tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de fourier

73
Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

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Page 1: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de

Fourier

Page 2: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Redução de ruídos• Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o

máximo que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente I.

),(),(),(ˆ jinjiIjiI

n

sSNR

n

sdBSNR

10log10

100n

s

20 dB significam

Page 3: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Dois tipos básicos de ruídos• Ruído Gaussiano branco : processo estocástico

de média zero, independente do tempo e dos espaço.

2

2

2

2

1)(

x

exG

0),( jin

),(~),( 00 jjiinjin é o mesmo processo estocástico que não varia no tempo.

),( jin é uma variável aleatória com a distribuição:

Page 4: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Dois tipos básicos de ruídos• Ruído impulsivo: causado por erro de

transmissão, CCDs defeituosos, etc... Também chamado de pico e de sal e pimenta.

lxiiyi

lxjinsp )(

0),(

minmaxmin

1,0, yx são v.a. uniformemente distribuídas

imin, imax, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.

Page 5: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Exemplo de ruído Gaussiano (=5) e Impulsivo ( =0.99)

Page 6: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier
Page 7: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Imagem com ruído impulsivo

223 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 223

171 120 120 120 18 120 50 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 116 120 120 120 120 120 120 120 120 171

138 120 120 120 120 120 50 120 97 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 187 120 120 242

172 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 179 120 120 120 120 167 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 76 175 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 123 120 120 214 120 114

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 143 171

171 120 120 120 232 120 120 198 120 120 120 120 120 171

203 171 171 171 171 171 171 171 171 205 171 171 171 203

Uso da mediana

Iij = mediana Ωij

Page 8: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Sinal com ruído := ( )f3 x 10 ( )cos 2 x 6 ( )sin 10 x .8 ( )cos 40 x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Page 9: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Filtragem Gaussiana

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

w1+w2+w3 filtro w1+w2

4

2 11 iii

i

fffh

Page 10: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Mascara ou Filtro

4

2 11 iii

i

fffh

1

0)(

n

kiiki fgh

10

14/1

04/2

14/1

10

lse

lse

lse

lse

lse

gl

ou:

Page 11: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(

1

0)(

n

kiiki fgh

duuxgufgfxh )()()(

Page 12: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Ilustação da convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(

Page 13: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Ilustração da convolução

t

t

dtxfxtgxh )()()(

Page 14: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Discretização da Gaussiana 1D

0.1

0.2

0.3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2

2

2

2

1)(

x

exG

1214

1 14641

16

1

161520156164

1

Page 15: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Discretização da Gaussiana 2D

2

22

2

2

1),(

yx

eyxG

121

242

121

16

1

14741

41626164

72641267

41626164

14741

273

1

Page 16: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Separabilidade do filtro gaussiano

207 247 38 131 38

62 90 129 234 231

211 175 44 1 26

236 58 75 128 112

210 141 125 168 58

121

242

121

16

1

130 117 129

125 90 88

129 93 92

1214

1

1214

1

185 113 84

93 145 207

151 66 18

107 84 111

154 140 130

130 117 129

125 90 88

129 93 92

Page 17: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Série de Fourier

)2

sin2

cos(2)(1

0 T

ktb

T

ktaatf k

kk

t

f(t)

0T

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Page 18: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Coeficientes da Série

)2

sin2

cos(2)(1

0 T

ktb

T

ktaatf k

kk

T

k kdtT

kttf

Ta

0,...3,2,1,0)

2cos()(

1

T

k kdtT

kttf

Tb

0,...3,2,1)

2sin()(

1

t

f(t)

0 T

T

kk

2

T

2

Page 19: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Eixo de freqüência

Page 20: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Domínios

t

f(t)

0 T

T

2

w

ak

0

w

bk

0

tempo ou espaço

freqüencia

Page 21: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Coeficientes de funções pares e ímpares

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos cos sin sin

f-ímpar ak= 0

f-par bk= 0

Page 22: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Série de Fourier com números complexos

10

2sin

2cos2)(

knk T

ktb

T

ktaatf

2cos

ii ee

i

ee ii

2sin

1

22

0)(k

T

kti

kT

kti

k eFeFFtf

nnkkkk ibaFibaFaF ,,00

k

T

kti

keFtf2

)(

kk FF

1

2222

0)(k

T

kti

T

kti

kT

kti

T

kti

k eei

beeaatf

1

22

0)(k

T

kti

kk

T

kti

kk e

i

bae

i

baatf

T

T

kti

k kdtetfT

F0

)2

(,...3,2,1)(

1

i

12i

ii

i

1

Page 23: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Escrevendo em complexos

k

T

kti

kkk

k eFT

ktb

T

ktaatf

2

10 )

2sin

2cos(2)(

T T

kk kdtT

kttf

Tbdt

T

kttf

Ta

0 0,...3,2,1,0)

2sin()(

1,)

2cos()(

1

T

T

kti

k kdtetfT

F0

)2

(,...3,2,1,0)(

1

kkk ibaF

)2

sin()2

cos()

2(

T

kti

T

kte T

kti

Page 24: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Periodicidade da Série de Fourier

)()(2

sin)(2

cos2)(1

0 tfTtT

kbTt

T

kaaTtf

kkk

t

f(t)

0 T

t

f(t)

0 T

Page 25: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Fourier

dwewFxf wxi 2)()(

dxexfwF wxi 2)()(

Page 26: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Sinal discreto

t0 1 2 3 4 5 6 N-1

rf

r

)(tf

tNT

ttrt

,,,,,,,, 1221 NNro ffffff

Page 27: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

T

k dtT

kttf

Ta

0)

2cos()(

1

01 2 3 4 5 N

)2

cos()(T

kttf

tt

trtr

ttN

tkrf

tN

N

rk

1

0

2cos

1

TtNT

1

0

)2

cos(1 N

rrk N

rkf

Na

1

0

2sin

1 N

rkk N

rkf

Nb

. . .

Page 28: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

1

0

)2

cos(1 N

rrk N

rkf

Na

1

0

2sin

1 N

rkk N

rkf

Nb

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

f

f

ccc

ccc

ccc

N

a

a

a

)2

cos(N

krckr

onde:

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

f

f

sss

sss

sss

N

b

b

b

)2

sin(N

krskr

onde:

Page 29: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

1

0

)2

(1 N

s

N

ksi

skkk efN

ibaF

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

1

NNNNN

N

N

N f

f

f

EEE

EEE

EEE

N

F

F

F

N

kri

kr eE2

onde:

1

0

)2

(N

r

N

kri

rk eFf

1

1

0

)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

1

1

0

'''

'''

'''

NNNNN

N

N

N F

F

F

EEE

EEE

EEE

f

f

f

N

kri

kr eE2

'

onde:

Page 30: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Fourier

dwewFxf wxi 2)()(

dxexfwF wxi 2)()(

Page 31: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Fourier (discreta e normalizada)

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

r

h

s

hyswxriesrFwh

yxf

Page 32: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada normalizada de Fourier: separação

)/(21

0

1

0

)/(2),(11

),( wxriw

x

h

y

hysi eeyxfhw

srF

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

),( sxT

Page 33: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada normalizada de Fourier: Matriz H

1

0

)/(21),(),(

h

y

hysieh

yxfsxT

),( syH

sy

h

ihysi e

he

hsyH

2)/(2 11

),(

Page 34: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

)1(0)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

hhhhh

h

h

ffff

fff

fff

f

fHT

Page 35: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

hh

h

ih

h

ih

h

i

h

h

i

h

i

h

i

h

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

h

H

fHT

Page 36: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

1

0

2

),(1

),(w

x

rx

w

i

sxTew

srF

),( xrW

xr

w

i

ew

xrW

21),(

Page 37: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

ww

h

iw

h

iw

h

i

w

h

i

h

i

h

i

w

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

w

H

WfHWTF

Page 38: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Problemas com a Transformada de Fourier

)(2121

21),(),( bkakiekkFbxaxf

),(),( 2121 kkFxxf

),(1

),( 2121

kkFxxf

)cossin,sincos(

)cossin,sincos(

2121

2121

kkkkF

xxxxf

Page 39: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Mellin

0

1)()( dxxxfsM s

deefdxxxfsM ss )()()(0

1

ex dedx

eefdeeefiM i )()()( 2

wis 2

))(())(( axfMxfM

Page 40: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Mellin

0 0

1121

21),(),( dxdyyxyxfzzM zz

dedxex dedyey

))((),(

),(

)1()1(

21

21 dedeeeeef

zzM

zz

Page 41: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Mellin

ddeeeefzzM zz 21),(),( 21

uiz 21 viz 22

ddeeeefvuM viui 22),(),(

Page 42: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Mellin

1

0

1

0

22lnln ),(

1),(

w

x

h

y

sh

irw

iyx eeeef

whsrM

ddeeeefvuM viui 22),(),(

xwu

1

yhv

1

Page 43: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

ww

h

iw

h

iw

h

i

w

h

i

h

i

h

i

w

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

w

H

WfHWTF

Page 44: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada de Mellin

0 0

1121

21),(),( dxdyyxyxfzzM zz

dedxex dedyey

0 0

1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri

riz 21 siz 22

Page 45: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

xln

dedyey

0 0

1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri

dedxex

0 0

1212),(),( dxdyeeeefsrM siri

Page 46: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Resultados daTransformada de Fourier

Page 47: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Exemplo 1: Função caixa (box)

f(x)

x

]2,

20

2[

20

)( b

bxse

bxsea

bxse

xf

a

dxexfwF wxi 2)()(

2/

2/2

2

b

bwxie

wi

a

2/

2/

2b

b

wxi dxea

wbiwbi eewi

a

2

i

ee

w

a wbiwbi

2

)sin( wb

w

a

b

wb

wbabwF

)sin(

)(

Page 48: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada da função box

bw

bwabwF

)sin(

)(

F(w)

0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b

ab

w

sinc(bw)

wb

wbabwF

)sin(

)( f(x)

x

a

b

Page 49: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Distribuição normal: Gaussiana

2

2

22

1)(

x

exGaus

:= ( )gaus x e( ) x

2

Page 50: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Exemplo 2: Gaussiana

-0.02

0.03

0.08

0.13

0.18

-0.02

0.03

0.08

0.13

0.18

2

2

2

2

1)(

x

exf

2

2

12)(

w

ewF

f(x)

x

|| F(w) ||

w

1

Page 51: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Transformada do Delta de Dirac

f(x)

x

1)()( 02

edxexwF wxi (x)

|| F(w) ||

w

1

Page 52: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Exemplo 4: Cosseno

)

2()

2(

2

1)(

w

ww

wwF

|| F(w) ||

ww w

)( ww )( ww

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5)cos( tw

x

Page 53: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Cosseno e Harmônicos

sincos iei sincos ie i

)(cos 21 ii ee

)(cos 21 titi eet

t

t

1-1

i

-i

o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w

Page 54: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Exemplo 5: Sequência de impulsos

w

f(x)

x1b 2b3b-1b-2b

|| F(w) ||

1/b 2/b2/b-1/b-2/b

f(x)

x1b 2b 3b-1b-2b

|| F(w) ||

w1/b 2/b2/b-1/b-2/b

Page 55: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Pares importantes

Page 56: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Propriedades da transformada

convolução

Page 57: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Filtragem nos domínios espacial e de freqüência

• Filtragem no domínio espacial pode ser obtida pela convolução• Filtragem no domínio da frequencia pode ser obtida por uma

transformada, seguida de um produto e de uma transformada inversa.

)()()( GFH )()( xfF

)()( Hxh

)()( xgG

duuxgufgfxh )()()(

ou:

Page 58: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Tipos de Filtros

F G

=

=

=

H

Passa baixa

Passa alta

Passa banda

Page 59: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Imagem filtrada com um filtro passa baixa

Page 60: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Imagem filtrada com um filtro passa alta

Page 61: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2sin(28t), SR = 8.5 Hz

An undersampled signal

http://lcni.uoregon.edu/fft/fft.ppt

Page 62: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Amostragem e Reconstrução

Observando os domínio do espaço e das freqüências

Page 63: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Sinal original

domínio do espaço domínio das freqüências

Page 64: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências

produto convolução

Page 65: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Sinal discretizado

domínio do espaço domínio das freqüências

Page 66: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Reconstruçãodomínio do espaço domínio das freqüências

convolução produto

Page 67: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Retorno ao sinal original

domínio do espaço domínio das freqüências

Page 68: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Sinal original com mais altas freqüências

domínio do espaço domínio das freqüências

Page 69: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Mesma taxa de amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências

produto convolução

Page 70: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Sinal amostrado

domínio do espaço domínio das freqüências

Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!

Page 71: Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de Fourier

Teorema de Nyquist

Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist.

Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.

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Aliasing

• Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. • Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing.

– Passar um filtro passa-baixa no sinal.

– Aumentar a freqüência de amostragem.

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Alias

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