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  1. 1. GEOMETRIA POLGONOS
  2. 2.
    • Polgono uma figura geomtrica cuja palavra proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos (ngulos). Um polgono uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, no colineares que se fecham.
  3. 3. A regio interna a um polgono a regio plana delimitada por um polgono
    • Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polgono identificada com a regio localizada dentro da linha poligonal fechada mas bom deixar claro que polgono representa apenas a linha. Quando no h perigo na informao sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no outro sentido.
  4. 4. Considerando a figura anexada, observamos que:
    • Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA so os lados do polgono e da regio poligonal.
    • Os pontos A, B, C, D, E so os vrtices da regio poligonal e do polgono.
    • Os ngulos da linha poligonal, da regio poligonal fechada e do polgono so: A, B, C, D e E
  5. 5. Regies poligonais quanto convexidade
    • Regio poligonal convexa: uma regio poligonal que no apresenta reentrncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades esto nesta regio estar totalmente contido na regio poligonal.
  6. 6.
    • Regio poligonal no convexa: uma regio poligonal que apresenta reentrncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades esto na regio poligonal mas que no esto totalmente contidos na regio poligonal.
  7. 7. Nomes dos polgonos
    • Dependendo do nmero de lados, um polgono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:
  8. 8.
    • Polgono Regular: o polgono que possui todos os lados congruentes e todos os ngulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os polgonos: tringulo, quadrado, pentgono, hexgono e heptgono.
  9. 9. Tringulos e a sua classificao
    • Tringulo um polgono de trs lados. o polgono que possui o menor nmero de lados. Talvez seja o polgono mais importante que existe. Todo tringulo possui alguns elementos e os principais so: vrtices, lados, ngulos, alturas, medianas e bissetrizes.
  10. 10. Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
    • Vrtices: A,B,C.
    • Lados: AB,BC e AC.
    • ngulos internos: a, b e c.
  11. 11.
    • Altura: um segmento de reta traado a partir de um vrtice de forma a encontrar o lado oposto ao vrtice formando um ngulo reto. BH uma altura do tringulo.
  12. 12.
    • Mediana: o segmento que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. BM uma mediana.
  13. 13.
    • Bissetriz: a semi-reta que divide um ngulo em duas partes iguais. O ngulo B est dividido ao meio e neste caso = .
  14. 14.
    • ngulo Interno: formado por dois lados do tringulo. Todo tringulo possui trs ngulos internos.
  15. 15. ngulo Externo: formado por um dos lados do tringulo e pelo prolongamento do lado adjacente(ao lado).
  16. 16. Medidas dos ngulos de um tringulo
    • ngulos Internos:Consideremos o tringulo ABC. Poderemos identificar com as letrasa ,becas medidas dos ngulos internos desse tringulo. Em alguns locais escrevemos as letras maisculas A, B e C para representar os ngulos.
    • A soma dos ngulos internos de qualquer tringulo sempre igual a 180 graus, isto :
    • a + b + c = 180
  17. 17.
    • Exemplo:Considerando o tringulo abaixo, podemos escrever que: 70+60+x=180 e dessa forma, obtemos x=180-70-60=50.
  18. 18. ngulos Externos: Consideremos o tringulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minsculas representam os ngulos internos e as respectivas letras maisculas os ngulos externos.
  19. 19.
    • Todo ngulo externo de um tringulo igual soma dos dois ngulos internos no adjacentes a esse ngulo externo. Assim:
    • A = b+c, B = a+c, C = a+b
    • Exemplo:No tringulo desenhado ao lado: x=50+80=130.
  20. 20. Congruncia de Tringulos
    • A idia de congruncia : Duas figuras planas so congruentes quando tm a mesma forma e as mesmas dimenses, isto , o mesmo tamanho.
  21. 21. Para escrever que dois tringulos ABC e DEF so congruentes, usaremos a notao: ABC ~ DEF Para os tringulos das figuras abaixo:
  22. 22.
    • existe a congruncia entre os lados, tal que:
    • AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR
    • e entre os ngulos:
    • A ~ R , B ~ S , C ~ T
    • Se o tringulo ABC congruente ao tringulo RST, escrevemos:
    • ABC ~ RST
  23. 23.
    • Dois tringulos so congruentes, se os seus elementos correspondentes so ordenadamente congruentes, isto , os trs lados e os trs ngulos de cada tringulo tmrespectivamenteas mesmas medidas.
    • Para verificar se um tringulo congruente a outro, no necessrio saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer trs elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com smbolos grficos iguais.
  24. 24. Casos de Congruncia de Tringulos
    • LLL (Lado, Lado, Lado):Os trs lados so conhecidos.
    • Dois tringulos so congruentes quando tm, respectivamente, os trs lados congruentes. Observe que os elementos congruentes tm a mesma marca.
  25. 25.
    • LAL (Lado, ngulo, Lado):Dados dois lados e um ngulo
    • Dois tringulos so congruentes quando tm dois lados congruentes e os ngulos formados por eles tambm so congruentes.
  26. 26.
    • ALA (ngulo, Lado, ngulo):Dados dois ngulos e um lado
    • Dois tringulos so congruentes quando tm um lado e dois ngulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
  27. 27.
    • LAAo (Lado, ngulo, ngulo oposto):Conhecido um lado, um ngulo e um ngulo oposto ao lado.
    • Dois tringulos so congruentes quando tm um lado, um ngulo, um ngulo adjacente e um ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
  28. 28. GEOGEBRA
    • Exerccios para resolver com o geogebra,orientao passo a passo.
  29. 29.
    • 1-)Soma dos ngulos internos de um tringulo:
    • 1. Esconda o sistema de eixosFig. 1 ;
    • 2. Defina um tringulo traando trs segmentos de retaFig. 2 ;
    • 3. Pea as medidas dos ngulos internos do tringuloFig. 3 . O Geogebra atribui automaticamente uma letra grega a cada um dos ngulos.
    • 4. Calcule a soma dos trs ngulosFig. 4 . Pode ver agora a varivel soma na barra de lgebraFig. 5 .
    • 5. Represente no ecr, junto ao tringulo a soma dos ngulos internosFig. 6 .
    • 6. Arraste os pontos, alterando o tringulo. Verifique que a soma dos ngulos internos se mantm.
  30. 30. Figura 1:Esconder Eixos de coordenadas desative a opo realada na figura. Neste menu pode ainda definir se pretende ver ou um fundo quadriculado, a janela de lgebra.
  31. 31.
    • Figura 2:Para traar um segmento de reta escolha a ferramenta evidenciada e faa clique no ecr para definir um ponto, arraste e faa um segundo cliqueTecnologias na aprendizagem da Matemtica
  32. 32.
    • Figura 3:Selecione a ferramenta em destaque e aponte para os 3 pontos que definem o ngulo
  33. 33.
    • Figura 4:Para definir uma varivel (soma) que escreva na linha de entrada soma=++. Para obter as letras gregas utilize a caixa assinalada na figura.
  34. 34.
    • Figura 5:Em destaque a o resultado da soma
  35. 35.
    • Figura 6:Utilize a ferramenta em destaque para inserir texto na janela do Geogebra. Pode juntar vrias cadeias de texto separando-as pelo sinal de +. Neste caso Soma=+ += ser texto enquanto que a segunda vez que aparece a palavra soma ser substituda pelo valor da varivel definida anteriormente, uma vez que no se encontra entre .
  36. 36.
    • Figura 7:Para arrastar os pontos deve selecionar a ferramenta em destaque (seta). Caso contrrio, continuar a utilizar a ltima ferramenta que tinha utilizado
  37. 37.
    • Resoluo do exerccio 1.
  38. 38.
    • 2-) Construo de um quadrado utilizando retas paralelas e perpendiculares
    • 1. Esconda os de eixosFig. 1 ;
    • 2. defina um segmento de reta ABFig. 2
    • 3. trace uma reta perpendicular ao segmento de reta que passe pelo ponta AFig. 8 ;
    • 4. construa uma circunferncia, de centro A, que passe pelo ponto BFig. 9 ; 5. marque um dos pontos (C) de interseco da circunferncia com a retaFig. 10 ;
    • 6. trace uma reta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a AB que passe por B;
    • 7. marque o ponto de interseco das retas traadas no ponto anterior e defina os segmentos BC, CD e DAFig. 10 ;
    • 8. esconda a circunferncia e as retas auxiliares de que j no precisaFig. 12 ;
    • 9. Mea os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ngulos do quadrado
    • Fig. 13
    • 10. verifique que a figura obtida tem a propriedades de um quadrado e que estas se mantm quando arrasta um dos pontos azuis (A ou B)Fig. 7 .
  39. 39.
    • Figura 8:Traar uma reta que passa por um ponto dado e perpendicular a um segmento. Selecione a ferramenta em evidncia na figura, depois, faa clique no segmento e no ponto.
  40. 40.
    • Figura 9:Traar uma circunferncia definida pelo centro e um ponto. Selecione a ferramenta em desta