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Um estudo sobre o Problema deAlocação

Henrique Carvalho de Almeida Soares

Um estudo sobre o Problema de Alocação

Henrique Carvalho de Almeida Soares

Orientador: Prof. Dr. Luis Augusto Angelotti Meira

São José dos Campos – SPDezembro, 2011

Aos meus pais.

Agradecimentos

Dedico este trabalho à minha família e amigos, que me apoiaram durante toda a graduação.Agradeço a meus colegas de universidade e professores, que me auxiliaram na jornada de apren-dizado.

Resumo

ESte trabalho contém um estudo sobre o Problema de Alocação,bem como alguns métodos para sua resolução, em várias instân-cias do problema. Uma destas é a instância de associação de pro-

fessores à materias em uma universidade brasileira (Universidade Fed-eral de São Paulo, campus São José dos Campos). São abordadas áreasespecíficas e informações básicas relacionadas ao problema em questão,como Programação Inteira, Modelagem Matemática, Branch and Bound,Simulated Annealing e outros métodos de solução. São apresentadas,também, as soluções obtidas e suas avaliações.

Palavras-chave: Problema de Alocação, Otimização Combinatória, alo-cação professor-matéria, Branch and Bound, Simulated Annealing.

i

Abstract

THis work contains a study about the Assignment Problem and somemethods for solving it, applying these concepts to various in-stances of the problem. A good example is the association of

teacher-subjects on a brazillian university (Federal University of Sao Paulo,campus São José dos Campos). In this work, specific areas and basicinformation related and pertinent to the problem in question will be dis-cussed, such as Integer Programming, mathemathic modelling, Branchand Bound, Simulated Annealing and other solution methods. The ob-tained solutions and its evaluations will also be shown.

Keywords: Assignment Problem, Combinatorial Optimization, teacher-subjectdesignation, Branch and Bound, Simulated Annealing.

iii

Sumário

Resumo i

Abstract iii

1 Introdução 11.1 Problema de Alocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Metodologia 52.1 Plano de Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Atividades e Cronograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Problema de Alocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Modelagem do Problema de Alocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Programação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Programação Inteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Métodos de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.1 Força Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Branch and Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 Heurísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.4 Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Implementação 173.1 Armazenamento de associações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Força Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Branch and Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Algoritmo Guloso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Resultados Computacionais 274.1 Métodos exatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

v

4.2 Metaheurística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Otimizações e Comparações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Instância de alocação professor-matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Conclusão 455.1 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Referências Bibliográficas 49

A Apêndice 53A.1 Código Fonte do Força Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.2 Código Fonte do Branch and Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.3 Código Fonte do Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A.4 Código Fonte do Algoritmo Guloso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

vi

CAPÍTULO

1Introdução

Neste capítulo apresentaremos uma definição informal do Problema de Alocação e as moti-vações para resolvê-lo.

1.1 Problema de Alocação

Com a evolução do conhecimento e tecnologia humanos, as atividades que devemos realizarem nossos trabalhos vêm se tornando cada vez mais complexas e mais numerosas, o que levaà necessidade de maior eficiência em soluções e decisões, tanto em tempo utilizado, quantoem qualidade. Há ainda a questão de que várias destas atividades envolvem um número devariáveis e restrições que impossibilitam que uma pessoa as avalie completamente e sem auxíliocomputacional. Este tipo de problema é encontrado com frequência nas mais diversas áreas,como por exemplo, na administração de uma empresa ou de uma escola. Alguns desses casospertencem à classe de problemas da área de Otimização Combinatória, classe à qual o Problemade Alocação pertence.

O Problema de Alocação é, portanto, encontrado com certa frequência no mundo real, pos-suindo aplicação prática em várias áreas do conhecimento humano. Porém, sua generalizaçãoé um problema que se enquadra na categoria dos problemas NP-Difíceis, ou seja, é difícil dese encontrar uma solução ótima para o mesmo em tempo hábil (que varia conforme o tamanho

1

2 1.2. Objetivos

do problema em questão, podendo ser uma questão de minutos, horas, dias e até semanas) emproblemas de larga escala.

Este tipo de problema (que pode ser nomeado também como designação, matching, em-parelhamento, dentre outros nomes) constitui uma parte importante da Ciência da Computaçãoe Matemática, com aplicação prática direta. Em um problema deste tipo, tem-se dois conjun-tos (agentes-tarefas, trabalhadores-empregos, entre outros exemplos) e deve-se encontrar umafunção que ligue elementos destes dois conjuntos. Podem haver (e na maioria dos casos há)restrições e requisitos para a ligação de um par de elementos, constituindo um custo para a des-ignação. E o problema está em encontrar a função que minimiza o custo somado de todas asalocações, respeitando as restrições existentes. O Problema de Alocação se encaixa exatamentenesta descrição. Uma definição concisa e geral deste, dada segundo (Dasgupta et al., 2008) é:

“Existe um número de agentes e um número de tarefas. Podemos alocar qualqueragente a qualquer uma das tarefas, porém, cada alocação tem um custo que podevariar dependendo da tarefa e agente específicos. É necessário que todas as tarefassejam feitas, designando exatamente um agente para cada tarefa de modo que ocusto total (a soma) de todas as alocações seja minimizado.”

Neste trabalho, será tratado o estudo geral do Problema de Alocação, aplicando-o a váriasinstâncias geradas aleatoriamente. Uma outra instância a ser estudada é um problema ocorrenteno Campus São José dos Campos, da Universidade Federal de São Paulo: a dificuldade deassociar os pares professor-matéria, definindo qual professor ministrará cada disciplina. Cadaprofessor possui uma preferência e formação, e é necessário que cada um assuma uma disciplinade modo que o maior número de docentes possível estejam satisfeitos, e a designação seja feitade forma coerente em relação às especialidades de cada professor.

1.2 Objetivos

Neste trabalho são estudadas áreas como Otimização Combinatória e Programação Linear In-teira, focando principalmente no Problema de Alocação. Com isto são inclusos também estudosde modelagem matemática e métodos de resolução utilizados na área. Pode-se, posteriormente,buscar uma solução ainda mais eficiente para a instância escolhida, incluindo o estudo de prob-lemas similares ao Problema de Alocação, como, por exemplo, o Problema do Transporte, alémde métodos e heurísticas de resolução mais elaborados.

O objetivo de avaliar métodos de resolução aplicados ao Problema de Alocação utilizandoalgumas instâncias geradas aleatoriamente. No caso da instância particular do problema de

Capítulo 1. Introdução 3

designação professor-disciplina na Unifesp, busca-se encontrar uma solução viável para de-terminar e designar quais professores ministrarão cada disciplina (no Campus São José dosCampos, da Universidade Federal de São Paulo). Espera-se que sejam geradas alocaçõesprofessor-disciplina respeitando os requisitos de modo que o método possa ser aproveitadodentro da universidade, caso seja assim desejado.

1.3 Revisão Bibliográfica

O Problema de Alocação é um problema já bastante conhecido no meio científico, principal-mente para profissionais da área de Matemática e Computação. Isto é comprovado pela presençade não somente artigos, mas seções destinadas ao problema em livros (até mesmo destinadosa alunos de graduação). Alguns dos livros que abordam este problema são as referências uti-lizadas neste trabalho: (Goldbarg e Luna, 2005), (Wolsey e Nemhauser, 1999), (Wolsey, 1998),(Beasley, 1996), (Fletcher, 1987), (Bazaraa et al., 2009), (Kolman e Beck, 1995), (Vanderbei,2008) e (Murthy, 2005). Grande parte destes livros apresenta exemplos e métodos de resoluçãorecomendados para o problema, e aborda também tópicos úteis à este trabalho como Progra-mação Linear, Programação Inteira, Modelagem Matemática, dentre outros.

Há também um número grande de artigos que apresentam ou avaliam métodos de resoluçãopara instâncias do Problema de Alocação. Um dos artigos mais importantes é (Land e Doig,1960), no qual foi proposto pela primeira vez o método Branch and Bound. Em (Dasguptaet al., 2008), são comparados alguns algoritmos evolucionistas multiobjetivo (com inicializa-ção informada) e o algoritmo Kuhn-Munkres na resolução de algumas instâncias grandes doProblema de Alocação.

Outros artigos similares são (Costa et al., 2005), que desenvolve um modelo de Progra-mação Linear por metas (goal programming), aplicando-o ao planejamento de produção emmineração, com objetivo de determinar o ritmo de lavra de cada frente, considerado a alocaçãodos equipamentos de carga e transporte, de modo a fornecer à usina de beneficiamento umaalimentação adequada.

O artigo (Goldbarg e Goldbarg, 2002) utiliza uma abordagem denominada de TransgenéticaComputacional. Conforme o próprio artigo explica: “A metáfora baseia-se na utilização deinformações meméticas e no emprego dos fluxos extra e intracelulares para planejar e executarmanipulações genéticas no contexto dos algoritmos evolucionários. A pesquisa desenvolve duaslinhas de algoritmos: a primeira utilizando-se de ambos os fluxos para informar o processo debusca evolucionária; a segunda utiliza-se exclusivamente da manipulação intracelular”. Esta

4 1.3. Revisão Bibliográfica

abordagem é aplicada ao Problema de Alocação Quadrático, e os resultados computacionaissão apresentados no artigo.

No artigo (Kuhn, 1955) é mostrado que idéias presentes no trabalho de dois matemáticoshúngaros podem ser exploradas para se obter um método diferente para resolver o Problemade Alocação. Este método ficou posteriormente conhecido como Kuhn-Munkres ou AlgoritmoHúngaro.

No trabalho (Burkard, 2002) são estudados alguns desenvolvimentos nos campos de em-parelhamentos de grafos bipartidos, dos problemas designados no trabalho como “linear sumassignment and bottleneck assignment problems” e suas aplicações, o Problema de AlocaçãoMultidimensional e o Problema de Alocação Quadrático. Em particular, são vistos os limitesinferiores, casos especiais e resultados assintóticos, e os problemas de Alocação Biquadrático ede Alocação de Comunicação.

O foco da pesquisa nesta área está em obter algoritmos mais eficientes e soluções parainstâncias cada vez maiores e mais complexas, que incluem variações do Problema de Alocação.

CAPÍTULO

2Metodologia

2.1 Plano de Trabalho

Primeiramente, será conduzida a busca por instâncias do Problema de Alocação em repositóriose bancos de dados relacionados à área de Otimização Combinatória. Baseado nos estudos an-teriores, será feito modelamento matemático do problema específico (o caso da Unifesp) e aimplementação dos métodos de resolução (Força Bruta, Branch and Bound e Simulated Anneal-ing). Estes métodos serão utilizados para resolver tanto as instâncias geradas aleatoriamente,quanto o caso da Unifesp. Há várias informações sobre métodos de solução mais recomendadosem livros e artigos científicos, como (Goldbarg e Luna, 2005), (Wolsey e Nemhauser, 1999),(Fletcher, 1987), (Beasley, 1996) e (Dasgupta et al., 2008).

No caso da universidade, utilizaremos os parâmetros já fornecidos (um arquivo com aspreferências de cada professor em relação à cada matéria, utilizado para a designação em umsemestre da Universidade) para modelar a função de custo e verificar a necessidade de adap-tações. Esta "avaliação de afinidade", que define a satisfação do docente ao ministrar cadamatéria será um bom indicador de custo, já que, ao minimizar este custo, obtemos uma asso-ciação que aumenta a satisfação dos professores em relação às designações. Outro parâmetroque pode ser utilizado é uma avaliação, feita pelo próprio professor, referente a cada matéria,especificando (em forma de notas, por exemplo) a proximidade da matéria à sua área de atuação.

5

6 2.2. Problema de Alocação

Finalmente, ao obter as soluções utilizando os métodos citados anteriormente, serão avali-ados os resultados, focando principalmente em critérios como qualidade de solução (o menorcusto total) e o custo computacional, ou seja, a rapidez com que se obtém a solução para ainstância aplicada.

2.1.1 Atividades e Cronograma

As atividades propostas neste Trabalho de Conclusão de Curso foram, de forma geral:

• Modelagem do Problema de Alocação;

• Modelagem do problema de alocação professor-disciplina;

• Implementação dos métodos escolhidos;

• Análise dos resultados obtidos;

• Elaboração do texto (monografia);

O cronograma de atividades segue representado na Tabela 2.1.

2011

Atividades Abr

Mai

Jun

Jul

Ago

Set

Out

Nov

Dez

1) Revisão bibliográfica2) Elaboração do texto3) Modelagem do problema específico4) Implementação de métodos5) Geração das instâncias6) Execução dos softwares para obter as soluções7) Avaliação de resultados e conclusão8) Revisões finais

Tabela 2.1: Cronograma apresentado ao final do TCC1

2.2 Problema de Alocação

Nesta seção será apresentada uma definição formal do Problema de Alocação.

Capítulo 2. Metodologia 7

O Problema de Alocação (ou Problema de Designação) é um caso especial do Problema deTransporte. Pode ser entendido como “o problema de alocar n células de produção a n tarefas.Cada uma das células é capaz de atender à tarefa segundo um custo cij peculiar a cada umadas n células”, segundo descrito em (Goldbarg e Luna, 2005). O objetivo é de encontrar umaassociação tal que a soma dos custos cij adotados seja minimizada, respeitando as restrições.Assumindo que o conjunto de células de produção seja o conjunto A, e que o conjunto dastarefas seja o conjunto T, uma definição e sua modelagem matemática para o problema são:

Dados dois conjuntos, A e T, de tamanho igual, com uma função custo c : A ! T " R,achar uma função f : A " T tal que o custo seja mínimo. Com isto, a função buscada pode serdefinida por c(i, f(i)), onde i é um agente em A, e f(i) é a função f associando i a uma tarefaem T .

A função objetivo é:

!

i!A

c(i, f(i)) (2.1)

É possível criar uma variável xij da seguinte maneira:

xij

"1 se f(i) = j

0 caso contrário

Neste caso, a função objetivo é definida da seguinte maneira:

min!

i!A

!

j!T

c(i, j)xij (2.2)

Para garantir que um elemento de A seja associado a exatamente um elemento em T , temos:

!

j!T

xij = 1 #i $ A (2.3)

Para garantir que um elemento de T esteja associado a exatamente um elemento em A,temos:

8 2.2. Problema de Alocação

!

i!A

xij = 1 #j $ T (2.4)

Além disso, a variável xij deve ser binária , o que nos leva à restrição:

xij $ {0, 1}, i $ A, j $ T (2.5)

xij assume o valor 1 quando i foi associado a j, e 0 caso contrário.

A formulação completa, portanto, é:

min!

i!A

!

j!T

c(i, j)xij (2.6)

!

i!A

xij = 1 #j $ T (2.7)

!

j!T

xij = 1 #i $ A (2.8)

xij $ {0, 1}, i $ A, j $ T (2.9)

Pode-se tratar este problema com pequenas variações, como atribuir no máximo K tarefasa cada agente. Neste caso, haveria a restrição:

!

j!T

xij % K, #i $ A

Porém, na variação proposta acima, define-se o Problema de Transporte, o qual permitemais de uma tarefa designada a uma mesma célula de produção. O Problema de Alocaçãosó nos permite a relação de um para um nos conjuntos, ou seja, um elemento do conjunto A

se associa somente a um elemento do conjunto T . Esta abordagem pode ser adaptada parao Problema de Alocação: Suponha a instância da associação professor-disciplina, e suponhatambém que é necessário ou possível que um professor ministre duas disciplinas. Podemosutilizar dois elementos em A que representem o professor em questão. Assim, elimina-se anecessidade de uma generalização para o Problema de Transporte. Nesta variante, entretanto, énecessário fixar de antemão quais professores seriam duplicados, em oposição ao Problema doTransporte, que automatiza esta decisão em tempo de execução.


É importante ter em mente que, neste problema, o domínio das soluções possui tamanho n!,ou seja, possui n! candidatos a solução, onde n é o tamanho dos conjuntos A e T , e, portanto, onúmero de agentes e tarefas que a instância possui.

2.3 Modelagem do Problema de Alocação

Na modelagem anteriormente apresentada, tem-se somente uma variável: xij . Ela é definidacomo uma variável binária, e portanto, é uma variável inteira. O custo c(i, j) é um dado fixoespecífico de um par ij da instância do problema. A partir destas informações, o Problema deAlocação pode ser classificado como um problema de Programação Linear Inteira (ou somenteProgramação Inteira), como apresentado a seguir.

Um problema de otimização pertence à classe de problemas de Programação Linear (PL)caso a sua função objetivo e suas restrições sejam todas lineares, como em (Goldbarg e Luna,2005). Pela mesma referência, se um problema possui variáveis que só assumem valores no con-junto Z (dos inteiros), este problema pertence à uma subclasse da Programação Linear, chamadade Programação Inteira ou Programação Linear Inteira. Este tipo de problema é consideradoNP-difícil. No problema em estudo, tem-se um caso particular no qual a variável é binária,assumindo os valores 0 ou 1, denotando um caso especial da Programação Linear Inteira.

A seguir são detalhados os conceitos de Programação Linear e Programação Inteira.

2.3.1 Programação Linear

Para um sistema poder ser traduzido em um modelo de Programação Linear, ele deve possuiras características a seguir, apresentadas em (Goldbarg e Luna, 2005):

• Linearidade: A relação entre as funções e restrições deve ser linear. Pode também serchamada de proporcionalidade, como explicado em (Goldbarg e Luna, 2005): “a quanti-dade de recurso consumido por uma dada atividade deve ser proporcional ao nível dessaatividade na solução final do problema. Além disso, o custo de cada atividade é propor-cional ao nível de operação da atividade”.

• Não Negatividade: “Deve ser sempre possível desenvolver dada atividade em qualquernível não negativo e qualquer proporção de um dado recurso deve sempre poder ser uti-lizado”(Goldbarg e Luna, 2005).

• Aditividade: Propriedade na qual o custo total é igual a soma das partes, ou seja, dasparcelas de cada atividade, exemplificado como f(x+ y) = f(x) + f(y)

10 2.3. Modelagem do Problema de Alocação

• Separabilidade: É possível identificar o custo específico de cada atividade;

Abaixo mostraremos que o Problema de Alocação respeita estas quatro propriedades:

• Linearidade: Neste quesito, o Problema de Alocação claramente se encaixa, pois a re-lação entre a função objetivo e o custo é linear, de modo que, quanto maiores os custosdas associações, maior será o resultado da expressão da função objetivo.

• Não Negatividade: Nas restrições não há possibilidade da variável xij assumir valoresnegativos. O custo, apesar de também ser positivo na grande maioria das instâncias, nãoinfluencia aqui, pois não é uma variável do problema, e sim, um valor fixo já determinadopara a instância específica.

• Aditividade: O problema se encaixa aqui. A soma de todos os custos equivale à soma decada custo individual (para uma determinada alocação).

• Separabilidade: No Problema de Alocação, este custo é claro e é uma função necessáriapara a resolução do problema.

Chega-se à conclusão que o Problema de Alocação se encaixa nas restrições, e pertence aoconjunto dos problemas de Programação Linear. Isto facilita a resolução, pois os algoritmospara o modelo de Programação Linear possuem grande eficiência e simplicidade de implemen-tação. Porém, como já apresentado na Seção 2.3, o Problema de Alocação pertence, na verdade,à um subconjunto (ou especialização) do conjunto de problemas de Programação Linear, poisele respeita também os requisitos da Programação Inteira, tornando-se um problema de Progra-mação Linear Inteira (ou somente Programação Inteira).

2.3.2 Programação Inteira

Como mencionado no início deste capítulo, a classe de problemas de Programação Inteira éuma subclasse da Programação Linear, na qual as variáveis do problema só assumem valoresem Z, ou seja, valores inteiros.

(Wolsey e Nemhauser, 1999) apresentam uma boa definição de Programação Inteira:

“Suponha que temos o seguinte programa linear:

max cx : Ax % b, x $ Z"+


onde:

A é uma matriz m por n;

c é um vetor linha n-dimensional;

b é um vetor coluna m-dimensional;

e x é um vetor coluna n-dimensional de variáveis ou valores desconhecidos;

Se todas as variáveis são inteiras, tem-se um Programa Inteiro, que pode ser escritocomo:

max cx

Ax % b

x & 0

x $ Z”

Na prática isso significa que todas as variáveis não podem possuir valores contínuos e estare-mos lidando somente com variáveis discretas.

2.4 Métodos de Solução

Nesta seção são apresentadas as definições e características dos métodos de resolução aborda-dos.

2.4.1 Força Bruta

Algoritmos de força bruta são um tipo de método resolução que aborda todas as possibilidadesde combinações e valores possíveis (ou seja, de modo exaustivo) para a resolução do problema,ou seja, para que se determine a solução ótima. Como fica claro por esta definição, algoritmosdeste tipo têm um custo computacional alto, e demoram para apresentar a solução do problema,mesmo para instâncias pequenas. O custo computacional é da ordem de O(n!) (Cormen et al.,2009).

No âmbito do Problema de Alocação, um algoritmo força bruta consistiria em testar todas aspossibilidades possíveis de combinações para a variável xij , para todos os elementos i e todosos elementos j de seus respectivos conjuntos. Uma abordagem é utilizar uma matriz n ! n,

12 2.4. Métodos de Solução

onde n é o número de elementos em ambos os conjuntos do problema e as linhas representamos elementos específicos i e colunas representam os elementos j (ou vice-versa). A idéia é dese ter o valor 1 na célula da matriz (i; j) se houver a associação do elemento i ao elemento j,e zero caso contrário. Deve-se restringir o problema determinando que a soma de cada linhaseja 1, assim como a soma de cada coluna seja 1, ou seja, cada elemento i deve estar associadoa somente um elemento j, e vice-versa. Neste caso, após obter uma possibilidade, deve-secalcular o custo total da função, e compará-lo aos custos já obtidos. Caso este novo custo sejamenor, guarda-se esta permutação como a melhor solução até o momento, e o seu custo comoo menor até o momento. Com isto, ao final do problema, este menor custo é realmente o menorcusto possível, e a solução é a ótima.

elementos j1 j2 j3i1 1 0 0i2 0 1 0i3 0 0 1

Tabela 2.2: Exemplo de uma matriz para n = 3

2.4.2 Branch and Bound

O Branch and Bound, proposto pela primeira vez por (Land e Doig, 1960), é um algoritmobastante utilizado para encontrar a solução ótima de vários problemas de Otimização Com-binatória, principalmente de problemas de Programação Linear e Programação Inteira. Estemétodo utiliza uma estratégia de “dividir para conquistar”. Em oposição à metodos de forçabruta, o Branch and Bound não necessita explorar efetivamente todo o espaço de soluções, uti-lizando uma abordagem que descarta grandes quantidades de soluções ineficientes ao utilizarlimites estimados. Este método garante que se encontre a solução ótima, mas pode porven-tura demorar um tempo muito grande, mesmo para instâncias relativamente pequenas, já que oProblema de Alocação cresce fatorialmente.

Um algoritmo deste tipo possui dois passos. No primeiro, o branching, é um processo departicionamento do espaço de soluções. Se o espaço de soluções é S, este processo de divisãoretornará dois ou mais conjuntos disjuntos S1, S2, . . . , Sn, cuja união cobre S. Esse processoeventualmente gera uma árvore, onde o nó raiz representa o problema completo com o espaçoS e os nós abaixo dele representam subconjuntos de S.

O segundo passo é o bounding, que consiste em estimar os limites superior e inferior parao valor mínimo (caso a função objetivo seja minimizar) ou máximo (caso a função seja de


maximizar), dado um subconjunto de S. Com estes limites, é possível eliminar subespaços deS que possuam soluções fracas. A comparação é feita da seguinte maneira: se o problema éde minimização, por exemplo, e o limite inferior para um nó da árvore é maior que o limitesuperior de um outro nó, o primeiro pode ser descartado da busca. O inverso ocorre caso sejaum problema de maximização, ou seja, elimina-se o nó que possui limite superior menor que olimite inferior de outro nó.

Ao eliminar os nós não desejados, aplica-se novamente o branching nos subconjuntos restantes,que são considerados subproblemas do problema inicial, que em seguida passam novamentepelo bounding. Esse processo se repete de modo que são obtidos subconjuntos cada vez menores,até que seja encontrada a solução desejada.

Existem variantes do algoritmo que abordam maneiras diferentes de se resolver os passosnecessários, como o modo formação da árvore (ou seja, como dividir o espaço de soluções eencontrar subconjuntos) e modo de percorrê-la, e também técnicas diferentes de estimativa doslimites.

2.4.3 Heurísticas

As heurísticas (ou modelos heurísticos) não garantem que seja encontrado o ótimo. Geralmenteencontram soluções próximas à ótima, mas algumas vezes, dependendo das circunstâncias, épossível que sejam obtidos resultados arbitrariamente ruins (ou também o resultado ótimo). Issodenota uma relação de custo benefício. Ao utilizarmos este tipo de método, não precisamos damelhor solução possível, mas geralmente obtemos uma solução viável com um tempo computa-cional aceitável.

Claramente, uma situação na qual opta-se pelo uso de heurísticas é aquela onde há prob-lemas que, utilizando algoritmos exatos (ou mesmo aproximativos), um tempo computacionaldemasiadamente longo é necessário para que se obtenha a solução. Outras vantagens destesmétodos são que a maioria deles é conceitualmente simples, podem ser adaptados a váriosproblemas (são não-específicos), e operam sem a imposição de condicionantes ao problema,como convexidade e linearidade. Estes conceitos estão presentes em vários livros didáticos,dentre eles (Goldbarg e Luna, 2005).

Dentro da categoria das heurísticas estão alguns métodos caracterizados como metaheurís-ticas (assunto abordado de modo coeso na referência (Luke, 2009)). São definidos como umametaheurística os métodos que otimizam um problema ao iterativamente buscar a melhora deuma canditada à solução, utilizando alguma medida de qualidade. São métodos de otimiza-ção estocástica, ou seja, algoritmos e técnicas que utilizam alguma forma de aleatoriedade paraencontrar uma solução ótima ou próxima à ótima em problemas difíceis de serem resolvidos.

14 2.4. Métodos de Solução

Metaheurísticas são utilizadas para encontrar soluções para problemas para os quais nãose tem muitas informações. Não se sabe qual deve ser a solução ótima e o espaço de busca évasto. Mas, se existe uma candidata à solução do problema, é possível testá-la e definir o quãoboa ela é. Isto é verdade para muitos problemas de Otimização Combinatória, o que leva umametaheurística a ser bastante utilizada para resolver problemas da área.

Estes métodos exploram uma característica do espaço de soluções que se repete em muitosproblemas: soluções similares tendem a se comportar de modo similar, ou seja, têm qualidadeparecida. Pequenas modificações numa solução vão resultar em pequenas modificações naqualidade. Este método, de começar com uma solução aleatória e fazer iterativamente pequenasmodificações aleatórias na solução, de modo a encontrar soluções melhores, é chamado de HillClimbing. Essencialmente, quase todas as metaheurísticas utilizam este conceito.

2.4.4 Simulated Annealing

Esta metaheurística foi escolhida pela facilidade de implementação, pelo seu vasto uso na áreade Otimização Combinatória (é aplicado no problema do Caixeiro Viajante em (Cern!, 1985)), epor sua eficiência demonstrada em outros trabalhos, além de ser bastante utilizado para resolverproblemas de alocação, como há o exemplo em (S.N.Silva et al., 2005).

O Simulated Annealing é uma metaheurística probabilística e genérica utilizada para en-contrar uma solução ótima global, ou a sua aproximação, em um grande espaço de busca. Éum método utilizado frequentemente quando o espaço de busca é discreto. Foi proposto porScott Kirkpatrick, C. Daniel Gelatt and Mario P. Vecchi em 1983, no artigo (Kirkpatrick et al.,1983). Foi derivado do Algoritmo Metropolis, desenvolvido pelos cientistas Nicholas Metropo-lis, Arianna e Marshall Rosenbluth, e Augusta e Edward Teller em 1953 (Metropolis et al.,1953).

O nome e a inspiração do algoritmo vêm do recozimento de metais, uma técnica de met-alurgia que envolve esquentar um metal e controlar o seu esfriamento, melhorando a qualidadedo material e reduzindo os defeitos. Neste processo, o calor leva os átomos a se desprenderemde suas posições iniciais (um mínimo local da energia interna) e se moverem aleatoriamente; oresfriamento lento aumenta a probabilidade destes átomos acharem configurações com energiasinternas menores do que a inicial.

Analogamente a este processo, o Simulated Annealing gera a cada passo uma solução viz-inha da solução atual (por um método aleatório) e tenta substituir a solução atual pela novasolução. A nova solução pode ser aceita com uma probabilidade que depende da diferença dosvalores de função correspondentes às soluções, e um parâmetro T (designado de temperatura)que é gradualmente diminuído durante o processo. Quando T é um valor alto, a aceitação é


quase aleatória. Conforme T diminui, a aceitação fica mais restrita, eventualmente aceitandosomente soluções melhores. Este processo evita que o Simulated Annealing fique preso emótimos locais (o grande problema de métodos gulosos).

CAPÍTULO

3Implementação

Todos os métodos foram implementados na linguagem Java, pela já familiaridade com a mesma.

3.1 Armazenamento de associações

E primeiro momento, faria sentido pensarmos no armazenamento das associações como umamatriz, conforme exemplifica a tabela 3.1, e como dito no Capítulo 2, subseção 2.4.1:

elementos tarefa 1 tarefa 2 tarefa 3agente 1 1 0 0agente 2 0 1 0agente 3 0 0 1

Tabela 3.1: Exemplo de uma matriz de associação para n = 3

Visualizar todas as permutações válidas para o Problema de Alocação numa matriz assim édifícil e insere problemas como, por exemplo, verificar se a matriz de associação é válida a cadanova permutação obtida. Para uma instância de tamanho n = 3, as permutações possíveis são:

17

18 3.1. Armazenamento de associações

• 1,2,3

• 1,3,2

• 2,1,3

• 2,3,1

• 3,1,2

• 3,2,1

ou em forma de árvore:

Figura 3.1: Árvore de permutações para n = 3.

Para a primeira permutação, o agente 1 estaria ligado à tarefa 1, o agente 2 ligado à tarefa 2,e o agente 3 ligado à tarefa 3, e assim por diante para as outras.

Capítulo 3. Implementação 19

Surge, portanto, a primeira dificuldade: nos algoritmos escolhidos - Branch and Bound,Simulated Annealing e Força Bruta - a maior parte dos exemplos que se encontram na liter-atura utilizam vetores, e adaptá-los para trabalhar com uma matriz complicaria o algoritmo eo deixaria ineficiente. É necessário também que se encontre uma forma de representar cadapermutação possível eficientemente, de modo que a implementação dos métodos seja mais fácile menos confusa.

Para resolver este problema, ao invés de armazenar as associações de agente-tarefa em umamatriz de associação, adota-se um vetor - exemplificado na Tabela 3.2 - cujos índices represen-tam os agentes e o valor dentro de cada índice indica a qual tarefa aquele agente está associado.O único detalhe é que deve-se iniciamos a contagem pelo zero, ou seja, para o exemplo anterior,agora tem-se os agentes 0, 1 e 2, e as tarefas 0, 1 e 2.

valor 2 1 0índice 0 1 2

Tabela 3.2: Exemplo de um vetor de associação para n = 3

3.2 Força Bruta

Apresentado no Capítulo 2, subseção 2.4.1, este algoritmo deve necessariamente passar portodas as permutações possíveis, analisando o custo de cada uma e comparando-o com o melhorcusto já encontrado até o momento. Portanto, a base do algoritmo é uma função que gere todasas permutações possíveis para um certo tamanho de conjuntos.

A forma de implementação encontrada para estas permutações é uma função recursiva, querecebe um vetor e uma posição (chamada de pos), e permuta o vetor a partir de pos. A idéiapor trás disso é uma indução, onde a base é que sabemos permutar um vetor de tamanho zero(ou seja, quando pos corresponde ao último índice do vetor). O passo indutivo é colocar cadaelemento do vetor na primeira posição, e chamar recursivamente a função, para permutar dasegunda posição em diante.

Para não obter permutações inválidas, como permutações com números repetidos, a geraçãodas permutações é feita por meio de trocas entre duas posições do vetor. O vetor inicial é oequivalente a gerar a matriz de associação como uma identidade, ou seja, agente 0 alocado atarefa 0, agente 1 a tarefa 1, e assim por diante. O código deste método está presente na Figura3.2:

20 3.2. Força Bruta

1 public void permuta(int[] v, int pos, int n){2 if(pos==n){3 custo(v);4 }5 else{6 for(int j=pos; j<n; j++){7 swap(v,pos,j);8 permuta(v, pos+1, n);9 swap(v,pos,j);

10 }11 }12 }

Figura 3.2: Código do método principal do algoritmo Força Bruta. Neste código, o parâmetron é o último índice do vetor.

A cada chamada, o método testa se pos é o final do vetor. Se não for, será executadoum for, de pos até o final do vetor, e a cada iteração deste faremos o swap de pos e o índicecorrespondente no for, fazemos uma nova chamada ao método, somando 1 ao pos e desfazemosa troca feita, para que as permutações seguintes não sejam comprometidas.

Finalmente, para que se torne um algoritmo de força bruta, é necessário que a cada permu-tação completada (ou seja, a cada vez que uma chamada do método permuta() for executada)verificar se pos é o final do vetor. Caso positivo, deve-se calcular o custo.

No método de cálculo de custo, percorre-se o vetor com um for, acessando a matriz decustos (que é um atributo da classe ForcaBruta) utilizando como linhas a variável de iteraçãodo for e nas colunas o valor contido no índice do vetor correspondente à atual iteração. O valorcontido nesta célula da matriz é somado à variável soma, que, ao final das iterações, conterá ocusto total da solução. Por fim, este custo é comparado com o custo da melhor solução até omomento (ou seja, a permutação com o menor custo), representados pelos atributos de classemelhorCusto e melhorSolucao. Caso a nova permutação seja uma solução com menor custo doque a guardada em melhorSolucao, esta passa a ser a melhor solução. Este método de custoé apresentado na figura 3.3. O algoritmo continua, até que todas as permutações tenham sidoavaliadas desta forma, varrendo o espaço de soluções por completo, e obtendo a solução ótima.


1 public int custo(int[] v){2 int soma = 0;3 for(int i = 0; i < v.length; i++){4 soma += matrizCusto[i][v[i]];5 }6 if(soma < melhorCusto){7 melhorCusto = soma;8 copiaVetor(melhorSolucao, v);9 }

10 return soma;11 }

Figura 3.3: Código fonte do método que calcula o custo de uma permutação

3.3 Branch and Bound

O Branch and Bound é, assim como o Força Bruta, um método exato, que garante que a soluçãofornecida é ótima. Porém, ao contrário do Força Bruta, o Branch and Bound normalmentenão avalia todo o espaço de soluções. Algumas partes do espaço de soluções são eliminadasautomaticamente, pela técnica chamada de Bounding, ao identificar que estas não são eficientes,e não podem superar o resultado já alcançado até aquele momento.

Ao analisar o método permutacao apresentado na seção anterior (referente ao Força Bruta),pode-se constatar que este método nos fornece uma estratégia de branching válida, permitindodesenvolver a árvore que representa as permutações e permitindo a eliminação antecipada deespaços de solução (ou ramos da árvore) ineficientes. O método também percorre todo o espaçode soluções, apesar que isto só ocorrerá no Branch and Bound no pior caso, ou seja, se as per-mutações forem avaliadas em ordem decrescente de custo, do pior para o melhor. Porém, comas otimizações corretas isto é raro. As otimizações propostas neste trabalho cuidam justamentede gerar soluções iniciais melhores que as soluções geradas aleatoriamente.

Com isto, tem-se a base do Branch and Bound já finalizada, e a técnica de branching já im-plementada pelo Força Bruta. A partir disso, o bounding é simples: ao verificar que o parâmetropos recebido pelo método permutacao() não é equivalente ao final do vetor, verifica-se uti-lizando um if se a solução parcial até aquele momento possui um custo menor do que o menorcusto encontrado até o momento. Ao fazer isto, garante-se que serão eliminadas soluções inefi-cientes frente à já obtida, já que apenas com algumas associações, a nova solução (parcial) já épior que a melhor solução encontrada. Isto é exemplificado pelas tabelas 3.3, 3.4 e 3.5.

Suponha que a melhor solução encontrada até o momento é a representada na Tabela 3.4 eseu custo é 5. Ao colocar a associação do agente 0 com a tarefa 2, como no vetor representadopela Tabela 3.5, o custo do vetor parcial já é 6 (ao analisar a matriz de custo na Tabela 3.3),

22 3.3. Branch and Bound

indicando que qualquer permutação cujo valor para o índice 0 seja 2 é ineficiente perante àsolução já obtida e, por isto, não precisa ser processada.

elementos tarefa 0 tarefa 1 tarefa 2agente 0 5 2 6agente 1 4 9 2agente 2 1 7 5

Tabela 3.3: Exemplo: matriz de custo.

valor 1 2 0índice 0 1 2

Tabela 3.4: Exemplo: vetor melhorSolucao com custo 5.

valor 2 x xíndice 0 1 2

Tabela 3.5: Exemplo: vetor de solução parcial, com custo 6.

O método principal do Branch and Bound (apresentado na Figura 3.4) é, portanto, bemsimilar ao do Força Bruta nesta implementação.

1 public void permuta(int [] v, int pos, int n){2 if(pos==n){3 custo(v);4 }5 else{6 if(custo(v, pos) <= melhorCusto){7 for(int j=pos; j<n; j++){8 swap(v,pos,j);9 permuta(v, pos+1, n);

10 swap(v,pos,j);11 }12 }13 }14 }

Figura 3.4: Código da função principal do algoritmo Branch and Bound. Neste código, oparâmetro n é o último índice do vetor

Assim como o Força Bruta, o algoritmo é executado até que todas as permutações tenhamsido avaliadas ou eliminadas. Uma possibilidade de melhora seria atualizar as variável melhor-Solucao e melhorCusto ao buscar - utilizando uma heurística rápida - uma melhora da melhor


solução que utilize o início de vetor recebido na chamada daquela instância de execução dafunção.

3.4 Simulated Annealing

No Simulated Annealing implementado neste trabalho há uma melhoria em relação ao Simu-lated Annealing padrão: aqui é mantido sempre guardado o melhor resultado encontrado atéo momento. Este tipo de melhoria é uma das melhorias mais simples recomendada em meta-heurísticas que não guardam a melhor solução já encontrada. É indicada em muitos materiais,inclusive em (Luke, 2009).

O método, do modo que foi implementado, pode ser dividido em três passos, identificadosnos parágrafos seguintes.

Primeiramente, é gerada uma solução vizinha à solução atual, utilizando o método swap().Este método gera aleatoriamente dois números, dentro do intervalo de índice do vetor recebido,e troca os valores presentes nos dois índices do vetor "‘sorteados"’. Este é o primeiro passo.

A seguir, o segundo passo é calcular o custo desta solução vizinha. Caso seja menor, ovizinho é aceito e é copiado para o vetor atual (e também há o teste para determinar se é a melhorsolução até o momento - se for, a solução nova é copiada para a variável melhorSolucao). Casoseja maior, ainda há chance de o vizinho ser aceito. Para isto, há uma função de aceitação,definida por:

aceitacao = e!delta

temperatura

onde delta = custo(vizinho)'custo(atual). Isto corresponde a um número entre 0 e 1. Aseguir, é gerado aleatoriamente um número real entre 0 e 1. Caso o número gerado seja menorque o resultado da fórmula, o vizinho é aceito.

Até aqui, isto corresponde a uma iteração de uma etapa da heurística, formada pelo primeiroe segundo passos. Estes dois passos são repetidos até o número de iterações chegar no limitedefinido.

Ao completar todas as iterações definidas no parâmetro itera, é feito o terceiro passo, ondea temperatura é resfriada, ou seja, multiplica-se a temperatura por uma taxa de esfriamento.O método é executado novamente, voltando ao primeiro passo, e executando todo o processodescrito novamente, enquanto a temperatura for maior que um valor definido (no código estevalor é 0.001).

24 3.4. Simulated Annealing

Podemos simplificar e resumir a execução da seguinte maneira: a cada queda de temper-atura, são feitas x iterações de geração e avaliação de vizinhos, sendo x o valor determinadopor um parâmetro (no código é nomeado como itera). Depois de realizadas as iterações, o valorda temperatura é diminuído segundo a taxa de resfriamento, e novas x iterações são realizadas,com o novo valor de temperatura. Isto é feito enquanto a temperatura for menor do que umvalor definido.

O código correspondente à função principal do método é descrito na figura 3.5.

1 public void simAnnealing(int[] permutacao){2 double temperatura = Math.pow(size, 15);3 double taxaResfriamento = 0.95;4 int itera = size * 2000;5 Random r = new Random();6 int[] atual = permutacao;7 melhorSolucao = atual;8 double Cvizinho=0, Catual=0, delta=0, Cmelhor=0;9 Cmelhor = custo(melhorSolucao);

10 while(temperatura > 0.001){11 for(int j = 0; j < itera; j++){12 int[] aux = new int[size];13 System.arraycopy(atual, 0, aux, 0, atual.length);14 int[] vizinho = new int[size];15 System.arraycopy(atual, 0, vizinho, 0, atual.length);16 vizinho = swap(vizinho);17 Cvizinho = custo(vizinho);18 Catual = custo(atual);19 delta = Cvizinho - Catual;2021 if(delta < 0){22 atual = vizinho;23 if(Cvizinho < Cmelhor) {24 melhorSolucao = atual;25 Cmelhor = custo(melhorSolucao);26 }27 }28 else{29 double exp = ((-1)*delta)/temperatura;30 double e = Math.exp(exp);31 double f = r.nextFloat();32 if(e > f) {33 atual = vizinho;34 }35 }36 }37 temperatura *= taxaResfriamento;38 }39 }

Figura 3.5: Código da função principal do Simulated Annealing


3.5 Algoritmo Guloso

Como otimização para o Branch and Bound e para o Simulated Annealing, foi decidida a im-plementação de um algoritmo guloso, que é bastante rápido e é um bom candidato para gerarsoluções iniciais para estes dois outros métodos.

Este método possui uma estratégia muito simples: para cada agente se escolhe a melhorassociação (a que tem menor custo) e em seguida a elimina da lista de tarefas livres. Isto é feitoda seguinte maneira: é feito um for que percorre as linhas (que correspondem aos agentes) damatriz de custos. Dentro deste for, há um outro para percorrer a lista de tarefas disponíveis.Para cada tarefa avalia-se o seu custo com o agente que está sendo alocado e guarda-se o menordestes custos, e a respectiva tarefa. Ao avaliar todas as tarefas disponíveis, a que tem menorcusto é associada ao agente e removida da lista de tarefas. Assim continua até que todos osagentes sejam alocados às tarefas.

O código correspondente consta está a seguir, na figura 3.6:

1 public int[] alGuloso(int[][] custos){2 matrizCusto = custos;3 size = custos.length;45 melhorSolucao = new int[size];6 ArrayList<Integer> tarefas = new ArrayList<Integer>();7 int i, j, menorTarefa = 0, indiceMenorTarefa = 0, tarefaAtual;89 for(i = 0; i < size; i++)

10 tarefas.add(i);1112 for(i = 0; i < size; i++){13 for(j = 0; j < tarefas.size(); j++){14 tarefaAtual = tarefas.get(j);15 if(matrizCusto[i][tarefaAtual] < matrizCusto[i][menorTarefa]){16 menorTarefa = tarefaAtual;17 indiceMenorTarefa = j;18 }19 }20 melhorSolucao[i] = menorTarefa;21 tarefas.remove(indiceMenorTarefa);22 try{23 menorTarefa = tarefas.get(0);24 }catch(Exception e){}25 indiceMenorTarefa = 0;26 }27 return melhorSolucao;28 }

Figura 3.6: Código da função principal do algoritmo guloso

CAPÍTULO

4Resultados Computacionais

As instâncias utilizadas nos testes foram geradas aleatoriamente. Os valores de custo estãodentro do intervalo de 0 a 99, incluindo ambos. O total de casos de teste utilizados são:

• 4 Instâncias de tamanho 5: 5a, 5b, 5c, 5d

• 3 Instâncias de tamanho 10: 10a, 10b, 10c

• 1 Instância de tamanho 15





Portanto, foram 12 instâncias geradas e testadas no total. As instâncias de tamanho x são asinstâncias que possuem x agentes, para alocar a x tarefas.

Abaixo está a Tabela 4.1, que mostra o número de permutações de cada instância. Estenúmero, como já citado no Capítulo 2, é n!, sendo n o tamanho da instância a resolver.

27

28 4.1. Métodos exatos

instância permutações5 120

10 362880015 130767436800020 2.43290201 ( 1018

30 2.6525286 ( 1032

40 8.15915283 ( 1047

50 3.04140932 ( 1064

Tabela 4.1: Número de permutações para cada tamanho de instância

É importante citar que todos os testes foram feitos em um processador Intel Core2QuadQ6600, de 2.4 GHz, utilizando somente um núcleo. Nenhum algoritmo foi otimizado paramútiplos processadores ou núcleos. O sistema operacional utilizado foi o Windows 7 32bits.

4.1 Métodos exatos

Nesta seção são apresentados os resultados dos métodos exatos: Força Bruta e Branch andBound (não otimizado). Ambos os algoritmos garantem que a solução alcançada é a soluçãoótima global.

Cada algoritmo foi executado 10 vezes para as instâncias de tamanho 5 e 10. No caso dasinstâncias de tamanho 15 e 20, cada algoritmo foi executado 5 vezes. A partir disto foi calculadoo tempo médio das execuções para cada método e cada instância (que consta na Tabela 4.2), até ainstância de tamanho 20. O desvio padrão foi baixo, sendo menor que 1% do valor da média emtodos os casos. Como nestes métodos o custo da solução final não varia (é sempre encontradaa ótima a cada execução), o custo das soluções ótimas encontradas para cada instância estão naterceira linha (Solução Ótima) da Tabela 4.2, que também apresenta os tempos de execução deambos os métodos. A Figura 4.1 apresenta a representação gráfica dos tempos presentes nestatabela.

5a 5b 5c 5d 10a 10b 10c 15 20Força Bruta <1 ms <1 ms <1 ms <1 ms 317,5 ms 321,6 ms 318,8 ms N/D N/D

Branch and Bound <1 ms <1 ms <1 ms <1 ms 4,2 ms <1 ms <1 ms 944,6 ms 197268,2 msSolução Ótima 48 89 124 91 181 116 84 158 149

Tabela 4.2: Tempos de execução e custo da solução ótima

Capítulo 4. Resultados Computacionais 29

Figura 4.1: Gráfico dos tempos correspondente à Tabela 4.2

Na Tabela 4.2, pode-se notar que, para o método Força Bruta, o tempo está como N/D (nãodisponível) para as instâncias de tamanho 15 e 20. Isto é devido ao fato de que, para a instânciade tamanho 15, já é inviável executar uma única vez o algoritmo de Força Bruta.

Como o Força Bruta não executou para n & 15, será feita uma estimativa do tempo necessáriode execução do método Força Bruta. A fórmula que utilizaremos é baseada no cálculo de tempode percurso, ou seja, dada a velocidade, e a distância, podemos calcular o tempo que leva paraencontrarmos o tempo necessário para que se complete. Analogamente:

T (n) =n!

cte(4.1)

onde T (n) é o tempo de execução do algoritmo em milisegundos, n é o tamanho da instânciae cte é a constante de execução, ou seja, quantas permutações são avaliadas por milisegundo.Esta constante pode ser obtida para o método de Força Bruta utilizando os valores obtidos nasinstâncias menores. Serão avaliados o melhor tempo de execução (instância 10a) e pior tempode execução (instância 10b):

30 4.1. Métodos exatos

T (10a) =10!

cteT (10b) =

10!

cte

317, 5 ms =10!

cte321, 6 ms = 10!cte

cte ) 11429, 3 cte ) 11283, 6

Utilizaremos a média do melhor e pior caso como constante de execução para o método deForça Bruta. Desta forma:

cte =11429, 3 + 11283, 6

2

cte = 11356, 45

Com isto, obtemos que o Força Bruta analisa, em média, 11356,45 permutações por milise-gundo. Com isto, calculando o tempo necessário para a execução da instância de tamanho 15obtemos:

T (15) =15!

11356, 45

cte ) 1.15153 ( 108 ms

Este valor equivale a 31h 59min, o que, pelas estimativas, torna a instância de tamanho 15inviável para o Força Bruta.

O mesmo cálculo pode ser feito para o Branch and Bound não otimizado. Primeiro cal-culamos a constante de execução, utilizando como base a média do tempo de execução dasinstâncias de tamanho 15 e 20:


T (15) =15!

cteT (20) =

20!

cte

944, 6 ms =15!

cte197268, 2 ms = 20!cte

cte ) 1, 38437 ( 109 cte ) 1, 2333 ( 1013

cte =1, 38437 ( 109 + 1, 2333 ( 1013

2

cte = 6, 167192185 ( 1012

Obtemos a constante de 6, 167192185(1012 permutações por milisegundo. Agora estimare-mos o tempo necessário para a instância de tamanho 30 ser executada:

T (30) =30!

6, 167192185 ( 1012

cte ) 4, 301 ( 1019 ms

Isto equivale a 5, 974 ( 1012 horas, ou seja, sem otimizações, o Branch and Bound é in-viável para obter a solução para a instância de tamanho 30. Como confirmação, o algoritmo foiexecutado por mais de dez horas, mas nenhum resultado foi obtido.

4.2 Metaheurística

Nesta seção é avaliado o desempenho do Simulated Annealing, sendo a do algoritmo gulosoavaliada para efeito de comparação.

Um detalhe que deve ser mencionado é que no Simulated Annealing os parâmetros de tem-peratura e número de iterações influenciam profundamente no tempo de execução e na quali-dade de solução, e por isso foram testadas várias configurações destes. Com valores mais altos,a qualidade das soluções e o tempo de execução aumentam.

Primeiramente são apresentados os resultados para o algoritmo guloso, na Tabela 4.3. Assoluções ótimas foram retiradas dos testes anteriores com os métodos exatos. Não há variaçãonas soluções encontradas, pois o algoritmo sempre executa os mesmos cálculos se a instância

32 4.2. Metaheurística

for a mesma. Também há a questão do tempo de execução, que é menor do que 1 ms paraqualquer uma das instâncias, em todas as execuções feitas (e que por isso não está presentena tabela). A solução ótima para a instância de tamanho 30 foi encontrada com o Branch andBound otimizado, que será visto na próxima seção. As soluções ótimas para as instâncias detamanho 40 e 50 não foram encontradas com métodos exatos, e por isto não estão disponíveis.

instância solução encontrada solução ótima5a 91 485b 114 895c 140 1245d 163 9110a 281 18110b 172 11610b 209 8415 240 15820 229 14930 175 11540 303 N/D50 393 N/D

Tabela 4.3: Resultados para o algoritmo guloso

Fica claro que o algoritmo guloso não gera soluções boas o suficiente. Conforme se ex-ecutam instâncias maiores, a distância entre o resultado obtido e a solução ótima fica maior.Esta heurística só é realmente útil para o Problema de Alocação na geração de soluções iniciaisrazoáveis para outros métodos mais eficientes.

Nas Tabelas 4.4 e 4.5 são apresentados os resultados para o Simulated Annealing. A heurís-tica foi executada dez vezes para cada instância, em várias configurações dos parâmetros detemperatura e número de iterações feitas com uma fórmula baseada no tamanho da instância,como caracterizados abaixo:

• Temperatura = tamanho2; Numero de iteracoes = tamanho ( 100;








Quanto maiores os valores, mais tempo é executado o método, e maiores as chances de seobter soluções mais aproximadas à ótima. Primeiramente, são mostrados os tempos de execuçãona Tabela 4.4. Cada configuração de parâmetros é definida como SA(x,y), onde x indica o valorque determinará a temperatura, pela fórmula Temperatura = tamanhox e y é o valor quedeterminará o número de iterações, pela fórmula Numero de iteracoes = tamanho ( y. AFigura representa o gráfico equivalente à Tabela 4.4.

Instânciasparâmetros 5a 5b 5c 5d 10a 10b 10c 15 20 30 40 50SA(2,100) 0,06 0,05 0,05 0,06 0,16 0,16 0,15 0,26 0,37 0,73 1,14 1,63SA(3,200) 0,13 0,12 0,12 0,12 0,31 0,31 0,31 0,55 0,84 1,62 2,62 3,84SA(5,500) 0,38 0,36 0,36 0,36 1,00 1,00 1,00 1,79 2,77 5,48 8,89 13,38SA(6,750) 0,62 0,60 0,60 0,60 1,68 1,67 1,67 3,02 4,71 9,38 15,44 22,78

SA(7,1000) 0,88 0,86 0,85 0,86 2,40 2,44 2,42 4,45 6,92 14,13 23,02 33,90SA(10,1500) 1,62 1,60 1,58 1,59 4,64 4,64 4,64 8,47 13,31 27,71 45,75 68,74SA(15,2000) 2,84 2,80 2,81 2,80 8,37 8,34 8,33 15,44 24,55 49,84 86,17 128,95

Tabela 4.4: Tempo de execução para o SA puro. Os tempos estão em segundos.

É possível notar que o tempo cresce bastante quando se aumenta o tamanho da instância(devido às fórmulas de determinação da temperatura e de iterações em função do tamanho dainstância), ou quando se aumenta o valor dos parâmetros. A vantagem disso, entretanto, é quegeralmente se obtém melhores soluções, como mostrado na Tabela 4.5. Na Figura 4.3, temos amelhor solução encontrada em 10 execuções para as instâncias de tamanho 5 até tamanho 30,enquanto que a Figura 4.4 apresenta o mesmo, só que para as instâncias de tamanho 40 e 50.

34 4.2. Metaheurística

Figura 4.2: Gráfico dos tempos correspondente à Tabela 4.4

É interessante notar que foi encontrada a solução ótima para as instâncias menores. Nestescasos, é possível notar que a variação de resultados é pequena ou inexistente, nas dez execuções.Uma estratégia interessante para se obter boas soluções no Simulated Annealing é, portanto,executá-lo várias vezes, e escolher o melhor resultado obtido (o com o menor custo). Casoa variação seja zero, é grande a chance de que se trate da solução ótima, porém não é 100%garantido.

A tabela também indica que, conforme aumentam os valores dos parâmetros, as soluçõesobtidas tendem a ser melhores. Porém, a desvantagem clara demonstrada nos testes para oSimulated Annealing é conseguir determinar cada valor de parâmetro sem a necessidade de sefazer testes com várias configurações para cada instância, processo que acaba sendo bastantetrabalhoso. Isto é válido, principalmente, para que não se utilize valores de parâmetros maioresque o necessário para encontrar o ótimo em instâncias pequenas, o que indica um gasto detempo e poder de processamento desnecessário, que se torna crítico conforme se necessita desoluções para instâncias muito grandes.


Instânciasparâmetros 5a 5b 5c 5d 10a 10b 10c 15 20 30 40 50

SA(2,100)

maior 48 89 124 91 181 116 84 158 152 147 191 219mediana 48 89 124 91 181 116 84 158 149 119 163 193menor 48 89 124 91 181 116 84 158 149 115 157 173

SA(3,200)


SA(5,500)


SA(6,750)


SA(7,1000)


SA(10,1500)


SA(15,2000)


Solução Ótima 48 89 124 91 181 116 84 158 149 115 N/D N/D

Tabela 4.5: Soluções encontradas com o SA puro

Figura 4.3: Gráfico das soluções para instâncias pequenas e médias

4.3 Otimizações e Comparações Finais

Finalmente, falta comparar os dois métodos que melhor resolvem o problema: Simulated An-nealing e Branch and Bound. Em ambos foram feitas otimizações, como apresentado a seguir.

36 4.3. Otimizações e Comparações Finais

Figura 4.4: Gráfico das soluções para instâncias grandes

Para tentar melhorar o desempenho do Branch and Bound, e tentar resolver instânciasmaiores, foram feitas duas otimizações no método. A idéia para ambas é que com uma soluçãoinicial melhor o limite para corte fica bem mais restrito pois o custo da solução inicial estárelativamente próximo do custo da solução ótima. Isto faz com que o processo de boundingocorra em níveis mais altos da árvore, efetivamente descartando espaços de soluções maiores,e tornando o algoritmo mais rápido. Isto foi feito gerando uma solução inicial com o algoritmoguloso, e também com o Simulated Annealing (utilizando parâmetros com valores baixos, paranão aumentar muito o tempo de processamento). A comparação entre o Branch and Bound puro(BB), o Branch and Bound otimizado com o algoritmo guloso (BBA) e o Branch and Boundotimizado com o Simulated Annealing (BBS) está na Tabela 4.6, e um gráfico que representa atabela está na Figura 4.5

5a 5b 5c 5d 10a 10b 10c 15 20 30BB <1 ms <1 ms <1 ms <1 ms 4,2 ms <1 ms <1 ms 944,6 ms 197268,2 ms N/D

BBA <1 ms <1 ms <1 ms <1 ms 3,1 ms <1 ms 1,6 ms 190,8 ms 32951,2 ms N/DBBS 127,1 ms 122,2 ms 120,95 ms 119,4 ms 314 ms 317,2 ms 314,8 ms 718,8 ms 15083 ms 21319104 ms

Solução Ótima 48 89 124 91 181 116 84 158 149 115

Tabela 4.6: Tempos de execução e custo da solução ótima

Apesar de ser mais lento em instâncias pequenas, a otimização com o Simulated Annealingé muito mais rápida que o Branch and Bound puro, ou o otimizado somente com o algoritmo


Figura 4.5: Gráfico de tempos referentes à Tabela 4.6

guloso quando utilizamos instâncias maiores (de tamanho 20 ou mais). Como os tempos parainstâncias pequenas não são problema (todos menores que um segundo), a opção clara é aotimização com o Simulated Annealing gerando a solução inicial.

A mesma idéia de melhorar a solução inicial é aplicada para o Simulated Annealing, ro-dando o algoritmo guloso e utilizando a permutação resultante como solução inicial para o SA.Isto melhora a convergência do método, tornando-a ligeiramente mais rápida. As tabelas detempos de execução e qualidade de solução são apresentadas nas Tabelas 4.7 e 4.8, respectiva-mente:

Instânciasparâmetros 5a 5b 5c 5d 10a 10b 10c 15 20 30 40 50SA(2,100) 0,06 0,06 0,06 0,05 0,15 0,14 0,16 0,26 0,37 0,69 1,09 1,59SA(3,200) 0,12 0,12 0,12 0,12 0,31 0,31 0,31 0,55 0,84 1,64 2,64 3,84SA(5,500) 0,36 0,36 0,36 0,36 1,00 1,00 1,01 1,78 2,76 5,52 8,92 13,26SA(6,750) 0,60 0,60 0,60 0,60 1,66 1,67 1,67 3,01 4,69 9,40 15,41 22,67SA(7,1000) 0,85 0,85 0,85 0,86 2,39 2,39 2,44 4,42 6,88 13,93 22,74 33,67

SA(10,1500) 1,59 1,59 1,59 1,59 4,62 4,63 4,64 8,48 13,28 26,99 44,61 67,23SA(15,2000) 2,80 2,80 2,79 2,80 8,32 8,32 8,34 15,39 24,53 51,52 86,52 129,30

Tabela 4.7: Tempo de execução para o SA otimizado. Os tempos estão em segundos.

38 4.3. Otimizações e Comparações Finais

Instânciasparâmetros 5a 5b 5c 5d 10a 10b 10c 15 20 30 40 50

SAO(2,100)


SAO(3,200)


SAO(5,500)


SAO(6,750)


SAO(7,1000)


SAO(10,1500)


SAO(15,2000)


Solução Ótima 48 89 124 91 181 116 84 158 149 115 N/D N/D

Tabela 4.8: Soluções encontradas com o SA otimizado

Os tempos são bem similares à tabela 4.4 referente ao SA puro, não sendo efetivos paraefeito de comparação. As soluções, porém, tendem a ser ligeiramente melhores no otimizado,como esperado. A comparação de ambos os métodos é dada na tabela 4.9.


instânciasparâmetros método medida 20 30 40 50

t(2,100)

SAmediana 149 119 163 193menor 149 115 157 173

SAOmediana 150 122 164 211menor 149 115 151 184

t(3,200)

SAmediana 149 119 158 182menor 149 115 148 176


t(5,500)

SAmediana 149 115 157 179menor 149 115 147 165


t(6,750)

SAmediana 149 115 154 172menor 149 115 151 164


t(7,1000)

SAmediana 149 115 152 177menor 149 115 147 168


t(10,1500)

SAmediana 149 115 147 174menor 149 115 143 161


t(15,2000)SA

mediana 149 115 148 174menor 149 115 142 164


Tabela 4.9: Comparação entre o SA puro e o SA otimizado

40 4.4. Instância de alocação professor-matéria

4.4 Instância de alocação professor-matéria

Nesta seção será resolvida uma instância real: a alocação de professores à disciplinas, na Uni-versidade Federal de São Paulo, referente ao campus São José dos Campos.

Foram fornecidas a planilha com as opções de cada professor utilizadas para decidir asalocações e a solução que foi dada para o semestre em questão. Na planilha, cada professorpreenche suas opções com notas de 1 a 6, não necessariamente contendo todas as opções (umprofessor pode preencher somente a sua primeira e segunda opções, ou pode ter mais de umaprimeira opção). As disciplinas que o professor não deseja ministrar são deixadas em branco.Foi necessário dar um valor para as opções em branco (as opções não desejadas pelo docente).Foi escolhido o valor 10, que é maior o suficiente que a opção 6 a ponto de desencorajar estasassociações.

Nesta instância há algumas peculiaridades. A primeira é que há uma matéria que não con-stava na planilha de preferências, mas consta na atribuição final fornecida (chamada ’EletivaBCT’) e também há três professores na mesma situação: Danieli, Eduardo e Luciana. Estesforam adicionados à planilha com o custo 10, já que não haviam informações disponíveis sobrea preferência destes professores e da matéria em questão.

A partir disto, têm-se outro problema: o número de professores e matérias é diferente. Naplanilha, antes das adições, constavam 47 professores e 80 disciplinas. Depois das adições,temos 50 professores e 81 disciplinas. Isto seria definido como o Problema de Alocação Gener-alizado (ou também chamado de Problema de Transporte em algumas literaturas, como (Gold-barg e Luna, 2005)), ou seja, é um Problema de Alocação, mas não há a restrição de ambos osconjuntos de agentes e tarefas terem o mesmo tamanho.

Isto foi adaptado para o problema abordado neste trabalho, da seguinte maneira: o con-junto de professores foi duplicado (ou seja, cada professor aparece 2 vezes, tendo dois númerosdiferentes associados a ele), totalizando (teoricamente) 100 professores. Para igualar, foramadicionadas 19 matérias “fantasmas” (com nome ’Nenhuma’), totalizando 100 matérias. Ocusto de associar os professores a uma destas matérias é definido como 0, para que todos osprofessores tenham a chance de ter uma associação “livre”. Portanto, a instância calculada é detamanho 100.

Somado a estas inconsistências, foi encontrado um outro detalhe: há algumas matérias quenenhum professor quer ministrar (segundo a planilha), e que, portanto, seu custo sempre seráo mais alto possível. Estas matérias são: Compiladores, Eletiva BMC, Estrutura e DinâmicaSocial, Cálculo I (vespertino e noturno), Química e Biologia. A Tabela 4.10 mostra o menor


custo possível para cada matéria (ou seja, a melhor opção teoricamente possivel, sem levar emconta as combinações).

Na resolução do problema, foram utilizados apenas o Simulated Annealing otimizado e nãootimizado, devido ao tamanho da instância. Os parâmetros utilizados foram Temperatura =

n2 e Numero de iteracoes = n ( 100, onde n é o tamanho da instância. Ambos foram execu-tados dez vezes, e os tempos de execução presentes estão na Tabela 4.11. Foram encontradasvárias soluções possíveis, todas próximas em termos de custo. Houve mais de uma instânciacom o menor custo encontrado (205). Uma destas instâncias está presente na Tabela 4.12. Asolução real dada pela universidade está presente na Tabela 4.13, com custo 240.

A solução encontrada possui, portanto, um custo menor do que a solução definida pelauniversidade. Porém, há algumas divergências de opções entre as instâncias, o que afeta o re-sultado. Com um melhor sistema para cada docente selecionar as opções, de modo que este sejapreenchido por todos e corretamente, é possível utilizar um método como o Simulated Anneal-ing para gerar estas alocações professor-matéria. Como há professores que foram associadosa matérias vazias, é possível que sejam realizados ajustes em cima de uma solução gerada poreste método apresentado.

É interessante notar que devido à uniformidade da instância (a maior parte dos custos eraalta, com o valor 10), a convergência do método foi mais rápida e a variação das soluções foipequena (se comparadas às instâncias geradas aleatoriamente), apesar de ter sido utilizada aconfiguração com os menores valores de parâmetros, já definidos anteriormente.


Matéria Menor custo possívelÁlgebra Linear 1Álgebra Linear 1

Algoritmos e Estrutura de Dados I 1Algoritmos e Estrutura de Dados I 1Algoritmos e Estrutura de Dados I 1Algoritmos e Estrutura de Dados I 1

Arquitetura e Organização de Computadores 2Arquitetura e Organização de Computadores 2

Banco de Dados 1Banco de Dados 1

Bioquimica e Fisiologia Humana 1Bioquimica e Fisiologia Humana 1

Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 1Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 1Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 1

Cálculo Numérico BCC 1Cálculo Numérico BCC 1

Cálculo Numérico II 1Compiladores 10Compiladores 10Eletiva BCC I 1Eletiva BCC I 1Eletiva BCC II 1Eletiva BCC II 1Eletiva BCC III 1Eletiva BCC IV 1Eletiva BMC I 10Eletiva BMC II 2

Espaços Métricos 1Estrutura e Dinamica Social 10Estrutura e Dinamica Social 10

Fenômenos Mecânicos 1Fenômenos Mecânicos 1

Física I 1Física III 1

Física para Computação ("quase"Física III) 3Física para Computação ("quase"Física III) 3

Funções Analíticas 1Geometria Analítica II 1

Inferência e Análise de Regressão 1Introdução à Engenharia de Materiais 1

Introdução à Pesquisa Operacional 1Introdução à Pesquisa Operacional 1

Matemática Discreta 2Metodologia da Pesquisa e Comunicação Científica 1

Multimídia 1Multimídia 1

Otimização não Linear 1Paradigmas de Programação 2Paradigmas de Programação 2

Introdução à Engenharia Biomédica 1Probabilidade II 1

Processamento de Imagens 1Processamento de Imagens 1

Programação Concorrente e Distribuída 1Programação Concorrente e Distribuída 1

Programação Orientada a Objetos I 1Programação Orientada a Objetos I 1

Projeto e Análise de Algoritmos 1Projeto e Análise de Algoritmos 1Projeto e Análise de Algoritmos 1

Quimica Geral Experimental 1Quimica Geral Experimental 1Quimica Geral Experimental 1Quimica Geral Experimental 1Quimica Geral Experimental 1Quimica Geral Experimental 1Quimica Geral Experimental 1Quimica Geral Experimental 1

Teoria dos Grafos 1Teoria dos Grafos 1

Teoria dos números e Criptografia 1Verificação e Validação de Software 1Verificação e Validação de Software 1

Biologia I Curso Prático 4Cálculo I (Vespertino) 10Cálculo I (Noturno) 10

Química 10Química 10Biologia 10

Eletiva BCT 10

Tabela 4.10: Menor custo possível para cada matéria


Método Tempo de execução médio Maior custo Custo mediano Menor custoSA 5044.5 ms 207 205 205

SA Otimizado 5024.1 ms 209 205 205

Tabela 4.11: Tempos de execução e custos encontrados

Professor Matéria 1 Custo Matéria 2 CustoAlvaro Programação Concorrente e Distribuída 1 Programação Concorrente e Distribuída 1

Ana Paula Quimica Geral Experimental 1 Quimica Geral Experimental 1Antonelli Física para Computação ("quase"Física III) 4 Fenômenos Mecânicos 1Arlindo Multimídia 1 Multimídia 1

Cappabianco Projeto e Análise de Algoritmos 4 Arquitetura e Organização de Computadores 3Chaves Introdução à Pesquisa Operacional 1 Programação Orientada a Objetos I 2Claudia Nenhuma 0 Nenhuma 0

Cristovan Quimica Geral Experimental 1 Quimica Geral Experimental 1Daniela Nenhuma 0 Química 10Dayane Quimica Geral Experimental 1 Quimica Geral Experimental 1

Dilermando Introdução à Engenharia de Materiais 1 Nenhuma 0Eliandra Quimica Geral Experimental 1 Quimica Geral Experimental 1

Elizangela Cálculo Numérico BCC 1 Nenhuma 0Erwin Cálculo Numérico II 1 Matemática Discreta 2Eudes Nenhuma 0 Cálculo I (Vespertino) 10

Ezequiel Algoritmos e Estrutura de Dados I 1 Algoritmos e Estrutura de Dados I 1Fabio Verificação e Validação de Software 1 Verificação e Validação de Software 1Flavio Cálculo I (Noturno) 10 Nenhuma 10

Francisco Compiladores 10 Probabilidade II 1Gabriel Introdução à Pesquisa Operacional 2 Cálculo Numérico BCC 1Gama Eletiva BMC II 2 Teoria dos números e Criptografia 1Gurjao Física para Computação ("quase"Física III) 3 Introdução à Engenharia Biomédica 1Jaime Processamento de Imagens 2 Processamento de Imagens 2

Juliana Nenhuma 0 Inferência e Análise de Regressão 1Katia Fenômenos Mecânicos 1 Física I 1Kelly Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 1 Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 1Lilia Nenhuma 0 Nenhuma 0

Manuel Física III 1 Nenhuma 0Marcio Banco de Dados 1 Banco de Dados 1Maria Teoria dos Grafos 1 Teoria dos Grafos 1

Mariana Nenhuma 0 Metodologia da Pesquisa e Comunicação Científica 1Martin Biologia I Curso Prático 4 Nenhuma 0Meira Projeto e Análise de Algoritmos 1 Projeto e Análise de Algoritmos 1Nelson Álgebra Linear 1 Álgebra Linear 1Otavio Eletiva BCC III 2 Programação Orientada a Objetos I 1Passos Espaços Métricos 1 Nenhuma 0Quiles Eletiva BCC I 1 Eletiva BCC II 1Regina Paradigmas de Programação 2 Paradigmas de Programação 2Ricardo Compiladores 10 Otimização não Linear 1

Silas Nenhuma 0 Funções Analíticas 1Silvio Estrutura e Dinamica Social 10 Química 10

Tatiana Bioquimica e Fisiologia Humana 1 Bioquimica e Fisiologia Humana 1Thaciana Nenhuma 0 Geometria Analítica II 1

Tiago Arquitetura e Organização de Computadores 2 Eletiva BCC II 1Valerio Algoritmos e Estrutura de Dados I 1 Eletiva BCC I 2Vilhena Nenhuma 0 Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 1Vinicius Algoritmos e Estrutura de Dados I 1 Eletiva BCC IV 2Danieli Nenhuma 0 Nenhuma 0Eduardo Nenhuma 0 Biologia 10Luciana Estrutura e Dinamica Social 10 Eletiva BMC I 10

Custo Total 205

Tabela 4.12: Uma das soluções encontradas para a instância, com custo 205


Professor Matéria 1 Custo Matéria 2 CustoÁlvaro Programação Concorrente e Distribuída 1 Programação Concorrente e Distribuída 1

Ana Paula Química Geral Experimental 1 Nenhuma 0Antonelli Fenômenos Mecânicos 1 Fenômenos Mecânicos 1Arlindo Multimídia 1 Multimídia 1

Cappabianco Processamento de Imagens 1 Processamento de Imagens 1Chaves Introdução à Pesquisa Operacional 1 Programação Orientada a Objetos I 2Cláudia Biologia I Curso Prático 4 Nenhuma 0

Cristovan Química Geral Experimental 1 Química Geral Experimental 1Daniela Banco de Dados 10 Banco de Dados 10Danieli Química Geral Experimental 10 Nenhuma 0Dayane Química Geral Experimental 1 Química Geral Experimental 1

Dilermando Introdução à Engenharia de Materiais 1 Nenhuma 0Eduardo Compiladores 10 Compiladores 10Eliandra Química Geral Experimental 1 Química Geral Experimental 1

Elizângela Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 2 Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 2Erwin Cálculo Numérico II 1 Nenhuma 0Eudes Cálculo II (Função de Várias Variáveis) 10 Nenhuma 0

Ezequiel Eletiva BCC II 2 Eletiva BCC II 2Fábio Programação Orientada a Objetos I 2 Nenhuma 0Flávio Bioquímica e Fisiologia Humana 1 Nenhuma 0

Francisco Álgebra Linear 2 Probabilidade II 1Gabriel Cálculo Numérico BCC 1 Cálculo Numérico BCC 1Gama Eletiva BMC I 2 Teoria dos números e Criptografia 1Gurjão Física para Computação ("quase"Física III) 3 Nenhuma 0Jaime Eletiva BCC IV 3 Nenhuma 0

Juliana Inferência e Análise de Regressão 1 Nenhuma 0Kátia Física I 1 Nenhuma 0Lília Química Geral Experimental 2 Nenhuma 0

Luciana Estrutura e Dinâmica Social 10 Estrutura e Dinâmica Social 10Manuel Física III 1 Nenhuma 0Márcio Eletiva BCC III 2 Projeto e Análise de Algoritmos 3Mariá Teoria dos Grafos 1 Teoria dos Grafos 1

Mariana Metodologia da Pesquisa e Comunicação Científica 1 Nenhuma 0Martin Biologia 10 Nenhuma 0Meira Projeto e Análise de Algoritmos 1 Projeto e Análise de Algoritmos 1Nelson Cálculo I (Vespertino) 10 Cálculo I (Noturno) 10Otávio Verificação e Validação de Software 3 Verificação e Validação de Software 3Passos Álgebra Linear 2 Espaços Métricos 1Quiles Eletiva BCC I 1 Eletiva BCC I 1Regina Algoritmos e Estruturas de Dados I 1 Algoritmos e Estruturas de Dados I 1Ricardo Introdução à Pesquisa Operacional 5 Otimização não Linear 1

Silas Funções Analíticas 1 Matemática Discreta 2Sílvio Eletiva BCT 10 Introdução à Engenharia Biomédica 10

Tatiana Bioquímica e Fisiologia Humana 1 Nenhuma 0Thaciana Geometria Analítica II 1 Nenhuma 0

Tiago Arquitetura e Organização de Computadores 2 Arquitetura e Organização de Computadores 2Valério Algoritmos e Estruturas de Dados I 1 Algoritmos e Estruturas de Dados I 1Vilhena Eletiva BMC II 10 Nenhuma 0Vinícius Paradigmas de Programação 3 Paradigmas de Programação 3

Custo Total 240

Tabela 4.13: Solução real dada pela universidade, com custo 240

CAPÍTULO

5Conclusão

5.1 Considerações finais

O Problema de Alocação, como ficou demonstrado pelas referências utilizadas, e também nostestes e na análise dos resultados destes feita no Capítulo 4, é um problema complexo e degrande utilidade. Tendo isto em mente, é razoável dizer que, para instâncias pequenas ou mé-dias, utilizar o Branch and Bound é viável. Para instâncias maiores, é recomendado utilizar umaheurística, como o Simulated Annealing, deixando de garantir a solução ótima, mas obtendouma aproximação que pode ser utilizada para resolver o problema em tempo hábil, principal-mente se é necessário aplicá-lo no mundo real, como na instância da universidade apresentadana Seção 4.4.

Além disso, é um problema cuja relaxação, que é permitir conjuntos de agentes e tarefascom tamanhos diferentes, pode ser aplicada a mais casos reais. A instância pode ser adaptadade modo a obedecer a restrição de tamanho dos conjuntos, de modo a aproveitar os métodosutilizados para este problema, com resultados satisfatórios.

Os resultados dos testes feitos foram todos dentro do esperado: o Branch and Bound obteveas soluções ótimas, porém exigiu bastante tempo de execução, e o Simulated Annealing encon-trou boas aproximações para as soluções em tempo bem menor. Entretanto, algo que, apesar deser esperado, é impressionante, é a velocidade com que o problema aumenta, de modo que para

45

46 5.2. Trabalhos Futuros

instâncias de tamanho 30, obtém-se a resposta ótima com o Branch and Bound otimizado comSimulated Annealing em algumas horas (aproximadamente seis), enquanto que o de tamanho 40é impensável para o método da maneira que está implementada, e com o hardware disponível.O Simulated Annealing foi bastante rápido - ao ser comparado com o Branch and Bound - naresolução do problema, e obteve soluções muito boas. Com seu reduzido tempo, permite quepossa ser executado diversas vezes e que seja utilizada a melhor solução encontrada dentre to-das as execuções (e ainda assim tendo um tempo total de execução bem menor que o Branchand Bound).

5.2 Trabalhos Futuros

Há muitas frentes ainda para desenvolver no assunto discutido. Nos parágrafos seguintes sãoabordadas algumas idéias que surgiram após a realização deste trabalho.

Primeiramente, há a otimização dos métodos Branch and Bound e Simulated Annealing. Nocaso do primeiro, há muitas formas de desenvolver a árvore de permutações (ou seja, técnicasde branching) e de obter os limites para o bounding, ou seja, a poda dos ramos ineficientes daárvore, além de outras técnicas pertinentes. Algumas das variantes encontradas na literaturasão:

• Formação da árvore:

– Variante de Dank

– Variante de Land e Doig

– Variante de Spielberg

– Método das Penalidades

– Método de Taha

– Estratégias dinâmicas

• Desenvolvimento da árvore (como percorrê-la):

– Busca em Profundidade

– Busca em Largura

– Variantes Híbridas

• Técnicas para obtenção dos limites:

Capítulo 5. Conclusão 47

– Relaxação Linear

– Relaxação Lagrangeana

– Algoritmos heurísticos e metaheurísticos

– Cortes

Há ainda a otimização do código fonte em si para melhorar o tempo de execução. Podeser utilizada uma estratégia de multithreading, para tirar proveito dos processadores atuais commúltiplos núcleos, tanto no caso do Branch and Bound como do Simulated Annealing.

Para o Simulated Annealing, a idéia é realizar mais testes com diferentes configurações deparâmetros, de modo a obter uma função matemática que possa aproximar o número de iter-ações necessário para uma boa convergência para um resultado, de modo a melhorar a variaçãodas soluções encontradas, obtendo soluções menores no geral. Isto pode ser feito utilizando ospontos obtidos nos testes, e interpolando uma função onde se entra com o tamanho de instân-cia e se obtém os valores recomendados para os parâmetros. Entretanto, apesar de útil, este éum caminho difícil, pois esta função depende de muitas variáveis e características de instânciasdiferentes.

Outra frente a ser desenvolvida é a relaxação do problema, denominada Problema de Alo-cação Generalizado ou Problema do Transporte. Como já citado, pode ser aplicado a aindamais instâncias reais. É possível adaptar os métodos para a relaxação e analisar os resultados.Existem vários materiais abordando este problema, como (Pigatti, 2003), e os outros trabalhospresentes na Seção 1.3.

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APÊNDICE

AApêndice

A.1 Código Fonte do Força Bruta

1 public class ForcaBruta{2 private int melhorCusto;3 private int[] melhorSolucao;4 private int size;5 private int[][] matrizCusto;67 public void permuta(int[] v, int pos, int n){8 if(pos==n){9 custo(v);

10 }else{11 for(int j=pos; j<n; j++){12 swap(v,pos,j);13 permuta(v, pos+1, n);14 swap(v,pos,j);15 }16 }17 }1819 public void swap(int[] v, int i, int j){20 int aux = v[i];21 v[i]=v[j];22 v[j]=aux;23 }2425 public int getMelhorCusto() {26 return melhorCusto;27 }2829 public int[] getMelhorSolucao() {30 return melhorSolucao;31 }3233 public void copiaVetor(int[] v1, int[] v2){ //copia de v2 para v134 for(int i = 0; i < v1.length; i++)35 v1[i] = v2[i];

53

54 A.2. Código Fonte do Branch and Bound

36 }3738 public int custo(int[] v){39 int soma = 0;40 for(int i = 0; i < v.length; i++)41 soma += matrizCusto[i][v[i]];42 if(soma < melhorCusto){43 melhorCusto = soma;44 copiaVetor(melhorSolucao, v);45 }46 return soma;47 }4849 public int forcaBruta(int[][] custos){50 size = custos.length;5152 int[] v = new int[size];53 for(int i=0; i<size; i++){ //geracao da solucao inicial54 v[i]=i;55 }5657 matrizCusto = custos;5859 melhorCusto = custo(v);60 melhorSolucao = new int[size];61 copiaVetor(melhorSolucao, v); //copia v para melhorSolucao62 permuta(v, 0, size); //executa o metodo propriamente dito63 return melhorCusto;64 }65 }

A.2 Código Fonte do Branch and Bound

1 public class BranchAndBound {2 private int melhorCusto;3 private int[] melhorSolucao;4 private int size;5 private int[][] matrizCusto;67 public void permuta(int [] v, int pos, int n){8 if(pos==n){9 custo(v);

10 }else{11 if(custo(v, pos) <= melhorCusto){12 for(int j=pos; j<n; j++){13 swap(v,pos,j);14 permuta(v, pos+1, n);15 swap(v,pos,j);16 }17 }18 }19 }2021 public void swap(int[]v, int i, int j){22 int aux = v[i];23 v[i]=v[j];24 v[j]=aux;25 }2627 public int getMelhorCusto() {28 return melhorCusto;29 }30

Capítulo A. Apêndice 55

31 public int[] getMelhorSolucao() {32 return melhorSolucao;33 }3435 public void copia(int[] v1, int[] v2){36 for(int i = 0; i < v1.length; i++)37 v1[i] = v2[i];38 }3940 public int custo(int[] v){41 int soma = 0;42 for(int i = 0; i < v.length; i++)43 soma += matrizCusto[i][v[i]];44 if(soma < melhorCusto){45 melhorCusto = soma;46 copia(melhorSolucao, v);47 }48 return soma;49 }5051 public int custo(int[] v, int n){52 int soma = 0;53 for(int i = 0; i < n; i++)54 soma += matrizCusto[i][v[i]];55 return soma;56 }5758 public int branchNbound(int[][] custos){59 size = custos.length;60 matrizCusto = custos;6162 int[] v = new int[size];63 for(int i=0; i<size; i++){64 v[i]=i;65 }66 melhorCusto = custo(v);67 melhorSolucao = new int[size];68 copia(melhorSolucao, v);6970 permuta(v, 0, size);71 }7273 public int boundOtimizado(int[][] custos){74 size = custos.length;75 matrizCusto = custos;7677 AlgoritmoGuloso ag = new AlgoritmoGuloso();78 int[] v = ag.alGuloso(custos);7980 melhorCusto = custo(v);81 melhorSolucao = new int[size];82 copia(melhorSolucao, v);8384 permuta(v, 0, size);8586 return melhorCusto;87 }8889 public int boundOtimizado2(int[][] custos){90 size = custos.length;91 matrizCusto = custos;9293 SimulatedAnnealing sa = new SimulatedAnnealing();9495 melhorCusto = sa.SA(custos, 1);96 int[] v = sa.getMelhorSolucao();97 melhorSolucao = new int[size];

56 A.3. Código Fonte do Simulated Annealing

98 copia(melhorSolucao, v);99

100 permuta(v, 0, size);101 return melhorCusto;102 }103 }

A.3 Código Fonte do Simulated Annealing

1 import java.util.*;2 public class SimulatedAnnealing{3 private int melhorCusto;4 private int[] melhorSolucao;5 private int[][] matrizCusto;6 private int size;78 public int SA(int[][] custos, int optimised){9 size = custos.length;

10 matrizCusto = custos;11 int[] v;1213 if(optimised == 1){14 AlgoritmoGuloso ag = new AlgoritmoGuloso();15 v = ag.alGuloso(matrizCusto);16 }17 else18 v = geraSolucaoInicial();1920 melhorCusto = custo(v);21 melhorSolucao = new int[size];22 copia(melhorSolucao, v);2324 simAnnealing(v);2526 melhorCusto = custo(melhorSolucao);27 return melhorCusto;28 }2930 public void simAnnealing(int[] permutacao){31 double temperatura = Math.pow(size, 2);32 double taxaResfriamento = 0.95;33 int itera = size * 100;34 Random r = new Random();35 int[] atual = permutacao;36 melhorSolucao = atual;37 double Cvizinho=0, Catual=0, delta=0, Cmelhor=0;38 Cmelhor = custo(melhorSolucao);39 while(temperatura > 0.001) {40 for(int j = 0; j < itera; j++){41 int[] aux = new int[size];42 System.arraycopy(atual, 0, aux, 0, atual.length);43 int[] vizinho = new int[size];44 System.arraycopy(atual, 0, vizinho, 0, atual.length);45 vizinho = swap(vizinho);46 Cvizinho = custo(vizinho);47 Catual = custo(atual);48 delta = Cvizinho - Catual;4950 if(delta < 0){51 atual = vizinho;52 if(Cvizinho < Cmelhor) {53 melhorSolucao = atual;54 Cmelhor = custo(melhorSolucao);

Capítulo A. Apêndice 57

55 }56 }57 else{58 double exp = ((-1)*delta)/temperatura;59 double e = Math.exp(exp);60 double f = r.nextFloat();61 if(e > f) {62 atual = vizinho;63 }64 }65 }66 temperatura *= taxaResfriamento;67 }68 }6970 public int[] swap(int[] vetor){71 Random r = new Random();72 int j = r.nextInt(vetor.length);73 int i = r.nextInt(vetor.length);7475 int a = vetor[i];76 int b = vetor[j];7778 vetor[i] = b;79 vetor[j] = a;808182 return vetor;83 }8485 public int custo(int[] vetor){86 int soma = 0;87 for(int i = 0; i < vetor.length; i++)88 soma += matrizCusto[i][vetor[i]];89 return soma;90 }9192 public int[] geraSolucaoInicial(){93 int[] vetor = new int[size];94 for(int i = 0; i < vetor.length; i++)95 vetor[i]=i;96 return vetor;97 }9899 public void copia(int[] v1, int[] v2){

100 for(int i = 0; i < v1.length; i++)101 v1[i] = v2[i];102 }103104 public int getMelhorCusto() {105 return melhorCusto;106 }107108 public int[] getMelhorSolucao() {109 return melhorSolucao;110 }111112 }

A.4 Código Fonte do Algoritmo Guloso

1 import java.util.ArrayList;2

58 A.4. Código Fonte do Algoritmo Guloso

3 public class AlgoritmoGuloso {4 private int melhorCusto;5 private int[] melhorSolucao;6 private int size;7 private int[][] matrizCusto;89 public int[] alGuloso(int[][] custos){

10 matrizCusto = custos;11 size = custos.length;1213 melhorSolucao = new int[size];14 ArrayList<Integer> tarefas = new ArrayList<Integer>();15 int i, j, menorTarefa = 0, indiceMenorTarefa = 0, tarefaAtual;1617 for(i = 0; i < size; i++)18 tarefas.add(i);1920 for(i = 0; i < size; i++){21 for(j = 0; j < tarefas.size(); j++){22 tarefaAtual = tarefas.get(j);23 if(matrizCusto[i][tarefaAtual] < matrizCusto[i][menorTarefa]){24 menorTarefa = tarefaAtual;25 indiceMenorTarefa = j;26 }27 }28 melhorSolucao[i] = menorTarefa;29 tarefas.remove(indiceMenorTarefa);3031 try{32 menorTarefa = tarefas.get(0);33 }catch(Exception e){}34 indiceMenorTarefa = 0;35 }36 return melhorSolucao;37 }3839 public int custo(){40 int soma = 0;41 for(int i = 0; i < melhorSolucao.length; i++)42 soma += matrizCusto[i][melhorSolucao[i]];43 return soma;44 }4546 public int getMelhorCusto() {47 return melhorCusto;48 }49 }

um estudo sobre o problema de alocação - ft.unicamp.br · resumo e ste trabalho contém um estudo...

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