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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE QUÍMICA

PLANEJAMENTO E OTIMIZAÇÃO EXPERIMENTAL

Alunas: RA:Cíntia Botelho Dias 085264Natália Andrade Zancan 087667

Prof. Dr. Roy Eduard Bruns

Campinas

Dezembro de 20091. OBJETIVO

Avaliar o efeito do tempo de aquecimento da mistura “óleo e leite” e da

quantidade de ovos no crescimento de pães de queijo.

2. PROCEDIMENTOS

Foi utilizado um fatorial 22 em duplicata com ponto central em triplicata para, a

partir de uma receita usual de pão de queijo, observar se o tempo de aquecimento da

mistura “leite e óleo” e a quantidade de ovos adicionada causariam influencia no

crescimento dos pães de queijo.

Foram feitas as seguintes variações:

O tempo de aquecimento da mistura “leite e óleo” foi variado entre 0 e 2

minutos. O tempo 0 (zero) equivale à mistura fria, 1 minuto equivale à

mistura morna e 2 minutos equivale à mistura fervente.

A quantidade de ovos adicionada variou entre 1 e 3.

Os níveis do planejamento estão representados na tabela a seguir:

TABELA 1: Níveis para o planejamento realizado.

EnsaiosTempo de

aquecimento leite+óleo (minutos)

Quantidade de ovos (unidades)

-1 0 1

0 1 2

+1 2 3

O fatorial foi montado como mostra a tabela abaixo (Tabela 2).

TABELA 2: Planejamento fatorial 22 com ponto central realizado.

Ensaios X1 X2

Tempo de

aquecimento

leite+óleo (minutos)

Quantidade de

ovos (unidades)

1 -1 -1 0 1

2 +1 -1 2 1

3 -1 +1 0 3

4 +1 +1 2 3

5 0 0 1 2

Os experimentos foram feitos em ordem aleatória, com replicatas autenticas. A

resposta avaliada foi a altura do pão de queijo em centímetros.

3. RESULTADOS

As aparências dos pães de queijo para cada ensaio estão representadas nas

figuras abaixo:

FIGURA 1: Representa o

ensaio 1 (X1= -1 e X2 = -1).


ensaio 3 (X1= -1 e X2 = +1).


ensaio 5, ponto central (X1= 0

e X2 = 0).


ensaio 2 (X1= +1 e X2 = -1).


ensaio 4 (X1= +1 e X2 = +1).

A tabela a seguir representa o planejamento fatorial realizado com as respostas obtidas em

centímetros:

TABELA 3: Planejamento fatorial realizado contendo as resposta obtidas.

Ensaios X1 X2

Tempo de aquecimento leite+óleo

(minutos)

Quantidade de ovos (unidades)

Resposta (cm)

1 -1 -1 0 1 4,05 1,5

2 1 -1 2 1 3,45 4,1

3 -1 1 0 3 1,6 0,505

4 1 1 2 3 2,2 4,1

5 0 0 1 2 4,85 4,15 5,5

4. CÁLCULOS E DISCUSSÃO

As médias individuais foram calculadas tomando-se os valores individuais para cada

ensaio. A média global foi calculada tomando-se a média para cada ensaio e dividindo-se pelo

número de ensaios realizados:

Média do ensaio 1 = 4,05+1,5 = 2,7750 2

Média total = 2,775 + 3,775 + 1,0525 + 3,15 + 4,8333 = 3,1172 5

Foram calculadas as variâncias individuais a partir das médias dos ensaios e de suas

observações individuais, como demonstrado abaixo:

S2 =

Ensaio 1:

A variância total utilizada foi a variância agregada:

Onde: é a variância agregada, 2is é a variância para o i-ésimo ensaio, representa os graus

de liberdade para o i-ésimo ensaio, n é o número de experimentos realizados.

Logo:

O desvio padrão para cada ensaio foi obtido extraindo-se a raiz da variância para cada

ensaio e o desvio padrão do planejamento foi calculado extraindo-se a raiz da variância agregada.

Os cálculos dos efeitos foram feitos da seguinte maneira:

Onde: representa o efeito de x1, representa a média das respostas com sinal positivo e

representa a média das respostas com sinal negativo.

O cálculo da variância foi feito como mostrado à seguir:

Onde: representa a variância do efeito de x1, V( ) representa a variância das respostas

com sinal positivo e V( ) representa a variância das respostas com sinal negativo.

0,564904

1298,1

4

1298,1)1( efV

O cálculo do desvio padrão do efeito foi feito extraindo-se a raiz quadrada da variância:

Erro padrão do efeito =

O intervalo de confiança foi calculado utilizando-se t da tabela t de Student, a 95% de

confiança, para 6 graus de liberdade (graus de liberdade utilizados para calcular a variância

agregada).

Efeito de x1 erro padrão do efeito

1,54875 2,447

0,76788 < efeito 1 < 2,3296

A tabela abaixo apresenta os resultados dos cálculos para todos os efeitos, suas

variâncias, erros padrão e intervalos de confiança.

TABELA 4: Resultados obtidos a partir do cálculo dos efeitos, variância e erro padrão dos efeitos e intervalo de confiança para os efeitos.

Efeitos Variância Erro padrão Intervalo de Confiança

x1 1,54875 0,56490 0,31911 0,76788 2,3296

x2 -1,17375 0,56490 0,31911 -1,95462 0,39289

x1x2 0,54875 0,56490 0,31911 -0,23211 1,32961

Quando o intervalo de confiança passa pelo ponto zero, não podemos dizer que o valor do

efeito é diferente de zero, portanto o efeito não é significativo no nível de confiança em que está

sendo analisado.

A partir dos resultados observados na tabela anterior pode-se dizer que apenas o efeito de

x1 é significativo, enquanto que os efeitos de x2 e da interação x1x2 não são significativos ao um

nível de confiança de 95%.

Portanto, apenas a temperatura da mistura “óleo e leite” é significativa para o crescimento

dos pães de queijo.

Os coeficientes da equação podem ser determinados da seguinte maneira:

média das observações

3,1172

Os coeficientes , e são a metade dos efeitos de x1, x2 e da interação x1.x2,

respectivamente, portanto:

E a equação ficaria:

Mas como observado anteriormente calculando-se os intervalos de confiança para

os efeitos, os efeitos de x2 e da interação x1x2 não são significativos a um nível de

confiança de 95%, portanto pode-se retira-los da equação, obtendo-se então a seguinte

expressão:

Mas para minimizar o erro no cálculo do y desejado o ideal é utilizar-se a equação

contendo também b2:

Fazendo-se a ANOVA para os efeitos de x1 e x2 (a partir da equação acima) e excluindo-se

o efeito da interação x1.x2, obteremos os seguintes resultados:

TABELA 5: Resultados obtidos a partir do cálculo da ANOVA.Soma

QuadráticaGraus de Liberdade

Média Quadrática

Regressão 13,6158 2 6,8079

Resíduo 11,6261 8 1,4533

Falta de Ajuste 11,9307 2 2,4237

Erro Puro 6,7787 6 1,1298

TOTAL 25,2419 10

% de variância explicada: 53,9413

% de variância explicável: 73,1451

Cálculos detalhados da tabela 5 (tabela de ANOVA):

Soma Quadrática:

Soma Quadrática total =

=

0,8702 + 0,1108 + 2,3018 + 0,8412 + 3,0027 + 2,6152 + 0,9660 + 6,8234 + 0,9660 + 1,0667 + 5,6779 =

25,2419

Soma Quadrática REGRESSÃO=

SQR = = =

=13, 6158

Soma Quadrática RESÍDUO =

S.Q. TOTAL – S.Q. REGRESSÃO = 25, 2419 - 13, 6158 = 11, 6261

Soma Quadrática FALTA DE AJUSTE =

S.Q. RESÍDUO – S.Q. ERRO PURO = 11, 6261- 6, 7787 = 11, 9307

Soma Quadrática ERRO PURO =

SQEP = = 6,7787

Graus de liberdade:

Regressão: p-1 = 3-1=2 Falta de Ajuste: m-p = 5-3 = 2

Resíduo: n-p = 11-3 = 8 Erro Puro: n-m = 11- 5 = 6

Total: n-1 = 11-1 = 10

Médias Quadráticas:

M.Q. REGRESSÃO= SQ. REGRESSÃO /p-1 = 6,5325 / 2 = 6,8079

M.Q. RESÍDUO = S.Q. RESÍDUO /n-p = 1, 4533

M.Q. FALTA DE AJUSTE = S.Q. FALTA DE AJUSTE /m-p = 2,4237

M.Q. ERRO PURO = S.Q. ERRO PURO /n-m= 1,1298

Para verificar se há falta de ajuste pode-se fazer usar a razão da média quadrática da falta

de ajuste pela média quadrática do erro puro:

Fcalculado = 2,14528 < F2,6,95% = 4,46

Observa-se, calculando-se o F da falta de ajuste, que esse é menor que o F crítico para 2

e 6 graus de liberdade a 95% de confiança. Isto nos indica que não há falta de ajuste no modelo.

E para verificar se a regressão é válida faz-se a razão entre a média quadrática da

regressão e média quadrática do resíduo:

Fcalculado = 6,02586 > F2,8,95% = 5,14

Observando o F da regressão e comparando-se com o F crítico para 2 e 8 graus de

liberdade a 95% de confiança, constatamos que o modelo explica a regressão, pois o F calculado

é maior que o F crítico.

Apesar do modelo não apresentar falta de ajuste e sua regressão ser significativa, seria

explicável por este apenas 73,15% da variância e na prática o modelo explica apenas 53,94% da

variância. O que não o torna um modelo bom na prática, o que pode ser explicado pelo fato de

existirem uma série de fatores que não puderam ser controlados devido ao experimento ter sido

realizado em uma cozinha doméstica e não em um laboratório experimental.

A temperatura de assamento não foi controlada, pois o forno não possuía termostato,

podendo ser um fator causador de erro nas observações.

O recipiente utilizado para o aquecimento da mistura “óleo+leite”, ora apresentava-se frio e

ora quente devido ao experimento anterior. Não sendo possível controlar com tanta precisão a

temperatura de aquecimento da mistura.

p = parâmetros =b0, b1 e b2 = 3

n = número de experimentos = 11

m = número de ensaios = 5

Os ingredientes não foram medidos em recipientes graduados e sim em recipientes de uso

doméstico.

Cálculo da significância da curvatura:

Onde: representa a média das observações do fatorial e representa a média das

observações do ponto central.

V(curvatura) =

V(curvatura) =

Erro padrão da curvatura =

Erro padrão da curvatura =

O intervalo de confiança foi calculado utilizando-se t da tabela t de Student para 6 graus de

liberdade (graus de liberdade utilizados para calcular a variância agregada) a 95% de confiança.

Intervalo de confiança = curvatura t6x (erro padrão da curvatura)

Intervalo de confiança = -2,1452 2,447 x ( )

-2,1452 0,6561

-2,80128 < curvatura < -1,48912

Calculando-se a significância da curvatura por este método observa-se que,

aparentemente, a curvatura é significativa a 95% de confiança, pois seu intervalo de confiança

não passa por zero. Mas como observamos anteriormente o efeito da interação x1x2 não é

significativo o que nos diz que provavelmente a curvatura não é significativa e tornaria

desnecessário calculá-la.

5. CONCLUSÃO:

Por meio do experimento realizado, variando-se as quantidades de ingredientes chave

(mistura óleo + leite e ovos) em uma receita padrão de pães de queijo, e efetuando-se os cálculos

e testes estatísticos pertinentes ao estudo a conclusão feita foi que a mistura “óleo + leite”

apresentou-se como o único fator significativo no crescimento dos pães de queijo. Tendo o

experimento sido realizado por meio da variação da temperatura desta mistura, ou seja,

acrescentando-se a mistura fria (nenhum aquecimento), morna (aquecimento de 1 minuto) ou

quente (aquecimento de 2 minutos) a uma receita usual de pães de queijos e realizando-se as

replicatas.

É importante relatar também que ocorreu influência no resultado das variações do

ambiente utilizado para o experimento. Isto porque este foi realizado em uma cozinha doméstica

sem os equipamentos de medição, vidrarias e outros utensílios necessários para que houvesse

precisão e exatidão nos resultados.

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