TRIGONOMETRIAINTRODUO

Trigonometria o ramo da Matemtica que trata das relaes entre os lados e ngulos de tringulos (polgonos com trs lados). A trigonometria plana lida com figuras geomtricas pertencentes a um nico plano, e a trigonometria esfrica trata dos tringulos que so uma seo da superfcie de uma esfera. A trigonometria comeou como uma Matemtica eminentemente prtica, para determinar distncias que no podiam ser medidas diretamente. Serviu navegao, agrimensura e astronomia. Ao lidar com a determinao de pontos e distncias em trs dimenses, a trigonometria esfrica ampliou sua aplicao Fsica, Qumica e a quase todos os ramos da Engenharia, em especial no estudo de fenmenos peridicos como a vibrao do som e o fluxo de corrente alternada. A trigonometria comeou com as civilizaes babillica e egpcia e desenvolveu-se na Antiguidade graas aos gregos e indianos. A partir do sculo VIII d.C., astronmos islmicos aperfeioaram as descobertas gregas e indianas, notadamente em relao s funes trigonomtricas. A trigonometria moderna comeou com o trabalho de matemticos no Ocidente a partir do sculo XV. A inveno dos logaritmos pelo escocs John Napier e do clculo diferencial e integral por Isaac Newton auxiliaram os clculos trigonomtricos.

ARCOS E NGULOS1. O Grau

Definimos como 1 grau o arco equivalente a circunferncia cabem 360 . Exemplos:

a circunferncia, isto , em uma

Dividindo a circunferncia em 4, 6 e 8 partes congruentes, temos:

O grau comporta ainda os submltiplos, minuto(,) e segundo(,,), de forma que: 1 =60' e 1'`=60,, O Radiano Definimos 1 radiano como o arco cujo comprimento igual ao raio da circunferncia onde tal arco foi determinado.

A partir da figura, imagine que o arcos AB foi retificado. O Segmento AB obtido, tendo comprimento igual ao raio da circunferncia, indica que a medida do arco, em radianos, equivale ao nmero de vezes que o comprimento do raio cabe nesse arco, ou seja, sendo 1 e R os comprimentos do arco e do raio da circunferncia, respectivamente, temos: a=1/R Lembramos que o comprimento de uma circunferncia de raio R dado por 2pR. Utilizando a relao apresentada acima, para calcularmos em radianos a medida a de um arco de uma volta, fazemos: alfa=2pR/R = 2prad Exemplos:

VOLTAR

ngulos Notveis1. O ngulo de 45Consideremos um quadrado de lado 1.

No ABC temos:

tg 45o = 1

2. Os ngulos de 30 e 60Consideremos um tringulo equiltero de lado 1.

O ABH temos:

3. Zero GrauEmbora no tenhamos um tringulo retngulo com um dos ngulos de 0, definimos: sen 0 = 0; cos 0 = 1 e tg 0 = 0 Desta forma: cossec 0 no definida, pois seria . cotg 0 no definida, pois seria .

4. Noventa GrausDe modo especial definimos as razes trigonomtricas de 90. Assim: sen 90 = 1; cos 90 = 0 e cotg 90 = 0 Desta forma: cossec 90 = sec 90 no definida, pois seria .

tg 90 no definida, pois seria VOLTAR

.

Rel. entre as Razes TrigonomtricasConsideremos o tringulo retngulo ABC, com 1.

2. Cotg a=

3. sen2a + cos2a=1

mas b2+c2=a2, ento: sen2a + cos2a= 4. sec2a= 1 + tg2a + cos2a=1

tg a =

1 + tg2a = 1 + mas c2 + b2 = a2, ento: 1 + tg2a =

como 5. cossec2 a= 1 +cotg2a

=sec a, temos: 1 + tg2a = sec2a

mas b2 + c2=a2, ento:

como

= cossec a, temos: 1+cotg2a=cossec2

O Ciclo Trigonomtrico1. Conceituando o Ciclo TrigonomtricoAs razes trigonomtricas, aplicadas a arcos de uma circunferncia, mantm as mesmas propriedades que demonstramos ser vlidas quando utilizadas com ngulos agudos. Inicialmente, deveremos definir uma circunferncia, em especial, sobre a qual interpretaremos as nossas j conhecidas razes trigonomtricas. Tal circunferncia recebe o nome de circunferncia trigonomtrica ou ciclo trigonomtrico. Imaginemos, primeiramente, um sistema de coordenadas cartesianas, como indicado na figura 1.

(figura 1)

Nos eixos r e s, perpendiculares entre si, cada ponto corresponde a um nmero real e vice-versa: cada nmero real tem um ponto associado em cada uma das retas. interseo dos eixos faremos corresponder o nmero zero, tanto para o eixo r, das abscissas, como para o eixo s, das ordenadas, constituindo o que chamamos de origem dos eixos coordenados. Assim, qualquer ponto do plano determinado pode ser representado por um par de nmeros reais, a que chamamos de par ordenado. O ponto P, na figura, ter ento as coordenadas (a, b), sendo a a abscissa de P e b a sua ordenada. Na figura 2, fazemos surgir o ciclo trigonomtrico, com centro na origem dos eixos e raio unitrio.

(figura 2) Como consequncia, os pontos de interseo da circunferncia com o par de eixos, indicados na figura por A, B, C e D, tero coordenadas dadas respectivamente por (1, 0), (0, 1), (_ 1, 0) e (0, _ 1). Esses pontos dividem o ciclo trigonomtrico em quatro arcos congruentes, aos quais damos o nome de quadrantes, numerados a partir de A no sentido anti-horrio. Por conveno, A, B, C e D so apenas limitadores dos quadrantes, no pertencendo a nenhum deles. Por exemplo, D ponto que separa 3 do 4 quadrantes, mas no lhes pertence.

2. Nmeros Reais no Ciclo TrigonomtricoVamos associar a cada nmero real x um ponto do ciclo trigonomtrico, de tal forma que: _ o ponto A esteja associado ao nmero x = 0; _ um nmero real x seja associado a um ponto P, tal que o comprimento do arco seja igual a | x |; _ se x > 0, o arco ser determinado, sobre o ciclo, no sentido anti-horrio; se x < 0, o arco ser definido no sentido horrio, como indicamos na figura 3.

(figura 3) O ponto P, determinado de acordo com o que apresentamos acima, associado a um nmero real x, denominado de imagem de x no ciclo trigonomtrico. Lembremos que o comprimento da circunferncia trigonomtrica pode ser calculado por C = 2R, sendo R o seu raio. Como ele tem por medida uma unidade, o comprimento do ciclo trigonomtrico ser igual, portanto, a 2 unidades. Como decorrncia, temos que: _ um arco de uma volta (ou de medida 2 rad) ter comprimento 2 unidades; _ um arco de comprimento |x|, no ciclo trigonomtrico, ter medida |x| rad. Assim, a medida de um arco , sobre o ciclo trigonomtrico, igual ao mdulo do nmero real x do qual P a imagem.

Matemtica elementar/Trigonometria/Arcos e ngulosOrigem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto. < Matemtica elementar | Trigonometria Ir para: navegao, pesquisa

Trigonometria Trigonometria Razes trigonomtricas na circunferncia

ndice[esconder]

1 Circunferncia 2 Arco de circunferncia

3 Arco de circunferncia e ngulo central correspondente o 3.1 O grau o 3.2 O radiano o 3.3 O grado 4 O ciclo trigonomtrico o 4.1 ngulos cngruos o 4.2 Expresso geral dos arcos que tm imagem em um ponto do ciclo trigonomtrico.. o 4.3 Primeira determinao positiva 5 Imagens de alguns arcos importantes o 5.1 ngulos correspondentes 6 Exerccios

[editar] CircunfernciaSeja um ponto qualquer do plano e um nmero real. A circunferncia de centro e raio o lugar geomtrico dos pontos desse plano tais que

Veja no Wikicionrio crculo.

[editar] Arco de circunfernciaConsideremos uma circunferncia de centro Sejam e dois pontos distintos de

Um arco de circunferncia de extremos e cada uma das partes em que fica dividida uma circunferncia por dois de seus pontos. Quando teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferncia).

[editar] Arco de circunferncia e ngulo central correspondente

A medida de um arco , por definio, a medida do ngulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padro previamente adotada. Contudo, para evitar possveis divergncias na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a trs principais: o grau ( ), o radiano ( )eo grado, sendo este ltimo no muito comum. [editar] O grau

Um grau um arco de circunferncia cujo comprimento equivale a da circunferncia que contm o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferncia) Submltiplos do grau

O minuto

ou seja,

O segundo

ou seja,

e

[editar] O radiano Um radiano um arco de circunferncia cujo comprimento igual ao raio da circunferncia que contm o arco a ser medido. a unidade do Sistema Internacional (SI). Conseqentemente, para medir um ngulo em radianos, convm calcular a razo entre o comprimento do arco pelo raio ou seja, calcular quantos radianos mede o arco Portanto, como consequncia da definio de radiano, podemos estabelecer a seguinte relao:

onde e

devem estar na mesma unidade de comprimento. Logo, a medida do arco de uma Para converter ou e

O comprimento de uma circunferncia de raio volta completa, em radianos, unidades, podemos usar as correspondncias uma regra de trs simples. [editar] O grado

Ver artigo na wikipedia Grado O grado foi introduzido junto com o Sistema mtrico, durante a Revoluo francesa mas, ao contrrio do sucesso das outras medidas, no pegou. Atualmente, ele apenas utilizado nos trabalhos topogrficos e geodsicos feitos na Frana.

a medida de um arco cujo comprimento equivale a da circunferncia que contm o arco a ser medido. evidente que, para converso de unidades, pode-se utilizar as relaes trs simples. ou e uma regra de

[editar] O ciclo trigonomtricoConsideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares Seja uma circunferncia de centro raio em que e o ponto

A cada nmero real

associaremos um nico ponto

de

Se

ento tomamos no sentido

Se realizamos, a partir de um percurso de comprimento anti-horrio e marcamos o ponto como final desse percurso.

Se realizamos, a partir de um percurso de comprimento sentido horrio, e marcamos o ponto como final desse percurso.

no

Assim, a circunferncia sobre a qual foi fixado o ponto como orientao chamada ciclo trigonomtrico ou circunferncia trigonomtrica.

O ponto

chamado imagem de

no ciclo trigonomtrico.

O sistema de eixos perpendiculares divide o ciclo trigonomtrico em quatro partes, cada uma das quais chamada quadrante.

[editar] ngulos cngruos Os ngulos em graus, so cngruos ou congruentes se, e somente se, para algum ou seja, se e tm a mesma imagem no ciclo trigonomtrico. Para indicar que e so cngruos escrevemos Por exemplo, os ngulos e so congruentes, pois e

[editar] Expresso geral dos arcos que tm imagem em um ponto do ciclo trigonomtrico.. Consideremos um sistema de eixos perpendiculares e uma circunferncia de centro e raio Sendo um ponto qualquer pertencente a imagem de um ngulo na circunferncia, podemos estabelecer uma expresso geral dos arcos que tm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonomtrico.

Por exemplo, a expresso geral dos arcos que tm imagem no ponto de voltas completas. Quando deve-se andar no sentido horrio. Analogamente, temos:

dar-se- por

ou sendo o nmero deve-se andar no sentido anti-horrio; se

Para Para

ou ou

Para Para ou

ou ou

Para

ou

ou

Para

ou

ou

ou

ou

Considerando a figura acima, a expresso geral dos arcos que tm imagem em :

ou

em graus: em radianos:

Expresso geral dos arcos que tm imagem em

em graus: em radianos:

No caso da figura seguinte, a expresso geral dos arcos fica:

em graus: em radianos:

[editar] Primeira determinao positiva A primeira determinao positiva de um ngulo o menor ngulo cngruo que seja positivo. Por exemplo, os ngulos (em graus) -15o, 315o, 2115o, -2505o so congruentes, sendo sua primeira determinao positiva o ngulo 315o.

Analogamente, os ngulos (em radianos) sua primeira determinao positiva o ngulo .

,

e

so congruentes, sendo

Para se resolver o problema de determinar a primeira determinao positiva preciso: 1. dividir o ngulo pelo valor do crculo trigonomtrico (360o ou problema seja apresentado em graus ou radianos) , conforme o

2. se este nmero no for inteiro, arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente inferior 3. tomar o nmero inteiro com sinal contrrio (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter agora -n) 4. somar ao ngulo inicial este valor inteiro do passo acima multiplicado pelo crculo trigonomtrico (360o ou , conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos) Exemplos: 1. Se o ngulo inicial -580o 1. Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa) (note que no preciso fazer a diviso at o fim, j que estamos apenas interessados na parte inteira da diviso) 2. No sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -2 3. Trocar o sinal -> 2 4. Somar -580o com 2 x 360o -> 140o 2. Se o ngulo inicial 1. Dividir por -> 4 2. Sendo inteiro, manter -> 4 3. Trocar o sinal -> -4 4. Somar com -> 0

3. Se o ngulo inicial 1. Dividir por -> ou, aproximadamente, 4,(alguma coisa) 2. No sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4 3. Trocar o sinal -> -4 4. Somar com ->

[editar] Imagens de alguns arcos importantes

Primeira volta no sentido anti-horrio:

[editar] ngulos correspondentes

Em graus:

Em radianos:

Matemtica elementar/Trigonometria/Funes trigonomtricas< Matemtica elementar | Trigonometria

Razes trigonomtricas na circunferncia Trigonometria Adio, subtrao, duplicao e bisseco de arcos

Este mdulo precisa ser revisado por algum que conhea o assunto (discuta).

ndice[esconder]

1 Definio 2 Periodicidade 3 Paridade 4 ngulos notveis 5 Grficos 6 Propriedades o 6.1 Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado o 6.2 Propriedades do quadrado da secante e da cossecante 7 Exerccios

[editar] DefinioFunes trigonomtricas so funes angulares, importantes no estudo dos tringulos e na modelagem de fenmenos peridicos. Podem ser definidas como razes de dois lados de um tringulo retngulo, contendo o ngulo ou, de forma mais geral, como razes de coordenadas de pontos no crculo unitrio ou, de forma ainda mais geral, como sries infinitas ou, de forma igualmente geral, como solues para certas equaes diferenciais. Existem seis funes trigonomtricas bsicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padro.

seno ( ) coseno (

em portugus; a maioria das linguagens de programao escrevem )

As ltimas quatro funes so definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equaes em baixo so definies e no identidades demonstradas.

tangente secante cosecante cotangente

O seno, o cosseno e a tangente so, de longe, as mais importantes. As inversas destas funes so geralmente designadas de arco-funo, i.e., arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen-1, cos-1, etc. O

resultado da funo inversa o ngulo que corresponde ao parmetro da funo. Por exemplo, arcsen(1) = 90.

[editar] PeriodicidadeTanto a funo Seno como a funo Co-seno tm perodo 2 pi. A funo tangente admite o perodo pi

[editar] ParidadeA funo Seno uma funo mpar, pois sen (-x)= -sen x, qualquer que seja x pertencente R. A funo Co-seno uma funo par, pois cos (-x)= cos x, qualquer que seja x pertencente a R. A funo Tangente uma funo mpar pois o quociente de uma funo mpar e uma funo par: tg (-x)= -tg x, qualquer que seja x pertencente ao domnio. A funo Co-tangente uma funo de perodo pi.

[editar] ngulos notveis

Veja abaixo uma tabela com os valores mais importantes das funes trigonomtricas.

0

0

1

0

1

0

No definido

Existe um macete para memorizar estes valores. Lembrando que o grfico da funo seno crescente no primeiro quadrante (ngulos de 0 graus a 90 graus), escreva: 0, 30, 45, 60, 90 0, 1, 2, 3, 4 Em seguida, na segunda linha, tire a raiz quadrada e divida por 2: 0, 30, 45, 60, 90 0, 1/2, 1

E temos os valores da funo seno. Os valores do cosseno so obtidos invertendo-se a primeira linha: 90, 60, 45, 30, 0 0, 1/2, 1

E os valores da tangente dividindo-se seno por cosseno.

[editar] Grficos [editar] Propriedades

[editar] Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado

Definio de seno e cosseno Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo tringulo retngulo no primeiro quadrante, que:

convencional escrever o quadrado de uma funo trigonomtrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da funo. Assim, esta relao escrita:

A geometria do tringulo retngulo prova esta relao no caso de

ou

seja, para ngulos no primeiro quadrante. Nos casos temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados 1. Nos demais casos, temos: Se x est no segundo quadrante, ento quadrante, e: : est no primeiro portanto:

Analogamente:

Se x est no terceiro quadrante, ento e: :

est no primeiro quadrante, portanto:

Finalmente: Se x est no quarto quadrante, ento : est no primeiro quadrante, e: portanto:

Ou seja, a relao

vlida para qualquer ngulo real x. [editar] Propriedades do quadrado da secante e da cossecante Lembrando que:

temos que: Dividindo Dividindo por por

[editar] Exerccios

Matemtica elementar/Trigonometria/Funes trigonomtricas/Exerccios

Esta pgina um esboo de matemtica. Ampliando-a voc ajudar a melhorar o Wikilivros.

Matemtica elementar/Trigonometria/Adio,

subtrao, duplicao e bisseco de arcos< Matemtica elementar | Trigonometria

Funes trigonomtricas Trigonometria Transformaes de soma de funes trigonomtricas em produtos

Nesta pgina aprenderemos a efetuar operaes trigonomtricas que envolvam a adio, subtrao ou multiplicao de nmeros reais.

ndice[esconder]

1 Adio de arcos o 1.1 Cosseno da soma o 1.2 Seno da soma o 1.3 Tangente da soma o 1.4 Cotangente da soma o 1.5 Exemplos 2 Subtrao de arcos o 2.1 Cosseno da diferena o 2.2 Seno da diferena o 2.3 Tangente da diferena o 2.4 Cotangente da diferena o 2.5 Exemplos 3 Multiplicao de arcos o 3.1 Cosseno o 3.2 Seno o 3.3 Tangente o 3.4 Exemplo 4 Bisseco de arcos o 4.1 Cosseno o 4.2 Seno o 4.3 Tangente o 4.4 Exemplos 5 Exerccios

[editar] Adio de arcos

[editar] Cosseno da soma

Considere a figura ao lado. Sejam trs pontos cujas coordenadas so

e

pertencentes circunferncia , e

Os arcos e tm medidas iguais, logo as cordas e tambm tm a mesma medida. Aps aplicarmos a frmula da distncia entre dois pontos da Geometria analtica, temos:

Ao igualarmos as duas expresses, temos a frmula:

[editar] Seno da soma

Sabemos que

A partir disto e sendo

obtemos:

Utilizando a frmula do cosseno da diferena de dois arcos nessa ltima expresso:

Substituindo ento:

e

nesta expresso,

[editar] Tangente da soma

Sabendo que

e utilizando as frmulas anteriores para soma de senos e

cossenos, podemos facilmente conseguir uma expresso para

Ento:

Vale lembrar que essa frmula s pode ser usada se porque a relao somente se [editar] Cotangente da soma s vlida se e

e

Como

podemos obter, de maneira semelhante formula da tangente

da soma, uma expresso para

Simplificando, temos:

Como

vlida se e somente se e

a identidade que

demonstramos acima s pode ser usada se [editar] Exemplos

Calcule:

o

Resoluo

[editar] Subtrao de arcos[editar] Cosseno da diferena Para calcular fazemos uso da igualdade frmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

na

Ento:

[editar] Seno da diferena Podemos fazer a mesma substituio da igualdade para encontrar as outras relaes de diferena de arcos. Para o seno, usaremos a frmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

Logo,

[editar] Tangente da diferena Usando novamente a igualdade tangente da soma: e, desta vez, a frmula da

Simplificando, temos:

Pelos motivos j citados anteriormente, esta frmula s vlida se e [editar] Cotangente da diferena Mais uma vez, usaremos a igualdade cotangente da soma: e, desta vez, a frmula da

Logo, obtemos a identidade:

Est frmula s pode ser aplicada se [editar] Exemplos

e

Calcule:

o

Resoluo

Dados o

e

calcule

Resoluo

[editar] Multiplicao de arcos

possvel deduzir frmulas para calcular as funes trigonomtricas de utilizando as frmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo conforme ser mostrado adiante. [editar] Cosseno Usando a frmula do cosseno da soma, temos:

Logo, utilizando a Identidade relacional bsica, podemos obter duas frmulas finais:

ou

Utilizando a Identidade relacional bsica e trabalhando algebricamente, temos:

Expresses para [editar] Seno

so obtidas por processos semelhantes.

Ultilizando a frmula do seno da soma:

Ento, temos:

Utilizando a Identidade relacional bsica:

Logo:

Expresses para [editar] Tangente

so obtidas por processos semelhantes.

A partir da frmula da tangente da soma:

Logo:

Ao subtituimos a frmula anterior para frmula final:

e simplificarmos, obtemos como

Expresses para [editar] Exemplo

so obtidas por processos semelhantes.

Se o

e

calcule

Resoluo para aplicarmos a frmula. Para tanto, utilizaremos a

Precisamos encontrar

identidade que relaciona as funes cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que Como o valor da cossecante positivo.

De onde vem Podemos finalmente calcular:

[editar] Bisseco de arcos[editar] Cosseno Vamos utilizar as duas frmulas que encontramos para cosseno de uma arco consideraremos A partir de qualquer, possamos obter a fim de que, dado o ou Para isto,

A partir de

temos:

Finalmente, sabendo que

temos:

[editar] Seno Caso nos seja dado o sabendo que e usamos as frmulas dadas logo acima para o cosseno. [editar] Tangente Precisamos agora encontrar frmulas que permitam calcular conhecida a Para tanto, tomaremos as frmulas de multiplicao e calculamos

e consideraremos

de modo que:

[editar] Exemplos

Se

com

calcule as funes circulares de

o

Resoluo

Logo, temos:

Se

determine

o

Resoluo

Podemos aplicar diretamente a frmula, de modo que:

[editar] Exerccios

Matemtica elementar/Trigonometria/Adio, subtrao, duplicao e bisseco de arcos/Exerccios

Matemtica elementar/Trigonometria/Transformae s de soma de funes trigonomtricas em produtos< Matemtica elementar | Trigonometria

Adio, subtrao, duplicao e bisseco de arcos Trigonometria Identidades trigonomtricas bsicas

As frmulas de transformao de soma e diferena em produto, tambm conhecidas como Frmulas de Prostafrese[1], so:

ndice[esconder]

1 Deduo - soma e diferena dos senos 2 Deduo - soma e diferena dos cossenos 3 Exerccios 4 Referncias

[editar] Deduo - soma e diferena dos senosPartindo das frmulas do seno da soma de arcos:

Somando-as membro a membro:

Fazendo: x = a + b: y = a b Temos:

Substituindo a e b, em (I):

Procedendo da mesma forma, novamente a partir de:

Subtraindo-as membro a membro: (II) Substituindo a e b, em (II):

[editar] Deduo - soma e diferena dos cossenosAgora para a funo cosseno

Somando-as membro a membro: (III) Substituindo a e b, em (III):

E por fim:

Subtraindo-as membro a membro: (IV)

Substituindo a e b, em (IV):

[editar] Exerccios

Exerccios

Matemtica elementar/Trigonometria/Identidades trigonomtricas bsicas< Matemtica elementar | Trigonometria

[editar] ConceitoUma identidade trigonomtrica uma equao envolvendo funes trigonomtricas e que verdadeira para todos os valores das variveis envolvidas. Estas identidades so teis sempre que expresses envolvendo funes trigonomtricas tem que ser simplificadas. Geralmente possvel aproveitar as caractersticas cclicas das funes para modificar o seu comportamento, transformando uma ou mais funes trigonomtricas em outras operadas de forma que apresentem o mesmo resultado da funo original.

[editar] Identidade relacional bsicaUma vez que no ciclo trigonomtrico com ngulo fazendo e e a distncia entre a origem e o ponto Sendo esta distncia unitria, temos: podemos encontrar as coordenadas formam um tringulo retngulo. podemos verificar que estas coordenadas

Portanto:

Matemtica elementar/Trigonometria/Equaes e

inequaes envolvendo funes trigonomtricas< Matemtica elementar | Trigonometria

Identidades trigonomtricas bsicas Trigonometria Lei dos senos e dos cossenos

ndice[esconder]

1 Conceito 2 Equaes do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n o 2.1 sen(x) = n 2.1.1 Exemplo 2.1.2 Outro exemplo 3 Equaes com restrio no domnio 4 Determinao do domnio 5 Equaes com mais de uma funo trigonomtrica 6 Exerccios

[editar] ConceitoEquaes trigonomtricas so equaes nas quais a varivel a ser determinada aparece aps a aplicao de funes trigonomtricas. Uma das grandes diferenas entre equaes trigonomtricas e as demais equaes a natureza peridica destas funes. Assim, enquanto equaes do tipo:

possuem uma soluo nica, ou uma quantidade finita (e pequena) de solues, uma equao do tipo:

admite infinitas solues - por ser tan uma funo peridica de perodo para cada soluo x = a, temos que e tambm sero solues, assim

como qualquer valor zero).

sendo k um nmero inteiro (positivo, negativo ou

[editar] Equaes do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) =n[editar] sen(x) = n

A equao s tem solues quando n est no intervalo [-1; 1]. Se n est neste intervalo, ento preciso primeiro determinar um ngulo tal que:

Neste caso, as solues so dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

Em que k qualquer inteiro. Quando n = 1, 0 ou -1, estas solues tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado. [editar] Exemplo Resolva:

Primeiro, deve-se determinar um valor para :

Substituindo nas frmulas, temos:

ou

Resolvendo estas equaes em x chega-se resposta final:

ou

Em que k um nmero inteiro. [editar] Outro exemplo Resolva:

Substituindo

Sabemos que

um ngulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

ou

Substituindo o valor de

ou

Ou seja:

ou

Esta soluo est correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ngulos na forma em que Para isso, como k um nmero inteiro qualquer, ele pode ser substitudo por qualquer outra expresso que tambm indica um nmero inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc. No caso, como queremos tornar a parte sem k em um nmero entre 0 e 2 , temos que substituir k por k+1, obtendo:

ou

Finalmente:

ou

[editar] Equaes com restrio no domnio [editar] Determinao do domnio [editar] Equaes com mais de uma funo trigonomtrica

Matemtica elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos< Matemtica elementar | Trigonometria

Equaes e inequaes envolvendo funes trigonomtricas Trigonometria

Resoluo de tringulos

ndice[esconder]

1 Lei dos cossenos o 1.1 Demonstrao o 1.2 Aplicao 1.2.1 Exemplos 2 Lei dos senos o 2.1 Demonstrao 3 Lei das tangentes o 3.1 Demonstrao 4 Exerccios

[editar] Lei dos cossenosEm qualquer tringulo, o quadrado de um dos lados igual soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ngulo formado entre eles. A saber:

[editar] Demonstrao Esta uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos. Considerando a figura, podemos observar trs tringulos:

Destes, pode-se extrair as seguintes relaes:

e

Usando o Teorema de Pitgoras para obter uma relao entre os lados dos tringulos, temos:

Para Para e em

Substituindo

Entretanto, pode-se substituir a relao do tringulo na equao acima. Dessa maneira, encontra-se uma expresso geral da Lei dos cossenos:

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relaes:

[editar] Aplicao A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer tringulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ngulo oposto a esse. Ela tambm permite calcular todos os ngulos de um tringulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados. [editar] Exemplos

Considere um tringulo de lados

e

sendo que o comprimento de e definem um

2

metros e o comprimento de metros. Os lados ngulo de 30. Calcule o comprimento de o

Resoluo tem-se que portanto:

Dada a Lei dos Cossenos, e

O comprimento de

1 metro.

Prove por Lei dos Cossenos que o tringulo eqiltero tambm eqingulo o

Resoluo

Dado um tringulo eqiltero de lados e por definio tem-se que Sejam e os ngulos deste tringulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:

O mesmo vale para

e

[editar] Lei dos senosO seno de um ngulo de um tringulo qualquer proporcional medida do lado oposto a esse ngulo. A saber:

[editar] Demonstrao

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um tringulo qualquer inscrito em uma circunferncia de raio A partir do ponto pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto e, ligando a formamos um novo tringulo retngulo em

Da figura, podemos perceber tambm que porque determinam na circunferncia uma mesma corda Desta forma, podemos relacionar:

Fazendo todo este mesmo processo para os ngulos

e

teremos as relaes:

e medida do lado oposto a

em que e

a medida do lado

oposto a

a

uma constante.

Logo, podemos concluir que:

[editar] Lei das tangentes

Seja um tringulo no issceles e no retngulo cujos ngulos internos e medidas dos lados esto indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer tringulo que no seja issceles nem retngulo, valem as seguintes relaes:

[editar] Demonstrao Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

Usando uma propriedade das propores, temos que:

Substituindo nessa equao as frmulas de transformao de soma em produto, temos:

Analogamente, pode-se provar as outras duas relaes.

Matemtica elementar/Trigonometria/Resoluo de tringulos< Matemtica elementar | Trigonometria

Lei dos senos e dos cossenos Trigonometria Progresses

Uma das aplicaes mais comuns da trigonometria a resoluo de tringulos. A resoluo de tringulos a operao matemtica que, a partir de trs elementos de um tringulo, determina todos outros elementos. Estes elementos podem ser lados, ngulos, permetro, rea, etc. Os casos mais comuns so representados por uma trade de letras, usando-se L (para lado) e A para ngulo. Assim, LLL significa resolver um tringulo no qual so dados trs lados, LAA significa resolver um tringulo no qual dado um lado, um ngulo adjacente e um ngulo oposto. Nem todos casos so solveis: AAA pode ter nenhuma (se a soma dos ngulos no for de 180o) ou infinitas solues; LLA pode ter nenhuma, uma ou duas solues.

ndice[esconder]

1 LLL

2 LAL 3 ALA 4 LAA 5 LLA

[editar] LLLUsa-se a lei dos cossenos para se determinar dois ngulos; o terceiro ngulo sai naturalmente da soma dos ngulos ser 180o.

[editar] LALUsa-se a lei dos cossenos para se determinar o lado oposto ao ngulo. Um outro ngulo pode ser determinado pela lei dos senos ou dos cossenos.

[editar] ALADetermina-se o terceiro ngulo pelos dois ngulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

[editar] LAADetermina-se o terceiro ngulo pelos dois ngulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

[editar] LLADois mtodos podem ser usados, mas ambos podem no ter soluo:

Resolve-se o terceiro lado pela lei dos cossenos - neste caso, a equao uma equao do segundo grau, que pode ter nenhuma, uma ou duas razes. Resolve-se o outro ngulo (que no o ngulo formado pelos lados) pela lei dos senos - neste caso, a equao tambm pode ter nenhuma, uma ou duas solues.

Matemtica elementar/Progresses< Matemtica elementar

Resoluo de tringulos Matemtica elementar Soma de um nmero finito de termos de uma PA e de uma PG

Seqncias ou progresses so funes do tipo

, onde A o conjunto dos

nmeros naturais ou um subconjunto dos nmeros naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B um conjunto numrico. Sendo funes, nas sequncias existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo: (2,4,6,8,10) uma seqncia dos nmeros pares de 2 at 10, que pode ser expressa pela funo . Tambm percebe-se que a funo pode relacionar o elemento anterior (an) com o posterior (an+1)da seguinte maneira: an + 1 = an + r, sendo r uma razo fixa, a razo de progresso. Os dois tipos de seqncias matemticas mais comuns so a progresso aritmtica, que contm nmeros tais que o anterior somado a uma razo fixa resulta no posterior, e progresses geomtricas, que contm nmeros tais que o anterior multiplicado pela razo fixa resulta no posterior. Exemplos: (1,5,9,13,...) uma progresso aritmtica infinita (o que se indica pelo sinal ...) de razo igual a 4. (1,3,9,27,81) uma progresso geomtrica finita de razo igual a 3.

ndice[esconder]

1 Progresso Aritmtica o 1.1 Frmula do Termo Geral o 1.2 Soma dos Termos 2 Progresso Geomtrica o 2.1 Produto o 2.2 Soma Limitada o 2.3 Soma Limitada e Constante o 2.4 Soma de Infinitos 3 Seqncias numricas 4 Exerccios resolvidos

[editar] Progresso Aritmtica

Uma progresso aritmtica (1,3,5,7).

Progresso aritmtica (PA) uma seqncia que tem entre um elemento e seus adjacentes uma diferena igual. Ou seja, uma seqncia para a qual se determinam os nmeros somando ou subtraindo a razo de progresso. Exemplo: P = (2,4,6) (6 - 4 = 2;4 - 2 = 2) No exemplo, 2 a razo de progresso da PA. [editar] Frmula do Termo Geral Denomina-se frmula do termo geral a uma equao que expressa a regra para obterem-se os elementos da progresso. praticamente o mesmo que a funo que define a seqncia. No caso das progresses aritmticas, a frmula do termo geral : An = A1(n 1).R Onde:

an o termo que se procura encontrar (n o ndice, por exemplo, a3 o terceiro termo da progresso). a1 o primeiro termo da progresso. Conquanto a frmula do termo geral seja expressa em funo do primeiro termo, nada impede que se utilizem outras posies na seqncia, desde que se adapte a frmula. r a razo de progresso n , como j explicado, o ndice do elemento procurado

[editar] Soma dos Termos Diz a lenda que o matemtico Gauss descobriu a frmula da soma de termos de uma PA quando tinha cinco anos. Gauss teria sido submetido a um exerccio que consistia em somar os nmeros naturais de 1 a 100, e o teria resolvido em alguns minutos, ao contrrio do que esperava seu mestre.

Lendas matemticas parte, a soma dos termos de uma progresso aritmtica pode ser obtida por uma frmula simples:

Onde:

Sn a soma dos termos at n. a1 e an so, respectivamente, o primeiro e o ltimo termo da progresso (ou pelo menos, do subconjunto da progresso sobre o qual ser feita a soma) n o total de elementos somados; reparar que a frmula s permite somar elementos contguos da progresso

[editar] Progresso Geomtrica

Progresso geomtrica (1,2,4,8). Progresses geomtricas so seqncias numricas em que os elementos crescem por multiplicaes, a uma razo fixa. Exemplo: P = (1,3,9,27,81) (razo de progresso q = 3)

[editar] Produto [editar] Soma Limitada [editar] Soma Limitada e Constante [editar] Soma de InfinitosA soma dos termos de uma P.G. infinita se d pela seguinte equao:

[editar] Seqncias numricas1. Seqncias numricas, Progresses aritmticas e progresses geomtricas, Soma de um nmero finito de termos de uma PA e de uma PG, noo de limite de uma seqncia, soma dos infinitos termos de uma PG de razo com mdulo menor do que 1, Representao decimal de um nmero real -

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[editar] Exerccios resolvidos1) Ache tres numeros em P.A crescente,sabendo que a soma 15 e o produto 105.

O problema pode ser resolvido assim: Chame de x o primeiro dos 3 nmeros na PA e de r a razo da mesma. Ento os termos so os seguintes: x, x+r, x+2r Como a soma deve ser igual a 15, os nmeros x e r precisam satisfazer a equao: x + x+r + x+2r = 15 ou seja, 3x + 3r = 15 que se reescreve como x + r = 5 Logo, r = 5-x.

Por outro lado, se o produto de tais nmeros 105, deve ocorrer: x*(x+r)*(x+2r)=105 ou seja, x*(x+5-x)*(x+2(5-x))=105 que pode ser reescrito como 50x-5x^2=105

As razes dessa equao do segundo grau so 3 e 7 e se obtem rapidamente pela frmula de Bhaskara. temos que considerar cada um dos casos: x=3 nessa situao, como r=5-x=5-3=2, os termos da PA so 3, 5 e 7 x=7 deduz-se que r=5-7=-2, donde os termos so 7, 5 e 3 Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta 3, 5 e 7

2) O perimetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estao em P.A.

Sabendo que os lados esto em PA, podemos cham-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o permetro 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, ento: 3x+3r=24 ou seja x+r=8 donde r=8-x Mas em todo tringulo retngulo vale o Teorema de Pitgoras, e a hipotenusa sempre o maior lado, ento: (x+2r)^2=(x+r)^2+(x)^2 ou seja, (16-x)^2=8^2+x^2 ou ainda, 256 - 32x + x^2= 64 + x^2 que equivalente a 32x=256-64=192 Portanto, x=6 e consequentemente r=8-6=2. Assim a resposta deve ser 6, 8 e 10.

Matemtica elementar/Polinmios< Matemtica elementar

Expresses algbricas Matemtica elementar Exerccios

ndice[esconder]

1 Definio 2 Grau 3 Valor numrico 4 Razes o 4.1 Obteno de razes 5 Identidade de polinmios 6 Polinmio nulo 7 Igualdade de polinmios 8 Operaes o 8.1 Adio o 8.2 Subtrao o 8.3 Multiplicao o 8.4 Diviso 9 Teoremas o 9.1 Teorema do resto o 9.2 Teorema de D'Alembert 10 Aplicaes prticas 11 Equaes polinomiais o 11.1 Definio o 11.2 Teorema Fundamental da lgebra o 11.3 Multiplicidade de uma raiz o 11.4 Relaes de Girard o 11.5 Teorema das razes complexas 12 Fatorao o 12.1 Fatorao simples (ou por evidncia) o 12.2 Por agrupamento o 12.3 Trinmio do quadrado perfeito o 12.4 Equao do segundo grau o 12.5 Exerccios

[editar] DefinioPolinmios em uma varivel so sries de monmios (ou termos) em uma varivel, que por sua vez so expresses matemticas na forma (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monmio caracterizado por

um coeficiente, que na equao acima representado por a; uma varivel, que na equao representada por x; e um expoente natural, que na equao representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que e o termo torna-se simplesmente a.

Assim, um polinmio um conjunto de monmios, devidamente normalizados. A expresso mais correta funo polinomial, mas o uso de polinmio consagrado. A funo polinomial ou polinmio assume a forma: P(x) = anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a1x + a0

A funo constante, P(x) = c, um exemplo de funo polinomial, bem como a funo linear P(x) = ax + b.

[editar] GrauDefine-se o grau de um polinmio como igual ao expoente mais alto entre as variveis de seus monmios no-nulos. Por exemplo, no polinmio 2 + 4x3 + 2x2 - x o grau 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variveis nos monmios (x3).

[editar] Valor numrico o valor que se resulta a expresso quando determina-se um valor para as variveis. Exemplo2x + 1 VN = 2.5 + 1 = 11, VN = ? Para x=5

[editar] Razes

No grfico acima, as razes r1 e r2 so mostradas. Reparar que as razes so correspondentes a pontos do grfico que cortam o eixo das abcissas. Raiz ou zero um valor tal que, atribudo varivel da funo polinomial, faz com que a funo resulte em 0. Ou seja, se a dito raiz do polinmio P(x), ento P(a) = 0. Exemplos de razes:

P(x) = 3 * x - 12 tem raiz r = 4 (pois P(4) = 3 * 4 - 12 = 0) P(x) = x100 + x99 + x98 + ... + x2 + x1 tem raiz r igual a -1, pois P( 1) = 0.

Um polinmio de grau n ter n razes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, qudrupla, etc. Por exemplo:

P(x) = x2 - 4x + 4 tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em P(x) = (x 2)(x 2).

Num grfico representativo da funo polinomial, as razes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.

[editar] Obteno de razes

[editar] Identidade de polinmiosDois polinmios so ditos idnticos se tiverem o mesmo grau e os monmios correspondentes idnticos, por exemplo:

Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinmio de termos correspondentes idnticos a A(x), ento os polinmios so idnticos ou equivalentes; indica-se:

[editar] Polinmio nuloUm polinmio dito nulo quando todos os seus coeficientes so iguais a 0.

[editar] Igualdade de polinmios quando dois polinmios assumem o mesmo valor numrico

ex:2x + 5 = x - 3 para x = -8

[editar] Operaes[editar] Adio Consideremos que tenhamos os fatores: e

Todos constantes e com valores diferentes de zero. Ainda temos:

que so variveis. Os polinmios:

e

A sua adio efetuada como segue:

Em caso de polinmios compostos por mais de uma varivel, tais quais:

e

A sua adio efetuada como segue:

Processo: Para fazer a soma dos polinmios de uma s varivel, identificamos os monmios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores multiplicado pela parte varivel do monmio, repete-se o processo para todos os monmios at que no haja mais fatores. Para fazer a soma dos polinmios de vrias variveis, identificamos os monmios com variveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores multiplicado pela parte varivel do monmio, repete-se o processo para todos os monmios at que no haja mais fatores. [editar] Subtrao O sinal de negativo (-)antes dos parntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele. (3x-2x+5)-(5x-3)==3x-2x+5-5x+3= =3x-7x+8

[editar] Multiplicao (15x - 10x + 2) (3x - 2)

Nesse caso, multiplica-se todos os termos. ou Considere: (15x - 10x + 2) = A (3x - 2) = B donde, A B (ou B A)A B --x

donde,(15x - 10x + 2) (3x - 2) ----------------- 30x + 20x - 4 45x - 30x + 6x --------------------45x - 60x + 26x -4

+

Portanto, o produto da multiplicao indicada ser 45x - 60x + 26x -4. [editar] Diviso Para realizar-se uma diviso de polinmios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:

Mtodo de Descartes Mtodo do Resto Mtodo de D'Alembert Mtodo de Briot-Ruffini

[editar] Teoremas[editar] Teorema do resto O resto da diviso do polinmio P(x) por ax + b dado por P(-b/a)

Exemplo de resoluo 1 Tm-se a seguinte diviso:

1 passo: Determina-se x

2 passo: Substitui-se os valores

43 Portanto, o resto 43.

Exemplo de resoluo 2 O resto da diviso do polinmio Observaes: Note que a raiz do divisor

pelo polinmio de primeiro grau

[editar] Teorema de D'Alembert Um polinmio e somente se, divisvel pelo polinmio de primeiro grau se

[editar] Aplicaes prticas [editar] Equaes polinomiais[editar] Definio [editar] Teorema Fundamental da lgebra Todo polinmio P(x) de uma varivel com coeficientes complexos e de grau tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equao polinomial P(x) = 0 tem n solues, no necessariamente distintas. Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da lgebra contempornea mostra que este resultado no assim "to fundamental". No entanto, no contexto das equaes polinomiais, ele quem traz a garantia de que existem solues para esse tipo de equao.

[editar] Multiplicidade de uma raiz [editar] Relaes de Girard [editar] Teorema das razes complexas

[editar] FatoraoLembre-se: Fatorar simplificar uma expresso um produto. Existem vrias formas de se fatorar um polinmio, ou seja, escrev-lo como um produto de expresses mais simples:

fatorao simples (ou por evidncia) fatorao por agrupamento trinmios do quadrado perfeito e outros

[editar] Fatorao simples (ou por evidncia) Destacam-se os termos em comum. Exemplo ax + ay + az = a (x + y + z) [editar] Por agrupamento Agrupam-se os termos em comum. Exemplo ax + by + bx + ay = ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b) [editar] Trinmio do quadrado perfeito Esse j mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando atravs do exemplo. Fatorar a expresso abaixo

Primeiro verificamos se um Trinmio do quadrado perfeito:

Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito, e

Multiplicam-se os resultados

5 m = 5m

Multiplica-se o produto obtido por dois 5m 2 = 10m

Note que 10m o valor do meio na expresso, isso prova que ela um Trinmio do quadrado perfeito. Sendo trinmio do quadrado perfeito Sendo Trinmio do quadrado perfeito, utiliza-se a frmula substituindo-se os valores por ordem. O binmio representar uma adio caso o sinal do meio da expresso inicial for o sinal de mais (+), ou ser uma subtrao caso o sinal do meio da expresso inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,

(m - 5)Esse o valor fatorado da expresso inicial. [editar] Equao do segundo grau Lembre-se: Da frmula ax + bx + c . A expresso abaixo se encaixa na frmula acima. x - 8x + 15Observaes: Frmula da fatorao das Equaes do segundo grau:

a (x - x1) (x - x2) Aplica-se a frmula da fatorao das equaes do segundo grau. Onde, x1 = 3 x2 = 5 Por tanto, a fatorao de tal expresso resulta em: 1 (x - 3) (x - 5)

(x - 3) (x - 5)