TrigonometriaReforco de Matematica Basica - Professor: Marcio Sabino - 1◦ Semestre 2015

1. Trigonometria

O nome Trigonometria vem do grego trigo-non “triangulo” + metron “medida”. Esta e um ramo da matematicaque estuda relacoes entre angulos e comprimentos dos lados de um triangulo retangulo.

2. Medidas de Angulos e Arcos

• Definicao de Angulo: Do latim angulu: canto, esquina. Do grego gonas: reuniao de duas semi-retas demesma origem nao colineares.

• Definicao de Arco: Do latim arcus: tudo o que tem a forma curva; uma porcao qualquer da circunferencia;e cada uma das partes em que uma circunferencia fica dividida por dois de seus pontos.

• O Grau: Do latim gradu: dividindo a circunferencia em 360 partes iguais, cada arco unitario que corresponde

a1

360da circunferencia denominamos de grau.

• O Radiano: e o arco cujo comprimento e igual ao comprimento do raio da circunferencia que o contem

Na figura temos o angulo central α = AOB com vertice no centro da circunferencia e um arco x = AB. Amedida do angulo central (em graus) e a medida do arco correspondente (em radianos) sao equivalentes.

O

A

B

xα

Na trigonometria convencionou-se que a circunferencia trigonometrica possui raio unitario, ou seja, r = 1 [u.c](OBS. A notacao [u.c] denota unidade de comprimento).

Uma volta completa sobre uma circunferencia de raio r, ou seja, o comprimento de uma circunferencia e definidopor C = 2πr. De forma equivalente, quando medimos uma volta completa em graus temos 360◦. Como o radiano e

o arco cujo comprimento e igual ao comprimento do raio da circunferencia que o contem, entao 360o = 2π [rad] ,

pois no nosso caso, r = 1. Temos entao a seguinte condicao para conversao entre graus e radianos.

• Conversao: Utilizar a regra de 3 simples: O angulo α esta para 360o assim como o arco x esta para 2π [rad].

• Ex.: Transforme α = 30o para radianos:

360o = 2π [rad]30o = x [rad]

360 · x = 30 · 2π ⇔ x =30 · 2π

360⇒ x =

π

6

Assim, α = 30o e equvalente a x =π

6[rad] .

2

3. Triangulo Retangulo

Um triangulo que possui um angulo interno de 90o, e denominado triangulo retangulo. O angulo reto, ou seja, oangulo de 90o e representado na figura com um quadrado com um pingo no centro.

Os comprimentos dos lados do triango retangulo sao denomidados:

• Hipotenusa : Lado oposto ao angulo reto;

• Catetos: Lados adjacentes ao angulo reto.

Considere o seguinte triangulo retangulo:

A

B

C

cateto

cateto

hipotenusa

B

C

Figura 1: Triangulo retangulo.

3.1. Teorema de Pitagoras

Considere um triangulo retangulo ABC da figura 1. O quadrado da medida do comprimento da hipotenusa e iguala soma das medidas dos comprimentos dos catetos, ou seja:

(hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2

Este teorema e muito util quando estamos trabalhando apenas com as medidas dos comprimentos dos lados deum triangulo retangulo.

• Ex.: Na figura abaixo, temos um triangulo retangulo com cateto AB = 3 [u.c] e BC = 5 [u.c]. Qual ocomprimento do lado AC?

A

B

C

3 5

Solucao: Temos o valos de um dos catetos e da hipotenusa e queremos determinar o valor do outro cateto.Assim:

(hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2

(BC)2 = (AC)2 + (AB)2

(5)2 = (AC)2 + (3)2

25 = (AC)2 + 925− 9 = (AC)2

16 = (AC)2

(AC)2 = 16

AC = ±√

16AC = ±4

Como AC e um comprimento, utilizamos a solucao AC = 4 [u.c]

3

3.2. Seno

Considere um angulo α interno a um triangulo retangulo. O seno deste angulo e a razao da medida do comprimentodo cateto oposto a esse angulo, dividido pela medida do comprimento da hipotenusa, ou seja:

sen(α) =cateto oposto ao angulo α

hipotenusa

• Ex.: Para a figura abaixo, temos que: sen(30◦) =cateto oposto ao angulo 30◦

hipotenusa=

2

4=

1

2⇒ sen(30◦) =

1

2.

A

B

C

2 4

30◦

Para utilizar a calculadora, deve-se tomar cuidado com a forma graus ou radiano. No exercıcio acima, o angulopedido foi 30◦. Assim, devemos colocar a calculadora para trabalhar no modo graus e depois fazer o calculo. Se o

pedido fosse sen(π

6

), teriamos que deixar a calculadora na forma de radianos para efetuar a operacao.

3.3. Cosseno

Considere um angulo α interno a um triangulo retangulo. O cosseno deste angulo e a razao da medida do compri-mento do cateto adjacente a esse angulo, dividido pela medida do comprimento da hipotenusa, ou seja:

cos(α) =cateto adjacente ao angulo α

hipotenusa

• Ex.: Para a figura abaixo, temos que: cos(30◦) =cateto adjacente ao angulo 30◦

hipotenusa=

2 ·√

3

4=

√3

2⇒

cos(30◦) =

√3

2.

A

B

C2 ·√

3

4

30◦

3.4. Tangente

Considere um angulo α interno a um triangulo retangulo. A tangente deste angulo e a razao da medida docomprimento do cateto oposto a esse angulo, dividido pela medida do comprimento do cateto adjacente ao mesmoangulo, ou seja:

tg(α) =cateto oposto ao angulo α

cateto adjacente ao angulo α

De forma equivalente, uma outra relacao para a tangente de um angulo e dada por:

tg(α) =sen(α)

cos(α)

4

• Ex.: Para a figura abaixo, temos que:

∗ tg(30◦) =cateto oposto ao angulo 30◦

cateto adjacente ao angulo 30◦=

2 ·√

3

6=

2/ ·√

3

6/=

√3

3⇒ tg(30◦) =

√3

3.

∗ De forma equivalente, podemos calcular a tangente por:

tg(30◦) =sen(30◦)

cos(30◦)=

12√32

=1

2· 2√

3=

1√3

=1√3·√

3√3

=1 ·√

3

3=

√3

3⇒ tg(30◦) =

√3

3.

A

B

C

2 ·√

3

6

30◦

3.5. Determinando o angulo

Para determinar o angulo α conhecendo o valor de seno, cosseno ou tangente, devemos fazer a seguinte perguna: “Qual o valor do arco cujo relacao trigonometrica vale x”? Temos entao as seguintes situacoes:

• Se sen(α) = x, entao arcsen(x) =?. “Qual o valor do arco cujo seno vale x”.

• Se cos(α) = x, entao arccos(x) =?. “Qual o valor do arco cujo cosseno vale x”.

• Se tan(α) = x, entao arctan(x) =?. “Qual o valor do arco cuja tangente vale x”.

Em algumas calculadoras, a notacao acima pode ser encontrada como: sen−1(x) =?, cos−1(x) =? e tan−1(x) =?.

• Ex.: Determine o angulo θ sabendo que sen(θ) =

√2

2.

Solucao: Queremos a resposta para: Qual o valor do arco sobre a circunferencia trigonometrica cujo sen(θ) =√2

2? Assim:

θ = arcsen

(√2

2

)=π

4[rad] ≈ 0, 7854 [rad], ou, fazendo a conversao, θ = 45◦.

Na calculadora, devemos selecionar antes o modo ao qual queremos que apareca o resultado, ou seja, em radianosou em graus.

• Ex.: Determine o angulo θ sabendo que cos(θ) =1

2.

Solucao: Vamos determinar o arco sobre a circunferencia trigonometrica, cujo cos(θ) =1

2. Assim:

θ = arccos

(1

2

)=π

3[rad] ≈ 1, 0472 [rad], ou, fazendo a conversao, θ = 60◦.

5

4. Triangulo Qualquer

Quando temos um triangulo retangulo, podemos utilizar o teorema de pitagoras e as relacoes trigonometricas seno,cosseno e tangente. Para um triangulo qualquer, ou seja, nao necessariamente retangulo, estas relacoes nao saovalidas e devemos utilizar a Lei dos Senos ou a Lei dos Cossenos.

4.1. Lei dos Senos

Considere um triangulo ABC qualquer, com lados BC, AC e AB medindo respectivamente a, b e c e com angulosinternos opostos a estes lados sendo respectivamente A, B e C, inscrito em uma circunferencia de raio r.

r

A

B

C

c

b

a

A

B

C

Figura 2: Triangulo ABC incrito em uma circunferencia de raio r.

A lei dos senos diz que:

a

sen(A)=

b

sen(B)=

c

sen(C)= 2.r

• Ex.: Dado o triangulo ABC abaixo, determine o comprimento do lado x:

A

B

Cx

3

30◦

45◦

Temos que:

x

sen(45◦)=

3

sen(30◦)⇔ x =

3 · sen(45◦)

sen(30◦)=

3 ·√

2

21

2

= 3 ·√

2

2· 2

1= 3 ·

√2

Assim, x = 3 ·√

2 [u.c] .

6

4.2. Lei dos Cossenos

Considere um triangulo ABC qualquer, com lados BC, AC e AB medindo respectivamente a, b e c e com angulosinternos opostos a estes lados sendo respectivamente A, B e C.

A

B

C

c

b

a

A

Figura 3: Triangulo ABC.

A lei dos cossenos diz que:

a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(A)

Analogamente, temos as seguintes relacoes:

• b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos(B) ; • c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(C) .

• Ex.: Dado o triangulo ABC abaixo, determine o comprimento do lado x:

A

B

C

3

5

x

60◦

Temos que:

x2 = (3)2 + (5)2 − 2 · (3) · (5) · cos(60◦)

x2 = 9 + 25− 2 · (3) · (5) · 1

2x2 = 34− 15x2 = 19

x = ±√

19

Assim, temos o comprimento x =√

19 [u.c] .

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EXERCICIOS - Trigonometria

Reforco de Matematica Basica - Professor: Marcio Sabino - 1◦ Semestre 2015

Nome : Ra : Projetos Manha Projetos Noite

1. Faca as seguintes tranformacoes:

(a) x = 60◦ para radianos

(b) x = 150◦ para radianos

(c) x =π

4para graus

(d) x =π

2para graus

2. Considere cada item a figura correspon-dente:

(a) Determine o valor do comprimentoda aresta e do triangulo.

(b) Determine a altura do predio A.Determine tambem a distanciapercorrida pelo passaro para voarem linha reta do topo do predioA ao pao no solo e em seguida aotopo do predio B.

3. Um aviao voando paralelo ao solo a 600 [m] de altitude avista a pista de pousoe inclina-se 30◦ para iniciar a descida. Determine a distancia x percorrida peloaviao ate tocar a pista.

4. Quando o angulo de elevacao do sol e de 60o, a sombra de uma arvore mede 15 m. Calcule a altura da arvore.

5. Uma escada de 20 [m], encostada na parede de um edifıcio, tem seus pes afastados 10√

2 [m] do edifıcio,formando assim, com o plano horizontal, um angulo de β. Determine o angulo β?

6. Considere o esquema na figura onde um barcoesta proximo de uma torre em uma base deum porto. Determine o angulo θ.

7. Um aviao levanta voo sob um angulo de 30o. Depois de percorrer 8 km em linhareta, que altura estara o aviao?

8. Sob um angulo θo em relacao ao solo, um projetil sobe 8 [km] em linha reta e se desloca 4 [km] horizontalmente.Qual o angulo θ?

8

9. Considere uma peca plana que possui um formato triangular. Supondo um triangulo ABC, sabe-se queAB = 40 [cm] e que o angulo oposto a este lado vale 30◦, enquanto que o angulo oposto ao lado AC vale 60◦.Determine o comprimento do lado AC da peca.

10. Uma pessoa se encontra em um ponto A de uma planıcie, as margensde um rio e ve, do ooutro lado do rio, o topo do mastro de umabandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h domastro, ela anda, em linha reta, 50 [m] para a direita do ponto emque se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pe do mastro, avaliaque os angulos ˆBAC e ˆBCD valem 30◦, e o angulo ˆACB vale 105◦,como na figura. Determine a altura h do mastro da bandeira.

11. A agua utilizada na casa de uma sıtio e captada e bombeada do riopara uma caixa de agua a 50 [m] de distancia. A casa esta a 80 [m]de distancia da caixa de agua e o angulo formado pelas direcoes casa-caixa de agua e caixa de agua-bomba e de 60◦. Determine quantosmetros sao necessario para levar agua diretamente da bomba ate acasa.

12. Considere o triangulo ABC da figura abaixo. Determine o comprimento x do triangulo.

A

B

Cx

7 cm3 cm

60◦

Solucoes

(1a) x =π

3rad

(1b) x =5π

6rad

(1c) x = 45◦

(1d) x = 90◦

(2a) e =√

6

(2b) h = 48 [m] e d = 110 [m]

(3) x = 1200 [m].

(4) h = 15 ·√

3 [m].

(5) β = 45◦.

(6) θ = 30◦.

(7) H = 4 [km].

(8) θ = 60◦.

(9) AC = 40 ·√

3 [cm].

(10) h =25 ·√

2

2[m].

(11) x = 70 [m].

(12) x = 8 [cm].