traçado em dispositivos gráficos matriciais circunferência

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.ª Elaine Cecília Gatto1

TRAÇADO EM DISPOSITIVOS

GRÁFICOS MATRICIAISCIRCUNFÊRENCIA

Prof.ª Elaine Cecília Gatto

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Circunferência e Círculo• É o conjunto de todos os pontos de

um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.

• O ponto fixo é o centro e a equidistância o raio da circunferência.

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Circunferência e Círculo• Círculo ou disco– É o conjunto de todos os pontos de

um plano cuja distância a um ponto fixo é menor ou igual que uma distância r dada.

–Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto.

–O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma.

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Circunferencia: Características

• É a única figura plana que pode ser “rodada” em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente.

• É a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria.

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Circunferencia: Definições

• Raio–O raio de uma circunferência é um

segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.

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• Arco–O arco é uma parte da circunferência

limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.

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• Corda–A Corda é um segmento de infinitos

pontos alinhados, cujos pontos extremos estão em um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.

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• Diâmetro–O diâmetro é sempre a corda maior.

Como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio.

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• Tangente–A tangente é a reta que tem um único

ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.

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• Secante–A Secante é a reta que intercepta a

circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.

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• Setor Circular–O Setor Circular é a porção do círculo

limitada por um arco e pelos raios que passam pelos seus pontos extremos.

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• Coroa Circular –A Coroa Circular é a porção do circulo

compreendida entre duas circunferências concêntricas.

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• Segmento Circular de uma Base –O Segmento Circular de uma base é a

porção do círculo limitada por um arco e pela corda correspondente.

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• Segmento Circular de duas Bases–O Segmento Circular de duas bases é

a porção do círculo limitada por duas cordas paralelas e pelos arcos compreendidos entre elas.

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• Setor de Coroa Circular–O Setor de Coroa Circular é a porção

de uma coroa circular limitada por dois raios.

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Circunferencia: Unidades de Medida

• Graus e Radianos– Grau (°) e

radiano (rad) são diferentes unidades de medida de ângulo que podem ser relacionadas por meio da circunferencia.

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• Graus e Radianos– Arcos de 1° é

aquele cujo comprimento é igual a 1/360 do comprimento da circunferência.

– O arco de uma volta corresponde, portanto, a C=360°.

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• Graus e Radianos–Arco de um

radiano (1 rad), é aquele cujo comprimento é igual ao raio da circunferência em que esta contido.

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• Graus e Radianos

EQUAÇÃO 1: Medida do Ângulo em Radianos

EQUAÇÃO 2: Comprimento (C) do Perímetro (P) de um círculo de Raio (r)

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EQUAÇÃO 4: Ângulo de um círculo em radianos

EQUAÇÃO 3: Reescrita da Equação 1 de acordo com a Equação 2

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EQUAÇÃO 5: Equação para obter um ângulo α, em graus, a partir de um ângulo, em radianos

EQUAÇÃO 6: Equação para obter um ângulo, em radianos, a partir de um ângulo α, em graus


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Circunferencia: Quadrantes• DEFINIÇIÃO EM GEOMETRIA: –Quadrante é qualquer das quatro

partes iguais em que se pode dividir uma circunferência.

– Pode ainda corresponder à quarta parte de um círculo e equivalente a 90 graus.

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Circunferencia: Quadrantes• DEFINIÇÃO EM GEOMETRIA ANALÍTICA:

– São as quatro partes resultantes da divisão de um plano, por um eixo ortogonal.

– Sistema cartesiano de coordenadas.

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Circunferencia: Quadrantes• DEFINIÇÃO EM GEOMETRIA DESCRITIVA:

– São as quatro partes resultantes da divisão do espaço, por intermédio de dois planos ortogonais.

–Neste caso os quadrantes também são chamados de diedros.

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Circunferencia: Quadrantes03/05/2023


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Conversão Matricial de Circunferências

• A equação de uma circunferência com centro (c) na origem e raio (r), em coordenadas cartesianas, é dada por:

• Forma paramétrica

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+ EQUAÇÃO 1: Equação da Circunferência


• O círculo que não está centrado na origem deve ser transladado para a origem (0,0).

• Calcula-se então os pontos do primeiro quadrante e os demais são então escritos por simetria

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• Um cálculo neste formato para cada ponto é computacionalmente inviável, visto que haveria um alto número de cálculos de potência e raiz, que exigem considerável processamento

• Equação explícita da circunferência

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EQUAÇÃO 1: Equação Explicita da Circunferência

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• Existem muitas abordagens simples, porém ineficientes, para o traçaado de círculos.

• Em algoritmos não incrementais, um polígono regular de n lados é usado como aproximação para a circunferência.

• Para que a aproximação seja razoável, deve-se escolher um valor suficientemente alto para n.

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• Entretanto, quanto maior o valor de n, mais lento será o algoritmo, e várias estratégias de aceleração precisam ser usadas.

• Em geral os algoritmos incrementais de conversão matricial são mais rápidos.

• Outra abordagem seria usar a equação explícita da circunferência.

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• Para desenhar ¼ de circunferência poderíamos variar x de 0 a R, em incrementos de uma unidade, calculando +y a cada passo através da equação explicita da circunferência.

• Essa estratégia funciona, mas é ineficiente porque requer operações de multiplicação e raiz quadrada.

• Os outros ¾ são desenhados por simetria

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Um arco de ¼ de circunferência, obtido variando-se x em incrementos unitários, e calculandoe arrendondando y.

Grandes gaps nas regiões onde a tangente à circunferência é infinita

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Simetria de Ordem 8• O Algoritmo de Simetria de Ordem 8

considera que o traçado de uma circunferência pode tirar proveito de sua simetria

• Considere uma circunferência centrada na origem.

• Se o ponto ( x, y ) pertence à circunferência, pode-se calcular de maneira trivial sete outros pontos da circunferência

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Simetria de Ordem 8

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Simetria de Ordem 8• Para obter toda a circunferência, basta

computar um arco de circunferência de 45º.

• Para uma circunferência com centro na origem, os oito pontos simétricos podem ser traçados usando o procedimento Circle-Points.

• Este algoritmo não calcula os valores de entrada de x e y, mas uma vez calculados nos dá outros sete pontos do círculo.

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Simetria de Ordem 8void CirclePoints(int x, int y, int color){

write_pixel( x, y, color);write_pixel( x, -y, color);write_pixel(-x, y, color);write_pixel(-x, -y, color);write_pixel( y, x, color);write_pixel( y, -x, color);write_pixel(-y, x, color);write_pixel(-y, -x, color);

}/* end CirclePoints */

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Algoritmo do Ponto-Médio• Considere apenas um arco de 45° da

circunferência:

x = 0y = R

x = y =

• Considere que se usa o procedimento CirclePoints para traçar todos os pontos da circunferência

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Algoritmo do Ponto-Médio• Assim como o algoritmo gerador de

linhas, a estratégia é selecionar entre 2 pixels na malha, aquele que está mais próximo da circunferência, avaliando-se uma função no ponto intermediário entre os dois pixels.

• No 2.º octante, se o pixel P em (xp, yp) foi previamente escolhido como o mais próximo da circunferência, a escolha do próximo pixel será entre os pixels E e SE

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Algoritmo do Ponto-Médio

Posições dos pontos médios necessários à rasterização de uma circunferência

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Algoritmo do Ponto-Médio• REFORÇANDO:

• O ponto (x1, y1) é o inferior esquerdo, e (x2, y2) é o superior direito.

• Assumimos que o pixel que acabou de ser selecionado é P, em (xp, yp), e o próximo deve ser escolhido entre o pixel a direita (pixel E) e o pixel abaixo à direita (SE).

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Algoritmo do Ponto-Médio• Seja M o ponto intermediário entre os pixels E e

SE. • O que se faz é observar de que lado está o

ponto M.

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Algoritmo do Ponto-Médio• Se M está abaixo da curva, E está mais próximo• Se M está acima da curva, SE está mais

próximo

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Algoritmo do Ponto-Médio• Seja a função F(x, y) = x2+y2−R2, então

temos que:

– F(X,Y) = 0: igual a zero sobre a circunferência

– F(X,Y) > 0: positivo fora da circunferencia

– F(X,Y) < 0: negativo dentro da circunferencia

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Algoritmo do Ponto-Médio• ESCOLHA DO SE:– Se o ponto intermediário entre os

pixels E e SE estiver fora da circunferência (porque está mais próximo dela)

• ESCOLHA DO E:– Se o ponto intermediário estiver

dentro da circunferência

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• Assim como no caso das linhas, a escolha é feita com base na variável de decisão d, que dá o valor da função no ponto-médio

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Algoritmo do Ponto-Médio• Se dold < 0, E é escolhido, o próximo

ponto-médio será incrementado de 1 na direção x

• Então: dnew = dold + (2xp + 3)

• Consequentemente: ∆E = 2xp + 3

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Algoritmo do Ponto-Médio• Se dold >= 0, SE é escolhido, e o

próximo ponto-médio será incrementado de 1 na direção de x e decrementado de 1 na direção d y

• Como: dnew = dold + (2xp − 2yp + 5)

• Então: ∆SE = 2xp − 2yp + 5

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Algoritmo do Ponto-Médio• Note que no caso da reta (equação

linear), ∆E e ∆NE eram constantes.

• No caso da circunferência (equação quadrática), E e SE variam a cada passo, sendo funções do valor específico de (xp, yp), o pixel escolhido na iteração anterior.

• P é chamado ponto de avaliação.

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• As funções podem ser avaliadas diretamente, a cada passo, dados os valores de x e y do pixel escolhido na iteração anterior.

• Essa avaliação não é computacionalmente cara, uma vez que as funções são lineares.

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• Calculando o valor inicial de d– Limitar a utilização do algoritmo a raios

inteiros no segundo octante. – O pixel inicial é dado por (0,R)– O próximo ponto-médio está em:

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Algoritmo do Ponto-Médio• Calculando o valor inicial de d

• Portanto:

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Segundo octante da circunferência gerado com o algoritimo do Ponto-Médio e primeirooctante gerado por simetria.

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Valores das variáveis do algoritmo de rasterização de circunferências ao rasterizar a circunferência da figura ao lado

Píxeis do primeiro quadrante de uma circunferência de raio 10 calculados pelo respectivo algoritmo de rasterização

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Algoritmo do Ponto-Médiovoid MidPointCircle(int r, int color){

int x, int y;float d;/* Valores iniciais */x = 0;y = r;d = 5/4 - r;CirclePoints(x, y, color);while (y > x){

if (d < 0){/* Selecione E */d = d + 2 * x + 3;x++;

}else{/* Selecione SE */d = d + 2 * (x - y) + 5;x++;y--;

} /* end if */CirclePoints(x, y, color);

} /* end while */} /* end MidpointCircle */

Usando números reais

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Algoritmo do Ponto-Médiovoid MidPointCircleInt(int r, int color){

int x, int y, d;/* Valores iniciais */x = 0;y = r;d = 1 - r;CirclePoints(x, y, color);while (y > x){

if (d < 0){/* Selecione E */d = d + 2 * x + 3;x++;

}else{/* Selecione SE */d = d + 2 * (x - y) + 5;x++;y--;

} /*end if*/CirclePoints(x, y, color);

} /* end while */} /* end MidpointCircleInt */

Usando números inteiros

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Algoritmo do Ponto-Médio: Conclusões

• O teste do ponto médio permite a escolha do pixel mais próximo da curva.

• Além disso, o erro (a distância vertical entre o pixel escolhido e a linha) é sempre inferior a 0.5.

• A aritmética necessária para calcular o próximo ponto a cada passo é adição simples, nenhuma multiplicação é necessária.

• Após o cálculo dos pontos no primeiro quadrante, de 0º `a 45º, utiliza-se o algoritmo de simetria de ordem 8 para calcular os restantes, acelerando o processo.

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Algoritmo do Ponto-Médio: Resumo

Referências 1. Ammeral, L. Computação Gráfica para

programadores Java. Rio de Janeiro: LTC, 2008

2. Traina, A. J. M.; Oliveira, M. C. F. Apostila de Computação Gráfica. São Carlos: USP/ICMC, 2006. Disponível em: http://www.inf.ufes.br/~thomas/graphics/www/apostilas/GBdI2006.pdf. Acessado em 22 de Janeiro de 2016.

3. Paulovich, F. V. Conversão Matricial. São Paulo: USP/ICMC, 2011. Disponível em: http://wiki.icmc.usp.br/images/4/4a/SCC0250-slides-12-Conversao_matricial.pdf. Acessado em 22 de Janeiro de 2016

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http://www.inf.ufes.br/~thomas/graphics/www/apostilas/GBdI2006.pdf

http://www.inf.ufes.br/~thomas/graphics/www/apostilas/GBdI2006.pdf

http://wiki.icmc.usp.br/images/4/4a/SCC0250-slides-12-Conversao_matricial.pdf



Referências 1. Cavalcanti, J. Computação Gráfica. UNIVAST, 2014.

Disponível em: http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/comput_graf04_prim_graficas2.pdf. Acessado em 20 de janeiro de 2016.

2. Bueno, M. Primitivas Gráficas. Disponível em: http://marciobueno.com/arquivos/ensino/cg/CG_03_Primitivas_Graficas.pdf. Acessado em 20 de janeiro de 2016.

3. Mousquer, J. C.; Kliemann, K. A.; Matrakas, M. D. ALGORITMOS PARA DESENHAR RETAS E CÍRCULOS. Paraná, Foz do Iguaçu: FAC. Disponível em: http://www.udc.edu.br/v5/resources/producoes/SeminarioCientifico2014/files/CC/01.pdf. Acessado em 20 de Janeiro de 2016.

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67

http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/comput_graf04_prim_graficas2.pdf

http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/comput_graf04_prim_graficas2.pdf

http://marciobueno.com/arquivos/ensino/cg/CG_03_Primitivas_Graficas.pdf



http://www.udc.edu.br/v5/resources/producoes/SeminarioCientifico2014/files/CC/01.pdf



Referências 1. http://

objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0500.htm

2. http://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/

3. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-circ/geom-circ.htm

4. https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia

5. http://www.coladaweb.com/matematica/circunferencia

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68

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0500.htm



http://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/


http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-circ/geom-circ.htm



https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia


http://www.coladaweb.com/matematica/circunferencia


Referências 1. http://

objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0500.htm

2. http://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/

3. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-circ/geom-circ.htm

4. https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia

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Referências 1. https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrante_%28geometria%29

2. http://disciplinas.ist.utl.pt/leic-cg/textos/livro/Rasterizacao.pdf

3. http://www.coladaweb.com/matematica/circunferencia

4. http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/relacao-entre-graus-radianos.htm

5. http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/relacao-entre-graus-radianos.htm

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https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrante_(geometria)



http://disciplinas.ist.utl.pt/leic-cg/textos/livro/Rasterizacao.pdf




http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/relacao-entre-graus-radianos.htm





traçado em dispositivos gráficos matriciais circunferência

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