Um brinquedo chamado espirografo

Lenimar Nunes de AndradeUFPB - Joao Pessoa, PB

9 de abril de 2014

1 Introducao

Um brinquedo em forma de regua que permite a construcao de curvas de formatos variadoscostuma aparecer nas lojas com frequencia e despertar a curiosidade de todos. Geralmente, tem oformato de uma regua larga com janelas circulares dentadas de tamanhos variados, acompanhadapor varias rodas menores, tambem dentadas (Figuras 1 e 2). Cada roda dentada possui variosfuros para entrada da ponta de um lapis ou caneta. Esse tipo de regua costuma ser chamado deespirografo e as versoes mais simples sao muito baratas, podendo, as vezes, ser encontradas emcamelos.

Sua utilizacao consiste em introduzir a ponta de um lapis em um dos furos da roda dentadae ir girando-a por dentro da janela circular da regua sem deslizar, ate fechar a curva. E incrıvela variedade de curvas que se pode obter. Algumas parecem rosaceos, outras assemelham-se aestrelados e outras lembram novelos de linha. Para cada tamanho e cada furo da janela ou daroda obtem-se uma curva diferente. Canetas de diversas cores podem ser usadas para embelezaros desenhos obtidos. E um estimulador da criatividade, util para o desenvolvimento da coor-denacao motora. Alem disso, permite exercitar de forma recreativa diversos temas relacionadoscom as funcoes trigonometricas.

As curvas construıdas com o espirografo sao conhecidas pelo nome de hipotrocoides. Junta-mente com outras curvas de construcao assemelhada, essa famılia de curvas vem sendo estudadadesde o seculo XVII e despertou a atencao de cientistas brilhantes como Galileu, Newton eBernoulli.

O objetivo deste artigo e obter as equacoes das hipotrocoides, bem como mostrar algunsexemplos dessa curiosa famılia de curvas.

Figura 1: Espirografo em acao Figura 2: Janela circular com roda dentada

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Figura 3: Obtendo as equacoes que descrevem a curva

2 A matematica do espirografo

Agora, vamos obter as equacoes parametricas das curvas obtidas atraves do espirografo. Paraisso, consideremos um cırculo de raio r tangente interiormente a outro cırculo de raio R, comR > r, conforme mostrado na Figura 3. Consideremos um sistema cartesiano com origem nocentro do cırculo maior.

Suponhamos que, inicialmente, o cırculo menor esteja com seu centro C no eixo Ox e queesse cırculo va girando tangencialmente ao cırculo maior, sem deslizar. Isso significa que, emqualquer instante, o arco QS mede o mesmo que o arco QE.

Seja P um ponto do cırculo menor situado a uma distancia a unidades do seu centro e sejat a medida em radianos do angulo que OC forma com o eixo Ox. Escolhidos os valores dasconstantes r, R e a, vamos determinar as coordenadas de P em funcao de t, denotadas por x(t)e y(t). As coordenadas assim obtidas correspondem as equacoes parametricas da trajetoria doponto P ao girarmos tangencialmente o cırculo menor no interior do cırculo maior.

Se P = (x(t), y(t)), entao temos x(t) = OA+AD = OA+BP e y(t) = DP = AB = AC−BC.Como OC = OQ − CQ temos que OC = R − r e daı OA = OC · cos t = (R − r) cos t e

AC = OC · sen t = (R − r) sen t. Se θ for a medida em radianos do angulo BCP e CP = a,temos BC = a cos θ e BP = a · sen θ. Falta so obter uma relacao entre t e θ.

A medida do arco QE e igual a tR que e a mesma medida do arco QS. Daı, a medida doangulo QCS e igual a tR/r radianos. Do triangulo retangulo OAC, obtemos que a medida do

angulo ACO e π2 − t radianos. Como a medida do angulo raso OCQ e igual a soma das medidas

dos angulos ACO, BCP e PCQ, concluımos que π = (π2 − t) + θ + tRr e daı θ = π

2 + (1− Rr )t.

Usando as conhecidas formulas cos(π2 + α) = − senα, sen(π2 + α) = cosα, cos(−α) = cosαe sen(−α) = − senα, temos x(t) = OA + AD = (R − r) cos t + a sen θ = (R − r) cos t+a sen(π2 + (1− R

r )t)(R− r) cos t+ a cos((1− Rr )t) e y(t) = AC −BC = (R− r) sen t− a cos θ =

(R− r) sen t− a cos(π2 + (1− Rr )t) = (R− r) sen t+ sen((1− R

r )t), ou seja,

x(t) = (R− r) cos t+ a cos((

Rr − 1

)t)

y(t) = (R− r) sen t− a sen((

Rr − 1

)t)

Terıamos obtido o mesmo resultado se os cırculos tivessem sido desenhados em outras

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posicoes, em outros quadrantes.Uma vez obtidas as equacoes que definem a curva, fica facil fazer um grafico dela usando um

programa de computacao conveniente. Hoje em dia, e muito facil encontrar programas (como oMaple ou o WinPlot) que constroem esse tipo de grafico.

Quando a = r, uma hipotrocoide passa a ser chamada de hipocicloide. Se o cırculo deraio r girar tangencial e exteriormente ao cırculo de raio R, entao temos uma outra famıliade curvas chamadas epitrocoides cujas equacoes parametricas diferem apenas por alguns sinaisdas equacoes das hipotrocoides: x(t) = (R + r) cos t + a cos

((Rr + 1

)t), y(t) = (R + r) sen t −

a sen((

Rr + 1

)t).

3 Funcoes periodicas

Uma funcao f e dita periodica se existir uma constante T tal que f(x+T ) = f(x) para todox do seu domınio. A constante T e chamada um perıodo da funcao. Percorrendo-se o domıniode uma funcao periodica, os valores de f(x) se repetem de T em T unidades. Os exemplos maisconhecidos de funcoes periodicas sao as funcoes trigonometricas.

Uma curva obtida com o espirografo so sera fechada se os valores das coordenadas (x(t), y(t))de seus pontos se repetirem a partir de um certo valor do parametro t. Isto e, a curva so serafechada se as funcoes x(t) e y(t) forem periodicas.

As funcoes cos t e sen t sao periodicas de perıodo T1 = 2π. Tambem sao periodicas as funcoescos

((Rr − 1

)t)e sen

((Rr − 1

)t)e os perıodos sao iguais a T2 =

2πRr−1

.

Definamos agora as funcoes numer(s) e denom(s) como sendo, respectivamente, o numeradore o denominador do numero racional positivo s escrito na forma irredutıvel. Por exemplo,se s = 12/15, entao numer(s) = numer(12/15) = numer(4/5) = 4 e denom(s) = 5. Como

s = numer(s)denom(s) , temos sdenom(s) = numer(s).

Se R/r for um numero racional, entao 1Rr−1

tambem sera racional (estamos supondo que

R > r). Se n = denom

(1

Rr−1

), entao 2π

Rr−1

· n = 2π

(n · 1

Rr−1

)= 2π numer

(1

Rr−1

)=

2π numer(

rR−r

)= 2π denom

(R−rr

)= 2π denom

(Rr − 1

)= 2π denom(Rr ). Assim, 2π denom(Rr )

e igual a T1 vezes um inteiro e tambem e igual a T2 vezes outro inteiro. Portanto, 2π denom(Rr )e um perıodo para x(t) e y(t). Isso significa que se o parametro t variar de 0 a 2π denom(Rr ) acurva se fechara.

Se R/r for irracional, as funcoes x(t) e y(t) nao serao periodicas e, neste caso, a curva naosera fechada e seu grafico vai se aproximando do formato de uma coroa circular a medida quefor sendo construıdo.

4 Exemplos

Escolhamos agora os valores de algumas constantes r, R e a e vamos ver como ficam osrespectivos graficos.

Consideremos o caso em que r = 6, R = 9 e a = 92 . Nesse caso, denom(R/r) = denom(9/6) =

denom(3/2) = 2 e, portanto, as equacoes parametricas da curva sao x(t) = 3 cos t + 92 cos(

t2),

y(t) = 3 sen t− 92 sen(

t2), com 0 ≤ t ≤ 4π. O grafico e o da Figura 4.

Na Figura 5 temos o caso em que r = 5, R = 8 e a = 3. Como denom(R/r) = 5, devemoster 0 ≤ t ≤ 10π nas equacoes x(t) = 3 cos t+ 3 cos(35 t) e y(t) = 3 sen t− 3 sen(35 t). Observe queo numero de petalas desse rosaceo e igual a numer(R/r) = 8.

Na Figura 6 temos r = 3, R = 8 e a = 2, x(t) = 5 cos t+ 2 cos(53 t), y(t) = 5 sen t− 2 sen(53 t),0 ≤ t ≤ 6π.

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Na Figura 7 temos r = 3, R = 21/5, a = 2, 0 ≤ t ≤ 10π, na Figura 8 temos r = 19, R = 30,a = 8, 0 ≤ t ≤ 38π, na Figura 9 temos r = 20, R = 43/2, a = 3/2, 0 ≤ t ≤ 80π, e na Figura 10temos r = 10, R = 43/2, a = 10, 0 ≤ t ≤ 40π.

Na Figura 11, temos dez curvas em que r = 6 e R = 11, a = 1 + k/5, com k assumindo osvalores inteiros de 1 a 10.

Na Figura 12, tambem temos varias curvas em que r = 6 e R = 8, a = 1 + k/5, com kassumindo os valores inteiros de 1 a 10.

Figura 4: r = 6, R = 9,a = 9/2

Figura 5: r = 5, R = 8,a = 3

Figura 6: r = 3, R = 8,a = 2

Figura 7: r = 3, R = 21/5,a = 2

Figura 8: r = 19, R = 30,a = 8

Figura 9: r = 20, R = 43/2,a = 3/2

Figura 10: r = 10, R = 43/2,a = 10

Figura 11: r = 6, R = 11,a = 1 + k/5

Figura 12: r=6, R=8,a = 1 + k/5

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Referencias

[1] Kreyszig, E., Differential Geometry, Dover, 1991.

[2] Weisstein, E. W., Hypocycloid, MathWorld – A Wolfram Web Resource,http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html

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