trabalho final de disciplina
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Paralelogramos equivalentes.
Por : Claudio Bessa Branco.
“ Não existem teoremas profundos , mas apenas teoremas que não entendemos direito”. ( Goodman, Nicholas P. - The Mathematical Intelligencer – vol.5, n° 3 , 1983).
1) Introdução: Este trabalho tem a finalidade de mostrar que é possível adequar o ensino de Geometria( nivel fundamental ou nível médio) com a utilização parcial de um software educativo. Para a análise de equivalência entre paralelogramos será utilizado o programa Régua e Compasso(versão 10.0).Este programa de Geometria Dinâmica de origem alemã foi desenvolvido em linguagem Java . Por isso , é preciso a incorporação de um ambiente Java antes de instalá-lo. A vantagem é que é possível adquirí-los de forma gratuita na internet.
Ilustração 1: Ambiente de trabalho no programa Régua e Compasso.
2) Considerações teóricas.
É considerado um paralelogramo todo o quadrilátero que possuir os lados opostos paralelos. O valor real positivo que representa a medida de superfície de um paralelogramo é denominado “ área desse paralelogramo”. Dois paralelogramos são classificados como equivalentes se possuírem formas diferentes mas conservarem o mesmo valor de área.Isto é:
Área do paralelogramo (1) = Área do paralelogramo (2)
Ilustração 2 : Paralelogramos : quadrado ABCD (cinza), retângulo EFGH ( vermelho), paralelogramo simples HIJL (azul), losango KMNO (verde).
Eis as seguintes fórmulas das áreas dos seguintes paralelogramos :
3) Metologia para a execução das duas tarefas propostas:
Foi estabelecido o seguinte cronograma para a realização de cada tarefa proposta:
• Foi dado pelo professor as dimensões do primeiro paralelogramo.
• Pelos critérios de equivalência , foram calculadas com o auxílio de uma calculadora as dimensões do segundo paralelogramo ( feito pelos alunos).
• Com o auxílio do programa Régua e Compasso, construiu-se o processo gráfico para obtenção desse critério de equivalência (feito pelos alunos).
• Com o auxílio do programa Régua e Compasso, construiu-se osdois paralelogramos propostos e obteve-se valor da área dasduas figuras( valor das áreas calculado pelo programa).
2
1 ) do retângulo = base x altura = B x h.
2°) Área do quadrado = lado x lado = L x L = L .
3 ) do paralelogramo simples = base x altura = B x h.
Diagonal maior x Diagonal me4°) Área do losango =
Área
Área
°
°
nor x d2 2
D=
Tarefa 1 : Construir um quadrado equivalente a um retângulo dado.
• Dados fornecidos pelo professor para o retângulo : base = 4 unidades , altura = 1 unidade.
• Utilizando-se os critérios de equivalência ( feito pelos alunos):
• Passos para a obtenção do lado do quadrado( usando o programa Régua e Compasso). Feito pelos alunos:
1°) Utilizando-se a função grelha , coloque os eixos perpendiculares e a malha de pontos.2°) Utilize o eixo horizontal: utilize a função segmento , marque o B e posteriormente o ponto C tendo a distância de 4 unidades entre eles( BC é a base do retângulo) . Os pontos B e C coincidirão com os pontos do eixo. 3°) Utilizando a função segmento , clique no ponto C e marque o ponto D a uma unidade de C. O segmento CD é a altura do retângulo. 4°) Você irá obter o segmento BD ( base + altura do retângulo). 5°) Usando a função ponto médio , clique nos pontos B e D e você encontrará o ponto D ( ponto médio de BD).
2
do retângulo = Área do quadrado B x h = L
B x h = LA média geométrica entre a base e altura do retânguloresulta no lado do quadrado equivalente.Substituindo
Área
-se os valores:
4 x 1 = L
4 2 = L.Logo , o lado do quadrado equivalente terá 2 unidades.
L=
6°) Usando a função círculo, clique no ponto E ( centro da circunferência) e posteriormente em D ( ponto da circunferência) , obtendo a circunferência que passa por D e centro E. 7°) Usando a função segmento, marque o ponto C e trace um segmento perpendicular ao eixo horizontal( passando por C) até tocar a circunferência construída. Marque o ponto F na circunferência. Clique com o botão direito do segmento CF e constate que ele possui 2 unidades.O segmento CF é o lado do quadrado equivalente procurado.
Ilustração 3 : Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção do lado do quadrado equivalente ( segmento CF).
• Construção dos paralelogramos equivalentes no Régua e
Compasso e verificação do valor numérico de sua área( feita pelos alunos):
Traçando -se as linhas poligonais de cada figura e clicando na função polígono, dê uma volta completa ao redor dos 4 vértices e será observado o preenchimento da parte interna desta com uma cor. Para o retângulo foi escolhido o preto, para o quadrado a cor vermelha. Clicando-se na região interna do polígono com o botão direito do
mouse, constata-se que as duas figuras possuem a mesma área ( calculada pelo programa).
Ilustração 4 : Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção dos paralelogramos equivalentes ( retângulo ABCD e quadrado CHGF).
Tarefa 2 : Construir um quadrado equivalente a um losango dado.
• Dados fornecidos pelo professor para o losango : diagonal maior = 4 unidades ; diagonal menor = 2 unidades.
• Utilizando-se os critérios de equivalência ( feito pelos alunos):
• Passos para a obtenção do lado do quadrado( usando o
programa Régua e Compasso). Feito pelos alunos:1°) Utilizando-se a função grelha , coloque os eixos perpendiculares e a malha de pontos.2°) Utilize o eixo horizontal: utilize a função segmento , marque o A e posteriormente o ponto C tendo a distância de 4 unidades entre
2
do quadrado = Área do losango
x dL2
d D x 2
Atribuindo os valores ( D = 4 unidades e d = 2 unidades):
2L = 4 x 2
4 L = 2 unidades.
lado do quadrado é determinado pela média geométrica entre a
Área
D
L
L
O
=
=
=
medida da diagonal maior e a metade da diagonal menor.
eles( BC é a diagonal maior) . Os pontos A e C coincidirão com os pontos do eixo. 3°) Utilizando a função segmento , clique no ponto C e marque o ponto B a uma unidade de C. O segmento CB é a metade da diagonal menor do losango ( 1 unidade). 4°) Você irá obter o segmento AB ( Diagonal maior mais a metade da diagonal menor). 5°) Usando a função ponto médio , clique nos pontos A e B e você encontrará o ponto O ( ponto médio de AB). 6°) Usando a função círculo, clique no ponto O ( centro da circunferência) e posteriormente em B ( ponto da circunferência) , obtendo a circunferência que passa por B e centro O. 7°) Usando a função segmento, marque o ponto C e trace um segmento perpendicular ao eixo horizontal( passando por C) até tocar a circunferência construída. Marque o ponto F na circunferência. Clique com o botão direito do segmento CF e constate que ele possui 2 unidades.O segmento CF é o lado do quadrado equivalente procurado.
Ilustração 5: Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção do lado do quadrado equivalente ( segmento CF).
• Construção dos paralelogramos equivalentes no Régua e Compasso e verificação do valor numérico de sua área( feita pelos alunos):
Traçando -se as linhas poligonais de cada figura e clicando na função polígono, dê uma volta completa ao redor dos 4 vértices e será observado o preenchimento da parte interna desta com uma cor. Para o losango foi escolhido o vermelho, para o quadrado a cor azul. Clicando-se na região interna do polígono com o botão direito do mouse, constata-se que as duas figuras possuem a mesma área( calculada pelo programa).
Ilustração 6 : Utilização do programa Régua e Compasso para obtenção dos paralelogramos equivalentes ( losango ABCE e quadrado CHGF).