Histria da Trigonometria

Um pouco de Histria daTrigonometria

A origem da trigonometria incerta.

Entretanto, pode dizer-se que o incio do

seu desenvolvimento se deu

principalmente devido aos problemas

gerados pela Astronomia, Agrimensura, e

Navegao, com os egpcios e babilnios.Os povos da Antiguidade admiravam

o cu, os seus mistrios e a sua influncia

na vida:

- clima, colheitas, estaes do ano ...

A Matemtica foi

criada, em grande

parte, para entender

e tentar aceder aos

segredos do

Universo.

A Trigonometria foi aplicada nanavegao

Os navegadores da

antiguidade precisavam de

calcular a distncia a que se

encontravam da terra

enquanto navegavam.

O astrolbio um antigo instrumento astronmico,

hoje em dia obsoleto, que teve muita importncia na

astronomia, principalmente na astronomia nutica,

quando os astros visveis no cu constituam o

principal referencial dos primeiros grandes

navegadores.

O astrolbio tambm era usado na

agrimensura, para se conhecer, por

exemplo, a altura de uma montanha a

partir do clculo do ngulo formado pela

sua sombra.A antiga civilizao egpcia durou cerca de 3000 anos.

Durante esse tempo, em terras vizinhas, surgiram outras culturas, que prosperaram e desapareceram surgindo outras no seu lugar.

Por exemplo, em pocas diferentes vrias culturas viveram na terra conhecida hoje por Israel.

Os Mesopotmios viveram na

sia Ocidental entre os rios Tigre e

Eufrates, no atual Iraque. Faziam

parte da Mesopotmia vrios povos,

entre os quais os sumrios, os

babilnios, os assrios. A Mesopotmia

foi muito influente e os seus costumes

perduram at aos dias de hoje.

Fontes principais: tbuas de barro cozido

Escrita: cuneiforme

Perodo: 3500 - 561 aC

Regio: entre os rios Tigre e Eufrates (Mdio Oriente)

Principal cidade-estado:BabilniaA linguagem dos ngulos e a astronomia nasceram na MesopotmiaDesde o incio doSculo XIX foram escavadas aproximadamente meio milho de

tbuas de argilababilnicase milhares delas so de natureza matemtica.

Provavelmente o mais famoso destes exemplos dematemtica babilnicaseja a

tbuaPlimpton 322.

A traduo das tbuas

cuneiformes teve incio

em 1870, quando se

descobriu uma

inscrio trilngue nas

encostas do monte Behistun,

narrando a vitria do rei Dario

sobre Cambises.Tbua com numerais cuneiformes babilniosde 2800 aC

Um trapzio.

A base e o lado

medem 2,20

O topo mede 2.

A rea obtida

5,3,20.

YBC 7302 um

crculo com os

nmeros 3, 9 e 45.

45 representa a

rea do crculo,

e 3 o raio da

circunferncia.

Usavam A=5C^2

ou A=C^2/12.

.OAntigo Egiptofoi umacivilizao

daAntiguidadeque se desenvolveu

no canto nordeste docontinente

africano, limitado a leste pelo deserto

da Arbia, a oeste pelo deserto da

Lbia, a sul pela Nbiae a norte pelo

Mar Mediterrneo.

Ahistria do Antigo Egiptoinicia-se em

cerca de3100 a.C., altura em que se

verificou a unificao dos reinos doAltoe

doBaixo Egipto, e termina em 30

a.C.quando o Egipto, j ento sob

dominao estrangeira, se transformou

numaprovnciadoImprio Romano, aps

a derrota da rainhaClepatra.

Fontes da Histria da Matemtica do Egito Antigo Fontes principais:

inscries em monumentos; inscries em objetos; papiros.

Escrita principal: hierglifos

Perodo imperial: 2800 - 715 aC

Regio: litoral mediterrneo da frica

Sistema de Numerao Egpcio

- Talvez o mais antigo dos sistemas de numerao desenvolvidos;

Usava a escrita no formato Hieroglfico (cada um dos sinais da escrita das antigas civilizaes);

- Usava sistema de agrupamento simples (base 10).

Exemplo de numeral egpcio

Como representar 325 em numeral egpcio?

100++100100+++10105Gravura num cetro real egpcio: 120.000 prisioneiros

1.422.000 cabras capturadas (!)

Unidades de Medida ao Longo da Histria

Durante muito tempo, o mundo usou medidas imprecisas, como aquelas baseadas no corpo humano: palmo, p, polegada, braa, cvado.

Isso gerou muitos problemas, principalmente no comrcio, devido falta de um padro para determinar quantidades de produtos. Muitos aproveitavam para roubar ou tirar vantagem por causa dessa impreciso.

Atualmente as unidades de medidas utilizadas e padronizadas pelo sistema internacional de medidas so: Quilmetro (km), Hectmetro (hm), Decmetro (dam), metro (m), Decmetro (dm), Centmetro (cm) e Milmetro (mm). Das unidades citadas utilizamos como referencial o metro.

Ocbitoera uma unidade utilizada pelos egpcios h, aproximadamente, 4.000 anos.

Ela consistia na distncia do cotovelo at a ponta do dedo mdio do fara.

Como as pessoas tinham tamanhos diferentes, o cbito causava grandes confuses nos resultados das medies. Desta forma verificou-se que, para que os padres fossem teis, era necessrio que estes fossem iguais para todos.

Diante disso, os egpcios resolveram criar um padro nico. Assim, eles passaram a usar nas suas medies, barras de pedra com o mesmo comprimento, tendo assim surgido o cbito-padro.

Logo as dificuldades apareceram: o padro feito de pedra era difcil de transportar, obrigando a que estes fossem confecionados em madeira.

Porm, como a madeira rapidamente se desgastava, foram gravados comprimentos equivalentes a um cbito-padro nas paredes dos principais templos.

Opalmo era muito utilizado pelos povos

egpcios, e esta medida consistia na

utilizao de quatro dedos juntos e

correspondia stima parte do cbito.

Hoje o palmo ainda utilizado em

medies caseiras, e medido pela distncia

em linha reta do polegar ao dedo mindinho.

Algumas unidades ainda so utilizadas por

determinados pases at os dias atuais.

A Inglaterra e os Estados Unidos utilizam

ajardacomo medida de comprimento.

Essa medida consiste na distncia entre o nariz e a

ponta do dedo mdio, com o brao esticado.

Nos jogos de futebol, a jarda utilizada nos momentos em que o juiz precisa marcar a distncia entre a bola e a barreira, para isso ele faz a medio contando passos ( 3 passos a medida aproximada de 1 jarda).

No futebol americano as distncias percorridas pelos atletas so registadas em jardas, que medem aproximadamente 0,91 metros.

Papiro de Rhind e Papiro de Moscou

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemtica dos

antigos egpcios baseia-se em dois grandes papiros:

o Papiro Ahmes (ou papiro de Rhind) e o Papiro de Moscou.

Trecho do Papiro de Moscou

Problema do clculo do volume de um tronco de pirmide de base quadrada.

Papiro Ahmes conhecido como Papiro Rhind Um certo nmero de papiros egpcios resistiu ao desgaste do tempo por mais de trs milnios. O mais extenso dos de natureza matemtica um rolo de papiro com cerca de 0,33 m de altura e 5,5 m de comprimento, o papiro Rhind.Este papiro data de aproximadamente 1650 a.C., e contm 84 problemas e respetivas solues, dos quais quatro fazem meno ao seqt de um ngulo.

Na construo das pirmides era essencial manter uma inclinao constante das faces, o que levou os egpcios a introduzirem o conceito de seqt.

Ahmes no foi claro ao expressar o significado desta palavra mas, pelo contexto, pensa-se que o seqt de uma pirmide regular seja equivalente ao que entendemos hoje ser a cotangente do ngulo que a face lateral da pirmide faz com a sua base .

Alguns Problemas do Papiro RhindProblema 59: A altura de uma pirmide 8 cbitos, e a base 12 cbitos. Qual a seked? Soluo: 5 palmos e um dedo.Problema 58: A altura de uma pirmide 93 1/3 cbitos, e a base 140 cbitos. Qual a seked? Soluo: 5 palmos e um dedo.Problema 57: A seked de uma pirmide 5 palmos e 1 dedo, e a base 140 cbitos. Qual a altura? Soluo: 93 + 1/3Alm da utilizao da trigonometria nas medies das pirmides, apareceu no Egito (1500 a.C. aproximadamente) a ideia de associar as sombras projetadas por uma vara vertical a sequncias numricas, relacionando os seus comprimentos com as horas do dia (relgios de sol).

O gnmon deve ter sido o mais antigo instrumento astronmico construdo pelo homem. Na sua forma mais simples, consistia apenas de uma vara fincada, geralmente na vertical, no cho.

Gnmon

Um relgio de sol vertical, muito usado pelas primeiras civilizaes. Este tipo de relgio de sol ainda usado por tribos indgenas brasileiras.

Observando a sombra da gnmon ao longo de um dia, os antigos astrnomos puderam perceber que ela era muito longa ao amanhecer e que ia mudando tanto de direo como de comprimento ao longo do dia.

Verificaram que o instante em que a sombra era a mais curta do dia, correspondia ao instante que dividia a parte clara do dia em duas metades. A esse instante deram o nome de Meio-dia e a direo em que a sombra se encontrava nesse instante recebeu o nome de Linha do Meio-dia ou seja, linha meridiana. linha horizontal perpendicular linha meridiana chamaram linha Este-Oeste, sendo que a direo Este foi nomeada aquela que corresponde ao lado do nascer do Sol, ficando o Oeste para o lado oposto.

De p, com os dois braos esticados na horizontal, e apontando o direito para o leste, define-se o Norte como sendo a direo da linha meridiana frente da pessoa e Sul para trs.

Assim foram definidos os pontos cardeais Norte, Sul, Este e Oeste.

Modelo do Relgio de Sol EgpcioO gnmon, isto a vareta GN da figura espetava-se no cho, formando com ele um ngulo de 90, e o comprimento da sua sombra (AN) era observado, num horrio determinado: meio dia.

Uma observao dos limites da sombra permitia medir a durao do ano e o movimento lateral dirio do ponto A permitia medir a durao do dia.

O princpio do relgio de sol supe uma diviso da inclinao da sombra em intervalos de 15o Tringulos retngulos com ngulos notveis(tringulos das horas)15o30o45o60o75o1Cada ngulo notvel pode ser associado a uma hora do dia6h7h8h9h10h11h12hAs divises em 15o assinalam os valores notveis de ngulos0o15o30o45o60o75o90oDividido em 24 partes,

cada uma com 15o, pode

representar as horas do diaSabemos que os diversos ramos da Matemtica no se formaram nem evoluram da mesma maneira e ao mesmo tempo, mas sim gradualmente.

O desenvolvimento da trigonometria est intimamente ligado ao da geometria.

Neste campo, a Grcia produziu grandes sbios; entre eles Thales (625 - 546 a.C.), com seus estudos de semelhana de tringulos que so a base da trigonometria, e seu discpulo Pitgoras (570 - 495 a.C.)

Grcia Antiga: bero da Matemtica sistematizadaFontes principais: referncias histricas em escritos filosficos ou matemticos

Escrita: grego

Perodo: 750 - 50 aC

Regio: em torno do mar EgeuO primeiro dos sbios da Grcia, que buscou o conhecimento no Egito e na Mesopotmia:

Tales de Mileto (624-548 aC)inaugurou o mtodo daprova imaterial (demonstrao matemtica)

Provvel aluno de Tales, criador da palavra matemtica:

Pitgoras de Samos (580-500 aC)Pitgoras criou uma matemtica investigativa e interdisciplinar.Descobriu a teoria matemtica das notas musicais

Os documentos gregos eram mais facilmente destrudosque os papiros egpcios e as tabletas de barro babilnias.Mas os gregos criaram uma tradio oral e escrita que perdurou at hoje.Scrates foi o precursor do mtodo da busca filosfica, base da concepo cientfica.No h escritos de Scrates: ele aparece como um personagem nos Dilogos de Plato.

Plato (427-347 aC)

Aristteles (384-322 aC)A Matemtica foi organizada com base na Lgica filosfica.

A Matemtica grega possua algo antes indito: a noo de demonstrao.

Aristteles escreveu o Organon, ou Instrumento da Cincia, estabelecendo as bases da Lgica.Os gregosinauguraram o mtododa prova imaterial, aDemonstraomatemtica

Teorema de Pitgoras em Os Elementos de Euclides(manuscrito rabe)

Segundo o historiador Herdoto (490 - 420 a.C.), foram os gregos que deram o nomegnmon ao relgio de sol que chegou at eles atravs dos babilnios, embora j tivesse sido utilizado pelos egpcios antes de 1500 a.C..(ponteiro em grego)Este instrumento evidencia e refora a hiptese de que a trigonometria foi uma ferramenta essencial para observao dos fenmenos astronmicos pelos povos antigos, uma vez que a documentao relativa a esse perodo praticamente inexistente.

Os gregos generalizaram o conhecimento egpcio1sen Para os gregos no haviam razes trigonomtricas, mas linhas trigonomtricassen cos A palavra cosseno vem de

complementi sinus

(seno do ngulo complementar)1Havia apenas o seno, o cosseno era apenas o seno do ngulo complementar (no tinha nome prprio)Seno e cosseno no eram razes entre lados, mas comprimentos de segmentos de reta, aplicveis aos demais tringulos por semelhana1sen cos abcsen = b/acos = c/a1tan A Tangente refere-se reta que toca (tange) o crculo1tan abctan = b/c tan = cotan = c/b Cotangente tambm vem de tangente do ngulo complementar

Helenismo:

a cultura grega espalhou-se pelo mundo atravs do imprio que Alexandre Magno construiu entre 333 e 323 aC, fundando diversos centros cosmopolitas de integrao racial e cultural, alguns com o nome de Alexandria.

Alexandre foi aluno de Aristteles.Aps a sua morte, o imprio de Alexandre foi dividido e Alexandria no Egito ficou sob comando do General Ptolomeu, que deu continuidade aos sonhos de Alexandre, fundando ali uma grande Universidade. Euclides foi chamado para ser o coordenador da parte de Matemtica da Biblioteca de Alexandria.

Euclides escreveu em uma nica obra toda a Matemtica conhecida no ano 300 aC.Os Elementos, em 13 volumes A Biblioteca de Alexandria continha cerca de 750.000 volumes, com informao abundante sobre Histria da Matemtica.

Euclides de Alexandria (325-265 aC)63Foi Eratstenes de Cirene (276 -196 a.C.)que produziu a mais notvel medida daAntiguidade para a circunferncia daTerra, usando semelhana de tringulos erazes trigonomtricas, o que o levou aperceber a necessidade de relaes maissistemticas entre ngulos e cordas.

O tratado Sobre a medida da Terraresume as concluses a que ele chegoumas, infelizmente, esses escritosperderam-se e tudo o que conhecemossobre o assunto chegou at ns pelosrelatos de Ptolomeu e Heron.

Medida do raio da Terra por Eratstenes de salientar que, para tornar possvel o trabalho de Eratstenes, foi determinante na poca o conhecimento do conceito de ngulo e de como medi-lo. Hiparco de Nicea (atual Turquia) (c. 190 - 120 aC)

O maior astrnomo da AntiguidadeCorrigiu vrios clculos de AristarcoAstrnomo e gegrafo grego fortemente influenciado pela matemtica da Babilnia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60 (sistema sexagesimal).

No se sabe exatamente quando se tornou comum dividir a circunferncia em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuio do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferncia ficou dividida.

Ele dividiu cada arco de 1 grau em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto. A sua trigonometria baseava-se numa nica funo, na qual a cada arco de circunferncia de raio arbitrrio, era associada a respetiva corda. Hiparco construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonomtrica com os valores das cordas de uma srie de ngulos de 0 a 180.

Ele observou que num dado crculo a razo do arco para a corda diminui quando o arco diminui de 180 graus para 0. Resolveu ento associar a cada corda de um arco o angulo central correspondente, o que representou um grande avano na Astronomia e por isso ele recebeu o ttulo de Pai da Trigonometria.

Condensou e estabeleceu os mtodos da trigonometria Ptolomeu de Alexandria (c. 85 - 165)

Hiparco foi uma figura de transio entre aastronomia babilnica e o grande CludioPtolomeu, autor da mais importante obra datrigonometria da Antiguidade, surgida nosculo dois da nossa era, na Alexandria, aSyntaxis Mathemtica, composta por trezevolumes.

Ela ficou conhecida como Almagesto,que significa em rabe A maior = Al magest, pois os tradutores rabes consideravam-na a maior obraexistente na poca, em Astronomia.Ela indispensvel para se entendero legado astronmico da Antiguidadegrega. Ptolomeu, na verdade, sistematizou e compilou noAlmagesto uma srie de conhecimentos bastantedifundidos na sua poca e a maior parte da obra baseada no trabalho do astrnomo e matemtico gregoHiparco, cujos livros se perderam. Ele menciona que Hiparco escreveu doze livros sobreclculo de cordas, incluindo uma tbua de cordas.

Dos treze livros que compem o Almagesto, o primeirocontm as informaes matemticas preliminares,indispensveis na poca, para uma investigao dosfenmenos celestes, tais como proposies sobregeometria esfrica, mtodos de calculo, uma tbua decordas e explicaes gerais sobre os diferentes corposcelestes. Os demais livros so dedicados Astronomia. Ptolomeu desenvolveu o estudo datrigonometria nos captulos dez e onze doprimeiro livro do Almagesto.

O captulo 11 consiste numa tabela de cordas

O captulo 10 explica como tal tabela pode sercalculada. Na verdade, no existe noAlmagesto nenhuma tabela contendo asfunes seno e cosseno, mas sim afuno corda do arco x, ou crd x.

No Almagesto existe:

(a) Uma tabela mais completa que a de Hiparco, com ngulos de meio em meio grau, de 0 graus a 180 graus;

(b) O uso da base 60, com a circunferncia dividida em 360 graus e o raio em 60 partes e fraes sexagesimais, no s para expressar ngulos mas tambm para qualquer tipo de calculo, com exceo dos de medida de tempo.

(c) O uso, tambm utilizando cordas, do seno do arco metade:

(d) O resultado que passou a ser conhecido como

Teorema de Ptolomeu:

Se ABCD um quadriltero convexo inscrito num crculo, ento a soma dos produtos dos lados opostos igual ao produto das diagonais.

A partir desse resultado, operando com as cordas dos arcos, Ptolomeu chegou a um equivalente das frmulas de seno da soma e da diferena de dois arcos. Especialmente a frmula para a corda da diferena foi usada por ele para a construo da tabela trigonomtrica.

Crculo trigonomtrico de Ptolomeu, com raio constante (60, base das fraes sexagesimais)6060606060606060O crculo trigonomtrico posteriormente passou a ter raio unitrio11111111Obrigada pela vossa atenonull203793.3