trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA CENTRO LOCAL GUÁRICO CARRERA: EDUCACIÓN MATEMÁTICA (cód. 508) TRABAJO PRÁCTICO TÓPICOS DE MATEMÁTICAS (Código 575) Estudiante: Carlos A. Rivera L.

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Page 1: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTACENTRO LOCAL GUÁRICOCARRERA: EDUCACIÓN MATEMÁTICA (cód. 508)

TRABAJO PRÁCTICOTÓPICOS DE MATEMÁTICAS

(Código 575)

Estudiante:Carlos A. Rivera L.C.I.: 6.440.278

San Juan de los MorrosNoviembre 2012

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ACTIVIDADESObjetivo # 1Actividad 1.1.2 Con base a en la lectura, responda:

¿Cree usted se debe enseñar matemática discreta en el aula de Matemática?

Los jóvenes que asisten a clases en las distintas instituciones educativas, se encuentran día a día con aspectos relacionados con la matemática discreta, como por ejemplo: contar dinero; hallar el camino más corto a algún lugar; aplicar la relación “mayor que” o “menor que” respecto a la edad de las personas o cualquier otro aspecto donde tenga aplicación; llevar un registro de su peso y estatura; medir en minutos el tiempo necesario para realizar una tarea; recordar los días que faltan para su cumpleaños; y se puede considerar el caso de tomar una decisión cuya respuesta es SI o NO.

La matemática discreta se encarga de números naturales y enteros, y todo lo relacionado con la vida diaria generalmente tiene que ver con números naturales, es decir, la matemática discreta está presente en nuestra vida diaria. Por lo tanto es necesario que en el aula de matemáticas se enseñe matemática discreta para ofrecer un carácter formal en el ámbito de las matemáticas a todas estas situaciones de la vida que enfrentan los jóvenes estudiantes.

¿Qué implicaciones tendría, para el docente, abordar la enseñanza de la matemática discreta?

Para que un docente desarrolle un proceso de enseñanza aprendizaje de manera eficiente, debe poseer un gran dominio del tema a enseñar, planificar el desarrollo de las actividades y preparar con antelación cada clase. También debe tomar en cuenta el nivel de preparación de los estudiantes.

Es por esto que el hecho de abordar la enseñanza de la matemática discreta implica para el docente que debe prepararse adecuadamente para ello, investigar sobre los distintos temas, y más importante, la relación y aplicación de cada tema en la vida diaria.

El docente debe planificar y elaborar estrategias idóneas que ayuden a fortalecer el conocimiento de la matemática discreta en los estudiantes. Dentro de las estrategias debe incluir actividades que relacionen de manera directa un hecho de la vida diaria con la matemática discreta, por ejemplo: se le pide a los estudiantes cambiar de asiento con sus compañeros una y otra vez, hasta el momento que ellos expresen que van a pasar toda la clase cambiando de asiento. En este momento se les pregunta ¿cuántas veces creen ustedes que se pueden cambiar de asiento de manera que nunca queden en la misma distribución ya hecha anteriormente? Ante la duda se les explica el tema de las combinaciones y se halla el número de combinaciones posibles para sentarse de maneras diferentes.

Actividad 1.1.3 Haga tres listas de los elementos clave, expuestos en la lectura, referidos a: Aspectos conceptuales

o Matemática Discretao Combinatoriao Geometría Discretao Teoria de Grafoso Algebra Discretao Función Generatrizo Poliedros Regulares

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Aspectos operatorios y de aplicacióno Particiones de un Númeroo Grafos Eulerianos y Hamiltonianoso Empaquetando esferas que se besano Teorema de Euler (1740)o Teorema de Garey Johnson (1983)o Conjetura de Kepler

Aspectos de resolución de problemas. o Los cinco sólidos Platónicoso Los puentes de Konigsbergo El juego Icosiano de Hamiltono Empaquetamiento de esferas en dimensión no El número de besado de esferas en dimensión no El problema de las 13 esferas

Actividad 1.2.1 Extraiga las ideas clave de la lectura realizada anteriormente (Elementos de Euclides: una aplicación de la historia al aula,…).

La resolución de problemas históricos, nos permitiría que nuestros alumnos usen destrezas para resolver problemas: determinar cómo abordar un problema, explicar el razonamiento y verificar sus resultados.

La resolución de problemas históricos debería ser una herramienta para objetivos tales como:

Señalar los problemas abiertos en cada época, su evolución y la situación en la que se encuentra actualmente.

Apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.Se presenta aquí lo que fue una clase en que se les planteó a los alumnos una

actividad construida sobre la mediatriz, extraída del libro I de los Elementos de Euclides. El hecho de centrarse en historia de la matemática está motivado por la reorganización de conceptos que hace el alumno al desenfocarlos de su contexto científico actual. En la clase se promueve una dinámica participativa orientada desde continuas preguntas, incitando a que el alumno busque las respuestas para incidir sobre la formación y reestructuración de sus conocimientos.

Actividad 1.2.3 Con base a esas lecturas Ud. deberá seleccionar un tema o tópico de matemática incluido en el currículo de la Tercera Etapa de Educación Básica o de la Educación Media Diversificada y Profesional, para diseñar una actividad utilizando la historia de la matemática, trate de ser creativo e innovador(a) al momento de realizar la tarea.

Tema seleccionado: Los números Racionales.

Introducción a la clase:

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Cuando contamos objetos o cosas, usamos normalmente los números naturales, por ejemplo: 8 manzanas, 24 vasos, 100 bolívares, 15 lápices.

Pero como se puede hacer si se toma un pastel y se corta en 8 trozos iguales para repartirlo a 8 estudiantes, ¿con que número representamos la cantidad que le corresponde a cada estudiante? (Se espera algún comentario de los estudiantes). Luego se les explica lo que se hace en este caso, se cuentan las partes en que se dividió el pastel, en nuestro caso 8, entonces se dice que de las 8 partes del pastel, a cada estudiante se le dio una parte (1) y en

el lenguaje matemático este número se escribe así 1/8 o 18 lo que se traduce como una

parte de ocho (1 de 8). Los números que se escriben de esta forma se llaman Racionales, también conocidos como fracciones.

Referencia de los números racionales en la historia de la matemática.En la antigüedad los matemáticos hindúes Brahmagupta (hacia 628) y Braskara

(hacia 1150) escribieron los números fraccionarios tal como lo hacemos en la actualidad, aunque no pusieron nunca la barra para separar numerador y denominador. La barra horizontal fue usada por primera vez por los árabes, algunos lo atribuyen al matemático Al-hassar en el siglo XII, mientras que en Europa fue Leonardo de Pisa quien lo hizo por primera vez.

Los antiguos egipcios se destacaron por el uso de fracciones que denominaban, “Fracciones ojo de Horus” porque representaban cada una de las partes en las que fue seccionado el ojo de Horus durante su batalla con Seth, ambos dioses egipcios. Estas fracciones eran: Las cejas equivalían a 1/8, la pupila 1/4, la parte izquierda de la pupila era 1/2, la parte derecha de la pupila era 1/16, la parte inferior vertical bajo el ojo era 1/32, y la parte inferior diagonal del ojo 1/64, con estos números hicieron muchos cálculos en aquella época.

ClaseSe entiende por número racional o fracción a los números de la forma a/b, donde a y

b son números enteros, al número a se le llama numerador y al número b se le llama denominador y nunca puede ser igual a cero es decir b ≠ o.

Los números racionales tienen la particularidad de que se puede escribir un mismo número de maneras diferentes. Por ejemplo: 2/3 = 6/9 ya que las dos fracciones representan la misma cantidad. Vamos a verlo de una manera grafica. Hacemos un rectángulo y lo dividimos en 3 partes iguales, se toman dos partes de estas tres y se identifican con rayas. (Se dibuja el rectángulo en el pizarrón)

Se observa que esto representa el número 2/3. Ahora se procede a dividir cada uno

de los tres rectángulos resultantes en tres partes exactamente iguales y se obtienen 9 partes en total

Page 5: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

Se observa que la zona rayada representa igual área que antes, pero ahora representa el número 6/9, entonces como conclusión se tiene que dadas dos fracciones a/b y c/d se tiene que:

ab

= cd

a.d = b.c

Es decir las fracciones son iguales si y solo si el producto a.d es igual al producto b.c con b y d distintos de cero.

Actividad para los estudiantes.A continuación vamos a realizar una actividad que llamaremos “Los cuatros

mágicos”.En este problema, expuesto por primera vez en el siglo pasado, se trata de obtener la

serie de los números naturales del 1 al 10 con expresiones en las que aparezca cuatro veces el número 4, junto con símbolos matemáticos simples como los de la suma, resta, multiplicación y división.Así se hace hasta el numero 3.

1 = 4444 2 =

44 +

44 3 =

4+4+44

Vamos a tratar de hacer los números del 4 al 10.

Después de realizar la actividad por un lapso de tiempo adecuado se verifican los resultados.

4 = 4 + 4−4

4 5 = (4.4 )+4

46 = 4 +

4+44

7 = 444 −¿ 4 8 = 4 + 4 + 4 - 4 9 = 4 + 4 +

44

10 = 44−4

4

Cierre de la clasePara concluir, hoy aprendimos que las matemáticas tienen su historia y que gracias

a muchos hombres que dedicaron su tiempo y esfuerzo al estudio de las matemáticas nosotros en la actualidad disponemos de las matemáticas como una herramienta fundamental para el desarrollo de la humanidad.

Actividad 2.1.2 Defina que es Técnica de Conteo, y de qué manera utilizaría usted los planteamientos hechos en la lectura realizada anteriormente en el aula, señale ventajas y desventajas.

La técnica de conteo es aquella que nos permite representar cantidades con símbolos para poder manipularlas.

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En la actualidad estos símbolos son los números naturales que se escriben con 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos números por si solos representan una idea abstracta de cantidad.

Otra idea de técnica de conteo es el proceso mental de agregar cantidades a otras cantidades específicas para obtener un total (cantidad final). Lógicamente deben existir los símbolos para representar las cantidades.

Estas técnicas de conteo permiten conocer cantidades que se presentan en la realidad como objetos, eventos, tamaños comparaciones, medidas, etc.

En el aula se les plantea a los estudiantes situaciones en las que necesariamente deben aplicar sus habilidades para realizar un conteo. Ejemplo: Se le pregunta a los estudiantes que de todos los que hay en el aula, cuantas veces puedo seleccionar a un estudiante diferente, se espera que contesten con el número igual a la cantidad de estudiantes que hay en el aula, luego se les preguntan cuantas parejas diferentes se pueden seleccionar del grupo, se oyen comentarios y luego se les explica la situación planteada.

Las ventajas que se obtienen es el desarrollo intuitivo de una técnica de conteo en los estudiantes, una desventaja puede ser la apreciación de algunos estudiantes del proceso como algo muy difícil lo que puede generar cierto rechazo al estudio del tema.

Actividad 2.1.3 Usted deberá buscar un libro de texto de matemática de Educación Básica o Educación Media Diversifica y Profesional y describirá la forma como es presentada (para el aprendizaje) la técnica de conteo y su opinión sobre la forma que usa el libro de texto en su presentación.

Libro: Matemática 1 Editorial Santillana.pag 10-18.Se explica lo numeroso que resulta el espacio muestral al realizar experimentos

aleatorios y especifica que más interesa el número de elementos que los elementos en si en el espacio muestral. Luego determinan los conceptos de población, muestra, orden y repetición con un ejemplo para determinar los criterios que permitan encontrar el número de elementos del espacio muestral.

Después en función de dichos criterios definen tres tipos de técnicas de conteo que son:

El principio de la multiplicación Las permutaciones y factoriales Las combinaciones.

Luego explican claramente cada una de estas técnicas y presentan ejercicios resueltos a manera de ejemplo.

La presentación está muy bien hecha, se utiliza un lenguaje claro, preciso y conciso, también se acompañan las explicaciones y los ejercicios con gráficos o dibujos que permiten entender las técnicas de conteo de una forma más clara. Los ejercicios están resueltos y comentados lo que facilita su interpretación y entendimiento.

Actividad 2.2.1 Seleccione un libro de primero y otro de segundo año de Media Diversificada y describa críticamente la forma como son manejados los términos: recursión, iteración e inducción en esos textos.

En los libros consultados:

Matemática 1 Editorial Santillana 1ª Edición

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Matemática para 1º año media diversificada.

Matemática 2 Editorial Santillana 1ª EdiciónMatemática para 2º año media diversificada.

Matemática 4º año, Esteban Mendiola, Editorial Biosfera.No se mencionan los términos Recursión, Iteración e Inducción. Se abordan temas

como las factoriales, las combinaciones, progresiones y series en los cuales es necesario tener conocimientos sobre recursión, iteración, e inducción pero se presentan los temas con la suposición de que el estudiante tiene una habilidad desarrollada con anterioridad para la aplicación de procedimientos de recurrencia, iteración e inducción.

Se hace necesario que los autores de libros de matemáticas, incluyan en sus textos los términos en cuestión y presenten las definiciones, propiedades y procedimientos o procesos necesarios para que el estudiante aprenda a utilizar estas herramientas tan importantes para el entendimiento y desarrollo de muchos temas en las matemáticas. Actividad 2.2.2 Tomando en cuenta la actividad presentada anteriormente, usted deberá realizar una propuesta de una actividad que aplicaría en el aula de matemática en la Media Diversificada y Profesional para la enseñanza de la recursión, iteración e inducción.

Introducción Se presenta los términos recursión, iteración e inducción para que los estudiantes

conozcan estas técnicas y aprendan los procedimientos o procesos relacionados con los mismos.

La recursividad:Es un concepto fundamental en matemática y una definición recursiva dice como

obtener conceptos nuevos empleando el mismo concepto que intenta describir. En toda situación en la cual la respuesta puede ser expresada como una secuencia de movimientos, pasos o transformaciones gobernadas por un conjunto de reglas no ambiguas, la formula recursiva es un buen candidato para resolver el problema.

Los razonamientos recursivos se encuentra en la base misma de las matemáticas porque son necesarios para describir conceptos centrales como el número; el poder de la recursividad es que los procedimientos o conceptos complejos pueden expresarse de una manera simple. Ejemplo: El factorial.

Definición: Factorial (n) = n! n >o n! = n.(n – 1).(n–2)….1 ; n > 0 o! = 1

Definición Recursiva: n! = 1 Si n = 0 n! = n . (n – 1)! Si n > 0

Para calcular 3! Se tiene2! = 2. (2 -1) = 2.1 = 23! = 3. (3 – 1)!= 3. 2! = 3.2 = 6

Iteración:

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Es un término con origen en el vocablo latino Iteratio. Se trata de la acción y efecto de iterar, un verbo que se utiliza como sinónimo de repetir.

En matemáticas el método iterativo se utiliza para resolver problemas a través de aproximaciones sucesivas a la solución, partiendo desde una estimación inicial.Ejemplo: Se quiere determinar el valor de f(n) = 1/n cuando n tiene al infinito, entonces se toman valores para n y se realiza el cálculo correspondiente.

Para n = 1 f (n)= 1/1 = 1

1ª Iteración n = 10 f (n) = 1/10 = 0,1

2ª Iteración n = 100 f (n) = 1/100= 0,001

3ª Iteración n =1000 f (n) = 1/1000 = 0,0001

Entonces se observa en cada iteración que cuando n aumenta, el valor de f(n) se acerca a cero y se deduce que f(n) = 1/n = 0 cuando n tiende al infinito.

Inducción:La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de

proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores naturales. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El numero natural a tiene la propiedad P.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número natural tenga la propiedad P implica que n + 1 también la tiene.

Conclusión: Todos los números naturales mayores que a tienen la propiedad P.

Ejemplo: Demostrar la siguiente proposición:

∀n ϵ N ; 1 + 2+ 3+…+ n = n (n+1) / 2 = P(n)

Aplicando el método de inducción se tiene que probar que p (n+1) es verdadero.

P (n+1) = 1 + 2 + 3 +… + n + (n + 1) = (n + 1).((n + 1) + 1)/2

P (n+1) = 1 + 2 + 3 +… + n + (n + 1) = (n + 1).(n + 2)/2

Por lo tanto P(n + 1) es verdadera lo que implica que P (n) es verdadera.

Actividad 2.3.2 ¿Cree usted que para aprender matemática sólo deben enseñarse algoritmos?, diga cuales son los pro y los contra de esta metodología tan difundida.

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Para aprender matemáticas no solo se deben enseñar algoritmos, esto solo enseñaría al estudiante a aplicar los algoritmos aprendidos en los casos que las condiciones lo permitan, pero con un planteamiento diferente sería incapaz de hallar la solución al problema; el objeto de enseñar matemáticas es formar una persona con capacidad de razonamiento lógico, que sea capaz de crear sus propios algoritmos en la resolución de problemas y más aun mejorar los ya existentes. Actualmente se debe enseñar a pensar, es decir el estudiante debe reconocer el problema, plantear las condiciones y desarrollar el procedimiento o algoritmo necesario para hallar su solución.

El pro de enseñar algoritmos, es que el estudiante se familiariza con los procedimientos formales de las matemáticas, y el contra es que el joven estudiante se limita a aplicar estos algoritmos sin ir más allá y pensar con razonamiento lógico.

Actividad 2.3.3 ¿Qué diferencia hay entre patrones y algoritmo en matemática? Si no existe, justifique su respuesta. En esta actividad se evaluará que aparezcan señaladas claramente las diferencias solicitadas, en caso de existir. De ser posible enumere las diferencias. Pertinencia del tema tratado, desarrollo secuencial lógico, concordancia con nivel, originalidad.

Un algoritmo es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas. Dados un estado inicial y una entrada siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución.

Cualquier secuencia de numero que pueda ser modelada por una función matemática es considerada un patrón. Los patrones son comunes en muchas áreas de las matemáticas. Los decimales periódicos son un ejemplo, son secuencias de repetición de dígitos que se repiten infinitamente. Los fractales son otro ejemplo, son patrones matemáticos que son invariantes en escala.

De lo anterior se puede decir que un patrón es la definición de un modelo invariante mientras que un algoritmo es una sucesión de instrucciones condicionadas para llegar de un estado inicial a un estado final. El patrón nos muestra un comportamiento pero el algoritmo nos lleva del inicio al fin de un procedimiento.

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E

C

D

AB

Objetivo # 2ACTIVIDAD 3.1.1 Usted deberá leer la Lectura 5: Grafos (redes y circuitos) y extraer las ideas clave de dicha lectura. En esta actividad se evaluará: Importancia de las ideas seleccionadas, suficiencia de las ideas seleccionadas para entender la lectura.

Ideas Claves: Un grafo es un par (V, E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices) y

E es un subconjunto de V x V (conjunto de aristas). Gráficamente se representan los vértices por puntos y las aristas por líneas que unen los vértices.

Un vértice puede tener cero o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente dos vértices.

Se llama orden de un grafo a su número de vértices, V . Si V es finito se dice que el grafo es finito.

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vértices que une y se llaman extremos.

Dos vértices son adyacentes si existe una arista entre ellos. Se llama grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Un vértice

es par o impar según lo sea su grado. Sean x, y V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita

no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso x e y se llaman los extremos del camino.

El número de aristas del camino se llama la longitud del camino. Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple. Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre

ellos. Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o

camino cerrado. Llamaremos ciclo a un circuito simple. Sea G un grafo de orden n. Se llama matriz de adyacencia de G a la matriz nxn que

llamaremos A = (aij) donde aij = 1 si {i,j} A y aij = 0 en otro caso. La matriz de adyacencia siempre es simétrica porque aij = aji

Ejemplo:Sea el grafo G:

La matriz de adyacencia es:

A B C D EA 0 1 0 0 1B 1 0 1 1 0C 0 1 0 1 0D 0 1 1 0 1E 1 0 0 1 0

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Un grafo G se dice conexo si cada par de vértices está unido al menos por un camino.

Una arista de un grafo G se dice de separación si G es conexo pero al suprimir la arista se divide en dos componentes conexos.

Llamaremos camino Euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez.

Un ciclo Euleriano es un camino Euleriano que comienza y acaba en el mismo vértice.

Un grafo que admite un ciclo Euleriano diremos que es un grafo Euleriano. Un grafo conexo G= (V, A) es Euleriano todo vértice tiene grado par. Un camino Hamiltoniano, es un camino que recorre todos los vértices de un grafo

sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice que es un ciclo Hamiltoniano

Un grafo G se dice que es Hamiltoniano si tiene un ciclo Hamiltoniano. Se dice que un grafo es un árbol, si es conexo y no tiene ciclos. Un grafo es un árbol, si y solo si, entre cada par de vértices existe un camino y sólo

uno. Un grafo se dice plano si admite una representación gráfica en el plano de modo

que dos aristas pueden cortarse únicamente en un vértice. Una representación gráfica de este tipo se llama un mapa. Decimos que un mapa es conexo si representa a un grafo conexo.

Actividad 3.1.3 Haga tres listas de los elementos clave, expuestos en la lectura, referidos a: aspectos conceptuales, operatorios y de aplicación, y resolución de problemas. Cada lista debe contener sólo aspectos de su categoría.

Aspectos ClavesConceptuales Operatorios y de Aplicación Resolución de Problemas

Grafos Grafos Problema del vendedor ambulante

Aristas Aristas Vértices Vértices Caminos Caminos Matriz de Adyacencia Matriz de Adyacencia Grafo Conexo Grafo Conexo Grafos Eulerianos Camino Euleriano Grafos Hamiltonianos Camino Hamiltoniano Árbol Algoritmo de Fleury Bosque Grafo Plano

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Mapa

Actividad 4.1.2 Usted deberá proponer una actividad sencilla, donde el alumno llegue a la conclusión de qué es una matriz, tipos de matrices y propiedades de la adición y multiplicación de matrices. En esta actividad se evaluara: apego a normas para elaboración de actividad didáctica, pertinencia del tema tratado, desarrollo secuencial lógico, concordancia con nivel y originalidad.

Actividad Propuesta:Tomando como referencia los pupitres dentro del aula, que deben estar ordenados

por filas y columnas, se les explica a los estudiantes que las filas son las que están formadas por los pupitres que están uno al lado del otro y las columnas son aquellas donde los pupitres están uno detrás de otro a excepción del primero. En relación a esta situación se les indica que este arreglo de pupitres en filas y columnas se denomina matemáticamente matriz. Luego se les indica que muevan todos los pupitres al fondo del salón y se le pide por grupos que realicen diferentes arreglos con distintos números de filas y de columnas. Después de este ejercicio, se ordenan los pupitres como estaban al inicio y se asignan números a las filas y a las columnas, desde 1 hasta la cantidad existente, ahora se les pide a cada estudiante que levante la mano cuando el profesor diga la fila y la columna en la que está situado, es decir el profesor dice fila 2 columna 3 y el estudiante que está sentado en el pupitre correspondiente debe levantar la mano, se repite el ejercicio tantas veces como sea necesario hasta observar que los estudiantes comprendieron la idea. Después de este ejercicio se explica en el pizarrón la nomenclatura utilizada con las matrices. La matriz se denota con una letra mayúscula y los elementos que forman la matriz se denotan con letras minúsculas acompañadas por dos subíndices que indican la fila y la columna donde están ubicados.

Ejemplo: Sea la Matriz A5,5

Aquí se explica que el primer subíndice señala la fila y el segundo señala la columna. Como ejercicio se les pide ordenar los siguientes elementos en una matriz A: a11 = 2, a12 = 5, a13 = 3, a 21 = 8, a 22 = 1, a 23 = 6, a 31 = 9, a 32 = 4, a 33 = 7

Seguidamente se les explica algunos tipos de matrices:

Matriz fila es la que consta de una sola fila. Matriz columna es la que tiene una sola columna.

Columna1

Columna2

Columna3

Columna4

Columna5

Fila 1 a11 a12 a13 a14 a15

Fila 2 a21 a22 a23 a24 a25

Fila 3 a31 a32 a33 a34 a35

Fila 4 a41 a42 a43 a44 a45

Fila 5 a51 a52 a53 a54 a55

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Matriz Cuadrada es la que tiene igual número de filas que de columnas. Matriz Rectangular es la que tiene un número de filas distinto del número de

columnas.Ya en este punto se pasa a explicar la adición de matrices. Para hacerlo sencillo se hace un ejemplo práctico, se dan dos matrices de igual dimensión y se dice inmediatamente que para poder sumar dos matrices, deben tener el mismo número de filas y de columnas.

A2,3 = B2,3 =

(A + B)2,3= =

En el ejemplo se observa que se suman los elementos de las matrices que se encuentran en la misma posición. Seguidamente se expresan las propiedades de la adición de matrices: Sean las matrices A, B y C

Propiedad conmutativa: A + B = B + A Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: Sea la matriz 0i,j llamada matriz nula y todos los elementos que la

componen son 0 (cero), entonces A + 0 = 0 + A = A Elemento opuesto: A + (-A) = 0

Ahora se estudia la multiplicación de matrices. Primero se expresa la condición necesaria para poder multiplicar dos matrices, para realizar la multiplicación de dos matrices Ai,j x Bm,n es necesario que el número de columnas de la matriz A sea igual al de la matriz B, es decir que j=m y resulta que A i,j x Bm,n = Ci,n. La matriz resultante C, tendrá el número de filas de A y el número de columnas de B. El elemento cij de la matriz resultante se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumando todos estos productos. Ahora se explica un ejemplo para que los estudiantes observen el procedimiento.

A2,3 x B3,2 = =

A2,3 x B3,2 = C2,2 =

2

2

5 7 10 -4 -6 2

8 -93 112 1

13 -2 13 7 -4 3

5+8 7-910+3 -4+11-6+2 2+1

2 00 3-1 4

2.2+0.0+1.(-1) 2.0+0.3+1.4

0.2+3.0+(-2)(-1) 0.0+3.3+(-2).4

2 0 10 3 -2

3 4

2 1

Page 14: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

Finalmente y para concluir la clase, se expresan las propiedades que cumple la multiplicación de matrices.

Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro: A · I = A, Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

Actividad 5.1.2. Usted deberá extraer las ideas clave de la lectura y hacer una propuesta de una actividad, vinculada a la cotidianidad de los estudiantes, para enseñar optimización en el aula. En esta actividad se evaluará: Importancia de las ideas seleccionadas, suficiencia de las ideas seleccionadas para entender la lectura, presencia de la actividad didáctica, apego a normas para diseño de actividad didáctica, desarrollo secuencial lógico.

Ideas Claves: Mediante la observación de la construcción de cilindros de diferentes alturas, con la

misma medida de área en la superficie de sus paredes, una hoja de papel rectangular, se pudo determinar que el contenido que pueden almacenar los mismos, es decir su volumen, varía según la altura.

Galileo en el Dialogo en Torno a Dos Nuevas Ciencias considera los dos cilindros de igual superficie lateral que se obtienen al enrollar una hoja de papel a lo ancho y a lo largo, prueba que los dos volúmenes son inversamente contrarios a sus alturas.

Análogamente, al construir paralelepípedos con laminas de cartón a lo largo y a lo ancho, se pudo determinar que el volumen es diferente en cada paralelepípedo formado, uno es alto y delgado mientras que el otro es bajo pero con una base de mayor superficie, se observó que el primero tiene menor volumen que el segundo, al cortar el más delgado en trozos, e introducir estos en el paralelepípedo más bajo todavía queda espacio sin ocupar.

Para calcular el volumen de un paralelepípedo se multiplica el área de la base (B) por su altura (h), V= B.h

Al construir dos paralelepípedos, con una hoja rectangular igual cada uno, tomando las dimensiones de la hoja invertidas de un paralelepípedo al otro, se tiene que, la razón entre los volúmenes de los dos paralelepípedos formados es igual a la razón entre las dimensiones de la hoja.

Cuando se construyen paralelepípedos de igual volumen se puede observar que el cubo es el que tiene la superficie mínima.

Al realizar pruebas con burbujas de jabón se observa que a igualdad de volumen la esfera es la que tiene la superficie mínima, luego al colocar una burbuja entre dos placas de vidrio se observó la formación de un cilindro por lo que se deduce que a igualdad de área el círculo tiene el perímetro mínimo. Entre todas las figuras planas que tienen la misma extensión, el círculo es el que tiene el perímetro mínimo. En conclusión el círculo en el plano tiene la misma propiedad que la esfera en el espacio. De las dos propiedades anteriores se demuestra que: La esfera tiene el

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volumen máximo a igualdad de superficie y el circulo tiene el área máxima a igualdad de perímetro.

Actividad para el aula:Se introduce la clase con la siguiente lectura:“Juan y Luis son dos hermanos que vivían con sus padres y formaban una feliz

familia, pero a la hora de la comida los dos querían el mismo vaso para la bebida y siempre se disputaban el mismo. Un día el padre les preguntó por qué preferían ese vaso y Juan le contestó que ese vaso tenía mayor capacidad que los otros, que era más grande. El papá para resolver la situación les dijo, vamos a ver si están en lo cierto; entonces tomo un vaso de los otros que eran menos alto pero más ancho que el vaso preferido y lo lleno de agua, luego vertió el agua en el vaso preferido por Juan y Luis y se llevaron una gran sorpresa, los dos vasos tenían la misma capacidad. Después de ese día Juan y Luis jamás volvieron a disputarse el vaso que dejo de ser el preferido”.

La reflexión que se debe hacer es que, lo que a simple vista parece más grande, en realidad es más pequeño o viceversa. Para estar seguros se deben realizar los cálculos necesarios para determinar la verdadera realidad.

Ahora se comenta con los estudiantes y se escuchan sus opiniones sobre los diferentes tipos de envases que conocen y la relación con su volumen.

Es hora de hacer una actividad práctica, se entrega un cartón a cada pareja de estudiantes de dimensiones 5cm por 20cm y se les indica que construyan un envase tratando de que contenga el mayor volumen posible. Al terminar se observan los envases uno por uno y de manera colectiva se realiza el cálculo de su volumen; en caso de que ninguna pareja construya un cubo, el profesor debe tener uno a la mano para calcular su volumen. Seguidamente se pregunta a los estudiantes cual es el envase que tiene mayor volumen y cuál era el tamaño del cartón que usaron, ahora se pregunta: ¿con una misma superficie, cual es la figura geométrica que contiene mayor volumen?Y deberían responder el cubo. De no ser así hay que explicarles hasta que logren interpretar los resultados.

Para finalizar se explica que de manera similar el circulo y la circunferencia tienen ciertas propiedades que explican la frecuencia con que se usan en la vida diaria.

El circulo encierra la mayor área a igual perímetro y también a igual área tiene el menor perímetro. (esto se explica con una cuerda de cierta longitud, construyendo diferentes figuras geométricas en un plano y comparando sus áreas)

La circunferencia contiene mayor volumen a igualdad de superficie y también a igual volumen tiene la superficie mínima. (esto se explica con burbujas de jabón, que el aire encerrado quiere escapar y hace que la delgada película de jabón tomé la forma que ocupa mayor volumen)

Objetivo # 3Actividad 6.1.2 Usted deberá resolver los ejercicios presentados en la lectura y presentarlos de manera ordenada por escrito. En esta actividad se evaluará: resultados obtenidos, procedimiento para lograr los resultados, organización y eficiencia del procedimiento.

Progresiones Geométricas.

Page 16: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

Ejercicio 1: En el problema de progresión geométrica de esta sección suponga que hay 10 ratones al principio del año y obtenga el número de ratones en enero, febrero y marzo.

Solución: como al inicio hay 10 ratones, entonces son cinco parejas, cada pareja tiene una camada de 12 crías, por lo que el número de ratones a finales de enero es de 5 x 12 + 10 = 70; luego a inicio de febrero se tienen 70 ratones, es decir 35 parejas, entonces resulta que la cantidad de ratones a finales de febrero es equivalente a 35 x 12 + 70 = 490; ahora al inicio de marzo se tienen 490 ratones, es decir 245 parejas, se tiene que la cantidad de ratones al final de marzo es de 245 x 12 + 490 = 3430.

Ejercicio 2: Demuestre que U(t) = 7t.10 con t = 0, 1, 2, 3,…,12 satisface la ecuación U(t) – U(t – 1) = 6U(t – 1)

Solución: Sea U(t) = 7t.10 (se sustituye t por t – 1 y se tiene la ecuación)

U(t – 1) = 7t - 1.10 (1)

Ahora se toma U(t) = 7t.10 (como 7.7-1 = 1, se multiplica en el segundo miembro)

U(t) = 7t .10.7.7-1 , (como 7t. 7-1= 7t-1, se sustituye)

Y resulta U(t) = 7 . 7t - 1.10 , (como 7t - 1.10 = U(t – 1))

Se obtiene U(t) = 7.U(t – 1) , ( ahora se sustituye 7U(t-1)=6U(t-1)+U(t-1))

U(t) = 6U(t – 1) + U(t – 1)

Entonces U(t) – U(t – 1) = 6U(t – 1)

Ecuaciones en diferencia.Ejercicio 1: Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencia.

a) U(x+1) – 5U(x) = 0 U(0) = 4Despejando se tiene que U(x+1) = 5U(x)Si x = 0 entonces U(0+1) = 5U(0) Þ U(1) = 5U(0)Si x = 1 entonces U(1+1) = 5U(1) Þ U(2) = 5.5U(0)Si x = 2 entonces U(2+1) = 5U(2) Þ U(3) = 5.52U(0)Si x = 3 entonces U(3+1) = 5U(3) Þ U(4) = 5.53U(0)

Si x = n entonces U(n+1) = 5U(n) Þ U(n+1) = 5n+1 U(0)Tomando t = n+1 U(t) = 5t U(0) Þ U(t) = 5n .4

b) U(x+1) + 2U(x) = 0 U(0) = 1Despejando se tiene que U(x+1) = (-2) U(x)Si x = 0 entonces U(0+1) = (-2) U(0) Þ U(1) = (-2) U(0)Si x = 1 entonces U(1+1) = (-2) U(1) Þ U(2) = (-2). (-2) U(0)Si x = 2 entonces U(2+1) = (-2) U(2) Þ U(3) = (-2). (-2)2 U(0)Si x = 3 entonces U(3+1) = (-2)U(3) Þ U(4) = (-2). (-2)3 U(0)

Page 17: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

Si x = n entonces U(n+1) = (-2) U(n) Þ U(n+1) = (-2)n+1 U(0)Tomando t = n+1 U(t) = (-2)t U(0) Þ U(t) = (-2)n

c) 3U(x+1) – 2U(x) = 0Despejando se tiene que U(x+1) = (2/3) U(x)Si x = 0 entonces U(0+1) = (2/3) U(0) Þ U(1) = (2/3)U(0)Si x = 1 entonces U(1+1) = (2/3) U(1) Þ U(2) = (2/3).(2/3) U(0)Si x = 2 entonces U(2+1) = (2/3) U(2) Þ U(3) = (2/3).(2/3)2 U(0)Si x = 3 entonces U(3+1) = (2/3) U(3) Þ U(4) = (2/3).(2/3)3 U(0)

Si x = n entonces U(n+1) = (2/3) U(n) Þ U(n+1) = (2/3)n+1 U(0)Tomando t = n+1 U(t) = (2/3)t U(0)

d) U(x+1) – U(x) = 2 U(0) = 3Despejando se tiene que U(x+1) = 2 + U(x) Si x = 0 entonces U(0+1) = 2 + U(0) Þ U(1) = 2 + U(0)Si x = 1 entonces U(1+1) = 2 + U(1) Þ U(2) = 2 + 2 + U(0)Si x = 2 entonces U(2+1) = 2 + U(2) Þ U(3) = 2.3 + U(0)Si x = 3 entonces U(3+1) = 2 + U(3) Þ U(4) = 2.4 + U(0)

Si x = n entonces U(n+1) = 2 + U(n) Þ U(n+1) = 2.(n+1) + U(0)Tomando t = n+1 U(t) = 2t + U(0) Þ U(t) = 2t + 3

Actividad 6.1.3 Defina que es una Ecuación en Diferencia.

Una ecuación en diferencia es aquella que está definida en un cierto dominio de una variable (generalmente el conjunto de los números enteros Z) y relaciona una función incógnita de la variable x con una función incógnita de la variable x+1, es decir que difiere en 1 de la función incógnita de la variable x. Si la ecuación relaciona dos funciones como U(x) y U(x+1) entonces se llama ecuación en diferencia de primer orden, en general si la ecuación relaciona las funciones U(x), U(x+1), U(x+2), …, U(x+n) entonces es una ecuación en diferencia finita de orden n.

Una solución de una ecuación en diferencias es una función que satisface la ecuación dada (ecuación en diferencias) para cualquier valor de la variable perteneciente a un dominio en el que está definida la función.

Actividad 7.1.2 Usted deberá definir qué es un sistema ponderado de votación y describir cuál es el utilizado en nuestro país.

Un sistema de votación ponderado es aquel en el que los participantes tienen un peso determinado al votar, es decir, cada participante aporta cierta cantidad de votos dependiendo de ciertas condiciones lo que origina que un participante con mayor peso tendrá mayor influencia en la decisión final. El poder de un participante en un sistema de votación ponderado se puede definir a grandes rasgos como la capacidad del participante de influir en una decisión.

En un sistema de votación ponderado se tienen los participantes X1, X2, X3,…

Page 18: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

Xn tal que cada uno tiene un peso W, entonces se tiene que el peso está determinado por W(X1), W(X2), W(X3),…, W(Xn), ahora si se llama T al número total de votos, resulta que la mayoría simple viene dada por: (T/2) + 1 si T es par, y (T + 1)/2 si T es impar. Si se denota por q la cuota, que es el número de votos que se necesita para aprobar una propuesta, entonces se puede describir un sistema de votación ponderado con la notación

siguiente: [q: W(X1), W(X2), W(X3),…, W(Xn)]

En nuestro país, República Bolivariana de Venezuela, se utiliza un sistema de votación de mayoría simple, en el que después que los votos han sido emitidos y contados en su totalidad, el candidato (elecciones presidenciales) o los candidatos que obtuvieron la mayor cantidad de votos son declarados ganadores. Al elector se le presentan los nombres de los candidatos postulados y vota seleccionando solamente uno de ellos. El candidato ganador es simplemente el que obtuvo la mayor cantidad de votos; en teoría, un candidato puede ganar con sólo dos votos, si cada uno de los otros candidatos únicamente logra un voto.

Actividad 7.1.3 Usted deberá resolver los ejercicios que se presentan en la lectura anterior. En esta actividad se evaluará: resultados obtenidos, procedimiento para lograr los resultados, organización y eficiencia del procedimiento.

Ejercicios:1) Encuentra todas las coaliciones en un comité de tres personas A, B y C

Respuesta: voto a favor (S), voto en contra (N)

En total son 8 coaliciones que se pueden formar y son:

{A,B,C},{A,B},{A,C},{A},{B,C},{B},{C} y

es el conjunto de la coalición nula

2) Encuentra todas las coaliciones en un comité de cuatro personas A, B, C y DRespuesta: voto a favor (S), voto en contra (N)

En total se pueden formar 16 coaliciones, incluyendo la coalición nula.

3) ¿Cuántas coaliciones pueden hacerse en un comité de n personas?

A B C1 S S S2 S S N3 S N S4 S N N5 N S S6 N S N7 N N S8 N N N

A B C D1 S S S S2 S S S N3 S S N S4 S S N N5 S N S S6 S N S N7 S N N S8 S N N N

A B C D9 N S S S10 N S S N11 N S N S12 N S N N13 N N S S14 N N S N15 N N N S16 N N N N

Page 19: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

Como cada votante tiene dos opciones y los votantes son independientes unos de otros, entonces por el principio de la multiplicación se tiene que el número de formas que tiene n votantes para votar es 2 x 2 x 2 x…x 2 = 2n

4) Para el sistema de votación ponderado dado por:

[q: W(A), W(B), W(C)] = [8: 5, 4, 3] Encuentra:a) Todas las coaliciones ganadoras: {A,B} ; {A,C}b) Todas las coaliciones ganadoras mínimas: {A,B} ; {A,C}c) Todas las coaliciones de bloqueo: {A} ; {B,C}d) Todas las coaliciones de bloqueo mínima: {A} ; {B,C}¿En que coaliciones ganadoras es A un votante basculante? ¿y B? ¿y C? En {A,B} ; A y B son votantes basculante

En {A,C} ; A y C son votantes basculante¿En que coaliciones de bloqueo es A un votante basculante? ¿y B? ¿y C?

En {A} ; A es votante basculanteEn {B,C}; B y C son votantes basculantes

5) Calcula el índice de poder de Banzhaf de cada uno de los participantes en un comité que se rige por el sistema de votación ponderado siguiente:

[q: W(A), W(B), W(C)] = [3: 2, 1, 1]Primero se determinan las coaliciones ganadoras:{A,B} ; {A,C} ; {A,B,C} Se observa que A es votante basculante en las tres coaliciones ganadoras.Se observa que B es votante basculante solo en la coalición {A,B}Se observa que C es votante basculante solo en la coalición {A,C}

Multiplicando por 2 el número de coaliciones en la cual cada votante es basculante se obtiene el índice de Banzhaf :(6, 2, 2)

6) Calcula el índice de poder de Banzhaf de cada uno de los participantes en un comité de una empresa que se rige por el sistema de votación ponderado siguiente:

[q: W(A), W(B), W(C), W(D)] = [51: 40, 30, 20, 10]Primero se determinan las coaliciones ganadoras:{A,B} ; {A,C} ; {A,B,C} ; {A,B,D} ; {A,C,D} ; {B,C,D} ; {A,B,C,D} Se observa que A es votante basculante en 5 de las coaliciones ganadoras.

{A,B} ; {A,C} ; {A,B,C} ; {A,B,D} ; {A,C,D} Se observa que B es votante basculante en 3 de las coaliciones ganadoras.

{A,B} ; {A,B,D} ; {B,C,D} Se observa que C es votante basculante en 3 de las coaliciones ganadoras.

{A,C} ; {A,C,D} ; {B,C,D} Se observa que D es votante basculante en 1 de las coaliciones ganadoras.

{B,C,D}Multiplicando por 2 el número de coaliciones en la cual cada votante es basculante

se obtiene el índice de Banzhaf :(10, 6, 6, 2)7) La comunidad europea estaba formada en 1958 por Bélgica (B), Holanda (H),

Francia (F), Alemania (A), Italia (I) y Luxemburgo (L). su consejo de ministros usaba un sistema de votación ponderado:

Page 20: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

[q: W(A), W(F), W(I), W(B), W(H), W(L)] = [12: 4, 4, 4, 2, 2, 1]Calcula el índice de poder de Banzhaf de cada país.Con la ayuda de una tabla de Excel se hicieron todas las formas en que los participantes podían votar, colocando en cada celda el peso de cada participante se realizó la suma en otra columna y se tomaron las formas, donde la suma era igual o mayor que 12 para las coaliciones ganadoras, donde la suma resultaba >5 y < 12 para las coaliciones de bloqueo, obteniendo el siguiente resultado:

Coaliciones ganadoras: {A,F,I,B,H,L} ; {A,F,I,B,H} ; {A,F,I,B,L} ; {A,F,I,B} ; {A,F,I,H,L} ; {A,F,I,H} ; {A,F,I,L} ; {A,F,I} ; {A,F,B,H,L} ; {A,F,B,H} ; {A,I,B,H,L} ; {A,I,B,H} ; {F,I,B,H,L} ; {F,I,B,H}Analizando estos conjuntos se observa que: El país A es votante basculante en 10 coaliciones. El país F es votante basculante en 10 coaliciones. El país I es votante basculante en 10 coaliciones. El país B es votante basculante en 6 coaliciones. El país H es votante basculante en 6 coaliciones. El país L no es votante basculante en ninguna coalición.

Coaliciones de bloqueo{A,F,B,L} ; {A,F,B,} ; {A,F,H,L} ; {A,F,H} ; {A,F,L} ; {A,F} ; {A,I,B,L}{A,I,B} ; {A,I,H,L} ; {A,I,H} ; {A,I,L} ; {A,I} ; {A,B,H,L} ; {A,B,H} {A,B,L} ;

{A,B} ; {A,H,L} ; {A,H} ; {F,I,B,L} ; {F,I,B} ; {F,I,H,L} ; {F,I,H} {F,I,L} ; {F,I} ; {F,B,H,L} ; {F,B,H} ; {F,B,L} ; {F,B} ; {F,H,L} ; {F,H} { I,B,H,L} ; {I,B,H} ; {I,B,L} ; {I,B} ; {I,H,L} ; {I,H}

Analizando estos conjuntos se observa que: El país A es votante basculante en 18 coaliciones. El país F es votante basculante en 18 coaliciones. El país I es votante basculante en 18 coaliciones. El país B es votante basculante en 6 coaliciones. El país H es votante basculante en 6 coaliciones. El país L no es votante basculante en ninguna coalición.Entonces el índice de poder de Banzhaf es: (28, 28, 28, 12, 12, 0)

8) Calcula el índice de poder de Shapley-Shubik de cada uno de los participantes en un comité que se rige por el sistema de votación ponderado siguiente:

[q: W(A), W(B), W(C)] = [3: 2, 1, 1]Son P3 = 3! = 6 las permutaciones posibles con tres partidos.Pivotes de A: BCA CBA BAC CABPivotes de B: ABCPivotes de C: ACBA(4) ; entonces el índice de poder es IA = 4/6 = 66,66 %B(1) ; entonces el índice de poder es IB = 1/6 = 16,66 %C(1) ; entonces el índice de poder es IC = 1/6 = 16,66 %

Page 21: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

9) Calcula el índice de poder de Shapley-Shubik de cada uno de los participantes en un

comité de una empresa que se rige por el sistema de votación ponderado siguiente:

[q: W(A), W(B), W(C), W(D)] = [51: 40, 30, 20, 10]

Son P4 = 4! = 24 las permutaciones posibles con cuatro partidos. Pivotes de A:

BACD, BADC, BCAD, CBAD, BDAC, DBAC, DCAB, CDAB, CABD, CADB Pivotes de B:

ABCD, ABDC, ADBC, DABC, CDBA, DCBA Pivotes de C:

ACBD, ACDB, ADCB, DACB, BDCA, DBCA Pivotes de D:

BCDA, CBDA

Y se obtiene.A(10) ; entonces el índice de poder es IA = 10/24 = 41,66 %B (6) ; entonces el índice de poder es IB = 6/24 = 25,00 %C (6) ; entonces el índice de poder es IC = 6/24 = 25,00 %D (2) ; entonces el índice de poder es ID = 2/24 = 8 ,33 %

10) Una empresa tiene un accionista con el 10% de las acciones. Los restantes 90 accionistas tienen igual participación en la empresa. Se toman las decisiones por mayoría absoluta. Encuentra el índice de Shapley-Shubik de cada accionista.

El comité de esta empresa se rige por el sistema de votación ponderado:

[q: W(X1), W(X2), W(X3),…, W(X91)] = [51: 10, 1, 1,…, 1] El número de permutaciones de 91 elementos está determinado por P91= 91!

Calcular el número de coaliciones donde el votante X1 es pivote y luego dividir el numero entre 91! Es la forma de hallar el índice de poder de Shapley-Shubik para el participante X1 quien tiene el 10% de las acciones; Luego como los participantes restantes son equivalentes, se resta el índice hallado de 1 y el resultado de divide entre 90, este será el índice de poder para el resto de los participantes.

11) Australia es una federación de 6 estados: Australia del Oeste (O), Territorio del Norte (N), Australia del Sur (S), Queensland (Q), Nueva Gales del Sur (G) y Victoria (V). Algunas decisiones se toman mediante el sistema de votación siguiente: cada estado tiene 1 voto y el Gobierno Federal (F) 2 votos. Como hay 8 votos puede haber empate; en caso de empate, la ley establece que la coalición ganadora es aquella en la que esté el Gobierno Federal.

a) Encuentra un sistema de votación ponderado para describir la forma en que se toman decisiones en esta federación.

Esta Federación se rige por el sistema de votación ponderado siguiente:Se tienen dos condiciones:

Si W(F) pertenece a la coalición.

[q: W(F), W(O), W(N), W(S) , W(Q) , W(G) , W(V)] = [4: 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

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Si W(F) no pertenece a la coalición.

[q: W(F), W(O), W(N), W(S) , W(Q) , W(G) , W(V)] = [5: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1]b) Encuentra el índice de Banzhaf de cada uno de los participantes en este

sistema de votación.Australia del Oeste es votante basculante en las siguientes coaliciones ganadoras:

FON, FOS, FOQ, FOG, FOV, ONSQG, ONSQV, ONSGV ONQGV, OSQGV

Australia del Oeste es votante basculante en las siguientes coaliciones de bloqueo: ON, OS, OQ, OG, OVEntonces el índice de poder de Banzhaf para Australia del Oeste es de 10+5= 15Como los 6 estados son votantes equivalentes, cada uno tiene el mismo poder.El número de coaliciones que se pueden formar es de 27 = 128, si se le resta el numero de coaliciones en las que los 6 estados son votantes basculantes resulta 128-(6x15) = 38 y este es el índice de poder de Banzhaf para la Federación.Normalizando queda: Io = IN = IS = IQ = IG = IV = 0,1172; IF = 0,2969

Actividad 8.1.2 Usted deberá definir qué es clasificación y una partición. En esta actividad se evaluará la presencia de la definición, claridad y precisión.

Clasificación: Es un concepto vinculado con el verbo clasificar, que se refiere a la acción de organizar o situar algo según una determinada directiva. El término también se utiliza para nombrar al vínculo que se establece entre aquellos clasificados tras una prueba. La clasificación es un procedimiento de construcción conceptual que conduce de términos (conjuntos) a términos (subconjuntos), es una operación cuyo operando es un conjunto. Por tanto la clasificación consiste en seleccionar de un conjunto de elementos llamado A, aquellos que cumplen cierta condición y formar un nuevo conjunto B que es subconjunto de A.

Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2, 3,…, n} ; una clasificación de A es el conjunto de los números pares P = {2, 4, 6,…,2n} y P A

Partición: Una partición de un conjunto A es una colección de subconjuntos de A, los cuales son no vacíos y disjuntos entre sí cuya unión es A. Formalmente, una partición de un conjunto A es una familia F = {A1, A2, A3,…, An,} de subconjuntos no vacíos de A, con las siguientes propiedades:

1) A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪… ∪ An = A

2) A∩1 A2 ∩ A3 ∩…∩ An =

Ejemplo: Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4} entonces son particiones de A:

F1 = {{1, 2},{3, 4}} y se verifica que {1, 2}∪{3, 4} = A y {1, 2}∩{3, 4}=

F2 = {{1, 3},{2, 4}} y se verifica que {1, 3}∪{2, 4} = A y {1, 3}∩{2, 4}=

F2 = {{1, 2, 3},{4}} y se verifica que {1, 2, 3}∪{4} = A y {1, 2, 3}∩{4}=

Page 23: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

Actividad 8.1.3. Dé su opinión si en la Educación Básica y Educación Media Diversificada y Profesional se debería enseñar la teoría de conjunto, y cuál sería su importancia en el aula de matemática. En esta actividad se evaluará: Redacción, conocimiento del tema del cual opina, pertinencia de la opinión emitida.

La matemática es extensa y abarca muchas áreas y aspectos relacionados con la educación, sin embargo hay temas que se hacen prácticamente obligatorios en el aula de clases; uno de estos temas es la Teoria de Conjuntos. La noción de conjunto está en la raíz de la mayoría de los conceptos fundamentales de las Matemáticas. Es una teoría muy simple y sencilla, a partir de la cual se pueden definir los siguientes conceptos: par ordenado, relación, función, partición, orden, los números naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, entre otros.

Los conjuntos están presentes en nuestras vidas en todo momento e incluso hacemos uso de ellos y sus operaciones de manera desapercibida; por ejemplo cuando ordenamos el cuarto, se clasifican y organizan todas nuestras cosas en base a ciertas condiciones, pero si nos faltara espacio para algún grupo de objetos entonces los colocamos con otro grupo; la ama de casa cuando lava la ropa hace varias pilas de ropa de acuerdo a su color, tamaño y uso sin saber que formó varios conjuntos; los jóvenes estudiantes se agrupan de acuerdo a sus preferencias formando conjuntos que se relacionan entre sí.

Los estudiantes deben conocer y manejar los conceptos de conjuntos, subconjuntos, unión de conjuntos, intersección de conjuntos, conjunto vacio, conjuntos disjuntos, entre otros, ya que estos se utilizan en gran parte de los contenidos que se dan en el aula de clases; por ejemplo cuando se enseña funciones, se expresan el dominio y el rango como conjuntos, los cuales se deben conocer y manejar para el correcto aprendizaje; al trabajar con los números enteros se habla del conjunto de los números enteros (Z) por lo que a este se aplican las propiedades de conjuntos y sus operaciones; la población, en la Estadística, es un conjunto y la muestra es un subconjunto de la población, cuyos elementos representan el comportamiento de la población.

Por esto se hace necesario enseñar en la Educación Básica y Educación Media Diversificada y Profesional la Teoria de Conjuntos para desarrollar en el estudiante habilidades necesarias para entender otros aspectos de las Matemáticas.

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Objetivo # 4

Actividad 9.1.2 Elabore un resumen con las propuestas didácticas que usted puede extraer de las lecturas recomendadas y señale en qué forma utilizaría la lectura anterior en el aula. En esta actividad se evaluará: la presencia de las propuestas didácticas y su origen en la lectura.

Si observamos a nuestro alrededor percibimos que son muchas las cosas que cambian de forma o tamaño, lo que implica que hay una dinámica en nuestro entorno; pero más allá de lo que se ve, los grandes cambios de escala (tamaño) solo implican pequeños cambios en la forma, por lo que se puede enunciar una ley de crecimiento para representar las fases del mismo, por ejemplo de un ser vivo, mediante un modelo matemático.

El ser humano no crece proporcionalmente desde que es un bebé hasta llegar a adulto, las diferentes partes del cuerpo crecen con un factor de escala distinto cada una, por ejemplo, los ojos duplican su tamaño mientras que los brazos aumentan hasta cuatro veces su tamaño original.

“A pesar de que las leyes de crecimiento pueden ser más complicadas que el crecimiento proporcional, matemáticas más sofisticadas (por ejemplo, la geometría diferencial, que es la geometría de las curvas y las superficies) permiten realizar análisis de escalas más complejas y entrelazadas. Para modelar el proceso que ocurre cuando la cabeza de un bebé cambia de forma hasta convertirse en la cabeza de un adulto, podemos usar papel milimetrado; ponemos un dibujo del cráneo de un bebé en papel milimetrado y a continuación determinamos cómo deformar el cuadriculado hasta encajar el cráneo adulto (véase la figura 1).

El biólogo y matemático inglés D’Arcy Thompson, autor del libro Crecimiento y Forma sostiene en su obra que la forma y el crecimiento de un ser vivo se desarrollan de

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modo que sean optimas las condiciones de vida, y estas condiciones se expresan en términos matemáticos"1.

Esto pone de manifiesto la importancia de la aplicación de las matemáticas en el estudio de la naturaleza y como se integran estas dos áreas de la vida misma. Es así como se puede apreciar la asociación que existe entre la naturaleza y las matemáticas; son muchos los tópicos de matemáticas que permiten modelar fenómenos de la naturaleza para comprender mejor su comportamiento, su desarrollo o su evolución.

En un aula de clases estos planteamientos se pueden utilizar para que los estudiantes comprendan la relación de las matemáticas con la naturaleza y uno de los aspectos de aplicación de las mismas. Se puede generar una discusión donde los estudiantes aporten ideas y experiencias en cuanto al crecimiento y luego seleccionar uno y realizar, si es posible, un análisis de su desarrollo, con el propósito de tratar de hallar la aproximación del modelo que represente el crecimiento del objeto de estudio. Esta actividad debe ser enfocada en la asociación que existe entre las matemáticas y la naturaleza, en como a través de las matemáticas se pueden describir aspectos relacionados con la vida y como la naturaleza evoluciona y se rige por leyes matemáticas.

Actividad 9.2.2 Realice un resumen con las ideas clave de las lecturas (Lecturas 11 y 13).

En la matemática tradicional, se puede predecir o determinar el comportamiento pasado o futuro de un sistema a lo largo del tiempo, solo con conocer las condiciones iniciales y las leyes que rigen dicho sistema; La Teoria del Caos habla de la flecha del tiempo, es decir, el tiempo es irreversible y solo tiene una dirección, hacia el futuro. Los sistemas caóticos son aquellos que se encuentran afectados directamente por sus condiciones iniciales, transformándolos en el transcurso del tiempo en sistemas imposibles de predecir.

Para la teoria del Caos, no existen sistemas ni 100% ordenados, ni 100% caóticos. Esta teoria acepta tanto el Orden como el Caos y los relaciona en una dualidad de la siguiente manera:

“En todo sistema ordenado, el caos siempre está presente e implícito”“En todo sistema caótico, el orden siempre está presente e implícito”

De lo anterior se desprende que, por más que un sistema haya derivado en caos, o se haya vuelto ordenado y estable, potencialmente vuelve a pasar lo inverso. Ahora, aquel que era estable y derivó en caos vuelve a llevar implícito consigo mismo el volver a transformarse en un sistema en orden nuevamente; y aquel que era caótico y desordenado y derivó en orden, ahora lleva el caos implícito en su esencia. Esto lleva a conformar un circuito que no es ni más ni menos como se genera y se construye la naturaleza.

La Teoria del Caos le ha dado a la sociología un nuevo enfoque respecto al comportamiento de los sistemas sociales. Así la noción de suceso puso en cuestión la separación sujeto/objeto en el ámbito de la física cuántica, mientras que los denominados comportamientos caóticos han desarbolado el principio de razón suficiente por cuanto que

1 Universidad Nacional Abierta, texto Tópicos de Matemáticas (pág. 51)

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han permitido descubrir que, descripciones tan precisas como se quieran, no garantizan, en modo alguno, la certeza en la predicción de la situación futura del objeto de investigación.

La imagen que más ha contribuido a difundir la Teoria del Caos es conocida como efecto mariposa. Este efecto ha sido expuesto por el meteorólogo Edward Lorenz y está siendo desarrollado con el nombre técnico de dependencia sensible de las condiciones iniciales. La expresión hace referencia y viene a explicar cómo es que una pequeña perturbación del estado inicial de un sistema puede traducirse, en un breve lapso de tiempo, en un cambio importante en estado final del mismo. Volviendo al popular efecto de la mariposa este dice sintéticamente que “…si agita hoy, con su aleteo, el aire de Pekín, una mariposa puede modificar los sistemas climáticos de Nueva York el mes que viene.

Una segunda característica de los sistemas caóticos es la no linealidad, es decir que una variación en las condiciones iniciales no genera un cambio proporcional en el estado final del sistema.

Una tercera característica de los sistemas caóticos viene dada por sus formas complejas, circunstancia ésta que implica una problematización de la escala en la que se efectúe la eventual medición del sistema. Un cambio de escala asociado a la precisión y la posibilidad de relacionar a un objeto con su medida exacta, funcionan a la perfección con las formas regulares, no así con las formas irregulares complejas como las que se observan en la naturaleza (costas marítimas, paisajes montañosos). Esta característica da lugar a dos instrumentos analíticos cualitativos de la máxima actualidad; La geometría fractal y la lógica borrosa. Ambas teorías se pronuncian respecto a la medición de las formas complejas en un mismo sentido: A mayor información sobre el objeto, mayor imprecisión sobre el mismo.

Los sistemas caóticos son deterministas (y en este sentido son clásico), conocemos la secuencia que les da origen, la ley que rige su evolución y, sin embargo, son impredecibles dada su dependencia sensible de las condiciones iniciales (y en este aspecto mostraría su carácter complejo). En los sistemas complejos, y toda sociedad lo es, la precisión puede llegar a hacer más borrosa la comprensión del futuro.

Actividad 10.1.1 Usted debe leer la lectura anterior y realizar las actividades presentadas(Lectura 10, hacer procedimiento de logo solicitado ahí). En esta actividad se evaluará: la presencia del procedimiento, que en efecto haga las figuras que se espera realice.

Para implementar la construcción de la curva de Koch en el software geométrico elegido, MSWinLogo, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Se elabora el algoritmo (procedimiento) para dibujar la figura del nivel 1 como la siguiente.

Figura 1

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2. Luego dependiendo del nivel se tiene que recurrir al mismo procedimiento por cada segmento del nivel anterior, lo que implica una llamada a procedimiento dentro del mismo procedimiento.

Utilizando el Programa MSWinLogo se elaboro el siguiente procedimiento inicial para obtener la figura 1:

Nombre Procedimiento: KOCH1) LEER LONGITUD2) AV LONGITUD/3 3) GI 60 4) AV LONGITUD/3 5) GD 1206) AV LONGITUD/3 7) GI 608) AV LONGITUD/3

Ahora se introduce la nueva variable que es el nivel, por cada nivel hay que construir la misma figura para cada segmento y así sucesivamente, por lo que se introduce el mismo procedimiento para la construcción de cada segmento, también se hace la entrada de datos en otro procedimiento llamado principal que, después de haber leído las entradas, hará la llamada al procedimiento KOCH. entonces se modifica el procedimiento quedando de la manera siguiente:

PARA KOCH :LADO :NIVEL ; Nombre Procedimiento: KOCH1) SI :NIVEL=0 [AV :LADO ALTO]2) KOCH :LADO/3 :NIVEL-13) GI 604) KOCH :LADO/3 :NIVEL-15) GD 1206) KOCH :LADO/3 :NIVEL-17) GI 608) KOCH :LADO/3 :NIVEL-19) FIN

10) PARA PRINCIPAL ; Nombre Procedimiento: PRINCIPAL11) BP12) SI NO sinobox [Poligonal de Koch] [Bienvenido/a, vamos a construir la poligonal de Kock,

Introduce el nivel y luego la longitud del segmento (¿seguimos?)] [Fin]13) HAZ "NIVEL PRIMERO PREGUNTABOX [NIVEL] [Introduce el nivel deseado]14) HAZ "LADO PRIMERO PREGUNTABOX [Longitud] [¿Cual es la longitud del segmento?]15) BP GD 9016) SUBELAPIZ PONPOS [-400 0] BAJALAPIZ OT17) KOCH :LADO :NIVEL18) FIN

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Este programa fue probado y funcionó correctamente. Para un nivel 8 y una longitud de 600 resulto la siguiente figura:

Actividad 10.2.2 Defina que es caos e iteración y señale ¿Cuál es su relación con los fractales? En esta actividad se evaluará: Redacción, presencia de las ideas más importantes, que la longitud del escrito sea de una página.

El término caos se define en el diccionario como:1. Estado de confusión y desorden en que se hallaba la materia hasta el momento de la

creación del cosmos. 2. Confusión, desorden; ejemplo: ya vamos saliendo del caos de la mudanza.

El término Caos se refiere a una interconexión subyacente que se manifiesta en acontecimientos de la vida cotidiana que son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso el concepto de caos a menudo puede crear en nosotros una idea negativa, una visión de desorden en donde las cosas no funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto es precisamente el orden.

Mientras que Iteración aparece así:1) Iteración es un vocablo que tiene su origen en el término latino Iteratio. Se trata de una

palabra que describe el acto y consecuencia de iterar, un verbo que se emplea como sinónimo de reiterar o repetir

En matemática la palabra caos se utiliza para describir ciertos sistemas que no son lineales, ni tienen un orden preestablecido que permita predecir su comportamiento, de aquí surge la Teoria del Caos. Desde el punto de vista científico esta teoría puede considerarse como una rama de la matemática y la física que trata ciertos tipos de comportamientos aparentemente aleatorios (caóticos) de los sistemas dinámicos.

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar a grandes rasgos como: Estables. Inestables. Caóticos.

La Teoria del Caos asegura que todo sistema puede ser ordenado, aquel donde se puede predecir su comportamiento; pero también puede ser caótico, aquel donde es

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imposible determinar un estado final ya que es susceptible a las pequeñas variaciones de sus condiciones iniciales.

También en matemática la iteración es una herramienta utilizada para resolver algunos tipos de problemas que requieren de repeticiones sucesivas de un mismo procedimiento u operación. Tal es el caso de las sucesiones que dependiendo de un parámetro, por ejemplo n, se calculan repitiendo la expresión del término general para cada valor de dicho parámetro. La Teoria del Caos también se apoya en esta herramienta (la Iteración) para la construcción de los fractales. Un Fractal es un objeto con una determinada geometría, cuya iteración o repetición acaba dando lugar a una estructura final de una complicación aparentemente extraordinaria. Es decir, que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo.

El término fue propuesto por el matemático francés Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus (romper) y fracture (fractura). Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Los fractales también se definen como los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoria del Caos, y la construcción de los fractales a través de algoritmos matemáticos se realiza con la iteración de los procedimientos respectivos, lo que permite describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos. De esto se desprende la relación que existe entre fractales, iteración y caos.

Objetivo # 5

Actividad 11.1.2 Ud. deberá investigar:1. Origen de la lógica borrosa2. Conceptos Básicos de lógica borrosa3. Qué es lógica borrosa y teoría conjuntos borrosos4. Operaciones entre conjuntos borrosos5. La relación de la lógica borrosa con la educación matemáticaEn esta actividad se evaluará que escriba el resultado de su investigación de una

forma clara y resumida.

1. HistoriaLa lógica difusa fue investigada por primera vez alrededor de mediados de los años

sesenta por el ingeniero Lotfy A. Zadeh en la Universidad de Berkeley (California). En un principio este ingeniero no denominó a esta lógica como lógica borrosa sino que la llamó principio de incompatibilidad.

A continuación mostraremos como describió él este principio: ”Conforme la complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para ser precisos y construir

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instrucciones sobre su comportamiento disminuye hasta el umbral más allá del cual, la precisión y el significado son características excluyentes”.

En este momento fue cuando introdujo el concepto de conjunto difuso (en inglés Fuzzy Set). Este nuevo concepto no es más que la idea de que los elementos sobre los que se basa el pensamiento humano no son números sino etiquetas lingüísticas. Esta idea es la que permite que se pueda representar el conocimiento, que es principalmente lingüístico de tipo cualitativo y no tanto cuantitativo, en un lenguaje matemático mediante los conjuntos difusos y funciones características asociadas a ello.

Aunque se considera que él (Lotfy A. Zadeh) fue quien primero habló de la lógica borrosa, su tesis se basa también en estudios y obras de otros pensadores de otras disciplinas que tenían una visión alejada de la lógica tradicional y muy similar a la de Zadeh. Entre las obras y personas que influyeron a Zadeh, podemos destacar: la paradoja del conjunto de Russell, el principio de incertidumbre de Heisenberg y a Jack Lukasiewicz creador de la lógica multivaluada.

En un principio, la comunidad científica no vio con buenos ojos la lógica difusa, sin embargo algunos de estos investigadores que en un principio habían mostrado su resistencia ante este concepto, terminaron siendo seguidores de Zadeh e incluso mientras él seguía asentando los conocimientos de la lógica borrosa, estos científicos se dedicaron a explorar nuevas teorías referidas a este tipo de lógica.

Entre estos nuevos seguidores de la lógica borrosa podemos destacar a Bellman, Lakoff, Goguen, Smith…

Otro paso importante para el desarrollo de la lógica difusa fue que a principios de la década de los setenta se crearon varios grupos de investigación en diferentes universidades japonesas hicieron grandes contribuciones sobre las aplicaciones que podía tener este tipo de lógica. De esta forma se consiguió crear el primer controlador difuso para una máquina de vapor o crear un controlador de inyección de química en depuradoras de agua.

En décadas posteriores esta teoría cada vez fue teniendo más éxito y se le iban encontrando nuevas aplicaciones.

En la década de los ochenta, la investigación se orientó hacia las redes neuronales y su similitud con los sistemas fuzzy. Estos sistemas fuzzy lo que hacen es utilizar métodos de aprendizaje basados en redes neuronales para identificar y optimizar sus parámetros.

En cuanto a la década de los noventa, a parte de la investigación de las redes neuronales y los sistemas fuzzy, surgen los algoritmos genéticos. Si combinamos estas tres técnicas computaciones, se puede conseguir una herramienta de trabajo muy potente de los sistemas de control2.

2. Definición Este tipo de lógica es la que utiliza expresiones que no son totalmente ciertas ni

totalmente falsas, es decir, es una lógica aplicada a conceptos que pueden tomar un valor indeterminado de veracidad dentro de un conjunto de valores cuyos extremos son la verdad

2 Lógica Borrosa, Tamara Benito Matías, Mª Isabel Durán Vicente, Universidad Carlos III

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absoluta o la falsedad absoluta. Por así decirlo es una lógica que expresa la falta de definición del objeto al que se aplica.

Si queremos dar una definición mucho más específica podemos definir a este tipo de lógica como una técnica de la inteligencia computacional que ayuda o permite trabajar con información que es imprecisa y no está bien definida. Pertenece a la lógica multivaluada pero la lógica borrosa se diferencia de ésta en que nos permite introducir valores intermedios entre la afirmación completa o la negación absoluta.

3. Conjuntos DifusosPara ilustrar el concepto de la lógica difusa y los conjuntos difusos vamos a explicar

el primer ejemplo que puso Zadeh. Para ello puso el ejemplo del conjunto de “los hombres altos”. Según la teoría de lógica clásica al conjunto de hombres altos solo pertenecen los que miden más de una determinada altura y esa altura límite es 1.80 metros, así un hombre es considerado alto cuando mide por ejemplo 1.81 metros y uno bajo cuando mide 1.79 metros. Esto no parece una razón muy lógica para catalogar a un hombre de alto o bajo ya que por ejemplo en el caso expuesto la altura de uno a otro solo se diferencia en 2 centímetros. Ahí, en casos como este donde no es fácil catalogar algo, se introduce la lógica borrosa. Según la lógica borrosa, el conjunto de “hombres altos” es un conjunto que no tiene una frontera clara que indique que perteneces a ese grupo o no. El evaluar si un hombre es alto o bajo, se hace mediante una función que define la transición entre alto a bajo y para ello asigna a las distintas alturas un valor entre 0 y 1. Según sea este valor se considera que se pertenece al conjunto o no. Aplicando esto al caso anterior, un hombre que mida 1.79 metros se puede decir que pertenece al conjunto de hombres altos con un grado de 0.75 y el hombre que medía 1.81 metros pertenece al conjunto de hombres altos con un grado de 0.8. Si representamos esto en una gráfica se obtendrá que la transición entre alto o bajo con la lógica borrosa es una curva con cambios no abruptos mientras que con la lógica clásica, el paso de alto a bajo o viceversa es brusco:

En resumen, según la lógica clásica un elemento pertenece o no pertenece al conjunto, sin embargo la lógica borrosa lo que hace es poner un grado de pertenencia al conjunto. Este grado de pertenencia se define mediante la función característica asociada al conjunto difuso: para cada valor que puede tomar la variable x, la función característica A(x) proporciona el grado de pertenencia de ese valor x al conjunto difuso A.

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4. Operaciones entre conjuntos borrosos. Existen seis tipos de operaciones:

1) Inclusión o subconjunto: A es un subconjunto de B A(x) <= B(x) x

2) Unión: La unión de los conjuntos difusos A y B es el conjunto difuso C y se escribe como C= A OR B; su función de pertenencia está dada por:

C(x) = max (A(x), B(x)) = A(x) ∪ B(x)

3) Intersección: La intersección de los conjuntos difusos A y B es el conjunto difuso C y se escribe como C= A AND B; su función de pertenencia está dada por:

C(x) = min (A(x), B(x)) = A(x) ∩ B(x)

4) Negación o complemento: El complemento del conjunto difuso A, denotado por ¬A o NOT A, se define como:

Ā(x) = 1 – A(x)

5) Producto cartesiano: Si A y B son conjuntos difusos en X e Y, el producto cartesiano de los conjuntos A y B en el espacio X x Y tiene la función de pertenencia:

AxB(x,y) = min (A(x), B(x))

6) Co-producto cartesiano: A+B en el espacio X x Y tiene la función de pertenencia:AxB(x,y) = max (A(x), B(x))

Cabe añadir que las operaciones de intersección, unión y complemento cumplen al igual que en la teoría clásica de conjuntos, las propiedades asociativa, conmutativa, distributiva y las leyes de Morgan. Sin embargo, a diferencia de la teoría clásica, los conjuntos difusos no cumplen el principio de contradicción ni el de exclusión.

Las principales propiedades que cumplen los conjuntos difusos son:1) Soporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero.2) Altura: Es el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto:3) Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a 14) Conjunto difuso normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1, Altura(A)=15. La relación de la lógica borrosa con la educación matemática.

Se pueden categorizar las relaciones entre la lógica borrosa y la educación en tres grupos, ellos son:

La enseñanza de la lógica borrosa:Esto se refiere a la introducción de la teoria de conjuntos y la lógica borrosa como

contenidos en el curriculum tanto en la educación media como en la educación universitaria.

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La borrosidad de la enseñanza:Se refiere al tratamiento, desde la perspectiva de la borrosidad, de temas que

tradicionalmente han sido estudiados en la escuela o en algunas profesiones, es decir, la reconceptualización de ciertos contenidos tomando como base la teoria de conjuntos borrosos.

El uso de la borrosidad en la investigación educativa:La lógica borrosa y la teoria de conjuntos borrosos en una herramienta innovadora

que es de mucha utilidad para la investigación en educación matemática.

Como señalan Ballester y Colom, (2009): “La lógica difusa ha provocado una auténtica renovación en diversos campos, fundamentalmente a la hora de estudiar procesos muy complejos, turbulentos o desordenados. La razón es obvia, ya que, como se sabe, los algoritmos sólo pueden dar razón de procesos determinados y, en consecuencia, muy alejados de los contextos complejos y caóticos, pues, como se sabe, sólo se pueden utilizar para la aplicación concreta para la que fueron diseñados. Pues bien, para las situaciones indeterminadas y de hipercomplejidad, la lógica difusa se nos muestra pertinente para dar cuenta de tales procesos.

En el campo de la educación se han llevado a cabo algunos intentos muy singulares desde perspectivas propias de la ingeniería, y en general desde la tecnología.

Cabe decir que la mayoría de los trabajos que aúnan educación y lógica difusa corresponde a estudios sobre la propia enseñanza de la teoría de los Fuzzy sets en las escuelas de ingeniería, de robótica y de tecnología, es decir, que su ubicación en nuestro contexto sería la propia de la didáctica universitaria de las matemáticas. Un segundo grupo de trabajos está destinado fundamentalmente a la evaluación de sistemas expertos y de sistemas tecnológicos de aprendizaje, dándose cierto interés en evaluar la educación a distancia –normalmente on line–, que asimismo son utilizados en las escuelas y facultades tecnológicas.

Por tanto, podemos decir que, por ahora, la cuestión de la lógica difusa en la educación se encuentra relacionada con la evaluación y la calidad de la enseñanza de los sistemas expertos y tecnológicos que se usan en el aprendizaje de contenidos, a su vez tecnológicos, y en el aprendizaje de la propia teoría de los fuzzy sets”3.

La educación matemática se encarga del hecho pedagógico relacionado fundamentalmente con las matemáticas en las aulas de clase, este hecho es la acción dirigida de una mente humana sobre otra mente humana, buscando lograr un cambio, una modificación que se haga permanente. Esto es sumamente complejo porque en el interactúan personas con características y cualidades diferentes lo que se traduce en una situación que no puede ser discreta, en el caso del estudiante no se puede afirmar que aprendió en un 100% lo que sería 1 en la lógica formal o que no aprendió nada, o sea un cero (0), pero si se puede suponer que aprendió algo, que estaría comprendido entre 0 y 1;

3 http://www.filosofiadelaeducacion.cl/articulo-detalle.php?artId=126

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entonces el comportamiento humano queda mejor determinado por la lógica borrosa que por la lógica formal.

Por esta razón, es necesario aplicar la lógica borrosa en la educación matemática en muchos aspectos; la evaluación: ésta debe ser flexible, tomando en cuenta el grado de aprendizaje logrado (de hecho actualmente se usan escalas de estimación que discriminan de cierta forma el aprendizaje alcanzado), lo que guarda estrecha relación con la lógica borrosa ya que mide el grado de pertenencia del sujeto en cuestión al conjunto borroso respectivo; la labor docente: para determinar en que grado de complejidad se puede dictar una clase, interpretar los resultados obtenidos en el proceso educativo integral, en relación a la motivación, el aprendizaje, el orden, la deducción, la inferencia y otros elementos importantes implicados en dicho proceso. Entre otros.

Actividad 12.1.2 Usando el mapa de Venezuela y los diagramas de Voronoi diseñe una actividad para el aula de matemática cuyo objetivo sea la coloración del mapa de Venezuela con cuatro colores. En esta actividad se evaluara: apego a normas para elaboración de actividad didáctica, pertinencia del tema tratado, desarrollo secuencial lógico, concordancia con nivel y originalidad.

Diseño de actividad para el aula de matemáticas.La actividad se inicia con una clase sobre los diagramas de Voronoi que se presenta a continuación:Un Diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos en el plano, no es más que la

subdivisión del mismo en regiones formadas por los lugares más próximos a cada uno de los puntos. La línea (frontera) que separa dos puntos se encuentra a igual distancia de ellos, como se observa en la siguiente figura.

Son muchas las utilidades de los Diagramas de Voronoi entre las que podemos citar: • Posicionamiento de antenas en telefonía móvil: La región de Voronoi de cada una de las antenas determinaría qué teléfonos deberían realizar la conexión a través de la misma. • Control aéreo: El Diagrama de Voronoi de cada centro de control, determinaría la zona de espacio aéreo a controlar por dicha estación. Para construir el diagrama de Voronoy de un conjunto de puntos dados se siguen los siguientes pasos:

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1) Se trazan las líneas que unen todos los puntos entre sí.

2) Se trazan las bisectrices de las líneas del paso anterior hasta los puntos de intersección de estas.

3) Se eliminan las líneas que unen los puntos y solo quedan los polígonos formados por estas bisectrices, que forman el diagrama de Voronoy para estos puntos.

Como se puede observar, cada línea equidista de los puntos que separa. (Para la elaboración de estos diagramas se utilizo el software DEpthLAUNAY de Manuel Abellanas y Alfredo de las Vegas, obtenido de la pagina web http://www.dma.fi.upm.es/mabellanas/delonedepth/)

Ahora se realiza la actividad práctica para elaborar el diagrama de Voronoi de un

mapa de Venezuela, tomando como puntos las capitales de los estados. Se hace entrega a

Page 36: Trabajo práctico tópicos de matemáticas (575)

los estudiantes de un mapa físico de Venezuela, con los puntos que representan la ubicación

geográfica de cada capital de los estados como el siguiente:

Los estudiantes según lo estudiado deben poder realizar el diagrama de Voronoi de de este mapa uniendo las capitales y luego trazando las bisectrices de estas líneas.

Para colorear el diagrama obtenido con cuatro colores se debe explicar a los estudiantes el teorema de los 4 colores. Este dice que: “Dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (es decir, regiones que compartan no sólo un punto, sino todo un segmento de borde en común) con el mismo color”.

Entonces se permite que los estudiantes prueben sus propios algoritmos y después de discutir y determinar si algún estudiante pudo colorear el mapa o ninguno lo ha hecho, se procede a explicar la forma de hacerlo: Para ello, nos fijamos en un polígono cercano al centro del mapa y lo coloreamos de azul. Ahora se colorean los polígonos que rodean al ya coloreado, empezando se usan dos colores, de forma alternada, rojo y verde, pero si el número de polígonos que rodean a este es impar, para cerrar ese ciclo, necesitamos un nuevo color, que no puede ser ni rojo, ni verde, ni tampoco azul, lo que nos obliga a emplear el cuarto color para ese polígono. El amarillo, por ejemplo. Esto se repite para cada polígono hasta completar los colores en todo el mapa. Al finalizar la actividad se realizan

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las reflexiones pertinentes relacionadas con problemas que se presentan en la realidad. Como ejercicio se sugiere a los estudiantes, colorear cada uno de los estados del mapa físico de Venezuela, usando solo cuatro colores.

Actividad 13.1.1 Diseñe una actividad que vincule varias áreas de conocimiento del programa de estudio (matemática, física, biología, química, tecnología, arte, lenguaje o historia) y de la vida cotidiana. En esta actividad se evaluara: apego a normas para elaboración de actividad didáctica, pertinencia del tema tratado, desarrollo secuencial lógico, concordancia con nivel y originalidad

El tema seleccionado para la actividad es el Índice de Masa Corporal (IMC), que se relaciona directamente con el estado de salud, y para su cálculo se requiere tener los valores de la masa y la estatura. “El IMC es uno de los indicadores antropométricos del grado de adiposidad de una persona, este índice puede asociarse con describir ciertos problemas de salud. Por ejemplo, el IMC es uno de los parámetros utilizados por la Organización Mundial de la Salud (OMS) para establecer las medidas de sobrepeso, estado saludable o el estado de delgadez”4. La ecuación (formula) empleada para calcular el IMC es la siguiente:

IMC = masa enKg

(estatura en mt )2

Se han establecido seis (6) intervalos que se corresponden con los estados de delgadez, normal, exceso de peso, obesidad grado 1, obesidad grado 2, obesidad grado 3 que se presentan en la siguiente tabla:

IMC ESTADOMenos de 18,6 DelgadezDesde 18,6 hasta 24,9 NormalMás de 24,9 y menos de 30 Exceso de pesoDesde 30 hasta menos de 35 Obesidad (Grado I)Desde 35 hasta menos de 40 Obesidad (Grado II)40 o mas Obesidad (Grado III)

Después de la explicación se indican las instrucciones para que los estudiantes realicen la actividad práctica, donde tendrán la oportunidad de calcular su IMC y luego determinar el promedio del IMC de todos los estudiantes del aula.

1) Se ordenan los estudiantes por parejas, cada una de estas usara una cinta métrica y una balanza para medir la estatura y obtener el peso respectivamente de cada estudiante. Estos valores deben anotarlos en la libreta.

2) Utilizando la fórmula del IMC, cada pareja realizara el cálculo respectivo de su IMC, anotando nuevamente estos valores en la libreta.

3) Cada estudiante se ubica en la tabla de estados en función de su IMC. también deben anotar en la libreta el estado que le corresponde a cada uno.

4 La Matemática de la Belleza, 3er Año, pág. 96

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4) Se elabora en el pizarrón una tabla de datos, donde se anotarán todos los datos obtenidos referentes al IMC. Esta tabla tendrá la siguiente estructura:

IMC (aleatorio)IMC (ordenados)

5) Se indica a los estudiantes que calculen la media aritmética de los datos y determinen la mediana y la moda. Se inicia la discusión de los resultados y se sacan conclusiones.

En la actividad realizada, se evidencia la vinculación de las matemáticas, la salud y la física; la matemática es la ciencia que permite realizar los cálculos, trabajar con cantidades y representarlas de manera que se pueden sacar conclusiones de las observaciones hechas, la salud (rama de la biología) se encarga de elaborar esquemas o patrones para determinar las condiciones en las que se encuentra una persona respecto a una referencia obtenida de un estudio riguroso y por último, la física (ciencia que está presente en todos los aspectos de la vida diaria), en lo que nos concierne, se uso la cinta métrica para medir longitud (magnitud física) y se utilizó una balanza para medir el peso (magnitud física).

Los datos obtenidos también pueden ser utilizados para hacer la distribución de frecuencias y realizar el análisis correspondiente con el objeto de mostrar a los estudiantes la relación que puede existir entre las áreas del conocimiento ya mencionadas y las ciencias sociales. A manera de conclusión; todas las actividades que realiza el ser humano tienen el propósito de satisfacer una necesidad humana, por ello todo lo que el ser humano hace vincula de una u otra manera diversas áreas del saber humano.