também na próxima seção.
Antes de apresentarmos a intervenção de ensino, se faz necessário relatar
a respeito do tempo total gasto no desenvolvimento do estudo que foi de 15 dias.
O pré-teste foi aplicado em ambos os grupos na segunda semana do mês de
março, a intervenção de ensino foi aplicada no GE logo nos dias seguintes. O
pós-teste foi aplicado nos dois grupos, após o término das intervenções.
4.5.2 Etapa : Aplicação da Intervenção de Ensino
A aplicação da intervenção dividiu-se em dois momentos: o momento de
resolução do problema e o momento de discutir as soluções encontradas nas
situações-problema.
Como já foi citado anteriormente na seção 4 3.2, o GE foi subdividido em
quatro subgrupos (GE1, GE2, GE3, e G4).
Cada um desses grupos passou por duas intervenções, totalizando dois
encontros que serão detalhados ainda nesta seção com uma duração de 90
minutos cada um. A aplicação do significados para cada grupo foi feita
aleatoriamente.
109
Abaixo mostraremos uma tabela com os grupos e os significados
distribuídos em cada uma das intervenções.
TABELA 4.1 - Distribuição dos significados por subgrupo na intervenção
Sig.Grupos Parte-todo Quociente Oper. Multip. Medida
GE1 1ª Intervenção 2ª Intervenção
2ª Intervenção
2ª Intervenção
2ª Intervenção
GE2 1ª Intervenção
GE3 1ª Intervenção
GE4 1ª Intervenção
Na aplicação retirava um grupo por vez da sala de aula e este era levado à
biblioteca, onde discutíamos o objeto do estudo. Neste espaço, os alunos ficavam
sentados em uma mesa-redonda, contendo o material manipulativo necessário e,
também era disponibilizado para cada aluno do grupo uma ficha individual para
que respondesse às questões. Ressaltamos que nem todas as questões podiam
ser utilizadas o material manipulativo.
A pesquisadora lia a questão a ser respondida, para que não houvesse
dúvida quanto ao enunciado.
Os questionamentos feitos durante a aplicação eram no sentido de
promover e garantir a reflexão e o entendimento do objeto estudado. Em nenhum
momento, interferirmos com respostas ou afirmações que levassem à solução.
Cabe ressaltar que a todo momento sempre procuramos trabalhar com os
alunos em grupo, pois, acreditamos que a “interação entre alunos desempenha
um papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e
de inserção social”. (PCN BRASIL, 1998, p. 38).
O PCN (BRASIL, 1998, p. 39) ainda ressalta que trabalhar coletivamente
favorece o desenvolvimento de capacidades como:
Perceber que, além de buscar a solução para uma situação proposta, devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso;
110
Saber explicar o próprio pensamento e procurar compreender o pensamento do outro;
Discutir as dúvidas, supor que as soluções dos outros podem fazer sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias idéias.
Durante o desenvolvimento das atividades, além do material manipulativo
descrito, os alunos utilizaram lápis e borracha.
A seguir detalharemos os encontros da intervenção, destacando apenas o
momento do GE, visto que já foi falado que o GC não participou desta etapa.
1º Encontro
O primeiro encontro teve duração de 90 minutos. Cada uma das questões
envolvidas no encontro foi lida pela pesquisadora e resolvida pelos alunos do
grupo GE1. O encontro foi áudio-gravado. A seguir, detalharemos as doze
questões.
QUADRO 4.4 – Atividade 1 desenvolvida na intervenção com Ge1
1- SALETE TINHA UMA BARRA DE CHOCOLATE. ELA CORTOU EM 2 PEDAÇOS DE MESMO TAMANHO E COMEU
1 PEDAÇO. VOCÊ PODE ESCREVER, USANDO NÚMEROS, A FRAÇÃO DO CHOCOLATE QUE SALETE
COMEU?
2- E SE SALETE TIVESSE CORTADO O CHOCOLATE DELA, EM 3 PEDAÇOS DO MESMO TAMANHO E COMESSE
1 PEDAÇO? COMO VOCÊ ESCREVERIA A FRAÇÃO DE CHOCOLATE QUE SALETE COMEU?
3- VAMOS IMAGINAR AGORA QUE SALETE PEGOU O MESMO CHOCOLATE E CORTOU EM 4 PEDAÇOS IGUAIS
E COMEU 1 PEDAÇO. COMO VOCÊ ESCREVERIA A FRAÇÃO QUE SALETE COMEU?
4- LARISSA FOI À PIZZARIA E PEDIU UMA PIZZA. ELA DIVIDIU A PIZZA EM 5 PEDAÇOS IGUAIS E COMEU 1
PEDAÇO. QUAL A FRAÇÃO QUE LARISSA COMEU?
5-NA MESA DE RESTAURANTE, TEM 3 CRIANÇAS. A GARÇONETE SERVIU DUAS TORTAS PARA DIVIDIR
IGUALMENTE ENTRE ELAS. QUAL FRAÇÃO QUE CADA CRIANÇA IRÁ RECEBER?
6- AGORA IMAGINE QUE SÃO 5 CRIANÇAS QUE ESTÃO SENTADAS NA MESA DO RESTAURANTE. E A
GARÇONETE CHEGOU E SERVIU DUAS TORTAS PARA DIVIDIR IGUALMENTE ENTRE ELAS. QUAL FRAÇÃO
QUE CADA CRIANÇA IRÁ RECEBER?
7- CASCÃO DESENHOU 8 CARETINHAS E PINTOU DUAS DAS CARETINHAS. VOCÊ PODE REPRESENTAR
NUMERICAMENTE, EM FORMA DE FRAÇÃO, ESSAS CARETINHAS PINTADAS EM RELAÇÃO À QUANTIDADE
TOTAL DE CARETINHAS?
111
8- NUMA LOJA DE BRINQUEDOS, HAVIA 4 BONECAS IGUAIS. LANA COMPROU 3 DESSAS BONECAS PARA
PRESENTEAR SUAS SOBRINHAS. QUE FRAÇÃO REPRESENTA AS BONECAS QUE LANA COMPROU EM
RELAÇÃO AO TOTAL DE BONECAS DA LOJA?
9- VAMOS IMAGINAR AGORA QUE NA LOJA HÁ 6 BONECAS IGUAIS. LANA COMPROU 3 DESSAS BONECAS
PARA PRESENTEAR SUAS SOBRINHAS. QUE FRAÇÃO REPRESENTA AS BONECAS QUE LANA COMPROU EM
RELAÇÃO AO TOTAL DE BONECAS DA LOJA?
10- DAS 8 XÍCARAS DE UM CONJUNTO DE CHÁ, 3 ESTÃO QUEBRADAS. VOCÊ PODE ESCREVER A FRAÇÃO
QUE INDICA A QUANTIDADE DE XÍCARAS QUEBRADAS EM RELAÇÃO AO TOTAL DE XÍCARAS?
11-CARLA FEZ UMA FIGURA E DIVIDIU EM 6 PARTES IGUAIS. DEPOIS PINTOU ALGUMAS PARTES DESSA
FIGURA. VOCÊ SABE ESCREVER QUANTAS PARTES DO DESENHO ELA PINTOU EM RELAÇÃO AO
DESENHO TODO?
12-IMAGINE QUE CARLA FEZ OUTRA FIGURA E DIVIDIU EM 8 PARTES IGUAIS. DEPOIS PINTOU 4 PARTES
DESSA FIGURA. VOCÊ SABE ESCREVER QUANTAS PARTES DO DESENHO ELA PINTOU EM RELAÇÃO AO
DESENHO TODO?
Esta atividade envolveu o significado parte-todo, teve por objetivo, mostrar
aos alunos situações, envolvendo frações com este significado. As questões 1, 2,
3, 4, 5, 6 envolveram frações com quantidades contínuas. Quanto às questões 7,
8, 9, 10, 11, 12 envolveram as quantidade discretas.
Para responder as questões 4, 5, 6, 10, 11, 12, os alunos poderiam utilizar
os materiais manipulativos.
Depois de respondida todas as questões, passávamos para o momento da
discussão, primeiramente, com cada aluno lendo sua resposta individual para
todo o grupo e, em seguida, nosso questionamento para às soluções
encontradas.
Terminado esse primeiro momento com esse grupo, levamo-os à sua
referida sala e retiramos GE2.
Para o GE2 foram desenvolvidas, também, doze questões, envolvendo o
significado operador multiplicativo. Abaixo descrevo as questões.
112
QUADRO 4.5 - Atividade 2 desenvolvida na intervenção com o Ge2
1- CAIO TINHA 6 CHOCOLATES. DESSES CHOCOLATES, ELE COMEU ½. VOCÊ PODE ESCREVER, QUANTOS
CHOCOLATES ELE COMEU?
2- CAIO FEZ 1 GELATINA DE MORANGO E 2 GELATINAS DE MARACUJÁ. QUE FRAÇÃO DO CONJUNTO DAS
GELATINAS REPRESENTA A GELATINA DE MORANGO EM RELAÇÃO AO TOTAL DE GELATINAS.
3- A MÃE DE SUELY FEZ 3 TORTAS DE CHOCOLATE E 1 DE COCO. QUE FRAÇÃO DO CONJUNTO DE TORTAS
REPRESENTA A TORTA DE COCO COM RELAÇÃO AO TOTAL DE TORTAS QUE A MÃE DE SUELY FEZ?
4- E SE A MÃE DE SUELY TIVESSE FEITO 4 TORTAS DE CHOCOLATE E 1 DE CÔCO. QUE FRAÇÃO DO
CONJUNTO DE TORTAS REPRESENTA A TORTA DE CÔCO COM RELAÇÃO AO TOTAL DE TORTAS QUE A MÃE
DE SUELY FEZ?
5- BÁRBARA GANHOU UM CHOCOLATE E COMEU 2/3. DESENHE O CHOCOLATE E PINTE A PARTE QUE
BÁRBARA COMEU.
6- AGORA IMAGINE QUE BÁRBARA PEGOU O MESMO CHOCOLATE E COMEU 2/5 .DESENHE O CHOCOLATE E
PINTE A PARTE QUE BÁRBARA COMEU.
7- CÁSSIO TINHA 8 BOLAS. ELE ORGANIZOU AS BOLAS EM QUATRO GRUPOS. UM GRUPO ERA DE BOLAS
AZUIS, OUTRO DE BOLAS AMARELAS, OUTRO DE BOLAS BRANCAS E ÚLTIMO GRUPO DE BOLAS PRETAS.
QUAL A FRAÇÃO QUE REPRESENTA AS BOLAS BRANCAS EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BOLAS?
8-CÁSSIO TINHA 8 BALAS E RESOLVEU TAMBÉM ORGANIZAR 4 EM GRUPOS. FEZ TRÊS GRUPOS DE BALAS
DE UVA E UM GRUPO DE BALA DE MAÇÃ. QUAL A FRAÇÃO QUE REPRESENTA AS BALAS DE UVA EM
RELAÇÃO AO TOTAL DE BALAS?
9- CÁSSIO ADOROU A BRINCADEIRA DE ORGANIZAR, ENTÃO RESOLVEU ORGANIZAR AGORA SEUS 6
CARTÕES TELEFÔNICOS. ELE FEZ DOIS GRUPOS. UM GRUPO DE CARTÃO COM DESENHO E OUTRO
GRUPO DE CARTÃO SEM DESENHO. QUAL A FRAÇÃO QUE REPRESENTA OS CARTÕES COM DESENHO EM
RELAÇÃO AO TOTAL DE CARTÕES?
10- IMAGINE AGORA QUE CÁSSIO RESOLVEU FAZER SUA ÚLTIMA ORGANIZAÇÃO COM SEUS BOTÕES. ELE
TINHA 15 BOTÕES. E ELE QUER ORGANIZAR, TAMBÉM, EM GRUPOS. VOCÊ PODE DESENHAR ESSE
GRUPO DE TAL FORMA QUE FIQUE 3/5?
11- FÁBIO TINHA 12 BOLAS DE TÊNIS. ELE ORGANIZOU AS BOLAS DE TÊNIS EM 6 GRUPOS. 4 DESSES
GRUPOS ERAM DE BOLAS VERDES E OS OUTROS DE BOLAS BRANCAS. QUAL A FRAÇÃO DO TOTAL DE
BOLAS QUE REPRESENTA AS BOLAS VERDES?
12- MÁRCIA GANHOU 4/6 DOS BOTÕES. VOCÊ SABE ESCREVER EM FORMA DE FRAÇÃO QUANTOS BOTÕES
MÁRCIA GANHOU?
113
Esta atividade envolveu o significado operador multiplicativo e teve por
objetivo propiciar a compreensão do conceito da fração neste significado. As
questões 1, 2, 3, 4, 5, 6 envolveram frações com quantidades contínuas. Já as
questões 7, 8, 9, 10, 11, 12 envolveram as quantidade discretas.
Para responder as questões 4, 5, 6, 10, 11, 12, os alunos deveriam utilizar
o material manipulativo.
Avaliação do primeiro encontro
O fechamento deste primeiro encontro foi feito em sala de aula, onde
agradeci aos alunos e marquei a minha próxima ida à escola, pois os outros
grupos ficaram preocupados por não terem saído da sala naquele primeiro dia,
ficando bastante curiosos.
No geral, a participação das crianças foi muito proveitosa, percebíamos
que, no momento das discussões, elas paravam, refletiam, discutiam suas
respostas, tentando chegar às soluções. Ocorreram dúvidas, mas sempre
tentamos discutir para chegar à formalização do conceito.
2º Encontro
Neste encontro, iniciamos o segundo momento desta segunda fase de
nossa intervenção. A seqüência de encontros foi semelhante ao primeiro
momento, porém trabalhamos os outros dois grupos GE3 e GE4 e outros dois
significados de nossa intervenção. A duração e a aplicação das atividades deste
segundo encontro foram semelhantes ao encontro anterior.
O encontro iniciou-se no dia seguinte do término do primeiro encontro. A
seguir mostraremos as questões desenvolvidas nesse encontro.
QUADRO 4.6 - Atividade 3 desenvolvida na intervenção com Ge3
1- PARA FAZER REFRESCO DE LARANJA, SARA MISTURA 1 LITRO DE ÁGUA E 2 LITROS DE CONCENTRADO
DE LARANJA. VOCÊ PODE ESCREVER QUE FRAÇÃO REPRESENTA O CONCENTRADO DE LARANJA EM
RELAÇÃO AO TOTAL DA MISTURA?
114
2- PARA PINTAR O SEU QUARTO, SARA MISTUROU 3 LITROS DE TINTA ROSA COM 1 LITRO DE TINTA
BRANCA. QUE FRAÇÃO DA MISTURA REPRESENTA A TINTA BRANCA EM RELAÇÃO AO TOTAL DE TINTA?
3- AGORA IMAGINE VOCÊ QUE SARA QUER PINTAR TAMBÉM A SALA DE SUA CASA, PARA ISSO ELA MISTURA
3 LATAS DE TINTA AZUL COM 1 LATA DE TINTA BRANCA. QUE FRAÇÃO DA MISTURA REPRESENTA A TINTA
BRANCA EM RELAÇÃO AO TOTAL DE TINTAS?
4- SARA GOSTOU DE PINTAR, ENTÃO, RESOLVEU PINTAR A CASA TODA ELA MISTUROU 5 LATAS DE TINTA
AZUL COM 1 LATA DE TINTA BRANCA. QUE FRAÇÃO DA MISTURA REPRESENTA A TINTA BRANCA EM
RELAÇÃO AO TOTAL DE TINTAS?
5- SARA CANSOU DE PINTAR, RESOLVEU FAZER UM SUCO DE FRAMBOESA. E PARA FAZER O SUCO, ELA
UTILIZA 1 COPO DE ÁGUA E 2 COPOS DE CONCENTRADO DE FRAMBOESA. VOCÊ PODE ESCREVER QUE
FRAÇÃO REPRESENTA O CONCENTRADO DE FRAMBOESA EM RELAÇÃO AO TOTAL DA MISTURA?
6- IMAGINE AGORA QUE SARA ACABOU DE RECEBER VISITAS ELE QUER SERVIR GELATINA DE MORANGO.
PARA FAZER A GELATINA, ELA UTILIZA 3 COPOS DE ÁGUA E 2 DE CONCENTRADO DE GELATINA DE
MORANGO. ESCREVA A FRAÇÃO QUE REPRESENTA O CONCENTRADO DE GELATINA DE MORANGO EM
RELAÇÃO AO TOTAL DA MISTURA?
7- NUM SAQUINHO HÁ 8 BOLAS. DUAS DESSAS BOLAS SÃO VERDES E 6 SÃO BRANCAS. QUAL A CHANCE DE
ALGUÉM SEM OLHAR PEGAR UMA BOLA VERDE NESTE SAQUINHO.
8- AGORA VAMOS IMAGINAR QUE NUM SAQUINHO TEM 4 BOLAS. 3 DESSAS BOLAS SÃO ROXAS E 1 PRETA.
QUAL A FRAÇÃO REPRESENTA A CHANCE DE ALGUÉM PEGAR SEM VER AS BOLAS ROXAS NESTE
SAQUINHO?
9- NA ESCOLA DE CECÍLIA TEVE UM SORTEIO COM 6 BILHETES PARA UM PASSEIO NO ZOOLÓGICO. CECÍLIA
COMPROU 3 DESSES 6 BILHETES. ESCREVA EM FORMA DE FRAÇÃO A CHANCE DE CECÍLIA SER
SORTEADA?
10- EM UM SAQUINHO HÁ 8 BEXIGAS. 3 DELAS SÃO AZUIS, E 5 SÃO ROSAS. QUAL A FRAÇÃO REPRESENTA A
CHANCE DE ALGUÉM TIRAR DO SAQUINHO AS BEXIGAS AZUIS?
11- TEMOS UM BARALHO COM 6 CARTAS SOBRE A MESA. 4 DESTAS CARTAS É O CORINGA. ESCREVA EM
FORMA DE FRAÇÃO A CHANCE DE ALGUÉM TIRAR O CORINGA SEM VER?
12- IMAGINE AGORA QUE O BARALHO TEM 8 CARTAS. 4 DELAS É O CORINGA. ESCREVA EM FORMA DE
FRAÇÃO A CHANCE DE ALGUÉM TIRAR O CORINGA SEM VER?
115
Esta atividade envolveu o significado medida, teve por objetivo, propiciar a
compreensão do conceito da fração nesse significado. As questões 1, 2, 3, 4, 5, 6
envolveram frações com quantidades contínuas. Já as questões 7, 8, 9, 10, 11, 12
envolveram as quantidade discretas.
Para responder às questões 4, 5, 6, 10, 11, 12, os alunos deveriam utilizar
o material manipulativo.
A seguir, apresentaremos a atividade do GE4.
QUADRO 4.7 - Atividade 4 desenvolvida na intervenção com Ge4
1- MARCOS GANHOU UMA TORTA. ELE QUER DIVIDIR IGUALMENTE PARA DOIS AMIGOS. VOCÊ PODE
ESCREVER, USANDO NÚMEROS, A FRAÇÃO DA TORTA QUE CADA AMIGO IRÁ RECEBER?
2- E SE CHEGASSE MAIS UM AMIGO DE MARCOS E ELE TIVESSE QUE DIVIDIR A TORTA EM 3 PEDAÇOS DO
MESMO TAMANHO. COMO VOCÊ ESCREVERIA A FRAÇÃO DA TORTA QUE CADA AMIGO IRÁ RECEBER?
3- VAMOS IMAGINAR AGORA QUE ANTES QUE MARCOS COMEÇASSE A COMER, CHEGOU MAIS UM OUTRO
AMIGO. MARCOS TERÁ QUE DIVIDIR IGUALMENTE A TORTA ENTRE 4 AMIGOS. COMO VOCÊ ESCREVERIA A
FRAÇÃO QUE CADA UM IRÁ RECEBER?
4- LUÍS COMPROU UMA PIZZA PARA DIVIDIR PARA 5 CRIANÇAS. QUAL A FRAÇÃO DA PIZZA QUE CADA UM IRÁ
COMER?
5- CARLOS GANHOU 2 CHOCOLATES PARA DIVIDIR IGUALMENTE ENTRE 3 CRIANÇAS. QUAL FRAÇÃO DO
CHOCOLATE QUE CADA CRIANÇA IRÁ RECEBER?
6- E SE FOSSEM 2 CHOCOLATES PARA 5 CRIANÇAS. QUAL FRAÇÃO DO CHOCOLATE QUE CADA CRIANÇA
IRÁ RECEBER?
A atividade envolveu o significado quociente, teve por objetivo propiciar a
compreensão do conceito da fração neste significado. Todas as questões
envolveram as frações com quantidades contínuas.
Para responder às questões 4, 5, 6, o grupo precisaria utilizar o material
manipulativo.
Neste momento, encerrou-se a primeira etapa da intervenção, então
partimos para os dois últimos encontros.
116
Tal qual como os outros encontros, nestes dois últimos encontros foram
feitas apenas as mudanças dos significados das frações nos subgrupos como já
foi exposto na Quadro 4.3, ou seja, o GE1 que trabalhou com o significado parte-
todo na primeira intervenção, recebeu neste segundo momento a intervenção do
significado medida; o GE2 que trabalhou operador multiplicativo na primeira
intervenção, neste segundo momento recebeu a intervenção no significado
quociente, o GE3 que trabalhou o significado medida na primeira intervenção,
ficou com o significado parte-todo e por último o GE4 que havia trabalhado
quociente, recebeu o significado operador multiplicativo.
Avaliação dos encontros
As atividades realizadas cumpriram seus objetivos. Os encontros foram
estruturados de forma a garantir a participação coletiva dos alunos.
As atividades desenvolvidas nas intervenções estavam sempre que
podíamos relacionadas com situações do cotidiano da criança, para que tornasse
mais fácil a aprendizagem.
Nos últimos encontros percebemos que as crianças já estavam bem mais
confiantes ao darem suas respostas e montarem suas estratégias. Os
questionamentos com outros evidenciava um crescimento em seu campo
conceitual. Buscamos o envolvimento constante de todos e em todos os
momentos.
Os subgrupos colaboraram bastante durante o desenvolvimento das
atividades.
Aqui foi descrita a metodologia adotada no estudo, no próximo capítulo
apresentaremos os resultados dos dados obtidos, bem como sua análise.
117
CAPÍTULO V
ANÁLISE DOS RESULTADOS
5.1 INTRODUÇÃO
No presente capítulo, apresentamos a análise dos dois momentos da
pesquisa: o primeiro trata dos instrumentos-diagnóstico e o segundo analisa a
intervenção de ensino.
No que diz respeito aos instrumentos-diagnóstico – pré-teste, teste
intermediário e pós-teste – analisamos sob dois aspectos: quantitativo e
qualitativo. O primeiro, quantitativo, inicia pela comparação dos desempenhos
gerais do grupo experimental – GE e do grupo controle – GC, nos três
instrumentos-diagnóstico.
Ainda sobre o aspecto quantitativo da análise, detemo-nos inicialmente,
nos índices de acerto global dos dois grupos (GE e GC) considerando os três
testes (pré, intermediário, pós-teste). Em seguida como o nosso interesse reside
no grupo experimental, analisamos o desempenho dos quatro subgrupos do GE,
segundo os diferentes significados da fração - PT (parte-todo), ME (medida), QU
(quociente) e OM (operador multiplicativo). Por fim, ainda focando apenas o GE,
analisamos o desempenho dos sujeitos, levando em consideração as variáveis
elencadas no estudo: quantidades contínuas e discretas, representação icônica e
não icônica.
No que tange ao aspecto qualitativo, este se refere à observação das
estratégias e dos esquemas de ação utilizados pelos alunos no momento da
118
resolução dos problemas e às variáveis empregadas como procedimento de
resolução, tanto no que diz respeito aos testes-diagnóstico quanto às
intervenções de ensino. A análise dessas estratégias nos permitirá categorizar os
procedimentos de resolução utilizados pelos alunos frente às situações por eles
elaboradas.
A pretensão da pesquisa, ao apresentar seus resultados, não é qualificar
qual é o “melhor” ou “pior” significado para ensinar o conceito de fração. Também
não temos a pretensão de generalizar nossos resultados para além do universo
pesquisado, pois temos consciência de que se trata de um estudo com um
pequeno número de sujeitos.
Acreditamos, no entanto, que nossos resultados poderão trazer
contribuições significativas para a discussão científica sobre a participação que
cada um desses significados tem, no que diz respeito à construção do conceito de
fração em crianças pequenas (oito anos).
O estudo também poderá contribuir para a discussão sobre a série em que
já seria pertinente iniciar o estudo dos rudimentos do conceito de fração e a
influência que cada um dos significados tem em relação à iniciação da formação
de conceitos, no seu ensino na escola. Temos fortes razões para acreditar que os
resultados deste estudo-diagnóstico poderão contribuir para futuros estudos que
objetivem investigar novas abordagens no ensino de fração, como pretendemos
apontar no final do trabalho.
5.2 ANÁLISE QUANTITATIVA
Antes de iniciarmos esta primeira parte da análise cabe relembrar que
nossos testes foram aplicados em duas turmas de 2ª série de uma escola pública
da região de Santo André, cidade pertencente à grande São Paulo.
Em cada uma dessas turmas, havia 31 alunos, somando um total de 62
alunos. As turmas foram denominadas uma de GE e a outra de GC.
119
Ressaltamos que, para a análise quantitativa, não destacaremos as
questões que foram deixadas em branco pelos alunos, visto que esse percentual
foi pequeno, o que mostra que, de fato, houve empenho por parte dos alunos em
responder às questões propostas.
Para dar sustentabilidade aos resultados, aplicamos testes estatísticos,
utilizando o pacote estatístico SPSS (Statistical Package for Social Science). Foi
escolhido o teste qui-quadrado para analisar as diferenças na porcentagem de
desempenho entre os grupos, nos diversos tipos de problemas, ao longo dos
testes-diagnóstico (tempo). O nível de significância utilizado foi de 5% ( = 0,05).
5.2.1 Desempenho geral do GC e GE
Iniciaremos a análise apresentando um panorama geral do desempenho do
GE e GC em relação aos testes diagnósticos (pré-teste, teste-intermediário e pós-
teste), conforme mostra a Figura 5.1.
FIGURA 5.1 - Desempenho geral do GC e GE nos testes-diagnósticos.
Nº % Nº % 2 (1) p
Pré-teste 109 12,6 94 10,8 1,3 0,263
Intermediário 153 17,6 335 38,6 94,4 0,000
Pós-teste 231 26,6 438 50,5 104,2 0,000
(n=868) (n=868)Testes
diagnóstico
GC GEQui-Quadrado
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pré-teste Intermediário Pós-teste
Po
rcen
tag
em d
e ac
erto
s
GC GE
120
Analisando a Figura 5.1 observamos que o GC e o GE partem de
patamares similares (pré-teste), sem haver diferença estatisticamente significativa
em seus desempenhos ( (1) = 1,3; p > 0,05). 2
Esse comportamento similar entre os grupos muda já no teste
intermediário, com um avanço referente aos acertos do GE de 21% em relação ao
GC ( (1) = 94,4; p < 0,001). No pós-teste, essa tendência manteve-se, com o
GE aumentando ligeiramente a diferença entre seu percentual de acerto e o do
GC, diferença de 23,9% em favor do GE. Salientamos que esse melhor
comportamento do GE sobre o GC, nesses dois últimos instrumentos-diagnóstico
apresentou a partir do qui-quadrado, um alto índice de significância estatística
( (1) = 104,2; p < 0,001).
2
2
Tal resultado, muito provavelmente, é fruto das intervenções, de ensino
pelas quais passaram os alunos do GE, o que não aconteceu com os alunos do
GC.
Esse resultado já era esperado, pois, segundo Vergnaud (1982; 1987;
1988; 2001) o professor tem um papel fundamental, visto como mediador; é dele
a responsabilidade de fazer escolhas adequadas para criar um ambiente
favorável para o aluno avançar nesse processo de aprendizagem.
Considerando apenas o GC, que foi o grupo que serviu de equiparação,
houve um avanço. Há indícios que esse avanço esteja ligado ao fato dos testes-
diagnóstico (pré, intermediário e pós-testes) terem mantido a mesma equivalência
matemática, tanto no que se refere aos contextos e questões. O fato dos alunos
fazerem o mesmo teste várias vezes, faz com que eles reflitam sobre suas ações
e tentem modificar para atingir a meta desejada. Nessa perspectiva, Vergnaud
(1996a, p. 117) afirma: “que muitas de nossas concepções vêm das primeiras
situações que fomos capazes de dominar ou de nossa experiência tentando
modificá-las”.
Ainda com relação aos resultados apresentados na Figura 5.1, observamos
uma evolução maior do GE no pós-teste, visto que, nesse momento, este grupo já
121
havia passado por duas intervenções, que melhor serão detalhadas nas próximas
seções.
Assim, temos razões para supor que, quanto maior o número situações
trabalhadas, mais estaremos dando sentido ao conceito, o que encontra respaldo
na teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990; 1994; 2001).
Em outras palavras, nem um só conceito, nem uma situação isolada dá
conta do processo de aquisição de um conhecimento.
Na próxima seção, apresentaremos e analisaremos o desempenho global
dos quatro subgrupos do GE.
5.2.2 Desempenho Geral dos Subgrupos do GE
Nesta seção, mostraremos o desempenho geral dos subgrupos do GE ao
longo dos três testes-diagnóstico. Ressaltamos que para uma melhor organização
dos alunos do GE, estes foram divididos em quatro subgrupos, os quais
receberam um nome, segundo as ordens das intervenções pelas quais o
subgrupo passou.
Assim, o subgrupo que, inicialmente, passou pela intervenção de ensino de
fração com o significado parte-todo e depois pela intervenção que explorou o
significado medida, denominamos de GE1 (PT+Me). O GE2 (OM+Qu) foi o
subgrupo, cuja primeira intervenção foi operador multiplicativo e, a segunda,
quociente. O GE3 (Me+PT) teve primeiro, medida e depois parte-todo. Por fim, o
GE4 (Qu+OM) que passou, primeiramente, pela intervenção quociente e em
seguida pela intervenção com o significado operador multiplicativo.
A Figura 5.2 mostra a trajetória média dos quatro subgrupos nos três
testes-diagnóstico, após intervenções recebidas. Analisando a taxa de
crescimento do desempenho dos subgrupos observamos que todos os quatro
subgrupos crescem ao longo das intervenções, sendo que do pré-teste para o
teste intermediário o ganho foi de aproximadamente 30% e do teste intermediário
esse crescimento desacelera, crescendo para aproximadamente 15%.
122
FIGURA 5.2 - Desempenho geral dos subgrupos do GE em relação aos testes-diagnóstico.
% % % % 2 (3) p
Pré-teste 7,9 7,1 12,1 16,8 12,6 0,006
Intermediário 36,1 34,7 37,5 46,9 7,8 0,051
Pós-teste 45,2 56,6 46,4 55,6 9,3 0,026
Qui-Quadrado Grupo Testes
GE1(PT+Me)
GE2(OM+Qu)
GE3(Me+PT)
GE4(Qu+OM)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pré-teste Intermediário Pós-teste
Po
rcen
tag
em d
e ac
erto
sGE1(PT+Me)
GE2(OM+Qu)
GE3(Me+PT)
GE4(Qu+OM)
Os subgrupos GE1 (PT+Me), GE3 (Me+PT) e GE4 (Qu+OM) apresentam
uma trajetória similar de crescimento em toda a intervenção, crescendo mais
rapidamente do pré-teste para o teste intermediário e desacelerando do teste
intermediário para o pós-teste, porém o GE4 (Qu+OM) em torno de 10% acima do
GE2 (OM+Qu) e GE3 (Me+PT). Já o GE2 (OM+Qu), que acompanha o GE1
(PT+Me) e o GE3 (Me+PT) do pré-teste para o teste intermediário, foi o único
grupo que manteve o mesmo ritmo de crescimento, alcançando o GE4 (Qu+OM)
no final do processo.
De fato, quando comparamos os quatro subgrupos no pré-teste
encontramos diferenças significativas ( (3) = 12,6; p = 0,006), contudo se
retirarmos GE4 (Qu+OM)não encontramos diferenças significativas no
desempenho nos outros três subgrupos no pré-teste ( (2) = 3,7; p = 0,158). O
mesmo ocorre no teste intermediário, pois quando comparamos os quatro
subgrupos encontramos diferenças significativas ( (3) = 9,3; p = 0,026) e
2
2
2
123
quando retiramos o G4 (Qu+OM), não encontramos mais essa diferença ( (2) =
0,84; p = 0,837). Ou seja, o subgrupo GE4 (Qu+OM) parte de um patamar
superior de 10% em relação aos outros três grupos e todos crescem na mesma
proporção, após a primeira intervenção, mantendo essa diferença no teste
intermediário.
2
2
2 2
Após a segunda intervenção, o subgrupo GE2 (OM+Qu) surpreende, pois é
o único a manter o ritmo de crescimento da primeira fase, enquanto os outros três
grupos desaceleram. Esse maior ritmo de crescimento faz com que o subgrupo
GE2 (OM+Qu) alcance o subgrupo GE4 que havia partido de um patamar 10%
acima dos outros subgrupos. Isto é confirmado quando comparamos os quatro
subgrupos ( (3) = 6,6; p = 0,037), mas não encontramos diferenças entre GE2
e GE4 ( (1) = 0,041; p = 0,839), nem entre GE1 e GE3 ( (1) = 0,068; p =
0,795).
Observamos que em GE4 (Qu+OM) e GE2 (OM+Qu) foram trabalhados os
mesmos significados (quociente e operador multiplicativo), mudando apenas a
ordem de intervenção, já em GE1 (PT e Me) e GE3 (Me+PT) foram trabalhados
os significados de parte-todo e medida, mudando também a ordem. Estes
resultados parecem indicar que apresentar frações por parte-todo e medida não
amplia tanto o campo conceitual das frações, quanto apresentar quociente e
operador multiplicativo.
Por outro lado, comparando o GE2 (OM+Qu) com o GE4 (Qu+OM) que
trabalharam os mesmos significados, mudando apenas a ordem da intervenção,
parece que iniciar com operador multiplicativo foi mais decisivo na apreensão do
conceito de fração, uma vez que o grupo GE2 (OM+Qu) foi que mais cresceu,
tanto em termos absolutos, quanto em termos relativos. A intervenção pelo qual
que este grupo passou parece que ajudou o grupo a ter sucesso não só no
significado trabalhado como também nos outros significados.
Portanto, é razoável supor que a intervenção tanto nos significados
operador multiplicativo e quociente para ter surtido efeito para aprendizagem das
crianças. E no caso do GE2 (OM+Qu), o caminho pelo qual o subgrupo começou
parece ter sido mais eficiente ainda.
124
Esta evidência também é apontada nos trabalhos de Merlini (2005),
Moutinho (2005) e Santos (2005).
Contudo, resta nos perguntar o porquê GE4 (Qu+OM) também não
apresentou o mesmo ritmo de crescimento que GE2 (Qu+OM) já que ambos
passaram pelas mesmas intervenções, porém em ordem inversa. Diante de tal
resultado levantamos duas hipóteses. A primeira, é que a ordem da intervenção
dos significados é importante. A segunda é o desequilíbrio gerado nesse
subgrupo, após as intervenções, uma vez que esse subgrupo aparece em
patamares melhores de acertos no pré-teste, mantendo-os no teste intermediário,
mas seu desempenho no pós-teste denota uma queda nesse ritmo de
crescimento. De fato, baseando-se nas idéias de Vergnaud (2001), o subgrupo,
em especial, necessitaria de uma intervenção maior para que os alunos
pudessem chegar ao equilíbrio.
Ainda, nesse sentido, Vergnaud (2001) afirma que a construção do
conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear, facilmente identificável.
Pelo contrário, é complexo, tortuoso, demorado, com avanços e retrocessos,
continuidades e rupturas.
Visando compreender como a apresentação de cada um dos significados
desenvolve a apreensão dos mesmos e dos outros significados, nas próximas três
subseções apresentaremos o desempenho dos subgrupos em cada um dos
quatro significados, nos testes-diagnóstico.
5.2.2.1 Desempenho dos subgrupos do GE no Pré-teste
Antes de iniciar esta subseção, relembramos à distribuição das questões
nos testes-diagnóstico com relação aos significados de fração. Para cada um
desses significados foram elaboradas oito questões, abarcando suas variáveis
contínuas e discretas e representações icônicas versus não icônicas, com
exceção do significado quociente que foram elaboradas somente quatro questões
como já foi explicitado no capítulo da metodologia, como mostra a Quadro 5.1.
125
QUADRO 5.1 - Distribuição das questões em relação aos quatro significados e suas variáveis
Contínuo Discreto
não icônico não icônico
Parte-todo Q1 e Q3 Q2 e Q8 Q5 e Q4 Q6 e Q7
Quociente Q9 e Q10 Q11 e Q12
Operador multiplicativo
Q17 e Q18 Q19 e Q20 Q14 e Q15 Q13 e Q16
Medida Q25 e Q27 Q26 e Q28 Q21 e Q23 Q22 e Q24
Var. Sig.
Contínuoicônico
Discretoicônico
A Tabela 5.1 abaixo mostra o ponto de partida de cada subgrupo do GE,
ou seja, o desempenho de cada subgrupo em relação ao que tange aos
significados da fração trabalhados no teste-diagnóstico (pré-teste) sem nenhuma
intervenção, lembrando que esses sujeitos não haviam tido nenhuma aula formal
de frações na sua vida escolar.
TABELA 5.1 - Percentual de acertos em relação aos significados da fração dos subgrupos do GE no pré-teste
Sig
.
TesteGrupo
Pré Int. Pós Pré Int. Pós Pré Int. Pós Pré Int. Pós
21,4 --- 10,7 --- 19,6 ---
Parte-todo(%)
Quociente(%)
GE3(Me+PT)
20,3 --- 6,3 ---
---
---
---
Oper. Multip.(%)
Medida(%)
GE1(PT+Me)
13,9 --- 2,8 --- 8,3 --- 4,2 ---
GE2(OM+Qu)
14,3 --- 3,6 --- 3,6 --- 5,4 ---
12,5 --- 6,3 ---
12,5 ---
Geral 17,3 --- 5,6
---GE4
(Qu+OM)
--- ------ ---10,9 --- 6,9--- ---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
Analisando a Tabela 5.1 podemos inferir que as crianças possuem algum
conhecimento do conceito de frações e que esse é diferenciado por subgrupo e
significado, resultados concordantes com as idéias de Vygotsky (1987), que
nomeia este conhecimento, como conceitos espontâneos ou cotidianos, ou seja,
cada criança traz consigo seu próprio conhecimento, construído a partir das suas
observações ou vivências.
126
Nessa perspectiva, temos fortes razões para acreditar que o sucesso dos
alunos em algumas das questões do instrumento só pode ser explicado pelo
conhecimento intuitivo deles, visto que esses alunos nunca tiveram contato, do
ponto de vista formal da escola, com o objeto do estudo. Tal resultado está em
concordância dos resultados enunciados por Mack (1990), em que a
pesquisadora procura analisar a influência do conhecimento intuitivo dos alunos
na construção significativa dos procedimentos formais referente às frações.
Ainda com relação aos dados da Tabela 5.1 podemos perceber que o GE4
(Qu+OM) é o grupo que mais se destaca em todos os quatro significados. O fato
do subgrupo apresentar os melhores índices de acertos em cada um dos
significados, pode estar relacionado com sua vivência. Ou seja, talvez, os alunos
desse subgrupo tenham tido oportunidades de vivenciar situações que
envolvessem fração, mesmo que, informalmente, fora do ambiente escolar.
Observamos, também, que todos os subgrupos se saíram melhor nas
questões que envolviam o significado parte-todo. Tal resultado foi
estatisticamente significativo, conforme Tabela 5.1 ( (3) = 12,615; p = 0,006), o
que vem ao encontro de algumas pesquisas discutidas em nossa revisão da
literatura, como é o caso dos estudos de Bezerra (2002); Merlini (2005); Moutinho
(2005); Rodrigues (2005); Santos (2005), entre outros.
2
Os resultados ainda mostram que os alunos tiveram dificuldade em
responder questões com o significado quociente. De fato, este foi o significado em
que todos os grupos apresentaram seu pior desempenho. Uma explicação para
tal comportamento pode ser o fato do número reduzido de questões envolvendo
esse significado. Ainda corroboram com esta constatação, os resultados
encontrados por Kerslake (1986) em seus estudos, em que afirma que os alunos
não fazem a conexão da divisão com a fração.
Até aqui analisamos o desempenho dos subgrupos do GE considerando
apenas seus conhecimentos intuitivos. Nas duas próximas seções, passaremos a
analisar o desempenho desses grupos, após a intervenção de ensino.
127
5.2.2.2 Desempenho dos subgrupos do GE no Teste Intermediário
Antes de mostrar os resultados por grupos de acertos, cabe relembrar que
o teste intermediário foi feito, após a primeira intervenção de ensino e
enriqueceremos esta seção apresentando alguns protocolos dos alunos
desenvolvidos durante a mesma. Sempre que pertinentes reproduziremos
algumas falas dos alunos no momento da discussão coletiva no encontro da
intervenção, com o objetivo de ilustrar a construção do teorema-em-ação dos
alunos.
Com base nas idéias de Vergnaud (1982; 1988) os teoremas-em-ação são
caminhos para analisarmos as estratégias intuitivas dos alunos e ajudá-los na
transformação do conhecimento intuitivo no conhecimento explícito.
Os teoremas-em-ação nos fornecem caminhos para fazermos um
diagnóstico do que os alunos sabem, ou não, de modo que possamos oferecer
situações que lhes permitam consolidar seus conhecimentos, estendê-los, ou
seja, nos dá a percepção de seus limites e apontam possibilidades para
compreender suas eventuais dificuldades.
Apresentaremos a seguir a Tabela 5.2, destacando a porcentagem de
acertos em relação a cada significado da fração, após a primeira intervenção
juntamente com os resultados que cada subgrupo obteve no pré-teste. Nossa
intenção é oferecer ao leitor a possibilidade de ter em uma única tabela ambos os
resultados, de modo a visualizar a evolução no desempenho de cada subgrupo.
TABELA 5.2 - Percentual de acertos em relação aos significados da fração dos subgrupos do GE no teste intermediário
Sig
.
TesteGrupo
Pré Int. Pós Pré Int. Pós Pré Int. Pós Pré Int. Pós
30,2 ---
---35,9
---13,9
33,5 --- 6,910,9--- 5,6 38,7 ---Geral 17,3 52,0
48,2 ---GE4
(Qu+OM)21,4 62,5 --- 10,7 28,6 --- 19,6 39,3
34,4 --- 6,3
--- 12,5
26,8 ---
GE3(Me+PT)
20,3 40,6 --- 6,3 40,6 --- 12,5
GE2(OM+Qu)
14,3 55,4 --- 3,6 28,6 --- 3,6 25,0
34,7 --- 4,2
--- 5,4
2,8 52,8 --- 8,3GE1
(PT+Me)13,9 51,4 ---
Parte-todo(%)
Quociente(%)
Oper. Multip.(%)
Medida(%)
Legenda: Números destacados
em azul indicam o significado onde os subgrupos atingiram o maior percentual de acertos, no teste intermediário;
Números destacados em rosa indicam o percentual de acerto dos grupos no teste intermediário relacionado ao significado trabalhado na intervenção de ensino.
128
Os dados da Tabela 5.2 evidenciam novamente que todos os subgrupos do
GE parecem lidar razoavelmente bem com fração, quando esta se apresenta em
situações que abordam o significado parte-todo. De fato, se considerarmos o
número total de respostas de todos os subgrupos, observamos mais da metade
respondeu de forma correta nesse significado (52%).
Outro ponto importante que podemos destaca, é com relação ao
crescimento dos grupos no significado quociente, que foi significativamente maior
em relação ao que os alunos haviam acertado no pré-teste.
Ao observamos os percentuais de acertos do GE1 (PT+Me) no significado
quociente, notamos um resultado bem expressivo, com um aumento de quase de
19 vezes mais no teste intermediário, quando comparado com o pré-teste (2,8%
no pré-teste e 52,8% no teste intermediário). E mais o GE1 (PT+Me) que recebeu
em sua primeira intervenção o significado parte-todo, não apresentou no teste
intermediário, percentual de acerto superior no significado parte-todo em relação
ao significado quociente (51,4% de acerto em parte-todo e 52,8% em quociente).
Tais resultados nos fazem levantar algumas hipóteses: a primeira, que a
intervenção parte-todo não foi suficiente para o subgrupo crescer mais nesse
significado do que nos outros; a segunda que, independente, da intervenção
recebida, o que parece dar mais sentido aos alunos quando falamos em fração, é
o significado quociente, ou seja, para os alunos entenderem a fração deve estar
ligada as situações que envolvem o significado quociente. Ainda, nos resta uma
terceira hipótese, que no significado quociente trabalhamos somente com
quantidade contínuas e, ao que parece, para os alunos trabalharem somente com
está variável, tornou-se mais fácil.
O fato dos alunos do subgrupo GE1 (PT+Me) terem se saído melhor nas
questões que envolviam o significado quociente, está em consonância com os
resultados encontrados por Kieren (1988) e Nunes et al. (1997; 2003).
Ainda com relação ao GE1 (PT+Me), observamos que fazendo a
comparação dos outros significados com o significado parte-todo, no qual o
subgrupo teve seu segundo melhor desempenho, há um aumento proporcional
nos outros significados. Como, por exemplo, no significado operador
129
multiplicativo, era esperado que o subgrupo alcançasse 30,6%, porém atinge,
além do esperado, isto é, 34,7%.
Um fato nos chamou atenção na aplicação da primeira atividade de
intervenção do GE1 (PT+Me) foi que observando os alunos ao desenvolverem as
atividades, percebemos que eles não se preocupavam com a divisão do todo em
partes iguais, porém, na hora que passavam a manusear objetos, eles se
preocupavam se o pedaço do amigo era igual ou não.
A seguir mostraremos o protocolo da intervenção do aluno em que aparece
situação desse tipo.
QUADRO 5.2 - Atividade desenvolvida na intervenção do aluno GE1 (Pt+Me)
12 - Imagine que Carla fez outra figura e dividiu em 8 partes iguais. Depois pintou 4
partes dessa figura. Você sabe escrever quantas partes do desenho ela pintou em
relação ao desenho todo?
Porém quando fizemos a intervenção, perguntamos:
P: O que vocês acham desse desenho? Vamos verificar em quantas partes iguais
podemos dividir?
Aluno G11: acho que reparti muito.
Entretanto, ao continuar respondendo às questões, o erro persiste. Por
outro lado, quando entregamos a este grupo um papel recortado no formato de
barra de chocolate (material concreto), os alunos fazem a divisão repartindo
igualmente.
Nesse primeiro momento, evidenciamos que há uma clara confusão na
divisão das áreas. O grupo não consegue perceber a necessidade da divisão
eqüitativa das partes. Ora dividem de forma correta quando manipulam o material,
130
ora dividem de forma errada quando fazem o desenho. Resultados similares
foram encontrados no estudo de Bezerra (2001).
Outro fato que nos chamou atenção no GE1 (PT+Me) foi o comportamento
da aluna C1, cujo pré-teste deixou totalmente em branco, e no momento da
intervenção mostrou-se participativa, buscando resolver as situações
apresentadas. Já no momento do teste intermediário, continuou deixando as
questões em branco, com exceção apenas ás questões que envolviam o
significado parte-todo com ícone.
Por outro lado, temos o grupo GE4 (Qu+OM) que recebeu na primeira
intervenção, o significado quociente apresenta situação inversa ao GE1 (PT+Me),
tendo um alto percentual de acertos no significado parte-todo (62,5%).
Comparando o percentual de acerto desse grupo em valores absolutos temos seu
melhor desempenho em parte-todo, já em valores relativos esse percentual é alto
no significado medida, que passa de 12,5% para 48,2%.
Nesse sentido, encontramos resultados conflitantes, pois, de um lado,
comparando os resultados do subgrupo GE1 (PT+ME) com o subgrupo GE4
(Qu+OM) temos uma situação que corrobora com as idéias de Kieren (1988) e
Nunes et al. (1997), que sugerem que o significado quociente seria uma
abordagem para início de frações e outra que vai de encontro a essas idéias, ou
seja, o significado quociente não é o que mais dá significado aos alunos.
Diante desses resultados, surgem algumas indagações neste primeiro
momento do estudo: a primeira, ou nossa intervenção pode não ter sido
suficiente, ou seja, talvez devêssemos trabalhar com mais situações que
envolvessem esse significado para o grupo GE4 (Qu+Me), tendo em vista que o
número de situações que envolviam o significado quociente foi metade tanto no
que se refere nos testes-diagnóstico como na intervenção de ensino; ou o
significado quociente não é o que dá mais significado como sugerem Kieren
(1988) e Nunes et al. (1997). Porém, ainda é cedo para fazermos tal afirmativa,
uma vez que no segundo momento do estudo teremos um outro subgrupo (GE2
OM+Qu) que receberá esta mesma intervenção, onde teremos a oportunidade de
analisar se estas evidências se confirmam.
131
O subgrupo GE2 (OM+Qu) recebeu como primeira intervenção o
significado operador multiplicativo. Do ponto de vista do crescimento absoluto, o
significado que apresentou o maior percentual de acerto foi parte-todo (55,4%).
Mas se compararmos do ponto de vista do crescimento relativo, o significado que
grupo teve seu maior crescimento foi o significado quociente (de 3,6% no pré-
teste, para 28,6% no teste intermediário) seguido do significado operador
multiplicativo (de 3,6% no pré-teste, para 25,0 % no teste intermediário).
Salientamos que o último significado operador multiplicativo foi aquele pelo qual o
subgrupo passou a intervenção. Então, tal como o GE1 (PT+Me) o crescimento
relativo maior do subgrupo foi no significado quociente seguido pelo significado
que o grupo recebeu a intervenção.
O GE3 (Me+PT) recebeu o significado de medida como primeira
intervenção teve a mesma tendência de comportamento que o GE2 (OM+Qu) e
teve em termos de crescimento relativo no significado quociente, seguida do
significado de medida que foi a intervenção pelo qual o subgrupo passou.
Finalizando, constatamos que, fazendo a comparação dos três subgrupos
(GE1, GE2 e GE3), que tiveram suas intervenções nos significados parte-todo,
operador multiplicativo e medida, respectivamente, temos o maior salto relativo
dentro das situações que envolvem o significado quociente, seguido do
significado pelo qual passou o grupo na intervenção. Já o subgrupo GE4
(Qu+OM) que recebeu esta intervenção (quociente), cresce mais em termos
relativos no significado medida ficando em segundo lugar o significado quociente
seguido parte-todo em terceiro lugar.
Cabe ressaltar que o subgrupo GE4 (Qu+OM) é que destoa dos outros três
subgrupos, pois, desde o primeiro momento este subgrupo vem se comportando
de maneira diferenciada em relação aos outros subgrupos, como foi mostrado na
seção anterior, pois ele já começa de patamares mais altos no pré-teste.
Diante desses primeiros resultados, é razoável supor que independente da
intervenção dada há forte tendência dos subgrupos sobressaírem-se melhor nas
questões que envolvem o significado quociente, ou seja, parece que aprender
fração está ligado ao significado quociente, o que vai corroborar com as idéias de
Kieren (1988) e Nunes et al. (1997).
132
Tais evidências nos permitem refletir que, nesse primeiro momento nossa
intervenção parece ter surgido algum efeito, visto que pelos dados da Tabela 5.2
há um crescimento dos subgrupos em relação aos significados abordados na
primeira intervenção.
Face aos resultados da primeira intervenção, passaremos agora à segunda
etapa de nossa intervenção, no qual apresentaremos dados do subgrupo do GE
no pós-teste.
5.2.2.3 Desempenho dos subgrupos do GE no Pós-teste
Para melhor entendimento do leitor, faz necessário lembrar que nesta
subseção iniciaremos mostrando a tabela com o percentual dos acertos dos
significados em relação a cada significado da fração, após a segunda intervenção,
juntamente com os resultados que cada subgrupo obteve no pré-teste e teste
intermediário. Nossa intenção, como já foi dito na seção anterior é oferecer ao
leitor a possibilidade de ter em uma única tabela ambos os resultados, para
visualizar as eventuais melhoras no desempenho de cada subgrupo.
Tal como foi feito na seção anterior, vamos comparar o salto de cada um
dos subgrupos, considerando o significado pelo qual o subgrupo passou na
intervenção. Assim sendo, vamos comparar o desempenho no teste intermediário
para o desempenho no pós-teste.
TABELA 5.3 - Percentual de acertos em relação aos significados da Fração dos Subgrupos do GE no pós-teste.
Sig
.
TesteGrupo
Pré Int. Pós Pré Int. Pós Pré Int. Pós Pré Int. Pós
12,5 34,4
Oper. Multip.(%)
34,7
3,6 25,0 48,2
Parte-todo(%)
Quociente(%)
GE4(Qu+OM)
21,4
Medida(%)
GE1(PT+Me)
13,9 51,4 63,9 2,8 52,8 33,3 8,3 34,7 4,2 13,9 43,1
GE2(OM+Qu)
14,3 55,4 89,3 3,6 28,6 32,1 5,4 26,8
GE3(Me+PT)
20,3 40,6 62,5 6,3 40,6 37,5 31,3 6,3 35,9
62,5 85,7 10,7 28,6 21,4 19,6 39,3 48,2 12,5 48,2
Geral 17,3 52,0 74,2 5,6 38,7 31,5 30,210,9 33,5 39,9 6,9
44,6
50,0
50,0
46,8
Legenda:
Números destacados em azul indicam o maior percentual de acerto dos grupos no pós-teste;
Números destacados em rosa indicam o percentual de acerto dos grupos no pós-teste relacionado ao significado trabalhado na intervenção de ensino.
133
A Tabela 5.3 apontou novamente que há uma forte tendência dos alunos
do GE se saírem melhor em situações que envolvem o significado parte-todo já
que obtivemos um valor de 74,2% de respostas certas neste significado.
Os resultados também mostram que os subgrupos tiveram um bom
desempenho nas questões que envolviam o significado medida. Comparando o
desempenho no pré-teste, onde o total de acertos neste significado foi de apenas
6,9%, o desempenho no pós-teste cresceu além do esperado, pois se seguisse a
tendência dos índices de acerto das questões que envolviam o significado parte-
todo no pré-teste ao pós-teste, este significado (medida) deveria crescer a um
patamar de 29,6%, porém chegou a 46,8%.
Em relação aos subgrupos, iniciamos pelo subgrupo GE1 (PT+Me), pois
podemos dizer que este grupo comportou-se como o esperado. O grupo cresceu
mais no significado, pelo qual passou na segunda intervenção (medida) seguida
do significado que passou na primeira intervenção (parte-todo).
Essas evidências, também, acontecem no GE3 (Me+PT), que agora
passou pela intervenção no significado parte-todo, tem seu crescimento maior
neste significado, seguido do significado medida, pelo qual o subgrupo teve sua
primeira intervenção.
Observa-se que estes dois subgrupos, crescem relativamente bem do pré-
teste para o intermediário nos outros dois significados que não foram trabalhados,
porém do observa-se uma estagnação e até queda no pós-teste.
Tais resultados nos permitem inferir, em primeira instância, que nossa
intervenção parece ter surtido efeito, pois, de fato o comportamento desses dois
grupos segue a mesma tendência, uma vez que cresce, primeiramente, na
intervenção recebida no pós-teste, seguida da intervenção recebida no teste
intermediário, corroborando com as idéias de Vergnaud (2001) já citado na
pesquisa, quando argumenta que o conceito deve emergir dentro de várias
situações.
Já os subgrupos G2(OM+Qu) e G4 (Qu+OM) não seguiram o mesmo
comportamento dos subgrupos GE1(PT+Me) e GE3 (Me+PT), uma vez que o
134
maior desempenho acontece nos significados que não foram trabalhados durante
a intervenção.
O subgrupo G2 (OM+Qu) que entre o teste intermediário e pós-teste,
recebeu a intervenção no significado quociente, o maior crescimento proporcional
ocorreu nos significados operador multiplicativo, medida e parte-todo, que não
foram trabalhados nessa intervenção, sendo que o crescimento no desempenho
no significado trabalhado (quociente) foi baixo.
O GE4 (Qu+OM) recebeu a mesma intervenção do GE2 (OM+Qu), porém,
em ordem inversa, seu comportamento, é similar, isto é cresce mais no
significado não trabalhado, mostrando uma queda no desempenho no significado
quociente que havia sido trabalhada na primeira intervenção.
Diante desses resultados podemos inferir que temos dois subgrupos um
formado pelos subgrupos GE1(PT+Me) e GE3 (Me+PT), que seguem uma
mesma tendência de comportamento, crescendo substancialmente nos
significados que foram trabalhados na intervenção recebida, e o outro, formado
pelos subgrupos GE2(OM+Qu) e GE4 (Qu+OM), que crescem mais no significado
parte-todo, mostrando até uma queda no significado trabalhado.
No caso GE2 (OM+Qu), parece que nossa intervenção fez com o grupo
tenha desempenho em todos os significados, visto que consegue distribuir seu
crescimento, quase de forma eqüitativa entre os significados, pois cresce entre
uma vez meia e quase duas vezes nos outros significados entre teste
intermediário e pós-teste.
Já em relação ao GE4 (Qu+OM), parece que nossa intervenção não ajudou
o subgrupo, a distribuir seu crescimento dentro dos significados, pois, observando
o comportamento desse subgrupo do teste intermediário para o pós-teste há
quase que uma estagnação em relação aos significados (cresce um pouco mais
uma vez em cada significado).
Diante do resultado apresentado pelo grupo GE4 (Qu+OM), conjeturamos
duas possibilidades que justifiquem tal comportamento, já que este foi o subgrupo
que começou com melhor desempenho. A primeira, é que tenha havido
135
desequilíbrio no entendimento das crianças após nossa intervenção, e as crianças
não mais tivessem certeza do que sabiam. A segunda, é referente ao tempo da
intervenção.
Finalizando esta segunda etapa, poderíamos dizer que temos dois
subgrupos que se comportam, conforme o previsto GE1 seguido do GE3, isto é,
melhoram seu desempenho nos significados trabalhados na intervenção. Já os
subgrupos GE2 e GE4 crescem mais no significado parte-todo que não foi o
significado trabalhado. Todos os subgrupos mostram uma queda no significado
quociente no pós-teste. Também não podemos deixar de ressaltar que foi no
significado quociente onde tivemos o menor número de questões tanto nos testes-
diagnóstico como na intervenção de ensino.
Neste momento, necessário se faz refletirmos também sobre o tempo da
intervenção novamente. De fato, cada subgrupo só recebeu dois significados com
apenas um encontro cada um. Para os grupos GE1, GE2 e GE3 que pouco
sabiam, nossa intervenção parece ter levado os subgrupos a refletir e melhorar o
desempenho para lidar com situações envolvendo frações.
Com relação o GE4 que tinha algum conhecimento, esta intervenção de
poucas horas parece ter desequilibrado e sem ter tido tempo suficiente para
equilibrá-lo novamente, assim há necessidade de uma intervenção que dure mais
tempo, pois, fazendo uma comparação deste subgrupo com outros subgrupos
(GE1, GE2 e GE3) este subgrupo poderia atingir melhor índice de crescimento.
Nesse sentido, Vergnaud (1998; 2001), aponta o papel do conhecimento
prévio do aluno.
Segundo Vergnaud (1998) as concepções prévias dos alunos contêm
teoremas e conceitos-em-ação, que são verdadeiros teoremas e conceitos
científicos que podem evoluir para os alunos. Mas como já foi dito no capítulo II
de nosso estudo, o hiato entre os invariantes operatórios dos alunos e os do
conhecimento científicos são grandes, de modo que a mudança conceitual pode
levar muito tempo.
136
Na próxima seção, faremos a comparação entre os resultados obtidos nos
três testes-diagnóstico (pré, intermediário e pós-testes) no que diz a respeito aos
significados da fração.
Antes de iniciar as seções seguintes, cabe lembrar que vamos analisar os
dados do ponto de vista geral nos três testes-diagnóstico não destacando mais a
separação dos subgrupos do GE.
5.2.3 A fração e seus significados em relação aos testes-diagnóstico
Iniciamos apresentando uma figura identificando o total de acertos em cada
um dos significados (parte-todo, quociente, operador multiplicativo e medida) em
relação ao testes-diagnóstico (pré, intermediário e pós-teste).
FIGURA 5.3 - Total de acertos dos quatro significados da Fração em relação aos testes-diagnóstico
Parte-todo Quociente Oper. Multip. Medida
% % % % 2 (3) p
Pré-teste 17,3 5,6 10,9 6,9 18,4 0,000
Intermediário 52,0 38,7 33,5 30,2 28,9 0,000
Pós-teste 74,2 31,5 39,9 46,8 86,2 0,000
Sig.Testes
Qui-Quadrado
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pré-teste Intermediário Pós-teste
Po
rcen
tag
em d
e ac
erto
s
Parte-todo Quociente
Oper. Multip. Medida
137
Analisando a Figura 5.3 podemos observar que existe diferença
significativa no desempenho entre os quatro significados, conforme os resultados
do teste qui-quadrado, constantes na Figura 5.3. Contudo, essa diferença é
explicada basicamente por o bom desempenho no significado parte-todo. Se
retirarmos o desempenho nesse significado não encontramos diferenças
significativas desempenho nos outros três significados no pré-teste ( (1)= 4,038;
p = 0,136) e nem no teste intermediário ( (1)= 2,657; p = 0,265). Já no pós-
teste, o desempenho em quociente cai e se afasta significativamente do
desempenho de Medida ( (1)= 7,985; p = 0,005), mas não se diferencia do
desempenho em OM ( (1)= 2,540; p = 0,111).
2
2
2
2
Os resultados apontam para predominância expressiva do significado,
parte-todo em todos os testes diagnósticos em seus valores absolutos. Já com
relação aos valores relativos o significado que tem seu patamar mais alto é
medida (cresceu 6,7 vezes mais quando comparado o pós-teste com o pré-teste),
seguido do significado quociente, que cresce 5,6 vezes mais.
Salientamos que se olharmos para estes dados da Figura 5.3 e tivermos
em mente os dados do desempenho dos subgrupos, após as intervenções (Figura
5.1) é provável que esta queda do significado quociente do teste intermediário
comparado ao pós-teste deva-se ao desempenho do grupo GE4 (OM+Qu).
Nas próximas seções apresentamos e analisamos as situações, de acordo
com a utilização de duas variáveis: quantidades contínuas e discretas na sua
representação icônicas versus não icônicas independente do significado.
5.2.3.1 As variáveis contínuas e discretas nos testes-diagnóstico
A seguir, analisamos os dados sob o enfoque da utilização das duas
variáveis: quantidades contínuas icônicas versus não icônicas o e quantidades
discretas icônicas versus não icônicas.
Nesta análise, cabe lembrar que para cada significado, com exceção do
significado quociente, foram elaboradas quatro questões, abordando cada uma
dessas variáveis.
138
O significado quociente como já foi dito contemplou apenas a quantidade
contínua icônica e contínua não icônica. Pelo fato de que a fração, como
quociente, não permitiu que montássemos situações que contemplassem a
variável discreta, pois, elaborar situações contemplando esta variável sairia do
campo dos racionais, o que não é o objetivo de nossa pesquisa.
A Figura 5.4 abaixo apresenta o desempenho geral, dos alunos nos testes-
diagnóstico em relação às variáveis contínuas e discretas.
FIGURA 5.4 - Desempenho geral dos subgrupos nos testes-diagnóstico em relação a variável contínua e discreta
Contínuo Discreto
% % 2(3) p
Pré-teste 12,5 6,5 10,6 0,001
Intermediário 38,9 28,6 11,7 0,001
Pós-teste 46,6 42,9 1,3 0,250
Var.Teste
Qui-quadrado
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pré-teste Intermediário Pós-teste
Po
rce
nta
ge
m d
e a
ce
rto
s
Contínuo Discreto
Pelos dados da Figura 5.4, percebemos que há diferença significativa em
relação a variável contínua e discreta em relação aos testes diagnósticos,
conforme teste qui-quadrado exposto na tabela da Figura. Ou seja, no pré-teste
quando as crianças ainda não sabem fração, essa diferença é significativa na
variável contínua permanecendo no teste intermediário após a primeira
intervenção.
139
Já no pós-teste, depois que as crianças passaram pelas duas intervenções,
embora a variável contínua apareça com um pouco diferença em relação à
variável discreta, esta diferença não é mais significativa, ou seja, há uma
tendência de encontro, ou seja, ela vai se igualando com a variável discreta.
Em seguida, faremos à comparação dessas variáveis dentro de suas
representações icônica versus não icônica, no intuito de verificarmos se existe
diferença significativa.
5.2.3.2 Icônica versus não icônica nos testes-diagnóstico
Iniciamos esta subseção apresentando a Figura 5.5 com gráfico e a tabela
com o teste qui-quadrado dos resultados.
FIGURA 5.5 – Resultado das representações icônicas versus não icônicas nos testes-diagnóstico.
Icônico Não icônico
% % 2(1) p
Pré-teste 10,7 8,3 1,7 0,193
Intermediário 38,3 29,2 9,1 0,003
Pós-teste 49,6 39,9 9,4 0,002
Qui-quadrado Var.Teste
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pré-teste Intermediário Pós-teste
Po
rcen
tag
em d
e ac
erto
s
Icônico Não icônico
140
Na Figura 5.5 percebemos que não há diferença eqüitativa em relação às
questões envolvendo a representação icônica versus não icônica nos testes-
diagnóstico.
Ainda podemos inferir que observando o Gráfico da Figura 5.5. que o
comportamento é justamente ao contrário das situações que envolviam as
variáveis contínuas versus discretas. Ou seja, tanto as situações-problema que
possuem ícone como as que não possuem ícone partem praticamente do mesmo
patamar, com uma diferença sensível a favor do ícone. Já no teste intermediário
está diferença significativa é a favor do icônico, mantendo-se ainda maior no pós-
teste.
Finalizando, poderíamos afirmar que as variáveis contínuas e discretas
interferem no começo, quando as crianças não sabem fração (pré-teste). Esta
diferença continua no teste intermediário, porém a tendência é diminuir, após
passarem pelas duas intervenções (no pós-teste).
Já em relação a situações icônicas e não icônicas, é importante, pois o
ícone importa no começo quando as crianças começam a aprender fração, ou
seja, ele ajuda e há uma tendência de continuar após as intervenções.
Na próxima seção, faremos uma junção dessas variáveis contínuas versus
discretas, dentro de sua representação icônica versus não icônica.
5.2.3.3 Variável continua Icônica versus não icônica e variável discreta
icônica versus não icônica nos testes diagnósticos
Iniciaremos esta subseção apresentando a Figura 5.6. com um gráfico e
uma tabela no intuito de verificar se há diferença entre a variável contínua e
discreta na representação icônica e não icônica nos testes-diagnóstico.
141
FIGURA 5.6 – Resultado das variáveis contínuas e discretas nas representações icônicas versus não icônicas nos testes-diagnóstico.
Discreto icônico
Discreto não icônico
Contínuo icônico
Contínuo não icônico
% % % % 2 (3) p
Pré-teste 6,9 6,0 14,5 10,5 13,0 0,005
Intermediário 31,0 26,2 45,6 32,3 22,8 0,000
Pós-teste 44,4 41,5 54,8 38,3 15,4 0,001
Qui-quadrado Var.Testes
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Pré-teste Intermediário Pós-teste
Po
rcen
tag
em d
e ac
erto
sDiscreto icônico Discreto não icônico
Contínuo icônico Contínuo não icônico
Analisando os dados nos três testes-diagnóstico, constantes na Figura 5.6
observa-se diferença significativa entre as quatro variáveis, sendo que a variável
contínua icônica apresenta um desempenho superior, isso pode ser comprovado
quando se retira esta variável da análise, não se observando diferença
significativa entre as outras três variáveis (discreta-icônica, contínua-não-icônica e
discreta-não-icônica), conforme resultados do teste qui-quadrado.
Esse melhor desempenho na variável contínua-icônica nos leva a indicar
que para os alunos resolver situações com essa variável interfere em seu
desempenho.
O estudo de Merlini (2005), vem ao encontro de nossos resultados, pois a
autora em seus estudos com alunos de 5ª e 6ª série afirma que seus sujeitos de
pesquisas tiveram melhor desempenho com as situações que envolvia a
quantidade contínua com representação icônica.
142
Corrobora com essa idéia os pesquisadores Moutinho (2005) e Santos
(2005).
Finalizando esta primeira parte de nossa análise, passaremos à segunda
etapa o que denominamos análise qualitativa.
5.3 ANÁLISE QUALITATIVA
Na seção anterior, realizamos a análise quantitativa dos resultados, cujo
principal parâmetro foi o número de acertos que nossos alunos obtiveram quando
responderam os instrumentos-diagnóstico. Lá consideramos, primeiramente, tanto
o desempenho dos alunos do GE quanto do GC, para depois investigarmos
apenas o desempenho do GE, tendo em conta os quatro subgrupos.
Na presente seção, realizamos uma análise da qualidade dos tipos de
resolução e das estratégias utilizadas pelos sujeitos do GE, frente aos testes-
diagnóstico (pré-teste, teste intermediário e pós-teste), complementando-a,
sempre que procedente com informações trazidas das intervenções de ensino.
Desta forma, decidimos agrupar algumas dessas estratégias que os levaram ao
insucesso nas questões, criando categorias.
Antes da apresentação das categorias, vale lembrar que o número de
respostas categorizadas do pré-teste atingiu um total de 729, aumentando em 23,
o número de respostas categorizadas do teste intermediário de 514 para 557,
aumentando em 43 e do pós-teste de 430 para 452, aumentando em 22, o total
de respostas categorizadas.
No entanto, a análise qualitativa foi delineada dentro de categorias, com
um total de 729 respostas categorizadas para o pré-teste, 557 para o teste
intermediário e 452 para o pós-teste chegando há um total de 1738, aumentando,
assim, 88 o número de respostas categorizadas.
Dessa forma nossa análise qualitativa foi delineada dentro de nove
categorias, teve um total de 1738 respostas categorizadas. Em seguida
mostraremos uma tabela com os nomes e siglas criadas para identificar tais
categorias.
143
TABELA 5.4 - Nomes e siglas de identificação das categorias
Categoria Nome da categoria
P-P Relação Parte-parte
D/N Inversão do numerador com o denominador
Qu->PT Quociente remete para o Parte-todo
Om->PT Operador Multiplicativo remete para o Parte-todo
rep dados Utilização dos dados do problema
faz conta Utilização de operações
Nº natural Utilização da fração como número natural
Ícone Não se preocupa com a divisão do desenho, repartindo as partes segundo o seu critério
Incomp Incompreensível
Nesta seção abordamos as nove categorias, definindo-as e colocando,
para cada uma delas, a possível estratégia utilizada pelos alunos para que possa
justificá-las.
Parte-parte (P-P)
A categoria denominamos P-P (parte-parte), refere-se à estratégia utilizada
pelo aluno ao desprezar o todo envolvido e se remete apenas às partes para
resolução de uma determinada situação tanto com quantidades discretas na
representação icônica versus não icônica como as quantidades contínuas na
representação icônica versus não icônica. Este tipo de categoria foi encontrada
nas questões que envolviam os quatro significados da fração (parte-todo,
quociente, operador multiplicativo e medida). Para exemplificar esta categoria,
apresentamos a resolução dos alunos nos testes diagnósticos.
FIGURA 5.7- Resolução do aluno A4 GE4 (Qu+OM) no pré-teste
144
Inversão do numerador com o denominador (D/N)
A categoria denominada D/N refere-se à inversão do numerador com o
denominador.
Nessa categoria, o aluno compreende a situação, porém não é capaz de
representá-la, utilizando a fração, ou seja, o aluno não consegue distinguir a
relação que há entre o numerador e denominador. Este tipo de categoria foi
encontrado nos quatro significados da fração, assim um exemplo clássico desta
categoria seria:
FIGURA 5.8 - Resolução do aluno B4 Ge4 (Qu+OM) no pré-teste
Quociente remete ao Parte-todo (Qu -> PT)
Esta categoria está ligada às questões, cujo significado enfocado é o
Quociente. Refere-se à estratégia que a criança não leva em consideração as
duas grandezas envolvidas, levando em conta somente uma delas, como
mostram os exemplos abaixo.
FIGURA 5.9 - Resolução do aluno F4 Ge4 (Qu+OM) no teste intermediário
145
Operador remete ao Parte-todo (Om->PT)
A categoria Om->PT denominada como Operador remete ao Parte-todo foi
criada exclusivamente para questões que envolviam o significado operador
multiplicativo.
Entendemos que o erro que qualifica esse tipo de categoria, pode ser pelo
fato do aluno entender a situação, mas, muitas vezes, não conseguir diferenciar a
qual o todo ele se refere. Este tipo de estratégia pode ser detectada em nossas
intervenções nas discussões com os alunos, mediante suas respostas.
Um exemplo que encontramos, enquadrado nesta categoria, seria:
FIGURA 5.10 - Resolução do aluno I1 Ge1 (PT+Me) no pós-teste
Representação dos dados do problema (rep->dados)
Esta categoria determinada, como representação dos dados do problema,
compreende a estratégia, na qual o aluno elaborou sua resposta, de maneira
equivocada com os dados contidos no enunciado.
Como exemplo, desta categoria, apresentamos a resolução de um aluno.
FIGURA 5.11 - Resolução do aluno d2 Ge2 (OM+Qu) no pós-teste
146
Utilização de operações (faz conta)
Esta categoria faz conta determinada do uso das operações que
compreendem a estratégia, na qual o aluno elaborou sua resposta, utilizando
qualquer tipo de operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão) entre
numerador e denominador.
O exemplo que ilustra este tipo de estratégia é:
FIGURA 5.12 - Resolução do aluno I1 Ge1 (PT+Me) no teste intermediário
Utilização da fração como número natural (Nº natural)
A categoria é determinada pelo uso da fração: como número natural,
compreende a estratégia que o aluno faz uso dos números naturais para
representar a fração. Esse tipo de estratégia parece que ainda o aluno ainda não
se apropriou desse novo conjunto; portanto, representa com o conhecimento
anterior à nova situação.
Para exemplificar esta categoria, apresentamos a resolução de um aluno:
FIGURA 5.13 - Resolução do aluno G1 Ge1 (PT+ME) no pré-teste
147
Não se preocupa com a divisão do desenho, repartindo as partes
segundo o seu critério aleatório (Ícone)
O tipo de categoria determinada ícone compreende a estratégia utilizada
pelo aluno, quando ele despreza o desenho, divide e distribui de acordo com seu
critério. Não se preocupa se o todo está dividido de forma correta, ou mesmo, se
o todo dividido condiz com o total de partes enunciadas na fração.
Para exemplificar esta categoria apresentamos o protocolo do aluno.
FIGURA 5.14 - Resolução do aluno A2 Ge2 (OM+Qu) no pós-teste
Incompreensível (Incomp)
Esse tipo de categoria foi criada exclusivamente, quando ao analisar a
resposta dada pelo aluno, não conseguimos definir, o que ele mesmo escreveu ao
responder os testes-diagnóstico.
Para exemplificar, esta categoria destacamos o protocolo do aluno:
FIGURA 5.15 - Resolução do aluno E3 Ge3 (ME+ PT) no pré-teste
148
Definidas as categorias de análise, a seguir, apresentamos, um panorama
geral da 2ª etapa da análise.
Embora tenhamos ciência de que existem casos em que há vários tipos de
erros na resolução de uma única questão, fizemos um panorama geral dos
principais erros encontrados nos testes-diagnóstico e em quais grupos eles se
destacaram.
Apresentamos a seguir a incidência da utilização de cada categoria –
Relação Parte-parte, Inversão do numerador com o denominador, Quociente
remete ao Parte-todo, Operador Multiplicativo remete para o Parte-todo, Utilização
dos dados do problema, Utilização de operações, Utilização da fração como
número natural, Incompreensível – nas resoluções apresentadas por cada
subgrupo. Momento em que destacamos a quantidade de respostas incorretas em
cada uma das categorias em relação aos grupos e, também, apresentamos um
gráfico com a finalidade de mostrar qual o comportamento dos grupos em relação
aos erros.
Iniciaremos mostrando o Gráfico
GRÁFICO 5.1 - Erros cometidos pelos subgrupos do GE nos testes-diagnósticos
8090
100110120130140150160170180190200210
Pré-teste Intermediário Pós-teste
To
tal
de
erro
s
GE1 (PT+M e) GE2 (OM +Qu)
GE3 (M e+PT) GE4 (Qu+OM )
149
Em relação ao Gráfico 5.1, inferimos que, em geral todos os grupos diminui
suas quantidades de erros. Alguns grupos reduzem mais seus erros, como é caso
do GE2 (OM+Qu), e outros diminuem menos, como é o caso do GE1 (PT+Me).
Nesse sentido temos Vergnaud, (1996), onde afirma que a construção do
conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear. Ao contrário, é complexo,
tortuoso, demorado com avanços e retrocessos, continuidades e rupturas.
É provável que tentamos montar uma seqüência que propiciasse a
aprendizagem dos alunos trabalhando o significado da fração proposta por Nunes
et al. (2003), porém estamos cientes de que cada aluno tem seu tempo, e a
construção e a apropriação de um conceito são processos lentos que exigem
fôlego que estendem- se aos longos dos anos.
A seguir, como foi dito, passamos a comentar os tipos de erro dos alunos.
TABELA 5.4 - Tipos de erros dos subgrupos do GE nos testes-diagnóstico
Com base nos dados da Tabela acima, podemos inferir que das nove
categorias elaboradas para enquadrar as estratégias dos erros dos alunos
150
tivemos uma incidência maior em quatro categorias (parte-parte, inversão do
denominador pelo numerador, utilização dos números naturais e
incompreensíveis).
Assim, iremos dar uma atenção especial voltada a estas quatro categorias,
isto não quer dizer que outros erros não são importantes, pois este não é o intuito
de nossa análise, pelo contrário, nesse momento vamos tentar buscar porque
alguns erros continuaram e, até mesmo, aumentaram após nossa intervenção.
A tabela evidencia que, no geral em termos absolutos todos os erros
sofreram uma queda; porém, alguns continuaram persistentes (parte-parte,
inversão do denominador pelo numerador, quociente remete a parte todo,
operador multiplicativo remete a parte todo, representação dos dados, faz contas
e ícone). É provável que esta persistência aconteça pelo fato de alguns erros
diminuírem mais rápido do que outros. Por outro lado, outros praticamente
desapareceram após as intervenções (utilização dos números naturais e
Incompreensíveis).
Abaixo apresentamos um Gráfico com os quatro erros que mais chamaram
atenção.
GRÁFICO 5.2 - Gráfico com os quatro tipos de erros nos testes-diagnóstico
0
50
100
150
200
250
Pré-teste Intermediário Pós-teste
Com
par
ativ
o d
as c
ateg
ori
as
P-P D/N Nº natural Incomp
No Gráfico 5, observamos que existe uma tendência, em todos os grupos,
em empregar a categorias parte-parte, como estratégia de resolução. Quando as
151
crianças não sabem fração no pré-teste, está incidência é maior, tendo uma
incidência pouco menor no teste intermediário e continuando no pós-teste.
Bezerra (2001); Merlini (2005); Moutinho (2005); em seus estudos, também
observaram esse tipo de erro nas questões, envolvendo o significado parte-todo e
medida, tanto em quantidade discreta com representação icônica versus não
icônica, com quantidade contínua com representação icônica versus não icônica.
Segundo os autores, os alunos procederam a contagem da parte destacada e, em
seguida, realizaram a contagem das demais partes, esquecendo sempre de
relacionar o todo.
De modo similar, Canova (2006), em seus estudos com professores dos 1º
e 2º ciclos do Ensino Fundamental, observou esse tipo de erro nas situações
envolvendo o significado parte-todo e medida.
Outro tipo de erro que foi bastante freqüente observando o Gráfico 5. é a
inversão do numerador com o denominador. Este erro nos chamou bastante
atenção, pois, comparando de onde as crianças partem (pré-teste) e chegam ao
pós-teste, observamos quase uma estagnação. O que nos levar a supor que as
crianças possam estar entendendo a fração, porém não se apropriam da escrita
formal.
Esses resultados permitem conjeturar duas possibilidades que possam ter
levado as crianças a praticar esse tipo de erro. A primeira, diz respeito à questão
12 dos testes-diagnósticos, pois nesta questão, temos o numerador maior o que
denominador, o que não foi trabalhado durante nossas intervenções. A segunda
possibilidade, refere-se às situações problema nos quais os alunos utilizaram-se
do enunciado do problema como mostram os protocolos dos alunos abaixo:
FIGURA 5. 16 - Resolução do aluno h1 Ge1 (PT+ME) no pré-teste.
152
Esse tipo de erro é comum entre as crianças, conforme apresentou os
resultados de Bezerra (2001); Merlini (2005); Moutinho (2005) e Canova (2006) já
citados neste trabalho.
Seguindo essa linha de raciocínio, encontramos uma valiosa contribuição
em D’Ambrósio (1989) que mostra nos resultados de sua pesquisa algumas
dificuldades dos alunos ao trabalharem com o conceito de fração. Uma dessas
dificuldades citada é a confusão que os alunos fazem entre numerador e o
denominador (ora o numerador era o número total de partes, ora o número de
elementos).
Por outro lado, o erro que denominamos de número natural, aparece no
pré-teste em patamares altos (140 em termos absolutos, segundo maior erro),
porém, após a primeira intervenção, ou seja, no teste intermediário, ele aparece
duas vezes menor (70 em termos absolutos). Já no pós-teste, este tipo de erro
aparece em patamar bem mais baixo (11 termos absolutos). O que é razoável
supor que há fortes indícios que os alunos já comecem a entender o significado
desse novo campo numérico, aumentando seu Campo Conceitual.
Abaixo, apresentamos o protocolo de evolução de um mesmo aluno do
subgrupo GE3 (ME+PT).
FIGURA 5. 17 - Resolução do aluno E3 Ge3 (ME+PT) no pré-teste e pós-teste
153
Segundo Magina et al. (2001) a formação do conceito pela criança pode
ser observada por meio de suas estratégias de ação ao resolver um problema,
isto é pelos invariantes que a criança reconhece na situação (muitas vezes
implícitos, como no caso dos teoremas-em-ação, na estratégia). Além da
estratégia de ação, pode-se ainda observar as expressões utilizadas pela criança
durante a resolução de um problema, isto é, a simbologia que ela usa para
representar a situação e sua ação na mesma.
Nesse sentido, concordamos com Magina et al. (2001), pois foi por meio
das estratégias que os alunos utilizaram que conseguimos analisar seu
crescimento. Crescimento esse que é de suma importância a seu campo
conceitual.
Constatamos, ainda, em relação aos dados da Tabela 5.4 que a categoria
inconsistente, teve patamares diferenciados em relação ao pré-teste e pós-teste.
Este tipo de categoria começa com 8,5% e, ao final dos testes, atingiu 2,2% dos
erros, o que significa uma diferença de 6,3 pontos porcentuais, mostrando que os
alunos, após passarem pelas intervenções, tentam expandir o seu Campo
Conceitual. Abaixo mostraremos um protocolo mostrando a evolução de um
mesmo aluno após a intervenção.
FIGURA 5. 18 - Resolução do aluno E3 Ge3 ( PT+ME) no pré-teste e pós-teste
154
Apesar da estratégia parte-parte ter sido muito utilizada, é razoável supor
que não houve muita regularidade nas principais estratégias de resolução
encontradas nas respostas dos alunos de nossa amostra, visto que, para uma
mesma questão encontramos diferentes estratégias de resolução utilizadas pelos
os alunos.
Acreditamos agora que temos dados suficientes para responder nossa
questão de pesquisa, passaremos ao próximo capítulo, no qual apresentaremos
as conclusões do estudo.
155
CAPÍTULO VI
CONSIDERAÇÕES FINAIS
6.1 INTRODUÇÃO
A presente dissertação teve por objetivo realizar um estudo intervencionista
para introdução do conceito de fração com alunos da 2ª série do Ensino
Fundamental. Esses alunos, advindos de duas turmas de uma escola pública
estadual da região de Santo André, compuseram dois grupos, sendo que um dos
grupos passou por uma intervenção planejada de ensino sobre o tema fração –
Grupo Experimental (GE) – e o outro Grupo não passou por qualquer intervenção
sobre o tema e por isso o chamamos de Grupo Controle (GC). Ambos os grupos
nunca tiveram contato, do ponto de vista formal da escola, com o objeto fração.
O estudo utilizou a classificação teórica proposta por Nunes et al. (2003)
que discute a fração, contemplando cinco significados: Parte-todo, Quociente,
Operador Multiplicativo, Medida e Número. Este último significado (número) não
foi abordado em nosso estudo, uma vez que para isso seria necessário que os
alunos tivessem algum conhecimento sobre outros conjuntos numéricos.
Para alcançarmos o objetivo do estudo, traçamos um planejamento
científico, o qual envolveu algumas etapas. A primeira delas, foi justificar o
interesse e a importância de realizarmos tal investigação e, em seguida,
apresentamos a problemática para, então, colocarmos, explicitamente, a questão
de pesquisa (Capítulo I). Em seguida, realizamos inúmeras leituras para definição
do suporte teórico que seria usado na construção e análise da pesquisa.
Encontramos na Teoria dos Campos Conceituais e nas idéias teóricas de Nunes
156
et al. (2003) tais subsídios e esses construtos teóricos foram apresentados e
discutidos no capítulo II. A Teoria dos Campos Conceituais foi muito importante
para subsidiar nossa visão sobre a formação do conceito, principalmente, no que
ela destaca quanto à essencialidade da resolução de problemas para surgimento
do conhecimento, a grande ênfase nas situações em que esses problemas estão
inseridos e as estratégias (implícitas e explícitas) que os alunos usam para
resolvê-los. Já Nunes nos ofereceu subsídios para classificar os significados da
fração.
Complementando a parte teórica de nosso estudo, procedemos com uma
revisão bibliográfica das pesquisas correlatas à nossa, realizadas no Brasil e no
mundo (capítulo III). Iniciamos a revisão a partir das pesquisas realizadas no
âmbito do projeto desenvolvido dentro do programa de cooperação entre a Oxford
University – sob a coordenação de Terezinha Nunes – e o Programa de Educação
Matemática da PUC-SP, coordenado pelas Professoras Doutoras Tânia Campos
e Sandra Magina, intitulado “A formação, desenvolvimento e ensino do conceito
de fração”, que investigaram o objeto fração”.
Apoiando-nos nas idéias teóricas, bem como nas leituras das pesquisas
relacionadas ao estudo, definimos e construímos a metodologia de nossa
pesquisa, a qual se tratou de um estudo quase experimental, composto por duas
etapas: a primeira, denominada etapa , constitui na aplicação dos testes-
diagnóstico (pré, intermediário e pós-testes), pelos quais passaram os dois
grupos, GC e GE. A segunda, etapa , voltou-se à fase de intervenção, momento
em que ensinamos aos alunos do GE a fração, tendo em conta os quatro
significados discutidos (Capítulo IV).
O passo seguinte à realização do estudo foi proceder com a análise dos
dados delineada em dois momentos: primeiro em relação ao aspecto quantitativo,
em que buscamos relacionar os percentuais de acertos, com ajuda do pacote
estatístico SPSS (Statistical Package for Social Sciene). O segundo momento,
referiu-se à análise dos dados do ponto de vista qualitativo, visando a identificar
os tipos de erros cometidos pelos alunos, bem como analisar suas estratégias na
resolução (Capítulo V). Para tanto, apresentaremos, na próxima seção (6.2), uma
síntese desses resultados para, em seguida, retomarmos à questão de pesquisa
157
com o intuito de respondê-la (seção 6.3). Finalizando nosso estudo,
apresentaremos algumas sugestões para futuras pesquisas (seção 6.4).
6.2 SÍNTESE DOS PRINCIPAIS RESULTADOS
Nesta seção, apresentamos uma síntese dos principais resultados
discutidos no capítulo da análise, tanto no que se refere aos testes-diagnóstico,
quanto os da intervenção de ensino, pelo qual apenas os alunos do GE
passaram.
De início, observamos que os grupos GE e GC partiram de patamares
similares, não havendo diferença estatisticamente significativa em seus
desempenhos. Porém, esta similaridade entre grupos começa a mudar no teste
intermediário, (após a primeira intervenção), com um distanciamento ainda maior
no pós-teste, a favor do GE. Provavelmente, tal resultado, foi fruto das
intervenções de ensino pelas quais passaram os alunos do GE, o que não
aconteceu com os alunos GC.
Por outro lado, é importante considerar que o GC, grupo não visto e que
serviu de equiparação, também, apresentou melhoria em seu desempenho de um
teste para outro. Há indícios de que esse avanço esteja ligado ao fato dos testes-
diagnóstico (pré, intermediário e pós-testes) terem mantido a mesma equivalência
matemática, tanto no que se refere aos contextos quanto às questões, e que,
embora em níveis de percentuais bem aquém do GE, eles proporcionaram
momentos de aprendizagem aos alunos desse grupo.
Nessa perspectiva, concordamos com a afirmação de Vergnaud (1996a, p.
117) de que: ”muitas de nossas concepções vêm das primeiras situações que
fomos capazes de dominar ou de nossa experiência, tentando modificá-las”.
Salientamos que esse melhor desempenho do GE sobre o GC, nos dois
últimos instrumentos diagnósticos, apresentou um alto índice de significância
estatística. Este resultado nos permite inferir que as intervenções de ensino
surtiram resultados satisfatórios de aprendizagem.
158
Tal resultado já era esperado, pois segundo Vergnaud (1982, 1987, 1988,
2001), o professor tem um papel fundamental, no processo de aprendizagem dos
alunos, sendo dele a responsabilidade de fazer escolhas adequadas para criar um
ambiente favorável para o aluno avançar no processo de aprendizagem.
Para aplicação da intervenção de ensino, dividimos o grupo GE em quatro
subgrupos. Cada subgrupo, por sua vez, teve contato com dois significados
distintos de fração. Os nomes de cada subgrupo foram definidos segundo os
significados que eles receberam, juntamente com a ordem de seu ensino. Assim,
por exemplo, o GE1 (PT+ME) foi o subgrupo que, inicialmente passou pela
intervenção de ensino, explorando o significado parte-todo e depois pelo
significado medida.
Com relação aos resultados obtidos pelos alunos do GE, notamos que no
pré-teste o significado parte-todo foi o que apresentou patamar de acerto mais
alto (17,3%), seguido pelo significado operador multiplicativo (10,9%) e depois
medida (6,9%). O significado quociente foi o que teve o pior índice de acertos,
apresentando média de acerto de 5,6%.
Em relação aos quatro subgrupos do GE, todos partiram de patamares
similares com exceção do subgrupo GE4 (Qu+OM), que de início já apresentou
um perfil diferente, saindo em patamar mais alto em todos os significados.
Após a aplicação do pré-teste, seguimos em direção à segunda parte da
análise, que teve o intuito de medir a contribuição que cada intervenção
exerceu sobre aprendizagem dos alunos do GE.
Ao final da primeira intervenção, constatamos que os subgrupos GE1
(PT+Me), GE2 (OM+Qu) e GE3 (Me+PT), apresentaram melhor desempenho
nas questões do teste intermediário que exploravam o significado quociente,
seguido do significado pelo qual o subgrupo passou na intervenção. Já o
subgrupo GE4 (Qu+OM), que recebeu esta intervenção (quociente), cresceu
mais em termos relativos no significado medida, ficando em segundo lugar o
significado quociente.
159
Face ao primeiro resultado, constamos que, independentemente da
intervenção recebida, houve uma forte tendência dos subgrupos em apresentar
melhor desempenho nas questões que envolviam o significado quociente. Ou
seja, parece que situações de frações que envolvem a idéia de quociente é mais
significativas aos alunos o que veio corroborar com as idéias de Kieren (1988) e
Nunes et al. (1997).
Em seguida, passamos a avaliar os subgrupos após a segunda
intervenção, ou seja, no pós-teste.
Os resultados apresentados na Tabela 5.3 da seção 5.2.2.3 apontaram, tal
como no pré-teste que há uma forte tendência dos alunos do GE saírem-se
melhor em situações, envolvendo o significado parte-todo, já que obtivemos um
valor de 74,2% de respostas certas neste significado. Um outro significado que os
subgrupos, também, tiveram um bom salto, foi nas questões que envolviam o
significado medida.
Os resultados ainda sugerem que houve dois subgrupos (GE1 e GE3) que
seguiram uma mesma tendência de comportamento, estando em consonância
com a intervenção recebida e outros dois subgrupos que foram dispares
GE2(OM+Qu) e GE4 (Qu+OM).
No caso do GE2(OM+Qu), tudo indica que nossa intervenção fez com que
os alunos desse subgrupo tivessem no final um bom desempenho em todos os
significados, visto que ele conseguiu distribuir seu crescimento de maneira
razoavelmente eqüitativa. De fato, o GE2 cresceu entre uma vez e meia e duas
vezes em todos os significados entre o teste intermediário e pós-teste,
independente da intervenção recebida. Em outras palavras, o subgrupo fez uma
distribuição em seu percentual de sucesso, não se atendo apenas a apresentar
bom desempenho nas situações, nas quais os significados recebeu na
intervenção de ensino.
Já em relação ao GE4(Qu+OM), este teve um comportamento totalmente
diferente dos demais subgrupos, pois esse subgrupo apresentou algum
crescimento (do pré para o pós-teste) nas situações que envolviam os
significados trabalhados nas duas intervenções pelas quais passou, mas esse
160
crescimento foi relativamente pequeno e, além disso, houve uma quase
estagnação nos percentuais de acerto em relação aos outros dois significados.
Este subgrupo chega a apresentar no pós-teste, inclusive, uma queda no
significado quociente, o que, a princípio, não deveria acontecer já que este foi um
dos significados dado na intervenção.
Os resultados apresentados pelo subgrupo GE4 (Qu+OM), permite-nos
conjeturar duas possibilidades que justifiquem tal comportamento. A primeira
possibilidade, é considerar que, uma vez que esse subgrupo foi o único, que
apresentou algum sucesso nas questões do pré-teste, isto indicava que os alunos
desse subgrupo já tinham alguma compreensão sobre fração. No entanto, ao
passar pelas intervenções, estas geraram desequilíbrios nesse entendimento,
levando os alunos a não mais ter certeza do que sabiam. A segunda, é
conseqüência da primeira, referente ao tempo da intervenção; isto é, para superar
o desequilíbrio, os alunos necessitariam de mais contato (interação) com o objeto
fração. Desta forma, não houve possibilidade de fazer relação direta entre o que
eles receberam de intervenção e o que eles avançaram na formação do conceito
de fração.
Finalizando esta segunda etapa, concluímos que dois subgrupos
comportaram-se conforme o previsto (GE1 e GE3). Já em relação ao GE2 e GE4,
tiveram comportamentos diferentes. Sobre o GE2, podemos supor que esse
subgrupo, após a segunda intervenção, não se comportou conforme o previsto,
mas além do previsto, indicando que foi essa intervenção que mais ajudou os
alunos na formação do conceito de fração. Já entre os alunos do GE4, houve um
desequilíbrio, o que os levou a ter um crescimento relativamente menor que os
demais subgrupos.
Em relação aos quatro significados trabalhados na intervenção de ensino,
os resultados apontaram para a predominância expressiva do significado, parte-
todo em todos os testes-diagnóstico em seus valores absolutos. Quantos aos
valores relativos, o significado que teve seu patamar mais alto, foi o de medida
(cresceu 6,7 mais, comparando-se o pré-teste com o pós-teste), seguido do
significado quociente (cresceu 5,6 mais), comparando-se o desempenho no pré-
teste e no pós-teste.
161
Em relação às variáveis contínuas e discretas, constatamos também que
houve diferença significativa em favor da variável contínua no pré-teste (antes dos
alunos passarem pela intervenção de ensino), mas essa diferença tende a
desaparecer à medida que os testes-diagnóstico são aplicados. De fato, depois
que os alunos passaram pelas duas intervenções (no pós-teste), embora as
situações em que a variável contínua aparece, apresentem maiores percentuais
de acertos em relação à variável discreta, essa diferença não é mais significativa.
Assim, há uma tendência de desaparecimento da interferência dessas variáveis
no percentual de sucesso dos alunos.
Em seguida, passamos a observar as situações-problema que possuíam o
ícone versus àquelas em que não havia ícone. No início, os resultados apontaram
que, quando os alunos ainda não haviam interagido com a fração (no pré-teste), a
representação icônica mostrou ser uma variável que não interferia no sucesso das
questões. O fato da situação-problema ter ou não o ícone, não favorecia, no
início, o acerto dos alunos. Por outro lado, no teste intermediário e no pós-teste,
após as intervenções de ensino, essa variável passou a interferir no sucesso dos
alunos ao resolverem as situações-problema. Assim, os alunos tinham mais
sucesso ao resolver problemas nos quais os ícones estavam presentes, do que
naquelas situações em que não havia representações icônicas.
Assim, temos que estas duas variáveis seguiram caminhos opostos quanto
às suas interferências junto a esses alunos.
Nesse sentido, analisamos as variáveis contínuas e discretas dentro de
suas representações icônicas versus não icônicas e constatamos que a variável
contínua icônica sobressai-se em relação às outras variáveis, o que nos levou a
indicar que para os alunos resolverem situações com essa variável interferiu em
seu desempenho.
Quanto à análise qualitativa, que tratou de classificar os tipos de erros que
os alunos cometeram ao longo da resolução dos três testes-diagnóstico, foi
possível classificar esses erros em nove categorias, a saber: Parte-parte,
Inversão do numerador com o denominador, Quociente remete ao parte-todo,
Operador remete ao parte-todo, Representação dos dados do problema,
162
Utilização de operações, Não preocupação com a divisão do desenho, repartindo
as partes, segundo o seu critério aleatório (Ícone), número natural e
Incompreensível
Constatamos que o número de erros de todas as categorias sofreu queda
de um teste para outro, porém, quando foram observados seus valores relativos,
alguns pareciam insistir em permanecer. Este foi o caso das categorias “parte-
parte” e “inversão do denominador com o numerador”.
Por outro lado, as categorias denominadas “inconsistente” e “número
natural” praticamente desapareceram ao longo dos testes. Tal resultado nos levou
a supor, dentro do limite de nossa amostra, que os alunos realmente iniciaram a
compreensão do significado desse novo campo numérico, expandindo assim seus
Campos Conceituais numérico e multiplicativo.
Após a apresentação da síntese dos resultados, acreditamos estar
munidas para responder nossa questão de pesquisa, que é o que faremos, a
seguir.
6.3 RESGATE DA QUESTÃO DE PESQUISA
No início deste estudo, levantamos certas dificuldades encontradas em
relação ao ensino e aprendizagem de fração, no que diz respeito ao professor e
aluno.
Pautados nestes estudos, sugerimos que essas dificuldades poderiam ser
minimizadas por um trabalho que privilegiasse o ensino de fração, a partir de
diversos contextos, explorando quatro de seus cinco significados e já se iniciasse
com alunos que nunca tiveram contato do ponto de vista formal da escola com
objeto fração. Destacamos, ainda, a importância do papel do professor, pois cabe
a ele a cuidadosa escolha e adequação das situações que dão significado ao
conceito.
Na Inglaterra, foi feito um estudo de intervenção, que apontou que as
crianças inglesas conseguem compreender melhor o conceito de fração, quando
163
este é iniciado, baseado em uma situação representada por um quociente, o
resultado de uma divisão.
Nesta perspectiva, partimos da hipótese que o entendimento da fração nos
alunos dependerá, do modo pelo qual a fração é introduzida. Apoiados, nessa
hipótese, lançamos mão de nossa questão de pesquisa:
QUAIS OS EFEITOS QUE CADA UM DOS QUATRO SIGNIFICADOS PARA FRAÇÃO
(PARTE-TODO, QUOCIENTE, OPERADOR MULTIPLICATIVO E MEDIDA) TRAZ PARA
A APRENDIZAGEM INICIAL DOS ALUNOS DO 1O CICLO (2ª SÉRIE) DO ENSINO
FUNDAMENTAL SOBRE ESSE CONCEITO?
Antes de responder à questão, é preciso informar que nosso estudo foi
realizado com uma amostra não aleatória, envolvendo uma quantidade pequena
de alunos (31 do GE e 31 do GC). Portanto, embora tenhamos tratado os dados
estatisticamente e nossa amostra tenha sido retirada de uma população de escola
pública (sistema que atende a maioria dos alunos brasileiros), sabemos que não
possuímos dados suficientes que nos permitam extrapolar, para além de nossa
população.
Ainda assim nos sentimos confortáveis para pensar que nossos resultados
muito provavelmente, contribuam para dar pistas sobre a participação que cada
um dos significados de fração aqui investigados no que diz respeito à construção
do conceito em crianças pequenas (8 anos). O estudo, também, poderá contribuir
para sugerir se seria pertinente trabalhar com o tema fração na escola já no 1º
ciclo do Ensino Fundamental e se, sim, a partir de qual (ou quais) significados.
Face aos resultados e restringindo-nos sempre aos limites de nossa
amostra, defendemos a idéia de que é possível reconhecer que cada um dos
significados teve papel importante na aprendizagem da fração pelos alunos.
Todos trouxeram contribuições para o início da apropriação desse objeto.
Dessa forma, a partir da análise dos resultados foi possível encontrar
efeitos distintos na aprendizagem inicial de fração, dependendo do significado que
se utilizou para introduzir esse conceito.
164
A fração com o significado parte-todo parece ser o único já existir nos
alunos, mesmo antes de qualquer ensino formal, porém junto com esse
significado há um outro bastante forte, que é o “parte-parte”. Na verdade, parece
que os alunos chegam à escola com um falso teorema-em-ação, provavelmente,
oriundo de situações cotidianas ligadas à idéia de divisão de duas partes. O
significado parte-todo, porém parece não contribuir tanto para apropriação do
conceito de fração, visto que os subgrupos que receberam esta intervenção (GE1
e GE3) não apresentaram seus melhores patamares em acertos nesse
significado.
A fração com significado medida apresentou uma trajetória similar ao
significado parte-todo. Isto significa dizer que os subgrupos que receberam
intervenção, explorando este significado não apresentaram altos (ou os mais bem
sucedidos) percentuais de acertos nele. Já a fração com o significado quociente e
operador multiplicativo parece ter grande contribuição para os alunos
apropriarem-se do conceito de fração.
Nesse sentido, é importante destacar que, independente da intervenção
recebida, o significado quociente foi o gerou mais sentido para os alunos quando
falamos em fração. Em outras palavras, os alunos parecem entender melhor a
fração quando esta está ligada às situações que envolvem o significado
quociente. Tal conclusão encontra-se alinhada ao que defende Kieren, (1988) e,
principalmente, Nunes et al. (1997).
Desta forma, observando o crescimento dos subgrupos dentro da
intervenção recebida e restringindo-se sempre ao limite de nossa amostra, os
resultados parecem indicar que apresentar frações por parte-todo e medida não
ampliam tanto o campo conceitual das frações quanto apresentar quociente e
operador multiplicativo.
Assim, comparando o GE2 (OM+Qu) com o GE4 (Qu+OM) que
trabalharam os mesmos significados, tendo apenas a ordem da intervenção
inversa, parece que iniciar com operador multiplicativo foi mais decisivo na
apreensão do conceito de fração, uma vez que o subgrupo GE2 (OM+Qu) foi o
subgrupo que mais cresceu, tanto em termos absolutos, quanto em termos
165
relativos. A intervenção pelo qual que este subgrupo passou parece que ajudou o
subgrupo a ter sucesso não só no significado trabalhado como também nos
outros significados.
Portanto, é razoável supor que introduzir fração a partir dos significados
operador multiplicativo e quociente mostra ser o melhor caminho para a
aprendizagem da fração, mesmo com crianças pequenas (8 anos).
Esta evidência, também, é apontada nos trabalhos de Merlini (2005),
Moutinho (2005), voltados para alunos de séries mais adiantas, e mesmo em
Santos (2005), que pesquisou os significados entre professores (polivalentes e
especialistas).
Finalmente, ao refletir sobre o fechamento deste estudo e tendo
respondido nossa questão de pesquisa, temos a convicção de que se faz
necessário um trabalho mais consistente em relação ao significado quociente,
visto que nossa intervenção trabalhou com menos questões neste significado.
6.4 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS
Acreditamos que nosso estudo poderá trazer contribuições significativas
para a discussão científica sobre a participação que cada um dos significados da
fração exerce, no que diz respeito à construção de seu conceito em crianças
pequenas (8 anos). Assim, a partir de nossa conclusão, podemos fazer algumas
sugestões para realização de futuros estudos que objetivem investigar novas
abordagens para o ensino de fração. Desta forma destacamos duas sugestões de
pesquisa com intervenção no Ensino Fundamental.
A primeira sugestão de pesquisa, seria uma intervenção com maior número
de encontros, abordando os quatro significados, parte-todo, quociente, operador-
multiplicativo e medida, mas, que mantivesse a mesma quantidade de questões a
todos os significados.
166
Estes quatro significados seriam abordados dentro de suas variáveis de
quantidades contínuas versus discretas e representação icônica versus não
icônica.
Outra sugestão seria fazer, primeiramente, um estudo piloto com alunos
para depois montarmos uma seqüência, em seguida, entrevistas com parte dessa
amostra.
167
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ANEXOS
Anexo 1
IDADE: __________________________________________
NOME DO ALUNO: ___________________________________
SÉRIE: _____________________________________________
i
1- Pedro e Paulo compraram uma pizza para dividir igualmente entre eles.Pinte de azul a parte que Pedro comeu e de vermelho a parte que Paulo comeu.Utilizando números, escreva qual a fração da pizza que cada um comeu.
Respost
2- Antes que começassem a comer chegaram dois amigos do Paulo e do Pedro.A pizza foi então outra vez repartida igualmente entre os quatro amigos.Neste caso que parte da pizza cada um irá comer? Desenhe esta situação e escreva a fração que cada um dos meninos irá comer.
Resposta
3- Carlos ganhou uma barra de chocolate. Ele cortou em 6 pedaços iguais e comeu 4 pedaços. Pinte os pedaços que ele comeu e escreva a fração.
Resposta
4- Numa loja de presentes tem 2 bonés azuis e 1 boné branco, todos do mesmo tamanho. Você pode escrever utilizando números a fração que representa a quantidade de boné branco em relação ao total de bonés?
Resposta
5- No retângulo abaixo, Laís pintou duas caretinhas. Você pode representar numericamente, em forma de fração, essa caretinhas pintada em relação à quantidade total de caretinhas?
Resposta
ii
6- Numa loja de brinquedos havia 5 bonecas iguais. Sara comprou 3 dessas bonecas para presentear suas sobrinhas . Que fração representa as bonecas que Sara comprou em relação ao total de bonecas da loja?
Resposta
Desenho
7- Das 8 xícaras de um conjunto de chá, 2 estão quebradas. Você pode escrevera fração que indica a quantidade de xícaras quebradas em relação ao total de xícaras?
Resposta
Desenho
8- Naná ganhou uma barra de chocolate, partiu em 3 partes iguais e deu 2 partes para sua amiga Luana. Você pode escrever que fração representa a parte que Luana recebeu em relação ao total do chocolate?
Resposta
Desenho
9- Na mesa do restaurante tem 5 crianças. A garçonete serviu 3 tortas para dividir igualmente entre elas. Que fração de torta cada criança receberá?
Resposta
10- Divida as 2 barras de chocolate que estão desenhadas abaixo para 4 crianças, de tal forma que todas ganhem o mesmo tanto. Que fração do chocolate cada criança receberá?
Resposta
iii
11- Agora divida uma barra de chocolate para três crianças e pinte a parte que uma delas irá comer.
Resposta
Desenho
12- Lana tem 8 barras de cereais. Ela vai dividir igualmente para 4 crianças. Você pode escrever que fração cada criança irá receber?
Resposta
Desenho
13- Silas comprou 6 balões. Desses balões 21 são vermelhos. Escreva quantos
balões são vermelhos. Resposta
Desenho
14- Carla ganhou 64 das bolas abaixo. Circule as bolas que ela ganhou.
Resposta
15- Fábio tinha 6 bolas. Ele organizou as bolas em dois grupos. Um grupo era de bolas azuis e outro de bolas amarelas. Qual a fração que representa as bolas amarelas em relação ao total de bolas?
Resposta
iv
16- Agora Fábio tem 8 bolas, organizadas em quatro grupos. Três grupos são de
7- Lulu ganhou um chocolate e comeu
bolas verdes e um de bola amarela. Qual a fração que representa as bolas verdes em relação ao total de bolas?
Resposta
Desenho
531 . Pinte a quantidade de chocolate que
8- A tia de Sandra fez bolos de morango e chocolate. Que fração representa os
9- A mãe de Carlos fez 1 torta de morango e 3 chocolate. Que fração do
0- Carlos deu
Lulu comeu. Resposta
1bolos de morango em relação ao total de bolos?
Resposta
1conjunto de tortas representa as tortas de chocolate com relação ao total de tortas que a mãe de Carlos fez?
Resposta
Desenho
842 do queijo para 8 crianças.
nças e de queijo, de tal forma que Desenhe abaixo o número certo de cria
cada criança receba os 84 de queijo que Carlos deu.
v
21- Num saquinho há 6 bolas de gude. 4 dessas bolas são azuis e duas são verdes. Qual a chance de alguém, sem olhar, pegar uma bola azul nesse saquinho?
22- Vamos imaginar que alguém tirou as bolas azuis e verdes e que colocou no saquinho agora 2 bolas brancas e 2 bolas pretas. Qual a chance de alguém, sem ver, tirar do saquinho uma bola branca?
23- Observe o baralho:Qual a chance de tirar uma carta azul neste baralho?
24- Na escola de Paulo foi feito um sorteio com 8 bilhetes para um passeio. Paulo tinha comprado 4 desses 8 bilhetes. Qual a chance de Paulo ser sorteado?
Resposta
Desenho
Resposta
Resposta
Desenho
RespostaDesenho
Resposta
vi
25- Um pintor misturou 3 litros de tinta preta com 1 litro de tinta branca. Que fração da mistura representa a tinta branca em relação ao total de tinta?
Resposta
26- Para fazer uma jarra de suco de caju, Carla mistura 1 litro de água e 2 litros de concentrado de caju. Você pode escrever que fração representa o concentrado de caju em relação ao total da mistura?
Resposta
Desenho
27- Para preparar uma jarra de refresco de uva, Cláudia necessita de um copo de concentrado de uva e um copo de água. Você pode escrever que fraçãorepresenta o concentrado de uva em relação a mistura total?
Resposta
28- Para fazer um cimentado um pedreiro mistura duas latas de cimento com 6 latas de areia. Qual a fração representa as latas de cimento em relação ao total de latas da mistura?
Resposta
Desenho
vii
Anexo 2
viii
ix
x
xi