Universidad Autónoma de Baja California

Campus Mexicali

Facultad de Pedagogía e Innovación Educativa

Licenciatura en Docencia de la Matemática

Trigonometría

Mtro. Roberto Estrada QuilesAlumnos:

Ochoa Caro Sorell AngélicaPérez Monreal Javier

Sánchez Zepeda Oscar Iván

Unidad 1Funciones Circulares

Contenido

1.1 La circunferencia

1.1.1 Distancia entre dos puntos

1.1.2 Circunferencia unitaria

1.2 Funciones circulares

1.2.1 Localizar puntos en la circunferencia

1.3 Definición de seno y coseno

1.3.1 Signos de las funciones circulares en cada uno de los cuatro cuadrantes

1.4 Valores de las funciones circulares para los números reales 0, π/2, π, 3π/2, 2π

1.5 Valor de las funciones circulares para arcos π/4, π/6, π/3 y sus múltiplos

1.6 Dado el valor de una función encontrar el valor de todas las demás funciones

1.7 Grafica de la función seno y coseno

1.8 Identidades trigonométricas e identidades pitagóricas

La diferencia entre circulo y circunferencia, es que la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figuro y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia, mientras que el circulo representa la zona achurada, el contorno de esta figura plana es la circunferencia.

Circulo unitarioEs el circulo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0, 0) y su ecuación es

1.1 Circunferencia unitaria

Antecedentes:

RadianEs el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el circulo

0° = 0 Radianes90° = ½ π Radianes180° = π Radianes270° = (3/2) π Radianes360° = 2π Radianes

Con que fin se utiliza la Circunferencia Unitaria

• Con el fin de estudiar las reglas trigonométricas mediante la representación de Triangulo Rectángulo auxiliares.

c

A

B

C

b

a

Como calcular el valor de 30°

Utilizando el Teorema de Pitágoras

60°

60°

30°

21

X=

Como calcular el valor de 60°

60° 60°

30°

2

1

√3

Utilizando el Teorema de Pitágoras

Como calcular el valor de 45°

Utilizando el Teorema de Pitágoras• 2

45°

45°

45°

X=

1

1

90°

1.1.1 Distancia entre dos puntos

Y

Xx

yx =1

P

O

• A (X1, Y1) y B (X2, Y2) del plano de la longitud del segmento de recta que tiene por extremos ala A y B

• Fórmula

1.1.2 Circunferencia unitaria

También conocida como:Circunferencia Goniometrica

Circunferencia TrigonometricaCircunferencia unidad

1.2 Funciones Circulares

oConsideremos una circunferencia unitaria con centro en el origen, y un punto P que pueda desplazarse sobre la circunferencia, iniciando el desplazamiento a partir del punto A(1,0). En cada desplazamiento el punto P describe un arco de la circunferencia.

La longitud de un arco que implique un desplazamiento total a través de la circunferencia está dado por:

C = 2πr

En el caso de una circunferencia unitaria como el radio es de 1, se tiene que:

C = 2π

Consideremos una circunferencia unitaria con centro en el origen, y un punto P que pueda desplazarse sobre la circunferencia, iniciando el desplazamiento a partir del punto A(1,0). En cada desplazamiento el punto P describe un arco de la circunferencia.

y

xA(1,0)

P

∞ = longitud (circunferencia)P = Describe el arco en la circunferenciaR = N. Real PositivoЄ = Elemento ∞ (∞ Є R)

C = 2 π r C = longitud circunferencia r = 1 r = radio π = phi (c + Є)

1.2.1 Localizar puntos en la circunferencia

π es un número racional, representa aproximaciones (dependiendo de la exactitud en cada aplicación)

Localizar en que cuadrante se encuentra el punto terminal de arco con longitud P (- 5π/4) P (- 5π/4) (- 5π/4) = (-225⁰)

-225⁰

-180⁰

- 90⁰

1.3 Definición de seno y coseno

Función de SenoSi P(α) = (x , y) es un punto de la circunferencia unitariay = sen α , α Є R es la ecuación que define a la función seno

Función de CosenoSi P(α) = (x , y) es un punto de la circunferencia unitariax = cos α α Є R -1 ≤ cos (α) ≤ 1 es la ecuación que definea la función coseno

Función de TangenteSi P(α) = (x , y) es un punto de la circunferencia unitariatg α = , x ≠ 0 es la ecuación que define a la función tangente

1.4 Valores de las funciones circulares para los números reales 0,

π/2, π, 3π/2, 2π

I II III IV

sen + + - -cos + - - +tan + - + -csc + + - -sec + - - +cot + - + -

1.5 Valor de las funciones circulares para arcos π/4, π/6, π/3 y sus múltiplos

1.6 Dado el valor de una función encontrar el valor de todas las demás funciones

Dado que la tangente del ángulo tan ∞ = y que el lado terminal se encuentra en el tercer cuadrante, ¿cuales son los valores de las otras cinco funciones?

Sen ∞ = Csc ∞ =

Cos ∞ = Sec ∞ =

Tan ∞ = Cot ∞ =

Y

X5

2√5√45

1.7 Grafica de la función seno y coseno

Gráfica de la función coseno • Si consideramos ahora a la función , y después procedemos a darle valores

a x desde 0 hasta 2π, tendríamos el siguiente resultado:

• Sobreponiendo ambas gráficas se puede ver:

•Debido a que las funciones son periódicas, se puede ver que si se graficara desde 0 hasta 10π se tendría:

Coseno Seno

1.8 Identidades trigonométricas e identidades pitagóricas

• Identidad trigonométrica: Es una ecuación que utiliza funciones trigonométricas, que sea válida para todos los valores angulares en los cuales las funciones están definidas.

• De manera general las identidades trigonométricas se pueden clasificar en:

• Procedimiento para la verificación de identidades • Reducir el miembro más complicado para llegar al más simple

• Usar sustituciones para cambiar todas las funciones trigonométricas en expresiones que contengan únicamente senos y cosenos, y entonces simplificar

• Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el conjugado de cualquiera de ellos.

Pitagóricas De cocientes De recíprocos

csc 1sen

2 2tan 1 sec cos sec 1

2 2cot 1 csc tan cot 1

2 2cos 1sen

𝑡𝑔∝𝑠𝑒𝑛∝𝑐𝑜𝑠∝

𝑐𝑜𝑡 ∝𝑐𝑜𝑠∝𝑠𝑒𝑛∝