um teletrafico-introd 201112

52
INGENIERÍA CIVIL ELECTRÓNICA – UNIVERSIDAD MAYOR NOCIONES DE TELETRÁFICO Guillermo Vásquez Y. Material didáctico de la asignatura Teoría de Comunicaciones II Ingeniería Civil Electrónica Diciembre 2011

Upload: roger-alvarado

Post on 20-Nov-2015

32 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

teletrafico

TRANSCRIPT

Nociones de teletrfico

33BIBLIOGRAFA

NOCIONES DE TELETRFICO

Guillermo Vsquez Y.

Material didctico de la asignatura Teora de Comunicaciones IIIngeniera Civil Electrnica

Diciembre 2011

INGENIERA CIVIL ELECTRNICA UNIVERSIDAD MAYOR

2

Nociones de TeletrficoContenido1.Conceptos Bsicos de Teletrfico11.1Nocin general de trfico11.2Definiciones relativas al trfico11.2.1Definiciones fundamentales del trfico11.2.2Relacin entre trfico ofrecido, transportado y perdido41.2.3 Generalizacin de la medida de trfico61.3Desempeo61.3.1Trfico, capacidad y desempeo71.3.2Variacin de la intensidad de trfico82.Sistemas Bsicos de Servicio de Llamadas102.1Sistemas sin espera102.1.1Sistemas sin espera: Frmula de Erlang B102.1.2Tablas de trfico162.2Sistemas con espera162.2.1Sistemas con espera: Frmula de Erlang C172.2.2Otros indicadores de desempeo de sistemas con espera213.Modelos de Trfico223.1Niveles de comportamiento del trfico223.2Informacin de temporizacin en los modelos de fuentes233.3Tiempo entre arribos243.3.1Distribucin exponencial negativa243.3.2Distribucin geomtrica253.4Contabilidad de arribos263.4.1Proceso de Poisson263.4.2Proceso de Bernoulli263.4.3Arribos por lotes273.5Tasas de flujo283.5.1Fuente de dos estados293.5.2Modelos multiestado31BIBLIOGRAFA33

Lista de FigurasFigura 11 Trfico ofrecido, trfico transportado y trfico bloqueado en una red.4Figura 12 Trfico, capacidad y desempeo de la red.7Figura 13 Variacin tpica del trfico telefnico durante un da laboral.8Figura 21 Sistema servidor de llamadas sin espera.10Figura 22 Probabilidades de transicin representadas como un diagrama de estados de cadena de Markov para el modelo Erlang B.14Figura 23 Un sistema sin espera en rgimen estacionario con un nmero n de canales ocupados.14Figura 24 Sistema servidor de llamadas con espera.17Figura 25 Probabilidades de transicin representadas como un diagrama de estados de cadena de Markov para el modelo Erlang C.18Figura 31 Niveles de comportamiento del trfico.22Figura 32 Informacin de temporizacin de trfico para un ejemplo de tren de celdas ATM.24Figura 33 Propiedad sin memoria de la distribucin exponencial negativa.24Figura 34 Tiempos interarribos especificados como el nmero de ranuras de tiempo entre arribos.25Figura 35 El proceso de salida de Bernoulli como una aproximacin del tren de arribos de Poisson.27Figura 36 Un modelo de fuente ONOFF29Figura 37 Patrn de celdas de un modelo de fuente ONOFF.29Figura 38 Una representacin alternativa del modelo de fuente ONOFF.30Figura 39 Modelo de fuente ONOFF para ejemplo de telefona con silencios suprimidos.31Figura 310 El modelo GMDP de tres estados.32

Lista de Cuadros y TablasTabla 21 Tabla de trfico que puede ser ofrecido, para una probabilidad de bloqueo especificada.16

iiiNOCIONES DE TELETRFICO

Teora de Comunicaciones II (2011)Teora de Comunicaciones II (2011)Conceptos Bsicos de Teletrfico 1.1Nocin general de trfico La palabra trfico es de uso corriente. Se habla de trfico vial, ferroviario, areo, martimo. A esta palabra se asocia naturalmente las nociones de volumen (vehculos, aviones, barcos, mercaderas) y de tiempo, como asimismo de direccin se habla de trfico de arribos, trfico de trnsito, trfico de salidas o abandonos.La definicin de esta nocin de trfico es bastante ms compleja debido a las mltiples formas en que se presenta objetivamente en la realidad. Se hace distinciones para referirse a trfico ofrecido, transportado, rechazado, en espera, de arribos, de abandonos, eficaz, ineficaz o infructuoso. Cada uno de estos trficos tiene su definicin y una expresin que depende del servicio estudiado telefnico, mensajes, datos como tambin del procedimiento del servicio que atiende el trfico.En trminos generales, la expresin del trfico hace intervenir dos parmetros fundamentales:la densidad de los arribos de demanda de servicio; yla duracin de este servicio.Estas dos cantidades son parmetros aleatorios independientes o no y cuyos momentos (valor medio, varianza, etc.) varan con la poca diaria y horaria en que se hace la estimacin.El trfico telefnico fue el primero que se estudi y el nombre de Erlang[footnoteRef:2] permanece unido a su definicin. La generalidad de esta definicin ha sido reconocida al punto que el nombre de su precursor ha sido dado a la unidad que permite expresar los trficos existentes en los servicios de la ms variada ndole, desbordando as, no solamente el dominio de la telefona, sino tambin el de las telecomunicaciones. [2: A la intensidad de trfico se le ha dado la dimensin honoraria de erlangs en memoria de Anders K. Erlang, el fundador de la teora de trfico.]

El estudio del trfico telefnico ha generalizado el uso de una cierta terminologa tal como la nocin de llamada y la nocin de duracin de la llamada", aunque esta segunda nocin puede llegar a ser un abuso de lenguaje. Sin embargo, con la proliferacin de los servicios no telefnicos y las redes basadas en paquetes, es preferible adoptar una terminologa ms general, en que se haga mencin a demanda de servicio y duracin del servicio. En el contexto de sistemas de comunicacin, una demanda de servicio puede ser la peticin de transmisin de un mensaje entre dos puntos, y el servidor que atiende esta peticin puede tomar la forma concreta de un trayecto o canal de comunicacin entre esos dos puntos.1.2Definiciones relativas al trfico 1.2.1Definiciones fundamentales del trfico El Sector de Normalizacin de las Telecomunicaciones de la UIT (UIT-T) ha definido dos nociones fundamentales concernientes al trfico:Volumen de trfico.Intensidad de trfico.Para facilitar la comprensin de estas definiciones que se explican a continuacin, conviene considerar una red de telecomunicaciones que proporciona la infraestructura para que un conjunto de usuarios puedan sostener ocasionalmente comunicaciones punto a punto entre si. Los usuarios hacen peticiones a la red para que sta identifique los trayectos que componen la ruta de extremo a extremo y proporcione los recursos de soporte necesarios (p. ej., nodos de conmutacin) para la transferencia de informacin entre los equipos terminales de usuario durante el tiempo que requieran los usuarios. Definicin 11: Terminologa de las llamadas a)UsuariosEl usuario que solicita a la red los recursos necesarios para efectuar la transferencia de informacin se denomina usuario llamante o usuario de origen. El usuario que recibe la informacin se denomina usuario llamado o usuario de destino.b)LlamadaEl proceso consistente en la transferencia de informacin entre un par de usuarios de la red se denominar una llamada (call). Las llamadas pueden comenzar en instantes independientes y tener distintas duraciones para los distintos pares de usuarios que se comunican a travs de la red. c)Tentativa de llamadaUna demanda de servicio de comunicacin que es presentada por el usuario llamante a la red se denomina tentativa de llamada (call attempt).d)Llamada transportadaUna demanda de servicio de comunicacin que es aceptada por la red se denomina llamada transportada o llamada cursada (carried call).e)Llamada bloqueadaUna demanda de servicio de comunicacin rechazada por la red se denomina llamada bloqueada (blocked call). El bloqueo de una llamada tiene dos formas.Si una llamada bloqueada slo experimenta un rechazo temporal, pero luego es aceptada (transportada) por la red, se denomina llamada en espera (waiting call).Si una llamada bloqueada es rechazada definitivamente por la red, se denomina llamada perdida (lost call).Definicin 12: Volumen de trfico El volumen de trfico es definido como el tiempo de llamada total de todas las llamadas servidas por la red durante un determinado perodo, es decir el nmero de llamadas transportadas durante ese perodo multiplicado por el tiempo medio de duracin de las llamadas.

El volumen de trfico no es de mucha ayuda para determinar el nmero total de trayectos o unidades de conmutacin requeridos. Es necesaria una medida que entregue alguna indicacin de la carga promedio que se est aplicando a la red: la intensidad de trfico.Definicin 13: Intensidad de trfico La intensidad de trfico es definida de dos maneras, dependiendo de si interesa la carga aplicada a la red, que se denomina trfico ofrecido (offered traffic), o la carga procesada por la red, que se denomina trfico transportado (carried traffic). a)Intensidad de trfico ofrecidoLa intensidad de trfico ofrecido es definida como:

(11)

donde es nmero de tentativas de llamada en el perodo de tiempo , y es el tiempo de duracin promedio de una llamada (holding time). Notar que si se hace igual a entonces la intensidad de trfico ofrecido es el nmero de tentativas de llamada durante el tiempo medio de duracin de una llamada. La tasa de tentativas de llamada, tambin denominada la tasa de arribos de llamadas, est dada por

(12)De modo que la intensidad de trfico ofrecido puede ser expresada tambin como

(13)b)Intensidad de trfico transportado e intensidad de trfico perdido

Para cualquier patrn especfico de tentativas de llamada, puede haber insuficientes recursos de red para satisfacer todas las tentativas de llamada. Una tentativa de llamada efectuada cuando la red est saturada es bloqueada (perdida) y no puede ser transportada. Si, durante el perodo de tiempo , llamadas son transportadas y llamadas son perdidas, entonces el nmero total de tentativas de llamada es

Entonces la intensidad de trfico ofrecido se descompone en intensidad de trfico transportado e intensidad de trfico perdido

(14)

donde , la intensidad de trfico transportado, est dada por

(15)

y , la intensidad de trfico perdido, est dada por

(16)c)Probabilidad de rechazo o prdida

La probabilidad de rechazo o prdida es la probabilidad que a una tentativa de llamada sea rechazada (el servicio de transferencia de informacin es denegado). Se puede interpretar como la proporcin de demandas de servicio rechazadas durante un largo perodo de observacin.1.2.2Relacin entre trfico ofrecido, transportado y perdido

La intensidad de trfico ofrecido se relaciona con la intensidad de trfico transportado y la intensidad de trfico perdido por medio de la probabilidad de prdida .

Si se denota por la tasa de arribos de llamadas (nmero medio de llamadas solicitadas por unidad de tiempo), segn la definicin de probabilidad de prdida, la tasa de llamadas perdidas es , y la tasa de llamadas transportadas es . Multiplicando estas tasas de llamadas por la duracin media de una llamada, , se obtiene

(17)

(18)

(19)Figura 11 Trfico ofrecido, trfico transportado y trfico bloqueado en una red. Las llamadas bloqueadas contribuyen a la intensidad de trfico perdido y no tienen obviamente ningn tiempo de duracin. La intensidad de trfico perdido, como est definida, es una intensidad terica que existira si hubiera infinitos recursos disponibles. Por lo tanto el trfico perdido no puede ser medido, aunque el nmero de llamadas perdidas s puede ser medido. La intensidad de trfico transportado puede ser medida, y es el nmero promedio de trayectos en uso simultneamente (esto es intuitivo, pues debe ser una medida de la carga que est siendo servida por la red). Sin embargo, como conceptos tericos, el trfico ofrecido, perdido y transportado resultan ser muy tiles.Definicin 14: Unidad de medida de trfico

La intensidad de trfico es una cantidad sin dimensin. La unidad de medida definida para la intensidad de trfico es el erlang. Un erlang de trfico es escrito como 1E. Una intensidad de trfico de 1 E resulta cuando el nmero medio de tentativas de llamada por unidad de tiempo, , multiplicado por la duracin media de las llamadas, , tiene un valor unitario: . Ejemplo 11: Caractersticas del trfico en una red

Considere un ejemplo muy simple: una red telefnica que tiene usuarios y es capaz de proveer trayectos (con un aparato telefnico en cada extremo) entre todo par de usuarios, aunque no simultneamente. En el perodo de 1 da cada usuario realiza en promedio 2 intentos de llamada, y se observa que 24 llamadas son infructuosas (bloqueadas). Se supone que la duracin promedio de una llamada es 3 minutos. Determinar lo siguiente:a)El mximo nmero de conexiones de extremo a extremo simultneas que pueden ser solicitadas a la red.b)El volumen de trfico ofrecido durante un da.c)La intensidad de trfico ofrecido, transportado y perdido por la red.d)La probabilidad de prdida de trfico.Respuestas.

a)Cada usuario puede solicitar a la red una conexin extremo a extremo con los otros usuarios. El nmero mximo de usuarios de origen en la red es (la otra mitad de los usuarios son usuarios de destino). El nmero mximo de conexiones posible entre pares de usuarios es igual al nmero de conexiones posibles entre un usuario de origen con todos los otros usuarios multiplicado por el nmero mximo de usuarios de origen: . Otra interpretacin de este resultado es la siguiente: el nmero mximo de conexiones simultneas entre pares de usuarios de la red es igual al nmero de combinaciones de pares de elementos tomados de un conjunto de elementos.

conexiones

b)El volumen de trfico ofrecido a la red es minutos de llamadas, es decir, 12 horas de llamadas.

c)El perodo de observacin considerado en este ejemplo es = 1 da = 2460 = 1.440 minutos. La duracin media de una llamada es minutos. En un da, los valores supuestos del nmero de tentativas de llamadas, nmero de llamadas transportadas y nmero de llamadas perdidas son , , y , respectivamente. Por lo tanto, se tiene

d)La probabilidad de prdida de trfico, , se puede obtener como la proporcin entre las llamadas perdidas y las tentativas de llamada, lo que es equivalente a la razn entre el trfico perdido, , y el trfico ofrecido, .

En la Seccin 2 de este documento se introducir una frmula general, conocida como frmula de Erlang B, que relaciona y de acuerdo con el nmero mximo de trayectos disponibles entre pares de usuario.1.2.3 Generalizacin de la medida de trfico Es importante tener presente que un erlang (1 E) representa implcitamente una cantidad de ancho de banda, p. ej., un canal de 64 kbit/s, que est siendo usado continuamente. Una manera de tomar en cuenta el ancho de banda de servicio es usar el MbitE/s (el megabit-erlang-por-segundo) como una medida de intensidad de trfico. As 1 E de telefona digital de 64kbit/s es representada como 0,064MbitE/s (en cada direccin de comunicacin). Encontrar un solo valor para el ancho de banda del servicio de transporte de trfico con tasa binaria variable no es un tema fcil. Es necesario conocer la tasa de arribos de llamadas y la duracin promedio de una llamada para expresar el flujo de trfico en erlangs, y tambin el hecho que hay porciones de ancho de banda que estn asociadas implcitamente con el flujo de trfico de cada tipo de trfico diferente.La definicin de trfico transportado y su expresin en erlangs es aplicable a servicios de datos debido al hecho de su carcter muy general. En el caso de la transmisin de datos por un canal considerado como un servidor, el trfico transportado por el canal se identifica con el factor de utilizacin promedio del canal. El trfico instantneo vara de 0 a 1 erlang segn si el canal est en reposo o transmitiendo mensajes, y el valor medio de este factor de ocupacin observado durante una hora constituye la intensidad de trfico media.

Supngase que los datos estn conformados por mensajes (paquetes) binarios de longitud media bits y el canal transmite los datos con un velocidad binaria equivalente de bits/s. Entonces, el tiempo de tratamiento de los mensajes es segundos; esto representa la duracin media del servicio que entrega el canal. Si los mensajes arriban al canal con una tasa promedio por hora igual a , la intensidad de trfico transportado durante una hora es

(110)

Por ejemplo, por un canal dedicado con ancho de banda efectivo se recibe 7.200 consultas por hora dirigidas a un servidor, y cada consulta se compone de 12 paquetes de longitud 650 bytes. La tasa de paquetes es , y la longitud media de cada paquete es . La intensidad del trfico transportado por el canal es

1.3Desempeo Dos estructuras de red diferentes pueden manejar el mismo volumen de trfico de maneras muy diferentes. Desde el punto de vista del usuario, las diferencias de tratamiento de trfico se pueden ver reflejadas en el tiempo de espera y el retardo que experimenta la transferencia de la informacin de usuario. Desde el punto de vista del operador de la red, las diferencias se manifiestan en los recursos necesarios para la transferencia de la informacin. Una comparacin del tiempo de espera y el retardo que los usuarios tolerarn permite evaluar la adecuacin de la red a los requisitos de los usuarios.Aqu es pertinente mencionar un principio general acerca del flujo de trfico: introducir retardo reduce el flujo, y un flujo de trfico reducido requiere menor cantidad de recursos. El desafo es encontrar un valor ptimo del retardo introducido con el fin de balancear la demanda de trfico, los requisitos de desempeo, y la cantidad (y costo) de recursos de red. Parte importante de la ingeniera de teletrfico se preocupa de la evaluacin del trfico de flujos de celdas o paquetes transportado usando el mecanismo de retardo de buffer.1.3.1Trfico, capacidad y desempeo Una red proporciona la capacidad para comunicar informacin entre usuarios, con la intencin de proporcionar un servicio efectivo a un costo razonable. Existe por tanto una necesidad de compartir trayectos, y proporcionar a los usuarios los medios para acceder a estos trayectos cuando lo requieran. Una red comprende bloques constituyentes (conmutadores, equipo terminal, trayectos de transmisin), cada uno de los cuales tiene una capacidad finita para transferir informacin. Que esta capacidad sea adecuada o no depende de la demanda de los usuarios para transferir informacin, y los requisitos que esos usuarios imponen a esa transferencia.Lo sealado en el prrafo anterior conduce a la identificacin de tres elementos clave: la capacidad de una red y sus partes constituyentes; la cantidad de trfico que ha de ser transportado sobre la red; y los requisitos asociados con ese trfico, en trminos del desempeo ofrecido por la red a los usuarios. La ingeniera de teletrfico se preocupa de las relaciones entre estos tres elementos: trfico, capacidad y desempeo.Figura 12 Trfico, capacidad y desempeo de la red. Uno de estos elementos puede ser fijado con el fin de determinar cmo los otros varan, o dos elementos pueden ser fijados con el fin de encontrar un valor para el tercero. Estas posibilidades quedan a la vista en los siguientes ejemplos:En el dimensionamiento, el nfasis est puesto en determinar la capacidad requerida, dada una demanda de trfico especfica y los objetivos de desempeo. La ingeniera de desempeo trata de evaluar la factibilidad de un diseo de red particular (o, ms comnmente, un aspecto o parte de una red) bajo diferentes condiciones de trfico; por lo que el nfasis est puesto en variar el trfico y medir el desempeo para una capacidad dada (diseo de red). Los procedimientos de control de admisin para llamadas en una red ATM tienen la capacidad y los requisitos de desempeo fijos, con la intencin de evaluar cunto, y cul combinacin de trfico puede ser aceptada por la red.1.3.2Variacin de la intensidad de trfico

Recordar que si se toma como perodo de medicin de la intensidad de trfico un intervalo igual a la duracin promedio de una llamada, , se ve que el nmero promedio de tentativas de llamada por unidad de tiempo, , es numricamente igual a la intensidad de trfico ofrecido . Esta igualdad numrica no debe inducir al error de pensar que una intensidad de trfico de erlangs puede ser siempre transportada sobre canales o atendida por servidores.La ocurrencia de cualquier patrn de llamadas particular es un evento aleatorio, y la intensidad de trfico mide el promedio, no la variacin, del trfico durante un perodo particular. El principio general es que para transportar las llamadas sern necesarios ms canales que el valor numrico de la intensidad de trfico.En el Ejemplo 11 se vio que 240 llamadas diarias de 3 minutos de duracin promedio dan lugar a una intensidad de trfico ofrecido igual a 0,5 E (promedio sobre el perodo de 1 da). Obsrvese qu significado tiene el hecho que 200 de las 240 llamadas diarias ocurren entre 10 a.m. y 11 a.m. Es claro que la intensidad de trfico ofrecido en esta hora es

Este valor es significativamente ms grande que el promedio diario de 0,5 E. La cifra ms grande del trfico ofrecido entrega una indicacin mejor del nmero de canales necesarios. Esto es porque la intensidad de trfico, en la prctica, vara desde un nivel bajo durante la noche hasta uno o ms mximos durante el da, como se ilustra en la Figura 13. En consecuencia, un operador de red debe proporcionar suficientes canales de comunicacin de extremo a extremo para garantizar que los requisitos de desempeo son satisfechos cuando el trfico est en su mximo durante el perodo ms cargado del da. Figura 13 Variacin tpica del trfico telefnico durante un da laboral. Definicin 15: Hora cargada La hora cargada es definida como un perodo que ocurre cuando la intensidad de trfico ofrecido est en un mximo durante un perodo ininterrumpido de 60 minutos.Obsrvese que el trfico de la hora cargada representa un promedio: es un promedio sobre la escala de tiempo de la hora cargada, que corresponde a un valor mximo sobre la escala de tiempo de un da.

91. CONCEPTOS BSICOS DE TELETRFICO

Teora de Comunicaciones II (2011)Teora de Comunicaciones II (2011)Sistemas Bsicos de Servicio de Llamadas En esta Seccin se muestra, desde el punto de vista del trfico, dos estructuras de sistema que corresponden a dos formas de proporcionar servicio a las demandas de servicio recibidas:Sistema sin espera o de llamadas perdidas.Sistema con espera o de llamadas con espera.

En un sistema sin espera, no est previsto el almacenamiento de las demanda de servicio. Si la demanda de servicio no puede ser aceptada cuando ella se presenta porque todos los servidores disponibles estn ocupados, ella es rechazada inmediatamente (llamada perdida). La tasa de demandas de servicio aceptadas es inferior a la tasa de demandas de servicio .

En un sistema con espera, todas las demandas de servicio que aparecen con una tasa media , son atendidas con ms o menos espera porque se usa encolamiento para retener las demandas de servicio que son bloqueadas inicialmente. Cuando un usuario efecta una demanda de servicio y no hay un servidor disponible inmediatamente, la demanda puede ser retrasada hasta que haya un servidor disponible. La tasa de demandas de servicio finalmente aceptadas es igual a la tasa de demandas de servicio .2.1Sistemas sin espera En los sistemas sin espera o de llamadas perdidas, no se proporciona encolamiento para las demandas de servicio. Cuando un usuario demanda servicio, se le da acceso inmediato a un servidor si hay uno disponible. Si todos los servidores estn ocupados y no hay nuevos servidores disponibles, la demanda de servicio es rechazada (la llamada es bloqueada y perdida) y no accede al sistema. El usuario que no recibe servicio es libre de intentar nuevamente una demanda de servicio.Figura 21 Sistema servidor de llamadas sin espera 2.1.1Sistemas sin espera: Frmula de Erlang B

La frmula de Erlang B describe el desempeo del sistema sin espera como la probabilidad que sea bloqueada la demanda de servicio de un usuario arbitrario, . Se supone que las demandas de servicio arriban con una distribucin de Poisson, y se supone adicionalmente que hay un nmero casi infinito de usuarios. Se supone que todas las demandas de servicio rechazadas son instantneamente devueltas a un conjunto infinito, y pueden ser reintentadas en cualquier momento en el futuro. El tiempo entre demandas de servicio sucesivas de un usuario bloqueado es un proceso aleatorio y se supone que tiene una distribucin de Poisson. Este modelo es muy exacto para un sistema grande con muchos servidores y muchos usuarios con patrones de servicio o llamada similares y es apropiado para el anlisis de sistemas de entroncamiento[footnoteRef:3] sin espera. [3: Un sistema de entroncamiento es un sistema que proporciona trayectos o vas de comunicacin entre mltiples pares fuente-destino. El nmero mximo de trayectos de extremo a extremo que puede suministrar es por lo general menor que el nmero mximo de pares de puntos fuente-destino que requieren comunicacin, razn que explica la ocurrencia eventual de rechazos de las demandas de servicio de comunicacin (bloqueos) entre algunos pares fuentedestino.]

Teorema 21: Frmula de Erlang B La frmula de Erlang B determina la probabilidad que una demanda de servicio es rechazada, y es una medida del grado de servicio (GOS) de un sistema que no proporciona encolamiento de las demandas de servicio rechazadas. En lo sucesivo, el sistema sin espera se interpreta como un sistema de entroncamiento sin espera; las demandas de servicio originadas por los usuarios y las demandas de servicio rechazadas se interpretan como tentativas de llamada o arribos de llamada y llamadas bloqueadas, respectivamente; los servidores del sistema sin espera se interpretan como canales de comunicacin entre pares fuente-destino.La frmula de Erlang B se basa en las siguientes suposiciones bsicas:Las tentativas de llamada no son almacenadas en una memoria, lo que implica que todos los usuarios, incluyendo los usuarios bloqueados, pueden solicitar un canal en cualquier momento.Todos los canales libres estn completamente disponibles para transportar las llamadas hasta que todos los canales estn ocupados.La probabilidad que un usuario est ocupando un canal (llamado el tiempo de servicio) tiene una distribucin exponencial negativa. Las llamadas de larga duracin ocurren con menor probabilidad como lo describe una distribucin exponencial negativa.Hay un nmero finito de canales disponibles en el sistema.Los instantes de ocurrencia de las tentativas de llamada estn descritos por una distribucin de Poisson lo cual implica que los tiempos entre arribos de llamadas tienen una distribucin exponencial negativa.Los tiempos entre arribos de tentativas de llamada son independientes entre s.El nmero de canales ocupados es igual al nmero de usuarios atendidos.La frmula de Erlang B entrega la siguiente expresin para la probabilidad de bloqueo:

(21)

donde es el nmero de canales, y es la carga total de trfico ofrecido al sistema de entroncamiento sin espera.Deduccin de la frmula de Erlang B

Considrese un sistema con canales y usuarios. Sea la tasa promedio de arribos de llamada de un usuario y el tiempo de duracin promedio de una llamada (average holding time). La carga promedio de trfico ofrecido al sistema sin espera por cada usuario es . La carga total de trfico ofrecido al sistema es entonces , donde denota la tasa total promedio de arribos de llamada por unidad de tiempo, y se denominar en lo sucesivo tasa de arribos.La probabilidad que una tentativa de llamada de un usuario sea bloqueada est dada por

(22)Se supone que las llamadas arriban en conformidad con una distribucin de Poisson, de modo que

para (23)

donde es el nmero de arribos que han ocurrido desde y es el tiempo entre arribos de llamadas. El trmino denota el nmero medio de tentativas de llamada por unidad de tiempo, o tasa de arribos.

El proceso de Poisson implica que el instante de arribo de la n-sima llamada y los tiempos entre arribos de llamadas son conjuntamente independientes. Los tiempos interarribos entre llamadas tienen distribuciones exponenciales y son conjuntamente independientes. La probabilidad que el tiempo entre arribos sea menor que un tiempo est dada por , donde es el instante de arribo de la n-sima llamada. En otras palabras, la funcin densidad de probabilidad de es

(24)

Para todo ,

(25)

(26)

(27)

donde es la probabilidad que ms de una llamada arribe durante el intervalo y es una funcin de tal que .

La probabilidad de arribos en segundos se obtiene de la ecuacin (23)

(28)

El tiempo de servicio del usuario es la duracin de una llamada particular que ha sido aceptada por el sistema sin espera. Se supone que los tiempos de servicio tienen una distribucin exponencial con duracin media de llamada , y es la tasa de servicio (nmero medio de llamadas servidas por unidad de tiempo). La probabilidad que el tiempo de servicio del nsimo usuario es menor que una cierta duracin de llamada est dada por

(29)y la funcin densidad de probabilidad del tiempo de servicio es

(210)

donde es el tiempo de servicio del n-simo usuario.

Este sistema sin espera (representado por la frmula de Erlang B) corresponde al modelo de sistema de encolamiento . La primera denota un proceso de Poisson sin memoria para los arribos de las llamadas, la segunda denota un tiempo de servicio exponencial para los usuarios, la primera denota el nmero de canales disponibles, y la ltima indica un lmite estricto para el nmero de usuarios simultneos que son servidos.

La propiedad de cadenas de Markov puede ser usada para deducir la frmula de Erlang B. Se considera un proceso estocstico de tiempo discreto que toma valores del conjunto de los enteros no negativos, de modo que los posibles estados del proceso son . Se dice que el proceso es una cadena de Markov si su transicin desde el estado actual al siguiente estado depende solamente del estado y no de los estados previos. Las cadenas de Markov discretas permiten observar el trfico en instantes de observacin discretos correspondientes a condiciones de trfico especficas. La operacin de un sistema de entroncamiento prctico es continuo en el tiempo, pero puede ser observado en intervalos de tiempo pequeos , donde es un nmero positivo pequeo. Si es el nmero de llamadas (canales ocupados) en el sistema en el instante , entonces puede ser representado como

(211)

donde es un proceso aleatorio discreto que representa el nmero de canales ocupados en instantes discretos. es una cadena de Markov de tiempo discreto con probabilidades de ocupacin de estados en rgimen estacionario que son idnticas a las de la cadena de Markov de tiempo continuo, y puede tener valores en el rango .

La probabilidad de transicin est dada por

(212)

Usando las ecuaciones (25) a la (27), y haciendo , obtenemos

(213)

(214)

(215)

(216)

(217)

El diagrama de transicin de estado se muestra en la Figura 22, el cual es una representacin de cadena de Markov de un sistema de entroncamiento sin espera con canales. Para entender el diagrama de transicin de estado, suponga que hay 0 canal en uso en el sistema, es decir, no hay usuarios. En un pequeo intervalo de tiempo, la probabilidad que el sistema siga usando 0 canal es . La probabilidad que haya un cambio de 0 canal a 1 canal en uso est dada por . Por otra parte, si hay un canal en uso, la probabilidad que el sistema tenga una transicin a 0 canal en uso est dada . De manera similar, la probabilidad que el sistema contine usando 1 canal est dada por . Todas las probabilidades de salida de un cierto estado suman 1.Figura 22 Probabilidades de transicin representadas como un diagrama de estados de cadena de Markov para el modelo Erlang B.

Durante un largo perodo de tiempo, el sistema alcanza un estado estocstico estable y tiene canales en uso con una probabilidad estable. La Figura 23 representa la respuesta de rgimen estacionario de un sistema sin espera.Figura 23 Un sistema sin espera en rgimen estacionario con un nmero n de canales ocupados.

En el rgimen estacionario, la probabilidad de tener canales en uso es equivalente a la probabilidad de tener canales en uso, multiplicada por la probabilidad de transicin . Por lo tanto, bajo condiciones de rgimen estacionario,

(218)La ecuacin (218) se conoce como la Ecuacin de Balance Global. Adems,

(219)

Usando la ecuacin de Balance Global para diferentes valores de , se ve que

(220)

(221)

(222)

Evaluando la ecuacin (220) para diferentes valores de

(223)y

(224)Sustituyendo la ecuacin (223) en la ecuacin (224)

(225)

De la ecuacin (223), la probabilidad de bloqueo de canales es

(226)Sustituyendo la ecuacin (225) en la ecuacin (226),

(227)

El trfico total ofrecido es . Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (227), la probabilidad de bloqueo queda dada por

(228)La ecuacin (228) es la expresin de la frmula de Erlang B.2.1.2Tablas de trfico

La frmula de Erlang B entrega la probabilidad de bloqueo de llamada (es decir probabilidad de prdida de trfico), , dado un cierto nmero, , de canales que son ofrecidos a una cierta cantidad, , de trfico. Pero la pregunta de dimensionamiento se plantea de otra manera: Con una cierta cantidad, , de trfico ofrecido, cuntos canales, , se requieren para que resulte una probabilidad de bloqueo ? No es posible expresar en trminos de , por lo que se han construido tablas de trfico, como la que se muestra en la Tabla 21 (usando iteraciones), y son ampliamente usadas para simplificar este clculo.Tabla 21 Tabla de trfico que puede ser ofrecido, para una probabilidad de bloqueo especificada (basada en la frmula de Erlang B). Probabilidad de bloqueo, Pb

Nmero de canales, K 0,020,010,0050,001

trfico ofrecido, A:

10,020,010,0050,001

20,220,150,1050,046

30,600,450,350,19

41,10,90,70,44

51,71,41,10,8

62,31,91,61,1

72,92,52,21,6

83,63,12,72,1

94,33,83,32,6

105,14,54,03,1

La probabilidad de bloqueo especificada es usada para seleccionar la columna correcta, y luego se recorre hacia abajo la columna hasta una fila cuyo valor es igual a o excede ligeramente la intensidad de trfico ofrecido requerido. El valor de para esta fila es el nmero mnimo de canales necesarios para satisfacer la demanda requerida con la probabilidad de bloqueo de llamada especificada. De las columnas de datos en la tabla de trfico, se puede ver que cuando el nmero de canales aumenta, la carga promedio de cada canal aumenta, para una probabilidad de bloqueo de llamada fija. As, por ejemplo, si se tiene 10 canales dispuestos en dos grupos de 5, entonces para una probabilidad de bloqueo de 0,001 se puede cargar cada grupo con 0,8 E, es decir un total de 1,6 E. Si los 10 canales son reunidos en un grupo, entonces 3,1 E puede ser ofrecido para la misma probabilidad de bloqueo de 0,001. En el primer caso, el trfico ofrecido por canal es 0,16 E; en el segundo es 0,31 E. Por lo tanto mientras ms grande es el grupo de canales, mejor es la eficiencia de carga de trfico de canal.2.2Sistemas con espera En los sistemas con espera o de llamadas con espera, se proporciona encolamiento para las demandas de servicio. Cuando un usuario demanda servicio, se le da acceso inmediato a un servidor si hay uno disponible. Si todos los servidores estn ocupados, la demanda de servicio es almacenada en una cola de espera hasta que un servidor termine de atender otra demanda de servicio y quede desocupado (la llamada es retrasada).Figura 24 Sistema servidor de llamadas con espera. Los resultados clave del desempeo de un sistema con espera son:Probabilidad que una demanda de servicio sea retrasada (frmula de Erlang C).

Probabilidad que el tiempo de espera de una demanda de servicio retrasada sea mayor que (probabilidad condicional que considera slo aquellas demandas de servicio que son retrasadas).

Probabilidad que el tiempo de espera de una demanda de servicio sea mayor que (probabilidad incondicional que abarca todas las demandas de servicio).Retraso promedio de todas las demandas de servicio que son retrasadas (considera solo las demandas de servicio que son realmente encoladas en el sistema con espera)Retraso promedio de todas las demandas de servicio.2.2.1Sistemas con espera: Frmula de Erlang C La frmula de Erlang C describe el desempeo de un sistema con espera que utiliza una cola para mantener en espera todas las demandas de servicio a las que no se puede asignar inmediatamente un servidor. Excepto por la cola de espera, en todos los otros aspectos relativos al comportamiento del trfico y las caractersticas de los servidores, el modelo de sistema con espera que describe la frmula de Erlang C es similar al modelo de sistema sin espera que describe la frmula de Erlang B. Por lo tanto, tambin es vlido interpretar el sistema con espera en un contexto de comunicaciones, como un sistema de entroncamiento con espera.Teorema 22: Frmula de Erlang C

Se considera un sistema con espera que tiene canales. Las suposiciones usadas para deducir la frmula de Erlang C son similares a aquellas usadas para deducir la frmula de Erlang B, excepto por dos estipulaciones adicionales:Si a una llamada no se le puede asignar un canal, se la coloca en una cola de espera que tiene una longitud infinita. Luego, cada llamada en espera es servida en el orden de llegada.La frmula de Erlang C entrega la probabilidad que una tentativa de llamada sea retrasada, mediante la siguiente expresin

(229)

donde es el nmero total de canales del sistema con espera, y es la carga total ofrecida a este sistema.Deduccin de la frmula de Erlang CSe supone que el proceso de arribos obedece a una distribucin de Poisson dada por

(230)

donde es el nmero de arribos de llamadas que estn esperando recibir servicio.

Igual que en la frmula de Erlang B, que fue deducida usando la suposicin que todos los tiempos entre arribos tienen una distribucin exponencial y son independientes, aqu el tiempo entre arribos de llamadas sucesivas es y la distribucin de los tiempos entre arribos es tal que

(231)Igual que en el caso de la frmula de Erlang B, aqu se supone tambin que la distribucin del tiempo de servicio de cada usuario que se encuentra ya en el sistema con espera es exponencial negativa y est dada por

(232)

donde es la tasa de servicio.

Usando cadenas de tiempo discreto con probabilidades de transicin dadas en las ecuaciones (212) a la (217), se deduce fcilmente la frmula de Erlang C. Considere que denota la probabilidad de transicin de pasar del estado al estado . El diagrama de estado del sistema se muestra en la Figura 25.Figura 25 Probabilidades de transicin representadas como un diagrama de estados de cadena de Markov para el modelo Erlang C.

La frmula de Erlang C es deducida suponiendo que el sistema con espera es una cola M/M/K/D donde denota el nmero mximo de llamadas atendidas simultneamente (nmero total de servidores) y es el nmero mximo de llamadas que pueden ser mantenidas en la cola en espera de servicio. Si se supone que es infinito, entonces el sistema es una cola M/M/K/, referida comnmente como la cola M/M/K simplemente. Si es infinito, entonces puede denotar la probabilidad de estado estacionario de encontrar llamadas en el sistema (llamadas servidas y en espera). Esto es,

(233)

donde es el nmero total de llamadas que estn usando el sistema (canales) o estn esperando servicio en el instante . En el estado estacionario, la probabilidad que el sistema est en el estado y hace una transicin al estado en el siguiente intervalo de transicin es igual a la probabilidad que el sistema est en el estado y hace una transicin al estado . As, del diagrama de estado que muestra la Figura 25, se deduce la igualdad

(234)por lo tanto

(235)y

(236)por lo tanto

(237)y se deduce que

(238)

Puesto que se debe cumplir la condicin , se tiene

(239)

(240) es decir

(241)

La probabilidad que ocurra el arribo de una llamada cuando todos los canales estn ocupados y por lo tanto tenga que esperar se puede determinar usando la ecuacin (238)

(242)

La ecuacin anterior es vlida para . Sustituyendo la expresin de dada por la ecuacin (241)

(243)

Pero, . Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (243), queda

(244)La ecuacin (244) es la expresin de la frmula de Erlang C.2.2.2Otros indicadores de desempeo de sistemas con espera Si no hay servidores disponibles inmediatamente en un sistema con espera, la demanda de servicio es retrasada y se mantiene en una cola hasta que se desocupe alguno de los servidores. Las probabilidades de espera y los tiempos medios de espera de las demandas de servicio se indican en los dos lemas siguientes, con ayuda de la probabilidad de una demanda de servicio retrasada que entrega la frmula de Erlang C.Lema 21: Probabilidad de tiempo de espera en un sistema con espera.

a)La probabilidad que una llamada retrasada es forzada a esperar por ms de segundos en la cola est dada por

(245)

donde es el nmero total de canales disponibles, es el tiempo de retraso de inters, y es la duracin promedio de una llamada.

b)La probabilidad que cualquier llamada sea retrasada en la cola con un tiempo de espera mayor que segundos est dada por

(246)

donde est dada por la frmula de Erlang C.Lema 22: Retraso promedio en un sistema con espera

a)El retraso promedio de todas las llamadas que arriban al sistema con espera est dado por

(247)

(248)

donde est dada por la frmula de Erlang C.

b)El retraso promedio de todas aquellas llamadas que son realmente encoladas en el sistema con espera antes de recibir servicio est dado por

(249)

222. SISTEMAS BSICOS DE SERVICIO DE LLAMADAS

Teora de Comunicaciones II (2011)Teora de Comunicaciones II (2011)Modelos de Trfico 3.1Niveles de comportamiento del trfico Para los estudios de los servicios de usuario final y los servicios de red es necesario distinguir los diferentes comportamientos de los trficos que tienen lugar en telecomunicaciones, mediante la consideracin de cuatro diferentes escalas de tiempo de actividad:Calendario: variaciones diaria, semanal y estacionalConexin: eventos de establecimiento y liberacin que delimitan la duracin de la conexin, lo que est tpicamente en el rango de 100 a 1000 segundosRfagas: el comportamiento de un usuario transmitiendo, caracterizado como una tasa de flujo de celdas (o paquetes), sobre un intervalo durante el cual esa tasa es supuesta constante. Para telefona, las caractersticas on/off de las rfagas de habla tienen duraciones que van en el rango de una fraccin de un segundo hasta unos pocos segundos. En IP, escalas de tiempo similares se aplican a los flujos de paquetes.Celda/paquete: el comportamiento de la generacin de celdas o paquetes en el nivel ms bajo, concerniente al intervalo de tiempo entre arribos (p. ej., mltiplos de 2,831 s a 155,52 Mbit/s en ATM).Figura 31 Niveles de comportamiento del trfico. Este anlisis del comportamiento del trfico ayuda a distinguir los objetivos primarios del dimensionamiento y de la ingeniera de desempeo.El dimensionamiento enfoca su atencin en la organizacin y provisin de suficiente equipo en la red para satisfacer las necesidades de los servicios usados por los suscriptores, es decir, se ocupa preferentemente de los niveles de calendario y conexin. No se requiere conocimiento de las caractersticas detalladas del servicio, sino que en forma agregada.La ingeniera de desempeo, en cambio, enfoca su atencin en el detalle de cmo los recursos de la red son capaces de soportar los servicios, es decir, se ocupa de la evaluacin de los lmites de desempeo. Para esto se requiere considerar el detalle de las caractersticas del servicio, principalmente en los niveles de celda/paquete y rfaga, como tambin informacin sobre las combinaciones tpicas de servicios cunto trfico de voz, vdeo y datos est siendo transportado sobre un enlace (lo cual se podra obtener de un estudio de la utilizacin del servicio).3.2Informacin de temporizacin en los modelos de fuentes Un modelo de fuente describe cunto trfico, ya sean celdas/paquetes, rfagas o conexiones, emana desde un usuario. Los modelos de fuente pueden ser clasificados en una variedad de maneras, por ejemplo: modelo de tiempo continuo o tiempo discreto, modelo de tiempo entre arribos o proceso de contabilidad,modelo basado en estado o basado en distribucin.Es conveniente destacar que algunos modelos estn asociados con un mtodo de modelacin de cola particular, un ejemplo es el anlisis flujo de fluido.Una caracterstica distintiva de los modelos de fuente de trfico es la manera que la informacin de temporizacin es presentada. Se distinguen tres formas bsicas de presentar la informacin de temporizacin:Tiempo entre arribos consecutivos.Contabilidad de arribos en un perodo especificado.Tasa de arribos en el largo plazo.Ejemplo 31: Formas de presentacin de la informacin de temporizacin de una fuente de trfico ATMLa Figura 32 muestra las tres maneras diferentes de caracterizar la informacin de temporizacin de una fuente de trfico en el contexto de un ejemplo de tren de celdas ATM: El tiempo entre arribos consecutivos se expresa como el nmero de ranuras de celda entre arribos; en la figura de este ejemplo, los tiempos interarribos son 5, 7, 2 y 6 ranuras.La contabilidad de arribos en un perodo especificado se expresa como una cuenta del nmero de arribos de celda dentro de un perodo; en la figura de este ejemplo, es 5 celdas en 25 ranuras de celda.La tasa de arribos en el largo plazo se expresa como una tasa promedio de celdas, que en este ejemplo es 20% de la tasa de ranuras de celda.Figura 32 Informacin de temporizacin de trfico para un ejemplo de tren de celdas ATM.

En las sub-secciones siguientes se muestran algunos modelos sencillos de fuente que ilustran las tres formas de caracterizar la informacin de temporizacin definidas ms arriba.3.3Tiempo entre arribos Los tiempos interarribos pueden ser especificados por un valor fijo, o alguna distribucin de probabilidad arbitraria de valores, para el tiempo entre arribos sucesivos (ya sean celdas o conexiones). Estos valores pueden ser de tiempo continuo, tomando cualquier valor real, o de tiempo discreto, por ejemplo un mltiplo entero de un perodo de tiempo discreto tal como el tiempo de transmisin de una celda, p. ej., 2.831 s.3.3.1Distribucin exponencial negativa

Una distribucin exponencial negativa de los tiempos interarribos es un ejemplo sencillo de caracterizacin de la temporizacin de una fuente de trfico. La probabilidad que el tiempo interarribos es menor que o igual a est dada por la expresin

(31)

donde la tasa de arribos es .

Este es un ejemplo de proceso de tiempo continuo que posee la propiedad sin memoria; el nombre de esta propiedad surge del hecho que, si el tiempo actual es , la probabilidad de que hayan arribos en el intervalo es independiente del intervalo, , desde el ltimo arribo (vase la Figura 33).Figura 33 Propiedad sin memoria de la distribucin exponencial negativa. Este modelo de tiempos interarribos con distribucin exponencial negativa es aplicable a fuentes de paquetes de longitud variable (p. ej., datagramas IP) y a fuentes de paquetes de longitud fija (p. ej. celdas ATM).3.3.2Distribucin geomtrica La distribucin geomtrica es el equivalente de tiempo discreto del modelo de tiempos interarribos representado por una distribucin exponencial negativa. En el modelo de distribucin geomtrica para los tiempos interarribos se supone lo siguiente:La escala del tiempo est dividida uniformemente en intervalos de igual duracin denominados ranuras de tiempo.

Una ranura de tiempo puede estar ocupada por una celda (paquete de duracin fija igual a la duracin de la ranura de tiempo) con probabilidad , o puede estar vaca con probabilidad .

Con estas suposiciones, la probabilidad que hay ranuras de tiempo entre arribos est dada por la distribucin geomtrica

(32)

la cual expresa la probabilidad que hay ranuras de tiempo vacas, seguidas por una ranura de tiempo ocupada por una celda. El nmero de ranuras de tiempo entre arribos es contado desde el final de la primera celda hasta el final de la prxima celda que arriba (vase la Figura 34). Obviamente una tasa de celdas de 1 celda por ranura de tiempo tiene un tiempo de interarribos de 1 ranura de celda, es decir, no hay ranuras de celda vacas entre arribos.Figura 34 Tiempos interarribos especificados como el nmero de ranuras de tiempo entre arribos.

El valor medio de los tiempos interarribos con distribucin geomtrica es el inverso de la probabilidad de arribo de celda en una ranura de tiempo, es decir, .

Obsrvese que la distribucin geomtrica tiene tambin la propiedad sin memoria en que el valor de la probabilidad de un arribo en la ranura de tiempo permanece constante aunque muchos arribos hayan ocurrido en las ranuras previas.

La distribucin geomtrica acumulativa expresa la probabilidad que hay o menos ranuras de tiempo entre arribos.

(33)3.4Contabilidad de arribos Una manera alternativa de presentar la informacin de temporizacin sobre un proceso de arribos es mediante la cuenta del nmero de arribos en un intervalo de tiempo definido. 3.4.1Proceso de Poisson

En tiempo continuo, el modelo de tiempos entre arribos con distribucin exponencial negativa es equivalente al modelo de cuenta de arribos definido por un proceso de Poisson. En un proceso de Poisson, la distribucin del nmero de arribos en un intervalo queda expresada por

(34)

donde es la tasa de arribos.3.4.2Proceso de Bernoulli

En tiempo discreto, los tiempos interarribos con distribucin geomtrica forman un proceso de Bernoulli, donde la probabilidad de un arribo en una ranura de tiempo es y la probabilidad de que no haya un arribo en una ranura de tiempo es . Si se considera ms de una ranura de tiempo, entonces el nmero de arribos en ranuras tiene una distribucin binomial:

(35)

y es el nmero promedio de arribos por ranura de tiempo.Ejemplo 32: Modelacin de una fuente ATMSe desea modelar el tren de celdas entrantes a una red ATM desde un buffer. Se considera el ejemplo de una fuente ATM que genera arribos de celdas como un proceso de Poisson; las celdas son luego almacenadas en buffer, y transmitidas en la manera usual para ATM, como un tren de celdas en ranuras sincronizadas (vase la Figura 35).Figura 35 El proceso de salida de Bernoulli como una aproximacin del tren de arribos de Poisson.

Un proceso de Poisson representa a las celdas que arriban al buffer desde la fuente, con una tasa de arribos de celdas igual a celdas por ranura de tiempo. En la salida del buffer, una celda ocupa la ranura de tiempo con probabilidad en conformidad con un proceso de Bernoulli.

Si es la tasa de arribos de celdas y es la tasa de celdas de salida de salida del buffer (ambas en trminos del nmero de celdas por ranura de tiempo), y si no hay prdida de celdas en el buffer (infinito), se debe cumplir la igualdad .

Notar que el proceso de salida de un buffer ATM de longitud infinita, alimentado por una fuente de Poisson no es realmente un proceso de Bernoulli. La razn es que la cola introduce dependencia de ranura a ranura. Si hay celdas en el buffer, entonces la probabilidad que ninguna celda sea servida en la prxima ranura de celda es 0, mientras que para el proceso de Bernoulli es . As, aunque el tren de celdas de salida no es un proceso sin memoria, el proceso de Bernoulli es an un modelo aproximado til, variaciones del cual se utilizan frecuentemente en ingeniera de teletrfico para ATM y para IP.3.4.3Arribos por lotes La limitacin de los procesos interarribos con distribucin exponencial negativa y geomtrica es que ellos no incorporan todas las caractersticas importantes del trfico tpico, como se ver ms adelante.

Ciertas formas de anlisis de conmutador suponen procesos de arribos por lotes (batch-arrival): aqu, en vez de un solo arribo con probabilidad , se tiene un grupo de arribos (un lote), y el nmero de arribos en el grupo puede tener cualquier distribucin. Esta forma de proceso de arribos puede ser considerado tambin en esta categora de caracterizacin de una fuente mediante la contabilidad de arribos. Por ejemplo, en un buffer de un conmutador ATM, un grupo de arribos hasta algn mximo, , converge desde diferentes partes del conmutador durante una ranura de tiempo. Esto puede ser descrito mediante una contabilidad de arribos de celdas en un lote durante esa ranura de tiempo. El proceso de Bernoulli con arribos por lotes es caracterizado por tener un nmero de arribos independiente y e idnticamente distribuido en cada perodo de tiempo discreto. Esto es definido en dos partes: i)La presencia de un lote o la ausencia de un lote:

(36)

(37)ii)La distribucin del nmero de celdas en un lote:

(38)

Notar que es mayor que 0. Esta descripcin del proceso de arribos puede ser reordenado para entregar la distribucin global del nmero de arribos por ranura, , como sigue:

(39)Esta forma de trfico de entrada puede ser usada en el anlisis de conmutacin de celdas y en el anlisis del encolamiento de paquetes bsico. Se trata de una forma general que puede ser usada para las distribuciones de entrada de Poisson y binomial, como tambin para distribuciones arbitrarias.

En el caso de una entrada por lotes con distribucin de Poisson, el tiempo de duracin que cabe considerar es una ranura de tiempo, y si es la tasa de arribos en celdas por ranura de tiempo, entonces

(310)

Otro ejemplo de proceso de arribos por lotes se tiene cuando en el caso de entradas consistentes en trenes de celdas modelados como procesos de Bernoulli, en que cada entrada tiene una probabilidad de producir un arribo de celda en cualquier ranura de tiempo. Entonces la probabilidad que en una ranura de tiempo hay arribos provenientes de las entradas queda determinada por una distribucin binomial expresada como

(311)

y la tasa total de arribos es celdas por ranura de tiempo.3.5Tasas de flujo La forma ms simple de fuente que usa una descripcin de tasa es un tren de arribos peridicos. Un ejemplo conocido de esta descripcin de fuentes de trfico se encuentra en telefona a 64 kbit/s con tasa binaria constante (CBR, constant bit rate), que tiene una tasa de celdas de 167 celdas/s en ATM.3.5.1Fuente de dos estados Un modelo de fuente de trfico de dos estados o fuente ONOFF, es un proceso que conmuta entre un estado de silencio, que no produce celdas, y un estado que produce una tasa fija de celdas particular. Las fuentes de trfico ON-OFF en que las duraciones de los estados ON y OFF tienen distribuciones exponenciales negativas han sido las estudiadas ms frecuentemente, y han sido aplicadas a trfico de datos, a trfico de voz paquetizada, y como un modelo general para trfico rafagoso en un multiplexor ATM.

La Figura 36 muestra un modelo de teletrfico tpico para una fuente ONOFF. Durante el tiempo en que la fuente est en el estado ON (denominado el tiempo de permanencia en el estado de actividad), la fuente genera celdas con una tasa de celdas por ranura de tiempo. Despus de cada celda, otra celda es generada con probabilidad , o la fuente cambia al estado de silencio con probabilidad . De manera similar, en el estado de silencio, la fuente genera otra ranura de tiempo vaca con probabilidad , o pasa el estado de actividad con probabilidad . Este tipo de fuente genera celdas en patrones similares al que se muestra en la Figura 37; para el patrn ilustrado en esta figura, es igual a la mitad de la tasa de ranuras de celda. Obsrvese que puede haber ranuras de celda vacas durante el estado de actividad, las cuales ocurren si la tasa de arribos de celdas, , es menor que la tasa de ranuras de celda.Figura 36 Un modelo de fuente ONOFF. Figura 37 Patrn de celdas de un modelo de fuente ONOFF.

La fuente ONOFF puede ser descrita de una manera diferente. En lugar de mostrar explcitamente el proceso de generacin de celdas y el proceso de ranuras de tiempo vacas como procesos de Bernoulli, se puede describir simplemente el estado de actividad con un nmero de arribos de celdas distribuido geomtricamente, y el estado de silencio con un nmero de ranuras de celda vacas distribuido geomtricamente. El nmero medio de celdas en un estado de actividad, , es igual al inverso de la probabilidad de existencia del estado de actividad, es decir,

(312)

Anlogamente, el nmero medio de ranuras de celda vacas en un estado de silencio, , est dado por

(313)Al final de un perodo de permanencia en un estado, el proceso conmuta al otro estado con probabilidad 1. La Figura 38 muestra esta representacin alternativa del modelo de fuente ONOFF. Figura 38 Una representacin alternativa del modelo de fuente ONOFF.

Es importante destacar que las distribuciones geomtricas de los estados de actividad y de silencio tienen bases de tiempo diferentes. Para el estado de actividad la unidad de tiempo es , es decir, el tiempo interarribo de celdas. Por lo tanto la duracin media en el estado de actividad es

(314)

Para el estado en silencio la unidad de tiempo es , donde es la tasa de ranuras de celda; por lo tanto la duracin media en el estado en silencio es

(315)La representacin alternativa de la Figura 38 puede ser generalizada permitiendo distribuciones arbitrarias para el nmero de celdas generadas en un perodo de actividad y para el nmero de ranuras vacas generadas en un perodo de silencio.Ejemplo 33: Fuente de telefona digital con silencios suprimidos En este ejemplo se aplica el modelo de fuente ONOFF a una situacin prctica: seal de telefona codificada con silencios suprimidos (no hay celdas transmitidas durante los periodos en que el interlocutor est en silencio).

Cifras tpicas para las duraciones medias de los perodos ON y OFF son 0,96 segundo y 1,69 segundos respectivamente. Las celdas son generadas desde una fuente de telefona de 64kbit/s con una tasa de celdas/s y la tasa de ranuras de celda de un enlace de 155,52 Mbit/s es celdas/s. Por lo tanto, el nmero medio de celdas producidas en un estado de actividad es

y el nmero medio de ranuras vacas en un estado de silencio es

Esto da lugar al modelo que se muestra en la Figura 39.Figura 39 Modelo de fuente ONOFF para ejemplo de telefona con silencios suprimidos.

Es posible tambin calcular los valores de los parmetros y para el modelo de la Figura36. Se sabe que

de donde se obtiene

y

de donde se obtiene

3.5.2Modelos multiestado La fuente ONOFF es slo un ejemplo particular de un modelo basado en estados en el cual la tasa de arribos en un estado es fija, hay slo dos estados, y el perodo de tiempo de permanencia en un estado (sojourn time) tiene distribucin exponencial negativa, distribucin geomtrica, o distribucin arbitraria.

Es posible generalizar el modelo ON-OFF para incorporar estados, con tasas fijas en cada estado. Estos modelos multiestado (denominados procesos determinsticos modulados) son tiles para la modelacin de un nmero de fuentes ONOFF multiplexadas, o una fuente de trfico individual, ms compleja, tal como vdeo.

Si los tiempos de permanencia en los estados tienen distribuciones arbitrarias, el proceso resultante es denominado Proceso Determinstico Modulado Generalmente (GMDP, Generally Modulated Deterministic Process). Si las duraciones de los estados estn distribuidas exponencialmente entonces el proceso es denominado Proceso Determinstico Modulado por Markov (MMDP, Markov Modulated Deterministic Process). En este caso, cada estado produce un nmero de celdas distribuidas geomtricamente durante cualquier perodo de permanencia en un estado. Esto se debe a que, habindose generado el arribo , se genera el arribo con una probabilidad dada por la probabilidad que el perodo de permanencia en el estado no termine antes del tiempo del prximo arribo. Esta probabilidad es una constante si los perodos de permanencia en los estados estn distribuidos exponencialmente debido a la propiedad sin memoria de la distribucin exponencial negativa.No es necesario restringir el modelo para que tenga una tasa de arribos constante en cada estado: si el proceso de arribos en cada estado es un proceso de Poisson, y el valor medio de la distribucin de Poisson est determinado por el estado en que el modelo se encuentra, entonces se tiene un modelo MMPP, que es til para representar un proceso de arribos de celdas agregado.Figura 310 El modelo GMDP de tres estados.

Para todos estos procesos basados en estado, al final del perodo de permanencia en el estado , se efecta una transicin a otro estado ; esta transicin es gobernada por una matriz de probabilidades de transicin , . La Figura 310 ilustra un modelo multi-estado, con tres estados, donde las probabilidades de transicin del estado al estado son indicadas como .

343. MODELOS DE TRFICO

Teora de Comunicaciones II (2011)Teora de Comunicaciones II (2011)Bibliografa J. M. Pitts & J. A. Schormans. Introduction to IP and ATM Design and Performance. 2nd. Ed. Chichester, England: John Wiley & Sons, Ltd., 2000.William Stallings. Redes e Internet de alta velocidad: Rendimiento y calidad de servicio. 2 Ed. Madrid: Pearson Prentice Hall, 2004.Theodore Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, New Jersey: Prentice Hall, 1996.Ng Chee-Hock and Soong Boon-Hee. Queueing Modelling Fundamentals With Applications in Communication Networks. 2nd Ed. John Wiley & Sons, 2008.Villy B. Iversen, Teletraffic Engineering and Network Planning, Technical University of Denmark, DTU Course 34340, 2010. Disponible en: http://www.fotonik.dtu.dk

Teora de Comunicaciones II (2011)