UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE IME - Instituto de Matemática e Estatística

LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DE PROBLEMAS

SÓLIDOS DE PLATÃO: História e tecnologia se encontram

Carla Soares Restier Lima Carvalho

VOLTA REDONDA/RJ 2012

NOME: Carla Soares Restier Lima Carvalho

PÓLO: Volta Redonda

GRUPO: 08

INTRODUÇÃO:

É habitual encontrarmos poliedros regulares no nosso cotidiano. Estas misteriosas

formas estão presentes desde estruturas de cristais, dados de jogos e até mesmo em

construções antigas e atuais também. Nessa aula através de recursos como a história da

matemática, o uso de novas tecnologias e a construção dos sólidos pretende-se oferecer

caminhos facilitadores para que o professor desperte o interesse e a curiosidade dos

alunos pela geometria, além de apresentar e oferecer a possibilidade de explorar os

poliedros regulares de Platão de uma forma divertida e significativa para os alunos.

OBJETIVOS:

Este trabalho tem como objetivo propor de forma significativa e adequada a introdução

do conceito de POLIEDROS, tendo como recurso a história da matemática. Pretende-se

apresentar aos alunos a origem dos poliedros tendo em vista as dificuldades que os

discentes apresentam para identificar os mesmos e possibilitar que os alunos

compreendam as noções e definições envolvendo os sólidos de Platão.

METODOLOGIA e APRESENTAÇÃO DE MATERIAIS:

Para introduzir o conceito de Sólidos Platônicos, acredito que os alunos dominem

conceitos necessários para inserção de tal assunto. A aula será conduzida por

apresentação de slides.

Apresentação do que é poliedro através de apresentação de slides apresentando as

figuras como, por exemplo:

Logo após a apresentação, conceituar o que são poliedros ou sólidos.

A construção (com materiais previamente pedidos) de alguns poliedros possibilitará

aos discentes melhor entendimento e visualização de alguns conceitos como: vértice,

aresta e faces.

.

Através da manipulação desses sólidos, conceituar o que são sólidos convexos e não

convexos, explicando que entre os sólidos convexos existem ainda os que são regulares

e os não regulares.

POLIEDROS

Material:

Papel cartão, canetinha, régua, tesoura e cola.

Apresentação do que são os poliedros regulares convexos: Sólidos de Platão

Utilizar a História da Matemática para o principal assunto da aula: Sólidos de Platão.

Iniciar dizendo que (segundo LIMA et. al) desde da antiguidade são conhecidos os

poliedros regulares e que esses sólidos recebem o nome de Platão ( segundo BOYER, p.

58) por ter sido ele que pôs suas ideias sobre os sólidos regulares, essas ideias foram

registradas num diário chamado Timaeus . No diário, Platão atribui aos sólidos,

explicações de fenômenos científicos, pois para Platão o Universo era formado por um

corpo e uma alma, ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos ou

quadrados, formando-se elementos que diferiam entre si pela natureza da forma das suas

superfícies periféricas.

Se fossem quadrados teríamos o Cubo- elemento terra

Se fossem triângulos eqüiláteros teríamos:

Tetraedro - elemento fogo

Octaedro - elemento ar

Icosaedro – elemento água

E se fossem pentágonos, teríamos o Dodecaedro que representava o Universo:

A este sólido, Platão atribui papel especial como representante do universo, dizendo em

Timaeus que “Deus usou-o para todo”. Platão considerava o dodecaedro como

composto de 360 triângulos retângulos escalenos, pois quando em cada uma das faces

pentagonais são traçadas as cinco diagonais e as cinco medianas, cada uma das doze

faces conterá trinta triângulos retângulos.

Sugiro aqui neste momento, um breve debate sobre as ideias de Platão, citando ainda

como curiosidade que alguns séculos mais tarde, em 1597 Kepler, inspira-se nos

poliedros regulares para estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos

(Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vénus e Mercúrio) e publica a sua obra "The

Cosmographic Mystery", onde utiliza um modelo do sistema solar composto por esferas

concêntricas, separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um

octaedro e um icosaedro para explicar as distâncias relativas dos planetas ao sol.

Neste momento passar o vídeo de apenas 7 minutos e 17 segundos, com o título:

Matemática: Poliedros

Disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=soMZjpyx5t4

Logo após este momento, através do software SISEULER construir e verificar a

fórmula de Euler: V + F = 2 + A

Leonhard Euler (1707- 1783) foi um matemático suíço que descobriu uma importante

relação entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F)

de um poliedro convexo.

Por ter sido um dos melhores e mais produtivos matemáticos da história, foi

representado na sexta série das notas do banco Suíço e em numerosos selos da

Suíça, Alemanha e da Rússia.

Antiga nota de 10 francos suiços homenageando Euler.

O asteroide 2002 foi chamado Euler em sua homenagem.

É também comemorado pela Igreja Luterana no dia 24 de Maio, no Calendário

dos Santos.

Euler foi também uma das inspirações na criação do jogo Sudoku. Um puzzle

inspirado (provavelmente) no quadrado latino, invenção do século XVIII de

Euler.

Eis o software a ser trabalhado:

SISEULER: Um software para apoio ao entendimento da relação de Euler

De acordo com LEMOS, o objetivo deste software é atuar como um objeto de

aprendizagem, proporcionando para o aluno, através da visualização e manipulação de

objetos, um melhor entendimento da relação descoberta por Leonhard Euler.

Neste trabalho a relação é utilizada para verificar o número de vértices, faces e arestas

nos poliedros de Platão.

O sistema foi desenvolvido em linguagem C sendo que para a construção dos desenhos

virtuais utilizou o sistema gráfico OPENGL.Todo o desenvolvimento de identificação

dos marcadores foi feito usando a biblioteca ARToolkit .

O SISEULER é software livre licenciado pelos termos da GPL (General Public

License).

Segundo CARVALHO, o software SISEULER foi desenvolvido utilizando a tecnologia

de Realidade Aumentada e é uma ferramenta para o ensino da relação de Euler. O

trabalho é resultado da dissertação de Mestrado em Educação Matemática da USS do

Professor Bruno M. Lemos. O download pode ser feito no

link: https://sites.google.com/site/siseuler/home.

Através da visualização e manipulação do software SISEULER o aluno poderá construir

de maneira concreta a fórmula de Euler, além disso, também poderá visualizar o número

de vértices, faces e arestas.

Dodecaedro no SISEULER

Por fim, um breve debate sobre a aula como um todo, apontando a importância do saber

histórico e o uso de novas tecnologias.

ROTEIRO DETALHADO DA PROPOSTA:

O primeiro momento se dará através de apresentação de slides, mostrando aos alunos

alguns sólidos e ainda indagá-los onde encontramos tais sólidos no nosso dia a dia,

mostrando figuras como por exemplo: dado (jogos), pirâmides,balão poliédrico e um

icosaedro feito em pedra e que curiosamente está sendo leiloado.

Na própria apresentação conceituar formalmente o que é de fato um poliedro, que

segundo LIMA et al “ poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos

planos, onde cada lado de um desses polígonos é também um lado de um, e apenas um,

outro polígono.”

O segundo momento terá como atividade a construção de alguns sólidos. Neste

instante, a turma se dividirá em grupos (pelo menos 5) e cada grupo construirá um

sólido apresentado previamente:

Sugestão:

Grupo 1: CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO

Grupo 2: CONSTRUÇÃO DO CUBO

Grupo 3: CONSTRUÇÃO DA OCTAEDRO

Grupo 4: CONSTRUÇÃO DO DODECAEDRO

Grupo 5: CONSTRUÇÃO DO ICOSAEDRO

Os alunos deverão com o auxílio de régua e canetinha, riscar o papel cartão conforme

molde sugerido (em anexo) dobrarão e cortarão nas marcas feitas e colarão as bordas.

Durante a construção buscar que os próprios discentes identifiquem o que é aresta, o

que é vértice e o que é face.

Os grupos trocarão de sólidos e o professor enquanto mediador, tocará na questão que

existem dois tipos de sólidos: os convexos e os não convexos.

Os alunos poderão perceber que as figuras que eles construíram se tratam de sólidos

convexos e o professor se limitará a mostrar um sólido não convexo no slide (devido a

dificuldade de construção).

Após esta experiência, formalizar o conceito de sólidos convexos e não convexos.

Conceituando segundo DANTE (2008, p. 363), “ Poliedro convexo é regular quando

todas as faces são regiões poligonais regulares e congruentes e em todos os vértices

concorre o mesmo número de arestas” e para poliedros não regulares DANTE apenas

dá um contra exemplo como:

Ainda por conta das construções dos sólidos levantar o seguinte questionamento: ‘e o

que seria sólidos regulares e sólidos não regulares?’

Buscar dentro dos exemplos vistos (pela apresentação de slides e os sólidos construídos)

sólidos que representem cada item: sólidos regulares e sólidos não regulares.

No terceiro momento, apresentar os poliedros regulares convexos ou sólidos de Platão

e buscar responder o seguinte questionamento: Por que só existem cinco poliedros

regulares convexos?

Utilizando a História da Matemática como subsídio, contar porque esse tipo de

poliedro recebe o nome de Platão. Dizer quem foi Platão e suas contribuições para nossa

conhecida matemática, como era as escolas da antiguidade e que na escola de Platão

(que na época era chamada de Academia) ele ordenou que escrevessem em cima das

portas: "Não entre aqui ninguém que não seja geômetra."

Acredito que através do vídeo poderá ser explicado porque Platão valorizava tanto os

triângulos e explorar as conceitos como vértices, arestas e faces, inclusive o volume das

figuras espaciais.

Poliedro não regular: as faces não têm o mesmo número de lados

Nesta parte vale à pena explorar as figuras que Platão valorizava: os triângulos, pois as

propriedades de todos os sólidos giravam em torno do triângulo. Para Platão as figuras

geométricas tinham importância divina!

A explicação história (tendo como auxílio à apresentação de slides) do porque que

existem somente cinco sólidos platônicos: Para Platão, o cubo representava o elemento

sol, o tetraedro representava o fogo, o octaedro representava o elemento ar, o icosaedro

representava o elemento água e o dodecaedro representava o universo.

Creio que seja propício demonstrar matematicamente esta propriedade. E segundo

Dante:

Consideremos um poliedro regular em que n é o número de lados de cada face e p é o

número de arestas que concorrem em cada vértice. Assim temos: 2A = nF = PV

O que acarreta:

퐴 = 푛퐹2 푒 푉 =

푛퐹푃

Substituindo esses valores na relação de Euler, , temos:

푛퐹푃 −

푛퐹2 + 퐹 = 2 →

2푛퐹 − 푛푝퐹 + 2푝퐹2푝 =

4푝2푝 →

→ 퐹(2푛 + 2푝 − 푛푃) = 4푝 → 퐹 = 4푝

2푛 + 2푝 − 푛푝

Precisamos ter 2n + 2p – np > 0, isto é:

2푛 > 푛푝 − 2푝 → 2푛 > 푝(푛 − 2) → 2푛푛 − 2

퐶표푚표 푝 ≥ 3, 푡푒푚표푠 푞푢푒:

2푛푛 − 2 > 푝 ≥ 3 → 2푛 > 3푛 − 6 → −푛 > −6 ∴ 푛 < 6

푃표푟푡푎푛푡표, 푡푒푚표푠 푎푠 푠푒푔푢푖푛푡푒푠 푝표푠푠푖푏푖푙푖푑푎푑푒푠:푛 = 3, 푛 = 4 푒 푛 = 5

푃푎푟푎 푛 = 3: 퐹 = p = 3 F = 4 ( tetraedro)

p = 4 F = 8 ( octaedro)

p = 5 F = 20 ( icosaedro)

푃푎푟푎 푛 = 4: 퐹 = p = 3 F = 6 ( cubo)

푃푎푟푎 푛 = 5: 퐹 = p = 3 F = 12 (dodecaedro)

Citar que Kleper inspirou-se nos sólidos platônicos para estudar os planetas até

conhecidos, deixando como legado outros quatro sólidos regulares não convexos.

Mostrar no slide quais seriam esses sólidos regulares não convexos.

No quarto momento, sugiro a utilização do software SISEULER (o roteiro de como

se dará essa utilização encontra-se em anexo), para levantar questionamentos acerca

dos conceitos apresentados: arestas, faces e vértices.

Este software permite visualizar através da REALIDADE AUMENTADA, o sólido

gerado em um marcador próprio (em anexo); o sólido só é gerado se os marcadores

estiverem dispostos de forma correta.

Além disso, através de atalhos (em anexo) temos opções de mostrar/esconder somente

os vértices ou somente as arestas ou ainda somente as faces, desta forma fica mais fácil

contar a quantidade de cada item dos sólidos.

Após este experimento conceituar a relação de Euler (definição no slide) , dando ênfase

na parte histórica que cerca este importante matemático. Apresentar algumas

curiosidades sobre Euler, buscar misturar a matemática da antiguidade com a nossa

matemática atual, visando criar nos alunos a curiosidade de saber como foi? Quem fez?

Por que fez?

Através de alguns exercícios (em anexo) fazer a verificação da relação de Euler.

Cabe ressaltar que a avaliação será contínua, valorizando a participação ativa de cada

aluno.

REFERÊNCIAS DE PESQUISA

BOYER, Carl B. História da Matemática, revista por Uta C. Merzbach; tradução: Elza

F. Gomide- 2ª Ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.

LIMA, Elon Lages, et al. A Matemática do Ensino Médio - Volume 2. 6ª Ed. Rio de

Janeiro: SBM, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Volume Único – 1ª Ed. São Paulo, Ática: 2005.

EVES, H. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. São

Paulo:Campinas, Unicamp, 1995.

Lexicoteca - Moderna Enciclopédia Universal ; Círculo de Leitores, Tomo VIII, XI,

XV

ALGUNS SITES CONSULTADOS (EM 20/03/2012):

https://sites.google.com/site/siseuler/home.

http://carlosvitor-blog.blogspot.com.br/

http://toca-de-dinossauros.blogspot.com.br/2012/02/solidos-geometricos-os-nossos-

trabalhos.html

http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2010/10/solidos-

geometricos.html.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm205/historia.htm.

ALGUNS SITES CONSULTADOS (EM 24/03/2012):

http://qfojo.net/poliedros/poliedros.html

http://www.webquestfacil.com.br/webquest.php?pg=introducao&wq=28.

http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/Manhas/Modulo3PolidrosEuler.html.

ALGUNS SITES CONSULTADOS (EM 25/03/2012)

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/tvmultimidia/imagens/6matemat

ica/2_balao_poliedrico.jpg.

http://escolaagricolacolina.blogspot.com.br/2011/08/professora-silvania-aplicando.html.

http://www.mundogump.com.br/dado-romano-de-20-lados-da-antiguidade-a-venda/

http://www.youtube.com/watch?v=soMZjpyx5t4

http://www.benitopepe.com.br/tag/platao/

http://educacao.uol.com.br/matematica/relacao-de-euler.jhtm

ANEXOS

Apresentação de slides

Moldes para construção dos sólidos platônicos: (planificação)

Tetraedro

Cubo ou Hexaedro:

Octaedro:

Dodecaedro

Icosaedro

Orientação para utilização do software SISEULER:

Texto extraído da dissertação de mestrado de Bruno de Moraes Lemos.

Título: SISEULER: Um software para apoio ao ensino da Relação de Euler.

(páginas 38 à 51)

O SISEULER, foi pensado com o intuito de desenvolver uma atividade lúdica, para

favorecer o ensino da Relação de Euler e os pré-requisitos para o desenvolvimento desta

atividade, são que cada aluno ou dupla de alunos, conforme for mais conveniente, além

do software, tenha a sua disposição: Suporte para Realidade Aumentada (SRA) (Figura

3.3), marcadores ( exemplo na figura 3.5) , um computador e para realizar a captura das

imagens, uma webcam ligada ao computador. A atividade será realizada conforme se

descreve a seguir.

Figura 3.3: Suporte para realidade aumentada (SRA) – Visão frontal.

Em um primeiro momento, são fornecidos para o desenvolvimento da atividade,

diversos marcadores, sendo um deles, denominado quadrado, destinado a exibição da

imagem. Os demais, correspondem ao número de vértices, faces e arestas de um

poliedro qualquer. Para melhor exemplificar, este trabalho irá chamá-los de: 8V, 6F,

12A, 4V, 4F, 6A,6V, 8F, 20V, 12F, 20F, 12V e 30A (Apêndice A). Esses marcadores

representam respectivamente: 8 vértices, 6 faces, 12 arestas, 4 vértices, 4 faces, 6

arestas, 6 vértices, 8 faces, 20 arestas, 12 faces, 20 faces, 12 vértices e 30 arestas. A

Figuras 3.5 mostra um dos marcadores.

Figura 3.5: Exemplo do marcador 6 faces.

O marcador quadrado indica onde o software desenhará o objeto virtual e isso ocorrerá

somente após o aluno descobrir qual a relação que há entre eles.

O SRA possui duas bases para colocação dos marcadores, em ambas têm-se espaços

destinados a colocação do marcador quadrado para exibir o resultado, e os marcadores

que correspondem ao número vértices, faces e arestas. A primeira base é exibida na

Figura 3.7.

Figura 3.7: Primeira base do SRA

A diferença entre a primeira e a segunda base do SRA é que a primeira tem apenas os

espaços destinados a colocação dos marcadores e a segunda além dos espaços

destinados aos marcadores, também tem os sinais da soma (+), igualdade (=) e o

número dois (2), compondo assim a Relação de Euler (Figura 3.8). Essa opção justifica-

se, pois se houvesse apenas a segunda base, a fórmula da relação seria entregue pronta

para os alunos e como o principal objetivo desta atividade é que o aluno construa o

conceito da Relação de Euler, optou-se por desenvolver duas bases para os marcadores,

devendo a segunda ser exibida para o aluno apenas ao final da atividade, após o próprio

ter conjecturado a relação.

Figura 3.8:

Inicialmente é sugerido que o professor ao desenvolver essa atividade, realize uma

intervenção didática, orientando os alunos para primeiramente, colocar o marcador

quadrado no espaço destinado ao resultado, o marcador 8V no espaço destinado ao

número de vértices, o marcador 6F no espaço destinado ao número de faces e em

seguida, usando os marcadores restantes, descobrir qual deles deve ser colocado no

espaço destinado ao número de arestas.

Ao colocar esses marcadores nos espaços designados, o aluno perceberá que ao inserir o

marcador 12A, o software desenhará como forma de premiação um Cubo virtual sobre o

marcador quadrado (Figura 3.9). O professor poderá aproveitar esse momento para

chamar a atenção a respeito do nome do sólido geométrico virtual projetado na base do

SRA.

Figura 3.9: Reconhecimento da relação do Cubo.

Sugere-se que neste momento seja fornecido pelo professor que estiver conduzindo a

atividade uma cartilha que contém a função das teclas que podem ser utilizadas. Essas

teclas tem função de exibir apenas os vértices (Figura 3.10), apenas as arestas (Figura

3.11) e as faces do sólido geométrico virtual (Figura 3.9).

Figura 3.10 e 3.11:

CARTILHA:

O professor deverá também chamar a atenção para o fato de que o Cubo pode ser

manipulado (Figura 3.12). Neste momento, será importante ressaltar que os marcadores

podem sofrer problemas de oclusão, devendo o aluno tomar cuidado para não colocar

sua mão e/ou qualquer outro objeto sobre qualquer um dos marcadores que estejam no

campo de visão da câmera, impedindo assim seu reconhecimento.

Figura 3.12: Cubo virtual sendo manipulado.

Sendo assim, o aluno que estiver utilizando o software poderá, com a mediação do

professor, colocar sobre o SRA os marcadores e verificar qual combinação desses

marcadores que representam vértices, faces e arestas, resultam na projeção de um sólido

platônico virtual.A sugestão é que a cada constatação se registre em uma tabela,

conforme Tabela 2, o número de vértices, faces, arestas e o poliedro projetado.

Em seguida o professor usando uma metodologia análoga, poderá explorar os demais

sólidos platônicos. Arbitrariamente esta atividade propõem que o próximo sólido a ser

construído seja o Tetraedro, portanto o professor deverá solicitar que os alunos,

coloquem o marcador 4V no espaço destinado aos vértices, o marcador 4F no espaço

destinado as faces e deixe que os alunos descubram qual o marcador referente ao

número de arestas irá projetar o próximo poliedro.

Acredita-se ser importante que os alunos experimentem os marcadores oferecidos e

consigam encontrar a relação adequada sozinhos, pois será através deste processo de

experimentação e significação que o aluno poderá construir o conhecimento. Entretanto,

é claro que ao tentar descobrir os marcadores que traduzem a relação verificada no

Tetraedro (4V + 4F = 6A +2) – como de qualquer outro poliedro - o aluno, poderá

escolher o marcador referente ao número de arestas errado.

Apenas após a exploração através da manipulação, visualização, discussão e registro por

parte dos alunos, é que o professor deve levar os alunos a inferir sobre a relação que

poderá ser observada entre esses elementos. Espera-se que, naturalmente, os alunos

construam o conhecimento e verifiquem a validade da Relação de Euler para os sólidos

de Platão. Neste momento o professor pode aproveitar para pedir que os alunos

escrevam na própria folha onde se encontra a Tabela 2, qual a relação que pode ser

observada entre os vértices faces e arestas de cada poliedro.

Esta atividade sugere que, apenas após a conjectura dos próprios alunos, o professor

deverá explicar que a relação V+F=A+2 é conhecida como Relação de Euler e é uma

relação válida para todo prisma convexo e também para alguns não convexos, ou seja,

que a mesma se aplica não somente ao Cubo, também conhecido como Hexaedro, mas

além dele, aplica-se, entre outros poliedros convexos como, ao Tetraedro, Octaedro,

Dodecaedro e Icosaedro, explicando que cada um deles possui respectivamente, 4, 8, 12

e 20 faces.

OBSERVAÇÃO:

Este arquivo é particular, pois já tive aula com o autor da dissertação e por isso possuo o

arquivo, o endereço que achei na internet não está abrindo

http://www.uss.br/arquivos/Mestrado_Edumat/dissertacao_bruno_lemos.pdf) .

Exercícios:

Além da tabela a ser preenchida no decorrer da utilização do software SISEULER.

Sugiro também:

(FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices

em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Resolução:

De acordo com o enunciado, temos:

A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A

V + F = 2 + V + 6

Eliminando V:

F = 8

O número de faces é igual a 8.

(Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4

faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Resolução:

Do enunciado, sabemos que

Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:

3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12

2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6

4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20

Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas

de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela.

Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro.

Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A

V + 9 = 2 + 19

V = 21 - 9 = 12.