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So Paulo, 2014

MANUAL DE TTULOS PBLICOS DE RENDA FIXA

Autores:

Carlos Leite [email protected]

Guilherme Sola [email protected]

Maria Luiza [email protected]

Nassim Ghosn [email protected]

Pedro Fischer

Tatiana Ikeda Condo

[email protected]

[email protected]

Wenderson Oliveira [email protected]

Manual de aplicao Ttulos Pblicos Pgina 2

Estrutura do Manual

1 Breve explicao de ttulos pblicos e de seus objetivos Introduz ao leitor a

definio de ttulos pblicos de renda fixa e suas utilidades.

2 Breve explicao dos tipos de ttulos pblicos Explica os tipos de ttulos

pblicos nos quais o comprador tem a possibilidade de investir seu dinheiro.

3 Aplicao Explica para o leitor como utilizar as planilhas automatizadas.

4 Apndice Aprofundamento dos conceitos apresentados.


1 Breve explicao de ttulos pblicos e de seus objetivos

Ttulo Pblico Federal um tipo de investimento no qual se compra ttulos da dvida

do governo emitidos pela Secretaria do Tesouro Nacional e tem-se um rendimento garantido

no final de determinado perodo, podendo este rendimento ser definido no momento da

compra ou no. Alm disso, a venda desses ttulos uma importante alternativa de captao

de recursos para o Governo Federal, ou seja, este basicamente capta dinheiro emprestado de

agentes de mercado (pessoas, empresas, bancos, etc.) para se financiar. O prazo de

vencimento dos ttulos estudados aqui definido na emisso dos mesmos, e o investidor pode

optar por vender o ttulo apenas nessa data ou negoci-los com terceiros (mercado

secundrio).

Esses tipos de ttulos so considerados um dos investimentos mais seguros da

economia, os quais os riscos so baixssimos, uma vez que so garantidos pelo prprio

governo. Eles so subdivididos em dois grupos: pr-fixados, onde no momento da compra

possvel saber exatamente o valor a ser recebido na venda do ttulo em sua data de

vencimento; e ps-fixado, onde o valor a ser recebido na data do vencimento depende de uma

taxa a qual o ttulo est sujeito. Alm disso, os ttulos tambm se diferenciam pela forma de

remunerao que oferecem, alguns pagam parcelas semestrais do valor investido, essas so

chamadas de cupons de juros e os demais a remunerao integralmente recebida da data de

vencimento.

A compra desses ttulos, por pessoas fsicas, pode ser efetuada por meio do Tesouro

Direto. O investidor realiza a compra pela internet e administra suas aplicaes, com um valor

mnimo de investimento de R$30,00. H tambm a opo de comprar os ttulos pblicos

federais no mercado secundrio, ou seja, negociar a compra de ttulos de terceiros. Uma

diferena bsica entre esses dois meios de compra a instantaneidade da liquidao, ou seja,

efetivao da compra. Alm dessas possibilidades, o investidor tambm pode ter seu dinheiro

aplicado em ttulos pblicos federais por meio de instituies financeiras, todavia essa

maneira de investimento se restringe a pessoas que tem muitos recursos para investir.

Esses ttulos so importantes na conduo da poltica monetria do pas, sendo um

mecanismo para o controle da inflao. Quando um pas se compromete a pagar juros mais

altos pelos ttulos, significa que investir neles se torna mais rentvel. Dessa forma, mais

pessoas optariam por comprar ttulos ao invs de deixar seu dinheiro em moeda ou depositado

em bancos. Assim, basicamente, a quantidade de moeda livre na economia reduz, fazendo

com que o nvel dos preos diminua. Da mesma maneira, ao abaixar os juros, diminuindo a

rentabilidade dos ttulos, estimula-se o consumo e outras formas de investimento, como

empreendedorismo ou mercado de aes, analogamente situao anterior, aumentando o

nvel dos preos.


Os ttulos ofertados pela Secretaria Nacional do Tesouro so: Letra do Tesouro

Nacional (LTN), Nota do Tesouro Nacional F (NTN-F), Nota do Tesouro Nacional B (NTN-B), Nota do Tesouro Nacional B Principal (NTN-B principal), Nota do Tesouro Nacional C (NTN-C) e Letra Financeira do Tesouro (LFT), que sero explicados nos tpicos a seguir.

Tabela 1: Principais caractersticas dos ttulos pblicos federais

Ttulo Valor Nominal1 Rendimento Taxa de Juros Pagamento dos Juros

LTN - Mltiplo de R$ 1.000,00

-No h atualizao

Desconto2 - No h

LFT - Mltiplo de R$ 1.000,00

- Taxa SELIC3

Ps-Fixado - No h

NTN B - Mltiplo de R$ 1.000,00

- Taxa IPC-A3

Ps-Fixado Definida na emisso do

ttulo

Semestral

NTN B principal - Mltiplo de R$ 1.000,00

- Taxa IPC-A3


ttulo

No h

NTN C - Mltiplo de R$ 1.000,00

- Taxa IGP-M3


ttulo

Semestral

NTN F - Mltiplo de R$ 1.000,00

-No h atualizao

Desconto2 Definida na emisso do

ttulo

Semestral

Fonte: Neto, Alexandre Assaf Matemtica financeira e suas aplicaes, cap. 15 pg. 254.

Ttulos de Renda fixa

Ttulos pblicos

LTN

LTF

NTN-B

NTN-B Principal

NTN-C

NTN-F

outros

Ttulos privados

CDB

debntures

outros


2 Breve explicao dos tipos de ttulos pblicos

2.1 - LTN (Letras do Tesouro Nacional)

A LTN (Letra do Tesouro Nacional) um ttulo que no faz pagamentos

semestrais, e pr-fixado onde o valor de venda definido no momento da compra. A partir

da diferena entre o preo de compra e o de venda, possvel determinar a taxa de

rendimento. Essa taxa pode ser dada como Taxa Efetiva Anual no Perodo (Eq. 2.1.1) ou Taxa

Efetiva Anual Over (Eq. 2.1.2) que tem como base um ano com 252 dias teis.

[

]

(Eq. 2.1.1)

[

]

(Eq. 2.1.2)

Imagem 1:

Exemplo: Joo quer investir em um ttulo do governo (LTN), em que o valor a receber ser

de R$1.000,00. A taxa de juros do ttulo no momento da compra de 15,36% a.a e o tempo

para o vencimento do ttulo de 598 dias teis, ou 880 dias corridos. Logo, a taxa efetiva no

perodo ser de 40,37% e o preo pago pelo ttulo ser de R$712,42.


2.2 - LFT (Letras Financeiras do Tesouro)

A LFT (Letra Financeira do Tesouro) um ttulo ps-fixado pela variao da taxa

SELIC1, que um ndice econmico bsico determinado pelo Banco Central. Este no possui

pagamentos de parcelas semestrais e seu valor de venda obtido apenas na data do

vencimento. A LFT tambm reajustada conforme o gio e o desgio, negociado no ato da

compra, sendo o primeiro uma taxa para compensar que seu ttulo possa valer menos que a

taxa SELIC1 e o segundo para que possa valer mais. H tambm a possibilidade de no se ter

nenhuma expectativa, nesse caso, dito que o ttulo vendido a par.

O valor projetado a ser pago pelo ttulo, tambm chamado de Valor Nominal

Atualizado (VNA), o valor na data base (1o de Julho de 2000) corrigido pela taxa acumulada

da SELIC1 (esse valor pode ser consultado em http://www.bcb.gov.br/?SELICACUMUL) at

o dia de compra (VNA na data da compra) mais uma correo da taxa SELIC meta para dia

da liquidao do ttulo. Essa frmula exemplificada na Eq. 2.2.1. Todavia, o preo do ttulo

ainda pode ser influenciado por um gio ou desgio (taxa para compensao da demanda por

LFT no mercado) e com o nmero de dias teis no perodo, de acordo com a Eq. 2.2.2 e Eq.

2.2.3:

(Eq. 2.2.1)

(Eq. 2.2.2)

(Eq. 2.2.3)

Imagem 2:

Exemplo: Paulo sabe que a taxa Selic acumulada de 20,06% (taxa acumulada

equivale ao fator de ajuste da LFT), no perodo de 505 dias teis e que o valor nominal de

R$1200,60, logo o preo de cada ttulo ser de R$1.189,91.


2.3 - NTN-B (Notas do Tesouro Nacional - srie B)

A NTN-B (Notas do Tesouro Nacional srie B) um ttulo ps-fixado que rende uma taxa definida mais uma variao de taxa do IPC-A (ndice Nacional de Preo ao

Consumidor Amplo) em um determinado perodo. Esse tipo de ttulo paga semestralmente

juros sobre o valor investido de acordo com a taxa indexada, sendo que os valores desses

pagamentos s so divulgados no dia de receb-los. A NTN-B tambm uma forma em que o

investidor pode ganhar, ou se proteger com o aumento da inflao. Com o intuito de se

proteger d inflao, o investidor garante seu poder de compra, que no afetado pela

mudana de preos da economia.

O VNA (Valor Nominal Atualizado) pode ser calculado a partir do VNA da data de

compra e da projeo do IPC-A para a data de liquidao, segundo a Eq. 2.4.1. O preo de

compra do ttulo, representado pela Eq. 2.4.3, definido atravs da cotao Eq. 2.4.2, que

reflete se o peso de um gio ou desgio (taxa para compensao da demanda por NTN-B no

mercado) sobre o ttulo e do VNA.

(Eq. 2.3.1)

(Eq. 2.3.2)

(Eq. 2.3.3)

Imagem 3:

Exemplo: Jos comprou um ttulo emitido pelo governo pelo valor nominal de R$

1.010,00, com rendimento semestral de 6% ao ano com vencimento daqui a um ano.

Decorrido esse ano que seu dinheiro ficou aplicado nesse titulo, o valor do IPCA acumulado

desde a data de liquidao at a data de recebimento do cupom em 6,51%. Dessa forma o

valor que Jos ir recuperar com o investimento, sem considerar a cotao, ser de 1010 x

(1+0,0651) = 1075,75. Alm disso, ele tambm recebeu dois cupons, que so o rendimento

semestral que o titulo oferece no valor de 1075,75x taxa semestral equivalente = R$ 64,55.


2.4 - NTN-B (Notas do Tesouro Nacional - srie B - Principal)

A NTN-B Principal (Notas do Tesouro Nacional srie B - Principal) um ttulo ps-fixado que rende uma taxa definida mais uma variao taxa IPC-A (ndice Nacional de Preo

ao Consumidor Amplo) em um determinado perodo. Entretanto, diferentemente da NTN-B, a

NTN-B Principal no paga juros semestrais, ou seja, o investidor recebe o valor investido

mais o que o ttulo o rendeu apenas na venda do mesmo e esse montante tambm s

divulgado nessa data. Tal tipo de ttulo tambm uma forma em que o investidor pode ganhar

com o aumento da inflao, ou manter seu poder de compra se protegendo da inflao.


compra e da projeo do IPC-A para a data de liquidao, segundo a Eq. 2.4.1. O preo de

compra do ttulo, representado pela Eq. 2.4.3, definido atravs da cotao Eq. 2.4.2, que

reflete se o peso de um gio ou desgio (taxa para compensao da demanda por NTN-B

Principal no mercado) sobre o ttulo e do VNA.

(Eq. 2.4.1)

(Eq. 2.4.2)

(Eq. 2.4.3)

Imagem 4:

Exemplo: Eduarda comprou um ttulo, h um ano, emitido pelo Tesouro Direto a um valor nominal de R$1.010,00. Nesse ano em que o seu dinheiro ficou investido non NTN-B

Principal o IPCA acumulado foi de 6,51%i. O ttulo de Eduarda, hoje, tem, assim, um valor

nominal de 1010 x (1+0,0651) = R$ 1.075,75. Ela conseguiu vender esse titulo com uma

cotao de 105%, dessa maneira Eduarda teve uma rentabilidade de 1.075,75 x 1,05 =

R$1.129,54.


2.5 - NTN-C (Notas do Tesouro Nacional - srie C)

A NTN-C (Notas do Tesouro Nacional srie C) um ttulo ps-fixado que rende uma taxa definida mais uma variao taxa IGP-M (ndice Geral de Preos do Mercado,

calculado pela Fundao Getlio Vargas). Esse tipo de ttulo paga semestralmente juros sobre

o valor investido de acordo com a taxa indexada, sendo que os valores desses pagamentos s

so divulgados no dia de receb-los.


compra e da projeo do IGP-M para a data de liquidao, segundo a Eq. 2.5.2. O preo de

compra do ttulo, representado pela Eq. 2.5.4, definido atravs da cotao Eq. 2.5.3.1 e Eq.

2.5.3.2.

(Eq.2.5.1)

(Eq. 2.5.2)

(Eq. 2.5.3.1).

Para o caso do ttulo ser uma NTN-C 010131, a cotao dada pela seguinte frmula:

(Eq. 2.5.3.2),

(Eq. 2.5.4)

Onde:

TIR: rentabilidade anual do ttulo

n: nmero de semestres que tero juros

DUi: nmero de dias com exceo de feriados, sbados e domingos at o recebimento da i-

sima parcela de juros.

N1: nmero dias corridos entre a data de liquidao e primeiro do ms atual.

N2: nmero de dias corridos entre o dia primeiro do ms seguinte e primeiro do ms atual.


Imagem 5:

Exemplo: Tiago comprou, em 25/11/2003 5 unidades do ttulo NTN-C com vencimento em

01/07/2008. O preo de cada unidade era R$1.460,97, ento ele desembolsou R$7.304,85. A

taxa do ttulo na data da compra era 9%, e a variao do IGP-M no perodo foi de

aproximadamente 7,1%, o que fez com que a retabilidade anual dos ttulos de Tiago fosse

superior a 16,7%. Ele recebeu pagamentos de cupons todos os dias 1 de Janeiro e 1 de Julho

entre a data da compra at o vencimento do ttulo, quando ele recebeu o montante principal de

sua aplicao.


2.6 - NTN-F (Notas do Tesouro Nacional - srie F)

A NTN-F (Notas do Tesouro Nacional srie F) um ttulo pr-fixado onde o valor de venda definido no momento da compra, adicional a isso um rendimento de 10% pago

semestralmente. Assim, o investidor recebe 10% semestralmente do valor investido por ttulo

comprado at a data de vencimento, e nesta alm desses juros ele recebe tambm o valor

investido.

A rentabilidade da NTN-F pode ser calculada de acordo com a Eq. 2.6.1, na qual por

meio do preo do ttulo e seu prazo se tem a rentabilidade.

[

]

[

]

(Eq. 2.6.1)

Onde:

PREO: o valor no qual o investidor reembolsou na compra de cada NTN-F;

DUi: dias teis entre a data de efetivao da compra (prximo dia til aps a compra) e a data

de recebimento da i-sima parcela de 10% do valor investido.

TIR: Rentabilidade Anual do ttulo.


Imagem 6:

Exemplo: Maria recebeu seu dcimo terceiro salrio em dezembro de 2013, no valor

de R$2.774,43. Como ela uma mulher economicamente consciente tem suas despesas

previamente planejadas, e assim ela nunca gasta mais do que recebe. Desse modo Maria no

teve necessidade de utilizar esse valor adicional para pagar nenhuma despesa. Ento,

pensando no seu futuro e no desejo de comprar a casa prpria, ela decidiu aplicar

integralmente esse dinheiro adicional em uma carteira de ttulos pblicos, para obter

rentabilidade futura. Ela decidiu comprar todo esse valor em NTN-F, o que resultou em trs

ttulos desse tipo, pois cada um foi comprado a um valor de R$ 903,63 (3*903,63=2710,89).

Essa compra foi efetuada em 05/01/2014, mas s foi liquidada em 08/01/2014 (prximo dia

til aps o dia da compra). Nessa data, tambm foi acordado o vencimento, que seria em

01/01/2025 (ttulo NTN-F 010125) . Durante esses 11 anos, Maria recebeu cupons nas

seguintes datas: 01/01/2025, 01/07/2024, 01/01/2024, 01/07/2023, 01/01/2023 e assim por

diante at se aproximar da data de liquidao. Perceba que essas datas foram colocadas de

forma decrescente com a data do vencimento, pois assim que funciona o esquema de datas

dos cupons. Esses cupons de juros foram todos no valor de R$48,81. E o rendimento final foi

estimado em 336,33% segundo uma taxa de interna de retorno (TIR) anual de 11,72%.


3 Aplicao

A planilha referente a esse manual tem como objetivo a precificao dos ttulos

pblicos federais at ento trabalhados (LTN, LFT, NTN-F, NTN-C, NTN-B e NTN-B

Principal). Agora que j se sabe o que so ttulos pblicos federais, como eles funcionam e

para qu serve cada um deles, a planilha comear a ser utilizada. A Imagem 6 mostra a

planilha completa preenchida com dados para exemplificar. As linhas brancas so os dados

que voc deve fornecer para poder obter o clculo das informaes que a planilha oferece que

so os dados das linhas cinza claro.

Imagem 6: Exemplo da Planilha Completa


Com a teoria desenvolvida ao longo do manual, o uso da planilha se torna mais simples e

prtico. Para auxiliar o usurio, h duas opes de planilhas de precificao:

1 - Planilha Completa: a planilha do documento com as informaes na ntegra do

processo de precificao de ttulos pblicos.

2 - Planilha Simplificada: a planilha do documento que contm apenas os dados

de maior interesse para o investidor.

A descrio de como preencher a planilha esta a seguir, antes disso explicaremos os

termos usados na planilha.

Breve explicao do uso de termos da planilha:

Taxa Bsica de Juros Verdadeira: Neste campo voc deve inserir a taxa de juros bsica da economia, ou seja, a cotao da taxa SELIC anual. (Voc pode conferir esse dado

no site do Banco Central: http://www.bcb.gov.br/pt-br/paginas/default.aspx)

Taxa Bsica de Juros Hipottica: Neste campo voc deve inserir uma taxa de juros bsica da economia (SELIC) simulada, ou seja, o quanto o usurio acredita que ser o

valor da taxa no futuro.

Valor Investido na Compra de Ttulos: Neste campo voc deve inserir o quanto

voc deseja investir nesse tipo de ttulo pblico. Por exemplo, se est disposto a investir

R$20.000,00 em LFT, preencha esse valor na coluna LFT.

Taxa do Ttulo na Data da Compra: a taxa a qual o ttulo est sendo negociado,.

Nos ttulos pr-fixados ela representa o rendimento do ttulo e nos ps-fixados representa o

gio ou desgio sobre o ndice ao qual ele est atrelado. Pode ser encontrado no site do

Tesouro Direto:

http://www3.tesouro.gov.br/tesouro_direto/consulta_titulos_novosite/consultatitulos.asp.

Data de Liquidao da Compra e Data de Vencimento dos Ttulos: Nestes dois

campos inserem-se as datas da compra do ttulo (a no ser que ele seja comprado no mercado

primrio, neste caso deve-se entrar com o dia til seguinte compra) e a data do vencimento

do ttulo, respectivamente. Exemplo: comprado um ttulo de NTN-F em um sbado dia

06/09/2014, a data que deve ser inserida no primeiro campo da prxima segunda-feira dia

08/09/2014, no segundo campo a data do vencimento do ttulo.

Data de Vencimento dos Ttulos: Insira a data que o ttulo ir expirar neste campo,

ou seja, a data de vencimento acordada no momento da compra. tambm a data que voc ir

receber o valor de face do ttulo, que o valor investido menos a rentabilidade que foi

definida do ttulo.

Taxa de Juros Anual do Cupom: Caso o ttulo pblico que est sendo investido

emita cupom de juros, ou seja, pague remuneraes semestrais do valor investido, insira neste

campo a taxa de juros dos cupons.


Fator Acumulado da Selic at a Data da Compra: Neste campo voc deve inserir a

variao da taxa selic at a data que a compra foi efetuada.

Acesse www.bcb.gov.br/?SELICACUMUL para obter o fator acumulado da taxa Selic. Caso

as datas de compra ou venda desejadas sejam futuras, entre com o fator da data mais recente

que o site disponibilizar.

Fator Acumulado da Selic at a Data da Venda : Neste campo voc deve inserir a

variao da taxa selic de 01/07/2000 at a data que a venda foi ou vai ser feita.

Acesse www.bcb.gov.br/?SELICACUMUL para obter o fator acumulado da taxa Selic. Caso

as datas de compra ou venda desejadas sejam futuras, entre com o fator da data mais recente

que o site disponibilizar.

Preo do Ttulo na Data da Compra: Este campo ir mostrar o valor unitrio do

ttulo no dia que voc fez a compra. Por exemplo, se comprou ttulos de LTN por R$750,00

cada, esse valor ser mostrado neste campo.

Quantidade de Ttulos Adquiridos: A partir do preo do ttulo na data da compra e

do valor investido na compra de ttulos, este campo informa ao usurio quantos ttulos ele

adquiriu.

Nmero de Cupons que sero pagos por Unidade: Se o ttulo no qual voc investiu

emite cupons, este campo ir informar a quantidade de cupons que voc ir receber ao longo

do investimento (da data da compra do ttulo at a data de vencimento), por cada ttulo

pblico que voc investiu. Por exemplo, se voc investiu em 3 ttulos do tipo NTN-F, este

campo ir informar quantos cupons que voc ir ganhar por cada um desses 3 ttulos

comprados, no decorrer do investimento.

Valor Nominal do Principal por Unidade: o valor pago na forma de principal por

cada unidade do ttulo na data do vencimento. Principal a parcela de pagamento referente ao

valor investido na compra, ele pago no dia do vencimento do ttulo. Ttulos que no pagam

cupons pagam apenas o principal (na data de vencimento), j os que pagam cupons

remuneram o investidor a cada semestre e na data do vencimento pagam o principal e o

ltimo cupon.

Convexidade: Termo explicado em mais detalhes no Apndice.

Prazo Mdio (Duration Macaulay): Termo explicado em mais detalhes no Apndice

Dias teis desde a Compra: Nmero de dias teis desde a compra, ou seja,

desconsiderando sbado, domingo e feriados.

Rentabilidade Bruta Total: Rentabilidade nominal calculada, ou seja, no considera

a perda de poder de compra (taxa de inflao).

Rentabilidade Bruta Anual: rendimento anual do investimento.

Valor Nominal do Total pago em Cupons: soma dos valores pagos em cupons.

Valor Nominal do Principal: valor pago por todos os ttulos na data do vencimento.


Preo do Ttulo na Data da Venda: quanto o ttulo est valendo no dia que voc

vender o mesmo.

Nmero de Cupons Recebidos: nmero de cupons recebidos at a data da venda.

Instrues para precificar os ttulos:

1- Com o documento aberto, v para a planilha de interesse, dependendo do grau de

informao que se precisa.

2- Escolha qual(is) ttulo(s) deseja precificar.

3- Agora basta inserir todos os dados requeridos (nos campos em branco). Caso

queira precificar mais de um ttulo pblico, preencha esses espaos de todas as colunas dos

ttulos desejados.

Assim, de modo automatizado, a planilha o fornecer todas as informaes descritas

em cada linha e o preo a ser pago pelo ttulo.


4- Apndice

Referente tabela1:

1. Valor pago na data do vencimento por ttulo. 2. Desconto sobre o valor de venda do ttulo.

3. Significa que o valor nominal do ttulo R$ 1.000,00 vezes um fator que depende da

variao da taxa em questo em cada ttulo desde uma data base at a data do

vencimento.

Referente a explicao de ttulos pblicos:

1- Taxa SELIC: a taxa bsica da economia, a taxa SELIC diria obtida pela mdia de todas as transaes lastreadas em ttulos pblicos do dia anterior. A taxa SELIC meta

definida pelo COPOM (Comit de Polticas Monetrias).

2- IPCA: ndice Nacional de Preos ao Consumidor Amplo: principal ndice de inflao do mercado, calculado pelo IBGE.

3- gio e desgio: Quando existe um gio significa que o ttulo valorizou no mercado e apresenta taxa negativa, quando desgio o ttulo desvalorizou e a taxa positiva. Quando

a taxa igual zero siginifica que o ttulo no valorizou nem desvalorizou.

4- Liquidez: reflete a velocidade a qual o ativo virou dinheiro, ou seja, quanto maior a liquidez mais rapido aquele ativo vira dinheiro (ou seja, pode ser vendido e comprado com

facilidade).

5- Cupom de juros: o pagamento feito semestralmente por alguns ttulos pblicos federais (NTN-F , NTN-B, NTN-C), de acordo com uma determinada taxa de juros.

6- Duration e Convexidade: devido de juros, o dinheiro que algum recebe no futuro no

valer o mesmo que vale no momento atual. Atravs desses parmetros (taxa de juros e

perodo de tempo) faz-se a converso de todo o dinheiro que vamos receber at a data da

venda para uma determinada quantia. O prazo mdio, tambm chamada duration, diz

quanto tempo seria necessrio para o indivduo, com a mesma taxa de juros, receber de

uma s vez um valor que valeria hoje a mesma quantia anteriormente calculado.

Assim, a duration mede a sensibilidade do ttulo em relao taxa de juros. Porm, a

mesma assume que essa relao linear, como pode ser representada pelo seguinte grfico:


Fonte: elaborao dos autores

Na realidade, a relao no linear. Caso a taxa de juros aumente, o preo do ttulo se

reduz a uma taxa decrescente, e caso a taxa de juros diminua, a valorizao do ttulo mais

alta do que a desvalorizao.

Portanto, para calcularmos uma relao mais realista, extraindo a derivada segunda da

frmula do Valor Presente, chegando no conceito de Convexidade:

Em que,

C : Convexidade

FCt : Valor do fluxo de caixa em t

Dt : prazo do fluxo de caixa em t

PV: o preo a mercado (valor presente ou atual) do ttulo

it : a taxa de juros de mercado para o prazo t

Nesse caso, a Convexidade ser a taxa de variao da inclinao da curva preo-

rentabilidade, expressa como frao do preo do ttulo.

Para calcular especificamente a sensibilidade do ttulo com os juros, usamos a seguinte

frmula:

Em que,

P: Valor atual inicial do ttulo (ou PV0)

P: variao no valor atual do ttulo (ou variao no PV)

i: variao na taxa de juros de mercado

i: taxa de juros de mercado atual ou YTM atual

Dm: Duration modificada

D: Duration

C: Convexidade


Portanto, as relaes entre o ttulo e a taxa de juros so:

Fonte: elaborao dos autores

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