Uma Mudança nas Relações entre a Arte e a Matemática Estabelecidas

pelos Alunos do Ensino Médio.

Tânia Borreiro Sanches1

RESUMO

O presente trabalho refere- se a uma pesquisa analítica a partir dos dados coletados na implementação de uma proposta de trabalho com fractais, para a conclusão do PDE � Programa de Desenvolvimento Educacional do governo do Estado do Paraná. Faz um relato das atividades desenvolvidas na aplicação do projeto FOLHAS: Fractais: Arte ou Matemática? Pesquisa- se o conhecimento anterior que os alunos do ensino médio do Colégio Estadual Vicente Rijo na cidade de Londrina, durante o ano letivo de 2008, possuem sobre o tema e compara- se com os resultados obtidos por cada aluno após o trabalho, que envolveu pesquisas na Internet e confecção de imagens fractais, construídas pelos próprios alunos no computador e posteriormente expostas na escola. A partir dos conhecimentos a priori, de um conjunto de alunos, sobre arte e matemática e a posteriori das atividades realizadas inferi - se que é possível uma mudança significativa na concepção que os educandos fazem da matemática e da sua relação com as outras ciências. Sendo ainda necessário mais trabalhos com este tema para transformar o senso comum de que a matemática é uma ciência pronta e acabada.

PALAVRAS CHAVE: Fractal. Arte. Matemática. Racionalidade. Irracionalidade.

ABSTRACT

This paper refers to an analytical research on the data collected in implementation of a proposal to work with fractals, for the completion of EDP - Educational Development Program of the government of the state of Paraná. It makes a report of activities undertaken in implementing the project SHEETS: Fractals: Art or Math? Research is the prior knowledge that students of high school in State College Vicente Rijo in the city of Londrina, during the school year of 2008, have on the subject and it is compared with the results achieved by each student after work, which involved searches on the Internet and making images of fractals, built by the students themselves on the computer and subsequently exposed in the school. A from a priori knowledge of a group of students on art and mathematics and retrospective of the activities carried out has suggested is possible significant change in the design that the students are of mathematics and its relationship to other sciences. While still needed more

1 Profa. SEED do Colégio Estadual Vicente Rijo, possui Licenciatura em Matemática pela UEL, Especialização em Metodologia do Ensino da Matemática pela Faculdade São Luiz, e em Gestão Escolar, Supervisão e Orientação Escolar pela Faculdade Padre João Bagozzi.

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work on this theme to transform the common sense that mathematics is a science and promptly finished.

KEY WORDS: Fractal. Art. Mathematics. Rationality. Irrationality.

Introdução

É preciso que a matemática da escola se sintonize com o mundo

tecnológico e virtual, onde a televisão e o computador conquistam cada

vez mais o interesse dos alunos e as aulas continuam com os recursos

básicos do quadro e giz. Entende- se que para transformar essa realidade,

é necessário modificar a concepção da matemática como uma ciência

pronta e acabada, reconhecendo que ela é fruto do trabalho humano, com

erros e acertos e em processo constante de criação. A matemática deve ser

considerada como um elemento crucial capaz de contribuir para uma

educação formadora de cidadãos criativos.

Os conteúdos de Matemática e a forma como são abordados no

Ensino Fundamental e Médio foram desenvolvidos até o século XVIII. São

apresentados de forma desconectada com as outras áreas do

conhecimento, corroborando com a idéia de que a matemática é uma

ciência pronta e acabada, não havendo nada de novo a ser descoberto ou

criado.

Opondo- se a este cenário destaca- se os objetos fractais. Fruto de

criação recente de matemáticos que viveram há apenas algumas décadas.

Apresentam- se com a capacidade inerente de integração com as diferentes

áreas do conhecimento, possibilitando o trabalho interdisciplinar numa

sala de aula. O matemático francês Bernoit Mandelbrot trabalhou com

problemas aparentemente desconexos, por ocasião de seu ingresso na

empresa IBM em 1958. Estes problemas envolviam freqüências de palavras

em lingüística, incursão de erros na transmissão de mensagens,

turbulência, aglomerados de galáxias, flutuações da bolsa de valores e a

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variação do nível do rio Nilo, e percebeu que todos os seus trabalhos

estavam inter- relacionados, tratavam da estrut ura geométrica de

fenômenos irregulares.

Sabe- se que a matemática é uma ciência viva, que não tem sido igual

a si mesma ao longo dos tempos, e que há muito ainda a ser criado e

descoberto. A história da matemática mostra um cenário de produção

matemática onde:

. . . os matemáticos profissionais depressa adquiriram o hábito de não se aventurar longe do centro de gravidade da sua disciplina, baseados na idéia de que poderá existir uma matemática pura, que se desenvolveria num recipiente fechado, sem nunca fazer apelo a qualquer tipo de contributo exterior. Foi necessário um grande golpe para derrubar está idéia, esse golpe foi desferido pelo advento do computador, através de diversos desenvolvimentos, dos quais um dos primeiros foi a geometria fractal. (Mandelbrot, 1998; p.217)

Os fractais possibilitam esse acesso aos computadores, na criação da arte- fractal, unindo a arte e a matemática e a máquina, ou o emprego de novas tecnologias. É uma possibilidade de interação do homem com o meio ambiente.

A interação do indivíduo com o seu meio ambiente (natural e sociocultural) dá origem a técnicas e estilos de COMPORTAMENTO coletivo. Na busca da TRANSCENDÊNCIA o indivíduo desenvolve meios de lidar com o ambiente, com o passado e o futuro - na tentativa de explicar fatos e fenômenos. A explicação organizada, teorizada, resultante da reflexão sobre o comportamento é o que chamamos de conhecimento. Esses meios de lidar com o ambiente são as TÉCHNAI (arte/técnicas) como:

_ a memória individual e coletiva, os sistemas de explicação para as origens e a criação (mitos), que deram origem à História e à tradição: resultando nas RELIGIÕES e no sistema de valores;

_ a elaboração de representações (imagem e som) que originaram a ARTE;

_as representações da realidade (modelos) que originaram a MATEMÁTICA. (D� AMBROSIO, apud CYRINO, 2003 p.53).

3

O termo Fractal foi criado em 1975, sendo ainda uma novidade para

todos, seu estudo é a apontado como uma nova relação professor aluno

conforme explicitado abaixo:

Freire (1972), citado em Skovsmose (2001, p.17), explicita uma concepção da relação entre professor e aluno dizendo que, na educação crítica: Através do diálogo, o professor- dos- estudantes e os estudantes- do- professor se desfazem e um novo termo emerge; professor- estudante com estudantes professores. O professor não é mais meramente o que ensina, mas alguém a quem também se ensina no diálogo com os estudantes, os quais por sua vez enquanto estão ensinando também aprendem. Eles se tornam conjuntamente responsáveis por um processo no qual todos crescem. (CYRINO, 2003, p.40)

A matemática, a arte e a religião e as ciências em geral foram

desenvolvidas pelo homem nas diferentes épocas e, em diferentes culturas

com a finalidade de entender, explicar, conhecer, aprender, e fazer

previsões da realidade, na busca da sobrevivência e da transcendência.

Por muito tempo acreditou- se que a geometria euclidiana era

suficiente para explicar e compreender os fenômenos. Considerando o

espaço, o plano, a reta e o ponto como elementos. Posteriormente esta

geometria foi incapaz de realizar essa compreensão. Os fractais são

objetos que não pertencem a esta geometria, apresentando- se como uma

geometria não- euclidiana.

A arte e a matemática são formas de representação da realidade,

fazendo a transição no imaginário do concreto para o abstrato. A arte tem

como princípio fundamental comunicar uma visão subjetiva do mundo, na

qual a representação dos sentimentos humanos prepondera sobre as

impressões do real. Não é algo que possa ser entendido apenas pelo

raciocínio, pode incluir referências ao visionário e ao irracional,

incorporando sentimentos, reflexões, questionamentos, valores, visão de

mundo. De tal forma que, a matemática dos fractais traz uma descrição da

natureza:

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� os Objectos Fractais, propunham- se não só descrever as montanhas, as nuvens, as árvores e os amontoados de galáxias, mas também descrevê-los de uma forma suficientemente perfeita para permitir imitar imagens do real por meio de fórmulas� .(Mandelbrot,1998, p.208).

Por muitos séculos as ciências e as artes eram próximas, havia um

intercâmbio entre elas. Porém, a história da educação nos mostra uma

compartimentação dos conteúdos das diferentes áreas na disciplinarização

do estudo. O estudo dos Fractais vem de encontro à essa disciplinarização,

fazendo o necessário intercâmbio entre arte e matemática. A arte fractal

em matemática possui momentos distintos, que se fundiram num só:

visualização e inspiração. O estudo dos fractais destaca- se como capar de

seduzir os alunos sejam seduzidos pelo encantamento da matemática, veja

em Mandelbrot:

� Porque as imagens que lhe servem de� caracteres � são intrinsecamente sedutoras para o artista, para a criança e para o leigo. Muitas foram já aceitas como resultado de uma nova forma de arte... Porque essa linguagem conduz, em diversos ramos da matemática pura, a novos rumos de investigação intrinsecamente atraentes para os especialistas;...� Porque os mestres se mostram encantados ao verem quanto esta linguagem seduz os seus alunos. Nos mais diversos países, com as estruturas escolares mais díspares, os fractais conseguem tão bem despertar a curiosidade matemática dos jovens mais reticentes como reforçar a paixão dos mais motivados.� (Mandelbrot, p. 210)

O estudo dos objetos fractais estabelece elo entre a arte e a

matemática, atribuindo valores a matemática e alguns de seus conteúdos

específicos, explicitando uma beleza matemática, quer seja pela

construção, ou visualização das imagens fractais no computador, mudando

a condição de ciência exata, � chata� , sem contextualização, possibilitando

a compreensão da subjetividade, emotividade e da irracionalidade presente

na criação matemática, bem como reconhecer um objeto fractal, criar

figuras fractais, conhecer geometrias não- euclidiana, despertar e

desenvolver o senso estético com o estudo da arte e da matemática

aplicada à construção de fractais.

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A atividade em sala de aula exige a cada dia uma presença maior de

contextos capazes de envolver conteúdos matemáticos que nos remetem

sempre à busca de respostas para a famosa pergunta � Para que serve?� .

Entende- se essa busca como uma oportunidade para se resgatar a conexão

entre a matemática e as outras ciências, conforme o desenvolvimento da

matemática ao longo dos tempos.

A conexão fractal /outras ciências envolve um conjunto de diferentes

possibilidades. Este trabalho concentra- se no ramo arte- fractal, já que tem

se mostrado como uma das características principais dos fractais a

visualização e a criatividade, como o próprio Mandelbrot confessou, o

apelo visual é um dos mais interessantes, ao menos inicialmente.

Pretende- se deste modo que os educandos adquiram interesse pelos

conteúdos ministrados, educando o seu olhar, desenvolvendo o sentido

estético da vida, com o estudo multidisciplinar dos conteúdos, unindo

cultura e educação, desenvolvendo o gosto pelo belo e conseqüentemente

pelo estudo. E o belo tem implicações sociais, políticas e psicológicas,

fundamentais nas criações humanas.

A violência não é bela. A corrupção política também não. Como propósito,

deseja- se que o aluno reconsidere as divisões entre Ciência e Arte, Exatas

e Humanas, e que quando estudamos uma situação da vida real todos os

seus aspectos estão intrinsecamente ligados.

Desta forma, a proposta traz como objetivo, além de suscitar a

compreensão que o aluno possui da relação entre Arte e Matemática,

interferir nesta compreensão, de modo que os educandos possam

conceber a Matemática e a Arte como ferramentas essenciais da

humanidade para a compreensão do mundo. Sendo assim, este trabalho

apresenta um relato de experiência da implementação das atividades

contidas no FOLHAS intitulado: FRACTAL � Arte ou Matemática?, bem como

outras atividades correlatas, buscando a complementação do tema Arte e

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Matemática, como atividades desenvolvidas no laboratório de informática e

exposição da arte- fractal produzida pelos próprios alunos.

Desenvolvimento das atividades

O trabalho envolveu seis turmas de 1ª, 2ª e 3ª série do Ensino

Médio, num total de 210 alunos.

Partiu- se de um instrumento contendo algumas questões que se

desejava investigar a situação inicial dos alunos frente à compreensão da

Matemática, da Arte e da relação entre as duas, com as seguintes questões:

1) O que você entende por Matemática? 2) O que você entende por Arte? 3)

Na sua opinião existe relação entra Matemática e Arte?

Num segundo momento apresentou- se aos alunos o folhas

intitulado: Fractal � Arte ou Matemática? no data show, bem como

algumas imagens fractais feitas no computador através de softwares

específicos.

Iniciou- se as atividades do folhas. A primeira atividade tratava- se de

funções iteradas, e os alunos não tiveram maiores dificuldades. Na

segunda atividade que envolve o cálculo da dimensão de um fractal por

meio de logaritmos os alunos obtiveram um bom desempenho. Os alunos

da 1ª série tiveram uma facilidade maior, pois este conteúdo havia sido

abordado nas aulas de matemática. Já os alunos da 2ª e 3ª série somente

realizarão as atividades após uma revisão dos sobre os logaritmos e suas

propriedades.

A terceira atividade sobre o comprimento da costa brasileira, que faz

uma ligação com a disciplina de Geografia, (que se tratava de medir o

comprimento da costa brasileira em um mapa, com réguas de diferentes

medidas com 5 cm, 3 cm, 1 cm , pesquisar em fontes diferentes a medida

do litoral brasileiro e efetuar a análise e comparação dos resultados

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obtidos). Os alunos tiveram a oportunidade de observar que as medidas

nem sempre são um valor exato, por mais preciso que seja e perceberam

que como os fractais são facilmente encontrados nas formas da natureza,

são extensivos a aplicações em muitos ramos da Geografia, como por

exemplo, a Topografia. Estas constatações podem ser observadas nas

respostas apresentadas por uma equipe da 1ª série quando se conclui a

terceira atividade:

� Concluímos que quanto menor o tamanho da régua utilizada para

medir o mapa, maior é a distancia obtida, pois com a régua em menor

tamanho pode- se ter mais precisão ao medir as distâncias no mapa, a

régua menor alcança lugares onde talvez uma maior não chegaria.

Também concluímos que maior foi o tempo gasto para medir quando o

tamanho da régua era menor, já que ela dá mais detalhes e mais trabalho

para se medir. Encontramos os seguintes resultado no Google Earth : 6362

Km, no Brasil Channel.com.br: 7367 Km e na Wikipédia : 9198 Km. Esses

resultados dependem, assim como o das réguas, da maneira em que se

mede. A do Wikipédia foi considerado, ou pelo menos tentou, as saliências,

reentrâncias, as formas do nosso litoral, por isso um resultado maior, com

mais detalhes e mais próximo do real. Agora, os resultados obtidos pelo

site brasilchannel.com.br e pelo programa Google Earth, não foi

considerado isso, o litoral foi traçado em linhas retas, sem destacar as

formas, as centenas de ilhas do nosso litoral, o que também interfere no

resultado. Os resultados podem variar de acordo com a rigorosidade do

método que foi utilizado para medir o litoral do Brasil, a enumeração de

detalhes, a tentativa de chegar mais próximo do real�

Como complementação das atividades propostas no Folhas assistiu-

se o vídeo do � Pato Donald no país da Matemágica� (fonte

www.youtube.com). Os alunos puderam observar algumas relações da arte

com a matemática. Também foi realizada uma pesquisa das relações entre

Arte e Matemática, no laboratório de Informática do colégio, no site sobre

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matemática e arte da TV Cultura, onde os alunos tiveram contato

observaram várias obras de artes de diversos artistas e aprenderam sobre

diversos itens relacionados ao tema, como: Harmonia, Simetria,

Perspectiva, Ordem, Beleza, Som, Ritmo, Proporção Áurea, Caos, Teorema

de Pitágoras, Mosaicos, Perspectiva, Tempo e Espaço. Também realizaram

algumas atividades on- line, muito interessantes envolvendo desenho e

simetria, quebra cabeça com o Tangram, desenho com cores e formas

harmônicas, jogos com mosaicos, jogo de memória musical. Os alunos

durante as atividades no laboratório de informática tiveram a oportunidade

de apreender sobre os itens relacionados com a arte e a matemática e de

diversão ao mesmo tempo.

Para finalizar o trabalho com o encerramento da Implementação na

escola os alunos realização uma exposição das imagens fractais,

construídas por eles através do software livre Tierazon.

O desenvolvimento da quarta atividade do folhas ,referiu- se a uma

redação, realizada de forma integrada com a disciplina de Português. Os

alunos deveriam considerar o trabalho realizado, e se expressando

livremente, refletindo sobre as questões:

a) As imagens fractais são arte ou matemática?

b) É possível a existência de racionalidade na arte?

c) É possível a existência de irracionalidade na matemática?

d) Existe objetividade na arte?

e) Existe subjetividade na matemática?

f) O que é razão?

g) O que é emoção?

Escolheu- se o resultado dessa produção escrita para ser apresentado

neste artigo. Na seqüência traz- se as respostas de oito alunos, na redação

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que segue traz- se alguns recortes dos textos atrelados às considerações

realizadas pelos alunos anterior e posterior à realização das atividades.

Segue a resposta dos alunos sobre o primeiro questionário da

pesquisa, às perguntas:

1) O que você entende por Matemática?

2) O que você entende por Arte?

3) Na sua opinião existe relação entra Matemática e Arte?

ANTES...

Aluno 1:

� 1) Eu consigo entender todos os exercícios que a professora de

matemática passa, todas as contas, toda explicação.

2) Eu sei mais ou menos a pré- história, como era feito o desenho na pré-

história, e que Artes fala mais de desenhos.

3) Não, porque arte fala mais de desenho, os desenhos da pré- história, na

matemática faz mais contas, números,�

DEPOIS...

Aluno 1:

� Antes eu não sabia o que eram Fractais. Até que um dia a

professora de matemática falou que ia trabalhar com Fractais. Logo pensei.

O que é um Fractal? E o que tem há ver com matemática? Será que é uma

matéria nova?

Quando estava pensando a professora mostrou fractais para todo mundo.

Quando eu vi era um tipo de figura, logo pensei: isso não é mais arte do

que matemática?

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Quando estava pensando novamente a professora começou a explicar o

que é um fractal. Ela falou que através de várias equações podia fazer

vários fractais. Eu disse como? Ela disse que podia ser feito através de um

programa de computador.

Quando acabou a aula, eu fui direto para casa, para saber mais sobre

os fractais, eu ainda achava que isso tinha a ver mais com a arte do que a

matemática, até que pesquisei e baixei o programa no meu computador.

Logo, quando abri o programa não entendi nada dele, só sabia que

tinha a tabela de cores e o lugar onde coloca a equação. E eu pensei, vou

colocar uma equação só para ver se sairá um fractal. Quando coloquei a

equação saiu um fractal muito lindo e fui mudando de cores até que achei

uma cor ideal para o fractal e coloquei um nome para ele : Florais, porque

tinha várias flores e de cores diferentes.

Quando vi o fractal, mudei rapidamente de pensamento, que o

fractal tem há ver com a arte mais também tem há ver com a matemática.

Então os Fractais não é só Arte é também a Matemática � .

Observa- se que o aluno número 1, compreende a disciplina de

matemática� quando escreve � entendo ... a explicação� e entende alguma

coisa sobre a arte � Eu sei mais ou menos a pré- história� , não percebe

nenhuma relação entre matemática e arte: � arte fala mais de desenho, ...,

na matemática faz mais contas, números,� . Na redação final feita de uma

maneira muito espontânea, tem- se a mudança de sua percepção � mudei

rapidamente de pensamento, que o fractal tem há ver com a arte mais

também tem há ver com a matemática. Então os Fractais não é só Arte é

também a Matemática� .

ANTES...

Aluno 2:

� 1) E uma forma de resolver os problemas que aparecem no dia a dia.

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2) é a forma de expressar seus sentimentos em desenhos, pinturas e

esculturas.

3) para mim uma não tem nada haver com a outra porque a matemática é

uma questão de raciocínio, eu não expresso meus sentimentos na

matemática, já em artes conforme eu faço os desenhos, pinturas eu vou

expressando meus sentimentos nas cores que uso no desenho que faço.�

O aluno número 2, vê a matemática como uma forma de

resolver problemas, e a arte como uma maneira de expressar seus

sentimentos, mas afirma não haver relação entre ambas � não tem nada

haver com a outra porque a matemática é raciocínio, ...já em artes ...

expresso meus sentimentos nas cores que uso .�

DEPOIS...

Aluno 2:

� As imagens fractais é matemática porque são formadas por gráficos

de fórmulas matemáticas, mas as imagens que esses gráficos coloridos

formam acabam se transformando em grandes obras de arte também.

Na arte às vezes é possível ser racional, mas na maioria das vezes os

artistas não usam a razão para fazer suas obras e sim a emoção e seus

sentimentos.

Na matemática não é possível ser irracional, tudo tem uma razão, e

como seria a matemática sem a razão que implica em pensar no que vai

fazer, não teria matemática porque não tem como fazer cálculos sem

pensar.

Subjetividade na matemática é praticamente impossível porque

subjetividade é quando alguém usa seus sentimentos para fazer algo e

individualmente. A matemática não veio de um sentimento de uma pessoa

e sim uma maneira que acharam de resolver os problemas do dia- a- dia.�

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Analisando a redação final do aluno de número 2, observa- se que o

mesmo conseguiu estabelecer a relação entre matemática e arte por meio

dos objetos fractais: � As imagens fractais é matemática...., mas as

imagens que esses gráficos coloridos formam acabam se transformando

em grandes obras de arte também� . O aluno admite a existência de

aspectos racionais na arte, mas não admite a existência de aspectos

irracionais e subjetivos na matemática : � Na matemática não é possível ser

irracional... Subjetividade na matemática é praticamente impossível� .

ANTES...

Aluno 3:

� 1) Ciência que estuda os números, cálculos, presentes no nosso dia a dia.

2) Liberdade de expressão, sentimentos que são colocados de modo a

serem transmitidos a outras pessoas. Por meio de músicas, danças,

pinturas. Arte não é algo para ser só visto, e sim sentido e vivido. Arte é

uma ligação entre as pessoas, é uma maneira de deixar o mundo mais

belo.

3) Sim e Não. Matemática é a arte de representar diversas situações que

encontramos solução para problemas, construir e desconstruir, além de

ser uma linguagem universal, uni todos os povos, dois mais dois são

quatro no Brasil e em qualquer parte do mundo, isso é muito semelhante à

arte, que transmite sentimentos independente do lugar, porém a

matemática não é uma coisa que envolve liberdade, de modificar, criar, o

que já foi feito não tem como mudar, o que é regra é regra, matemática é

uma coisa que temos que decorar, e não sentir�

O aluno de número 3 trata a matemática como uma forma de arte

� Matemática é a arte de representar diversas situações que encontramos

solução para problemas� , e como uma ciência pronta e acabada, identifica

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as relações da matemática e arte, mas tem dificuldade em verbalizá- las:

� Sim e não - matemática não é uma coisa que envolve liberdade, de

modificar, criar, o que já foi feito� .

DEPOIS...

Aluno 3:

� Desde o início do nosso aprendizado, logo quando entramos na

pré- escola aprendemos matemática de uma única maneira: números,

cálculos, problemas. O mesmo acontece com a arte, aprendemos desde

cedo que para desenhar precisamos sentir a emoção, levar do fundo dos

nossos corações, todo o sentimento expressá- los em gravuras, músicas,

esculturas. Isso é arte, emoção tanto na hora de criar, quanto para

observar uma obra.

Mas não aprendemos a relação existente entre essas duas áreas, e é

isso que o Mundo de Fractais vem nos mostrar. Fractal nada mais é do que

uma relação entre arte e matemática, expressa através de lindas imagens.

A junção de razão e emoção.

A possibilidade da existência de emoção na razão e vice- versa,

sempre foi discutida. De um lado racionalistas, de outro empíricos, um dos

grandes mestres da filosofia moderna Emannuel Kant defendia a tese que

diz, toda razão tem um pouco de emoção e toda emoção tem um pouco de

razão. Um precisa do outro e o resultado dessa interação é a beleza dos

fractais.

A razão está presente na arte, na música, por exemplo, em partituras

em pinturas, grandes artistas da história utilizavam um método chamado

proporção áurea, matemática para pintar quadros, tudo perfeitamente

projetado, a beleza dos resultados todos nos já vimos.

Já estamos acostumados a pensar que existe sempre racionalidade

na matemática, mas como sabemos, com a presença da arte, a matemática

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se torna irracional. Como todas as outras, a arte matemática está sujeita a

irracionalidades, como tudo que exige do artista emoção, não e necessário

ser racional, é necessário sentir.

A arte se torna objetiva a partir do momento em que se é usado

métodos para as coisas saírem exatas, quando o artista recebe o método

com apenas um olhar. Por outro lado à matemática é subjetiva quando

suas formas são ocultas, quando não se nota sua presença mesmo

sabendo que ela está presente, como no caso dos fractais, que quando

olhamos para as belas imagens coloridas, nunca notamos a presença da

matemática.

Sempre ouvimos falar em razão, emoção, mas ninguém consegue

uma definição para esses sentimentos tão nobres. Sim, sentimentos, razão

é um dos sentimentos que toma o ser humano tão fantástico, sua

capacidade de raciocinar, nossa razão é a que nos move, mas ela nunca

age sozinha, sempre quando usamos a razão conseqüentemente

utilizamos a emoção, involuntariamente eu diria. São dois rivais presentes

sempre em uma mesma decisão, trabalhando juntos, nos mostram as

belezas que somos capazes de construir.�

Analisando a redação final do aluno número 3, percebe- se mudanças

significativas, nas suas concepções de matemática, arte e na relação entre

ambas: � não aprendemos a relação existente entre essas duas áreas, e é

isso que o Mundo de Fractais vem nos mostrar. Fractal nada mais é do que

uma relação entre arte e matemática. A junção de razão e emoção� . O

aluno consegue no fechamento do trabalho identificar os aspectos

irracionais e subjetivos da matemática, bem como os aspectos racionais da

arte: � A razão está presente na arte, na música, em partituras em pinturas,

grandes artistas da história utilizavam um método chamado proporção

áurea, para pintar quadros... . com a presença da arte, a matemática se

torna irracional... a arte matemática está sujeita a irracionalidades, como

tudo que exige do artista emoção� .

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ANTES...

Aluno 4:

� 1) Confesso que a matemática não é uma das melhores matérias, mas

fazer o que se precisamos dela para tudo, ela entra em nossa vida, pois

várias coisas que fazemos no nosso dia a dia, geralmente precisamos de

somar, diminuir, multiplicar e até dividir. Muitos dos conteúdos da matéria

só vamos usar agora, mas é importante estudar a matemática.

2) Muitas vezes na Arte podemos dizer que nela entra parte do passado,

por exemplo, pré- história. Eu adoro Artes, desenhar é tudo! Saber sobre

toda a matéria nos ensina a viver cor, forma figurativa, geometria. Para os

artistas essa matéria é o ganha pão e um jeito de sustentar- se e um jeito

de se expressar.

3) Sim, todas as matérias têm algo em comum, a matemática e a arte têm

em comum a maneira de ser utilizado, na Arte o especialista desenha para

expressar o que pensa e na Matemática ele prova o resultado real da conta,

para mostrar o que acha. Ou seja, elas têm em comum a maneira de se

expressar.�

O aluno de número 4, não tem a matemática como uma disciplina de

sua preferência � Confesso que a matemática não é uma das melhores

matérias� , mas a vê como uma necessidade: � ela entra em nossa vida, pois

várias coisas que fazemos no nosso dia a dia, geralmente precisamos de

somar, diminuir, multiplicar e até dividir� , percebe a relação da

matemática com a arte, como formas de expressão : � na Arte o especialista

desenha para expressar o que pensa e na Matemática ele prova o resultado

real da conta, para mostrar o que acha. Ou seja, elas têm em comum a

maneira de se expressar.�

DEPOIS...

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Aluno 4:

� Confesso que para responder essa pergunta primeiro eu tive que

quebrar a cabeça e olha não foi fácil, antes eu diria que os fractais são

considerados arte por ser um simples desenho, só que depois de estudar

um pouco mais sobre os fractais eu posso afirmar que as imagens fractais

são matemática.

Hoje eu digo depois de tantas pesquisas, é possível sim a existência

da racionalidade na arte, pois esta palavra vem de racional que quer dizer

usar o raciocínio e para fazer qualquer tipo de desenho é preciso o

raciocínio. Já na matemática não existe uma certa palavra irracionalidade

ela é absurda, pois a única que cabe a matemática é a racionalidade, ou

seja, usar o raciocínio, e olha tem que usar muito e da maneira correta.

Já a objetividade existe sim na arte e na matemática pois para

desenhar temos que ter um objetivo e na matemática também.

Podemos ver a razão de várias maneiras. A ração é a capacidade de

raciocinar, a razão é a única coisa que diferencia o ser humano de outros

animais. A razão de uma conta, ou seja, a resposta está correta. Eu já tive

várias emoções , a emoção é o estado que a pessoa fica ao ter uma grande

alegria ou uma grande tristeza.�

Percebe- se que o aluno de número 4 conseguiu estabelecer a relação

entre a matemática e a arte: � antes eu diria que os fractais são

considerados arte depois de estudar sobre os fractais eu posso afirmar que

as imagens fractais são matemática� . Percebe a existência da racionalidade

na arte, mas não consegue perceber a irracionalidade presente na

matemática : � Hoje eu digo é possível sim a existência da racionalidade na

arte, pois esta palavra vem de racional que quer dizer usar o raciocínio e

para fazer qualquer tipo de desenho é preciso o raciocínio Já na

matemática não existe irracionalidade�

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ANTES...

Aluno 5:

� 1) Para mim a matemática é uma ciência que tem como objetivo calcular a

área de vários lugares e dar resultados e explicações dos números e contas

.

2) Que é uma ciência que estuda os desenhos os rabiscos (abstratos) e

qualquer coisa que tenha cor é arte.

3) Sim, porque tudo tem arte, e a matemática na minha opinião entra numa

arte mais aprofundada como a arte da geometria que entra com contas e

desenhos.�

O aluno de número 5 concebe a matemática como uma ciência,

que envolve números e contas: � ciência que tem como objetivo calcular a

área de vários lugares e dar resultados e explicações dos números e

contas� e a arte como uma ciência que envolve desenhos e cores ; � uma

ciência que estuda os desenhos - qualquer coisa que tenha cor é arte.�

Considera as duas disciplinas como uma forma de arte: � a matemática na

minha opinião entra numa arte mais aprofundada como a arte da

geometria que entra com contas e desenhos.�

DEPOIS...

Aluno 5:

� As imagens fractais são arte e matemática na minha opinião pois os

fractais são formados através dos números (equações) e letras e depois de

prontos eles formão imagens belas que se alguém as visse falariam que

elas são uma belíssima arte.

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Para mim existe racionalidade na arte, pois como é que seria as

pinturas, desenhos e diversas criações artísticas, se não houvesse

racionalidade para calcular suas dimensões.

Mas eu também acho que existe irracionalidade na matemática,

porque ainda existem diversas � coisas� que são incalculáveis e outras que

ainda nem foram descobertas para serem calculadas. Por isso eu acho que

há muitas formas de dizer que a matemática é irracional.

Eu acho que existe objetividade na arte, pois cada pessoa expressa

em si a sua arte, portanto essa arte se forma de certa maneira objetiva ao

temperamento daquela pessoa ou até mesmo de si.

A matemática é composta por subjetividade que é uma forma de

expor suas maneiras, � matemáticas� para o mundo social.

A razão é uma maneira em que você tem de agir sem pensar com os

seus sentimentos mais sim com as diferenças entre certo e errado.

A emoção é um impulso neutral que move um organismo para a

ação.

Eu aprendi que de diversas maneiras a arte e a matemática estão

interligadas uma na outra por isso eu posso concluir que a minha vida é

uma mistura entre a arte e a matemática, pois os meus órgãos e o meu

corpo são formados por uma arte inexplicável e por uma matemática

incalculável.�

Analisando as redações do aluno de número 5, nota- se que o mesmo

percebe a relação entre matemática e arte: � As imagens fractais são arte e

matemática na minha opinião� , também identifica os elementos racionais

na arte e os elementos irracionais na matemática e concebe a matemática

como uma ciência em construção : � Para mim existe racionalidade na arte,

Mas eu também acho que existe irracionalidade na matemática, porque

ainda existem diversas � coisas� que são incalculáveis e outras que ainda

nem foram descobertas para serem calculadas. �

19

ANTES...

Aluno 6:

� 1) Para mim, a matemática é uma ciência, uma ciência que através

dos números, procura explicar o mundo e suas formas, seus problemas.

Para isso, temos milhares de técnicas que devemos usar, como o

raciocínio. A matemática está presente em qualquer lugar em que estamos,

sem ela seria impossível avançarmos no mundo, tecnologia, etc.

2) Qualquer forma de expressão onde exprimimos nossos

sentimentos; seja ela visual, escrita. Tudo é arte. Quando colocamos em

prática nossos planos ou até usando as diversas formas de linguagens,

estamos dando nossa opinião sobre um assunto e estamos fazendo arte.

3) Sim, as duas de certa maneira tentam explicar um pouco o que é o

mundo e do que somos. Para estudá- las devemos usar toda nossa

capacidade intelectual e mental. As duas são coisas básicas em nossa vida.

Sem elas estamos � por fora� de tudo o que acontece no dia- a- dia.�

O aluno de número 6 tem a matemática como uma ciência que

procura explicação para os problemas do ser humano : � uma ciência que

através dos números, procura explicar o mundo e suas formas, seus

problemas� , e a arte como uma forma de expressão: � exprimimos nossos

sentimentos; seja ela visual, escrita. Tudo é arte.� Percebe a relação entre

ambas, como uma busca pela compreensão do mundo : � as duas de certa

maneira tentam explicar um pouco o que é o mundo e do que somos.�

DEPOIS...

Aluno 6:

� A arte e a matemática estão diretamente ligadas, de diversas

formas, e isso não é de hoje. Grandes matemáticos do passado se

inspiraram em arte, em seus sentimentos e transformavam- nos em

20

equações, teoremas, regras, etc. A matemática não é apenas números,

fórmulas incógnitas, não mesmo. Em grande parte de suas descobertas

está escondida por trás a arte, já que um matemático ao criar um teorema,

busca na natureza, na arte, inspiração e apresenta ao mundo relações de

ordem que muitas vezes estavam ocultas nesses fatores e as expressa por

meio de conceitos matemáticos.

A razão e a emoção também são muito importantes nessa relação

entre a matemática e a arte. Um matemático, por exemplo, na teoria ele

deveria usar apenas a razão para criar, mas, na minha opinião, tanto um

matemático quanto um artista tem de se utilizar dessas duas coisas,

conciliá- las, aí é que está o segredo e a beleza dessas duas profissões, um

matemático tem de deixar suas emoções fluírem, sem esquecer é claro das

fórmulas, e assim ele cria uma nova concepção, uma nova maneira de ver

uma obra de arte e uma fórmula matemática. Pegamos por exemplo o

Teorema de Pitágoras, ele se baseou na arte, na música ao criar seu

teorema. Assim, ao ver um monte de números e fórmulas juntas, um

matemático não vê apenas números, mas vê arte, a sua arte, esse é o seu

trabalho.

A matemática depende da arte e a completa, uma depende da outra.

Um exemplo claro disso são os fractais, fórmulas, equações, se tornam

uma paisagem, por exemplo, ou um desenho abstrato, onde tudo esta em

grande harmonia. Os fractais são a grande junção entre a arte e a

matemática, e não é possível defini- los como sendo um ou outro. Ao

mesmo tempo em que para fazê- los se utiliza equações e mais equações,

o resultado de iterações e relações dessas equações se torna uma obra

totalmente artística, de grande beleza equilíbrio, onde podemos viajar na

nossa imaginação, nossos sentimentos, e é incrível como isso saiu de

equações, pura matemática. Nesse caso a arte foi o resultado da ação da

matemática, um exemplo da junção das duas coisas.

Falando um pouco mais da beleza dos fractais, ela está nos olhos de

cada um. Talvez uma pessoa olhe e veja apenas desenhos, e não desperte

21

nada em si, mas outra pessoa pode olhar e ver a beleza ali, a harmonia, e

fique com uma sensação de prazer. Essa é a maneira de um matemático ou

de um artista ver uma obra, e isso tudo faz parte da grande relação entre a

arte e a matemática, não podemos definir uma sem citar a outra, as duas

formam uma coisa um tanto complexa de se entender, e eu enfatizo: A

Beleza está nos olhos de quem vê.�

Analisando a redação final do aluno de número 6, percebe- se que o

mesmo compreende as relações entre arte e matemática : � A matemática

depende da arte e a completa, uma depende da outra� , percebe a

existência da racionalidade na arte e da irracionalidade na matemática e

concebe o processo da criação matemática: � A arte e a matemática estão

diretamente ligadas, ... um matemático ao criar um teorema, busca na

natureza, na arte, inspiração e apresenta ao mundo relações de ordem que

muitas vezes estavam ocultas nesses fatores e as expressa por meio de

conceitos matemáticos� .

ANTES...

Aluno 7:

� 1) Matemática é o uso do raciocínio e de lógica através de números ou letras no dia- a- dia.

2) Arte é tudo que expressa sentimentos através de algo criado pelo homem.

3) Talvez se olharmos no modo de pensar de cada um o que pode ser único e demonstrar uma personalidade de como raciocinamos até chegar a uma conclusão.�

O aluno de número 7 vê a matemática como o uso de raciocínio e

números, e a arte como uma criação humana como expressão de seus

sentimentos, não consegue verbalizar a relação entre ambas.

22

DEPOIS...

Aluno 7:

� Os fractais podem ser considerados um modo de arte, mas que na

verdade, possui muitos cálculos matemáticos. Para as pessoas que não

sabem o que é um fractal, a primeira vista, enxergarão uma obra de arte

aleatória. Mas para aqueles que conhecem o segredo por trás de um

fractal, poderão enxergar também uma obra de arte, mas também verão

gráficos e fórmulas com um olhar mais atento.

Com um fractal como exemplo, podemos dizer que existe

racionalidade na arte, pois tudo é milimétricamente calculado. Assim,

também podemos dizer que existe irracionalidade na matemática, pois o

fractal prova que qualquer cálculo, fórmula pode ser representado por um

gráfico.

Pode existir objetividade na arte, pois são aquelas que querem

representar algo, através de imagens, monumentos e muitas outras coisas.

Portanto, também pode existir subjetividade na matemática e foi algo

inesperado.

Em um fractal existe razão e emoção. Razão é aquilo que vemos,

falamos e pensamos com uma certa lógica, a partir de algo concreto. E a

emoção é aquilo que é inexplicável, mas que mesmo assim, nos faz querer

imaginar, sentir que aquilo exista, em alguma parte do mundo ou de nós

mesmos. Podemos ver um fractal dessas duas maneiras, com a razão,

olhando mais para o lado matemático da imagem ou com a emoção

apreciando as formas que a imagem tomou e imaginando, tentando dar

vida á essa forma. Ou também podemos olhar dos dois jeitos ao mesmo

tempo, fazendo com que apreciemos mais ainda um fractal.�

23

Analisando as considerações finais do aluno de número 7, observa-

se uma mudança significativa nas suas concepções, agora faz a relação

entre matemática e arte: � Os fractais podem ser considerados um modo

de arte, mas que na verdade, possui muitos cálculos matemáticos� ,

Também identifica os aspectos racionais na arte: � Com um fractal

como exemplo, podemos dizer que existe racionalidade na arte, pois tudo

é milimétricamente calculado� . E os aspectos irracionais na matemática:

� existe irracionalidade na matemática, pois o fractal prova que qualquer

cálculo, fórmula pode ser representado por um gráfico� .

CONCLUSÃO

Na observação de todo o processo de implementação da proposta na

escola, da participação e, da produção dos alunos, foi possível constatar

que as intenções do trabalho foram na sua maioria atingidas.

A matemática foi sintonizada com o mundo tecnológico e virtual,

mediante as atividades realizadas como: pesquisas sobre as relações da

matemática com a arte pela Internet e exposição das imagens fractais,

confeccionadas pelos próprios alunos por meio do programa Tierazon. Os

alunos se interessaram pelas atividades e apreciaram várias obras de arte

na Internet, além das imagens fractais de suas autorias, unindo- se desta

maneira educação e cultura.

Como resultado deste trabalho todos os alunos conceberam as

figuras fractais como sendo compostas por arte e matemática

simultaneamente. Também perceberam as várias relações entre arte e

matemática, estudadas durante o projeto, efetivando desta forma a

conexão arte- matemática. Porém, somente alguns perceberam a

matemática com uma ciência em expansão, admitindo a existência de

aspectos irracionais da criação matemática, como por exemplo, o

surgimento das geometrias não- euclidianas.

24

Este trabalho impetrou mudanças significativas nas concepções dos

alunos que participaram da proposta. Isso vem como uma ilustração da

necessidade de propostas de trabalhos que versem sobre este tema e que

venham implicar em mudanças circunstanciais na educação matemática de

nossos estudantes. Face aos resultados obtidos e devido às possibilidades

que podem ser extraídas do tema fractais, incluindo questões que

transcendem a própria matemática, considera- se o tema como digno de

inclusão nas aulas de matemática, reforçando sua pertinência no

documento Diretrizes Curriculares de Matemática para o Estado do Paraná

como parte do conteúdo estruturante Geometrias .

25

AGRADECIMENTOS

Agradeço a meu esposo Nilson

pela paciência nos momentos difíceis.

Agradeço a meus filhos Felipe e Mateus, pela

compreensão quanto a utilização do

computador.

Agradeço a meu irmão Áureo,

que está agora em um lugar melhor,

mas sei que sempre ficou feliz

com minhas realizações.Agradeço a orientadora Márcia Cristina,

pelas aulas que assisti no curso de

mestrado, que foram fundamentais para

meu crescimento, e pela orientação do

projeto FOLHAS.

Agradeço a orientadora Regina Célia,

por toda a atenção dispensada durante

a proposta de implementação na escola

e na elaboração deste artigo.

Agradeço a todos os Mestres que

trabalharam conosco no PDE, durante o

ano de 2007.

26

Agradeço a todos os meus alunos,

que com boa vontade desenvolveram

lindos trabalhos.

Agradeço acima de tudo a DEUS,

pela vida e pela saúde que me

possibilitou a realização deste trabalho.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal � para a sala de aula �

2ed.- Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

BORBA, Marcelo de carvalho. Pesquisa qualitativa em educação matemática.

Belo Horizonte. Autêntica, 2004.

CARAÇA, B.J. Conceitos fundamentais da matemática . 6.ed. Lisboa:Gradiva,

1998.

CYRINO, M.C.C.T. As várias formas de conhecimento e o perfil do professor

de Matemática na ótica do futuro professor. São Paulo:FEUSP, 2003.(Tese

de Doutorado).

DIRETRIZES CURRICULARES DA REDE PÚBLICA DE EDUCAÇÃO BÁSICA DO

ESTADO DO PARANÁ, SEED, 2006.

MALDELBROT; B. Objetos fractais. Tradução: Carlos Fiolhais e José Luís

Malaquias Lima Lisboa: Gradiva,1998.

REVISTA SUPERINTERESSANTE. Edição 85. p.22- 27. Editora Abril, 1994.

SERRA, C.P.; KARAS,E.W. Fractais gerados por sistemas dinâmicos

complexos. Curitiba: Champagnat,1997.

27

STEWART, I. Será que Deus Joga dados? A nova matemática do caos;

tradução: Maria Luiza X. de ª Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed.,1991.

YOKO; Y. U. Função e Fractal Uma abordagem iterativa ligada às artes.UEL.Londrina, 2005 (Monografia).

28