Universidade Federal do Rio de JaneiroEscola PolitecnicaCOPPE/UFRJ

Transitorios EletromagneticosNotas de Aula

Antonio Carlos Siqueira de Lima

Segundo Semestre de 2006

c⃝ 2006 reproducao proibida sem autorizacao do autor

SUMARIO

I Analise no Domınio da Frequencia 2

1 Metodos Analıticos no Domınio da Frequencia 31.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Transformada de Fourier Modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Algumas Relacoes Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Metodos Baseados em Circuitos Concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Transitorios em Circuitos Elementares 102.1 Circuito sem acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Circuitos com acoplamento indutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Calculo de Parametros de Linhas de Transmissao e Cabos Subterraneos 143.1 Impedancia Interna de Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Impedancia Externa & Impedancia de Retorno pelo Solo . . . . . . . . . . 153.3 Admitancia em Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Montagem das Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Calculo de Parametros de Cabos Eletricos Subterraneos . . . . . . . . . . . 17

3.5.1 Formulacao da matriz de impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5.2 Formulacao da matriz de admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.6 Impedancia de retorno pelo solo– Cabos enterrados . . . . . . . . . . . . . 213.7 Impedancia de retorno pelo solo– Linhas aereas . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Modelagem de Linhas Multifasicas 274.1 Solucao da Equacao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Impedancias e Admitancias Modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Obtencao da Matriz de Admitancia Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Formulacao por Quadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Casos Particulares Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Modelagem no Domınio de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

i

4.6 Representacao por Funcoes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6.1 Efeito da Frequencia Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7 Outras possıveis formulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Analise no Domınio do Tempo 38

5 Metodos de Integracao 395.1 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Integracao Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ii

LISTA DE FIGURAS

1.1 Efeito Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Circuito elementar a parametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Circuito com um transformador e com capacitancias entre terminais . . . . 13

3.1 Erro da aproximacao proposta por Wedepohl para condutores solidos. . . . 153.2 Formulacao da matriz de impedancias de um cabo subterraneo . . . . . . . 183.3 Formulacao da matriz de adimitancia de um cabo subterraneo . . . . . . . 203.4 Condutor filamentar enterrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Resposta de uma LT monofasica invariante na frequencia . . . . . . . . . . 364.2 Efeito da Frequencia complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Efeito da Frequencia complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

Introducao

Estas notas de aula tem por fim apresentar um conjunto de informacao suplementar aoda bibligrafia utilizada no curso “Transitorios Eletromagneticos” ministrado no Programade Engenharia Eletrica, COPPE/UFRJ e no Departamento de Engenharia Eletrica, Es-cola Politecnica, UFRJ.

Os parametros basicos que definem as caracterısticas eletricas com relacao a suporta-bilidade de tensao, corrente ou energia sao definidos, a prıncipio, em funcao de condicoesanomalas e transitorias. Estes transitorios podem ser descritos a partir da representacaodireta, ou atraves de simplificacoes, das Equacoes de Maxwell daı o nome comum detransitorios eletromagneticos.

Os transitorios eletromagneticos podem ser resolvidos tanto no domınio do tempocomo no domınio da frequencia. Por esta razao o documento esta dividido em duasgrandes partes. A primeira foca nos condicionantes relacionados a analise no domınioda frequencia dos transitorios em linhas de transmissao. A segunda parte lida com oajuste, por funcoes racionais no domınio da frequencia, da resposta de redes variantes nafrequencia visando a representacao atraves de programas no domınio do tempo.

A vantagem da representacao no domınio do tempo e a inclusao de chaveamentos eelementos nao lineares. Todavia ha a necessidade da utilizacao de metodos de integracaonumerica, sendo necessaria uma avaliacao concreta do impacto da discretizacao da rede nodomınio do tempo. No caso do domınio do tempo e possıvel uma formulacao dos circuitosenvolvidos atraves da matriz de admitancia nodal ou da representacao via estado deespaco. Ja a vantagem da analise no domınio da frequencia e representacao mais adequadade linhas de transmissao e outros elementos variantes na frequencia. Para os estudos nodomınio da frequencia podem ser utilizadas tanto a Transformada de Laplace como a deFourier, vantagens e desvantagens serao vistas adiante.

1

Parte I

Analise no Domınio da Frequencia

2

CAPITULO 1

Metodos Analıticos no Domınio daFrequencia

A analise fasorial talvez seja uma das mais simples e possivelmente a mais comumrepresentacao de sistemas eletricos no domınio da frequencia. De fato, a analise fasorialpode ser entendida como um representacao no domınio da frequencia onde a variavels = jω e constante e dada por s = j2πf0, onde f0 e a frequencia de operacao do sistemaeletrico. A analise dos transitorios no domınio da frequencia consistem em obter as re-postas no domınio desta variavel complexa atraves da representacao da rede em funcaode uma variavel complexa. O usual e obter tensoes como resposta, uma vez que a redee representada pela matriz de admitancia nodal. A resposta no tempo e entao obtidapor procedimentos de inversao entre o domınio complexo e do tempo. Existem algumastransformacoes que relacionam variaveis reais com variaveis complexas. Nos aqui focamosapenas na transformada de Laplace e Fourier, que sao apresentadas de forma bastantesucinta a seguir, destacando a relacao entre elas.

1.1 Transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma funcao f(t) e dada por:

L [f(t)] = F (s) =

∫ ∞

−∞f(t)exp−stdt

onde s e um numero complexo dado s = σ + jω, e t e uma variavel real, σ e um numeroreal maior que o mais positivo dos polos de F (s). Sao apresentados alguns exemplosabaixo:

3

L [cosh(t)] =s

s2 + 1

L [exp(t) sin(t)] =1

1 + (s − 1)2

L

[t

1 + t2

]= − cos(s)CosIntegral(s) +

1

2sin(s)(π − 2SinIntegral(s))

L [∂

∂t(exp(t) sin(t))] =

1

1 + (s − 1)2 +s − 1

1 + (s − 1)2

(1.1)

A ultima transformada e obtida a partir da seguinte relacao

∂

∂t(exp(t) sin(t)) = exp(t) (cos(t) + sin(t))

Possivelmente a grande vantagem da utilizacao da transformada de Laplace e simpli-cidade na qual a integracao ou diferenciacao assume. Isto possibilita a transformacao deequacoes diferenciais em equacoes algebricas de facil resolucao. Por exemplo, seja umafuncao f(t), a derivada de f(t) em relacao ao tempo possui a seguinte transformada

L[f ′(t)] = sF (s) − f(0) (1.2)

onde f(0) e a condicao inicial de f(t). Uma resposta similar e encontrada no caso dasegunda derivada em relacao ao tempo

L[f”(t)] = s2F (s) − s.f(0) − f ′(0) (1.3)

No caso geral temos,

L[f (n)] = snF (s) − sn−1f(0) − sn−2f 1(0) · · ·− fn−1(0) (1.4)

onde n > 0 e f (n) designa a derivada de ordem n de f(t) em relacao ao tempo. No casoda integracao temos

L[

t∫

−∞

f(t)dt] =F (s)

s+

g(0)

s(1.5)

onde g(t) =∫ t−∞ f(t)dt. Entre outras propriedades da transformada de Laplace e a do

teorema do deslocamento

L[exp(−at)f(t)] = F (s + a) (1.6)

Como a transformada e uma operacao tambem temos

L[f(bt)] =1

bF (s/b) (1.7)

Para o caso dos transitorios eletromagneticos em geral teremos a resposta do circuitoem funcao da variavel complexa s, sendo necessaria a obtencao da resposta no domınio

4

do tempo. Para tanto e necessario a aplicacao da transformada inversa de Laplace cujadefinicao e

f(t) =1

j2π

∫ σ+∞

σ−∞F (s) exp(st)ds (1.8)

onde s e um numero complexo cuja parte real, σ, e maior que o maior polo real positivoem F (s). Como veremos em capıtulo posterior, ha casos onde a resposta do sistema naopode ser obtida em funcao da variavel s mas sim de um valor especıfico sk. Tecnicas deajuste podem ser utilizadas para aproximar a resposta de F (s) numa faixa de frequenciade interesse por funcoes racionais. Nesse caso

F (s) ≈ N(s)

D(s)=

∏ni=1 s − zi∏mi=1 s − pi

=m∑

i=1

ki

s − pi(1.9)

onde zi,pi e ki sao respectivamente os polos, zeros e resıduos. A formulacao polinomialpermite uma solucao mais simples da matriz de admitancia nodal. O processo de ajustede F (s) nao e contudo trivial. Em capıtulo posterior nos dedicaremos exclusivamente aoassunto.

Uma outra propriedade importante e da convolucao. Sejam F (s) e G(s) duas funcoesno domınio da variavel complexa s, a funcao H(s) = F (s)G(s) possuira uma transformadainversa

g(t) =

∞∫

−∞

f(τ)g(τ)dτ (1.10)

Portanto, o produto de duas funcoes no domınio da frequencia implica na convolucaodas respostas no domınio do tempo. A relacao inversa tambem e verdadeira, ou seja oproduto de duas funcoes no domınio do tempo implica na convolucao das transformadasno domınio da frequencia complexa s.

1.2 Serie de Fourier

Um sinal periodico pode ser representado atraves da serie de Fourier,

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos(nωt) + bn cos(nωt) (1.11)

onde ω = 2/T

an =2

T

∫ T

0

f(t) cos(nωt)dt

bn =2

T

∫ T

0

f(t) sin(nωt)dt

E possıvel tambem a formulacao utilizando a formulacao exponencial. Um dos pro-blemas da representacao por serie de Fourier e o chamado efeito Gibbs. Este fenomenoocorre pois a representacao em serie de Fourier demanda que a funcao seja contınua, to-davia diversos sinais utilizados em transitorios possuem descontinuidades, como o degrau,

5

0 0.5 1 1.5 2

!1

!0.5

0

0.5

1

!"fx

x

Figura 1.1: Efeito Gibbs

um pulso. A fig. 1.1 apresenta a serie de Fourier para nove termos da onda quadrada. Oaumento no numero de termos causa o acrescimo da frequencia das oscilacoes. No casolimite com um grande quantidade de termos, haveria o surgimento de um impulso nospontos de descontinuidade da forma de onda.

O efeito Gibbs tambem aparecera na representacao discreta de redes no domınio dafrequencia.

exemplo6 Zanetta pp72

1.3 Transformada de Fourier

Surge quando aplica-se a serie de Fourier para funcoes aperiodicas. E muito utilizadaem estudos de sistemas digitais, atualmente e mais empregada em transitorios que atransformada de Laplace, devido a facilidades de implementacao numerica.

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(t) exp−jωt dt (1.12)

A transformacao da variavel no domınio da frequencia para o domınio do tempo pode serfeita atraves de:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (ω) expjωt dω (1.13)

De fato esta nao e a unica definicao da transformada de Fourier. Existem diversos outrascombinacoes. Por exemplo em areas como a Fısica e comum o emprego da seguintetransformada inversa:

f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞F (ω) exp(jωt) (1.14)

exemplo7 Zanetta pp76

6

1.3.1 Propriedades

• Para sistemas fısicosF (−ω) = F (ω)∗

• Se f(t) = f(−t) (funcao par)

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(t) cos[ωt] ∈ ℜ

• Se f(t) = 0, para t < 0,

f(t) =2

π

∫ ∞

0

Re[F (ω) cos(ωt)]dω

f(t) =2

π

∫ ∞

0

Im[F (ω) sin(ωt)]dω

1.4 Transformada de Fourier Modificada

Uma funcao pouco amortecida, ou ate mesmo instavel f(t) pode ser representada natransformada atraves do seguinte artifıcio, seja

f1(t) = exp(−ct)f(t)

onde c e maior que o maior expoente positivo da funcao f(t), o que leva f1 → 0 quandot → ∞, podendo entao aplicar-se a transformada de Fourier a f1(.),

F1(ω) =

∫ ∞

−∞f(t) exp(−(c + jω)t)dt (1.15)

O calculo de f(t) pode ser feito de atraves da definicao de f1(.)

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F1(ω) exp((c + jω)t)dω (1.16)

A transformacao apresentada na eq.1.16 e similar a Transformada de Fourier, onde otermo jω foi substituıdo por c + jω. Esta transformacao recebe o nome de TransformadaModificada de Fourier, ou ainda Transformada Complexa de Fourier , sendo numerica-mente igual a Transformada de Laplace. Sendo s = c + jω, ds = jdω, ou dω = ds/j,entao:

F (s) =

∫ ∞

0

f(t) exp(−st)dt (1.17)

f(t) =1

j2π

∫ c+j∞

c−j∞F (s) exp(st)ds (1.18)

7

1.5 Algumas Relacoes Importantes

Pode haver ocasioes onde seja interessante obter a reposta da integral utilizando-se um limite infinito tempo, ou a frequencia angular tambem num espectro infinito. Atransformada pode ser utilizada tambem nestes casos. Utilizando-se a eq. 1.12 para ω = 0temos:

F (0) =

∫ +j∞

−j∞f(t)dt (1.19)

No caso da resposta no tempo, utilizando a eq.1.14 para t = 0, temos:

f(0) =1

2π

∫ +j∞

−j∞F (ω)dω (1.20)

Para a funcao impulso que e definida como

δ(t) =

0 se t = 0

∞ se t = 0(1.21)

Uma das propriedades da funcao impulso ou Delta de Dirac e∫ ∞

−∞δ(t) = 1

. Atraves desta propriedade e possıvel calcular a Transformada da funcao impulso, que e1. Em outras palavras o espectro de frequencia do impulso e uniforme independente dafaixa de frequencia sob estudo.

Uma outra relacao importante e o teorema da convolucao. Seja F1(ω) e F2(ω) funcoescuja a transformada inversa e dada, respectivamente por f1(t) e f2(t), uma funcao F (ω) =F1(ω) · F2(ω), possui uma transformada inversa dada por:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F1(ω)F2(ω) exp(jωt)dω

=

∫ ∞

−∞f2(τ)

[1

2π

∫ ∞

−∞F1(ω) exp(jω(t − τ))dω

]dτ

=

∫ ∞

−∞f1(t − τ)f2(τ)dτ

(1.22)

Um outro resultado importante e um teorema similar ao da convolucao, onde a respostano tempo e o produto de duas funcoes, neste caso a resposta em frequencia sera do tipo

F (ω) =1

2π

∫ ∞

−∞F1(α)F2(ω − α)dα (1.23)

1.6 Comentarios

A formulacao analıtica embora muito poderosa so e aplicavel a sistemas mais sim-ples, onde expressoes fechadas podem ser obtidas para o fator de propagacao e para aimpedancia (admitancia) caracterıstica. Mesmo no caso mais simples a utilizacao da res-postas analıticas pode nao ser trivial, por exemplo, considere o sistema mais simples para

8

estudos de transitorios, uma linha de transmissao sem perdas, considere tambem que estalinha possua parametros unitarios invariantes com a frequencia e tais que a impedanciaserie e a admitancia em derivacao sejam respectivamente:

Z = s

Y = s(1.24)

Neste caso a resposta ao degrau e simplesmente

V0 =1

cosh s=

2 exp(−s)

s

1

1 − exp(−2s)

A primeira parcela, F1(s) = 2 exp(−s)/s possui uma transformada inversa conhecida,sendo dada por

2u(t − 1)

onde u(.) e o degrau unitario. Desta forma podemos escrever

F (s) = F1(s)(1 + exp(−sT ) + exp(−2sT ) + · · · ) (1.25)

Desta forma e possıvel obter a resposta analıtica da linha de transmissao.

1.7 Metodos Baseados em Circuitos Concentrados

Uma outra abordagem para o estudo de transitorios consiste na elaboracao de diversoscircuitos a parametros concentrados utilizados possıvel representacao onde

Exemplo 4 pp.46 do Zanetta

Curto circuito em um LT, o curto esta em regime permanente e deseja-se calcular atensao nos terminais de abertura do disjuntor. Os dados sao R = 2Ω, L=0,015, C=0,2pF.Calcular a expressao da corrente para o sistema em curto, obter o valor de i e considerarque naquele instante ocorrera a abertura do disjuntor.

9

CAPITULO 2

Transitorios em Circuitos Elementares

Em qualquer circuito eletrico representando por parametros concentrados, ou seja, in-dutancias, capacitancias e resistencia, a energia pode ser armazenada em campos eletricosestacionarios devido a presenca de capacitancias e na energia cinetica nos campos magneticosproduzidos pela correntes nos indutores e dissipada como calor nas resistencias. Se fossemantida inalterada, toda a energia eletrica seria irradiada ou transformada em calor.Todavia, a inclusA£o de modelagem da radiacao normalmente demanda uma abordagemmais detalhada onde os elementos nao podem ser representados por parametros concentra-dos. O maior interesse com relacao as perdas por radiacao ocorre em estudos envolvendofrequencias bem elevadas, acima de 1 MHz, uma vez que para frequencias menores estasperdas tendem a ser desprezıveis. A inclusao de elementos representados por parametrosdistribuıdos sera apresentada em capıtulos posteriores. Ja a modelagem de comporta-mentos associados a radiacao esta fora do presente escopo deste trabalho.

Uma vez que estamos analisando os circuitos no domınio da frequencia vamos nos aterno presente capıtulo a resolucao de circuitos lineares com ou sem acoplamento indutivoou capacitivo.

2.1 Circuito sem acoplamento

A analise de transitorios eletromagneticos consiste, na maioria dos casos, na resolucaode circuitos lineares ou nao cuja excitacao e representada por uma forma de onda es-pecıfica. A energia eletrica num capacitor (WE) pode ser definida a partir das tensao Ventre seus terminais e o valor do mesmo, conforme mostrado abaixo.

WE =1

2CV

2

Similarmente, a energia magnetica WM num indutor L pode ser definida pelas corrente Ique passa no mesmo.

WM =1

2LI

2

Quando o circuito e resolvido em funcao dos elementos armazenadores de energia recebe,normalmente, o nome de formulacao por espaco de estados. Este tipo de resolucao pass

10

por resolver um circuito representado no caso geral por, no cas de circuitos lineares einvariantes no tempo

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx + Du(t)(2.1)

ode A e a matriz de estado do circuito, B e a “matriz de entrada”, C a “matriz de saıda”e D pode ser entendida como uma matriz de realimentacao do circuito. Na maioria doscasos D e uma matriz nula. Na maioria dos casos envolvendo circuitos eletricos a matriz Ae diagonal e possui elementos que sao os autovalores do circuito analisado. Os autovaloresde um circuito definem os modos naturais de oscilacao do mesmo e podem ser agrupadosem tres grandes grupos, a saber:

• Autovalores complexos e distintos, neste caso o circuito apresenta um comporta-mento oscilatorio a uma entrada como um degrau de tensao (conhecido tambemcomo sistemas sub-amortecidos);

• Autovalores complexos havendo multiplicidade entre os mesmos, dependendo danatureza do circuito pode haver o cancelamento de algumas das oscilacoes (conhecidotambem como sistema com amortecimento crıtico);

• Autovalores reais, neste caso nao ha oscilamento e o sistema e superamortecido,ocorre apenas nos casos onde o circuito visto de seus terminais pode ser representadopor um RC ou RL.

vD

i1 i2i3

iCvF

RC

LCCF

RFiA vB

v1 v2

LE

REv3

iE

RBLARA

RD

CB

Figura 2.1: Circuito elementar a parametros concentrados

A tıtulo de ilustracao consideremos o circuito apresentado na Fig. 2.1. Neste circuito,ha seis elementos com acumulacao de energia, tres onde ha acumulo de energia eletrica, ascapacitancias CB, CD, CF e tres onde ha acumulo de energia magnetica, as indutancias LA,LC , LE . As injecoes de correntes podem ser definidas a partir as correntes nos indutorese das tensoes nos capacitores como mostrada na eq.(2.2).

i1 = iA + ic +1

RF(v1 − vf)

i2 =1

RD(v2 − VD) − iA +

1

RB(v2 − v3 − vB)

i3 = iE +1

RB(v3 − v2 + vB)

(2.2)

11

e as relacoes entre as derivadas e mostrada a seguir

dvB

dt=

1

RBCB(v2 − v3 − VB)

dvF

dt=

1

RF CF(v1 − vF )

dvD

dt=

1

RDCD(v2 − vD)

diAdt

=1

LA(v1 − v2) −

RA

LAiA

diCdt

=1

Lcv1 −

RC

LCic

diEdt

=1

LEv3 −

RE

LEiE

(2.3)

Se considerarmos um vetor x dado por

xT = [vB vC vD iA iC iE ]

Podemos escrever o sistema diretamente no espaco de estados. Aplicando a transformadade Laplace para o equacionamento em questao (vide eq.(2.1)) temos

sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s)

(sI − A)X(s) = x(0) + BU(s)

X(s) = (sI − A)−1(x(0) + BU(s)

(2.4)

Aplicando a transformacao inversa na ultima equacao em (2.4) temos

x(t) = exp(At)x(0) +

t∫

0

exp(A(t − τ))Bu(τ)dτ (2.5)

O primeiro termo em (2.5) representa a resposta do circuito simplesmente as condicoesiniciais, ja o segundo termo indica a resposta a entrada nao nula (i.e. resposta ao degrau,impulso,....). A matriz exp(At) e tambem conhecida como matriz de transicao de estados.A matriz exponencial possui uma participacao importante na representacao de linhas detransmissao como veremos em capıtulo posterior.

Uma outra solucao para o calculo de transitorios eletromagneticos e a solucao diretado circuito utilizando a formulacao nodal. Neste caso, as fontes de excitacao sao semprerepresentadas por equivalentes de Norton, desta forma obtem-se um circuito da forma

I = Y V (2.6)

onde Y e a matriz de admitancia nodal e V e o vetor de tensao nos nos. A solucao se dapela inversao de Y .

2.2 Circuitos com acoplamento indutivo

12

L2L1

MR1 R2

C2C1

Figura 2.2: Circuito com um transformador e com capacitancias entre terminais

13

CAPITULO 3

Calculo de Parametros de Linhas deTransmissao e Cabos Subterraneos

Para a representacao correta das linhas de transmissao e necessario o calculo do efeitoda variacao da frequencia nos seus parametros unitarios, a saber a impedancia longitu-dinal e a admitancia transversal. Em todas as secoes e subsecoes deste capıtulo quandose mencionar impedancia estara implıcito que se trata de impedancia por unidade decomprimento.

3.1 Impedancia Interna de Condutores

No caso dos condutores de linhas de transmissao os condutores de fase possuem almade aco enquanto que os cabos para-raios sao condutores solidos de ligas de aco. Paracondutores cilindrıcos, a impedancia interna e dada pela sequinte expressao:

zi =ηρ

2πr1

I0(ηr1)K1(ηr0) + K0(ηr1)I1(ηr0)

I1(ηr1)K1(ηr0) − I1(ηr0)K1(ηr1)(3.1)

onde ρ = 1/σ e a resistividade do condutor, η =√

jωµσ, µ e a permeabilidade docondutor, r1 e o raio externo do condutor cilındrico, e r0 e o raio interno do condutor. Nocaso de condutor solido, o raio interno r0 = 0, a impedancia interna e dada por:

zi =ηρ

2πr1

I0(ηr1)

I1(ηr1)(3.2)

Para o caso do condutor solido o erro relativo desta aproximacao atinge um valor maximode 4% para a resistencia, quando ηr = 5, e 5% para a reatancia, quando ηr = 3, 5. Os errosdecaiem para frequencias acima destes limites, sendo praticamente constantes para baixasfrequencias, como mostra a fig. 3.1. Wedepohl & Wilcox (1973) desenvolveram formulasaproximadas utilizadas expressoes hiperbolicas ao inves da utilizacao das expressoes queenvolvem funcoes de Bessel. Para o caso de condutores com alma de aco a expressaoaproximada e dada pela eq.(3.3) e para condutores cilindricos solidos, r0 = 0 pela eq.(3.4).

zi =ηρ

2πr1coth(η(r1 − r0)) +

ρ

2π(r1 + r0)r1(3.3)

14

0.1 10 1000 100000.Freqüência#Hz$

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Erro#pu$

Re

Im

Figura 3.1: Erro da aproximacao proposta por Wedepohl para condutores solidos.

zi =ηρ

2πr1coth(0.777ηr1) +

0.356ρ

2πr21

(3.4)

A matriz de impedancia e diagonal para linhas de transmissao exceto quando o efeitode proximidade e considerado. Este fenomeno e ocorre nos feixes dos condutores de fasee normalmente pode ser desconsiderado, uma vez que a distancia entre os condutores defase, que e da ordem de cm, e pelo menos uma ordem de grandeza menor que a distanciaentre condutores de fases distintas.

3.2 Impedancia Externa & Impedancia de Retornopelo Solo

A impedancia de retorno pelo solo em linhas aereas foi elaborada por Carson no inıciodo seculo passado atraves de uma integral infinita. Os elementos proprios da matriz Ze

sao dados pela equacao (3.5) e os mutuos, pela equacao (3.6),

zextii = jωµ0

2πln

2hi

r+

ωµ

πJs (3.5)

zextij = jωµ0

2πln

D′ij

Dij+ j

ωµ

πJm (3.6)

onde hi e a distancia vertical entre o condutor i e o solo, D′ij e a distancia entre o condutor

i e a imagem do condutor j, Dij e a distancia entre o condutor i e o condutor j, Js e Jm

sao dados respectivamente pelas equacoes (3.7) e (3.8).

15

Js =

∫ ∞

0

exp(−2hiλ)

λ +√

λ2 + η2dλ (3.7)

Jm =

∫ ∞

0

exp(−(hi + hk)λ)

λ +√

λ2 + η2cos dijλ dλ (3.8)

Deri, Tevan, Semlyen & Castanheira (1981) apresentaram um justificativa cientıficapara a proposta de Dubanton de representar o solo atraves do metodo das imagens edeslocado uma distancia complexa p =

√ρsolo/(jωµ). De acordo com os autores, os

elementos da matriz Ze sao dados pelas formulas (3.10) e (3.9),

z′extii = jωµ0

2πln

2(hi + p)

r(3.9)

z′extij = jωµ0

2πln

(√x2

ij + (hi + hj + 2p)2

x2ij + (hi − hj)2

)(3.10)

onde xij e a distancia horizontal entre o condutor i e o condutor j. Uma outra aproximacaopara a representacao do solo foi elaborada por Noda (2006), que introduz o conceitode duplo plano complexo. As equacoes (3.11) e (3.12) apontam, respectivamente, asexpressoes dos elementos proprios e mutuos da matriz Ze.

z′′extii = jωµ0

2π

B′ ln

2(hi + βp)

r+ A′ ln

2(hi + αp)

r

(3.11)

z′′extij = jωµ0

2π

A′ ln

(√(hi + hj + 2αp)2 + x2

ij

(hi − hj)2 + x2ij

)

+B′ ln

(√(hi + hj + 2βp)2 + x2

ij

(hi − hj)2 + x2ij

) (3.12)

onde B′ = 1 − A′, β = 1, 12385, A′ = 0, 131836 e α = 0, 26244. Para os casos tıpicos delinhas de tranmissao, onde a distancia entre os condutores e menor que a distancia entrecondutor e imagem, os erros desta aproximacao sao da ordem de 1% para resistencia ereatancia em faixas de frequencias abaixo de 1MHz.

3.3 Admitancia em Derivacao

Diferente da impedancia serie, a capacitancia de uma linha de transmissao pode sercalculada diretamente dos coeficientes de potencial de Maxwell. Seja os elementos de umamatriz P , Pij dados por:

Pij = lnDij

dij

onde Dij e a distancia entre o condutor i e a imagem do condutor j, dij e a distancia entreos condutores i e j. A matriz de admitancia em derivacao e dada entao pela eq.(3.13).

Y = j2πϵ0ωP−1 (3.13)

16

3.4 Montagem das Matrizes

No caso da matriz de impedancia caso os para-raios sejam considerados com tensaozero e possıvel realizar a reducao de Kron para a eliminacao dos cabos para-raios. Pro-cesso similar e possıvel para a reducao do feixe. Nos primeiros estudos nestes casos eraconsiderado o raio geometrico do feixe. Contudo este metodo nao pode ser aplcado emconfiguracoes como a de feixe expandido, onde a distancia entre condutores de mesmafase pode chegar a cerca de 1m.

Para a admitancia em derivacao, o processo e semelhante, todavia ha ainda uma certaconfusao com respeito ao calculo da matriz reduzida da admitancia. Uma vez que soestamos interessados na capacitancia dos condutores de fase, pode parecer que a reducaodos cabos para-raios seja mais simples na matriz de capacitancias do que no caso dasimpedancias, contudo, isto e um erro. Para o calculo da matriz de capacitancias pode serutilizado a inversao e depois a extracao dos elementos de fase, como a reducao de Kron ea inversao da matriz reduzida, em ambos os casos o numero de operacoes necessarias e omesmo.

d

dx

[Vabc

Vpr

]= −

[Zc Zcg

Zgc Zg

] [Iabc

Ig

](3.14)

Se Vpr = 0 entao e possıvel reescrever eq.(3.14)

dVabc

dx= −ZIabc

Z = Zc − ZcgZ−1g Zgc

(3.15)

3.5 Calculo de Parametros de Cabos Eletricos Sub-terraneos

No calculo de parametros de um cabo eletrico coaxial, tambem conhecido como cabo“Single-core” e necessario formular as matrizes de impedancia e admitancia por unidadede comprimento a partir das leis de Kirchoff das malhas e dos nos. Para ilustrar esteprocedimento apresentamos em detalhe o calculo da matriz de impedancia e admitanciapor unidade de comprimento para um cabo enterrado contendo blindagem e armadura.Nestes calculos o solo e admitindo como sendo um bom condutor, i.e. σs >> ωϵs, onde σs

e a condutividade e ϵs e a permitividade do solo. O caso geral de n cabos enterrados nosolo, incluindo o caso onde deve ser considerado o efeito de proximidade entre condutoresproximos e tratado nos exercıcios.

3.5.1 Formulacao da matriz de impedancia

Para o calculo das impedancias de um cabo enterrado considere a Fig. 3.2 onde emostrado, de forma esquematica, a secao lateral da parte inferior de um cabo subterraneo,contendo condutor, isolante, blindagem e armadura. De acordo com a figura, fazemostambem as seguintes hipoteses com relacao as correntes circulantes:

• I2 = −Ic , I3 = −I4 e I5 = −IS , onde IS e a corrente circulante no solo, e Ic acorrente no condutor central;

• Ib = I2 + I3 = −(Ic + I4) , Ia = I4 + I5 = I4 − Is;

17

• I4 = −(Ic + Ib)

desta forma, a corrente circulante no solo pode ser expressa em funcao das correntes queadentram os outros condutores conforme mostra (3.16), e de acordo com a referencia desinal da Fig. 3.2

IS = −(Ic + Ib + Ia) (3.16)

dx

34V34

V12 + dV12

+ dV23

+ dV34

I5

I4

I3

I2

Zisol3

11Z

Zbi

Z

Z

Zai

Zae

be

am

Zisol1

Zisol2

Zbm

Ic

Ia

Ib

Is

V12

V23V23

V

Figura 3.2: Formulacao da matriz de impedancias de um cabo subterraneo

Aplicando-se a lei das tensoes de Kirchoff podemos escrever a seguinte equacao para aqueda de tensao entre condutor central e blindagem, V12 (obedecendo a notacao utilizadana Fig. 3.2):

V12 = Z11Icdx − Zisol1I2dx − ZbiI2dx − ZbmI3dx + V12 + dV12 (3.17)

Rearranjando os termos da equacao acima e lembrando que I2 = −Ic, podemos escrevera equacao da tensao no trecho dx para a tensao V12. Caso o processo seja repetido paraas outras tensoes V23 e V34 podemos escrever:

18

−dV12

dx= (Z11 + Zisol1 + Zbi)Ic + ZbmI3

−dV23

dx= (Zbe + Zisol2 + Zai)I4 + ZbmIc − ZamIS

−dV34

dx= (Zae + Zisol3 + Zbi)Ic + ZbmI3

(3.18)

Considerando-se o solo como referencia, podemos escrever que a tensao na armadura Va,a tensao na blindagem Vb, e a tensao no condutor central Vc sao dadas respectivamentepor:

Va = −V34

Vb = −(V23 + V34) = Va − V23

Vc = V12 + Vb

(3.19)

pode-se rescrever as equacoes das tensoes como:

−dVa

dx=(Zae − Zam + Zisol3 + Z0)(Ic + Ib) + (Zae + Zisol3 + Z0)Ia

−dVb

dx=(Zbe − Zbm + Zisol2 + Zai + Zae − 2Zam + Zisol3 + Z0)Ic+

(Zbe + Zisol2 + Zai + Zae − 2Zam + Zisol3 + Z0)Ib+

(Zae − Zam + Zisol3 + Z0)Ia

−dVc

dx=(Z11 + Zisol1 + Zbi + Zbe − 2Zbm + Zisol2 + Zai + Zae − 2Zam + Zisol3)Ic+

(Zbe − Zbm + Zisol2 + Zai + Zae − 2Zam + Zisol3 + Zb)Ib+

(Zae − Zam + Zisol3 + Z0)Ia

(3.20)

ou utilizando notacao matricial

dV

dx= −ZI (3.21)

onde V e o vetor coluna com as tensoes na armadura, na blindagem e no condutor centralrespectivamente, I e o vetor de corrente e Z e a matriz de impedancia por unidade decomprimento.

3.5.2 Formulacao da matriz de admitancia

Considerando o circuito equivalente para um comprimento ∆x conforme mostrado naFig. 3.3 e possivel escrever o conjunto de equacoes

Ic = ycb(Vc − Vs)dx + Ic + dIc

Ib = ycb(Vs − Vc)dx + yba(Vs − Va)dx + Ib + dIb

Ia = yba(Va − Vs)dx + ya(Va)dx + Ia + dIa

(3.22)

19

a

dx

bI +dI

aI +dI

sI +dI

b

a

s

ycb

yba

y

I +dIccc

Ia

Ib

Is

Va

I

Vc

Vb

Figura 3.3: Formulacao da matriz de adimitancia de um cabo subterraneo

Rearranjando-se os termos de (3.22), podemos escrever

−dIc

dx= ycbVc − ycbVb

−dIb

dx= −ycbVc + (ycb + yba)Vb − ysaVa

−dIa

dx= −ybaVs + (yba + ya)Va

(3.23)

ou utilizando notacao matricial

dI

dx= −YV (3.24)

onde V e o vetor coluna com as tensoes na armadura, na blindagem e no condutor centralrespectivamente, I e o vetor de corrente e Y e a matriz de admitancia por unidade decomprimento dada pela (3.25).

Y =

⎡

⎣ycb −ycb 0−ycb ycb + yba −yba

0 −yba yba + ya

⎤

⎦ (3.25)

A matriz de coeficientes de potencial e obtida a partir da inversao da matriz Y apresentada

20

acima, e possui a seguinte formulacao

P = Y−1 =

⎡

⎣Pc + Pb + Pa Pb + Pa Pa

Pb + Pa Pb + Pa Pa

Pa Pa Pa

⎤

⎦ (3.26)

sendo Pc o coeficiente de potencial devido ao meio isolante entre o condutor central e ablindagem, Pb o coeficiente de potencial devido ao meio isolante entre a parte externada blindagem e a armadura e Pa o coeficiente de potencial devido a armadura e o meioexterno.

3.6 Impedancia de retorno pelo solo– Cabos enterra-dos

Para o calculo da impedancia de retorno pelo solo de cabos isolados enterrados, porunidade de comprimento, admite-se que a validade das equacoes de Maxwell e meioshomogeneos, isotropicos e lineares. A princıpio considera-se um condutor filamenentarlocalizado nas coordenadas (xf , yf), confome mostrado na Fig. 3.4. O eixo t e um eixonegativo ao eixo y de forma que yf = −tf . As constantes dos meios sao as seguintes:

• Ar: µ = µ0, σ = 0 e ϵ = ϵ0;

• Solo: µ = µs, σ = σs e ϵ = ϵs;

onde µ0 e a permeabilidade magnetica do vacuo e ϵ0 e a permitividade do vacuo. Ocondutor filamentar e infinito, sendo o eixo do condutor paralelo ao solo. Na ha cargasvolumetricas dentro do condutor, elas se concentram na superfıcie do mesmo e do solo.

ar

f) , yf

f(x f) , t

y

x

t

solo(x

Figura 3.4: Condutor filamentar enterrado

Para o calculo dos campos considera-se que uma corrente I percorre o condutor isoladoe retorna pelo solo. Admite-se que o condutor tem condutividade infinit de forma que

∫ ∫Jdxdy = I (3.27)

21

logoJ = Iδ(x − xc)δ(y − yc)

onde xc e yc sao as coordenadas do condutor. Desta forma podemos expressar as equacoesde Maxwell no domınio da frequencia por

∇×H = (σ + jωϵ)E + Iδ(x − xc)δ(y − yc)

∇×E = −jωµH(3.28)

Resolvendo o conjunto de equacoes em (3.29) em funcao do campo eletrico e aplicandoa seguinte identidade vetorial

∇× ∇× F = ∇ ∇· F −∇2F

e sabendo que J = σE obtemos

−∇2E = −(jωµσE + ωϵE) (3.29)

uma vez que a densidade de corrente e unidirecional. O calculo da impedancia de retornopelo solo passa a ser a solucao de variante da equacao de Poisson bi-dimensional. Deforma compacta podemos dizer que o problema se restringe a resolver

∇2E =1

p2E (3.30)

onde

p2 =1

κ2=

1

jωµ(σ + jωϵ)

O parametro p pode ser entendido como a profundiade de penetracao complexa e κ nadamais que a constante de propagacao do solo. Sendo Ea o campo eletrico no ar, funcao dascoordenadas x e y, e Es o campo eletrio no solo, tambem funcao das coordenadas x e y,podemos dividir o problema em dois sistemas de equacoes

∇2Ea = 0 y ≥ 0 (3.31)

∇2Es = η2sEs + jωIδ(x− xf )δ(t − tf) t ≥ 0 (3.32)

onde

ηs =1

ps=√

jωµ(σs + jωϵs)

e I e a magnitude do filamento de corrente, e δ e a funcao impulso de Dirac associada aofilamento. As condicoes de fronteira sao as seguintes:

Ea = Es = E0 y = t = 0 (3.33)

1

µ0

∂Ea

∂y=

1

µs

∂Es

∂y= − 1

µs

∂Es

∂ty = t = 0 (3.34)

A terceira condicao de fronteira e que os campos sejam zero, e.g. Ea = Es = 0 parax → ∞ e y → ∞.

Para a resolucao de (3.32) aplica-se a tecnica uma transformada bi-dimensional deFourier as coordenadas xy e xt. Para o eixo x, temos

F (ξ) =

∫ ∞

∞f(x) exp(−jξx)dx (3.35)

22

Para o eixo y e para o eixo t a transformada seno e aplicada

Fs(λ) =

∫ ∞

0

f(y) sin(λy)dy

f(y) =2

π

∞∫

0

Fs(λ) sin(yλ)dλ(3.36)

No ar, utilizamos as coordenadas x e y

Ea =

∫ ∞

−∞Ea exp(−jξx)dx

Ea =

∫ ∞

0

Ea sin(λy)dy

(3.37)

Das propriedades da transformada de Fourier, pode-se mostar que para o eixo x

∞∫

−∞

∂2Ea

∂x2exp(−jξx)dx = −ξ2

∞∫

−∞

Ea exp(−jξx)dx = −ξ2Ea

∞∫

−∞

∂2Ea

∂y2exp(−jξx)dx =

∂2Ea

∂y

(3.38)

Aplicando-se (3.38) a (3.34) leva a

−ξ2Ea +∂2Ea

∂y2= 0 (3.39)

Aplicando-se a transformada seno de Fourier a y leva a

∞∫

0

−ξ2Ea sin(λy)dy = −ξ2Ea

∞∫

0

∂2Ea

∂y2sin(λy)dy = λE0 − λ2Ea

(3.40)

Desta forma podemos reescrever (3.39) como

Ea =λ

ξ2 + λ2E0 (3.41)

E necessario agora derivar as expressoes das transformadas para o solo onde x e t saousados como coordenadas

Eg =

∫ ∞

−∞Eg exp(−jξx)dx

Eg =

∫ ∞

0

Eg sin(λt)dt

(3.42)

23

Por um processo similar ao apresentado no caso do ar, nos chegamos as seguintes ex-pressoes

−ξ2Es +∂2Es

∂y2= η2

gEs + jωµgI exp(−jξx)δ(t − tf)

(ξ2 + η2 + λ2)Es = λE0 − jωµgI exp(−jξxf) sin(λtf)

(3.43)

Usando θ2 = ξ2 + η2g , podemos reescrever (3.43) como

Es =λ

θ2 + λ2E0 − jωµgI exp(−jξx)

sin(λtf )

θ2 + λ2(3.44)

Aplicando-se a inversa da transformada seno de Fourier a (3.41) e a (3.44) leva a

Ea =2

πE0

∫ ∞

0

λ sin(yλ)

ξ2 + λ2dλ

Es =2

πE0

∫ ∞

0

λ sin(tλ)

θ2 + λ2dλ − 2

jωµs

πI exp(−jξxf )

∫ ∞

0

sin(tfλ) sin(tλ)

θ2 + λ2dλ

(3.45)

De acordo com (Gradshteyn & Ryzhisk 2000) para y > 0

∫ ∞

0

λ sin(yλ)

ξ2 + λ2dλ =

π

2exp(|ξ|y) (3.46)

e para t > 0∫ ∞

0

sin(tfλ) sin(tλ)

θ2 + λ2dλ =

π

4|θ|(exp(−|t − tf ||θ|) − exp(−|t + tf ||θ|)) (3.47)

Logo

Ea = E0 exp(−|ξ|y)

Es = E0 exp(−|θ|t) − jωµsI exp(−jξxf )

2|θ|(exp(−|t − tf ||θ|) − exp(−|t + tf ||θ|))

(3.48)

Utilizando as condicoes de fronteira E0, vide (3.34), pode ser resolvido atraves de

∂Ea

∂y

∣∣∣∣y=0

= − |ξ|E0 exp(−|ξ|y)∣∣y=0

= −|ξ|E0

∂Es

∂t

∣∣∣∣t=0

= −|θ|E0 exp(−|θ|t) |t=0

− jωµsI exp(−jξxf)

2|θ|(|θ| exp(−|t − tf ||θ|) + |θ| exp(−|t + tf ||θ|)) |t=0 =

= −|θ|E0 − jωµsI exp(−jξxf) exp(−tf |θ|)

(3.49)

Com isto obtemos para E0

− 1

µ0|ξ|E0 = − 1

µs(−|θ|E0 − jωµsI exp(−jξxf ) exp(−tf |θ|)) (3.50)

Explicitando o parametro θ podemos escrever

24

E0 = −jωµsI exp(−jξxf ) exp

(−tf

√ξ2 + η2

g

)

µs

µ0|ξ| +

√ξ2 + η2

g

(3.51)

Uma vez que o campo E0 e conhecido, os campos no solo e no ar podem ser obtidos pelatransformacao inversa de (3.48). Desta forma temos para Ea, ja efetuando a substituicaode t por −y e tf por −yf

Ea = −jωµsI

π

∫ ∞

0

exp(−yξ + yf

√ξ2 + η2)

µrξ +√

ξ2 + η2cos(ξ(x − xf ))dξ (3.52)

onde µr e a permeabilidade magnetica relativa do solo. Ja o campo eletrico no solo e dadopor

Es = −jωµsI

π

∫ ∞

0

exp((y + yf)

√ξ2 + η2

)

µrξ +√

ξ2 + η2cos(ξ(x − xf ))dξ

− jωµsI

2π

∫ ∞

−∞

e(−|−y+yf |

√ξ2+η2

)

− e(−|−y−yf |

√ξ2+η2

)

2√

ξ2 + η2exp(j(x − xf ))dξ

(3.53)

A impedancia de retorno por unidade de comprimento propria, Zi e dada por

Zi = −Es

I

A impedancia mutua, Zij, pode ser obtida por um processo similar onde se consideramdois condutores, um conduzindo uma corrente I e o outro em vazio. Neste caso, Zij edada pela queda de tensao no condutor em vazio devido a passagem da corrente.

3.7 Impedancia de retorno pelo solo– Linhas aereas

No caso da obtencao da impedancia, por unidade de comprimento, de retorno pelo solode linhas aeras sao adotadas as mesmas hipoteses do item anterior. Com isto as equacoesde Maxwell acima do solo sao dadas por

∇×H = Iδ(x − xc)δ(y − yc)

∇×E = −jωµ0H(3.54)

onde a densidade de corrente J e dada por

J = Iδ(x)δ(y − yc)

e o condutor possui coordenadas x = 0 e y = yc. Similar ao caso do condutor enterradotemos

∇× ∇× E = −jωµ0Iδ(x)δ(y − yc)

Admitindo-se que o divergente do campo eletrico no ar e nulo, ou seja

∇× ∇× E = ∇(∇·E) −∇2E = −∇2E

25

Isto tambem implica em que o campo eletrico possua apenas componente na direcao depropagacao z,

E = zEz

sendo z um vetor unitario na direcao z. Logo a equacao do campo no ar e

∂2Ez

∂x2+

∂2Ez

∂y2= jωµ0Iδ(x)δ(y − yc) (3.55)

No caso dos campos que se propagam abaixo do solo temos

∇×H = (σ + jωϵ)E

∇×E = −jωµ0H(3.56)

Aplicando-se o mesmo procedimento para os campos acima do solo obtemos

∂2Ez

∂x2+

∂2Ez

∂y2= jωµ0(σ + jωϵ)Ez (3.57)

A solucao do campo Ez pode ser obtida atraves do mesmo procedimento que no casodos cabos enterrados, atraves da aplicacao da transformada de Fourier bidimensionais. Aimpedancia propria de retorno pelo solo por unidade de comprimento e dada pelo campoEz/Ii onde Ii e a corrente que percorre o condutor i. A impedancia mutua, por unidadede comprimento, zij e calculada pela queda de tensao em j causada pela corrente quepercorre i. A expressao completa e

zij =jωµ0

2π

⎛

⎝ln

(Dij

dij

)+ 2

∞∫

0

exp(−ℓλ) cos(xλ)

λ +√

λ2 + η2dλ

⎞

⎠ (3.58)

sendo ℓ = hi + hj a soma das alturas do condutor i e do condutor j, Dij a distanciaentre o condutor i e a imagem do condutor j, dij a distancia entre o condutores i e j, xa distancia horizontal entre eles, e finalmente

η =√

jωµ0(σ + jωϵ)

e o fator de propagacao do solo.

26

CAPITULO 4

Modelagem de Linhas Multifasicas

Neste capıtulo apresentamos a modelagem de linhas de transmissao multifasicas nodomınio da frequencia. Consideramos aqui que um sistema de transmissao sera de ordemn onde n e o numero de condutores nos quais se deseja obter as tensoes e correntesterminais. Portanto, a presenca de cabos para-raios ou blindagens aterradas implica nareducao da matrizes de impedancia e admitancia por unidade de comprimento antes doinıcio do processo de solucao propriamente dita. Para o calculo dos parametros unitariosda linha de transmissao supoe-se que os condutores sejam paralelos ao solo com alturaconstante. O solo e suposto homogeneo e uniforme.

4.1 Solucao da Equacao de Onda

A equacao de onda que descreve um sistema de transmissao, seja ele aereo ou sub-terraneo e dada por

dV

dx= −ZI

dI

dx= −Y V

(4.1)

A solucao em termos da tensao e da corrente pode ser obtida atraves da substituicaodireta

d2V

dx2= −Z

dI

dx= ZY V

d2I

dx2= −Y

dV

dx= Y ZI

(4.2)

A estrutura da equacao acima nada mais e que a equacao de onda de um sistema comn condutores e onde as matrizes Z e Y sao de ordem n × n. Seja a matriz P = ZI, euma matriz complexa e cheia, portanto seria interessante, a prıncipio, lidar com um formade representacao onde a linha fosse representada por n linhas monofasicas equivalentes.Em outras palavras, seria interessante encontrar uma forma de representar o sistemadesacoplado, pois desta forma a solucao de um sistema de ordem n nada mais seria que a

27

solucao de n sistemas independentes. Consideremos uma transformacao matricial do tipo

V = TV Vm

I = TIIm(4.3)

onde TV e TI sao matrizes cheia, complexas de posto n, e nao dependem do comprimentodo circuito (x), a relacao entre essas sera definida a posteriori, Vm e Im sao chamados detensoes e correntes modais respectivamente. Aplicando-se a proposicao em (4.3) a (4.2)temos para a equacao da tensao

d2(TV Vm)

dx2= PTV Vm

d2Vm

dx2= T−1

V PTV Vm

(4.4)

e para as correntes

d2(TIIm)

dx2= P TTIIm

d2Im

dx2= T−1

I P TTIIm

(4.5)

A matriz TV e a matriz de autovetores da tensao e TI e a matriz de autovetores dacorrente e exceto em casos bem simples sao matrizes distintas. A relacao entre as matrizesde transformacao e relativamente simples, transpondo a matriz P T a partir da equacaode corrente temos

P = (T TI )−1 Λ T T

I

logo comparando este resultado com P = Tv Λ T−1v , temos

TI = (T TV )−1

Logo para que o sistema seja desacoplado e necessario apenas que

T−1I P TTI = T−1

V PTV = Λ

onde Λ e uma matriz diagonal com elementos λii nao nulos. Tal procedimento nada mais eque a representacao da matriz produto P pela decomposicao em autovalores e autovetores.

Comparando a equacoes da propagacao das tensoes e das correntes modais vemosque conseguimos representar de forma desacoplada um sistema de n-fases em n sistemasmonofasicos. Temos ainda que no casoa de linhas monofasicas

d2v

dx2= γ2v

d2i

dx2= γ2i

(4.6)

onde v e i sao, respectivamente, as tensoes e correntes na linha monofasica e γ e conhecidocomo fator de propagacao, pois a solucao de (4.6) implica na propagacao de ondas detensao associadas a um fator exp(−γx) e exp(γx), sendo x a distancia que a onda se

28

deslocou (positiva para onda progressiva e negativa para onda regressiva). Por simplescomparacao com o caso modal podemos ver que

γi =√

λii

onde γi e o fator de propagacao do modo i, ou fator de propagacao modal, e onde

γi =

√Zmi

Ymi

(4.7)

sendo Zmi e Ymi a impedancia por unidade de comprimento e a admitancia por unidadede comprimento do modo i. O fator de propagacao modal pode ser obtido diretamente dadecomposicao em autovetores de autovalores do matriz produto P , sem que seja necessarioobter as impedancias e admitancias nodais por unidade de comprimento. Vale lembrarque os autovalores da matriz P sao os mesmos da matriz P T , mas nao necessariamenteos autovetores.

A propagacao dos modos de tensao ao longo da linha de transmissao (ponto genericox) e dada por

VM(x) = exp(−γx)VfM + exp(γx)VbM (4.8)

onde VfM e VbM sao constantes arbitrarias representando a amplitude das ondas incidentese refletidas no domınio modal. Para x = 0 temos

VM(0) = VfM + VbM

Como V (0) = TV VM(0), logo V (0) = TV (VfM + VbM ) ou simplesmente

V (0) = Vf + Vb

onde Vf e Vb representam respectivamente as amplitudes de uma onda de tensao propa-gando no sentido positivo –onda progressiva (“forward”) e uma onda em sentido contrario–onda regressiva (“backward”). Em coordenadas de fases, temos que V (x) = TV VM(x),logo

V (x) = TV exp(−γx)T−1V TvVfM + TV exp(γx)T−1

V TvVbM

= exp(−Γx)Vf + exp(Γx)Vb(4.9)

onde exp(−Γx) = TV exp(−γx)T−1V . Enquanto as matrizes exp(±γx) sao matrizes diago-

nais, exp(±Γx) sao matrizes quadradas que definem a deformacao da onda de tensao epode-se notar que

Γ2 = TV γ2T−1V = P

A corrente num determinado ponto x da linha de transmissao e dada pela expressaoabaixo, (V (x) e definida por (4.9))

I(x) = −Z−1 dV (x)

dx= −Z

(d

dxexp(−Γx)Vf +

d

dxexp(−Γx)Vf

)(4.10)

logo

I(x) = Z−1Γ exp(−Γx)Vf − Z−1Γ exp(Γx)Vb (4.11)

29

A matriz Z−1Γ tem unidade de admitancia e por analogia com o caso monofasico econhecida como admitancia caracterıstica, Yc, e independe do comprimento do circuito.Outras expressoes equivalentes para Yc podem ser obtidas atraves da manipulacao diretada equacao da corrente

d2I

dx2= P TI

que resolvendo para um ponto generico x que e

I(x) = exp(−Γx)T If + exp(Γx)T Ib (4.12)

e igualando as condicoes de contorno e as relacoes entre as tensoes e correntes pode-mos ver que tambem e possıvel expressar a admitancia caracterıstica Yc e a impedanciacaracterıstica Zc = Y −1

c como

Yc = ΓT Z−1 = Γ−1Y = Y (ΓT )−1

Zc = Y −1Γ = ΓT Y −1 = Γ−1Z = Z(ΓT )−1(4.13)

Ao decompor uma determinada linha de transmissao em componentes modais (au-tovalores) vemos que cada modo se comporta como uma linha monofasica independentepossuindo um fator de propagacao especıfico, γk. Esta e uma das razoes pelas quais estetipo de abordagem recebe o nome de “Teoria dos Modos Naturais”. Como para linhas detransmissao reais, os γk sao numeros complexos, a tensao em cada condutor e atenuadapor uma combinacao linear da atenuacao de cada modo e sujeita a um atraso na fase.No caso da corrente ainda e possıvel observar que ha uma relacao unica entre tensao ecorrente para um determinado ponto da linha de transmissao, e esta relacao e dada pelamatriz de admitancia caracterıstica.

4.1.1 Impedancias e Admitancias Modais

Falta ainda verificar se ha ou nao acoplamentos entre as impedancias dos diversosmodos e como obter a impedancia e admitancia modias por unidade de comprimento.Este procedimento e relativamente simples e pode ser obtido atraves da representacao daequacao da linha de transmissao atraves da decomposicao modal

TVdVM

dx= −ZTIIM

ou simplesmente

dVM

dx= −T−1

V ZTIIM = −ZMIM

Utilizando raciocınio similar para a equacao de corrente temos

dIM

dx= −T−1

I Y TV VM = −YMVM

Notemos ainda que

ZMYM = T−1V ZY TI = Λ

YMZM = T−1I Y ZTI = Λ

A unica possibilidade onde matrizes podem comutar produzindo a mesma matriz diagonale quando as matrizes envolvidas sao diagonais. Com isto ZM e YM sao matrizes diago-nais representando respectivamente as impedancias e admitancias modais por unidade decomprimento.

30

4.2 Obtencao da Matriz de Admitancia Nodal

Excetuando os casos onde haja o interesse em se visualizar o perfil de tensao ao longodo circuito, estamos interessados apenas nas tensoes e corrente terminais. Seja uma linhade transmissao de n fases com as seguintes condicoes de contorno:

V (x = 0) = VS

V (x = l) = VR

I(x = 0) = IS

I(x = l) = IR

Aplicando-se estas condicoes de contorno as equacoes de propagacao de tensao (4.8) ecorrente (4.11) temos:

Vf =VS + ZcIS

2

Vb =VS − ZcIS

2VR = exp(−Γl)VS/2 + exp(−Γl)ZcIS/2 + exp(Γl)VS/2 − exp(Γl)ZcIS/2

VR = cosh(Γl)VS − sinh(Γl)ZcIS

IR = Yc sinh(Γl)VS − Yc cosh(Γl)ZcIS

(4.14)

onde Zc e a impedancia caracterıstica da LT e as grandezas VS, IS referem-se, respecti-vamente, as tensoes e correntes no terminal emissor, e VR, IR as grandezas no terminalreceptor. Atraves de alguma manipulacao algebrica temos:

IS = Yccoth(Γl)VS − Yccosech(Γl)VR

IR = −Y ccosech(Γl)VS + Yccoth(Γl)VR(4.15)

ou em notacao matricial[IR

IS

]=

[Yc coth(Γl) −Yc cosh(Γl)−Yc cosh(Γl) Yc coth(Γl)

] [VR

VS

](4.16)

onde

coth(Γl) = TV coth(γl) T−1V

= TV (1 − exp(−2γl))−1 (1 + exp(−2γl))−1T−1V

(4.17)

cosh(Γl) = TV cosh(γl) T−1V

= 2TV (1 − exp(−2γl))−1 exp(−γl)T−1V

(4.18)

A formulacao apresentada em (4.17) e (4.18) e necessaria pois evita os problemasassociados com o calculo da exponencial positiva que pode causar “overflow”. Alem domais este tipo de formulacao da uma enfase maior nos autovalores de menor modulo quesao os que mais contribuem para a transferencia de energia entre os terminais da linha.A utilizacao apenas da exponencial negativa tambem e consiste com a realidade fısica naqual e suposto que as ondas decaiam exponencialmente ao longo do circuito.

31

O termo exp(−γl) e uma matriz diagonal que relaciona o quanto as componentesmodais sao deformadas conforme se propagam ao longo da linha de transmissao. Emalgumas referencias este termo e denominado de fator de propagacao modal,

Am = exp(−γl) (4.19)

contudo para evitar conflitos com a teoria eletromagnetica, onde γ e denominado defator de propagacao, vamos evitar aqui esta denominacao, a matriz Am sera chamadade matriz de deformacao de tensao modal, conforme encontrada em literatura tecnicaeuropeia e japonesa.

4.3 Formulacao por Quadripolos

Uma outra possibilidade para a representacao da linha de transmissao esta na hipotesede se considerar quadripolos. Neste caso a linha e representada por uma matriz contendosubmatrices A, B, C e D relacionando as tensoes e correntes terminais na linha de trans-missao. Notemos que normalmente nesse caso, adota-se uma convencao para a correnteIl distinta do caso anterior onde a corrente positiva e aquela que entra no no. No casodos quadripolos, a corrente e considerada positiva quando entra no terminal emissor equando sai no terminal receptor. Utilizando as mesmas condicoes de contorno mas agorainvertendo o sinal de IR em (4.14) obtemos

[VS

IS

]=

[cosh(γl) sinh(γl)Y −1

c

Yc sinh(γl) cosh(γl)

] [VR

IR

](4.20)

Lembrando que para este sistema:

cosh(γl)2 − sinh(γl)Y −1c · Yc sinh(γl) = 1 (4.21)

sendo 1 a matriz de identidade. Tambem no caso do quadripolo deve-se ter o mesmocuidado de evitar as exponenciais positivas, como no caso da formulacao da admitancianodal.

De um modo geral e possıvel relacionar qualquer sistema de transmissao representadopor quadripolos a partir das submatrizes da matriz de admitancia nodal e vice-versa. Umcircuito de transmissao representado por

[VS

IS

]=

[A BC D

] [VR

IR

](4.22)

Pode tambem ser modelado atraves da formulacao nodal dada por

[IS

−IR

]=

[YSS YSR

YRS YRR

] [Vs

VR

](4.23)

32

Com isto temos as seguintes relacoes matriciais

YSS = DB−1

YRR = B−1A

YSR = C − DB−1A

YRS = −B−1

A = −Y −1RS YRR

B = −Y −1RS

C = YSR − YSSY −1RS YRR

D = −YSSY −1RS

(4.24)

A linha de transmissao e um circuito passivo logo a matriz de admitancia nodal deveser simetrica, com isso

YSS = Y TSS

YRR = Y TRR

YRS = Y TSR

(4.25)

A partir destas condicoes obtemos as seguintes restricoes

ADT − BCT = 1

AT D − CT B = 1(4.26)

E possıvel tambem formular as equacoes da linha de transmissao em termos de umamatriz de impedancia, conforme mostra a

[VS

VR

]=

[coth(Γl)Zc cosh(Γl)Zc

cosh(Γl)Zc coth(Γl)Zc

] [IS

IR

](4.27)

4.4 Casos Particulares Importantes

Um dos casos importantes da modelagem de linhas de transmissao e o caso ondeconsidera-se a transposicao ideal. Nesse caso, a matriz de impedancia por unidade decomprimento e dada por

Z =

⎡

⎣Zs Zm Zm

Zm Zs Zm

Zm Zm Zs

⎤

⎦ (4.28)

e a matriz de admitancia por unidade de comprimento e dada por

Y =

⎡

⎣Ys −Ym −Ym

−Ym Ys −Ym

−Ym −Ym Ys

⎤

⎦ (4.29)

Notemos que para este tipo de sistema havera dos autovalores possuira multiplicidadedois. Com isto pode haver problemas no calculo da matriz de autovetores. Neste casopode ser utilizado a matriz Fortescue, comumente utilizada para a decomposicao emcomponentes simetricas, a Transformada de Clarke (Portela 1983) ou qualquer outra

33

matriz onde os elementos da primeira e segunda coluna possuam soma nula e a terceiracoluna possua elementos identicos, ou seja soma nao nula. Um exemplo e a matriz Tmostrada abaixo

T =

⎡

⎣−1 −1 10 1 10 0 1

⎤

⎦ (4.30)

Devido a similaridade na topologia de Z e Y , a matriz T pode ser utilizada tanto para atransformacao da tensao como da corrente. Os autovalores da matriz P = ZY sao

λ11 = λ22 = (Zs − Zm)(Ym + Ys)

λ33 = (Zs + 2Zm)(Ys − 2Ym)(4.31)

Se incluirmos aqui a notacao de impedancias em funcao das redes de sequencia (Trans-formacao de Fortescue)

Z1 = Zs − Zm

Z0 = Zs + 2Zm

Y1 = Ys + Ym

Y0 = Ys − 2Ym

Ja as constantes de propagacao sao dadas por

γ1 = γ2 =√

Z1Y1

γ3 =√

Z0Y0

(4.32)

O modo tres naturalmente e modo terra, tambem chamado de modo homopolar, en-quanto que os modos 1 e 2, por serem identicos recebem o nome de modos aereos ou naohomopolares.

4.5 Modelagem no Domınio de Fases

Ha diversas possibilidades onde e possıvel obter a raiz quadrada e o exponencial dematrizes sem recorrer a decomposicao em autovalores/autovetores, como por exemploa Decomposicao de Schur, entre outros metodos. Nesse caso e possıvel obter a matrizde admitancia nodal diretamente em coordenadas de fase. Em ambas formulacoes enecessario obter a matriz raiz quadrada

Γ =√

ZY

e a matriz de deformacao de tensao, A tambem conhecida na literatura tecnica comomatriz de propagacao, exp(−Γl), onde l e o comprimento da linha. A relacao entre amatriz A e a matriz de deformacao de tensao modal,Am, definida em (4.19) e

A = TV Am T−1V = exp(−Γl) (4.33)

Desta forma a matriz Yn sera representada por

Yn =

[Yc(I + A2)(I − A2)−1 −2Yc(I − A2)−1

−2Yc(I − A2)−1 Yc(I + A2)(I − A2)−1

](4.34)

34

sendo I a matriz de identidade, Yc e a matriz de admitancia caracterıstica, definida porYc = Z−1

√ZY , e onde A e definido em (4.33).

Na formulacao direta no domınio de fases, nao e necessario a decomposicao em com-ponentes modais, diminuindo um estagio no calculo de Yn. Contudo, os procedimentosnumericos para a obtencao da matriz raiz quadrada e da matriz exponencial sao bastanteonerosos do ponto de vista computacional, podendo ser ate mais lentos que a formulacaoutilizando decomposicao modal.

4.6 Representacao por Funcoes Racionais

Seja na formulacao por quadripolos, seja na formulacao nodal, as funcoes envolvidasestao no domınio da variavel complexa s e podem ser representadas por polos e zeros.Pela definicao um polo sk de uma funcao F (s) e um valor para qual F (sk) tende para oinfinito. Logo o polo sk pode ser determinado atraves da solucao da equacao

1

F (s)= 0 (4.35)

Os resıduos podem ser obtidos apos a determinacao do conjunto de polos atraves dasolucao de um sistema do tipo Qx = P , onde Q e uma matriz retangular. No capıtulo deajuste de funcoes racionais nos voltaremos com mais detalhes a este tipo de abordagem.

A tıtulo de ilustracao considere uma linha de transmissao monofasica com os seguintesparametros unitarios, considerados invariantes com a frequencia:

• C = 13, 0245nF/km

• R = 0, 027578Ω/km

• L = 0, 883978mH/km

O fator de propagacao, γ ,e a impedancia caracterıstica, Zc, sao mostradas abaixo.

γ =√

(R + sL)sC (4.36)

Zc =R + sL

sC(4.37)

A funcao de transferencia para a tensao passa ser dada por:

F (s) = sech(γl) (4.38)

A figura abaixo mostra a resposta da LT para s = jω para uma frequencia de ate 10kHz.Para esta LT os polos, sk, sao facilmente calculados e dados por:

sk =−4RC ±

√16LCπ2(−1 − 4n − 4n2) + 16(RC)2

8LC(4.39)

onde k = 0, 1, 2, 3, . . .

35

0 2000 4000 6000 8000 10000Freqüência #Hz$

0

20

40

60

80

Amplitude

Figura 4.1: Resposta de uma LT monofasica invariante na frequencia

4.6.1 Efeito da Frequencia Complexa

No caso de representar a linha de transmissao atraves de polos e zeros e normal-mente interessante utilizar uma frequencia complexa onde ha um “ganho” dos seus va-lores maximos de forma a identificar mais facilmente os polos. No caso da utilizacao datransformada Rapida de Laplace, a frequencia e interessante pois permite que haja umasuavizacao das funcoes no domınio da frequencia, permitindo-se assim a utilizacao datransformada rapida de Fourier em parte do procedimento.

0 2000 4000 6000 8000 10000Frequência !Hz"

0

10

20

30

40

50

60

Ganho

s"!Ω

s" 1000$! Ω

s"#!0.03$!$ Ω

Figura 4.2: Efeito da Frequencia complexa

A figura a seguir ilustra este comportamento para a dois elmentos (um elemento di-agonal e outro fora da diagonal) da matriz A de uma linha de transmissao horizontal acircuito simples.

36

1 10 100 1000 10000 100000. 1.%106

Freqüência!Hz"0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitude!pu"

s"! Ωs"# !!0.03$Ω

s"#0.03$! $Ω

Figura 4.3: Efeito da Frequencia complexa

4.7 Outras possıveis formulacoes

No caso da representacao da linha de transmissao em programas no domınio do tempodeve se procurar “equivalentar” a rede de forma a representar a linha por duas fontesde corrente historicas relacionadas pelo fator de propagacao e uma matriz de admitancianodal. Maiores detalhes serao apresentados no capıtulo de modelagem de linhas emprogramas no domınio do tempo. Seja a resposta da LT dada por:

Ik = YcVk − A(YcVm + Im)

Im = YcVm − A(YcVk + Ik)(4.40)

Separando os termos para a construcao da matriz nodal temos:

[Ik

Im

]=

[Yc −A · Yc

−A · Yc Yc

] [Vk

Vm

]−[A · Im

A · Ik

](4.41)

Da forma que esta formulada a eq. 1.12, o fator de propagcao e dado por:

A = exp(−√

Y Zl) (4.42)

Para o fator de propagacao dado por:

A = exp(−√

ZY l) (4.43)

A eq. 1.13 pode ser reescrita como:[Ik

Im

]=

[Yc −Yc · A

−Yc · A Yc

] [Vk

Vm

]−[Im · AIk · A

](4.44)

37

Parte II

Analise no Domınio do Tempo

38

CAPITULO 5

Metodos de Integracao

5.1 Metodo de Euler

5.2 Integracao Trapezoidal

39

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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Noda, T. (2006), ‘A double logarithmic approximation of carson’s ground-return impe-dance’, IEEE Transactions on Power Delivery 21(1), 472–479.

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