uma formula o consistente para an lise... edvaldo joaquim pereira j nior

Universidade Federal de Minas Gerais

Escola de Engenharia

Departamento de Engenharia de Estruturas

Uma Formulao Consistente

para Anlise No-Linear

de Estruturas de Cabos Suspensos

Eng. Edvaldo Joaquim Pereira Jnior

Dissertao apresentada como requisito parcial para obteno

do grau de Mestre em Engenharia de Estruturas.

Orientador: Prof. Dr. Armando Cesar Campos Lavall

Belo Horizonte

Setembro de 2002

Agradeo a Deus por tudo.

Aos meus pais Edvaldo e Zlia.

Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Armando Cesar Campos Lavall, pela apoio, amizade, dedicao e

atenciosa orientao durante este trabalho.

minha esposa, Andra L. Macdo Simes pelo apoio e compreenso diante das

atuais circunstncias.

Aos meus irmos Renata, Roberta, rico, Romeu e Cristiano pelo apoio

constante e por sempre torcerem pelo meu sucesso.

todos os meus amigos, colegas, professores e funcionrios do Departamento de

Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de

Minas Gerais, pela amizade e apoio tcnico.

i

ndice

Lista de Figuras ...............................................................................................iv

Lista de Tabelas ..............................................................................................vii

Resumo............................................................................................................viii

Abstract.............................................................................................................xi

1 Introduo ........................................................................................................1

1.1 Consideraes Iniciais .................................................................................1

1.2 Objetivos ......................................................................................................3

1.3 Organizao do Texto ..................................................................................2

2 Estudo Analtico dos Cabos............................................................................2

2.1 Introduo ....................................................................................................2

2.2 Cabos com Cargas Concentradas.................................................................2

2.3 Cabos com Carga Uniformemente Distribuda ao Longo do Vo (Parbola) .. 2

2.3.1 Cabo suspenso com apoios nivelados....................................................2

2.3.2 Cabo suspenso com apoios desnivelados ..............................................2

2.4 Cabos com Carga Uniformemente Distribuda ao Longo do Comprimento

(Catenria)................................................................................................2

2.4.1 Cabo suspenso com apoios nivelados....................................................2

2.4.2 Cabo suspenso com apoios desnivelados ..............................................2

ii

3 Formulao Numrica ....................................................................................2

3.1 Introduo ....................................................................................................2

3.2 Deformaes e Tenses ...............................................................................2

3.3 Relaes Constitutivas .................................................................................2

3.4 Sistema de Coordenadas - Graus de Liberdade ...........................................2

3.4.1 Consideraes iniciais ...........................................................................2

3.4.2 Definio dos sistemas de coordenadas e graus de liberdade ...............2

3.5 Teoria Estrutural ..........................................................................................2

3.6 Cinemtica do Elemento ..............................................................................2

3.6.1 Campo de deformao ...........................................................................2

3.6.2 Campo de deslocamento - consideraes analticas ..............................2

3.7 Equaes de Equilbrio ................................................................................2

3.7.1 Equilbrio do elemento ..........................................................................2

3.7.2 Equilbrio estrutural ...............................................................................2

3.7.3 Equaes incrementais do equilbrio.....................................................2

3.8 Interpolao..................................................................................................2

3.9 Expresses Analticas para a Matriz de Rigidez Tangente..........................2

3.9.1 Elementos prismticos em regime elstico linear..................................2

3.9.2 Elementos prismticos em regime elasto-plstico.................................2

4 Aspectos da Implementao ...........................................................................2

4.1 Consideraes Iniciais .................................................................................2

4.2 Implementao da Configurao Inicial de Equilbrio do Cabo .................2

4.3 Mtodo de Newton-Raphson .......................................................................2

4.4 Critrio de Convergncia .............................................................................2

4.5 Modelos Constitutivos para os Cabos..........................................................2

4.5.1 Caractersticas construtivas dos cabos e cordoalhas..............................2

4.5.2 Diagramas tenso-deformao para cabos ............................................2

iii

4.6 O Problema Elasto-Plstico Unidimensional...............................................2

4.7 Anlise Incremental das Tenses e Deformaes no Comportamento

Elasto-Plstico.....................................................................................................2

4.7.1 Primeiro Intervalo: 2yre 0 ...........................................................2

4.7.2 Segundo Intervalo: 3yrep1y < ......................................................2

4.7.3 Terceiro Intervalo: 4yrep2y < ......................................................2

4.8 Descrio das subrotinas..............................................................................2

5 Exemplos Numricos.......................................................................................2

5.1 Introduo ....................................................................................................2

5.2 Anlise Elstica No-Linear Geomtrica ....................................................2

5.2.1 Cabo suspenso sujeito ao peso prprio..................................................2

5.2.2 Cabo suspenso sujeito a cargas concentradas........................................2

5.2.3 Cabo suspenso com dois elementos.......................................................2

5.2.4 Cabo suspenso sujeito ao peso prprio e carga concentrada com

nmero de elementos variveis .......................................................................2

5.2.5 Cabo suspenso sujeito a carga distribuda ao longo do vo e cargas

concentradas ....................................................................................................2

5.3 Anlise No-Linear Geomtrica e Fsica.....................................................2

5.3.1 Estrutura hiperesttica com 3 cabos ......................................................2

5.3.2 Anlise inelstica de um cabo suspenso com 2 elementos....................2

6 Concluses ........................................................................................................2

Bibliografia............................................................................................................2

iv

Lista de Figuras

Figura 1.1 Torre estaiada 3

Figura 2.1 Cabo suspenso com apoios desnivelados e cargas concentradas

ao longo do vo 8

Figura 2.2 Cabo suspenso com apoios nivelados e carregamento

uniformemente distribudo ao longo do vo 9

Figura 2.3 Elemento de cabo com carregamento uniformemente

distribudo ao longo do vo 9

Figura 2.4 Trao no elemento de cabo 11

Figura 2.5 Cabo suspenso com apoios desnivelados e carregamento

uniformemente distribudo ao longo do seu vo 12

Figura 2.6 Cabo suspenso com apoios nivelados com carregamento

uniformemente distribudo ao longo do seu comprimento 17

Figura 2.7 Elemento de cabo com carregamento uniformemente

distribudo ao longo de seu comprimento 17

Figura. 2.8 Cabo suspenso com apoios desnivelados com carregamento

uniformemente distribudo ao longo do seu comprimento 19

Figura 3.1 Elemento de cabo nas suas configuraes de referncia e corrigida

24

Figura 3.2 Comportamento elasto-plstico de um elemento de cabo 27

Figura 3.3 Elemento de cabo em suas configuraes de referncia e corrigida

segundo sistemas globais e locais de referncia 30

Figura 3.4 Deslocamentos de um ponto de uma seo genrica em relao

ao sistema de eixos cartesianos globais 33

Figura 4.1 Fluxograma do programa principal 49

Figura 4.2 Mtodo de Newton-Raphson 54

v

Figura 4.3 Cordoalha de ao de sistema aberto 56

Figura 4.4 Cordoalha de ao de sistema fechado 56

Figura 4.5 Cabo de ao 57

Figura 4.6 Tipos de construes de cabos de ao 58

Figura 4.7 Mdulo de elasticidade secante Es segundo o ASCE 1996 60

Figura 4.8 Curvas tenso-deformao(=l/l) para cordoalhas ensaiadas

por Murray&Willems 62

Figura 4.9 Curvas tenso-deformao(=l/l) para cordoalhas com dimetros

inferiores a 31,8mm ( 1/4 in) 63

Figura 4.10 Comportamento elasto-plstico do material para o caso uniaxial

65

Figura 4.11 Diagrama tenso-deformao multi-linear 67

Figura 4.12 Material previamente plastificado segundo o trecho elasto-plstico 01

70

Figura 4.13 Material plastificado segundo o trecho elasto-plstico 01

na iterao corrente 72


76




82



Figura 5.1 Tela principal do programa 91

Figura 5.2 Sub-menu coordenadas dos ns 92

Figura 5.3 Sub-menu cabos 92

Figura 5.4 Sub-menu Elementos 93

Figura 5.5 Sub-menu Restrio Nodal 93

Figura 5.6 Sub-menu Lei Constitutiva 94

Figura 5.7 Sub-menu Carga nos Ns 95

vi

Figura 5.8 Sub-menu Parmetros de Controle 95

Figura 5.9 Cabo suspenso sujeito a peso prprio 96

Figura 5.10 Configurao de equilbrio do cabo com 10 elementos 97

Figura 5.11 Cabo suspenso sujeito a cargas concentradas 98

Figura 5.12 Geometria inicial do cabo com 18 elementos 99

Figura 5.13 Geometria do cabo nas posies inicial e final 99

Figura 5.14 Cabo suspenso com 2 elementos 100

Figura 5.15 Cabo suspenso sob carregamento concentrado e peso prprio 102

Figura 5.16 Estrutura da Fig. 5.15 nas posies de equilbrio inicial e deslocada

102

Figura 5.17 Cabo livremente suspenso submetido a carga distribuda ao longo

do vo e cargas concentradas 105

Figura 5.18 Posies inicial e final do cabo da Fig. 5.17 106

Figura 5.19 Estrutura hipersttica com 3 cabos em regime elasto-plstico

107

Figura 5.20 Comportamento elasto-plstico perfeito- lei constitutiva 01 108

Figura 5.21 Curva carga x deslocamento para a estrutura da Fig.5.15 com a lei

constitutiva 01 110

Figura 5.22 Comportamento elasto-plstico lei constitutiva 02 114

Figura 5.23 Curvas carga aplicada x deslocamento para a estrutura da Fig. 5.19

segundo as leis constitutivas 01 e 02 115

Figura 5.24 Comportamento elasto-plstico com strain-hardening - lei

constitutiva 03 116

Figura 5.25 Curva carga x deslocamento para a estrutura considerando

strain-hardening 118

Figura 5.26 Cabo suspenso com 2 elementos submetido a carga concentrada

119

Figura 5.27 Curva tenso-deformao(=l/l) para cordoalhas (1x37) segundo

Murray&Willems 119

Figura 5.28 Curva carga aplicada x deslocamento do ponto B para as anlises

vii

elstica e inelstica 122

Figura 5.29 Curva carga aplicada x fora de trao para as anlises elstica

e inelstica 122

viii

Lista de Tabelas

Tabela 4.1 Fator de ocupao para cabos e cordoalhas 58

Tabela 4.2 Resistncia trao de cabos de ao 59

Tabela 4.3 Parmetros recomendados para as cordoalhas ensaiadas por

Murray&Willems 62

Tabela 4.4 Parmetros recomendados por Murray&Willems para cordoalhas

com dimetros inferiores a 31,8mm (1 1/4in) 63

Tabela 5.1 Resultados tericos e do programa do exemplo 5.2.1 97

Tabela 5.2 Resultados relativos geometria do exemplo 5.2.2 100

Tabela 5.3 Resultados relativos a esforos e reaes do exemplo 5.2.2 100

Tabela 5.4 Resultados do exemplo 5.2.3 por vrios programas 101

Tabela 5.5 Resultados do exemplo 5.2.3 pelo programa Cabos-NLFG 101

Tabela 5.6 Esforos nos elementos para a estrutura da Fig. 5.15 103

Tabela 5.7 Nmero de iteraes x nmero de elementos 103

Tabela 5.8 Nmero de incrementos x trao mxima, flecha mxima

e nmero de iteraes 104

Tabela 5.9 Nmero de elementos x trao mxima, flecha mxima

e tempo de processamento 104

Tabela 5.10 Tabela comparativa para o cabo da Fig. 5.13 106

Tabela 5.11 Resultados analticos considerando a lei constitutiva 01 109

Tabela 5.12 Resultados da anlise numrica considerando a lei constitutiva 01

109

Tabela 5.13 Resultados da anlise numrica considerando a lei constitutiva 02

114

Tabela 5.14 Resultados da anlise numrica considerando lei constitutiva 03

117

ix

Tabela 5.15 Resultados da anlise inelstica do cabo da Fig. 5.25 120

Tabela 5.16 Resultados da anlise elstica do cabo da Fig. 5.25 121

x

Resumo

Com o objetivo de avaliar o comportamento no-linear das estruturas de cabos

suspensos, apresentada uma teoria geral para a anlise pelo mtodo dos

elementos finitos. Essa formulao considera os comportamentos no-lineares

fsico (NLF) e geomtrico (NLG) das estruturas. O desenvolvimento terico

feito dentro de uma formulao Lagrangiana, que utiliza a tcnica corrotacional

para a deduo consistente da matriz de rigidez tangente do elemento de cabo. A

formulao apresentada bastante geral, permitindo que os ns sofram grandes

deslocamentos e os elementos sofram grandes alongamentos e, alm disso, esses

elementos podem ser constitudos de material elasto-plstico. Ser feita a anlise

esttica da estrutura atravs de carregamento incremental, montono e

estritamente crescente, proporcional ou no, at o colapso global da estrutura. A

soluo do problema exige um procedimento incremental-iterativo, do tipo

Newton-Raphson, para se alcanar a convergncia da soluo. Dessa forma, foi

desenvolvido um programa de computador consistente e de fcil utilizao que

permite a anlise de cabos suspensos, levando-se em considerao os efeitos dos

grandes deslocamentos envolvidos e o comportamento inelstico dos cabos. A

implementao computacional do elemento feita atravs da linguagem de

programao PASCAL dentro das padronizaes do DELPHI. Os exemplos

apresentados so comparados com resultados tericos ou de outros programas de

computador amplamente testados, demonstrando a consistncia e preciso do

programa desenvolvido.

Palavras chave: Anlise no linear, estruturas de cabos, elementos finitos.

xi

Abstract

A general theory for the analysis of the non-linear behaviour of suspension

cables structures by the finite element method is presented. The formulation

takes into account the material and geometric nonlinearities. The theory is

developed applying a Lagrangian formulation where the corotacional technique

is used to obtain the tangent stiffness matrix of the space cable element. The

formulation intends to be as general as possible, allowing for the nodes to

undergo large displacements and the elements to undertake large strains. Besides,

elasto-plastic material can be used. A static incremental analysis will be

perfomed, applying an incremental, monotonic and increasing load, proportional

or not, until partial or global failure of the cable structure occurs. The solution of

the problem requires an incremental-iterative procedure, such as the Newton-

Raphson Method, to insure the convergence. An easy-to-use computer program

was developed which allows for analyses of suspension cables taking

encompassing large displacements effects and the inelastic behaviour of the

cables. The computational coding of the element was performed using the

PASCAL programming language obeying the DELPHI 4.0 standards. The

examples presented were compared with theoretical results and with results

produced by some commercial programs, showing the correctness and accuracy

of the developed program.

Key words: Non-linear analysis, cables structures, finite elements.

CAPTULO 1

Introduo

1.1 Consideraes Iniciais

As estruturas formadas por cabos constituem sistemas estruturais de grande

aplicao prtica na engenharia, tais como pontes pnseis, linhas de transmisso,

telefricos, cabos tensores (estais) para torres elevadas e coberturas pnseis.

As coberturas pnseis so formadas por um sistema estrutural, geralmente

formado por cabos de ao ou por cabos e barras de ao e um sistema vedante que

se apia no sistema estrutural. Devido s caractersticas de estruturas simples,

leves, versteis, econmicas, facilidade de montagem, vencer grandes reas

livres, tm vasto campo de aplicao, tais como na cobertura de ginsios de

esporte, estdios, piscinas, supermercados, depsitos, fbricas, igrejas, teatros,

pavilhes de exposio, feiras, aeroportos, terminais rodovirios, ferrovirios e

martimos e outras construes.

Podem ser citadas algumas obras importantes que tm sido projetadas nas ltimas

dcadas com a utilizao de cabos em diversos pases, como por exemplo:

a) o estdio de patinao (1966) em Presov na Eslovquia com dimenses de

78,4mx92,0 m.

2

b) a piscina coberta (1971) em Ceska Budejovice na Repblica Tcheca com

dimenses de 54 m x 64 m.

c) o palcio de esportes de Milo (1973) com 128 m de dimetro.

d) o estdio olmpico de Calgary (1983) no Canad, dimetro de 67,65 m.

e) a arena de esportes (1985) em Atenas com dimetro de 113,96 m.

No Brasil, o projeto, clculo, execuo e montagem de estruturas estaiadas j tm

sido realizados, principalmente em torres estaiadas de estruturas metlicas, Fig.

1.1, sendo utilizadas, na sua maioria, nas reas de telecomunicaes e

eletrificao.

A anlise estrutural das estruturas formadas por cabos torna-se complexa devido

ao comportamento no-linear, oriundo da importncia dos efeitos de segunda

ordem produzidos pelas reaes normais dos cabos e cargas externas durante os

grandes deslocamentos que ocorrem nestas estruturas.

Alm disso, os prprios cabos possuem um comportamento no-linear, pois as

suas propriedades de rigidez variam com a deformada e com as tenses a que

esto sujeitos.

Figura 1.1 Torre estaiada

3

Portanto, o clculo envolve no apenas o desenvolvimento das relaes no-

lineares entre foras e deslocamentos, mas tambm a difcil tarefa de se obter

uma soluo numrica correta para as equaes que descrevem o comportamento

destas estruturas de cabos.

Neste projeto de pesquisa, apresenta uma teoria geral para anlise de estruturas

de cabos suspensos, pelo mtodo dos elementos finitos, considerando-se os

comportamentos no-linear Geomtrico (NLG) e Fsico (NLF) envolvidos no

problema, utilizando-se a tcnica corrotacional para a deduo consistente das

matrizes de rigidez dos elementos de cabo. A soluo do problema no-linear

exige tambm um procedimento iterativo para se alcanar a convergncia do

mtodo.

Em se tratando do carregamento da estrutura, esse trabalho abranger as cargas

do tipo peso prprio, cargas concentradas e carga distribuda, no se

considerando cargas dinmicas e efeitos oriundos de vibraes dos cabos.

Ser feita a anlise esttica considerando o carregamento incremental, montono

e estritamente crescente, proporcional ou no, at que ocorra o colapso parcial ou

global da estrutura.

1.2 Objetivos

Este trabalho tem como objetivos apresentar um estudo terico sobre as

estruturas de cabos suspensos para diversos tipos de carregamentos; desenvolver

uma formulao, via elementos finitos, para a anlise de estruturas de cabos onde

sero consideradas as no-linearidades geomtrica e fsica, e ainda, desenvolver

um software para PCs e implement-lo utilizando-se um processo

incremental-iterativo para o estudo do comportamento no-linear destas

estruturas.

4

1.3 Organizao do Texto

Este trabalho foi dividido em seis captulos, cada um deles tratando de cada uma

das fases do trabalho. Apresenta-se a seguir, uma breve descrio do contedo de

cada um dos demais captulos que compoem o trabalho.

No captulo 2 faz-se um estudo analtico dos cabos suspensos, considerando-se as

hipteses de que os mesmos sejam perfeitamente flexveis e inextensveis. As

condies para garantir o equilbrio so formuladas para um problema

bidimensional, considerando-se trs tipos de carregamentos, a saber: cabos com

cargas concentradas, cabos com carga distribuda ao longo do vo (parbola) e

carga distribuda ao longo do comprimento (catenria).

No terceiro captulo apresentada uma teoria geral, pelo mtodo dos elementos

finitos, para a anlise no-linear das estruturas de cabos, considerando tanto o

comportamento no-linear geomtrico quanto o comportamento no-linear fsico

envolvidos no problema.

No quarto captulo apresentam-se os aspectos fundamentais da implementao

computacional do programa desenvolvido. So discutidos aspectos da

implementao da configurao de equilbrio inicial, da utilizao do mtodo de

Newton-Raphson usado no processo incremental-iterativo para a soluo do

problema no-linear e o critrio de convergncia adotado para a verificao do

final do processo. So discutidos modelos constitutivos para os cabos e os

procedimentos para a anlise incremental das tenses e deformaes no

comportamento elasto-plstico unidimensional. ainda apresentada uma breve

descrio de cada uma das subrotinas usadas no programa desenvolvido.

No quinto captulo so apresentados exemplos numricos onde se pretende

mostrar a eficcia da formulao utilizada, a preciso dos resultados obtidos pelo

programa desenvolvido, quando comparados com resultados tericos da

5

literatura e de outros programas existentes. Inicialmente so analisados exemplos

onde consideram apenas a no-linearidade geomtrica para diversos tipos de

carregamento e, em seguida, faz-se a anlise no-linear geomtrica e fsica de

estruturas de cabos, considerando-se diversos modelos constitutivos.

Finalmente, no sexto captulo so apresentadas as concluses deste trabalho e

sugestes para trabalhos futuros.

CAPTULO 2

Estudo Analtico dos Cabos

2.1 Introduo

Os cabos so elementos freqentemente usados em aplicaes de engenharia para

suportar e transmitir cargas. Na anlise das foras atuantes nesses sistemas

estruturais, o peso dos cabos pode ser desprezado ou no, dependendo de sua

aplicao.

Quando utilizados para suportar pontes suspensas ou em talhas mecnicas, os

cabos se destacam na transmisso de carregamentos e, neste caso, o seu peso

pode ser desprezado tendo-se em vista seu baixo valor em relao s cargas a ser

suportadas. Por outro lado, quando utilizados em linhas de transmisso ou no

estaiamento de torres e tendas, por exemplo, seu peso pode ser importante e deve

ser includo na anlise.

Num estudo analtico introduzem-se as seguintes hipteses simplificadoras:

admite-se que o cabo seja perfeitamente flexvel e inextensvel. Por ser flexvel,

no oferece resistncia flexo e, portanto, a fora de trao atuante sobre ele

7

ser sempre tangente sua geometria nos pontos ao longo de seu comprimento.

Por ser inextensvel, os cabos tm o mesmo comprimento antes e depois da

aplicao da carga. Dessa forma, uma vez aplicada a carga, a geometria

deformada permanece fixa e o cabo ou cada segmento do cabo pode ser tratado

como corpo rgido.

As condies para garantir o equilbrio sero formuladas, neste captulo, para um

problema bidimensional, ou seja, os casos de carregamento analisados estaro

sempre coplanares com o cabo.

Considerando-se essas hipteses, apresentado a seguir um estudo dos cabos

suspensos para trs tipos de carregamentos, baseado em Barbato [1972], Beer e

Johnston [1994], Hibbeler [1999] e Leonard [1988].

Cabos com cargas concentradas.

Cabos com cargas distribudas ao longo do seu vo (parbola).

Cabos com cargas distribudas ao longo do seu comprimento (catenria).

2.2 Cabos com Cargas Concentradas

Quando o cabo suporta vrias cargas concentradas supe-se, neste caso, que o

peso do cabo seja desprezvel e este assume a forma de vrios segmentos de reta,

cada um dos quais com fora de trao constante. Considere, por exemplo, o

cabo mostrado na Fig. 2.1, onde as distncias h, L1, L2 e L3 e as cargas P1 e P2 so

conhecidas.

Neste caso, o problema constitudo de nove incgnitas que consistem na trao

em cada um dos trs segmentos, nas quatro componentes das reaes nos pontos

A e B e nos deslocamentos yC e yD dos pontos C e D. Para a soluo deste

problema, dispomos de duas equaes de equilbrio em cada um dos pontos A, B,

8

C e D, totalizando oito equaes. Sendo assim, ser necessrio conhecer algo

mais sobre a geometria do cabo para obter a nmero de equaes necessrias

que, neste caso, so nove. Por exemplo, o comprimento do cabo pode ser

especificado ou ento um dos deslocamentos yC ou yD dos ns C ou D.

Figura 2.1 - Cabo suspenso com apoiosdesnivelados e cargas concentradas ao longo do vo

2.3 Cabos com Carga Uniformemente Distribuda ao Longo do Vo(Parbola)

Neste caso, supe-se que o cabo suporta uma carga uniformemente distribuda ao

longo do seu vo e que seu peso prprio pode ser desprezado na anlise. Como

exemplo de aplicao, pode-se citar o caso das pontes pnseis.

O objetivo a seguir obter as equaes de equilbrio de um cabo, submetido a

um carregamento distribudo ao longo do seu vo, considerando-se as condies

de apoio nivelados e desnivelados, visando mostrar que a sua configurao de

equilbrio parablica.

2.3.1 Cabo suspenso com apoios nivelados

Considere-se o cabo AB sem peso mostrado na Fig. 2.2, com apoios nivelados,

sujeito a um carregamento uniformemente distribudo p(x).

9

Figura 2.2 - Cabo suspenso com apoios nivelados ecarregamento uniformemente distribudo ao longo do vo

Onde A a inclinao do cabo no ponto A e f a flecha no meio do vo.

Considere-se o diagrama de corpo livre do elemento de cabo, representado na

Fig. 2.3.

Figura 2.3 - Elemento de cabo com carregamentouniformemente distribudo ao longo do vo.

Onde dx e dy so os comprimentos infinitesimais nas direes x e y, odS o

comprimento infinitesimal do elemento de cabo, 000 dHH e H + so as foras

horizontais nas extremidades do elemento de cabo, 00 dVV + so as foras

verticais nas extremidades do elemento de cabo e o ngulo de inclinao do

elemento de cabo.

10

As condies de equilbrio aplicadas ao referido elemento,

== = 0M e0 Fy 0,Fx 0 , permitem escrever:

==

==

dxVdyHpdxdV

ConstanteH 0dH

00

0

00

(2.1)

Tendo-se em vista que H0 constante, obtm-se com auxlio das Eqs. (2.1) a

equao diferencial de equilbrio:

02

2

Hp

dxyd = (2.2)

que integrada duas vezes fornece:

10

CxHpy' += (2.3)

212

0

CxCx2H

py ++= (2.4)

Das condies de contorno da Fig. 2.1, tem-se que y=0 para x=l/2 e y=0 para

x=0, que levando nas Eqs. (2.3) e (2.4), obtm-se:

=

=

0C

2HplC

2

01

(2.5)

Introduzindo-se as constantes C1 e C2 nas Eqs. (2.3) e (2.4), obtm-se a equao

da tangente curva do cabo:

00 2Hplx

Hpy' = (2.6)

e a equao da parbola que define a configurao de equilbrio do cabo:

x2Hplx

2Hpy

0

2

0

= (2.7)

11

Fora horizontal 0H :

Conhecendo-se a flecha f para x=l/2, da Eq. (2.7) encontra-se Ho que dado por:

8fplH

2

0 = (2.8)

Comprimento do cabo 0S :

Da Fig. 2.3 tem-se que 2220 dydxds += , de onde se demonstra que:

dx)(y'1sd 20 += (2.9)

Integrando-se a Eq.(2.9), com o auxlio da Eq.(2.6), obtm-se o comprimento do

cabo:

+

+=

0

12

00

00 2H

pl2senh2Hpl1

Hpl

2pHS (2.10)

Fora de trao no cabo T :

Considerando a Fig. 2.4 e sendo 0H constante, tem-se que:

=

cos0HT (2.11)

Figura 2.4 Trao no elemento de cabo

Sendo 0ds

dxcos = e com o auxlio da Eq. (2.9) chega-se fora de trao no

cabo, que varivel ao longo do vo:2

0 )(y'1HT += (2.12)

12

Desenvolvendo-se a Eq. (2.12), com o auxlio da Eq. (2.6), chega-se fora de

trao no cabo:2

000 2H

plHpx1HT

+= (2.13)

2.3.2 Cabo suspenso com apoios desnivelados

Quando o cabo suspenso est com apoios desnivelados, a sua configurao

inicial de equilbrio pode ser determinada analiticamente para vrios parmetros

apropriadamente escolhidos. A seguir apresentado um estudo analtico, para um

cabo suspenso AB, com apoios desnivelados (desnvel h) e carregamento

uniforme distribudo p(x) ao longo do vo l, conforme mostrado na Fig. 2.5

Figura 2.5 - Cabo suspenso com apoios desnivelados ecarregamento uniformemente distribudo ao longo do seu vo

a) Desnvel ( h ) e ngulo ( A ) conhecidos

Das condies de contorno da Fig. 2.5, tem-se que para x=0, Atany' = e y=0,

que levando-se nas Eqs. (2.3) e (2.4) obtm-se:

=

=

0C

tanC

2

A1 (2.14)

13

Introduzindo-se a constante C1 na Eq. (2.3), obtm-se a equao da tangente

curva do cabo:

A0

tanxHpy' += (2.15)

Introduzindo-se as constantes C1 e C2 na Eq. (2.4) e sabendo-se que em x=l para

y=h, obtm-se a equao da parbola que define a configurao de equilbrio do

cabo desnivelado:

xtanxl

ltanhy A2

2A +

= (2.16)


Da Eq. (2.4) e sabendo-se que para x=0, y=0 e Ay = tan' e para x=l, y=h,

obtm-se 0H que dado por:

A

2

0 2ltan2hplH

= (2.17)


Conhecendo-se a fora horizontal H0 dada pela Eq. (2.17) e integrando-se a Eq.

(2.9) com o auxlio da Eq. (2.15), obtm-se o comprimento do cabo desnivelado:

( )

++

+

++

+=

A

1A

0

10

AA

2

A0

A0

00

tansenhtanHplsenh

2pH

sectantanHpl1tan

Hpl

2pHS

(2.18)


Das Eqs. (2.11) e (2.15) obtm-se a fora de trao no cabo desnivelado:2

A0

0 tanHpx1HT

++= (2.19)

14

b) Desnvel ( h ) e abscissa do vrtice ( Vx ) conhecidos

Das condies de contorno da Fig. 2.5, temos que 0='y para Vxx = e y=h para

x=l. Da Eq. (2.15) obtm-se:

0

VA H

pxtan = (2.20)

que levando-se nas Eqs. (2.15) e (2.16), obtm-se as equaes da tangente e da

curva parablica que define a configurao de equilbrio do cabo, dadas

respectivamente por:

)x(xHpy' V

0

= (2.21)

x)2x(x)2lx(l

hy V2

V2

= (2.22)


Das Eqs. (2.17) e (2.20) encontra-se H0 que dado por:

)2lx(l2hpH V

20 = (2.23)


Conhecendo-se a fora horizontal H0 dado pela Eq. (2.23) e integrando-se a Eq.

(2.9) com o auxlio da Eq. (2.21), obtm-se o comprimento do cabo:

++

++

+

=

20

2V

2

V20

2V

2

V

0

V1

0

V100

Hxp1x

H)x(lp1)x(l

21

Hpxsenh

H)xp(lsenh

2pHS

(2.24)

15


Das Eqs. (2.12) e (2.21) obtm-se a fora de trao no cabo:2

V0

0 )x(xHp1HT

+= (2.25)

c) Desnvel ( h ) e flecha do vrtice ( f ) conhecidosDas condies de contorno da Fig. 2.5 sabe-se que 0CtanC 2A1 == e . Sendo

Vxxfy == para , das Eqs. (2.4) e (2.17) obtm-se para a parbola com vrtice

entre os apoios o valor de A dado por:

[ ](h/f)11l

2ftanA += (2.26)


curva parablica que define a configurao de equilbrio do cabo, dadas

respectivamente por:

++= )(h/f)1(1

l2fx

Hpy'

0

(2.27)

xl

)(h/f)12f(1x

l)(h/f)12f(1h

y 22

++

+= (2.28)


Das Eqs. (2.17) e (2.26) encontra-se H0 que dado por:

( )22

0(h/f)112f

plH+

= (2.29)


Conhecendo-se a fora horizontal H0 dada pela Eq. (2.28) e integrando-se a Eq.

(2.9) com o auxlio da Eq. (2.27), obtm-se o comprimento do cabo :

16

( )

++

+

++

+= bsenhb

Hplsenh

2pHb1bb

Hpl1b

Hpl

2pHS 1

0

1022

00

00

(2.30)

onde: l

)(h/f)12f(1b

+=


Das Eqs. (2.14) e (2.27) obtm-se a fora de trao no cabo:2

00 )(h/f)1(1l

2fxHp1HT

+++= (2.31)

2.4 Cabos com Carga Uniformemente Distribuda ao Longo doComprimento(Catenria)

Quando o peso prprio do cabo se torna importante na anlise de foras, estuda-

se o caso do cabo com uma carga uniformemente distribuda ao longo do seu

comprimento. Como exemplo de aplicao, pode-se citar o caso das linhas de

transmisso. O objetivo a seguir obter as equaes de equilbrio de um cabo,

submetido a um carregamento distribudo ao longo do seu comprimento,

considerando-se as condies de apoio nivelados e desnivelados, visando mostrar

que na sua configurao de equilbrio, ele assume uma configurao de catenria.

2.4.1 Cabo suspenso com apoios nivelados

Considere-se o cabo AB mostrado na Fig. 2.6, com apoios nivelados, sujeito ao

seu peso prprio g(x), onde A a inclinao do cabo no ponto A e f a flecha

no meio do vo.

17

Figura 2.6 - Cabo suspenso com apoios nivelados com carregamentouniformemente distribudo ao longo do seu comprimento

Considere-se o diagrama de corpo livre do elemento de cabo da Fig. 2.7.

Figura 2.7 - Elemento de cabo com carregamentouniformemente distribudo ao longo de seu comprimento

Onde dx e dy so os comprimentos infinitesimais nas direes x e y, odS o

comprimento infinitesimal do elemento de cabo, 000 dHH e H + so as foras

horizontais nas extremidades do elemento de cabo, 00 dVV + so as foras

verticais nas extremidades do elemento de cabo e o ngulo de inclinao do

elemento de cabo.

As condies de equilbrio aplicadas ao referido elemento,

== = 0M e0 Fy 0,Fx 0 , permitem escrever:

==

==

dxVdyHgdSdV

ConstanteH 0dH

00

00

00

(2.32)

18

Tendo-se em vista que H0 constante, obtm-se com o auxlio das Eqs. (2.32) a

equao diferencial de equilbrio:2

02

2

dxdy1

Hg

dxyd

+= (2.33)

que integrada duas vezes fornece:

+= 1

0

CHgxsenhy' (2.34)

210

0 CCHgxcosh

gHy +

+= (2.35)

Das condies de contorno da Fig. 2.6, tem-se que y=0 para x=l/2 e y=0 para

x=0, que levando-se nas Eqs. (2.34) e (2.35), obtm-se:

=

=

0

02

01

2Hglcosh

gHC

2HglC

(2.36)

Introduzindo-se as constantes C1 e C2 nas Eqs. (2.34) e (2.35), obtm-se a

equao da tangente curva do cabo:

( )

= l2x

2Hgsenhy'

0

(2.37)

e a equao da catenria que define a configurao de equilbrio do cabo:

=

000

0

2Hglcosh

2Hglx

Hgcosh

gHy (2.38)


Conhecendo-se a flecha f em x=l/2, da Eq. (2.38) encontra-se, por tentativas, o

valor de Ho que vem de:

19

=

0

0

H2gl1

gHf cosh (2.39)


Conhecendo-se a fora horizontal H0 que vem da Eq. (2.39) e integrando-se a

equao dx)(y'1ds 20 += com auxilio da Eq. (2.37), obtm-se o comprimento

do cabo :

=

0

00 H2

glgH2S senh (2.40)


Desenvolvendo-se a equao 20 )(y'1HT += com o auxlio da Eq. (2.37)

chega-se finalmente fora de trao no cabo:

( )

=+= lx2

H2gHy1HT

00

20 cosh)'( (2.41)

2.4.2 Cabo suspenso com apoios desnivelados

Analogamente ao item 2.3.2, apresentado um estudo analtico para um cabo

suspenso, com apoios desnivelados (desnvel h) e carregamento uniforme

distribudo g(x) ao longo do comprimento conforme visto na Fig. 2.8.

Figura. 2.8 - Cabo suspenso com apoios desnivelados comcarregamento uniformemente distribudo ao longo do seu comprimento

20

a) Desnvel ( h ) e ngulo )( A conhecidosDas condies de contorno da Fig. 2.8, tem-se que para x=0, Atany' = e y=0

que levando-se nas Eqs. (2.34) e (2.35), obtm-se:

( )

( )[ ]

=

=

A10

2

A1

1

tansenhcoshg

HC

tansenhC(2.42)

Introduzindo-se a constante C1 na Eq. (2.34), obtm-se a equao da tangente

curva do cabo:

( )

+= A

1

0

tansenhHgxsenhy' (2.43)

Introduzindo-se as constantes C1 e C2 na Eq. (2.35), obtm-se a equao da

catenria que define a configurao de equilbrio do cabo:

( ) ( )[ ]

+= A

1A

1

0

0 tansenhcoshtansenhxHgcosh

gHy (2.44)


Sabendo-se que em x=l, y=h, da Eq. (2.44) encontra-se por tentativas o valor de

Ho :

( ) ( )[ ]

+= A

1A

1

0

0 tansenhcoshtansenhlHgcosh

gHh (2.45)


Conhecendo-se a fora horizontal H0 e integrando a Eq. (2.9) com o auxlio da

Eq. (2.43), obtm-se o comprimento do cabo:

( )

+= AA

1

0

00 tantansenhH

glsenhg

HS (2.46)


Das Eqs. (2.12) e (2.43) obtm-se a fora de trao no cabo:

21

( )

+= A

1

00 tansenhH

gxcoshHT (2.47)

b) Desnvel ( h ) e abscissa do vrtice ( Vx ) conhecidosSabendo-se que 0y' = para Vxx = , da Eq. (2.43) obtm-se:

( )0

VA

1

Hgxtansenh = (2.48)


curva catenria que define a configurao de equilbrio, dadas respectivamente

por:

= )x(x

Hgsenhy' V

0

(2.49)

=

0

VV

0

0

Hgxcosh)x(x

Hgcosh

gHy (2.50)


Sabendo-se que em x=l, y=h, da Eq. (2.50) encontra-se, por tentativas, o valor de

Ho que vem de :

=

0

VV

0

0

Hgxcosh)x(l

Hgcosh

gHh (2.51)


Conhecendo-se a fora horizontal H0 oriunda da Eq. (2.51) e integrando-se a Eq.

(2.9) com o auxlio da Eq. (2.49), obtm-se o comprimento do cabo:

+

=

0

VV

0

00 H

gxsenh)x(lHgsenh

gHS (2.52)



= )x(x

HgcoshHT V

00 (2.53)

22

c) Desnvel ( h ) e flecha do vrtice ( f ) conhecidosSabendo-se que fy = para Vxx = , da Eq. (2.50) obtm-se:

=

00

V

Hgf1

Hgxcosh (2.54)

=

0

10V H

gf1coshg

Hx (2.55)

Substituindo-se as Eqs. (2.54) e (2.55) nas Eqs. (2.49) e (2.50), obtm-se as

equaes da tangente e da curva catenria que define a configurao de equilbrio

do cabo, dadas respectivamente por:

=

0

1

0 Hgf1cosh

Hgxsenhy' (2.56)

fg

HHgf1cosh

Hgxcosh

gHy 0

0

1

0

0 +

= (2.57)


Sabendo-se que em x=l, y=h, da Eq. (2.57) encontra-se, por tentativas, o valor de

Ho que vem de:

fg

HHgf1cosh

Hglcosh

gHh 0

0

1

0

0 +

= (2.58)


Conhecendo-se a fora horizontal H0, que vem da Eq.(2.58) e integrando-se a Eq.

(2.9) com o auxlio da Eq. (2.56), obtm-se o comprimento do cabo :

+

=

0

1

0

1

0

00 H

gf1coshsenhHgf1cosh

Hglsenh

gHS (2.59)



=

0

1

00 H

gf1coshHgxcoshHT (2.60)

CAPTULO 3

Formulao Numrica

3.1 Introduo

Visando o estudo das estruturas de cabos, apresentada neste captulo uma teoria

geral para a anlise no-linear das mesmas pelo mtodo dos elementos finitos.

Esta formulao considera tanto o comportamento no-linear geomtrico quanto

o fsico envolvidos no problema.

A formulao apresentada pretende ser a mais geral possvel, permitindo que os

ns sofram grandes deslocamentos e os elementos de cabos sofram grandes

alongamentos e, alm disto, estes elementos podem ser constitudos de material

elasto-plstico.

O desenvolvimento terico apresentado a seguir tem como base os trabalhos de

Pimenta [1986a e 1986b], Lavall [1996] e Leite[2000] e feito dentro de uma

rigorosa formulao Lagrangiana, que utiliza a tcnica corrotacional para a

deduo consistente das matrizes dos elementos de cabos no espao

tridimensional.

24

3.2 Deformaes e Tenses

Seja um elemento de cabo onde se designam por Vr, Ar e lr , o seu volume, a sua

rea da seo transversal e o seu comprimento, respectivamente, na configurao

de referncia ou inicial. Por Vc, Ac e lc so designados o seu volume, a sua rea da

seo transversal e o seu comprimento, respectivamente, na configurao

corrigida ou deformada, no qual atua uma fora normal N, conforme a Fig. 3.1,

sendo vlidas as seguintes equaes:

==

ccc

rrr

l AVl AV

(3.1)

Figura 3.1 - Elemento de cabo nas suasconfiguraes de referncia e corrigida.

Uma medida de deformao definida como qualquer grandeza que compare os

comprimentos do elemento nas configuraes de referncia e corrigida. Uma

medida bsica de deformao o estiramento do elemento, dado por:

r

c

ll

= (3.2)

Uma famlia de medidas de deformao ou famlia de deformaes pode ser

definida atravs de:

=

=0m,

0m, m2

1m2

m

ln

)((3.3)

25

Com a ajuda da Eq. (3.2) e variando-se o valor de m, podem ser explicitados

alguns membros desta famlia. Em particular, neste trabalho ser adotada a

deformao linear para m=1/2, sendo designada por deformao linear ou

tcnica ou de engenharia:

rr

rc

21 l

ll

ll1 ==== (3.4)

Tenses e deformaes conjugadas so aquelas que ao se integrar o produto da

tenso pela taxa de deformao em todo o volume do elemento obtm-se a

energia interna total. Uma famlia de tenses m, conjugada com a famlia de

deformao m dada pela Eq. (3.3), pode ser expressa por:

Nm21

m = (3.5)

onde:

rN A

N= (3.6)

a tenso nominal ou tenso de engenharia.

Adotando-se m=1/2 vem que:

N21 = / (3.7)

Em uma anlise terica consistente de slidos e estruturas, as medidas de tenses

e deformaes devem ser conjugadas e objetivas. Tenses e deformaes

objetivas so invariantes sob movimentos de corpo rgido, ou seja, nenhuma

tenso ou deformao aparece de rotaes puras de corpo rgido.

As tenses e deformaes de engenharia so objetivas somente se as rotaes so

infinitesimais. Para problemas geometricamente no-lineares, a estrutura est, de

fato, submetida a deformaes infinitesimais medidas em relao a um sistema

de coordenadas fixo no elemento e submetida a grandes translaes e rotaes

quando medidas em relao a um sistema de coordenadas global fora do

elemento.

26

Para tornar as medidas de engenharia objetivas, emprega-se, ento, um sistema

de coordenadas fixo ao elemento (sistema corrotacional), no qual os

deslocamentos generalizados so medidos em relao a uma configurao

deformada.

Neste sistema no so considerados os graus de liberdade de corpo rgido,

levando-se em conta apenas os graus de liberdade naturais, associados s

deformaes, os quais so quantidades objetivas. Para levar em conta os

deslocamentos de corpo rgido, necessita-se uma transformao entre os dois

sistemas de coordenadas: um que descreve a configurao indeformada (sistema

de coordenadas Lagrangiano ou Cartesiano fora do elemento), e o outro que

descreve a configurao deformada (sistema de coordenadas corrotacional fixo

no elemento).

Adotando-se todos estes procedimentos, as tenses e deformaes de engenharia

tornam-se um par de medidas de tenso e deformao conjugadas e objetivas.

Elas sero utilizadas como referncia neste trabalho, sendo designadas por:

===

=

===

rN21

rr

rc21

AN

ll

lll1

/

/

(3.8)

3.3 Relaes Constitutivas

Seja a relao entre tenso e deformao expressa por:

( )mmm = (3.9)

O mdulo de rigidez tangente do material do elemento introduzido atravs do

coeficiente angular da curva mm dado por:

27

m

mm d

dD= (3.10)

28

Com o auxlio das Eqs. (3.3) e (3.5) chega-se a uma famlia de mdulos de

rigidez:

N4.m14m2

m 2m)(1DD += (3.11)

Onde fazendo-se m=1/2, tem-se que:

21DD /= (3.12)

Considere-se a Fig. (3.2), onde mostrada a relao tenso-deformao expressa

por )( mmm = , do comportamento elasto-plstico de um elemento de cabo.

Diz-se que o mesmo est em regime elstico se mD nico, sendo denotado por

emD , tanto em carga quanto em descarga. Se o elemento estiver em regime elasto-

plstico, mD pode ter dois valores : emD para o descarregamento elstico ou

epmD

para o carregamento elasto-plstico.

Figura 3.2 - Comportamento elasto-plstico de um elemento de cabo.

Ao se analisar um elemento em regime elasto-plstico distinguem-se, conforme

mostrado na Fig. 3.2, duas regies: uma elstica, onde m menor do que e ,

29

sendo e a tenso inicial de escoamento do material e uma regio elasto-plstica,

onde m maior do que e , de tal forma que:

30

Se ( ) 0 em , o elemento se encontra na fase plstica e emm DD = , se ele

estiver em descarga, ou seja, 0 mm

.

3.4 Sistema de Coordenadas - Graus de Liberdade

3.4.1 Consideraes iniciais

Num desenvolvimento terico baseado em uma rigorosa formulao

Lagrangiana, o sistema de referncia global da estrutura escolhido neste trabalho

foi o sistema de coordenadas Lagrangiano ou Cartesiano. Porm, conforme j

mencionado anteriormente, as tenses e deformaes de engenharia adotadas

como referncia neste trabalho, so energeticamente conjugadas mas no so

objetivas neste sistema.

Para torn-las objetivas, escolhe-se inicialmente um sistema local de coordenadas

corrotacional, diferente do sistema global de referncia, que est ligado ao

elemento, no qual os deslocamentos generalizados so medidos em relao a uma

configurao deformada. Trata-se, portanto de um sistema de referncia mvel

que acompanha a estrutura deformada. Neste sistema os graus de liberdade de

corpo rgido no so considerados, levando-se em conta apenas os graus de

liberdade naturais, que so quantidades objetivas. Escreve-se, ento, as funes

de interpolao para os deslocamentos locais do elemento em funo destes graus

de liberdade e obtm-se as deformaes de engenharia objetivas aplicando-se as

relaes deformao-deslocamento da elasticidade linear neste campo de

deslocamento.

31

Alm disso, a obteno das matrizes de rigidez do problema facilitada, uma vez

que se trabalha com um nmero reduzido de graus de liberdade.

Uma transformao de coordenadas muda do sistema corrotacional local para o

sistema Lagrangiano ou Cartesiano local, levando-se em conta os deslocamentos

de corpo rgido. Finalmente, uma rotao de eixos coloca este ltimo sistema

paralelo ao sistema global de referncia.

3.4.2 Definio dos sistemas de coordenadas e graus de liberdade

Seja uma estrutura de cabo formado por elementos supostamente retos em sua

configurao de referncia ou inicial. Suponha-se que este cabo esteja contido

em um espao tri-dimensional de coordenadas cartesianas x, y, z, definindo o

sistema global de referncia. Os ns do cabo possuem trs graus de liberdade: os

deslocamentos u, v e w ao longo dos eixos x, y e z respectivamente (Fig. 3.3).

Observe-se agora um elemento qualquer de cabo em sua configurao de

referncia, cujo comprimento medido entre os seus ns de extremidade, a e b,

lr. Sobre este elemento introduz-se um sistema de coordenadas local,

corrotacional (xr, yr, zr), com origem no seu centro. Os ngulos formados entre os

eixos de referncia global x, y, z e o eixo do elemento so respectivamente r, r,

r , conforme mostrado na Fig. 3.3.

Para um determinado nvel de carregamento este elemento est deformado e

encontra-se em uma posio atualizada ou corrigida. Nesta configurao o

comprimento entre os seus ns de extremidade lc. Sobre este elemento introduz-

se um sistema de coordenadas corrotacional (xc, yc, zc), com origem no seu

centro.

32

Os ngulos formados entre os eixos de referncia global x, y, z e o eixo do

elemento so respectivamente c, c, c, conforme mostrado na Fig. 3.3.

Figura 3.3 - Elemento de cabo em suas configuraes de refernciae corrigida segundo sistemas globais e locais de referncia.

Desta forma o estiramento do elemento e sua deformao linear ou de engenharia

so dados, respectivamente, por:

=

=

1llr

c

(3.13)

Os graus de liberdade a ser adotados so aqueles referentes ao sistema

corrotacional, que so quantidades objetivas e so denominados graus de

liberdade naturais ou corrotacionais. Estes graus de liberdade podem ser

colecionados num vetor q (1x1), onde =1 e definido por:

{ }1T q=q (3.14)

onde q1 mede a variao de comprimento do elemento e dado por:

rc1 llq = (3.15)

Os graus de liberdade cartesianos pi (i = 1,...6), so definidos por:

33

======

b6b5b4

a3a2a1

wp ; vp ; upwp ; vp ; up

(3.16)

e podem ser colecionados no vetor ip (6x1), denominado vetor dos

deslocamentos nodais do elemento da seguinte forma:

{ }bbbaaaTi wvuwvu=p (3.17)

Sendo xa, xb, ya, yb, za e zb as coordenadas nodais dos elementos na configurao

de referncia, tem-se:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

+=

+=

+=

=

=

=

++=

+++++=

c

36abc

c

25abc

c

14abc

r

abr

r

abr

r

abr

212ab

2ab

2abr

21236ab

225ab

214abc

lppzzarccos

,l

ppyyarccos ,l

ppxxarccos

lzzarccos ,

lyyarccos ,

lxxarccos

zzyyxxl

ppzzppyyppxxl

(3.18)

As derivadas das coordenadas locais corrotacionais q em relao s coordenadas

globais cartesianas pi, ou seja, i pq escritas na forma indicial q,i , onde

=1 e i=1,2,...,6, podem ser escritas numa matriz B (1x6) da seguinte forma:

[ ] ccc ccci, cos cos cos cos coscosq == B (3.19)

onde a matriz B rigorosamente uma matriz de mudana de coordenadas

instantnea e relaciona as variaes dos deslocamentos nas coordenadas locais

corrotacionais com as variaes dos deslocamentos nas coordenadas globais

cartesianas. As derivadas segundas de q em relao a pi, isto , ji2 pp/q

que envolvem apenas geometria e estaro presentes numa parcela da matriz de

34

rigidez geomtrica (teoria de segunda ordem) so dadas em um vetor G (6x6)

por:

35

==

c2

ccc2

ccccc2

c2

ccccc2

ccc2

ccccc2

ccccc2

ccccc2

c

simtrica

l1

sencoscossencoscoscoscossen

sencoscoscoscossencoscossencoscoscoscossencoscoscoscossencoscoscoscossen

Gq ij,

(3.20)

3.5 Teoria Estrutural

A teoria estrutural a ser desenvolvida neste trabalho segue a hiptese cinemtica

atribuda a Bernoulli-Euler, segundo a qual:

As sees transversais planas e ortogonais ao eixo da barra permanecem

planas, indeformveis e ortogonais ao eixo, aps a deformao.

Por esta hiptese, a teoria estrutural utilizada despreza o empenamento das

sees transversais e o efeito da deformao transversal ou de Poisson e, neste

caso, as deformaes segundo os eixos y e z e o coeficiente de Poisson so nulos

( )0 zzyy === . Sendo assim, a nica deformao relevante a deformaolongitudinal xx .

3.6 Cinemtica do Elemento

3.6.1 Campo de deformao

As Eqs. (3.13) mostram que o estiramento de um elemento de cabo no sistema

local, assim como a sua deformao linear ou de engenharia so dados,

respectivamente, por:

36

=

=

1llr

c

onde o ndice c indica a configurao atualizada ou corrigida e o ndice r indica a

configurao inicial ou de referncia.

3.6.2 Campo de deslocamento - consideraes analticas

Da hiptese de Bernoulli-Euler adotada neste trabalho, o campo de deslocamento

dos pontos do elemento de cabo fica completamente caracterizado se conhecidos

os deslocamentos axiais (u ) e transversais (v e w ) dos pontos situados sobre seu

eixo.

Figura 3.4 - Deslocamentos de um ponto de uma seogenrica em relao ao sistema de eixos cartesianos globais.

37

Considerando-se ento, o ponto P da seo do elemento caracterizado pela

distncia r relativa ao seu eixo, conforme mostrado na Fig. 3.4, pode-se escrever

os seus deslocamentos denotados por uc, vc e wc no sistema corrotacional (xc, yc,

zc) por:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

==

==

=

0xwzyxw

0xvzyxv

xuzyxu

cc

cc

cc

,,

,,

,,

(3.21)

onde uc, vc e wc so os deslocamentos longitudinal e transversais do ponto P da

seo do elemento, assim como cu , cv e cw so estes deslocamentos para os

pontos ao longo do seu eixo. Das Figs. 3.3 e 3.4, observa-se que o eixo do

elemento de cabo tem o comprimento infinitesimal rld antes da deformao e

cld aps a deformao, dados por:

[ ] 21222r dzdydxld ++= (3.22)

( ) ( ) ( )[ ] 212c2c2cc wddzvddyuddxld +++++= (3.23)

Para o sistema corrotacional, temos:

0wd e 0vd 0,dz 0dy c_

c_

==== , (3.24)

Portanto:

ccr uddxld e dxld +== (3.25)

O estiramento do eixo do elemento dado por:

r

c

ldld= (3.26)

que com a aplicao das Eqs. (3.25), fornece:

cc u1

dxuddx '+=+= (3.27)

38

Considerando-se uma fibra fora do eixo do elemento tem-se, com o auxlio das

Eqs. (3.21), (3.25) e (3.26):

==+=+

==r

c

r

cr

r

cr

r

c

ldld

dxuddx

dxdudx

dldl (3.28)

Logo, usando as Eqs. (3.27) e (3.28):

cu1 '+== (3.29)

A expresso do campo de deformao, j deduzida anteriormente, dada por

1 = e portanto:

cu'== (3.30)

Este ser o campo de deformao a ser utilizado neste trabalho. Observa-se na

Eq. (3.30), que para a definio do campo de deformao necessrio escolher

as funes de interpolao para o deslocamento cu do eixo do elemento de cabo.

Esta funo de interpolao aproximadora ser, ento, colocada em funo do

grau de liberdade natural (objetivo), q (=1) e o campo de deformao passar

a ser uma funo de:

( )[ ]ipqf = (3.31)

3.7 Equaes de Equilbrio

3.7.1 Equilbrio do elemento

Conhecido o campo de deformao, ( )[ ]i pqf = , o equilbrio do elemento podeser formulado atravs do Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) como:

= Vr rdV w .int (3.32)

onde Vr o volume, a tenso normal e a deformao virtual de uma fibra

na configurao de referncia.

39

A deformao virtual dada pela variao de , dada pela Eq. (3.31), e obtida

com o emprego da regra da cadeia:

ii

ii

p q =pq

qp

=

,,

(3.33)

onde pi o vetor dos deslocamentos nodais virtuais do elemento.

As foras nodais internas Pi so definidas de tal forma que:

iiext p Pw = . (3.34)

Igualando-se as Eqs. (3.32) e (3.34) com a ajuda da Eq. (3.33) e sabendo-se que

i,q representa uma transformao de coordenadas (sistema Corrotacional para o

sistema Cartesiano) que independe do volume de referncia, tem-se a equao de

equilbrio do elemento dada por:

( ) i,rV r,i q dV P = (3.35)

Chamando Q de esforos internos nas coordenadas naturais, tem-se:

= rV r, dV Q (3.36)

e a equao de equilbrio do elemento dada em notao indicial por:

,ii q QP = (3.37)

Reunindo Q e Pi em dois vetores Q e P , respectivamente, pode-se escrever a

equao de equilbrio do elemento na forma matricial por:

QBP T= (3.38)

Matriz de Rigidez Tangente do Elemento no Sistema Local Cartesiano

Sendo ( )p,PP = e pensando numa formulao incremental do equilbrio, aderivada ou a variao de cada incremento de P no tempo pode ser dada por:

40

tp

pP

dtdP

= (3.39)

Chamando, tkpP =

em notao matricial a Eq. (3.39) pode ser dada por:

= pkP t (3.40)

onde tk a matriz de rigidez tangente do elemento nas coordenadas cartesianas.

As componentes kij da matriz de rigidez tangente so as derivadas de Pi em

relao s coordenadas cartesianas pj. Derivando-se a equao de equilbrio

(3.37) com o auxlio da regra da cadeia, tem-se:

ij,j,,iijj

i qQqQqkpP

+==

, (3.41)

Da derivada da Eq. (3.36) e com o auxlio da Eq. (3.10), conclui-se que:

( ) += rV r,,, dV D Q , (3.42)

onde define-se:

= rV r,, dV D D , (3.43)

= rV r, dV H , (3.44)

Levando-se a Eq. (3.42) na Eq. (3.41), com o auxlio das Eqs. (3.43) e (3.44),

tem-se:

321444 3444 21

P efeito pelo lresponsave

rigido corpo de movimento do parcela

ij,

Objetiva Parcela

j,,,i,j,i qQq)HD(qk

++= (3.45)

444 3444 2143421ordem segunda de efeitos os conta em leva

geometrica parcela

ij,j,,i,

vaConstituti Parcela

j,,i,j,i qQqHqq D qk ++= (3.46)

41

Escrevendo em notao matricial, a matriz de rigidez constitutiva vem da parcela

constitutiva da Eq. (3.46) dada por j,,i,M q D qk = .

Sendo B== j,i, qq uma matriz (1x6) e D=,D uma matriz (1x1), do produto

matricial resulta a matriz simtrica (6x6) a seguir:

BDBkM T= (3.47)

A matriz de rigidez geomtrica obtida da parcela geomtrica da Eq. (3.46) dada

por ij,j,,i,G q Qq H qk += que com o auxlio de H=,H =(3x3) e

= Gij,q =(6x6), ambas simtricas, resulta na matriz tambm simtrica:

T

G Q + GHBBk = (3.48)

Finalmente, obtm-se a matriz de rigidez tangente na forma a seguir:

GMt + kkk = (3.49)

+= GHBBBDBk Q + TTt (3.50)

3.7.2 Equilbrio estrutural

Do estudo anterior concluiu-se que o equilbrio do elemento dado na forma

indicial ou matricial, respectivamente, por:

i,i q QP = ou QBP T=

sendo ( )p,PP = .

Para escrever o equilbrio da estrutura, os graus de liberdade cartesianos de um

elemento, p , sero relacionados com os graus de liberdade cartesiano da

estrutura r atravs da seguinte expresso matricial:

42

rAp = (3.51)

onde A a matriz de incidncia cinemtica, responsvel pela compatibilidade

dos deslocamentos nodais do elemento pi , com os deslocamentos nodais da

estrutura rj , composta por 0 e 1. Variando-se a Eq. (3.51), vem que:

rAp = (3.52)

O trabalho virtual interno da estrutura dado pelo somatrio dos trabalhos

virtuais internos dos seus elementos. Assim, com o auxlio da Eq. (3.52), tem-se:

( ) rAPrAPpP = = == TTne1

TiwW .int

Chamando = PAS T o vetor dos esforos internos da estrutura, obtido

somando-se a contribuio de todos os elementos, conclui-se que:

rS = TW .int (3.53)

Como ( )pPP ,= e rAp = ,conclui-se que ( )rSS ,= .

O trabalho virtual externo, supondo-se somente foras externas concentradas

aplicadas nos ns da estrutura, representadas pelo vetor R , dado por:

rR = TextW . (3.54)

Fazendo o trabalho virtual interno, Eq.(3.53), igual ao trabalho virtual externo,

Eq.(3.54), pelo Princpio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V), temos:

rSrR = TT (3.55)

e finalmente:

SR = (3.56)

que representa a equao do equilbrio estrutural.

43

3.7.3 Equaes incrementais do equilbrio

As equaes incrementais do equilbrio da estrutura so obtidas ao se derivar a

Eq. (3.56) no tempo:

= SR (3.57)

Da equao = PAS T vem que:

= PAS T (3.58)

Levando-se a Eq. (3.40),

= ptkP , na Eq. (3.58) obtm-se:

=pt

TkAS (3.59)

Da Eq. (3.52), onde

= rAp , aplicando a Eq. (3.59) fica:

= rAkAS tT (3.60)

Finalmente, pode-se escrever que:

= rKS t (3.61)

onde :

AkAK tT

t = (3.62)

a matriz de rigidez tangente da estrutura, obtida pela contribuio das matrizes

de rigidez de cada elemento, atravs da matriz de incidncia cinemtica A .

Assim, a equao do equilbrio incremental da estrutura, Eq. (3.57),

= SR , pode

ser escrita da seguinte forma, com o auxlio da Eq. (3.61):

= rKR t (3.63)

ou de forma aproximada:

44

rKR = t (3.64)

onde R representa os incrementos no carregamento e r os incrementos nos

deslocamentos nodais.

3.8 Interpolao

Sendo o campo de deformao dado pela Eq. (3.30), c'u == , torna-se

necessrio definir funes aproximadoras para o deslocamento cu do eixo do

elemento de cabo. Estas funes de interpolao para os deslocamentos sero

escritas em funo do grau de liberdade natural ou objetivo, q (=1), obtendo-

se finalmente ( )qf = .

Pode-se adotar diversas interpolaes para cu , ao longo do eixo do elemento de

cabo, de modo que elas fiquem explicitadas em funo de q .

Ser adotada uma interpolao linear para os deslocamentos. Escrevendo em

funo do grau de liberdade natural ou objetivo, tem-se:

( )

+=

21

lxqxu

r

r1rc (3.65)

ou

( ) ( )r11rc x qxu = (3.66)

onde

( )21

lxx

r

rr1 += (3.67)

Tendo-se em vista a equao c'u = , necessria a derivada de ( )rc xu :

( )r

1rc l

qxu =' (3.68)

45

Levando-se a Eq. (3.68) na equao do campo de deformao c'u = , obtm-se

finalmente:

r

1

lq

= (3.69)

Com o objetivo de se calcular Q, D, e H,, conforme as Eqs. (3.36), (3.43) e

(3.44), respectivamente, necessrio encontrar a expresso do elemento de

volume dVr:

rrr dx dAdV = (3.70)

onde Ar a rea da seo transversal do elemento na configurao de referncia.

Derivando duas vezes a equao r

1

lq = em relao a q temos:

r1 l

1=, (3.71)

011 =, (3.72)

Levando-se a Eq. (3.71) na Eq. (3.36) e com o auxlio da Eq. (3.70) obtm-se:

=

2lr

2lr r

r1 dx l

NQ (3.73)

onde

= rdA N (3.74)

a fora normal atuante na seo transversal.

Tomando-se a Eq. (3.43) e introduzindo-se a Eq. (3.71) com o auxlio da Eq.

(3.70), obtm-se:

=

2rl

2rl r2

r11 dx l

CD (3.75)

onde o coeficiente de rigidez C, vale:

= Ar rdA DC (3.76)

46

Finalmente, levando-se as Eq. (3.72) na Eq. (3.44) com o auxlio das Eq. (3.70) e

(3.74), chega-se a:

0H11 = (3.77)

As integrais para obteno de Q1 e D11 so feitas na direo xr e tm como limites

de integrao 2lr e 2lr e, em geral, so computadas numericamente atravs,

por exemplo, do mtodo de Gauss, com pelo menos dois pontos de integrao.

As integrais para obteno de N e C so efetuadas sobre toda a seo.

3.9 Expresses Analticas para a Matriz de Rigidez Tangente

1.1.1 Elementos prismticos em regime elstico linear

Deduz-se a seguir as expresses analticas para N, C, Q1, H11 e D11, em regime

elstico linear.

Determinao da Fora Normal N

Sabendo-se que =E e o campo de deformao dado por r

1c l

q'u1 === ,

com o auxlio da Eq. (3.74) tem-se:

r

1rr l

q A E A EN == (3.78)

que constante na seo e ao longo do elemento.

Determinao da Fora Interna Natural Q1Usando-se a Eq. (3.73) com auxlio da Eq. (3.78), determina-se:

NA El lA Edx

lA EQ r2

rl

2rl r

r

rr

r

r1 = =

=

=+

(3.79)

47

Determinao do Elemento da Matriz D11Usando a Eq. (3.76) e sabendo-se que D=E, tem-se:

rA EC = (3.80)

Da Eq. (3.75) temos:

r

r11 l

AED = (3.81)

Elemento da Matriz H11Da Eq. (3.77), temos que 0H11 = .

Matriz de Rigidez Tangente do elemento em Coordenadas Locais

Cartesianas no Regime Elstico Linear

Finalmente, sabendo-se que GMt kkk += , sendo BDBk TM = e

= GHBBk Q + TG , com o auxlio das Eqs. (3.19), (3.20), (3.77) a (3.81), temos

que a matriz de rigidez tangente do elemento, em regime elstico, no sistema

local em coordenadas cartesianas dada por::

eG

eM

et kkk += (3.82)

Onde:

=

c2

ccc2

ccccc2

c2

ccccc2

ccc2

ccccc2

ccccc2

ccccc2

r

reM

simtrica

lA E

coscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos

k

(3.83)

e

48

=

c2

ccc2

ccccc2

c2

ccccc2

ccc2

ccccc2

ccccc2

ccccc2

c

eG

simtrica

lN



k

(3.84)

3.9.2 Elementos prismticos em regime elasto-plstico

A seguir obteremos as expresses analticas para N, C, Q1, H11 e D11, em regime

elasto-plstico.

Determinao da Fora Normal epN

Sabendo-se que no caso elasto-plstico a lei constitutiva dada por =D e o

campo de deformao por r

1c l

q'u1 === , com o auxlio das Eqs. (3.74) e

(3.76), tem-se:

ClqCN

DdAdADdAN

r

1ep

Ar rAr rAr rep

==

= = =(3.85)

que constante na seo e ao longo do elemento.

Determinao da Fora Interna Natural ep1Q

Usando-se a Eq. (3.73) com auxlio da Eq. (3.85), obtm-se:

ep2rl

2rl

r

1r2

r

12lr

2lr

r

epep1 Nl

q Cdx lq C

lNQ ==

=

=

+

+

(3.86)

Determinao do Elemento da Matriz ep11D

Da Eq. (3.76), = Ar rDdAC , determina-se:

= rA DC (3.87)

49

Levando-se na Eq. (3.75),

=

2rl

2rl r2

r

ep11 dx l

CD , tem-se que:

r

ep11 l

CD == (3.88)

Elemento da Matriz ep11H

Da Eq. (3.77), temos que 0Hep11 = .

Matriz de Rigidez Tangente do elemento em Coordenadas locais Cartesianas

no Regime Elasto-Plstico

Finalmente, de forma anloga ao caso elstico, tem-se que epGepMept kkk += , sendo

BDBk TepM = e = GHBBk Q + TepG , com o auxlio das Eqs. (3.19), (3.20),

(3.77), (3.85) a (3.88), temos que a matriz de rigidez tangente do elemento, em

regime elasto-plstico, no sistema local em coordenadas cartesianas dada por:epG

epM

ept kkk += (3.89)

Onde:

=

c2

ccc2

ccccc2

c2

ccccc2

ccc2

ccccc2

ccccc2

ccccc2

r

epM

simtrica

lC

coscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos

k (3.90)

e

=

c2

ccc2

ccccc2

c2

ccccc2

ccc2

ccccc2

ccccc2

ccccc2

c

epG

simtrica

lN



k (3.91)

CAPTULO 4

Aspectos da Implementao

4.1 Consideraes Iniciais

Neste captulo, descrevem-se os aspectos principais da implementao do

programa de computador Cabos-NLFG, desenvolvido neste trabalho de pesquisa

para a anlise no-linear elasto-plstica de cabos, considerando a formulao

terica apresentada no captulo 3.

Sendo assim, procura-se mostrar a utilizao do mtodo de Newton-Rapshon

para a soluo numrica das equaes no-lineares que descrevem o problema, o

critrio de convergncia adotado para verificao do final do processo

incremental-iterativo e os modelos constitutivos atribudos ao material, bem

como as aproximaes adotadas. Consideraes sobre a gerao dos elementos

de cabos a partir da configurao de equilbrio inicial adotada, aspectos de sua

implementao e uma descrio sucinta das subrotinas do programa

desenvolvido so tambm apresentados.

A Fig. 4.1 mostra o fluxograma do programa Cabos-NLFG, adaptado de

Owen&Hinton [1980], indicando os passos bsicos para se fazer uma anlise

no-linear de estruturas reticulares, assim como as subrotinas componentes do

programa principal.

51

INICIO

GEOMETRIA INICIALDefinio dos ns de contorno, lei constitutiva adotada, atributo dos cabos

(flecha, desnvel, ngulo inicial,etc), clculo da fora horizontal da parbola,correo p/ catenria, gerao da geometria da catenria, etc.

CLCULOCalcula o nmero de equaes, os mdulos elstico, tangente(s),

parmetro(s) de encruamento(s) e define a deformao limite.

GEOMETRIA_ESTRUTURACalcula-se os comprimentos e os cossenos dieretores

dos elementos na sua posio indeslocada.

INICIA_ELEMENTOCALFaz-se a geometria na sua posio indeslocada igual a

geometria atualizada e corrigida.

INICIAR_VARIVEISSo inicializadas e zeradas as variveis envolvidas no programa.

CLCULO_TRAOCalculam-se analiticamente o esforos de trao em cada elemento.

ARQUIVA DADOSArmazena-se os dados iniciais do(s) cabo(s), tais como: incidncia dos

elementos, coordenadas dos ns, restries nodais, lei constitutiva,atributos do(s) cabo(s), cargas aplicadas, etc.

.

INCM:= 1 TO NINCREM

01

52

INCREMENTA_CARGAIncrementao do vetor de cargas.

01

RIGIDEZCalcula-se a matriz de rigidez global da estrutura.

SISTEMA_GAUSSFaz-se o escalonamento da matriz de rigidez, substituio regressiva

para resoluo do sistema de equaes.Calcula-se as reaes de apoio,os deslocamentos e atualiza-se o vetor de cargas nodais totais para

contemplar as reaoes de apoio.

GEOMETRIA_ESTRUTURA_CCalcula-se os comprimentos e cossenos diretores

dos elementos na posio deslocada.

ESFORCO_NORMALClculo dos esforos normais dos elementos e do vetor de

cargas equivalentes..

VERIFICA_CONVERGNCIA_ESFORCOSVerificao da convergncia e calcula o vetor de cargas residuais.

ESCREVE_RESULTADOSResultados do processo incremental-iterativo em um arquivo de

sada, com extenso .sai..

SIM

NO

LO

OP

DO

PR

OC

ESSO

ITER

ATIV

O

LO

OP

DO

PR

OC

ESSO

INC

RE

ME

NTA

L

FINAL

Figura 4.1 Fluxograma do programa principal

53

O programa desenvolvido capaz de fazer a anlise considerando as no-

linearidades geomtrica e fsica envolvidas no problema, baseado num processo

incremental-iterativo, no qual o equilbrio verificado para cada iterao

segundo um critrio de convergncia adotado previamente.

O programa foi feito em linguagem de programao PASCAL, de acordo com as

padronizaes do DELPHI, para analisar somente problemas do tipo cabo

suspenso. Nesta verso no comercial, o programa admite que todos os ns so

rtulas perfeitas e os carregamentos so considerados quase estticos, montonos

estritamente crescentes e aplicados somente nos ns do cabo.

4.2 Implementao da Configurao Inicial de Equilbrio do Cabo

A seguir, faz-se um estudo para a obteno da curva da catenria, funo do peso

prprio do cabo, a qual foi implementada no programa deste trabalho, para

determinar a configurao inicial de equilbrio do cabo suspenso, possibilitando a

a gerao automtica dos ns e elementos da estrutura.

De acordo com as equaes dos itens 2.4.1 e 2.4.2, a determinao da fora

horizontal da catenria 0hF , imprescindvel para a obteno da equao da curva

somente se faz por tentativas e/ou de forma incremental.

Desta forma, utilizou-se o mtodo incremental de Newton-Raphson para

resoluo das equaes e determinao da fora horizontal 0hF , e

conseqentemente, obteno da curva da catenria.

A soluo das equaes tem incio, a partir da atribuio de um valor da fora

horizontal inicial 0hF , obtida da curva parablica, que uma excelente

aproximao para o caso da curva da catenria.

54

Assim sendo, no incio do processo incremental temos:

)(')(

0h

0h0h1h Ff

FfFF = (4.1)

Onde 1hF uma primeira aproximao da fora horizontal da curva da catenria,

)f(F 0h a funo resduo da fora horizontal da catenria e )(Ff' 0h a sua

derivada. A convergncia do processo incremental ocorrer quando o valor da

funo resduo )f(F 0h tender para zero.

A seguir, mostrado de forma sucinta, o procedimento implementado no

programa, para obteno da fora horizontal e, conseqentemente, obteno da

curva da catenria, considerando a combinao dos seguintes parmetros do

cabo: desnvel h, ngulo A , flecha no vrtice f e abscissa do vrtice vx .

a) Desnvel ( h ) e o ngulo )( A conhecidosNeste caso, o valor da fora horizontal inicial 0hF obtida da curva parablica

dada pela Eq.(2.17):

A

2

h0 l2h2plF

=

tan

Da equao da fora horizontal da catenria para os mesmos parmetros acima,

Eq.(2.45), obtemos a funo resduo )f(F 0h dada por:

( ) ( )[ ] hlFg

gFFf A

1A

1

ho

hoho

+= tansenhcoshtansenhcosh)( (4.2)

que derivando uma vez obtem-se:

( ) ( )[ ]

( )

+

+

+=

A1

hoho

A1

A1

hoho

Fgl

FL

lFg

g1Ff

tansenhsenh

tansenhcoshtansenhcosh)('(4.3)

55

b) Desnvel ( h ) e abscissa do vrtice ( Vx ) conhecidosNeste caso, o valor da fora horizontal inicial 0hF obtido da curva parablica

dada pela Eq. (2.23):

)( V2

ho lx2lh2pF = (4.4)


Eq.(2.51), obtemos a funo resduo )f(F 0h dada por:

hFgx

Fxlg

gFFf

ho

V

ho

Vhoho

= cosh)(cosh)( (4.5)


( )

( ) ( )

+

+

+

=

ho

v

hoho

v

ho

v

ho

v

ho

v

ho

vho

Fxlg

Fl

Fgx

Fxlg

Fx

Fgx

Fxlg

g1Ff

senhsenhsenh

coshcosh)('

(4.6)

c) Desnvel ( h ) e a flecha ( f ) conhecidosAnalogamente, o valor da fora horizontal inicial 0hF obtida da curva parablica

dada pela Eq.(2.29):

( )22

hofh11f2

plF)/(+

=


Eq. (2.58), obtemos a funo )f(F 0h dada por:

hfg

FFgf1

Fgl

gFFf ho

ho

1

ho

hoho +

= coshcosh)( (4.7)


56

g1

1Fgf1F

Fgf1

Fglf

- Fgf1

Fgl

Fl -

Fgf1

Fgl

g1Ff

2

hoho

ho

1

ho

ho

1

hoho

ho

1

hoho

+

=

coshsenhcoshsenh

coshcosh)('

(4.8)

4.3 Mtodo de Newton-Raphson

O uso do mtodo dos elementos finitos para anlise no-linear de estruturas,

geralmente leva ao sistema de equaes simultneas da seguinte forma:

0=+Pkp (4.9)

onde p o vetor de incgnitas, P o vetor de cargas aplicadas e k a matriz de

rigidez da estrutura. Se os coeficientes da matriz k dependem das incgnitas p

ou de suas derivadas, o problema se apresenta de uma forma no-linear e, neste

caso, solues diretas da Eq. (4.9) so, em geral, impossveis, havendo portanto a

necessidade do uso de um processo iterativo.

Neste trabalho, adota-se o mtodo Newton-Raphson, onde admite-se que durante

qualquer etapa do processo iterativo de soluo, a Eq. (4.9) no satisfeita a

menos que a convergncia ocorra. No mtodo de Newton-Raphson um sistema

de foras residuais suposto existir de tal forma que:

0+= Pkp (4.10)

As foras residuais podem ser interpretadas como uma medida de quanto a

soluo obtida se distancia do equilbrio.

57

Para problemas estruturais a matriz k pode ser fisicamente interpretada como a

matriz de rigidez da estrutura e o vetor de incgnitas p como o vetor de

deslocamentos nodais. Em uma anlise no-linear incremental, na qual a rigidez,

de alguma forma depende dos deslocamentos nodais, a matriz k igual ao

gradiente da relao foras deslocamento da estrutura e denominada matriz de

rigidez tangente.

A anlise de tais problemas deve ser realizada atravs de um processo

incremental-iterativo, j que a soluo em um determinado estgio no depende

apenas dos deslocamentos obtidos naquele estgio, mas tambm do histrico do

carregamento.

O algoritmo para a soluo deste problema ilustrado na Fig. 4.2 para o caso de

uma nica varivel. A soluo tem incio a partir da atribuio de um valor para

as incgnitas 0p (para problemas estruturais 0p =0). A matriz )k(p0 ,

correspondente a este estado de deslocamento determinada e o vetor 0

ento calculado a partir da Eq. (4.10). A correo 0p calculada da seguinte

forma:

)()( r1rr pp kp = (4.11)

58

Figura 4.2 - Mtodo de Newton-Raphson.

59

Uma melhor aproximao para o vetor de incgnitas ento obtido comr01 ppp += . Este processo iterativo prossegue at a soluo convergir para a

resposta no-linear, o que indicado pela condio de que a norma do vetor r

ou a norma do vetor rp tender para zero.

4.4 Critrio de Convergncia

Neste trabalho, optou-se por implementar o critrio de convergncia baseado nas

foras nodais residuais, por se considerar as foras normais preponderantes neste

tipo de estrutura. Neste caso, os valores das foras nodais residuais em cada

iterao so comparados com os valores da iterao imediatamente anterior. Esta

convergncia deve ser verificada no final de cada iterao do processo numrico.

Uma vez que a variao entre esses valores se torna suficientemente pequena

para cada um dos valores nodais, ento a convergncia foi atingida. Atravs deste

critrio, admite-se que o processo converge se:

( )( )

TOLER100 f 2i

N

1i

2j

i

N

1i

=

= (4.12)

onde i so as foras residuais, fi so as foras totais aplicadas, N o nmero

total de incgnitas do problema, j denota o nmero da iterao e TOLER a

tolerncia em percentual. Observa-se, atravs da Eq. (4.12), que a convergncia

atingida se a norma das foras residuais menor ou igual ao valor da tolerncia

TOLER, multiplicado pela norma das foras totais aplicadas.

O valor da tolerncia TOLER, adotada neste trabalho, foi de 0,1%, por ser mais

adequada para as estruturas de cabos.

60

4.5 Modelos Constitutivos para os Cabos

4.5.1 Caractersticas construtivas dos cabos e cordoalhas

Os sistemas estruturais formados por cabos, so constitudos geralmente por

cordoalhas de ao ou por cabos de ao de fios torcidos. O fio ou arame, um

metal com uma seo transversal circular ou no. Segundo a NBR 6327, arame

um fio de ao obtido por trefilao. Uma cordoalha consiste de um arranjo de

fios dispostos helicoidalmente, em uma ou mais camadas, ao redor de um eixo,

usualmente composto de um fio central, produzindo uma seo simtrica. As

cordoalhas podem ser do tipo aberta, Fig. 4.3, ou fechada, Fig. 4.4.

Figura 4.3 - Cordoalha de ao de sistema aberto.

As cordoalhas do tipo fechada consistem de fios dispostos da mesma forma como

descrito acima, mas que so envolvidos por uma ou mais camadas fechadas de

arames de seo Z. Estas, tm a vantagem sobre a cordoalha aberta de possuir

maior mdulo de elasticidade. A carga ltima, no entanto, no aumenta

proporcionalmente, j que um valor limitado pela resistncia de ruptura dos

arames individuais.

Figura 4.4 - Cordoalha de ao de sistema fechado.

61

Existem cordoalhas para fins estruturais fabricadas com 7 at 277 fios, com

dimetros de 12,7mm (1/2in) a 101,6mm (4in), e fora de ruptura nominal que

vai de 126kN a 8232,5kN, segundo a norma da ASTM A-586/92.

Os cabos de ao de fios torcidos, Fig. 4.5, apresentam uma pluralidade de

cordoalhas, denominadas de pernas, dispostas helicoidalmente ao redor de um

ncleo central, tambm chamado alma, que pode ser composto de uma cordoalha

ou de um outro cabo. Os cabos em geral so encontrados com 6 ou 8 pernas, com

cada uma delas compostas de 7 a 61 fios. Por isso os cabos so identificados por

dois nmeros: o primeiro indicando o nmero de pernas e o segundo indicando o

nmero de fios por perna, por exemplo, cabo 6x19.

Figura 4.5 - Cabo de ao

Os cabos so fabricados com dimetros que variam de 9,5mm (3/8in) at

101,6mm (4in) e fora de ruptura nominal de 52,51kN a 6497kN, segundo norma

da ASTM A-603/94.

A rea metlica de um cabo ou cordoalha de ao constituda pela soma das

reas das sees transversais dos arames individuais que o compem, exceto dos

arames de enchimento (filler). De maneira aproximada pode-se calcular a rea

metlica multiplicando-se a rea total da seo transversal pelo fator de ocupao

que varia em funo da construo do cabo ou cordoalha. Valores tpicos deste

fator encontram-se na Tab. 4.1.

62

Tabela 4.1 Fator de ocupao para cabos e cordoalhas

O contato

uma formula o consistente para an lise... edvaldo joaquim pereira j nior

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