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Um estudo sobre a equação de Schrödinger

biharmônica

Heloísa Lopes de Sousa

Orientador: Prof. Dr. Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta

Coorientador: Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira

Programa de Pós-graduação em Matemática Aplicada e Computacional

Presidente Prudente, março de 2015

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente

Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional

Um estudo sobre a equação de Schrödinger

biharmônica

Heloísa Lopes de Sousa

Orientador: Prof. Dr. Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta

Coorientador: Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira

Dissertação apresentada ao Programa dePós-Graduação em Matemática Aplicada eComputacional da Universidade EstadualPaulista "Julio de Mesquita Filho" campusde Presidente Prudente para obtenção dotítulo de mestre em Matemática Aplicada eComputacional.

Presidente Prudente, março de 2015

FICHA CATALOGRÁFICA

Sousa, Heloísa Lopes de.S696e Um estudo sobre a equação de Schrödinger biharmônica / Heloísa Lopes

de Sousa. - Presidente Prudente : [s.n.], 201560 p.

Orientador: Marcos Tadeu de Oliveira PimentaDissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de

Ciências e TecnologiaInclui bibliografia

1. Equações biharmônicas. 2. Métodos variacionais. 3. Métodos de penalização. I. Pimenta, Marcos Tadeu de Oliveira. II. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. III. Título.

À minha mãe Fátima

e à memória de meu pai José.

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por ter feito possível este trabalho, pois em minha

trajetória ele colocou pessoas especiais que foram imprescindíveis para realizá-lo.

Agradeço em especial a minha mãe Fátima que em meio de todos os imprevistos que

a vida nos oferece ela sempre me deu exemplos de força de vontade, generosidade e de

dedicação. Ao meu pai José pelas conversas sobre a vida, sempre breves mas valiosas,

sinto falta delas. Por eles terem me dado o melhor que puderam oferecer.

Aos meus irmãos Aline e Junior pelas brincadeiras de criança, por todo o apoio e por

cuidarem da mãe e do pai quando eu não estava por perto.

Ao meu namorado e amigo Junior pelo seu companheirismo, por sempre me dar forças,

por todos os domingos e feriados que passamos estudando Análise e por estar ao meu lado

nos momentos difíceis.

À minha ex-colega de república e amiga Juliana Gori (Juh) pelos três anos de con-

vivência, por segurar a barra quando a bolsa atrasava e por todas as conversas que me

ajudaram a amadurecer.

Aos meus amigos da UEM que durante os quatro anos de graduação me proporciona-

ram momentos memoráveis. Aos professores de lá, agradeço por todo conhecimento ofe-

recido, por terem me dado a base de minha formação. Em especial à professora Claudete

Matilde Webler Martins que por dois anos me orientou no projeto de iniciação cientíca,

por ter me incentivado a entrar no mestrado, mais do que isto, por ter me feito acreditar

que era possível e por ter me dado total apoio para que realmente acontecesse.

Aos professores e amigos do Pós-Mac pela aprendizagem e pelos momentos de descon-

tração e amizade.

Ao professor Suetônio de Almeida Meira pela coorientação, pela disposição em me

atender, por todos os conselhos e ensinamentos que me ajudaram muito durante os estu-

dos.

6

Agradeço ao meu orientador Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta por sua imensa paci-

ência, sempre disposto a me atender. Pela maneira dedicada e prossional que guiou este

trabalho, sendo assim um exemplo de professor que pretendo seguir. Pelos ensinamentos

e por todas as conversas de apoio e incentivo.

Por m, agradeço à CAPES pelo apoio nanceiro.

A pesquisa básica é como atirar uma echa para o ar e,

onde ela cair, pintar um alvo.

Homer Adkins Burton

Resumo

Neste trabalho teórico em Equações Diferenciais Parciais Elípticas, estudamos uma

versão estacionária da equação de Schrödinger não-linear biharmônica. O objetivo prin-

cipal versa sobre resultados de existência e concentração de soluções não-triviais, quando

um parâmetro ε tende a zero. São utilizados métodos variacionais para estudar existência

das soluções fracas não-triviais com hipóteses sobre o pontecial e sobre a não-linearidade.

Palavras-Chave: Equações Biharmônicas, Métodos Variacionais, Métodos de Penali-

zação.

Abstract

In this theoretical work in Elliptic Partial Dierential Equations, we study a statio-

nary version of the biharmonic nonlinear Schrödinger equation. The main objective aims

existence results and concentration of nontrivial solutions when a parameter ε tends to

zero. Variational methods are used to study the existence of the weak nontrivial solutions

under certain assumptions on the potential and the nonlinearity.

Keywords: Biharmonic Equations, Variational methods, Penalization methods.

Índice de Notações

|A| é a medida de Lebesgue de um subconjunto A ⊂ RN ;

Ck(Ω) = u : Ω→ R; u é continuamente k vezes diferenciável

Ck0 (Ω) = u ∈ Ck(Ω); supp(u) é compacto;

Ck,α(Ω) = u ∈ Ck(Ω);Dku é α− Hölder contínua;

‖u‖Lp(Ω) =

(∫Ω

|u|pdx) 1

p

;

Lp(Ω) = u : Ω→ R; u é mensurável e ‖u‖Lp(Ω) <∞;

‖u‖L∞(Ω) = infa ≥ 0; x ∈ Ω; |u(x)| > a = 0;

L∞(Ω) = u : Ω→ R; u é mensurável e ‖u‖L∞(Ω) <∞;

Wm,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω);Dαu ∈ Lp(Ω)∀|α| ≤ m, onde α = (α1, . . . , αN) é um multi-

índice;

‖u‖Wm,p(Ω) =

(m∑i=1

‖Diu‖Lp(Ω)

) 1p

;

Wm,p0 (Ω) = C∞0 (Ω), onde o fecho é tomado com respeito a norma ‖.‖Wm,p(Ω);

Hm(Ω) = Wm,2(Ω);

Hm0 (Ω) = C∞0 (Ω), onde o fecho é tomado com respeito a norma ‖.‖Hm(Ω);

∆u =N∑i=1

∂2u

∂x2i

;

∆2u = ∆(∆u);

2∗ =2N

N − 4;

2∗ =2N

N − 2.

13

Sumário

Capítulos

1 Introdução 17

2 Preliminares 21

2.1 Distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Teoremas de densidade e imersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Teorema do Passo da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Existência e concentração de soluções 31

3.1 O problema modicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Considerações Finais 55

Referências 57

Capítulo

1

Introdução

Nos últimos anos, vários autores têm estudado diversas questões relativas à equação

de Schrödinger estacionária não-linear

−ε2∆u+ V (x)u = f(u) em Ω

u ∈ H1(Ω),(1.1)

com condições de fronteira de Neumann ou Dirichlet, onde Ω ⊂ RN é um domínio não

necessariamente limitado. Motivado por Floer e Weinstein [7], Rabinowitz em [13] usou

argumentos do tipo passo da montanha para encontrar soluções de energia mínima de (1.1)

para ε > 0 sucientemente pequeno, onde N ≥ 3, Ω = RN e f é uma não-linearidade

superlinear e subcrítica. Sobre o potencial V foi assumida a seguinte condição

0 < V0 = infx∈RN

V (x) < lim inf|x|→∞

V (x).

Em [15], Wang provou que as soluções do passo da montanha encontradas por Rabi-

nowitz em [13] apresentam um fenômeno de concentração em torno de um mínimo global

de V , se ε→ 0. Em [5], Del Pino e Felmer usaram um método de penalização para pro-

var a existência e concentração de soluções para o problema (1.1), com não-linearidade

superlinear e subcrítica e com o potencial V satisfazendo a seguinte condição

infx∈Λ

V (x) < infx∈∂Λ

V (x),

onde Λ é um domínio limitado contido em Ω. Esses argumentos inspiraram muitos autores

nos últimos anos, entre eles Alves e Figueiredo em [2, 3], que consideraram o problema

17

1. Introdução 18

(1.1) com o operador de Laplace substituído pelo p-Laplaciano e obtiveram existência,

multiplicidade e concentração de soluções positivas.

Embora muitos autores tenham estudado o problema (1.1) para os operadores Lapla-

ciano e p-Laplaciano, poucos trabalhos podem ser encontrados tratando de equações de

Schrödinger biharmônicas, dadas por

ε4∆2u+ V (x)u = f(u) em RN

u ∈ H2(RN),(1.2)

Em [11, 12], Pimenta e Soares provam a existência de uma família de soluções para

(1.2), onde estas apresentam um fenômeno de concentração em torno de um ponto de

mínimo global de V , tal como feito em [5]. Já no trabalho [6], Figueiredo e Pimenta

provam a existência e multiplicidade de soluções que se concentram em torno de um

mínimo global de V, levando-se em conta propriedades topológicas do conjunto onde V

atinge o seu mínimo, onde a equação considerada é semelhante a (1.2).

Neste trabalho, realizamos um estudo detalhado do trabalho [11], considerando-se uma

não-linearidade f satisfazendo as condições:

(f1) f ∈ C1(R),

(f2) f(ξ) = o(ξ), quando ξ → 0,

(f3) existem constantes a1, a2 > 0 tais que

|f(ξ)| ≤ a1|ξ|+ a2|ξ|p, ∀ξ ∈ R

onde 1 ≤ p < N+4N−4

,

(f4) para algum 2 < θ ≤ p+ 1, temos para todo ξ 6= 0

0 ≤ θF (ξ) < f(ξ)ξ, onde F (ξ) =

∫ ξ

0

f(t)dt,

(f5) a função ξ 7→ f(ξ)

ξ, é crescente para ξ > 0, decrescente para ξ < 0.

Quanto ao potencial V , vamos supor as seguintes condições:

(V1) V ∈ C0(RN) ∩ L∞(RN),

(V2) existe um aberto Ω ⊂ RN limitado e x0 ∈ Ω tais que

1. Introdução 19

0 < V (x0) = V0 = infRN

V < inf∂ΩV.

O objetivo é mostrar o seguinte resultado

Teorema 1 Sejam f e V funções que satisfazem (f1)−(f5) e (V1)−(V2) respectivamente.

Então para toda sequência εn → 0 existe uma subsequência que continuaremos a denotar

por εn tal que (1.2) (com εn = ε) possui uma solução não-trivial un ∈ H2(RN). Ainda

mais, sendo xn ponto de máximo de |un|, então xn ∈ Ω e ainda

limn→∞

V (xn) = infRN

V.

No trabalho [11], os autores provam os resultados sem utilizar a condição (f4) sobre

a não-linearidade, chamada de condição de Ambrosetti-Rabinowitz. Ao invés dessa, con-

sideraram uma condição de superlinearidade sobre f mais fraca, de modo a abranger um

número maior de não-linearidades, o que exigiu a adição de muitos resultados técnicos ao

trabalho.

Nossa proposta, ao apresentar o texto com uma condição mais restritiva, foi para que

este se torne mais acessível, por conter menos detalhes técnicos, a um iniciante na área

que se interesse pelo trabalho [11], onde todas as demonstrações apresentem somente os

detalhes inerentes à técnica de penalização utilizada e não aos que são técnicos oriundos

da falta da condição de Ambrosetti-Rabinowitz.

Para compreender resultados do trabalho [11], foi necessário um estudo prévio de

vários resultados abstratos da Teoria da Análise Não-Linear, alguns dos quais compõem

o segundo capítulo, como por exemplo o conhecido Teorema do Passo da Montanha.

Capítulo

2

Preliminares

Neste capítulo veremos algumas denições, notações e resultados importantes para o

desenvolvimento do trabalho. Primeiramente descrevemos uma nova classe de objetos em

que é coerente denir uma derivada (generalizada) onde as regras do cálculo se mantenham

e ao mesmo tempo possa-se incluir funções não diferenciáveis no sentido clássico. Tais

objetos são as chamadas distribuições.

Após veremos uma importante operação com distribuições, denimos os Espaços de

Sobolev e admitimos os Teoremas de Imersões. Por m demostramos o Teorema do Passo

da Montanha.

2.1 Distribuições

Seja φ : Ω ⊂ RN → R(C) uma função contínua no aberto Ω. Então denimos:

Denição 1 O conjunto supp(φ) = x ∈ Ω;φ(x) 6= 0 é chamado de suporte de φ. Se

este conjunto além de fechado for compacto dizemos que φ tem suporte compacto.

Denição 2 O espaço vetorial das funções C∞(RN) com suporte compacto, o qual cha-

mamos de espaço das funções teste, será denotado por D(RN). Se Ω é um aberto do RN ,

ainda podemos falar do espaço das funções C∞ com suporte compacto contido em Ω. Este

espaço será denotado por D(Ω).

Vamos fornecer à D(Ω) uma topologia tal que faça de D(Ω) um espaço vetorial topo-

lógico. Precisamos então saber o que são sequências convergentes em D(Ω).

21

2. Preliminares 22

Denição 3 Uma sequência φm de funções em D(Ω) é dita convergente para zero se

existir um compacto K ⊂ Ω tal que supp(φm) ⊂ K, para todo m e todas as suas derivadas

convergem uniformemente para zero em K.

Denição 4 Um funcional linar T denido em D(Ω) é dito uma distribuição em Ω sem-

pre que, se φm → 0 em D(Ω) então T (φm)→ 0, quando m→∞.

O espaço das distribuições, o qual é o dual do espaço das funções teste, é denotado

por D′(Ω).

Exemplo 1 (A ditribuição de Dirac) Seja x ∈ RN . Dena δx por δx(φ) = φ(x),

para toda φ ∈ D(RN). É claro que δx dene uma distribuição. Em particular se x = 0

escrevemos apenas δ e este é o conhecido δ de Dirac.

Denição 5 Uma função f : Ω ⊂ RN → R(C) é dita localmente integrável se para

qualquer compacto K ⊂ Ω tivermos que∫K

|f | <∞. Denotamos o espaço das funções

denidas em Ω que são localmente integráveis por L1loc(Ω).

Exemplo 2 Dada uma função localmente integrável f dena o funcional linear Tf em

D(Ω) por Tf (φ) =

∫Ω

fφdx. É fácil vericar que Tf é uma distribuição em D′(Ω).

Vamos agora ver uma operação familiar ao Cálculo aplicada à distribuições, que é a

de diferenciação. Começaremos com a denição de multi-índice de Schwartz, a qual será

muito útil.

Denição 6 Um multi-índice α é uma n-upla α = (α1, · · · , αn), αi ≥ 0 inteiros. Asso-

ciado a um multi-índice α temos: |α| = α1 + · · · + αn, (ordem de α); α! = α1! · · ·αn!;

xα = xα11 · · ·xαnn , onde x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn.

Por m denimos Dα =∂|α|

∂xα11 · · · ∂xαnn

.

Denição 7 Sejam T ∈ D′(Ω) e Ω ⊂ RN aberto. Denimos para todo multi-índice α a

distribuição DαT por

(DαT )(φ) = (−1)|α|T (Dαφ) ∀φ ∈ D(Ω)

Exemplo 3 Consideremos a função de Heaviside em R

H(x) =

1 x ≥ 0

0 x < 0.

2. Preliminares 23

Esta função é localmente integrável e por isso dene uma distribuição, a qual denotaremos

por TH . Seja φ ∈ D(R) então

dTHdx

(φ) = −TH(dφ

dx

)= −

∫RHdφ

dxdx = −

∫ +∞

0

dφ

dxdx = − lim

y→+∞

[∫ y

0

dφ

dxdx

]= φ(0) = δ(φ)

∴dTHdx

= δ ( δ de Dirac).

2.2 Espaços de Sobolev

Seja Ω um aberto do RN , 1 ≤ p < +∞ e m ∈ N. Se u ∈ Lp(Ω), é sabido que u possui

derivadas de todas as ordens no sentido das distribuições, mas não é verdade, em geral,

que Dαu seja uma distribuição denida por uma função de Lp(Ω).

Quando Dαu é gerada por uma função de Lp(Ω), deni-se um novo espaço denominado

espaço de Sobolev, o qual representamos porWm,p(Ω) o espaço vetorial de todas as funções

u ∈ Lp(Ω), tais que para todo |α| ≤ m, Dαu ∈ Lp(Ω), isto é

Wm,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω);Dαu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ m

sendo Dαu a derivada no sentido das distribuições.

Para cada u ∈ Wm,p(Ω) denimos a norma de u da forma:

‖u‖pm,p =∑|α|≤m

∫Ω

|Dαu|pdx.

O espaço normado (Wm,p(Ω), ‖.‖m,p) é denominado espaço de Sobolev.

Representa-se Wm,2(Ω) = Hm(Ω) devida a estrutura hilbertiana de L2(Ω), a qual é

herdada pelos espaços Hm(Ω).

Teorema 2 Os espaços de Sobolev Wm,p(Ω) são espaços de Banach.

Demonstração: Seja uν uma sequência de Cauchy em Wm,p(Ω). Mostremos que uν

converge para uma função u ∈ Wm,p(Ω). De fato, como uν é de Cauchy temos:

‖uν − uµ‖pm,p =∑|α|≤m

∫Ω

|Dαuν −Dαuµ|pdx→ 0, ν, µ→ +∞.

2. Preliminares 24

Segue que (Dαuν) é uma sequência de Cauchy do espaço de Banach Lp(Ω). Logo, para

cada |α| ≤ m, existe uα ∈ Lp(Ω) tal que: Dαuν → uα em Lp(Ω). Em particular, quando

α = (0, · · · , 0) temos que uν → u em Lp(Ω).

Basta mostrar que Dαu = uα. Com efeito, das convergências anteriores, temos as

seguintes convergências em D′ (Ω)

Dαuν → uα e Dαuν → Dαu

pela unicidade do limite concluímos o desejado.

Corolário 1 Os espaços Hm(Ω) são espaços de Hilbert com o produto interno

(u, v)Hm(Ω) =∑|α|≤m

(Dαu,Dαv)L2(Ω).

O espaço das funções C∞ com suporte compacto contido em Ω é denso em Lp(Ω), mas

não é verdade que este mesmo espaço, o qual passamos a denotar por C∞0 (Ω), seja denso

em Wm,p(Ω). Por esta razão dene-se o espaço Wm,p0 (Ω) como sendo o fecho de C∞0 (Ω)

em Wm,p(Ω), isto é,

Wm,p0 (Ω) = C∞0 (Ω)

‖.‖m,p.

Os espaços Wm,p0 (Ω) também são espaços de Banach e em particular, quando p = 2,

Wm,20 (Ω) = Hm

0 são espaços de Hilbert.

2.2.1 Teoremas de densidade e imersão

As demostrações dos resultados desta seção podem ser encontradas em [9].

Teorema 3 O subespaço C∞(Ω) ∩W k,p(Ω) é denso em W k,p(Ω).

Vamos agora enunciar as conhecidas desigualdades de Sobolev para funções emW 1,p0 (Ω).

Teorema 4

W 1,p0 (Ω) ⊂

LNpN−p (Ω) para p < N,

C0(Ω) para p > N.

2. Preliminares 25

Além disso, existe uma constante C = C(N, p) tal que, para qualquer u ∈ W 1,p0 (Ω),

‖ u ‖ NpN−p

≤ C ‖ Du ‖p para p < N,

supΩ|u| ≤ C|Ω|

1N− 1p ‖ Du ‖p para p > N.

Denição 8 Dizemos que um espaço de Banach B1 está imerso continuamente no espaço

de Banach B2 e denotamos B1 → B2, se existir uma aplicação linear limitada e bijetora

B1 7→ B2.

Assim, o Teorema 4 pode ser expresso da forma

W 1,p0 (Ω) → L

NpN−p (Ω) p < N,

W 1,p0 (Ω) → C0(Ω) p > N.

Iterando o Teorema 4 k vezes chegamos a uma extensão para os espaços W k,p0 (Ω).

Corolário 2

W k,p0 (Ω) → L

NpN−kp (Ω) kp < N,

W k,p0 (Ω) → Cm(Ω) kp > N.

2.3 Teorema do Passo da Montanha

Seja E um espaço de Banach e I : E → R um funcional. Vejamos as seguintes

denições.

Denição 9 O funcional I é Fréchet diferenciável em u ∈ E se existe uma aplicação

linear contínua L = L(u) : E → R satisfazendo:

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, u) > 0 tal que |I(u+ v)− I(u)− Lv| ≤ ε‖v‖, sempre que ‖v‖ ≤ δ.

A aplicação L é usualmente denotada por I ′(u).

Denição 10 Um ponto crítico u de I é tal que I ′(u) = 0, isto é,

I ′(u)ψ = 0, ∀ψ ∈ E.

2. Preliminares 26

O valor de I em u é então chamado de valor crítico de I.

Em aplicações para equações diferenciais parciais, pontos críticos de funcionais cor-

respondem a soluções fracas de equações.

Existem resultados que garantem a existência de ponto crítico de funcionais. O Teo-

rema do Passo da Montanha é um desses resultados e está intimamente relacionado com

a condição de Palais-Smale (PS).

Denição 11 Seja I ∈ C1(E,R), E espaço de Banach. Dizemos que I satisfaz a con-

dição de Palais-Smale (PS) se qualquer sequência un em E tal que I(un) é uma

sequência limitada de números reais e I ′(un)→ 0 quando n→∞, possua uma subsequên-

cia convergente.

Vamos provar a versão usual do Teorema do Passo da Montanha. A prova se torna

simples utilizando a seguinte versão do Lema da deformação.

Lema 1 (Lema da deformação) Seja E um espaço de Banach. Suponha que o funci-

onal I ∈ C1(E,R) é tal que satisfaça a condição (PS). Se c ∈ R não é um valor crítico

de I, então dado ε > 0 existe um ε ∈ (0, ε) e η ∈ C([0, 1] × E,E) tais que para qualquer

u ∈ E e t ∈ [0, 1] tem-se:

1o) η(t, u) = u se, u /∈ I−1 ([c− ε, c+ ε]);

2o) η(1, Ic+ε) ⊂ Ic−ε.

Demonstração:

Como c ∈ R não é um valor crítico de I, devem existir constantes α, β > 0 tais que se

u ∈ I−1 ([c− α, c+ α]) implica que ‖I ′(u)‖ ≥ β, caso contrário, para quaisquer α, β > 0

existirá u∗ ∈ I−1 ([c− α, c+ α]) com ‖I ′(u∗)‖ < β.

Tome para cada n ∈ N α = 1ne β = 1

n, assim existirá u∗n tal que

c− 1

n≤ I(u∗n) ≤ c+

1

ncom ‖I ′(u∗n)‖ < 1

n∀n ∈ N.

Logo, passando o limite quando n→∞ obtemos que I(u∗n)→ c e I ′(u∗n)→ 0.

Como I satisfaz a condição (PS) temos que a menos de subsequências u∗n → u em E.

Uma vez que I ∈ C1(E,R), temos I(u∗n)→ I(u) e I ′(u∗n)→ I ′(u).

Pela unicidade do limite segue que I(u) = c e I ′(u) = 0, isto é, c é um valor crítico de

I, o que é uma contradição.

2. Preliminares 27

Portanto, existem constantes α, β > 0 tais que, se u ∈ I−1 ([c− α, c+ α]) então

‖I ′(u)‖ ≥ β.

Agora considere ε ∈ (0, α] xado, ε ∈ (0, ε) e δ =4ε

β.

Sejam

A = I−1 ([c− ε, c+ ε]) , B = I−1 ([c− ε, c+ ε]) e Y = u ∈ E; I ′(u) 6= 0 .

Além disso, considere V : Y → X um campo pseudo-gradiente para I em Y , isto é, V

é uma aplicação contínua localmente Lipschitziana e tal que, para cada u ∈ Y satisfaz:

(i) ‖V (u)‖ ≤ 2‖I ′(u)‖,

(ii) 〈I ′(u), V (u)〉 ≥ ‖I ′(u)‖2.

Considere também 0 ≤ ρ ≤ 1 uma função localmente Lipschitziana denida por

ρ : E −→ R

u 7−→ ρ(u) = d(u,E\A)d(u,E\A)+d(u,B)

.

Dena f : E → E por

f(u) =

−ρ(u) V (u)‖V (u)‖ , se u ∈ A

0, se u /∈ A.

Temos que f é localmente Lipschitziana e ‖f‖ ≤ 1 para toda u ∈ E.

Temos ainda que o problema de Cauchy

ddtw(t, u) = f(w(t, u))

w(0, u) = u,

tem solução única, a qual denotamos por w(t, u), que está denida para todo t ∈ R e para

cada u ∈ E.

Seja η : [0, 1]×E → E denida por η(t, u) = w(δt, u). Vamos mostrar que η(t, u) = u

se u /∈ I−1 ([c− ε, c+ ε]) = A.

De fato, seja w1(t, u) = u para todo t ∈ R. Note qued

dtw1(t, u) = 0 = f(w1(t, u)),

pois u /∈ A, o que implica

ddtw1(t, u) = f(w1(t, u))

w1(0, u) = u,

2. Preliminares 28

Por unicidade w1(t, u) = u = w(t, u) para todo t ∈ R. Logo se u /∈ A temos que

η(t, u) = w(δt, u) = u para t ∈ [0, 1], o que mostra o primeiro item do Lema.

Para o segundo item do Lema note que para cada u ∈ E xado a função I(w(t, u)) é

decrescente em t. Seja u ∈ Ic+ε iremos considerar dois casos:

(1) Para algum t ∈ [0, δ], temos I(w(t, u)) ≤ c− ε.

Assim como I(w(t, u)) é decrescente I(w(δ, u)) ≤ I(w(t, u)) ≤ c − ε, donde segue

η(1, u) = w(δ, u) ∈ Ic−ε.

(2) Para todo t ∈ [0, δ], temos I(w(t, u)) ≥ c− ε.

Visto que I(w(t, u)) é decrescente I(w(t, u)) ≤ I(w(0, u)) = I(u) ≤ c+ ε.

Logo w(t, u) ∈ I−1 ([c− ε, c+ ε]) = B para todo t ∈ [0, δ].

Usando que I(w(t, u)) é decrescente e que ρ = 1 em B, obtemos

I(w(δ, u)) = I(u) +

∫ δ

0

d

dtI(w(t, u))dt

≤ I(u) +1

2

∫ δ

o

‖I ′(w(t, u))‖dt

≤ c+ ε− 1

2

4ε

δδ = c− ε.

Mostrando que

I(w(δ, u)) ≤ c− ε.

Portanto, em qualquer caso, temos que η(1, u) = w(δ, u) ∈ Ic−ε se u ∈ Ic+ε, isto é,

η(1, Ic+ε) ⊂ Ic−ε.

Teorema 5 (Teorema do Passo da Montanha) Seja E um espaço de Banach e su-

ponha que o funcional I ∈ C1(E,R) e satisfaça a condição (PS).

Suponha ainda que I(0) = 0 e

I1) existem constantes ρ, α > 0 tais que I|∂Bρ ≥ α, e

I2) existe e ∈ E \Bρ tal que I(e) ≤ 0.

Então I possui um valor crítico c ≥ α. Além disso c pode ser caracterizado como

c = infg∈Γ

maxu∈g([0,1])

I(u) = infg∈Γ

maxt∈[0,1]

I(g(t)),

2. Preliminares 29

onde Γ = g ∈ C([0, 1], E); g(0) = 0 e g(1) = e.

Demonstração: Note que c = infg∈Γ

maxt∈[0,1]

I(g(t)) <∞. De fato, como g ∈ C([0, 1], E),

g([0, 1]) ⊂ E é um conjunto compacto, logo o conjunto I(g(t)); t ∈ [0, 1] atinge seu

máximo.

Armação: maxt∈[0,1]

I(g(t)) ≥ α, para toda g ∈ Γ. Com efeito, seja g ∈ Γ e dena

h : [0, 1]→ R por h(t) = ‖g(t)‖.

É claro que h é contínua e ainda, h(0) = ‖g(0)‖ = ‖0‖ = 0 < ρ, e como e ∈ E \Bρ segue

que h(1) = ‖g(1)‖ = ‖e‖ > ρ.

Desta forma h(0) < ρ < h(1), pelo teorema do valor intermediário existe t0 ∈ (0, 1)

tal que h(t0) = ρ, isto é, ‖g(t0)‖ = ρ.

Logo g(t0) ∈ ∂Bρ e pela condição I1) segue que I(g(t0)) ≥ α. Como g ∈ Γ é qualquer

obtemos que maxt∈[0,1]

I(g(t)) ≥ α, para toda g ∈ Γ.

Então o conjunto H =

maxt∈[0,1]

I(g(t)); g ∈ Γ

é limitado inferiormente por α.

Portanto c = infg∈Γ

maxt∈[0,1]

I(g(t)) está bem denido e ainda α sendo uma cota inferior do

conjunto H segue da denição de c que c ≥ α.

Basta agora mostrar que c é valor crítico de I.

Suponha que não seja, então pelo Lema da deformação, tomando ε = α2> 0 existe

um ε ∈ (0, ε) e η ∈ C([0, 1] × E,E) tais que η(1, u) = u se I(u) /∈ [c − ε, c + ε] e

η(1, Ac+ε) ⊂ Ac−ε.

Pela denição de inmo, escolha g ∈ Γ de modo que

maxt∈[0,1]

I(g(t)) ≤ c+ ε, (2.1)

e considere h∗(t) = η(1, g(t)). É claro que h∗ ∈ C([0, 1], E).

Note que, sendo g(0) = 0 então I(g(0)) = I(0) = 0, por hipótese.

Logo I(g(0)) = 0 < α2≤ c − ε e assim I(g(0)) /∈ [c − ε, c + ε]. Pelo 1o) item do Lema da

deformação segue que h∗(0) = η(1, g(0)) = η(1, 0) = 0.

De forma análoga, notemos que g(1) = e e assim I(g(1)) = I(e) ≤ 0, por hipótese.

Logo I(g(1)) ≤ 0 < α2≤ c − ε o que implica I(g(1)) /∈ [c − ε, c + ε]. Novamente pelo 1o)

item do Lema da deformação segue que h∗(1) = η(1, g(1)) = η(1, e) = e.

Com isso, obtemos que h∗ ∈ Γ.

2. Preliminares 30

Logo

maxt∈[0,1]

I(h∗(t)) ≥ c. (2.2)

Por (2.1) temos que g([0, 1]) ⊂ Ac+ε, pois para todo t ∈ [0, 1] tem-se I(g(t)) ≤ c + ε.

Desta forma h∗([0, 1]) = η(1, g([0, 1])) ⊂ η(1, Ac+ε) ⊂ Ac−ε, pelo 2o) item do Lema da

deformação.

Como h∗([0, 1]) ⊂ Ac−ε temos que I(h∗(t)) ≤ c− ε, para todo t ∈ [0, 1], em particular

maxt∈[0,1]

I(h∗(t)) ≤ c− ε,

o que contradiz (2.2).

Portanto I possui um valor crítico c ≥ α.

Capítulo

3

Existência e concentração de soluções

Neste capítulo, vamos estudar questões sobre a existência de soluções que apresentam

fenômeno de concentração, para o problema (1.2), onde ε > 0, N ≥ 5 e o potencial V

satisfaz as condições (V1) e (V2). Vamos admitir que f satisfaz as condições (f1)− (f5).

Há diculdades na abordagem direta do problema (1.2), uma destas diculdades é de

se vericar que o funcional associado ao problema satisfaz a condição de Palais-Smale.

Por essa razão, para garantirmos existência de solução, vamos fazer uma modicação na

não-linearidade de forma a recuperar a condição (PS). Por m mostraremos que, para ε

sucientemente pequeno, a solução do passo da montanha do problema modicado, é de

fato solução do problema original.

3.1 O problema modicado

Considere V0 dado pela condição (V2). Sejam k > 2V0 e a > 0 tais que max

f(a)

a,f(−a)

−a

≤ V0

k.

Dena

f(ξ) =

−f(−a)

aξ, se ξ < −a

f(ξ), se |ξ| ≤ a

f(a)aξ, se ξ > a

e g(x, ξ) = χΩ(x)f(ξ) + (1− χΩ(x))f(ξ).

Pode-se vericar que g satisfaz as seguintes propriedades:

(g1) g(x, ξ) = o(|ξ|), quando ξ → 0,

31

3. Existência e concentração de soluções 32

(g2) existem constantes c1, c2 > 0 e 1 ≤ p < N+4N−4

se N ≥ 5, tais que

|g(x, ξ)| ≤ c1|ξ|+ c2|ξ|p,

para todo ξ ∈ R e x ∈ RN ,

(g3) existe 2 < θ < p+ 1 tal que

i) 0 < θG(x, ξ) ≤ g(x, ξ)ξ, ∀x ∈ Ω e ξ ∈ R,

ii) 0 ≤ 2G(x, ξ) ≤ g(x, ξ)ξ ≤ 1kV (x)ξ2, ∀ξ ∈ R e x /∈ Ω, ondeG(x, ξ) =

∫ ξ

0

g(z, t)dt,

(g4) a função ξ → g(x, ξ)

ξé não-decrescente para ξ > 0 e não-crescente para ξ < 0, para

todo x ∈ RN .

Considere o problema

ε4∆2u+ V (x)u = g(x, u) em RN

u ∈ H2(RN).(3.1)

Observe que o problema acima é equivalente ao seguinte problema

∆2v + V (εx)v = g(εx, v) em RN

v ∈ H2(RN),(3.2)

onde suas soluções uε e vε de (3.1) e (3.2), respectivamente, estão relacionadas por

vε(x) = uε(εx).

O espaço adequado para tratar do problema (3.2) é o seguinte espaço de Hilbert

Eε =(H2(RN), < ·, · >ε

), cujo produto interno é dado por

< u, v >ε=

∫RN

(∆u∆v + V (εx)uv) dx,

o qual dá origem a norma ‖u‖2ε =

∫RN

(|∆u|2 + V (εx)u2

)dx.

O funcional energia associado a (3.2) dado por

Jε(v) =1

2

∫RN

(|∆v|2 + V (εx)v2)dx−∫RNG(εx, v)dx,

está bem dinido em Eε e é de classe C1. Para garantirmos as condições geométricas do

Teorema do Passo da Montanha vejamos o primeiro Lema.


Lema 2 Assuma que a condição (V1) se verica e considere as propriedades (g1)− (g3).

Então para cada ε > 0 existem constantes ρ, β > 0 e φ ∈ Eε com ‖φ‖ε > ρ, tais que

i) Jε(v) ≥ β, sempre que ‖v‖ε = ρ.

ii) Jε(φ) < 0.

Demonstração: Usando as propriedades (g1) e (g2), pode-se vericar que para todo

η > 0 existe uma constante C(η) > 0 de modo que

|G(x, ξ)| ≤ η

2|ξ|2 + C(η)|ξ|p+1, ∀ξ ∈ R.

Assim pelas imersões de Sobolev, segue que

∫RN|G(x, u)|dx ≤ η

2

∫RN|u|2dx+ C(η)

∫RN|u|p+1

=η

2‖u‖2

L2(RN ) + C(η)‖u‖p+1Lp+1(R)

≤ C1η

2‖u‖2

ε + C2C(η)‖u‖p+1ε

≤ C‖u‖2ε

(η2

+ C(η)‖u‖p−1ε

).

Escolhendo ‖u‖ε <(

η

2C(η)

) 1p−1

= γ, segue que

∫RN|G(x, u)|dx ≤ C‖u‖2

εη.

Logo se ρ ∈ (0, γ) e u ∈ Eε é tal que ‖u‖ε = ρ obtemos que

Jε(u) =1

2‖u‖2

ε −∫RNG(x, u)dx ≥ 1

2ρ2 − Cηρ2.

Tomando η sucientemente pequeno de modo que ρ2

(1

2− Cη

):= β > 0, isto prova i).

Pela propriedade (g3) existem constantes a1, a2 > 0 e 2 < θ < p+ 1 tais que

|G(x, ξ)| ≥ a1|ξ|θ − a2 ∀x ∈ RN e ξ ∈ R.

Desta forma tomando u ∈ C∞0 (Ω) \ 0 segue que


Jε(tu) =1

2‖tu‖2

ε −∫RNG(x, tu)dx

≤ t2

2‖u‖2

ε − a1|t|θ∫RN|u|θdx+

∫RNa2dx

=t2

2‖u‖2

ε − a1|t|θ∫supp(u)

|u|θdx+

∫supp(u)

a2dx

≤ t2

2‖u‖2

ε − a1|t|θ∫supp(u)

|u|θdx+ a2|supp(u)|.

Logo Jε(tu)→ −∞, quando t→ +∞, já que θ > 2, e assim tomando t0 > 0 de modo

que ‖t0u‖ε > ρ, Jε(t0u) < 0, o que prova ii).

O próximo Lema nos garante que Jε satisfaz a condição (PS).

Lema 3 Assuma satisfeita a condição (V1) e considere as propriedades (g1)− (g3). Seja

vn uma sequência em Eε tal que Jε(vn) é uma sequência limitada de números reais e

J ′ε(vn)→ 0. Então vn possui uma subsequência que converge em Eε.

Demonstração: Temos que vn é limitada em Eε. De fato, como Jε(vn) é limitada,

existe M > 0 tal que |Jε(vn)| ≤ M , para todo n ∈ N, com isso e pela propriedade (g3)

temos

M +1

θ‖vn‖εon(1) ≥ Jε(vn)− 1

θJ ′ε(vn)vn

=

(1

2− 1

θ

)‖ un ‖2

ε +1

θ

∫RN

(g(x, un)un − θG(x, un)) dx

≥(

1

2− 1

θ

)‖ vn ‖2

ε +1

θ

∫Ωc

(g(εx, vn)vn − θG(εx, vn)) dx

≥(

1

2− 1

θ

)‖ un ‖2

ε +(2− θ)θ

∫ΩcG(x, un)dx

≥(

1

2− 1

θ

)‖ vn ‖2

ε +(2− θ)

2kθ

∫ΩcV (εx)v2

ndx

≥(θ − 2

2θ

)∫RN

(|∆vn|2 +

(1− 1

k

)V (εx)v2

n

)dx

≥(θ − 2

2θ

)(1− 1

k

)‖ vn ‖2

ε ,

o que implica vn limitada em Eε. Como Eε é um espaço de Hilbert e portanto reexivo,

vn limitada em Eε temos que, a menos de subsequência vn v em Eε. Esta convergência


é na verdade forte. Com efeito, mostremos primeiramente que dado δ > 0, existe umR > 0

de modo que

lim supn→∞

∫BcR(0)

(|∆vn|2 + V (εx)v2

n

)dx < δ. (3.3)

Assuma que R é escolhido de tal forma que Ω ⊂ BR2(0). Seja ηR ∈ C∞(RN) tal que

ηR = 0 em BR2(0), ηR = 1 em RN \ BR(0), 0 ≤ ηR ≤ 1, |∇ηR| ≤ C

Re |∆ηR| ≤ C

R2 . Logo,

como vn limitada e J ′ε(vn)→ 0 temos

< J ′ε(vn), ηRvn >= on(1),

e assim

∫RN

[∆vn∆(ηRvn) + V (εx)ηRv

2n

]dx−

∫RNg(εx, vn)ηRvndx = on(1),

⇒∫RN

(|∆vn|2 + V (εx)v2

n

)ηRdx+

∫RN

(∆vn∆ηRvn + 2∇ηR∇vn∆vn) dx =

∫RNg(εx, vn)ηRvndx

+ on(1).

Usando a propriedade (g3) temos que

∫RN

(|∆vn|2 + V (εx)v2

n

)ηRdx ≤ −

∫RN

(∆vn∆ηRvn + 2∇ηR∇vn∆vn) dx

+1

k

∫ΩcV (εx)vnηRdx+ on(1),

e pela desigualdade de Hölder,

(1− 1

k

)∫BcR(0)

(|∆vn|2 + V (εx)v2

n

)dx ≤ C

R2‖vn‖L2(RN )‖∆vn‖L2(RN ) + on(1)

+2C

R‖∇vn‖L2(RN )‖∆vn‖L2(RN ).

Tomando o lim sup na última expressão segue (3.3).

Agora, note que pelas propriedades (g1) e (g2), pode-se mostrar que existe C ′ > 0 de

modo que ∫BcR(0)

|g(εx, vn)vn|dx ≤ C ′∫BcR(0)

(|vn|2 + |vn|p)dx.


Note ainda que, pelas imersões de Sobolev e por (3.3) temos que para n sucientemente

grande

∫BcR(0)

|g(εx, vn)vn|dx ≤ C(‖vn‖2

ε + ‖vn‖p+1ε

)< C

(δ + δ

p+12

).

Pela integrabilidade de x 7→ g(εx, v)v, temos que dado δ > 0 existe um Rδ > 0 tal que

∫BcR(0)

g(εx, v)vdx <δ

4.

Tome δ1 em (3.3) tal que C(δ1 + δ

p+12

1

)< δ

4.

Então existe R > 0 e n0 ∈ N, (s.p.g. R > Rδ) tal que, para todo n ≥ n0

∫BcR(0)

g(εx, vn)vndx < C(δ1 + δ

p+12

1

)<δ

4.

Logo, se n ≥ n0 temos que

∣∣∣ ∫BcR(0)

g(εx, vn)vndx−∫BcR(0)

g(εx, v)vdx∣∣∣ < δ

2.

Observe que vn v em Eε implica que vn → v em Lploc(RN), 1 ≤ p < 2NN−4

pela

imersões compactas. Temos ainda que vn → v q.t.p. em RN . Com isso, usando o

Teorema da Convergência Dominada Generalizado (ver [8]), podemos mostrar que

∫BR(0)

g(εx, vn)vndx→∫BR(0)

g(εx, v)vdx,

e assim para n ≥ n0 obtemos que

∣∣∣ ∫BR(0)

g(εx, vn)vndx−∫BR(0)

g(εx, v)vdx∣∣∣ < δ

2.

Portanto ∣∣∣ ∫RNg(εx, vn)vndx−

∫RNg(εx, v)vdx

∣∣∣ < δ.

Por m, note que v é solução fraca de (3.2). Com efeito, para toda φ ∈ C∞0 (RN), pela

convergência fraca temos que

∫RN

(∆vn∆φ+ V (εx)vnφ) dx→∫RN

(∆v∆φ+ V (εx)vφ) dx.


Pela convergência forte em Lploc(RN) e utilizando o Teorema da Convergência Domi-

nada Generalizado segue que

∫supp(φ)

g(εx, vn)vndx→∫supp(φ)

g(εx, v)vdx.

Assim,

0 = limn→∞

J ′ε(vn)v =

∫RN

(|∆v|2 + V (εx)v2

)dx−

∫RNg(εx, v)vdx = J ′ε(v)v,

⇒ ‖v‖2ε =

∫RNg(εx, v)vdx.

Observe ainda que

J ′ε(vn)vn = ‖vn‖2ε −

∫RNg(εx, vn)vndx = on(1),

⇒ limn→∞

‖vn‖2 = limn→∞

∫RNg(εx, vn)vndx =

∫RNg(εx, v)vdx = ‖v‖2

ε .

Portanto ‖vn‖ε → ‖v‖ε em Eε e como já sabiamos que convergia fraco concluímos que

vn → v em Eε.

Pelo Teorema do Passo da Montanha, para cada ε > 0 existe vε ∈ Eε solução fraca

não-trivial de (3.2) tal que Jε(vε) = cε onde

cε = infg∈Γε

maxt∈[0,1]

Jε(g(t)),

e Γε = g ∈ C([0, 1], Eε); g(0) = 0 e Jε(g(1)) < 0.

Pela propriedade (g4) podemos ainda caracterizar o nível minimax cε como

cε = infu∈Eε\0

maxt≥0

Jε(tu) = infNεJε,

onde Nε é denida por

Nε = u ∈ Eε \ 0; J ′ε(u)u = 0 .

Agora, vamos considerar uma sequência εn tal que εn → 0 quando n→∞. Arma-

mos que existe uma subsequência, que continuaremos a denotar por εn, tal que vn := vεn

é solução do problema original (1.2).


Para isto, devemos vericar a igualdade g(εx, vn(x)) = f(vn(x)) para todo x ∈ RN .

Pela denição de g esta igualdade vale para todo x ∈ Ωεn , onde Ωεn =

x

εn;x ∈ Ω

.

Basta então mostrar que g(εx, vn(x)) = f(vn(x)) para x /∈ Ωεn . Ora, para x /∈ Ωεn

g(εx, vn(x)) = f(vn(x)) e f(x) = f(x) para todo |x| ≤ a, logo é suciente mostrar que

|vn(x)| ≤ a para todo x /∈ Ωεn , para n ∈ N sucientemente grande.

Vamos então analisar a função wn(x) = vn(x+ yn) onde yn ⊂ RN é tal que

lim infn→∞

∫BR(yn)

v2ndx ≥ β > 0, (3.4)

para R, β > 0. Assim, se mostramos que |wn(x)| ≤ a, x /∈ (Ωεn − yn) teremos que

|vn(x)| ≤ a para todo x /∈ Ωεn . Am disto, veremos uma série de lemas, inclusive o lema

que garante a existência da sequência yn em (3.4), que implicará no desejado.

Lema 4 Suponha que f satisfaz (f1)− (f5). Então, existe uma solução de estado mínimo

para o seguinte problema

∆2w + V0w = f(w) em RN , (3.5)

no nível c0 = infγ∈Γ0

sup0≤t≤1

J0(γ(t)), onde J0 é o funcional energia associado a (3.5) e

Γ0 =γ ∈ C0([0, 1], H2(RN)); γ(0) = 0 e J0(γ(1)) < 0

.

Demonstração: Seja E0 = (H2(RN), ‖.‖0) onde ‖u‖0 =

∫RN

(|∆u|2 + V0u2)dx. Assim

como foi feito no Lema 2 podemos mostrar que J0 satisfaz as condições geométricas

do Teorema do Passo da Montanha. Então, existe uma sequência wn ⊂ E0, tal que

J0(wn)→ c0 e J ′(wn)→ 0 quando n→∞. Utilizando os mesmos argumentos usados no

Lema 3 mostra-se que wn é uma sequência limitada em E0.

Note que pelo Lema de Lions (ver [10]) uma entre as duas possibilidades ocorre:

(i) wn → 0 em Lr(RN) para 2 < r < 2∗ = 2NN−4

;

(ii) Existe uma sequência (yn) ∈ RN e constantes R, β > 0 tais que

lim infn→∞

∫BR(yn)

w2ndx ≥ β.

De fato, suponha que (ii) não ocorre, ou seja, que para todo R > 0

supy∈RN

∫BR(y)

w2ndx→ 0,


quando n→∞.

Observe que (wn) é limitada em L2(RN), enquanto que (∇wn) é limitada em L2∗(RN),

onde 2∗ = 2NN−2

. Então, pelo Lema I.1 de [10] temos que wn → 0 em Lr(RN) para 2 < r <

2∗, ou seja, (i) ocorre.

Agora suponha que (i) ocorre. Como (wn) é limitada em E0 a menos de subsequências

wn → w em E0 e assim wn → w para quase todo x ∈ RN . Por (i) wn → 0 q.t.p em RN ,

donde segue que w = 0 q.t.p.

Logo, utilizando o Teorema da Convergência Dominada (ver [8]) temos que

c0 + on(1) = J0(wn)− 1

2J ′0(wn)wn =

∫RN

(1

2f(wn)wn − F (wn)

)dx = on(1),

o que é um absurdo, assim (i) não ocorre e portanto (ii) vale.

Dena un(x) = wn(x + yn). Temos que (un) é limitada em E0 e como J0 é invariante

por translações segue que J0(un)→ c0 e J ′0(un)→ 0 quando n→∞.

Por (ii) temos que

lim infn→∞

∫BR(0)

u2ndx > β.

Como (un) limitada em E0, sabemos que (un) converge fraco para u ∈ E0 \0 e forte em

Lrloc(RN) para 2 < r < 2∗, onde u é solução fraca não trivial de (3.5).

Resta mostrar que J0(u) = c0. Por um lado é fácil ver que c0 ≤ J0(u), para a outra

desigualdade note que

J0(un)− 1

2J ′0(un)un =

∫RN

(1

2f(un)un − F (un)

)dx,

então pelo Lema de Fatou (ver [8]) segue que

c0 ≥∫RN

(1

2f(u)u− F (u)

)dx = J0(u).

Portanto J0(u) = c0.

Lema 5 Suponha que f satisfaz (f1)− (f4) e V satisfaz (V1)− (V2). Então,

lim supn→∞

cεn ≤ c0.


Demonstração: Vamos assumir sem perda de generalidade que x0 = 0, onde x0 é dado

pela condição (V2). Seja w a solução de (3.5) tal que J0(w) = c0. Seja ainda ψ ∈ C∞(RN)

uma função tal que 0 ≤ ψ ≤ 1 e

ψ(x) =

1 x ∈ Bρ(0)

0 x /∈ B2ρ(0),

onde Bρ(0) ⊂ B2ρ(0) ⊂ Ω.

Dena wn(x) = ψ(εnx)w(x) e note que supp(wn) ⊂ Ωεn onde Ωεn = xεn

;x ∈ Ω,

wn → w em H2(RN) e em Lr(RN) para 2 < r < 2∗.

Seja ϕεn(wn) > 0 tal que ϕεn(wn)wn ∈ Nεn . Suponha que ϕεn(wn) → 1 quando

n→∞. Então

cεn ≤ Jεn(ϕεn(wn)wn)

=ϕεn(wn)2

2

∫RN

(|∆wn|2 + V (εnx)w2

n

)dx−

∫RNF (ϕεn(wn)wn)dx

= J0(ϕεn(wn)wn) +ϕεn(wn)2

2

∫RN

(V (εnx)− V (0))w2ndx.

E o resultado segue aplicando o Teorema da Convergência Dominada.

Resta então mostrar que de fato ϕεn(wn)→ 1 quando n→∞.

Armamos que ϕεn(wn) é limitada. De fato, caso contrário, existiria εn → 0 tal que

ϕεn(wn)→∞.

Por (f4) pode-se vericar que considerando δ > 0 existe a1 > 0 e 2 < θ < p + 1 tais

que |F (t)| ≥ a1|t|θ para todo |t| > δ.

Seja r > 0 tal que w(x) ≥ δ para todo x ∈ Br(0). Podemos ainda tomar r suciente-

mente pequeno de modo que Br(0) ⊂ Bρ(0) e assim se x ∈ Br(0)

ϕεn(wn)wn(x) ≥ wn(x) = w(x) > δ.


Logo,

‖wn‖2εn =

∫RN

f(ϕεn(wn)wn)ϕεn(wn)wn

ϕεn(wn)2 dx > θ

∫RN

F (ϕεn(wn)wn)

ϕεn(wn)2 dx

≥ θ

∫Br(0)

F (ϕεn(wn)wn)

ϕεn(wn)2 dx

≥ a1θ

∫Br(0)

ϕεn(wn)θwθnϕεn(wn)2 dx

= a1θϕεn(wn)θ−2‖wn‖θLθ(Br(0))

⇒ ϕεn(wn)θ−2 ≤‖wn‖2

εn

a1θ‖wn‖θLθ(Br(0))

≤ C,

o que é uma contradição. Portanto ϕεn(wn) é limitada.

Agora vamos vericar que ϕεn(wn) 9 0 quando n→∞. De fato, caso contrário como

(wn) é limitada segue que ϕεn(wn)wn → 0, quando n → ∞. Note que por (f2) e (f3),

dado η > 0 existe Aη > 0 tal que

|f(t)| ≤ η|t|+ Aη|t|p, ∀t ∈ R.

Logo,

∫RN

f(ϕεn(wn)wn)w2n

ϕεn(wn)wndx ≤

∫RN

(η|wn|2 + Aηϕεn(wn)p−1|wn|p+1

)dx

≤ η‖wn‖2L2(RN ) + Aηϕεn(wn)p−1‖wn‖p+1

Lp+1(RN ),

o que implica

limn→∞

∫RN

f(ϕεn(wn)wn)w2n

ϕεn(wn)wndx = 0. (3.6)

No entanto

‖wn‖2εn =

∫RN

f(ϕεn(wn)wn)w2n

ϕεn(wn)wndx. (3.7)

De (3.6) e (3.7) concluímos que ‖wn‖εn → 0 o que contradiz wn → w e w solução de (3.5)

tal que J0(w) = c0 > 0. Então existem α, β > 0 tais que α ≤ ϕεn(wn) ≤ β.

Portanto toda subsequência convergente de ϕεn(wn) converge para 1 pois, se existir

ϕ 6= 1, sem perda de generalidade suponha ϕ > 1, limite de alguma subsequência de

ϕεn(wn) então

‖wn‖2εn =

∫RN

f(ϕεn(wn)wn)wnϕεn(wn)

dx −→∫RN

f(ϕw)w

ϕdx = ‖w‖2

εn .


Por (f5) temos que

‖w‖2εn =

∫RN

f(ϕw)w

ϕdx >

∫RNf(w)wdx = ‖w‖2

εn ,

o que é um absurdo, e assim concluímos o desejado.

Lema 6 vn é uma sequência limitada em H2(R).

Demonstração: A prova deste Lema é análoga à do Lema 3.

Lema 7 Existe yn ⊂ RN e R, β > 0 tais que

lim infn→∞

∫BR(yn)

v2ndx ≥ β > 0.

Demonstração: Suponha o contrário, isto é, que

lim supn→∞

supy∈RN

∫BR(y)

v2ndx = 0.

Pelo Lema I.1 de [10] (com q = 2 e p = 2NN−2

), vn → 0 em Lr(RN) para 2 < r < 2∗.

Assim pelo Teorema da Convergência Dominada:

∫RNg(εnx, vn)vndx = on(1) e

∫RNG(εnx, vn)dx = on(1),

quando n→∞.

Desta forma

cεn = Jεn(vn) =

∫RN

(1

2g(εnx, vn)vn +G(εnx, vn)

)dx −→ 0, (3.8)

quando n→∞.

Por outro lado, como o valor minimax é uma função crescente com respeito ao poten-

cial, se d > 0 é o valor minimax associado ao problema ∆2v + V0v = g(εnx, v) em RN

v ∈ H2(RN),

temos que cεn ≥ d para todo n ∈ N. Mas isto contradiz (3.8). Portanto o resultado segue.


Para R > 0 dado, pelo Lema 7 podemos mostrar o seguinte resultado.

Lema 8 A sequência εnyεn é limitada e dist(εnyεn ,Ω) ≤ εnR.

Demonstração: Para δ > 0 dado seja Kδ uma δ-vizinhança de Ω. Seja φ ∈ C∞(RN)

tal que 0 ≤ φ ≤ 1, φ = 0 em Ω, φ = 1 em RN \ Kδ, |∇φ| ≤ cδe |∆φ| ≤ c

δ2. Seja ainda

φεn = φ(εnx) e considere vnφεn como função teste em (3.2). Temos que J ′εn(vn)vnφεn = 0,

com isso segue que

∫RN

(∆vn∆(vnφεn) + V (εnx)v2

nφεn)dx =

∫RNg(εnx, vn)vnφεndx.

⇒∫RN

[∆vn (∆vnφεn + 2∇vn∇φεn + vn∆φεn) + V (εnx)v2

nφεn]dx =


Logo,

∫RN

(|∆vn|2 + V (εnx)v2

n

)φεndx = −

∫RN

(2∇vn∇φεn∆vn + vn∆φεn∆vn) dx+


Note que φεn = φ(εnx) = 0 em Ωεn = xεn

;x ∈ Ω e g(εnx, vn) = f(vn) em Ωcεn . Assim

temos que

∫RN

(|∆vn|2 + V (εnx)v2

n

)φεndx = −

∫RN

(2∇vn∇φεn∆vn + vn∆φεn∆vn) dx+

∫RNf(vn)vnφεndx

⇒∫RN

[|∆vn|2 +

(V (εnx)− V0

k

)v2n

]φεndx = −

∫RN

(2∇vn∇φεn∆vn + vn∆φεn∆vn) dx

+

∫RN

(f(vn)vn −

V0

kv2n

)φεndx

≤ −∫RN

(2∇vn∇φεn∆vn + vn∆φεn∆vn) dx.


Mas isto implica que,

V0

(1− 1

k

)∫RNv2nφεndx ≤ −

∫RN

(2∇vn∇φεn∆vn + vn∆φεn∆vn) dx

≤ 2εnC

δ‖vn‖2

H2(RN ) +Cε2nδ2‖vn‖2

H2(RN )

≤ Cεnδ‖vn‖2

H2(RN ).

Se para alguma sequência (εk) tivermos BR(yεk) ∩Kδεk

= ∅ então

V0

(1− 1

k

)∫BR(yεk )

v2ndx ≤ V0

(1− 1

k

)∫RNv2nφεkdx

≤ Cεkδ‖vn‖2

H2(RN ) −→ 0,

quando k → ∞, o que contradiz o Lema anterior. Assim, para cada n ∈ N, existe xntal que εnxn ∈ Kδ e |yεn − xn| < R. Como dist(εnyn,Ω) < εnR + δ para todo δ > 0, o

resultado segue.

Pelo Lema 8, podemos assumir que εnyεn ⊂ Ω para todo n sucientemente grande.

De fato, se não ocorrer, podemos considerar ε−1n zn ao invés de yn, onde zn ∈ Ω e é tal

que |εnyn − zn| ≤ εnR. Desta forma, sequência (znε−1n ) terá a propriedade do Lema 7,

trocando R por 2R. Assim a menos de subsequência εnyεn → x′0 ∈ Ω e podemos agora

demonstrar o seguinte resultado.

Lema 9 As seguintes armações valem:

(i) limn→∞

cεn = c0,

(ii) limn→∞

V (εnyεn) = V0.

Demonstração: Consideremos wn(x) = vεn(x+ yεn). Note que pelo Lema 7

lim infn→∞

∫BR(0)

w2n ≥ β > 0.

Usando que vεn é limitada, segue que existe w ∈ H2(RN)\0 tal que wn w em H2(RN),

wn → w em Lrloc(RN) onde 2 ≤ r < 2∗ e wn → w q.t.p. em RN .


Como wn satisfaz ∆2wn + V (εnx+ εnyn)wn = g(εnx+ εnyn, wn), em RN

wn ∈ H2(RN),(3.9)

então w satisfaz no sentido fraco ∆2w + V (x′0)w = χ(x)f(w) + (1− χ(x))f(x) =: g(x,w), em RN

w ∈ H2(RN),(3.10)

onde χ(x) = limn→∞

χ(εnx+ εnyn) q.t.p. em RN .

Uma vez que o funcional associado a (3.10) possui a geometria do passo da montanha,

está bem denido o nível minimax c > 0 associado (3.10). Seja ainda J : H2(RN)→ R o

funcional associado a (3.10).

Considere o problema ∆2w + V (x′0)w = f(w), em RN

w ∈ H2(RN),(3.11)

e seja J e c o funcional energia e o nível minimax associados a (3.11) respectivamente.

Vamos mostrar que

c = c.

Uma vez que G(x, s) =

∫ s

0

g(x, t)dt ≤ F (s), segue que J(u) ≤ J(u), para todo u ∈

H2(RN), o que implica c ≤ c. Para a outra desigualdade, vamos supor que

J(w) ≤ lim infn→∞

cεn . (3.12)

Se (3.12) valer, então

c ≤ J(w) ≤ lim infn→∞

cεn ≤ lim supn→∞

cεn ≤ c0 ≤ c. (3.13)

Portanto, c = c, o que implica c = c = c0. Por (3.13) temos que

limn→∞

cεn = c0,

o que prova (i).


Agora, vamos mostrar que de fato (3.12) vale. A prova segue utilizando as ideias do

Lema 2.2 de [5].

Com efeito, por estimativas elípticas, mostra-se que wn converge para w em C2loc(RN).

Assim, dado R > 0 temos

limn→∞

[1

2

∫BR(0)

(|∆wn|2 + V (εnx+ εnyn)w2

n

)dx−

∫BR(0)

G(εnx+ εnyn, wn)dx

]=

=1

2

∫BR(0)

(|∆w|2 + V (x′0)w2

)dx−

∫BR(0)

G(x,w)dx.

Como a última integral converge para J(w), quando R → ∞, vemos então que dado

δ > 0, existe R grande o suciente de modo que

limn→∞

[1

2

∫BR(0)


n

)dx−

∫BR(0)


]≥ J(w)−δ.

Observe então que é suciente mostra que

lim infn→∞

[1

2

∫BcR(0)


n

)dx−

∫BcR(0)


]≥ −δ

(3.14)

para todo R sucientemente grande.

Com efeito, se (3.14) valer então

lim infn→∞

cεn = lim infn→∞

[1

2

∫RN


n

)dx−

∫RNG(εnx+ εnyn, wn)dx

]≥ J(w)− 2δ,

para todo δ > 0. Desta forma (3.12) estará provado.

Resta então mostrar que (3.14) se verica. Para isto dado R > 0, seja ηR ∈ C2(RN)

tal que ηR = 1 em BcR(0), ηR = 0 em BR−1(0) e |∇ηR| ≤ C, |∆ηR| ≤ C, onde C é uma

constante que independe de R. Considerando então ϕ = ηRwn como função teste em


(3.9), temos

0 =

∫RN

(∆wn∆(ηRwn) + V (εnx+ εnyn)ηRw

2n − g(εnx+ εnyn, wn)ηRwn

)dx

=

∫BcR(0)


n − 2G(εnx+ εnyn, wn))dx

+

∫BcR(0)

(2G(εnx+ εnyn, wn)− g(εnx+ εnyn, wn)wn) dx

+

∫BR(0)\BR−1(0)

(∆wn∆(ηRwn) + V (εnx+ εnyn)ηRw

2n − g(εnx+ εnyn, wn)ηRwn

)dx

= A1,n + A2,n + A3,n.

Observe que (3.14) estará provado se

lim infn→∞

1

2A1,n ≥ −δ.

Por (g3), A2,n ≤ 0. Pela convergência de wn para w em C2loc(RN) temos que

limn→∞

A3,n =

∫BR(0)\BR−1(0)

(∆w∆(ηRw) + V (x′0)ηRw

2 − g(x,w)ηRw)dx.

Como a última integral, quando calculada sobre RN , converge, então para todo R > 0

grande o suciente, temos que

limn→∞

|A3,n| ≤ δ.

Desta forma

lim infn→∞

1

2A1,n = lim inf

n→∞−1

2(A2,n + A3,n)

≥ lim infn→∞

−1

2A3,n

≥ −δ2.

O que verica (3.14). Portanto (3.12) estará provado.

Para (ii) note que, se (ii) não valer, então V (x′0) > V0 e assim c = c > c0 o que é uma

contradição.

Lema 10 Seja un ⊂ H2(RN) uma sequência (PS) para J0 tal que J0(un) → d. Se

un 0 e un 9 0 em H2(RN), então d ≥ c0.


Demonstração: Seja sn > 0 tal que snun ∈ N0. Vamos mostrar que

lim supn→∞

sn ≤ 1. (3.15)

Suponha o contrário, que exista δ > 0 de modo que

sn ≥ 1 + δ, ∀n ∈ N, (3.16)

a menos de subsequências. Podemos mostrar, assim como foi feito no Lema 3, que un

é uma sequência limitada em H2(RN).

Como J ′0(un)un = on(1) e J ′0(snun)snun = 0 segue que

∫RN

(f(snun)

snun− f(un)

un

)u2ndx = on(1). (3.17)

Pelo Lema I.1 em [10] existe R, β > 0 e yn ⊂ RN tais que

lim infn→∞

∫BR(yn)

u2ndx ≥ β. (3.18)

Seja un(x) = un(x+ yn) e note que un é também limitada em H2(RN). Logo un u ∈

H2(RN) e por (3.18), u 6= 0 em Λ ⊂ BR(0) com |Λ| > 0.

Por (f5), (3.16), (3.17) e pelo Lema de Fatou temos que

0 <

∫Λ

(f((1 + δ)u)

(1 + δ)u)− f(u)

u

)u2 = 0,

o que é uma contradição. Logo (3.15) vale.

Agora temos dois casos pra considerar:

1o) sn → s < 1, a menos de subsequência. Sem perda de generalidade podemos supor

que sn < 1 para todo n ∈ N. Então

c0 ≤ J0(snun)

=

∫RN

(1

2f(snun)snun − F (snun)

)dx

≤∫RN

(1

2f(un)un − F (un)

)dx

= J0(un)− 1

2J ′0(un)un + on(1)

= d+ on(1),


e neste caso o resultado segue.

2o) A menos de subsequência sn → 1 quando n→∞.

Neste caso

d+ on(1) = J0(un) = J0(snun) + J0(un)− J0(snun).

Então

d+ on(1) ≥ c0 + J0(un)− J0(snun). (3.19)

Note que

J0(un)− J0(snun) =(1− s2

n)

2

∫RN

(|∆un|2 + V0u

2n

)dx+

∫RN

(F (snun)− F (un)) dx.

Note ainda que, como sn → 1 e un limitada segue

(1− s2n)

2

∫RN

(|∆un|2 + V0u

2n

)dx = on(1).

Agora veja que ∫RN

(F (snun)− F (un)) dx = on(1).

De fato, pelo Teorema do Valor Médio segue que

|F (snun)− F (un)| = |f(θn)||sn − 1||un|,

onde θn ∈ (un, snun) ou θn ∈ (snun, un). Temos por (f3) que

|f(θn)| ≤ a1|θn|+ a2|θn|p ≤ a1||un|+ |sn||un||+ a2||un|+ |sn||un||p,

o que implica

|f(θn)| ≤ C1|un|+ C2|un|p.

Assim,

∫RN

(F (snun)− F (un)) dx ≤ C|sn − 1|∫RNu2ndx+ C|sn − 1|

∫RNup+1n dx

= on(1).

Desta forma J0(un)− J0(snun) = on(1) e portanto de (3.19) obtemos que

d+ on(1) ≥ c0 + on(1),


e concluímos o desejado.

Lema 11 Seja zn ⊂ H2(RN) uma sequência tal que J0(zn)→ c0 e zn ∈ N0, para todo

n ∈ N. Se zn z 6= 0 em H2(RN), então zn → z em H2(RN) a menos de subsequências.

Demonstração: Pelo Princípio Variacional de Ekeland (ver Teorema 8.5 em [16]), pode-

mos assumir que zn é uma sequência (PS) para J0 em H2(RN) tal que J0 → c0. Assim,

como zn converge fraco pra z em H2(RN), forte em Lploc(RN) para ≤ p < 2∗ e em quase

todo ponto de RN , podemos mostrar pelas imersões compactas de Sobolev que J ′0(z) = 0.

Logo z ∈ N0.

Note que pelo Lema de Fatou segue que

c0 = limn→∞

J0(zn)

= limn→∞

[∫RN

(1

2f(zn)zn − F (zn)

)dx

]≥

∫RN

(1

2f(z)z − F (z)

)dx

= J0(z)

≥ c0,

e assim J0(z) = c0.

Seja un = zn − z e note que pelo Lema de Brezis-Lieb (ver Lema 1.32 em [16]), un

é tal que J0(un)→ d, onde d = c0 − J0(z) = 0.

Note que un 0 emH2(RN). Armamos que un → 0 emH2(RN), pois caso contrário,

se un 9 0, pelo Lema 10 teríamos que d ≥ c0 > 0, o que contradiz o fato de que d = 0

Lema 12 A sequência wn contém uma subsequência fortemente convergente em H2(RN).

Demonstração: Pelo Lema 9 temos que

limn→∞

Jεn(vn) = limn→∞

cεn = c0.

Dado v ∈ H2(RN) \ 0, por (g4), existe ϕ0 > 0 tal que ϕ0(v)v ∈ N0.


Seja wn = ϕ0(wn)wn, então

c0 ≤ J0(wn) =1

2

∫RN

(|∆wn|2 + V0w

2n

)dx−

∫RNF (wn)dx

≤ 1

2

∫RN


n

)dx−

∫RNG(εnx+ εnyn, wn)dx

= Jεn(ϕ0(wn)vn) ≤ Jεn(vn) = cεn = c0 + on(1),

o que implica que J0(wn)→ c0 quando n→∞.

Vamos provar agora que ϕ0(wn) → ϕ0 > 0 a menos de subsequência. Observe que

existe M > 0 tal que |ϕ0(wn)| ≤M para todo n ∈ N. De fato, como wn 9 0 existe δ > 0

tal que ‖wn‖H2(RN ) > δ a menos de subsequência.

É fácil ver que wn é um sequência limitada em H2(RN). Então

|ϕ0(wn)|δ < ‖ϕ0(wn)wn‖H2(RN ) ≤ k

⇒ |ϕ0(wn)| ≤ k

δ= M, ∀n ∈ N.

Logo ϕ0(wn)→ ϕ0 ≥ 0. Note que ϕ > 0, pois caso contrário,

‖wn‖H2(RN ) = |ϕ0(wn)|‖wn‖H2(RN ) → 0,

quando n→∞, o que é um absurdo.

Então wn = ϕ0(wn)wn ϕ0w 6= 0 em H2(RN).

Portanto, pelo Lema 11 ϕ0(wn)wn → ϕ0w em H2(RN) a menos de subsequência.

Combinando o Lema 12 com as imersões de Sobolev, seque que wn → w ∈ Lp(RN),

1 ≤ p < N+4N−4

. Então utilizando a recíproca do Corolário 4.27 em [4], obtemos que

∫BcR(0)

|wn|2∗dx→ 0 quando R→∞ uniformemente em n. (3.20)

Podemos assim mostrar o seguinte lema.

Lema 13 wn(x)→ 0 quando |x| → ∞, uniformemente em n.

Demonstração: Por estimativas estabalecidas por Ramos em [14] temos que

‖wn‖L∞(RN ) ≤ K, ∀n ∈ N


onde K independe de n.

Como wn é limitada em L∞(RN), então dado qualquer x ∈ RN , a função

wn ∈ Lq(B1(x)) para todo q ≥ 1. Como wn é solução de (3.9) segue do Teorema 7.1

de [1] que

‖wn‖W 4,q(B1(x)) ≤ C(‖f(wn)‖Lq(B2(x)) + ‖wn‖Lq(B2(x))

)≤ C‖wn‖Lq(B2(x))

≤ C‖wn‖q−2∗q

L∞(RN )‖wn‖2∗

L2∗ (B2(0))

= C‖wn‖2∗L2∗ (B2(0)),

onde a constante C > 0 não depende de x e de n. Observe que na desigualdade acima foi

usada a seguinte estimativa

‖f(wn)‖qLq(B2(x)) =

∫B2(x)

|f(wn)|qdy

≤ C

∫B2(x)

(|wn|+ |wn|p)q dy

≤ C

[‖wn‖Lq(B2(x)) +

(∫B2(x)

|wn|pqdy) 1

q

]q≤ C

[‖wn‖Lq(B2(x)) +K‖wn‖Lq(B2(x))

]q≤ C‖wn‖qLq(B2(x)).

Para q > N temos a seguinte imersão contínua W 4,q(B1(x)) → C3,α(B1(x)), para

α ∈(

0, 1− Nq

). Desta forma,

‖wn‖C3,α(B1(x)) ≤ C‖wn‖W 4,q(B1(x))

≤ C‖wn‖2∗L2∗ (B2(x)).

Agora, utilizando (3.20) vemos que

|wn(x)| → 0, quando |x| → ∞,

uniformemente em n.


Finalmente, podemos vericar que vn é de fato solução de (1.2). Pelos Lemas 12 e 13,

existe n0 ∈ N e ρ > 0 tal que

|wn(x)| < a,∀x ∈ Bρ(0)c,∀n ≥ n0.

Como x′0 ∈ Ω e εnyεn → x′0, é possível escolher n1 ∈ N tal que Bρ(0) ⊂ (Ωεn − yn) para

todo n ≥ n1. Tomando n ≥ maxn0, n1 temos que

g(εnx+ εnyn, wn(x)) = f(wn(x)), ∀x ∈ RN .

Desta forma, para n ≥ maxn0, n1 segue que wn satisfaz

∆2wn + V (εnx+ εnyn)wn = f(wn), RN ,

o que implica vn satisfaz (1.2).

Para provar o comportamento de concentração de solução, armamos que existe ρ > 0

tal que ‖un‖L∞(RN ) = ‖wn‖L∞(RN ) > ρ, para todo n ∈ N a menos de subsequência. Caso

contrário, se ‖wn‖L∞(RN ) → 0, então

‖wn‖H2(RN ) ≤∫RN

(|∆wn|2 + V (εnx+ εnyn)wn

)dx

= C

∫RNf(wn)wndx

≤ ‖wn‖L∞(RN )

∫RNf(wn)dx→ 0

quando n→ 0, o que contradiz o fato de que wn → w e w 6= 0.

Seja xn um ponto de máximo de |un| em RN , então

pn :=xn − εnyn

εn

é ponto de máximo de |wn|. Pelo Lema 13, existe um R0 > 0 tal que pn ∈ BR0(0) para

todo n sucientemente grande. Então a menos de subsequência pn → p0 quando n→∞.

Logo

xn = εnpn + εnyn → x′0 ∈ Ω, quando n→∞,

onde V (x′0) = V0, o que mostra o Teorema 1.

Capítulo

4

Considerações Finais

Neste trabalho foi estudado uma versão estacionária da equação de Schrödinger não-

linear biharmônica e o objeto principal do estudo foi o recente artigo de Pimenta e Soares

[11]. O assunto tratado está em evidência na literatura matemática na área de Equações

Diferenciais Parciais e realmente a equação de Schrödinger vem sendo estudada ao longo

dos anos por diversos pesquisadores em todo o mundo.

No capítulo introdutório é enunciado o Teorema 1 que é o objetivo do trabalho, o

resultado busca soluções não-triviais do problema (1.2) quando um parâmetro ε tende

a zero. No segundo capítulo foi apresentado estudos preliminares indispensáveis para

abordar as técnicas necessárias a m de se obter soluções da equação, resultados de Análise

Não-Linear compõem o capítulo como o conhecido Teorema do Passo da Montanha. Já no

terceiro Capítulo demonstra-se o Teorema 1, entretanto foi preciso fazer uma modicação

no problema de modo que a compacidade do funcional energia associado ao problema

seja resgatada e assim mostra-se a existência de solução do problema modicado. Após

isto uma série de Lemas são provados para vericar que de fato a solução do problema

modicado é também solução do problema original.

No desenvolvimento do trabalho tive a oportunidade de conhecer vários outros tra-

balhos visando este assunto, onde diferentes técnicas são utilizadas, me proporcionando

assim uma certa familiaridade com as formas de abordagem das Equações Elípticas. Tal

familiaridade julgo ser fundamental para dar continuidade aos meus estudos em nível de

doutorado, quer seja nesta área ou em outras áreas da Matemática.

55

Referências

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Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa-Classe Di Scienze, 13(4):405448,

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[4] H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial dierential equations.

Springer, 2011.

[5] M. Del Pino; P. L. Felmer. Local mountain passes for semilinear elliptic problems

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4(2):121137, 1996.

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57

REFERÊNCIAS 58

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class of biharmonic equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications,

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[12] M. T. O. Pimenta; S. H. M. Soares. Singularly perturbed biharmonic problems with

superlinear nonlinearities. Advances in Dierential Equations, 19(1/2):3150, 2014.

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tions. Communications in Mathematical Physics, 153(2):229244, 1993.

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1996.

um estudo sobre a equação de schrödinger biharmônica · argumentos do tipo passo da montanha...

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