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Um poema e três quebra-
cabeças
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Apresentar o volume de pirâmides a partir
da descrição de prismas formados por três
pirâmides de mesmo volume;
2. Estimular a percepção geométrica de
objetos tridimensionais.
Um poema e três quebra-cabeças
Série
Matemática na Escola
Conteúdos
Geometria espacial: volumes de pirâmides e cones.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar o volume de pirâmides a partir da descrição de prismas formados por três pirâmides de mesmo volume;
2. Estimular a percepção geométrica de objetos tridimensionais.
Sinopse
A adolescente Vitória recebe de seu avô Otacílio caixas com quebra-cabeças acompanhadas de um trecho de um poema de Hilda Hilst. Ao montar os quebra-cabeças, ela consegue perceber a relação entre os volumes de pirâmides e prismas.
Material relacionado
Áudios: Volume, cones e
cilindros;
Experimentos: Volume de
pirâmides; Softwares: Sólidos de revolução; Vídeos: 3,2,1 Mistério.
VÍDEO
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Introdução
Sobre a série
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do Ensino Médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.
Sobre o programa
A adolescente Vitória recebe de seu avô Otacílio caixas com quebra-cabeças acompanhadas de um trecho de um poema de Hilda Hilst. Ao montar esses quebra-cabeças, ela consegue perceber a relação entre os volumes de pirâmides e prismas.
O primeiro quebra-cabeça que Vitória recebe é formado por três pirâmides quadrangulares congruentes. Na caixa deste quebra-cabeça, ela encontra um trecho de um poema de Hilda Hilst e percebe que a solução do quebra-cabeça tem algo a ver com o poema.
Colocamos a seguir um trecho um pouco maior deste poema (vale a pena procurar mais ...).
Dentro do prisma
A base, o vértice
De suas três
Pirâmides contínuas.
Dentro do prisma
A Idéia
Que perdura e ilumina
O que já era em mim
De natureza pura.
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Dentro do prisma
O universo
Sobre si mesmo fechado
Mas aberto e alado.
Dentro de mim,
De natureza ígnea
Uma Idéia do Amado.
Após montar, ela consegue perceber que as três pirâmides podem ser encaixadas formando um cubo e, assim, conclui que o volume de cada pirâmide quadrangular é igual a um terço do volume do cubo.
O segundo quebra-cabeça é formado por quatro peças, sendo três pirâmides triangulares e um prisma de base triangular. As três peças se encaixam perfeitamente e preenchem o prisma triangular, o que significa que o volume das três juntas é igual ao volume do prisma. Duas das pirâmides são congruentes e a terceira é diferente. Embora esta última não seja congruente com as demais, no vídeo é constatado experimentalmente que as três possuem o mesmo volume (um terço do volume do prisma) a partir do preenchimento destas com água.
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Uma introdução ao princípio de Cavalieri é então apresentada como uma explicação para os resultados experimentais. Assumindo este princípio como verdadeiro, pode-se demonstrar a igualdade do volume da pirâmide diferente com os volumes das demais. Esta dedução é apresentada na seção “O volume de uma pirâmide triangular usando o
Princípio de Cavalieri” deste guia.
O Princípio de Cavalieri
Boaventura Cavalieri - 1598-1647 – Professor da Universidade de Bolonha
O resultado conhecido como Princípio de Cavalieri está nas origens do chamado Cálculo Infinitesimal e já era utilizado por Arquimedes no século III a.C. como método para a descoberta de resultados, como,
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por exemplo, o da relação entre os volumes de uma semiesfera, de um cone e um cilindro de mesma base e mesma altura [Costa]. A denominação “de Cavalieri” é uma homenagem a Boaventura Cavalieri (1598-1647), que foi discípulo de Galileu e um dos precursores do advento do Cálculo Integral no século XVI. Este princípio é, de certa forma, intuitivo, tem muitas aplicações e costuma ser assumido como um axioma para se apresentar com certo rigor o cálculo de áreas e volumes sem o formalismo do Cálculo Integral. Para Cavalieri, um plano era constituído de um número infinito de retas paralelas, e um sólido de um número infinito de planos paralelos.
Para figuras no espaço, o Princípio de Cavalieri estabelece que sólidos de mesma altura e que têm a cada “nível” correspondente secções planas de mesma área, têm o mesmo volume. Ou, dito de outra forma:
Princípio de Cavalieri para sólidos
Se todas as seções de dois sólidos por planos paralelos a um plano dado tiverem a mesma área, os dois sólidos terão o mesmo volume.
Na seção Sugestões de leitura constam, além das referências utilizadas, sugestões para leitura sobre o Princípio de Cavalieri.
No vídeo este princípio é ilustrado com “pirâmides” diferentes de mesmo volume, pois são formadas pelas mesmas placas que ilustram as secções planas iguais às utilizadas no guia.
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O terceiro quebra-cabeça que Vitória recebe de seu avó contém oito pirâmides triangulares congruentes, tendo uma de suas arestas perpendicular à base. Cada uma dessas pirâmides terá, como visto na construção anterior, um terço do volume do prisma triangular correspondente. Portanto, a pirâmide de base octogonal formada pela junção das oito terá volume igual a um terço do volume do prisma octogonal correspondente.
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Essas imagens poder ser extrapoladas para ilustrar que uma pirâmide de base poligonal qualquer pode ser decomposta e constatar que o seu volume é igual a um terço do volume do prisma poligonal correspondente.
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Como o volume do prisma é igual à área da base vezes a altura, o volume de uma pirâmide de base poligonal qualquer será um terço da área da base vezes a altura.
A seguir, o vídeo apresenta, baseado na ideia intuitiva de limite que todos temos, a expressão para o volume de um cone a partir da aproximação deste por pirâmides poligonais com um número cada vez maior de lados da base.
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O volume de uma pirâmide triangular usando o
Princípio de Cavalieri. Considere uma pirâmide de base triangular ABC e
vértice V. Seja A´B´C´a seção desta pirâmide
determinada por um plano paralelo à base, como
na figura. Na face lateral VAB da pirâmide, os
triângulos VA´B´e VAB são semelhantes. O
mesmo ocorre com os pares de triângulos nas
outras duas faces, ou seja, o triângulo VA´C´é
semelhante ao triângulo VAC, assim como o triângulo VB´C´ é
semelhante ao triângulo VBC. Além disso, a razão de semelhança entre
os três pares de triângulos é a mesma. Com isso, podemos concluir
que a base ABC e a seção A´B´C´são triângulos semelhantes.
Sendo VD a altura da pirâmide VABC e VD´ a
altura da pirâmide VA´B´C´, os triângulos
retângulos VD´A´ e VDA são semelhantes e a
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razão de semelhança é VD´/VD. Assim, podemos concluir que a razão
de semelhança dos triângulos A´B´C´e ABC também é VD´/VD, o que
implica que a razão entre as áreas desses triângulos é o quadrado da
razão entre as alturas das pirâmides.
Agora, considere duas
pirâmides triangulares, V1A-
1B
1C
1 e V
2A
2B
2C
2, de alturas
iguais e com bases de áreas
iguais, como na figura. Sejam
S1 e S
2 as áreas das seções nas
pirâmides V1A
1B
1C
1 e V
2A
2B
2C
2,
respectivamente, determinadas por um mesmo plano paralelo às bases
A1B
1C
1 e V
2A
2B
2C
2 e a uma distância h dos vértices das pirâmides.
Sendo S a área das bases A1B
1C
1 e V
2A
2B
2C
2, respectivamente, então
S1/S=(h/H)2= S
2/S. Assim, S
1= S
2. E, pelo Princípio de Cavalieri, os
volumes das pirâmides são iguais.
Duas pirâmides triangulares de mesma altura e com bases de áreas iguais têm o mesmo volume.
A seguir, comparamos o volume de uma pirâmide com o volume de
um prisma de mesma base e mesma altura.
Consideremos uma pirâmide triangular com base ABC e vértice V e um
prisma com as bases triangulares ABC e VB´C´ com a mesma altura da
pirâmide, como na figura. Dividimos esse prisma em três pirâmides
VABC, B´VBC e CVB´C´.
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Sejam V1, V
2 e V
3, respectivamente, os volumes dessas três pirâmides.
O volume do prisma será, portanto, a soma destes três volumes.
Temos que V1 =V
2, pois as pirâmides VABC e B´VBC têm as respectivas
bases VAB e VB´B congruentes, já que VB é diagonal do paralelogramo
VABB´, e possuem a mesma altura. E V1 = V
3 , pois as pirâmides VABC
e CVB´C´ têm as respectivas bases ABC e VB´C´ congruentes e a
mesma altura, que é igual à altura do prisma. Logo, o volume do
prisma é três vezes o volume da pirâmide VABC. Sabendo que o
volume de um prisma é dado pelo produto da área da sua base por
sua altura, concluímos que:
O volume de uma pirâmide triangular é igual a um terço do produto da área de sua base por sua altura.
O mesmo resultado vale para pirâmides que têm por base um polígono com qualquer número de lados. Podemos demonstrar este fato simplesmente particionando o polígono da base em triângulos a partir de um de seus vértices. O volume da pirâmide de base poligonal será a soma dos volumes das pirâmides triangulares assim construídas. Donde
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segue o resultado:
O volume de uma pirâmide de base poligonal é igual a um terço do produto da área de sua base por sua altura.
Observamos que uma circunferência pode ser aproximada por polígonos regulares com um número cada vez maior de lados. Pode-se, assim, por um processo de limite, demonstrar que:
O volume de um cone circular é igual a um terço do produto da área de sua base por sua altura.
Este processo de aproximação de curvas fechadas por polígonos é o que permite a generalização da expressão para o cálculo de volumes de “cones” com base de qualquer formato.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Proponha aos alunos que reproduzam a planificação abaixo em uma cartolina, recortem e montem, formando uma pirâmide de base quadrada.
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Sugira que eles juntem com mais duas pirâmides, com as mesmas medidas, construídas pelos colegas, formando um cubo com as três pirâmides congruentes. Com isso, eles podem constatar experimentalmente que o volume da pirâmide é igual a um terço do volume do cubo antecipando a parte inicial do vídeo.
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Depois da execução
Atividade 1
Retomando o modelo construído na atividade proposta em Antes da execução, colocar as seguintes questões:
• Qual o formato da figura determinada pela intersecção da pirâmide construída com um plano paralelo à base?
• Quais são as medidas desta figura se o plano paralelo estiver a uma distância de um terço da altura da pirâmide?
Atividade 2
Proponha que os alunos em grupos reproduzam em cartolina três planificações de cada uma das seguintes e as montem obtendo seis pirâmides triangulares. Verifique que os dois modelos abaixo reproduzem pirâmides congruentes “espelhadas”. Desafie os alunos a juntarem as seis pirâmides para obter um cubo. Pode ser observado que, juntando uma de cada tipo, pode ser obtida uma pirâmide de base quadrada do tipo descrito em atividades para Antes da execução.
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Atividade 3
O experimento Volume de Pirâmides deste projeto pode ser proposto como uma atividade suplementar a este vídeo.
Sugestões de leitura
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. Vol 2, Coleção do Professor de Matemática, (3a Edição). Rio de Janeiro: SBM, 2000. LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1991. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 4ª. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. COSTA, Sueli I. R.. “O Método” de Arquimedes em História e Tecnologia
no Ensino da Matemática. Vol. II, p. 61-76. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2008.
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Ficha técnica
Autoras: Claudina Izepe Rodrigues e Sueli I. R. Costa Revisor: Roberto Limberger
Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira