TRIGONOMETRIA

A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações

trigonométricas num triângulo retângulo.

Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B e por C as medidas dos ângulos

internos, respectivamente nos vértices B e C.

TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas

dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

222 cba !

Definições:

1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do

cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

a

b

hipotenusa

BânguloaoopostocatetoBsen !!

a

c

hipotenusa

CânguloaoopostocatetoCsen !!

2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do

cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

a

c

hipotenusa

BânguloaoadjacentecatetoBcos !!

a

b

hipotenusa

CânguloaoadjacentecatetoCcos !!

3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos

catetos oposto e adjacente a esse ângulo.

c

b

Bânguloaoadjacentecateto

BânguloaoopostocatetoBtg !!

b

c

Cânguloaoadjacentecateto

CânguloaoopostocatetoCtg !!

Observação:

Note que Bcos

Bsen

ac

ab

c

bBtg !!! .

Em geral, utilizaremos xcos

xsenxtg ! , para o ângulo x.

VALORES NOTÁVEIS

1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.

2

1

a

2a

)30(sen !!

2

3

a

23a

)30cos( !!

3

3

3

1

23a

2a

)30(tg !!!

2

3

a

23a

)60(sen !!

2

1

a

2a

)60cos( !! 3

2a

23a

)60(tg !!

2) Considere o quadrado de medida de lado a.

2

2

2

1

2a

a)45(sen !!!

2

2

2

1

2a

a)45cos( !!! 1

a

a)45(tg !!

Resumindo:

30o 45o 60o

Seno2

12

22

3

Cosseno2

32

22

1

Tangente3

3 1 3

ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA

Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes,

denominadas arcos, que indicaremos por ou .

As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.

MEDIDA DE ARCOS

Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:

GRAU: é o arco unitário correspondente a 360

1 da circunferência que contém o arco a ser

medido.

RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o

arco a ser medido. (oradiano 571 " )

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais,

possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três

simples, em que # é a medida em graus e $ em radianos.

medida em graus medida em radianos

#

180 %

%$

!#

&180

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se

deslocando sobre a circunferência.

Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto

que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto

corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2% .

A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.

Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo

correspondente, de onde calculamos:

pp

x1

xcos !!# ; p

py

ysen !!#

1 ; 122 ! pp yx obtendo-se 122 !# # sencos

A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno,

definindo o chamado ciclo trigonométrico.

Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:

sen0 = yA = 0 cos0 =xA = 1

sen2

% = yB = 1 cos2

% =xB = 0

sen% = yC = 0 cos% =xC = -1

sen2

3% = yD = 1 cos2

3% =xD = 0

sen2% = yA = 0 cos2% =xA = 1

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos

trigonométricos.

Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.

O que é periodicidade?

Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da

semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.

Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.

Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x),

fDomx'( . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.

Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se

repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a

um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.

Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:

1) Seno

sen(x) = sen(x + 2% ) = sen(x + 4% ) =..... = sen(x + k2% ), k ' Z.

Seno é função periódica de período 2%

2) Cosseno

cos(x) = cos(x + 2% ) = cos(x + 4% ) =..... = cos(x + k2% ), k ' Z.

Cosseno é função periódica de período 2%

3) Tangente

tg(x) = tg(x + % ) = tg(x+ 2% ) =..... = tg(x + k% ), k ' Z.

Tangente é função periódica de período %

Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx) p = k

2%

Generalizando: y = a tg(kx) p = k

%

Exemplos:

1) Determine o período de cada função:

a). y = 3 sen(x) p = 2%

b) y = 3 sen(2x) p = %!%

2

2

c). y = 2 sen(x/2) p = %!%

42/1

2

d) y = 3 cos(2x) p = %!%

2

2

e) y = cos(3x/5) p = 3

10

5/3

2 %!

%

2) Determine o período de cada função:

a). y = tg(2x) p = 2

%

b). y = 2 tg(x) p = %

a). y = tg(x/2) p = %!%

22/1

GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO

y = sen x

Propriedades

a) Dom = )

b) Img = [-1, 1]

c) Período = 2%

d) sen (-x) = - sen (x)

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO

y = cos x

Propriedades

a) Dom = )

b) Img = [-1, 1]

c) Período = 2%

d) cos (-x) = cos (x)

GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE

y = tg x

Propriedades

a) Dom = }kx/x{ % %*)' 2

b) Img = )

c) Período = %

d) tg (-x) = -tg (x)

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

tg x = xcos

senx, para %

%* k

2x com Zk'

sen2x + cos2x = 1, para Rx'

cotg x = senx

xcos, para %* kx com Zk' sec2x = 1 + tg2x, para %

%* k

2x com Zk'

sec x = xcos

1, para %

%* k

2x com Zk'

cossec2x = 1 + cotg2x, para %* kx com Zk'

cossec x = senx

1, para %* kx com Zk'

FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Sendo “a” e “b” dois números reais.

sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb

cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb

tg(a + b) = tgb.tga

tgbtga

+

1tg(a - b) =

tgb.tga

tgbtga

+

1

Exemplos

1) Calcule

a) )15cos(

Solução:

4

26

2

1

2

2

2

3

2

2

)30(sen)45(sen)30cos()45cos()3045cos()15cos(

!, ,!

!, ,!+!

b) )15(sen

Solução:

4

26

2

1

2

2

2

3

2

2

)30cos()45(sen)30cos()45(sen)3045(sen)15(sen

+!,+,!

!,+,!+!

b) )15(tg

Solução:

- .- .

- .32

6

326

6

3612

39

3369

33

33323

33

33

33

33

33

33

3

33

3

33

3

311

3

31

)30(tg)45(tg1

)30(tg)45(tg)3045(tg)15(tg

22

22

+!+

!+

!+

+!

+

,+!

+

+,

+!

!

+!

+

!

,

+!

,

+!+!

FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)

A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de

multiplicação:

cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a =

=cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1

sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a

tg(2a) = tg (a+a) = atg1

tga2

tga.tga1

tgatga2+

!+

Ou seja,

cos 2a = asenacos 22 + sen 2a = 2 sen a . cos a

cos 2a = 2 cos2a – 1tg 2a =

.atg1

tga2

2+

cos 2a= 1 – 2 sen2a

Exemplos

1) Sabendo que 3

1)x(tg ! , calcule tg(2x).

Solução

tg(2x) = 4

3

8

9

3

2

9

83

2

9

11

3

12

.xtg1

xtg2

2!,!!

+

,!

+

2) Resolva a equação 1)x(sen3)x2cos( +! .

Solução

02)x(sen3)x(sen2

1)x(sen3)x(sen)x(sen1

1)x(sen3)x(sen)x(cos

1)x(sen3)x2cos(

2

22

22

!+

+!++

+!+

+!

Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:

25169)2(2432 ! !+,,+!/

xexistenão24

53ou

k26

5xouk2

6x

2

1

4

53

4

53)x(sen

0+!++

% %

!% %

!0! +

!1+

!

Conjunto solução: 234

567

'% %

!% %

!'! Zk,k26

5xouk2

6xRxS

FÓRMULAS DE BISSECÇÃO

As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:

2

)b2cos(1bsen)b2cos(1bsen2bsen21)b2cos( 222 +!0+!0+! e, se considerarmos b=

2

a,

obtemos2

1

2

2 acosasen

+! .

Seguindo essa idéia, temos

2

1

2

2 acosasen

+!

2

1

2

2 acosacos

!

acos

acosatg

+

!1

1

2

2

RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE

Fazendo 567

!+

!

qba

pba, ou seja,

885

886

7

+!

!

2

qpb

2

qpa

e substituindo nas fórmulas de adição e subtração,

obtemos as relações de prostaférese dadas por

sen p + sen q = 2

qpcos

2

qpsen2

+,

,

sen p - sen q = 2

qpcos

2

qpsen2

,

+,

cos p + cos q = 2

qpcos

2

qpcos2

+,

,

cos p - cos q = 2

qpsen

2

qpsen2

+,

,+

tg p + tg q = )qcos().pcos(

)qp(sen

tg p - tg q = )qcos().pcos(

)qp(sen +

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,

lembrando que 1x1 99+ .

Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o

valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição 2

y2

%99

%+.

Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.

1) Função arco-seno (arcsen)

A cada x ' [–1,1] associa-se um único y :;

<=>

? %%+'

2,

2 tais que sen y = x.

Assim, definimos a função

arcsen : [–1,1] :;

<=>

? %%+@

2,

2

x )x(arcseny !!

Exemplos

1) Calcule

a) y = arcsen(1/2)

Solução

y = arcsen(1/2) A sen y = 1/2 . Lembrando que y :;

<=>

? %%+'

2,

2, temos y = % /6, ou seja,

62

1arcsen

%!B

C

DEF

G.

b) y = arcsen(0)

Solução

y = arcsen(0) A sen y = 0 . Lembrando que y :;

<=>

? %%+'

2,

2, temos y = 0, ou seja, - . 00arcsen ! .

c) y = arcsen(-1/2)

Solução

y = arcsen(-1/2) A sen y = -1/2 . Lembrando que y :;

<=>

? %%+'

2,

2, temos y = %+ /6, ou seja,

62

1arcsen

%+!B

C

DEF

G+ .

d) y = arcsen(1)

Solução

y = arcsen(1) A sen y = 1 . Lembrando que y :;

<=>

? %%+'

2,

2, temos y = % /2, ou seja, - .

21arcsen

%! .

2) Função arco-cosseno (arccos)

A cada x ' [–1,1] associa-se um único y H I%' ,0 tais que cos y = x.

Assim, definimos a função

arccos : [–1,1] H I%@ ,0

x )xarccos(y !!

Exemplos

1) Calcule

a) y = arccos(1/2)

Solução

y = arccos(1/2) A cos y = 1/2 . Lembrando que y H I%' ,0 , temos y = % /3, ou seja, 32

1arccos

%!B

C

DEF

G.

b) y = arccos(0)

Solução

y = arccos(0) A cos y = 0 . Lembrando que y H I%' ,0 , temos y = % /2, ou seja, - .2

0arccos%

! .

c) y = arccos(-1/2)

Solução

y = arccos(-1/2) A cos y = -1/2. Lembrando que y H I%' ,0 temos y = %2 /3, ou seja,

3

2

2

1arccos

%!B

C

DEF

G+ .

d) y = arccos(1)

Solução

y = arccos(1) A cos y = 1 . Lembrando que y H I%' ,0 temos y = % , ou seja, - . %!1arccos .

3) Função arco-tangente (arctg)

A cada x ' [–1,1] associa-se um único y BC

DEF

G %%+'

2,

2 tais que tg y = x.

Assim, definimos a função

arcsen : [–1,1] BC

DEF

G %%+@

2,

2

x )x(arctgy !!

Exemplos

1) Calcule

a) y = arctg(1)

Solução

y = arctg(1) A tg y = 1 . Lembrando que y BC

DEF

G %%+'

2,

2, temos y = % /4, ou seja, - .

41arctg

%! .

b) y = arcsen( 3 )

Solução

y = arctg( 3 ) A tg y = 3 . Lembrando que y BC

DEF

G %%+'

2,

2, temos y = % /3, ou seja,

- .3

3arctg%

! .

c) y = arctg(-1)

Solução

y = arctg(-1) A tg y = -1 . Lembrando que y BC

DEF

G %%+'

2,

2, temos y = %+ /4, ou seja, - .

41arctg

%+!+ .

EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA

1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:

2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no

sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na

direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no

rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível

traçar um triângulo retângulo.

(norte) A

5 milhas

(leste)

(sul) B

3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28

dias.

a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?

b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à

lua de 385.000km).

4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno,

cosseno e tangente.

a)1470º b) –1020º c)4

25%d)

2

5%+

5) Determine o valor de

(a) sen 1620º (b) sen (-990º)

6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:

a) sen (a+b) b) cos(a-b) c) tg (a+b)

Se o barco percorreu 5 milhas na direção

leste, quanto ele teve que andar para

retornar á rota original?

7) Resolva a expressão matemática

a) x = sen (%/6)- cos (2%/3)-3*sen(%)

b) y = tg(%/4)+2*sen(5%/6) – [sen (%/3)-cos(%/6)]

8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:

a) –1 b) -0,5 c) zero d)0,5 e) 1,0

9) Simplifique as expressões:

a) )x5(sen)x9(sen +% +% b) sen (x-900º) + cos (x-540º)

10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a

imagem e o período:

a) y = 4 sen x b) y=1 - sen x c) y = 2 sen x/4

11) Calcule :

a) sen (9%/4) e cos (9%/4)

b) sen (-2%/3) e sen (-2%/3)

c) sen 8% e cos8%

12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2%) que satisfaça as equações:

a) sen $=1; cos$=-1; tg$=1; sec$=1;

b) sen $=0; cos$=0; tg$=0; sec$=0;

c) sen $= -1/2; cos$= 1/2; tg$= -1; sec$=2.

13. Determine o período das funções:

a) y = sen (8$) b) z= 4 sen (8$)

c) x = cos (4J/7) d) p=3 cos($/4+%/2)

14. Simplifique a expressão $ BC

DEF

G$+

%+$ % $+ cos

2sen)sen()sen( .

15. Sabendo-se que sen $ = -1/3, calcule:

a) sen ( % - $) b) sen ( % + $) c) cos (%/2 - $)

16. Usando as fórmulas de adição, calcule:

a) sen (%+%/2) b) cos75º c) cos (5%/6), (sugestão 5%/6 = %/2+%/3)

17. Mostre que JJ!J cossen22sen .

18. Mostre que 2

2cos

2

1cos2

# !# .

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA

1) a) 2

1tg,

5

52cos,

5

5sen !K!K!K b)

4

3tg,

5

4cos,

5

3sen !K!J!J

2) 5 2

3) a) %/14 rad b) 770.000 % km

4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º = 3 /2 e tg 30º = 3 /3

b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º = 3 /2 , cos 60º =1/2 e tg 60º = 3

c) 25%/4 equivale a %/4 portando sen %/4 = 2 /2 , cos %/4 = 2 /2 e tg %/4 = 1

d) -5%/2 equivale a 3%/2 portando sen 3%/2 = -1 , cos 3%/2 = 0 e tg 3%/2 = indefinida

5) a) zero b) 1

6) a) 1 b) 3 /2 c)indefinido

7) a) -1 b) 2

8) e

9) a) 2 sen x b) -sen x - cos x

10) a) Dom = ) , Im = [-4, 4], p=2% b) ) Dom = ) , Im = [0, 1], p=2%

c) Dom = ) , Im = [-2, 2], p=8%

11) a) 2 /2 e 2 /2 b) - 3 /2 e -1/2 c) 0 e 1

12) a) %/2, %, %/4 e 5/4, 0

b) 0 e %, %/2 e 3%/2, 0 e %, %/2 e 3%/2

c) 7%/6 e 11%/6, %/3 e 5%/3, 3%/4 e 7%/4, %/3 e 5%/3

13) a) %/4 b) %/4 c) 7%/2 d) 8%

14) –2sen$

15) a) – 1/3 b) 1/3 c) -1/2

16) a) - 3 /2 b) - . 4/26 + c) - 3 /2