CE2 – Estabilidade das Construções II – Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 1

CE2 – ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II PROF DOUGLAS PEREIRA AGNELO

TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA

Consonante com os objetivos, ementa e conteúdo programático presentes no

plano de ensino, o trabalho final da disciplina será realizado a partir dos conhecimentos

adquiridos nas aulas 18 até aula 24.

1 OBJETIVO

Desenvolver, a partir da Análise Matricial de Estruturas, rotina de cálculo para

simular o comportamento estrutural espacial através de linguagens computacionais ou

programas comerciais tais como Microsoft Excel, Microsoft VBA, AutoCAD Visual LISP, HP

User-RPL, JavaScript, C++ ou qualquer linguagem/programa que o grupo preferir.

2 GRUPO

O trabalho deve ser feito em grupo de três a seis alunos.

3 ENTREGA

Serão realizadas quatro entregas por arquivos digitais contendo todos os

elementos referentes ao desenvolvimento do trabalho (planilhas/rotinas/arquivos executáveis,

etc.).

Os arquivos devem ser compactados e enviados em um único arquivo no formato

*.zip nomeado com o número do grupo e a respectiva parte. Ex.: G5 – Parte III.zip

Serão realizadas quatro entregas sempre aos domingos até as 20 horas no e-mail

douglas@tecnocalc.com.br conforme cronograma:

Objetivo Data limite

PARTE I 12/out

PARTE II 19/out

PARTE III 26/out

PARTE IV 02/nov

Cada entrega tem valor de 12,5% da nota do total trabalho. A não entrega de

alguma parte não anula as demais. Após a entrega final, dois alunos serão selecionados para

explicar o trabalho (fórmulas, rotinas, etc.) e a explicação oral tem valor de 50% do trabalho.

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4 PRIMEIRA PARTE (ENTRADA DE DADOS)

A entrada de dados deve ser desenvolvida pelo grupo. Trabalhos iguais serão

desconsiderados.

4.1 ENTRADA DE NÓS

Criar no mínimo 20 variáveis para alocar as coordenadas espaciais de cada nó.

Em VBA, HP User-RPL e demais linguagens, cada variável pode alocar os três elementos

referentes às coordenadas x, y e z do sistema global da estrutura. Em Excel pode ser criado uma

linha ou coluna com as propriedades de cada nó.

4.2 ENTRADA DAS BARRAS

Com a definição dos nós, os cálculos dos cossenos de x, y e z é automatizado a

partir da definição do nó inicial e final (criação do eixo local). Permitir a entrada do Módulo de

Elasticidade e das propriedades geométricas de cada barra (área, inércia, etc.). Deve ser

permitida a entrada de no mínimo 20 barras.

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4.3 GRAU DE LIBERDADE DOS NÓS

Cada nó deve ter sua indicação dos Índices dos Graus de Liberdade. Essa

rotina nos programas de análise estrutural é automatizada e dispensada (STRAP, FTool, etc.),

pois os graus de liberdade estão vinculados à criação dos nós.

Neste trabalho deve ser realizada a definição dos índices dos graus de liberdade,

os quais devem ser vinculados ao nó escolhido pelo usuário.

4.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO (APOIOS/RECALQUES)

A definição dos apoios e dos recalques (translação forçada) está diretamente

relacionada com a restrição do grau de liberdade (GL), portanto deve ser permitida o restrição

do grau de liberdade. É a matriz-coluna de deslocamentos globais da estrutura.

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4.5 FORÇAS

A definição das forças nos nós está diretamente relacionada com os índices do

grau de liberdade (GL). É a matriz-coluna de forças globais da estrutura.

5 SEGUNDA PARTE (REARRANJO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DAS

BARRAS)

Conforme exposto em aula, a dimensão da matriz de rigidez de cada barra é igual

ao grau de liberdade da estrutura.

A matriz de rigidez global da barra de uma treliça espacial é:

Deve-se atentar que cada elemento da matriz k está vinculado ao índice do grau

de liberdade (GL) em relação aos eixos globais x, y e z, no nó inicial e no nó final da barra.

Portanto cada elemento 𝑘𝑚,𝑛 da matriz k (onde 𝑚, 𝑛 são os índices dos graus de liberdade)

devem ser rearranjados na matriz esparsa k com dimensão igual ao grau de liberdade da

estrutura.

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Exemplo:

Vamos considerar os seguintes dados de entrada:

- Uma treliça espacial qualquer possui 4 nós, portanto 12 graus de liberdade;

- A barra 3 tem nó inicial 3 e nó final 1;

- Propriedades da rigidez axial da barra: E = 200GPa e Área = 0,0025 m²

- O nó 3 tem os seguintes graus de liberdade: em x GL = 7; em y GL = 12; em z GL = 4

- O nó 1 tem os seguintes graus de liberdade: em x GL = 1; em y GL = 3; em z GL = 8

De forma automatizada os cossenos e comprimento são calculados:

Matriz k:

Os graus de liberdade são carregados de forma automatizada, pois estão vinculados ao nó inicial

e ao nó final, os quais já foram informados para orientação do eixo local.

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Matriz k (rearranjada a partir dos índices dos graus de liberdade adotados):

O elemento 𝑘4,3 (linha com GL 4 e coluna com GL 3) da matriz k é igual a 5396 kN/m.

Na matriz rearranjada, o elemento 𝑘4,3 está alocado na linha 4 coluna 3:

O rearranjo é realizado com todos os elementos de forma automatizada.

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Para segunda parte do trabalho é solicitado que a matriz de rigidez de uma barra

(matriz não rearranjada com a dimensão 6x6) seja automaticamente rearranjada para a matriz

com dimensão igual ao grau de liberdade da estrutura.

6 TERCEIRA PARTE (MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA E

CRIAÇÃO DAS SUBMATRIZES 𝑲𝟏𝟏, 𝑲𝟏𝟐, 𝑲𝟐𝟏 E 𝑲𝟐𝟐)

Todas as matrizes de rigidezes globais das barras foram rearranjadas e

apresentam a mesma dimensão (igual grau de liberdade total da estrutura). Assim todas as

matrizes de rigidezes das barras devem ser somadas para obter a matriz de rigidez global da

estrutura:

𝑲 = 𝑘1 + 𝑘2 + … + 𝑘𝑛 = ∑𝑘𝑖

𝑛

𝑖=1

i barra i

n número total de barras

A matriz-coluna de forças globais (F) e a matriz-coluna de deslocamentos

globais (Δ) da estrutura já estão definidas, portanto para determinar as forças e deslocamentos

desconhecidos basta resolver o sistema linear:

𝐹 = 𝑲 ∗ 𝛥

O sistema linear apresentará o número de equações igual ao grau de liberdade

total da estrutura. Por exemplo, se uma treliça espacial apresenta 6 nós, terá 18 graus de

liberdade e o sistema linear final apresentará 18 equações lineares.

Existem dois tipos de equações:

Equações com Forças desconhecidas e Deslocamentos conhecidos;

Equações com Forças conhecidas e Deslocamentos desconhecidos.

Uma das alternativas para solução é a divisão da solução 𝐹 = 𝑲 ∗ 𝛥 em

submatrizes baseadas nos coeficientes dos tipos equações apresentados acima. Ou seja, dividir

as matrizes-colunas em duas submatrizes e a matriz de rigidez em quatro submatrizes.

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6.1 DIVISÃO DA MATRIZ-COLUNA DE FORÇAS GLOBAIS DA ESTRUTURA (F)

Deve ser dividida em duas submatrizes-colunas de forças globais, sendo:

𝐹𝐶 Submatriz-coluna das forças globais conhecidas

𝐹𝐷 Submatriz-coluna das forças globais desconhecidas

6.2 DIVISÃO DA MATRIZ-COLUNA DE DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA

ESTRUTURA (Δ)

Deve ser dividida em duas submatrizes-colunas de deslocamentos globais,

sendo:

Δ𝐷 Submatriz-coluna de deslocamentos globais desconhecidos

Δ𝐶 Submatriz-coluna de deslocamentos globais conhecidos

6.3 DIVISÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOCAL DA ESTRUTURA (K)

Deve ser dividida em quatro submatrizes baseadas no sistema linear:

𝐹𝐶 = 𝑲𝟏𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟏𝟐 ∗ Δ𝐶

𝐹𝐷 = 𝑲𝟐𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟐𝟐 ∗ Δ𝐶

𝑲𝟏𝟏 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos desconhecidos nas linhas das forças

conhecidas

𝑲𝟏𝟐 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos conhecidos nas linhas das forças

conhecidas

𝑲𝟐𝟏 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos desconhecidos nas linhas das forças

desconhecidas

𝑲𝟐𝟐 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos conhecidos nas linhas das forças

desconhecidas

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6.4 EXEMPLO

Rigidez Axial: EA = 1,0 kN

X1 = eixo global x

X2 = eixo global y

X3 = eixo global z

Cargas no nó 4:

Na direção x: 10 kN

Na direção y: 20 kN

Na direção x: -30 kN

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GRAUS DE LIBERDADE ADOTADO PELO ENGENHEIRO

PORTANTO A MATRIZ-COLUNA DAS FORÇAS GLOBAIS DA ESTRUTURA (F) É:

Entende-se que os valores não informados se referem às forças desconhecidas

𝑁1, 𝑁3, 𝑁4 etc.

E A MATRIZ-COLUNA DOS DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA ESTRUTURA (Δ) É:

Entende-se que os valores não informados se referem aos deslocamentos

desconhecidos 𝛿2, 𝛿7, 𝛿10.

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MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA BARRA 1 (𝑘1):

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA BARRA 2 (𝑘2):

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA BARRA 3 (𝑘3):

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MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA (K):

𝑲 = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3

SUBMATRIZ DAS FORÇAS CONHECIDAS (𝐹𝐶):

SUBMATRIZ DAS FORÇAS DESCONHECIDAS (𝐹𝐷):

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SUBMATRIZ DOS DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS (Δ𝐷):

SUBMATRIZ DOS DESLOCAMENTOS CONHECIDOS (Δ𝐶):

COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS CONHECIDAS QUE MULTIPLICAM

DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟏𝟏

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COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS CONHECIDAS QUE MULTIPLICAM

DESLOCAMENTOS CONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟏𝟐

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COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS DESCONHECIDAS QUE MULTIPLICAM

DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟐𝟏

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COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS DESCONHECIDAS QUE MULTIPLICAM

DESLOCAMENTOS CONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟐𝟐

Com todas as submatrizes definidas é possível resolver as duas equações

matriciais abaixo e encontrar Δ𝐷 e 𝐹𝐷, ou seja, todas as forças e deslocamentos globais que

equilibram a estrutura.

𝐹𝐶 = 𝑲𝟏𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟏𝟐 ∗ Δ𝐶

𝐹𝐷 = 𝑲𝟐𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟐𝟐 ∗ Δ𝐶

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7 QUARTA PARTE (SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO “𝐹 = 𝑲 ∗ 𝛥” E DETERMINAÇÃO

DOS ESFORÇOS E DELOCAMENTOS LOCAIS )

7.1 MATRIZES-COLUNA DAS FORÇAS E DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA

ESTRUTURA

Os elementos desconhecidos das matrizes-coluna das forças e deslocamentos

globais da estrutura podem ser obtidos pela solução abaixo:

Δ𝐷 = 𝑲𝟏𝟏−𝟏 ∗ (𝐹𝐶 − 𝑲𝟏𝟐 ∗ Δ𝐶)

𝐹𝐷 = 𝑲𝟐𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟐𝟐 ∗ Δ𝐶

Com o exemplo da Parte III, os valores de Δ𝐷 e 𝐹𝐷 obtidos são:

Δ𝐷 = [120,083859,9995

−45,0286]

2710

𝐹𝐷 =

[ −13,2366−3,909219,4269

−13,741621,6199

0−11,0468−6,76337,6508 ]

1

3456891112

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Os deslocamentos e forças globais desconhecidos que equilibram a estrutura

foram determinados, assim as matrizes-coluna globais de deslocamentos e forças da estrutura

são:

7.2 MATRIZES GLOBAIS E LOCAIS DAS BARRAS

Para exemplificar essa seção, usaremos a barra 3 da estrutura do exemplo da

Parte III.

7.2.1 Matriz-coluna dos deslocamentos globais da barra (𝜹𝒊)

A matriz-coluna global de deslocamentos da barra (𝛿𝑖) deve ser ordenada a partir

dos graus de liberdade referente ao nó inicial e ao nó final da barra i.

𝛿3 =

[

59,9995120,0838−45,0286

000 ]

72101216

7.2.2 Matriz-coluna das forças globais da barra (𝑵𝒊)

A matriz-coluna das forças globais da barra (𝑁𝑖) é obtida a partir da

multiplicação da matriz de rigidez global da barra (𝑘𝑖) pela matriz-coluna global de

deslocamentos (𝛿𝑖)

𝑁𝑖 = 𝑘𝑖 ∗ 𝛿𝑖

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Matriz de rigidez global da barra 3:

Matriz-coluna de deslocamentos globais da barra 3:

𝛿3 =

[

59,9995120,0838−45,0286

000 ]

72101216

Resultado da multiplicação: 𝑁3 = 𝑘3 ∗ 𝛿3

7.2.3 Matriz-coluna dos deslocamentos locais da barra (𝜹′𝒊)

Os deslocamentos locais são obtidos pela multiplicação da matriz de

transformação de translação espacial (T) pela matriz-coluna de deslocamentos globais da barra.

𝛿′𝑖 = 𝑇𝑖 ∗ 𝛿𝑖

Sendo o versor local na direção y:

𝐿𝑥𝑦 = √𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑦

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A matriz de transformação T é dada por:

𝑇 =

[

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 0 0 0

−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦

𝐿𝑥𝑦

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥

𝐿𝑥𝑦0 0 0 0

−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦−

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦𝐿𝑥𝑦 0 0 0

0 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

0 0 0 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦

𝐿𝑥𝑦

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥

𝐿𝑥𝑦0

0 0 0 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦−

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦𝐿𝑥𝑦

]

Para ratificar o cálculo da matriz de transformação pode-se verificar se a sua

transposta e a sua inversa são iguais, já que todas as matrizes de transformação são ortogonais.

𝑇𝑇 = 𝑇−1

Para a barra 3 temos a seguinte matriz de transformação:

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Usando a matriz de transformação para barra 3, temos:

𝛿′3 = 𝑇3 ∗ 𝛿3

7.2.4 Matriz-coluna das forças locais da barra (𝑵′𝒊)

A matriz-coluna das forças locais da barra é obtida pela multiplicação da matriz

de rigidez local pela matriz-coluna dos deslocamentos locais:

𝐹′𝑖 = 𝑘′𝑖 ∗ Δ′𝑖

Para treliças temos:

𝑁′𝑖 = 𝑘′𝑖 ∗ δ′𝑖

A matriz de rigidez local das barras de treliças espaciais é dada por:

𝑘′ =𝐸𝐴

𝐿

[

1 0 0 −1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

−1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0]

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Portanto para a barra 3 temos:

Multiplicando a matriz de rigidez local pelos deslocamentos locais teremos as

forças da barra no sentido do eixo local. Para a barra 3 observa-se uma compressão de 26,48

kN.

8 RESULTADOS FINAIS

Para facilitar a visualização dos resultados, pode-se capturar os esforços axiais

de cada barra. Convenção brasileira utilizada para os esforços locais: + tração e – compressão.

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ENVIAR O ARQUIVO COM O FORMATO:

GRUPO – PARTE.zip

(ver lista de grupos publicada no site

engpereira.wordpress.com)

Exemplo do nome do arquivo a ser enviado:

G4 – Parte IV.zip

Entrega na data do cronograma apresentado no item 3 até às 20:00hs no e-

mail douglas@tecnocalc.com.br

Entregas após às 20:00hs serão desconsideradas.