um modelo para a flexÃo de placas de concreto armado

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA - UEFS

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA - DTEC

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL E

AMBIENTAL-PPGECEA

Marcos Venicios Almeida Lima

UM MODELO PARA A FLEXÃO DE PLACAS DE CONCRETO

ARMADO UTILIZANDO A MECÂNICA DO DANO

Dissertação apresentada como parte do pré-

requisito para a obtenção do título de mestre em

ciências pelo programa de pós-graduação em

engenharia civil e ambiental

Orientador: D.Sc. José Mário Feitosa Lima

Feira de Santana – BA

2013

UM MODELO PARA A FLEXÃO DE PLACAS DE CONCRETO ARMADO

UTILIZANDO A MECÂNICA DO DANO


DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓS-

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE

ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA, COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA

CIVIL EM AMBIENTAL.

Aprovada por:

______________________________________________

Prof. José Mário Feitosa Lima, D.Sc.

(UEFS)

______________________________________________

Prof. Michèle Cristina Resende Farage, D.Sc.

(UFJF)

______________________________________________

Prof. Paulo Roberto Lopes Lima, D.Sc.

(UEFS)

______________________________________________

Prof. Koji de Jesus Nagahama, D.Sc.

Feira de Santana, BA - Brasil.

Outubro de 2013

Ficha Catalográfica – Biblioteca Central Julieta Carteado

Lima, Marcos Venicios Almeida

L699m Um modelo para a flexão de placas de concreto armado utilizando a

mecânica do dano / Marcos Venicios Almeida Lima. – Feira de Santana,

2013.

98 f. : il.

Orientador: José Mário Feitosa Lima.

Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Feira de Santana,

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil e Ambiental 2013.

1. Concreto armado. 2. Mecânica do dano. 3. Diferenças finitas. I.

Lima, José Mário Feitosa, orient. II. Universidade Estadual de Feira de

Santana. III. Título.

CDU: 624.012.45

i

Resumo da Dissertação apresentada ao PPGECEA/UEFS como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

UM MODELO PARA A FLEXÃO DE PLACAS DE CONCRETO ARMADO

UTILIZANDO A MECÂNICA DO DANO


Outubro/ 2013

Orientador: José Mário Feitosa Lima

Programa: Engenharia Civil e Ambiental

Neste trabalho é apresentado um modelo para previsão do comportamento à flexão de

lajes de concreto armado, combinando o modelo de dano de Mazars, para simulação da

perda de rigidez do concreto durante o processo de fissuração, o modelo elastoplástico

perfeito na consideração do escoamento e ruptura do reforço de aço, e a Teoria Clássica

de Laminados, para reger a flexão do elemento estrutural. Uma formulação variacional

com base no princípio dos trabalhos virtuais foi desenvolvida para o modelo, sendo em

seguida tratada numericamente segundo o Método das Diferenças Finitas Energéticas,

tendo como resultado final um programa desenvolvido em Fortran. Para validar o

modelo assim proposto foram simulados, com o programa, alguns casos de lajes sob

flexão encontrados na literatura. A avaliação dos resultados obtidos nas análises

demonstrou a potencialidade do modelo, tendo em vista a boa capacidade de previsão

do comportamento de lajes sob flexão, varrendo a trajetória de equilíbrio até a ruptura

do elemento estrutural. Além da satisfatória previsão do comportamento observou-se

como aspectos positivos do modelo a sua relativa simplicidade e o número reduzido de

parâmetros experimentais necessários à modelagem.

Palavras Chave: Lajes de concreto armado, mecânica do dano, método das diferenças

finitas energéticas.

ii

Abstract of Dissertation presented to PPGECEA/UEFS as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

A MODEL FOR PLATE BENDING OF REINFORCED CONCRETE USING A

MECHANICAL OF DAMAGE


October/2013

Advisor: José Mário Feitosa Lima

Department: Civil and Environment Engineering

In this study a model for the flexural behavior of reinforced concrete slabs is shown

prediction by combining the Mazars damage model to simulate the loss of rigidity of the

concrete during the cracking process, the perfect elastoplastic model in consideration of

the flow and rupture reinforcing steel, and the Classical Theory of Laminates, to govern

the bending of the structural element. A variational formulation based on the principle

of virtual work was developed for the model, and then treated numerically according to

the Finite Difference Method Energy, with the end result a program developed in

Fortran. To validate the model were simulated proposed well with the program, some

cases of slabs in flexure in the literature. The evaluation of the results obtained in this

study demonstrated the capability of the model, in view of the good capability of the

behavior of slabs under bending prediction, sweeping the equilibrium path until failure

of the structural element. Besides the satisfactory prediction of the behavior was noted

as positive aspects of the model to its relative simplicity and the small number of

experimental parameters necessary for modeling.

Keywords: Reinforced Concrete Slabs, mechanics of damage, finite difference energy.

iii

Aos meus pais, Bartolomeu

Soares de Lima e Jandira

Fonseca de Almeida Lima, por

todo amor, carinho, apoio e

compreensão.

iv

AGRADECIMENTOS

A Deus por iluminar meus caminhos, e me dar força para vencer os momentos

de desânimo e dúvidas que surgiram ao longo desse caminho.

Ao meu irmão João Carlos pelas dúvidas tiradas, conselhos, amizade e

confiança.

Ao meu orientador José Mário Feitosa Lima pelos ensinamentos, confiança,

estímulo, compreensão e amizade.

À minha namorada Josiane Freires Gomes pelo incentivo, amor, carinho e

companheirismo e por sempre apoiar minhas decisões, mesmo quando elas não

mostravam tanta sensatez.

Aos meus amigos Alex Borges e Clélia Assis, pelos ótimos momentos de

convivência, e pela grande amizade construída aqui em Feira de Santana.

Aos meus amigos da cidade de Rodelas (em especial a toca), pela amizade

(irmandade) de tantos anos, e que com certeza se estenderá por toda a vida.

Aos meus amigos Josevan (BB), Leidiane, Ellysson e Laélson, pela amizade

também de muitos anos, por me proporcionar um convívio rodelense, a tantos

quilômetros de distância, e pelos momentos de divertimento e apoio.

Aos meus amigos do PPGECEA (em especial a Thiago Mendonça) e do curso

de engenharia civil da UEFS que compartilharam comigo das angustias e alegrias que o

ambiente acadêmico proporciona.

Aos muitos professores que tive durante minha vida, em especial a Neto e

Dadinho, por constantemente apresentarem desafios que me motivaram a esforçar-me

cada vez mais e mostrarem que o melhor caminho é o conhecimento, mesmo em uma

sociedade onde este não é tão valorizado quanto deveria.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização do trabalho

aqui apresentado.

Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.

v

Quem tem consciência para ter coragem

Quem tem a força de saber que existe

E no centro da própria engrenagem

Inventa a contra mola que resiste

Quem não vacila mesmo derrotado

Quem já perdido nunca desespera

E envolto em tempestade decepado

Entre os dentes segura a primavera

(João Apolinário)

vi

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 JUSTIFICATIVA 3

1.2 OBJETIVOS 4

1.2.1 Geral 4

1.2.2 Específicos 5

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 7

2.1 COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO 7

2.1.1 Microestrutura e fases da matriz cimentícea 7

2.1.2 Não linearidade e assimetria do comportamento à tração e à compressão do

concreto 8

2.2 BREVE EXPOSIÇÃO SOBRE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA

CONCRETO 10

2.2.1 Modelos de Plasticidade 11

2.2.2 Modelos de fissuração 13

2.3 MECÂNICA DO DANO CONTÍNUO 14

2.3.1 Considerações Gerais 14

2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO MECÂNICO DO

REFORÇO DE AÇO 19

2.4.1 Diagrama tensão-deformação 20

2.5 APLICAÇÃO DOS MODELOS NÃO LINEARES FÍSICOS PARA

CONCRETO NA MODELAGEM DE LAJES DE CONCRETO ARMADO 21

vii

2.5.1 Jiang e Mirza (1997) 21

2.5.2 Fernandes (1998) 23

2.5.3 Cresce (2003) 25

2.5.4 Krätzig e Pölling (2004) 26

3 MODELO DE DANO ISOTRÓPICO DE MAZARS (1984) 29

3.1 DECOMPOSIÇÃO DAS DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS 29

3.2 DEFORMAÇÃO EQUIVALENTE 30

3.3 CRITÉRIO DE DANO 31

3.4 CÁLCULO DA VARIÁVEL DE DANO 33

4 FORMULAÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA 36

4.1 SISTEMA DE REFERÊNCIA 36

4.2 HIPÓTESES CONSIDERADAS E CAMPO DE DESLOCAMENTOS 37

4.3 RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO 38

4.4 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 40

4.5 INTEGRAIS DE TENSÕES (ESFORÇOS INTERNOS) 42

4.6 TRABALHO VIRTUAL DAS FORÇAS INTERNAS 48

4.7 TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS EXTERNAS 49

4.8 APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (PTV) 50

4.9 EQUAÇÃO DIFERENCIAL E CONDIÇÕES DE CONTONO 52

5 TRATAMENTO NUMÉRICO DO PROBLEMA 54

5.1 OPERADORES DE DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS 54

viii

5.1.1 Representação Centrada 54

5.1.2 Representação Reduzida 54

5.2 DISCRETIZAÇÃO E SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO LOCAL 55

5.3 SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO GLOBAL 58

5.4 AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO 59

5.5 AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS

EXTERNAS 63

5.6 INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO 64

5.7 FLUXOGRAMA DA SOLUÇÃO INCREMENTAL – ITERATIVA BASEADA

NO MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON REGULAR 65

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES 69

6.1 CASO 01 – LAJE SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO

UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDO 71

6.2 CASO 02 – LAJE QUADRADA APOIADA NOS CANTOS, COM

CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA INFERIOR). 77

6.3 CASO 03 – PLACA QUADRADA APOIADA NOS CANTOS COM

CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA SUPERIOR E

INFERIOR). 81

6.4 CASO 04 – LAJE EM FLEXÃO DE QUATRO PONTOS 86

7 CONCLUSÕES 90

REFERÊNCIAS 93

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Seção polida de um corpo de prova de concreto 7

Figura 2.2 - Representação da zona de transição e da matriz de pasta e cimento do

concreto 8

Figura 2.3 - Comportamentos típicos de tensão x deformação da pasta de cimento,

agregados e concreto 9

Figura 2.4 - Formas de evolução possíveis para os modelos plásticos 11

Figura 2.5 - Modelo Plástico e critério de falha de Chen e Chen 12

Figura 2.6 - Modelo Plástico e critério de falha Mour-Coulomb 12

Figura 2.7 - Modelos de comportamento para representar o amolecimento do Concreto13

Figura 2.8 - Elemento representativo de área S, 16

Figura 2.9 - Deformação equivalente, 17

Figura 2.10 - Abertura de fissuras secundárias entre fissuras principais em barras de

concreto armado submetidas a tração 19

Figura 2.11 - Diagrama tensão x deformação esquemático para aços dúcteis 20

Figura 2.12 - Diagrama tensão x deformação típicos para metais: a) com patamar de

escoamento b) sem patamar de escoamento 21

Figura 2.13 - Detalhamento da laje (a) vista superior (b) carregamento (c) distribuição

das armaduras 22

Figura 2.14 - Carga x deslocamento no centro da placa 23

Figura 2.15 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de plasticidade 24

Figura 2.16 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de Dano de Mazars 25

Figura 2.17 - Diagrama Carga x Deslocamento 26

x

Figura 2.18- Características da placa ensaiada 27

Figura 2.19 - DIagrams carga x deslocamento 27

Figura 3.1 - Diagrama tensão x deformação do concreto à tração 31

Figura 3.2 - Superfície de Danificação 32

Figura 3.3 - Influência dos parâmetros Ac e Bc no diagrama uniaxial à compressão 34

Figura 3.4 - Influência do εdo At e Bt no diagrama uniaxial à tração 35

Figura 4.1 - Sistema de referência 36

Figura 4.2 - Geometria de deformação da placa no plano xz 38

Figura 4.3 - Esforços internos 43

Figura 4.4 - Camadas de um laminado 44

Figura 4.5 - Carregamento da placa 50

Figura 5.1 - Função 𝒇𝒙 utilizada nas representações em diferenças finitas 55

Figura 5.2 - Malha de discretização e tipos de elementos 56

Figura 5.3 - Sistema de representação local 57

Figura 6.1 - Modelo padrão para o diagrama tensão-deformação à tração uniaxial para o

concreto 70

Figura 6.2 - Características geométricas e posicionamento do reforço 71

Figura 6.3 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração 72

Figura 6.4 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão 72

Figura 6.5 - Carga x deslocamento do ponto central 73

Figura 6.6 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje 75

xi

Figura 6.7 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do

elemento 76

Figura 6.8 - Modelo proposto comparado com outros modelos 77

Figura 6.9 - Características geométricas da laje estudada 77



Figura 6.12 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do

elemento 79

Figura 6.13 - Diagrama carga x deslocamento 80



Figura 6.16 - Características da placa em estudo 82




Figura 6.20 - Características geométricas da placa em estudo 86





xii

LISTA DE TABELAS

Tabela 2-1 - Propriedades dos materiais utilizados 22

Tabela 5-1 - Representação em Diferenças Finitas considerando o sistema de

representação local 58

Tabela 5-2-Área de cada trecho de integração 61

Tabela 5-3-Condições de contorno do problema 64

Tabela 5-4 - Condições de canto 65

Tabela 6-1 - Propriedades dos materiais utilizados 71

Tabela 6-2 - Propriedades dos materiais constituintes 78



1

1 INTRODUÇÃO

Placas são elementos estruturais que apresentam duas dimensões muito

maiores que a terceira (espessura), e que estão sujeitos principalmente a carregamentos

transversais à sua superfície. Esses elementos possuem aplicações diversas na

Engenharia Estrutural, como em lajes de edifícios, reservatórios, componentes

automotivos, aeronaves, navios entre outros, podendo ser compostos por diversos

materiais como: aço, polímeros ou materiais compósitos. Por este motivo torna-se

importante o conhecimento prévio do comportamento estrutural, para uma utilização

segura e econômica da estrutura.

A esse respeito verifica-se que várias teorias foram desenvolvidas ao longo dos

anos. A primeira foi proposta por Kirchhoff em 1850, que a partir de uma série de

hipóteses simplificadoras (entre estas a adoção de pequenas deformações e pequenos

deslocamentos) representou, através de uma equação diferencial de quarta ordem, o

comportamento de placas esbeltas submetidas a carregamentos transversais. Exatamente

por ser a precursora nesse tipo de estudo essa teoria ficou conhecida como Teoria

Clássica de Flexão de Placas. Posteriormente, em 1945, Reissner, e em 1951, Mindlin,

desenvolveram teorias sobre a flexão de placas chegando a equações diferenciais que,

diferentemente da teoria de Kirchhoff, levam em consideração as deformações por

cisalhamento, estendendo a sua aplicação para placas com maiores espessuras.

É possível agregar a essas formulações o conceito de estratificação da placa em

camadas para, dessa forma, possibilitar a análise de placas compostas por mais de um

material, e/ou reforçadas com fibras. Dentro desse escopo pode-se citar a Teoria

Clássica de Laminados (TCL) e a Teoria de Primeira Ordem de Laminados (TPOL),

respectivamente, que acresceram o conceito de estratificação em camadas as teorias de

Kirchhof e Mindlin, respectivamente.

Como é de conhecimento geral, juntamente com a geometria de deformação do

elemento, o comportamento mecânico do material influencia no comportamento do

sistema como um todo. Cada material possui características mecânicas distintas

influenciadas por suas ligações químicas, existência e propagação de defeitos, utilização

de reforço dentre outros fatores. Dessa forma a escolha do modelo associado ao material

2

torna-se preponderante na precisão dos resultados obtidos em uma análise. Um material

amplamente utilizado na construção civil é o concreto, que consiste na inclusão de

agregados em uma matriz cimentícia. Sua capacidade de se moldar as mais diversas

formas entra em conformidade com o caráter único dos produtos gerados pela indústria

da construção civil, embora a utilização de elementos pré-moldados de concreto

também venha crescendo nos últimos tempos. Ao concreto geralmente são incorporadas

fibras longas de forma a aumentar sua resistência e/ou tenacidade. As fibras mais

utilizadas são fibras de aço (Concreto Armado), porém também vem sendo utilizadas e

estudadas fibras poliméricas, cerâmicas e vegetais. Para alguns casos são incorporadas

fibras curtas de forma a possibilitar uma múltipla fissuração do concreto, aumentando

sua durabilidade, tenacidade e resistência ao impacto.

Por possuir um comportamento influenciado diretamente pela pré-existência e

surgimento de micro fissuras além da alta heterogeneidade, o concreto apresenta

variabilidade em seu comportamento, o que para Álvares (1993) dificulta a obtenção de

modelos de comportamento completos e simples. Os primeiros modelos de análise para

lajes de concreto (simples ou reforçado) consideravam apenas o seu comportamento

linear físico e a existência de um único material, o concreto, este considerado como

homogêneo e isotrópico, desconsiderando assim, a influência do reforço no

comportamento do elemento em questão, como mostra o trabalho de Czerny, que,

baseado na Teoria Clássica desenvolveu um conjunto de tabelas que fornecem valores

de momentos fletores, reações de apoio e deslocamentos transversais em função da

geometria, carregamento e condições de apoio da placa (laje). Esse modelo é capaz de

fornecer bons resultados para pequenas adições de reforço, em lajes sujeitas a pequenas

deformações e deslocamentos.

Nos últimos anos muitas pesquisas têm sido desenvolvidas com o objetivo de

apresentar modelos para o comportamento não linear físico do concreto. Revisões

detalhadas sobre os vários modelos adotados podem ser encontradas em Álvares (1993)

e Penna (2011), sendo os de maior destaque aqueles baseados na Teoria da Plasticidade

e na incorporação do processo de fissuração do concreto. Quanto à aplicação desses

modelos à flexão de lajes de concreto armado, constata-se certa carência de trabalhos,

quando se compara com a literatura de mesmo fim voltada às vigas de concreto armado.

Entre os encontrados destacam-se: Jiang e Mirza (1997), que modelaram placas

3

retangulares de concreto armado através de uma formulação envolvendo o método dos

elementos finitos e um modelo elastoplástico desenvolvido por Pietruszczak, Jiang e

Mirza (1988); Fernandes (1998), que modelou lajes de concreto armado por duas

alternativas, ora baseando-se em um modelo de plasticidade, ora utilizando o modelo de

dano de Mazars (1984), e em ambos os casos através do método dos elementos de

contorno; Cresce (2003), que modelou placas de concreto armado utilizando para o

concreto o modelo de dano de Mazars (1986) e um modelo elastoplástico uniaxial com

endurecimento para as armaduras, também com base no método dos elementos de

contorno, porém combinando com o método dos elementos finitos; Krätzig e Pölling

(2004) que modelaram placas de concreto armado utilizando um modelo de Mecânica

do Dano; Bandeira (2006), que modelou lajes de concreto armado utilizando o

programa comercial Diana utilizando diversos modelos baseados na Mecânica da

Fratura; e Zhang, Bradford e Gilbert (2007), que modelaram lajes de concreto armado,

considerando a não linearidade física do material através de um modelo elastoplástico

perfeito com posterior amolecimento para o concreto à compressão utilizando o método

dos elementos finitos.

1.1 JUSTIFICATIVA

A análise do conjunto de resultados obtidos por estes autores revela que tanto

os modelos baseados na Mecânica do Dano, a exemplo dos utilizados por Fernandes

(1998) e Krätzig e Pölling (2004) quanto os demais, baseados na Teoria da Plasticidade,

apresentam-se como uma boa alternativa. Portanto, visando apresentar uma contribuição

ao tema aqui focalizado propõe-se a geração de um modelo de flexão de placas de

concreto armado combinando a Teoria Clássica de Laminados com o modelo de dano

de Mazars (1984), em função tanto dos bons resultados obtidos por Fernandes (1998)

quanto por se considerar que esse modelo de dano ainda não foi suficientemente

explorado pelos poucos autores que o utilizaram no caso de placas. Cabe ressaltar que

outra razão para a adoção desse modelo de dano é o fato de requerer poucos parâmetros

experimentais, todos de obtenção relativamente simples.

Acrescenta-se ainda, como justificativa, os bons resultados relatados por alguns

autores no estudo de vigas de concreto armado, a exemplo de Álvares (1993), Sanches e

Venturini (2007) e Santos (2009), este último fruto de uma linha de pesquisa do

4

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil e Ambiental da UEFS, que modelou

vigas de concreto armado utilizando um modelo combinando a variável de dano de

Mazars (1984) e uma formulação para vigas laminadas, considerando a não linearidade

geométrica (no âmbito de rotações moderadas) e os efeitos de cisalhamento (Teoria de

Viga de Timoshenko), obtendo bons resultados no confronto com diversas respostas

experimentais.

Cabe informar, em relação aos materiais constituintes da placa, que o reforço

(aço) será modelado como um material elástoplástico perfeito, assumindo patamares de

escoamento idênticos à tração e à compressão. Tal escolha está perfeitamente

enquadrada nos trabalhos acima mencionados.

O uso da Teoria de Laminados, por possibilitar incorporar e combinar materiais

distintos, também se destacou em alguns dos modelos acima estudados, sendo natural a

sua adoção na presente proposta. Além disso, a utilização da Teoria de Laminados

permite a consideração de lâminas formadas por materiais ortotrópicos, o que possibilita

alterar a rigidez do material em duas direções de forma distinta, acarretando em uma

maior facilidade de inserção do reforço. Cabe ainda evidenciar como uma vantagem do

emprego dessa teoria, que a divisão da placa em lâminas permite a detecção de fissuras

em vários pontos da placa.

Por fim, ainda com base na linha de pesquisa já evidenciada anteriormente,

será escolhido o método das diferenças finitas energéticas para tratar as equações

oriundas da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais ao modelo ora proposto, tendo

em vista os bons resultados obtidos por alguns autores na aplicação desse método

computacional a problemas de flexão de placas como Graça (2000), Lima (2010) e

Santos (2013) e de flexão de vigas, a exemplo de Lima (2004) e Neves (2012).

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Geral

Apresentar um modelo de flexão de placas de concreto armado, baseado na

Teoria Clássica de Laminados e no modelo de dano isotrópico de Mazars (1984).

5

1.2.2 Específicos

a) Verificar a validade do modelo proposto na previsão do comportamento à

flexão de placas de concreto armado de geometria retangular;

b) Apresentar uma ferramenta computacional segundo o método das diferenças

finitas energéticas, para proceder à análise de placas retangulares de concreto armado.

Com base na exposição acima, conclui-se que a pesquisa aqui desenvolvida

pode ser classificada como tipicamente exploratória, com caráter teórico-experimental.

Sua parte teórica consistirá no desenvolvimento de uma formulação para a flexão de

placas de concreto armado. A outra parte diz respeito aos experimentos numérico-

computacionais, qual seja a simulação computacional das equações geradas para o

modelo, associadas ao princípio variacional, quando aplicadas aos diversos casos

estudados durante a fase de validação. Portanto, visando atingir os objetivos da

pesquisa, o trabalho foi desenvolvido em etapas ordenadas, quais sejam:

1) A primeira diz respeito aos estudos iniciais relacionados ao tema,

efetivada através de uma revisão bibliográfica, visando primeiramente estabelecer o

estado da arte atual e, em seguida, apontar os caminhos para a solução do problema em

estudo. Portanto, esta fase foi materializada no Exame de Qualificação ao mestrado.

Nesse sentido, considerando-se o exposto nos capítulos 1 e 2 do presente texto, após a

realização dos estudos da literatura ficou definida a opção de se apresentar um modelo

para flexão de lajes de concreto armado, formulado através da combinação da Teoria

Clássica de Laminados com o modelo de dano escalar de Mazars (1986), utilizando-se

como princípio variacional o princípio dos trabalhos virtuais (PTV). O desenvolvimento

dessa formulação analítica está apresentado no Capítulo 4, cabendo observar que, como

uma consequência natural da aplicação do procedimento variacional, foram instituídas

para o modelo proposto, as equações diferenciais e as respectivas condições de

contorno.

2) Na segunda etapa foi desenvolvido o tratamento numérico do problema,

através da formulação computacional via método das diferenças finitas energéticas. Para

tanto, o primeiro passo foi a escolha das representações em diferenças finitas para as

derivadas dos deslocamentos presentes nas equações associadas ao trabalho interno e

externo, do PTV, e a respectiva discretização do domínio da placa, sob a forma de

6

trechos de integração. Em seguida foram geradas as expressões numéricas para o

cômputo dos trabalhos interno e externo do PTV e as expressões associadas às

condições de contorno. Finalmente, por conta da consideração da não linearidade física

dos materiais envolvidos na constituição da placa de concreto armado, foram

estabelecidas as equações numéricas de equilíbrio a serem satisfeitas no âmbito do PTV,

para cada nível de carga dentro do processo incremental-iterativo ( Newton-Raphson ou

controle de deslocamentos). Todo esse estudo está detalhado no Capítulo 5

3) A terceira etapa envolveu o desenvolvimento do programa em linguagem

Fortran baseado na formulação desenvolvida na etapa anterior

4) A última etapa referiu-se à validação do modelo teórico-computacional

em estudo, através da simulação de lajes estudadas experimentalmente, conforme

estudos registrados na literatura, com o programa construído na etapa anterior. De fato,

validou-se o modelo a partir de resultados carga-deslocamento oriundos de situações

diversas de carregamento, condições de apoio e taxas de reforço, ampliando assim as

condições de aferição do modelo.

Para finalizar o presente capítulo cabe mencionar que, dado o escopo da

pesquisa, esta foi realizada em grande parte no Laboratório de Mecânica Computacional

(LAMEC) do Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil e Ambiental da

Universidade Estadual de Feira de Santana.

7

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo é apresentado de forma resumida o embasamento teórico

levantado para o desenvolvimento da pesquisa, englobando alguns conceitos que

influenciam nas propriedades mecânicas do concreto, apreciadas no modelo de dano

contínuo. Apresenta ainda uma breve revisão sobre alguns modelos para

comportamento do concreto, e o modelo utilizado para a modelagem do reforço

metálico.

2.1 COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO

2.1.1 Microestrutura e fases da matriz cimentícea

O concreto é um material compósito, macroscopicamente constituído por uma

matriz cimentícia com inclusões de agregado graúdo, como pode ser observado na

figura a seguir:

Figura 2.1 - Seção polida de um corpo de prova de concreto

FONTE: Mehta e Monteiro (2008)

Em âmbito microscópico a complexidade da estrutura de concreto se torna

mais evidente. Primeiramente é notado que existe uma Zona de Transição entre o

agregado graúdo e a matriz cimentícia. Mehta e Monteiro (2008) relatam que esta fase é

normalmente mais fraca que as outras duas fases constituintes, sendo caracterizada

como um ponto de fragilidade para o concreto, apresentando então, grande importância

8

nas características mecânicas do mesmo. Além disso, cada uma das três fases possui sua

própria heterogeneidade. O agregado, por exemplo, pode ser composto por vários

minerais e microfissuras. Já a matriz e zona de transição possuem diversas fases sólidas

como o hidróxido de cálcio, etringita e CSH (Silicatos de Cálcio Hidratado) entre

outros, existentes em proporções distintas, além de poros e fissuras pré-existentes. Esta

microestrutura complexa é responsável por diversas características peculiares

apresentadas pelo concreto, as quais serão discutidas mais adiante.

2.1.2 Não linearidade e assimetria do comportamento à tração e à compressão

do concreto

Mehta e Monteiro (2008) explicam que durante o processo de hidratação filmes

de água se acumulam nas proximidades do agregado graúdo, fazendo com que a relação

água/cimento seja maior nessa região do que nas demais. Devido à maior relação

água/cimento, os cristais de hidróxido de cálcio e etringita formados apresentam

tamanhos maiores nessa área, o que corrobora para uma maior porosidade na região,

como pode ser observado na Figura 2.2.

Figura 2.2 - Representação da zona de transição e da matriz de pasta e cimento do concreto


De acordo com a ciência e engenharia dos materiais, a resistência de um

material está relacionada com a pré-existência de defeitos e descontinuidades. Nos

9

materiais cimentícios estes defeitos e descontinuidades são representados pelas fissuras

pré-existentes. O fato da zona de transição possuí-los em maior número, quando

comparado com a matriz cimentícia e agregado, faz com que a mesma seja a fase de

menor resistência presente no concreto. A partir disso, pode-se observar que a zona de

transição caracteriza-se como a região limitante para a resistência e rigidez do material

compósito. Santos (2009) salienta que a zona de transição está presente não somente na

interface entre matriz e agregados, como em qualquer inclusão no mesmo, como por

exemplo, na interface entre a fibra e matriz.

Os materiais compósitos têm como principal característica possuírem

propriedades intermediárias entre seus materiais constituintes. O concreto como um

material compósito apresenta rigidez situada entre seus constituintes: agregado e matriz,

como pode ser observado na Figura 2.3. Porém, algumas características do diagrama

tensão-deformação do concreto diferenciam-se demasiadamente do apresentado pelos

seus materiais constituintes de forma isolada.

Figura 2.3 - Comportamentos típicos de tensão x deformação da pasta de cimento, agregados e

concreto


É sabido que tanto a matriz cimentícia quanto o agregado, quando ensaiados à

compressão, apresentam comportamento geralmente linear elástico até a ruptura, já o

concreto apresenta um comportamento não linear e inelástico (Figura 2.3). Esse

fenômeno existe devido ao concreto ser composto por materiais com diferentes

10

resistências e rigidezes, o que para Mehta e Monteiro (2008) gera um processo de

microfissuração progressiva.

Por possuir maior fragilidade, a zona de transição acaba desempenhando um

papel importante neste aspecto, pois a partir de 30% da carga última essa começa a

apresentar aumento na quantidade, tamanho e abertura das microfissuras, possibilitando

maiores deformações para o mesmo nível de carga, o que macroscopicamente é

observado através da redução da inclinação do diagrama tensão-deformação do concreto

(não linearidade). Somente a 70% da carga última é que se inicia o processo de

fissuração da matriz, provocando uma nova mudança de inclinação no diagrama, e

culminando na ruptura do material quando as fissuras da matriz unem-se às existentes

na zona de transição. Este fenômeno explica também a menor resistência do concreto

quando comparada aos seus constituintes (Figura 2.3).

Algumas propriedades mecânicas do concreto, como módulo de elasticidade e

coeficiente de Poisson são equivalentes para o material sobre tensões de tração ou

compressão, porém sua resistência e forma do diagrama tensão-deformação são

distintas. Para Callister (2000) essa é uma característica comum de materiais frágeis,

como, por exemplo, os cerâmicos onde a ruptura ocorre pela propagação de trincas,

característica também válida para o concreto. A explicação para tal fenômeno está na

necessidade de maior energia para criação e propagação de trincas, em carregamentos à

compressão do que à tração. Esse efeito, juntamente com a existência de pontos de

discordâncias (zona de transição), confere ao concreto um comportamento

aproximadamente dúctil à compressão e frágil à tração.

2.2 BREVE EXPOSIÇÃO SOBRE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA

CONCRETO

Os modelos mais conhecidos para a modelagem do comportamento mecânico

do concreto são os baseados na teoria de plasticidade e os modelos de fissuração.

11

2.2.1 Modelos de Plasticidade

Os modelos de plasticidade foram desenvolvidos inicialmente com o objetivo

de representar o comportamento de materiais dúcteis, principalmente os metais,

incorporando a resposta não linear do material, causada pelo movimento de

discordâncias em sua rede cristalina. Embora o comportamento não linear do concreto

ocorra devido à propagação de fissuras, e não pelo movimento de discordâncias, muitos

modelos para este material foram desenvolvidos com base nas teorias de plasticidade,

pois macroscopicamente o concreto apresenta comportamento próximo ao de materiais

dúcteis.

Segundo Penna (2011) para formular um modelo plástico é necessário seguir

os seguintes passos:

Separar as etapas elásticas e plásticas do material, e dessa forma a

deformação do material 휀𝑖𝑗 será expressa pela soma de suas parcelas

elásticas 휀𝑖𝑗𝑒 e plásticas 휀𝑖𝑗

𝑝;

Definir uma lei elástica, um critério de escoamento (ou falha);

Definir uma lei para o ramo plástico do material que pode ser do tipo

endurecimento, perfeita ou amolecimento. Na Figura 2.4 são

apresentadas as possíveis formas de evolução dos modelos de plasticidade

para o caso uniaxial.

Figura 2.4 - Formas de evolução possíveis para os modelos plásticos

FONTE: Penna (2011)

Os modelos de plasticidade para concreto que consideram a regra de

endurecimento são utilizados para descrever o comportamento anterior ao pico de

12

tensão do concreto à compressão, onde se consegue ganho de tensão com o aumento das

deformações. Muitos modelos foram desenvolvidos com essa premissa, dentre eles

pode-se citar a titulo de exemplo, o de Chen e Chen (Figura 2.5) e Mour-Coulomb

(Figura 2.6). Observa-se que os modelos apresentados também podem representar

comportamento à tração do material.

Figura 2.5 - Modelo Plástico e critério de falha de Chen e Chen

FONTE: Santos (2009)

Figura 2.6 - Modelo Plástico e critério de falha Mour-Coulomb


No trecho posterior ao pico de tensão o concreto apresenta o comportamento de

amolecimento, com característica perda de rigidez e declividade negativa no diagrama

tensão-deformação do material. Na Figura 2.7 são apresentados três modelos para

13

representação do comportamento do concreto. Santos, 2009 destaca que dentre estes

modelos o sólido elastoplástico não representa a perda de rigidez do concreto pelo

processo de fissuração, e que o modelo de fraturamento progressivo possui similaridade

com o modelo de dano que será apresentado a seguir.

Figura 2.7 - Modelos de comportamento para representar o amolecimento do Concreto


2.2.2 Modelos de fissuração

Os modelos ditos de fissuração têm como principais os baseados na Mecânica

da Fratura e na Mecânica do Dano. Os modelos inseridos nessa filosofia incorporam a

alteração no comportamento do material ocasionada pelo surgimento e propagação de

fissuras, e podem ser divididos em dois principais tipos: os de modelagem discreta das

trincas; e os de fissuração distribuída (PENNA, 2011). O primeiro consiste em assumir

que, após a tensão última ser atingida, surge uma descontinuidade geométrica,

acarretando na sua inserção na geometria do elemento. Já o segundo tipo baseia-se na

degradação das propriedades do material em função do surgimento de fissuras. Essas

14

propriedades são então modificadas (reduzidas) por um conjunto de parâmetros que

interferem na rigidez do material a depender do nível de fissuração. A Mecânica do

Dano Contínuo está inserida nos modelos de fissuração distribuída, porém,

diferentemente do que é apresentado na Mecânica da Fratura, a Mecânica do Dano

considera que ainda existirá continuidade no meio, mesmo após o início da fissuração,

não possuindo então associação direta com a definição do tipo de trinca desenvolvido, o

que a coloca de certa forma entre a Mecânica da Fratura e a Teoria da Plasticidade, por

possuir princípios teóricos parecidos com a primeira, porém com uma abordagem no

diagrama tensão-deformação e superfície de ruptura, compatíveis com a segunda.

2.3 MECÂNICA DO DANO CONTÍNUO

2.3.1 Considerações Gerais

Conforme apresentado por Fernandes (1998) o conceito de dano surgiu no final

de década de 50 com o trabalho de Kachanov, que estudou metais sujeitos a altas

temperaturas e carregamentos elevados. Esse autor propôs que falhas de fluência

ocorridas no material após ciclos longos de carregamento ocorriam pela existência de

microfissuras entre outros defeitos, propondo então, um parâmetro para caracterizar o

estado do material. Esse parâmetro varia de 0 a 1, sendo 1 para o material íntegro e 0

para o material completamente danificado, podendo ser aplicado diretamente na

relações tensão-deformação do material.

Para o concreto, os modelos de dano podem ser divididos em isotrópicos, onde

a variável de dano é representada por uma ou duas variáveis escalares (tração e

compressão), e anisotrópicos, onde a variável de dano é representada por um tensor.

Entre os isotrópicos destaca-se o modelo de dano de Mazars (1984), por apresentar uma

formulação relativamente simples, que consiste em quantificar o dano através de uma

variável escalar medida em função das deformações principais positivas (tração),

requerendo para tanto a obtenção de cinco parâmetros experimentais de fácil obtenção,

já que são determinados diretamente do diagrama tensão-deformação completo do

concreto (tração e compressão).

15

Outros modelos isotrópicos são encontrados na literatura. Dentre eles:

Chaboche (1988), Lublineret al (1989), citados por Voyiadjis, Taqieddin e Kattan

(2008), Mazars e Pijaudier-Cabot (1989), Mazars e Pijaudier-Cabot (2001) e Wu. et AL

(2006). Porém, após o processo de fissuração, o concreto passa a ter comportamento

anisotrópico, o que faz com que muitos fenômenos não sejam levados em consideração

como, por exemplo, a resposta do material as tensões cisalhantes (FICHANT,

PIJAUDIER-CABOT E LA BORDEIRE,1997). Com o objetivo de se levar esses

fenômenos em consideração, alguns modelos anisotrópicos foram desenvolvidos, dentre

eles, os trabalhos de: LaBorderie, Mazars&Pijaudier-Cabot (1991), Mazars e Pijaudier-

Cabot (2001), Voyiadjis, Taqieddin,Kattan (2008), Pavan, Creus e Maghous (2009) e

Pituba (2010).

Os motivos que levam o material ao processo de dano podem ser os mais

variados. Sendo assim, Santos (2009) cita uma série de tipos de dano, como o dano por

fluência, por plasticidade, por fadiga, por corrosão e por fim o dano do concreto. De

forma a entender de maneira simplificada o conceito de dano contínuo observa-se a

Figura 2.8, na qual se mostra um sólido do qual é retirado um elemento representativo

de área S, que deve ter a capacidade de representar os defeitos presentes no sólido como

um todo.

Se 𝑆 é a área efetiva, ou seja, a área total menos os defeitos pode-se dizer que:

𝑆0 = 𝑆 − 𝑆 (2.1)

onde 𝑆0 é a área de defeitos.

16

Figura 2.8 - Elemento representativo de área S,

FONTE: Álvares (1993)

Considerando que o elemento deve possuir continuidade geométrica, pode-se

aplicar o limite:

𝜔 = lim𝑠→0

𝑆0𝑆

(2.2)

que fornece então uma medida para o dano que varia de 0 a 1, tendo 0 (zero) como valor

totalmente íntegro e 1 (um) como totalmente degradado. A partir do explicitado

anteriormente, pode-se chegar ao conceito de tensão efetiva escrevendo a área efetiva 𝑆

em função do parâmetro 𝜔:

𝑆 = 𝑆(1 − 𝜔) (2.3)

e substituindo na expressão de tensão tem-se:

𝜎 =𝐹

𝑆=

𝐹

𝑆(1 − 𝜔)→ 𝜎 =

𝜎

(1 − 𝜔)

(2.4)

17

onde:

𝜎 é a tensão efetiva no material danificado;

𝜎 é a tensão no material integro.

Observa-se que a partir do processo de danificação do material a tensão efetiva

que atua no elemento aumenta gradativamente tendendo ao infinito quando o material se

aproxima da total danificação, o que é perfeitamente aceitável considerando que uma

redução de área gera aumento de tensões.

A variável de dano pode ser associada também com a rigidez do material. Para

tanto, a hipótese de deformação equivalente proposta por Lemaitre e Chaboche em 1985

deve ser considerada. Essa hipótese considera que o estado de deformação do material

danificado é equivalente ao obtido na seção íntegra substituindo a tensão usual pela

tensão efetiva, conforme ilustrado a seguir:

Figura 2.9 - Deformação equivalente,

FONTE: Adaptado de CRESCE(2003)

Dessa forma:

휀 =𝜎

𝐸=

𝜎

𝐸(1 − 𝜔)

(2.5)

onde 𝐸 é o módulo de elasticidade da seção íntegra. Por outro lado, a deformação

também pode ser expressa da seguinte forma:

18

휀 =𝜎

�� (2.6)

onde �� é o módulo de elasticidade longitudinal da seção danificada.

Associando as equações (2.5) e (2.6) chega-se à seguinte relação entre os

módulos de elasticidade:

�� = 𝐸(1 − 𝜔) (2.7)

Esse modelo é interessante, pois torna possível, através do gráfico tensão-

deformação do material ensaiado, encontrar o nível de danificação para determinada

deformação, podendo-se posteriormente utilizar esse fator para determinar a redução de

rigidez do mesmo em uma simulação de comportamento.

Outro ponto importante a ser considerado é a forma como ocorre a redução da

rigidez ao cisalhamento. Alguns autores como Fichant, Pijaudier-Cabot e La Bordeire

(1997) e Pituba (2010), consideram que os Modelos de Dano Isotrópico não

representam de forma satisfatória a perda de Rigidez ao cisalhamento, por

implicitamente associá-la às deformações extensionais. Porém, em modelagens

computacionais, verifica-se que em vigas normalmente armadas e pouco armadas o

efeito da perda de rigidez ao cisalhamento não é significativo, como mostram os

resultados de Santos (2009) e do próprio Pituba (2010), fazendo com que a suposição,

de que o módulo de rigidez transversal permanece associado ao módulo de Rigidez

longitudinal, através da fórmula 𝐺 =𝐸

2(1+𝜐), ou simplesmente a desconsideração de sua

perda de rigidez após o início da fissuração possibilite bons resultados. Porém para

alguns casos de lajes, tal efeito torna-se preponderante na previsão do seu

comportamento.

Observando o mecanismo de fissuração das vigas de concreto, percebe-se que,

por se tratar de um problema uniaxial, existe a predominância do dano por tração,

caracterizado por abertura de fissuras na direção da aplicação da tensão, enquanto que

em placas (problema biaxial) o dano é formado pela composição entre os danos por

tração e por compressão representado pela abertura de fissuras na direção perpendicular

19

à aplicação da tensão), o que gera a suspeita de que a perda de rigidez transversal não

pode ser relacionada aos alongamentos causados por tensões de compressão a partir da

relação apresentada anteriormente.

De fato, em alguns trabalhos, como em Crisfield (1982) e Zhang, Bradford e

Gilbert (2007), a redução do módulo de elasticidade transversal é associada ao diagrama

tensão-deformação de tração do concreto. Portanto, considerando os poucos trabalhos

encontrados na literatura versando sobre análise de placas com considerações a respeito

desse tema, será realizada uma investigação da validade dessas propostas no Capítulo 6

da presente pesquisa.

2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO MECÂNICO DO

REFORÇO DE AÇO

Fibras longas atuam como meio de redistribuição de tensões ao longo da

matriz, possibilitando o processo de múltipla fissuração (Figura 2.10), melhorando

assim as características de tenacidade do material, além de contribuir com a absorção

dos esforços. Dessa forma a incorporação de reforço adicional surge como uma

alternativa para melhorar a resistência do concreto, em especial, à tração, porém sua

incorporação também melhora as resistências à compressão e ao cisalhamento do

material.

Figura 2.10 - Abertura de fissuras secundárias entre fissuras principais em barras de concreto

armado submetidas a tração

20

FONTE: LEONHARDT (2003)

Na construção civil, o reforço mais utilizado é o aço, sendo adequado por

possuir elevada resistência, um coeficiente de expansão térmica similar ao concreto, boa

durabilidade quando inserido em meios alcalinos e boa adesão à matriz (CALLISTER,

2000). Esse reforço pode ser incorporado através de malhas ou barras, sendo que na

construção civil os meios mais comuns são as barras.

2.4.1 Diagrama tensão-deformação

As ligas de aço são caracterizadas por um comportamento mecânico dúctil no

diagrama tensão-deformação (Figura 2.11), o qual está associado ao tipo de ligações

químicas e ao movimento de discordâncias. A depender do processo de conformação do

aço (conformado a quente ou a frio) entre outros fatores, os aços podem apresentar ou

não um patamar de escoamento bem definido, como é exemplificado na Figura 2.12.

Figura 2.11 - Diagrama tensão x deformação esquemático para aços dúcteis

21

Figura 2.12 - Diagrama tensão x deformação típicos para metais: a) com patamar de escoamento b)

sem patamar de escoamento

Para o modelo apresentado neste trabalho, será considerado para o aço um

comportamento elastoplástico perfeito, que consiste em admitir o material como linear

até a deformação de início de escoamento, mantendo a partir desde momento a tensão

constante até uma deformação última, onde a rigidez do material é então reduzida a

zero. Cabe ressaltar que esta escolha teve por base a ampla utilização por outros autores

como Fernandes (1998), Bandeira (2006), e inclusive em trabalhos oriundos do próprio

PPGECEA, como Santos (2009) e Neves (2012), todos esses autores relatando o

alcance de bons resultados

2.5 APLICAÇÃO DOS MODELOS NÃO LINEARES FÍSICOS PARA

CONCRETO NA MODELAGEM DE LAJES DE CONCRETO ARMADO

Neste item serão apresentados resultados obtidos por alguns autores que

utilizaram modelos não lineares físicos na análise de lajes de concreto armado, bem

como suas conclusões a respeito da utilização.

2.5.1 Jiang e Mirza (1997)

Esses autores criaram um modelo discreto em elementos finitos de uma laje e

suas armaduras, de forma a considerar os efeitos de deslizamento e aderência entre as

interfaces. Para a modelagem do material, utilizaram para o concreto o modelo

elastoplástico com amolecimento de Pietruszczak et al. (1968). Já para as armaduras

consideraram uma relação tensão-deformação uniaxial, admitindo o comportamento das

armaduras similar ao de uma viga. Para a validação foi simulada uma laje simplesmente

apoiada ensaiada experimentalmente por Taylor, Mather e Hayes (1966). A placa possui

22

armaduras com diâmetro de 4,76 mm nas duas direções, mas com espaçamentos

distintos. As características da laje estudada são mostradas na Figura 2.13, e as

propriedades dos materiais utilizados estão na Tabela 2-1.

Figura 2.13 - Detalhamento da laje (a) vista superior (b) carregamento (c) distribuição das

armaduras

FONTE: Jiang e Mirza (1993)

Tabela 2-1 - Propriedades dos materiais utilizados

Concreto Aço

E 32,42 GPa E 206,91 GPa

ν 0,18 fy 375,90 MPa

fC 35,04 MPa

fT 3,60 Mpa

Os resultados carga-deslocamento obtidos (Figura 2.14) mostram a capacidade

do modelo de acompanhar os resultados experimentais, desde a fase linear até a fase

final do experimento, possuindo diferença significativa, apenas pelo registro de uma

etapa de amolecimento logo após a fase linear, não presente no resultado experimental

de referência.

23

Figura 2.14 - Carga x deslocamento no centro da placa

FONTE: Jian e Mirza (1993)

Cabe antecipar que este mesmo problema foi modelado no presente trabalho,

figurando como Caso 01, conforme será visto no Capítulo 6.

2.5.2 Fernandes (1998)

A autora desenvolveu uma formulação linear para placas, baseada na teoria

clássica de Kirchhoff (1850), através do método dos elementos de contorno, e a

estendeu para a análise não linear de placas de concreto armado, através de dois

modelos constitutivos, um elastoplástico com encruamento isotrópico negativo e outro

baseado no modelo de dano de Mazars.

Para fins de validação dos modelos foi estudada uma placa quadrada,

simplesmente apoiada, com carga aplicada no centro. Para o modelo elastoplástico foi

utilizado um refinamento de malha de 8 e 16 elementos. Já para o modelo de dano de

Mazars, foi adotado um refinamento de 8 elementos, porém considerando diferentes

limitações para a variável de dano. Os resultados para a deflexão no centro da placa

24

apresentados pela autora para o modelo elastoplástico e de Dano estão apresentados nas

Figura 2.15 e Figura 2.16, respectivamente.

Observa-se que o modelo de dano apresenta resultados mais precisos que o

obtido para o modelo elastoplástico, tanto para a fase linear, quanto na percepção do

inicio da danificação do material. A autora concluiu que embora os modelos estudados

sejam simples tendem a obter boas respostas, principalmente à medida que se refina a

malha. Por fim, a autora constata o potencial do uso dos modelos de dano, sugerindo

que o uso de modelos mais complexos apresentariam respostas mais precisas. Cabe

ressaltar que para a obtenção de resultados mais precisos foi necessária a limitação da

variável de dano, proporcionando uma rigidez adicional ao material, o que se pode fazer

necessário por razões do módulo de elasticidade transversal, que aparentemente foi

alterado proporcionalmente a redução do módulo de elasticidade longitudinal.

Figura 2.15 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de plasticidade

FONTE: Fernandes (1998)

25

Figura 2.16 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de Dano de Mazars


2.5.3 Cresce (2003)

Nesse trabalho o autor desenvolveu uma formulação não linear para lajes de

pavimentos de concreto armado, baseada na Teoria de Reissner e no acoplamento do

método dos elementos finitos e método dos elementos de contorno. Para o

comportamento do concreto foi considerado o modelo de dano de Mazars, e para o aço

um modelo elastoplástico perfeito.

Para a validação, o autor simulou uma laje quadrada ensaiada

experimentalmente por Campos (2000), com vão de 4 m e espessura de 7 cm, com

armaduras de diâmetro de 5,0 mm dispostas a cada 20 cm nas duas direções. Os valores

para deslocamento no centro da placa são apresentados na Figura 2.17 a seguir:

26

Figura 2.17 - Diagrama Carga x Deslocamento

FONTE CRESCE (2003)

Avaliando-se a Figura 2.17, observa-se a boa capacidade de previsão da parte

linear da resposta experimental, e da detecção do início do processo de danificação.

Porém, após esse ponto, passa a existir uma divergência entre o resultado experimental

e o teórico.

2.5.4 Krätzig e Pölling (2004)

Os autores simularam o comportamento carga-deslocamento no centro de uma

placa com as características mostradas na Figura 2.18, e compararam com o resultado

experimental obtido por Jofriet e McNeice (1971). Para a modelagem, os autores

consideraram para o aço o comportamento elastoplástico perfeito, e para o concreto à

tração e à compressão, um modelo de dano elastoplástico.

Os resultados para o diagrama carga-deslocamento no centro da placa são

mostrados na Figura 2.19:

27

Figura 2.18- Características da placa ensaiada

FONTE: Krätzig e Pöling (2004)

Figura 2.19 - DIagrams carga x deslocamento


Observam-se bons resultados encontrados pelos autores. Todavia, estes

ressaltam que o modelo necessita de nove parâmetros que podem ser estimados através

da resistência à compressão, o que possibilita sua utilização em situações práticas de

análise. Esse aspecto chama atenção e nesse sentido vale lembrar que o modelo de dano

de Mazars requer apenas cinco parâmetros experimentais, de fácil obtenção, como

28

mencionado no capítulo introdutório. Cabe informar que esse resultado experimental

também foi modelado no presente trabalho, figurando como Caso 02 no Capítulo 6.

Após finalizar a apresentação desses resultados, frutos do estado da arte atual,

observa-se que existe um grande esforço na obtenção de resultados precisos à luz de

modelos constitutivos não lineares para o concreto, considerando inclusive sua

anisotropia após a fissuração. Portanto, formular um modelo de placa que leve em

consideração a não linearidade física do concreto e sua interação com o reforço significa

uma melhor previsão do comportamento das lajes de concreto reforçado, propiciando

assim o uso mais adequado e econômico desses elementos estruturais. E como um

aspecto adicional, o estudo e aplicação de modelos mais amplos também são

importantes para a compreensão das vantagens e limitações de utilização de modelos

mais simplificados, muitas vezes não percebidas em situações práticas mais simples.

29

3 MODELO DE DANO ISOTRÓPICO DE MAZARS (1984)

O modelo de dano de Mazars (1984) é um modelo relativamente simples

quando comparado a outros modelos propostos. A variável de dano é medida em função

do alongamento do material e possui as seguintes hipóteses básicas:

O processo de dano do concreto (𝐷𝑐) ocorre no estado elástico, não

apresentando deformações plásticas;

O concreto é considerado isotrópico mesmo após o início da danificação;

A evolução do dano ocorre quando o limite de deformação elástica de

alongamento é atingido.

Antes de prosseguir com a apresentação do modelo de dano em foco, é

necessário introduzir alguns aspectos relacionados ao cômputo de tensões e

deformações utilizados pelo modelo, os quais serão mostrados nos dois sub-itens

seguintes.

3.1 DECOMPOSIÇÃO DAS DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS

As tensões em uma dada direção principal podem ser representadas em função

de suas parcelas positiva e negativa da seguinte forma:

𝜎𝑖+ = 𝜎𝑖 se 𝜎𝑖 > 0 e 𝜎𝑖

+ = 0se 𝜎𝑖 < 0 (3.1a)

𝜎𝑖− = 𝜎𝑖 se 𝜎𝑖 < 0 e 𝜎𝑖

− = 0 se 𝜎𝑖 > 0 (3.1b)

onde:

𝜎𝑖+são as tensões que geram deformações de alongamento;

𝜎𝑖+são as tensões que geram deformações de encurtamento;

𝑖 = 1, 2, 3

30

Dessa forma as deformações por tração e por compressão (휀𝑇𝑖 e 휀𝐶𝑖

respectivamente) podem ser escritas em função das tensões, através da lei de Hooke,

como a seguir:

휀𝑇𝑖 =1 + 𝜐

𝐸𝜎𝑖+ −

𝜐

𝐸∑𝜎𝑗

+

3

𝑗=1

(3.2)

휀𝐶𝑖 =1 + 𝜐

𝐸𝜎𝑖− −

𝜐

𝐸∑𝜎𝑗

−

3

𝑗=1

(3.3)

onde 𝜐 é o Coeficiente de Poisson do concreto. A deformação principal em cada direção

pode então ser expressa por:

휀𝑖 = 휀𝑇𝑖 + 휀𝐶𝑖 (3.4)

3.2 DEFORMAÇÃO EQUIVALENTE

Os alongamentos referentes a cada direção principal 𝑖são dados por:

휀𝑖+ =

1

2(휀𝑖 + |휀𝑖|)

(3.5)

Nota-se que, dessa forma, só são contabilizadas as deformações que geram

alongamento. Sendo assim, com as deformações apresentadas na equação 3.2, a

deformação equivalente pode ser assim definida:

휀 = √(휀1+)2 + (휀2

+)2 + (휀3+)2

(3.6)

31

Para compatibilizar o modelo de Dano com a Teoria Clássica de Laminados,

será adotada a medição das deformações em pontos da superfície média de cada camada

que constitui a placa.

3.3 CRITÉRIO DE DANO

Segundo o modelo de Mazars (1984), o processo de dano inicia quando o

material atinge a deformação correspondente à tensão máxima determinada no ensaio de

tração uniaxial, como mostrado na Figura 3.1. Dessa forma, pode-se considerar que o

processo de dano do material só inicia-se quando o mesmo atingir a deformação de pico

εdo, sendo o critério para permanência no regime linear expresso pela seguinte

inequação:

휀 − 휀𝑑𝑜 ≤ 0 (3.7)

Figura 3.1 - Diagrama tensão x deformação do concreto à tração

FONTE: Cresce (2003)

Baseando-se nos conceitos oriundos da Teoria da Plasticidade, busca-se definir

uma superfície para o critério de danificação do material. Para tanto, considera-se uma

função para a deformação de pico:

32

𝑆(𝐷𝑐) = 휀𝑑𝑜 (3.8)

Substituindo (3.8) em (3.7), tem-se:

휀 − 𝑆(𝐷𝑐) ≤ 0 (3.9)

Igualando (3.9) a zero, define-se a superfície de danificação, que representa

todos os estados limites para o início do dano:

휀 = 𝑆(𝐷𝑐) (3.10a)

𝑆(𝐷𝑐) = √(휀1+)2 + (휀2

+)2 + (휀3+)2

(3.10b)

A função 𝑆(𝐷𝑐) representa uma função na forma de um oitavo de esfera, como

mostra a Figura 3.2, a seguir:

Figura 3.2 - Superfície de Danificação


33

3.4 CÁLCULO DA VARIÁVEL DE DANO

Devido ao comportamento do concreto ser assimétrico em relação à tração e à

compressão, existe a necessidade de determinação de duas variáveis distintas para o

dano, uma para compressão DCC, e outra para tração DCT. Para o caso multiaxial, o dano

do concreto Dc deve ser obtido através de uma combinação linear dessas duas variáveis,

ficando representado pela equação a seguir:

𝐷𝑐 = 𝛼𝑡𝐷𝐶𝑇 + 𝛼𝑐𝐷𝐶𝐶 (3.12)

onde:

𝛼𝑡 =∑ 휀𝑇𝑖

+3𝑖=1

휀𝑣+

(3.13a)

𝛼𝑐 =∑ 휀𝐶𝑖

+3𝑖=1

휀𝑣+

(3.13b)

휀𝑣+ =∑(휀𝑇𝑖

+ + 휀𝐶𝑖+ )

3

𝑖=1

(3.13c)

cabendo observar que: 0 ≤ 𝛼𝑡 ≤ 1; 0 ≤ 𝛼𝑐 ≤ 1; 𝑒 𝛼𝑡 + 𝛼𝑐 = 1.

As equações definidas por Mazars para a evolução do dano por tração 𝐷𝐶𝑇 e

compressão 𝐷𝐶𝐶 são apresentadas a seguir:

𝐷𝐶𝑇 = 1 −휀𝑑𝑜(1 − 𝐴𝑡)

휀−

𝐴𝑡𝑒𝑥𝑝[𝐵𝑡(휀 − 휀𝑑𝑜)]

(3.14a)

𝐷𝐶𝐶 = 1 −휀𝑑𝑜(1 − 𝐴𝑐)

휀−

𝐴𝑐𝑒𝑥𝑝[𝐵𝑐(휀 − 휀𝑑𝑜)]

(3.14b)

34

informando-se que as constantes 𝐴𝑡 , 𝐴𝑐 , 𝐵𝑡 𝑒 𝐵𝑐 são parâmetros do material

determinados através das curvas tensão-deformação do concreto, à tração e à

compressão uniaxial. Para melhor compreender a influência desses parâmetros no

diagrama tensão-deformação do material, Álvares (1993) fez um estudo simulando o

material à tração e à compressão, sintetizando os resultados através de figuras, as quais

foram reproduzidas a seguir:

Figura 3.3 - Influência dos parâmetros Ac e Bc no diagrama uniaxial à compressão


35

Como pode ser observado na Figura 3.3, o parâmetro Ac influencia diretamente

na tensão de pico alterando também a inclinação da zona de amolecimento do concreto,

enquanto o parâmetro Bc também influencia a tensão de pico, porém sem alterar a

inclinação da zona de amolecimento.

Figura 3.4 - Influência do εdo At e Bt no diagrama uniaxial à tração


Considerando a Figura 3.4, observa-se que 휀𝑑𝑜 influencia diretamente na

tensão de pico à tração do concreto, e o parâmetro At influencia na inclinação inicial do

trecho não linear e no valor referente a tendência horizontal da curva. Já o parâmetro Bt

influencia na taxa de inclinação do trecho não linear e na tensão de pico à tração.

1

2

3

4

36

4 FORMULAÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA

No presente capítulo será desenvolvida a formulação variacional para o

problema de placa laminada retangular, com base no princípio dos trabalhos virtuais

(PTV), e com a inserção da não linearidade física do concreto a partir do modelo de

dano isotrópico de Mazars (1986).

4.1 SISTEMA DE REFERÊNCIA

A Figura 4.1 apresenta o sistema de coordenadas para uma lâmina k do

laminado que será utilizado na formulação apresentada nesse capítulo

Figura 4.1 - Sistema de referência

FONTE: Reddy (2004)

onde:

é a inclinação das fibras do material em relação aos eixos globais;

x, y e z são os eixos globais de referência (eixos da estrutura);

37

x1, x2 e x3 são os eixos locais de referência (eixos de uma lâmina qualquer do laminado).

4.2 HIPÓTESES CONSIDERADAS E CAMPO DE DESLOCAMENTOS

Adotam-se para o laminado as seguintes hipóteses tendo por base Jones (1999)

e Reddy (2004):

1. O laminado consiste de lâminas perfeitamente coladas entre si, isto é,

sem deslizamento ou descolamento. Isto significa que os deslocamentos são descritos

por funções contínuas;

2. A placa é considerada delgada, ou seja, a espessura é relativamente

pequena em relação às outras duas dimensões (superfície média);

3. Linhas inicialmente retas e perpendiculares à superfície que define a

geometria da estrutura (superfície média da placa) permanecem retas e perpendiculares

a essa superfície, quando o laminado for solicitado;

4. As linhas normais à superfície de referência são consideradas

inextensíveis, isto é, têm comprimentos constantes;

5. Supõe-se que o carregamento aplicado a placa acarrete rotações e

deformações pequenas perante a unidade, enquadrando o problema no âmbito da

elasticidade linear.

6. As lâminas são formadas por materiais ortotrópicos de comportamento

linear elástico (observa-se que o comportamento deixa de ser linear, por conta das

considerações feitas para o concreto e o aço, porém são consideradas como lineares nos

intervalos de cada incremento de carga ou deslocamento);

7. Admite-se que todas as cargas são aplicadas na superfície média da

placa.

As hipóteses dois a quatro, usadas na teoria de Kirchhoff para placas delgadas,

juntamente com a hipótese um, permitem deduzir as relações mostradas a seguir, entre

as componentes de deslocamento u, v, w (deslocamentos nas direções x, y e z

respectivamente) de um ponto qualquer da placa, e as componentes u0, v0 e w0 de um

ponto situado sobre a superfície média, como indicado para estes últimos na Figura 4.2.

38

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢0(𝑥, 𝑦) − 𝑧𝜕𝑤0𝜕𝑥

(4.1. 𝑎)

𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣0(𝑥, 𝑦) − 𝑧𝜕𝑤0𝜕𝑦

(4.1. 𝑏)

𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤0(𝑥, 𝑦) (4.1. 𝑐)

onde as derivadas 𝜕𝑤0

𝜕𝑥 e

𝜕𝑤0

𝜕𝑦 são, respectivamente, as declividades da superfície média

nas direções x e y.

Figura 4.2 - Geometria de deformação da placa no plano xz

FONTE: Reddy (2004)

4.3 RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO

Com base na hipótese cinco têm-se as seguintes relações deformação-

deslocamentos:

휀𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥 (4.2. 𝑎)

39

휀𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑦 (4.2. 𝑏)

휀𝑧 =𝜕𝑤

𝜕𝑧 (4.2. 𝑐)

𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑢

𝜕𝑦+𝜕𝑣

𝜕𝑥 (4.2. 𝑑)

𝛾𝑥𝑧 =𝜕𝑢

𝜕𝑧+𝜕𝑤

𝜕𝑥 (4.2. 𝑒)

𝛾𝑦𝑧 =𝜕𝑣

𝜕𝑧+𝜕𝑤

𝜕𝑦 (4.2. 𝑑)

Substituindo o campo dos deslocamentos (4.1) nessas expressões resultam as

seguintes relações:

휀𝑥 =𝜕𝑢0𝜕𝑥

− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

(4.3. 𝑎)

휀𝑦 =𝜕𝑣0𝜕𝑦

− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

(4.3. 𝑏)

𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥

− 2𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

(4.3. 𝑐)

휀𝑧 = 0 (4.3. 𝑑)

𝛾𝑥𝑧 = 0 (4.3. 𝑒)

𝛾𝑦𝑧 = 0 (4.3. 𝑓)

que são as mesmas relações deformações-deslocamentos da teoria clássica de placas.

40

4.4 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS

Considerando que as lâminas estão em um estado plano de tensões, como é

usual na teoria de laminados, tem-se para uma lâmina k do laminado as seguintes

relações entre tensões e deformações atuantes:

[

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦

] = [

��11 ��12 ��16��12 ��22 ��26��16 ��26 ��66

] [

휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦]

(4.4)

com as propriedades mecânicas das lâminas (ortotrópicas), como mostra a hipótese 6,

calculadas por:

��11 = 𝑄11 cos4 𝜃 + 2(𝑄12 + 2𝑄66) sin

2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄22 sin2 𝜃 (4.5. 𝑎)

��12 = (𝑄11 +𝑄22 − 4𝑄66) sin2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄12(sin

4 𝜃 + cos4 𝜃) (4.5. 𝑏)

��22 = 𝑄11 sin2 𝜃 + 2(𝑄12 + 2𝑄66) sin

2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄22 cos4 𝜃 (4.5. 𝑐)

��16 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66) sin 𝜃 cos3 𝜃 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66) sin

3 𝜃 cos 𝜃 (4.5. 𝑑)

��26 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66) sin3 𝜃 cos 𝜃 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66) sin 𝜃 cos

3 𝜃 (4.5. 𝑒)

��66 = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 − 2𝑄66) sin2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄66(sin

4 𝜃 + cos4 𝜃) (4.5. 𝑓)

com 𝜃 representando o ângulo de orientação das fibras de reforço na camada k e:

𝑄11 = (

𝐸11 − 𝜐12𝜐21

)

(4.6. 𝑎)

𝑄12 = (

𝜐12𝐸21 − 𝜐12𝜐21

)

(4.6. 𝑏)

𝑄22 = (

𝐸21 − 𝜐12𝜐21

)

(4.6. 𝑐)

𝑄66 = 𝐺12

(4.6. 𝑑)

41

onde:

𝐸1 é o módulo de elasticidade longitudinal na direção x1 da camada;

𝐸2 é o módulo de elasticidade longitudinal na direção x2 da camada;

𝜐12 𝑒 𝜐21 são coeficientes de Poisson associados as direções x1 e x2 da camada;

𝐺12 é o módulo de elasticidade transversal associado às direções x1 e x2;

Cabe ressaltar que as componentes mecânicas 𝑄11, 𝑄12, 𝑄22 e 𝑄66 são medidas

em relação aos eixos da camada k. Essas grandezas, quando convertidas para o sistema

de referência x, y e z, geram as propriedades mecânicas apresentadas nas expressões

(4.5).

Para a análise não linear física, o dano contínuo de Mazars (concreto) e o

modelo elastoplástico perfeito (aço), são inseridos diretamente nas relações constitutivas

da lâmina, sendo as mesmas então apresentadas da seguinte forma:

𝑄22 = [

𝐸1(1 − 𝐷)

1 − 𝜐12𝜐21]

(4.6. 𝑒)

𝑄12 = [

𝜐12𝐸2(1 − 𝐷)

1 − 𝜐12𝜐21]

(4.6. 𝑓)

𝑄22 = [

𝐸2(1 − 𝐷)

1 − 𝜐12𝜐21]

(4.6. 𝑔)

𝑄66 = 𝐺12

(1 − 𝐷) (4.6. ℎ)

onde 𝐷 representa o dano no material constituinte da camada estudada (ou, em outras

palavras a relação entre a perda de rigidez do material e sua rigidez inicial).

Para o caso das camadas constituídas de concreto, a variável 𝐷 representa a

própria variável de dano (Dc), porém para as camadas constituídas por aço, a mesma

pode ser apresentada como segue:

42

𝐷 =(𝐸𝑖 − 𝐸 )

𝐸𝑖

onde:

𝐸𝑖 = Módulo de Elasticidade inicial do material;

𝐸 = Módulo de Elasticidade atual do material.

Essa alternativa possibilita representar os diferentes modelos constitutivos

citados em torno de variáveis compatíveis, possibilitando assim maior facilidade na

implementação. Além disso, esta consideração permite aplicar os dois modelos

simultaneamente na camada compósita através da regra da mistura.

Como visto no capítulo anterior, o dano na lâmina é função das deformações

medidas em cada ponto da superfície média da mesma, que por sua vez, são

dependentes das coordenadas x, y e z do referido ponto. Sendo assim, observa-se que as

relações constitutivas da lâmina após o desenvolvimento do dano também são função da

posição do ponto em estudo, observação esta que, conforme será visto no próximo

capítulo, estender-se-á conseqüentemente para as equações 5.5.

4.5 INTEGRAIS DE TENSÕES (ESFORÇOS INTERNOS)

Na presente formulação são definidas as seguintes integrais de tensões por

unidade de comprimento, avaliadas na espessura h da placa laminada e mostradas na

Figura 4.3 com seus sentidos positivos.

43

Figura 4.3 - Esforços internos

FONTE: Reddy (2004)

𝑁𝑥𝑥 = ∫ 𝜎𝑥𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

(4.7. 𝑎)

𝑁𝑦𝑦 = ∫ 𝜎𝑦𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

(4.7. 𝑏)

𝑁𝑥𝑦 = ∫ 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

(4.7. 𝑐)

𝑀𝑥𝑥 = ∫ 𝜎𝑥𝑧𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

(4.7. 𝑑)

𝑀𝑦𝑦 = ∫ 𝜎𝑦𝑧𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

(4.7. 𝑒)

44

𝑀𝑥𝑦 = ∫ 𝜏𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

(4.7. 𝑓)

Com base na Figura 4.4 pode-se escrever essas integrais de tensões em função

das lâminas do laminado:

Figura 4.4 - Camadas de um laminado

FONTE: Reddy (2004)

{

𝑁𝑥𝑥𝑁𝑦𝑦𝑁𝑥𝑦

} = ∑∫ {


}

𝑑𝑧𝑧𝑘+1

𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

(4.8. 𝑎)

{

𝑀𝑥𝑥

𝑀𝑦𝑦

𝑀𝑥𝑦

} = ∑∫ {


}

𝑧𝑑𝑧𝑧𝑘+1

𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

(4.8. 𝑏)

onde 𝑁𝑥𝑥, 𝑁𝑦𝑦 𝑒 𝑁𝑥𝑦 são os esforços de membrana, 𝑀𝑥𝑥 𝑒 𝑀𝑦𝑦 os esforços flexionais e

𝑀𝑥𝑦 o esforço torsional, todos por unidade de comprimento.

45

Substituindo as equações (4.4) nas equações (4.8) tem-se:

{


} = ∑∫ {[

𝑄11 𝑄12 𝑄16

𝑄12 𝑄22 𝑄26

𝑄16 𝑄26 𝑄66 ] [

휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦]}

𝑑𝑧𝑧𝑘+1

𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

(4.9. 𝑎)

{

𝑀𝑥𝑥

𝑀𝑦𝑦

𝑀𝑥𝑦

} = ∑∫ {[

𝑄11 𝑄12 𝑄16

𝑄12 𝑄22 𝑄26

𝑄16 𝑄26 𝑄66 ] [

휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦]}


𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

(4.9. 𝑏)

Substituindo agora as expressões (4.3) das deformações tem-se:

{


} =∑∫

{

[

𝑄11 𝑄12 𝑄16

𝑄12 𝑄22 𝑄26

𝑄16 𝑄26 𝑄66 ]

[

𝜕𝑢0𝜕𝑥

− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

𝜕𝑣0𝜕𝑦

− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥

− 2𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]

}

𝑑𝑧𝑧𝑘+1

𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

(4.10. 𝑎)

{

𝑀𝑥𝑥

𝑀𝑦𝑦

𝑀𝑥𝑦

} =∑∫

{

[

𝑄11 𝑄12 𝑄16

𝑄12 𝑄22 𝑄26

𝑄16 𝑄26 𝑄66 ]

[

𝜕𝑢0𝜕𝑥

− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

𝜕𝑣0𝜕𝑦

− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥

− 2𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]

}


𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

(4.10. 𝑏)

Também é possível escrever as integrais de tensões da seguinte forma:

46

{


} = [

𝐴11 𝐴12 𝐴16𝐴12 𝐴22 𝐴26𝐴16 𝐴26 𝐴66

]

[

𝜕𝑢0𝜕𝑥𝜕𝑣0𝜕𝑦

𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥 ]

+ [𝐵11 𝐵12 𝐵16𝐵12 𝐵22 𝐵26𝐵16 𝐵26 𝐵66

]

[ −

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

−𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−2𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]

(4.11. 𝑎)

{

𝑀𝑥𝑥

𝑀𝑦𝑦

𝑀𝑥𝑦

} = [𝐵11 𝐵12 𝐵16𝐵12 𝐵22 𝐵26𝐵16 𝐵26 𝐵66

]

[

𝜕𝑢0𝜕𝑥𝜕𝑣0𝜕𝑦

𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥 ]

+ [𝐷11 𝐷12 𝐷16𝐷12 𝐷22 𝐷26𝐷16 𝐷26 𝐷66

]

[ −

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

−𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−2𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]

(4.11. 𝑏)

onde a matriz contendo os coeficientes 𝐴ij é denominada matriz de rigidez extensional, a

que contém os elementos 𝐷ij é a matriz de rigidez flexional e a composta pelos

elementos Bij é a matriz de rigidez de acoplamento flexo-extensional. Esses coeficientes

são definidos em termos da matriz de rigidez de cada lâmina, conforme a seguir:

(𝐴𝑖𝑗 , 𝐵𝑖𝑗, 𝐷𝑖𝑗) = ∫ ��𝑖𝑗(1, 𝑧, 𝑧2)𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ 2⁄

=∑∫ ��𝑖𝑗(𝑘)(1, 𝑧, 𝑧2)𝑑𝑧 (4.12. 𝑎)

𝑧𝑘+1

𝑧𝑘

𝑛

𝑘=1

ou ainda:

𝐴𝑖𝑗 =∑��𝑖𝑗(𝑘)(𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘)𝑑𝑧

𝑛

𝑘=1

𝐵𝑖𝑗 =1

2∑ ��𝑖𝑗

(𝑘)((𝑧𝑘+1)

2 − 𝑧𝑘2)𝑑𝑧

𝑛

𝑘=1

𝐷𝑖𝑗 =1

3∑��𝑖𝑗

(𝑘)((𝑧𝑘+1)

3 − 𝑧𝑘3)𝑑𝑧

𝑛

𝑘=1

(4.12. 𝑏)

Desenvolvendo as expressões matriciais dos esforços (4.11), obtêm-se:

47

𝑁𝑥𝑥 = 𝐴11𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐴12𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐴16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵11

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐵12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−

−2𝐵16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

(4.13. 𝑎)

𝑁𝑦𝑦 = 𝐴12𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐴22𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐴26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵12

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐵22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−

−2𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

(4.13. 𝑏)

𝑁𝑥𝑦 = 𝐴16𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐴26𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐴66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵16

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−

−2𝐵66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

(4.13. 𝑐)

𝑀𝑥𝑥 = 𝐵11𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐵12𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐵16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷11

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐷12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−

−2𝐷16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

(4.13. 𝑑)

𝑀𝑦𝑦 = 𝐵12𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐵22𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐵26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷12

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐷22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−

−2𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

(4.13. 𝑒)

𝑀𝑥𝑦 = 𝐵16𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐵26𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐵66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷16

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−

−2𝐷66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

(4.13. 𝑓)

Como se vê essas integrais de tensões (ou esforços internos) são definidas para

todos os pontos do plano médio da placa, dependendo tanto dos deslocamentos do plano

médio, quanto das propriedades mecânicas dos materiais da placa. Portanto, ao

48

incorporar o modelo de dano para o concreto e o regime elastoplástico perfeito para o

aço as propriedades mecânicas são afetadas à medida que a não linearidade física é

atingida, modificando também as inúmeras rigidezes 𝐴ij, 𝐵ij e 𝐷ij da estrutura.

4.6 TRABALHO VIRTUAL DAS FORÇAS INTERNAS

Pode se escrever o trabalho realizado pelas forças internas da seguinte forma:

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫(𝜎𝑥𝛿휀𝑥 + 𝜎𝑦𝛿휀𝑦 + 𝜏𝑥𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦)𝑑𝑣 (4.14)

𝑉

onde 𝑉 é o volume da placa em estudo, e 𝛿휀𝑥, 𝛿휀𝑦 e 𝛿𝛾𝑥𝑦 são as variações das

componentes de deformação.

O cômputo dessas variações fornece:

𝛿휀𝑥 = 𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥

) − 𝑧𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

) (4.15. 𝑎)

𝛿휀𝑦 = 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦) − 𝑧𝛿 (

𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

) (4.15. 𝑏)

𝛿𝛾𝑥𝑦 = 𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 2𝑧𝛿 (

𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

) (4.15. 𝑐)

Substituindo as equações (4.15) em (4.14), e observando que a integração em

volume pode ser decomposta em termos da área da superfície média e da espessura da

placa, procedimento bem conhecido da teoria clássica de placas delgadas, resulta:

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ ∫ (𝜎𝑥 [𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥

) − 𝑧𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

)] + 𝜎𝑦 [𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦) − 𝑧𝛿 (

𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

)]

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

Ω0

+ 𝜏𝑥𝑦 ⌈𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 2𝑧𝛿 (

𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

)⌉) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (4.16)

com Ω0 representando a área da superfície média da placa.

49

Reconhecendo as integrais de tensões (esforços) na expressão de trabalho

interno, tem-se:

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ {𝑁𝑥𝑥𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥

) − 𝑀𝑥𝑥𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

) + 𝑁𝑦𝑦𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦) −𝑀𝑦𝑦𝛿 (

𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

)

Ω0

+ 𝑁𝑥𝑦 [𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥)] − 2𝑀𝑥𝑦𝛿 (

𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

)}𝑑𝑥𝑑𝑦 (4.17)

4.7 TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS EXTERNAS

Considerando-se a Figura 4.5, onde as cargas atuantes no domínio e no

contorno são mostradas com seus sentidos positivos, pode-se escrever para o trabalho

virtual realizado pelas forças externas a seguinte expressão:

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∫ 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦)𝛿𝑤0𝑑𝑥𝑑𝑦

Ω0

+∫ (��𝑥𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑥𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑥𝑧𝛿𝑤0 − ��𝑥𝑥𝛿 (𝜕𝑤0𝜕𝑥

))

𝑥=0

𝑥=𝑎𝑏

0

𝑑𝑦

+∫ (��𝑦𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑦𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑦𝑧𝛿𝑤0 − ��𝑦𝑦𝛿 (𝜕𝑤0𝜕𝑦

))

𝑦=0

𝑦=𝑏

𝑑𝑥𝑎

0

(4.18)

onde:

𝑞𝑧(𝑥, 𝑦) é a força transversal à superfície média por unidade de área aplicada no

domínio;

��𝑥𝑥, ��𝑥𝑦 , ��𝑥𝑧 são as forças por unidade de comprimento ao longo dos bordos x=0 e x=a,

segundo as direções x, y e z respectivamente;

��𝑥𝑥 é o Momento de flexão por unidade de comprimento, aplicado ao longo do bordo

x=0 e x=a;

��𝑦𝑥, ��𝑦𝑦 , ��𝑦𝑧 são as forças por unidade de comprimento ao longo dos bordos y=0 e y=b,

segundo as direções x, y e z respectivamente;

50

��𝑦𝑦 - Momento de flexão por unidade de comprimento, aplicado ao longo do bordo

y=0 e y=b.

Embora momentos torsores tenham sido considerados no âmbito dos esforços

internos (montagem do trabalho realizado pelas forças internas), não foram

consideradas carga-momentos de torção no trabalho externo, por não ser usualmente

aplicado nas lajes estudadas.

Figura 4.5 - Carregamento da placa

4.8 APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (PTV)

De forma à compatibilizar o trabalho interno com o trabalho externo, integra-se

por partes os termos da equação 4.17, ficando o mesmo expresso da seguinte forma:

51

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ (–(𝜕2𝑀𝑥𝑥

𝜕𝑥2+𝜕2𝑀𝑦𝑦

𝜕𝑦2+ 2

𝜕2𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦)𝛿𝑤0 − (

𝜕𝑁𝑥𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑦)𝛿𝑢0

Ω0

− (𝜕𝑁𝑦𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑥)𝛿𝑣0)𝑑𝑥𝑑𝑦

+ ∫ ((𝑁𝑥𝑦)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑦𝑦)𝛿𝑣0 + (𝜕𝑀𝑦𝑦

𝜕𝑦+ 2

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥)𝛿𝑤0

𝑎

0

− (𝑀𝑦𝑦)𝛿𝜕𝑤0𝜕𝑦

)

𝑦=𝑎

𝑦=𝑏

𝑑𝑥

+ ∫ ((𝑁𝑥𝑥)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑥𝑦)𝛿𝑣0 + (𝜕𝑀𝑥𝑥

𝜕𝑥+ 2

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑦)𝛿𝑤0

𝑏

0

− (𝑀𝑥𝑥)𝛿𝜕𝑤0𝜕𝑥

)

𝑥=0

𝑥=𝑎

𝑑𝑦 − 2𝑀𝑥𝑦𝛿𝑤0𝑦=0;𝑦=𝑏;

𝑥=0

𝑥=𝑎 (4.19)

Igualando o Trabalho realizado pelas forças internas (4.19) ao trabalho

realizado pelas forças externas (4.18) obtêm-se a seguinte equação:

∫ [−(𝜕2𝑀𝑥𝑥

𝜕𝑥2+𝜕2𝑀𝑦𝑦

𝜕𝑦2+ 2

𝜕2𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦) − 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦)] 𝛿𝑤0𝑑𝑥𝑑𝑦

Ω0

+∫ ((𝑁𝑥𝑦 − ��𝑦𝑥)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑦𝑦 − ��𝑦𝑦)𝛿𝑣0

𝑎

0

+ [(𝜕𝑀𝑦𝑦

𝜕𝑦+ 2

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥) − ��𝑦𝑧] 𝛿𝑤0 + (−𝑀𝑦𝑦 + ��𝑦𝑦)𝛿

𝜕𝑤0𝜕𝑦

)

𝑦=𝑎

𝑦=𝑏

𝑑𝑥

+ ∫ ((𝑁𝑥𝑥 − ��𝑥𝑥)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑥𝑦 − ��𝑥𝑦)𝛿𝑣0

𝑏

0

+ [(𝜕𝑀𝑥𝑥

𝜕𝑥+ 2

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑦) − ��𝑥𝑧] 𝛿𝑤0 + (−𝑀𝑥𝑥 + ��𝑥𝑥)𝛿

𝜕𝑤0𝜕𝑥

)

𝑥=0

𝑥=𝑎

𝑑𝑦

− 2𝑀𝑥𝑦𝛿𝑤0𝑦=0;𝑦=𝑏;

𝑥=0

𝑥=𝑎= 0 (4.20)

52

4.9 EQUAÇÃO DIFERENCIAL E CONDIÇÕES DE CONTONO

Através das variações 𝛿𝑤0,𝛿𝑢0 e 𝛿𝑣0 presente no domínio, obtém-se as

seguintes equações diferenciais:

(𝜕2𝑀𝑥𝑥𝜕𝑥2

+𝜕2𝑀𝑦𝑦

𝜕𝑦2+ 2

𝜕2𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦) = 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦) (4.21𝑎)

𝜕𝑁𝑥𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑦= 0

(4.21𝑏)

𝜕𝑁𝑦𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑥= 0

(4.21𝑐)

A partir das equações independentes da equação (4.20) 𝛿𝑢0, 𝛿𝑣0, 𝛿𝑤0 𝑒 𝛿(𝜕𝑤0

𝜕𝑥) (ao

longo dos bordos x=0 e x=a) e 𝛿(𝜕𝑤0

𝜕𝑦) (bordos y=0 e y=b), obtêm-se as condições de

contorno do problema:

Bordos x=0 e x=a:

��𝑥𝑥 = 𝑁𝑥𝑥 𝑜𝑢 𝑢 = �� (4.22. 𝑎)

��𝑥𝑦 = 𝑁𝑥𝑦 𝑜𝑢 𝑣 = �� (4.22. 𝑏)

��𝑥𝑧 = 2𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝑀𝑥𝑥

𝜕𝑥 𝑜𝑢 𝑤 = �� (4.22. 𝑐)

��𝑥𝑥 = 𝑀𝑥𝑥 𝑜𝑢 𝜕𝑤

𝜕𝑥=𝜕𝑤

𝜕𝑥

(4.22. 𝑑)

Bordos y=0 e y=b:

��𝑦𝑥 = 𝑁𝑥𝑦 𝑜𝑢 𝑢 = �� (4.22. 𝑒)

��𝑦𝑦 = 𝑁𝑦𝑦 𝑜𝑢 𝑣 = �� (4.22. 𝑓)

53

��𝑦𝑧 = 2𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥+𝜕𝑀𝑦𝑦

𝜕𝑦 𝑜𝑢 𝑤 = �� (4.22. 𝑔)

��𝑦𝑦 = 𝑀𝑦𝑦 𝑜𝑢 𝜕𝑤

𝜕𝑥=𝜕𝑤

𝜕𝑥

(4.22. ℎ)

A equação (4.20) também pode fornecer quatro condições de canto:

(2𝑀𝑥𝑦)(0,0)= 0 𝑜𝑢 (𝑤)(0,0) = (��)(0,0) (4.23𝑎)

(2𝑀𝑥𝑦)(𝑎,0)= 0 𝑜𝑢 (𝑤)(𝑎,0) = (��)(𝑎,0) (4.23𝑏)

(2𝑀𝑥𝑦)(0,𝑏) = 0 𝑜𝑢 (𝑤)(0,𝑏) = (��)(0,𝑏) (4.23𝑐)

(2𝑀𝑥𝑦)(𝑎,𝑏) = 0 𝑜𝑢 (𝑤)(𝑎,𝑏) = (��)(𝑎,𝑏) (4.23𝑑)

54

5 TRATAMENTO NUMÉRICO DO PROBLEMA

Nesse capítulo é desenvolvido o tratamento numérico para o problema, segundo o

método das diferenças finitas energéticas. Portanto, são apresentadas as representações

em diferenças finitas, forma de discretização, montagem numérica dos trabalhos interno

e externo, bem como a inserção das condições de contorno da placa retangular de

concreto armado, objeto do modelo aqui estudado.

5.1 OPERADORES DE DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS

Na formulação numérica do problema em questão são utilizados dois tipos de

representações para as derivadas dos deslocamentos, a representação centrada e a

representação reduzida. A seguir são apresentadas as correspondentes expressões para

cada tipo de representação por diferenças finitas.

5.1.1 Representação Centrada

Considere o esquema da Figura 5.1, onde 𝑓(𝑥) representa as funções u0, v0, w0

no ponto no qual são avaliadas as derivadas, também chamado de ponto pivotal. Todos

os pontos são igualmente espaçados de uma distância λ. As derivadas de primeira e

segunda ordem da função 𝑓(𝑥), avaliadas no ponto m, portanto na forma centrada, são

assim expressas:

𝑓′𝑚 =1

2𝜆(𝑓𝑚+1 − 𝑓𝑚−1) (5.1. 𝑎)

𝑓′′𝑚 =1

𝜆2(𝑓𝑚+1 − 2𝑓𝑚 + 𝑓𝑚−1) (5.1. 𝑏)

5.1.2 Representação Reduzida

Em trechos localizados junto aos bordos da placa, o uso da representação

centrada para as derivadas primeiras dos deslocamentos u0 e v0 podemcausar

55

singularidade na matriz dos coeficientes, impossibilitando a resolução do problema. Por

esse motivo, para essas derivadas na região dos bordos da placa será adotada a

representação reduzida, conforme sugerido por Graça (2000). Esta representação pode

ser definida por:

𝑓′𝑚 =1

𝜆(𝑓𝑚+1 − 𝑓𝑚) (5.2)

Figura 5.1 - Função 𝒇(𝒙) utilizada nas representações em diferenças finitas

FONTE: Autor

5.2 DISCRETIZAÇÃO E SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO LOCAL

Para a discretização do domínio da placa, o MDFE prevê a geração de trechos

de integração obtidos a partir de subdivisões nas direções x e y, qual seja 𝑛𝑥 e 𝑛𝑦

respectivamente. Desse modo um trecho de integração genérico apresenta a forma

retangular de dimensões 𝜆𝑥 = 𝐿𝑎/𝑛𝑥 e 𝜆𝑦 = 𝐿𝑏/𝑛𝑦, com um total de (𝑛𝑥 + 3) ×

(𝑛𝑦 + 3) nós e (𝑛𝑥 + 1) × (𝑛𝑦 + 1) trechos de integração distribuídos em nove tipos

diferentes de trechos, conforme mostrado na Figura 5.2.

Cada trecho de integração é composto por nove pontos nodais (Figura 5.3) e

para cada um desses pontos nodais são associados três graus de liberdade u0, v0 e w0, o

56

que gera, para cada trecho, 27 deslocamentos. Observa-se que as derivadas de segunda

ordem dos deslocamentos associados aos nós presentes nos bordos da placa, necessitam

de nós externos à mesma. E, por esse motivo, são denominados de nós virtuais. Cabe

destacar ainda que os nós da estrutura podem compor mais de um trecho de integração.

Na Tabela 5-1 são definidas as representações em diferenças finitas das

derivadas primeiras para cada um dos nove tipos de trechos em relação ao sistema de

representação local.

Figura 5.2 - Malha de discretização e tipos de elementos

FONTE: Autor

57

Figura 5.3 - Sistema de representação local

FONTE: Lima (2010)

Na Tabela 5-1 são definidas as representações em diferenças finitas das

derivadas de primeira ordem para cada um dos nove tipos de trechos em relação ao

sistema de representação local.

𝑁ó1 → 𝑢 = 𝐺1; 𝑣 = 𝐺2; 𝑤 = 𝐺3

𝑁ó2 → 𝑢 = 𝐺4; 𝑣 = 𝐺5; 𝑤 = 𝐺6

𝑁ó3 → 𝑢 = 𝐺7; 𝑣 = 𝐺8; 𝑤 = 𝐺9

𝑁ó4 → 𝑢 = 𝐺10; 𝑣 = 𝐺11; 𝑤 = 𝐺12

𝑁ó5 → 𝑢 = 𝐺13; 𝑣 = 𝐺14; 𝑤 = 𝐺15

𝑁ó6 → 𝑢 = 𝐺16; 𝑣 = 𝐺17; 𝑤 = 𝐺18

𝑁ó7 → 𝑢 = 𝐺19; 𝑣 = 𝐺20; 𝑤 = 𝐺21

𝑁ó8 → 𝑢 = 𝐺22; 𝑣 = 𝐺23; 𝑤 = 𝐺24

𝑁ó9 → 𝑢 = 𝐺25; 𝑣 = 𝐺26; 𝑤 = 𝐺27

58

FONTE: Autor

Tabela 5-1 - Representação em Diferenças Finitas considerando o sistema de representação local

Representação em Diferenças Finitas

Derivadas de primeira ordem

Trecho1 Trecho 2 Trecho 3 Trecho 4 Trecho 5 Trecho 6 Trecho 7 Trecho 8 Trecho 9

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝐺16 − 𝐺13

𝜆𝑥 𝐺16 − 𝐴102𝜆𝑥

𝐺13 − 𝐺10

𝜆𝑥 𝐺13 − 𝐺10

𝜆𝑥 𝐺16 − 𝐺102𝜆𝑥

𝐺13 − 𝐺10

𝜆𝑥 𝐺16 − 𝐺13


𝐺13 − 𝐺10

𝜆𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦 𝐺22 − 𝐺13

𝜆𝑦 𝐺22 − 𝐺13

𝜆𝑦 𝐺22 − 𝐺13

𝜆𝑦 𝐺22 − 𝐺42𝜆𝑦

𝐺22 − 𝐺42𝜆𝑦

𝐺22 − 𝐺

2𝜆𝑦

𝐺13 − 𝐺4𝜆𝑦



𝜕𝑣

𝜕𝑥 𝐺17 − 𝐴14

𝜆𝑥 𝐺17 − 𝐴112𝜆𝑥

𝐺17 − 𝐺112𝜆𝑥

𝐺17 − 𝐺14


𝐺14 − 𝐺11

𝜆𝑥 𝐺17 − 𝐺14


𝐺14 − 𝐺11

𝜆𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦 𝐺23 − 𝐺14

𝜆𝑦 𝐺23 − 𝐺14

𝜆𝑦 𝐺23 − 𝐺14

𝜆𝑦 𝐺23 − 𝐺52𝜆𝑦

𝐺23 − 𝐺52𝜆𝑦

𝐺23 − 𝐺52𝜆𝑦




A seguir são definidas as representações em diferenças finitas para as derivadas

de segunda ordem dos deslocamentos que, conforme já informado, são avaliadas apenas

na forma centrada:

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

=1

𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) (5.3. 𝑎)

𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

=1

𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6) (5.3. 𝑏)

𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

=1

4𝜆𝑥𝜆𝑦(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3) (5.3. 𝑐)

5.3 SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO GLOBAL

Cada nó do trecho está associado ao sistema de numeração global da placa

através das seguintes expressões:

𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 = (𝑛𝑛𝑥 − 2)(𝐼 − 1) + 𝑗 (5.4)

𝑁ó 1𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 + 2(𝐼 − 1) (5.5. 𝑎)

59

𝑁ó 2𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 1 + 1 (5.5. 𝑏)

𝑁ó 3𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 1 + 2 (5.5. 𝑐)

𝑁ó 4𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 1 + 𝑛𝑛𝑥 (5.5. 𝑑)

𝑁ó 5𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 4 + 1 (5.5. 𝑒)

𝑁ó 6𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 4 + 2 (5.5. 𝑓)

𝑁ó 7𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 4 + 𝑛𝑛𝑥 (5.5. 𝑔)

𝑁ó 8𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 7 + 1 (5.5. ℎ)

𝑁ó 9𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 7 + 2 (5.5. 𝑖)

onde:

i e j são, respectivamente, a posição vertical e horizontal do trecho de integração;

𝑛𝑛𝑥 = 𝑛𝑥 + 3, é o número de nós na direção x.

Para cada nó estão associados três deslocamentos que se relacionam com o

sistema global através das seguintes expressões:

𝑢𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 3𝑁ó𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 − 2 (5.6. 𝑎)

𝑣𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 3𝑁ó𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 − 1 (5.6. 𝑏)

𝑤𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 3𝑁ó𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 (5.6. 𝑐)

5.4 AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO

A expressão analítica para o trabalho interno, apresentada no capítulo 4 em

função dos esforços internos (equação 4.16), pode ser reescrita em função dos

deslocamentos; para tanto basta substituir na equação (4.16) os esforços internos,

apresentados na equação (4.13), ficando o trabalho interno como apresentado a seguir:

60

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ {[𝐴11

𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐴12𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐴16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵11

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐵12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

𝑟

− 2𝐵16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

] 𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥

) −

− [𝐵11𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐵12𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐵16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷11

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐷12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

− 2𝐷16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

] 𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

)−

+ [𝐴12𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐴22𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐴26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵12

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐵22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

− 2𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

] 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦)−

− [𝐵12𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐵22𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐵26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷12

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐷22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

− 2𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

] 𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

)−

+ [𝐴16𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐴26𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐴66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵16

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

− 2𝐵66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

] [𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥)]−

− 2 [𝐵16𝜕𝑢0𝜕𝑥

+ 𝐵26𝜕𝑣0𝜕𝑦

+ 𝐵66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦

+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷16

𝜕2𝑤0𝜕𝑥2

− 𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2

−

− 2𝐷66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

] 𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦

)}𝑑𝑥𝑑𝑦 (5.7)

Para a avaliação numérica do trabalho virtual interno, sua expressão analítica,

equação (5.7) pode ser definida como o somatório das contribuições de cada um dos

(𝑛𝑥 + 1) × (𝑛𝑦 + 1) trechos de integração, podendo ser escrita como a seguir:

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∑ 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡(𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜)

(𝑛𝑥+1)×(𝑛𝑦+1)

𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜=1

(5.8. 𝑎)

61

Em seguida, utilizando as representações em diferenças finitas da Tabela 5-1 e

a equação (5.3), juntamente com os sistemas de numeração local e global, definem-se as

seguintes expressões:

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∑ ∑∑[𝐶(𝑝, 𝑞, 𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜)]𝐴𝑞𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜𝛿𝐴𝑝𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

27

𝑞=1

27

𝑝=1

(𝑛𝑥+1)×(𝑛𝑦+1)

𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜=1

(5.8. 𝑏)

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∑ ∑ ∑∑[𝐶(𝑝, 𝑞)]𝐴𝑞[(𝑁𝑁𝑥−2)(𝑖−1)+𝑗]𝛿𝐴𝑝[(𝑁𝑁𝑥−2)(𝑖−1)+𝑗]

27

𝑞=1

27

𝑝=1

(𝑛𝑥+1)

𝑗=1

(𝑛𝑦+1)

𝑖=1

(5.8. 𝑐)

onde C representa os coeficientes relacionados às propriedades geométricas e mecânicas

de cada trecho da placa, além da área do trecho de integração 𝜆𝑥𝜆𝑦. Os índices p e q

estão associados ao sistema de numeração local e representam, respectivamente, a

posição de um deslocamento e de uma variação de deslocamento.

Tabela 5-2-Área de cada trecho de integração

Área dos trechos de integração

Tipo 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Área 𝜆𝑥𝜆𝑦

4 𝜆𝑥𝜆𝑦

2 𝜆𝑥𝜆𝑦

4 𝜆𝑥𝜆𝑦

2 𝜆𝑥𝜆𝑦

𝜆𝑥𝜆𝑦

2 𝜆𝑥𝜆𝑦

4 𝜆𝑥𝜆𝑦

2 𝜆𝑥𝜆𝑦

4

Para ilustração apresenta-se a seguir a obtenção dos coeficientes para um

trecho de integração tipo 5. Para tanto toma-se por base a representação em diferenças

finitas energéticas (Tabela 5-1 e Figura 5.3) e o sistema de numeração local.

62

𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = {[𝐴11 (

𝐺16 − 𝐺10

2𝜆𝑥) + 𝐴12 (

𝐺23 − 𝐺5

2𝜆𝑦) + 𝐴16 (

𝐺22 − 𝐺4

2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11

2𝜆𝑥)

−𝐵11

𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −

𝐵12

𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)

−2𝐵164𝜆𝑥𝜆𝑦

(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (𝛿𝐺16 − 𝛿𝐺10

2𝜆𝑥) −

− [𝐵11 (𝐺16 − 𝐺10

2𝜆𝑥) + 𝐵12 (

𝐺23 − 𝐺5

2𝜆𝑦) + 𝐵16 (

𝐺22 − 𝐺4

2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11

2𝜆𝑥)

−𝐷11

𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −

𝐷12

𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)

−2𝐷164𝜆𝑥𝜆𝑦

(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (1

𝜆𝑥2(𝛿𝐺18 − 2𝛿𝐺15 + 𝛿𝐺12))−

+ [𝐴12 (𝐺16 − 𝐺10

2𝜆𝑥) + 𝐴22 (

𝐺23 − 𝐺5

2𝜆𝑦) + 𝐴26 (

𝐺22 − 𝐺4

2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11

2𝜆𝑥)

−𝐵12

𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −

𝐵22

𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)


(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (𝛿𝐺23 − 𝛿𝐺5

2𝜆𝑦)−

− [𝐵12 (𝐺16 − 𝐺10

2𝜆𝑥) + 𝐵22 (

𝐺23 − 𝐺5

2𝜆𝑦) + 𝐵26 (

𝐺22 − 𝐺4

2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11

2𝜆𝑥)

−𝐷12

𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −

𝐷22

𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)


(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)](1

𝜆𝑦2(𝛿𝐺24 − 2𝛿𝐺15 + 𝛿𝐺6))−

+ [𝐴16 (𝐺16 − 𝐺10

2𝜆𝑥) + 𝐴26 (

𝐺23 − 𝐺5

2𝜆𝑦) + 𝐴66 (

𝐺22 − 𝐺4

2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11

2𝜆𝑥)

−𝐵16

𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −

𝐵26

𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)


(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] [𝛿𝐺22 − 𝛿𝐺4

2𝜆𝑦+𝛿𝐺17 − 𝛿𝐺11

2𝜆𝑥]−

− 2 [𝐵16 (𝐺16 − 𝐺10

2𝜆𝑥) + 𝐵26 (

𝐺23 − 𝐺5

2𝜆𝑦) + 𝐵66 (

𝐺22 − 𝐺4

2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11

2𝜆𝑥)

−𝐷16

𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −

𝐷26

𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)−

63


(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (1

4𝜆𝑥𝜆𝑦(𝛿𝐺27 − 𝛿𝐺21 − 𝛿𝐺9

+ 𝛿𝐺3))}𝜆𝑥𝜆𝑦 (5.9)

onde 𝐺𝑖 representa determinado grau de liberdade associado ao trecho de integração,

𝐴𝑖𝑗 , 𝐵𝑖𝑗 𝑒 𝐷𝑖𝑗 representam a rigidez do laminado, e 𝜆𝑥 𝑒 𝜆𝑦 são os comprimentos do

trecho de integração nas direções x e y, respectivamente.

5.5 AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO TRABALHO REALIZADO PELAS

FORÇAS EXTERNAS

A avaliação do trabalho virtual externo também é feita somando-se as

contribuições dos diversos trechos de integração, associados à expressão a seguir:

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∫ 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦)𝛿𝑤0𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐴+ ∫ (��𝑥𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑥𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑥𝑧𝛿𝑤0 −

𝑏

0

��𝑥𝑥𝛿 (𝜕𝑤0

𝜕𝑥))

𝑥=0

𝑥=𝑎

𝑑𝑦 + +∫ (��𝑦𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑦𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑦𝑧𝛿𝑤0 −𝑎

0

−��𝑦𝑦𝛿 (𝜕𝑤0

𝜕𝑦))

𝑦=0

𝑦=𝑏

𝑑𝑥 (5.10)

que pode ser reescrita a partir da discretização da placa e do sistemas de representação

global e local, além das representações em diferenças finitas energéticas, do mesmo

modo que para 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡, obtendo a expressão a seguir, particularizada para os trechos do

tipo 5, tipo 2 e tipo 4 para a representação das cargas de domínio, bordos y=0 e x=0,

respectivamente:

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(5) = 𝑞𝑧𝜆𝑥𝜆𝑦𝛿𝐺15 (5.11a)

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(2) = [��𝑦𝑥𝛿𝐺13 + ��𝑦𝑦𝛿𝐺14 + ��𝑦𝑧𝛿𝐺15 − ��𝑦𝑦𝛿 (𝐺24 − 𝐺62𝜆𝑦

)] 𝜆𝑥 (5.11b)

64

𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(4) = [��𝑥𝑥𝛿𝐺13 + ��𝑥𝑦𝛿𝐺14 + ��𝑥𝑧𝛿𝐺15 − ��𝑥𝑥𝛿 (𝐺18 − 𝐺122𝜆𝑥

)] 𝜆𝑦 (5.11c)

5.6 INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO

As condições de contorno e de canto, que devem ser aplicadas antes da

resolução do sistema linear, são expressas nas Tabela 5-3 e Tabela 5-4,

respectivamente. Observar que os deslocamentos dos nós virtuais que não participam

efetivamente da solução do problema são mantidos com valor nulo.

Tabela 5-3-Condições de contorno do problema

Condições de contorno

x=0 x=La

u=0 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−2 = 0 →

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−2 = 0

𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−2 = 0 →

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−2 = 0

v=0 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−1 =→

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−1 = 0

𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−1 = 0 →

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−1 = 0

w=0 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1] = 0 →

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1] = 0

𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1] = 0 →

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1] = 0

𝝏𝒘𝟎𝝏𝒙

= 𝟎 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+2] − 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)] = 0 →

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+2] − 𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)] = 0

𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥] − 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−2] = 0 →

𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥] − 𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−2] = 0

y=0 y=Lb

u=0 𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−2 = 0 →

𝛿𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−2 = 0

𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−2 = 0 →

𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−2 = 0

v=0 𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−1 = 0 →

𝛿𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−1 = 0

𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−1 = 0 →

𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−1 = 0

w=0 𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] = 0 →

𝛿𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] = 0

𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗] = 0 →

𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗] = 0

𝝏𝒘𝟎𝝏𝒚

= 𝟎 𝐴3[2𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] − 𝐴3[1+𝑗] = 0 →

𝛿𝐴3[2𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] − 𝛿𝐴3[1+𝑗] = 0

𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]

− 𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]

= 0 →

65

𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]

− 𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]

= 0

Tabela 5-4 - Condições de canto

Condições de Canto

Canto (0,0) (0,La)

w=0 𝐴3(𝑁𝑁𝑥+2) = 0 →

𝛿𝐴3(𝑁𝑁𝑥+2) = 0

𝐴3(2𝑁𝑁𝑥−1) = 0 →

𝛿𝐴3(2𝑁𝑁𝑥−1) = 0

Canto (Lb,0) (Lb,La)

w=0 𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−1)+2] = 0 →

𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+2] = 0

𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−1)−1] = 0 →

𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−1)−1] = 0

5.7 FLUXOGRAMA DA SOLUÇÃO INCREMENTAL – ITERATIVA

BASEADA NO MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON REGULAR

Este item descreve de forma sucinta o programa desenvolvido com base na

formulação apresentada anteriormente. Para tal foi elaborado um fluxograma

simplificado para a solução incremental-iterativa, juntamente com alguns comentários a

respeito das principais etapas do processo.

66

Início

Entra com as propriedades

geométricas e mecânicas da

placa (D = 0)

Entra com o carregamento,e

condições de contorno e a

tolerância

Montagem da matriz dos

coeficientes dependentes do

dano [K(Dj)]

Montagem do Vetor de

Cargas [Rj]

Resolução do Sistema

Linear

[K(Dj)]δDeslj=[Rj]

Ocorreu

Dano?

Atualização das variáveis:

휀𝑥, 휀𝑦, 𝛾𝑥𝑦, 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝐷

j=j+1

1

NÃO

SIM

2

A

B

C

67

1

Montagem da matriz dos

coeficientes com o Dano

atualizado [K(Dja)]

Determinação do resíduo

[Rja]

[Rj] - [K(Dja)]=[Rja]

Resolução do Sistema

Linear

[K(Dja)]δDeslja=[Rja]

Deslja=Deslj+δDeslja

Atualização das variáveis:

휀𝑥, 휀𝑦 , 𝛾𝑥𝑦, 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝐷

(|| Deslja-

Deslj||)/||Deslj||≤tole

rância

NÃO

2

Limite de

Desl.

Atingido?

NÃO

FIM

SIM

SIM

D

E

68

BLOCO A – Este bloco compreende a entrada de dados do programa. Neste

momento são inseridas as dimensões da placa, nível de discretização, quantidade de

materiais e propriedades dos mesmos, número de camadas, espessura e material

constituinte de cada camada. Ainda no bloco A, são definidos os tipos de carregamento,

passo de carga, limite máximo de deslocamento, e as condições de contorno do

problema.

BLOCO B – Neste bloco é realizada a análise do problema, com a montagem

da matriz dos coeficientes (que pode ou não ter sido afetada pelo processo de dano) e do

vetor de cargas. Em seguida faz-se a resolução do sistema linear e a atualização dos

resultados de Deformações, Tensões e Dano na camada e trecho estudado.

BLOCO C – Esse bloco é responsável por definir o início ou não da não

linearidade física. Cabe ressaltar que, de acordo com as premissas do modelo de dano,

após o início do dano a não linearidade dar-se-á até o final do processo.

BLOCO D – Nesse bloco ocorre o processo iterativo de convergência. A

matriz dos coeficientes é atualizada em função dos níveis de dano, para que se possa

definir o desequilíbrio entre o trabalho interno e externo, gerado pela liberação de

energia no processo de fissuração e, a partir disto, é resolvido um novo sistema linear

buscando equilibrar o sistema. O processo é repetido até que o resíduo seja

suficientemente pequeno, atendendo a tolerância.

BLOCO E – Este bloco é responsável por definir os critérios para o fim da

análise. O processo será finalizado quando o deslocamento limite definido pelo usuário

for atingido. É importante salientar que esta é a forma do usuário limitar o processo,

porém a finalização do mesmo pode=se dar-se de outras formas, como, por exemplo, a

impossibilidade de resolução do sistema linear ou a divergência no processo iterativo, as

quais caracterizando a impossibilidade de se estabelecer uma condição de equilíbrio,

representando o colapso do elemento.

69

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES

No presente capítulo serão apresentados e simulados alguns casos de lajes sob

flexão, encontrados na literatura, visando confirmar a capacidade do modelo aqui

apresentado de prever o comportamento de tais elementos estruturais. Para tanto a

simulação das lajes será baseada no diagrama carga-deslocamento, e na previsão do

colapso da estrutura.

Antes de se passar para os casos acima referidos cabe informar a metodologia

empregada na obtenção dos cinco parâmetros de dano associados aos concretos

utilizados nas lajes. A partir das características apresentadas para o concreto de ambas

as lajes, foram obtidos diagramas tensão-deformação teóricos (Figura 6.1), utilizando as

equações de dano, com a escolha de valores adequados para os parâmetros 𝐴𝑡, 𝐵𝑡, 𝐴𝑐 e

𝐵𝑐. Para tanto, inicialmente determina-se o parâmetro de deformação 휀𝑑𝑜 a partir da

tensão máxima de tração do concreto (𝑓𝑡), pela aplicação direta da forma uniaxial da Lei

de Hooke. Em seguida, passa-se a geração das curvas teóricas tensão-deformação

buscando-se ajustá-las às curvas experimentais correspondentes (tração uniaxial e

compressão uniaxial), pela manipulação das constantes 𝐴𝑡, 𝐵𝑡, 𝐴𝑐 e 𝐵𝑐.

No caso da tração, as constantes 𝐴𝑡 e 𝐵𝑡 são determinadas de modo a gerar um

diagrama tensão-deformação associado ao comportamento frágil do concreto, sendo 𝑓𝑡 a

tensão máxima observada (onde ocorre 휀𝑑𝑜). Cabe mencionar, nesse ponto, que os

valores adotados para 𝐴𝑡 foram similares aos encontrados por Lemaitre e Mazars (1982)

e Challamel (2010), na modelagem de vigas de concreto armado. No tocante à

compressão, os parâmetros 𝐴𝑐 e 𝐵𝑐 são determinados de forma a se obter a tensão

máxima de compressão do material (𝑓𝑐) associada a uma deformação (de pico) entre 2‰

e 3‰.

Deve ser informado que para os concretos assim modelados não foram

apresentadas as curvas experimentais correspondentes, em razão de não terem sido

determinadas pelos autores dos respectivos experimentos. Todavia, isto não se mostrou

uma dificuldade já que foi levado em consideração apenas o conhecimento já

estabelecido para a forma do diagrama tensão-deformação de concretos convencionais,

conforme descrito na metodologia acima. Este aspecto pode ser destacado como uma

vantagem de se empregar o modelo de dano aqui utilizado na modelagem de lajes.

70

Figura 6.1 - Modelo padrão para o diagrama tensão-deformação à tração uniaxial para o concreto

Cabe registrar ainda, também como um aspecto metodológico, a estratégia

adotada nas análises para inserir as armaduras de aço das lajes na discretização

utilizada. De fato, para todos os casos estudados a armadura foi modelada como uma

camada uniaxial (com módulo de elasticidade longitudinal apenas na direção das

barras), sendo o centro da camada coincidente com o centro geométrico da armadura, e

a espessura da camada foi definida de forma a resultar na área de aço. Nesse ponto deve

ser esclarecido, que embora o programa possibilite a inserção do conceito de camada

compósita, como definido em Jones (1999), este artifício não será utilizado nas análises,

ainda que proporcione resultados equivalentes aos obtidos com a consideração de

camada uniaxial, por apresentar o inconveniente de não fornecer de forma direta, uma

saída tensão-deformação para os materiais constituintes de forma separada, já que nessa

abordagem a camada é compósita.

O nível de discretização do domínio da placa teve por base os resultados da

análise linear obtidos por Lima (2010), que testou as condições de contorno e

carregamentos presentes nos casos de 01 a 03. Baseado nos resultados obtidos no

referido trabalho, adotou-se discretizações iguais ou superiores às de convergência. Para

o Caso 04 a discretização foi definida de forma a possibilitar as condições de

Ten

são

Deformação

εdo

ft

0.2ft

At = 0.8Bt = 10000

71

carregamento, considerando que por questões de programação as cargas devem ser

aplicadas diretamente nos pontos da placa.

Por fim, cabe informar que, como todos os casos estudados apresentam dupla

simetria, os testes foram realizados a partir da modelagem de ¼ de placa, por

possibilitar um menor esforço computacional, o que permitiu uma melhor discretização

das placas.

6.1 CASO 01 – LAJE SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO

UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDO

Foi simulada uma laje simplesmente apoiada ensaiada experimentalmente por

Taylor, Mather e Hayes (1966), a qual possui armaduras com diâmetro de 4,76 mm nas

duas direções, mas com espaçamentos distintos. As características da laje são mostradas

na Figura 6.2, e as propriedades dos materiais utilizados estão listados na Tabela 6-1:

Figura 6.2 - Características geométricas e posicionamento do reforço

FONTE: Jiang e Mirza (1993)

Tabela 6-1 - Propriedades dos materiais utilizados

Concreto Aço

E 32,42 GPa E 206,91 GPa

ν 0,18 fy 375,90 MPa

fC 35,04 MPa

fT 3,60 Mpa

Os parâmetros de dano utilizados para a simulação foram:

𝐴𝑡= 0,80

72

𝐵𝑡 = 10000

휀𝑑𝑜= 0,00011

𝐴𝑐 = 1

𝐵𝑐 = 1600

A partir desses parâmetros foram gerados os dois diagramas tensão-

deformação apresentados a seguir:

Figura 6.3 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração

Figura 6.4 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão

0,0E+00

5,0E+05

1,0E+06

1,5E+06

2,0E+06

2,5E+06

3,0E+06

3,5E+06

4,0E+06

0,0E+00 2,0E-04 4,0E-04 6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03

Ten

são

(P

a)

Deformação

0,0E+00

5,0E+06

1,0E+07

1,5E+07

2,0E+07

2,5E+07

3,0E+07

3,5E+07

4,0E+07

0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02

Ten

são

(P

a)

Deformação

73

Para a modelagem foi utilizada uma discretização da placa em 8 x 8

subdivisões. Além do confronto com o resultado experimental, também foi realizado um

estudo da influência das diferentes formas de avaliação da redução do módulo de

elasticidade transversal durante o processo de fissuração. Para tanto, foram então

experimentadas três situações:

1. A consideração da redução do módulo de elasticidade transversal em

função do dano do concreto, ou seja: 𝐺12 =𝐸1(1−𝐷𝑐)

2(1+𝜐) , onde 𝐸1 = 𝐸𝑐, 𝜐 = 𝜐𝑐 e 𝐷𝑐 =

𝛼𝑡𝐷𝑐𝑡 + 𝛼𝑐𝐷𝑐𝑐;

2. A consideração de que o módulo de elasticidade transversal mantém-se

constante, mesmo após o início do processo de fissuração, e proporcional ao módulo de

elasticidade longitudinal inicial: 𝐺12 =𝐸1

2(1+𝜐) , com 𝐸1 = 𝐸𝑐 e 𝜐 = 𝜐𝑐;

3. A consideração da redução do módulo de elasticidade transversal em

função do dano por tração, ou seja, 𝐺12 =𝐸1(1−𝛼𝑡𝐷𝑐𝑡)

2(1+𝜐) , sendo 𝐸1 = 𝐸𝑐 e 𝜐 = 𝜐𝑐.

O resultado comparativo para o diagrama carga-deslocamento no centro da

placa é apresentado na Figura 6.5.

Figura 6.5 - Carga x deslocamento do ponto central

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50

Carg

a e

quiv

ale

nte

(kN

)

Deslocamento do ponto central (mm)

Experimental

Situação 01

Situação 02

Situação 03

74

A partir do exposto na figura observa-se que o módulo de elasticidade

transversal do concreto exerce uma influência bastante significativa para os problemas

caracterizados por essa condição de contorno. Além disso, percebe-se a que a situação

02 ocasiona uma resposta demasiadamente rígida na modelagem, tornando-a uma opção

inviável para o modelo. Por outro lado, a situação 01 representa bem o início da não

linearidade, porém fornece respostas pouco rígidas e com ruptura anterior a verificada

experimentalmente. Já a situação 03 consegue representar de forma satisfatória o início

da fissuração, mantendo certa proximidade com a curva experimental e boa precisão na

ruptura. Portanto, constata-se que a situação 03 é a melhor alternativa para uma

simulação com bons resultados.

Cabe ressaltar que, do ponto de vista teórico, o ideal seria a adoção de um

modelo específico para a representação dessa variável, como por exemplo, o visto em

Pituba (2010). Porém, considerando que modelos desse tipo necessitam de ensaios

específicos e como o presente trabalho foca na obtenção de um modelo cuja obtenção

dos parâmetros seja a mais simples possível, será aplicado nos demais casos a

consideração da situação 03, ficando desde já como proposta para trabalhos futuros, a

implementação de um modelo específico para tal situação.

Partindo para a avaliação do resultado obtido para a situação 03, nota-se uma

perda de rigidez no início do dano, seguida de uma recuperação, com posterior

estabilização em relação ao resultado experimental. A simulação prosseguiu até o

programa não encontrar mais solução, sendo que o encerramento coincidiu com a

ruptura experimental, o que caracteriza a ausência de uma nova configuração de

equilíbrio.

Uma investigação mais detalhada da ruptura revelou que de acordo com os

resultados apresentados pelo programa, o escoamento da armadura teve início a uma

carga de 83,72 kN, e o colapso da estrutura ocorreu após a ruptura da armadura (ε =

0,01), com uma deformação do concreto da camada mais comprimida no valor de

aproximadamente 2x10-3 (Figura 6.6), o que caracteriza uma ruptura do tipo super

armada para a laje. Portanto, pode-se concluir que os resultados obtidos para o presente

caso foram satisfatórios, tanto do ponto de vista carga-deslocamento quanto da previsão

do colapso.

75

Figura 6.6 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje

Para concluir os estudos do presente caso, foi realizada uma análise da

influência do número de camadas no resultado apresentado pelo programa. Na Figura

6.7 é apresentado o comparativo entre os resultados carga-deslocamento para uma

estratificação da placa em 10, 15, 22 e 36 camadas de concreto.

Pode ser observado na figura que a partir de 15 camadas de concreto não

ocorreram alterações significativas nos resultados. Com base no exposto, compreende-

se que é aceitável admitir espessuras situadas dentre esses intervalos sem alterações

significativas no resultado final das modelagens.

-2,39E-002

-1,89E-002

-1,39E-002

-8,90E-003

-3,90E-003

1,10E-003

6,10E-003

1,11E-002

1,61E-002

2,11E-002

-0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012

Espessura

(m

)

Deformação

Perfil de deformações

aço

76

Figura 6.7 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do elemento

Por fim, é apresentado na Figura 6.8, um comparativo do modelo proposto

utilizando 36 camadas com os resultados apresentados por Jiang e Mirza (1997)

utilizando modelagem em Elementos Finitos com 4 (2 x 2) e 36 (6 x 6) elementos

finitos. Conforme apresentado em 2.5.1 no trabalho de Jiang e Mirza (1997) foi

desenvolvido um modelo combinando o MEF, através de um elemento finito

quadrilátero, com 20 graus de liberdade por elemento, a Teoria Clássica de Flexão de

Placas e um modelo de plasticidade para o comportamento mecânico do concreto. O

comparativo entre os resultados novamente evidencia a eficiência do modelo baseado

no MDFE, tendo em vista que o modelo baseado no MEF e o baseado em MDFE

apresentam convergência para um número próximo de graus de liberdade (245 e 283

graus de liberdade respectivamente).

0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60

Carg

a e

quiv

ale

nte

(kN

)

Deslocamento no centro da placa (mm)

Experimental

10 Camadas

15 camadas

22 camadas

36 camadas

77

Figura 6.8 - Modelo proposto comparado com outros modelos

6.2 CASO 02 – LAJE QUADRADA APOIADA NOS CANTOS, COM

CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA INFERIOR).

Neste exemplo foi simulado o comportamento carga-deslocamento no centro de

uma laje ensaiada experimentalmente por Jofriet e McNeice (1971), com as

características mostradas na Figura 6.9 e Tabela 6-2.

Figura 6.9 - Características geométricas da laje estudada


0

20

40

60

80

100

120

140

0 10 20 30 40 50 60

Carg

a e

quiv

ale

nte

(kN

)

Deslocamento no centro da laje (mm)

Experimental

Jiang e Mirza (1997) 6 x 6

Jiang e Mirza (1997) 2 x 2

Modelo proposto

78

Tabela 6-2 - Propriedades dos materiais constituintes

Concreto Aço

E 28,613 GPa E 201,30 GPa

ν 0,15 fy 345,40 MPa

fC 37,92 MPa

fT 2,90 Mpa e 3,80 Mpa (adotado)

Os parâmetros de Dano utilizados na simulação foram:

𝐴𝑡= 0,80

𝐵𝑡 = 10000

휀𝑑𝑜= 0,000101 (2,90 MPa) e 0,000132 (3,80 MPa)

𝐴𝑐 = 1

𝐵𝑐 = 1550 (2,90 MPa) e 1650 (3,80 MPa)

A adoção desses parâmetros proporciona os diagramas tensão deformação

idealizados e apresentados a seguir para fT de 3,80 MPa:


0,00E+00

5,00E+05

1,00E+06

1,50E+06

2,00E+06

2,50E+06

3,00E+06

3,50E+06

4,00E+06

4,50E+06

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03

Ten

são

(P

a)

Deformação

79


Foi utilizada uma discretização de 14 x 14 subdivisões, para o estudo também

foi realizada a simulação para 10, 15, 22 e 36 camadas (Figura 6.12), observando-se

convergência a partir de 15 camadas. O resultado comparativo para o diagrama carga-

deslocamento no centro da placa é apresentado na Figura 6.13:

Figura 6.12 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do elemento

0,00E+00

5,00E+06

1,00E+07

1,50E+07

2,00E+07

2,50E+07

3,00E+07

3,50E+07

4,00E+07

4,50E+07

0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02

Ten

são

Deformação

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Carg

a a

plic

ada (

kN

)


Experimental

10 camadas

15 camadas

22 camadas

36 camadas

80

Figura 6.13 - Diagrama carga x deslocamento


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Carg

a a

plic

ada (

kN

)


Experimental

Simulação Krätzig e Pöling (2004) (Ft = 2,90 MPa)

Modelo Proposto (Ft = 3,80 MPa)


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Carg

a a

plic

ada (

kN

)


Experimental

Simulação Crisfield (1981) (Ft = 2 MPa)

Simulação Doulah e Kabir (2001) (Ft = 3,80 MPa)

Simulação Krätzig e Pöling (2004) (Ft = 2,90 MPa)

Zhang et al (2007) (Ft = 3,80 Mpa)



81

Observa-se novamente uma perda de rigidez após a danificação, com posterior

recuperação e ruptura coincidente com o observado experimentalmente. Nas Figura 6.14

são apresentados comparativos entre o modelo de 36 camadas com diversos outros

autores que também modelaram a referida laje, demonstrando mais uma vez a eficiência

do modelo. A respeito da ruptura do elemento, conforme mostrado na Figura 6.15,

informa-se que na última condição de equilíbrio o aço encontrava-se em estágio de

escoamento, com deformação na ordem de 6,3 x 10-3, e o concreto com deformação

máxima de 5,7 x 10-3. Portanto, o colapso da estrutura aconteceu após o escoamento do

reforço, caracterizando uma ruptura de laje normalmente armada.

Novamente considera-se o resultado encontrado satisfatório, ressaltando-se a

simplicidade do modelo e a facilidade de obtenção dos parâmetros adotados.


6.3 CASO 03 – PLACA QUADRADA APOIADA NOS CANTOS COM

CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA SUPERIOR

E INFERIOR).

Para esse caso foi simulado o resultado obtido experimentalmente por Duddeck

et. al (1978), que consiste em uma placa apoiada nos cantos, com carregamento pontual

-2,14E-002

-1,64E-002

-1,14E-002

-6,40E-003

-1,40E-003

3,60E-003

8,60E-003

1,36E-002

1,86E-002

-1,00E-002 -5,00E-003 0,00E+000 5,00E-003 1,00E-002 1,50E-002

Espessura

(m

)

Deformação


Aço

82

aplicado no centro da mesma. A Figura 6.16 mostra as dimensões da placa em estudo,

enquanto as propriedades dos materiais são mostradas na Tabela 6-3:

Figura 6.16 - Características da placa em estudo

FONTE: Adaptado de Zhang Bradford e Gilber (2007)


Concreto Aço

E 1.64 × 104 N/mm2 E 2.01 × 105 N/mm2

ν 0,15 (Adotado) fy 670 N/mm2

FC 43 N/mm2

fT 3 N/mm2

A laje ensaiada possui reforço nas duas direções tanto em sua parte inferior

quanto superior, sendo distribuídos da seguinte forma:

Armadura superior na direção x = 2,94 cm²;

Armadura superior na direção y = 1,07 cm²;

Armadura inferior na direção x = 6,05 cm²;

Armadura inferior na direção y = 2,20 cm².

Os parâmetros de Dano utilizados para a simulação foram:

𝐴𝑡= 0,80

Carga pontual

Suporte

Suporte

Suporte

Suporte

83

𝐵𝑡 = 10000

휀𝑑𝑜= 0,000182

𝐴𝑐 = 1

𝐵𝑐 = 1200

A adoção desses parâmetros acarreta nos seguintes diagramas tensão-

deformação:


0,00E+00

5,00E+05

1,00E+06

1,50E+06

2,00E+06

2,50E+06

3,00E+06

3,50E+06

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03

Ten

são

(P

a)

Deformação

84


Nota-se aqui, diferentemente dos casos anteriores, que não foi possível gerar

um diagrama tensão-deformação à compressão do concreto que associa à resistência

máxima uma deformação de pico na faixa de 2‰ a 3‰. Isto é explicado pelas equações

(3.11) de Mazars, que não conseguem representar a relação entre módulo de elasticidade

e resistência à compressão informada pelos autores, por tratar-se de uma relação não

usual.

Quanto à discretização da placa foram adotadas 11 x 11 subdivisões e a seção

foi modelada como um laminado de 34 camadas. O resultado comparativo carga-

deslocamento no centro da placa é apresentado na Figura 6.19:

0,00E+00

5,00E+06

1,00E+07

1,50E+07

2,00E+07

2,50E+07

3,00E+07

3,50E+07

0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02

Ten

são

(P

a)

Deformação

85


Observa-se a perda de rigidez após a fissuração já presente nas outras análises,

porém para o caso em questão, nota-se uma maior dificuldade em acompanhar a

trajetória da curva experimental. Tal situação pode ser explicada, provavelmente, pela

dificuldade do modelo de Mazars em representar a curva tensão-deformação do

concreto à compressão. Porém, ressalta-se que mesmo assim o modelo conseguiu

determinar com razoável precisão a carga e o deslocamento associados à ruptura.

De acordo com os resultados apresentados pelo programa, no momento da

ruptura o ponto mais comprimido apresentava deformações em torno 9,3 x 10-3 na

direção “x” e 13 x 10-3 na direção “y”, não fornecendo praticamente mais nenhuma

rigidez ao sistema, que consistia basicamente no equilíbrio das armaduras superiores e

inferiores. O colapso então ocorreu, após a ruptura da armadura secundária inferior

(direção y), sendo que as demais armaduras já se encontravam em regime de

escoamento. Esse resultado justifica a boa precisão na previsão de colapso da estrutura,

mesmo não havendo uma adequada representação do comportamento do concreto, tendo

em vista que, para a presente análise, o colapso está mais relacionado com o

comportamento do reforço, do que necessariamente com o concreto.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Carg

a (

kN

)

Deslocamento central (cm)

Experimental

Modelo Proposto

86

6.4 CASO 04 – LAJE EM FLEXÃO DE QUATRO PONTOS

Para este item foi simulada uma laje ensaiada experimentalmente por Jain e

Kennedy (1974). As características geométricas da laje estão apresentadas na Figura

6.20, e as propriedades dos materiais constituintes na Tabela 6-4. A laje possui

espessura de 3,8 cm com reforço apenas em sua parte inferior na direção longitudinal,

com relação entre área de aço e área total de 0,00716.

Figura 6.20 - Características geométricas da placa em estudo

FONTE: Crisfield (1982)


Concreto Aço

E 28,96 GPa E 200 GPa

ν 0,15 (Adotado) fy 211 MPa

fC 31,6 MPa

fT 2 MPa

Os parâmetros de Dano utilizados para a simulação foram:

𝐴𝑡= 0,80

𝐵𝑡 = 10000

휀𝑑𝑜= 0,000069

𝐴𝑐 = 1

𝐵𝑐 = 1980

A adoção desses parâmetros acarretou os diagramas tensão-deformação

idealizados apresentados a seguir:

87



Para o problema foi adotada uma discretização de 10 x 14 subdivisões, com a

seção formada por 21 camadas. O resultado carga-deslocamento no centro da placa está

apresentado na Figura 6.23:

0,00E+00

5,00E+05

1,00E+06

1,50E+06

2,00E+06

2,50E+06

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03

Ten

são

(P

a)

Deformação

-5,00E+06

0,00E+00

5,00E+06

1,00E+07

1,50E+07

2,00E+07

2,50E+07

3,00E+07

3,50E+07

0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02

Ten

são

(P

a)

Deformação

88


O resultado segue a tendência dos demais, com perda de rigidez após o início

da fissuração e posterior ganho de rigidez. O colapso da estrutura ocorre após o

escoamento do aço, e com o concreto apresentando deformações da ordem de 4,5 x 10-4

, ainda em regime linear, conforme destacado na Figura 6.24, caracterizando uma

ruptura padrão para lajes pouco armadas.

O resultado apresenta boa previsão de colapso da estrutura, e embora não

apresente igual precisão ao representar a trajetória de equilíbrio experimental, apresenta

boa correlação com o resultado computacional encontrado por Crisfield (1982).

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Carg

a (

kN

/m)

Deslocamento central (mm)

Experimental

Modelo proposto

Simulação Crisfield

89


-1,81E-002

-1,31E-002

-8,10E-003

-3,10E-003

1,90E-003

6,90E-003

1,19E-002

1,69E-002

-1,00E-003 -5,00E-004 0,00E+000 5,00E-004 1,00E-003 1,50E-003

Espessura

(m

)

Deformações


aço

90

7 CONCLUSÕES

O presente trabalho teve como objetivo principal apresentar um modelo de

flexão de placas de concreto armado baseado na Teoria Clássica de Laminados e no

modelo de dano isotrópico de Mazars (1986), e conseqüentemente, verificar sua

capacidade de representar de forma satisfatória a trajetória de equilíbrio de lajes sob

flexão, a partir do confronto com resultados experimentais presentes na literatura. Nesse

sentido, foram apresentadas formulações para o modelo de dano utilizado e

posteriormente para o problema de placas levando em consideração a resposta não

linear dos materiais (concreto e aço) em um modelo de placa laminada baseado na teoria

Clássica de Laminados, tendo por base a aplicação do princípio dos trabalhos virtuais.

Posteriormente foi apresentado o tratamento numérico do problema, realizado através

do MDFE, e o fluxograma do processo incremental-iterativo utilizado. Com base no

tratamento anteriormente mencionado, foi desenvolvido um programa em linguagem

Fortran, o qual foi em seguida utilizado na simulação de vários casos encontrados na

literatura, dentre os quais foram escolhidos quatro casos de ensaios experimentais de

lajes sob flexão, sendo os principais resultados apresentados aqui de forma sucinta à

seguir.

O primeiro caso abordou uma laje apoiada nos quatro bordos e com

carregamento uniformemente distribuído. Para este exemplo foi estudada a influência da

forma de correlacionar a redução do módulo de elasticidade transversal G com o dano

de Mazars, este associado às deformações extensionais. Conforme os resultados

apontaram, concluiu-se que seria mais conveniente considerar que a redução do módulo

de elasticidade transversal está associada ao dano ocasionado por tração (Dct), com a

ressalva de que o ideal seria a consideração de um modelo específico para esta

grandeza. Com esta conclusão em mente, partiu-se para o confronto com o resultado

experimental, e neste contexto observou-se uma boa previsão da trajetória de equilíbrio

e da ruptura do elemento estrutural. Por fim foi realizada a verificação da influência da

quantidade de camadas na resposta, ficando constatado que a partir de 15 camadas não

se observa mudança significativa na resposta, sendo este, portando um bom número

para a discretização vertical do elemento estrutural.

91

O segundo caso estudado consistiu em uma laje apoiada nos quatro cantos com

carregamento pontual aplicado no centro. Para a modelagem desse caso e de todos os

demais, foram aplicadas as considerações verificadas no exemplo anterior para o G e

para a discretização das camadas. Os resultados apresentados constataram mais uma vez

a eficiência do modelo em descrever a trajetória de equilíbrio e a ruptura do elemento.

O terceiro caso estudado foi similar ao caso anterior no que se refere às

condições de contorno e carregamento, porém com a diferença de apresentar reforço

inferior e superior. Devido à relação não usual entre o módulo de elasticidade e a

resistência de pico à compressão do concreto apresentada pelos autores do ensaio

experimental, não foi possível criar uma curva teórica para o diagrama de compressão

uniaxial que compreendesse a tensão de pico especificada. No entanto, a simulação

apresentou bons resultados, ainda que previsão da trajetória de equilíbrio tenha sido

menos precisa que a previsão de ruptura do sistema estrutural.

No último exemplo foi simulada uma laje sobre flexão de quatro pontos,

sendo os resultados obtidos também satisfatórios. De fato, a ruptura foi prevista com

boa precisão, enquanto a trajetória de equilíbrio seguiu de forma razoável o apresentado

experimentalmente. Porém, esta última se assemelhou bastante a determinada por

Crisfield (1982), este utilizando um outro modelo de comportamento em sua simulação.

A partir do conjunto de resultados acima, pode-se concluir que os objetivos do

presente trabalho foram atendidos, pois ficou evidenciado que o modelo consegue

prever de forma satisfatória o comportamento de lajes de concreto armado sob flexão,

caracterizando assim sua potencialidade, destacando-se ainda a vantagem desse modelo

requerer um número reduzido de parâmetros experimentais e a relativa facilidade de

obtenção dos mesmos.

Por fim apresentam-se algumas sugestões para a continuação do presente

estudo:

Simulação do comportamento de placas reforçadas por outros tipos de

fibras longas;

Aplicação do dano isotrópico de Mazars a uma formulação de placas

que considere o efeito das deformações por cisalhamento;

92

Inserir um modelo específico para a redução do módulo de elasticidade

transversal durante o processo de fissuração;

Implementar à não linearidade geométrica no campo de deslocamentos;

Incorporar modelos de dano ortotrópicos ou anisotrópicos, e compará-

los com os resultados obtidos pelo modelo isotrópico aqui apresentado.

93

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