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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
ROSANGELA MARAZZIO KOCH
UMA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS À LUZ DOS TRÊS MUNDOS DA MATEMATICA
SÃO PAULO
2010
2
K81i Koch, Rosangela Marazzio
Uma introdução ao estudo de equações quadráticas à Luz dos Mundos da Matemática / Rosangela Marazzio Koch – São Paulo : [s.n.], 2010.
156f.; il. ; 30 cm.
Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática.
Orientadora: Profª Drª . Rosana Nogueira de Lima.
1. Equações quadráticas 2. Corte didático 3. Três Mundos da Matemática I. Título.
CDD: 515.35
3
ROSANGELA MARAZZIO KOCH
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UMA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS À LUZ DOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA
Dissertação apresentada como exigência
parcial à Banca Examinadora da
Universidade Bandeirante de São Paulo −
UNIBAN, para obtenção do título de
MESTRE em Educação Matemática, sob a
orientação da Professora Doutora Rosana
Nogueira de Lima.
SÃO PAULO 2010
4
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.
_________________________ ____________________
5
Dedico este trabalho a meu esposo, Elcio e aos meus filhos, Matheus e Nícolas por acreditarem que eu venceria, mesmo quando eu deixei de acreditar e por me ensinarem que o amor supera as dificuldades e aos meus pais Irineo e Mara, por me ensinarem que somente com determinação e perseverança alcançamos nossos objetivos.
6
AGRADECIMENTOS
Ao meu esposo e aos meus filhos pelo imenso amor, apoio, incentivo e compreensão,
sem os quais eu não teria concluído minha pesquisa.
Aos meus pais que me apoiaram e compreenderam a minha ausência temporária em
suas vidas.
À professora Dra Rosana Nogueira de Lima, pelo imenso apoio, amizade, dedicação e
carinho nas orientações, fundamentais para que esse trabalho fosse concluído.
À professora Dra Vera Giusti pelo apoio, amizade e pelas valiosas contribuições a esse
trabalho.
Ao professor Dr. Alessandro pelos questionamentos que ajudaram a delinear a minha
pesquisa.
Aos professores do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
UNIBAN, em especial, aos professores da linha de pesquisa “Ensino e Aprendizagem e
suas Inovações” que tanto colaboraram com suas sugestões e considerações que só
aprimoraram este trabalho.
Às professoras Dra Sonia Pitta e Dra Marilena Bittar pelas valiosas contribuições a este
trabalho.
À direção e à professora da escola estadual de Jundiaí em que esta pesquisa foi
realizada, por autorizarem a aplicação dos instrumentos de coleta de dados, e aos
alunos que participaram desta.
Aos amigos e “irmãos” Josias e Paulo, pelo carinho e apoio nos momentos cruciais
deste trabalho.
À companheira desta jornada Rosineide pela amizade e pelas palavras de incentivo.
Às minhas “filhas”, em especial a Beatriz, que compartilharam comigo as noites em
claro.
7
Na maior parte das ciências uma geração põe abaixo o que outra
construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente na
matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a
antiga estrutura.
Hermann Hankel
(1839 - 1873)
8
RESUMO
A nossa pesquisa tem por objetivo levantar quais características dos Três Mundos da
Matemática emergem das discussões de alunos de 8º ano do Ensino Fundamental ao
buscarem meios de resolução para as equações quadráticas, bem como as dificuldades
apresentadas por eles na transição de resolver equações lineares para resolver
equações quadráticas. Buscamos também possíveis evidências da existência de um
corte didático entre as equações lineares e as quadráticas. Para atingir este objetivo,
foram elaborados e aplicados dois instrumentos de coleta de dados. O primeiro, um
questionário contendo equações lineares, com o qual pudemos selecionar os sujeitos
que participariam do estudo principal, de acordo com os conhecimentos demonstrados
na resolução dessas equações. O segundo, um conjunto de equações quadráticas,
resolvidas em grupos pelos alunos selecionados, para entendermos como eles
resolveriam tais equações sem terem conhecimento prévio. Essa coleta ocorreu em
uma escola estadual da cidade de Jundiaí/SP, com duas turmas de 8º ano e os dados
coletados foram analisados à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática.
Os resultados obtidos evidenciam a existência de um possível corte didático, que
denominamos “corte didático quadrático”, contudo não entre as equações lineares e as
quadráticas, como conjecturávamos, mas entre as equações quadráticas de avaliação e
as equações quadráticas de manipulação. Estão presentes, no trabalho desses alunos
com equações quadráticas, características dos três mundos, corporificado, simbólico e
formal. Corporificado, quando o aluno busca as raízes da equação por avaliação;
simbólico, quando ele usa manipulação de símbolos para resolvê-la; e formal quando
usam apropriadamente as operações inversas.
Palavras-chave: Equações Quadráticas. Corte Didático. Três Mundos da
Matemática.
9
ABSTRACT
This study aims at determining the characteristics of the Three Worlds of
Mathematics that can be raised from 8 th graders solving quadratic equations, as
well as the difficulties they face in the transition from solving linear equations to
solving quadratic equations. We also search for evidences of a possible didactic
cut between linear and quadratic equations. To attain our goal, we developed
and administered two instruments for data collection. The first was a
questionnaire with linear equations, used to select the students that would
participate in the main study. The second instrument was a set of quadratic
equations that the students worked on in groups, so we could see how they
would solve this kind of equation without having any previous knowledge on the
subject. We collected our data in a public school in Jundiaí/SP with two classes
of 8th grade students. Data were analysed in the light of the theoretical
framework of the Three Worlds of Mathematics. Our findings evidenced the
existence of a possible didactic cut, but not between linear and quadratic
equations, as we expected, but between quadratic evaluation equations and
quadratic manipulation equations. Characteristics from all worlds emerged from
these students‟ work. Regarding embodied world, characteristics are related to
the search of solutions by means of evaluation; the manipulation of symbols to
solve an equation is part of symbolic world; the formal world is present when
students realise the values for the unknown make the mathematical statement
true, and when they use the appropriate inverse operation to solve them.
Keywords: Quadratic Equations. Didactic Cut. Three Worlds of Mathematics.
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Problema que utiliza o modelo da balança ..........................................................................29
Figura 2: Representação de resolução por métodos não-formalizados ..........................................31
Figura 3: Representação por métodos aritméticos ..............................................................................31
Figura 4: Representação do método algébrico ....................................................................................31
Figura 5: Representando a equação 3x + 5 = 11 com o modelo da balança ..................................44
Figura 6: Processo de resolução de equação por meio de m anipulação ........................................45
Figura 7: Resolução da equação 3x² = 27 ............................................................................................46
Figura 8: Desenvolvimento Cognitivo pelos Três Mundos da Matemática ......................................47
Figura 9: Resposta do aluno [T110] para a equação m + 6 = 5 ........................................................69
Figura 10: Resposta do aluno [T114] para a equação 2d + 10 = 60 ................................................69
Figura 11: Resposta do aluno [T109] para a equação 10 + 4w = 5..................................................70
Figura 12: Resposta do aluno [T111] para a equação 2n+ 5 = 6n − 7 ............................................71
Figura 13: Resposta do aluno [T110] para a equação 2b - 30 = 0 ...................................................72
Figura 14: Resposta do aluno [T212] para a equação 2b − 30 = 0 ..................................................72
Figura 15: Resposta do aluno [T215] para a equação m + 6 = 5......................................................72
Figura 16: Resposta do aluno [T113] para a equação m + 6 = 5......................................................72
Figura 17: Resposta do aluno [T203] para a equação 8 = 6 − c .......................................................73
Figura 18: Resposta do aluno [T215] para a equação 10 + 4w = 5..................................................73
Figura 19: Resposta do aluno [T211] para a equação 2d + 10 = 60 ................................................73
Figura 20: Resposta do aluno [T217] para a equação 2d + 10 = 60 ................................................73
Figura 21: Resposta do aluno [T109] para a equação w² = 9 ...........................................................74
Figura 22: Resposta do aluno [T120] para a equação w² = 9 ...........................................................74
Figura 23: Resposta do aluno [T120] para a equação (m + 1)² = 4 .................................................74
Figura 24: Resolução por "substituição” realizada pelo aluno [T113] para a equação m + 6 = 5 . 81
Figura 25: Resolução por "regras" realizada pelo aluno [T116] para a equação 2d + 10 = 60 ...81
Figura 26: Resolução da equação x² = 9 apresentada pelo grupo A ...............................................88
Figura 27: Resolução da equação 4 = x² apresentada pelo grupo D ...............................................88
Figura 28: Resolução da equação x² = 9 apresentada pelo grupo C ...............................................88
Figura 29: Resolução da equação 4 = x² apresentada pelo grupo C ...............................................88
Figura 30: Resolução da equação 4 = x² apresentada pelo grupo D ...............................................91
Figura 31: Resolução da equação x² = 9 apresentada pelo grupo C ...............................................91
Figura 32: Resolução da equação 4 = x² apresentada pelo grupo C ...............................................93
Figura 33: Resolução da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo A ...................................94
Figura 34: Resolução da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo C ...................................94
Figura 35: Resolução da equação x² − 25 = 0 apresentada pelo grupo A ......................................94
11
Figura 36: Resolução da equação x² - 4 = 12 apresentada pelo grupo A .......................................94
Figura 37: Resolução da equação x² − 25 = 0 apresentada pelo grupo B ......................................95
Figura 38: Resolução da equação x² - 4 = 12 apresentada pelo grupo C .......................................95
Figura 39: Resolução da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo B ...................................96
Figura 40: Resolução da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo C ...................................97
Figura 41: Resolução da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo D ...................................98
Figura 42: Resolução da equação x² - 25 = 0 apresentada pelo grupo B .....................................100
Figura 43: Resolução da equação x² - 25 = 0 apresentada pelo grupo D .....................................102
Figura 44: Resolução da equação x² - 4 = 12 apresentada pelo grupo B .....................................103
Figura 45: Resolução da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo A .........................................106
Figura 46: Resolução da equação x² - 36 = 0 apresentada pelo grupo B .....................................106
Figura 47: Resolução da equação 4x² - 25 = 0, apresentada pelo grupo D .................................106
Figura 48: Resolução da equação 3x² = 27, apresentada pelo grupo C .......................................106
Figura 49: Resolução da equação 4x² - 36 = 0 apresentada pelo grupo C ..................................107
Figura 50: Resolução da equação 4x² - 25 = 0 apresentada pelo grupo C ..................................107
Figura 51: Resolução da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo D ........................................109
Figura 52: Resolução da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo A .........................................110
Figura 53: Resolução da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo C ........................................112
Figura 54: Resolução da equação 4x² - 36 = 0 apresentada pelo grupo B ...................................113
Figura 55: Resolução da equação 4x² - 25 = 0 apresentada pelo grupo B ...................................114
Figura 56: Resolução da equação 4x² - 25 = 0 apresentada pelo grupo C ..................................117
Figura 57: Resolução da equação 4x² - 36 = 0 realizada pelo grupo D ........................................119
Figura 58: Resolução da equação x² + 10x + 25 = 0 apresentada pelo grupo A .........................122
Figura 59: Resolução da equação 8x² + 6x = 0 apresentada pelo grupo B ..................................124
Figura 60: Resolução da equação x² + 2x + 1 = 0 apresentada pelo grupo C .............................126
Figura 61: Resolução da equação x² + 4x + 2 = 0 apresentada pelo grupo C .............................127
Figura 62: Resolução da equação x² + 4x + 2 = 0 apresentada pelo g rupo D .............................128
Figura 63: Resolução da equação x (x + 3) = 0 apresentada pelo grupo C .................................130
Figura 64: Resolução da equação x (x + 3) = 0 apresentada pelo grupo A ..................................131
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Equações Lineares de Avaliação........................................................................... 62
Quadro 2: Equações Lineares de Manipulação ...................................................................... 63
Quadro 3: Equações Quadráticas de Avaliação ..................................................................... 64
Quadro 4: Equações Quadráticas de Avaliação ..................................................................... 79
Quadro 5: Equações Quadráticas de Manipulação ................................................................. 79
12
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 14
CAPÍTULO 1 REVISÃO DE LITERATURA ................................................................... 17
1.1 ARTIGOS SOBRE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS ............................................... 18
1.2 ARTIGOS SOBRE EQUAÇÕES LINEARES........................................................ 28
1.3 O CORTE DIDÁTICO NA TRANSIÇÃO DA ARITMÉTICA PARA A ÁLGEBRA .. 37
CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................... 42
2.1 OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA .............................................................. 43
2.2 OS “JÁ-ENCONTRADOS” ................................................................................... 48
2.3 EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO E DE MANIPULAÇÃO ......................................... 50
2.4 O CORTE DIDÁTICO E OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA ....................... 53
CAPÍTULO 3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ................................................ 57
3.1 PERFIS DAS TURMAS ........................................................................................ 58
3.2 INSTRUMENTO 1: EQUAÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS - O PRIMEIRO
GRUPO DE DADOS COLETADOS ........................................................................... 60
3.2.1 Gerenciamento da aplicação do instrumento 1 ................................ 64
3.2.2 Análise dos dados do instrumento 1 e escolha dos sujeitos para a
coleta principal ....................................................................................... 68
3.3 INSTRUMENTO 2: AS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS E A ENTREVISTA
REFLEXIVA SEMI-ESTRUTURADA .......................................................................... 76
3.3.1 Gerenciamento das equações quadráticas ...................................... 80
3.3.2 Procedimentos de análise dos dados .............................................. 84
CAPÍTULO 4 ANÁLISE DOS DADOS ........................................................................... 85
4.1 ANALISANDO AS RESOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS .............. 86
4.2 EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO .............................................................................. 87
4.2.1 Equações .............................................................. 87
13
4.2.2 Equações ........................ 94
4.2.3 Equações ........................... 105
4.3 EQUAÇÕES DE MANIPULAÇÃO ...................................................................... 121
4.3.1 Equações e
........................................................................................ 121
4.4 DUAS EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO: .......... 130
CONCLUSÕES ............................................................................................................ 134
1 EQUAÇÕES QUADRÁTICAS DE AVALIAÇÃO .................................................... 134
2 EQUAÇÕES QUADRÁTICAS DE MANIPULAÇÃO .............................................. 137
3 RESPONDENDO AS QUESTÕES QUE NORTEIAM A NOSSA PESQUISA ....... 139
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 144
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 146
APÊNDICE A INSTRUMENTO 1: EQUAÇÕES LINEARES ........................................ 149
APÊNDICE B INSTRUMENTO 2: EQUAÇÕES QUADRÁTICAS ............................... 150
APÊNDICE C TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO ................. 157
14
INTRODUÇÃO
Nosso objetivo, com este trabalho é analisar a compreensão dos alunos
sobre equações quadráticas e as dificuldades apresentadas por eles na
transição de resolver equações lineares para resolver equações quadráticas. Tal
análise será feita utilizando o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática.
Meu interesse por este tópico vem porque leciono1 Matemática na rede
estadual de ensino há mais de 15 anos para as turmas de Ensinos Fundamental
e Médio, e observo, em minha experiência como professora, que alunos de
diferentes escolas cometem erros similares na resolução de equações. Acredito
que, muitas vezes, isso se dá talvez pelo fato dos alunos não compreenderem
os processos de resolução das mesmas.
Minha experiência em sala de aula indica que é comum os alunos se
angustiarem por não conseguirem resolver equações ou compreender os
procedimentos utilizados nas resoluções delas. Essa angústia motivou-me a
procurar melhores formas de ensinar; porém, percebi que meus esforços
acabavam sendo em vão, pois as dificuldades estavam mais profundas do que
eu poderia resolver naqueles momentos, mesmo utilizando os materiais
disponíveis, tais como livros e apostila fornecidos pelo Estado nas escolas em
que lecionava.
Devido às dificuldades percebidas nas resoluções de equações com
alunos do segundo ciclo do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, interessei-
me pelos processos de aprendizagem de equações.
1 Nesta introdução, usamos primeira pessoa do singular quando se trata de minha própria
experiência.
15
Apesar de a equação quadrática ser tão importante no desenvolvimento
do conhecimento do educando (por ser a base para outros aprendizados no
currículo do Ensino Médio como, por exemplo, nos estudos das funções), não
existe uma vasta literatura a respeito das dificuldades de ensino e de
aprendizagem relacionadas a ela. A nosso ver, essa escassez de pesquisas
limita o conhecimento e a compreensão das maiores dificuldades apresentada
pelos alunos.
Assim, buscando compreender se essas dificuldades podem estar
relacionadas com o conhecimento que os alunos apresentam sobre equações,
surge a nossa primeira questão de pesquisa Quais são os procedimentos de
resolução que alunos de 8º ano2 utilizam ao resolver as equações
quadráticas, sem terem prévio conhecimento do conteúdo?. E bem como, se
essas dificuldades podem estar relacionadas a uma evidência de um Corte
Didático.
Para isso, no Capítulo 1, trataremos da Revisão de Literatura, na qual
apresentaremos alguns estudos sobre a aprendizagem das equações
quadráticas e as dificuldades apresentadas pelos sujeitos participantes desses
estudos; algumas pesquisas referentes às equações lineares, que foram
subsídios para a elaboração de um dos instrumentos de coleta de dados; e
também a pesquisa de Filloy e Rojano (1989) a respeito do corte didático, com a
qual trazemos a definição e como aparece o corte.
Em seguida, no Capítulo 2, Fundamentação Teórica, explanaremos a
respeito do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), sendo
estes o Mundo Conceitual Corporificado, Mundo Proceitual Simbólico e Mundo
Formal Axiomático, no qual apoiamos a nossa pesquisa. Apresentaremos,
também, os “já-encontrados”, importante para a análise dos nossos dados, e as
equações de avaliação e manipulação, suporte do nosso trabalho de pesquisa .
Com isso, buscaremos resposta à nossa segunda questão de pesquisa Quais
2
7ª série de Ensino Fundamental: Mudança para a nomenclatura 8° ano em 2010, pela lei nº 11.274 de 06 de fevereiro de 2006 e parecer CEB 018/ 05.
16
características dos Três Mundos da Matemática surgem na resolução das
equações quadráticas?. Perante o estudo referente ao “Corte Didático e aos
Três Mundos da Matemática” (LIMA; HEALY, submetido), aliado à pesquisa de
Filloy e Rojano (1989) sobre o “corte didático”, nos questionamos se É possível
caracterizar um Corte Didático na transição das equações lineares para as
equações quadráticas?. Levando-nos dessa maneira à terceira questão de
pesquisa.
No Capítulo 3, Procedimentos Metodológicos, apresentaremos os sujeitos
que participaram de nossa pesquisa, estudantes de uma escola estadual de
Jundiaí, e descreveremos a aplicação das equações lineares cujo objetivo foi o
de selecionar os sujeitos para a entrevista. Essa entrevista foi realizada com
alguns alunos que aparentavam compreender as equações lineares, com o
intuito de verificar quais seriam os procedimentos de resolução adotados por
eles ao serem confrontados com equações quadráticas sem terem prévio
conhecimento destas, pois foram apresentadas a eles antes que o conteúdo
programático contemplasse esse assunto.
A análise dos dados está contemplada no Capítulo 4. Nesse capítulo
faremos uma discussão dos procedimentos adotados pelos grupos em cada
equação, buscando relacionar esses dados com o referencial teórico dos Três
Mundos da Matemática, tratado no Capítulo 2, bem como analisaremos as
semelhanças e diferenças apresentadas nas resoluções das equações lineares
e das quadráticas, na busca de um Corte Didático, relacionando essas
diferenças e semelhanças com as pesquisas apresentadas nos Capítulos 1 e 2.
Por fim, apresentaremos as Conclusões sobre as análises que fizemos no
Capítulo 4, relacionando essas conclusões com as pesquisas apresentadas no
Capítulo 1 e com o quadro teórico, buscando responder as questões de
pesquisa.
17
CAPÍTULO 1
REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo, trataremos das pesquisas sobre as equações lineares e
quadráticas. As equações quadráticas são base do nosso trabalho de pesquisa,
porém para compreendermos alguns procedimentos de resolução adotados
pelos alunos pesquisados e para fundamentar o instrumento 1, buscamos
maiores informações sobre as equações lineares.
Na busca para responder as questões que nos afligiam, encontramos
alguns estudos sobre as dificuldades com a resolução de equações quadráticas
no Brasil e no mundo levando-nos a artigos que resumimos a seguir. Iniciaremos
nossa revisão de literatura com pesquisas sobre as equações quadráticas que
trazem informações a respeito do impacto do ensino tradicional na
aprendizagem dos alunos (VAIYAVUTJMAI; CLEMENTS, 2006) além de uma
pesquisa na qual são investigados os significados que os alunos atribuem a
equações e aos métodos de resolução que utilizam e de quais experiências
esses significados surgem (VAIYAVUTJMAI; ELLERTON; CLEMENTS, 2005).
Nas pesquisas sobre as equações lineares, buscamos as que trarão
subsídios para o nosso primeiro instrumento de coleta de dados. Desse modo,
as pesquisas nas quais nos apoiaremos são as que trazem informações sobre o
Corte Didático (FILLOY; ROJANO, 1989), pesquisa esta que explica o que é e
como este ocorre, a pesquisa de Vlassis (2002) que traz uma coletânea de
autores que apóiam ou refutam o método da balança e a de Freitas (2002), que
trata dos erros que os alunos cometem durante a resolução das equações.
18
1.1 ARTIGOS SOBRE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Quando procurávamos pesquisas sobre as equações quadráticas,
deparamo-nos com uma bibliografia escassa, pois de acordo com Vaiyavutjamai
e Clements (2006), pouco foi feito sobre esse assunto, apesar de sua grande
importância nos conteúdos de Matemática (tais como Sequências, Funções,
Geometria Analítica, Equações Algébricas, Números Complexos, Estatística) e
de Física (por exemplo, Cinemática, Dinâmica, Física Quântica e Relatividade).
Em dois estudos sobre equações quadráticas, realizados por
Vaiyavutjamai e intitulados “Factors influencing the teaching and learning of
equations and inequations in two government secondary schools in Thailand” e
“Correct answers do not imply understanding: Analyses of student solutions to
quadratic equations”, ambos em 2004, o autor investigou a aprendizagem de
equações quadráticas de 231 estudantes em seis classes, de série equivalente
ao 9º ano brasileiro de duas escolas secundárias da Tailândia
(VAIYAVUTJAMAI; ELLERTON; CLEMENTS, 2005).
As análises feitas apontam que muitos estudantes, após as aulas sobre
equações quadráticas, não perceberam que elas poderiam ter duas soluções,
alguns não souberam verificar se as soluções por eles encontradas estavam
corretas e muitos deles, talvez a maioria, como o próprio autor indica, não
perceberam que a incógnita tinha o mesmo status, embora aparecesse duas
vezes na mesma equação. Citamos como exemplo a equação , na
qual alguns alunos admitiram, como solução os valores três e cinco, admitindo
que o valor da incógnita do primeiro parênteses deve ser diferente do valor
assumido no segundo parênteses, como os próprios autores relatam.
Estes estudos foram a base para que Ellerton e Clements, juntamente
com Vaiyavutjamai, escrevessem o artigo Students’ Attemps to Solve Two
19
Elementary Quadratic Equations: A Study in Three Nations (VAIYAVUTJAMAI;
ELLERTON; CLEMENTS, 2005) sobre uma pesquisa realizada com 205 alunos
do equivalente ao 9º ano no Brasil de uma escola secundária em Brunei
Darussalam e 29 estudantes do segundo ano, do curso de licenciatura em
Matemática, de uma universidade nos Estados Unidos (Illinois State University),
que, juntamente com os 231 alunos da Tailândia, totalizam 465 alunos
pesquisados. Os dados foram coletados durante as aulas dos estudantes.
O objetivo do artigo foi analisar como os alunos dessas três localidades
resolveram as equações quadráticas dos tipos , sendo , e
, em que a, b e k são números reais. Foram apresentadas
aos alunos dezessete equações quadráticas completas e uma equação
incompleta. As equações do tipo têm como solução um número inteiro,
enquanto as 17 equações do tipo apresentam como
soluções números inteiros (onze delas), números racionais (quatro), número
irracional (uma) e conjunto vazio (uma). Para o artigo em questão foram
analisadas apenas duas equações representativas, .
Esperava-se que os alunos observassem que estas teriam duas soluções, sendo
elas e , no caso da primeira equação, e e , na
segunda, o que não ocorreu com a maioria dos alunos.
Em Brunei Darussalam, as equações foram aplicadas em 10 lições sobre
equações quadráticas, em oito classes, que tinham como perfil sócio-econômico
duas pertencentes à classe alta, quatro de classe média e duas de classe baixa.
A aplicação ocorreu durante as aulas ministradas pelos professores das classes,
pois a pesquisa seguia o mesmo padrão da aplicação realizada nas escolas da
Tailândia.
Na universidade dos Estados Unidos, os instrumentos de coleta de dados
foram aplicados a 29 alunos do segundo ano do curso equivalente à
Licenciatura em Matemática, com o objetivo de saber se padrões semelhantes à
aprendizagem de equações quadráticas encontrados nos resultados da
20
Tailândia e de Brunei Darussalan seriam encontrados nesses estudantes. O foco
da investigação foi o grau de compreensão das equações quadráticas, por meio
dos procedimentos utilizados por esses sujeitos para encontrarem as respostas
das equações aplicadas, observando como o conceito de variável foi tratado por
estes.
Os alunos de Brunei Darussalan e da Tailândia haviam sido ensinados a
resolver uma equação do tipo de duas formas: por equivalência, ou seja,
“... é equivalente a ” (VAIYAVUTJAMAI; ELLERTON;
CLEMENTS, 2005, p. 739, tradução nossa3) e, em seguida, fatorando o lado
esquerdo por diferença de dois quadrados, obtendo o produto dos dois binômios
que estão do lado esquerdo da igualdade ; ou afirmando que
“... é equivalente a ou , porque 3² = 9 e (−3) = 9”.
(VAIYAVUTJAMAI; ELLERTON; CLEMENTS, 2005, p. 739, tradução nossa4).
Os resultados da pesquisa indicam que os alunos tailandeses tiveram
maior proporção de respostas corretas na tarefa (x − 3)(x − 5) = 0. A maioria
deles resolveu esta equação por substituição, na qual o aluno busca um valor
para solucionar a questão e substitui esse valor na incógnita, de modo que a
equação fique verdadeira. Muitos alunos de Brunei Darussalan não conseguiram
obter soluções corretas para as duas equações aplicadas. Alguns alunos,
principalmente os de Brunei Darussalan, buscaram solução por meio de
“expansão de parênteses”, ou seja, multiplicando os fatores.
Os alunos de Brunei e da Tailândia não sabiam, apesar de terem
participado de uma série de aulas sobre equações quadráticas, que equações
do tipo x² = k, com k > 0, têm dois números reais como solução e 12 estudantes
dos Estados Unidos não tinham esse conhecimento também. As proporções de
acertos dos estudantes dos Estados Unidos não foram consideradas, pois estes
têm como objetivo serem especialistas em Matemática.
3 “… as equivalent to – .”
4“... is equivalent to , or , because +3² = 9 and (–3)² = 9.”
21
As análises desse estudo sugerem que estudantes confundem o conceito
de incógnita, porque mais de 50% (dos 436 estudantes, quase 250) destes
acreditavam que a incógnita , na equação , assume valores
diferentes nos dois conjuntos de parênteses, o que se manifestou na resolução
das quadráticas. Os pesquisadores apontam que o problema não é exatamente
com as equações quadráticas e sim com as operações envolvidas na resolução
das mesmas, pois muitos alunos aprendem “regras sem razão” (SKEMP, 1976),
o que significa que eles aprendem os processos sem, no entanto, terem
adquirido a compreensão relacional.
Enquanto na primeira pesquisa Vaiyavutjamai estava preocupado com a
aprendizagem dos alunos, no artigo “Effects of Classroom Instruction on
Students Understanding of Quadratic Equations” (VAIYAVUTJAMAI;
CLEMENTS, 2006), os autores estudam o impacto do ensino tradicional na
aprendizagem dos alunos do 9º ano da Tailândia na resolução de equações
quadráticas, com o objetivo de investigar como as lições tradicionais dessas
equações e suas resoluções por fatoração, “completando quadrados” e “fórmula
de Bhaskara” influenciaram o desenvolvimento dos estudantes nos quesitos do
conhecimento, das habilidades, dos conceitos e da compreensão, no que diz
respeito a essas equações.
Foram aplicadas 18 equações quadráticas, (as mesmas aplicadas nos
estudos anteriores) e escolhidos 18 estudantes para participarem de entrevistas.
O critério de seleção dos estudantes foi o seu desempenho em dois testes sobre
equações e desigualdades em lápis e papel que foram administrados em seis
classes. A coleta de dados foi feita em 36 sessões, nas quais cada estudante foi
entrevistado duas vezes. A primeira entrevista foi realizada antes das lições
sobre equações quadráticas, e a segunda após o aluno ter participado de 11
lições sobre essas equações.
Os resultados das entrevistas mostraram que, dos 18 estudantes
selecionados, quatro não deram respostas corretas a nenhuma pergunta da
22
entrevista, não souberam fatorar e verificar se as “soluções” obtidas por eles
estavam corretas. Outros 12 entrevistados deram respostas corretas a pelo
menos duas perguntas feitas durante a entrevista, mas não significou que
adquiriram uma compreensão relacional das equações, pois, apesar de terem
acertado as respostas, acreditavam que as incógnitas, como na equação
, representavam duas incógnitas diferentes e deveriam tomar
valores diferentes simultaneamente. Esse equívoco ocorreu não somente com
essa expressão, mas igualmente com . E somente dois alunos
convenceram o entrevistador que desenvolveram uma compreensão relacional
de equação quadrática, pela qualidade de seu raciocínio durante a entrevista.
Algumas das perguntas feitas aos estudantes pelos entrevistadores foram
“Os dois x representam a mesma variável?”. E “Eles sabem que uma solução
para uma equação quadrática de um número que, quando substituído na
equação, geraria uma afirmação verdadeira?” (VAIYAVUTJAMAI; CLEMENTS,
2006, p.57 tradução nossa5). Estas questões estavam associadas ao teste das
equações quadráticas.
A análise prévia de ensino, realizada antes das aulas programadas sobre
equações quadráticas, indicou que os alunos tinham pouca compreensão da
Matemática associada às resoluções de equações quadráticas, o que não
ocorreu após as lições sobre as mesmas, uma vez que a análise sugeriu uma
melhora relacionada com a compreensão instrumental6, mas com ausência de
compreensão relacional7. Em nossa opinião a melhora relacionada com a
compreensão instrumental após as aulas sobre as equações quadráticas era
esperada, pois os alunos ao resolveram as equações antes de terem
conhecimento desse conteúdo apresentariam dificuldades que não seriam
apresentadas, na mesma proporção, após terem aulas explicativas sobre esse
assunto. Os autores, na análise dos dados da entrevista revelam que muitos
5 “...the two x´s represents the same variable? Would they know that a solution to a quadratic
equation was a number which, when substituted in the equation, generated a true statement? ” 6 Memorização do Método de Resolução (SKEMP, 1976).
7 Compreensão do processo de resolução dos exercícios (SKEMP, 1976) .
23
alunos que obtiveram as soluções corretas não souberam justificar, junto ao
entrevistador, os procedimentos utilizados.
A conclusão dos autores é que a dificuldade apresentada pela maioria dos
estudantes em lidar com as equações quadráticas sugere que esse conteúdo
deveria ser incluído no Ensino Médio. Em ambos os estudos, “Effects of
Classroom Instruction on Students’ Understanding of Quadra tic Equations” e
“Students’ Attempts to Solve Two Elementary Quadratic Equations: A Study in
Three Nations” os autores apontam conclusões semelhantes.
Um aspecto interessante apontado pelos autores é que pesquisas indicam
que professores e pesquisadores acreditam que a aproximação do ensino das
quadráticas ao estudo das funções possa induzir nos estudantes a compreensão
relacional, podendo ser bem sucedida se enriquecida com o uso da tecnologia
moderna, como calculadoras gráficas, por exemplo.
Enquanto Vaiyavutjamai, Ellerton e Clements (2005) realizaram suas
pesquisas com turmas do Ensino Fundamental e Ensino Superior, Lima (2007)
realizou sua pesquisa com alunos do Ensino Médio, cuja questão norteadora foi
“Quais são os significados que os alunos atribuem a equações e aos métodos
de resolução que usam, e de quais experiências esses significados surgem?”
(p.18).
Nessa pesquisa, Lima (2007) aplicou seus instrumentos de coleta de
dados a alunos de duas escolas do Estado de São Paulo, uma particular na
periferia da capital, São Paulo, e uma pública, na região metropolitana da
capital, no município de Guarulhos, fazendo uso de três turmas. O total de
alunos pesquisados foi de 77 alunos, sendo divididos em 58 nas duas turmas de
Guarulhos (32 na primeira turma e 26 na segunda) e 19 na turma de São Paulo.
Inicialmente, foi construído um mapa conceitual com os alunos, para que a
pesquisadora tivesse uma melhor compreensão do significado da palavra
“equação” para o grupo por meio dos conhecimentos prévios deles. O segundo
24
instrumento de coletas de dados foi um questionário que continha questões na
qual os alunos poderiam expor seus entendimentos sobre equações de modo
geral, bem como resolver algumas e utilizá-las para resolver problemas. O
terceiro instrumento foi uma atividade de resolução de equações, contendo três
equações lineares e quatro quadráticas e o quarto instrumento foi uma
entrevista com 20 alunos selecionados (13 alunos de Guarulhos, sendo oito da
primeira turma e cinco da segunda, e sete de São Paulo), para obtenção de
mais informações sobre as resoluções apresentadas por esses alunos às
questões dos instrumentos.
Algumas reflexões sobre as concepções de equação trazidas no mapa
conceitual merecem ser destacadas, segundo a autora. Um exemplo disso são
as frases que oferecem ou tentam oferecer alguma definição de equação e que
enfatizam a mesma como resolução de conta, sem destacar o sinal de igual ou a
incógnita.
Nos dados coletados com o questionário, a pesquisadora verificou que
apenas seis alunos mostraram resoluções corretas para as equações
e , todas pela fórmula de Bháskara, o que, na
nossa opinião, pode estar relacionado com o tipo de ensino apresentado aos
alunos. As resoluções incorretas incluem a transformação das equações dadas
em equações lineares. Vale salientar que, na questão oito do questionário, é
apresentada aos alunos uma solução para a equação quadrática
como e , e é pedido que eles comentem e
discutam a resposta. Nessa questão, nenhum aluno comentou explicitamente o
fato de que o produto de dois fatores é igual a zero e, portanto, um deles
também deve ser zero.
Na tarefa de resolução de equações foram apresentadas aos alunos
pesquisados as seguintes equações quadráticas:
(LIMA, 2007, p. 263).
25
Essa atividade foi realizada por 67 alunos, sendo 17 da turma de São
Paulo e 50 alunos da turma de Guarulhos (divididos em 28 alunos na primeira
turma e 22 na segunda). Desses sujeitos, cinco acertaram a equação
e três acertaram a , sendo que a forma de
resolução apresentada por esses alunos, em ambas as questões, fora a fórmula
de Bhaskara. Apesar de a equação poder ser resolvida por meio de
fatoração, esse procedimento não foi usado por nenhum dos alunos.
Para a equação , três alunos resolveram corretamente, o que
significa que encontraram duas raízes, porém nove alunos encontraram somente
uma raiz, sendo essa a raiz positiva . Entretanto um aluno de São Paulo
resolveu a equação descrevendo seu raciocínio da seguinte forma (com grifo
dele mesmo) “um número que elevado ao quadrado e subtraído ele mesmo é
igual a 2 é o 2, 2² − 2 = 2” (LIMA, 2007, p. 265), indicando que, segundo Lima
(2007, p. 264) “o aluno parece compreender que a incógnita é um número que
satisfaz a equação”. Na equação , somente um aluno encontrou as duas
raízes, resolvendo por fórmula de Bhaskara. Os demais 15 alunos encontra ram
somente a raiz positiva, sendo que oito alunos extraíram a raiz quadrada do
número 9, admitindo , seis alunos escreveram “3² = 9 e, portanto, ”,
enquanto um aluno escreveu somente que “ ” (LIMA, 2007, p. 265).
A pesquisadora acredita que, em ambas as equações, o raciocínio
utilizado poderia ter colaborado para encontrar a raiz negativa, sendo (−1) na
primeira equação e (−3) na segunda.
Os alunos, ao encontrarem uma raiz que satisfaça a equação, não
tentaram outro valor, talvez por não acharem necessário, pois estão
familiarizados com as equações lineares, satisfazendo-se somente com uma
raiz.
Os alunos pesquisados tentaram resolver as equações quadráticas
completas pela fórmula de Bhaskara, embora também utilizada nas outras
equações, não trazendo, necessariamente, resultados satisfatórios. Os
26
professores, segundo a autora, dão ênfase a um único método de resolução
esperando que os alunos alcancem o sucesso nas resoluções de equações e
talvez isso possa ter impedido os alunos de terem desenvolvido um pensamento
flexível, estando restritos “a apenas uma maneira de resolver esse tipo de
equação” (LIMA, 2007, p. 267). No caso das equações trabalhadas na pesquisa,
a flexibilidade é traduzida na escolha de um método de resolução que seja mais
adequado para cada equação, encontrando a solução correta. Essa procura pelo
procedimento mais adequado para cada tipo de equação mostra, segundo Lima
(2007), o pensamento proceitual, pensamento esse que significa o entendimento
dos símbolos e da sua manipulação.
As análises da pesquisadora apontam que os alunos que tentam resolver
as equações quadráticas por métodos diferentes da fórmula de Bhaskara não
são bem sucedidos e acabam utilizando métodos que transformam as equações
quadráticas em equações lineares. Essa transformação se traduz quando os
alunos trocam as incógnitas m², r² ou a² por m, r e a, eliminando o expoente;
quando atribuem valor à incógnita; ou quando somam termos não semelhantes.
Sobre essas análises, Lima (2007) diz:
Acreditamos que a falta de opções de métodos para resolver equações quadráticas faz com que esses alunos procurem um meio de escrever a equação que lhes é familiar. Ao transformarem as quadráticas em lineares, os alunos podem usar as técnicas e meios de trabalho que confiam e obter alguma solução para o exercício apresentado (LIMA, 2007, p. 270).
Sobre as técnicas adotadas pelos alunos, Lima (2007) analisa que estes
as usam, pois sabem resolver as equações lineares, cometendo equívocos de
resolução como demonstrados anteriormente. A confiança que os alunos
demonstram nessas técnicas e seus meios de trabalho faz com que eles não
percebam que seus procedimentos e métodos são inconsistentes, pois eles
estão conectados às técnicas e não aos conceitos matemáticos, dos quais as
27
técnicas se originam. Sem significado matemático, seus meios de trabalho são
apenas corporificações procedimentais8 que podem levá-los a cometer erros.
Nas análises dos dados coletados, a pesquisadora encontrou evidências
de que os procedimentos usados para resolver equações lineares estão tão
enraizados, que os alunos, ao se depararem com as equações quadráticas,
tentam transformá-las em lineares. O único método de resolução de quadráticas
válido usado por esses alunos foi a fórmula de Bhaskara. Porém, poucos alunos
fizeram uso desse recurso e nem todos os que usaram alcançam o sucesso.
As análises de Lima (2007) apontam para uma falta de pensamento
proceitual, não somente na dualidade de processo e conceito que representam
os símbolos matemáticos, mas também na análise e na escolha do
procedimento mais adequado para a resolução das equações quadráticas, pois,
a partir do momento que se conhece apenas uma maneira de se resolver uma
equação, não existe a possibilidade de o aluno ser flexível para se escolher
métodos adequados.
A conclusão da autora é de que os erros apresentados pelos alunos nas
resoluções de equações são devidos ao fato dos alunos não relacionarem os
métodos de resolução que usam com conceitos matemáticos, mas sim com
corporificações procedimentais, cujo significado está relacionado apenas com a
movimentação de símbolos “como entidades físicas e não como símbolos
algébricos que devem ser manipulados de acordo com princípios algébricos”
(LIMA, 2007, p. 298).
É possível verificar que as pesquisas de Vaiyavutamai, Ellerton e
Clements (2005), Vaiyavutjamai e Clements (2006) e a de Lima (2007) apontam
na mesma direção quando se referem aos erros cometidos pelos estudantes
quando estes resolvem equações quadráticas. Os autores mostram que os
8 “Significa que os procedimentos tem significado no mundo corporificado, porque os termos de
uma equação movimentam-se de um lado para o outro do sinal de igual, como se fossem entidades físicas, com acréscimo de uma mágica de “trocar o sinal”, por exemplo .” (Lima, 2007, p. 186).
28
alunos apresentam uma compreensão procedimental, indicando que esses
mesmos alunos sabem resolver as equações por procedimentos, mas não
necessariamente compreendem os conceitos matemáticos envolvidos nesse tipo
de resolução.
Em nossa pesquisa, buscamos compreender como os alunos resolvem as
equações quadráticas para entendermos as possíveis causas dessas
dificuldades. Acreditamos que as dificuldades apresentadas nas equações
quadráticas possam ser indicações de um Corte Didático (FILLOY; ROJANO,
1989) de passar de resolver equações lineares para resolver equações
quadráticas. Dessa forma, descreveremos, a seguir, algumas dificuldades
relacionadas à resolução de equações lineares e, em especial, o Corte Didático.
1.2 ARTIGOS SOBRE EQUAÇÕES LINEARES
Diversos autores relatam pesquisas a respeito de equações lineares, mas
dois nos chamaram a atenção pelo fato de suas pesquisas irem ao encontro da
nossa, e nos auxiliarem na elaboração do nosso primeiro instrumento de coleta
de dados. O primeiro autor que trataremos será Vlassis (2002), seguido por
Freitas (2002).
O objetivo da pesquisa de Vlassis (2002) é analisar o modelo da balança
para a resolução de equações lineares e identificar as questões que dividem os
pesquisadores. A autora reflete sobre os resultados de um estudo empírico e a
análise das pesquisas que aceitam ou refutam o modelo da balança para o
ensino de resolução de equações. Segundo a pesquisadora, uma série de
autores fez experiências com várias situações em que os alunos aprendem a
29
resolver equações, utilizando modelos concretos: o aritmético, o da balança e o
modelo geométrico. As reflexões desse estudo são baseadas nas observações
de uma sequência didática na qual os alunos aprendem a resolver equações
com a incógnita em ambos os membros, denominado modelo da balança.
A sequência didática proposta por Vlassis (2002) foi aplicada durante o
segundo semestre do ano letivo, para 40 alunos pertencentes ao 8º ano, em
uma comunidade francófona da Bélgica. A sequência era composta por 16
sessões com duração de 50 minutos, divididos em duas fases de oito sessões,
sendo a primeira composta por equações aritméticas (FILLOY; ROJANO, 1989),
que são aquelas que apresentam a incógnita em apenas um membro, nas quais
os alunos utilizam seus próprios conhecimentos aritméticos para resolvê -las. A
segunda fase era composta por equações não-aritméticas (FILLOY; ROJANO,
1989), que são aquelas em que a incógnita ocorre em ambos os membros da
igualdade, por intermédio de três situações distintas.
A primeira situação é a resolução de um problema em que dois indivíduos
introduzem o mesmo número em suas calculadoras, mas fazem operações
diferentes com ele, obtendo o mesmo resultado; os sujeitos da pesquisa, nessa
atividade, devem descobrir qual é esse número9. A segunda é um problema que
utiliza o modelo da balança.
Figura 1: Problema que utiliza o modelo da balança
Fonte: Vlassis (2002), p. 344
Nessa segunda situação, os alunos devem descobrir o valor da massa
representada por pesos no desenho de uma balança (Figura 1), permitindo que
9 Antoine e Sophie inserem o mesmo número nas suas calculadoras. Sophie multiplica o número por 4 e
depois adiciona 3 a esse número. Antonie multiplica o número por 2 e depois adiciona 17 a esse número. Ambos obtêm o mesmo resultado. Qual foi o número com o qual ambos começaram? (Vlassis 2002, p. 344, tradução nossa)
30
estes criem o método que necessitam para solucionar o problema; e na terceira
situação, os alunos resolvem equações não-aritméticas, por exemplo,
e , incluindo
os números inteiros negativos.
Os resultados, no caso da primeira situação (problema envolvendo os dois
sujeitos) indicam que os estudantes tiveram dificuldades ao estabelecerem a
equação necessária para iniciar a solução do problema. Muitos alunos
necessitaram de auxílio, e o professor iniciou o processo com a sugestão: “Crie
uma expressão para expressar o que as duas crianças estão fazendo”
(VLASSIS, 2002, p. 345, tradução nossa10). Diante dessa sugestão, alguns
estudantes usavam letras para representar os números enquanto outros
utilizavam espaços em branco ou pontos de interrogação.
Encontrada a equação, os alunos iniciaram a resolução desta; a maioria
deles o fez por intermédio de “tentativa e erro”. Após encontrarem a solução, o
professor sugeriu, então, que os alunos condensassem as duas equações em
uma única equação. Segundo Vlassis (2002), o conceito de que o sinal de
igualdade entre as expressões representaria a mesma quantidade, explicando
como as crianças (do problema) chegaram ao mesmo resultado, foi bem
compreendido pelos alunos.
As observações feitas em sala de aula, bem como a análise das
resoluções dos alunos revelaram três tipos diferentes de métodos corretos para
encontrar o valor de x: o primeiro, por meio de métodos não-formalizados, em
que o próprio desenho é utilizado e os pesos são retirados dos pratos,
mantendo o equilíbrio. Dezoito alunos utilizaram essencialmente o desenho da
balança para encontrar o valor de x, riscando a mesma quantidade de peso em
cada lado da balança, e, quando encontravam o valor numérico, procediam da
mesma maneira, tomando nota do novo valor depois de realizar a subtração,
como exemplificado na Figura 2:
10
“Create an expression to express what the two children are doing .”
31
Figura 2: Representação de resolução por métodos não-formalizados
Fonte: Vlassis (2002), p. 346
O segundo tipo é o dos chamados métodos aritméticos, no qual o método
não-formalizado é utilizado até o aluno obter uma equação aritmética cuja
resolução ele conhecia. Esse método foi usado por quinze alunos, que riscaram
o x em cada um dos lados da balança, chegando a uma equação aritmética,
como na Figura 3:
Figura 3: Representação por métodos aritméticos
Fonte: Vlassis (2002), p. 347
E finalmente o terceiro, método algébrico (Vlassis, 2002), é aquele em que
os alunos fazem uma representação algébrica do desenho da balança e retiram
quantidades não no desenho, mas sim, algebricamente. Esse método não é
totalmente formalizado e foi usado por três alunos, como visto na Figura 4.
Figura 4: Representação do método algébrico segundo Vlassis
Fonte: Vlassis (2002), p. 347
32
Após essa atividade, os diferentes métodos adotados pelos alunos foram
apresentados, discutidos e explicados em sala de aula.
Na terceira e última situação, as análises mostram que as equações
pertencentes a essa situação foram as mais difíceis para os alunos, porém as
observações de Vlassis (2002) revelaram que todos os alunos entenderam o
princípio da balança, ou seja, compreenderam que deveriam efetuar a mesma
operação em ambos os membros, gerando erros na resolução, tais como, dividir
o segundo membro pelo coeficiente da incógnita antes de cancelar o termo
independente, subtrair o coeficiente do termo independente; além de erros
cometidos devido à presença de números inteiros negativos na equação, como
subtração para cancelamento de um termo negativo independente, ou uma
expressão em x. Filloy e Rojano (1989) atribuem esta dificuldade ao fato de os
alunos não conseguirem se distanciar dos modelos ensinados, a fim de
generalizar o conhecimento que eles têm adquirido. Apesar dos erros terem se
misturado nos exercícios, aqueles envolvendo números inteiros negativos
persistiram.
Oito meses depois de aplicadas as equações nas aulas, foi realizada uma
entrevista com cinco alunos que participaram da primeira parte da pesquisa.
Nessa entrevista, os alunos resolveram equações aritméticas e equações não-
aritméticas. Os resultados indicam que eles ainda relacionavam a resolução da
equação com o modelo da balança, e os problemas com os números negativos
persistiam.
Diante desses resultados, Vlassis (2002) conjectura que o corte didático
sugerido nos estudos de Filloy e Rojano (1989) não está relacionado com a
estrutura da equação, ou seja, com a ocorrência da incógnita em ambos os
membros da igualdade tão pouco em se operar com a incógnita, mas sim com o
grau de abstração da equação, pois nas equações do tipo ,
também existe a necessidade de se operar com a incógnita, sem, no entanto,
oferecerem o mesmo grau de dificuldade que as equações que possuem
33
incógnita nos dois membros da igualdade. A pesquisadora, então, sugere um
Corte Didático referente à possibilidade de relacionar ou não a equação a um
modelo concreto, categorizando as equações em equações aritméticas e
equações não-aritméticas.
A categoria das equações aritméticas foi qualificada em equações
aritméticas concretas, que são aquelas compostas por número naturais e a
incógnita ocorre em apenas um membro, e equações aritméticas abstratas, que
são as que apresentam incógnitas em apenas um membro, mas que exigem
certas manipulações algébricas, por exemplo, devido à presença de números
inteiros negativos.
Já as equações categorizadas como não-aritméticas incluem todas as
equações que possuem a incógnita em ambos os membros da igualdade. As
equações que podem ser baseadas em um modelo são chamadas de equações
pré-algébricas e são derivadas de modelos, frequentemente envolvendo adições
de números naturais, podendo incluir subtrações, como no caso das situações
previstas por Filloy e Rojano (1989) no contexto geométrico, necessitando de
uma compreensão algébrica do sinal de igualdade, e as equações algébricas,
que não podem ser conectadas a um modelo, só tendo sentido em um contexto
algébrico.
Segundo Vlassis (2002), existem duas correntes teóricas conflitantes
sobre a utilização do modelo da balança: uma que defende (alguns
pesquisadores são da opinião de que o modelo da balança facilita o uso de
regra, como a eliminação de termos) e outra que refuta (alguns pesquisadores
alegam que o modelo dá origem a erros que são derivados do próprio modelo,
tais como a remoção de um inteiro negativo para anulá-lo).
As conclusões da pesquisadora mostram que o modelo da balança pode
auxiliar os alunos a aprenderem o método formal de aplicar a mesma operação
em ambos os membros, consistindo não apenas em dar um significado concreto
para essas manipulações, mas também proporcionando aos alunos uma imagem
34
mental de “operação” (VLASSIS, 2002, p.356) que contém os princípios que
devem ser aplicados. Acreditamos que apesar do modelo da balança auxiliar os
alunos a aprenderem o método formal, este não se aplica, em nossa opinião,
nas situações em que tratamos com números inteiros negativos, pois não é
possível representar esses valores por intermédio de uma balança. Porém,
Vlassis (2002) argumenta que, oito meses após o experimento, os estudantes,
participantes da pesquisa, ainda utilizavam o princípio corretamente, lembrando
a imagem da balança. Apesar da literatura sobre o tema enfatizar
suficientemente as dificuldades nesse nível, as imagens também podem,
segundo a autora, ser úteis para estudantes mais velhos. Entretanto, Vlassis
(2002) afirma que a resolução de equações que são desvinculadas de um
modelo implica que outras dificuldades devem ser superadas, por exemplo, as
que estão vinculadas ao processo de abstração e para o qual o modelo da
balança não se destina.
Enquanto Vlassis (2002) baseia a sua pesquisa no estudo de autores que
aceitam ou refutam o modelo da balança e as implicações que esta traz, Freitas
(2002) estuda os métodos de resolução de equações lineares e analisa os erros
encontrados no ensino médio.
A pesquisa de Freitas (2002) tem por objetivo estudar os aspectos
relativos aos procedimentos de resolução de equações lineares por alunos do
Ensino Médio de uma escola particular de São Paulo e é norteada pelas
questões “Como os alunos do ensino médio se comportam frente ao processo
de resolução de uma equação?”, “Como entender os erros dos alunos, tanto os
mais diretamente relacionados aos aspectos conceituais, como aqueles que
podem ser vistos mais diretamente relacionados aos métodos de resolução?” e
“Como os alunos aplicam as técnicas e quais as justificativas para essas
aplicações?” (FREITAS, 2002, p.3).
Com o intuito de responder essas perguntas, Freitas (2002) aplicou para
alunos de uma escola particular de São Paulo dois instrumentos de pesquisa,
35
um provisório e um investigativo. O instrumento provisório , composto por 15
equações lineares, divididas em equações aritméticas e algébricas, foi aplicado
para 80 alunos pertencentes ao segundo ano de Ensino Médio.
O instrumento investigativo, composto por 24 equações lineares com
coeficientes inteiros, foi dividido em dois grupos: o primeiro contendo oito
equações aritméticas e o segundo, com 16 equações algébricas. Esse
instrumento foi aplicado para três salas do primeiro ano do Ensino Médio,
perfazendo um total de 104 alunos. Freitas (2002) justifica que a divisão entre
as equações aritméticas e as equações algébricas deve-se ao fato de esta
subsidiar a discussão a respeito da transição da aritmética para a álgebra,
definida por Filloy e Rojano (1989) como um corte didático.
As oito equações aritméticas foram divididas em quatro equações do tipo
“ ou ” (FREITAS, 2002, p. 43) e quatro do tipo “ ou
” (FREITAS, 2002, p. 43), já as 16 equações algébricas foram
divididas em blocos contendo quatro questões em cada um, da seguinte forma:
quatro equações do tipo “ ” (FREITAS, 2002, p. 44), quatro do tipo,
“ ou ” (FREITAS, 2002, p. 44), quatro do tipo
“ ” (FREITAS, 2002, p. 44) e, finalmente, quatro do tipo
“ ” (FREITAS, 2002, p. 45). Após a aplicação das
equações, os alunos participaram de oito entrevistas cujas perguntas foram
elaboradas a partir das dificuldades observadas nas resoluções das equações.
Porém, apesar da entrevista possuir um roteiro, Freitas (2002) adotou uma
entrevista semi-estruturada, pois, segundo o pesquisador, esse modelo se
adequaria mais com a pesquisa realizada, uma vez que esse tipo de entrevista
permite que o entrevistador faça as adaptações necessárias.
A seleção dos alunos que participaram da entrevista fo i feita de modo a
garantir que fossem discutidos os vários tipos de erros apresentados nas
resoluções das equações, considerando a frequência destas. O objetivo de
Freitas (2002) era analisar, por meio de interpretação, o que os alunos
36
pensaram ao produzirem diferentes resoluções das equações, levantar quais as
dificuldades que estes apresentam e como eles vêem seus próprios erros.
As análises das resoluções das equações efetuadas pelos alunos
mostraram vários tipos de erros, que foram classificados em seis categorias,
sendo analisados por intermédio de tabelas designadas para cada tipo de
equação, indicando a frequência e os tipos de erros cometidos pelos alunos.
Enquanto as análises dos resultados do instrumento provisório revelam as
dificuldades que os alunos enfrentam ao resolverem as equações, os erros
analisados no instrumento investigativo, segundo Freitas (2002), indicam que
estes
... erros cometidos pelos alunos estão associados à transposição desses termos, sem a alteração do sinal e o número de erros em transpor os termos em x foi praticamente igual as dificuldades dos alunos na resolução de equações, à passagem da aritmética para a álgebra, ou seja, no período de transição das equações aritméticas para as algébricas. (FREITAS, 2002, p. 111)
Segundo Freitas (2002), para um grande número de alunos, não existe
essa dificuldade, pois eles absorveram a técnica de transpor e mudar o sinal,
efetuando essas ações mecanicamente. Porém, quando o autor analisa o
porquê da ocorrência destes erros, este conclui que a maior dificuldade para
esses sujeitos não está presente no tipo de equação, mas sim na “instauração
de uma rotina vinculada à uma falta de compreensão do conceito do que seja
uma equação e de como encontrar sua solução” (FREITAS, 2002, p. 113), bem
como, independente do método utilizado para a resolução de uma equação, o
importante nos procedimentos a serem adotados para encontrar a solução das
equações “é dar significado para as técnicas através de sua compreensão
integrando aspectos semânticos e sintáticos” (FREITAS, 2002, p. 115).
O pesquisador, analisando as justificativas dos procedimentos adotados
pelos alunos, depara-se com frases do tipo “isolar o x”, “se está multiplicando,
passa dividindo” (FREITAS, 2002, p. 116), evidenciando que as expressões
utilizadas nesses exemplos são vagas, levando a uma interpretação errônea,
37
não orientando as transformações a serem efetuadas sobre as equações e,
desse modo, não contribuindo para tornar significativos os procedimentos de
“isolar” a incógnita em um termo da equação e, obtendo a expressão algébrica,
possa-se determinar o valor da incógnita, revelando uma intensa influência da
mecanização das técnicas associadas às frases ditas pelos alunos. Podemos
observar essas expressões associadas a alguns alunos no nosso cotidiano
durante as resoluções de exercícios que envolvam as equações, sejam elas
lineares ou quadráticas.
Enquanto Freitas (2002) analisa as dificuldades de resolução nas
equações lineares e os erros que surgem destas, Vlassis (2002) analisa as
vantagens e desvantagens do uso do modelo da balança. Ambos os
pesquisadores fazem referências ao corte didático e do surgimento deste.
Apesar de a nossa pesquisa ter como foco as equações quadráticas, as
pesquisas a respeito das equações lineares nos ajudarão a compreender os
procedimentos utilizados pelos alunos e as dificuldades que estes venham a
apresentar nas resoluções das equações pertencentes ao primeiro instrumento
que trataremos no capítulo 3, bem como as referências ao corte didático que
detalharemos a seguir.
1.3 O CORTE DIDÁTICO NA TRANSIÇÃO DA ARITMÉTICA PARA A
ÁLGEBRA
Na nossa pesquisa buscamos a existência de um corte didático das
equações lineares para as equações quadráticas. Assim relatamos a pesquisa
38
de Filloy e Rojano (1989) que trata do corte didático entre as equações lineares
aritméticas para as equações não-aritméticas.
Filloy e Rojano (1989) classificaram as equações lineares em dois tipos:
aritméticas, nas quais a incógnita aparece somente em um dos membros da
equação, isto é, do tipo onde a, b ϵ e a ≠ 0, e as não-aritméticas,
em que a incógnita aparece nos dois membros da equação, isto é as da forma
.
Em seus estudos clínicos com crianças de 12 a 13 anos, Filloy e Rojano
(1989) apontam uma dificuldade dos alunos ao passarem de resoluções
equações aritméticas para resoluções de equações não-aritméticas. Essa
dificuldade recebeu o nome de “corte didático”, pois, segundo eles, ocorre uma
quebra na compreensão e nas formas de resolução de equações.
Para observar a existência desse corte, Filloy e Rojano (1989) aplicaram,
em uma escola secundária experimental na Cidade do México, um teste para
estudantes de 12 a 13 anos, em três classes. Esse teste possuía três tipos de
questões: equações aritméticas com letras, como por exemplo, ,
equações aritméticas sem letras, exemplo □ - 95 = 23 e problemas escritos que
conduziam a equações aritméticas simples. Após responderem o teste, os
alunos foram separados em três grupos com relação aos acertos nesse teste.
Comparando as respostas das três partes do teste, foram selecionados,
para entrevistas, os sujeitos que mais acertaram as questões. Nessas
entrevistas, foram apresentadas aos alunos sequências com cinco ou mais
itens, ilustradas como nos exemplos abaixo:
Sequência E: verificação do pré teste: x + 5 = 8; 13x = 39, (x + 3) 6 = 48” Sequência C: equações equivalentes: x + 5 = 5 + 2; x + x/4 = 6 + x/4, x + 5 = x + x Sequência I: operação do desconhecido: 3 + 2x = 5x; 7x + 2 = 3x + 6; 10x − 18 = 4x
39
Sequência A: problemas do tipo “encontre um número” (FILLOY E
ROJANO, 1989, p. 20, tradução nossa)11.
Após as análises do trabalho dos alunos com essas equações, os
pesquisadores apresentaram aos indivíduos entrevistados duas abordagens de
ensino por meio de modelos concretos, o modelo da balança e o modelo
geométrico. No modelo geométrico, foi apresentada uma equação do tipo
, sendo que a, b e c, eram valores positivos não nulos e . Em
um primeiro momento, foram representadas essas equações relacionadas a
retângulos, logo depois, no segundo momento, foi feita a comparação das áreas
das figuras, produzindo uma nova equação, (c - a)x = b, (terceiro momento). Em
seguida foi pedido que resolvessem a nova equação e verificassem a solução.
No modelo da balança, foi aplicada a mesma equação que no modelo
geométrico, só que representada em uma balança, na qual os pratos
representam os membros da equação e o equilíbrio representa a igualdade. No
primeiro passo, os alunos traduziram a equação para o modelo da balança. Em
seguida, eles removeram as incógnitas dos pratos da balança, mantendo o
equilíbrio, até não sobrar nenhuma delas do lado esquerdo da balança. No
terceiro passo, os alunos escreveram a nova equação, no caso, ,
seguida pela resolução da equação e verificação da raiz encontrada.
Na análise dos processos de abstração dos modelos geométricos e da
balança foi indicada uma perda momentânea da habilidade para resolver
equações aritméticas e a automação do uso dos modelos, levando os alunos a
cometerem erros típicos associados à sintaxe algébrica, como a tentativa de
adição e subtração de coeficientes de diferentes graus. Segundo os autores, a
insuficiência operacional existente no que estes chamam de estágio pré-
simbólico da álgebra sugere um corte, uma quebra no desenvolvimento de
entendimento do indivíduo.
11
“Sequence E. (verification of pre-test) e. g. x + 5 = 8; 13x = 39, (x + 3) 6 = 48” Sequence C. (the equation as equivalence) e. g. x + 5 = 5 + 2; x + x/4 = 6 + x/4, x + 5 = x + x Sequence I. (operating on the unknown) e. g. 3 + 2x = 5x; 7x + 2 = 3x + 6; 10x − 18 = 4x Sequence A. (word problems of “find a number type”).”
40
As análises das entrevistas confirmaram a presença do “corte didático”.
Tal corte pode ser justificado pela diferença entre a compreensão dos conceitos
de equações aritméticas e dos conceitos de equações não-aritméticas. Para os
autores, “intervenções apropriadas de um professor no ponto de transição
podem ser cruciais para os alunos que estão aprendendo álgebra pela primeira
vez” (FILLOY; ROJANO, 1989, p.19, tradução nossa12). Uma hipótese para
explicar essa diferença de compreensão, proposta pelos pesquisadores, é a
evolução da linguagem aritmética para a linguagem algébrica.
Seus estudos apontam que a transição para a resolução de equações
lineares com incógnitas em um membro para as lineares com incógnitas nos
dois membros não é imediata, sendo necessária a construção ou aquisição dos
elementos da álgebra não aritmética. Segundo os autores, no estágio de
transição pode-se trabalhar o ensino de álgebra de duas formas opostas:
concreto, como por exemplo, utilizando o modelo geométrico e o da balança; ou
abstrato, na qual os alunos aprendem regras apropriadas e as aplicam nas
resoluções.
Filloy e Rojano (1989) sugerem a existência de um corte didático ao longo
da linha evolutiva do pensamento da aritmética para a álgebra. Segundo suas
análises, esse corte corresponde às grandes mudanças que aconteceram na
história da álgebra simbólica na concepção do “desconhecido” e a possibilidade
de “exploração do desconhecido”.
Os pesquisadores afirmam que, em termos de currículo, o corte está
localizado na transição de quando os alunos sabem resolver equações do tipo
“ ” (FILLOY; ROJANO, 1989, p.
20), pois é suficiente inverter ou “desfazer” as operações indicadas, sendo
desnecessário operar realmente com a incógnita; para quando os estudantes
recebem equações dos tipos “ ” (FILLOY;
ROJANO, 1989, p.20). Para resolver esses tipos de equações, não é suficiente
12
“Suitable interventions from a teacher at the point of transition may be crucial for students learning algebra for the first time.”
41
a inversão dos procedimentos, sendo necessário operar com a incógnita, ou
seja, manipular sobre o que é representado. Segundo Filloy e Rojano (1989) os
alunos achariam mais difícil resolver as equações não-aritméticas porque existe
a necessidade de se operar com as incógnitas, enquanto, para resolver
equações aritméticas, as operações são efetuadas utilizando apenas números.
Filloy e Rojano (1989) acreditam que os alunos acham mais difícil resolver
as equações não-aritméticas, porque necessitam lidar com as incógnitas, do que
com as equações aritméticas, nas quais os alunos trabalham com os números,
justificando, no artigo escrito em 2010, que
... um corte didático na transição do pensamento aritmético para o pensamento algébrico ocorre quando alunos se deparam com tarefas de uma natureza algébrica pela primeira vez e precisam construir novos significados e novos sentidos para objetos e operações aritméticos, com a característica especial adicional de que tais significados e sentidos recentemente construídos necessariamente pressupõem uma quebra com a aritmética. (FILLOY; ROJANO; SOLARES, 2010, p. 59, tradução nossa)
13.
Apesar de Filloy e Rojano (1989) tratarem do corte didático relacionado
com as equações lineares e nosso trabalho ter como foco as equações
quadráticas, acreditamos que seus estudos nos auxiliarão na análise e seleção
dos sujeitos da nossa pesquisa. No próximo capítulo Fundamentação Teórica
descreveremos o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática no qual
apoiamos a nossa pesquisa.
13
“… a didactic cut in the transition from arithmetic thinking to algebraic thinking occurs when
students face tasks of an algebraic nature for the first time and need to build new meanings
and new senses for arithmetic objects and operations, with the added special characteristic that
such newly built meanings and senses necessarily presuppose a break with arithmetic.”
42
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
No capítulo anterior, apresentamos algumas pesquisas sobre as equações
lineares, que trouxeram subsídios para a elaboração de um dos instrumentos de
coleta de dados; outras sobre equações quadráticas, que trouxeram informações
à respeito das formas de resolução adotadas por alunos de diferentes níveis de
escolaridade, e sobre as dificuldades apresentadas por eles ao usarem regras
inapropriadas; e a pesquisa realizada por Filloy e Rojano (1989), a respeito de
um corte didático entre as equações lineares que apresentam a incógnita em um
único membro e as equações lineares nas quais a incógnita ocorre em ambos os
membros.
Neste capítulo, trataremos dos Três Mundos da Matemática, quadro teórico
no qual está apoiada a nossa pesquisa; os “já-encontrados”, que são a
influência de conhecimentos anteriores sobre a aprendizagem; a definição de
equações de avaliação e manipulação e as diferenças entre elas; e a relação do
corte didático com os Três Mundos da Matemática.
Na nossa pesquisa, a análise dos dados será feita à luz dos Três Mundos da
Matemática, um quadro teórico que está em desenvolvimento por pesquisadores
do Brasil e da Inglaterra, entre outros, e tem por objetivo explicar a
aprendizagem da Matemática a longo prazo.
43
2.1 OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA
Quando Tall (2007, p. 1) “considerou toda a gama de pensamento
matemático, ele percebeu que a noção de três diferentes mundos da Matemática
oferecia uma categorização útil para diferentes tipos de contextos
matemáticos”14. Os Três Mundos da Matemática são o mundo conceitual
corporificado; o mundo “proceitual” simbólico e o mundo formal axiomático,
sendo esses mundos resultado do crescimento cognitivo de cada indivíduo e da
evolução do pensamento matemático que cada um constrói (BADARÓ, 2010,
p. 31).
O mundo conceitual corporificado
O mundo conceitual corporificado, que chamaremos de mundo
corporificado, trata das imagens de situações concretas e mentais que são
construídas pela observação e pela percepção, fazendo com que possamos
identificar as propriedades matemáticas nesses elementos e ajamos sobre eles,
buscando compreensão do que estes significam e também, da manipulação
física de objetos “como no caso de representar uma equação como uma
balança” (LIMA, 2007, p.75).
Como exemplo, na Figura 5, temos a equação sendo
representada por meio de uma balança. O indivíduo pode resolver essa equação
idealizando uma balança, na qual os pratos representam os membros da
equação; o equilíbrio, a igualdade; e os pesos representam os números. Porém,
essa representação só pode ser utilizada quando os valores usados na equação
são positivos. O sujeito não necessita manipular fisicamente a balança para
14
“As I considered the whole range of mathematical thinking, I began to realize that the notion of three different wor lds of mathematics” … “offered a useful categorization for different kinds of mathematical context.” (tradução nossa)
44
resolver a equação em questão, pois pode fazê-lo mentalmente ou
ilustrativamente (ver ilustração da Figura 5), manipulando os pratos da balança,
analisando e levantando hipóteses. Na figura, as latas representam a incógnita
e as bolinhas representam a unidade.
O mundo “proceitual” simbólico
O mundo proceitual simbólico, que chamaremos mundo simbólico, é
aquele em que os símbolos são usados para representar conceitos matemáticos .
Esses símbolos podem ser vistos, simultaneamente, como processos e
conceitos.
Os processos e conceitos foram chamados por Gray e Tall (1994) de
proceitos (amálgama de processos e conceitos), que é a compreensão
simultânea dos processos de resolução e dos conceitos matemáticos. Segundo
Lima (2007), os “proceitos” elementares “podem ser vistos como diferentes
procedimentos que resultam em uma mesma saída” (LIMA, 2007, p. 58) , por
exemplo, a equação envolve o processo de extração de raiz quadrada e
o conceito de ideia de equação.
A habilidade de passar de processo para conceito é chamada por Gray e
Tall (1994) de “pensamento proceitual”. Deste modo, os “símbolos matemáticos
são „proceitos‟ quando eles carregam consigo a possibilidade de serem vistos
Figura 5: Representando a equação com o modelo da balança
45
tanto como procedimentos quanto como o conceito que eles representam”
(LIMA, 2007, p. 58).
Segundo Lima (2007), o mundo proceitual simbólico amplia os significados
do mundo corporificado para os conceitos matemáticos, porque, para os
conceitos serem aceitos como verdades, são necessários cálculos e
manipulações que habitam o mundo simbólico. No mundo proceitual simbólico,
os símbolos representam não apenas os conceitos, “mas também as ações
exercidas sobre os objetos e o produto dessas ações” (LIMA, 2007, p. 57) , como
por exemplo, na resolução das equações do tipo , esta pode
ser feita por intermédio do modelo da balança, mas não é possível desfazer as
operações, sendo necessário, nesse caso, a manipulação das incógnitas,
resultando em utilização de símbolos matemáticos representando os conceitos
matemáticos.
Na Figura 6, mostramos um exemplo desse processo de manipulação de
incógnitas, para a equação .
Figura 6: Processo de resolução de equação por meio de manipulação simbólica
Nesse exemplo, a resolução da equação é feita por meio de manipulação
das incógnitas, quando o indivíduo faz a transposição dos termos de um
membro para o outro.
O mundo formal axiomático
É o mundo caracterizado pelo uso da linguagem formal, por axiomas,
definições e teoremas. Apesar de ser trabalhado em sua totalidade somente no
Ensino Superior, podemos identificar características do Mundo Formal
46
evidenciadas em diversos níveis de escolaridade, quando o indivíduo se depara
com situações em que é necessário o uso de definições matemáticas, por
exemplo. No ensino fundamental, o mundo formal não está presente em sua
totalidade devido ao nível de escolaridade dos alunos, pois ele pressupõe a
construção axiomática dos diferentes ramos da Matemática, mas
...há o uso de algumas características desse mundo, em dados momentos, como, por exemplo, quando o aluno se depara com demonstrações, em que ele precisa compreender o desencadeamento dos passos nelas efetuados, ou mesmo ao se deparar com definições, propriedades ou princípios da Matemática ao realizar alguma manipulação algébrica ou alguma generalização. (LIMA, 2007, p. 79)
Na Figura 7, por exemplo, mostramos a resolução da equação .
Figura 7: Resolução da equação
Nesse exemplo, o aluno desenvolve a equação utilizando características
do mundo formal, pois trabalha com o processo inverso da multiplicação e da
potenciação.
O desenvolvimento cognitivo pelos “Três Mundos da Matemática” está
representado no quadro a seguir:
47
Figura 8: Desenvolvimento Cognitivo pelos Três Mundos da Matemática Fonte: Tall (2007, tradução e adaptação nossa)
A Figura 8 retrata o que ocorre no desenvolvimento cognitivo de um
indivíduo quando explicado pelos Três Mundos da Matemática. Cada mundo
ocupa uma área, em que a intersecção indica a relação entre os mundos e o uso
do conhecimento matemático que pode ser feito naquela área do
desenvolvimento cognitivo. A intersecção entre os Mundos Corporificado e
Simbólico é chamada de Simbólico Corporificado. Um sujeito está “Simbolizando
a Corporificação”, quando este parte do Mundo Corporificado e chega ao Mundo
Simbólico e “Corporificando o Simbolismo” quando faz o sentido contrário, ou
seja, parte do Mundo Simbólico e chega ao Mundo Corporificado (BADARÓ,
2010, p.38).
A intersecção entre os Mundos Corporificado e Formal forma a área do
conhecimento chamado de “Corporificado Formal”, e entre os Mundos Simbólico
e Formal, o “Simbólico Formal”. O crescimento cognitivo, representado pelo eixo
vertical, indica que este é adquirido ao longo do tempo e por meio de sua
48
relação com cada um dos Três Mundos da Matemática. Na região onde os Três
Mundos da Matemática se interceptam emerge a integração total destes.
2.2 OS “JÁ-ENCONTRADOS”
Em seu caminhar na vida escolar, os alunos se deparam com várias
situações de aprendizagem matemática, o que significa que a forma de perceber
e entender os conceitos matemáticos varia de aluno para aluno, dependendo de
suas dificuldades e experiências anteriores, sejam elas escolares ou não. Nesse
aprendizado, seu caminhar pelos Três Mundos da Matemática é muito peculiar,
pois cada indivíduo aprende de uma forma única “desenvolvendo sua própria
imagem de conceito” (TALL; VINNER, 1981) definida “como a estrutura cognitiva
total que é associada com o conceito, que inclui todas as figuras mentais e
propriedade e processos a eles associados.” (TALL; VINNER, 1981, p. 152,
tradução nossa15). Essa estrutura cognitiva é desenvolvida durante sua vida, por
meio de experiências de todos os tipos, sendo modificada à medida que o
indivíduo encontra novos estímulos (LIMA, 2007, p.87).
Lima e Tall (2008) referem-se a essas experiências anteriores como “já-
encontrados”16, que são fundamentalmente importantes na aprendizagem de
conceitos matemáticos, porque afetam esse aprendizado de alguma forma, seja
positiva ou negativa:
...um já-encontrado é toda e qualquer experiência anterior a um certo aprendizado, considerada como construto mental, presente na imagem de
15
“ ...the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and associated properties and processes.” 16
Traduzido por Lima (2007) do inglês met-before.
49
conceito do aluno, que possa interferir no aprendizado em questão, seja de forma positiva ou negativa. (LIMA, 2007, p. 88).
Os “já-encontrados” são usados quando um indivíduo se depara com
situações semelhantes às que lhe são familiares. Nesse momento, diante de
uma nova situação, ele usa conhecimentos ou procedimentos que já conhece
para resolver a nova situação apresentada, tomando-os como válidos para esse
momento. Por exemplo, as experiências de aprendizado com equações lineares
podem influenciar o aprendizado de equações quadráticas (LIMA, 2007, p. 87).
A influência negativa de um já-encontrado se refere a causar dificuldades
em um novo aprendizado, e a influência positiva se dá quando o aprendizado
anterior exerce uma “influência benéfica no aprendizado corrente” (Lima, 2007,
p. 88). As expressões algébricas ou soma de termos semelhantes pode ser um
já-encontrado que atua positivamente em equações porque o aluno pode utilizar
esse conceito para somar as incógnitas com coeficientes iguais. Por exemplo,
na equação , o aluno soma as incógnitas, pois estas são termos
semelhantes; quando deparado com uma equação quadrática, por exemplo, o
aluno poderá lançar mão de seus conhecimentos anteriores ao resolver a
equação somando as incógnitas pois são termos semelhantes.
Quanto à influência negativa, ao se deparar, por exemplo, com a equação
quadrática , o aluno pode pensar que pode somar os termos
semelhantes para depois isolar a incógnita, pois foi assim que ele aprendeu nas
equações lineares, resultando em um erro de procedimento. Nesse caso, o
aluno parece não ter observado que as incógnitas possuem expoentes
diferentes gerando um problema na aprendizagem de equações quadráticas. O
aluno pode querer somar e por achar que são semelhantes, resultando,
por exemplo, em , pelo mesmo já-encontrado de somar termos, mas usado
inapropriadamente porque não são semelhantes.
No nosso trabalho, os “já-encontrados” são importantes para que
possamos analisar quais procedimentos e conhecimentos anteriores os alunos
utilizaram para resolver as equações quadráticas propostas, e quais implicações
50
essa nova experiência, no decorrer da resolução das equações, ampliou seus
conceitos, modificando a forma como eles resolvem as equações quadráticas de
diferentes tipos.
2.3 EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO E DE MANIPULAÇÃO
Segundo Thomas e Tall (2001), o desenvolvimento cognitivo em Álgebra
pode ser classificado em três tipos de álgebra: álgebra de avaliação, álgebra de
manipulação e álgebra axiomática. Na álgebra de avaliação, a incógnita pode
ser avaliada nas equações dando valores à ela. Na álgebra de manipulação, as
equações são manipuladas algebricamente, e a letra assume o papel da
incógnita, permitindo compreender igualdades como .
A partir dessa caracterização de Thomas e Tall (2001), Lima (2007)
classifica as equações em equações de avaliação e equações de manipulação.
As equações de avaliação são aquelas que podem ser resolvidas desfazendo as
operações efetuadas sobre a incógnita até que o valor da incógnita seja
encontrado; e as equações de manipulação são aquelas em que é necessário
operar com a incógnita, isto é, há manipulação simbólica. Em relação aos Três
Mundos da Matemática podemos observar que as equações de avaliação,
devido as suas particularidades, apresentam características pertencentes ao
mundo corporificado, enquanto que as equações de manipulação remetem ao
mundo simbólico.
Adotaremos esta caracterização para nossa pesquisa porque, segundo as
pesquisadoras Lima e Healy (submetido), as equações de avaliação estão
relacionadas com o mundo corporificado no qual o sentido de ““fazer” e
51
“desfazer” poderia vir de operações com objetos desse mundo” (LIMA; HEALY,
submetido, p.8). Porém, quando se lida com equações de manipulação, é
necessário se trabalhar com os símbolos, que estão relacionados com o mundo
simbólico.
Neste ponto do trabalho devemos destacar que as equações de avaliação
e de manipulação foram assim caracterizadas pelas suas propriedades de
resolução, porém, essa caracterização não é fechada, uma vez que o sujeito
pode resolver uma equação de avaliação como se fosse de manipulação, e vice
versa. Essa resolução dependerá dos conhecimentos que o sujeito traz consigo.
Podemos dar como exemplo a resolução da equação . Um indivíduo
pode querer manipular a incógnita deixando-a no primeiro termo da igualdade
somente por conseguir resolver a equação apenas com a incógnita neste termo
da igualdade, enquanto que outro sujeito resolveria da maneira como foi
apresentada. Quanto a equação de manipulação, podemos citar como exemplo
a resolução da equação . Nessa resolução dessa equação
podemos nos deparar com um sujeito que necessita do artifício de Bháskara
porém um outro encontraria as raízes da equação apenas avaliando. Uma
pessoa que estivesse habituada a resolver equações quadráticas saberia que o
segundo termo é a soma e o terceiro termo é a multiplicação das raízes.
Ao relacionar esta caracterização para equações lineares com aquela de
Filloy e Rojano (1989), vemos que as de avaliação são chamadas por eles de
aritméticas, enquanto as de manipulação são as não-aritméticas. Enquanto em
suas pesquisas Filloy e Rojano (1989) caracterizam somente as equações
lineares, Lima (2007) caracterizou também as equações quadráticas como de
avaliação e manipulação. Essa caracterização não se dá pela posição da
incógnita na equação, mas pelas características próprias da equação.
Podemos caracterizar como sendo equações de avaliação as equações
lineares do tipo com a, b e c reais e . Por exemplo, a equação
pode ser resolvida adicionando 30 ao número 40, resultando em
52
70. Em seguida, divide-se o resultado 70 por 2, obtendo 35, encontrando, assim,
o valor da incógnita. Outra forma de resolução é buscar um valor que
multiplicado por 2 seja igual a 70 para que a igualdade seja verdadeira.
Já as equações lineares de manipulação são as do tipo
e e podemos dar como exemplo a equação linear
. Para resolvê-la, é necessário operar com a incógnita para obter
o resultado. Nesse exemplo, somando-se em ambos os membros,
temos , o que é equivalente a . Em seguida, divide-
se −12 por −4, resultando em 3. Observa-se nesse exemplo, a necessidade de
uma manipulação dos símbolos para se obter o valor da incógnita.
No que se refere à classificação das equações quadráticas, as do tipo
, em que a e b são números reais e a ≠ 0, são de avaliação, uma vez que
podem ser resolvidas desfazendo as operações. Por exemplo, a equação
pode ser resolvida desfazendo as operações, ou buscando os números
que, elevados ao quadrado, resultarão em 9. Admitindo que a incógnita assuma
dois valores distintos, temos 3 e −3. Uma segunda maneira de resolução é por
meio das operações inversas, o que significa que se pode extrair a raiz
quadrada de 9, percebendo, à partir dessa raiz que −3 também é solução, e não
apenas +3. Em geral, as equações do tipo são de avaliação,
pela característica de poder desfazer as operações efetuadas sobre a incógnita.
Existem também equações quadráticas de manipulação. Podemos citar
como exemplo as equações do tipo , que podem ser resolvidas
pelo uso direto da fórmula de Bhaskara, completamento de quadrados ou por
fatoração. Por exemplo, , que pode ser resolvida fatorando o
primeiro membro, resultando em . Nesse caso, a incógnita x
assume o valor −1.
As equações de avaliação e de manipulação carregam dificuldades
diferentes de resolução, e buscamos entender se essas dificuldades podem ser
explicadas por um corte didático.
53
2.4 O CORTE DIDÁTICO E OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA
Como vimos, Filloy e Rojano (1989) acreditam que o corte didático nas
equações lineares ocorra por dificuldades na transição de resolver equações
aritméticas para resolver equações não-aritméticas. Vlassis (2002) também
buscou as raízes desse corte. Os resultados de seu experimento levaram-na a
conjecturar que, diferentemente do que Filloy e Rojano (1989) afirmam, o corte
didático está relacionado com a possibilidade de o aluno associar ou não a
equação com um modelo concreto e não com a posição em que se encontra a
incógnita (em um ou nos dois membros da igualdade).
Já as pesquisadoras Lima e Healy (submetido) acreditam que o corte
didático não está relacionado apenas com o tipo de equação, mas com a
necessidade de manipulação dos símbolos presentes nas equações e com a
maneira pela qual os indivíduos as resolvem.
Na discussão das semelhanças de classificação das equações lineares
dadas por Filloy e Rojano (1989), Lima e Healy (submetido) concluem que esta
não difere da classificação dada por elas para as equações aritméticas,
entendendo então que estas “podem ser tratadas como parte apenas do mundo
corporificado” (LIMA; HEALY, submetido, p. 9) enquanto as classificadas como
equações não-aritméticas, segundo as pesquisadoras, envolvem aspectos do
mundo corporificado e do mundo simbólico também. Com referência a
classificação de Vlassis (2002), as autoras sugerem que, quando os alunos
procuram resolver as equações por intermédio de um modelo concreto, eles as
estão associando ao mundo corporificado, enquanto nas equações denominadas
por Vlassis (2002) como equações algébricas, é possível que estes “talvez
necessitem de uma viagem pelo mundo simbólico” (LIMA; HEALY, idem).
54
À luz dessa discussão, Lima e Healy (submetido) levantam a hipótese de
que, se um corte didático ocorrer,
ele estará relacionado à passagem de resolver equações de avaliação para resolver as de manipulação – porque esta passagem envolve fazer conexões entre dois mundos da matemática, o corporificado de um lado, e o simbólico de outro (LIMA; HEALY, submetido, p. 9).
As pesquisadoras chegaram a essa conclusão analisando as resoluções
apresentadas por 68 alunos para as equações lineares ;
e . Nessas análises, observa-se que 28 alunos resolveram
corretamente a equação , 22 alunos acertaram a equação
e somente cinco alunos resolveram corretamente a equação
. Segundo as pesquisadoras, a dificuldade em se resolver a equação
está na operação com zero, pois pode ser difícil para os alunos
aceitarem que duas vezes alguma coisa resulta em quatro vezes a mesma
coisa. Elas relatam que todas as equações resolvidas corretamente, assim como
as resoluções incorretas, envolveram técnicas de movimentação de termos,
passando um termo para o outro membro da equação e mudando de sinal , isto
é, corporificações procedimentais (LIMA; TALL, 2008). Essas técnicas, segundo
Lima e Healy (submetido) estão “desconectadas do princípio algébrico de
efetuar a mesma operação em ambos os membros” (L IMA; HEALY, submetido,
p.12), não havendo, aparentemente, diferença de dificuldades nas resoluções de
equações de avaliação ou de manipulação, indicando, segundo as autoras, que
o corte didático (se é que existe) não é aparente.
Considerando as equações quadráticas, as autoras evidenciam que os
alunos que obtiveram um sucesso maior nas resoluções destas foram aqueles
que conseguiram fazer algum tipo de avaliação para encontrar as raízes das
equações. O sucesso, segundo elas, foi associado então “à possibilidade de
trabalhar de maneira essencialmente corporificada”, (LIMA; HEALY, submetido,
p.18).
55
As análises das resoluções das equações quadráticas apresentadas pelos
alunos indicam que eles apresentam dificuldades em trabalhar com equações
quadráticas de manipulação. Essa dificuldade pode ser justificada pelo fato dos
alunos, aparentemente, não estarem familiarizados com diferentes métodos
algébricos de resolução, e até mesmo a fórmula de Bháskara, que é enfatizada
pelos professores no desenvolvimento das equações quadráticas, não traz
sucesso na maioria das vezes. Por este motivo, as pesquisadoras entendem que
exista uma “dificuldade crescente em trabalhar com equações quadrát icas de
manipulação” (LIMA; HEALY, submetido, p. 18), que elas atribuem à
necessidade de buscar sentido no mundo simbólico e não unicamente no mundo
corporificado.
Com referência às equações lineares, as denominadas equações de
manipulação não podem ser resolvidas como equações de avaliação, nas quais
o aluno resolve desfazendo as operações efetuadas sobre a incógnita; porém,
as de avaliação podem ser tratadas como de manipulação, como apontado no
estudo de Lima e Healy (op. cit.). Nas equações quadráticas de avaliação, as
autoras percebem duas possibilidades de avaliação: a primeira é aquela na qual
o aluno desfaz as operações, e, na segunda, o aluno avalia a expressão e
percebe uma raiz da equação, que é feito nas equações quadrát icas de
manipulação.
A concepção das pesquisadoras Lima e Healy (op.cit.) à respeito das
equações de manipulação, principalmente as quadráticas, é de que estas
apresentam características sofisticadas do Mundo Simbólico, necessitando, ao
lidar com elas, uma consciência dos princípios matemáticos envolvidos nos
métodos de resolução, implicando o fato de o indivíduo ter pensamento
proceitual. Porém, pelos resultados das pesquisas realizadas por Lima (2007),
até os alunos que foram bem sucedidos nas equações pareciam estar
resolvendo por características corporificadas ao invés de simbólicas,
evidenciando o mundo corporificado ao invés do mundo simbólico.
56
A pesquisa de Lima e Healy (submetido) evidencia que as dificuldades
dos alunos, ao se depararem com as equações lineares podem não ser com o
fato de se operar com a incógnita, como proposto por Filloy e Rojano (1989),
mas podem estar relacionadas com as interpretações dos alunos dos métodos
que lhes foram ensinados para resolvê-las, bem como com a relação entre o
aluno e a equação, ou seja, como os alunos fazem para resolvê-las, o que não
manifestará um corte didático se elas são vistas como o mesmo tipo de
equação.
Enquanto Filloy e Rojano (1987) acreditam que o corte didático está
relacionado com a ocorrência da posição da incógnita, e Vlassis (2002) propõe
um ensino com abordagem da balança (ambos tratados no Capítulo 1: Revisão
de Literatura), a conclusão de Lima e Healy (submetido) foi que as raízes da
ocorrência do corte didático são mais complexas do que a posição da incógnita
em um ou dois membros da equação ou a relação da equação com modelos
concretos. A conjectura das pesquisadoras é de que possa existir um corte
didático entre equações que podem ser resolvidas com procedimentos
relacionados ao mundo corporificado e equações que precisam de
procedimentos do mundo simbólico, resultando de uma tendência em procurar
significados corporificados ao invés de simbólicos para objetos simbólicos,
havendo a necessidade de conexões entre os mundos corporificado e simbólico.
Acreditamos, assim como as pesquisadoras Lima e Healy, que o corte
didático esteja relacionado não com a posição da incógnita, mas sim com o tipo
de equação que é apresentada, avaliação ou manipulação. Contudo, em nossa
opinião, é interessante reforçar que a diferença entre as equações de avaliação
e manipulação estão relacionadas com os conhecimentos do sujeito.
No próximo capítulo, Procedimentos Metodológicos, descreveremos
como realizamos a nossa coleta de dados, os instrumentos utilizados e a
seleção dos sujeitos para a coleta principal, com o objetivo de responder as
questões de nossa pesquisa.
57
CAPÍTULO 3
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Nesse capítulo, tratamos da metodologia adotada para atingir nosso
objetivo e responder as perguntas que fomentaram a nossa pesquisa:
Quais são os procedimentos de resolução que alunos de 8º ano utilizam
ao resolverem as equações quadráticas, sem terem prévio conhecimento
do conteúdo?,
Quais características dos Três Mundos da Matemática surgem na
resolução das equações quadráticas? e
É possível caracterizar um Corte Didático na transição das equações
lineares para as equações quadráticas?
Para isso, realizamos a coleta de dados em duas fases. A primeira
consistiu da aplicação de um questionário composto por dez equações lineares
e duas quadráticas. O objetivo das equações lineares era identificar quais
alunos sabiam resolver corretamente estas equações e quais foram os
procedimentos adotados por estes. Já com as duas equações quadráticas
tínhamos como objetivo conhecer previamente quais seriam as possíveis formas
de resolução que os alunos adotariam, independentemente se estes
procedimentos seriam corretos ou não.
A segunda fase consistiu de entrevistas reflexivas semi-estruturadas,
contendo 14 equações quadráticas, com alguns alunos (selecionados pelas
resoluções apresentadas nas equações lineares do primeiro instrumento).
Acreditamos que a entrevista reflexiva semi-estruturada permite verificar quais
métodos de resolução foram adotados pelos alunos e levantar as características
relacionadas a cada um dos Três Mundos da Matemática.
58
Para verificarmos a existência de um possível corte didático na passagem
das equações lineares para as equações quadráticas, seguimos a metodologia
descrita no artigo de Filloy e Rojano (1989) e explanado no Capítulo 1 (p.37),
selecionando os alunos que já sabiam resolver equações lineares para
participarem da resolução das equações quadráticas. É importante ressaltar que
os dois instrumentos foram elaborados a partir do quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática.
A nossa pesquisa contou com a colaboração de uma escola estadual da
cidade de Jundiaí, com 40 estudantes pertencentes a duas turmas de 8º ano e
com a professora de Matemática que leciona para essas duas turmas. Apesar de
as turmas possuírem 67 alunos ao todo, divididos em 33 alunos na primeira
turma e 34 na segunda, nem todos quiseram participar da coleta de dados, por
este motivo apenas 40 alunos participaram do primeiro instrumento.
3.1 PERFIS DAS TURMAS
A escola estadual a qual pertencem os sujeitos da pesquisa está situada
na periferia do município de Jundiaí. Os alunos são, em sua maioria, de classe
sócio- econômica baixa. É uma escola que possui alunos desde o 6º ano do
Ensino Fundamental até o Ensino Médio, sendo a maior parte do corpo docente
composta por professores efetivos, e o IDESP17 da escola é um dos mais altos
em Jundiaí, e acima da média estadual.
17
IDESP- Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo. Fontes: http://idesp.edunet.sp.gov.br/arquivos2008 - acessado em 27/12/2009 http://idesp.edunet.sp.gov.br/o_que_e.asp- acessado em 27/12/2009
59
Ao apresentarmos os objetivos da nossa pesquisa para a direção e a
professora das turmas de 8º ano, combinamos, em acordo com as partes, que o
instrumento 1 “Equações Lineares e Quadráticas” seria aplicado no fim do
segundo semestre do ano letivo, após o aprendizado sobre as equações
lineares. Conversamos com a professora e com as turmas para que pudéssemos
construir o perfil das classes, como descreveremos a seguir.
A primeira turma, chamada T1, foi composta por 33 alunos. Segundo a
professora, era uma classe composta por alunos que não tomam iniciativa, e a
maioria deles atrapalhava o desenvolvimento das aulas, não realizando as
tarefas propostas, enquanto os demais realizavam satisfatoriamente as
atividades. Os alunos que não faziam as atividades propostas eram
considerados indisciplinados, pois bagunçavam bastante durante as aulas,
fazendo com que a professora parasse as atividades diversas vezes para
chamar a atenção deles.
Havia uma divergência entre o que a professora e os alunos pensavam
sobre as atitudes comportamentais da classe. Enquanto a professora achava
que a turma não estava interessada nem tomava iniciativa, os alunos afirmavam
que os colegas ajudavam-se mutuamente, procurando tirar as dúvidas dos
demais. O ponto de concordância entre os alunos e a professora era com
respeito à indisciplina, pois eles concordavam que esse comportamento
atrapalhava um pouco o andamento das aulas.
Já a segunda turma, que chamamos de T2, foi composta por 34 alunos e,
segundo a mesma professora, era uma classe que apresentava um
comportamento mais falante, mais ativo e mais participativo. Nessa turma, a
professora alegava não existir meio termo, os alunos eram bons ou eram ruins.
Os alunos considerados ruins se dividiam em dois grupos: um que participava
um pouco e outro cujos alunos não demonstravam interesse em aprender.
Nessa segunda turma, a visão da professora era compatível com a dos
alunos pesquisados. Os alunos também achavam que a classe era falante e que
60
existia uma divisão entre os alunos da turma. Essa divisão se daria entre os que
estudavam e aqueles que não estariam muito preocupados com o estudo. Mas,
apesar dessas diferenças, a classe era entrosada e possuía vontade sempre de
participar. Ao analisarmos o comportamento dos sujeitos das duas classes,
observamos que elas possuíam perfis bem diferentes, indo, aparentemente, ao
encontro da concepção que a professora tem das turmas, o que pôde ser
verificado na primeira e segunda fase da coleta de dados.
3.2 INSTRUMENTO 1: EQUAÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS - O
PRIMEIRO GRUPO DE DADOS COLETADOS
O objetivo de elaborar um instrumento de coleta de dados composto por
equações lineares foi verificar quais alunos conseguem resolvê-las, utilizando os
conceitos e/ou procedimentos, para assim, determinarmos quais alunos seriam
convidados para a segunda fase da pesquisa.
Como queríamos saber quais seriam as formas de resolução adotadas
pelos alunos e quais as justificativas que eles dariam para resolver as equações
com os procedimentos apresentados, pedimos que justificassem sua forma de
pensar e, no caso de não terem conseguido resolver alguma delas, que
explicassem os motivos. Optamos por colocarmos as equações com incógnitas
diferentes de x para sabermos se os alunos apresentariam conhecimentos de
resolução independentemente de a incógnita ser ou não diferente daquela que
eles estavam habituados a trabalharem.
A aplicação das equações ocorreu no segundo semestre, em dias
diferentes para as duas turmas por motivo de organização da escola, pois nos
61
foi cedida uma sala de aula que não estava sendo usada no período de aula em
que aplicamos o instrumento 1.
As equações foram selecionadas de forma a contemplar características
dos Três Mundos da Matemática, especialmente no que diz respeito às
equações de avaliação e de manipulação. Por este motivo, o instrumento já
estava consolidado antes de conhecermos os sujeitos da nossa pesquisa.
Esse instrumento de coleta de dados foi composto por doze equações,
extraídas e adaptadas de alguns livros didáticos, sendo dez equações lineares,
divididas em seis de avaliação e quatro de manipulação, e duas quadráticas de
avaliação. Seis equações lineares tinham como resultado um número natural,
duas resultavam em um número inteiro negativo e duas em um racional . Já as
equações quadráticas tinham como resultado, a primeira, duas raízes iguais e
positivas, e a segunda, uma raiz positiva e uma negativa. Não usamos equações
cujos resultados fossem números irracionais, pois acreditamos que os alunos
poderiam apresentar dificuldades em lidar com esses números, o que tiraria o
foco da resolução de equações e das dificuldades que eles poderiam enfrentar
no trabalho com elas.
Apesar de o foco principal desse instrumento ser a análise das resoluções
de equações lineares, colocamos duas quadráticas para termos uma ideia de
como os alunos se comportariam na tentativa de resolver esse tipo de equação ,
e quais seriam os procedimentos que estes usariam. Em nossa opinião as
resoluções mostradas pelos alunos no primeiro instrumento nos dariam uma
noção de quais posturas os sujeitos selecionados poderiam adotar no segundo
instrumento.
As equações lineares de avaliação estão apresentadas no Quadro 1, as
de manipulação se encontram no Quadro 2 e as duas quadráticas estão
apresentadas no Quadro 3.
62
+ =
Quadro 1: Equações Lineares de Avaliação
No Quadro 1, estão apresentadas as equações lineares de avaliação, cujo
objetivo era verificar se os alunos as resolveriam avaliando por tentativa e erro,
buscando valores que as satisfizessem, ou usando procedimentos matemáticos
para encontrar as raízes. Colocamos a equação fracionária
+
=
(apesar
de termos consciência de que o grau de dificuldade dessa ser maior que as
demais pertencentes a esse instrumento) com o objetivo de saber se a postura
dos alunos diante dessa equação seria a mesma da adotada nas outras
equações lineares pertencentes a esse instrumento de coleta de dados.
A equação foi escolhida porque Vlassis (2002) afirma que
uma equação desse tipo não pode ser resolvida pelo modelo da balança, por
conter um número negativo no primeiro membro, fazendo com que o aluno
procure outra forma de resolução, por exemplo, desfazendo a equação ou
buscando valores que a validem, assim como no caso da equação 8 = 6 − c, que
Freitas (2002) aponta, em sua pesquisa, a dificuldade em trabalhar com o
coeficiente negativo.
A equação de avaliação do tipo , representado no nosso
instrumento nas equações e , são, segundo Filloy e
Rojano (1989), mais simples de serem resolvidas, pois os alunos podem
desfazer as operações sobre as incógnitas para que a raiz seja encontrada, não
63
necessitando operar com a incógnita. Já segundo Freitas (2002), as equações
do tipo apresentam como grau de dificuldade a transposição de
termos independentes, enquanto Vlassis, em seus estudos, aponta que essas
equações podem ser resolvidas usando o modelo da balança.
No Quadro 2, estão apresentadas as equações lineares de manipulação,
que Filloy e Rojano (1989) denominam, em seus estudos, como “equações não -
aritméticas”. O nosso instrumento contém equações de manipulação para
verificarmos se os alunos iriam manipular as incógnitas para encontrar a raiz da
equação.
Quadro 2: Equações Lineares de Manipulação
As equações do tipo que no nosso instrumento estão
representadas nas equações ,
apresentam como grau de dificuldade, segundo Freitas (2002), o procedimento
de transposição de termos, enquanto Filloy e Rojano (1989) alegam que a
dificuldade dos alunos nesse tipo de equação é a dificuldade de operar com a
incógnita.
Nosso objetivo, com as equações de manipulação, foi saber se os alunos
compreendiam a forma de resolução que deveriam abordar nessas equações,
utilizando os procedimentos algébricos, pois, nas equações de manipulação se
faz necessária a manipulação, ou seja, o manuseio da incógnita, diferentemente
do que ocorre nas equações de avaliação, em que se pode resolver avaliando e
encontrando um valor que satisfaça a equação.
64
No Quadro 3, apresentamos as equações quadráticas de avaliação
presentes no instrumento 1, que utilizamos para termos ideia se os alunos iriam
resolvê-las e que de forma o fariam.
Quadro 3: Equações Quadráticas de Avaliação
As equações quadráticas de avaliação podem ser resolvidas por meio de
avaliação, na qual o aluno encontra valores que validem a equação. Nosso
objetivo com estas equações foi observar quais procedimentos seriam adotados
pelos alunos ao se depararem com as mesmas, pois esse conteúdo não faz
parte do ano que eles estavam cursando (8º ano).
3.2.1 Gerenciamento da aplicação do instrumento 1
Na apresentação, para a direção da escola e para a professora, dos
objetivos e da forma como seria realizada a nossa pesquisa, combinamos,
inicialmente, que a professora estaria conosco no momento da aplicação do
primeiro questionário. Porém, esse acompanhamento acabou não ocorrendo,
pois, uma vez que alguns alunos estavam com notas baixas e necessitavam de
recuperação, essa seria aplicada necessariamente pela professora da classe
durante o período letivo (recuperação contínua). A ausência da professora
atrapalhou um pouco a aplicação das questões, porque alguns alunos tiveram
dificuldades em se manter em silêncio. Entretanto, essa falta de colaboração
não interferiu na coleta dos dados.
65
A aplicação do primeiro instrumento de coleta de dados foi realizada no
período de aula e em 50 minutos, com exceção de três alunos que necessitaram
de mais tempo. O questionário foi aplicado em dias diferentes para as duas
turmas do 8º ano. Dos 67 alunos pertencentes às duas turmas, somente 40
alunos participaram (22 da primeira turma e 18 da segunda), pois alguns alunos
não quiseram participar da pesquisa. Todos os pais dos sujeitos envolvidos na
pesquisa assinaram o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido,
apresentado no Apêndice C, no qual estavam descritos os objetivos da nossa
pesquisa e como seriam coletados os dados.
Como a professora da turma não pôde participar, a aplicação das
questões foi feita somente pela pesquisadora. Então, em uma conversa
preliminar com a professora, foram apresentados os tipos de equações que
seriam apresentadas aos alunos, e ela sugeriu que, caso surgissem dúvidas
quanto às nomenclaturas das incógnitas (pois as incógnitas pertencentes ao
instrumento eram variadas, tais como, b, w, c, k, d, m, x, y), que fosse dito que
eles deveriam trabalhar como se todas fossem x e y, pois os alunos dela
estavam habituados a trabalhar com essas incógnitas. Lembramos que a opção
da mudança das incógnitas foi com o objetivo de verificarmos se os alunos
conseguiriam desenvolver a resolução das equações independentemente desta
ser x ou não.
Também, antes de entregar a folha com as questões para os alunos, foi
orientado que estes não se preocupassem em acertar ou errar a resolução das
equações, mas que não deixassem de registrar seus raciocínios e/ou formas de
pensar na resolução. Acreditamos que esse registro permitiu-nos verificar os
métodos de resolução usados por eles e sugerir as dificuldades que possam ter.
Conforme as suposições da professora da turma, durante a aplicação do
primeiro instrumento para as duas turmas, surgiram algumas dúvidas dos alunos
quanto às letras, pois estes não tinham certeza se poderiam resolver as
questões com incógnitas representadas por letras diferentes das que eles
66
conheciam, o que nesse caso, eram x e y. Em nossa opinião, essa dúvida
poderia evidenciar um já-encontrado que está atrapalhando o trabalho dos
alunos, pois é uma dificuldade de compreensão de que as incógnitas podem
assumir qualquer letra. Diante dessa problemática, os alunos foram orientados
para que resolvessem como se todas as incógnitas fossem x e y, e informados
que as letras podem ser quaisquer, não alterando as questões que foram
aplicadas. Durante a atividade, um aluno perguntou se o x podia assumir dois
resultados, e a resposta da pesquisadora foi que se ele achou isso, que
justificasse essa sua ideia.
Observamos que após essa orientação, os alunos trabalharam com as
incógnitas de maneira natural, porém, caso não tivéssemos seguido a
orientação da professora da classe, a mudança nas incógnitas poderia ser
realmente um fator de dificuldade na resolução e essa não estaria relacionada
com os procedimentos de resolução das equações e sim, com a falta de
compreensão de que as incógnitas podem ser representadas por letras
diferentes de x e y, que são comumente trabalhadas em sala de aula e
apontadas em alguns livros didáticos, como pudemos verificar nos utilizados
pelos professores pertencentes a essa escola estadual.
A todo o momento, os alunos foram orientados para não deixarem de
responder questão alguma. Mesmo que eles achassem que não soubessem a
resposta, a pesquisadora pediu para que eles encontrassem um meio de
resolução. Alguns alunos demonstraram insegurança ao responder as questões,
enquanto outros começaram a conversar com os colegas, tentando encontrar
uma solução para as questões. Nesse momento, a pesquisadora pediu para que
os alunos trabalhassem individualmente, dadas as características de nossa
pesquisa.
Observando o comportamento dos alunos durante a resolução das
questões, percebemos que muitos estavam com receio de responder de forma
incorreta. Sugerimos que, caso o aluno não conseguisse responder após tentar,
67
que explicasse suas dificuldades. O prazo dado para que os indivíduos
trabalhassem as resoluções foi de uma aula (de 50 minutos), mas três alunos da
primeira turma necessitaram de um prazo maior e utilizaram mais 20 minutos.
Enquanto a primeira turma estava mais tranquila e concentrada, a
segunda mostrou-se mais agitada, pois alguns alunos não conseguiram se
concentrar e começaram a conversar. Nessa classe, a orientação quanto ao
silêncio foi dada diversas vezes e, infelizmente, esse pedido não foi atendido.
Alguns alunos não tentaram resolver nenhuma questão, dando a impressão que
não queriam ficar na aula de Matemática, e utilizaram o artifício da pesquisa
para saírem da sala de aula. Admitimos isso porque foram justamente esses
alunos que mais deram trabalho nos quesitos silêncio e participação, e que, no
tempo em que ficaram na sala com os demais alunos que participaram da
pesquisa, faziam questão de serem notados, até o momento em que a
pesquisadora teve que pedir para que estes saíssem da sala para que não
prejudicassem os outros colegas e a coleta de dados em si. Esses alunos não
foram excluídos dos dados, pois, apesar de alguns destes terem conversado
muito, tentaram resolver algumas questões.
Comparando as duas classes, observamos que, apesar de os alunos da
segunda turma estarem agitados, eles não apresentaram tanta insegurança em
relação à resolução das equações quanto os da primeira turma. Os alunos que
ficaram na sala, dando continuidade à resolução das questões, responderam e
justificaram conforme foram orientados pela pesquisadora.
Os resultados deste questionário foram analisados para que soubéssemos
quais alunos resolveram estas equações corretamente, utilizaram a substituição
de valores diretamente na incógnita ou apresentaram conhecimentos sobre os
procedimentos de resolução. Após a análise, selecionamos os sujeitos que
acertaram o maior número de questões para participarem da segunda fase da
nossa pesquisa.
68
3.2.2 Análise dos dados do instrumento 1 e escolha dos sujeitos para
a coleta principal
Apresentamos, nessa seção, as análises das respostas dadas pelos
alunos18 às equações pertencentes ao primeiro instrumento de coleta de dados.
Para selecionar os sujeitos que participariam da segunda fase da nossa
pesquisa, classificamos as respostas dadas em cinco categorias: “resolveram a
equação corretamente”, “utilizaram substituição de valores diretamente na
incógnita”, “mal-rules”, “não compreenderam a questão” e “não resolveram”.
Optamos pela expressão “mal-rules” porque segundo Sleeman (1984),
esta se refere ao uso de regras inapropriadas de resolução, ou seja, no nosso
caso, a utilização de procedimentos corretos na resolução de equação, porém
com erros no percurso desta tal como: ausência do sinal negativo, divisão
errada, soma ou subtração incorreta de valores numéricos.
Retornando a categorização, na primeira categoria denominada
“resolveram a equação corretamente”, classificamos os alunos que acertaram as
equações, resolvendo-as por procedimentos, como podemos ver na Figura 9.
18
Nas apresentações das resoluções das equações, o aluno será indicado por um código de
quatro dígitos, no qual os dois primeiros referem-se à turma que o aluno faz parte, e os outros
dois, ao aluno dentro da turma. Por exemplo, o aluno T101 é o aluno 01 da turma T1.
69
Figura 9: Resposta do aluno [T110] para a equação m + 6 = 5
Nessa categoria, o aluno parece tratar a resolução das equações por meio
de “regras”, ou seja, a transposição de termos de um membro para o outro,
como, por exemplo, a resolução apresentada pelo aluno [T110] para a equação
m + 6 = 5, que é resolvida isolando a incógnita m em um lado da igualdade,
subtraindo 6 de 5, resultando em –1.
No caso da segunda categoria, que chamaremos como “utilizaram
substituição de valores diretamente na incógnita”, foram classificados os alunos
cuja resolução foi feita pelo que chamamos de substituição, encontrando a raiz
correta. Nessa categoria, o aluno analisa a equação e substitui a incógnita por
um valor que torna a igualdade verdadeira. Por exemplo, na equação linear de
avaliação 2d + 10 = 60, o aluno substitui a incógnita d pelo valor 25, sem utilizar
os recursos procedimentais, como podemos ver na solução apresentada na
Figura 10, realizada pelo aluno [T114].
Figura 10: Resposta do aluno [T114] para a equação 2d + 10 = 60
70
A terceira categoria de classificação denominada “mal-rules” refere-se aos
alunos que apresentaram procedimentos corretos de resolução mas que
cometeram algum erro de percurso, como por exemplo, ausência de sinal
negativo na raiz da equação. Um exemplo pode ser visto na resolução do aluno
[T109] a seguir (Figura 11).
Figura 11: Resposta do aluno [T109] para a equação 10 + 4w = 5
Na Figura 11, observamos que o aluno [T109] apresenta uma forma de
desenvolvimento de resolução correta, mas não coloca o sinal negativo na
conclusão da equação, ou seja, na fração.
A quarta categoria é destinada aos alunos que “não compreenderam a
questão”, que são os alunos que, aparentemente, desconhecem a forma de
resolução das equações, não conseguindo resolver as mesmas por nenhum
método, seja por substituição de valores na incógnita ou por proced imentos
matemáticos, como podemos ver na Figura 12, na resolução do aluno [T111].
Por fim, na quinta categoria, classificamos os alunos que “não resolveram”, ou
seja, aqueles alunos que não desenvolveram a resolução da equação.
71
Figura 12: Resposta do aluno [T111] para a equação 2n+ 5 = 6n − 7
As análises das equações lineares e quadráticas pertencentes ao
instrumento 1 estão apresentadas na Tabela 1.
Equações
Resolveram
a equação
corretamente
Substituíram
valores
corretos
diretamente
na incógnita
Mal-Rules
Não
compreenderam
a questão
Não resolveram
Turma Turma Turma Turma Turma
T1 T2 T1 T2 T1 T2 T1 T2 T1 T2
2b - 30 = 0 5 4 6 8 3 - 8 3 - 3
6x = 5x 1 - - - - - 19 9 2 9
10 + 4w = 5 3 3 - - 6 2 10 5 3 8
8 = 6 - c 4 3 - - 9 3 8 4 1 8
4k - 2 = 3k + 6 5 4 - - 4 - 13 5 - 9
2d + 10 = 60 6 3 3 4 5 2 8 4 - 5
m + 6 = 5 3 3 8 9 3 - 7 1 1 5
w² = 9 1 1 4 1 3 2 12 3 2 11
2n + 5 = 6n - 7 3 1 - 2 7 3 11 - 1 12
+ = - - - - 2 2 8 2 12 14
(m + 1)² = 4 - - 8 5 - - 9 5 5 8
4y - 13 = 9 - 5y 4 3 - - 7 1 9 3 2 11
Tabela 1: Categorias de respostas para as equações do instrumento 1
72
Nas análises das equações de avaliação, observamos que 23 alunos
resolveram corretamente as equações 2b − 30 = 0 (nove por regras e 14
substituindo os valores na incógnita) e m + 6 = 5 (seis por regras e 17 por
substituição). Na Figura 13 e na Figura 14 apresentamos as resoluções adotadas
pelos alunos para a equação 2b − 30 = 0, e nas Figuras 15 e 16, as respostas
dos alunos para a equação m + 6 = 5.
Figura 13: Resposta do aluno [T110] para a equação 2b - 30 = 0
Figura 14: Resposta do aluno [T212] para a equação 2b − 30 = 0
Figura 15: Resposta do aluno [T215] para a equação m + 6 = 5
Figura 16: Resposta do aluno [T113] para a equação m + 6 = 5
73
A equação 8 = 6 − c foi resolvida corretamente por sete alunos e a
equação 10 + 4w = 5 por seis. As soluções corretas foram realizadas somente
por regras, como apresentado nas Figuras 17 e 18.
Figura 17: Resposta do aluno [T203] para a equação 8 = 6 − c
Figura 18: Resposta do aluno [T215] para a equação 10 + 4w = 5
A equação 2d + 10 = 60 foi resolvida corretamente por 16 alunos (nove
por regras, e sete por busca de valores que validassem a equação), como
apresentado nas Figuras 19 e 20, enquanto a equação + = não foi
resolvida corretamente por nenhum aluno, indicando, provavelmente, que o fato
desta ser uma equação contendo fração pode ter sido um fator agravante de
dificuldade.
Figura 19: Resposta do aluno [T211] para a equação 2d + 10 = 60
Figura 20: Resposta do aluno [T217] para a equação 2d + 10 = 60
74
Colocamos, no instrumento 1, duas equações quadráticas de avaliação
para que pudéssemos verificar quais seriam os possíveis meios de resolução
adotados por esses alunos, obtendo, desse modo, pelo menos uma das raízes
corretas para as equações. Na equação w² = 9 sete alunos (dois por
procedimentos matemáticos e cinco por busca de valores que validassem a
equação) encontraram uma raiz; na equação (m + 1)² = 4, treze alunos
encontraram uma raiz e o fizeram por substituição. Nenhum aluno resolveu
usando regras. As formas de resolução adotadas pelos alunos estão
representadas nas Figuras 21, 22 e 23.
Figura 21: Resposta do aluno [T109] para a equação w² = 9
Figura 22: Resposta do aluno [T120] para a equação w² = 9
Figura 23: Resposta do aluno [T120] para a equação (m + 1)² = 4
As equações quadráticas foram desenvolvidas, em sua maioria, por busca
de valores que validassem a equação. Essas equações fizeram parte do
instrumento 1 para que pudéssemos observar quais seriam os procedimentos
adotados pelos alunos, mas não foram decisivas no momento da seleção dos
alunos que participariam da segunda parte da nossa pesquisa.
75
Acreditamos que apenas as resoluções das equações talvez não fossem
suficientes para compreendermos a forma de resolução adotada pelos alunos,
por isso pedimos que eles justificassem a forma como pensaram ao resolver as
equações ou o porquê de não conseguirem resolvê-las. Porém, isso não foi de
grande valia, pois as justificativas apresentadas pelos alunos foram do tipo
“descreveu os procedimentos”, “não justificou”, “foi assim que aprendi”, “pensei
desse jeito”, “não sei resolver”, “não resolvi porque tinha fração” e essas
justificativas não demonstram se os alunos sabem só os procedimentos ou
também os conceitos, por este motivo, consideramos apenas a forma como os
alunos resolveram as equações lineares.
Após as análises das resoluções pertencentes ao primeiro instrumento,
selecionamos seis alunos pertencentes à turma T1, sendo dois alunos que
resolveram por regras e quatro alunos que resolveram tanto por regras quanto
por substituição, o que denominamos resolução mista, e quatro alunos da T2
(dois somente por regras e dois por regras e substituição), totalizando dez
alunos que participariam da segunda fase da nossa pesquisa. Selecionamos os
alunos que sabiam resolver as equações lineares para vermos quais seriam os
procedimentos adotados por eles na resolução das equações quadráticas do
segundo instrumento de coleta de dados, e se, diante dessas resoluções,
haveria evidências de um corte didático na passagem de resolução de lineares
para quadráticas.
A principal característica tomada como critério de seleção dos sujeitos
para a segunda fase da pesquisa foi a utilização correta de procedimentos de
resolução de equações lineares. Os alunos selecionados não acertaram todas
as equações, mas demonstraram conhecimentos dos procedimentos que
deveriam ser adotados nas resoluções das lineares. Dos alunos selecionados,
três resolveram corretamente as equações quadráticas pertencentes a esse
primeiro instrumento de coleta de dados.
76
Organizamos os dez alunos em quatro grupos cujas características de
resolução adotadas, nas equações lineares, foram semelhantes: regras
(procedimentos matemáticos) ou misto (regras e avaliação, por intermédio de
busca de valores que validem a equação). A divisão dos grupos foi feita da
seguinte forma: dois grupos com dois componentes, um de cada turma (T1 e
T2), e dois com três componentes, sendo um grupo com dois componentes
pertencentes a T2 e um a T1 e outro grupo com os três componentes
pertencentes a T1.
3.3 INSTRUMENTO 2: AS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS E A ENTREVISTA
REFLEXIVA SEMI-ESTRUTURADA
Nosso objetivo, com esse segundo instrumento de coleta de dados, é
compreender quais são os procedimentos utilizados pelos alunos ao resolverem
as equações quadráticas, sem terem conhecimento prévio sobre esse conteúdo-
pois ele é visto no 9º ano- e verificar a existência ou não de um corte didático
das equações lineares para as quadráticas. Para isso, após analisarmos as
respostas dadas pelos alunos das duas turmas do 8º ano, nas equações
pertencentes ao primeiro instrumento, selecionamos, dos 40 alunos que
participaram da primeira fase, dez alunos e os subdividimos em grupos com
características semelhantes de resolução, por regras (procedimentos
matemáticos) ou misto (regras e avaliação, na qual o aluno faz a substituição de
valores que transformam a equação em verdadeira).
Assim como Filloy e Rojano (1989), que em sua pesquisa selecionaram os
sujeitos que sabiam resolver equações aritméticas, para identificar dificuldades
77
na transposição dessas equações para as equações não-aritméticas,
selecionamos os alunos que sabiam resolver as equações lineares para vermos
se, diante das equações quadráticas, haveria um corte didático na passagem da
resolução de lineares para quadráticas. Na seleção dos alunos para essa
segunda fase da pesquisa utilizamos como critérios, a forma de resolução que
eles adotaram nas equações lineares e a quantidade de acertos que estes
tiveram.
Cabe reafirmar que o fato de esses sujeitos terem ou não resolvido as
equações quadráticas pertencentes à primeira coleta de dados não influenciou
na seleção dos mesmos, pois colocamos essas equações para termos noção de
como os alunos se comportariam diante delas, sem prejuízo de seleção. Porém,
apesar de não servirem para a seleção, estas equações foram importantes para
termos conhecimento da postura dos alunos diante destas.
A aplicação do instrumento 2, intitulado “As equações quadráticas e a
entrevista reflexiva semi-estruturada”, contendo quatorze equações quadráticas,
foi realizada no fim do segundo semestre, em dias diferentes para os quatro
grupos. Esta aplicação teve duração aproximada de duas horas para cada
grupo. As equações quadráticas, pertencentes ao segundo instrumento, foram
elaboradas contemplando características dos Três Mundos da Matemática
(corporificado, simbólico e formal) bem como a classificação que usamos de
equação de avaliação e de manipulação e, desse modo, as equações já
estavam prontas antes de selecionarmos os sujeitos que participariam dessa
segunda fase.
A aplicação desse segundo instrumento foi realizada por meio de
entrevistas reflexivas semi-estruturadas. A entrevista reflexiva, segundo Yunes e
Szymanski (2005, p.1), é “um método dinâmico e interativo para obtenção de
informações”, permitindo-nos compreender o que está emergindo das
discussões dos componentes dos grupos durante a resolução das equações
quadráticas, pertencentes a esse segundo instrumento de coleta de dados. A
78
entrevista semi-estruturada é aquela em que o pesquisador possui um roteiro
básico, que pode ser extrapolado. Isso indica que o mesmo não precisa ser
aplicado rigidamente, mas permite que o pesquisador faça as adaptações que
julgar necessárias.
A escolha pela entrevista reflexiva semi-estruturada foi feita pelo fato de
existir a possibilidade de interagirmos com os sujeitos da pesquisa, organizados
em grupos, e questionarmos as formas de resolução apresentadas para as
equações, questionando sobre os procedimentos utilizados, buscando
compreender as motivações para usar este ou aquele processo de resolução, no
decorrer das discussões emergidas nos grupos, possibilitando-nos a análise dos
procedimentos utilizados por estes sujeitos no momento em que cada um
expunha suas idéias e formas de raciocinar para os colegas de grupo. Essas
entrevistas foram áudio-gravadas para que pudéssemos, após as atividades em
grupo, compreendermos e identificarmos características de resolução comuns a
todos os grupos.
Selecionamos quatorze equações quadráticas, divididas em dez de
avaliação, apresentadas no Quadro 4: Equações Quadráticas de Avaliação, e
quatro de manipulação, apresentadas no Quadro 5: Equações Quadráticas de
Manipulação. Nove equações de avaliação têm como solução números inteiros e
uma um número racional, enquanto das quatro de manipulação, duas possuem
como solução número inteiro, uma um número racional, e uma irracional. A
opção por essas equações deve-se ao fato dos alunos não terem conhecimento
das resoluções das equações quadráticas, pois este não faz parte do conteúdo
programático do 8º ano. Acreditamos que as equações de avaliação seriam
resolvidas mais facilmente do que as equações de manipulação; por este
motivo, o instrumento 2 apresenta uma quantidade maior de equações de
avaliação do que as de manipulação.
79
Quadro 4: Equações Quadráticas de Avaliação
Quadro 5: Equações Quadráticas de Manipulação
Acreditamos que os alunos encontrariam um meio de resolver as equações
quadráticas de avaliação e as de manipulação sendo a segunda desenvolvida
provavelmente, segundo a pesquisa de Lima (2007), inicialmente, por métodos de
resolução adotados nas equações lineares, pois essa resolução pertence aos “já-
encontrados” deles.
80
3.3.1 Gerenciamento das equações quadráticas
Os dez alunos selecionados para a segunda fase desta pesquisa foram
organizados em quatro grupos denominados A, B, C e D, divididos em três
componentes nos grupos A e D e dois nos grupos B e C para participarem da
entrevista reflexiva semi-estruturada, que foi aplicada pela pesquisadora no
contra turno19 das aulas dos alunos e com duração aproximada de duas horas
cada entrevista. Nosso objetivo, nesse segundo instrumento, era analisar como
esses grupos agiriam diante de equações quadráticas, quais seriam os
procedimentos utilizados e quais discussões emergiriam entre os componentes
dos grupos. Por este motivo, cada grupo foi entrevistado isoladamente, para que
as discussões e as conclusões de um grupo não interferissem nas dos outros
sendo as entrevistas áudio-gravadas.
Para a montagem dos grupos, unimos os alunos selecionados diante das
características semelhantes de resolução usadas nas equações lineares,
pertencentes ao instrumento 1 “Equações lineares e quadráticas”, pois alguns
estudantes resolveram as equações buscando valores que validassem as
equações, trocando a incógnita pelo valor que transforma a equação em
verdadeira, como feito pelo aluno [T113] na equação m + 6 = 5 (Figura 24), que
chamamos de “substituição”, enquanto outros utilizaram “regras”, usando
procedimentos matemáticos, indicando que procuraram resolver seguindo um
roteiro de resolução conhecido por eles, como realizado pelo aluno [T116] na
equação 2d + 10 = 60 (Figura 25).
19
Fora do horário de aula na qual o aluno está matriculado.
81
Figura 24: Resolução por "substituição” realizada pelo aluno [T113] para a equação m + 6 = 5
Figura 25: Resolução por "regras" realizada pelo aluno [T116] para a equação 2d + 10 = 60
Organizamos os dez alunos selecionados em quatro grupos (A, B, C e D)
com características próprias para que pudéssemos identificar semelhanças e
diferenças no processo de resolução das equações quadráticas em cada grupo.
Nas análises que faremos diante das respostas dadas às equações
pertencentes ao instrumento 2, verificaremos se esses alunos resolvem com
procedimentos semelhantes aos que usaram para resolver equações lineares.
O grupo A, composto por três alunos (um da T1 e dois da T2) e o grupo C
por dois (um da T1 e um da T2), foram formados por sujeitos que possuíam as
mesmas características de resolução (“regras”), procedimentos matemáticos. É
importante ressaltar que todos os componentes desses grupos não resolveram
nenhuma equação do primeiro instrumento por “substituição”. Os demais grupos,
B e D, compostos por dois alunos (um da T1 e um da T2) e três alunos (todos da
T2) respectivamente, foram formados por alunos que apresentaram como
características de resolução “regras” e “substituição”. Esses grupos foram
denominados por nós como grupos mistos, pois utilizaram duas formas de
resolução para as equações lineares. Acreditamos que formar um grupo misto
82
poderia trazer discussões interessantes sobre os procedimentos que esses
alunos encontrariam para resolverem as equações quadráticas, evidenciando
características dos três mundos da matemática.
Ao entregarmos as equações quadráticas aos grupos, foi explicado que
eles procurassem resolvê-las da melhor maneira que conseguissem, sempre
com o objetivo de chegarem a uma conclusão sobre o valor da incógnita.
Também foi dito que não nos focaríamos em observar se as respostas dadas por
eles eram certas ou erradas, mas sim que estávamos interessados em
compreender como eles buscavam soluções para um assunto do qual eles não
tinham conhecimento prévio.
Nessa segunda fase da nossa pesquisa, foram entregues aos grupos as
quatorze equações, uma de cada vez, em uma ordem que consideramos ser de
crescente dificuldade, para que pudessem resolver sem se preocupar com a
quantidade de questões que seriam apresentadas a eles nem com as
dificuldades que poderiam apresentar, podendo haver uma desestimulação por
parte dos integrantes dos grupos. Não foi determinado, previamente, nenhum
redator dentro do grupo, porém cada um adotou uma forma de registro das
respostas. Enquanto em um grupo uma única pessoa assumiu o lápis e o papel,
registrando as respostas das equações diante das discussões de resoluções,
em outro, a folha passava pelas mãos de todos, conforme a necessidade de
anotação dos procedimentos adotados. Somente a folha com a equação ficou
em poder dos alunos do grupo, não existindo nenhuma folha de rascunho, o qual
era feito, conforme a necessidade, na própria folha de resolução. Optamos pelos
grupos rascunharem na mesma folha das equações para evitar que alguns
componentes buscassem soluções individualmente para as equações, sem
verificarem se os procedimentos adotados no desenvolvimento das equações
seriam compartilhados pelos demais componentes do grupo.
Para a entrevista, organizamos e caracterizamos os sujeitos selecionados
em grupos como descrito na Tabela 2.
83
Grupos
Características
A
Predileção pelos procedimentos (regras)
B
Resolveram por procedimentos e substituição (misto)
C
Predileção pelos procedimentos (regras)
D
Resolveram por procedimentos e substituição (misto)
Tabela 2: Organização e características dos grupos
No decorrer da entrevista, foram feitas algumas perguntas com o objetivo
de elucidar as dúvidas quanto ao uso de um procedimento específico de
resolução, tais como “Como vocês resolveram?”, “Vocês estavam tentando por
distributiva?”, “Qual a outra forma [de resolução] que vocês utilizaram?” ,
“Existiria outro valor além de quatro? Algum valor negativo?”, “Existe algum
outro valor para x?”, “Algum número fracionário? Ou negativo?”, dentre outras. A
partir dessas perguntas, buscamos compreender as motivações de o grupo ter
adotado essa ou aquela resolução como válida. As perguntas da entrevista,
apesar de pertencerem a um roteiro básico, podem ser extrapoladas conforme a
necessidade de maiores esclarecimentos e/ou informações a respeito dos
procedimentos adotados pelos grupos. As intervenções ocorridas na entrevista
foram feitas com o intuito de compreender as motivações que levaram os alunos
a pensarem na forma de resolução que usaram para resolver cada questão.
Acompanhamos a resolução de cada uma das equações, pedindo aos
alunos que explicassem os motivos pelos quais adotaram essa solução. As
conversas e as atitudes gestuais dos grupos selecionados foram observadas e
as discussões áudio-gravadas para que pudéssemos analisar os procedimentos,
as reflexões, as divergências e as concordâncias utilizadas por estes, e,
posteriormente, transcritas e analisadas à luz do quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática.
84
3.3.2 Procedimentos de análise dos dados
Para analisarmos os dados coletados, faremos uma discussão dos
procedimentos adotados pelos grupos em cada equação, comparando esses
procedimentos usados nas equações quadráticas com os adotados por esses
mesmos alunos nas equações lineares, observado se a predileção pela forma de
resolução se mantém, e também como os alunos resolverão as equações de
avaliação e as de manipulação, buscando evidências de um corte didático entre
as equações lineares e as equações quadráticas.
Após o levantamento dos tipos de respostas, faremos uma classificação
que será analisada à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática,
identificando quais características de resolução emergem das discussões dos
grupos, e quais características dos Três Mundos da Matemática surgem nas
resoluções das equações quadráticas. Por fim, analisaremos semelhanças e
diferenças nas resoluções das lineares e das quadráticas na busca da
existência de um corte didático entre as equações lineares e as equações
quadráticas.
Essa análise, que será apresentada no Capítulo 4, teve como objetivo
identificar as características dos Três Mundos da Matemática (corporificado,
simbólico e formal), presentes nas resoluções dos grupos, com o intuito de
analisar como eles trabalham com equações quadráticas, tendo conhecimentos
das resoluções das equações lineares, bem como, a verificação da existência de
um corte didático das equações lineares para as quadráticas, por meio de
semelhanças e diferenças no processo de resolução das mesmas.
85
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DOS DADOS
Neste capítulo, responderemos às perguntas norteadoras de nossa
pesquisa
Quais são os procedimentos de resolução que alunos de 8º ano utilizam
ao resolverem as equações quadráticas, sem terem prévio conhecimento
do conteúdo?,
Quais características dos Três Mundos da Matemática surgem na
resolução das equações quadráticas? e
É possível caracterizar um Corte Didático na transição das equações
lineares para as equações quadráticas? ,
Para isso, apresentamos a análise dos dados coletados com as
entrevistas, feita à luz dos Três Mundos da Matemática, observando os
procedimentos utilizados pelos componentes dos grupos e as justificativas
dadas por eles. Procuramos também identificar os “já-encontrados” usados
pelos estudantes durante as entrevistas.
A análise foi feita a partir da transcrição das entrevistas reflexivas semi -
estruturadas, nas quais os grupos descreveram a forma como resolveram as
equações. Buscamos, em posse desses dados, identificar características dos
Três Mundos da Matemática na primeira vez que esses alunos trabalharam com
equações quadráticas.
86
4.1 ANALISANDO AS RESOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
A análise das resoluções apresentadas por estes alunos para as
equações quadráticas será apresentada por conjuntos de equações cujas
características de resolução adotadas pelos grupos consideramos semelhantes.
Os grupos adotaram formas parecidas de resolução em algumas equações, com
diferenças em alguns procedimentos, o que será explorado no decorrer da
análise.
Durante a resolução das equações, houve diversas discussões e
divergências por parte dos componentes dos grupos quanto à forma de
resolução que deveriam adotar. Em alguns momentos, os alunos não chegavam
a um consenso, sendo necessária a releitura da questão e a comparação com a
forma de resolução das equações lineares. Essas comparações surgiram dos
próprios elementos dos grupos; a pesquisadora interveio apenas com
questionamentos sobre os procedimentos usados por eles, na tentativa de
compreender a forma de resolução utilizada pelos alunos sujeitos da pesquisa.
As primeiras equações foram resolvidas mais rapidamente, talvez pelo
fato de serem equações de avaliação incompletas, o que pode ter facilitado o
trabalho dos grupos na busca de valores que satisfizessem a igualdade. As
últimas, categorizadas por nós como equações quadráticas de manipulação e
completas, foram resolvidas com mais dificuldade; provavelmente não somente
pelo fato de serem de manipulação e exigirem o manuseio da incógnita, mas
também por serem diferentes das equações que os componentes dos grupos
conheciam.
87
4.2 EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO
As equações que classificamos como de avaliação foram classificadas
dessa forma pela natureza das equações. Porém, o indivíduo não precisa
obrigatoriamente vê-la com essa característica, isto é: apesar dessas equações
estarem classificadas como avaliação, o aluno pode resolvê-las como se fossem
de manipulação.
Havia dez equações de avaliação dentre as equações apresentadas aos
alunos. Nessa seção, analisaremos os procedimentos usados pelos grupos para
resolvê-las.
4.2.1 Equações e
Os grupos A, B e D desenvolveram as equações e de forma
similar às apresentadas nas Figuras 26 e 27, enquanto o grupo C avaliou de
forma diferente dos outros grupos, como pode ser visto na Figura 28 e Figura
29.
88
Figura 26: Resposta da equação x² = 9 apresentada pelo grupo A
Figura 27: Resposta da equação 4 = x² apresentada pelo grupo D
Figura 28: Resposta da equação x² = 9 apresentada pelo grupo C
Figura 29: Resposta da equação 4 = x² apresentada pelo grupo C
Nas respostas apresentadas, observamos que os grupos A, B e D
resolveram as equações e , avaliando e procurando um valor que
satisfizesse a igualdade, tal como apresentado nas Figura 26 e Figura 27,
enquanto o grupo C resolve utilizando procedimentos, como a extração da raiz
quadrada, encontrando a raiz positiva, e o conceito de potenciação para
encontrar a raiz negativa, como apresentado nas Figura 28 e Figura 29.
Podemos observar que os alunos, ao buscarem meios de resolver essas
equações, cometem alguns erros. Primeiramente, podemos destacar os erros de
notação, considerando que os alunos não colocam parênteses para mostrar que
89
estão, por exemplo, elevando ao quadrado como na Figura 29. Além desse
tipo de erro, os alunos também cometem erro conceitual ao extraírem a raiz
quadrada de ambos os membros da equação, e encontrarem que é igual a 2
(Figura 29). Ao extrair a raiz quadrada de , os alunos deveriam chegar ao
resultado no primeiro membro, e 2 no segundo, resultado da extração da raiz
quadrada de 4. De nossa experiência como professora, percebemos tanto em
sala de aula quanto em observação em livros didáticos, que talvez, não
é um conhecimento que esses alunos tenham. Dessa forma, tal erro conceitual
aparecerá durante toda a coleta de dados, e por isso mesmo, não estaremos
continuamente repetindo que ele ocorre. Percebemos, então, que “desfazer as
operações” no caso da extração da raiz quadrada, incorre um erro conceitual, e,
talvez, não seja adequada para a resolução de equações quadráticas.
Na equação , os grupos A, B e D, ao encontrarem a raiz positiva,
aparentemente, se dão por satisfeitos e não procuram outra raiz. Nas
entrevistas, quando foi questionado aos componentes dos grupos A, B e D se
haveria outra solução para esta equação, estes, após pensarem durante alguns
instantes, concluíram que não, porém sem apresentar nenhuma justificativa,
como visto no trecho da entrevista20 do grupo A.
A02: Então.... x² = 9 e como não tem nenhum número antes do x... A03: o quê? [Todos falam ao mesmo tempo e eles próprios não conseguem se entender nesse momento] A02: Não... fala aí...repete. A03: Eu acho... não sei também. Vamos pela lógica? A02: E qual que é a lógica? A03: Talvez o 3 [O grupo pára para pensar na questão] A02: Não... vamos pelo raciocínio lógico mesmo... Então o x é três. Três vezes três... P: Existe outro número que satisfaça essa equação, ou somente o três satisfaz? A02: Somente o três. P: Então somente o número três satisfaz a equação? A03: é...
(Trecho da entrevista com o grupo A, para a equação x² = 9)
20
Nas apresentações dos trechos das entrevistas, a fala dos alunos será indicada por uma letra e um número, em que a letra refere-se ao grupo do qual o aluno faz parte, e o número refere-se ao aluno dentro do grupo, por exemplo, A01 refere-se ao aluno 1 pertencente ao grupo A. P refere-se à fala da pesquisadora.
90
Como podemos ver na fala do grupo A durante a entrevista, ao ser
perguntado se haveria outro valor que satisfizesse a equação, A02 responde
que “somente o 3 satisfaz a condição”, referindo-se ao fato de que, na visão do
grupo, somente o 3 valida a equação. Diferentemente dos outros grupos, o
grupo C admite duas soluções para a equação (3 e −3), mostrando, talvez, que
os componentes do grupo percebem que a equação pode ter duas raízes,
apesar desta ser encontrada, novamente, com erros de notação referenciados
acima, sobre o não uso dos parênteses ao se elevar um número negativo ao
quadrado.
Na análise da equação , os componentes dos grupos A e B mantêm
a mesma postura de admitir somente uma raiz como verdadeira. Com os
componentes do grupo D, ocorre uma mudança de postura, pois eles parecem
perceber que poderia existir outro valor que satisfizesse a igualdade, como visto
na Figura 30 e no trecho da entrevista.
D01: Essa aí dá dois! D02: pode ser também, é..., −2. D03: é, pode ser −2. Menos com menos dá mais. D02: é. P: Qual valor vocês encontraram? D01: 2 e −2 P: Nenhum outro número? ... D01 e D02: acho que só esses! P: Como vocês encontraram esses dois números? D03: Bom, dois vezes dois dá quatro e −2 com −2 também dá quatro, então são só esses números.
(Trecho da entrevista com o grupo D, para a equação )
Na Figura 30, podemos ver que o grupo D admite que a equação pode ter
duas raízes, uma positiva e outra negativa, confirmada no trecho da entrevista
apresentado, na fala do aluno D03 “pode ser −2... menos com menos dá mais”.
91
Figura 30: Resposta da equação apresentada pelo grupo D
A forma de resposta apresentada pelo grupo C, nas duas equações, é
diferente das apresentadas pelos outros grupos, pois este resolve desfazendo
as operações, como podemos verificar na Figura 31 e no trecho da entrevista,
citado a seguir.
Figura 31: Resposta da equação apresentada pelo grupo C
C01: x² = 9. C02: 3 ao quadrado. 3 ao quadrado é nove. C01: ahã...[concordando] C02: Porque o inverso do quadrado é a raiz e raiz quadrada de 9 é 3 P: Qual valor vocês encontraram? C01: x é igual a 3 P: Como vocês encontraram a resposta? C01: Fizemos o inverso do quadrado... aí encontramos o número 3, pois a raiz de 9 é 3. P: Existe outro valor, negativo ou fracionário que satisfaça a equação? C02: o −3
(Trecho da entrevista com o grupo C, para a equação x² = 9)
Na Figura 31, podemos verificar que o grupo resolve a equação x² = 9
desfazendo a operação quando faz “x = 9, x = ”, confirmada no trecho da
entrevista, quando C02 diz “o inverso do quadrado é a raiz quadrada”. Porém,
no ato de “desfazer” as operações nas equações quadráticas , o aluno acaba por
92
cometer o mesmo erro conceitual relacionado à , como já descrito na análise
das equações e , caracterizando dificuldades relacionadas ao
mundo formal.
Este é o único grupo que assume, nas duas equações, duas raízes como
solução. A nós parece que os componentes do grupo começam a compreender
que equações quadráticas possuem duas raízes, e já utilizam alguns
procedimentos de resolução justificando esse uso por justificativas, tais como
“−2 ao quadrado é quatro também”.
Na entrevista, quando questionados se poderia existir outra raiz como, por
exemplo, negativa ou fracionária para a equação , os componentes do
grupo C respondem que essa seria o −2. Mesmo que incorretamente, o grupo
percebe uma raiz, por intermédio de busca de valores, fazendo alguma
avaliação. Talvez o questionamento feito pela pesquisadora possa ter
influenciado na busca de duas raízes como solução, mas estes alunos parecem
perceber que, de alguma forma, a equação pode assumir dois valores. Para
confirmar sua resposta, o grupo substituiu o valor −2 na incógnita, apesar de
cometer erros de notação, como vemos no trecho da entrevista abaixo e na
Figura 32:
C02: é a mesma coisa. [referindo-se a equação ] C01: como assim? C02: vai dar 2 e −2... A raiz quadrada de 4 é 2. C01: certo. C02: e −2 ao quadrado é quatro também C01: ahã... P: Então quais valores vocês encontraram? C02: 2 e −2 P: Existe alguma outra solução? Um número fracionário? C02: não... [O aluno C01 concorda acenando com a cabeça]
(Trecho da entrevista com o grupo C, para a equação )
93
Figura 32: Resposta da equação 4 = x² apresentada pelo grupo C
“Já-encontrados”
Nas resoluções apresentadas, podemos observar que os alunos utilizam
como “já-encontrados” os conceitos de potenciação e raiz quadrada, regras de
sinal, multiplicação de números inteiros positivos e negativos e o encontro de
uma única raiz (um único valor que satisfaça a equação mesmo que por
procedimentos errôneos) esta justificada, talvez, pelo fato de os alunos
possuírem somente conhecimentos relacionados a equações lineares.
Os componentes do grupo C apresentam resoluções diferentes daquelas
apresentadas pelos demais grupos, pois utilizam os conceitos de extração de
raiz quadrada, enquanto os grupos A, B e D utilizam os conceitos de regra de
sinais de inteiros e multiplicação de números inteiros positivos e negativos ,
porém, a multiplicação de inteiros negativos só ocorre no grupo D na equação
, diferentemente do que fizeram os grupos A e B, que multiplicaram os
inteiros positivos.
94
4.2.2 Equações
Os grupos A, B e D resolveram a equação de forma similar à
apresentada na Figura 33, enquanto o grupo C resolveu como podemos ver na
Figura 34. Nas equações , os grupos A e D resolveram
de forma semelhante às Figuras 35 e 36 e os grupos B e C resolveram de forma
similar às Figura 37 e Figura 38.
Figura 33: Resposta da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo A
Figura 34: Resposta da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo C
Figura 35: Resposta da equação x² − 25 = 0 apresentada pelo grupo A
Figura 36: Resposta da equação x² - 4 = 12
apresentada pelo grupo A
95
Figura 37: Resposta da equação x² − 25 = 0 apresentada pelo grupo B
Figura 38: Resposta da equação x² - 4 = 12 apresentada pelo grupo C
Os grupos A, B e D apresentaram respostas similares para a equação
. Esses grupos resolveram avaliando, procurando um valor que
validasse a equação (Figura 33), enquanto o grupo C resolveu avaliando de
forma diferente da apresentada pelos outros grupos, utilizando conceitos de
operação inversa, no caso, raiz quadrada e subtração (Figura 34), repetindo a
forma de raciocinar utilizada nas equações anteriores ( e ).
Observamos novamente que os erros relacionados à extração da raiz quadrada
de permanecem, sendo recorrentes em algumas equações.
96
Na resposta da equação , o grupo B tentou resolver
inicialmente por “distributiva”21: distribuíram o expoente como se fosse uma
multiplicação por 2, obtendo , então resolveram como se fosse uma
equação linear, isolando a incógnita x, ficando , resultando em .
Ao perceberem que não daria certo (na concepção deles), buscaram solução
para a equação avaliando de forma diferente, procurando um valor que
satisfizesse a equação, como podemos observar na Figura 39 e no trecho da
entrevista:
Figura 39: Resposta da equação apresentada pelo grupo B
B01: (x + 3)² = 49 B02: Podemos resolver por distributiva. B01: Como? B02: Assim ó. [o aluno liga os valores dentro dos parênteses com a potência 2]. B01: Mas não vai dar certo. Não dá para resolver assim. B02: Vamos usar o raciocínio. P: Vocês conseguiram usar a distributiva? B02: Não. P: Por quê? B01: Porque não podemos distribuir a potência. P: Como assim? B01: Não podemos colocar a potência em cima do x e do 3, temos que fazer de outro jeito. P: De que jeito? B02: Acho que repetindo os parênteses. Vai ficar mais difícil. P: Então de que jeito vocês irão resolver? B01: Usando o raciocínio mesmo. P: ok. [apagam o que tinham feito anteriormente]
21
Atribuímos o nome “distributiva” porque foi assim que os sujeitos do grupo justificaram sua forma de
pensar.
97
B02: Bom, acho que o valor é o 4. B01: É. 4 + 3 é 7, e 7 ao quadrado é 49. [escrevem a conta na folha e verificam, por meio de substituição, se o valor é o correto] P: Então qual o valor que vocês encontraram para o x? B02: valor 4. P: Teria outro valor além do quatro? Algum valor negativo? B02: Poderia ser o -10, mas aí ficaria -7 e o resultado seria -49. B01: Então não tem. É só o 4 mesmo. P: Qual é a resposta então? B01: Somente o 4
(Trecho da entrevista com o grupo B, para a equação (x + 3)² = 49)
Pela entrevista, podemos observar que o grupo tenta resolver por um
processo semelhante à distributiva, isto é, “distribuindo” o expoente para os
termos dentro dos parênteses. Porém, percebendo que esse procedimento não
estaria correto, utiliza o conceito de potenciação e justifica que o processo
deveria ser escrever a multiplicação e multiplicar estes fatores.
Segundo a fala do aluno B02, esse procedimento seria mais difíc il, talvez pelo
fato de ter que trabalhar com a multiplicação entre os parênteses, então o grupo
decide resolver analisando e buscando um valor que satisfizesse a equação, o
que eles chamaram de “usando o raciocínio”.
O grupo C resolve a equação extraindo a raiz quadrada em
ambos os membros. Esse procedimento não é claro no protocolo de resposta da
equação (Figura 40), mas foi explicitado na entrevista, durante a resposta da
mesma.
Figura 40: Resposta da equação (x + 3)² = 49 apresentada pelo grupo C
[C01 e C02 parecem pensar um pouco antes de resolver a equação]
98
C02: quase a mesma coisa [referindo-se a equação 4 = x²]. Tirando a raiz... C01: Encontramos o valor 4. P: Vocês chegaram ao resultado? C02: Sim. x = 4 P: Como chegaram ao valor 4? C02: Se tirarmos a raiz quadrada no dois lados, vamos ter x+3 igual à raiz de 49, que é 7! E aí passa o 7 pra lá e fica 7 − 3, que dá 4. Aí fica x = 4. P: tá jóia. E na concepção de vocês, vocês acham que existe outro número que satisfaça a condição? C01: não. (Trecho da entrevista com o grupo C, para a equação (x² + 3) = 49)
Na análise da equação podemos notar que apesar do grupo
D ter encontrado o valor correto da raiz (Figura 41), a forma de raciocinar do
grupo não foi correta, como apresentado no trecho da entrevista:
Figura 41: Resposta da equação apresentada pelo grupo D
D01: 4 D02: 4 vezes 4. D03: ...e dá 49? D01: 4 vezes 4 dá 16 D02: 4 vezes 4 dá 16 e tem que dar 49! P: Como vocês estão pensando em resolver essa equação? D03: um número mais três, vezes ele... D02: duas vezes ele! D03: duas vezes ele, que tem que dar 49. P: Ok. E vocês já o encontraram? D01: Acho que é o 7 D03: 7 mais 3 D01: não... D03: não vai dar. Vai dar 10 D02: Não, é tipo 33 mais...
99
D03: Não é não. Tem que ser um número mais 3, vezes esse número; duas vezes, é que vai dar 49 P: D02, você disse que é o 33, por que você pensou nele? D02: É tipo assim, 33 mais 3 elevado a 2 vai dar... agora já não sei.... [D02 rascunha algumas contas de multiplicação] D01: não! Tipo assim, 1 mais 3 D03: aí o resultado é 4. E 4 vezes 4... D01: e duas vezes 4... não vai dar, tem que ser mais ..... D02: 12 vezes 12 D03: não! Tem que somar 3... dá 15... não dá! D01: ...e 15 vezes 15 dá 30 D03: tem que ser maior, 19 vezes 19 [fazem a multiplicação e encontram como resultado 291] D02: vamos tentar com 17 D01: se deu alto, tem que ir baixando P: Encontraram o valor? D02: eu acho que tem que ser o 33 D01 e D03: Não, o valor é o 4. [D02 não discute e parece aceitar a resposta dos colegas] P: Qual número vocês respondem então? D02: O 4. P: Tem algum outro número que satisfaça a equação? D03: não.
(Trecho da entrevista com o grupo D, para a equação (x + 3)² = 49)
Durante a resposta da equação , os sujeitos do grupo
procuram valores que satisfaçam a equação, porém cometem erros de
multiplicação, tanto nos fatores ao multiplicarem as unidades e somarem as
dezenas, no caso de dois algarismos, quanto no conceito de potenciação ao
confundirem o expoente 2 com a multiplicação por dois, como por exemplo, na
fala do aluno D01, em que ele diz “15 vezes 15 dá 30”. No trecho da entrevista,
podemos perceber que os componentes do grupo não conseguem se entender
quanto à forma de resolução, o que não ocorreu nas equações anteriores
.
Observamos que, mesmo questionando os grupos se haveria outra raiz,
por exemplo, um número negativo ou fracionário, eles parecem resistentes a
procurarem e aceitarem outra raiz que satisfaça a equação, com exceção do
grupo C que, apesar de ter encontrado as duas raízes nas equações anteriores
, na equação não procuram outra solução.
Nessa equação, nenhum grupo encontra outra raiz, apesar de procurarem
outros valores.
100
Já na equação , houve uma mudança de resposta no grupo B,
pois os componentes desse grupo tentam resolver procurando um valor que
satisfaça a equação e usando o procedimento da raiz quadrada, como visto na
Figura 42 e no trecho da entrevista citado a seguir.
[B02 lê a equação] B01: x = 5, pois 5 ao quadrado é 25 P: Teria outro valor além de x = 5? Algum valor negativo ou fracionário? B02: Aqui é possível x= −5, pois menos com menos dá mais. B01: Então é possível ter negativos nos outros problemas. B02: Sim... Acho que teria dado certo.... B01: Você pensou no −5. Como seria? B02: Resolvendo a equação assim [tirando a raiz] eu não conseguiria chegar no menos cinco, mas se pensar... acho que é lógica. Não pensei nisso antes. P: Mas utilizando o pensamento você conseguiria chegar ao menos cinco também. Ou não? B02: Sim... é só substituir o −5 aqui [mostra a incógnita] e fazendo a conta...[faz a conta ao lado demonstrando seu raciocínio] B01: É, −5 vezes −5 dá 25, pois menos com menos é mais, aí daria 25 e 25 menos 25 é zero. P: Então vocês acham que esta equação tem duas respostas: 5 e −5? B01 e B02: Sim.
(Trecho da entrevista com o grupo B, para a equação )
Figura 42: Resposta da equação apresentada pelo grupo B
Enquanto nas equações anteriores o
grupo B admitiu somente uma raiz e resolveu buscando um valor que
satisfizesse a equação, nessa o grupo utilizou conceitos de raiz quadrada,
101
verificando a resposta por meio da substituição do valor 5 na equação,
admitindo duas raízes como verdadeiras.
O grupo C mantém a mesma postura adotada nas equações anteriores,
utilizando os procedimentos de raiz e certificando-se de que a raiz satisfaz a
equação. Os grupos A e D continuam avaliando, buscando um valor que
satisfaça a equação, como visto na Figura 35. Diferentemente do que ocorreu na
equação anterior, os componentes do grupo D encontram a raiz sem
apresentarem dificuldades, como apresentado no trecho da entrevista e na
Figura 43.
D01: esse... esse tem que dar vinte e cinco! D02: cinco... D03: cinco vezes cinco dá vinte... D02 e D03: vinte e cinco! D01: isso! Só ele, vejam... P: encontraram o valor? D01: é cinco! Resolvido! P: cinco, certo. Tem algum outro valor? Negativo? Fracionário? D02: pode ser menos cinco também, eu acho... D01: não... senão acho que...não daria certo [escrevem a equação substituindo o 5 na incógnita x] D02: só esse? D03: coloca o menos cinco também. D01: Acho que não vai dar certo. D02: O x não pode ser negativo....ou pode? P: Vocês acham que o x não pode assumir um valor negativo porque não tem negativo aqui [referindo à incógnita x²], ou não tem nada a ver? D01: não tem nada a ver P: Então vocês acham que o x pode ser negativo mesmo sem o sinal de menos aqui? [mostrando a incógnita x²] D01: isso! Eu acho que pode ser negativo P: vocês querem tentar então? D01: com sinais iguais o resultado vai dar positivo! D02: mas aqui, olha, é cinco vezes cinco e vai dar vinte e cinco... D03: e vai somar. Vai ficar menos vinte e cinco D02: não vai dar! D01: então é só o cinco! D02 e D03: isso! P: chegaram a algum acordo? D01: sim! É só o cinco P: mais nenhum número? Fracionário ou negativo? D01, D02 e D03: não!
(Trecho da entrevista com o grupo D, para a equação )
102
Figura 43: Resposta da equação apresentada pelo grupo D
Ao receber a equação , o grupo D mostra certa segurança
para resolvê-la, diferente do que ocorreu na equação anterior .
Nessa equação, os componentes do grupo encontram uma das raízes e admitem
a possibilidade de haver uma outra raiz negativa, o que culmina com uma
tentativa de encontrá-la. Após encontrarem a raiz positiva, nesse caso o 5, os
componentes do grupo, em seguida ao questionamento da pesquisadora se
haveria outra raiz, tentam o −5, mas não admitem esse valor como raiz, apesar
do protocolo indicar que o grupo encontrou as duas raízes, mesmo com erro de
não colocar -5 entre parênteses. A justificativa é de que, na concepção do
grupo, esse valor não satisfaria a equação, porque na entrevista, o raciocínio do
grupo é de que a soma de dois valores negativos, gerará um valor diferente de
zero, o que não condiz, segundo eles, com a igualdade da equação.
Dos quatro grupos, somente o grupo A não busca outra raiz para a
equação, como podemos observar no trecho da entrevista abaixo:
P: E essa equação? A02: x² − 25... [A01 e A03 olham e parecem pensar na equação] A02: é o 5. [A01 e A03 concordam balançando positivamente a cabeça]
103
P: Por que vocês acham que o 5 é o valor procurado? A01: Porque 5 vezes 5 é 25 P: E você A03 concorda com isso? A03: Sim. 25 menos 25 é zero, então é o 5 mesmo P: Vocês acham que teria outro número além do 5? [o grupo fica em silêncio, aparentemente procurando outro valor] A02: Não. P: Então é somente o 5 que satisfaz a equação? A01: É.
(Trecho da entrevista com o grupo A, para a equação x )
Na resposta da equação , apesar de o termo independente
ser diferente de zero, os componentes dos grupos A e D avaliam da mesma
maneira que as equações anteriores, buscando uma raiz que satisfaça a
equação. Já os grupos B e C resolvem usando a extração da raiz, mantendo a
mesma forma de resposta adotada nas equações anteriores
. Somente os componentes dos grupos
B e C admitem duas raízes, como podemos ver na Figura 44 e no trecho da
entrevista abaixo:
Figura 44: Resposta da equação apresentada pelo grupo B
B01: B01: é o 2. 2 ao quadrado vale quatro. B02: −2 ao quadrado também é quatro B01: espera. Vamos isolar o x. Assim, olha. [B01 mostra para B02 como deveria ser isolado o x, descrevendo no ar a passagem do 4 para o segundo membro da igualdade] [B02 escreve o procedimento indicado por B01]
104
B01: 12 mais 4 dá 16 B02: E raiz de 16... Ah! Vale quatro! Quatro e menos quatro! B01: isso. P: Quais valores vocês encontram? B01: 4 e −4
(Trecho da entrevista com o grupo B, para a equação )
O grupo B resolveu a equação usando a extração de raiz
quadrada. Inicialmente, o grupo isolou a incógnita, assim como feito na equação
, para depois extrair a raiz do resultado da soma de 12 com 4.
Nessa equação o grupo B admitiu as duas raízes, mas não substituiu na
incógnita para se certificar, diferentemente do que fez na equação .
“Já-encontrados”
Nas equações analisadas, observamos que os grupos adotam, assim
como nas equações , os conceitos de potenciação, raiz
quadrada, regra de sinal, multiplicação de números inteiros. A diferença é que,
nessas equações, com exceção do grupo A, os demais grupos admitem, em
algum momento durante a resposta das equações, duas raízes como
verdadeiras, independentemente dos valores encontrados estarem corretos ou
não, o que não ocorreu nas duas primeiras equações analisadas.
Nas equações somente o grupo C utilizava conceitos de
extração de raiz quadrada e conceito de resoluções de equação lineares, como
visto no trecho da entrevista, “x + 3 igual à raiz de 49, que é 7! E aí passa o 7
pra lá e fica 7 −3, que dá 4. Aí fica x = 4”, nas equações
, o grupo B apresenta uma mudança de postura,
adotando também os “já-encontrados” de raiz quadrada. Os grupos A e D
continuam resolvendo de forma similar ao que faziam anteriormente, avaliando e
buscando valores que satisfaçam a equação.
Um “já-encontrado” que podemos apontar como fator de dificuldade foi
apresentado pelo grupo D, na ausência dos parênteses quando estes estavam
resolvendo a equação . Na análise da entrevista e dos protocolos da
105
equação , vemos que o grupo encontra a raiz −5 mas, no momento
de verificar se esta satisfaria a equação, não leva em conta que o valor deveria
estar entre parênteses, resultando na negação de uma segunda raiz, como
apresentado no trecho da entrevista:
D01: com sinais iguais o resultado vai dar positivo! D02: mas aqui, olha, é cinco vezes cinco e vai dar vinte e cinco... D03: e vai somar. Vai ficar menos vinte e cinco [referindo-se a soma de inteiros negativos] D02: não vai dar! P: Por que não vai dar? D02: Porque −25 com −25 dá −50 D01: então é só o cinco! D02 e D03: isso! P: encontraram o valor? D01: sim! É só o cinco P: mais nenhum número? Fracionário ou negativo? D01, D02 e D03: não!
(Trecho da entrevista com o grupo D, para a equação )
4.2.3 Equações
Podemos observar, nas análises dessas equações, que, apesar delas
apresentarem algumas características diferentes, como o termo independente
ser diferente de zero e a parte literal possuir coeficiente diferente de um, alguns
grupos mantiveram a característica de resposta semelhante à adotada nas
equações , o que não ocorre com
todos os grupos. Alguns grupos, no decorrer das resoluções das equações,
utilizam a extração de raiz quadrada e a aceitação de duas raízes como
resposta.
Os grupos A, B e D resolveram de forma semelhante às Figuras 45, 46 e
47, enquanto o grupo C resolve de forma diferente dos demais grupos, como
apresentado nas Figuras 48, 49 e 50
106
Figura 45: Resposta da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo A
Figura 46: Resposta da equação 4x² - 36 = 0 apresentada pelo grupo B
Figura 47: Resposta da equação 4x² - 25 = 0, apresentada pelo grupo D
Figura 48: Resposta da equação 3x² = 27, apresentada pelo grupo C
107
Figura 49: Resposta da equação 4x² - 36 = 0 apresentada pelo grupo C
Figura 50: Resposta da equação 4x² - 25 = 0 apresentada pelo grupo C
108
As análises das resoluções apresentadas para a equação
mostram que os grupos A, B e D avaliam-na, procurando valores que satisfaçam
a equação. O grupo B, não satisfeito apenas em encontrar a raiz da equação,
extrai a raiz quadrada de 9 para se certificar de que o valor encontrado é
realmente aquele desejado, admitindo somente uma raiz, o que não ocorreu nas
equações para as quais o grupo encontra duas raízes.
Enquanto nas equações os
componentes do grupo D conseguiam se entender nos processos de resposta,
na equação , eles aparentemente não percebem que 3² resulta em 9. O
grupo chega a discutir o valor 9 como solução da equação, mas, durante a
resposta da mesma, os componentes do grupo não conseguem se entender,
pois alguns acham que deveriam multiplicar primeiro o valor encontrado por 3
para depois fazer a potenciação do resultado da multiplicação, não chegando a
um consenso, como visto na Figura 51 e apresentado no trecho da entrevista.
D01: acho que podemos tentar alguns valores... D02: quais? D01: acho que o 9 dá certo. D03: acho que não vai dar [olham novamente para a equação, aparentemente resolvendo-a mentalmente] D01: não! Ó, é 3 vezes isso aqui que dá 27 [mostra para os colegas o x] D02: 3 vezes 6 D01: não! Ó! É 3 vezes esse número aqui que dá 27 [mostra novamente a incógnita x] D02: e como vamos resolver então? [D03 tira o lápis do D01 e escreve o número 3] D03: ó, você colocou 3 aqui, e aí vai ser 9. 3 vezes 9 que dá 27 D02: e o 2? D03: 3 vezes quanto, que vezes 2 que dá 27? D01: Tenta o número 1,2. [D03 faz a multiplicação de 1,2 por 3 e em seguida, multiplica o resultado 3,6 por 3,6, encontrando o resultado 12,96] D02: Não deu certo... Então o número deve ser maior. Tenta o 1,5. [o grupo faz a multiplicação com o novo valor encontrando c omo resultado 20, 25] P: Vocês conseguiram encontrar o valor? D03: Nós tentamos vários números, mas nenhum deu certo... D02: Eu acho que o número é 1,5. P: Porque você acha que é esse número? D02: Porque tem que ser um número maior que 1,2 e 1,5 é maior. P: Qual número vocês responderão? D01: Acho que o 9 e o 1,5.
(Trecho da entrevista com o grupo D, para a equação 3x² = 27)
109
Figura 51: Resposta da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo D
Durante a resposta dessa equação, observamos que dois componentes do
grupo parecem não compreender que a potência deve ser efetuada primeiro. O
aluno D03 encontra, mentalmente, o valor procurado, mas, ao tentar resolver a
equação, colocando no papel suas ideias de resposta, o grupo não consegue
resolvê-la, o que talvez possa ser justificado pelo fato dos alunos aparentarem
não compreender ou não se lembrar da ordem de resposta envolvendo
potenciação e multiplicação, fazendo com que estes tentem alguns números
110
sem chegarem a uma conclusão correta. Na Figura 51, observamos que o grupo
anota o número 3, logo na primeira linha de resposta, mas não o admitem como
resposta.
A postura de resposta do grupo A permanece a mesma. O grupo chega a
discutir se haveria outra solução para as equações, mas acaba admitindo
somente uma raiz, o número 3, como apresentado na Figura 52 e no trecho da
entrevista do grupo A:
Figura 52: Resposta da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo A
A02: 3x² = 27 [Cada aluno pertencente ao grupo parece analisar a equação] A02: Então... é o sete. A01: ou o 4. A02: talvez o 4... Que número ao quadrado dá 27? Se fosse o 3 aqui... [referindo ao x] A03: seria aqui... 3 vezes... A01 e A02: é... 3 vezes o número que é ao quadrado dá 27. A02: 3... 3 vezes 3, 9 A01: 9 vezes 9.... A03: 81. [O grupo parece refletir sobre os valores encontrados] A03: Ai.... é o 9. A01: É o 3. 3 ao quadrado é 9 e 3 vezes 9 é 27. A02: 3 vezes 3 não dá 27... é 29. A01: 3 vezes..... A02: utilizo o 3... A01: é
111
A02: 3 vezes 3... tem que multiplicar 3 vezes o x.. 3 vezes 3... A01: 9 A02: 9 ao quadrado... vai dar 81. A01: eu não to pensando assim.... A02: O x ao quadrado... o número.... Se fosse 9 daria. ... A02: O número aqui que multiplicado por 3 vezes x² dá 27. A01: que número ao quadrado... A02: que dá 27? A01: não... você entendeu o que eu falei? A02: não. A01: ó.... 3 vezes 3 ao quadrado é 27... [A01 pega a folha das mãos do colega e escreve sua forma de pensar]. 3 vezes 3 é... A02: 9. A01: 9 vezes 3 é igual a 27. Fica igual a 27. [A02 e A03 olham para a resposta encontrada e meneiam a cabeça positivamente] P: Vocês acham que exista outro número que satisfaça essa equação, como negativo ou fracionário? A02: negativo com negativo... multiplicando dá positivo... 3 negativo? 3 vezes 3.... vai dar 9, não é? A03: Menos 3, vezes.... A02: 3 vezes 3, vai dar o mesmo. Eu não sei se multiplicar negativo... A01: tem outro número negativo? A03: que dá 27? ... P: .... Na opinião de vocês, o x só pode ser, nessa equação o 3. A01, A02 e A03: é
(Trecho da entrevista com o grupo A, para a equação 3x² = 27)
Podemos observar, pelas discussões apresentadas na entrevista, que os
componentes do grupo analisam a equação mas não admitem duas raízes,
mesmo encontrando outro valor que satisfaça a equação, como podemos ver na
fala do aluno A02 “negativo com negativo... multiplicando dá positivo... 3
negativo?”.
O grupo C é o único grupo que admite duas raízes, como apresentado na
Figura 53 e na entrevista.
C01: 3x² = 27 C02: A gente tem que dividir o 27 por 3… C01: 27 dividido por 3... dá 9 [C01 escreve a divisão na folha] C02: a raiz de 9 é 3 C01: então o número é 3 e −3. P: Vocês acham que o x pode ser 3 positivo ou 3 negativo. Por que ele pode ser 3 positivo e 3 negativo? C01: por que o x é ao quadrado. E 3 vezes 3 é 9, e 9 vezes 3 dá 27 P: E no caso do 3 negativo?
112
C01: aí é o mesmo com −3 P: Como assim? C01: −3 vezes −3 é... C02: 9, aqui [mostra o valor no papel] P: 9 positivo ou negativo? C02: 9 positivo. O x é 3 e -3 (Trecho da entrevista com o grupo C, para a equação 3x² = 27)
Figura 53: Resposta da equação 3x² = 27 apresentada pelo grupo C
Nessa equação, 3x² = 27, o grupo C admite duas raízes, como nas
equações x = 9, 4 = x , (x + 3) = 49, x − 25 = 0, x − 4 = 12, resolvendo por
meio de procedimentos matemáticos, como a operação inversa da potenciação e
a extração de raiz, verificando a veracidade da raiz negativa encontrada, por
meio de substituição do valor encontrado na incógnita (Figura 53).
Para a equação 4x − 36 = 0, dois grupos admitem duas raízes, o B e o C,
enquanto A e D admitem somente uma raiz como resposta (o grupo A encontra
o valor correto), mesmo sendo perguntado se haveria outros valores que
satisfizesse a equação, apesar do grupo D ter admitido duas raízes nas
equações 4 = x² e x − 25 = 0. Diferentemente da postura adotada anteriormente
nas equações x² = 9, 4 = x², (x + 3)² = 49 e 3x² = 27, na equação 4x − 36 = 0 o
grupo B admite duas raízes, avaliando e buscando valores que satisfizessem a
equação, talvez pelo fato de ser perguntado ao término de cada equação se
haveria ou não outro valor que validasse a equação, como apresentado na
Figura 54 e no trecho da entrevista citado a seguir.
113
Figura 54: Resposta da equação apresentada pelo grupo B
[B01 e B02 olham para a equação, parecendo pensar sobre que valor substituir na incógnita] B01: 4 vezes quanto que dá 36? B02: 4 vezes seis...não. B01: é três B02: quatro vezes três é doze... B01: tem quadrado... é três ao quadrado... fica quatro vezes nove, que é trinta e seis. B02: ah! [B01 anota os valores discutidos] P: Vocês encontraram o valor de x? B01: É o três. P: Existe algum outro valor? Algum número fracionário? Ou negativo? B01: menos 3 B02: é! P: Por que vocês acham que é o −3? B01: Porque −3 vezes −3 é 9. P: Por que vocês escreveram , aqui em baixo? B02: ah... porque a gente encontrou o valor 3, então se 3 vezes 3 é nove, a raiz de 9 é três.
(Trecho da entrevista com o grupo C, para a equação )
Os componentes do grupo B, após encontrarem as raízes (3 e −3)
trabalham com a incógnita isolada, como se fosse uma equação quadrática cujo
coeficiente é um. O aluno B01 escreve e desenvolve-a encontrando os
valores das raízes, como visto na Figura 54. Podemos observar que após
resolverem algumas equações e serem questionados se haveria outra raiz, esse
grupo admite duas raízes, essa atitude pode ser influência da entrevista, isto é,
considerando que a pesquisadora recorrentemente perguntou aos alunos se
114
haveria outra raiz além da por eles encontrada em todas as equações
anteriores, o grupo acaba por admitir a possibilidade de existência de duas
raízes para as demais equações.
Na equação os grupos A e D não encontram a raiz que
satisfaça a equação, apesar de buscarem valores que acreditavam ser os
corretos. Os grupo B e C encontram as duas raízes, por formas diferentes de
avaliar, como veremos a seguir.
O grupo B encontrou as duas raízes, admitindo que estas possam ser
representadas tanto na forma decimal quanto na forma de fração, como
podemos ver na Figura 55 e no trecho da entrevista citado abaixo:
Figura 55: Resposta da equação apresentada pelo grupo B
115
B01: nossa! B02: quatro vezes quanto que dá vinte e cinco? B01: cinco... B02: aí é vinte B01: Não tem nenhum número que vai dar certo! [Ficam um tempo em silêncio parecendo pensar sobre quais valores utilizariam] P: vocês acham que algum número inteiro satisfaz a equação? B01 e B02: não. Isso está claro. P: Por que está claro? B01: Porque não tem nenhum número que multiplicado por 4 dá 25. P: Então que tipo de número vocês acham que tem que ser? B02: Não sei... B01: Vamos fazer com números com vírgula. B02: Tá. Qual então? B01: Põe aí o 4,5. B02: Não deu... B01: acho que se não tivesse o quatro aqui... [ficam em silêncio parecendo refletir sobre a equação] B01: Vamos diminuir então. Usa o 3,5. B02: Não deu também. B01: Diminui de novo. Vamos fazer com 0,5. B02: Ficou pouco... P: O que ficou pouco? B01: O resultado da multiplicação. P: Quais números vocês tentaram? B01: O 4,5 e 3,5 passaram B02: 0,25 do 0,5 ao quadrado, não chegou. [referindo-se ao resultado da multiplicação de 0,5 por 0,5] B02: Se 3,5 passou e 0,5 não chegou... [B02 faz a multiplicação de 2,5 por 2,5] B01: ah! Tá! 4,5; 3,5 e depois seria 2,5... B02: e é fracionário! B01: vai dar seis e vinte e cinco. Tem que ser um pouco maior... B02: ah! Precisa multiplicar por quatro. B01: tá! B01 e B02: Eeeee! Isso! P: Chegaram a alguma solução? Que número vocês usaram? B01: 2,5. Estávamos fazendo contas erradas. P: Fazendo conta errada? B01: é P: que tipo de conta errada? B02: a gente somava P: Como assim? B01: Ah! Em vez de elevar ao quadrado a gente tava somando o número! P: Então qual valor vocês acham que o x assume? B01: 2,5 P: vocês colocaram por decimal. Por fração vocês acham que daria a mesma coisa? B02: Dá sim... Veja, 2,5 é a mesma coisa que 25 dividido por 10. B01: hã? [B02 pega o lápis e mostra a fração] B01: olha... é mesmo! P: Vocês encontraram um número decimal e uma fração. Nenhum outro número?
116
B01: pode ser negativo. B02: é, como nas outras. B01: Aí fica menos 2,5. [referindo-se a fração]. B01: menos com menos não dá mais? [referindo-se a potenciação] B02: -25 dividido por -10? Não fica o menos só no vinte e cinco? B01: certo! P: Então quais são os valores para a equação? B01 e B02: 2,5, menos 2,5, 25 por 10 e menos 25 por 10.
(trecho da entrevista do grupo B para a equação )
Nessa equação, o grupo B busca valores que satisfaçam a equação e
percebem que eles não poderiam ser números inteiros, porque não existe,
segundo o grupo, nenhum número inteiro que multiplicado por quatro dê 25. Os
dois componentes do grupo percebem que deveriam usar um número racional
para o valor da incógnita, admitindo que as raízes podem ser escritas como
números na forma decimal ou na forma fracionária.Assim, eles acreditam terem
encontrando duas raízes representadas de duas formas, decimal e fracionária.
O grupo C ao encontrar a raiz quadrada de um numero na forma decimal
não a desenvolve, talvez pelo fato desta ser de um número decimal , como
demonstrado na Figura 56 e no trecho da entrevista.
C02: 4x² − 25 = 0... C01: 4 vezes 6 dá 24! C02: é... C01: Não dá prá gente resolver assim. [referindo-se ao fato de substituírem um valor que satisfaça a equação]. C02: Vamos resolver do mesmo jeito que a outra... [referindo-se a equação 4x² − 36 = 0]. C01: Então tá. Passa o 25 prá lá e depois divide por 4. [C02 muda o número de termo e divide pelo número quatro]. C02: 25 dividido por quatro... não vai dar um número inteiro... deu 6,25. raiz de 6,25... C01: não sei... não tem. P: O que não tem? C02: A raiz quadrada desse aqui [aponta o número 6,25]. P: Qual foi o procedimento que vocês fizeram? C02: primeiramente a gente passou o 25 prá lá ... [mostra na folha a transposição do 25 para o segundo termo]. C01: E depois dividimos por quatro. P: Certo e depois? C02: E 25 dividido por quatro dá 6,25 e aí tiramos a raiz. P: Certo, e aí o x vale a raiz de 6,25? C02: Sim. P: E essa raiz vai ser negativa ou positiva? C02: Hã? C01: Positivo
117
C02: Pode ser negativo também... Como nos outros, certo? C01: É... P: Então vocês acham que o valor encontrado pode ser positivo e negativo? C02: Sim, pode ser positivo e negativo, mas a gente não sabe como fazer a raiz. P: Por que? C02: Porque tem um número quebrado. [refere-se ao número ser decimal].
(Trecho da entrevista com o grupo C, para a equação )
Figura 56: Resposta da equação apresentada pelo grupo C
O grupo C percebe que pode-se encontrar uma raiz positiva e uma
negativa, porém apesar de demonstrarem conhecimentos dos procedimentos
que deveriam adotar para resolver a equação, não desenvolvem a raiz quando
percebem que a divisão dá um número racional, representado por um número
decimal, que pode ser percebido na fala do aluno C02 quando este diz “a gente
não sabe como fazer a raiz... Porque tem um número quebrado” .
118
“Já-encontrados”
Nesse conjunto de equações de avaliação e
notamos que os grupos adotam como forma de resposta os
procedimentos de extração de raiz, potenciação, regra de sinal, multiplicação e
divisão de números inteiros, atuando como “já-encontrados”. Apesar de essas
equações possuírem coeficientes diferentes de um, os grupos as resolveram de
forma semelhante às do grupo anterior .
Somente os grupos B e C admitem duas raízes para algumas equações
apresentadas nesse conjunto. Porém o grupo D não encontrou as duas raízes
para as equações desse bloco apesar de “esbarrarem” nas respostas corretas,
diferentemente do que fizeram nas equações em que o
grupo encontra as raízes sem, aparentemente, apresentarem grandes
dificuldades e dúvidas.
No caso da equação acreditamos que os “já-encontrados” de
multiplicação e potenciação possam ter agido como um fator de dificuldade,
porque os componentes do grupo parecem não compreender que a potência é o
processo inverso da radiciação, como podemos ver na fala do aluno D03 “3
vezes quanto, que vezes 2 que dá 27” dando à potenciação o status de
multiplicação por dois. Ainda sobre o mesmo grupo, na equação o
grupo admite que o número seis deva ser substituído na incógnita, porém na
resposta podemos observar os “mal-rules” de erro de escrita (LIMA, 2007, p. 38)
na potenciação e multiplicação, como mostrado na Figura 57.
119
Figura 57: Resposta da equação realizada pelo grupo D
Nessa equação, o grupo D eleva o valor seis ao quadrado e depois subtrai
o resultado de 36, encontrando o valor zero que multiplicado por quatro resulta
em quatro, apesar da fala do aluno D02 “4 vezes zero dá zero” ser diferente do
que está escrito, talvez por uma falta de atenção do aluno que anotou o
resultado. Os grupos A e D desenvolvem a equação repetindo a
mesma forma de resposta adotada pelo grupo D na equação anterior, incluindo
os mesmos “mal-rules”, como definidos no Capítulo 3.
Reflexões à luz dos três Mundos da Matemática
As equações quadráticas apresentadas nesta seção são equações de
avaliação, que podem ser resolvidas de duas maneiras: a partir da procura de
valores que satisfaçam a igualdade ou por intermédio de desfazer as operações
nela contidas. Dessa forma, os alunos não encontraram grandes dificuldades em
resolvê-las.
A partir da análise dos procedimentos de resposta adotados pelos alunos,
à luz dos Três Mundos da Matemática, observamos que dois grupos resolveram
unicamente avaliando a incógnita e percebendo o valor que esta deve assumir,
evidenciando características essencialmente pertencentes ao Mundo
Corporificado. O interessante é que um desses grupos havia priorizado a
resposta das equações lineares por intermédio de “regras” como descrito no
120
Capítulo 3, mas adotou uma postura diferente frente às equações quadráticas.
Essa mudança de atitude pode estar relacionada com o fato do grupo conseguir
encontrar valores que satisfaçam a equação, mesmo que cometam erros
conceituais, como descrito no percurso das análises. Nosso intuito não era
trabalhar com alunos que já conhecessem a fórmula de Bhaskara. Entretanto,
talvez o conhecimento deste ou de algum outro procedimento de resolução de
equações quadráticas pudesse fazer com que eles não buscassem valores para
substituir no lugar da incógnita, mas sim continuassem com o seu
comportamento de usar procedimentos.
Somente um dos grupos adota como único meio de resposta desfazer as
operações, enquanto o último adota as duas formas de resposta
simultaneamente, como que para se certificar de que o valor encontrado estaria
correto. Os componentes desses grupos, em alguns momentos evidenciaram
corporificações procedimentais22, por exemplo, quando mencionaram, durante a
resposta das equações, a movimentação de um termo de um membro para o
outro, como podemos observar na fala “passa o 25 prá lá” do aluno C01, no
decorrer da resolução da equação . Por outro lado, os alunos
pertencentes aos grupos evidenciam característ icas do Mundo Formal quando
fazem referência ao formalismo das operações inversas, como visto na fala do
aluno C02 “porque o inverso do quadrado [potência] é a raiz e raiz quadrada de
9 é 3” ao justificar que usaria a raiz quadrada porque é a operação inversa da
potenciação. A característica de resolução dos grupos (o uso de procedimentos
matemáticos) perante as equações lineares e quadráticas permanece a mesma.
22
Corporificação Procedimental acontece quando “o aluno apenas movimenta termos de um
membro da equação para o outro, adicionando “toques mágicos” a essa movimentação (LIMA,
2007, p. 291).
121
4.3 EQUAÇÕES DE MANIPULAÇÃO
Analisaremos os procedimentos adotados pelos grupos ao se depararem
com as três equações quadráticas completas e uma incompleta. Essas
equações são de manipulação, pois, para serem resolvidas, faz-se necessária a
manipulação da incógnita.
4.3.1 Equações e
Os grupos A e B resolvem as equações avaliando-as e atribuindo valores
para as incógnitas. A diferença entre esses dois grupos é que o grupo A avalia a
equação após isolar as incógnitas, com exceção da equação ,
que o grupo optou por buscar o valor sem isolar as incógnitas. Apresentamos
abaixo, na Figura 58, uma equação resolvida pelo grupo A e o trecho da
entrevista realizada com o mesmo.
122
Figura 58: Resposta da equação apresentada pelo grupo A
A03: Vamos ter que tirar o 25 daqui. [referindo-se a mudança de membro do valor 25]. A01: Vai ficar -25 A02: Vamos tentar números... Acho que 1, 25 A02: Não deu... A01: Tenta outro número. A02: Já tentei o 1,25 e o 2,5 [A01 retira o lápis das mãos do A02 e refaz a conta com o valor 2,5] A01: E se a gente usar o 2,1... [A01 devolve o lápis para A02] A01: Tem que ter valor negativo no x. A02: −2?
123
A01: Não deu A02: Tenta um número maior. ... A02: Menor que 2 e maior que 1,5! A01: Vamos tentar números decimais até chegar, de pouco em pouco ao valor de 25... ... P: Vocês acham que só um número ou dois satisfaria essa equação? A01: Só um número! P: E esse número seria igual neste x
2 e neste outro x, ou podem ser
diferentes? A01: Acho que tem que ser iguais. Se fossem diferentes teria que ter outra letra aqui. [Aponta para a equação] P: O que vocês estão tentando agora? A01: Estamos tentando encontrar um número que ao quadrado dê 25. Mas o problema é este 10 aqui, que tem que ficar negativo. P: E por que ele tem que ficar negativo? A02: Para que na hora da conta dê zero. A01: Negativo com negativo fica positivo. A02: Se for −2 ainda não daria. Aqui ficaria 4 − 20 + 25 e não daria zero! A01: Tenta outro... será que −5 daria? [A02 faz a conta] A01:Deu certo! P: Vocês encontraram o valor? A01: Sim P: E qual foi? A01: O -5! P: Existiria outro valor? A02: Não.
(trecho da entrevista do grupo A para a equação )
Apesar das equações possuírem
apenas uma raiz que as satisfaça e do grupo A ter encontrado a raiz correta
para a equação , os componentes do grupo parecem não
perceber, assim como nas equações anteriores, que a incógnita das equações
quadradas pode assumir dois valores, como verificado na fala do aluno A01 “Só
um número!”, quando questionado se haveria outro valor que satisfizesse a
equação.
O grupo B, assim como o grupo A, tenta encontrar um valor que satisfaça
a equação, mas não consegue, justificando que “Não há solução, pois uma letra
não pode assumir dois valores ao mesmo tempo” (trecho da entrevista do grupo
B para a equação ). O grupo consegue encontrar uma raiz
somente na equação , sendo esta o número zero, como
apresentado abaixo, na Figura 59 e no trecho da entrevista.
124
Figura 59: Resposta da equação apresentada pelo grupo B
B01: Vamos encontrar um valor como fizemos nas outras [referindo-se às outras equações pertencentes a esse instrumento] B02: Pode ser −2 e 2 B01: Não deu certo, tenta o −4 e 4. P: Encontraram o valor para a equação? B02: Não. Nenhum dá certo. P: Por quê? B01: Tentamos substituir por 2 e por 4, mas não deu certo... B02: Nenhum valor que seja igual nos dois x da equação B01: Acho que não tentamos tudo P: Por que vocês acham que não tentaram tudo? B01: Olha... [falando com o aluno B02] se tentar o zero aqui [aponta para a incógnita], dá zero e zero... B02: Isso! Dá zero nos dois! P:Qual é a resposta para essa equação? B01: zero!
(Trecho da entrevista do grupo B para equação 8x² + 6x = 0)
O grupo B resolve a equação por avaliação com os números −2, 2, −4 e 4
somente verbalmente, sem substituir nenhum valor até terem certeza qual raiz
seria a correta, o que nesse caso foi o zero. Podemos observar, pela entrevista,
que os componentes do grupo admitem duas raízes como solução, mantendo a
mesma postura adotada em quatro equações de avaliação, porém não
conseguem encontrá-la.
No caso do grupo C, os componentes do grupo tentam resolver a equação
por procedimentos, mas mudam de atitude nas outras equações
, utilizando a procura de valores
125
que as satisfaçam quando parecem perceber que essa postura (de resolver por
procedimentos) não daria certo. Apresentamos abaixo, na Figura 60, a
resolução do grupo para a equação e as justificativas no
trecho da entrevista do mesmo.
C02: Como vamos resolver? C01: Por regras. C02: Tá. Então primeiro isola os elementos com x... [os componentes do grupo não discutem nada até encontrarem a raiz negativa apresentada na Figura 34] C02: Não dá certo. C01: É... P: O que não dá certo? C01: A conta. P: Como vocês fizeram? C02: Primeiro passamos o um pra lá... [mostra a mudança de termo na equação] C02: Depois eu passei o dois para o outro lado... [mostra a fração] C02: Então a gente encontrou o valor -1/2... C02: Aí depois eu passei para número decimal... [mostra o resultado da divisão] C02: Depois eu passei a raiz, e f icou 2x e passei o dois pra lá... [mostra a fração] P: Como você fez a raiz? C02: Eu peguei o dois que estava no x e passei para a raiz. Aí ficou x + x então ficou 2x P: Ok. [o grupo volta a desenvolver a equação]
C02: Aqui é raiz de negativo... [refere-se a ], mas [o x] não é
negativo porque negativo vezes negativo... um número negativo ao quadrado é positivo, e vai ser maior que zero... C01: Tá, então continua... C02: Não dá pra fazer... C01: Mas fica mais próximo. C02: Dá para passar o dois, fica raiz de -0,25, não ajuda muito... C01: Então não dá. C02: Acho que tem que ter dois valores C01: Mas a raiz é negativa e negativo com negativo dá positivo, e a conta dá zero. ... P: Vocês encontraram o valor da raiz? C01: Mais ou menos... P: Vocês acham que o x é raiz de -0,25 C02: Não. Não acho que o x é raiz de -0,25. Porque não é possível tirar raiz de número negativo... P: Por que não é possível? C01: Porque não tem nenhum número negativo que multiplicado por ele dá negativo. P: Então vocês acham que tem solução? C02: Não. P: Vocês acham que existe outra forma de fazer a letra i
[ ] sem ser por regras? C02: pensamos em outra forma... mas acho que não dá certo...
126
P: E qual forma foi essa? C01: Procuramos números que dariam certo, mas não encontramos.
(Trecho da entrevista do grupo C para a equação )
Figura 60: Resposta da equação apresentada pelo grupo C
Nesse grupo, os componentes admitem que a equação deva apresentar
duas raízes como resposta, mesmo com procedimentos incorretos, mas não
conseguem desenvolver pelo fato de terem encontrado a raiz quadrada de um
número negativo. O grupo, em um primeiro momento, tenta resolver a equação
por procedimentos e ao perceberem que desse modo não encontrariam os
127
valores que satisfariam a equação, tentam encontrar valores que validassem a
equação, não os encontrando. Nas demais equações, o grupo encontra as duas
raízes, mas para que pudessem validar a mesma, substituem os valores
encontrados simultaneamente, após isolarem a incógnita, como podemos ver na
Figura 61.
Figura 61: Resposta da equação apresentada pelo grupo C
Podemos observar que a postura de resolução adotada pelos
componentes do grupo C foi diferente da equação anterior, pois nessa equação,
eles buscam valores que a satisfaçam, e admitem que esta deva ter duas raízes,
assumindo os valores (0 e 0,5) concomitantemente, pensando ter validado,
desse modo, a equação. Novamente ocorre um erro conceitual, diferente do que
foi relatado anteriormente.
O grupo D resolve todas as equações de manipulação por procedimentos
matemáticos, como apresentado na Figura 62.
128
Figura 62: Resposta da equação apresentada pelo grupo D
O grupo D adota como forma de resolução das equações de manipulação
os procedimentos matemáticos em que eles isolam as incógnitas e depois
assumem que a potenciação deva ser considerada como coeficiente da primeira
incógnita, sendo somada com o coeficiente do , apresentado na equação,
como podemos observar no exemplo acima. Essa postura reafirma os erros
conceituais que vem acompanhando a resolução de algumas equações
quadráticas.
“Já-encontrados”
Nas equações de manipulação todos os grupos procuram desenvolver as
equações usando formas de resolução de uma equação linear, porém não
conseguem resolver corretamente por procedimentos. Com exceção do grupo D,
os demais grupos misturam duas formas de resolução, a primeira manipulando
as incógnitas e após avaliando a “nova” equação, buscando valores que
satisfaçam a mesma, por potenciação, multiplicação, adição e subtração.
129
Reflexões à luz dos três Mundos da Matemática
As equações apresentadas nessa seção são de manipulação, que podem
ser resolvidas por meio de procedimentos matemáticos, tanto por intermédio da
fatoração, quanto por Bhaskara.
Nas resoluções das equações de manipulação, em um momento inicial,
alguns grupos tentaram resolver por avaliação, evidenciando características do
mundo corporificado, mas como com esse procedimento eles não dão conta de
resolver as equações, os alunos tentam por manipulação, característica do
mundo simbólico.
Podemos observar que os alunos não conhecem os procedimentos
algébricos, portanto não fazem a manipulação simbólica corretamente, mas
buscam em seus conhecimentos anteriores (“já-encontrados”), formas de
encontrar valores que satisfaçam a equação, levando-os a resolverem como se
as equações quadráticas fossem lineares, indicando que eles estão
corporificando o simbolismo, que é quando o indivíduo parte do mundo simbólico
e chega ao mundo corporificado.
No caso do grupo C e do grupo D, os conhecimentos de equações de
avaliação atrapalharam a resolução das equações de manipulação, pois esses
grupos, inicialmente manipulam as incógnitas (característica do mundo
simbólico) e em seguida usam a avaliação para resolver a equação
(característica do mundo corporificado)
130
4.4 DUAS EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO:
As duas equações que apresentamos nessa seção, em princípio, são
equações de avaliação, mas o comportamento dos grupos diante delas pode
transformá-las em equações de manipulação.
No caso da equação foi resolvida corretamente por três
grupos, sendo que dois (A e B) resolveram por avaliação (quando desfazem a
equação) e dois (C e D) resolvem por manipulação (quando trabalham com a
incógnita, manipulando-a), porém desses dois últimos somente um grupo
conseguiu encontrar o valor correto da raiz.
O grupo C resolve as equações aplicando a propriedade distributiva, para,
em seguida, avaliar a equação e encontrar valores que satisfaçam a mesma,
como podemos ver na Figura 63.
Figura 63: Resposta da equação apresentada pelo grupo C
Vemos que os componentes do grupo adotam o procedimento da
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para resolver a
equação quadrática e, após, avaliam a mesma buscando valores que satisfaçam
a igualdade utilizando dois valores diferentes concomitantemente. Na nossa
131
concepção, esse fato ocorre porque os alunos confundem o que é raiz de uma
equação, justificado pelo fato de colocarem dois valores simultaneamente. O
grupo D pensa da mesma maneira, mas não consegue desenvolver as equações
por dificuldades de compreensão dos conceitos de soma de incógnitas.
Os grupos A e B admitem duas raízes, após avaliarem as equações
citadas, como podemos ver na Figura 64.
Figura 64: Resposta da equação apresentada pelo grupo A
O grupo A busca valores que satisfaçam a equação demonstrando
preocupação em encontrar outros valores, admitindo assim, que a equação
deveria ter duas raízes. Esse comportamento do grupo difere do que vinham
fazendo até essas equações, quando o grupo não admitia duas raízes como
respostas. Na equação o grupo encontra somente uma raiz.
132
Reflexões à luz dos três Mundos da Matemática
As equações apresentadas, apesar de serem de avaliação, podem ser
resolvidas como manipulação, dependendo da forma como os alunos se
comportam diante delas. Analisando as resoluções dos quatro grupos,
observamos que dois grupos encontram os valores que satisfaçam essas
equações por avaliação, enquanto os outros dois as transformam, inicialmente,
em equações de manipulação.
Os alunos pertencentes aos dois grupos que resolveram por avaliação o
fizeram buscando valores que satisfariam a equação, evidenciando
característica do Mundo Corporificado. Aparentemente esses alunos preferiram
essa forma de resolução porque foi a que contemplou a maioria das equações.
O interessante nesse segundo grupo é que nas equações de manipulação os
componentes foram unânimes em alegar que era impossível resolvê-las. Porém,
as equações que apresentamos a esses alunos estão apenas escritas de forma
diferente, por evidência, mas correspondem ao mesmo tipo de equação
trabalhada anteriormente
As resoluções para essas equações apresentadas pelos outros dois
grupos estão divididas em duas formas. A primeira maneira de resolução foi
adotada por um grupo que inicialmente, manipula a incógnita aplicando a
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para, em seguida,
avaliar a “nova equação” formada, enquanto o outro grupo resolve unicamente
por manipulação. Com referência ao primeiro grupo, a propriedade distributiva
pode ser vista como evidência do Mundo Simbólico, pois existe a necessidade
de se manipular a incógnita, enquanto, no desenrolar da resolução da equação,
eles utilizam a avaliação, buscando valores que a satisfaçam, evidenciando
características do Mundo Corporificado. O diferencial nesse primeiro grupo é
que eles permanecem com a mesma postura adotada nas equações de
manipulação, o que não ocorreu com os demais grupos. Podemos perceber que
houve uma mudança de postura por parte dos alunos na resolução das
133
equações de avaliação para as de manipulação, mostrando que, aparentemente,
ocorreu um desenvolvimento cognitivo diante das novas experiências que fo ram
proporcionadas a eles. Como não houve “passagem de um valor para o outro
membro”, não identificamos a corporificação procedimental, tão pouco
características do Mundo Formal, o que não ocorreu nas equações de avaliação.
Com relação ao último grupo analisado, os componentes tentaram
resolver as equações por manipulação, mas não alcançaram sucesso, pois
utilizaram conceitos errôneos de resolução. Aparentemente, esses alunos estão
interpretando os seus procedimentos como corporificações procedimentais e
não como característica do Mundo Simbólico, o que exigiria deles uma
consciência dos princípios matemáticos envolvidos nos métodos de resolução.
Na Conclusão, tratamos das reflexões sobre os resultados obtidos nas
análises e as características dos Três Mundos da Matemática que levantamos,
com o objetivo de responder nossas questões de pesquisa.
134
CONCLUSÕES
Ao concluirmos nossa pesquisa retomamos as questões que a nortearam,
e faremos algumas reflexões sobre cada uma delas. Além disso expomos as
dificuldades encontradas no decorrer da pesquisa e nossas discussões
relacionadas ao quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, comparando os
dados obtidos com aqueles apresentados na revisão bibliográfica deste
trabalho. Algumas sugestões de continuidade também serão indicadas, pois,
como já vimos no decorrer do trabalho, não existe vasta bibliografia sobre as
dificuldades apresentadas por alunos ao se depararem com o estudo de
equações quadráticas.
1 EQUAÇÕES QUADRÁTICAS DE AVALIAÇÃO
Ao avaliarmos os resultados obtidos com as respostas dadas pelos alunos
para as equações de avaliação, observamos, em algumas delas, que três
grupos não procuram as duas raízes da equação, assim como na pesquisa de
Vaiyavutjamai, Ellerton e Clements (2005). Eles encontram uma das raízes, por
intermédio de busca de valores que validem a equação, o que evidencia
características do mundo corporificado. Em contra partida, um grupo busca
responder essas equações desfazendo as operações efetuadas sobre a
incógnita, isto é, efetuando operações inversas e movimentando os termos da
equação de um membro a outro. Esse método de resolução apresentado pelo
135
grupo representa corporificações procedimentais, evidenciando novamente o
Mundo Corporificado, numa tentativa de trabalhar com o Mundo Simbólico.
Quando analisamos os resultados obtidos com a equação ,
observamos que existe uma mudança de postura do grupo D, o qual parece
admitir duas raízes como verdadeiras, assim como conjectura Vaiyavutjamai,
Ellerton e Clements (2005) em suas pesquisas que, após o ensino das equações
quadráticas, os alunos demonstram conhecimentos do conteúdo. Apesar de não
terem estudado esse conteúdo ainda, o grupo parece ter adquirido uma
compreensão do processo de resolução dessa equação durante a entrevista.
Essa compreensão dos processos de resolução pode ser consequência das
perguntas realizadas no decorrer da entrevista reflexiva semi-estruturada, pois,
a cada questão finalizada, foi perguntado se haveria outro valor que satisfizesse
a equação, incluindo valores negativos. Por outro lado, é possível que os alunos
saibam de antemão que tanto 2 ao quadrado quanto –2 ao quadrado resultam
em quatro.
Observamos, também, que os alunos usam os seus “já-encontrados” na
resolução das equações quadráticas, tais como isolamento da incógnita e
operações inversas. Porém, tais “já-encontrados” agem de maneira negativa
quando os componentes dos grupos não admitem que uma equação quadrática
possui duas raízes como resposta, como visto na pesquisa de Lima (2007). Isso
ocorre, provavelmente, pelo fato dos alunos estarem habituados a resolver
equações lineares, que possuem uma única raiz. É importante comentar que
não foram em todas as equações que os grupos verificaram se as raízes são
verdadeiras, como Vaiyavutjamai, Ellerton e Clements (2005) diagnosticaram em
sua pesquisa.
Apesar do foco do nosso trabalho não ser a identificação dos erros
apresentados no desenvolvimento das equações, não podemos nos furtar ao
fato de que alguns erros cometidos pelos alunos são em decorrência do uso
inapropriado de regras, denominados mal-rules (Sleeman,1984), apontado tanto
136
nos estudos de Vaiyavutjamai, Ellerton e Clements (2005) e Vaiyavutjamai,
Clements (2006) quanto na pesquisa de Lima (2007).
Observamos, no decorrer das entrevistas reflexivas semi-estruturadas,
que existe uma diferença importante entre os “já-encontrados” que atuam de
forma negativa e as mal-rules. Quando tratamos dos “já-encontrados” negativos
estamos nos referindo às experiências anteriores que os alunos trazem consigo
e que aplicam em situações semelhantes as que lhe são familiares, porém de
forma errônea, e isso se aplica tanto às regras quanto aos conceitos.Todavia as
mal-rules referem-se apenas ao uso inapropriado de regras, pois um sujeito
utiliza regras matemáticas em seus processos de resolução de equações, além
do uso de conceitos. Quando utiliza “já-encontrados” de forma negativa, está
utilizando incorretamente princípios algébricos de resolução de equações, e não
somente executando mal-rules. Ou seja, ao executar uma mal-rule um sujeito
pode ou não estar aplicando corretamente um conceito, mas certamente usando
erroneamente as regras para resolver equações.
Os alunos, ao se depararem com as equações quadráticas de avaliação,
tratam-nas como de avaliação, ou seja, as resolvem avaliando ou buscando
valores que as validem. Isso implica que, nas equações quadráticas de
avaliação, não houve alteração na forma de resolução esperada, diferentemente
do que ocorreu com as equações lineares de avaliação pertencentes ao primeiro
instrumento de coleta de dados, no qual alguns alunos optaram por resolvê-las
por meio de manipulações algébricas, como se elas tivessem as mesmas
características das equações lineares de manipulação. Comparando as formas
de resolução apresentadas pelos alunos nas equações lineares e nas equações
quadráticas de avaliação, pudemos observar que uma característica das
equações quadráticas de avaliação é a permanência da característica de
avaliação.
137
2 EQUAÇÕES QUADRÁTICAS DE MANIPULAÇÃO
Inicialmente, os grupos tentaram resolver as equações quadráticas de
manipulação de forma similar àquela apresentada por Lima (2007) em sua
pesquisa, isto é, transformando as equações quadráticas em equações lineares
ou somando as partes literais com expoentes diferentes. Como os alunos não
possuíam o conhecimento de como resolver equações quadráticas, eles
buscaram seus “já-encontrados” de equações lineares para resolverem as
equações que lhes foram apresentadas.
As equações cujo primeiro membro era um quadrado perfeito foram
resolvidas de forma satisfatória encontrando uma única raiz, por alguns grupos,
utilizando o procedimento de avaliação, evidenciando característica do mundo
corporificado. Um fato interessante na análise das resoluções apresentadas é
que um grupo usou primeiro seus “já-encontrados” de equações lineares
isolando primeiro a incógnita para, em seguida, avaliar a “nova” equação,
buscando valores que a satisfizesse. Porém, mesmo após terem resolvido
equações de avaliação em que os grupos, em dados momentos, admitiam duas
raízes como solução, essa atitude não foi permanente, ou seja, não percebemos
essa postura em todas as tentativas de resolução que apareceram durante as
entrevistas reflexivas semi-estruturadas.
Nas equações de manipulação, os grupos parecem não perceber que
estas possuem duas raízes como solução. Durante a entrevista do grupo B,
vimos que os componentes não desenvolvem tipo algum de resolução para as
equações quadráticas completas de manipulação. O grupo justifica que essas
equações não podem ser resolvidas, pois, segundo eles, “uma letra [incógnita]
não pode assumir dois valores ao mesmo tempo”, ou seja, identificando que a
variável não pode assumir dois status ao mesmo tempo, contrariando o que a
138
pesquisa de Vaiyavutjamai, Ellerton e Clements (2005) apontou. Apesar de
estarem corretos em suas impressões, eles não têm conhecimento do
formalismo envolvido nas resoluções das equações quadráticas, mas
demonstraram compreender, naquele momento, que a incógnita não pode ser
substituída ao mesmo tempo por dois valores de suas raízes.
Em contrapartida, o mesmo não ocorreu com o grupo C, pois seus
componentes admitem dois status para a incógnita, confirmando os estudos de
Vaiyavutjamai, Ellerton e Clements (2005). Acreditamos que essa diferença
entre os dois grupos (B e C) se deu pelo fato do primeiro ter conseguido
perceber que as equações quadráticas admitem duas soluções, mesmo que não
tenham conseguido apresentar valores para nenhuma delas; enquanto o outro
grupo ainda está preso a conceitos de equações lineares. Neste ponto, devemos
destacar que os grupos A e D, em alguns momentos durante a entrevista,
admitiram valores simultâneos para as incógnitas na tentativa de resolver as
equações propostas.
As formas de resolução adotadas pelos grupos remetem ao mundo
simbólico, pois os mesmos trabalham com a incógnita, porém nem todos os
grupos parecem dar significado as estas, trabalhando com a avaliação,
remetendo ao simbólico corporificado, que são conhecimentos que permeiam
dois mundos da Matemática, o mundo corporificado e o mundo simbólico.
Dado que esses alunos não conheciam nenhum método de resolução para
as equações quadráticas de manipulação, eles buscaram valores para resolvê-
las, ou seja, essas equações não são resolvidas como equações de
manipulação, mas sim como equações de avaliação. Porém, apesar dos sujeitos
não conhecerem os métodos de resolução das equações quadráticas, eles
poderiam ter, por exemplo, visto que algumas delas tinham um quadrado
perfeito no primeiro membro. Caso os alunos tivessem escrito a equação na
forma de , eles poderiam tê-la resolvido como de avaliação. A
manipulação algébrica na resolução dessas equações ficou de lado, o que
139
acarretou em não encontrar as duas raízes, isso indica um problema em relação
ao desenvolvimento ao algébrico. Apesar de o currículo apontar que o
desenvolvimento algébrico foi trabalhado com os alunos, eles não manifestam
uso desse tipo de manipulação, e acabam por não resolver essas equações
algebricamente.
3 RESPONDENDO AS QUESTÕES QUE NORTEIAM A NOSSA PESQUISA
Analisando a primeira questão que norteia o nosso trabalho:
Quais são os procedimentos de resolução que alunos de 8º ano
utilizam ao resolverem as equações quadráticas, sem terem prévio
conhecimento do conteúdo?
Concluímos que, nas equações quadráticas do tipo , os alunos
utilizam como forma de resolução a avaliação, admitindo, em alguns momentos,
somente uma raiz como solução. Esses procedimentos ficam evidentes quando,
na análise dos dados, observamos que os alunos buscam valores que
satisfaçam a equação, apesar de cometerem erros conceituais, como, por
exemplo, quando eles admitem que a equação , pode ser resolvida
extraindo-se a raiz quadrada em ambos os membros, resultando valores
positivos e negativos sem usarem o fato de que = . Acreditamos que esse
erro conceitual ocorra porque, ao fazermos uma breve verificação no livro
didático utilizado por esses alunos, este não faz referência ao conceito de
módulo quando trabalha com expressões algébricas ou com a resolução de
equações quadráticas. A ausência desse conteúdo no momento da
140
aprendizagem de equações quadráticas pode gerar um erro conceitual que pode
ser incorporado na vida escolar dos sujeitos, e gerando corporificações
procedimentais, como evidenciado em Lima (2007).
Nas equações do tipo , os alunos utilizam a avaliação e
a manipulação na busca de solução para elas. Ao fazerem isso, eles não usam
os procedimentos encontrados nos livros didáticos, tais como fórmula de
Bhaskara, fatoração ou completamento de quadrados. Tal comportamento dos
alunos já era esperado em nossa pesquisa, dado que esses sujeitos ainda não
haviam tido contato com o conteúdo.
Porém, as equações quadráticas em que o primeiro membro é um
quadrado perfeito, alguns alunos conseguiram resolver por avaliação, talvez
pelo fato das raízes serem iguais. Apesar dos alunos não terem conhecimento
da forma de resolução, eles buscaram seus “já-encontrados” para solucioná-las
de forma correta ou não.
Em resumo, para resolver equações tanto de avaliação quanto de
manipulação, os alunos foram em busca de valores que as satisfizessem, e
raramente tentaram utilizar procedimentos algébricos que teoricamente
conheciam.
Retomando e respondendo a nossa segunda questão de pesquisa:
Quais características dos Três Mundos da Matemática surgem na
resolução das equações quadráticas?
As análises dos dados apontam que as características que emergiram das
resoluções das equações quadráticas de avaliação eram, em sua maioria,
pertencentes ao mundo corporificado. Nessas equações, que eram do tipo
, os alunos faziam avaliações e buscavam valores que as satisfizessem,
encontrando, na maioria das vezes, uma única raiz. Porém, essa postura de
admitir uma única raiz foi mudando no decorrer das tentativas de resolução das
equações, possivelmente induzidos pelo fato do questionamento realizado pela
141
pesquisadora durante a entrevista ter como referência a existência de outros
valores que validassem a equação. Entretanto, apesar dos alunos às vezes
apresentarem o comportamento de buscarem duas raízes, essa atitude não foi
evidenciada em todas as entrevistas até o final da coleta de dados.
Quanto às equações de manipulação, que são as do tipo
, observamos que as características evidenciadas eram as
pertencentes aos mundos corporificado e simbólico, independentemente de os
procedimentos utilizados pelos alunos terem sido corretos ou não.
Na nossa visão, as características do mundo corporificado foram mais
evidenciadas pelo fato dele estar associado às equações de avaliação, que
parecem mais fáceis de serem resolvidas talvez pelo fato de que as raízes,
quando são naturais, nos “saltam aos olhos”.
Apesar de os alunos não terem resolvido as equações quadráticas de
manipulação na sua totalidade, encontrando as duas raízes, observamos que
surgiram, em algumas dessas resoluções, características do mundo formal,
quando os sujeitos dos grupos utilizaram os princípios algébricos. Vale destacar
que quando os alunos buscaram meios de descobrir quais valores satisfariam as
equações, alguns destes os fizeram por meios equivocados de resolução,
algumas vezes utilizando princípios algébricos errôneos; mas o que ficou
evidenciado é que, por intermédio da entrevista, alguns destes alunos
aparentavam ter ideia de que era necessário haver duas raízes como resposta.
Finalmente, quanto a esta questão de pesquisa, após encontrarmos
evidências de características dos Três Mundos da Matemática, as mais
evidenciadas foram as pertencentes ao mundo corporificado, mesmo porque, na
nossa concepção, as equações de manipulação carregam características
sofisticadas do mundo simbólico, sendo necessário para se lidar com elas, ter
conhecimento dos princípios matemáticos envolvidos nos métodos de resolução.
142
Cabe ressaltar que poucas são as características dos mundos simbólico e
formal apresentadas no trabalho desses alunos com equações quadráticas.
Acreditamos que isso se deve ao fato dos alunos não apresentarem
conhecimento dos princípios matemáticos, apesar destes terem sido
apresentados a eles, conforme o currículo aponta. Por este motivo, acreditamos
que seria importante que fosse trabalhado com os alunos principalmente as
características do mundo formal, para que eles pudessem usar com mais
domínio as características do mundo simbólico.
E, por fim, quanto a nossa terceira questão de pesquisa:
É possível caracterizar um Corte Didático na transição das equações
lineares para as equações quadráticas?
Quanto a essa questão, obtivemos uma resposta interessante.
Acreditávamos, no início do nosso trabalho, que existiria um corte didático na
transição das equações lineares para as equações quadráticas. Nas leituras
preliminares de artigos e pesquisas, percebemos que havia uma dificuldade de
resolução nas equações quadráticas, nos motivando a questionar se essa
dificuldade também ocorreria na transição de resolução das equações lineares
para as equações quadráticas. Entretanto nossos dados evidenciaram algo
diferente do que tínhamos imaginado inicialmente, como descreveremos a
seguir.
As análises dos dados apontam que os alunos conseguem perceber meios
de encontrar as raízes de uma equação quadrática do tipo de duas
maneiras: avaliando e encontrando pelo menos uma raiz que valide a equação;
ou realizando operações inversas. Nesse caso, percebemos alguns erros
conceituais decorrentes, talvez, de uma falta de informação por parte dos
alunos. Em minha experiência em sala de aula, observei a ausência de pelo
menos um conceito importante nos livros didáticos que trabalhei, que no caso é
o ensino de que a , importante para a compreensão do fato da
incógnita possuir uma raiz positiva e outra negativa. Isto é, os alunos podem
143
pensar que é uma mágica que faz com que apareça um “mais ou menos” no
segundo membro, quando é, na verdade, por causa do fato de que .
Entretanto quando analisamos os dados referentes às equações do tipo
observamos que os alunos buscam algumas maneiras de
resolução com o objetivo de encontrar as raízes, tais como a avaliação das
equações e a busca de valores que a validem; e a transformação das equações
quadráticas em lineares. Porém, essas buscas de resolução não se mostraram
totalmente eficazes, pois, apesar de observarmos que alguns alunos, ao
tentarem resolver as equações, conseguiram uma resposta satisfatória no caso
das equações quadráticas cujo primeiro membro é um quadrado perfeito , o
mesmo não se aplica quando essas equações não têm quadrados perfeitos.
Os pesquisadores Filloy e Rojano (1989) afirmam, em suas análises a
respeito das equações lineares, que o corte didático ocorre na transição da
aritmética para a álgebra, ou seja, das equações lineares aritméticas para as
não-aritméticas. As nossas análises indicam que o corte didático entre as
equações não está associado com a transição das equações lineares para as
quadráticas e, tão pouco, relacionado com a posição da incógnita. Em nosso
estudo encontramos evidências que o corte ocorre, no caso das equações
quadráticas, entre as equações do tipo e , ou seja, o
corte está relacionado com a dificuldade de passar de resolver equações de
avaliação para resolver de manipulação, caracterizando um corte didático que
denominamos de “Corte Didático das Quadráticas”. Um artigo escrito por Lima e
Healy (op. cit.), durante nossa análise, sugere que este nosso “Corte Didático
das Quadráticas” pode ocorrer porque as equações de avaliação não dão conta
da sofisticação que existe nas equações de manipulação, o que pudemos
demonstrar neste nosso trabalho. Indicamos então nas nossas Considerações
Finais que este caminho que estamos apontando deva ser mais estudado.
144
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A nossa pesquisa deparou-se com algumas situações que não estão
contempladas nas nossas questões, mas deixamos como sugestão de pesquisas
que poderão dar continuidade às pesquisas sobre equações quadráticas.
Uma das situações com a qual nos deparamos é a falta de percepção da
existência de duas raízes que satisfazem uma equação quadrática na
aprendizagem dos alunos. Observamos, no nosso trabalho, que talvez algumas
perguntas feitas durante a entrevista reflexiva semi-estruturada possam ter
induzido os alunos a buscarem outros valores para as equações. Esse fato
refletiu de forma positiva quando esses alunos percebem que existe uma
segunda raiz, porém agiu de forma negativa quando percebemos, nas nossas
análises, que alguns alunos buscavam um segundo valor, sem, no entanto,
terem compreendido o porquê de estarem fazendo isso. Por este motivo,
deixamos como sugestão de pesquisa um estudo a respeito da falta de
percepção dos alunos da existência de duas raízes nas equações quadráticas.
Observamos também que os alunos apresentaram alguns erros
conceituais durante as resoluções das equações quadráticas. Nosso foco não
era identificar os erros que apareceriam, mas sim, evidenciar quais
procedimentos esses alunos utilizariam, porém, como alguns erros foram
recorrentes, acreditamos que um estudo a respeito dessas dificuldades possam
indicar quais mudanças, em termos de aprendizagem, poderiam ser tomadas
pelos educadores, assim como compreendermos o porquê desses erros serem
tão recorrentes. Sugerimos, também, a análise de livros didáticos do ensino
fundamental, pois os que observamos não evidenciam conceitos que, a nosso
ver, são fundamentais para a aprendizagem dos alunos, citamos como exemplo,
o conceito de módulo. Acreditamos que a ausência de assuntos importantes
145
tanto do material de apoio quanto da fala do professor possa gerar conflitos no
momento de resolver as equações quadráticas, pois pode gerar dúvidas e
confusões conceituais.
Acreditamos que fazer a aplicação das equações utilizadas nesse trabalho
para os alunos de 9º ano pode trazer resultados interessantes, pois se
pressupõe que esses alunos já adquiriram conhecimentos de equações
quadráticas, porém seria interessante observar se as mesmas tentativas de
resolução mostradas nesse trabalho surgem com esses alunos e se o “Corte
Didático das Quadráticas” aparece nessa turma.
Outra sugestão de pesquisa que deixamos é a elaboração de uma
sequência didática com o objetivo de identificar maneiras de minimizar as
dificuldades decorrentes do “Corte Didático das Quadráticas” , como sugerimos
nas considerações da terceira questão de pesquisa. Sugerimos também uma
pesquisa que envolvesse alunos do 9º ano, para a verificação se os diferentes
Mundos da Matemática que emergiram na nossa pesquisa emergem naqueles
que possuem conhecimento das quadráticas.
A nosso ver, o quadro teórico foi de grande valia para a fundamentação do
nosso trabalho e para atingirmos nosso objetivo de pesquisa, pois permitiu que
analisássemos a manifestação dos Três Mundos da Matemática durante a busca
de soluções para as equações, mas é importante que o quadro teórico continue
sendo desenvolvido por intermédio de novas pesquisas, para que possamos
compreender melhor o desenvolvimento cognitivo, por parte dos alunos, das
equações quadráticas.
146
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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149
APÊNDICE A INSTRUMENTO 1: EQUAÇÕES LINEARES
Nome:________________________________________________série:________
Resolva as equações justificando cada passagem, não deixando nenhuma sem
responder.
a) 2b − 30 = 0
b) 6x = 5x
c) 10 + 4w = 5
d) 8 = 6 − c
e) 4k − 2 = 3k + 6
f) 2d + 10 = 60
g) m + 6 = 5
h) w² = 9
i) 2n + 5 = 6n − 7
j) -3x + x = -5 4 3 6
k) (m + 1)² = 4
l) 4y − 13 = 9 − 5y
150
APÊNDICE B INSTRUMENTO 2: EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
b)
4 =
x²
a)
x²
= 9
151
d)
x²
− 2
5 =
0
c)
(x +
3)²
= 4
9
152
f) 3
x²
= 2
7
e
) x²
− 4
= 1
2
153
h)
4x²
− 2
5 =
0
g
) 4x²
− 3
6 =
0
154
j) x
² +
10
x +
25
= 0
i) x
² +
2x +
1 =
0
155
l) 8
x²
+ 6
x =
0
k)
x²
+ 4
x +
2 =
0
156
n)
x (
x +
2)
= 1
5
m
) x (
x +
3)
= 0
157
APÊNDICE C- TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
O presente estudo, intitulado Uma introdução ao estudo de equações quadráticas à Luz dos Três Mundos da Matemática, tem por objetivo investigar as ações dos alunos da 7ª série (8º ano) do Ensino Fundamental, quando se deparam com equações quadráticas pela primeira vez. Para o bom desempenho desta pesquisa, contamos com sua colaboração no sentido de permitir a participação de seu (sua) filho (a) neste estudo, respondendo às questões do questionário com equações lineares para entender o que eles sabem sobre equações. Alguns alunos serão selecionados para continuar na pesquisa. A seleção se dará pelo fato de não se ter tempo hábil para entrevistar todos os alunos participantes. Os dados serão coletados da seguinte forma: em um primeiro momento, pelos otocolos dos alunos, as respostas ao questionário. Em um segundo momento, faremos entrevistas que será áudio- gravadas, filmadas e recolhida a produção escrita do aluno. Ao permitir que seu filho participe deste estudo, você estará consentindo que os dados de seu (sua) filho (a) sejam utilizados apenas para fins desta pesquisa. Ressalta-se que há garantia de preservação de identificação. O nome da escola e o nome de seu (sua) filho (a) não serão divulgados. Caso seja pedido que ele se identifique em algum momento, será apenas para identificá-lo dentro do grupo de alunos pesquisados. Desde já agradeço sua contribuição, a qual será de extrema importância para que os objetivos deste trabalho sejam atingidos.
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Eu, _________________________________________________________________, portador do RG _______________________, com e-mail _____________________________, abaixo assinado, dou meu consentimento livre e esclarecido para que meu (minha) filho (a) participe como voluntário (a) da pesquisa supracitada, sob a responsabilidade principal de Rosangela Marazzio Koch, aluna do curso de Mestrado em Educação Matemática da UNIBAN. Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que: a) o objetivo da pesquisa é verificar as ações dos alunos quando se deparam com equações quadráticas pela primeira vez. b) a realização desta pesquisa é fundamental para o progresso da Educação Matemática no Brasil, para melhor entender as dificuldades de aprendizagem nesse conteúdo. c) a participação do meu (minha) filho (a) no estudo será responder ao questionário e, eventualmente, participar de entrevistas. d) assim que a pesquisa terminar, terei acesso aos resultados globais do estudo. e) estou livre para interromper, a qualquer momento, a participação do meu (minha) filho (a) nesta pesquisa. f) os dados pessoais do meu (minha) filho (a) serão mantidos em sigilo, e os resultados obtidos com a pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica especializada e apresentação dos resultados em eventos nacionais e internacionais. g) poderei entrar em contato com a pesquisadora Rosangela Marazzio Koch pelo e-mail [email protected] ou pelo telefone (11) 84539639 sempre que julgar necessário. h) obtive todas as informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre a participação do meu (minha) filho (a) na referida pesquisa. i) este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma permanecerá em meu poder e a outra com a pesquisadora responsável. São Paulo, _____ de ____________________ de 2009.
________________________________ _____________________________________
Assinatura do participante Rosangela Marazzio Koch