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Trabalho e Conserva¸c˜ ao da Energia Os problemas relacionados com a produ¸c˜ao e consumo de energia ocupam diariamente os notici´arios de TV, r´adios e jornais e constituem uma constante preocupa¸c˜ao do governo e da popula¸c˜ao de todas as na¸c˜ oes do mundo. Por estes notici´arios, vocˆ e j´a deve saber que, se um pa´ ıs possui grandes reservas de energia, ele ter´a possibilidades de se desenvolver, pois, al´ em de poder ex- portar parte desta energia, ele poder´a utiliz´a-la para instala¸c˜ ao de ind´ ustrias, ilumina¸c˜ ao, aquecimento, locomo¸c˜ ao de ve´ ıculos etc. Vocˆ e vˆ e ent˜ ao, que a energia desempenha um papel muito importante no mundo atual, sendo justific´avel que procuremos conhecˆ e-la melhor. Nesta aula faremos uma introdu¸c˜ao ao estudo da energia. Iniciaremos nosso estudo introduzindo o conceito de uma grandeza, de- nominada trabalho, que est´a relacionada com a medida da energia, como ser´a visto no desenvolvimento desta aula. Trabalho de uma for¸ca Trabalho - Consideremos um corpo sendo arrastado sobre uma mesa ho- rizontal,submetido`aa¸c˜ ao de uma for¸ca ~ F (figura acima). Suponha que a 1

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Trabalho e Conservacao da Energia

Os problemas relacionados com a producao e consumo de energia ocupamdiariamente os noticiarios de TV, radios e jornais e constituem uma constantepreocupacao do governo e da populacao de todas as nacoes do mundo. Porestes noticiarios, voce ja deve saber que, se um paıs possui grandes reservasde energia, ele tera possibilidades de se desenvolver, pois, alem de poder ex-portar parte desta energia, ele podera utiliza-la para instalacao de industrias,iluminacao, aquecimento, locomocao de veıculos etc.

Voce ve entao, que a energia desempenha um papel muito importante nomundo atual, sendo justificavel que procuremos conhece-la melhor. Nestaaula faremos uma introducao ao estudo da energia.

Iniciaremos nosso estudo introduzindo o conceito de uma grandeza, de-nominada trabalho, que esta relacionada com a medida da energia, como seravisto no desenvolvimento desta aula.

Trabalho de uma forca

Trabalho - Consideremos um corpo sendo arrastado sobre uma mesa ho-rizontal, submetido a acao de uma forca ~F (figura acima). Suponha que a

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forca ~F seja constante e que o corpo se desloque de uma distancia d. Sendoθ o angulo entre ~F e a direcao de deslocamento do corpo (figura anterior),

define-se o trabalho, T , realizado pela forca ~F da seguinte maneira:

Trabalho da forca constante ~F , que forma com o deslocamento ~dum angulo θ, e dado por T = F.d.cosθ.

Pela equacao de definicao de trabalho, lembrando que cosθ e um numeroadimensional (nao possui unidades), vemos que a unidade de medida dessagrandeza, no Sistema Internacional (S.I.), e

1 Newton × 1 metro = 1 N.m

Esta unidade e denominada 1 Joule em homenagem ao fısico ingles doseculo XIX, James P. Joule, que desenvolveu varios trabalhos no campo deestudo da energia. Entao,

1 N.m = 1 Joule = 1 J (figura abaixo)

Comentarios - 1) Na definicao de trabalho estao envolvidas duas grande-zas vetoriais (forca e deslocamento). Entretanto, na equacao T = F.d.cosθestamos nos referindo apenas aos modulos dessas grandezas, isto e, o trabalhoe uma grandeza escalar.

2) Observe que, se uma forca for aplicada a um corpo e este corpo naosofrer um deslocamento (d=0), a equacao T = F.d.cosθ nos mostra que otrabalho desta forca e nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem

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desloca-lo (figura anterior), ela nao estara realizando trabalho, sob o pontode vista da Fısica, embora, pelo conceito vulgar de trabalho, esta pessoa es-taria “trabalhando”. Entao, voce percebe que a grandeza trabalho, definidana Fısica, nem sempre coincide com o conceito vulgar de “trabalho” que voceja possuıa.

Influencia do angulo θ - Consideremos um corpo se deslocando de umadistancia d = 2,0 m submetido a acao de uma forca F = 10 N. O trabalhorealizado por esta forca dependera, naturalmente, do angulo θ que ela formacom a direcao do deslocamento do corpo. Podemos destacar as seguintessituacoes:

1) A forca ~F atua no mesmo sentido do deslocamento. Neste caso, temosθ = 0 (figura (a)) e, como cos 0◦ = 1, teremos, com as unidades no S.I.:

T = F.d = 10× 2, 0 donde T = 20 J

2) A forca ~F e perpendicular ao deslocamento. Neste caso, temos θ =90◦ (figura (b)), e como cos 90◦ = 0, teremos

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T = F.d.cos 90◦ donde T = 0 JEntao, quando uma forca atua perpendicularmente ao deslocamento, ela

nao realiza trabalho sobre o corpo.

3) A forca ~F atua em sentido contrario ao deslocamento (a forca atuatendendo a retardar o movimento do corpo). Neste caso, temos θ = 180◦

(figura (c) anterior) e, como cos 180◦ = -1, teremosT = F.d.cos 180◦ = 10× 2, 0× (−1) donde T = −20 JObserve que o trabalho realizado pela forca e, entao, negativo.

De um modo geral, podemos dizer que, quando o angulo θ estiver compre-endido entre 0◦ e 90◦, como na figura (a), o trabalho da forca ~F sera positivopois cosθ, nestas condicoes, e positivo. Se o angulo θ estiver compreendidoentre 90◦ e 180◦, como na figura (c), o trabalho sera negativo uma vez queneste caso, cosθ e negativo. No primeiro caso (trabalho positivo) a forca estacolaborando para aumentar o valor da velocidade do corpo; no segundo caso(trabalho negativo) a forca tende a provocar uma diminuicao da velocidadee, no caso de T = 0 (θ = 90◦), a forca nao colabora nem para aumentar nempara diminuir o valor da velocidade do corpo.

Trabalho da forca resultante - Suponha que um corpo esteja se des-locando sob a acao de varias forcas ~F1, ~F2, ~F3, etc., como mostra a figuraabaixo. O trabalho que cada uma dessas forcas esta realizando e calculadopela equacao T = F.d.cosθ.

Podemos calcular o trabalho total destas forcas de duas maneiras: adicionando-se os trabalhos, T1, T2, T3, etc, realizados pelas forcas ~F1, ~F2, ~F3, etc., oudeterminando-se a resultante destas forcas e calculando-se o trabalho desta

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resultante. O primeiro processo, em geral, e mais comodo de ser usado pois,nele, estaremos adicionando grandezas escalares, enquanto que, no segundo,teremos que operar com grandezas vetoriais. Salientamos, entao, que

O trabalho total, T, realizado pela forca resultante de um sistema de

forcas ~F1, ~F2, ~F3, etc. e igual a soma algebrica dos trabalhosT1, T2, T3, etc realizados por cada uma destas forcas, isto e,T = T1 + T2 + T3 + ...

Exemplo - Suponha que na figura, as forcas exercidas tenham os seguin-tes valores e direcoes:

~F1 = 2, 0× 10−4 N na direcao do deslocamento A-B (θ = 0◦)~F2 = 4, 0 × 10−4 N formando um angulo θ = 30◦ com a direcao do

deslocamento~F3 = 2, 0× 10−4 N perpendicular ao deslocamento (θ = 90◦)~F4 = 5, 0× 10−4 N no sentido contrario ao deslocamento (θ = 180◦)Se a distancia d = 2,0 m de A ate B, pede-se:(a) Calcular o trabalho realizado por cada forca.Sabemos que o trabalho e dado por T = F.d.cosθ. Entao, teremos, para

cada forca, os seguintes trabalhos (calculados com unidades S.I.):T1 = (2, 0× 10−4)× (2, 0)× cos0◦ ou T1 = 4, 0× 10−4 JT2 = (4, 0× 10−4)× (2, 0)× cos30◦ ou T2 = 6, 9× 10−4 JT3 = (2, 0× 10−4)× (2, 0)× cos90◦ ou T3 = 0× 10−4 JT4 = (5, 0× 10−4)× (2, 0)× cos180◦ ou T4 = −10× 10−4 J(b) Determinar o trabalho total realizado pelas forcas.O trabalho total, T , sera dado pela soma algebrica dos trabalhos que cada

forca realizou. Portanto,T = T1 + T2 + T3 + T4 = 4, 0 × 10−4 + 6, 9 × 10−4 − 10 × 10−4 donde

T = 0, 9× 10−4 J

Potencia

Como vimos, para se calcular o trabalho de uma forca, nao e necessarioconhecer o tempo decorrido na realizacao desse trabalho. Na vida pratica,porem, o conhecimento desse tempo pode ser importante pois, de maneirageral, temos interesse em que um determinado trabalho seja realizado nomenor tempo possıvel. Entre duas maquinas que realizem o mesmo trabalho,com a mesma perfeicao, preferimos sempre a mais rapida.

Para se medir a rapidez com que se realiza um certo trabalho, define-seuma grandeza denominada potencia:

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Se uma forca realiza um trabalho ∆T durante um intervalo detempo ∆t, a potencia, P, dessa forca e definida como sendo

P = trabalho realizado pela forcatempo decorrido na realizacao

ou P = ∆T∆t

.

Vemos, entao, pela definicao dada, que quanto menor for o tempo em-pregado por uma maquina para realizar um certo trabalho, maior sera a suapotencia.

A relacao P = ∆T∆t

nos mostra que a unidade de potencia no S.I. sera 1J/s. Esta unidade e denominada de 1 Watt, em homenagem a James Watt,,invertor da maquina a vapor. Assim, a potencia de 1 Watt corresponde aotrabalho de 1 J realizado em 1s, isto e,

1 Js

= 1 Watt = 1 W

Um multiplo dessa unidade, muito usado, e 1 quilowatt = 1 kW que cor-responde a 103 W. Quando voce ouvir dizer, por exemplo, que a potencia domotor de um automovel e de 35 kW, voce devera entender que este motor ecapaz de realizar um trabalho de 35.000 Joules em cada segundo.

Exemplo 1 - Um operario, em uma construcao, eleva, com velocidadeconstante, um corpo de massa m = 20 kg ate uma altura d = 3,0 m (figura(1) abaixo), gastando um tempo ∆t = 10 s para realizar esta operacao.

(a) Qual e o valor da forca ~F que o operario deve exercer para que o corposuba com velocidade constante (considerando g = 10 m/s2)?

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Se o movimento de subida do corpo se faz com velocidade constante,a resultante das forcas que atuam nele deve ser nula. Entao, a forca ~F ,exercida pelo operario, deve ser igual e contraria ao peso do corpo (figura(1)). Portanto, devemos ter no S.I.

F = mg = 20× 10 donde F = 40 N.(b) Qual o trabalho que o operario realiza nesta operacao?

Ja sabemos que T = F.d.cosθ. Neste caso, ~F sera a forca exercida pelooperario, que se transmite atraves da corda ate o corpo, nele atuando comomostra a figura (1), na direcao vertical, para cima. Assim, temos F = 200 Ne θ = 0◦. Como d = 3, 0 m vira, no S.I.

T = F.d.cosθ = 200× 3, 0× cos0◦ done T = 600 J(c) Qual a potencia desenvolvida pelo operario?Como vimos, a potencia P, e definida pela relacao P = ∆T/∆t. Em

nosso caso, ∆T representa o trabalho realizado eplo operario (∆T = 600 J)no intervalo de tempo ∆t = 10 s. Logo

P = ∆T∆t

= 60010

donde P = 60 J ou P = 60 W.

Exemplo 2 - Imagine que o operario do exemplo anterior esteja elevandoo mesmo corpo (m = 20 kg) a mesma altura 3,0 m usando uma rampa cujocomprimento AB e de 5,0 m (figura (2) anterior). Despreze as forcas de atritoe considere g = 10 m/s2.

(a) Qual a forca ~F que o operario deve exercer para que o corpo suba arampa com velocidade constante?

Como o corpo se desloca sobre um plano inclinado, a forca ~F , exercidapelo operario, devera equilibrar a componente do peso paralela ao plano.Sabemos que esta componente vale mg senα, onde α e o angulo de inclinacaodo plano (figura (2)). No triangulo retangulo ABC vemos que

senα = cateto oposto a αhipotenusa

= 3,05,0

donde senα = 0,60.

Portanto, o valor de ~F seraF = mg senα = 20× 10× 0, 60 donde F = 120 N.Observe que, usando o plano inclinado torna-se mais comodo para o

operario suspender o corpo, pois ele tera que exercer uma forca menor doque o peso do corpo.

(b) Neste caso, qual o trabalho que o operario realiza para elevar o corpo?A forca exercida pelo operario e F = 120 N e temo o mesmo sentido do

deslocamento do corpo, isto e, θ = 0◦. O corpo se desloca de uma distanciad = 5,0 m ao longo do plano inclinado. Logo, o trabalho do operario sera

T = F.d.cosθ = 120× 5, 0× cos0◦ done T = 600 J

Observe que o trabalho e o mesmo que foi realizado pelo operario quando

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suspendeu verticalmente o corpo (exemplo 1). Embora, com o plano incli-nado, a forca exercida pelo operario tenha sido menor, a distancia percorridapelo corpo foi maior (o corpo se deslocou de 5,0 m, na rampa, para atingir aaltura de 3,0 m) de tal maneira que o trabalho realizado tem o mesmo valornos dois casos.

Trabalho e Energia Cinetica

Conceito de energia - A energia e um dos conceitos mais importantes daFısica e talvez o termo “energia” seja um dos mais empregados em nossalinguagem cotidiana. Assim, apesar de ser difıcil definir em poucas palavras,o que e energia, voce ja esta acostumado a usar este termo e ja tem, entao,uma certa compreensao do seu significado.

Na Fısica, costuma-se introduzir o conceito dizendo que “a energia re-presenta a capacidade de realizar trabalho”. Acreditamos que isto constitui,pelo menos, um modo de comecar o estudo da energia, como estamos fazendoagora. Assim, diremos que um corpo possui energia se ele for capaz de rea-lizar um trabalho. Por exemplo, uma pessoa e capaz de realizar o trabalhode suspender um corpo gracas a energia que lhe e fornecida pelos alimentosque ela ingere. Do mesmo modo, a agua em uma cachoeira possui energia,porque e capaz de realizar o trabalho de movimentar as turbinas de umausina eletrica.

Voce ja deve ter percebido que a energia pode se apresentar sob diversasformas: energia quımica, energia mecanica, energia termica, energia eletrica,energia atomica, energia nuclear etc. No caso citado, os alimentos que apessoa ingere sofrem reacoes quımicas e liberam energia, isto e, podemosdizer que os alimentos liberam energia quımica no organismo humano. Nocaso da agua na cachoeira, dizemos que ela possui energia mecanica e que,ao movimentar as turbinas, gera energia eletrica. Nos reatores atomicos,a energia nuclear, armazenada nos “combustıveis atomicos”, da origem aenergia termica que podera ser utilizada para produzir energia eletrica etc.

Como a energia pode ser relacionada com trabalho, ela e tambem umagrandeza escalar. Consequentemente, a energia e medida com as mesmasunidades que se mede o trabalho, isto e, no S.I. a unidade de energia e 1Joule.

O que e energia cinetica - Consideremos um bloco em movimentoaproximando-se de uma mola, como mostra a figura a seguir. Ao colidir coma mola, a velocidade do bloco ira diminuindo, ate se anular, enquanto a molavai sendo comprimida (figura a seguir). Portanto, o bloco em movimentofoi capaz de realizar o trabalho de comprimir a mola. Do mesmo modo,

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um automovel em movimento, que colide com o outro parado, realiza umtrabalho ao amassar e deslocar o carro parado.

Vemos, entao, que qualquer corpo em movimento tem capacidad de re-alizar trabalho e, portanto, um corpo em movimento possui energia. Estaenergia e deniminada energia cinetica e sera representada por EC .

E facil perceber que, quanto maior for a velocidade do bloco da figura,maior sera a compressao da mola, isto e, maior sera o trabalho realizado pelobloco e, portanto, maior sera a sua energia cinetica. Nao e difıcil perceber,tambem, que a compressao da mola seria tanto maior quanto maior fosse amassa do bloco, isto e, a energia cinetica do bloco depende tambem de suamassa. Na realidade, pode-se mostrar que sendo m a massa do bloco e v asua velocidade, a sua energia cinetica, EC , e dada por EC = (1/2)mv2. Deum modo geral, temos que

Quando um corpo de massa m esta se movendo com uma velocidade v,ele possui energia cinetica, EC , que e dada por EC = 1

2mv2

Exemplo 1 - O bloco da figura (a) acima tem uma massa m = 4,0 kg evelocidade v = 2,0 m/s.

(a) Qual e energia cinetica que ele possui?Sabemos que a energia cinetica de um corpo e dada por EC = (1/2)mv2.

Entao, teremos, para o bloco:EC = 1

2mv2 = 1

2× 4, 0× (2, 0)2 donde EC = 8, 0 J

Observe que o resultado foi expresso em Joules, porque os valores de m ev estavam expressos em unidades S.I.

(b) Qual o trabalho que o bloco realiza ao colidir com a mola, ate parar(figura (b) acima)?

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Embora nao se conheca a forca que o bloco exerce sobre a mola, nema distancia que ele percorre ate parar, podemos calcular o trabalho que elerealiza, pois este trabalho e igual a energia cinetica que o bloco possuıa antesda colisao. Entao, o trabalho que o bloco realiza, ao comprimir a mola, ateparar, e de 8,0 J.

Relacao entre trabalho e energia cinetica - Na figura acima repre-sentamos um corpo, de massa m, passando por um ponto A, como velocidadevA. Considere varias forcas atuando sobre o corpo e seja ~R a resultante des-sas forcas. Vamos supor que ~R seja constante e que seu sentido seja o mesmodo movimento do corpo. Sendo assim, o corpo ira adquirir um movimento re-tilıneo, uniformemente acelerado e, apos percorrer uma distancia d, chegaraem B com uma velocidade vB maior do que vA.

Procuremos calcular o trabalho total, TAB, realizado sobre o corpo, desdeA ate B. Este trabalho, como vimos, e dado pelo trabalho da forca resultante.Como a forca ~R atua no sentido do movimento (θ = 0◦) e desloca o corpo deuma distancia d, teremos

TAB = R.d (1)

Sabemos, pela 2a lei de Newton, que R = m.a, onde a representa aaceleracao adquirida pelo corpo. Alem disso, como o movimento e uniforme-mente acelerado, podemos relacionar vB, vA, a e d, sabemos

v2B = v2

A + 2ad donde tiramos d =v2

A−v2B

2a

Substituindo em TAB = R.d as expressoes R = ma e d =v2

A−v2B

2a, vira

TAB = ma× v2A−v2

B

2adonde TAB = 1

2mv2

B − 12mv2

A

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Mas, (1/2)mv2B representa a energia cinetica do corpo ao chegar em B

(EcB) e (1/2)mv2A e a energia cinetica que ele possuıa em A (EcA). Logo,

o trabalho total realizado sobre o corpo e igual a variacao de sua energiacinetica, isto e,

TAB = EcB − EcA (2)

Apesar de ter sido demonstrado para o caso particular mostrado na fi-gura, este resultado e geral, isto e, em qualquer situacao podemos afirmar que

Se um corpo em movimento passa por um ponto A com energia cineticaEcA e chega a um ponto B com energia cinetica EcB, a variacao da suaenergia cinetica, experimentada por este corpo, sera igual ao trabalhototal, TAB, realizado sobre ele, isto e, TAB = EcB − EcA

Exemplo 2 - Um corpo, de massa m = 2,0 kg, passa por um ponto Acom uma velocidade vA = 3,0 m/s.

(a) Se a velocidade do corpo, ao passar por um outro ponto B, for vB =4,0 m/s, qual foi o trabalho total realizado sobre o corpo?

Sabemos que o trabalho total e dado pela variacao da energia cinetica docorpo, isto e, TAB = EcB − EcA

ComoEcB = 1

2mv2

B = 12× 2, 0× (4, 0)2 donde EcB = 16, 0 J

EcA = 12mv2

A = 12× 2, 0× (3, 0)2 donde EcA = 9, 0 J

teremosTAB = EcB − EcA = 16, 0− 9, 0 donde TAB = 7, 0 JObserve que uma forca resultante deve ter atuado sobre o corpo, reali-

zando o trabalho positivo de 7,0 J, trabalho este que provocou o aumentoda energia cinetica do corpo. Assim, vemos que o trabalho realizado sobreo corpo mede a energia que foi transferida a ele. Em nosso caso, o corpopossuıa energia de 9,0 J e, ao receber 7,0 J de energia, atraves do trabalhoda resultante, passou a ter uma energia de 16,0 J.

(b) Se a forca resultante atuasse sobre o corpo em sentido contrario aomovimento, realizando um trabalho negativo TAB = -7,0 J, qual seria a ener-gia cinetica do corpo ao chegar em B?

Usando novamente a expressao TAB = EcB − EcA, e sabendo que TAB =−7, 0 J e EcA = 9,0 J, teremos

-7,0 =EcB - 9,0 donde EcB = 2,0 JNeste caso, o trabalho negativo realizado pela resultante representa uma

quantidade de energia retirada do corpo e, por isso mesmo, sua energiacinetica reduziu-se de 9,0 J para 2,0 J.

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Energial Potencial Gravitacional

O que e energia potencial - Suponha um corpo situado a uma alturah acima do solo, como mostra a figura abaixo. Em virtude da atracao daTerra, se este corpo for abandonado, ele sera capaz de realizar um trabalhoao chegar ao solo, comprimir um a mola etc. Em outras palavras, podemosdizer que um corpo, situado em uma certa altura, possui energia, pois temcapacidade de realizar um trabalho ao cair.

De maneira semelhante, um corpo ligado a extremidade de uma molacomprimida (ou esticada), como mostra a figura a seguir, ao ser abandonadosera empurrado (ou puxado) pela mola, adquirindo capacidade de realizarum trabalho. Pode-se, entao, dizer tambem que o corpo ligado a mola com-primida (ou esticada) possui energia.

Nos dois exemplos analisados, o corpo possuıa energia em virtude da

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posicao ocupada por ele: no primeiro caso, uma posicao elevada em relacaoa Terra e, no segundo caso, uma posicao ligada a uma mola comprimidaou esticada. Esta energia que um corpo possui, devido a sua posicao, edenominada energia potencial e vamos representa-la por Ep. No primeirocaso a Ep que o corpo possui e denominada energia potencial gravitacional,porque esta relacionada com a atracao gravitacional da Terra sobre o corpo.No segundo caso a Ep do corpo esta relacionada com as propriedades elasticasde uma mola, sendo, entao, denominada energia potencial elastica.

Nesta seccao vamos analisar a Ep gravitacional, deixando o estudo da Ep

elastica para a seccao seguinte.

Como calculamos a Ep gravitacional - Um corpo de massa m estasituado a uma altura h em relacao a um nıvel horizontal de referencial (figuraacima). A energia potencial gravitacional que ele possui, nesta posicao, podeser calculada pelo trabalho que o peso deste corpo realiza, sobre ele, quandocai, desde aquela posicao aate o nıvel de referencia. Evidentemente, sendom~g a forca que atua sobre o corpo e sendo h o seu deslocamento (figuraacima), o trabalho mencionado sera dado por

T = mg × h (3)

Consequentemente, a Ep gravitacional do corpo, a altura h, e Ep = mgh.Em resumo

Se um corpo de massa m encontra-se a uma altura h acima de umnıvel de referencia, este corpo possui uma energia potencial gravitacional,

relativa e este nıvel, expressa por Ep = mgh

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Observe que a Ep gravitacional esta relacionada com o peso do corpo ecom a posicao que ele ocupa: quanto maior for o peso do corpo e quantomaior for a altura em que ele se encontra, maior sera sua Ep gravitacional.

Relacao entre trabalho e Ep gravitacional - Consideremos um corpo,de massa m, inicialmente no ponto A, a uma altura hA acima de um nıvelde referencia (figura acima). Quando este corpo se desloca, verticalmente,de A para outro ponto B qualquer (situado a uma altura hB reletiva aomesmo nıvel) o seu peso realiza um trabalho TAB. Durante este deslocamentopoderao atuar sobre o corpo outras forcas, alem do seu peso. Entretanto,vamos calcular apenas o trabalho realizado pelo peso do corpo. Como o corpose desloca de uma distancia hA − hB, o seu peso, m~g, realiza um trabalho(figura acima):

TAB = mg(hA − hB) ou TAB = mghA −mghB (4)

Mas a expressao mghA representa EpA, isto e, a Ep gravitacional do corpoem A, e mghB e sua Ep em b, EpB. Assim,

TAB = EpA − EpB (5)

Portanto, podemos concluir

Quando corpo se desloca de um ponto A para outro ponto B, o seu pesorealiza um trabalho que e igual a diferenca entre as energiaspotenciais gravitacionais deste corpo naqueles pontos, isto e,

TAB = EpA − EpB

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Exemplo - Um menino situado no alto de um edifıcio, cuja altura e 8,0m, deixa cair um corpo de massa m = 10,0 kg (considere g = 9,8 m/s2).

(a) Qual e a Ep gravitacional do corpo, no alto do edifıcio?Calculemos a Ep gravitacional em relacao ao solo. Designando por A a

posicao do corpo no alto do edifıcio, temos hA = 8,0 m e, portanto,

EpA = mghA = 10, 0× 9, 8× 8, 0 donde EpA = 784 J (6)

(b) Qual e a Ep garvitacional do corpo ao passar por um ponto B, situadoa uma altura hB = 2, 0 m acima do solo?

Para este ponto teremos

EpB = mghB = 10, 0× 9, 8× 2, 0 donde EpB = 196 J (7)

(c) Qual o trabalho realizado pelo peso do corpo no deslocamento de Apara B?

Vimos que o trabalho do peso e dado por

TAB = EpA − EpB = 784− 196 donde TAB = 588 J (8)

Energia Potencial Elastica

Como ja vimos na seccao anterior, um corpo ligado a extermidade de umamola comprimida (ou esticada) possui energia potencial elastica. De fato, amola comprimida exerce uma forca sobre o corpo, a qual realiza um trabalhosobre ele quando o abandonamos. Entretanto, se tentarmos comprimir umamola, podemos observar que ela reage a compressao com uma forca cujovalor cresce a medida que vamos comprimindo a mola. Para calcularmos otrabalho que a mola realiza sobre o corpo ligado a sua extermidade devemos,entao, em primeiro lugar, procurar descobrir como varia a forca exercida pelamola, o que sera feito a seguir.

Forca exercida por uma mola deformada - A figura (a) a seguirmostra uma mola nao deformada e, na figura (b) apresentamos a mesma moladistendida, atraves de um dinamometro, o qual mede a forca F , exercida pelamola, quando o seu alongamento e igual a X (observe que X representa oacrescimo no comprimento da mola). Verifica-se experimentalmente que

dobrando o alongamento (2X), a forca dobra (2F )triplicando o alongamento (3X), a forca triplica (3F ) etc.Este mesmo resultado seria verificado se a mola fosse comprimida, em vez

de ser distendida.Portanto, a experiencia nos mostra queA forca exercida por uma mola e diretamente porporcional a sua de-

formacao, ou F α X.

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Este resultado e conhecido como “Lei de Hooke”, pois foi Robert Hooke,um cientista ingles, quem observou, pela primeira vez, esta propriedade dasmolas (na realidade, esta lei so e verdade se as deformacoes da mola naoforem muito grandes).

Como F α X, podemos escrever que

F = kX

onde k e uma constante, diferente para cada mola e denominada constanteelastica da mola. Tracando um grafico F ×X, obtemos uma reta, passandopela origem (figura (a) abaixo), cuja inclinacao e igual a k.

Calculo da Ep elastica - Consideremos uma mola, cuja constante elasticae k, apresentando uma deformacao X e um corpo ligado a ela, como mostra afigura (b) acima. A Ep elastica deste corpo, nesta posicao, pode ser determi-nada pelo trabalho que a mola realiza, sobre ele, ao empura-lo ate a posicaonormal da mola, isto e, a posicao em que ela nao apresenta deformacao.

A medida que o corpo e empurrado (figura (b) ), a deformacao da moladiminui e, consequentemente, diminui tambem a forca que a mola exercesobre o corpo. Assim, devemos calcular o trabalho de uma forca que varia(desde o valor inicial F + kX ate o valor final F = 0) enquanto o corpo sedesloca. O calculo deste trabalho nao pode, entao, ser feito pela expressaoT = F.d.cosθ, a qual se aplica nos casos em que ~F e constante.

Quando a forca F e variavel, o trabalho que ela realiza pode ser obtido,numericamente, pela area sob o grafico forca × deslocamento. Portanto,em nosso caso, o trabalho realizado pela mola sera dado pela area sob o

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grafico F ×X, mostrada na figura (a). Como vemos, trata-se da area de umtriangulo, de base igual a X e altura a kX. Sendo a area de um triangulodada por (1/2)×base×altura, teremos a seguinte expressao para o trabalhorealizado pela mola

T =1

2.X.(kX) donde T =

1

2kX2 (9)

Consequentemente, a expressao da energia potencial elastica do corpo eEp = (1/2)kX2.

Concluindo

Um corpo, ligado a uma mola de constante elastica k, deformada de X,possui uma energia potencial elastica dada por

Ep = 12kX2

Observe que a Ep elastica do corpo sera tanto maior quanto maior for aconstante elastica da mola e quanto maior for a sua deformacao.

Relacao entre o trabalho e Ep elastica - Suponhamos uma mola com-primida, cuja constante elastica seja k, empurrando um corpo nela encostado.Procuremos calcular o trabalho TAB que a mola realiza sobre o corpo, ao des-loca-lo desde um ponto A a outro ponto B (figura a seguir). Podem estra

17

atuando varias forcas sobre o corpo, mas vamos calcular apenas o trabalhorealizado pela forca exercida pela mola. Ja sabemos que esta forca e variavele que o seu trabalho sera dado pela area sob o grafico F ×X, desde A ate B(area ABCD da figura). Teremos

TAB = area ABCD = area OAD − area OBC (10)

ou

TAB =1

2kX2

A −1

2kX2

B (11)

Mas (1/2)kX2A representa EpA, isto e, a energia potencial elastica do corpo

em A e (1/2)kX2B e sua energia potencial elastica em B, EpB.

Podemos entao escrever

TAB = EpA − EpB (12)

Portanto

Quando um corpo se desloca, desde um ponto A ate outro ponto B, soba acao da forca elastica exercida por uma mola deformada (comprimidaou esticada), o trabalho TAB, que esta forca realiza sobre o corpo e iguala diferenca entre a energias potenciais elasticas naqueles pontos, isto e,

TAB = EpA − EpB

Observe que esta expressao e analoga aquela obtida para o trabalho ra-lizado pelo peso de um corpo, como vimos na seccao anterior. Em ambosos casos, o trabalho realizado esta relacionado com uma variacao na energiapotencial do corpo, sendo dado por

TAB = EpA − EpB (13)

Apenas deve-se ter em mente que a energia potencial gravitacional e dadapor Ep = mgh e a energia potencial elastica e Ep = (1/2)kX2.

Exemplo - Suponha que para comprimir uma mola de X = 30 cm amola da figura, fosse necessario exercer sobre ela uma forca F = 15 N.

(a) Qual e a cosntante elastica da mola?Como sabemos, F = kX e, entao, calculando no S.I.,

k =F

X=

15 N

0, 30 mdonde k = 50 N/m (14)

18

Este resultado significa que seria necessaria uma forca de 50 N para de-formar a mola de 1 m.

(b) Considere, na figura, XA = 20 cm e XB = 10 cm. Quais os valoresda Ep elastica em A e em B?

A energia potencial elastica e dada por Ep = (1/2)kX2. Logo, teremos,calculando no S.I.,

em A : EpA =1

2kX2

A =1

2× 50× (0, 20)2 donde EpA = 1, 00 J (15)

em B : EpB =1

2kX2

B =1

2× 50× (0, 10)2 donde EpB = 0, 25 J (16)

(c) Qual o trabalho que a mola realizou ao empurrar o corpo de A paraB?

O trabalho realizado pela forca elastica e dado por TAB = EpA − EpB.Assim,

TAB = EpA − EpB = 1, 00− 0, 25 donde TAB = 0, 75 J (17)

Conservacao da Energia

Forcas conservativas e dissipativas - Ja vimos que se um corpo se deslo-car do ponto A ate o ponto B, seguindo a trajetoria 1 mostrada na figura aseguir, o trabalho que o peso do corpo realiza e dado por TAB = EpA −EpB.Imagine que o corpo se deslocasse, de A para B, ao longo de uma outratrajetoria, como por exemplo, a trajetoria 2 da figura. Pode-se demonstrarque o trabalho realizado pelo peso do corpo nao depende da trajetoria.

Outras forcas, existentes na natureza, tambem possuem esta propriedade,isto e, o trabalho que elas realizam nao dependem da trajetoria. Assim, o tra-balho realizado pela forca elastica de uma mola e dado por TAB = EpA−EpB,para qualquer trajetoria seguida pelo corpo ao se deslocar de um ponto Aate um ponto B. Outro exemplo de forca cujo trabalho nao depende da tra-jetoria e a forca eletrica. As forcas cujo trabalho nao depende do caminhosao denominadas forcas conservativas. Sempre que uma dessas forcas realizaum trabalho sobre um corpo e esta variacao e expressa TAB = EpA − EpB.Devemos, enta, destacar:

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O trabalho realizado por uma forca conservativa, entre dois pontosA e B, nao depende da trajetoria seguida pelo corpo para ir de

A ate B, sendo dado, sempre, pela expressaoTAB = EpA − EpB

As forcas cujo trabalho depende do caminho sao deniminadas forcas dis-sipativas ou forcas nao-conservativas. Um exemplo tıpico de forca dissipativae a forca de atrito. De fato, se voce deslocar um corpo, sobre uma superfıcie,levando-o de um ponto A a outro B, o trabalho realizado pelo atrito teravalores diferentes, conforme o caminho que for seguido. Ao contrario dasforcas conservativas, nao existe uma energia potencial relacionada com umaforca dissipativa.

Conservacao da energia mecanica - Suponhamos que o corpo dafigura a seguir esteja se deslocando de A para B, ao longo de uma trajetoriaqualquer, e que sobre ele estejam atuando apenas forcas conservativas (nocaso da figura, o peso e a forca elastica da mola). O trabalho realizado porestas forcas, como ja vimos, e dado por

TAB = EpA − EpB (18)

Sabemos tambem que, quaisquer que sejam as forcas, o trabalho total

20

realizado pro elas e igual a variacao da energia cinetica do corpo, isto e,

TAB = EcA − EcB (19)

Entao, igualando estas duas expressoes para TAB, teremos

EpA − EpB = EcA − EcB (20)

que pode ser escrito

EpA + EcA = EpB + EcB (21)

ou, em palavras: a soma da energia potencial no ponto A com a energiacinetica neste ponto, e igual a soma da energia potencial no ponto B com aenergia cinetica neste ponto. Entao, como os pontos A e B sao quaisquer,podemos dizer

se apenas forcas conservativas atuam sobre um corpo em movimento,a soma da energia cinetica do corpo com sua energia potencial permanece

constante para qualquer ponto da trajetoria.

A soma da energia cinetica de um corpo com sua energia potencial, emum dado ponto, e denominada energia mecanica total do corpo neste ponto,que representamos por E, ou seja,

E = Ep + Ec

21

Voltando

EpA + EcA = EpB + EcB (22)

vemos que EpA + EcA repesenta a energia mecanica total EA, em A, eEpB + EcB representa a energia mecanica total em B, EB. Portanto,

EA = EB (23)

Assim, o destaque anterior pode tambem ser expresso de seguinte ma-neira:

Se apenas forcas conservativas atuam sobre um corpo em movimento,sua energia mecanica total permanece constante para qualquer ponto

da trajetoria, isto e, a energia mecanica do corpo se conserva.

Portanto, quando atuam forcas conservativas, se a Ep de um corpo dimi-nuir (ou aumentar), sua Ec aumentara (ou diminuira), de modo que a suaenergia mecanica total E, permanece constante, isto e, se conserve, E poreste motivo que estas forcas sao denominadas conservativas.

Exemplo - Suponha que, na figura anterior, o corpo mostrado tenha, emA, uma energia potencial EpA = 20 J e uma energia cinetica EcA = 10 J.

(a) Qual a energia mecanica total do corpo em A?A energia mecanica em A sera

EA = EpA + EcA = 20 + 10 donde EA = 30 J (24)

(b) Ao passar pelo ponto M (figura anterior), o corpo possui uma energiapotencial EpM = 13 J. Qual e a sua energia cinetica neste ponto?

Como estao atuando apenas forcas conservativas, a energia mecanica docorpo se conserva, isto e, devemos ter EM = EA ou EM = 30 J. Como

EM = EpM + EcM vem 30 = 13 + EcM donde EcM = 17 J (25)

Observe que a Ep do corpo diminui de 7 J, enquanto sua Ec foi aumentadadesta mesma quantidade.

(c) Ao chegar em B, o corpo possui uma energia cinetica EcB = 25 J.Qual e a sua Ep neste ponto?

O mesmo raciocınio usado na questao (b) permite-nos escrever que EB =30 J. Logo, como

EM = EpM + EcM vem 30 = EpM + 25 donde EpM = 5 J (26)

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Princıpio Geral de Conservacao da Energia - Se, na figura anterior,estivesse atuando no corpo uma forca dissipativa, a energia mecanica do corponao seria conservada. Por exemplo, se uma forca de atrito cinetica atuasseno corpo, verificarıamos que sua energia mecanica em B seria menor do queem A. Entretanto, neste caso, observarıamos um aquecimento do corpo, oque nao aconteceria quando atuavam apenas forcas conservativas.

Alguns fısicos do seculo passado, destacando-se entre eles James P. Joule,analisando um grande numero de experiencias, chegaram a conclusao de uqeo calor e uma forma de energia. Concluiu-se, entao, que no deslocamento docorpo sob a acao da forca de atrito, o que ocorreu foi a transformacao emcalor da energia mecanica que despareceu.

Este resultado e observado sempre: se uma dada quantidade de energia deum certo tipo desparece, verifica-se o aparecimento de outro tipo de energiaem quantidade equivalente a energia desparecida, isto e, nunca se observa odesaparecimento de energia, mas apenas a transformacao de uma forma deenergia em outra. Assim, como voce ja sabe, a energia mecanica se trans-forma em energia eletrica (em uma usina hidroeletrica), a energia termica emenergia mecanica (em um automovel), a energia eletrica em energia mecanica(no motor de uma enceradeira, por exemplo), a energia eletrica em calor (emum aquecedor) etc. Em todas estas transformacoes observa-se que nao hacriacao nem destruicao da energia, de modo que a quantidade total de energiaenvolvida em um fenomeno permanece sempre a mesma, isto e, se conserva.

Estas observacoes constituem a base do Princıpio Geral de Conservacaoda Energia, que pode ser enunciado da seguinte maneira:

Princıpio Geral de Conservacao da EnergiaA energia pode ser transformada de uma forma em outra, mas nao

pode ser criada nem destruıda; a energia total e constante

Este princıpio e sempre valido, em qualquer fenomeno que ocorra nanatureza. A sua generalidade torna-o extremamente importante, sendo eleamplamente empregado com grande sucesso pelos cientistas, na solucao deinumeros problemas.

A conservacao da energia mecanica e um caso particular do PrincıpioGeral de Conservacao da Energia. A energia mecanica se conserva quandoatuam, no corpo, apenas forcas conservativas e a energia total (considerandotodas as suas formas) conserva-se sempre.

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Exemplos de aplicacao da conservacao da ener-

gia

Os exemplos que apresentaremos a seguir destinam-se a ajuda-lo a entendermelhor os fatos relacionados com a conservacao da energia. Alem disso, vere-mos que a aplicacao da conservacao da energia torna mais simples a solucaode alguns problemas que, se abordarmos de outra maneira, poderiam aapre-sentar maiores dificuldades as serem resolvidos.

Exemplo 1 - Um corpo e lancado verticalmente para cima com uamvelocidade inicial v0 = 6,0 m/s (figura abaixo). Que altura atinge o corpo?

Para que o problema possa ser resolvido, devemos considerar desprezıvela resistencia do ar. Nessas condicoes, a unica forca que atua sobre o corpoe o seu peso, que e uma forca conservativa e, entao, a energia mecanica docorpo permanece constante. Enquanto o corpo sobe, sua energia cinetica di-minui mas ele adquire energia potencial em quantidade equivalente a energiacinetica perdida.

Designando por A o ponto onde o corpo tinha velocidade ~v0 (ponto ondeo corpo abadona a mao da pessoa) e por B o ponto mais alto da trajetoria(figura), podemos escrever

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EpA + EcA = EpB + EcB (27)

Medindo as alturas a partir do ponto A, isto e, considerando o nıvel dereferencia em A, teremos

EpA = 0 pois, para o ponto A, tem-se h = 0,Ec = 1

2mv2

0 onde m e a massa do corpo,EpB = mgh sendo h a altura de B em relacao a AEcB = 0 porque a velocidade do corpo e nula em BAssim

1

2mv2

0 = mgh donde h =v2

0

2g(28)

Observe que, qualquer que fosse a massa do corpo, ele atingiria a mesmaaltura, pois o valor de h nao depende de m. Substituindo o valor v0 = 6,0m/s e considerando g = 10 m/s2, obtemos

h =v2

0

2g=

(6, 0)2

2× 10donde h = 1, 8m (29)

Exemplo 2 - Um menino desliza, sem atrito, ao longo do escorregadorna figura acima. Se ele parte do repouso em A, com que velocidade o meninochega ao ponto mais baixo do escorregador (ponto B)?

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As unicas forcas que atuam no menino sao o seu peso, que e uma forcaconservativa, e a reacao normal da superfıcie, que nao realiza trabalho sobreo menino, pois ela e sempre perpendicular ao deslocamento. Podemos, entao,aplicar a conservacao da energia mecanica:

EpA + EcA = EpB + EcB (30)

Medindo as alturas em relacao a um nıvel horizontal que passa por B edesignando por m a massa do menino, teremos

EpA = mgh EcA = 0 EpB = 0 EcP =1

2mv2 (31)

onde a velocidade do menino ao chegar em B. Logo,

1

2mv2 donde v =

√2gh (32)

Se o menino caısse verticalmente, a partir de A, ele adquiriria esta mesmavelocidade, como voce podera ver facilmente, se usar as equacoes do movi-mento de queda livre. Entretanto, se tentassemos analisar o movimentodo menino, ao longo do escorregador, sem usar a conservacao da energiamecanica, encontrarıamos um problema de difıcil solucao. Como voce viu,o uso da conservacao da energia mecanica nos permitiu resolveu o problemacom grande facilidade.

Exemplo 3 - Na figura acima, um bloco de massa m = 2,0 kg estaapoiado em uma superfıcie horizontal lisa, encostado na mola de constante

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elastica k = 32 N/m. A mola esta comprimida de X = 10 cm e mantidanesta situacao por meio de um barbante amarrado a ela. Queimando-se obarbante, a mola se distende, empurrando o bloco. Qual e a velocidade comque o bloco abandona a mola?

Observe que a mola empurra o bloco com uma forca variavel (F = kX)e, portanto, a aceleracao adquirida pelo bloco nao e constante, isto e, o blocoadquire um movimento acelerado mas este nao e uniformemente acelerado.Desta maneira, as equacoes que estudamos na Cinematica nao se aplicam aeste movimento.

Entretanto, como o peso do bloco e a reacao normal da superfıcie seequilibram, a unica forca atuante e a forca elastica da mola, que e uma forcaconservativa. Assim, a medida que a mola se distende, a energia potencialelastica do corpo vai diminuindo, enquanto sua energia cinetica aumenta.Pela conservacao da energia mecanica, vem

EpA + EcA = EpB + EcB (33)

Mas EpA = (1/2)kX2, EcA = 0, EpB = 0, e EcB = (1/2)mv2

Entao1

2kX2 =

1

2mv2 donde v =

√k

mX (34)

Do mesmo modo que no exemplo anterior, devemos destacar a grande faci-lidade com que foi calculada a velocidade adquirida pelo bloco. Se tivessemostentado resolver o problema, sem empregar a conservacao da energia, asolucao teria sido muito mais complicada.

Substituindo os valores de k, m e X expressos em unidades S.I., teremos

v =

√k

mX =

√32

2× 0, 10 donde v = 0, 40 m/s (35)

Exemplo 4 - Suponha que existisse atrito no movimento do menino aodescer o escorregador e h = 8, 0 m, a massa do menino e m = 50 kg e queele chega em B com uma velocidade v = 10 m/s, determinar:

(a) A energia mecanica total do menino em A e em B. No ponto A aenergia mecanica do menino e representada apenas por sua energia potencial,pois sua energia cinetica, neste ponto, e nula. Enntao, considerando g = 10m/s2, temos

EA = mgh = 50× 10× 8, 0 donde EA = 4, 0× 103 J (36)

Ao chegar em B, omenino possui apenas energia cinetica, pois em B, h= 0 (as alturas estao contadas em relacao a B). Assim, a energia mecanicado menino, em B, e

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EB =1

2mv2 =

1

2× 50× 102 donde EB = 2, 5× 103 J (37)

(b) Qual a quantidade de calor gerada pelo atrito no deslocamento domenino?

Observe que a energia mecanica em B e menor do que a energia mecanicaem A, isto e, a energia mecanica nao se conservou. Este resultado ja eraesperado, pois atua no menino uma forca de atrito, que nao e uma forcaconservativa. O trabalho realizado pelo atrito faz comm que parte da energiamecanica se transforme em calor. Pelo Princıpio Geral de Conservacao daEnergia, podemos concluir que a quantidade de calor gerada sera igual adiminuicao da energia mecanica do menino, isto e,

calor gerado = EA − EB = 4, 0× 103 − 2, 5× 103 (38)

dondecalor gerado = 1, 5× 103 J

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