um pouco de história da trigonometria

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Um pouco de histria da trigonometria. Professor: Antonio Carlos Brolezzi IME/USP http://www.ime.usp.br/~brolezzi brolezzi@usp.br. Os povos da Antiguidade admiravam o cu, seus mistrios e sua influncia na vida - clima, colheitas, estaes do ano. - PowerPoint PPT Presentation

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Um pouco de histria da trigonometria

Professor: Antonio Carlos BrolezziIME/USPhttp://www.ime.usp.br/~brolezzibrolezzi@usp.br

Os povos da Antiguidade admiravam o cu, seus mistrios e sua influncia na vida - clima, colheitas, estaes do ano ...A Matemtica foi criada em grande parte para entender e tentar acessar os segredos do Universo

As primeiras divises da Matemtica foram entre:Nmeros e GrandezasEm repouso ou em movimentoAs primeiras divises da Matemtica foram entre:Nmeros em repouso: AritmticaGrandezas em repouso: Geometria

As primeiras divises da Matemtica foram entre:Nmeros em movimento: MsicaGrandezas em movimento: Astronomia

ngulos: a Matemtica do Movimento, da Astronomia

Fontes principais: tabletas de barro cozido

Escrita: cuneiforme

Perodo: 3500 - 561 aC

Regio: entre os rios Tigres e Eufrates (Oriente Mdio)

Principal cidade-estado:BabilniaA linguagem dos ngulos e a astronomia nasceram na Mesopotmia

Tableta com numerais cuneiformes babilniosde 2800 aC

A traduo das tabletas cuneiformes teve incio em 1870, quando se descobriu uma inscrio trilinge nas encostas do monte Behistun, narrando a vitria do rei Dario sobre Cambises.

Somente em 1934 Otto Neugebauer decifrou, interpretou e publicou as tabletas matemticas babilnias.

YBC 7302 um crculo com os nmeros 3, 9 e 45. 45 representa a rea do crculo, e 3 a circunferncia.Usavam A=5C^2 ou A=C^2/12.

Um trapzio. A base e o lado medem 2,20O topo mede 2. A rea obtida 5,3,20.

Fontes principais:

inscries em monumentos; inscries em objetos; papiros.

Escrita principal: hierglifos

Perodo imperial: 2800 - 715 aC

Regio: litoral mediterrneo da fricaFontes da Histria da Matemtica do Egito Antigo

Os egpcios conheciam a relao entre a sombra e o gnomonMas tratava-se de um conhecimento prtico, no demonstrativo

Modelo do Relgio de Sol Egpcio

(ponteiro em grego)

O princpio do relgio de sol supe uma diviso da inclinao da sombra em intervalos de 15o CC uma linha paralela ao eixo de rotao da TerraO ngulo entre os planos CNC, CMC, CLC etc de 360o/24, isto , 15o60o45o30o15o75oTringulos retngulos com ngulos notveis(tringulos das horas)1Vamos calcular a relao entre os lados desses tringulos?7h12h6h11h10h9h8hCada ngulo notvel pode ser associado a uma hora do dia15o90o0o75o60o45o30oAs divises em 15o assinalam os valores notveis de ngulos15o15o15o15o15o15oDividido em 24 partes, cada uma com 15o, pode representar as horas do dia30o30o30oOs 360o possuem diversas divises interessantes60o60o60o60o60o60oO crculo trigonomtricos foi dividido em 360 partes (graus) seguindo a notao sexagesimal babilnia6060606060606060Crculo trigonomtrico grego, com raio constante (60, base das fraes sexagesimais)

Ptolomeu de Alexandria (c. 85 - 165)Crculo trigonomtrico, tbua de senos

6060606060606060Crculo trigonomtrico de Ptolomeu, com raio constante (60, base das fraes sexagesimais)6060606060606060Crculo trigonomtrico de Ptolomeu, com raio constante (60, base das fraes sexagesimais)11111111O crculo trigonomtrico posteriormente passou a ter raio unitrio

Teorema de Pitgoras em Os Elementos de Euclides(manuscrito rabe)Os gregos inauguraram o mtodo da prova imaterial, a demonstrao matemtica

Foram os gregos que generalizaram o conhecimento egpcio

Origem da palavra seno, do Almagesto ( O Maior): nome dado pelos rabes obra de Ptolomeu sobre astronomia matemticaPara os gregos no haviam razes trigonomtricas, mas linhas trigonomtricassen 1Havia apenas o seno, o cosseno era apenas o seno do ngulo complementar (no tinha nome prprio)sen 1sen A palavra cosseno vem de complementi sinus (seno do ngulo complementar)sen 1cos Seno e cosseno no eram razes entre lados, mas comprimentos de segmentos de reta, aplicveis aos demais tringulos por semelhanasen 1cos abcsen = b/acos = c/aTangente se refere reta que apenas toca (tange) o crculo1tan Cotangente tambm vem de tangente do ngulo complementar1tan acbtan = b/c tan = cotan = c/b

Trigonometria oriental mostrando o clculo da altura de uma montanhaTrigonometria=semelhana de tringulos + clculo de distncias desconhecidasGrcia Antiga: bero da Matemtica sistematizada

Fontes principais: referncias histricas em escritos filosficos ou matemticos

Escrita: grego

Perodo: 750 - 50 aC

Regio: em torno do mar EgeuHelenismo: a cultura grega espalhou-se pelo mundo atravs do imprio que Alexandre Magno construiu entre 333 e 323 aC, fundando diversos centros cosmopolitas de integrao racial e cultural, alguns com o nome de Alexandria. Alexandre foi aluno de Aristteles.

Aristarco de Samos (c. 310 - 230 aC)O Coprnico da Antiguidade

Aristarco mediu a distncia da Terra a Lua de modo simples

O crculo mximo que divide a lua estende-se no mesmo plano que o olho do observador Diagrama da relao entre a Terra e a Lua

O conjunto EMS forma um tringulo retngulodDA razo da distncia entre E e S e T e L maior que 18 por 1 e menor que 20 por 1

Eratstenes de Cirene (atual Lbia) (c. 276 - 196 aC)Beta (segundo melhor em tudo)Bibliotecrio de Alexandria

Medida do raio da Terra por Eratstenes

Hiparco de Nicea (atual Turquia) (c. 190 - 120 aC)O maior astrnomo da AntiguidadeCorrigiu vrios clculos de Aristarco

Distncia da Terra ao Sol: 149.600.000Distncia da Terra Lua: 384.400Dimetro do Sol: 1.390.000Dimetro da Lua: 3476Valores atuais (mdias em quilmetros)Dimetro da Terra: 12.756

Aplicaes da trigonometriaTrigonometria surgiu do estudo da semelhana de tringulos com o objetivo de calcular distncias inacessveis

O caminho pedaggico que defendemos:a considerao da Matemtica em sua fase de construo cientfica, e no da Matemtica pronta e sistematizada.

O estudo da Histria da Matemtica a grande fonte para a apreenso da ordem lgica que revela a Matemtica enquanto Cincia em construo. Exemplo: ensinar trigonometria pelas aplicaes que fizeram com que surgisse, a necessidade do clculo de distncias inacessveis.Chamamos essa abordagem de Arte de Contar, pois contar em diversas lnguas se aplica tanto a contar histrias quanto a contar objetos.

Mas no necessrio contar a histria propriamente dita de um assunto. H professores de Matemtica que gostam de Histria, outros no.

Ptolomeu de Alexandria (c. 85 - 165)Condensou e estabeleceu os mtodos da trigonometria Ptolomeu consolidou o uso de diversas propriedades j descobertas pelos gregos relacionadas aos crculos

O ngulo central o dobro dos ngulos inscritos na circunferncia que contenham o mesmo arco.

A demonstrao vem de colocar um dos lados do ngulo inscrito sobre o dimetro da circunferncia.

Ptolomeu utilizou esses fatos simples para desenvolver e consolidar a trigonometria. Em sua obra Almagesto (do rabe Al-majisti, O Grande). O nome original da obra era Coleo Matemtica e possuia 13 volumes. Os comentadores distinguiram a obra de Ptolomeu em Pequena Astronomia, e os livro do Almagesto foram chamados de A Grande Coleo). Nessa obra encontramos o famoso Teorema de Ptolomeu:Em um quadriltero inscrito em um crculo, de lados a, b, c e d e diagonais x e y, vale a frmula ac + bd = xy.

Para demonstrar esse fato Ptolomeu considera que existem diversos ngulos congruentes por conterem o mesmo arco da circunferncia:

Agora tomamos o ponto E na diagonal AC de modo que os ngulos ABE e DBC sejam congruentes. Temos ento que so semelhantes os tringulos ABE e CDB.

Ptolomeu colocou o lado d do quadriltero sobre o dimetro da circunferncia. Os tringulos ABD e ACD so retngulos em B e C.Ptolomeu utilizou seu Teorema para construir sua Tbua de Cordas, que podem ser lidas como Tbuas de Senos

Observe tambm que o tringulo BCF retngulo em B. O Angulo F congruente ao ngulo BAC que vale BAD-CADPtolomeu utilizou seu Teorema para construir sua Tbua de Cordas, que podem ser lidas como Tbuas de Senos

sen(-x) = -senxcos(-x) = cosxOutras propriedades simples dos ngulos podem ser utilizadas para construir as demais Frmulas de Ptolomeu

sen(x+90) = cosxcos(x+90) = -senxOutras propriedades simples dos ngulos podem ser utilizadas para construir as demais Frmulas de Ptolomeu

O Teorema do Cosseno tambm importante resultado trigonomtrico

O Teorema do Cosseno tambm importante resultado trigonomtrico

Esses resultados possuem uma grande aplicao prtica, principalmente para o clculo de distncias

Um aplicao do Teorema dos Senos para o Clculo de Distncias inacessveisA Trigonometria adquirir posteriormente uma dimenso jamais sonhada pelos gregos. Servir para dar forma e vida aos nmeros mais estranhos e teis do planeta: os Nmeros Complexos.sen 1cos Os Nmeros Complexos passaro a ser representados no plano que vir a ser conhecido como Plano de Argand-Gauss.sen rcos Z = a + bi = r(cos + isen)Im(z)Re(z)ba

O alemo Carl Friedrich Gauss (1777-1855)foi o primeiro a utilizar seriamente a notao do plano trigonomtrico para representar os Nmeros Complexos, divulgando a representao criada pelo suio Jean-Robert Argand (1768-1822).A representao geomtrica dos complexos foi chamada por Gauss de a verdadeira metafsica das quantidades imaginrias.