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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 38, nº 3, e3301 (2016)www.scielo.br/rbefDOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2015-0001

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Uma abordagem por videoanalise da propagacaode um pulso em uma catenaria

Video analysis approach concerning pulse propagation on a catenary

V. L. B. de Jesus∗1, D. G. G. Sasaki2

1Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Rio de Janeiro, Campus Nilopolis, Nilopolis, RJ, Brasil2Centro Federal de Educacao Tecnologica Celso Suckow da Fonseca, Unidade Maracana, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Recebido em 1 de dezembro de 2015. Revisado em 17 de fevereiro de 2016. Aceito em 19 de marco de 2016.

Em geral, os artigos na area de ensino sobre propagacao de pulsos ou de ondas estacionarias utilizamfios ou arames muito leves, cujos pesos sao desprezıveis diante das tensoes aplicadas. Essa aproximacaosimplifica tanto a equacao de onda, tornando-a linear, como a relacao entre a tensao e a velocidade da onda.Entretanto, esse procedimento restringe os experimentos e exige o uso de sensores e/ou equipamentosmais caros para extrair dados confiaveis. Diferentemente, o objetivo deste trabalho foi criar e analisarum experimento didatico barato e eficiente para a obtencao da relacao entre a velocidade e a tensao deum pulso e da densidade linear de uma corda, cuja massa nao fosse desprezıvel. Nessa situacao, a cordanao fica em linha reta, mas pende devido ao seu proprio peso formando uma curva chamada catenaria.Para a coleta de dados, foram empregados somente uma camera de filmagem de um smartphone e umsoftware gratuito de videoanalise. Os diferentes modelos teoricos aplicados na interpretacao dos resultadospermitiram uma compreensao mais ampla e profunda do experimento. A analise dos resultados revelouuma variacao da acuracia e precisao de acordo com os modelos matematicos adotados. Isso possibilitouuma interessante visualizacao de que o trabalho experimental nao depende somente dos equipamentosempregados, mas e indissociavelmente entrelacado com as respectivas teorias. Alem disso, as diferentesformas de modelar um mesmo fenomeno, com uma gradacao de complexidade, proporcionam abordagensajustadas para os nıveis medio e superior, bem como para os diversos cursos de graduacao.Palavras-chave: ensino de fısica, videoanalise, velocidade da onda, catenaria.

In general, the articles in the teaching area on pulses propagation or standing waves use very lightwires or whose weights are negligible compared to the applied tensions. This approach both simplifiesthe wave equation making it linear as the relationship between the tension and the speed of the wave.However, this procedure restricts the experiments and requires the use of sensors and/or more expensiveequipments to extract reliable data. In contrast, the aim of this work was to create and analyze a cheapand efficient educational experiment to obtain the relationship between the speed and the tension ofa pulse and the linear density of a rope, whose mass was not negligible. In this situation, the ropeis not straight, but hangs due to its own weight forming a curve called catenary. For data collectionwere employed only a camera of a smartphone and a free video analysis software. Different theoreticalmodels applied in interpreting the results enabled a wide and deeper understanding of the experiment.The results showed a variation in the accuracy and precision according to the mathematical modelsadopted. This provided an interesting view, that is, the experimental work depends not only on theequipment used, but is entangled with the respective theories. Also, the different ways of modeling thesame phenomenon, with a gradation of complexity, provide approaches adjusted to the high school andsuperior levels as well as for the various undergraduate courses.Keywords: physics teaching, video analysis, pulse velocity, catenary.

∗Endereco de correspondencia: [email protected].

Copyright by Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

www.scielo.br/rbef

[email protected]

e3301-2 Uma abordagem por videoanalise da propagacao de um pulso em uma catenaria

1. Introducao

Recentemente foram publicados alguns artigos naarea de ensino sobre ondas em uma corda. O mais an-tigo usa sensores magneticos acoplados a um compu-tador com um programa simulando um osciloscopio.Seus objetivos sao mostrar a relacao entre tensaoe velocidade de propagacao de um pulso em umarame metalico tensionado por massas calibradas,bem como obter a sua densidade linear [1]. O se-gundo artigo utiliza a tecnica de videoanalise nocontexto de ondas estacionarias. Porem, essas cir-cunstancias exigem cameras mais sofisticadas quefilmem com 300 fps (frames per second), para forne-cer resultados acurados da frequencia e como con-sequencia da velocidade de onda e da densidadelinear do fio [2]. Os dois artigos seguintes abordamespecificamente cordas de violao ou guitarra e estu-dam alguns parametros fısicos e geometricos, usandotambem ondas estacionarias [3,4].

Todos esses trabalhos tem em comum o uso defios muito leves, cujos pesos sao desprezıveis diantedas tensoes aplicadas. Diferentemente, o objetivodeste trabalho foi criar e analisar um experimentodidatico barato e eficiente para a obtencao da relacaoentre a velocidade e a tensao de um pulso e dadensidade linear de uma corda, cuja massa nao fossedesprezıvel. Nessa situacao, a corda nao fica emlinha reta, mas pende devido ao seu proprio pesoformando uma curva bem conhecida, dentro e forada matematica, chamada catenaria.

A catenaria (do latim, catena significa corrente)tem uma historia instigante. Em 1638, Galileu proposque uma corrente suspensa pelas extremidades, soba acao da forca da gravidade, teria a forma deuma parabola. Contudo, Christiaan Huygens mos-trou, sem provar, que essa curva nao poderia ser aparabola. Em 1669, Joachim Jungius demonstrouque a catenaria nao era a parabola. Em 1690, JakobBernoulli lancou como desafio aos matematicos de-terminar a equacao da catenaria. No ano seguinte,Christiaan Huygens, Gottfried Leibniz e JohannBernoulli, usando tecnicas distintas resolveram defi-nitivamente o problema da catenaria [5]. Um exem-plo da curva catenaria na engenharia e o de pontessuspensas simples, feitas de cordas e tabuas. Na ar-quitetura, e muito empregada a catenaria invertida,como por exemplo, no arco de sustentacao da estacaode trens Keleti, em Budapeste e nos inumeros arcos

que apoiam o telhado da casa Mila projetada porAntoni Gaudı, em Barcelona [6].

Para a realizacao do experimento, foi escolhidauma corrente feita com aneis rıgidos de materialplastico, por ser de um material menos denso queo metal, de facil transporte e acesso. A correntefoi pendurada, em cada extremidade, em dois di-namometros comuns usados em laboratorios didaticos.O pulso foi gerado aplicando-se com uma regua demadeira uma pancada rapida, numa das extremida-des da corrente. A propagacao do pulso foi filmadacom uma camera simples de smartphone fixa em umtripe. Os vıdeos foram analisados usando o softwarelivre Tracker [7-9].

Para analisar os resultados do experimento foramcriados dois modelos teoricos distintos. O primeiro eo mais simples e consiste em supor que a curvaturada corrente de plastico causada pelo seu propriopeso e desprezıvel. Logo, a corrente pode ser tra-tada como uma corda elastica horizontal presa nasextremidades. Pela sua simplicidade, esse modeloe adequado para turmas de ensino medio, vistoque a enfase e estabelecer relacoes funcionais entregrandezas, especificamente a tensao e a velocidade.O segundo modelo se aproxima mais da realidade,pois considera a curvatura da corda causada peloseu peso, o que modifica as medidas de distanciae de tensao. Esse modelo e mais refinado, precisoe acurado, com enfoque para turmas de nıvel su-perior, tanto pela modelagem teorica quanto peloprocedimento experimental, que sao um pouco maiscomplexos.

Uma questao pertinente e se os resultados expe-rimentais sao consistentes com a modelagem ma-tematica da catenaria. A resposta dessa questaonao e uma mera curiosidade, pois fornece um modode executar a experiencia, que combina a precisaoe acuracia do segundo modelo, dispensando o usodo dinamometro. De fato, esse procedimento ma-tematico permite eliminar simultaneamente duasmedidas necessarias nos modelos anteriores e quesao as maiores fontes de incertezas: a tensao e oangulo com referencia ao plano horizontal. Alemdisso, se os valores obtidos pela modelagem da ca-tenaria forem compatıveis, dentro da margem deincerteza, com os valores medidos de tensao pelos di-namometros, teremos uma verificacao experimentalde que a curva produzida no experimento e real-mente uma catenaria.

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 38, nº 3, e3301, 2016 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2015-0001

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2. Modelo teorico

A Fig. 1a exibe o diagrama das forcas que atuamsobre um elemento generico de massa dm, em umacorda de massa m e comprimento L, em repouso,presa em suas extremidades. A corda e parame-trizada por s, que representa a distancia de umponto qualquer da corda ate a origem arbitraria. Oangulo θ(s) e formado pelo vetor da forca de tensaovariavel T(s), suposta sempre tangente a corda emcada ponto, com o eixo x. Observando o diagrama decorpo livre (Fig. 1b) constata-se que a componentehorizontal Tx e constante. Porem, a componentevertical Ty(s) varia, aumentando com o angulo, eo somatorio das forcas de tensao e peso no eixo ytambem devem ser nulo.

A equacao cartesiana geral da catenaria e [10]:

y (x) = Tx

µgcosh

(µg

Txx+ C1

)+ C2 (1)

sendo,

µ = m

L, (2)

Tx = T (s) cos (θ (s)) , (3)

g e a aceleracao da gravidade e C1 e C2 sao cons-tantes que dependem das condicoes de contorno.

A equacao cartesiana padrao de uma onda unidi-mensional em um meio nao dispersivo e:

∂2y

∂x2 = 1v2∂2y

∂t2(4)

sendo,

v2 = T

µ(5)

A Eq. (4) so e valida para pequenas oscilacoes or-togonais a direcao de propagacao da onda e supondoque a forca peso da propria corda seja desprezıvel emcomparacao com a tensao a que ela esta submetida.

Para descrever pequenas oscilacoes em uma ca-tenaria e necessario levar em conta o peso da corda,gerando um sistema de equacoes nao lineares aco-pladas, bem mais complicadas do que a equacao deonda padrao. Para resolver esse sistema, pode-seconsiderar que o pulso foi produzido a partir dacatenaria estatica e usar a suposicao de que pe-quenas oscilacoes podem ser aproximadas por umasucessao de configuracoes estaticas, pois as extre-midades tem um deslocamento muito pequeno. Sobessas condicoes, e possıvel obter solucoes numericas,bem como a seguinte expressao para a velocidadede propagacao da onda numa catenaria [10]

v2(s) = Tx

µ

√1 + (µgs)2

T 2x

. (6)

O parametro s foi assumido como sendo nulo nomeio da corda (chamada de parametrizacao afim).

Alguns aspectos interessantes emergem da analisedessa equacao. O primeiro e o valor da tensao, que naEq. (5) e a tensao total, mas na Eq. (6) e somente acomponente x da tensao. A razao dessa discrepanciae que a Eq. (5) supoe uma modelo unidimensional,isto e uma aproximacao onde a corda e totalmentehorizontal. Nesse caso, a componente x da tensao eequivalente a propria tensao, sendo substituıda pelaultima. Contudo, esse procedimento gera uma con-fusao, ao nao deixar claro que a grandeza relevante

Figura 1: A figura 1a mostra o diagrama das tres forcas que atuam em um elemento generico de massa dm, em umacorrente de massa m e comprimento L, em repouso, presa em suas extremidades. A figura 1b mostra a forca peso e ascomponentes horizontal e vertical das forcas de tensao que atuam em um elemento de massa da corrente.

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2015-0001 Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 38, nº 3, e3301, 2016


na velocidade de propagacao de qualquer onda numacorda e a apenas a componente da tensao paralelaa direcao de propagacao.

O segundo aspecto e que, diferentemente da Eq.(5) que presume que a tensao e a velocidade de pro-pagacao do pulso sao constantes, a Eq. (6) revelaque uma pequena perturbacao na catenaria se pro-paga com uma velocidade variavel, que e maximanas extremidades e mınima no centro da corrente.Por fim, o ultimo aspecto e a parametrizacao da ca-tenaria que nao corresponde ao eixo x. Isso acarretaque a velocidade de propagacao do pulso deve sercalculada usando distancias medidas sobre a curva.

No caso de cordas submetidas a tensoes bem su-periores ao seu proprio peso, o termo µgs/Tx =(P/Tx) (s/L) << 1 ja que sempre s/L < 0, 5. Logo,a Eq. (6) pode ser expandida em serie de Taylor e ovalor da velocidade de uma onda na catenaria atesegunda ordem, torna-se:

v2(s) = Tx

µ

[1 + µgs

2Tx− (µgs)2

4T 2x

](7)

Para estimar o efeito que os termos de primeira esegunda ordens provocam na medida de velocidadeconsidere o seguinte exemplo com valores tıpicos dosparametros e grandezas envolvidos no experimento:o valor mınimo de tensao foi Tx = 8,2(2) N. O valorexperimental da densidade linear, obtido dividindo-se a massa da corda pelo seu comprimento e m =0,1462(1) kg/m. A aceleracao da gravidade local eg = 9,78777 m/s2 e o valor maximo do parametro esmax = 2,30(7) m. Usando esses valores na Eq. (7) ostermos de primeira e segunda ordem podem ser des-prezados. Nessa situacao, a curvatura da catenaria edesprezıvel, logo pode-se considerar Tx = T e a Eq.(7) se reduz a Eq. (5). Essa aproximacao acarretaum erro teorico percentual na velocidade que variade 0%, no meio da corda para aproximadamente7,7%, apenas nos pontos mais extremos. A medidaque a tensao aumenta, a catenaria se aproxima deuma linha horizontal, acarretando na diminuicao doerro teorico.

3. Procedimento experimental

Uma corrente com aneis de material plastico demassam= 0,77267(1) kg e comprimento L= 5,285(2)m foi escolhida por ser menos densa do que umacorda, mais simples de conectar aos dinamometrose, principalmente, mais facil de visualizar a frente

de onda na analise quadro a quadro do vıdeo. Cadaextremidade da corrente foi conectada em dois di-namometros metalicos em paralelo, previamentecalibrados com massas de prova. A escala do di-namometro estava em unidade de massa e o fundode escala era 1,00 kg (equivalente a 9,7877 N, na gra-vidade local). Os dinamometros foram presos a duashastes metalicas verticais rıgidas, encaixadas empesadas bases de ferro e dispostos sobre superfıcieshorizontais (Figura 2).

Abaixo da corrente foi colocada uma regua padraode 1,00 m com a finalidade de servir de escala paraa realizacao da videoanalise. A regua foi colocadano mesmo plano da corrente para evitar o efeitode paralaxe que provoca um erro sistematico naconstrucao da escala atraves do vıdeo. Depois a

Figura 2: Captura de tela do Tracker, mostrando o aparatoexperimental, a corrente estatica e a marcacao dos pontosusados para fazer o ajuste teorico da catenaria. Abaixoda corrente, no mesmo plano, esta uma regua de compri-mento 100 cm apoiada em dois suportes (foto superior).A corrente de plastico esta presa nas suas extremidadespor dois dinamometros conectados em paralelo em hastesmetalicas verticais formando um angulo θ com a horizontal(foto central). Detalhe do movimento do pulso transversalmostrando a frente de onda representada pelo anel nıtido afrente dos aneis borrados (foto inferior).



corrente foi presa aos dinamometros e ficou pendenteno ar, submetida uma tensao baixa. Foram extraıdosalguns aneis em ambas as extremidades ate atingira tensao mınima desejada, tomando o cuidado paraque os valores marcados nos quatro dinamometrosfossem coincidentes entre si.

Uma questao tecnica importante e sobre a uti-lizacao dos dinamometros. Esses instrumentos foramprojetados para funcionar em posicao vertical. Con-sequentemente as suas escalas nao sao apropriadaspara medidas com angulos de inclinacao proximos adirecao horizontal. Essas medidas apresentam umerro sistematico causado por uma elongacao defici-ente da mola e fornecem resultados sempre abaixodos valores reais. Para corrigir esse problema foi ne-cessario fazer uma nova calibracao do dinamometro.

No nosso experimento, os dinamometros variamde um angulo de 25 graus para a menor tensao ate12 graus para a maior tensao, em relacao a direcaohorizontal. Utilizando um conjunto de massas deprova, os dinamometros foram submetidos as mes-mas condicoes do experimento, de tensao e angulo.Todos os resultados revelaram um erro sistematiconegativo de, aproximadamente, 0,4 N, que foi incor-porado as medidas.

Alem disso, quando os dinamometros sao usadosfora das suas especificacoes, a mola interna arrastano interior do tubo produzindo uma forca de atritoestatico que interfere na medida. Por exemplo, comos dinamometros inclinados em relacao ao eixo hori-zontal, a mesma massa de prova, nao correspondea um valor unico na escala do dinamometro, maspode ser equilibrada dentro de uma faixa de valo-res, que varia com o angulo. Esse intervalo deveser considerado como a incerteza efetiva do instru-mento, ao inves da incerteza da escala do apare-lho. Convertendo-se as incertezas para unidade deforca, essa faixa de imprecisao varia de acordo com atensao e o angulo, entre 0,3 N (menor tensao e maiorangulo) e 0,8 N (maior tensao e menor angulo).

Foram escolhidos seis valores diferentes de tensao,marcados em todos os dinamometros em unidadesde massa, entre 920 gramas e 1.880 gramas (equi-valente ao intervalo de 9,0 N e 18,4 N). O criteriode escolha da faixa de valores da tensao foi a pra-ticidade. Para valores inferiores, a corrente ficavamuito frouxa e o valor maximo de fundo de escala doconjunto (2.000 gramas) foi evitado, por precaucao.As diferentes tensoes foram ajustadas afastando-seuma base de ferro da outra, o que acarreta na dimi-

nuicao do angulo do dinamometro com a horizontale o aumento da tensao.

Uma medida bastante sensıvel e o angulo inicialque a corrente faz com a direcao horizontal nassuas extremidades. Atraves desse angulo, sao obti-dos os valores das projecoes ortogonais da tensao.A componente x da tensao esta relacionada com avelocidade de propagacao da onda e a componentey deve equilibrar a metade do peso. O melhor pro-cedimento para a medida desses angulos e utilizaro sistema de coordenadas disponıvel no programaTracker e gira-lo ate que um de seus eixos estejaparalelo ao dinamometro. A incerteza dessa medidafoi estimada em apenas 1 grau. Dificilmente essaincerteza seria tao pequena caso se optasse pelo usode um transferidor.

A filmagem foi realizada com um smartphoneSamsung Galaxy S4 modelo GT-I9515 configuradocom uma taxa de aquisicao 30 quadros por segundo,full HD e resolucao de 1920x1080 pixels. O aparelhofoi fixado em um tripe e posicionado com vista fron-tal ao plano da catenaria, a uma distancia de apro-ximadamente 5 metros. Os vıdeos da propagacaodos pulsos foram transferidos para o computador eanalisados utilizando o software livre Tracker.

Para cada valor de tensao, foi aplicada na parteinferior da extremidade esquerda da corda, uma pan-cada seca e rapida, com a face mais estreita de umaregua de madeira, transversal a corrente. Os pulsosgerados tinham baixa amplitude quando compara-dos ao comprimento da corrente, mas podiam serfacilmente identificados. Apenas o trecho do movi-mento antes da reflexao na outra extremidade foiutilizado na videoanalise.

Para medir a posicao do pulso se propagando eminimizar o efeito de perda de nitidez do zoom dovıdeo, foi considerado como frente de onda, o anel dacorrente que estava nıtido, imediatamente adiantedo anel que estava borrado devido ao deslocamentovertical, provocado pela passagem do pulso. A figura2 ilustra a captura de tela do Tracker, mostrandoos pontos que marcam a posicao do pulso sobrea corrente. A incerteza da posicao foi obtida porestimativa, de forma conservadora, como sendo deum anel da corrente, o que equivale a ± 5 cm.

4. Analise de resultados

Do ponto de vista didatico, foram elaborados doismodelos teoricos diferentes para analisar os resul-



tados do experimento. Em ambos os modelos, asmedidas das posicoes e tempo do movimento dopulso geradas pelo Tracker foram tabuladas e trata-das no programa de graficos Origin. Como previstoteoricamente, a variacao da velocidade do pulsoao longo da catenaria foi muito pequena e os pon-tos experimentais foram ajustados atraves de umatendencia linear.

As velocidades de propagacao do pulso para di-ferentes tensoes foram obtidas extraindo-se o co-eficiente angular dos ajustes e as suas incertezasforam obtidas pelo metodo dos mınimos quadrados.A Tabela 1 resume as medidas de velocidade usandoos pontos experimentais sobre a catenaria (v) e asmedidas de velocidade utilizando as posicoes dospontos experimentais sobre o eixo x (vx), bem comoas incertezas associadas. Quanto maior a tensao,mais esticada fica a corrente e, portanto os valoresde v e vx se aproximam ate coincidirem, dentro damargem de incerteza.

A velocidade total v foi calculada considerando osmodulos dos deslocamentos horizontal e vertical dafrente de onda, ao longo da corrente. A velocidade vx

foi obtida apenas considerando a posicao da frente deonda no eixo x, como se a corrente tivesse totalmentena horizontal. Essa ultima situacao e a aproximacaode massa desprezıvel, empregada nos livros didaticosde ensino medio e superior.

4.1. Primeiro modelo

Modelo mais simples que consiste em supor que atensao na corrente sera constante ao longo de todosos seus aneis e igual a fornecida por um dinamometropreso a uma de suas extremidades. Logo, a cor-rente pode ser tratada como uma corda horizontalpresa nas extremidades. A velocidade de propagacaodo pulso e considerada constante, por definicao. Atensao e suposta atuar na direcao horizontal, em

Tabela 1: Valores das velocidades de propagacao do pulsousando os pontos experimentais sobre a catenaria (v) eas posicoes dos pontos sobre o eixo x (vx) e as incertezasassociadas.T (N) v2 (m/s)2 δv2 (m/s)2 v2

x (m/s)2 δv2x (m/s)2

9,0 60,3 0,8 58 0,811,0 70,9 0,7 69 0,712,9 89 1 88 114,9 107 2 107 216,8 121 2 121 218,4 131 2 130 2

todos os pontos. A parametrizacao das distanciasna corda e simplesmente a projecao horizontal dasua posicao (o parametro e a propria coordenadax). Esse modelo e util como primeira aproximacaoe tambem satisfatorio para turmas cuja enfase eestabelecer correlacoes entre as grandezas, sem apreocupacao com a acuracia.

A Tabela 2 contem os resultados das medidas deangulo dos dinamometros com a direcao horizon-tal, tensao total e suas componentes e respectivasincertezas.

A descricao das incertezas de angulo e tensao estano procedimento experimental. Por outro lado, asincertezas das componentes cartesianas da tensao,foram obtidas por propagacao de incertezas. Percebe-se que os modulos de Ty se mantem constantes,dentro da margem de incerteza. Isso ocorre porqueestamos calculando a componente vertical da tensaonas extremidades, cujo valor deve ser fixo e igual ametade do peso da corrente.

A figura 3 mostra o grafico da tensao total me-dida pelos dinamometros versus o quadrado da ve-locidade de propagacao do pulso, considerando asposicoes sobre o eixo x. O grafico contem os dadosde tensao da Tabela 2 e de vx da Tabela 1.

O coeficiente angular do grafico na figura 3 fornecea densidade linear da corrente µexp = 0,124(5) kg/m.Consideramos como valor de referencia aquele calcu-lado diretamente pela razao entre a massa e o com-primento da corrente, que vale µdireto = 0,1462(1)kg/m. A comparacao entre eles fornece um errorelativo percentual de -15,2%.

Podemos concluir que o primeiro modelo tem exitoem mostrar a relacao linear entre tensao e quadradoda velocidade. Contudo, o resultado experimentalda densidade linear da corrente e pouco acurado. Ocusto benefıcio do modelo e bom, porque as medidassao simples, os resultados qualitativos sao confiaveise os quantitativos sao aceitaveis. Esse modelo e idealpara turmas de ensino medio.

4.2. Segundo modelo

Este modelo e mais realista, pois leva em conta acurvatura da corda causada pelo seu peso. Essa abor-dagem incorpora dois aspectos relevantes no modeloteorico. O primeiro e que a tensao e variavel e tan-gente a corda em cada ponto e a sua componentevertical deve equilibrar o peso de um elemento demassa (anel) da corrente. Consequentemente, ape-nas a componente horizontal constante da tensao



Tabela 2: Valores dos angulos dos dinamometros com a direcao horizontal, tensoes totais e as suas componentes e asincertezas associadas.

Angulo (θ) δθ Tensao T (N) δT (N) Tx (N) δTx (N) Ty (N) δTy (N)250 10 9,0 0,3 8,2 0,2 3,8 0,1220 10 11,0 0,4 10,2 0,4 4,1 0,2170 10 12,9 0,5 12,4 0,5 3,8 0,2160 10 14,9 0,6 14,3 0,5 4,1 0,2140 10 16,8 0,8 16,3 0,8 4,1 0,3120 10 18,4 0,8 18,0 0,8 3,8 0,3

Figura 3: Grafico da tensao total medida pelos dinamometros em funcao do quadrado da velocidade do pulso no eixo x,isto e, considerando a corrente horizontal.

deve ser considerada no calculo da velocidade de pro-pagacao do pulso. O segundo e que as distancias nacorda sao calculadas usando um parametro ao longoda catenaria (parametro s), tornando o tratamentode dados um pouco mais complicado.

Na pratica, as distancias ao longo da catenariasao calculadas pelo teorema de Pitagoras aplicadoas componentes horizontal e vertical de um deslo-camento infinitesimal. Depois, cada deslocamentoresultante e adicionado ao valor do deslocamentoanterior. Todo o procedimento e feito automatica-mente por um programa de planilha eletronica, apartir dos dados de posicao importados do Tracker.

A figura 4 exibe o grafico da componente hori-zontal da tensao total medida pelos dinamometrosversus o quadrado da velocidade de propagacao dopulso, considerando apenas as posicoes dos pontos

experimentais sobre a catenaria. O grafico foi geradocom os dados de Tx da Tabela 2 e de v da Tabela 1.

A densidade linear da corrente no segundo mo-delo e µexp = 0,135(6) kg/m e o seu erro relativopercentual ao valor de referencia e de -7,7%. Compa-rando com o primeiro modelo, houve uma reducaodo erro relativo percentual quase pela metade. Issodemonstra como e relevante o efeito da massa dacorrente nos resultados provenientes da modelagemteorica. Esse modelo e mais apropriado para turmasde ensino superior.

Existe uma alternativa para simplificar o aparatoexperimental que dispensa o uso dos dinamometros.Nesse caso, a componente horizontal da tensao e ob-tida indiretamente atraves da componente verticalna extremidade, que e igual a metade do peso totalda corrente. Na verdade, a componente vertical varia



Figura 4: Grafico da componente horizontal da tensao total medida pelos dinamometros em funcao do quadrado davelocidade total, isto e, considerando que a corrente faz uma catenaria.

em cada ponto da corda, portanto, essa aproximacaovai acarretar numa perda de acuracia semelhanteao primeiro modelo. Uma desvantagem adicional eque as componentes da tensao se relacionam atravesda funcao tangente, cuja derivada e muito acentu-ada. Entao, mesmo a pequena incerteza de 1 grauna medida do angulo vai acarretar numa incertezaelevada da componente horizontal da tensao. Nasoma dos efeitos, esse e a pior escolha, tanto emprecisao quanto em acuracia. A sua unica virtude esimplificar consideravelmente a experiencia.

O peso total da corrente e P = 7,5627(1) N),logo a componente vertical da tensao total nas suasextremidades e Ty = 3,78135(5) N). Considerandoos angulos descritos na Tabela 2, e possıvel obter osvalores de Tx, a partir da seguinte equacao:

Tx = Ty

tgθ. (8)

A figura 5 exibe o grafico da componente horizon-tal da tensao obtida pela Eq. (8) versus o quadradoda velocidade de propagacao do pulso, considerandoapenas as posicoes dos pontos experimentais sobrea catenaria.

A densidade linear da corrente obtida sem o usodos dinamometros e µexp = 0,123(9) kg/m e o seuerro relativo percentual ao valor de referencia e de

-15,9%. Comparado ao primeiro modelo, a acuraciae equivalente, mas a incerteza e maior. Sem duvida,ele e indicado apenas quando nao se dispoe de di-namometros.

5. Relacao entre as medidas experimen-tais e equacao da catenaria

A forma cartesiana da catenaria, Eq. (1), contem tresparametros fısicos e duas constantes fixadas pelascondicoes de contorno. Entao, atraves de um ajusteteorico das medidas de posicao da corda obtidas peloTracker pode-se extrair matematicamente a compo-nente horizontal da tracao, sem a necessidade demedir a forca diretamente. Esse refinamento teoricopossibilita a eliminacao das medidas de tensao eangulo, que sao as causas das maiores incertezas doexperimento.

A configuracao da catenaria estatica foi mapeadano Tracker, que gerou automaticamente uma tabelade pares ordenados de posicao nos eixos x e y. Osdados foram exportados para o programa Origin,onde foi feito um grafico impondo o ajuste a Eq. (1).Os valores da aceleracao da gravidade e da densidadelinear foram inseridos para que as outras constantessejam calculadas, tais como a componente horizontalda tensao. Esse procedimento foi repetido para os



Figura 5: Grafico da componente horizontal da tensao total, obtida indiretamente por medida do peso total da corrente,em funcao do quadrado da velocidade total, isto e, considerando que a corrente forma uma catenaria.

seis valores de tensao. Embora seja aparentementetrabalhoso, esse metodo e mais rapido e simples doque calibrar dinamometros, fazer medidas de tensaoe angulo e propagar incertezas.

Na Tabela 3 estao os resultados da componentex da tensao obtidos pelo ajuste matematico da ca-tenaria, bem como de suas respectivas incertezas.A incerteza da componente horizontal da tensaoesta na segunda casa decimal, sendo uma ordemde grandeza melhor do que os modelos anteriores.Como comparacao, tambem estao arrolados os valo-res da componente x da tensao obtidos atraves dasmedidas de tensao pelos dinamometros e de angulo.Existe uma superposicao dos valores entre os doismodelos, dentro da margem de incerteza. Esse fatopode ser considerado uma confirmacao experimentalde que o ajuste matematico foi bem sucedido, isto e,a curva feita pela corrente sob a acao do seu propriopeso e realmente uma catenaria.

A figura 6 exibe o grafico da componente horizon-tal da tensao total obtida pelo ajuste matematico dacatenaria versus o quadrado da velocidade de pro-pagacao do pulso, considerando apenas as posicoesdos pontos experimentais sobre a catenaria. O graficofoi gerado com os dados de Tx da Tabela 3 e de vda Tabela 1.

Nesse caso, a densidade linear da corrente e µexp

= 0,137(6) kg/m e o seu erro relativo percentual aovalor de referencia e de -6,3%, a menor diferenca,como era esperado. Uma dificuldade, que pode serconvertida em uma interessante discussao em salade aula, e que esse ajuste exige o conhecimento dealgumas propriedades da catenaria, incluindo a suaequacao cartesiana. Por esse motivo, indicamos esseprocedimento apenas para turmas de graduacao emfısica e engenharias.

6. Consideracoes finais

Em geral, as atividades didaticas experimentais so-bre pulsos e ondas em cordas estao baseadas navalidade da hipotese de um fio horizontal, cujo pesoe desprezıvel em relacao as forcas de tensao. Essaaproximacao simplifica tanto a equacao de onda,tornando-a linear, como a relacao entre a tensao e avelocidade da onda. Entretanto, esse procedimentorestringe severamente os experimentos e frequente-mente exige o uso de sensores e/ou equipamentosmais caros para extrair dados confiaveis.

O diferencial deste trabalho foi sair do lugar co-mum e fazer uma experiencia de baixo custo e facilacesso, mas com resultados de boa qualidade sobrea propagacao de um pulso em uma corrente plastica,que se deforma sob a acao do proprio peso, formando



Tabela 3: Valores das componentes horizontais da tensao e as incertezas associadas, obtidas pelo ajuste matematico dacatenaria e pela medida de dinamometro e angulo.

Tx (N) Catenaria δTx (N) Catenaria Tx (N) Dinamometro δTx (N) Dinamometro8,09 0,01 8,2 0,210,01 0,02 10,2 0,412,23 0,03 12,4 0,514,48 0,03 14,3 0,516,54 0,04 16,3 0,817,89 0,06 18,0 0,8

Figura 6: Grafico da componente horizontal da tensao total, obtida indiretamente pelo ajuste matematico da equacao dacatenaria em funcao do quadrado da velocidade total, isto e, considerando que a corrente forma uma catenaria.

a conhecida forma geometrica da funcao catenaria.De fato, usando uma camera de filmagem comumde um smartphone e as ferramentas de um softwaregratuito de videoanalise, e possıvel realizar uma ex-periencia sobre a velocidade de propagacao de umpulso em uma catenaria, bem como extrair a suadensidade linear.

Os dois modelos teoricos aplicados na interpretacaodos resultados permitiram uma compreensao maisampla e profunda do experimento. Alem disso, odesenvolvimento de diferentes formas de modelarum mesmo fenomeno, com uma gradacao de com-plexidade, proporciona abordagens ajustadas tantopara o nıvel medio quanto para diversos cursos degraduacao. A analise dos resultados revelou uma va-riacao da acuracia e precisao de acordo com os doismodelos matematicos adotados. Isso possibilitouuma interessante visualizacao de que o trabalho ex-

perimental nao depende somente dos equipamentosempregados, mas e indissociavelmente entrelacadocom as respectivas teorias.

Agradecimentos

Os autores agradecem a Caroline Alves Cayres pelaconfeccao da primeira figura.

Referencias

[1] T. Odekirk and W.V. Slaton, The Physics Teacher50, 244 (2012).

[2] M.A. Cavalcante, R. Pecanha e A.C. Teixeira, Re-vista Brasileira de Ensino de Fısica 35, 3502 (2013).

[3] F. Catelli e G.A. Mussato, Revista Brasileira deEnsino de Fısica 36, 1306 (2014).

[4] F. Catelli e G.A. Mussato, Revista Brasileira deEnsino de Fısica 36, 2304 (2014).



[5] J.F. Bukowski, College Math Journal 39, 2 (2008).[6] Informacao pessoal fornecida por um dos autores

que visitou os locais citados.[7] http://www.cabrillo.edu/˜dbrown/tracker/,

acessado em 30/9/2015.[8] D. Brown and A.J. Cox, The Physics Teacher 47,

145 (2009).[9] A.G. Bezerra Junior, J.A. Lenz, L.P. Oliveira e

N. Saavedra, Manual para Usuarios Iniciantes noSoftware Tracker (Universidade Tecnologica Federaldo Parana, Curitiba, 2011).

[10] D. Klerk, J. Murugan and J.P. Uzan, arXiv:1103.0788 [physics.class-ph] (2011).


http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/

arXiv: 1103.0788

arXiv: 1103.0788

uma abordagem por videoan´alise da propaga¸c˜ao de um ... · um pulso e da densidade linear de...

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