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Matemática II Prof. Sérgio Tambellini AULA 6
Trigonometria no triângulo retângulo
Tópicos da aula
Razões trigonométricas
Razões trigonométricas inversas
Consequências da tangente e da cotangente
Resumo teórico
Razões trigonométricas:
Seno de x =hipotenusa da medida
xà oposto cateto do medida
a
bsenx
Cosseno de x =hipotenusa da medida
xà adjacente cateto do med.
a
cxcos
Tangente de x = xà adjacente cateto do med.
xà oposto cateto do med.
c
btgx
Razões trigonométricas inversas:
Cossecante de x senx
1xseccos
b
axseccos
Secante de x xcos
1xsec
c
axsec
Cotangente de x tgx
1gxcot
b
cgxcot
Consequências da tangente e da cotangente:
Com relação ao triângulo retângulo dado no início do
resumo teórico, temos:
tgxc
b
c
a.
a
b
xcos
senx
ac
ab
xcos
senxtgx
gxcotb
c
b
a.
a
c
senx
xcos
ab
ac
senx
xcosgxcot
Exercícios de aula
1) Para saber se uma subida (ou rampa) é mais íngreme, ou
se tem um aclive maior, do que outra rampa, basta calcular
o seu ângulo de inclinação. Quanto maior o ângulo de
inclinação, maior será o aclive da rampa. O ângulo de
inclinação é medido entre a horizontal (afastamento) e a
rampa, como pode ser visto nos exemplos abaixo.
Nas figuras dadas a rampa 1 é mais íngreme do que a
rampa 2, pois 60o > 35
o.
Quando não é possível medir o ângulo de inclinação, basta
calcular a razão entre a altura da rampa e o seu
afastamento, conhecida também como índice de subida. O
índice de subida é numericamente igual ao valor da
tangente do ângulo de inclinação da rampa. E quanto
maior o valor do índice de subida, mais íngreme será a
rampa.
Sem saber qual é a medida do ângulo de inclinação de
cada uma das rampas abaixo, determine qual das duas
rampas é mais íngreme.
11
c
b
a
x
afastamento
altura
rampa
oafastament
rampa da alturasubida de índice
11m
rampa 1
7m
5m
8m
rampa 2
60o
35o
rampa 1 rampa 2
2) No triângulo retângulo ABC dado abaixo, sabe-se que
sen = 0,8. Calcule o valor da tgÂ.
3) Na figura dada abaixo, os triângulo retângulos ABG,
ACF e ADE são semelhantes, com AB = 6cm, AC = 9cm,
AD = 12cm, AG = 10cm, AF = 15cm e AE = 20cm.
a) Calcule as medidas dos catetos BG , CF e DE .
b) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os
valores de cos
G , cos
F e cos
E , respectivamente.
c) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule o
valor da tg
A em cada um dos triângulos, respectivamente.
d) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os
valores de sen
G , sen
F e sen
E , respectivamente.
e) Com relação aos resultados obtidos das razões
trigonométricas nos itens (b), (c) e (d) o que se pode
concluir?
4) (U.F.BA) Num triângulo ABC, reto em B, a hipotenusa
mede 10cm e a medida de AB é o dobro da medida de
BC . O valor de
CtgCcosCsen é
a) 4.
b) 10
17 .
c) 5
1053 .
d) 10
556 .
e) 1053 .
12
30cm
C
B A
C B A
D
E
F
G
Tarefa de casa
1) (U.F.PA) No triângulo retângulo temos:
I) sent = 2
1
II) cost = 5
2
III) tgt = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
a) I. d) II e III.
b) II. e) I, II e III.
c) III.
2) (PUC-SP) Um dos ângulos de um triângulo
retângulo é . Se tg = 2,4 , os lados desse triângulo são
proporcionais a
a) 30, 40, 50. d) 50, 120, 130.
b) 80, 150, 170. e) 61, 60, 11.
c) 120, 350, 370.
3) No triângulo retângulo ABC da figura abaixo, tem-se
que o valor de cossec – cotg é igual a
a) 3
1.
b) 3.
c) 6
1.
d) 6.
e) 5
4.
4) Numa subida de índice igual a 2
1, se nos afastarmos
50m, a quantos metros nos elevamos do chão?
5) Numa subida de índice igual a 5
2, se nos elevarmos a
uma altura de 4 metros, qual será o afastamento
correspondente?
6) Numa subida de índice igual a 12
5, se nos deslocarmos
52 metros sobre a rampa desde o seu início, quantos
metros nos elevaremos do chão?
Questão de raciocínio lógico:
Os dois grupos de letras representados abaixo guardam
entre si uma relação. Essa mesma relação deve existir entre
o terceiro e o quarto grupo, que está faltando.
(K P Q R) está para (K S T U)
assim como (M C D E) está para ( ? )
Considerando que a ordem alfabética é a oficial, o grupo
de letras que deve substituir corretamente o ponto de
interrogação é
a) M B C D
b) M F G H
c) M J K L
d) N K L M
e) N S T U
2
1
t
10cm
C
B A
6cm
13