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INVESTIGAÇÃOOPERACIONAL

MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa,frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da FundaçãoCalouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente éProfessora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado emProspecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas eEconomia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodosestatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentescom as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação.

MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pelaUniversidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequen-tado o mesmo programa em Kellogg – Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta aoDepartamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividadesacadémicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando porcolaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressoudepois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional.Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectosentre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelourosinternacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamenteem Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção edistribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área docomércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente.

ANA LÍBANO MONTEIRO é licenciada em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências da Universi-dade de Lisboa, com especialização no ramo da Estatística e Investigação Operacional, fez um estágioprofissionalizante na Quimigal sob o tema da Gestão de Stocks, e possui um mestrado em InvestigaçãoOperacional, com tese na área do . Foi até 2007 docente universitária no ISCTE,leccionando as disciplinas de Matemática, Estatística e Investigação Operacional nas licenciaturas deGestão de Empresas e Gestão e Engenharia Industrial. Actualmente dirige uma Instituição Particular deSolidariedade Social.

Lotsizing and Scheduling

Com aplicabilidade muito variada na vida real, os temas abordados nestelivro dão ao leitor uma oportunidade para diversificar os seus conheci-mentos de Investigação Operacional. À semelhança dos volumes anteriores,procura-se abordar os vários temas de uma forma simples e pratica,permitindo assim uma apreensão mais fácil dos mesmos. Para comple-mentar a explicação teórica, além dos exemplos ilustrativos, são tambémapresentados e resolvidos vários exercícios que permitirão um estudomais completo e eficaz.

Vol. 1 – Programação LinearVol. 2 – Exercícios de Programação LinearVol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização em redes

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL


TRANSPORTES,AFECTAÇÃO

EOPTIM

IZAÇÃODE

REDES


E OPTIMIZAÇÃODE REDES

3VOL.Manuela Magalhães HillMariana Marques dos SantosAna Líbano Monteiro

EDIÇÕES SÍLABO

Vol.

3

223

7897

2618

8162

9ISB

N 9

78-9

72-6

18-8

16-2


Transportes, Afectaçãoe Optimização em redes

Manuela Magalhães Hill

Mariana Marques dos Santos

Ana Líbano Monteiro

2ª EdiçãoRevista e Corrigida

EDIÇÕES SÍLABO

É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer

meio ou forma, nomeadamente FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressõesserão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.

FICHA TÉCNICA

Título: Investigação Operacional – Vol. 3 – Transportes, Afectação e Optimização em RedesAutoras: Manuela Magalhães Hill, Mariana Marques dos Santos, Ana Líbano Monteiro@ Edições Sílabo, Lda.Capa: Pedro Mota

1ª Edição – Lisboa, Setembro de 2008.2ª Edição – Lisboa, Setembro de 2015.Impressão e acabamentos: Europress, Lda.Depósito legal: 297699/09ISBN: 978-972-618-816-2

EDIÇÕES SÍLABO, LDAR. Cidade de Manchester, 21170-100 LISBOATelf.: 218130345Fax: 218166719e-mail: [email protected]

ÍNDICE

PREFÁCIO 9

Capítulo 1

O problema de transportes

1. Introdução 13

2. Formulação de um problema de transportes 152.1. A formulação genérica 15

2.2. Arranjos da formulação genérica 16

2.3. Considerações importantes 21

3. A resolução de problemas de transportes 243.1. Introdução 24

3.2. Determinação de uma base inicial admissível 25

3.3. Teste de optimalidade 34

3.4. Melhoria da solução intermédia 41

4. Caso prático de problemas de transportes 474.1. O problema 47

4.2. Formulação 48

4.3. Problema dual 50

4.4. Resolução do problema 51

4.5. Interpretação da solução óptima e do quadro finalde resolução do problema de transportes 66

5. Casos especiais em problemas de transportes 695.1. Soluções degeneradas 70

5.2. Soluções múltiplas 73

6. Análise de sensibilidade em problemas de transportes 776.1. alterações nos coeficientes da função objectivo 78

6.2. Alterações nas restrições 83

7. Problema de transexpedição 91

8. Exercício final de transportes 1018.1. O problema 101

8.2. Formulação do problema 102

8.3. Resolução do problema 106

Capítulo 2

Exercícios sobre transportes 125

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 185

Capítulo 3

O problema de afectação

1. Introdução 197

2. Formulação de um problema de afectação 1992.1. A formulação genérica 199

2.2. Arranjos da formulação genérica 204

2.3. Considerações importantes 205

3. A resolução de problemas de afectação 2083.1. introdução 208

3.2. O método Húngaro 209

4 Casos práticos de problemas de afectação 2204.1. Um caso de solução múltipla 220

4.2. Um caso de afectações proibidas 225

4.3. Um caso de maximização 229

4.4. Um caso de valores negativos e fraccionários 234

4.5. Um caso de afectação generalizada 236

5. Análise de sensibilidade em problemas de afectação 242

Capítulo 4

Exercícios sobre afectação 251


Capítulo 5

Optimização em redes

1. Introdução 275

2. Alguns conceitos da teoria dos grafos 2772.1. Definição de grafo 277

2.2. A noção de rede 285

3. Árvore geradora (ou de suporte) de custo mínimo 2863.1. Algoritmo de Kruskal 291

3.2. Algoritmo de Prim 294

3.3. Algumas considerações finais 299

4. O problema do caminho mais curto 3004.1. Algoritmo de Dijkstra 304

4.2. Algoritmo de Ford 319

4.3. Algoritmo de Floyd 319

5. O problema do fluxo máximo 3205.1. Corte de uma rede 323

5.2. Algoritmo de Ford-Fulkerson 325

5.3. Casos especiais do problema do fluxo máximo 334

6. O problema do fluxo de custo mínimo 3356.1. Algoritmo de Busacker-Gowen 337

6.2. Formulação de outros problemascomo problemas de fluxo de custo mínimo 342

Capítulo 6

Exercícios sobre optimização em redes


ANEXO DOS ALGORITMOS 421

BIBLIOGRAFIA 431

PREFÁCIO

Com a publicação deste terceiro volume de Investigação Operacional,damos por concluída a nossa intenção de apresentação de uma visão práticade um conjunto de técnicas de optimização não abordadas nos dois volumesanteriores – transportes, afectação e optimização em redes as quais, aolongo dos anos, têm obtido um crescente reconhecimento por parte dosespecialistas.

Embora parecendo problemas de aplicação restrita na vida real, cada umdeles tem a versatilidade de ser adaptável a situações diferentes das descri-tas. Por essa razão, encontram-se dentro do conjunto de problemas maisconhecidos em Investigação Operacional e, como tal, alvo da nossa atenção.

Esta obra mantém subjacente a mesma filosofia das obras anteriores.Deste modo foi dado especial ênfase à formulação de problemas, à interpre-tação económica da solução óptima e à análise subsequente à obtençãodessa solução, aspecto este normalmente não abordado em problemas detransporte e de afectação.

Na perspectiva de que este livro tenha grande valor prático, foi destinado,para cada um dos temas, um capítulo só com exercícios resolvidos e propos-tos para ajudar o leitor na melhor apreensão dos temas.

Gostaríamos de deixar uma palavra de agradecimento às colegas daequipa de Investigação Operacional do ISCTE pelo apoio e inspiração quenos deram. Contudo, quaisquer erros que o leitor possa encontrar são inteira-mente da nossa responsabilidade.

As autoras

1

O problemade transportes

INTRODUÇÃO

O problema de transportes é um dos casos particulares de programaçãolinear que, pela sua importância e frequência de utilização, se impõe serestudado de forma aprofundada. Para além disso, mesmo podendo recorrerao algoritmo do Simplex, foi desenvolvido um algoritmo específico para aresolução de problemas deste tipo, que vem facilitar sobremaneira a procurada solução óptima.

● A situação

Sempre que nos encontramos perante um produto homogéneo, oferecido

por um conjunto de centros de oferta ou origens e procurado por um outro

conjunto de centros de procura ou destinos, estamos perante um problemade transportes, desde que:

➩ se pretenda transportar o produto mencionado, dos centros de ofertapara os centros de procura;

➩ seja nosso objectivo encontrar a forma mais barata ou mais rápida de ofazer.

Por forma a melhor visualizar o tipo de problema que queremos apresen-tar neste capítulo, vejamos o seguinte exemplo:

Uma sociedade que detém 4 padarias pretende distribuir o pão que fabricadiariamente por 6 pastelarias também por si exploradas. As 4 padarias têmcapacidade para produzir diariamente 300, 400, 400 e 500 pães respectiva-mente. Por outro lado, o consumo de pão nas pastelarias estima-se em 250,360, 280, 200, 250 e 200 por dia, em cada uma, respectivamente. Os custos detransporte por unidade, de cada uma das padarias para cada uma das pastela-rias, são os constantes do quadro que se segue:

13

O PROBLEMA DE TRANSPORTES

Pastelarias

P1 P2 P3 P4 P5 P6 Oferta totalP

adar

ias

O1 3 2 5 1 1 3 300

O2 2 2 4 3 2 5 400

O3 5 4 2 4 5 1 400

O4 3 4 3 4 3 2 500

Procura total 250 360 280 200 250 200

Este é um problema típico de transportes, em que se pretende determinarqual a melhor forma de distribuir pão, desde os quatro pontos de oferta (aspadarias) até aos seis centros de procura (as pastelarias). O objectivo queassiste à procura do melhor plano de distribuição será a minimização doscustos de transporte. As limitações do problema dizem respeito, quer àmáxima quantidade de pão que cada padaria consegue oferecer quer aoconsumo mínimo de cada pastelaria.

Antes de passarmos à formulação do problema podemos representá-lo numdiagrama simples, designado por rede (Figura 1.1), colocando as padarias numacoluna (à esquerda) e as pastelarias noutra coluna (à direita) e ligá-las com setas,colocando junto de cada seta o custo unitário de transporte que lhe está asso-ciado. Os valores dentro dos quadrados da esquerda correspondem à capacidadede oferta associada a cada centro de oferta (padaria) e os valores dentro dosquadrados da direita correspondem à estimativa de procura associada a cadacentro de procura (pastelarias).

FIGURA 1.1. REPRESENTAÇÃO EM REDE DO PROBLEMA DAS PADARIAS

14


400O2

400O3

500O4

300O1

200 P4

280 P3

360 P2

250 P1

250 P5

200 P6

325113

224325

542451

343432

FORMULAÇÃO DE UM PROBLEMADE TRANSPORTES

2.1. A FORMULAÇÃO GENÉRICA

Considerando que:

• cij0 é o custo de transporte de uma unidade de produto, desde a origem i

até ao destino j

• si é a quantidade de produto disponível para ser expedida de cada cen-tro de oferta i

• dj é a quantidade de produto requerida ou procurada por cada centro deprocura j

Tem-se que xij será a quantidade de produto a transportar de cada centro

de oferta i para cada centro de procura j ao custo unitário de cij0.

A formulação genérica a que chegamos com estas definições, será entãoa seguinte:

Min CTT (Custo Total de Transporte) =

= c110 x11 + c12

0 x12 + c130 x13 + ... + c1

0n x1n

+ c210 x21 + c22

0 x22 + c230 x23 + ... + c2

0n x2n

(...)

+ cm10 xm 1 + cm 2

0 xm 2 + cm 30 xm 3 + ... + cmn

0 xmn

s.a. x11 + x12 + x13 + ... + x1n � s1

x21 + x22 + x23 + ... + x2n � s2

(...)

xm 1 + xm 2 + xm 3 + ... + xmn � sm

15


�

�

��

�

��

limitações de oferta

x11 + x21 + x31 + ... + xm1 � d1

x12 + x22 + x32 + ... + xm2 � d2

(...)

x1n + x2n + x3n + ... + xmn � dn

x11, x12, x13, ..., x1n � 0

x21, x22, x23, ..., x2n � 0

(...)

xm1, xm2, xm3, ..., xmn � 0

ou, simplificadamente:

Min CTT ��

i

m

j

n

ij ijc x1 1

0

s.a.j

n

ij ix s� �

1i = 1, ..., m

i

m

ij jx d� �

1j = 1, ..., n

xij � 0 i = 1, ..., m j = 1, ..., n

Repare-se que os coeficientes técnicos das restrições (aij0 ) são todos

iguais a um.

2.2. ARRANJOS DA FORMULAÇÃO GENÉRICA

A formulação que acabámos de expor é, no entanto, imperfeita pois oproblema só terá solução se a quantidade total de procura não exceder a

quantidade total de oferta, ou seja, se s dii

n

jj

n

� � �

1 1

.

Na vida real, facilmente compreendemos que a solução passará por efec-tuar os transportes possíveis, deixando um ou mais centros de oferta comquantidades por escoar.

16


�

�

��

�

��

limitações de procura

�

�

��

�

��

restrições de não negatividade

Não obstante tal constatação, é possível introduzir pequenas alteraçõesque venham garantir a admissibilidade de qualquer problema com as caracte-rísticas descritas inicialmente.

Pensemos então nas quantidades totais transportadas. Se o total de pro-dutos a oferecer for superior ao total de produtos procurados, então a quanti-dade total a transportar será apenas o limite de produtos procurados, ficandoalguns produtos em stock, na origem. Se, por outro lado, o total de produtosa oferecer for inferior ao total de produtos procurados, então a quantidadetotal a transportar será apenas o limite de produtos oferecidos, ficandoalguma procura por satisfazer.

Ora, o algoritmo que vamos apresentar para a resolução de um problemade transportes pressupõe que o total dos produtos a oferecer (disponibilida-des) iguale o total de produtos procurados (necessidades).

Sendo assim, podemos exigir, de forma implícita, na construção domodelo de formulação, que a oferta total iguale a procura total. Para isso, há

que criar um destino fictício sempre que a oferta total seja superior à pro-

cura total ou uma origem fictícia sempre que a procura total seja superior àoferta total. Os custos de transporte das unidades que saem da origem fictí-cia ou que entram no destino fictício serão nulos. As quantidades transporta-das nestes «caminhos fictícios» corresponderão precisamente à oferta quefica por utilizar ou à procura que fica por satisfazer, respectivamente.

Em conclusão, garantindo que a oferta total iguale a procura total através dacriação dos «postos fictícios», podemos reformular o problema de transportescom todas as restrições sob a forma de igualdade, uma vez que se assumeque toda a quantidade oferecida terá um destino e que toda a quantidade

procurada será satisfeita. Diz-se então que o problema está equilibrado.

Vejamos como fica a formulação genérica do problema de transportes,após a realização das transformações inerentes às questões apresentadas,considerando incluído em m ou n o posto fictício introduzido:


= c110 x11 + c12

0 x12 + c130 x13 + ... + c1

0n x1n

+ c210 x21 + c22

0 x22 + c230 x23 + ... + c2

0n x2n

(...)

+ cm10 xm 1 + cm 2

0 xm 2 + cm 30 xm 3 + ... + cmn

0 xmn

17


s.a. x11 + x12 + x13 + ... + x1n � s1

x21 + x22 + x23 + ... + x2n � s2

(...)

xm 1 + xm 2 + xm 3 + ... + xmn � sm

x11 + x21 + x31 + ... + xm1 � d1

x12 + x22 + x32 + ... + xm2 � d2

(...)

x1n + x2n + x3n + ... + xmn � dn

x11, x12, x13, ..., x1n � 0

x21, x22, x23, ..., x2n � 0

(...)

xm1, xm2, xm3, ..., xmn � 0

Em que s1 + s2 + ... + sm = d1 + d2 + ... + dn

ou, simplificadamente:

Min CTT ��

i

m

j

n

ij ijc x1 1

0

s.a.j

n

ij ix s� �

1i = 1, ..., m

i

m

ij jx d� �

1j = 1, ..., n

xij � 0 i = 1, ..., m j = 1, ..., n

Em quei

m

ij

n

js d� � �

1 1i = 1, ..., m

Resta-nos reafirmar que, desde que a oferta total seja igual à procuratotal, o problema de transportes tem sempre uma solução óptima finita.

18


Para o exemplo que introduzimos inicialmente, podemos construir, então, aseguinte formulação que deverá ser posteriormente equilibrada:


= 3 x11 + 2 x12 + 5 x13 + 1 x14 + 1 x15 + 3 x16

+ 2 x21 + 2 x22 + 4 x23 + 3 x24 + 2 x25 + 5 x26

+ 5 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 4 x34 + 5 x35 + 1 x36

+ 3 x41 + 4 x42 + 3 x43 + 4 x44 + 3 x45 + 2 x46

s.a. x11 + x12 + x13 + ... + x16 � 300

x21 + x22 + x23 + ... + x26 � 400

x31 + x32 + x33 + ... + x36 � 400

x41 + x42 + x43 + ... + x46 � 500

x11 + x21 + x31 + x41 � 250

x12 + x22 + x32 + x42 � 360

x13 + x23 + x33 + x43 � 280

x14 + x24 + x34 + x44 � 200

x15 + x25 + x35 + x45 � 250

x16 + x26 + x36 + x46 � 200

x11, x12, x13, …...,x16 � 0

x21, x22, x23, …...,x26 � 0

x31, x32, x33, …...,x36 � 0

x41, x42, x43, …...,x46 � 0

Como a oferta total das padarias corresponde a 1600 pães enquanto asseis pastelarias procuram apenas 1540 pães, devemos criar uma pastelariafictícia, que consuma os 60 pães excedentários e cujos custos de transportedesde as quatro padarias sejam zero. Garantida a igualdade entre a ofertatotal e a procura total, temos todas as restrições sob a forma de igualdade.Vejamos, a formulação específica a que devemos chegar:

19


�

�

��

�

��


�

�

��

�

��


�

�

��

�

��



= 3 x11 + 2 x12 + 5 x13 + 1 x14 + 1 x15 + 3 x16 + 0 x17

+ 2 x21 + 2 x22 + 4 x23 + 3 x24 + 2 x25 + 5 x26 + 0 x27

+ 5 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 4 x34 + 5 x35 + 1 x36 + 0 x37

+ 3 x41 + 4 x42 + 3 x43 + 4 x44 + 3 x45 + 2 x46 + 0 x47

s.a. x11 + x12 + x13 + ... + x17 � 300

x21 + x22 + x23 + ... + x27 � 400

x31 + x32 + x33 + ... + x37 � 400

x41 + x42 + x43 + ... + x47 � 500

x11 + x21 + x31 + x41 � 250

x12 + x22 + x32 + x42 � 360

x13 + x23 + x33 + x43 � 280

x14 + x24 + x34 + x44 � 200

x15 + x25 + x35 + x45 � 250

x16 + x26 + x36 + x46 � 200

x17 + x27 + x37 + x47 � 60

x11, x12, x13, …..., x17 � 0

x21, x22, x23, …..., x27 � 0

x31, x32, x33, …..., x37 � 0

x41, x42, x43, …..., x47 � 0

Considerando esta formulação, já no seu formato arranjado ou equilibrado,a quantidade de pães que será afecta à sétima pastelaria — a fictícia — cor-responderá, na solução final, a pão em excesso que na realidade nunca che-gará a ser distribuído.

20


�

�

��

�

��


�

�

��

�

��


�

�

��

�

��


2.3. CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES

● O problema inteiro de transportes

Se num problema de transportes, todas as origens e destinos apresenta-rem quantidades inteiras de oferta e procura, respectivamente, então as quan-tidades a transportar de uns para outros serão inteiras, na solução óptima doproblema. Esta informação torna-se deveras importante quando nos depara-mos com situações em que se pretende transportar produtos indivisíveis.Assim, contrariamente ao que acontecia com o algoritmo do Simplex, o modelode transportes apresentado contempla casos de programação inteira que,desta forma, não exigem algoritmos especiais de resolução.

● Os caminhos impossíveis ou interditos

Se num dado problema de transportes há caminhos, desde uma certa ori-gem i até um certo destino j, que não podem ser considerados, então deve-

mos criar um custo unitário, cij0 = M, associado a esse caminho «ij», tão

elevado quanto possível (por exemplo, M = 1 000 000). Desta forma, estamosa «orientar» o algoritmo de resolução do problema para que, qualquer solu-ção que inclua esse caminho, fique fortemente penalizada. Com efeito, qual-quer unidade transportada da origem i para o destino j, viria aumentar oscustos totais de transporte em M u.m., o que nos garante a exclusão dessecaminho no conjunto de itinerários que uma solução óptima viesse a propôr.

Se num problema de transportes, a função objectivo se traduzir em

Min CTT = c110 x11 + M x12 + c13

0 x13 + ... + c10n x1n

+ c210 x21 + c22

0 x22 + c230 x23 + ... + c2

0n x2n

podemos concluir que o “caminho 1-2” não poderá ser utilizado para o trans-porte em causa.

● Os caminhos fictícios

Ao contrário dos caminhos impossíveis, os caminhos fictícios de um pro-

blema de transportes apresentam um custo cij0 0� correspondente a uma

penalização nula nos custos totais de transporte por cada unidade transpor-tada por esse caminho. Na realidade, as quantidades afectas a esse caminho

21


não chegam a ser transportadas, ficando — em excesso — nos centros deoferta reais, ou — em falta — nos centros de procura reais, conforme o caso.Daí que a solução óptima inclua, com certeza, as unidades afectas a essecaminho (sendo até as primeiras a serem consideradas), não vindo contudoa penalizar essa solução.


Min CTT = c110 x11 + c12

0 x12 + 0 x13

+ c210 x21 + c22

0 x22 + 0 x23

então existe um centro de procura (j = 3) fictício que absorverá a quantidadede produto oferecida em excesso.


Min CTT = c110 x11 + c12

0 x12

+ c210 x21 + c22

0 x22

+ 0 x31 + 0 x32

então existe um centro de oferta (i = 3) fictício que expedirá a quantidade pro-curada em excesso.

● O número de variáveis básicas de um problema de transportes

Se num problema normal de programação linear, o número de variáveisbásicas corresponde ao número de restrições, num problema de transportesexiste menos uma variável positiva, em cada solução. Ou seja, o número devariáveis básicas em cada solução corresponde ao número de restrições deoferta mais o número de restrições de procura menos uma.

Repare-se que, sendo o total de oferta igual ao total de procura e, por-tanto, as restrições sob a forma de igualdade, uma dessas restrições éredundante. Isto porque conhecendo, por exemplo, as quantidades de todosos centros de oferta e as de todos os centros de procura excepto um, estecentro acaba por ter um valor conhecido. Em termos matemáticos, esta ver-dade traduz-se pela existência de uma restrição que é uma combinaçãolinear de todas as outras (soma das restrições de tipo contrário a ela e sub-tracção das restrições do mesmo tipo que ela).

22


Em conclusão, podemos afirmar que em qualquer problema de programa-ção linear, incluindo os problemas de transportes, o número de variáveisbásicas corresponde exactamente ao número de restrições não redundantesdo problema.

Concretamente, no problema de transportes, temos:

● As variáveis duais de um problema de transportes

Tal como em qualquer problema de programação linear, num problema detransportes existe uma variável dual associada a cada restrição primal doproblema. Assim, existem m variáveis duais ui associadas às restrições deoferta e n variáveis duais vj associadas às restrições de procura. Uma vezque se impõe que a oferta total iguale a procura total, já concluímos que umadas restrições primais é com certeza redundante. Consequentemente, avariável dual a ela associada será sempre igual a zero.

Relembrando a interpretação das variáveis duais, a afirmação anterior faztodo o sentido. É que, quando uma restrição nada acrescenta, ou em nadacontribui para limitar a situação apresentada, poder-se-á dizer que «o valorou preço sombra» a ela associado será nulo. Em termos práticos, queremosdizer que «esse centro de oferta» ou «esse centro de procura» poderia ofere-cer mais uma unidade do que o seu limite máximo ou procurar menos umaunidade do que o seu limite mínimo, que em nada alteraria os custos totaisda solução óptima. Ou seja, poderíamos «relaxar» alternativamente o limitedesse centro de oferta ou desse centro de procura, que o custo de transporteassociado não seria alterado na solução óptima.

Na verdade, o impacto na função objectivo do aumento de uma unidade

desse «centro de oferta» (restrição do tipo �) ou da diminuição de uma uni-

dade desse «centro de procura» (restrição do tipo �) é nulo. Isto é verdade,porque estamos a falar de uma restrição (que pode ser qualquer uma delas)que traduz uma combinação linear das restantes restrições. Em conclusão,em qualquer problema de transportes, existe pelo menos uma variável dualnula associada a uma restrição redundante.

23


Número de variáveis básicas = m + n – 1

Vejamos o seguinte problema de transportes:

Min CTT = c110 x11 + c12

0 x12

+ c210 x21 + c22

0 x22

s.a. x11 + x12 � s1 ( )u1

x21 + x22 � s2 ( )u2

x11 + x21 � d1 ( )v1

x12 + x22 � d2 ( )v2

Neste caso, desde que:

s s d d1 2 1 2 �

temos a certeza que uma das variáveis duais u1, u2, v1 ou v2 é igual a zero.

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE TRANSPORTES

3.1. INTRODUÇÃO

A resolução de problemas de transportes pode ser feita usando o algo-ritmo do Simplex. Se os valores da oferta e de procura são inteiros, o métododo Simplex dá sempre uma solução inteira em cada iteração. Há no entantoum método mais Simplex de resolução do problema, relacionado com o algo-ritmo do Simplex e com a dualidade apresentados no Volume 1. Este método

é conhecido por algoritmo dos transportes e processa-se em três fasessucessivas, em que as duas últimas se repetem até que se atinja a soluçãoóptima:

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MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa,frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da FundaçãoCalouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente éProfessora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado emProspecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas eEconomia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodosestatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentescom as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação.

MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pelaUniversidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequen-tado o mesmo programa em Kellogg – Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta aoDepartamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividadesacadémicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando porcolaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressoudepois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional.Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectosentre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelourosinternacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamenteem Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção edistribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área docomércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente.

ANA LÍBANO MONTEIRO é licenciada em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências da Universi-dade de Lisboa, com especialização no ramo da Estatística e Investigação Operacional, fez um estágioprofissionalizante na Quimigal sob o tema da Gestão de Stocks, e possui um mestrado em InvestigaçãoOperacional, com tese na área do . Foi até 2007 docente universitária no ISCTE,leccionando as disciplinas de Matemática, Estatística e Investigação Operacional nas licenciaturas deGestão de Empresas e Gestão e Engenharia Industrial. Actualmente dirige uma Instituição Particular deSolidariedade Social.

Lotsizing and Scheduling

Com aplicabilidade muito variada na vida real, os temas abordados nestelivro dão ao leitor uma oportunidade para diversificar os seus conheci-mentos de Investigação Operacional. À semelhança dos volumes anteriores,procura-se abordar os vários temas de uma forma simples e pratica,permitindo assim uma apreensão mais fácil dos mesmos. Para comple-mentar a explicação teórica, além dos exemplos ilustrativos, são tambémapresentados e resolvidos vários exercícios que permitirão um estudomais completo e eficaz.





EOPTIM

IZAÇÃODE

REDES


E OPTIMIZAÇÃODE REDES

3VOL.Manuela Magalhães HillMariana Marques dos SantosAna Líbano Monteiro

EDIÇÕES SÍLABO

Vol.

3

223

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8162

9ISB

N 9

78-9

72-6

18-8

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