UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIADISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICOPROF: JAILSON FRANÇA DOS SANTOSESTUDANTES: CAROLINE PIANI CAMPOS, GLEYSON BUCKER

ARRUDA, HINDIRA FEITOZA DE ARAÚJO, ITAYLANE MALTA SANTOS.

MÉTODOS NUMÉRICOS

1. Integração Numérica

Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] da qual se conhece a primitiva F. O valor da integral definida de f pode ser calculada usando a fórmula de Newton‐Leibniz:

I=∫a

bf ( x )dx=F (b )−F (a )

Os métodos de integração numérica aproximam valores de integrais definidas. Esse métodos são muito úteis quando:

Não se conhece a função f. Tem‐se apenas uma tabela de valores para f; f é conhecida, mas é muito complexa, o que dificulta a determinação de sua primitiva.

Dessa forma, f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de obter.

I=∫a

bf ( x )dx≈∫a

bp ( x )dx

Sendo o erro absoluto calculado pelo módulo da diferença entre o valor exato e o valor numérico.

Os métodos de integração numérica tratados nesse trabalho são: Método dos Trapézios e Método de Simpson.

Método dos Trapézios

Esse método consiste em aproximar a função a ser integrada por retas no intervalo de integração.

Seja I=∫a

bf ( x )dx . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n

subintervalos [ x i , x i+1 ] de comprimento h > 0. Assim, temos:

• h = (b – a)/n• xi = a + ih, i = 0,1,2, ..., n.

I=h∗[f 0+f n

2+∑i=1

n−1f i ]

Método de Simpson

Seja I=∫a

bf ( x )dx . Considera-se novamente uma subdivisão do intervalo [a, b]

em um número de subintervalos n(par). A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos trechos de curvas usando

arcos parabólicos. Assim, temos:

I=h3∗{[ f ( x0 )+ f ( xm) ]+4∗[ f ( x1)+ f ( x3 )+ .. .+f ( xm−1 ) ]+2∗[ f ( x2 )+ f ( x4 )+. .. f ( xm−2 )}

Análise

Para o presente trabalho foram desenvolvidos 2 programas computacionais para

aproximação da integral definida I=∫0

0. 2( 4+8 x )cosh (2 x )dx , usando o Método dos

Trapézios e o Método de Simpson.

Cálculo da Integral definida:I=∫0

0. 2( 4+8 x )cosh (2 x )dx

I=∫0

0. 2[ 4 *cosh (2 x )+8 x*cosh (2 x ) ]dx

I=∫0

0. 24 *cosh (2 x )dx+∫0

0.28 x*cosh (2x )dx

I=2∗senh (2x )dx+∫0

0 .28 x*cosh (2 x )dx

Tomando u=8x e dv=cosh(2x)dx. Temos que du=8dx e v=senh(2x)/2.

I=2∗senh (2 x )dx|00 .2+[

8 x∗senh (2 x )2

|00 .2−∫0

0 .2 senh (2 x )∗82

dx ]

I=2∗senh (2x )dx|00 . 2+[4∗x∗senh (2 x )|0

0. 2−∫0

0.24 senh(2 x )dx ]

I=2∗senh (2x )dx|00 . 2+[4∗x∗senh (2 x )|0

0. 2−2*cosh (2 x )|00 .2

I=0 . 987961768571

Utilizando os programas elaborados, obteve-se os seguintes resultados:

  Método dos Trapézios Método de Simpson  I Erro Absoluto I Erro Absoluto

n=10 0,988137 0,000175231 0,987962 2,3143E-07n=50 0,987969 7,23143E-06 0,987962 2,3143E-07

n=100 0,987964 2,23143E-06 0,987962 2,3143E-07

Observação: O computador utilizado possui uma precisão de 6 casas após a vírgula.

Concluiu-se que o Método de Simpson foi mais eficiente que o Método dos Trapézios. Esse fato já era esperado, haja vista que o Método de Simpson faz

aproximações para pequenos trechos usando arcos parabólicos e o Método dos Trapézios faz aproximações utilizando retas.

2. Interpolação Polinomial

Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações:

Conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos; f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo; f(x) não é conhecida explicitamente.

Existem diversos métodos para a aproximação de funções polinomiais, entretanto, no presente trabalho foi utilizado o Método de Lagrange.

Método de Lagrange

O Método de Lagrange representa o polinômio interpolador diretamente a partir dos pontos originais. Seja um conjunto de n+1 dados [xi, f(xi)]. O polinômio interpolador p(x), de grau n, que passe por todos os pontos distintos {x0, x1, ..., xn}, é dado pela fórmula genérica:

p( x )=∑i=0

n

Li( x i)∗f ( x i )

Onde:

Li( x i )=( x−x0 )∗(x−x1 )∗.. .∗( x−xi−1)∗( x−x i+1)∗.. .∗( x−xn )

( x i−x0 )∗( xi−x1 )∗. ..∗( xi−x i−1 )∗( x i−x i+1)∗.. .∗( xi−xn )

Análise

O método de Lagrange é fácil de ser calculado, mas pode se tornar cansativo, a depender do número de pontos conhecidos da função, haja vista que quanto maior o número de pontos conhecidos, mais próximo o polinômio será da função original. Desta forma, foi desenvolvido um programa computacional que interpola o valor da função no determinado ponto que se deseja a partir de n+1 pontos conhecidos, sendo n>=1.

A tabela a seguir lista valores de uma determinada função que se deseja interpolar.

X 0 1 3f(x) -5 1 25

Cálculo do Polinômio:

L0 (0)=(x−1)∗( x−3 )(0−1)∗(0−3)

= x ²−4 x+33

L1(1 )=( x−0 )∗( x−3)(1−0 )∗(1−3 )

= x ²−3 x−2

L2(3 )=( x−0 )∗( x−1)(3−0 )∗(3−1 )

= x ²−x6

P( x )= x ²−4 x+33

∗(−5 )+ x ²−3x−2

∗(1)+ x ²−x6

∗(25 )

P( x )=2x ²+4 x−5

Para efeito de comparação, utilizando o programa computacional elaborado, interpolou-se o ponto x=2.

Pelo polinômio obtido, P(2)=2*2²+4*2-5=11.No programa, para x=2 também foi obtido P(2)=11.

3. Solução de Equações Diferenciais

A busca de uma solução analítica para uma equação diferencial ordinária com problema de valor inicial apresenta alguns problemas:

Os procedimentos para a busca de uma solução analítica não é trivial; Muitas questões práticas não possuem solução conhecida; Os coeficientes ou as funções existentes na equação diferencial são dados na

forma de um conjunto tabelado de informações experimentais, o que torna impossível o uso de um procedimento analítico para determinar a solução da equação.

Neste trabalho trataremos apenas do Método de Runge Kutta de 4ª ordem para a solução de EDO’s (Equações Diferenciais Ordinárias).

Método de Runge Kutta de 4ª ordem

Dentre os Métodos de Runge Kutta, o de 4ª ordem é o mais popular. A solução de uma EDO é dado pela fórmula:

yn+1= y+ h6∗[ k1+2∗k2+2∗k3+k4 ]

Onde:k 1=f ( x , y )

k 2=f ( x+h2

, y+h2∗k1 )

k 3=f ( x+h2

, y+h2∗k2 )

k 4=f ( x+h , y+h∗k 3 )

Análise

Para o presente trabalho foi desenvolvido um programa computacional com o Método de Runge Kutta de 4ª ordem para a solução da seguinte EDO:

dq( t )dt

+12∗q( t )=10+β sin (2t )

Onde:

h=0.1, β=1 e q(0)=0. Dessa forma, temos que:

dq( t )dt

+12∗q( t )=10+sin(2 t )

Solução Analítica:

Método do fator integrante

Vamos procurar um fator integrante que seja função somente de t.

∫ dμ=∫ 12

dt

μ=C∗et2

, tomando C=1, tem-se:

μ=et2

Logo:

d (et2∗q( t ))dt

=et2∗

dq ( t )dt

+ 12∗q ( t )∗e

t2=(10+sin(2t ))∗e

t2

Integrando com respeito a t, temos:

et2∗q ( t )=∫(10+sin(2t ))∗e

t2 dt

et2∗q ( t )=20∗e

t2+ 2

17e

t2 [sin(2 t )−4*cos (2t ) ]+C

q ( t )=20+ 217

[ sin(2t )−4*cos (2 t )]+C∗e−t2

Utilizando o Problema de Valor Inicial (PVI), q(0)=0, obtemos a constante

C=−33217 .

Dessa forma, a solução analítica para o PVI será:

q ( t )=20+ 217

[ sin(2t )−4*cos(2 t )]−33217

∗e−t2

.

Para 6 passos, t6=t0+6∗h , dessa forma, temos:t6=0+6∗0,1=0,6

Pela solução analítica, temos:

q (0,6 )=20+ 217

[sin (02∗0,6 )−4 *cos (2∗0,6 ) ]−33217

∗e−0,6

2

q (0,6 )=5 ,4713862864Utilizando o programa computacional elaborado, obtêm-se q(0,6)=5,47139.

Dessa forma, observa-se que o valor é bem próximo, além de levar apenas alguns segundos para o seu cálculo, sendo que resolvendo pela forma analítica poderá ocorrer

erros devido ao processo algébrico ser bastante extenso. Lembrando que uma maior precisão poderá ser obtida, a depender do computador utilizado.

Referências

Ivanovitch Silva. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Disponível em: <http://www.dca.ufrn.br/~ivan/DCA0399/edo.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014.

Jorge Cavalcanti. Interpolação Polinomial Parte I. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/7CN_Interpolacao_Parte1.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014.

Jorge Cavalcanti. Integração Numérica. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/8CN_integracao.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014.

Luciana Montera. Integração Numérica. Disponível em: <http://www.facom.ufms.br/~montera/integracao_parte1.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de 2014.