7/24/2019 Transitrio Em Circuitos

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Transitrio em circuito chaveado

Exerccio 1: A chave S do circuito abaixo fecha na posio 1 em t = 0 e, decorridas duas

constantes de tempo passa para a posio 2, Determinar a corrente completa it!,

sabendo "ue o capacitor est# inicialmente carre$ado com a tenso indicada%

&rimeiramente analisaremos o circuito com a chave na posio 1, em t = 0, afim

de obtermos as condi'es iniciais de corrente no indutor para "uando a chave passar

para a posio 2%

( )a posio 1: *emos um circuito + s-rie com uma fonte de .0/%

&ela lei de irchhoff das tens'es obtemos:

VVrVL=0

L.di

dt+R . i ( t)=V

di

dt+R

Li (t)=

V

L

Substituindo os valores de +, e , obtemos a se$uinte 3D4 linear de primeira

ordem no homo$5nea:

di

dt+50 i ( t)=1000[1]

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A soluo ser# ento: i ( t)=iH(t)+ip(t)

&ara achar a soluo homo$5nea iH(t) basta acharmos a e"uao

caracter6stica da 3D4 /1, dada por:

s+50=0

s=50

iH(t)=K1es . t

iH(t)=K1e50 t

A soluo particular pode ser encontrada analisando o termo da i$ualdada, - f#cil

notar "ue a soluo particular - uma constante, sendo assim, atribuindo uma constante 7

em /1, temos:

50.C=1000

C=20

&ortanto, a soluo $eral de /1 - dada pela combinao linear:

i ( t)=K1 e50 t+20[2]

&elas condi'es iniciais do circuitos, onde emt=0 a corrente no circuito era

nula, e lembrando "ue o indutor no permite a variao instant8nea de corrente, pode9se

concluir "ue

0

+0

i

% Aplicando na e"uao /2 :

20+K1=0

K1=20

A$ora podemos escrever a soluo $eral da corrente com a chave S na posio 1,

como sendo:

i ( t)=20e50 t+20[3 ]

A$ora "ue sabemos como a corrente se comporta nos instantes em "ue a chave S

est# na posio 1, podemos obter o valor da corrente em 2%

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embrando "ue num circuito + a constante de tempo - dada pela expresso:

=L

R

3m 2 temos "ue = .0m, substituindo na e"uao /;, obt-m9se:

i (2 )=17,3[A ]

( )a posio 2, um circuito 7%

Aplicando novamente a ei de irchhoff das tens'es no circuito 7, temos:

L.di

dt+1

C2

t

i (t) dt+vc(2 )=0 [4]

Derivando a e"uao /. no tempo e or$ani:

di

dt=K1(j50 )e

j50 (t2 )+K2j 50ej50(t2 ) [6 ]

Aplicando nas e"uao /> e /? para t=2 :

i (2 )=17,3=K1+K

2 &ela e"uao >% /@

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di

dt(2 )=K1(j50)+K2j 50 &ela e"uao ?% /

A$ora voltando para a e"uao /. pata t = 2 , temos:

L.di

dt(2 )+

1

C2

2

i ( t)dt

0

+vc(2 )=0

di

dt(2 )=

vc(2 )

L =500

3nto vamos ter um sistema de e"uao de 2 incB$nitas 1 e 2 a determinar:

{ K1+K2=17,3K1 (50 j )+k2 (j50 )=500+esolvendo che$amos em: 1 = ,?> C > e 2 = ,?> E >

i (t)=K1 ej 50(t2 )+K2e

j50 (t2 )

i ( t)=(8,655 j)ej 50( t2 )+(8,65+5 j)ej50(t2 )

+eor$ani

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