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Elementos de Matem´ atica Trigonometria do Triˆ angulo Retˆ angulo Roteiro no.5 - Atividades did´ aticas de 2007 Vers˜ ao compilada no dia 9 de Maio de 2007. Departamento de Matem´ atica - UEL Prof. Ulysses Sodr´ e E-mail: [email protected] Matem´ atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de aulas constru´ ıdas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e n˜ ao espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em portuguˆ es, h´ a pouco material de dom´ ınio p´ ublico, mas em inglˆ es existem diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor fa¸ ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: ‘No princ´ ıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princ´ ıpio com Deus. Todas as coisas foram feitas por interm´ edio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas n˜ ao prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por interm´ edio dele, e o mundo n˜ ao o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus n˜ ao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crˆ eem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais n˜ ao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do var˜ ao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre os, cheio de gra¸ ca e de verdade...’ A B´ ıblia Sagrada, Jo˜ ao 1:1-5,10-14

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Elementos de MatematicaTrigonometria do Triangulo Retangulo

Roteiro no.5 - Atividades didaticas de 2007Versao compilada no dia 9 de Maio de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses SodreE-mail: [email protected]

Matematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas construıdas com materiais utilizados em nossasaulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam umroteiro para as aulas e nao espero que estas notas venham a substituirqualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livroscitados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Emportugues, ha pouco material de domınio publico, mas em ingles existemdiversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos queo leitor faca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Mensagem: ‘No princıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e oVerbo era Deus. Ele estava no princıpio com Deus. Todas as coisas foramfeitas por intermedio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Neleestava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, eas trevas nao prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundofoi feito por intermedio dele, e o mundo nao o conheceu. Veio para o queera seu, e os seus nao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam,aos que creem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos deDeus; os quais nao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem davontade do varao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entrenos, cheio de graca e de verdade...’ A Bıblia Sagrada, Joao 1:1-5,10-14

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CONTEUDO

1 Trigonometria do triangulo retangulo 1

1.1 Trigonometria e aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Triangulo Retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Lados de um triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Nomenclatura dos catetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Propriedades do triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 A hipotenusa como base de um triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Projecoes de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Projecoes no triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.9 Relacoes Metricas no triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.10 Funcoes trigonometricas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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CAPITULO 1

Trigonometria do triangulo retangulo

1.1 Trigonometria e aplicacoes

Tratamos aqui sobre alguns conceitos relacionados com a Trigonometria notriangulo retangulo, assunto comum na oitava serie do Ensino Fundamental.Tambem dispomos de uma pagina mais aprofundada sobre o assunto tratadono ambito do Ensino Medio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicacoes praticas. Desde a anti-guidade ja se usava da trigonometria para obter distancias impossıveis de seremcalculadas por metodos comuns. Algumas aplicacoes da trigonometria sao:

1. Determinacao da altura de um certo predio.

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1.2. TRIANGULO RETANGULO 2

2. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processomuito simples.

3. Seria impossıvel se medir a distancia da Terra a Lua, porem com atrigonometria se torna simples.

4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir umaponte, o trabalho dele e facilitado com o uso de recursos trigonometricos.

5. Um cartografo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma mon-tanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demorariaanos para desenhar um mapa.

Tudo isto e possıvel calcular com o uso da trigonometria do triangulo retangulo.

1.2 Triangulo Retangulo

E um triangulo que possui um angulo reto, isto e, um dos seus angulos medenoventa graus, daı o nome triangulo retangulo. Como a soma das medidas dosangulos internos de um triangulo e igual a 1800, entao os outros dois angulosmedirao 900.

Observacao: Se a soma de dois angulos mede 900, estes angulos sao denom-inados complementares, portanto podemos dizer que o triangulo retangulopossui dois angulos complementares.

Ver mais detalhes em triangulos

1.3 Lados de um triangulo retangulo

Os lados de um triangulo retangulo recebem nomes especiais. Estes nomessao dados de acordo com a posicao em relacao ao angulo reto. O lado opostoao angulo reto e a hipotenusa. Os lados que formam o angulo reto (adjacentesa ele) sao os catetos.

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetos: (perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa: Hypo (por baixo) + teino (eu estendo)

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1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS 3

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notacoes:

Letra Nome do lado Vertice = Angulo Medida

a Hipotenusa A = Angulo reto A = 900

b Cateto B = Angulo agudo B < 900

c Cateto C = Angulo agudo C < 900

Ver mais detalhes em angulos

1.4 Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posicao em relacaoao angulo sob analise. Se estamos usando o angulo C, entao o lado oposto,indicado por c, e o cateto oposto ao angulo C e o lado adjacente ao anguloC, indicado por b, e o cateto adjacente ao angulo C.

Angulo Lado oposto Lado adjacente

C c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria e mostrar o uso de conceitos matematicosno nosso cotidiano.

Iniciaremos estudando as propriedades geometricas e trigonometricas no trianguloretangulo. O estudo da trigonometria e extenso e minucioso.

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1.5. PROPRIEDADES DO TRIANGULO RETANGULO 4

1.5 Propriedades do triangulo retangulo

1. Angulos: Um triangulo retangulo possui um angulo reto e dois angulosagudos complementares.

2. Lados: Um triangulo retangulo e formado por tres lados, uma hipotenusa(lado maior) e outros dois lados que sao os catetos.

3. Altura: A altura de um triangulo e um segmento que tem uma extremi-dade num vertice e a outra extremidade no lado oposto ao vertice, sendoque este segmento e perpendicular ao lado oposto ao vertice. Existem3 alturas no triangulo retangulo, sendo que duas delas sao os catetos.A outra altura e obtida tomando a base como a hipotenusa, a alturarelativa a este lado sera o segmento AD, denotado por h e perpendiculara base.

1.6 A hipotenusa como base de um triangulo retangulo

Tomando informacoes da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, e a altura relativa a hipotenusa CB,indicada por a.

2. o segmento BD, denotado por m, e a projecao ortogonal do cateto c

sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

3. o segmento DC, denotado por n, e a projecao ortogonal do cateto b

sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

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1.7. PROJECOES DE SEGMENTOS 5

1.7 Projecoes de segmentos

Introduziremos algumas ideias basicas sobre projecao. Ja mostramos, no inıciodeste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um predio, determina umasombra que e a projecao oblıqua do predio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta nao coincidentes e possıvelobter as projecoes destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situacoes apre-

sentadas, as projecoes dos segmentos AB sao indicadas por A′B′, sendo queno ultimo caso A′ = B′ e um ponto.

1.8 Projecoes no triangulo retangulo

Agora iremos indicar as projecoes dos catetos no triangulo retangulo.

1. m = projecao de c sobre a hipotenusa.

2. n = projecao de b sobre a hipotenusa.

3. a = m + n.

4. h = media geometrica entre m e n.

Ver mais detalhes em media geometrica

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1.9. RELACOES METRICAS NO TRIANGULO RETANGULO 6

1.9 Relacoes Metricas no triangulo retangulo

Para extrair algumas propriedades, decomporemos o triangulo retangulo ABC

em dois triangulos retangulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o anguloA sera decomposto na soma dos angulos CAD = B e DAB = C.

Os triangulos retangulos ABC, ADC e ADB sao semelhantes.

Triangulo hipotenusa cateto maior cateto menor

ABC a b c

ADC b n h

ADB c h m

Assim:

a

b=

b

n=

c

ha

c=

b

h=

c

mb

c=

n

h=

h

m

logo:

a

c=

c

mequivale a ac2 = a.m

a

b=

b

nequivale a ab2 = a.n

a

c=

b

hequivale a aa.h = b.c

h

m=

n

hequivale a ah2 = m.n

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1.10. FUNCOES TRIGONOMETRICAS BASICAS 7

Existem tambem outras relacoes do triangulo inicial ABC. Como a = m+n,somando c2 com b2, obtemos:

c2 + b2 = a.m + a.n = a.(m + n) = a.a = a2

que resulta no Teorema de Pitagoras:

a2 = b2 + c2

Esta e uma das varias demonstracoes do Teorema de Pitagoras.

1.10 Funcoes trigonometricas basicas

As Funcoes trigonometricas basicas sao relacoes entre as medidas dos lados dotriangulo retangulo e seus angulos. As tres funcoes basicas mais importantesda trigonometria sao: seno, cosseno e tangente. Indicamos o angulo pela letrax, o cateto oposto ao angulo x por CO, o cateto adjacente ao angulo x porCA, a hipotenusa do triangulo por H e m(Z) a medida do segmento Z.

Funcao Notacao Definicao

seno sin(x)m(CO)

m(H)

cosseno cos(x)m(CA)

m(H)

tangente tan(x)m(CO)

m(CA)

Tomando um triangulo retangulo ABC, tal que m(H) = 1, o seno do angulox sob analise e a medida do cateto oposto CO e o cosseno do mesmo e o seucateto adjacente CA. Portanto a tangente do angulo analisado sera a razaoentre o seno e o cosseno desse angulo.

sin(x) =m(CO)

H=

m(CO)

1

cos(x) =m(CA)

H=

m(CA)

1

tan(x) =m(CO)

m(CA)=

sin(x)

cos(x)

Relacao fundamental: Para todo angulo x (medido em radianos), vale arelacao:

cos2(x) + sin2(x) = 1

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