trabalho final de disciplina

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Page 1: Trabalho final de disciplina

Paralelogramos equivalentes.

Por : Claudio Bessa Branco.

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“ Não existem teoremas profundos , mas apenas teoremas que não entendemos direito”. ( Goodman, Nicholas P. - The Mathematical Intelligencer – vol.5, n° 3 , 1983).

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1) Introdução: Este trabalho tem a finalidade de mostrar que é possível adequar o ensino de Geometria( nivel fundamental ou nível médio) com a utilização parcial de um software educativo. Para a análise de equivalência entre paralelogramos será utilizado o programa Régua e Compasso(versão 10.0).Este programa de Geometria Dinâmica de origem alemã foi desenvolvido em linguagem Java . Por isso , é preciso a incorporação de um ambiente Java antes de instalá-lo. A vantagem é que é possível adquirí-los de forma gratuita na internet.

Ilustração 1: Ambiente de trabalho no programa Régua e Compasso.

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2) Considerações teóricas.

É considerado um paralelogramo todo o quadrilátero que possuir os lados opostos paralelos. O valor real positivo que representa a medida de superfície de um paralelogramo é denominado “ área desse paralelogramo”. Dois paralelogramos são classificados como equivalentes se possuírem formas diferentes mas conservarem o mesmo valor de área.Isto é:

Área do paralelogramo (1) = Área do paralelogramo (2)

Ilustração 2 : Paralelogramos : quadrado ABCD (cinza), retângulo EFGH ( vermelho), paralelogramo simples HIJL (azul), losango KMNO (verde).

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Eis as seguintes fórmulas das áreas dos seguintes paralelogramos :

3) Metologia para a execução das duas tarefas propostas:

Foi estabelecido o seguinte cronograma para a realização de cada tarefa proposta:

• Foi dado pelo professor as dimensões do primeiro paralelogramo.

• Pelos critérios de equivalência , foram calculadas com o auxílio de uma calculadora as dimensões do segundo paralelogramo ( feito pelos alunos).

• Com o auxílio do programa Régua e Compasso, construiu-se o processo gráfico para obtenção desse critério de equivalência (feito pelos alunos).

• Com o auxílio do programa Régua e Compasso, construiu-se osdois paralelogramos propostos e obteve-se valor da área dasduas figuras( valor das áreas calculado pelo programa).

2

1 ) do retângulo = base x altura = B x h.

2°) Área do quadrado = lado x lado = L x L = L .

3 ) do paralelogramo simples = base x altura = B x h.

Diagonal maior x Diagonal me4°) Área do losango =

Área

Área

°

°

nor x d2 2

D=

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Tarefa 1 : Construir um quadrado equivalente a um retângulo dado.

• Dados fornecidos pelo professor para o retângulo : base = 4 unidades , altura = 1 unidade.

• Utilizando-se os critérios de equivalência ( feito pelos alunos):

• Passos para a obtenção do lado do quadrado( usando o programa Régua e Compasso). Feito pelos alunos:

1°) Utilizando-se a função grelha , coloque os eixos perpendiculares e a malha de pontos.2°) Utilize o eixo horizontal: utilize a função segmento , marque o B e posteriormente o ponto C tendo a distância de 4 unidades entre eles( BC é a base do retângulo) . Os pontos B e C coincidirão com os pontos do eixo. 3°) Utilizando a função segmento , clique no ponto C e marque o ponto D a uma unidade de C. O segmento CD é a altura do retângulo. 4°) Você irá obter o segmento BD ( base + altura do retângulo). 5°) Usando a função ponto médio , clique nos pontos B e D e você encontrará o ponto D ( ponto médio de BD).

2

do retângulo = Área do quadrado B x h = L

B x h = LA média geométrica entre a base e altura do retânguloresulta no lado do quadrado equivalente.Substituindo

Área

-se os valores:

4 x 1 = L

4 2 = L.Logo , o lado do quadrado equivalente terá 2 unidades.

L=

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6°) Usando a função círculo, clique no ponto E ( centro da circunferência) e posteriormente em D ( ponto da circunferência) , obtendo a circunferência que passa por D e centro E. 7°) Usando a função segmento, marque o ponto C e trace um segmento perpendicular ao eixo horizontal( passando por C) até tocar a circunferência construída. Marque o ponto F na circunferência. Clique com o botão direito do segmento CF e constate que ele possui 2 unidades.O segmento CF é o lado do quadrado equivalente procurado.

Ilustração 3 : Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção do lado do quadrado equivalente ( segmento CF).

• Construção dos paralelogramos equivalentes no Régua e

Compasso e verificação do valor numérico de sua área( feita pelos alunos):

Traçando -se as linhas poligonais de cada figura e clicando na função polígono, dê uma volta completa ao redor dos 4 vértices e será observado o preenchimento da parte interna desta com uma cor. Para o retângulo foi escolhido o preto, para o quadrado a cor vermelha. Clicando-se na região interna do polígono com o botão direito do

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mouse, constata-se que as duas figuras possuem a mesma área ( calculada pelo programa).

Ilustração 4 : Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção dos paralelogramos equivalentes ( retângulo ABCD e quadrado CHGF).

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Tarefa 2 : Construir um quadrado equivalente a um losango dado.

• Dados fornecidos pelo professor para o losango : diagonal maior = 4 unidades ; diagonal menor = 2 unidades.

• Utilizando-se os critérios de equivalência ( feito pelos alunos):

• Passos para a obtenção do lado do quadrado( usando o

programa Régua e Compasso). Feito pelos alunos:1°) Utilizando-se a função grelha , coloque os eixos perpendiculares e a malha de pontos.2°) Utilize o eixo horizontal: utilize a função segmento , marque o A e posteriormente o ponto C tendo a distância de 4 unidades entre

2

do quadrado = Área do losango

x dL2

d D x 2

Atribuindo os valores ( D = 4 unidades e d = 2 unidades):

2L = 4 x 2

4 L = 2 unidades.

lado do quadrado é determinado pela média geométrica entre a

Área

D

L

L

O

=

=

=

medida da diagonal maior e a metade da diagonal menor.

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eles( BC é a diagonal maior) . Os pontos A e C coincidirão com os pontos do eixo. 3°) Utilizando a função segmento , clique no ponto C e marque o ponto B a uma unidade de C. O segmento CB é a metade da diagonal menor do losango ( 1 unidade). 4°) Você irá obter o segmento AB ( Diagonal maior mais a metade da diagonal menor). 5°) Usando a função ponto médio , clique nos pontos A e B e você encontrará o ponto O ( ponto médio de AB). 6°) Usando a função círculo, clique no ponto O ( centro da circunferência) e posteriormente em B ( ponto da circunferência) , obtendo a circunferência que passa por B e centro O. 7°) Usando a função segmento, marque o ponto C e trace um segmento perpendicular ao eixo horizontal( passando por C) até tocar a circunferência construída. Marque o ponto F na circunferência. Clique com o botão direito do segmento CF e constate que ele possui 2 unidades.O segmento CF é o lado do quadrado equivalente procurado.

Ilustração 5: Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção do lado do quadrado equivalente ( segmento CF).

Page 11: Trabalho final de disciplina

• Construção dos paralelogramos equivalentes no Régua e Compasso e verificação do valor numérico de sua área( feita pelos alunos):

Traçando -se as linhas poligonais de cada figura e clicando na função polígono, dê uma volta completa ao redor dos 4 vértices e será observado o preenchimento da parte interna desta com uma cor. Para o losango foi escolhido o vermelho, para o quadrado a cor azul. Clicando-se na região interna do polígono com o botão direito do mouse, constata-se que as duas figuras possuem a mesma área( calculada pelo programa).

Ilustração 6 : Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção dos paralelogramos equivalentes ( losango ABCE e quadrado CHGF).