transferência de calor convecção forçada no …professor.unisinos.br/mhmac/transcal/conveccao...

22/11/2016

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Convecção forçada no interior de tubos

2º. semestre, 2016

Transferência de calor

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Escoamento de líquidos ou gases no interior de tubos ou dutos é comumente usado em diversas aplicações de aquecimento ou resfriamento. O fluido é forçado a escoar por meio de bombas ou ventiladores, através de uma seção de escoamento suficientemente longa para proporcional a taxa de transferência de calor adequada.

Ao contrário do que acontece no escoamento externo, no escoamento interno o fluido encontra-se confinado pelas superfícies do interior do tubo ou duto e, portanto, existe um limite sobre quanto a camada limite pode crescer, ou seja as camadas-limite não podem se desenvolver livremente.

As geometrias utilizadas comumente são:

� Tubos circulares (líquidos) – suportam elevadas diferenças de pressão;� Canais anulares;� Canais de seção transversal não-circular (ar) - baixo ∆p;� Canais entre placas paralelas.

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Apesar da teoria do escoamento de fluidos ser razoavelmente bem compreendida, soluções teóricas são obtidas apenas para alguns casos simples, como o escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular.

Por isso, são utilizadas soluções experimentais e relações empíricas para a maior parte dos problemas de escoamento.

Para o caso de escoamento de um fluido confinado a uma superfície, deve ser definido:

- se o escoamento é laminar ou turbulento;- se o escoamento deve considerar a região de entrada (desenvolvimento da camada limite);- ou a região é plenamente desenvolvida.


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Camada limite

Considere um escoamento laminar em um tubo circular de raio ro, onde o fluido entra no tubo com uma velocidade uniforme. Devido à condição de não-deslizamento, a velocidades da camada de fluido em contato com a superfície é zero. Da mesma forma, há uma desaceleração das camadas de fluido adjacentes, com resultado do atrito.Para compensar essa redução de velocidade, a velocidade do fluido no centro do tubo deve aumentar para manter a taxa de massa através do tubo constante. Como resultado, um gradiente de velocidade desenvolve-se no tubo.

Assim, a camada limite se desenvolve na direção x do escoamento até atingir o centro do tubo. A região a partir da entrada do tubo até o ponto em que a camada limite se funde na parte central é chamada de região de entrada hidrodinâmica e o seu comprimento é chamado de comprimento hidrodinâmico de entrada, Lh.

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Camada limite

A partir desse ponto, o perfil de velocidade está completamente desenvolvido e mantém-se inalterado e é chamado de região completamente desenvolvida hidrodinamicamente. Nessa região, o perfil de velocidade é parabólico para escoamento laminar e mais plano ou cheio para escoamento turbulento.

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Camada limite

Da mesma forma, o fenômeno acontece em relação à temperatura. Considerando o escoamento de um fluido em um tubo, entrando com uma dada temperatura de entrada, ao entrar em contato com a superfície do tubo, mantida a uma temperatura constante, as partículas do fluido em contato com essa superfície assumem sua temperatura (efeito da camada limite hidrodinâmica).Isso inicia a transferência de calor por convecção no tubo e o desenvolvimento de uma camada limite térmica ao longo do tubo.

A espessura da camada limite aumenta até atingir o centro do tubo. A região onde a camada limite se desenvolve é chamada de região de entrada térmica e o seu comprimento é Lt, chamado de comprimento de entrada térmico. Após o desenvolvimento completo da camada limite, a região passa ser chamada de completamente desenvolvida termicamente.

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Número de Reynolds

O escoamento em um tubo pode ser laminar ou turbulento. A região de transição entre um escoamento e outro não acontece de forma repentina. O escoamento oscila em um tipo e outro até que atinja a condição de escoamento completamente turbulento.Para escoamento em tubo circular:

onde Vmed é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo e v a viscosidade cinemática do fluido. Utiliza-se o conceito de velocidade média porque a velocidade varia sobre a seção transversal e não existe uma corrente livre bem definida.

A velocidade média está relacionada com a taxa de massa (ou vazão mássica) do escoamento por:

onde A é a área da seção do tubo A=πD2/4 e ρ é a massa específica. Assim para um tubo, substituindo a Eq. (2) na Eq. (1):

νµρ DVDV

Re medmed == (1)

AVm medρ=& (2)

µπD

mRe

&4= (3)

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Número de Reynolds

Para o escoamento através de dutos não circulares utiliza-se o conceito de diâmetro hidráulico, Dh, dado por:

onde Ac é a área transversal do duto e p é o seu perímetro. Assim, o número de Re é dado por:

O número de Reynolds, Re, crítico para tubos lisos, que corresponde ao início do escoamento turbulento, é 2.300.

No entanto, Re muito maiores são necessários para alcançar as condições turbulentas plenamente desenvolvidas (Re~10.000).

A passagem de escoamento laminar para turbulento também depende do grau de perturbação do escoamento devido a rugosidade superficial, das vibrações do tubo e das flutuações do escoamento.

p

AD c

h4= (4)

µπν h

hmed

D

mDVRe

&4== (5)

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Comprimento hidrodinâmico de entrada

O comprimento hidrodinâmico de entrada, Lh, é considerado como a distância da entrada do tubo onde a tensão de cisalhamento na parede (e, portanto, o fator de atrito) atinge cerca de 2% do valor quando o escoamento torna-se completamente desenvolvido.

Para escoamento laminar(Re < 2300):

Comprimento térmico de entrada é dado por:

Para Re=20, o comprimento hidrodinâmico de entrada é aproximadamente igual ao tamanho do diâmetro, mas aumenta linearmente com a velocidade.

Na condição limite, Re = 2300, o comprimento hidrodinâmica de entrada é de 115D.

(6)DRe,L mla,h 050≈

lam,hlam,t LPrDRePr,L =≈ 050 (7)

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Para escoamento turbulento:

Em função da intensa mistura, os dois comprimentos, hidrodinâmico e térmico de entrada são praticamente do mesmo tamanho e independentes do número de Prandtl.

Como pode ser visto comparando as Eq. (8) e (6), o comprimento de entrada é muito mais curto para escoamentos turbulentos que para os laminares.

Como aproximação, costuma-se utilizar a relação abaixo para caracterizar o comprimento de entrada para o escoamento turbulento, isso é, os efeitos de entrada tornam-se desprezíveis para um comprimento do tubo de 10 diâmetros e os comprimentos hidrodinâmico e térmico de entrada são aproximadamente iguais.

(8)

DLL turb,tturb,h 10≈≈

41

3591 ReD,L turb,h =

(9)

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Considerando a figura abaixo, para escoamento turbulento, pode-se verificar que:

� O número de Nusselt (e, portanto, h) é mais elevado na região de entrada;� O Nu atinge um valor constante a menor de 10D e assim, o escoamento pode ser

considerado desenvolvido quando x> 10D;� Os Nu para condições de temperatura uniforme da superfície e para fluxo de calor

uniforme na superfície são idênticos na região completamente desenvolvida e quase idênticos na de entrada. Assim, o Nu é insensível à condição de contorno térmica adotada e as correlações para esse tipo de escoamento podem ser utilizadas para qualquer condição de contorno

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Análise térmica

A equação do balanço de energia para o caso de escoamento permanente de um fluido em um tubo, na ausência de qualquer outra interação de energia, pode ser expressa como:

onde Te é a temperatura de entrada, To a temperatura de saída e q é a taxa de transferência de calor para o fluido ou a partir do fluido. Tanto Te quanto To representam temperaturas médias do fluido.

As condições térmicas na superfície são aproximadas como: temperatura constante na superfície ou fluxo de calor constante na superfície.

Um exemplo de processo com temperatura constante na superfície é o escoamento com mudança de fase (ebulição e/ou condensação).

O caso de fluxo de calor constante acontece quando o tubo é submetido à radiação ou ao aquecimento por uma resistência elétrica, por exemplo.

(10)

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Análise térmica

O fluxo de calor na superfície do tubo é expressa pela lei de resfriamento de Newton, conforme:

onde hx é o coeficiente local de transferência de calor e Ts e Tm são as temperaturas da superfície e média do fluido naquele local.

A temperatura média do fluido, Tm, deve mudar durante o aquecimento ou resfriamento.

Assim, quando hx=h=constante, a temperatura da superfície, Ts deve mudar quando o fluxo de calor, qs, for constante.

De forma similar, quando Ts for constante, o fluxo de calor na superfície, qs, deve mudar.

Mas nunca ambas condições simultaneamente.

( )msxs TThq −=′′ (11)

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Análise térmica

Fluxo de calor constante na superfície, qs = constante.

Assim, a temperatura média do fluido na saída, To, pode ser dada por:

Pela análise dessa equação, é fácil notar que a temperatura média aumenta linearmente na direção do escoamento, no caso de fluxo de calor constante na superfície, uma vez que a área da superfície aumenta linearmente na direção do escoamento. Notar que a área As é igual ao perímetro multiplicado pelo comprimento do tubo.

(12)

(13)

( )L

xTTTT eoem −+= (13a)

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Análise térmica

A temperatura da superfície, no caso de fluxo de calor constante na superfície, q”s, pode ser determinada como:

Na região completamente desenvolvida, a temperatura na superfície, Ts, irá também aumentar linearmente na direção do escoamento, uma vez que h é constante e, portanto:

(14)( )h

qTTTThq s

msmss

′′+=→−=′′

constante=− ms TT (15)

To

Ts

To

Te

Te

Obs.: Isso é correto quando as propriedades do fluido se mantiverem constante ao longo do escoamento constante=− ms TT

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Análise térmica

Temperatura constante na superfície, Ts = constante.

Considere o aquecimento de um fluido em um tubo de seção transversal constante, cuja superfície interna seja mantida a uma temperatura constante igual a Ts. Sabe-se que a temperatura média do fluido, Tm, aumenta na direção do escoamento, como resultado da transferência de calor. Fazendo um balanço de energia no volume de controle mostrado na figura, obtém-se:

Observando que a área diferencial da superfície é dAs=pdx e que dTm=-d(Ts-Tm), pois Ts é constante, chega-se na expressão:

(16)( ) smsmp dATThdTcm −=&

( )dx

cm

hp

TT

TTd

pms

ms

&−=

−− (17)

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Análise térmica

Integrando a Eq. (17) de x=0 (entrada do tubo onde Tm=Te) até x=L (na saída do tubo, onde Tm=To), chega-se em:

Aplicando exp em ambos os lados da Eq. (18):

e resolvendo para To, tem-se:

(19)

p

s

es

os

cm

hA

TT

TTln

&−=

−− (18)

−=

−−

p

s

es

os

cm

hAexp

TT

TTlnexp

&

( )

−−−=→

−=

−−

p

sesso

p

s

es

os

cm

hAexpTTTT

cm

hAexp

TT

TT&&

(20)

18

Análise térmica

A Eq. (20) também pode ser utilizada para encontrar a temperatura média do fluido, Tm(x) em qualquer posição ao longo do escoamento, x, substituindo As=pL por As=px:

Note que a diferença de temperatura entre o fluido e a superfície diminui exponencialmente na direção do escoamento e que essa diminuição depende da magnitude do expoente:

(21)

−=

−−

xcm

hpexp

TT

)x(TT

pes

ms

&

p

s

cm

hA&

∆To

To

Te

Te

∆Te

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Análise térmica

Resolvendo a Eq. (18) para chega-se a:

Lembrando da Eq. (12):

E substituindo na Eq. (22):

onde:

(22)

pcm&

−−

−=

es

os

sp

TT

TTln

hAcm&

( ) ( )eopeop TT

qcmTTcmq

−=→−= &&

( )mls

es

os

soe ThA

TT

TTln

hATTq ∆=

−−

−−=

(23)

(24)

( )

−=

−−

−=

e

o

eo

es

os

oeml

T

Tln

TT

TT

TTln

TTT

∆∆

∆∆∆(25)

20

Análise térmica

A Eq. (25) é chamada de diferença de temperatura média logarítmica. Nessa expressão:

que representam as diferenças de temperatura do fluido e da superfície na entrada e na saída do tubo, respectivamente.

A Eq. (25) pode ser utilizada tanto para o caso de aquecimento de um fluido quanto para resfriamento e representa de forma exata da diferença média de temperatura entre a superfície e o fluido.

(26)osoese TTTTTT −=−= ∆∆ e

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Queda de pressão para o escoamento interno

A queda de pressão em um escoamento interno, ∆P, está diretamente associada com as exigências de potência do ventilador ou da bomba. Observando que:

Integrando essa expressão em um volume de controle, desde x=x1, onde P=P1 até x=x1+L, onde P=P2, obtém-se:

Substituindo na Eq. (28) a expressão que define a velocidade média de escoamento:

onde R é o raio interno do tubo, chega-se em:

(27)constante=dx

dP

L

PP

dx

dP 12 −= (28)

−=dx

dPRVmed µ8

2

(29)

22


Lembrando que:

e voltando a substituir na Eq. (30):

que é válida para o caso de escoamento laminar.

(30)

22

2

= DR (31)

(32)

212

8PP

R

LVmed −=µ

PPPD

LVmed ∆µ =−= 212

32

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Para aplicações práticas, é conveniente expressar a perda de pressão para qualquer tipo de escoamento interno completamente desenvolvido, laminar ou turbulento, para tubos circulares ou não, para superfícies lisas ou rugosas e tubos horizontais ou inclinados. Assim:

onde o termo marcado no círculo representa a pressão dinâmica, enquanto que f é o fator de atrito de Darcy (ou Darcy-Weisbach), cujo significado é dado por:

Nessa equação, o termo τw é a tensão de cisalhamento na parede do tubo. O fator de atrito f não deve ser confundido com o fator de atrito Cf, também chamado de fator de atrito de Fanning, que é definido como:

2

2med

LV

D

LfP

ρ∆ = (33)

(34)

2

2

med

wf

VC

ρτ=

2

8

med

w

Vf

ρτ=

(35)

24


Igualando as Eq. (34) e (35) na tensão de cisalhamento, obtém-se que:

pode-se verificar que:

(36)

(37)

wmedf

wmed

VCVf τρ

τρ ==2

e 8

22

fmedfmed Cf

VCVf4

2

8

22

=→=ρρ

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Para o caso de escoamento laminar completamente desenvolvido, pode-se igualar as Eq. (32) e (33), resultando em:

que é válida para tubo circular. Nota-se que para essa condição, o fator de atrito depende unicamente do Re sendo independente da rugosidade da superfície do tubo.

O termo perda de carga é normalmente utilizado para o dimensionamento de tubulações, em lugar da perda de pressão, conforme a Eq. (39):

A perda de carga, hL representa a altura adicional que o fluido deve ser elevado por uma bomba a fim de superar as perdas por atrito na tubulação.Uma vez que a perda de pressão (ou perda de carga) é conhecida, a potência necessária de bombeamento para superar a perda de pressão é dada por:

onde é a vazão volumétrica, em m3/s.

(38)

(39)

ReDVf

med

6464 ==ρ

µ

g

V

D

Lf

g

Ph medL

L 2

2

==ρ∆

LLLL,b ghmghVPVW &&&& === ρ∆(40)

V&

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A velocidade média para um escoamento laminar em um tubo horizontal é dada por:

Para escoamento turbulento, a análise é mais complexa e dependerá da rugosidade da superfície. O diagrama de Moody ou de Darcy, mostrado na página seguinte, fornece o valor de f para uma ampla faixa de Re e condições de superfície do tubo. É mínimo para superfícies lisas e aumenta com a rugosidade.

Para tubos lisos, o fator de atrito pode ser calculado pela correlação:

Uma vez determinado o fator de atrito, a perda de pressão pode ser calculada pela Eq. (33), que é válida para qualquer tipo de escoamento e qualquer geometria da seção do tubo.

(41)

(42)

( ) ( )L

PD

L

DPP

L

RPPVmed µ

∆µµ 32328

2221

221 =−=−=

26417900 −−= ),Reln,(f

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A velocidade média para um escoamento laminar em um tubo horizontal é dada por:

Para escoamento turbulento, a análise é mais complexa e dependerá da rugosidade da superfície. O diagrama de Moody ou de Darcy, mostrado na página seguinte, fornece o valor de f para uma ampla faixa de Re e condições de superfície do tubo. É mínimo para superfícies lisas e aumenta com a rugosidade.

Para tubos lisos, o fator de atrito pode ser calculado pela correlação:

que é válida para 3000 < Re <= 5x106.

Uma vez determinado o fator de atrito, a perda de pressão pode ser calculada pela Eq. (33), que é válida para qualquer tipo de escoamento e qualquer geometria da seção do tubo.

(41)

(42)

( ) ( )L

PD

L

DPP

L

RPPVmed µ

∆µµ 32328

2221

221 =−=−=

26417900 −−= ),Reln,(f

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Diagrama de Moody para o fator de atrito

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Correlações para o número de Nusselt (laminar)

Escoamento laminar em tubo circular de comprimento L, com temperatura constante na superfície e região de entrada hidrodinâmica desenvolvida e região de entrada térmica em desenvolvimento:

Para a condição de escoamento laminar com desenvolvimento simultâneo das camadas limite (comprimento de entrada combinado), a correlação de Sider-Tate pode ser utilizada.

válida para Ts constante e 0,6 < Pr < 5 e 0,0044 < (µ/µs) < 9,75. As propriedades são tomadas na temperatura média: Tm=(Te+To)/2, com exceção da viscosidade µs

que é obtida para a temperatura da superfície.

( )[ ] 320401

06680663

/PrReL/D,

PrRe)L/D(,,Nu

++=

14031

861,

s

/

D/L

PrRe,Nu

=µµ

(43)

(44)

30


Escoamento laminar em tubo circular de comprimento L e região de entrada completamente desenvolvida:

Condição de fluxo de calor constante:

Condição de temperatura da superfície constante:

364,k

hDNu ==

663,Nu =

(45)

(46)

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Escoamento laminar em tubo circular de comprimento L, fluxo de calor constante e região de entrada em desenvolvimento:

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Correlações para o número de Nusselt (turbulento)

Região plenamente desenvolvida

O número de Nu para escoamento turbulento plenamente desenvolvido (termicamente e hidrodinamicamente) em tubos lisos (Dittus e Boelter)

onde n=0,4 para aquecimento (Ts>Tm) e n=0,3 para resfriamento (Ts<Tm).

Estas equações são confirmadas experimentalmente para 0,7≤Pr≤160, Re≥10000 e L/D>10. Devem ser usadas para diferenças de temperaturas Ts-Tm moderadas, com todas as propriedades avaliadas a Tm.

(47)

n/ PrRe,Nu 540230=

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Correlações para o número de Nusselt (turbulento)

Região plenamente desenvolvida

Para escoamentos caracterizados por grandes variações nas propriedades, Sider-Tate recomendam (Re>10000; 0,7<Pr<16.700 e LD>10):

Baseada na analogia entre transferência de calor e momentum (Gnielinski). Mais precisa que as anteriores (3000 < Re < 5 x 106 e 0,5 < Pr < 2000):

(48)

14031540270

,

s

// PrRe,Nu

=

µµ

−

+

−

=187121

10008

322

1

Prf,

Pr)(Ref

Nu (49)

26417900 −−= ),Reln,(f (50)

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1. Óleo de motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro interno de 50 mm e comprimento igual a 25 m, cuja superfície é mantida a 150 °C. Se a taxa de massa do óleo escoando for igual a 0,5 kg/s e a temperatura do óleo na entrada do tubo for de 20 °C, determine: (a) a temperatura do óleo na saída do tubo e (b) a taxa de transferência de calor no tubo.

2. No estágio final de produção, um produto farmacêutico é esterilizado pelo aquecimento de 25 °C até 75 °C, à medida que ele se desloca a 0,2 m/s, através de um tubo reto de aço inoxidável, com parede delgada e diâmetro interno de 12,7 mm. Um fluxo térmico uniforme é mantido por um aquecedor de resistência elétrica, enrolada ao redor da superfície externa do tubo. Pergunta-se: (a) se o tubo possui 10 m de comprimento, qual é o fluxo térmico requerido? (b) se o fluido entra no tubo com um perfil de velocidades plenamente desenvolvido e um perfil de temperatura uniforme, quais são as temperaturas da superfície na saída do tubo e a uma distância de 0,5 m de sua entrada?

3. Considere o escoamento de óleo, entrando a 10 °C em um oleoduto de 400 mm de diâmetro interno, com velocidade média de 0,5 m/s. Uma seção do oleoduto para por um lago com água a 0 °C. Medições indicam que a temperatura da superfície do tubo é muito próxima a esse valor. Desprezando a resistência térmica da parede do tubo, determine: (a) a temperatura do óleo quando o tubo sai do lago; (b) a taxa de transferência de calor a partir do óleo e (c) a potência de bombeamento necessária para superar a perda de pressão e para manter o escoamento do óleo no tubo.

Exemplos:

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