trigonometria no triângulo retângulo - colÉgio...

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Matemática II Prof. Sérgio Tambellini AULA 6 Trigonometria no triângulo retângulo Tópicos da aula Razões trigonométricas Razões trigonométricas inversas Consequências da tangente e da cotangente Resumo teórico Razões trigonométricas: Seno de x = hipotenusa da medida x à oposto cateto do medida a b senx Cosseno de x = hipotenusa da medida x à adjacente cateto do med. a c x cos Tangente de x = x à adjacente cateto do med. x à oposto cateto do med. c b tgx Razões trigonométricas inversas: Cossecante de x senx 1 x sec cos b a x sec cos Secante de x x cos 1 x sec c a x sec Cotangente de x tgx 1 gx cot b c gx cot Consequências da tangente e da cotangente: Com relação ao triângulo retângulo dado no início do resumo teórico, temos: tgx c b c a . a b x cos senx a c a b x cos senx tgx gx cot b c b a . a c senx x cos a b a c senx x cos gx cot Exercícios de aula 1) Para saber se uma subida (ou rampa) é mais íngreme, ou se tem um aclive maior, do que outra rampa, basta calcular o seu ângulo de inclinação. Quanto maior o ângulo de inclinação, maior será o aclive da rampa. O ângulo de inclinação é medido entre a horizontal (afastamento) e a rampa, como pode ser visto nos exemplos abaixo. Nas figuras dadas a rampa 1 é mais íngreme do que a rampa 2, pois 60 o > 35 o . Quando não é possível medir o ângulo de inclinação, basta calcular a razão entre a altura da rampa e o seu afastamento, conhecida também como índice de subida. O índice de subida é numericamente igual ao valor da tangente do ângulo de inclinação da rampa. E quanto maior o valor do índice de subida, mais íngreme será a rampa. Sem saber qual é a medida do ângulo de inclinação de cada uma das rampas abaixo, determine qual das duas rampas é mais íngreme. 11 c b a x afastamento altura rampa o afastament rampa da altura subida de índice 11m rampa 1 7m 5m 8m rampa 2 60 o 35 o rampa 1 rampa 2

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Matemática II Prof. Sérgio Tambellini AULA 6

Trigonometria no triângulo retângulo

Tópicos da aula

Razões trigonométricas

Razões trigonométricas inversas

Consequências da tangente e da cotangente

Resumo teórico

Razões trigonométricas:

Seno de x =hipotenusa da medida

xà oposto cateto do medida

a

bsenx

Cosseno de x =hipotenusa da medida

xà adjacente cateto do med.

a

cxcos

Tangente de x = xà adjacente cateto do med.

xà oposto cateto do med.

c

btgx

Razões trigonométricas inversas:

Cossecante de x senx

1xseccos

b

axseccos

Secante de x xcos

1xsec

c

axsec

Cotangente de x tgx

1gxcot

b

cgxcot

Consequências da tangente e da cotangente:

Com relação ao triângulo retângulo dado no início do

resumo teórico, temos:

tgxc

b

c

a.

a

b

xcos

senx

ac

ab

xcos

senxtgx

gxcotb

c

b

a.

a

c

senx

xcos

ab

ac

senx

xcosgxcot

Exercícios de aula

1) Para saber se uma subida (ou rampa) é mais íngreme, ou

se tem um aclive maior, do que outra rampa, basta calcular

o seu ângulo de inclinação. Quanto maior o ângulo de

inclinação, maior será o aclive da rampa. O ângulo de

inclinação é medido entre a horizontal (afastamento) e a

rampa, como pode ser visto nos exemplos abaixo.

Nas figuras dadas a rampa 1 é mais íngreme do que a

rampa 2, pois 60o > 35

o.

Quando não é possível medir o ângulo de inclinação, basta

calcular a razão entre a altura da rampa e o seu

afastamento, conhecida também como índice de subida. O

índice de subida é numericamente igual ao valor da

tangente do ângulo de inclinação da rampa. E quanto

maior o valor do índice de subida, mais íngreme será a

rampa.

Sem saber qual é a medida do ângulo de inclinação de

cada uma das rampas abaixo, determine qual das duas

rampas é mais íngreme.

11

c

b

a

x

afastamento

altura

rampa

oafastament

rampa da alturasubida de índice

11m

rampa 1

7m

5m

8m

rampa 2

60o

35o

rampa 1 rampa 2

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2) No triângulo retângulo ABC dado abaixo, sabe-se que

sen = 0,8. Calcule o valor da tgÂ.

3) Na figura dada abaixo, os triângulo retângulos ABG,

ACF e ADE são semelhantes, com AB = 6cm, AC = 9cm,

AD = 12cm, AG = 10cm, AF = 15cm e AE = 20cm.

a) Calcule as medidas dos catetos BG , CF e DE .

b) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os

valores de cos

G , cos

F e cos

E , respectivamente.

c) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule o

valor da tg

A em cada um dos triângulos, respectivamente.

d) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os

valores de sen

G , sen

F e sen

E , respectivamente.

e) Com relação aos resultados obtidos das razões

trigonométricas nos itens (b), (c) e (d) o que se pode

concluir?

4) (U.F.BA) Num triângulo ABC, reto em B, a hipotenusa

mede 10cm e a medida de AB é o dobro da medida de

BC . O valor de

CtgCcosCsen é

a) 4.

b) 10

17 .

c) 5

1053 .

d) 10

556 .

e) 1053 .

12

30cm

C

B A

C B A

D

E

F

G

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Tarefa de casa

1) (U.F.PA) No triângulo retângulo temos:

I) sent = 2

1

II) cost = 5

2

III) tgt = 2

A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):

a) I. d) II e III.

b) II. e) I, II e III.

c) III.

2) (PUC-SP) Um dos ângulos de um triângulo

retângulo é . Se tg = 2,4 , os lados desse triângulo são

proporcionais a

a) 30, 40, 50. d) 50, 120, 130.

b) 80, 150, 170. e) 61, 60, 11.

c) 120, 350, 370.

3) No triângulo retângulo ABC da figura abaixo, tem-se

que o valor de cossec – cotg é igual a

a) 3

1.

b) 3.

c) 6

1.

d) 6.

e) 5

4.

4) Numa subida de índice igual a 2

1, se nos afastarmos

50m, a quantos metros nos elevamos do chão?

5) Numa subida de índice igual a 5

2, se nos elevarmos a

uma altura de 4 metros, qual será o afastamento

correspondente?

6) Numa subida de índice igual a 12

5, se nos deslocarmos

52 metros sobre a rampa desde o seu início, quantos

metros nos elevaremos do chão?

Questão de raciocínio lógico:

Os dois grupos de letras representados abaixo guardam

entre si uma relação. Essa mesma relação deve existir entre

o terceiro e o quarto grupo, que está faltando.

(K P Q R) está para (K S T U)

assim como (M C D E) está para ( ? )

Considerando que a ordem alfabética é a oficial, o grupo

de letras que deve substituir corretamente o ponto de

interrogação é

a) M B C D

b) M F G H

c) M J K L

d) N K L M

e) N S T U

2

1

t

10cm

C

B A

6cm

13